לאקונומטריקה" "מבוא לשיעור עזר דפי

הפחותים: הריבועים קריטריון

. המשתנים תנאי הסדר הראשון )המשואות הנורמליות(:

מקבלים: הראשונה הנורמלית מהמשואה

מקבלים: השניה הנורמלית במשואה זו משואה מהצבת

הנורמליות. המשואות פתרון את מסמל

השיפוע. של הפחותים הריבועים אומד הוא

:נוסחאות

התצפיות. מספר את מסמלT הבא בדיון הסטיות אפס. לכן, סכום הוא שלהם מהממוצע מספרים אוסף של הסטיות סכוםא.

אפס: במדגם( הוא שלהם מהממוצע אקראי משתנה ערכי )של

1

כי: נובע זו מעובדה

לכן:

נובעים הבאים השויונותב.

לכן:

השונות ושלX ו-Y )במדגם( של המשותפת השונות של המנה הוא של מכאן, האומד. X )במדגם( של

אקראיים משתנים של משוקלל סכום של שונותהמשקלות. הםb ו a האקראיים המשתנים הםY ו-X למטה בדוגמה

משנים הגדול איברים מספר עם משוקלל לסכום הכללהסכום: ריבוע נוסחת

2

כדלקמן: השאר וכל האלכסון על האברים של לסכום נפריד הזה הסכום את

שונים: סכומים מכפלת לכתוב אפשר דומה באופן

אקראיים משתניםT של משוקלל סכום של השונות כי נובע הזו בהכללה משימוש

הוא:: משקלות עם

על הקלסיות ההנחות

על הקלאסיות ההנחות מתקימות )כאשר א.ר.פ. של שונות חישוב

הבא: הביטוי את ב נסמל

3

מקבלים: של הפחותים הריבועים באומד זה ביטוי מהצבת

הלינאריים האומדים משפחת במדגם. ספציפית התלוי המשתנה על התצפיות של משוקלל סכום הוא לינארי אומד

המשקלות כאשרהוא: הרגרסיה משואת של השיפוע של לינארי אומד

המוסבר. המשתנה של בערכים תלויים , לאמרקוב גאוס משפט

השונות הפחותים הריבועים לאומד מוטים הלא הליניאריים האומדים כל ביןהמינימלית.

. של הפחותים הריבועים אומד של המשקלות הם למטה במשואותכדלקמן: מחושב

הוכחה:נובע: למעלה של ומההגדרה לינארי הוא שהאומד כיון

האומד( מחיבת: של )איפוס הטיה אי

4

מהתנאים הנחוצים לאי הטיה )*( ו )**( נובע כי:

הבאה: ההוכחה את )***( מאפשרת משואה

: חופש דרגות

יש משתנים שני עם אחת לינארית לינאריות. למשואה משואות של הפתרון מרחב ממדחופש: דרגות שתי יש משתנים שלשה עם אחת לינארית אחת. למשואה חופש דרגת

יחיד פתרון יש ואז משתנים לשני ערכים שרירותי באופן לבחור אפשר זו משואה לפתרוןהנותר. למשתנה

המשתנים )מספר הפתרון מרחב ממד משתנים בשלשה לינאריות משואות שתי עבור הנותרים( למשתנים יחידי פתרון לקבל כדי שרירותי באופן ערכיהם את לבחור שאפשר

אחת. חופש דרגת יש אחד, כלומר הוא

שרירותי. באופן אחד משתנה לבחור ניתן זה במקרה

5

אםT-1 הוא במדגם שלו מהממוצע אקראי משתנה סטיות של החופש דרגות מספר

. הליניארי: הקשר בגלל . זאתT הוא התצפיות

לשונות אומדחופש דרגותT-2 יש לוקטור

: הנורמליות המשואות שתי והן חופש דרגות שתי לאבוד )לינאריות( גורמות מגבלות2

.הוא: האקראית ההפרעה שונות של מוטה לא אומד

משתנים של ליניארית טרנספורמציהדוגמה

היבול בין בקשר ומעונינים בצלסיוס טמפרטורה על יבול של רגרסיה שמריצים נניח על היבול של הרגרסיות ( הן2) ( ו1) בפרנהייט. המשואות נמדדת כשהיא והטמפרטורה

מצלסיוס הטרנספורמציה ( היא3) בהתאמה. משואה ופרנהייט בצלסיוס טמפרטורה(. 2) ( ו1) משואות של האומדים בין הקשר את ( מראות5) ( ו4) לפרנהייט. משואות

