МАТЕМАТИЧЕСКОЕ

МОДЕЛИРОВАНИЕ

И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

Трудышестой Всероссийской научной

конференции с международнымучастием

1–4 июня 2009 г.

ЧАСТЬ 2

С а м а р а 2 0 0 9

Федеральное агентство по образованиюГосударственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования«Самарский государственный технический университет»Инженерная академия России (Поволжское отделение)

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

Трудышестой Всероссийской научной

конференции с международнымучастием

1–4 июня 2009 г.

ЧАСТЬ 2

СЕКЦИЯ

«Моделирование и оптимизациядинамических систем и систем

с распределенными параметрами»

С а м а р а

Самарский государственный технический университет

2009

УДК 517.9–517.956М33

Математическое моделирование и краевые задачи:

М33 Труды шестой Всероссийской научной конферен-ции с международным участием. Ч. 2: Моделирование иоптимизация динамических систем и систем с распреде-ленными параметрами. — Самара: СамГТУ, 2009. — 223 с.:ил.

ISBN 978–5–7964–1255–8

Представлены материалы докладов по секции «Моделиро-

вание и оптимизация динамических систем и систем с распре-

деленными параметрами». В публикуемых материалах отраже-

ны вопросы оптимизации и управления сложными системами

и технологическими процессами, приведены постановки задач

для динамических систем с распределенными параметрами и

методы их решения. Рассмотрен ряд прикладных задач и их

математические модели в различных областях научных иссле-

дований.

УДК 517.9–517.956

Редакционная коллегия:Д-р. физ.-мат. наук проф. В. П. Радченко (отв. редактор),д-р. физ.-мат. наук проф. О. А. Репин,д-р. техн. наук проф. Э. Я. Рапопорт,

канд. физ.-мат. наук доцент М. Н. Саушкин (отв. секретарь)

ISBN 978–5–7964–1255–8

c© Авторы, 2009

c© Самарский государственный

технический университет, 2009

Основные направления работы конференции:– Секция 1 «Математические модели механики, прочности

и надёжности элементов конструкций». Руководитель: Рад-ченко В.П. (Самара, СамГТУ).

– Секция 2 «Моделирование и оптимизация динамических си-стем и систем с распределенными параметрами». Руководи-тели: Рапопорт Э.Я., Дилигенский Н.В. (Самара, СамГТУ).

– Секция 3 «Дифференциальные уравнения и краевые зада-чи». Руководители: Моисеев Е.И. (Москва,МГУ), Репин О.А.(Самара, СамГТУ).

– Секция 4 «Информационные технологии в математическоммоделировании». Руководитель: Батищев В.И. (Самара,СамГТУ).

Программный комитет конференции:Калашников В.В. (председатель) • Радченко В.П.(зам. предсе-дателя) • Рапопорт Э.Я. (зам. председателя) • Репин О.А. (зам.председателя) • Саушкин М.Н. (ученый секретарь) • Андреев А.А.• Астафьев В.И. • Батищев В.И. • Дилигенский Н.В. • Жега-лов В.И. • Жданов А.И. • Заусаев А.Ф. • Килбас А.А. • Ко-жанов А.И. • Кузнецов П.К. • Моисеев Е.И. • Михеев Ю.В.• Нахушев А.М. • Никитенко А.Ф. • Пулькина Л.С. • Седлец-кий А.М. • Соболев В.А. • Сойфер В.А. • Солдатов А.П. • Сос-нин О.В. • Стружанов В.В. • Федотов В.П. • Филатов О.П. •Цвелодуб И.Ю.

Базовый организационный комитет конференции:Радченко В.П. (председатель) • Рапопорт Э.Я. • (зам. председа-теля) • Репин О.А. (зам. председателя) • Заусаев А.А. (учёныйсекретарь) • Андреев А.А. • Зотеев В.Е. • Кузнецов П.К. • Лер-нер М.Е • Михеев Ю.В. • Огородников Е.Н. • Саушкин М.Н.

Контактная информация:

Почтовый адрес:

Оргкомитет конференции ММ–2009.Каф. Прикладной математики и информатики,Самарский государственный технический университетул. Молодогвардейская, 244,Самара, 443100.

Телефон: (846) 337–04–43.

E-mail: radch@samgtu.ru.

URL: http://matmod.ucoz.ru.

Содержание

Астаф у р о в В.И. Поиск математической закономерности, состав-ляющей основу построения фундаментальных иерархическихсистем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Ба з а р о в А.А., Л атып о в Р. З. Идентификация процессов ин-дукционного нагрева как объектов с рапределeнными пара-метрами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Бо г е р А.А., Р яжс к их В.И., С лю с а р е в М.И., Р я б о в С. В.Решение задачи о совместной тепловой и концентрационнойконвекции у бесконечной вертикальной поверхности . . . . . . 16

Бо г о р ош А.Т. Пеленгационная модель теневой экономики на ос-нове чувствительных экономических матриц . . . . . . . . . . 18

Бо р и с о в а С.П., С амыл ин а К.А. Математическое прогнозиро-вание налоговых поступлений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Ва с и л ь е в А.А., Ми р ошни ч е н к о А. Е. Многополевое модели-рование динамики нелинейных коротковолновых структурныхпереходов волнового типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Га в р и л о в а А.А., Л ущик о в Н.В., С а п ч у к Д.Н. Методика непа-раметрического многокритериального оценивания эффектив-ности генерирующей системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Га в р и л о в В.К. Математические модели влияния структуры про-изводства на ТЭЦ региональной энергосистемы . . . . . . . . 30

Га в р и л о в В.К. Системная эффективность комбинированной вы-работки энергии территориальной генерирующей компанией . 33

Ги рш Д.С., Л а д оша Е.Н., Х о л о д о в а С.Н. Генетические алго-ритмы в прикладной физико-химической кинетике . . . . . . 36

Гр е к о в а А.Н. Математическое моделирование магнитных полейэлектрических машин с постоянными магнитами . . . . . . . . 39

Данил ушки н А.И., Ни китин а Е.А. Математическая модельпроцесса индукционного нагрева ферромагнитной заготовкив бегущем магнитном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Де с я е в Е. В. О стабилизации орбитального движения космиче-ского аппарата . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Желту хин А.А. Методика наладки погодного компенсатора поданным коммерческого учeта тепловой энергии . . . . . . . . . 48

З а й ц е в В. В., К а р л о в А. В. (мл), Т е л е г и н С.С. ДВ-модельсистемы Вольтерра с запаздыванием . . . . . . . . . . . . . . . 52

З а р e ц к а я М.В. О решении краевых задач геоэкологии . . . . . 55

Иль я с о в М.Х., Ал и е в Н.А., Ал и е в А.М. Об одном новомметоде решения задачи для систем уравнений в частных про-изводных механики жидкостей и газов . . . . . . . . . . . . . . 58

Кал е д и н О.Е., С у х а р е в Л.А. Анализ поведения одной механи-ческой системы на основе статистических данных . . . . . . . 59

Кир пи ч е н к о в а Н.В. Критерий самовозбуждения вертикаль-ных колебаний при стационарном переносном движении элек-тродинамического подвеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Кир пи ч е н к о в а Н.В. Стохастическая накачка энергии верти-кальных колебаний электродинамического подвеса флуктуа-циями тока в катушке магнитной опоры . . . . . . . . . . . . . 70

Ков а л e в М.Д. Подсчeт числа энергетических уровней квантовойчастицы в кусочно постоянном потенциальном поле . . . . . . 73

Кор с у н М.М., Р о я к М.Э. Вычислительные схемы моделирова-ния настационарных задач электромагнетизма . . . . . . . . . 76

Куз н е ц о в В.А., К у з н е ц о в В. В. Об осреднении стационарныхслучайных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Ла д оша Е.Н., Цым б а л о в Д.С., Яц е н к о О.В. Новые методыи оценки влияния запусков ракетно-космической техники наозоновый слой земли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Леж н e в А.В. Оптимизация процессов абсорбционной осушкигаза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Леж н e в М.В. Задача обтекания плоского профиля с источника-ми на границе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Лел e в к и н а Л. Г. Оптимизация процесса индукционного нагреваобсадной колонный нефтяной скважины в горячем режиме . 95

Лютахи н Ю.И. Математическое моделирование и координатныепреобразования магнитных параметров сред . . . . . . . . . . 98

Лютахи н Ю.И., Ры би н с к и й В.А. Магнитная характеристикаи магнитные параметры изотропной ферромагнитной среды . 101

Мам е д о в а Т.Ф. О задаче стабилизации программных движенийпо части переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Мел ьн и к о в Н.Б. Непрерывная деформация модели экономи-ческого роста с перекрывающимися поколениями к моделиРамсея . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Ми г у н о в А.Л. Моделирование работы измерительного устрой-ства тока с индукционным первичным преобразователем . . . 110

Монтл е в и ч В.М., Б о р о д и н о в а И.А. Решение некоторых мно-гопродуктовых задач с взаимозаменяемыми товарами . . . . . 112

Мощен с к а я Е.Ю., Г а р к ушин И.К. Математическое модели-рование точек нонвариантного равновесия четырехкомпонент-ных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Муким б е к о в М.Ж. Моделирование плановой задачи в освоенииместорождений вторичным методом . . . . . . . . . . . . . . . 120

Муким б е к о в М.Ж. О процессе добычи аномальной нефти в мно-гопластовой системе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Мур омц е в Н.Н., Р е д ни к о в С.Н. К вопросу применимости ги-потез турбулентности к расчету течения жидкости в щелевыхканалах при высоких давлениях . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

6

Ник о л ь с к и й Д.Н. Об эволюции границы раздела различных жид-костей в неоднородных пористых средах . . . . . . . . . . . . . 129

Опа р и н В.Б., П етр о в с к а я М.В., В и н о г р а д о в К.Н., К о -с а р е в а Е.А. Моделирование движения заряженных частицв катодной области тлеющего разряда . . . . . . . . . . . . . . 132

Оси п о в Ю.Р., Р ожин С.П., О с ип о в С.Ю., К уто в о й К.В.,В о л к о в а С. В. Аналитический метод решения краевой за-дачи нестационарной теплопроводности при индукционнойсушке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Петр о в Д.В. Оптимизация процессов работы динамической си-стемы изготовителей и потребителей продукции . . . . . . . . 139

По с ашк о в М.В., Д и ли г е н с к и й Н.В. Методика оцениванияэнергоресурсообеспеченности населения области . . . . . . . . 142

По с ашк о в М.В. Комплексный сравнительный анализ экологиче-ской эффективности строительства автономных энергоисточ-ников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

Пр ошин И.А., Т има к о в В.М., С а п у н о в Е.А., С а в е л ь е в А. В.Имитационная модель законов управления динамическим стен-дом авиационного тренажeра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Пр ошин И.А., Т има к о в В.М., С а в е л ь е в А.В., С а п у н о в Е.А.Моделирование движения динамического стенда авиационно-го тренажeра с компенсацией нагрузки . . . . . . . . . . . . . 152

Са в в и н а С.А., Г о л о в ашки н Д.Л. Методика формированияпадающей волны при разностном решении волнового урав-нения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

Сем ё н о в а И.В. Поле направленного излучателя в трeхслойнойобласти . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

Си г о в а О.Е., К р отк о в Е.А. Моделирование процесса подго-товки газа к транспортировке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

Симон о в П.М., Чи стя к о в А.В. Вычислительные проблемыв бесселевской модели массовой кристаллизации . . . . . . . . 165

Си р о ч е н к о В.П., М о р о з о в а М.В. Компьютерное моделиро-вание формирования водоизоляционного экрана в нефтяномпласте . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

Си р о ч е н к о В.П., См а г и н а Е.А. Численное моделирование те-чений в водоeмах с учeтом ветровых напряжений . . . . . . . 172

Cми рн о в Н.В., Х у д я к о в Д.В. О стоимостном представленииуправляемой динамической модели Леонтьева . . . . . . . . . 175

Cми рн о в Н.В., Шах о в Я.А. Многопрограммные управления водном классе квазилинейных систем . . . . . . . . . . . . . . . 178

Cми рн о в а Л.Н., Ф р о л о в А.В. Математическая модель выборадавления в камере сгорания жидкостного ракетного двигателя 181

Cо л о в ь e в а И. В. О позиционной оптимизации в одной нелиней-ной задаче многопрограммного управления . . . . . . . . . . . 184

7

Стеф анюк Е.В., К у д и н о в И.В., Л а р г и н а Е. В. Построениеаналитических решений уравнений динамического и тепловогопограничных слоев . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

Cу лим о в В.Д., Шка п о в П.М. Локальный поиск со сглажива-ющей аппроксимацией в гибридном алгоритме глобальной оп-тимизации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

Су лта н о в М., А б д р а хма н о в К., А лтын б е к о в Ш. Вычис-лительно-информационные технологии и методы решения се-точных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

Туп он о с о в а Е.П. Прогнозирование выпуска специалистовСамГТУ до 2013 года . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

Цун И.М. Моделирование задачи Стефана для термически тонко-го жидкого затвердевающего цилиндра . . . . . . . . . . . . . 203

Четы ри н А.И., Ч е р в я к о в М.В., Ч е р в я к о в В.М. Уточнен-ная модель течения среды в каналах роторного аппарата . . . 205

Чуб ато в А.А., К а р ма з и н В.Н. О выборе параметра регуля-ризации в задаче экспресс-контроля за источником загрязне-ния атмосферы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

Шакшин В.П. Статистическая модель относительных фазовыхпроницаемостей по данным нормальной эксплуатации объектаразработки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

Шамин Р.В. Волны на воде: моделирование и статистические ха-рактеристики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

Шляхин Д.А. Динамическая задача электроупругости для пье-зокерамического цилиндра с окружной поляризацией . . . . . 215

Шляхин Д.А. Динамическая задача электроупругости для длин-ного радиально поляризованного пьезоцилиндра . . . . . . . . 218

Именной указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

УДК 51-71:539.1.01

В.И. Астафуров

ПОИСК МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЗАКОНОМЕРНОСТИ,СОСТАВЛЯЮЩЕЙ ОСНОВУ ПОСТРОЕНИЯ

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ИЕРАРХИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Поиск функциональной зависимости, описывающей взаимо-связь параметров фундаментальных взаимодействий, является од-ной из принципиальных проблем естествознания.

Новейшие открытия в области космологии показывают, чтофизический вакуум превосходит по плотности энергии все другиеформы космической материи и управляет динамикой космологи-ческого расширения [1]. Логично предположить, что первопричи-ну материального самодвижения и законы построения иерархиче-ских систем следует искать в структуре физического вакуума.

В настоящее время моделирование континуума Вселенной ос-новано на концепции четырехмерного пространства-времени. Си-стема аксиом приписывает пространству-времени определеннуюметрику, топологическую структуру, связность. С геометрией про-странства-времени связывают гравитационные эффекты.

Однако анализ показывает, что время, в отличие от простран-ства, не является первичным свойством материи [2, 3]. Время —внешняя характеристика движения. Вследствие этого, объедине-ние пространства и времени в единый континуум следует счи-тать некорректным действием, а представление о четырехмерномпространстве-времени как о реально существующем материаль-ном континууме – не соответствующим физической реальности.

Для построения непротиворечивой модели материального кон-тинуума необходимо выявить первичное фундаментальное свой-ство материи, которое в органическом единстве с пространствомсоставляет структурную основу материального континуума и ис-точник самодвижения материи.

Анализ естественнонаучных данных показывает, что во всехматериальных процессах, явлениях и структурах, без исключе-ния, проявляется тем или иным образом фундаментальное свой-ство материи, которое назовем «электромагнитным». В явном ви-де оно проявляется в формах электрических зарядов, магнитно-го, электрического и электромагнитного полей. Очевидно, что это

9

свойство является первичным фундаментальным свойством мате-рии. В свете данного вывода материальный мир следует рассмат-ривать как пространственно-электромагнитный континуум.