אינטרוול: של הסתברות

קוביה: לזריקת

שעון: חוגת שהינו סביבון עבור

ליניארית. טרנספורמציה של סמך רוח

6

הנורמלית ההתפלגות

והשונות: התוחלת הם פרמטרית. הפרמטרים דו היא נורמלי משתנה התפלגות

נורמלית. בהתפלגות מפולגת נורמלי משתנה של לינארית טרנספורמציהנורמלית. בהתפלגות מפולג נורמליים משתנים של סכוםהנורמלי: הסטנדרטי המשתנה התפלגות

t המשתנה התפלגות

. כי הנחהבא: הסטטיסטי הואX של לשונות מוטה לא אומד

:t בהתפלגות מפולגתX של הבאה הטרנספורמציה

פרמטרית. הפרמטר חד פעמון. היא ודמוית אפס סביב סימטרית היאt של ההתפלגות . שהוא התצפיות של החופש דרגות מספר הוא ההתפלגות תלויה שבו הצפיפות לעקום יותר קרובt של הצפיפות עקום יותר גדול החופש דרגות שמספר ככלהנורמלי. הסטנדרטי המשתנה של

:Z בהתפלגות המפולג למשתנה סימטרי אינטרוול של ההסתברות

. ש: כך הערכים תחום של תחתון לגבול הסימול , הינו:t בהתפלגות המפולג למשתנה סימטרי אינטרוול של ההסתברות

7

. ש: כך הערכים תחום של תחתון לגבול הסימול , הינו

הפחותים: הריבועים אומדי התפלגות

כי נובע המרכזי הגבול משתנים. ממשפט מאד הרבה של משוקלל סכום היא של משוקלל סכום היא ש נורמלית. כיון )בקירוב( התפלגות היא של ההתפלגות

כי: נובע

של הפחותים הריבועים אומד של הסטנדרטית הטרנספורמציה התפלגות

ידועה( )הלא השונות שורש במקום , כלומר את ידוע הלא במקום מציבים אם

שהתפלגותו משתנה , מקבלים של השונות של מוטה הלא האומד שורש את שמים. האומדנים של החופש דרגות כמספר חופש דרגות עםt התפלגות היא

: ל סימטרי סמך רוח בנית

חיזויהוא: התחזית בתקופת התלוי המשתנה של ערכו אזי נכון המודל אם

הריבועים אומדי על מבוססת התלוי המשתנה של לערכו נקודתית תחזיתתוחלתה: את שמים האקראית ההפרעה של ערכה הפחותים. במקום

התחזית שגיאת

8

אפס. היא התחזית שגיאת תוחלתהתחזית: שגיאת שונות

האומדים: של המשותפות והשונויות השונויות את זו במשואה נציב

ונקבל:

זו. ושונות אפס תוחלת עם נורמלית היא התחזית שגיאת התפלגותמקבלים: ידוע הלא במקום של מהצבה

החזוי: למשתנה הסמך רוח

נקבל: לינאריות טרנספורמציות בסדרת

R-Squaredהרגרסיה של ההסבר אחוזלהשתנות מקורות שני ישהשונות. בתצפיות שונים ערכים מקבל התלוי המשתנה

המסבירים( )המשתנים הסיסטמטי החלק א(תרומתהאקראית( )ההפרעה תצפיות אין שעליו האקראי ב(החלק

התלוי( המשתנה )של במדגם השונות הוא הפיזור מדד

9

ההסבר אחוז הוא הסיסטמתי החלק ידי על שנתרם הזו השונות של החלקפורמלית:

הינו: ההסבר אחוז

בפרמטרים לינארית אך במשתנים ליניארית לא רגרסיות

לא הואX המסביר והמשתנהY התלוי המשתנה בין הקשר האלו המשואות בשלשת אז המים כמות הואX ו היבול הואY קבועה. אם אינהX לפיY של לינארי. הנגזרת

המים. כמות עם שמשתנה מים של שולית תפוקה לקבל מאפשרת כזו רגרסיה נותנת הפחותים הריבועים בשיטת בפרמטרים, אמידתם לינארית היא שהרגרסיה כיון

הוא התלוי המשתנה הראשונות הדוגמאות )בשתי התלוי במשתנה לינאריים אומדיםמינימלית. שונות ועם מוטים ( לאY של הלוג

משתנים רבת רגרסיה

אקראיים. אינם ובינתים אקסוגניים הם מימין המסבירים המשתניםבפרמטרים: לינאריות אך במשתנים לינאריות לא משואותקוב-דגלס: פונקציות

10

במשתנים: פולינום

המקוריים. למשל: המשתנים של הטרנספורמציות "חדשים" שהם משתנים הגדר הוא הפולינום הבאה בפרמטרים. בדוגמה ליניארית משואה היא . התוצאה

שני: מסדר

גורמי שני בכמות שתלויה שולית תפוקה נותן אינטראקציה אבר עם שני מסדר פולינוםהיצור:

מסבירים משתנים שני עם רגרסיה אמידת

הוא: הנאמדות הסטיות ריבועי סכוםה"ניחוש" עבור

הנורמליות: המשואות

הממוצעים: דרך עובר הנאמד שהמשטח מקבלים הראשונה הנורמלית מהמשואה

זו: משואה של אלטרנטיבית צורה

11

מקבלים: הנותרות הנורמליות במשואות זו משואה מהצבת

הבאים: בסימולים נשתמש

הן: הנורמליות המשואות אלו סימולים עם

(בסימול: נשתמש למטה )בפיתוח

( הוא: עבור הפתרון את בעצמכם )השלימו עבור המשואות פתרון

רואים: זו ממשואהמקבל התלוי שהמשתנה הערכים של משוקלל סכום הוא של האומד

הם: השונות. המשקלות בתצפיות

מתקים: של הבא הפירוק

מסבירים: משתניםK עם רגרסיה במשואת נאמד פרמטר לכל קים דומה )פירוק)