Примем эту концепцию за основу, и будем рассматривать фи-зический вакуум как пятимерный волновой векторный контину-ум, в котором пространственный вектор R характеризует про-странство, а электромагнитный вектор Q характеризует электро-магнитное свойство материи [4]. Число составляющих простран-ственного вектора (fR) соответствует мерности наблюдаемого фи-зического пространства. Число составляющих электромагнитно-го вектора (fQ) соответствует двум видам реально наблюдаемыхэлектрических зарядов и магнитных полюсов. Материальный миррассматривается также как совокупность взаимосвязанных осцил-ляторов, образующих иерархические структуры. Наименьший, или«абсолютный», осциллятор является элементарной ячейкой физи-ческого вакуума и составляет его структурную основу.

Применим данную модель для поиска функциональной зави-симости, связывающей параметры фундаментальных иерархиче-ских структур. Построение такой зависимости и ее соответствиеэкспериментальным данным будет свидетельствовать о правиль-ности используемой модели.

Примем в первом приближении, что вектор R адекватно ха-рактеризует радиус осциллятора. Осцилляторы, определяющиекачественно отличающиеся уровни материального взаимодействия,будем называть фундаментальными осцилляторами.

Пусть среднее значение модуля пространственного вектора аб-солютного осциллятора равно Rабс. Ограничим верхний пределосциллирования этого вектора значением

R0 = Rабс ·K0, (1)

где K0 — константа, характеризующая материальный континуум(K0 =

fR

fQ

).

Выразим связь абсолютного и фундаментальных осциллято-ров зависимостью

Ri = Rабс · Fi, (2)

где Ri — радиус i-того фундаментального осциллятора; Fi — неко-торый оператор, являющийся функцией числа i. Последователь-

10

ность чисел i ограничена условием: i 6 (fR + fQ).Оператор Fi имеет вид:

Fi = Kf i

R0 . (3)

В результате получаем следующее уравнение, связывающеерадиусы абсолютного и фундаментальных осцилляторов:

Ri = Rабс ·Kf i

R

0 . (4)

Каждому фундаментальному осциллятору может быть постав-лено в соответствие определенное фундаментальное взаимодей-ствие.

Расчетные значения параметров Ri находятся в хорошем со-гласии с экспериментальными данными для известных фундамен-тальных объектов и взаимодействий.

Так, из условия R3 =λкомпт

2, где λкомпт — комптоновская дли-

на волны электрона, получаем Rабс = 2,135 · 10−17 м. Подставимв уравнение (4) численные значения параметров K0, fR и Rабс.При изменении i от 1 до 5 получаем численные значения пара-метров Ri (в метрах): R1 = 7,206 · 10−17, R2 = 8,209 · 10−16, R3 ==1,213 · 10−12, R4 = 3,916 · 10−3, R5 = 1,317 · 1026. Значениюi = 2 соответствует сильное взаимодействие и фундаментальныйосциллятор — нуклон. Экспериментальное значение радиуса нук-лона равно 8,15 · 10−16 м [5], расчетное значение — 8,21 · 10−16.

Значению i = 3 соответствует электромагнитное взаимодей-ствие и фундаментальный осциллятор, диаметр которого равенкомптоновской длине волны электрона.

Значению i = 4 соответствует слабое взаимодействие и фун-даментальный осциллятор с расчётным радиусом R4 = 3, 916××10−3 м. Этот осциллятор должен генерировать электромагнит-ное излучение с длиной волны 2,2 мм, что согласуется с результа-тами измерения спектра космического микроволнового излучения(наблюдаемый максимум 2 мм) [1, c. 32].

Значению i = 5 соответствует гравитационное взаимодействиеи фундаментальный осциллятор — Метагалактика. Согласно со-временным астрономическим наблюдательным данным размерМетагалактики составляет 1026 м [1, c. 15], расчетное значение —1,32 · 1026 м.

11

Значению i = 1 соответствует субнуклоновое взаимодействие ифундаментальный осциллятор, являющийся компонентом струк-туры нуклона. Наличие в структуре нуклон точечных квазисво-бодных заряженных частиц было обнаружено экспериментально.Однако данные о размере этих частиц отсутствуют.

Заключение. Получена функциональная зависимость, свя-зывающая параметры фундаментальных взаимодействий со свой-ствами физического вакуума и свидетельствующая о единстве ма-териального мира.

1. Архангельская И.В., Розенталь И.Л., Чернин А.Д. Космология и фи-зический вакуум. — М.: КомКнига, 2006. — 216 с.

2. Георгиева М.И. О физической реальности пространственно-временногоконтинуума / В сб.: ВАК–2007 (Всерос. астроном. конф.). — Казань: КГУ,2007. — C. 416–418.

3. Астафуров В.И. О физическом смысле математических моделей, объ-единяющих пространство – время в единую сущность / В сб.: Современ-

ная математика и математическое образование, проблемы истории и

философии математики: Тр. международн. научн. конф. — Тамбов: Изд-во Першина Р.В., 2008. — C. 83–86.

4. Астафуров В.И. Новая математическая модель вакуума и ее возмож-ные физические приложения / В сб.: Современная математика и мате-

матическое образование, проблемы истории и философии математики:Тр. международн. научн. конф. — Тамбов: Изд-во Першина Р.В., 2008. —C. 178–181.

5. Мухин К.Н. Экспериментальная ядерная физика: Физика элементарыхчастиц. — М.: Энергоатомиздат, 1983. — Т. 2.

ФГУП «Научно-технический центр радиационно-химической

безопасности и гигиены» ФМБА России,

123182, г.Москва, ул. Щукинская, 40.

vastafurov@mail.ru

12

УДК 621.365

А.А. Базаров, Р. Р. Латыпов

ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПРОЦЕССОВ ИНДУКЦИОННОГОНАГРЕВА КАК ОБЪЕКТОВ С РАПРЕДЕЛEННЫМИ

ПАРАМЕТРАМИ

Тепловые процессы в устройствах индукционного нагрева опи-сываются дифференциальными уравнениями в частных произ-водных, характерными для систем с распределенными параметра-ми (СРП). В области расчетов температурных полей существуетмногообразие аналитических и численных методов. Аналитиче-ские методы возникли гораздо раньше и позволяют обойтись бо-лее скромными вычислительными средствами для расчета.В то же время ни аналитические, ни численные методы не поз-воляют непосредственно создать математические модели, удоб-ные для решения задач синтеза систем управления. Особенностьюаналитических выражений для расчета температуры является то,что все входящие в него компоненты должны быть заранее ма-тематически описаны. Любое изменение мощности или условийтеплообмена можно учесть только путем временной дискретиза-ции, при этом конечное состояние температурного поля должнопередаваться в качестве исходного для следующего шага. Такойподход проблем не вызывает, однако наличие процедуры инте-грирования по пространственной области не позволяет перейтииз области действительных чисел к передаточным функциям.

Численные методы в отличие от аналитических строятся надискретных моделях как в пространстве, так и во времени, поэто-му в их натуральном виде они мало пригодны для перехода к си-стемам с сосредоточенными параметрами (ССП). Между тем, ещев работе [1] показана возможность использования численной мо-дели для аппроксимации СРП системой с сосредоточенными па-раметрами и построением на базе аппроксимирующей модели оп-тимального управления путем решения уравнения Риккати. Приэтом существует возможность использования дискретной во вре-мени модели.

Изначально СРП является бесконечномерной. Поэтому пере-ход к конечномерной системе необходимо осуществлять, стремясьсохранить основные динамические свойства объекта и точность

13

модели. Известно, что уменьшение размерности векторов изме-рения и управления приводит к снижению устойчивости систе-мы. С другой стороны, свойства системы зависят от способовуправления процессом нагрева, уровня мощности и т.д. Напри-мер, при нагреве заготовки внешними источниками за счет из-лучения или конвекции, а также индукционным способом низкойинтенсивности, во многих случаях вполне допустимо представитьобъект в виде одномерного сосредоточенного звена. В противопо-ложность этой ситуации имеются системы с высокоинтенсивнымнагревом, обусловливающим значительные динамические гради-енты температур. При выборе шага пространственной дискрети-зации необходим учет еще одного фактора: сложность осуществ-ления непосредственного измерения температуры с помощью дат-чиков и необходимость достаточной информации приводят к ис-пользованию различных систем оценивания состояния, требую-щих значительных машинных ресурсов. Если в некоторых случа-ях удается обойтись аналитическими моделями, то для объектовсложной геометрической формы приходится опираться на числен-ные методы. Учитывая все вышеизложенные замечания, можнопредложить следующий алгоритм формирования аппроксимиру-ющей дискретной в пространстве модели.

1. Минимальный шаг пространственной дискретизации опре-деляется исходя из сравнения точного решения и кривых распре-деления температуры при разных шагах дискретизации. Отклоне-ние температуры, укладывающееся в заданную точность нагрева,позволяет принять рассматриваемый вариант в качестве приемле-мого. Нужно учесть, что при индукционном нагреве поверхност-ный слой, в котором выделяется мощность внутренних источни-ков тепла, следует принять равным глубине проникновения тока.Таким образом, имеет место переменный шаг дискретизации.

2. В качестве модели можно принять два варианта в зависимо-сти от назначения. В случае использования расчетной модели длясинтеза оптимального многомерного регулятора возможно приме-нение адаптированной конечно-элементной формулировки

d Tdt

= [A] · T + [B] · F .

14

Здесь приняты следующие обозначения:

[A] =[K]

[C]= [C]−1 [K] ; [B] =

1

[C]= [C]−1 .

[K], [C] — матрицы теплопроводности и теплоемкости, F— век-тор источников тепла.

Такой подход обладает высокой точностью, хотя и требует зна-чительных машинных ресурсов.

Для систем управления, использующих модель процесса в кон-туре управления, более экономичным, позволяющим выполнятьрасчеты в реальном времени, является подход, построенный натепловых аналогах RC-цепочек [2, 3]. Это позволяет учесть на ко-личественном уровне все физические процессы, протекающие всистеме «индуктор – загрузка – окружающая среда». Исследова-ния показали, что в качестве элементарных ячеек эффективноприменение интегрирующих звеньев. Комбинация стандартныхэлементов таких программных пакетов, как Simulink и специали-зированных программ для управляющих машин семейства Scada,позволяет легко реализовать моделирование процессов теплопро-водности, теплообмена конвекцией и излучением и др. Эти особен-ности позволяют обойтись при создании модели без дополнитель-ных программ. Кроме того, процесс расчета состояния объектана модели очень экономичен. Недостатком его является плохаяприспособленность к задачам синтеза.

1. Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. —М.: Мир, 1977. — 650 c.

2. Базаров А.А. Моделирование процесса теплопроводности для задач син-теза управления в среде MATLAB// Вестник Сам. гос. техн. ун-та.

Сер. Техн. науки, 2005. — 33. — C. 7–11.3. Филин В.А., Карбышев Д.В. Расчёт температурного поля картона (бу-

маги) в производстве гофрированного картона // Целлюлоза, бумага и

картон, 2000. — 3–4. — C. 34–36.

Кафедра электроснабжения промышленных предприятий,

Самарский государственный технический университет;

443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

leviy19@yandex.ru

15

УДК 517.958:[536.2+ 539.219.3]

А.А. Богер, В.И. Ряжских, М.И. Слюсарев, С.В. Рябов

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О СОВМЕСТНОЙ ТЕПЛОВОЙИ КОНЦЕНТРАЦИОННОЙ КОНВЕКЦИИ

У БЕСКОНЕЧНОЙ ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Рассмотрен объём ньютоновской жидкости с растворённой вней примесью, который ограничен, например слева, бесконечнойвертикальной плоскостью. В начальный момент времени темпера-тура и концентрация примеси на стенке и в жидкости однородныи составляют t0 и C0 соответственно. Затем одновременно темпе-ратура и концентрация на стенке ступенчато изменяются до зна-чений tw и Cw и поддерживаются постоянными в ходе всего про-цесса. Из-за температурного и концентрационного напоров вблизистенки возникает течение раствора, которое исчезает с наступле-нием теплового равновесия и насыщением примесью. За началокоординат выбрана произвольная точка на плоскости и ось ох на-правлена перпендикулярно ей в сторону раствора. Так как дав-ление в данной задаче можно считать постоянным, то уравненияОбербека—Буссинеска записаны в следующем виде:

∂V

∂θ=

∂2V

∂X2 + T − C, (1)

∂T

∂θ= Pr−1 ∂

2T

∂X2, (2)

∂C

∂θ= Sc−1 ∂

2C

∂X2, (3)

V (X, θ) = V (0, θ) = V (∞, θ) = 0, (4)

T (X, 0) = V (∞, θ) = 0; T (0, θ) = 1, (5)

C (X, 0) = C (∞, θ) = 0; C (0, θ) = Bs, (6)

гдеX = xx ; θ = τ

τ ; V = υυ ; T = t−t0

tw−t0; C = γ c−c0

β(tw−t0) ; x = 3

√ν2

βg(tw−t0) ;

τ = 3

√ν

[βg(tw−t0)]2; υ = 3

√νβg (tw − t0); Bs = γ cw−c0

β(tw−t0) ; Pr = νa ; Sc =

= νD ; τ, x— текущее время и координаты; υ, t, c— локальная ско-

рость, температура и концентрация примеси; ν — кинематическая

16

вязкость жидкости; β, γ — коэффициенты температурного и кон-центрационного расширения жидкости; g— ускорение силы тяже-сти; a, D— коэффициенты температуропроводности и диффузиипримеси в растворе.

Решения уравнений (2)–(3) в силу их несопряжённости с (1)имеют вид:

T (X, θ) = erfc

(1

2

√Pr

θX

); C (X, θ) = Bs · erfc

(1

2

√Sc

θX

). (7)

После подстановки выражений (7) в (1) с учётом условий (4) ме-тодом интегрального преобразования Лапласа по независимой пе-ременной получено аналитическое решение для нестационарногогидродинамического поля:

V (X, θ) = − Bs

1 − Sc

[(θ +

1

2ScX2

)erfc

(1

2

√Sc

θX

)−

−√

Scθ

πX exp

(−ScX2

4θ

)]+

1

1 − Pr×

×[(θ +

1

2PrX2

)erfc

(1

2

√Pr

θX2

)erfc

(1

2

√Pr

θX

)−

−√

Pr θ

πX exp

(−PrX2

4θ

)]+

(Bs

1 − Sc− 1

1 − Pr

)×

×[(

θ +1

2X2

)erfc

(X

2√θ

)−√θ

πX exp

(−X

2

4θ

)]. (8)

Из (8) следует, что при Bs = 1 и Sc = Pr движение жидко-сти отсутствует на всем протяжении процесса при существующихградиентах температуры и концентрации. Это позволяет интенси-фицировать перенос в рассматриваемой системе путем измененияконцентрирования раствора.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 07–08–00166–а).

Кафедра высшей математики,

Воронежская государственная технологическая академия;

394000, г. Воронеж, пр-т. Революции, 19.

kafvm@vgta.vrn.ru

17

УДК 330.4(075.8)

А.Т. Богорош

ПЕЛЕНГАЦИОННАЯ МОДЕЛЬ ТЕНЕВОЙ ЭКОНОМИКИНА ОСНОВЕ ЧУВСТВИТЕЛЬНЫХ ЭКОНОМИЧЕСКИХ

МАТРИЦ

Целью построения математической модели теневой экономикиявляется решение следующих задач:

– расчет роста экономики во время изменений правительствен-ного управления при противоречии предыдущему и соответ-ствующая коррекция акцентов;

– выявление последствий перераспределения финансовых по-токов и роста теневой составляющей;

– формирование стабильного роста экономики при смене вла-сти и сведения к минимуму теневой составляющей.

Структурная схема макроэкономической модели (см. рис. 1)с учётом управляемого роста экономики использует в качествевходных статистические данные на момент формирования соста-ва правительства страны, и ручное управление со стороны пра-вительства. Кроме этого использованы частные математические

Рис. 1. Структурная схема макроэкономической модели управляемого ростаэкономики

18

модели рынка товаров и услуг, финансового и валютного рынка, атакже разработанные модели производственной функции и рын-ка труда. Эти частные модели состыкованы на основе суммарногоспроса и потребностей рынка. Полученные на этой основе пара-метры учтены в модели экономического равновесия и использова-ны для определения заданных критериев и целевых функций присинтезе необходимых управленческих решений и прогноза резуль-татов.

Обобщенная математическая модель управляемого роста эко-номики имеет вид:

QD = F [C(Y V , Y V0 , CY ), G(QD), E(Y Z , e), Z(QD, e), I(i)];

− IS − модель

QD = F [M,P, i];NX(e,QD) +NF (i− i∗) = 0;

− LM − модель

QD = QD(P ). − IS − LMмодель

(1)

С помощью модели определено равновесное состояние при кон-кретном валютном курсе и прожиточном минимуме. Зависимостьпроцентной ставки от совокупного спроса приведена на рис. 2.

На основе функциональной модели (1) формируется пеленга-ционная, сводящаяся к построению откликов (реакций) на пра-вительственные управленческие решения. Здесь QD — объем то-

Рис. 2. Равновесие в модели IS–LM при заданном уровне цен

19

варов и услуг на рынке; Y — спрос на продукцию; e— валютныйкурс; i— объем финансового рынка; F , C, Z, E — соответствую-щие функции спроса и предложения; I — процентная ставка; LM —модель совокупности спроса; IS — модель финансового предложе-ния; NX и NF — финансово-валютное потребление и предложе-ние соответственно; G, M , P — товарные, финансовые и валютныепоступления на рынки соответственно.

При формировании откликов, реализующих условия измене-ния приоритетов при смене власти, учтено в форме управляю-щих воздействий изменение приоритетов Правительства и изме-нение теневой составляющей национальной экономики. Пеленга-ционная модель межотраслевой политики нового правительства, втом числе финансовой, на основе новых приоритетных направле-ний инновационного развития экономики удобно интерпретирует-ся физической аналогией с позиционно-чувствительной матрицейфотодиодов (рис. 3). Значения коэффициентов матрицы пеленга-ционной модели могут изменяться направлением центра световогопятна по столбцу и неравномерностью его распределения в соот-ветствующем диаметре.

Матрица модели пеленгационных характеристик оптическогокоординатора — зависимость сигналов IiI и IjJ

с выходов матрицы

Рис. 3. Позиционно-чувствительная матрица фотодиодов для моделирова-ния топологии междуотраслевого перераспределения освещения (внимания,финансов) в соответствии с приоритетными направлениями инновационного

развития экономики

20

фоточувствительных элементов от угловых координат α, β, отра-женного от луча света (повышенного внимания правительства кконкретной отрасли), имеет вид:

Ii1(α, β) Ij1(α, β)Ii2(α, β) Ij2(α, β)

......

IiN (α, β) IjN(α, β)

,

где IiI и IjJ— электрический сигнал с выхода i-той строки и j-того

столбца матрицы; N — количество сигналов (финансовых тран-шей) с выходов матрицы.

1. Богорош А.Т. Пеленгационные характеристики инновационно-экономи-ческой матрицы для приоритетных направлений / В сб.: Повышение ка-

чества, надежности и долговечности технических систем и техноло-гических процессов: Tр. VII Международ. научно-техн. конф. (7–14 де-кабря 2008 г., Шарм эль Шейх, Египет). — Шарм эль Шейх, 2008. —C. 145–151.

Национальный технический университет Украины

«Киевский Политехнический Институт», г.Киев, Украина.

mnilentcom@mail.ru

УДК 519.216.3

С.П. Борисова, К.А. Самылина

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГНОЗИРОВАНИЕНАЛОГОВЫХ ПОСТУПЛЕНИЙ

Отличительной чертой системы налогообложения является еетесная взаимосвязь с экономикой, ее структурой, пропорциями,целевой ориентацией. Соответствие налоговой системы государ-ства принятым в обществе социально-экономическим приорите-там крайне важно при формировании благоприятной среды дляразвития страны. Одним из путей развития налоговой системыв этом направлении является совершенствование налогового про-гнозирования. Налоговое прогнозирование влияет на динамику и

21

эффективность развития отраслевой и территориальной струк-туры экономики, совершенствование налоговой политики в субъ-ектах, обеспечение рационального использования материальных,трудовых и финансовых ресурсов, уровень доходов и степень со-циальной защищенности населения, развитие новых экономиче-ских связей. Работы по математическому моделированию процес-сов налогообложения активно ведутся во многих странах (США,Великобритания, Канада, Дания, Нидерланды, Венгрия, Румы-ния и др.). В России подобные работы только начинаются. Поэто-му эта тема так актуальна в России, особенно сейчас, во времямирового экономического кризиса.

Моделирование налогообложения открывает исследователюпростор для деятельности. Экономист может найти в налогооб-ложении нижеследующие приложения математического модели-рования.

1. Создание моделей прогнозирования налоговых платежей, ккоторым можно отнести статистическое прогнозирование на-логовых доходов и построение имитационных моделей.

2. Разработка математических методов и моделей отбора нало-гоплательщиков для проведения выездных налоговых про-верок, к числу которых можно отнести методы случайноговыбора, экспертные системы и нейронные сети.

3. Построение информационных систем в налоговых органах.4. Построение имитационных моделей.

Мы остановили свой выбор на создании моделей прогнозирова-ния налоговых доходов. Моделирование процессов налогообложе-ния является сложной задачей, поскольку охватывает три уровня:микро-, мезо- и макроэкономику.

Для моделирования процессов налогообложения собрана необ-ходимая статистическая информация, которая проанализированаметодами эконометрического моделирования. На основе собран-ных данных была построена модель процесса налогообложения.

Простейшими статистическими моделями являются ряды ди-намики (или временные ряды) и структурные модели. Первыепредставляют собой последовательность статистического показа-теля (признака), упорядоченные во времени. Вторые — это стоха-стические уравнения, которые устанавливают связь между изуча-емой переменной и некоторым набором экономических показате-

22

лей. Эти статистические модели и были построены нами в работе.Изученный временной ряд по данным о налоговых поступле-

ниях по Красноярскому району Самарской области за 2 года былсглажен по методу простых и взвешенных скользящих средних.Кроме того, была выдвинута гипотеза о наличии тренда во вре-менном ряду. Проверка данной гипотезы по критерию серий икритерию восходящих и нисходящих серий показала, что тренддействительно присутствует.

По статистическим данным методом наименьших квадратовпостроена структурная модель поступлений налогов от ВаловогоРегионального Продукта:

НПt = a+ b · ВРПt + ςt,

НПt = −1351, 98 + 0, 9 · ВРПt + ςt.

R2 0,924367211R2 0,924367211R2 0,924367211

R2скор 0,920929357FНАБ 134,4395664

Fкрит (α = 0, 05) 4,300949462Fкрит (α = 0, 01) 7,945385701

Полученная модель проверенана адекватность с помощью F -критерия Фишера—Снедекора. Ре-зультаты представлены в таблице.Из нее видно, что Fнабл > Fкр. Этозначит, что модель адекватна и пе-ременная ВРП на 92 % описываетизменение налоговых поступлений.

Также параметры регрессионной модели проверены на значи-мость с помощью t–критерия Стьюдента, что показало, что пара-метры модели можно считать с уровнем значимости равным 0,05и 0,01 значимыми. Проверка гипотезы о наличии автокорреляцииостатков по критерию Дарбина—Уотсона показала, что автокор-реляции остатков нет.

Их всего выше изложенного следует, что разработанные моде-ли хорошо описывают процессы поступления налогов.Самарский государственный университет,

443011, г. Самара, ул. ак. Павлова, 1.

svetlana2807@mail.ru; samylinakristina@rambler.ru

23

УДК 539.3

А.А. Васильев, А. Е. Мирошниченко

МНОГОПОЛЕВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИНЕЛИНЕЙНЫХ КОРОТКОВОЛНОВЫХ СТРУКТУРНЫХ

ПЕРЕХОДОВ ВОЛНОВОГО ТИПА

Рассматривается задача моделирования динамики структур-ных переходов в цепочке частиц конечного размера, распростра-няющихся в виде бегущей волны, на основе упруго-шарнирноймодели [1].

Упруго-шарнирная модель. Рассматривается цепочка ча-стиц длины h, соединенных упругими шарнирами жесткости f(см. рис. а), при наличии осевых сжимающих нагрузок p. Со-противление смещениям системы со стороны окружающей средымоделируется нелинейным потенциалом 1

2k0v2n + 1

4k1v4n, k0 > 0,

k1 > 0. В настоящей статье в шарнирах предполагается действиепоперечных нагрузок коротковолнового вида (−1)ng, учтено вяз-кое трение. В случае малых смещений (vn << h), уравнения ди-намики записываются в безразмерном виде

un + γun + F∆4un + P∆2un + un + u3n + (−1)nG = 0, (1)

где un = vn

√k1k0

, τ = t√

k0m , F = f

k0h2 , P = pk0h , G = g

k0, ∆2un =

= un+1 − 2un + un−1, ∆4un = un+2 − 4un+1 + 6un − 4un−1 + un−2.Стационарные коротковолновые двухпериодические ре-

шения. Ищем стационарные двухпериодические решения вида −−u2k = u2k+1 = w. Такая подстановка в уравнение движения (1)приводит к многочлену третьей степени

w3 − (4P − 16F − 1)w −G = 0 (2)

для нахождения решений. С использованием методов, которые по-лучили развитие и применение в теории катастроф, в простран-стве параметров P , F , G может быть найдена граница областей содним и тремя корнями многочлена (2):

G = ±(

4P − 16F − 1

3

) 32

. (3)

Для параметров внутри области (3) существуют две устойчи-вые и одна неустойчивая структуры с величинами смещений w1,

24

а б

Упруго-шарнирная модель (a): 1 — ячейка; 2 — макроячейка. Бегущая вол-на (б )

w3, w2 соответственно, w1 < w2 < w3. Устойчивые структурыэнергетически не равнозначны, однако в силу принципа макси-мального промедления в системе могут существовать структурыобоих типов. Если же возникает их соприкосновение, то происхо-дит переход одной структуры в другую. При этом на бесконеч-ностях сохраняются исходные структуры w1 и w3. Если в системесуществует диссипация, например вязкое трение, поглощающеевыделяющуюся энергию, то возможно возникновение волны пе-рехода одной структуры в другую, движущейся вдоль цепочки спостоянной скоростью.

Обобщенная двухполевая модель. Многополевые авто-солитоны. Аналитическое приближение, описывающие волну пе-рехода, может быть построено на основе двухполевой модели. Рас-сматривая макроячейку из двух элементарных ячеек (рис. а), вве-дя для смещений чётных и нечётных узлов обозначения u2k иv2k+1, переписываем для них уравнение (1) в виде двух уравне-ний. Далее, введя две полевые функции u(x, τ) и v(x, τ) такие,что в узлах u(2kh, τ) = u2k(τ), v((2kh+ 1) , τ) = v2k(τ), исполь-зуя разложения в ряды Тейлора с учетом производных не вышечетвертого порядка, для функций u(x, τ) и v(x, τ) получаем двасвязанных уравнения двухполевой модели:

utt+γut+F[8(u−v)+4h2(uxx−vxx)+h4(4uxxxx−vxxxx)

]+

+P[2(v−u)+h2vxx+

112h

4vxxxx

]+u+u3+G = 0,

vtt+γvt+F[8(v−u)+4h2(vxx−uxx)+h4(4vxxxx−uxxxx)

]+

+P[2(u−v)+h2uxx+ 1

12h4uxxxx

]+v+v3−G = 0.

(4)

Разыскиваем решения вида v(x, τ) = −u(x, τ) = w(x, τ). Ихподстановка в уравнения (4) с учетом производных не выше вто-рого порядка по x, дает уравнение

ρwtt −Awxx −Bw +w3 −G+ γwt = 0, (5)

25

где A = (P − 8F )h2, B = 4P − 16F − 1, ρ = 1. Ищем решение ввиде бегущей волны w(x, τ) = W (x− cτ). Подстановка в (5) даетуравнение

(ρc2 −A)Wξξ − γcWξ −BW +W 3 −G = 0,

решение которого имеет вид

W (ξ) = w1 +w3 − w1

1 + exp

(± (w3−w1)ξ√

2(A−c2ρ)

) .

Решение существует в области B > 0, A > ρc2, |G| < 2(

B3

) 32 .

Скорость распространения автоволны определяется балансом энер-гии выделяемой при переходе и поглощаемой средой из-за вязкоготрения:

c =∓(

3√2w2

)√A

√γ2 +

(3√2w2

)2ρ

.

Таким образом, построено аналитическое приближение реше-ния:

u2k (t) = −W (2kh− n0h− cτ),

u2k+1 (t) = W ((2k + 1)h− n0h− cτ),

описывающее переход одной двухпериодической структуры в дру-гую в виде распространяющейся с постоянной скоростью c авто-волны из двух взаимопроникающих кинков, один из которых опи-сывает смещения чётных, а другой — нечётных узлов (см. рис. б ).

1. Dmitriev S. V., Shigenari T., Vasiliev A.A. Dynamics of domain walls in anincommensurate phase near the lock-in transition: One-dimensional crystalmodel // Phys. Rev. B, 1997. — Vol. 55, No. 13. — P. 8155–8164.

Тверской государственный университет, г. Тверь;

Центр нелинейной физики. Исследовательская школа

физических и инженерных наук

Австралийский национальный университет, г.Канберра.

Aleksey.Vasiliev@tversu.ru; Andrey.Miroshnichenko@anu.edu.au

26

УДК 519.816

А.А. Гаврилова, Н.В. Лущиков, Д.Н. Сапчук

МЕТОДИКА НЕПАРАМЕТРИЧЕСКОГОМНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ОЦЕНИВАНИЯ

ЭФФЕКТИВНОСТИ ГЕНЕРИРУЮЩЕЙ СИСТЕМЫ

В рыночных условиях определяющим фактором успешногофункционирования предприятий является грамотная реализациясистемы управления (СУ). Для успешной реализации СУ на пред-приятии в первую очередь необходимо введение механизма эф-фективного управления. При таком подходе предприятие всегдасможет адекватно реагировать на изменения внутренних и внеш-них факторов, способных существенно повлиять на эффектив-ность функционирования.

Внутренние факторы в основном являются результатом управ-ленческих решений, в то время как внешние факторы являютсяфакторами среды, находящиеся вне предприятия, которые оказы-вают серьезное влияние на его успех.

С целью анализа эффективности функционирования генери-рующих предприятий была проведена многокритериальная оцен-ка сравнительной эффективности работы оборудования энергоси-стемы Самарской области с использованием метода Data Enve-lopment Analysis (DEA). В качестве частных показателей эффек-тивности были выбраны: эффективность использования топлива,объемы выбросов загрязняющих веществ и затраты электроэнер-гии на собственные нужды.

DEA — методология сравнительного анализа функционирова-ния сложных экономических и социальных систем. Начало дан-ному подходу было положено в работах А. Чарнеса, В. Купера,Е. Роуда, Р. Бэнкера в семидесятых–восьмидесятых годах про-шлого столетия. Методология DEA имеет глубокую связь с мате-матической экономикой, системным анализом, многокритериаль-ной оптимизацией, она позволяет строить многомерное простран-ство эффективности, находить оптимальные пути развития в нем,вычислять важнейшие количественные и качественные характе-ристики поведения объектов, моделировать различные ситуации.

Главным достоинством метода DEA является минимальное ис-пользование субъективной информации о рангах частных крите-

27

риев качества, сворачиваемых в обобщённый критерий эффектив-ности.

В качестве частных (локальных) критериев эффективностифункционирования энергосистемы в период 2000–2007 гг. быливыбраны следующие величины: V — объёмы выбросов загрязняю-щих веществ; Nc— расход на собственные нужды электрическойэнергии; КИТ — коэффициент использования топлива, причём

КИТ =0, 86Y e+ Y t

7000Bs,

где Bs— расход топлива, кг; Y e— выработка электроэнергии,кВт·ч; Y t— выработка тепловой энергии, кКал.

Для анализируемой энергосистемы обобщенный критерий эф-фективности представим в следующем виде:

f = maxn=1,2, ..., N

u1n · КИТn

x1n · Vn + x2n ·Ncn, (1)

где u1n, x1n, x2n — положительные весовые коэффициенты, требу-ющие дополнительного определения.