של השונות חישוב

12

: את נחשב

לכן:

בין במדגם המתאם מקדם הוא כי נטען למטה בדיון

. כלומר: ב הזה המתאם מקדם את . נסמל ו המשתנים

)*( מקבלים: משואה )**( ב משואה מהצבת

חיזוי הדיון דומה לדיון ברגרסיה פשוטה. הביטויים כוללים יותר אברים. ספציפית שגיאת

התחזית ושונותה הם :

13

כי: נובע נורמלית בהתפלגות מפולגת התחזית ששגיאת כיון

לכן:

כי: להראות אפשר

המשתנים של הערכים של המרחק עם גדל הסמך רוח נתונה מובהקות כלומר, לרמתבמדגם. האלו המשתנים של מהממוצע התחזית את מתנים בהם המסבירים

ו% ההסבר- הרגרסיה של השונות פרוקמקבלים: הראשונה הנורמלית ומהמשואה הנאמדת הרגרסיה ממשואת

לכן:

לכן:

כלומר:

14

התלוי. הוא המשתנה של הסטיות ריבועי סכום הוא המשואה של שמאל מצד האבר הריבועים סכום , שהוא, רכיבים. הראשון לשני פורק

מההפרעות נובע השני הריבועים וסכום המסבירים מהמשתנים הנובעהאקראיות.

ו, נסמל

)*( היא: משואה אלו סימולים עם

, הוא:- הרגרסיה של ההסבר אחוז לכן

במדגם משתנים שני בין המתאם מקדם

נקבל:X עלY של רגרסיה בהרצת

מ)*( נקבל:

( נקבל:1) המתאם מקדם במשואת ושל של מהצבה

15

ההסבר- אחוז לבין בין הקשר

מושלמת קולינאריות מולטיהנורמליות: המשואות נוסחאות את שוב נכתוב

הבא: הדטרמיניסטי הקשר מתקים המסבירים המשתנים שני שבין הנח

לכן:

)*( נובע: מ

מקבלים: ( במשואה3) ( ו2(, )1) מהצבת

16

רק, המשואות . במערכת המשואה של b כפולה היא המשואה כלומרמתקבל: זו . ממשואה במשואה הדיון להמשך תלויה. נבחר בלתי אחת משואה

הפתרונות הפתרונות. אחד מרחב של אחת חופש דרגת עם פתרונות ספור , לכן, אין יש

בעצם . זהומקבלים: . עבור: מימין כשמציבים מושג האפשריים

ברגרסיה: של האומד

זו? רגרסיה של הפרמטרים מודדים מהמקבלים: המשתנים בשני הרגרסיה במשואת הקולינארי הקשר מהצבת

Y על של ההשפעה את וכן של הישירה השולית ההשפעה את מודד כלומר

אחת. ביחידה את משנים כאשר סופית. שכן אין היא האומדים של שהשונות הוא הפתרונות ספור לאין הסטטיסטי הביטוי(: עבור )נדגים

. על של הרגרסיה של ההסבר אחוז הוא אפסים הם t ה ערכי . כלומר מושלמת קולינאריות יש כאשררלוונטי. לא מהמשתנים אחד כל כאילו ונראה

של האינדיבידואליות התרומות בין להפריד היכולת אי את מבטאת סופית האין השונות ההשפעות של זיהוי שיאפשרו שלהם תלויים בלתי רכיבים שאין כיון המסבירים המשתנים

האינדיבידואליות. להסברת תורם לפחות המשתנים אחד כי הוא דבר של פירושו מובהק אם מאידך

התלוי. המשתנה

17

מושלמת לא מולטיקולינאריות יחידי. יכולת פתרוןן יש אך בזו זו תלויות כמעט הנורמליות המשואות זה במקרה

כיון האומדים של גבוהות בשונויות ביטוי לידי בא מאד. הדבר חלשה זאת בכל ההפרדה האומד שונות משואת את )ראה מאד גבוהה האומדים שונות ולכן1ל- מאד קרוב ש

ולכן מאד ( נמוכים )שהם: t ה ערכי מאד גבוהה שהשונות למעלה(. כיון

)אינם רלונטיים אינם שהמשתנים ההשערה את מקבלים מובהקים. כתוצאה אינם של ההפרדה יכולת מחוסר לנבוע עשויה זו התלוי(. תוצאה המשתנה על משפיעים

. המשתנים של האינדיבידואליות תרומותיהם אכן המשתנים ששני כיון הפרדה, או יכולת חוסר בגלל נמוכיםt ה ערכי אם לבדוק ניתן

את מסבירים לא כקבוצה המשתנים ששני ההשערה בחינת ידי על רלבנטיים. זאת אינם זה . מבחוהוא: הזו ההשערה של הפורמלי התלוי. הניסוח המשתנה

הושמט המשתנה כאשר בלבד על של ברגרסיהלמבחן: זההמהרגרסיה.