Системой ограничений для функционала (1) являются усло-вия нормирования значений критериев на интервале [0, 1]:

0 6u1n · КИТn

x1n · Vn + x2n ·Ncn6 1, n = 1, 2, . . . , N. (2)

Система соотношений (1), (2) определяет задачу нелинейногопрограммирования. Она была решена с помощью стандартногопрограммного обеспечения.

В результате решения были получены следующие численныезначения показателей функционалов f сравнительной эффектив-ности работы энергосистемы и весовых коэффициентов.

Анализ полученных данных (см. таблицу и рисунок) показы-вает, что значения показателя сравнительной эффективности f в2001, 2002 и 2005 годах максимальны и равны единице. В 2003,2004, 2006, 2007 годах сравнительный показатель оценивания былменьше на 2 ÷ 7,5%.

Год 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007f 1 1 0,95 0,98 1 0,98 0,93u1 0,227 0,227 0,227 0,227 0,093 0,227 0,227x1 0,002 0,002 0,002 0,002 0,653 0,002 0,002x2 0,771 0,771 0,771 0,771 0,255 0,771 0,771

28

Многокритериальный показатель эффективности работы энергосистемы

По значению весовых коэффициентов можно сделать вывод,что на показатель обобщенной эффективности в большей степениповлияет расход энергии на собственные нужды.

Таким образом, был проведен анализ эффективности функ-ционирования энергосистемы в период с 2001–2007 гг., построенинтегральный критерий эффективности работы, определено вли-яние частных показателей — коэффициента использования топли-ва, экологических характеристик производства и расхода энерге-тических ресурсов на собственные нужды — на обобщённую эф-фективность производства энергии.

1. Дилигенский Н.В., Гаврилова А.А., Цапенко М.В. Построение и иденти-фикация математических моделей производственных систем. — Самара:Офорт, 2005. — 126 c.

2. Гаврилов В.К., Гаврилова А.А. Многокритериальная оценка эффектив-ности функционирования энергетического оборудования / В сб.: Труды

Третьей Всероссийской научной конференции, Чaсть 2: Моделированиеи оптимизация динамических систем и систем с распределенными пара-метрами / Матем. моделирование и краев. задачи. — Самара: СамГТУ,2006. — C. 43–46.

Кафедра управления и системного анализа в теплоэнергетике,

Самарский государственный технический университет;

443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

usat@samgtu.ru

29

УДК 519.816

В.К. Гаврилов

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ВЛИЯНИЯ СТРУКТУРЫПРОИЗВОДСТВА НА ТЭЦ РЕГИОНАЛЬНОЙ

ЭНЕРГОСИСТЕМЫ

В работе поставлена задача проведения модельного анализакомплексной эффективности ТЭЦ региональной энергетическойсистемы с учетом изменения структуры комбинированной выра-ботки тепловой и электрической энергии. С этой целью осуществ-лена декомпозиция региональной энергосистемы в виде структу-ры взаимосвязанных ТЭЦ и исследована комплексная эффектив-ность каждого энергопроизводства. Построены, идентифицирова-ны и проанализированы 16 математических моделей генерирую-щих источников в форме неоднородных производственных функ-ции Кобба-Дугласа для всех энергоисточников областной энерго-системы. В качестве входных факторов приняты показатели эф-фективности, характеризующие объемы и структуру годовой ком-бинированной выработки тепловой и электрической энергии каж-дого предприятия. Выходными величинами взяты общесистем-ные характеристики эффективности энергоисточников — себесто-имость производимой суммарной энергии Sb и электроэнергииSbe.

Sb = AY tαY eβ , (1)

Sbe = AY toαtoY koβko , (2)

где Y t, Y e— тепловая и электрическая мощности, а также элек-трические мощности, выработанные в теплофикационном режи-ме — Y to и конденсационном режиме — Y ko, A— масштабный ко-эффициент, α, β, αto и βko — коэффициенты эластичности, явля-ющиеся логарифмическими функциями чувствительности вели-чины себестоимости к изменению соответствующих отпускаемыхмощностей — α = Y t

Sb · ∂Sb∂Y t , β = Y e

Sb · ∂Sb∂Y e , αto = Y to

Sbe · ∂Sbe∂Y to и βko =

= Y koSbe · ∂Sbe

∂Y ko .Исследование модельных зависимостей показало значитель-

ный разброс показателей эффективности работы различных ТЭЦ.

30

Так, величины показателей обобщенной эффективности – себесто-имости — находятся в пределах 0,1–0,8.

Анализ влияния изменения структуры отпускаемых мощно-стей на себестоимости по модели (1) показал существенно боль-шее и положительное влияние изменения тепловой мощности Y tна суммарную себестоимость Sb для всех энергопроизводств, и,соответственно, для энергосистемы в целом. Все эластичности αимеют отрицательные значения, и увеличение тепловой нагрузкиY t снижает себестоимость и повышает эффективность совместно-го производства тепловой и электрической энергии.

Значения факторных эластичностей β электрической мощно-сти Y e энергоисточников показали различную чувствительностьсебестоимости Sbк изменениям объемов производимой энергии.Себестоимость энергии на трех теплоистотчниках — То ТЭЦ,Б ТЭЦ и Нк ТЭЦ-1 — значительно увеличивается при росте от-пуска электроэнергии при больших положительных значениях ко-эффициентов β > 0. Влияние изменения структуры производстваэлектрической мощности на себестоимости суммарной энергии надвух теплоисточниках — Нк ТЭЦ-2 и ТЭЦ ВАЗа — практическиотсутствует, т. к. для них β ≈ 0. Для двух теплоисточников —СамТЭЦ и СТЭЦ — величины факторных эластичностей отрица-тельны (β < 0) и определяют положительное влияние увеличенияэлектрической нагрузки Y e.

Аналогичные выводы следуют из анализа моделей типа ПФ(1). Все ТЭЦ характеризуются существенно большей зависимо-стью показателя эффективности генерации электроэнергии Sbeот изменения выработки по теплофикационному циклу Y to. Приоднопроцентом росте выработки электроэнергии в теплофикаци-онном режиме себестоимость снижается на 0,22 − 0, 59 %.

Параметры сконструированных математических моделей иден-тифицированы методом наименьших квадратов на основе реаль-ных и приведенных к максимальному значению статистическихданных энергосистемы, усредненных в течение года за период2004–2007 гг.

Адекватность полученных моделей статистическим данным оце-нивалась по следующим показателям качества: коэффициентомдетерминации R2, среднеквадратичным отклонением δ и F -кри-терием Фишера. Значимость параметров моделей определяласьt-критерием Стьюдента, прогнозные свойства ПФ — по критерию

31

Дарбина—Уотсона DW .Синтезированные модели удовлетворительно описывают изме-

нение показателей эффективности — среднеквадратичные ошибкипогрешности расчетов не превышают 6,83 %, коэффициенты де-терминации R2 = 0,900 − 0,996 значимы по статистике Фишера.Зависимости обладают высокими прогнозными свойствами, таккак величины критерия Дарбина—Уотсона DW = 1,14− 2,70, чтосвидетельствует об отсутствии автокорреляции остатков. Иденти-фицированные параметры моделей значимы по критерию Стью-дента.

Закономерности, полученные в результате модельного анализагенерирующих предприятий, определяют эффективность функ-ционирования региональной энергосистемы в целом. Все генери-рующие предприятия функционируют в условиях небаланса сов-местного производства тепловой и электрической энергий и дляповышения комплексной эффективности ТЭЦ и энергосистемынеобходимо восстановление соотношения нагрузок и увеличениепроизводства тепловой энергии.

1. Дилигенский Н.В., Гаврилова А.А., Цапенко М.В. Построение и иденти-фикация математических моделей производственных систем. — Самара:Офорт, 2005. — 126 c.

2. Дилигенский Н.В., Гаврилова А.А., Салов А. Г., Гаврилов В.К. Модель-ный анализ эффективности совмстного производства тепловой и элек-трической энергии региональной региональной энергосистемой // Извест.

вузов. Северо-Кавказский регион. Техн. науки, 2008. — 5(147). — C. 37–40.

Кафедра управления и системного анализа в теплоэнергетике,

Самарский государственный технический университет;

443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

usat@samgtu.ru

32

УДК 519.816

В.К. Гаврилов

СИСТЕМНАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬКОМБИНИРОВАННОЙ ВЫРАБОТКИ ЭНЕРГИИ

ТЕРРИТОРИАЛЬНОЙ ГЕНЕРИРУЮЩЕЙ КОМПАНИЕЙ

Поставлена задача исследования комплексной эффективностикомбинированной выработки тепловой и электрической энергиитерриториальной генерирующей компанией (ТГК).

Построены модели различных структур с агрегированнымипоказателями функционирования региональной энергосистемы наоснове двухфакторных неоднородных производственных функцийКобба—Дугласа (ПФ).

Идентификация параметров синтезированных математическихмоделей проведена на основе реальных и приведенных к макси-мальному значению статистических данных энергосистемы, усред-ненных в течение года за период 2004–2007 гг. методом наимень-ших квадратов

Качество полученных моделей оценивалось коэффициентомдетерминации R2, среднеквадратичным отклонением δ и F -крите-рием Фишера. Значимость полученных параметров моделей опре-делялась t-критерием Стьюдента. Прогнозные свойства моделейоценивались на основании критерия Дарбина—Уотсона DW [1].

Анализ построенных моделей показал, что ПФ удовлетвори-тельно описывают изменение показателей эффективности. Сред-неквадратичные ошибки погрешности расчётов не превышают6,83%, коэффициенты детерминации R2 значимы по статистикеФишера и находятся в пределах 0,90–0,96. Величины критерияДарбина—Уотсона DW = 2,2−2,7 свидетельствуют об отсутствииавтокорреляции остатков, т. е. зависимости обладают высокимипрогнозными свойствами. Идентифицированные параметры мо-делей значимы по критерию Стьюдента.

Первая модель была построена для определения зависимостивеличины суммарной себестоимости энергии ТГК (Sb) от отпуска-емых региональной энергосистемой мощностей и сконструированав виде [2]:

Sb = AY tαY eβ , (1)

33

где Y t— тепловая и Y e— электрическая мощности, A— масштаб-ный коэффициент, α и β — коэффициенты эластичности, являю-щиеся логарифмическими функциями чувствительности величи-

ны себестоимости к изменению отпускаемых мощностей α =Y t

Sb·

· ∂Sb∂Y t

и β =Y e

Sb· ∂Sb∂Y e

. Значения эластичностей α и β показывают

процент увеличения показателя эффективности при увеличениисоответствующих мощностей Y t и Y e на 1 %. Графическая ил-люстрация сопоставления реальных статистических данных и ре-зультатов моделирования (1) представлена на рис. 1.

Анализ идентифицированных факторных эластичностей α == −0,60 и β = 0,25 выявил, что влияние объёмов производстватепловой и электрической энергии на величину суммарной себе-стоимости произведенной энергии в условиях сложившейся ненор-мативной структуры энергопроизводства противоположно. Пока-затель эффективности энергосистемы — себестоимость Sb снижа-ется на 0,6 % при увеличении тепловой мощности Y t на 1 % ивозрастает на 0,25 % при росте на 1 % электрической мощностиY e. Следовательно, положительное влияние увеличения объемовпроизводства тепла на величину суммарной себестоимости энер-гии в 2,4 раза превышает отрицательное влияние роста количе-ства произведенной электрической энергии.

На основе ПФ типа (1) было также исследовано влияние из-менения структуры электрической мощности Y e, полученной вразличных технологических циклах ТЭЦ — конденсационном Y koи теплофикационном Y to— на величину себестоимости электро-энергии Sbe:

Sbe = AY toαY koβ, (2)

где A— масштабный коэффициент, α и β — коэффициенты эла-стичности себестоимости электроэнергии к изменению отпускае-

мых мощностей соответственно: α =Y to

Sbe· ∂Sbe∂Y to

и β =Y ko

Sbe· ∂Sbe∂Y ko

.

Сходимость ПФ (2) и реальных данных графически представленана рис. 2.

Идентифицированные факторные эластичности модели (2) α == −0,33 и β = −0,06, выявили принципиально положительноевлияние обоих факторов — увеличения теплофикационной и кон-денсационной выработки — на себестоимость электроэнергии. Од-

34

Рис. 1. Себестоимость в течениегода: Sb (точки) — реальные и Sbm(сплошная линия) — модельные дан-

ные

Рис. 2. Себестоимость электроэнер-гии в течение года: Sbe (точки) — ре-альные и Sbem2 (сплошная линия) —

модельные данные

нако влияние величины электрической мощности, выработанной втеплофикационном режиме, на себестоимость электроэнергии су-щественно больше (в 5,5 раз) влияния величины конденсационнойвыработки, которое практически при β = −0,06 отсутствует.

Таким образом, из анализа построенных агрегированных иидентифицированных моделей (1) и (2) следует, что базовыминаправлениями изменения структуры энергопроизводства ТГК,обеспечивающими повышение экономической эффективности, яв-ляются увеличение тепловой мощности и теплофикационного от-пуска энергии.

1. Дилигенский Н.В., Гаврилова А.А., Цапенко М.В. Построение и иденти-фикация математических моделей производственных систем. — Самара:Офорт, 2005. — 126 c.

2. Дилигенский Н.В., Гаврилова А.А., Салов А. Г., Гаврилов В.К. Модель-ный анализ эффективности совмстного производства тепловой и элек-трической энергии региональной региональной энергосистемой // Извест.

вузов. Северо-Кавказский регион. Техн. науки, 2008. — 5(147). — C. 37–40.

Кафедра управления и системного анализа в теплоэнергетике,

Самарский государственный технический университет;

443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

usat@samgtu.ru

35

УДК 519.6:533.7/.9

Д.С. Гирш, Е.Н. Ладоша, С.Н. Холодова

ГЕНЕТИЧЕСКИЕ АЛГОРИТМЫ В ПРИКЛАДНОЙФИЗИКО-ХИМИЧЕСКОЙ КИНЕТИКЕ

Если среду реагирующих газов рассматривать как динами-ческую систему, интерес представляют ее равновесные или (дляоткрытых систем) стационарные состояния. Локализация термо-химических равновесий, включая исследование устойчивости, яв-ляется целью бифуркационного анализа физически и химическиактивных сред. Высокая размерность и динамическая жёсткостьзатрудняют анализ моделей традиционными методами [1]. Суще-ственный прогресс в предметных исследованиях связан с приме-нением генетических алгоритмов и др. методов нечеткой матема-тики [2]. Авторы разработали оригинальный генетический алго-ритм, позволяющий решать оптимизационную задачу отысканияравновесного и/или стационарного состояния сплошной среды среакциями и фазовыми переходами. Сперва для некоторой фик-сированной массы реагирующей однофазной среды при заданныхтемпературе, давлении и материальных ограничениях

α ·m − ma = 0 (1)

минимизируется потенциал Гиббса—Гельмгольца [1]:

G =∑

j

mj

µj·[gj +RT

(ln(M · P ) + ln

(mj

µj

))]→ min . (2)

В (1), (2) α = αi,j— массовая доля атомов i -того сорта в веще-стве j ; m = mj— вектор масс атомов; µj и gj — соответственномолярный вес j -того вещества и его химический потенциал; M иP — общие масса и давление.

В первом приближении

gj(T ) = Hj + Cpj(T − 298) − T (Sj + Cpj + lnT/298),

гдеHj, Cpj, Sj — соответственно энтальпия образования, теплоем-кость при постоянном давлении и энтропия j -того вещества притемпературе T = 298 K.

36

Минимизации (1), (2) с помощью стандартного генетическо-го алгоритма [2] препятствуют жёсткие ограничения (1), поэтомувместо условного минимума (1), (2) ищут абсолютный минимум:

Gmod =∑

j

mj

µj·[gj +RT

(ln(M · P ) + ln

(mj

µj

))]+

+ β · (α · m− ma)2 → min . (3)

При высокой размерности i, j задачи шанс вывести популяциюна ограничения (1) ничтожен, и при разумном объёме вычисленийпоиск завершается в одном из локальных минимумов, там усло-вие (1) обычно не выполняется. Понижение размерности системыс учётом (1) приводит к артефактам, например, отрицательнымконцентрациям.

Ключевая идея работы состоит в переносе ограничений (1) изадаптивной функции в кодировку хромосома. Если в классиче-ском алгоритме кодировка гена ограничена фиксированным ин-тервалом [a, b], то в модифицированном этот интервал приобре-тает определенную подвижность в соответствии с ограничениями(1). При каждой генерации гена ищутся граничные значения aи b с учётом как реализации предыдущего гена, так и действу-ющих ограничений (1). Обычно такую задачу решают симплекс-методом, который, требуя объемных вычислений при каждой ге-нерации гена, оказывается здесь неэффективным. Использованиекачественных соображений позволяет локализовать экстремум:ограничить сверху через ресурс свободных атомов, а снизу — по-средством невязки материального баланса. Фактически предла-гаемый способ реализует выбор базовых компонентов в системесамим генетическим алгоритмом [1, 2]. При этом, однако, соблю-дение условия (1) не гарантируется. Отмеченное несовершенствометода устраняется путем замены объекта минимизации — с (1),(2) на (3). Иными словами, локализующие свойства ограничений(1) вынесены в алгоритм, а уточняющие — в уравнения.

Интерфейс реализующей программы показан на рисунке. Прак-тика верификации свидетельствует о пригодности нового алгорит-ма для рассчета состава углеводородов в процессе термическогокрекинга, равновесных продуктов сгорания моторных и другихтоплив. Необходимые для квантификации равновесий физические

37

и термохимические константы веществ хранятся в предметнойБД. Кроме того, реализованы функции импорта исходных фи-зико-химических сведений из стандарта STANJAN [1].

Форма настройки генетического алгоритма, предназначенного для поиска хи-мических равновесий и стационаров

1. Reynolds W.C. The element potential method for chemical equilibrium analy-sis: implementation in the interactive program STANJAN version 3.. — Dept.of Engineering, Stanford University, 1986.

2. Рутковская Д., Пилиньский М., Рутковский Л. Нейронные сети, генети-ческие алгоритмы и нечеткие системы: Пер. с польск. И.Д. Рудинского. —М.: Горячая линия – Телеком, 2006.

Работа выполнена при поддержке Совета по грантам Президента РФ для

государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных

школ (проект НШ-3609.2006.8) и РФФИ (проект 05–08–12275–офи).

Донской государственный тeхнический университет, г. Ростов-на-Дону.

ladoscha@mail.ru

38

УДК 621.318.2

А.Н. Грекова

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МАГНИТНЫХПОЛЕЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН

С ПОСТОЯННЫМИ МАГНИТАМИ

Автором разработана методика расчета магнитных полей элек-трических машин с постоянными магнитами (ЭМПМ), основан-ная на применении метода граничных элементов для ненасыщен-ных или слабонасыщенных систем и комбинированного метода ко-нечных и граничных элементов (КМКГЭ) для насыщенных маг-нитных систем.

Приняты следующие допущения:– магнитное поле плоскопараллельное, квазистационарное;– намагниченность в объеме постоянных магнитов постоянна

и отличается от нуля только по главной оси намагничива-ния;

– магнитная проницаемость материала постоянных магнитовравна магнитной постоянной µ0;

– поле вне машины отсутствует;– вихревыми токами в шихтованных ферромагнитных сердеч-

никах пренебрегаем.Считая известными в любой момент времени токи обмотки

статора и положение ротора относительно статора, представимнапряженность магнитного поля в D2 (см. рисунок) в виде суммы

H(2)CY M = H

(2)δ +H2,

где H(2)δ — напряженность поля, созданного токами обмотки ста-

тора в однородной среде с µ = µ0 (при отсутствии ферромагнети-ков и постоянных магнитов); H2 — напряженность поля, создан-ного намагниченностью ферромагнетиков и постоянных магни-тов.

Магнитное поле намагниченности описывается системой урав-нений Максвелла:

rotH = 0; divB = 0; B = µ0H в D0 и D2;

B = µ0(H +M) в D1; B = µCTH в D3;

B = 0 в D4, (1)

39

Эскиз магнитной системы двухполюсной электрическоймашины с постоянными магнитами с полым ротором

где области Di(i = 0, 1, 2, 3, 4) показаны на рисунке. На грани-цах раздела сред Γ0, Γ1, Γ2 (см. рисунок) нормальные состав-ляющие магнитной индукции и касательные составляющие на-пряженности удовлетворяют условиям: B+

n = B−n , H+

τ = H−τ . На

границе Γ3 имеем H(3)n = 0.

На рисунке введены обозначения: D0 — область с µ = µ0; D1 —область, занятая постоянным магнитом; D2 — область воздушно-го зазора (µ = µ0); D3 — область, занятая сердечником (µ = µст);D4 — внешняя область электрической машины; Dпр — области, за-нятые проводниками обмотки статора с токами; Γ0, Γ1, Γ2, Γ3 —границы областей; n— нормали к границам.

Учитывая, что во всех областях rotH = 0, введем скалярныймагнитный потенциал равенством:

−gradϕ = H. (2)

На основании допущений имеем divM = 0.

Используя (2), преобразуем систему (1) к следующему виду:

div(µ · gradϕ(i)

)= 0 в Di, i = 0, . . . , 3. (3)

При этом граничные условия принимают следующий вид:

40

на Γ0 : ϕ(0) = ϕ(1), µ0∂ϕ(0)

∂n= µ0

∂ϕ(1)

∂n− µ0M

(0)n ;

на Γ1 : −∂ϕ(1)

∂τ= −∂ϕ

(2)

∂τ+H

(2)δτ ,

∂ϕ(1)

∂n−M (1)

n =∂ϕ(2)

∂n−H(2)

δn ;

на Γ2 : −∂ϕ(2)

∂τ+H

(2)δτ = −∂ϕ

(3)

∂τ,

µ0

(∂ϕ(2)

∂n−H(2)

δn

)= µст

∂ϕ(3)

∂n;

наΓ3 :∂ϕ(3)

∂n= 0,

(4)

где M(i)n — проекция намагниченности M на нормаль к границе Γ0

(i = 0), либо Γ1 (i = 1).Перейдем в областях D0, D1, D2 с линейной средой от диффе-

ренциальных уравнений с частными производными к интеграль-ным уравнениям с помощью основной интегральной формулы Гри-на. Например, формула Грина для области D0 имеет вид:

ϕ(0) (P0) =1

2π

∫

Γ0

[∂ϕ(0)

∂nQ(Q) ln

1

rP0Q− ϕ(0)(Q)

∂

∂nQ

(ln

1

rP0Q

)]dΓ,

где P0 — точка, принадлежащая области D0, Q— точка, лежащаяна границе Γ0.

Аналогично можно записать интегральные уравнения для об-ластей D1 и D2.

В областях D0, D1 и D2 интегральные уравнения аппрокси-мируем системой алгебраических уравнений, полученной при по-мощи метода граничных элементов, а в области D3 дифферен-циальное уравнение вида (3) заменим системой алгебраическихуравнений, полученной на основе метода конечных элементов.

Для решения указанной совокупности уравнений с учетом гра-ничных условий (4) составлена программа на языке Object Pascal

в среде Delphi 7.Предложенная программа позволяет выполнить расчет маг-

нитных систем ЭМПМ с минимальными затратами машинного

41

времени, получить значения их магнитных потенциалов, напря-жённостей и магнитных индукций, необходимых для расчета ра-бочих характеристик. Предложенная методика может быть ис-пользована и для оптимизации конструкции магнитной системыЭМПМ по выбранным параметрам.

Кафедра прикладной математики,

Южно-Российский государственный технический университет;

344428, г.Новочеркасск, ул. Просвещения, 132.

anna_grekova@mail.ru

УДК 621.365

А.И. Данилушкин, Е.А. Никитина

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССАИНДУКЦИОННОГО НАГРЕВА ФЕРРОМАГНИТНОЙ

ЗАГОТОВКИ В БЕГУЩЕМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Рассматривается задача идентификации процесса индукцион-ного нагрева цилиндрического ферромагнитного изделия в маг-нитном поле, создаваемом обмоткой трёхфазного индуктора. Ин-дуктор выполнен в форме статора асинхронного двигателя. Ре-ализация такой нестандартной конструкции индукционной уста-новки требует решения ряда задач, связанных с исследованиемвзаимосвязанных электромагнитных и тепловых полей системы.Сложность моделирования электромагнитных и тепловых процес-сов обусловлена сложной конфигурацией электромагнитной си-стемы, нелинейной зависимостью электрофизических характери-стик нагреваемого материала от температуры, ступенчатым ха-рактером распределения внутренних источников тепла по радиу-су цилиндра. Моделирование процесса сводится к решению двухвзаимосвязанных задач — электромагнитной и тепловой. В общейпостановке с некоторыми допущениями подобную конструкциюможно рассматривать как асинхронный двигатель с массивнымротором в режиме короткого замыкания.

Однако имеется ряд существенных недостатков подобной ана-логии, например, значительная величина воздушного зазора меж-ду индуктором и заготовкой, что нехарактерно для электрической

42

машины; кроме того, стандартное представление в виде электри-ческой цепи с сосредоточенными параметрами не отражает фи-зическую суть процесса индукционного нагрева, представляюще-го взаимосвязанную распределенную систему электромагнитныхи тепловых полей. Поэтому законы, которым подчиняется асин-хронный двигатель как объект математического моделирования,в данном случае не позволяют получить адекватное описание ис-следуемого процесса. Одной из сложных проблем при моделирова-нии электромагнитных полей при индукционном нагреве являетсянеобходимость учета нелинейной зависимости магнитной прони-цаемости µa материала нагреваемого изделия от температуры.

Электромагнитная задача может быть представлена для ком-плексной амплитуды векторного потенциала A в виде:

∂

∂x

[1

µa (r, x)· ∂A (r, x)

∂x

]+

∂

∂r

[1

µa (r, x)· 1

r· ∂A (r, x)

∂r

]−

− jωγA (r, x) − J0 (r, x) = 0,

где r, x— радиальная и аксиальная координаты, соответственно.

В качестве граничного условия для определённости задачипринимаем наиболее общие условия — равенство нулю векторно-го потенциала на границе расчётной области, находящейся в бес-конечности. В реальной ситуации граница области должна бытьдостаточно удалена от источников тока, где магнитная энергияполя действительно спадает до нуля.

Основными причинами нелинейности тепловых моделей явля-ются: зависимость теплофизических свойств тел от температуры;сложный характер теплообмена, т. е. одновременное протеканиепроцессов радиационного, конвективного и кондуктивного тепло-обмена; необходимость решения сопряженных задач, т. е. согласо-вание решений, определяемых отдельными блоками математиче-ской модели и т. д. В случае, когда теплофизические характери-стики являются функциями цилиндрических координат и темпе-ратуры, нестационарное нелинейное уравнение теплопроводности

43

принимает вид

c (r, θ, x, T ) ρ (r, θ, x, T )∂T

∂t=

1

r

∂

∂r

(rλ (r, θ, x, T )

∂T

∂r

)+

+1

r2∂

∂θ

(λ (r, θ, x, T )

∂T

∂θ

)+

∂

∂x

(λ (r, θ, x, T )

∂T

∂x

)+ qV ,

где T — температура; t— время; λ (r, θ, x, T ) — компоненты тензо-ра теплопроводности (теплопроводность как функция темпера-туры представляется кубическим сплайном); qV — удельная мощ-ность тепловыделения (в линейной постановке — константа, в нели-нейной постановке — задаваемая кубическим сплайном функциятемпературы); c (r, θ, x, T ) — удельная теплоемкость (в нелиней-ном случае это функция температуры, аппроксимированная ку-бическими сплайнами); ρ (r, θ, x, T ) — плотность, θ— угловая ко-ордината.

Принимая во внимание геометрию системы и значительнуюпротяженность еe по отношению к поперечным размерам, спра-ведливо рассматривать задачу при расчетах как плоскопараллель-ную при граничных условиях третьего рода.

Для подобного рода объектов сложной геометрии, не поддаю-щихся чисто теоретическому анализу, широко используют вычис-лительные методы. Самым эффективным из них в данном случаеявляется метод конечных элементов.

Решение системы для электромагнитной задачи рассматрива-емого процесса ищется путем минимизации нелинейного функци-онала, выражающего энергию электромагнитного поля:

F(A)

=1

2

∫ ∫

Q

[∂

∂x

(1

µa

)∂A

∂x+

∂

∂r

(1

µar

)∂rA

∂r

]drdx+

+1

2

∫ ∫

Q

jωγ∣∣∣A∣∣∣2drdx+

1

2

∫ ∫

Q

J0Adrdx.

Эффективность расчетной схемы, т. е. возможность получениярешения с заданной точностью при минимальном объёме вычис-лений, является одним из основных требований, предъявляемых калгоритму численного решения задачи. Это связано, во-первых,

44

с многовариантным характером вычислительного эксперимента,необходимостью проведения больших серий однотипных расчетов.Во-вторых, это требование в ряде случаев определяет возмож-ность использования алгоритма в системах управления объектомв реальном времени. Поэтому численный расчет производился спомощью ELCUT 5.2 Professional— программы моделированияполей методом конечных элементов.

Кафедра электроснабжения промышленных предприятий,

Самарский государственный технический университет;

443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

epp@samgtu.ru

УДК 517.9

Е.В. Десяев

О СТАБИЛИЗАЦИИ ОРБИТАЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯКОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА

Идея удержания космического аппарата (или станции) в окрест-ности коллинеарной точки либрации разрабатывалась многимиавторами, обзор работ на эту тему можно найти в фундаменталь-ном труде [1]. В работах В.И. Зубова, Н.Н. Красовского,Е.В. Воскресенского и других рассматривается понятие управля-емости системы за бесконечное время. В работе [2] вопрос постро-ения управляющего воздействия, направленного по линии Солн-це—Земля, стабилизирующее движение космического аппарата вокрестности коллинеарной точки либрации L1 решается в поло-жительном смысле. В настоящей статье указывается конкретныйаналитический вид управления для уравнений линейного прибли-жения. Данный результат обобщен в работе [3], где был предложенметод, при помощи которого можно построить различные видывышеуказанных управлений. В этой статье предлагается решениевопроса стабилизации орбитального движения космического ап-парата методом стабилизации программных движений Е.В. Вос-кресенского [4, 5]. Первоначально задача решается для уравненийлинейного приближения, а затем приводятся достаточные усло-вия для стабилизации нелинейной системы.

45

Рассмотрим линейную управляемую систему

dy

dt= Ay +B(t)u, (1)

где A— постоянная квадратная матрица размерности n, B(t):[0,+∞) → Hom(Rn,Rn), K0 — класс допустимых управлений.Пусть y∗ ∈ R

n — фиксированная точка, относительно которой ре-шена задача синтеза управления для системы (1). В этом слу-чае произвольная точка y переводится в точку y∗ некоторым про-граммным управлением, которое становится функцией перемен-ных t и y. Предположим, что u = u(t, y0) — управление, переводя-щее точку y0 за бесконечное время в точку y∗. Кроме того,

‖u(t, y1) − u(t, y2)‖ 6 ψ3(t)‖y1 − y2‖, t > 0,

где y1, y2 — произвольные точки из Rn, ψ3 ∈ C([0,+∞), R

1),u ∈ C([0,+∞) × R

n × Rm,Rn).

Рассмотрим нелинейную систему

dx

dt= Ax+B(t)u+ f(t, x, u), (2)

где u ∈ K0, f ∈ C([0,+∞) × Rn × R

m,Rn), и при любом u ∈ K0

и любых t0 > 0, x0 ∈ Rn задача Коши (t0, x0) для уравнения (2)

имеет единственное решение x(t : t0, x0, u). Кроме этого предпо-ложим, что при любом u ∈ K0 все решения этого уравнения опре-делены на множестве [0,+∞).

В работе [5] указаны условия, при которых уравнения (1), (2)асимптотически эквивалентны по Брауеру и

y0 = x0 +

+∞∫

t0

Y −1(s)f(s, x(s), u(s))ds, (3)

где x(s) = x(s : 0, x0, u) решение уравнения (2).Будем решать задачу об управляемости за бесконечное время

для системы (2). Предположим, что точки пространства Rn с по-

мощью управлений из K0 необходимо переводить за бесконечноевремя в одну и ту же фиксированную точку y∗ ∈ R

n. При ка-ких условиях это возможно? Будем считать, что данная задача

46

решена для системы (1) и точка y0 ∈ Rn переводится в точку y∗

управлением u(t, y0).