משתנים קבוצות של רלוונטיות אי למבחני הסטטיסטים התפלגויות

כי הנח

מפולג שלהם הריבועים תלויים. סכום בלתי סטנדרטיים נורמליים משתנים n הםהחופש: דרגות פרמטר הוא n כאשר המכונה בהתפלגות

מפולגתלויים. המשתנה: לאX וY , וכי וכי כי עתה הנח

במכנה: חופש דרגות m ו במונה חופש דרגות n עםF המכונה בהתפלגות

18

הרגרסיה רלונטיות אי על למבחן הסטטיסטי האפס: השערת תחת

וSSR. אז: נכונה האפס השערת . אםכי: להראות אפשר

SSEולכן: בזה זה תלויים לא

אם את דוחים

מסבירים משתנים של קבוצה תת רלוונטיות אי על למבחן הסטטיסטיהראשונים. פורמלית: המשתנים r של הרלוונטיות אי את בודקים כי נניח

רגרסיות: שתי נריץהמשתנים( כל את )כוללת מורחבת א. רגרסיה

האפס(. השערת את כופים )עליה מצומצמת ב. רגרסיה

המורחבת ברגרסיה הנאמדות הסטיות ריבועי סכום את וב ב נסמןאז: נכונה האפס השערת בהתאמה. אם והמצומצמת

כאשר

אם: את נדחה

פרמטרים של לינארית קומבינציה על מבחןהרגרסיה: הורצה

19

לבחון: רוצים

אם ההשערה נכונה אז:

. מ גדול שלו המוחלט הערך אם את למבחן. נדחה הסטטיסטי זהו

לא )שעליה רגרסיות. מורחבת שתי להריץ היא הזו ההשערה לבחינת אלטרנטיבית דרך השערת האפס. אם השערת את כופים האפס( ומצומצמת, עליה השערת את כופיםאז: נכונה האפס

האפס . השערת ל משוים הזה הסטטיסטי . את

. אם: נדחית

איכותיים משתניםיד, מוצא, גזע. האדם, משלח דוגמאות: מיןאין כלל )קטגוריות( שבדרך ערכים של סופי מספר המקבל הגדרה: משתנה

במיון בלבד הקטגוריות לאחת משתיך באוכלוסיה פרט שלהם. כל לסדר משמעותזה. משתנה לפי הפרטים

לבין ובינם עצמם לבין איכותיים משתנים בין ואחרים כלכליים ביחסים ענין לנו יש כפונקציה או ידו למשלח או האדם למין שכר בין כמותיים. דוגמה: הקשר משתנים

המשתנים. שני שלכמותי משתנה של בתלות נדון הראשון בשלב שלבים בשלשה הדיון את נפתח

משתנים בשני כמותי משתנה של בתלות נדון השני אחד, בשלב איכותי במשתנה

20

ובמשתנה איכותי במשתנה כמותי משתנה של בתלות נדון השלישי ובשלב איכותייםכמותי.

אחד איכותי משתנהמין: לפי השכר פונקצית

הראשון . האינדקס כפול )תצפית( באינדקס פרט כל נזהה שלהלן הדיון לפשטות )התצפית( בקטגוריה. הפרט של מיקומו את והשני הקטגורית ההשתיכות את מזהה

כדלקמן: יותר מפורשת בצורה תכתב המשואה זה זיהוי לפי לכל דמי דמי. משנה משתני הגדרת ידי על רגרסיה למשואת הזו המשואה את נהפוך

משתיך הפרט אם1 הערך את מקבל הדמי . משתנה המשתנה "ערך" )קטגוריה( שלעתה: ( תהיה2) לא. משואה אם אפס הערך ואת לקטגוריה

שכן: אחת לינארית תלות ( יש3) משואה של הנורמליות במשואות

לבחירה אפשריים (. קנדידטים3) )אומדים( למשואה פתרונות ספור אין יש שכך כיון.SSE אותו יש האלו הפתרונות לכל או אוהם:

בפתרון נבחר

: ( ללא3) הרגרסיה להרצת זהה זה פתרון

(4) הרגרסיה של הפרמטרים משמעותהקטגוריות: לשתי השכר של התוחלות מחישובי נסיק זאת

תכונה זו שהושמטה. קטגוריה הקטגוריה של השכר תוחלת הוא החותך קבוצת שכר לתוחלת להוסיף שצריך מה הואההתיחסות. קבוצת

זו השניה. תוספת הקטגוריה של השכר תוחלת את לקבל כדי ההתיחסות שלילית. או חיובית להיות יכולה

אדיטיוי במודל איכותיים משתנים שני הנאמדת: המשואה

21

תלויות( של )בלתי לינאריות תלויות שתי יש הדמי משתני וכל החותך יכללו בה במשואה להמנע כדי איכותי משתנה בכל אחת איכותית קטגוריה נשמיט הנורמליות. לכן המשואות

יד. משלחי שלשה שהגדרנו מושלמת. נניח קולינאריות מבעית אחד מכל קטגוריה השמטת )לאחר רגרסיה כמשואת פורמלי ( בניסוח1) משואה

האיכותיים( היא: מהמשתנים

קבוצת זו שלה. במשואה הם שהושמטו הדמי שמשתני - הקבוצהההתייחסות קבוצת הוא הפרט אם1 הערך את שמקבל הדמי משתנה הוא )אם גברים היא ההתיחסות

השלישי. היד גבר( במשלח

השונות: הקטגוריות של השכר ותוחלות הנאמדים הפרמטרים בין הקשר

שלהיות היא ומין יד משלח של כפונקציה השכר במשואת האדיטיויות משמעותמהאדיטיויות. נובע . זה המקצועות בכל למשכורת תרומה אותה יש אישה האדם

אינטראקציה. במודל צורך יש שונים במקצועות נשים של שונה תרומה לאפשר כדי

אינטראקציה במודל איכותיים משתנים שני

תשומות שתי של יצור בפונקצית כשמדובר כגון כמותיים הם המסבירים המשתנים כאשר ברמת תלויה אחת תשומה של השולית שהתפוקה כך הפונקציה את לנסח וברצוננושנריץ: השניה. הרגרסיה התשומה

הם המסבירים המשתנים )כאשר צולבות השפעות עם לזו, הנאמדת המקבילה המשואהאיכותיים( היא:

22

זה: במודל הפרמטרים ובין השונות בקטגוריות השכר תוחלות בין הקשר

השונים. במקצועות השכר על הפרט מין של דיפרנציאלית השפעה יש זו ברגרסיההשוני. את יוצרים

איכותיים משתנים רלונטיות על מבחניםצ'או מבחני

אדיטיוי: א: המודל

השפעה: כל אין למיןב:

אחד: איכותי למשתנה איכותיים משתנים שני הפיכתכדלקמן: דמי משתני הגדר

המתאימים והפרמטרים המתאימה . המשואה חותך ולהוסיף אחד דמי להשמיט אפשריהיו:

:2 ובמשואה1 במשואה הפרמטרים בין להשוות אפשר

וכמותיים איכותיים משתנים כוללים המסבירים המשתנים בה רגרסיהכדוגמה:

23

השונים האיכותיים המשתנים של לפרמטרים מוחלט לשוני לינארי במבנה המשואה ניסוח

או )נשים הקבוצה את ו העבודה שנות את מסמלX ו השכר את מסמלY כאשר

גברים(. המשואה( ביחס של הפרמטרים )בכל מוחלט שוני יש כאשר הזו הפונקציה של גרפי תאור

הבא: בציור ( מתוארGender) מין האיכותי למשתנה

רגרסיה: למשואת הזו המשואה הפיכת

הקבוצות שתי והשיפוע( עבור )החותך הפרמטרים שני של שוני מאפשרת זו רגרסיההשכר. תוחלות לבין הפרמטרים בין הקשרוגברים( )נשים

)קטגורית( ההתיחסות לקבוצתא.

)קטגוריה( השניה ב. לקבוצה

24

Y

Experience

Men

Women

מענינים מבחניםוגברים: נשים של השכר בפונקצית שוני כל איןא.תחילית: משכורת אותה וגברים לנשיםב.השכר: בפונקצית שיפוע אותו וגברים לנשיםג.

בין השוני כאשר נפרדות רגרסיות ושתי מורחבת רגרסיה בין הזהות הוכחתמוחלט. הוא הקטגוריות

ספציפיקציה שגיאות

חשובים. משתנים א. השמטתהוא: הנכון שהמודל הנח

בטעות: אומדים

רלונטיים לא משתנים ב. הוספתהוא: הנכון המודל כי הנח

הבאה: המשואה את בטעות אומדים כי הנח

( נותן:2) ממשואה של ( באומד1) משואה שהוא את שקובע הנכון המנגנון הצבת

25

ההפרדה יכולת את מחלישים ולכן חופש דרגות מאבדים אך באומדים הטיות אין כלומרהסטטיסטית

אקראיים רגרסוריםהיא: לאמוד רוצים אותה המשואה

מקרים: בשני אקראי. נדון אךבזה. זה תלויים לא ו א(

זה: במקרה

תלויה ונשנים חוזרים במדגמים האומד אקראיים, שונות המסבירים המשתנים כאשר שונות על לדבר אבל אקראיים. אפשר אלו המסבירים, שכן המשתנים של במימושפשוטה: המדגם. ברגרסיה בהינתן מותנה