Теорема 1. Пусть для любых x1, x2 ∈ Rn, u1, u2 ∈ R

m, t > 0;ψi ∈ C([0,+∞), [0,+∞)) (i = 1, 2) выполняется

‖f(t, x1, u1) − f(t, x2, u2)‖ 6 ψ1(t)‖x1 − x2‖ + ψ2(t)‖u1 − u2‖

и+∞∫

0

ϕ1ds < +∞,

+∞∫

0

ϕ2ds < +∞,

где ϕ1(t) = ‖Y −1(t)‖‖Y (t)‖ψ1(t), ϕ2(t) = ‖Y −1(t)‖ψ3(t)(‖B(t)‖ ++ ψ2(t)).

Тогда для решений x1(t) = x(t : 0, x0, u1), x2(t) = x(t : 0, x0, u2),u1 = u(t, y1), u2 = u(t, y2) справедливо неравенство

‖x1(t) − x2(t)‖ 6 R0‖Y (t)‖‖y1 − y2‖, t > 0,

R0 =

+∞∫

0

ϕ2(s)ds · exp

+∞∫

0

ϕ1(s)ds

.

Теорема 2. Пусть выполняются условия теоремы 1. Тогда,если справедливо условие (3), а также

q =

+∞∫

0

‖Y −1(s)‖(R0ψ1(s)‖Y (s)‖) + ψ2(s)ψ3(s)ds < 1,

то для любого x0 ∈ Rn существует управление u ∈ K0, перево-

дящее точку x0 в точку y∗ за бесконечное время.

1. Gomes G, Llibre J., Martinez R., Simo C. Dynamics and mission design nearlibration points, 2001. — Vol. 1. — 443 p.

2. Шмыров В.А. Стабилизация управляемого орбитального движения косми-ческого аппарата в окрестности коллинеарной точки либрации// Вестн.

СПбГУ. Серия 10, 2005. — 2. — C. 192–198.3. Десяев Е. В. Постановка задачи о стабилизации управляемого орбиталь-

ного движения космического аппарата окрестности коллинеарной точкилибрации L1 // Tр. Средневолж. математ. об-ва, 2006. — Т. 8, 1. —C. 208–211.

47

4. Воскресенский Е. В. Асимптотические методы: теория и приложения. —Саранск: СВМО, 2000. — 300 c.

5. Воскресенский Е.В. Методы сравнения в нелинейном анализе. — Сара-тов: СГУ, 1990. — 224 c.

Кафедра прикладной математики,

Мордовский государственный университет им. Н.П. Огарева;

430000, г. Саранск, ул. Большевистская, 68.

desyaev@rambler.ru

УДК 621.311.22.002.56; 621.317

А.А. Желтухин

МЕТОДИКА НАЛАДКИ ПОГОДНОГО КОМПЕНСАТОРАПО ДАННЫМ КОММЕРЧЕСКОГО УЧEТА ТЕПЛОВОЙ

ЭНЕРГИИ

Представлена методика анализа отпуска тепловой энергии отТЭЦ для отопительного периода 2008–2009 гг. Для тепловых се-тей г.Самара действует график нормативной температуры тепло-вой сети 150/70 С при tн.р. = −30 С. Анализ режимов теплопо-требления проводился по данным узла учета тепловой энергии итеплоносителя, индивидуального теплового пункта (ИТП) распо-ложенного на цокольном этаже 16-этажного жилого дома. Кон-струкция ИТП представляет собой независимую схему отопленияв сочетании с закрытой схемой горячего водоснабжения в зимнийпериод и открытой системы ГВС летом. Расчетная тепловая на-грузка по отоплению — 0,45 Гкал/ч, вентиляции — 0,084 Гкал/ч,горячему водоснабжению — 0,275 Гкал/ч. Жилой дом расположенна большом расстоянии от источника, его можно считать конце-вым, поэтому он является одним из лучших объектов для анализаработы тепловых сетей.

ИТП оборудован автоматизированным узлом учета тепловойэнергии на базе тепловычеслителя КМ5-6 ООО «ТБН-Энергосер-вис». Архивные данные тепловычеслителя за январь 2006 г. пере-носились с помощью УПД на ПК.

Анализ зависимости температуры сетевой воды от температу-ры наружного воздуха представлен на рис. 1. При этом сравнива-лись расчетные и фактические значения температуры сетевой во-

48

Рис. 1. + и — фактические значения температуры сетевой воды в пода-ющем и обратном трубопроводах; T1 и T2 — среднее значение фактическихтемператур сетевой воды в подающем и обратном трубопроводах; T1расч иT2расч — расчетные значения температуры сетевой воды в подающем и об-

ратном трубопроводах

ды в подающем и обратном трубопроводах. Установлено, что мак-симальная температура воздуха в январе составляла −2 C; мини-мальная −27 C, средняя −13,2 C. Соответственно фактическаятемпература в подающем трубопроводе станции составляет: мини-мальная — +79 C, максимальная — +107 C, средняя — +92,5 C.Фактическая температура сетевой воды в подающем трубопро-воде отличается от расчетной. Так в интервале температур на-ружного воздуха от −2 С до −8 С фактическая температура вподающим трубопроводе превышает расчетную на 4 ÷ 13 С; в ин-тервале температур наружного воздуха от −8 С до −28 С фак-тическая температура в подающем трубопроводе меньше рас-чётной на 3÷30 С и остается практически постоянной на уровне79 ÷ 100 С. Наблюдается систематическое несоблюдение графикарасчетной температуры сетевой воды со стороны теплоисточника.Фактическая температура воды в обратном трубопроводе отлича-ется от расчётной более, чем на 5 ÷ 15 С, что свидетельствует онеудовлетворительном режиме теплопотребления здания.

Анализ расхода сетевой воды на отопление и ГВС показал:фактический суточный расход сетевой воды в прямом трубопро-воде больше проектного на 18 ÷ 19,9%; фактический суточныйрасход сетевой воды на отопление превышает проектныйна 114 ÷ 115%, что свидетельствует о нарушении гидравлическо-

49

го режима потребителей.

Из анализа теплопотребления следует, что фактическое сред-несуточное теплопотребление на отопление ниже проектного на20 ÷ 27,9%. При пониженной температуре сетевой воды в подаю-щем трубопроводе, завышенной температуре в обратном трубо-проводе и завышенном значении расхода сетевой воды на отопле-ние у потребителей наблюдается недополучение тепловой энергиина отопление на 27,9% от проектного значения.

Как видно из рис. 2 недоотпуск тепла наблюдается при тем-пературах наружного воздуха ниже −10 C, а при температуре−2 ÷−8 C происходит значительный перетоп. Следовательно, притемпературах −2 ÷−8 C необходим переход от качественного ре-гулирования тепловой нагрузки со стороны теплоисточника к ко-личественно-качественному на ИТП здания. Такое регулирова-ние позволяет реализовать погодные компенсаторы, например«ВЗЛЕТ РО–1».

Разработана методика настройки регулятора отопления«ВЗЛЕТ РО–1» в составе блочного теплового пункта «ВЗЛЕТАТП» на основе алгоритмов количественного управления (под-держание графика разности температур теплоносителя в подаю-

Рис. 2. 2 — фактическое значение относительного количества тепло-ты; Q/Q — среднее значение относительного количества теплоты; Qрасч —

расчетное значение относительного количества теплоты50

щем и обратном трубопроводах с учетом температуры наружноговоздуха), заложенных в «Свод правил по проектированию тепло-вых пунктов СП41–101–95». Методика учитывает климатическиеи технологические особенности теплоснабжения. Расчетные пара-метры настройки адаптированы к составу меню и экранов индика-ции регулятора. Применение разработанной методики настройкипогодного компенсатора позволяет снизить время и затраты напусконаладочные работы (рис. 3).

Рис. 3. + и 2 — значения температур сетевой воды в подающем и обратномтрубопроводах при работе регулятора

Проведена проектная технологическая адаптация состава обо-рудования отечественных блочных тепловых пунктов «ВЗЛЕТАТП» к конкретным условиям центрального теплоснабжения го-рода: сочетание закрытых и открытых схем теплоснабжения, тем-пературный график со срезками, значительные колебания расходана ГВС.

1. Немченко В.И., Абрамов С.Ю. Системный подход к организации учетатепловой энергии на муниципальном уровне // Вестн. Сам. гос. техн.

ун-та. Сер. Техн. науки, 2005. — 32. — C. 186–190.2. Немченко В.И., Желтухин А.А., Карпиков О.А. Методика наладки ре-

гулятора отопления «Взлет РО-1» в составе автоматизированного теп-лового пункта «Взлет АТП»: Тез. докл. 32-й Самар. обл. научн. конф.Ч. 1. — Самара: СамГТУ, 2006. — C. 218–219.

Кафедра управления и системного анализа в теплоэнергетике,

Самарский государственный технический университет;

443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

G_A_A_Yellow@mail.ru

51

УДК 517.96: 574.34

В.В. Зайцев, А.В. Карлов (мл), С.С. Телегин

ДВ-МОДЕЛЬ СИСТЕМЫ ВОЛЬТЕРРАС ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

Введение. Классическая система уравнений Вольтерра [1] иее различные модификации уже более семидесяти лет использует-ся в математической экологии для описания взаимодействий меж-ду биологическими видами, происходящими по схеме «хищник–жертва». В последнее время высказываются предположения о том,что подобного рода взаимодействия могут иметь место и в эконо-мических системах [2]. В настоящем сообщении представлена мо-дель вольтерровского типа с дискретным временем (ДВ-модель),сформированная на базе уравнений Вольтерра с запаздываниемметодами синтеза цифровых фильтров.

1. Дифференциальная модель. Исходная система диффе-ренциальных уравнений с запаздывающим аргументом для чис-ленностей видов Y1(t) и Y2(t) взята в виде (модификация Вангер-ски—Каннингема)

dY1

dt= ν1Y1 − γ1Y1Y2 − δY 2

1 ,

dY2

dt= −ν2Y2 + γ2Y1 (t− τ)Y2 (t− τ) ,

(1)

где ν1, ν2, γ1, γ2 и δ— параметры модели; µ =δγ2

ν2.

Для относительных отклонений численностей видов y1(t) =

=γ2Y1(t)

ν2− 1 и y2(t) =

γ1Y2(t)

ν1+

µ

ν1− 1 от их стационарных

значений Y10 =ν2

γ2и Y20 =

ν1 − µ

γ1система (1) приведена к форме

dy1

dt= −µy1 − ν1y2 + f1(t, y1, y2),

dy2

dt= −ν2y2 + f2(t− τ, y1, y2).

(2)

При этом в рассмотрение введены функции

52

f1(t, y1, y2) = −ν1y1(t)y2(t) − µy21(t),

f2(t, y1, y2) = ν2

[(1 − µ

ν1

)y1(t) + y2(t) + y1(t)y2(t)

],

(3)

учитывающие нелинейности системы и наличие в ней запаздыва-ющей обратной связи, которая при определенных условиях при-водит к возбуждению автоколебаний.

2. Дискретная модель. Выделенная в (2) линейная дисси-пативная подсистема в отсутствие обратной связи релаксирует кустойчивому нулевому состоянию. Ее импульсная характеристикаиспользована для синтеза ДВ-автоколебательной системы мето-дом импульсной инвариантности, распространенным на нелиней-ные системы в работе [3]. В результате для выборочных значенийy¯[n] = y

¯(n∆) получена система разностных уравнений:

y(1)1 [n] = a

(11)1 y

(1)1 [n− 1] + b

(11)0 f1[n, y

¯],

y(2)1 [n] = a

(12)1 y

(2)1 [n− 1] + a

(12)2 y

(2)1 [n− 2]+

+ b(12)1 f2[n− 1 −m, y

¯],

y1[n] = y(1)1 [n] + y

(2)1 [n],

y2[n] = a(22)1 y2[n− 1] + b

(22)0 f2[n−m, y

¯].

(4)

При этом предполагается, что интервал дискретизации ∆ состав-ляет целую часть времени запаздывания: τ = m∆. Коэффициен-ты в уравнениях (4) определяются соотношениями:

a(11)1 = exp(s1∆), a

(12)1 = exp(s1∆) + exp(s2∆), a

(22)1 = exp(s2∆),

a(12)2 = − exp(s1∆ + s2∆),

b(11)0 = ∆, b

(12)1 = ∆B (exp(s1∆) − exp(s2∆)) , b

(11)0 = ∆,

где s1 и s2 — полюсы системной функции порождающей НВ-сис-темы, B = ν1

µ−ν2.

Система уравнений движения (4) содержит лишь одно нели-нейное разностное уравнение (первое соотношение). К нему мож-но применить метод последовательных приближений. Все осталь-ные соотношения являются рекуррентными формулами, что обес-

53

печивает высокую вычислительную эффективность дискретноймодели (4).

На рисунке как пример результатов моделирования представ-лен график процесса возбуждения автоколебаний численности ви-дов. При этом параметры модели имеют следующие значения:

∆ =τ

10, ν1τ = 0, 5, ν2τ = 0, 1, µτ = 0, 003. Сплошная линия

соответствует автоколебаниям жертв Y1[n] = y1[n]+Y10, пунктир-ная — хищников Y2[n] = y2[n] + Y20.

Процесс возбуждения автоколебаний

1. Вольтера В. Математическая теория борьбы за существование. — М.:Наука, 1976. — 288 c.

2. Романовский М.Ю., Романовский Ю.М. Введение в экономофизику. Ста-тистические и динамические модели. — Ижевск: Институт компьютер-ных исследований, 2007. — 280 c.

3. Зайцев В.В., Давыденок С.В., Зайцев О.В. Динамика автоколебанийдискретного осциллятора Ван дер Поля // Физика волновых процессов и

радиотехнические системы, 2000. — Т. 3, 2. — C. 64–67.

Самарский государственный университет; г. Самара.

zaitsev@ssu.samara.ru

54

УДК 539.3

М.В. Зарецкая

О РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ГЕОЭКОЛОГИИ

При решении проблем оценки последствий природных и тех-ногенных катастроф на территориях сложного рельефа, в при-брежных зонах, в районах с интенсивной застройкой возникаетнеобходимость исследования процессов, описываемых во взаимо-действующих областях разными краевыми задачами. Такая ситу-ация возникает в следующих задачах:

– оценка сейсмического воздействия на застроенную террито-рию при различных типах ландшафта и подстилающего ос-нования;

– математическое моделирование распространения сейсмиче-ских волн при землетрясении с учетом генерации акусто-гравитационных волн в неоднородной атмосфере и их вза-имодействие при распространении вдоль границы Земля –атмосфера;

– моделирование воздействия мантийных процессов на ниж-нее основание литосферных плит и последствий этого взаи-модействия.

Для решения таких задач разработана теория блочных струк-тур, позволяющая строить общие представления решений в сре-дах блочного строения [1], каждый блок обладает своими физико-механическими свойствами.

Блочная структура — это совокупность блоков сплошной сре-ды одной или разных размерностей, занимающих отдельные об-ласти, контактирующие между собой. Процессы, протекающие вкаждом блоке, можно описать линейной или нелинейной систе-мой дифференциальных уравнений в частных производных про-извольного порядка.

Сформулируем краевую задачу для блочной структуры в пред-положении, что системы дифференциальных уравнений являютсянеоднородными. Будем считать, что область Ω блочной структурысостоит из областей Ωb, b = 1, 2, . . . , B с границами ∂Ωb. Можетоказаться, что часть границы блока является общей с границейдругого блока, ее называем контактирующей. Остальная часть, неконтактирующая, может быть свободной или подчиненной внеш-

55

ним воздействиям. Предполагается, что в каждой области Ωb ста-вится краевая задача для систем дифференциальных уравненийв частных производных с коэффициентами, своими в каждой об-ласти [1].