ו בין תלות ב( ישזה: במקרה

: ו בין תלות יש כאשר עזר משתני בעזרת אמידהש: כךZ שקים הנח

26

( הוא:2) במשואה של העזר משתנה אומד

הולכות האומד של והשונות סופי. ההטיה בגודל מדגם לכל מוטה העזר משתנה אומד

,ימין: מצד השני באבר המונה שכן וגדל הולך שהמדגם ככל וקטנות

אסימפטוטית הולךלאפס. שוה שהוא ל עקיב. אומד קוראים אלו תכונות המקים לאומד

העקיבות קריטריון מדגם פי על זה פרמטר של האומד את ונסמל ב לאמוד רוצים אותו הפרמטר את נסמל T מגודל

אם: עקיב . האומד ב

לא שכן: א. הוא עקיב הוא תלויים לאU ןX בה רגרסייה של הפחותים הריבועים אומדילאפס. הולכת האומדים ב. שונות ו מוטה

דינאמיים מודלים החלטות וכאשר בעבר קיבלו שהם בערכים תלוי בהווה מקבלים שמשתנים הערך כאשר

ההחלטה( קיבלו את מבססים )שעליהם שמשתנים בערכים תלויות בהווה אופטימליותדינמי. הוא המודל בעבר

החלקית ההתאמה דוגמה: מודל רוחיות. ספציפית, שיקולי סמך על תירס של הרצוי המזרע שטח את בוחר חקלאי האפשרי שהשטח התירס. מאחר מחיר לפי נקבעת שהרוחיות נניח הפשטות לצורך

הכמות את לזרוע מידי באופן יכול הוא שאין יתכן החקלאי של ההון במבנה תלוי לזריעה שבכל לכך. נניח הדרוש הספציפי ההון את לו שאין כיון הרוח שיקולי סמך על הרצויה

ממוצע היא בפועל המזרע ושכמות חלקית היא לרצוי המידית ההתאמה שהוא מצב

27

(.2) במשואה מתואר זה דינמי הקודמת. קשר בעונה המזרע וכמות הרצוי של משוקללההתאמה. מקדם הואהרצוי, של המשקל של גודלו

דינמית. משואה ( היא4) . משואה ב תלוי ברגרסיה התלוי המשתנה . האקראית, ההפרעה היא זו במשואה

האקראית: בהפרעה ראשון מסדר סדרתי מתאם שההשפעה המשתנים של יותר גדול חלק כן יותר קצר התצפיות בין הזמן שאינטרול ככל

לתצפית. ולכן מתצפית משתנים לא האקראית מההפרעה חלק היא שלהם המשוקללת האקראית בהפרעה הבאה. השינוי התצפית של האקראית מההפרעה חלק מהוים הם

הינו זה שחלק השתנו. מניחם כןUמ חלק שהם המשתנים של אחר שחלק מכך נובענורמלית. פורמלית: בהתפלגות מפולג והוא סדרתית תלוי בלתי

הקראית. ההפרעה על הקלאסיות ההנחות את מקים כאשרשל התוחלת

( נקבל:1( ב)2) של מהצבה

ערכו: את שקובעת המשואה ( את1) במשואה במקום נציבונקבל:

התהליך: של בסופו נקבל כאלו חוזרות בהצבות

ב של המותנית התוחלת

( נקבל:1) ממשואה

שונות :

28

פיגורים: בכמה אקראיות הפרעות של משותפת שונות

עוקבות: הפרעות של המתאם מקדם

היא: לאמוד רוצים אותה שהרגרסיה עתה הנחהאקראית: בהפרעה סדרתי מתאם יש אך

לאU וX באם סדרתי מתאם בנוכחות גם מוטים לא הפחותים הריבועים אומדישכן: בזה זה תלויים

הסדרתי( המתאם מקיום מתעלמים )כאשר הפחותים הריבועים אומדי שונויותמוטות:

של האקראית, השונות בהפרעה הסדרתי המתאם מקיום מתעלמים כאשר

מחושבת הנכונה . השונותהבא: באופן מחושבת פשוטה ברגרסיה

כדלקמן:

סדרתי מתאם איתור (D_W:) הוא סדרתי מתאם לאיתור הסטטיסטי

29

שאין האפס השערת כנגד יותר חזקה עדות יש לאפס יותר קרוב הזה שהסטטיסטי ככלסדרתי. מתאם

ראשון מסדר סדרתי מתאם יש בה משואה לאמידת קוקרן אורקוט שיטת האקראית: בהפרעה

( ואמוד7) ב אלו אומדנים (. הצב6) ממשואה את ואמוד ל ניחוש עם התחללהתכנסות. עד חלילה וחוזר את

הוא המסבירים המשתנים אחד כאשר הפחותים הריבועים אומדי תכונותבפיגור. התלוי המשתנה

)המסקנות בפיגור התלוי המשתנה רק מופיע ימין מצד בו ביותר הפשוט המודל את נניחנוספים(: משתנים כוללים המסבירים המשתנים אם גם תופשות

הוא: של הפחותים הריבועי אומד

30

מוטה של הפחותים הריבועים אומד האקראית בהפרעה סדרתי מתאם אין כאשר

האיבר )שהוא בביטוי המונה שכןעקיב. הוא אך סופי מדגם בכל

וזו באוכלוסיה ושל של המשותפת לשונות אסימפטוטית )*( שואף במשואה השני לפני שקרו האקראיות בהפרעות רק תלוי ש כיון לאפס שווה.

מוטה של הפחותים הריבועים אומד האקראית בהפרעה סדרתי מתאם יש כאשר עקיב ואינו סופי מדגם בכל

בהפרעה סדרתי מתאם ( כשיש1) משואה של הפחותים הריבועים אומד:)) האקראית

) איןסופי במדגם גם מאפס שונה ימין מצד השני באבר שהמונה כיון עקיב אינו האומדבמונה!(. האברים בשני מופיע

שונה שונותדוגמאות שתי: ארצות( )או איזורים של ממוצעים הן התצפיותא.

הקלאסיות: ההנחות את מקימת בו האקראית וההפרעה נכון הבא המודל כי הנח

מריצים: ולכן הארצות של הממוצעים על נתונים בידינו יש

זו: במשואה

היא: ריאליים בערכים התצרוכת פונקציתב.

31

המשואה את הקלאסיות. אומדים ההנחות את , מקימת האקראית ההפרעה כי הנחהנומינליים: בערכים

: כי כללי באופן עתה הנח

הפחותים הריבועים )*( בשיטת את אומדים כאשר קורה מה)*( הם: של הפחותים הריבועים אומדי

לכן:אם מוטים לא ו הפרמטרים של הפחותים הריבועים אומדי Xו Uתלויים. לאכאשר הפחותים הריבועים אומדי של השונויות כאומדי המחושבות השונויות(

. מוטותהשונה( מהשונות מתעלמיםשונה שונות קיום איתור

המכניזם: )**( ידי על נקבעתU של שהשונות הוא שהחשד הנח ש שככל נראה מהציור אם והסק של כפונקציה את - ציר העין לפי איתורא.

שיש לכך עדות יש כן יותר. אם גדול של הערכים של העליון הגבול יותר גדול. עם שעולה שונה שונות

המדגם את . חלק של עולה סדר לפי התצפיות את - מיין קוונט גולדפלד מבחןב. הם של הערכים בו הראשון שווה, המדגם גודל בני מדגמים תתי לשני המלא

הרגרסיה את הגבוהים. אמוד הם של הערכים בו השני והמדגם הנמוכים הערכים אחד האלו. בכל המדגמים שני עבור בנפרד הפחותים הריבועים )*( בשיטת

32

הנאמדות הסטיות ריבועי סכום בהתאמה שהם את חשב מהמדגמיםגבוהים. ערכי בו ובמדגם נמוכים ערכי בו במדגם

דרגות עםF בהתפלגות מפולג הסטטיסטי שונה שונות שאין האפס השערת תחת

הפרמטרים מספר פחות מדגם תת בכל התצפיות למספר השוים ובמכנה במונה חופש

התפלגות מטבלת הנלקח מ גדול אם הזו האפס השערת את הנאמדים. דוחים

Fהמתאימות. החופש דרגות עבור) הקלאסיות ההנחות את מקימות ההפרעות בה )*(למשואה של טרנספורמציה

Weighted Least Squares :)

מוטות. לא האומדים שונויות וכן מוטים ( לא) המשואה של הפחותים הריבועים אומדי

סימולטניות משואותהזיהוי בעית המשתנים של עיתיות סדרות מנתוני המבנה של הפרמטרים את לאמוד שרוצים נניח

אם היא הפתרון. השאלה משואות את לאמוד תמיד ניתן אלו הרלבנטיים. מנתונים במבנה. התשובה הפרמטרים את לאמוד מאפשרים מיצר הכלכלי שהמודל הנתוניםלזיהוי. הסדר כלל מתקים אם כן היא זו לשאלה

לזיהוי הסדר כלל

שאינם אך במערכת המופיעים האקסוגנים המשתנים מספר כאשר מזוהה משואה בה שמופיעים האנדוגניים המשתנים למספר שווה או במשואה, גדול מופיעים

.1 פחות

מדויק זיהוי

33

האקסוגנים המשתנים כלומר: מספר שויון יש הסדר בכלל כאשר מתקים מדויק זיהוי האנדוגניים המשתנים למספר שווהבמשואה, מופיעים שאינם אך במערכת המופיעים.1 פחות בה שמופיעים

ביתר זיהוי

האקסוגנים המשתנים כלומר: מספר שויון אי יש הסדר בכלל כאשר מתקים ביתר זיהוי האנדוגניים המשתנים ממספר גדולבמשואה, מופיעים שאינם אך במערכת המופיעים.1 פחות בה שמופיעים

זיהוי איןשלה. הפרמטרים את לאמוד ניתן לא מסוימת במשואה מתקים לא הסדר כלל אם

מזוהה משואה אמידת יש ימין שמצד כיון עקיבים ואינם מוטים המבנה משואת של הפחותים הריבועים אומדי

הסימולטניות בגלל משואה אותה של האקראית בהפרעה שתלויים אנדוגניים משתניםהאנדוגניים. המשנים של