Краевую задачу для системы P дифференциальных уравне-ний в частных производных в блочной трехмерной области Ω,можно записать для каждого блока в виде

Kb(∂x1, ∂x2, ∂x3)ϕb =M∑

m=1

N∑

n=1

K∑

k=1

P (b)∑

p=1

Abspmnkϕ

(m)(n)(k)bp,x1x2x3

= gbs(x),

s = 1, 2, . . . , P (b),

Absqmnk = const, ϕb = ϕbs, gb = gbs, b = 1, 2, . . . , B,

ϕ(x) = ϕ(x1, x2, x3), x = x1, x2, x3, x ∈ Ωb.

На общей границе ∂Ωb∩∂Ωd задаются следующие граничные усло-вия сопряжения:

Rb(∂x1, ∂x2, ∂x3)ϕb + Rd(∂x1, ∂x2, ∂x3)ϕd =

=

M1∑

m=1

N1∑

n=1

K1∑

k=1

P (b)∑

p=1

[Bb

spmnkϕ(m)(n)(k)bp,x1x2x3

+Bdspmnkϕ

(m)(n)(k)dp,x1x2x3

]= fbds,

s = 1, 2, . . . , sb0 < P, x ∈ ∂Ωb ∩ ∂Ωd,

M1 < M, N1 < N, K1 < K,

b, d = 1, 2, . . . , B.

Краевая задача исследуется в пространствах медленно растущихобобщенных функций Hs(Ω).

Для исследования поставленных краевых задач для системдифференциальных уравнений, описывающих процессы в средахблочного строения, развиты два метода факторизации, позволя-ющие получать аналитические представления решений краевыхзадач внутри области [2].

Дифференциальный метод факторизации позволяет получатьаналитические представления решений краевых задач в средахблочной структуры одной размерности.

56

Второй (интегральный) метод факторизации обобщает подхо-ды к исследованию интегральных уравнений с разностным яд-ром. Он позволяет получать представления решений при наличиинеоднородностей типа трещин и включений в средах.

Применяя дифференциальный метод факторизации [2], полу-чаем представление решения для блоков, занимающих выпуклыеобласти Ωb:

ϕb(xν) =

1

8π3

∞∫∫∫

−∞

K−1b (αν

3 ,+)K−1blm (αν

3 ,−)×

×

∫∫

∂Ωb

ωb − Gb (αν)

e−i〈αν

3xν3〉dαν

1dαν2dα

ν3 , xν ∈ Ωb.

Наличие представления общих решений позволяет анализиро-вать в аналитическом виде качественное поведение различных ха-рактеристик в блоках или управлять блочной структурой, инте-гральными свойствами и адресным воздействием на отдельныйблок с ее границы.

1. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М., Зарецкая М.В., Павло-

ва А. В., Мухин А.С., Лозовой В. В., Федоренко А. Г. О приложениях тео-рии блочных структур в науках о Земле, сейсмологии, строительстве, ма-териаловедении // Экологический вестник научных центров ЧЭС, 2008. —4. — C. 27–34.

2. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В., Зарецкая М.В., Павло-

ва А. В., Федоренко А.Г. О дифференциальном методе факторизации вприложениях// Экологический вестник научных центров ЧЭС, 2008. —2. — C. 5–12.

Работа выполнена при поддержке гранта президента РФ (НШ-2298.2008.1.)

и РФФИ (проекты 08–08–00669, 08–01–99012).

Кубанский государственный университет;

350040, г.Краснодар, ул. Ставропольская, 149.

zarmv@mail.ru

57

УДК 517.95

М.Х. Ильясов, Н.А. Алиев, А.М. Алиев

ОБ ОДНОМ НОВОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДЛЯСИСТЕМ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

МЕХАНИКИ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ

В работе исследуется начально-краевая задача для следующейсистемы дифференциальных уравнений в частных производныхгиперболического типа, описывающих движение газожидкостныхсмесей в трубопроводах:

−∂p∂z

=∂ (ρw)

∂t+

λ

8δρw2 + ρg cos θ +

∂

∂z

[(1 + β) ρw2

],

−∂p∂t

= c2∂ (ρw)

∂z, 0 < z < l, t > 0,

где p(t, z) — избыточное давление над её средним значением, ρ—плотность, w— средняя по поперечному сечению скорость потока,c— скорость звука в смеси, z— координата вдоль оси трубы, t—время, λ— коэффициент гидравлического сопротивления, δ, β —постоянные. Линеаризуя эту систему и применяя преобразованияЛапласа по времени, приходим к следующей нормальной системеобыкновенных дифференциальных уравнений:

R′(s, z)=

(s (1+β)w0

c2−(s+ 2a)

− sc2

0

)R(s, z)+

(γ(z) − (1 + β)w0

α(z)c2

α(z)c2

),

где R(s, z) = (p(s, z) q(s, z))T, волной сверху обозначены преоб-разования Лапласа одноименных функций, q(t, z) = ρw, s— па-раметр преобразования Лапласа, p(0, z) = α(z), q(0, z) = γ(z),

2a =λw

8δ+g cos θ

w0,

θ— угол между осью трубы и вертикальной осью, g— ускорениесилы тяжести, l— длина трубопровода, w0 — средняя скорость по-тока по длине трубопровода.

58

На торце z = 0 задается либо p(t, 0) = f(t), либо q(t, 0) = f(t).Общее решение однородной системы записывается с помощью эво-люционной матрицы:

R(s, z) = exp

s

(1 + β)w0

c2−(s+ 2a)

− s

c20

z

B,

где B — произвольный вектор столбец. Эта матрица вычисляетсяс использованием собственных значений матрицы системы. Далее,используя формулу Бромвича, метод контурного интегрированияи теорию вычетов, найдено обратное преобразование решения. По-лученное решение исследовано для больших и малых значенийвремени и у фронта волны. Проведены численные исследования,построены соответствующие графики. Изучены влияния различ-ных параметров задачи на решение и сделаны соответствующиевыводы.Бакинский государственный университет,

Институт прикладной математики;

AZ1148, г.Баку, Азербайджан, ул. З.Халилова, 23.

musailyasov@yahoo.com, aahmad07@rambler.ru

УДК 519.8:517.91

О.Е. Каледин, Л.А. Сухарев

АНАЛИЗ ПОВЕДЕНИЯ ОДНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙСИСТЕМЫ НА ОСНОВЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ

Рассмотрим динамическую механическую систему, положениекоторой через постоянные интервалы времени фиксируютсянесколькими приборами, которые имеют различные погрешности.Движение системы «близко» к периодическому. Таким образом,через промежуток времени, равный периоду T , мы будем иметьтаблицу координат системы, полученную с помощью различныхприборов, для одного и того же физического процесса в одинако-вые моменты времени. На основе полученных с приборов данныхбудем исследовать данную систему, используя метод, предложен-ный Е.В. Воскресенским в работе [1]. Метод заключается в сле-дующем.

59

На компакте I0 = [T0, T1] числовой оси рассматриваются базыданных, которые порождаются абсолютно непрерывными вектор-функциями x : I0 → R

n, x ∈ Q, Q ⊂ AC(I0) — класс абсолютнонепрерывных функций, определенных на I0. Пара (I0, Q) порож-дает дифференциальное включение

dx

dt∈ F (t, x), T0 6 t 6 T1, ‖x‖ < R0, (1)

для которого справедлива теорема существования решения x(t :t0, x0) Зарембы [2]. Далее, на компакте I2 = [T1, 2T1−T0] рассмат-ривается включение

dx

dt∈ F1(t, x, u), (2)

где T1 6 t 6 2T1−T0, ‖x‖ < R0, u ∈ K — класс допустимых управ-лений u = u(t, x), u(t+T, x) ≡ u(t, x), T = T1 −T0. Здесь функцияF периодически продолжена на сегмент [T1, T1 + T ], F (t+ T, x) == F (t, x), T1 6 t 6 T1 + T ; F1(t, x, u)=def F (t, u(t, x)). Тогда

F1(t, x, u) = F (t, u), T1 6 t 6 T1 + T, (3)

и для управляемого дифференциального включения (2) анализи-руются свойства программных движений x(t : t0, x0, u). КомпактI1 называется управляемым промежутком, I0 — неуправляемымпромежутком для (2). На числовой оси R рассмотрим сетку

St = ti : T0 = t0 < t1 < . . . < ti < . . . < tm = T1,

где ti — узлы. Пусть x : I0 → Rn — абсолютно непрерывная функ-

ция, x(ti)=def xi, XT0,T1 = xi : i = 0, 1, . . . m— база данных.Будем говорить, что x(t : t0, x0) реализует базу данных XT0,T1 ,если XT0,T1 = x(ti) : i = 0, 1, . . . m, где x(ti) = xi, x(t0 : t0, x0) == x0. Базу данных XT−1,T1 = xi : T−1 = t−1 < t0 < . . . < tm == T1 назовем левым расширением базы XT0,T1 . Пусть AC(I0) —класс абсолютно непрерывных функций, определенных на I0 иQ ⊂ AC(I0). Будем считать x ∈ Q. Если x(k) ∈ Q, k = 0, 1, . . . l, тосоответствующие базы данных на сетке St:

X(k)T0,T1

= x(k)(ti) : i = 0, 1, . . . m.

60

В этом случае X(k)T0,T1

: k = 0, 1, . . . l будем называть l-значной

базой, X(0)T0,T1

=def XT0,T1 , и функция x(k) реализует (порождает)

базу X(k)T0,T1

. Другими словами, если по функции x(k) создается

база, то x(k) порождает эту базу. Отношения

x(k)(ti) − x(k)(ti−1)

ti − ti−1

называются разделенными разностями. Тогда

mink

x(k)j (ti) − x

(k)j (ti−1)

ti − ti−16xj(ti) − xj(ti−1)

ti − ti−16

6 maxk

x(k)j (ti) − x

(k)j (ti−1)

ti − ti−1.

Если x(k) — функции, реализующие базы X(k)T0,T1

, то в ближайшейк ti−1 точке t ∈ I0 справедливы неравенства

mink

x(k)j (t) − x

(k)j (ti−1)

t− ti−16xj(t) − xj(ti−1)

t− ti−16

6 maxk

x(k)j (t) − x

(k)j (ti−1)

t− ti−1. (4)

Тогда при t→ ti−1 получим

µj(ti−1, x(ti−1)) 6dxj(ti−1)

dt6 λj(ti−1, x(ti−1)) (5)

почти всюду при i = 0, 1, . . . ,m+ 1. Здесь функции λj, µj постро-ены следующим образом. Так как max и min в неравенствах (4)достигаются, то они принимаются за значения функций λj и µj

в точках (ti−1, x(ti−1)). Задачу локализации неуправляемых дви-жений будем решать без явного присутствия функций λ и µ.

Пусть max xj(t) = k(i)jm, T0 + (i − 1)T1−T0

m 6 t 6 T0 + iT1−T0m ,

|k(i)jm| 6 µj (i = 1, 2, . . . m) ti = T0 + iT1−T0

m . Рассмотрим следую-

щие уравнения (в этом случае на компакте [T0, T1] функции λ и µ

61

являются кусочно-постоянными):

dyjm

dt= k

(i)jm, T0 +(i−1)

T1 − T0

m6 t 6 T0 + i

T1 − T0

m, i = 1, 2, . . . m,

dzjmdt

= b(i)jm, T0 +(i−1)

T1 − T0

m6 t 6 T0 + i

T1 − T0

m, i = 1, 2, . . . m.

Тогда yjm = k(i)jmt + C(i), T0 + (i − 1)T1−T0

m 6 t 6 T0 + iT1−T0m ,

C(i) = yjm(ti) − k(i)jmti и yj(m−1)(t) 6 yjm(t), T0 6 t 6 T1, m ∈ N.

Отсюда следует существование предела

limm→+∞

yjm(t) = yj(t), T0 6 t 6 T1.

Кроме того, kjm при m → +∞ стремится к конечному пределу.Поэтому функция yj(t) является абсолютно непрерывной. Анало-гично строится функция zj(t) и

zj(t) 6 xj(t) 6 yj(t), j = 1, 2, . . . n .

Следовательно, z(t) 6 x(t) 6 y(t), T0 6 t 6 T1.Множество K = x(t) : z(t) 6 x(t) 6 y(t) называется конусом

возможных траекторий.Построим конус возможных решений для нашей механической

системы, основываясь на БД, которая представляет собой значе-ния показаний различных приборов. Далее, для примера показанопостроение нижней его границы y = y(t)

На каждом отрезке [τi−1, τi] составляющая конуса возможныхтраекторий будет представлять собой решение дифференциаль-ного уравнения:

dy

dt= k(i)

m .

На графике изображен конус возможных решений для данной си-стемы на отрезке [0, T ]. Это линии max и min. Средняя линия —это экспериментальные показания одного из приборов.

Таким образом, не зная уравнений движения системы, мы опре-делили такую область — конус возможных траекторий, в которойбудет заключено движение, независимо от погрешности прибо-ров. Движение системы всегда будет находиться между верхней

62

−3

−2

−1

0

1

2

3

0 2 4 6 8 10 12

MaxMin

Конус возможных траекторий

и нижней составляющими конуса возможных траекторий. На от-резке [T, T2] в систему вводится управление u. Далее будем рас-сматривать нижнюю границу.

Пусть нам необходимо, чтобы в момент времени t = T2, ниж-няя составляющая конуса была не ниже чем x(T2) = 0 так, чтобыдействие внешних сил было наименьшим.

В период времени [T1, T2] на каждом участке разбиения [τi−1, τi],ломаная определяется соответствующим дифференциальным урав-нением:

dy

dt= k(i)

m + u(i)m ,

τi−1 < t < τi, τi−1 =T2 − T1

m(i− 1) + T1, τi =

T2 − T1

mi+ T1.

На этих ломаных рассматривается функционал качества:

I =

∫ T2

T1

f0(t, y(t), y(t))dt,

который на разбиении [T1, T2] заменяется интегральной суммой [3]:

S =m∑

i=1

f0(τi, y(τi), k(i)m +

(i)um

)T2 − T1

m

63

Необходимо найти такие кусочно-постоянные на интервалах [τi−1, τi]управления, чтобы:

S = S(u(1)m , u(2)

m , . . . , u(m)m ) → min .

Для механической системы рассмотрим принцип наименьшего дей-ствия или принцип Гамильтона [4]. Действием S за промежутоквремени от t1 до t2 называется интеграл

s =

∫ t2

t1

L(qk, qk, t)dt,

где L— функция Лагранжа рассматриваемой системы:

L(xi, xi, t) =∑

i

mix2i

2− U(xi, t).

Интегрирование производится от момента времени t1, в которомположение системы характеризуется значениями координат q1, домомента t2, в котором положение системы определяется значени-ями координат q2.

Согласно принципу наименьшего действия система между по-ложениями движется таким образом, что действие принимает наи-меньшее возможное значение.

Согласно принципу наименьшего действия, функционал каче-ства будет иметь следующий вид:

I =

∫ T2

T1

L(x, x, t)dt → min .

Из равенств y(T1) = y и y(T2) = y∗ получим ещё одно условие

u(1) + · · · + u(n) = y∗ −n∑

i=1

k(i) − y(T1).

Таким образом, чтобы решить задачу по переводу точки, намнеобходимо решим задачу на условный экстремум при уравненияхсвязи.

64

Функционал заменим соответствующей интегральной суммойS, минимум которой надо найти при условии

S =

m∑

i=1

(k(i) + u(i))2 → min .

Данную систему в общем случае можно решать методом Лагран-жа [5]. Однако в конкретном случае для уравнения связи вы-полнены условия теоремы о неявных функциях, поэтому выразивukчерез остальные неизвестные и подставив его в функционал ка-чества. Задача поиска условного экстремума сведется к вопросуоб обычном экстремуме [6].

Точку экстремума найдем из системы:

∂S

∂u(i)= 0, i = 1, . . . , n− 1,

2u1 + u2 + u3 + · · · + u11 = y∗ − y(T1) −∑11

i=1 k(i) + k(1),

u1 + 2u2 + u3 + · · · + u11 = y∗ − y(T1) −∑11

i=1 k(i) + k(2),

. . .

u1 + u2 + · · · + u10 + 2u11 = y∗ − y(T1) −∑11

i=1 k(i) + k(11) .

Это линейная система, и её решением для данных, представ-ленных на рисунке, будет вектор управлений(−1,3253 −1,0432 −1,0001 . . . −0,6354 −0,5034 0

).