עקיבה אמידה

.ILS- ישירה הלא הפחותים הריבועים שיטת

הקינסיאני המודל את ניקח . כדוגמה מדויק הזיהוי כאשר רק לשימוש ניתנת זו שיטה הזהות משואת והשניה התצרוכת משואת היא משואות. הראשונה שתי בן הוא הפשוט

הלאומית: ההכנסה של

. בדיוק ( מזוהה 1 ) משואהאקסוגני. משתנה הוא ו אנדוגניים משתנים הם ו(. מקבלים:1) ( ב2) בהצבת מושגת האנדוגני למשתנה הפתרון משואת

תלויים לא ו הפחותים. אם הריבועים בשיטת לאמוד ( אפשר4) המשואה אתכי: יודעים ( אנו3) ועקיבים. ממשואה מוטים לא אומדים נקבל

34

: של מהאומד את ניתן, איפה, לאמוד

המשואה לפי עקיב הוא , אבל ב לינארית לא פונקציה הוא שכן מוטה האומדלמעלה.

. 2SLS- שלבים בשני הפחותים הריבועים שיטת

שלבים בשני הפחותים הריבועים שיטת

ביתר. המזוהות משואות גם זו בשיטה לאמוד כללית. ניתן זו שיטההבאות: וההצע הביקוש משואות הן לאמוד רוצים אותן דוגמה: המשואות

מזוהה. ( לא2) בדיוק. משואה ( מזוהה1) משואה( הן:2) ( ו1) ממשוואות )המורכב המבנה ( שלReduced Form) הפתרון משואות

כאשר:

)*(

. בתצפית המשקעים כמות את מסמל

השלבים שני שיטת של א שלב

ש כיון ועקיבים מוטים לא אומדים נותנת הפחותים הריבועים ( בשיטת4) משואה אמידתתלויים. לא ו

כאשר:

35

שלבים בשני הפחותים הריבועים שיטת של ב שלב

את הצב

לאמוד. נקבל: רוצים אותה1 במשואה

אפס: היא . תוחלתההיא: זו במשואה האקראית ההפרעה .

(7) במשואה של הפחותים הריבועים . אומד אחד מסביר משתנה ( יש7) במשואההוא:

ש: כיון ( נובע8) במשואה האחרון השויון

הראשון. השלב של הנורמליות מהמשואות שנובע כפיכי: ( נובע6) ממשואה

לכן:

( ונקבל:8) ( במשואה10) את נציב

(. נוסחתו5) משואה של הפשוטה ברגרסיה של הפחותים הריבועים אומד הוא היא:

( מקבלים:11( ב)12) מהצבת

36

כי: ( נובע13) ממשואה

אפס. )באוכלוסיה( היא ושל של המשותפת שהשונות כיון זאת

העזר משתני ושיטתTSLS בין הזהות

(1) הביקוש במשואתP עבור העזר עזר. משתנה משתנה אומד בעצם ( היא13) משואהעזר: למשתנה הנדרשות התכונות שתי את מקיםW ש , כיוןW הוא

הוא: הזה העזר משתנה אומד

את ( מקבלים1) משואה את אותו, כלומר שיוצר המכניזם את במקום כשמציביםשלבים. בשני הפחותים הריבועים משיטת ( הנובע13) ב שמופיע הפירוקעזר. משתנה בעזרת לאמידה זההTSLS כלומר

ריקורסיויות מערכותהסופרמרקט מודל

המחירים את הירקות מחלקת מנהל קובע הבא המכירות יום לקראת בערב למחר.

נתון. במחיר קונים הצרכנים היום במשךעל חושב שהוא ומה המדפים מצב לפי למחר המחיר "הירקן" את קובע בערב

וכו. הסיטונית הירקות הספקתהמודל: משואות

הן האלו ( . המשואותpredetermined) מראש קבוע ימין מצד המשתנה משואה בכל מהמשואות אחת כל ולכן סימולטניות כאן אין זו(. לכן אחר זו )נקבעות ריקורסיביות

הישירה. הפחותים הריבועים בשיטת לאמידה ת ניתנ

37

ריקורסיביות. יותר הינן המשואות יותר קצר נתונים אוספים שבו הזמן שאינטרוול ככלמלאה: ריקורסיביות שבה מערכת

אקסוגניים ( ושניהם2) במשואה ל אקסוגני (. הוא1) במשואה נקבע זו במערכת אם מוטים בלתי לחוד משואה כל של הפחותים הריבועים (. אומדי3) במשואה ל

לא האקראיות ההפרעות שלשת ו האקראיות בהפרעות תלוים לא האקסוגנים המשתניםבזו. זו תלויות

סימולטניים: בלוקים של לחלוקה הניתנת אנדוגנית מערכת

(. הם2) ( ו1) במשואות סימולטנית נקבעיםמערכות. תת שתי יש זו במערכת (. 4) ( ו3) במשואות סימולטנית שנקבעים ו ל אקסוגניים

38