Каждый элемент вектора представляет собой значение скорости,которое нужно придать системе на отрезке [τi−1, τi], чтобы в точкеT2 достичь нужного нам значения, т. е. нуля. При этом, в соответ-ствии с принципом наименьшего действия, энергия, затраченнаяна это изменение, будет минимальной.

Нижняя и верхняя составляющие конуса на управляемом участ-ке — сплошные линии графика на отрезке [T, T2].

Прогнозная кривая — решение, описывающее движение, все-гда будет находиться внутри конуса. Таким образом нам пред-ставляется возможным сузить конус возможных решений. В опи-санном решении предлагается способ прогноза поведения и управ-ление движением механических систем. Примером такой системыможет служить система типа математического маятника.

65

1. Воскресенский Е. В. Анализ баз данных и программных движений// Тр.

Средневолж. математ. об-ва, 2008. — Т. 10, 1. — C. 8–13.2. Zaremba S. C. Sur les equations au paratingent // Bull. des Sci. Math., 1936. —

Vol. 60, No. 5. — P. 139–160.3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. — М.:

Бином. Лаборатория знаний, 2008. — 636 c.4. Савельев И.В. Основы теоретической физики. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. —

304 c.5. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Численные методы. — М.:

Физматлит, 2005. — 384 c.6. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. — М.: Высш. шк., 1981. —

Т. 2. — 584 c.

Кафедра прикладной математики,

Мордовский государственный университет;

430000, г. Саранск, ул. Большевистская, 66.

kaledinoe@gmail.com

УДК 519.711.3:621.313

Н.В. Кирпиченкова

КРИТЕРИЙ САМОВОЗБУЖДЕНИЯ ВЕРТИКАЛЬНЫХКОЛЕБАНИЙ ПРИ СТАЦИОНАРНОМ ПЕРЕНОСНОМДВИЖЕНИИ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКОГО ПОДВЕСА

Рассмотрены вертикальные колебания электродинамическиподвешенного экипажа (ЭПЭ) в условиях равномерного перенос-

ного движения: ~V = V ~ex = const. В системе отсчёта, движущейсяотносительно полотна со скоростью v, уравнение вертикальныхколебаний ЭПЭ имеет вид

Mzc = Fz −Mg,

гдеM — масса ЭПЭ, приходящаяся на одну магнитную опору, zc == zc (t) — координата центра тяжести ЭПЭ, g— ускорение силытяжести, Fz — сила левитации на одну магнитную опору, котораяможет быть представлена в виде [1]

Fz = − 1

2π

∞∫

−∞

dm

l∫

0

Reψ∂B0

n

∂zdu, (1)

66

где l— длина профиля геометрически тонкого рельса; u— внут-ренняя координата на профиле рельса (0 6 u 6 l); m— параметрпреобразования Фурье по координате x; B0

n — нормальная к сре-динной поверхности рельса составляющая Фурье-образа векторамагнитной индукции эквивалентного витка, ток в котором пред-

полагается постоянным; производная ∂B0n

∂z вычислена на средин-ной поверхности рельса; Reψ— реальная часть Фурье-образа ска-лярной функции потока вихревых токов в рельсе.

В рассматриваемых условиях сила левитации (1) может бытьприведена к виду [2]

Fz(t) =l

µ0

∞∑

k=1

∞∫

−∞

λk

akx (t)−

− dk

t∫

0

akx (t− τ) cos (mvτ) e−dkτ

akz (t) dm,

где λk = λk (m) — характеристические числа интегрального опе-ратора краевой задачи расчета вихревых токов в проводящем рель-се [1, 3], отвечающие ортонормированным собственным функциямfk (m, u),

akx (t) ≡ akx (m, t) =

l∫

0

B0n (m, u, t) fk (m, u) du,

akz (t) ≡ akz (m, t) =

l∫

0

∂B0n (m, u, t)

∂zfk (m, u) du,

B0n (m, u t) ≡ B0

n (m, u, zc (t)) , dk (m) =2πλk (m)

µγh, µ = µ0e

−|m|h2 ,

µ0 — магнитная проницаемость вакуума, h и γ — толщина и про-водимость рельса.

На основе этих соотношений получено дифференциальное урав-нение рассматриваемых колебаний [4]:

δzc + 2β (v) δzc + ω20 (v) δzc = 0,

67

где

β (v) =l

2Mµ0

∞∑

k=1

∞∫

−∞

d2k −m2v2

(d2

k +m2v2)2λkdk

(−akz

∂akz

∂zc

)dm.

Как видно, коэффициент затухания β (v), рассматриваемыйкак функция переносной скорости v (с учетом неравенства

akz∂akx

∂zc< 0) при v → 0 является положительным: lim

v→0β (v)>0,

при v → ∞— отрицательным: limv→∞

β (v) < 0. Таким образом, су-ществует некоторое критическое значение скорости v = vc, припереходе через которое β (v) меняет знак (см. рисунок).

Исходя из уравнения β (vc) = 0, получена формула для кри-тической скорости

vc∼= 4λ1 (m∗) xA

µγh,

где m∗ = π2xA

, µ = µ0e−m∗h

2 , xA — продольный размер эквивалент-ного витка.

При v < vc осуществляется динамическое равновесие между«накачиваемой» в систему электродинамического подвеса мощ-ностью от внешнего источника (тягового двигателя, обеспечива-ющего переносное движения ЭПЭ) и мощностью, диссипируемой

Зависимость показателя затухания колебаний от переносной скорости ЭПЭ

68

в рельсе. При этом исследуемое состояние равновесия (δzc = 0,δzc = 0) является устойчивым фокусом.

При v > vc накачиваемая мощность уже превышает диссипи-руемую в теле рельса, что приводит к спонтанному возбуждениюи экспоненциальному росту амплитуды вертикальных механиче-ских колебаний ЭПЭ, сопровождающемуся экспоненциальным ро-стом вихревых токов, в энергию которых (экспоненциально рас-тущих вихревых токов и механических колебаний) и переходитизбыток накачиваемой энергии. При v > vc позади витка в те-ле рельса возникает след вихревых токов, подобно тому, как вгидродинамике возникает турбулентный след при обтекании по-током жидкости твердых тел, при числах Рейнольдса, превыша-ющих критическое значение [5]. В конечном счете взаимодействиемагнитного поля витка с этим следом вихревых токов приводит ктому, что состояние равновесия (δzc = 0, δzc = 0) превращается внеустойчивый фокус.

Для типичных численных значений параметров рельса и эк-вивалентного витка (xA = 25 · 10−2 м, γ = 3 · 106 Ом−1м−1,h = 2 · 10−2 м, λ1 (m∗) ∼ 1) получаем оценку vc ∼ 10м

c [4].

1. Астахов В.И., Кирпиченкова Н.В. Влияние ускорения на электромаг-нитную силу в системах электрической тяги и магнитного подвеса // Изв.

вузов. Электромеханика, 1998. — 2–3. — C. 3–12.2. Кирпиченкова Н.В. Дисс. . . . канд. физ.-мат. наук. — Волгоград: ВолГУ,

1998. — 127 c.3. Астахов В.И. Математическое моделирование инженерных задач в элек-

тротехнике. — Новочеркасск: НГТУ, 1994. — 192 c.4. Кирпиченкова Н.В. Критическая скорость самовозбуждения вертикаль-

ных колебаний при стационарном переносном движении электродинами-ческого подвеса // Изв. вузов. Электромеханика, 2004. — 3. — C. 17–20.

5. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Гидродинамика. — Наука, 1986. — 733 c.

Новочеркасское высшее военное командное училище связи,

г.Новочеркасск.

69

УДК 519.711.3:621.313

Н.В. Кирпиченкова

СТОХАСТИЧЕСКАЯ НАКАЧКА ЭНЕРГИИВЕРТИКАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКОГО ПОДВЕСАФЛУКТУАЦИЯМИ ТОКА В КАТУШКЕ

МАГНИТНОЙ ОПОРЫ

Рассмотрены малые случайные вертикальные колебания ЭПЭ,вызванные малыми случайными флуктуациями тока в катушкемагнитной опоры, в условиях равномерного переносного движе-ния: ~V = V ~ex = const. В системе отсчета, движущейся относи-тельно полотна со скоростью ~V , уравнение колебаний ЭПЭ имеетвид

Mzc = Fz −Mg, (1)

где M — масса ЭПЭ, приходящаяся на одну магнитную опору;zc = zc (t) — координата центра тяжести ЭПЭ, g— ускорение силытяжести; Fz = Fz (t) — сила левитации на одну магнитную опо-ру, которая в рассматриваемых условиях может быть приведенак виду [1]

Fz(t) = l∞∑

k=1

∞∫

−∞

λk

µ

akx (t)−

− dk

t∫

0

akx (t− τ) cos (mV τ) e−dkτdτ

akz (t) dm.

В последнем соотношении l— длина профиля геометрически тон-кого рельса; λk = λk (m) — характеристические числа некоторогоинтегрального оператора краевой задачи расчета вихревых токовв проводящем полотне рельса [2, 3], отвечающие ортонормиро-ванным собственным функциям fk (m, u), m— параметр преобра-зования Фурье по координате x; u— внутренняя координата напрофиле рельса (0 6 u 6 l),

70

akx (t) ≡ akx (m, t) =

l∫

0

B0n (m, u, t) fk (m, u) du,

akz (t) ≡ akz (m, t) =

l∫

0

∂B0n (m, u, t)

∂zfk (m, u) du,

B0n (m, u, t) ≡ B0

n (m, u, zc (t) , i (t)) ,

где B0n — нормальная к срединной поверхности рельса составляю-

щая Фурье-образа вектора магнитной индукции эквивалентноговитка, ток в котором i (t) испытывает малые случайные флук-туации δi (t), в качестве которых рассмотрен «цветной шум» —стохастический процесс Орнштейна—Уленбека [4]

〈δi (t)〉 = 0,⟨δi (t) δi

(t′)⟩

=⟨(δi)2

⟩e−

|t−t′|τc ,

где 〈. . .〉— символ усреднения по ансамблю реализаций стохасти-

ческого процесса,⟨(δ)2

⟩ 12

— среднеквадратичная флуктуация то-ка, τc — время автокорреляции,

dk (m) =2πλk (m)

µγh, µ = µ0e

−|m|h2 ,

h и γ — толщина и проводимость рельса, µ0 — магнитная прони-цаемость вакуума.

На основе уравнения (1) получено при V ≫ Vc (Vc — критичес-кая скорость самовозбуждения вертикальных колебаний ЭПЭ [5])стохастическое дифференциальное уравнение вертикальных коле-баний [6]

δzc + ω20δzc = ξ (t) , ξ (t) = εδi (t) .

В результате решения этого уравнения с соответствующиминачальными условиями получены следующие выражения для сред-ней энергии и среднеквадратичной амплитуды колебаний:

〈E (t)〉 = πMS (ω0, τc) t,⟨a2 (t)

⟩12 =

√2Dt,

71

где S (ω0, τc) =〈ξ2〉τc

π[1+(ω0τc)2]

— спектральная плотность мощности

стационарного случайного процесса ξ (t),D = D (ω0, τc) = πS(ω0, τc)ω2

0—

коэффициент диффузии амплитуды колебаний.Коэффициент диффузии D (ω0, τc) как функция времени ав-

токорреляции τc при фиксированной собственной частоте ЭПЭ ω0

имеет вид, приведенный на рисунке.Наиболее быстрый рост среднеквадратичной амплитуды ко-

лебаний, а вместе с нею и наиболее быстрый рост средней энер-гии колебаний в области больших значений переносной скоростиV ≫ Vc, происходит при τc = ω−1

0 . Именно флуктуации тока с та-ким временем автокорреляции при одинаковых

⟨ξ2⟩

и ω0 являют-ся наиболее «опасными» с точки зрения нежелательного развитиявертикальных колебаний ЭПЭ.

Коэффициент диффузии амплитуды колебаний

Полученные в этой работе результаты предъявляют опреде-ленные требования к системе питания катушки магнитной опоры,а также к системе управления траекторией движения ЭПЭ в обла-сти больших значений переносной скорости V ≫ Vc, где Vc ∼ 10 м

с[5], то есть при V > 100 м

с .

1. Кирпиченкова Н.В. Резонансы амплитуды вертикальных колебаний элек-тродинамически подвешенного экипажа, вызванные малыми периодиче-скими флуктуациями тока в катушке магнитной опоры // Изв. вузов.

Электромеханика, 2005. — 3. — C. 19–26.2. Астахов В.И. Математическое моделирование инженерных задач в элек-

тротехнике. — Новочеркасск: НГТУ, 1994. — 192 c.3. Кирпиченкова Н.В. Дисс. . . . канд. физ.-мат. наук. — Волгоград: ВолГУ,

1998. — 127 c.

72

4. Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках. — М.:Мир, 1986. — 526 c.

5. Кирпиченкова Н.В. Критическая скорость самовозбуждения вертикаль-ных колебаний при стационарном переносном движении электродинами-ческого подвеса // Изв. вузов. Электромеханика, 2004. — 3. — C. 17–20.

6. Кирпиченкова Н.В. Стохастическая накачка энергии вертикальных ко-лебаний электродинамического подвеса // Изв. вузов. Электромеханика,2008. — 4. — C. 9–14.

Новочеркасское высшее военное командное училище связи,

г.Новочеркасск.

УДК 530.145, 53:51, 535

М.Д. Ковалев

ПОДСЧEТ ЧИСЛА ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ УРОВНЕЙКВАНТОВОЙ ЧАСТИЦЫ В КУСОЧНО ПОСТОЯННОМ

ПОТЕНЦИАЛЬНОМ ПОЛЕ

Рассматривается одномерная задача перечисления стационар-ных состояний квантовой частицы в потенциальном поле. Основ-ным результатом является эффективная формула для подсчетачисла энергетических уровней частицы в произвольном кусочнопостоянном потенциальном поле с конечным числом участков по-стоянства потенциала. Результат получен усовершенствованиемметода, ранее примененного автором к частной задаче [1].

Назовем участки постоянства потенциала слоями. В случае ихконечного числа крайние слои с необходимостью неограничены.Стационарное состояние квантовой частицы описывается одно-мерным уравнением Шредингера [2], которое, выбирая определен-ным образом единицу длины и потенциал, в слое можно записатьтак:

−d2Ψ

dx2+ ujΨ = eΨ,

где Ψ(x) — волновая функция, e и uj — приведенные энергия ча-стицы и потенциал слоя. Стационарным состояниям частицы от-вечают решения краевой задачи для этого уравнения, а соответ-ствующие собственные значения (приведенной) энергии e в физи-ке называются энергетическими уровнями частицы в поле. Чтобы

73

получить собственные функции задачи, хорошо известные реше-ния этих линейных с постоянными коэффициентами дифференци-альных уравнений в слоях сшиваются по условиям непрерывностиих и их первых производных на границах слоев. Краевые условиясостоят в стремлении к нулю на бесконечности решения в край-них неограниченных слоях. Пусть число слоев равно n + 1 > 3,и потенциалы в крайних слоях равны u1 = 1 и un+1 > 1. Какизвестно, стационарные состояния возможны, лишь если имеет-ся слой с потенциалом меньшим u1 = 1. Пусть k-тый слой имеетнаименьший (приведенный) потенциал uk = 0. При таком выбо-ре приведенных потенциалов стационарным состояниям частицыотвечают значения ее приведенной энергии из интервала (0, 1).

Вывод нашей формулы основан на рассмотрении новой фор-мы дисперсионного уравнения для данной задачи, впервые при-веденной в [3] и названной автором «многослойным уравнени-ем» [4]. Чтобы выписать многослойное уравнение, введем харак-теристику qj, 1 6 j 6 n+ 1, j-того слоя, зависящую от приведен-ной энергии e частицы: qj =

√uj − e. Эта характеристика явля-

ется вещественной при e 6 uj и чисто мнимой qj = i√e− uj при

e > uj . Пусть t2, t3, . . . , tn — приведенные ширины ограниченныхслоев, а γj = qjtj, 2 6 j 6 n. Cоставим две вспомогательныхпоследовательности величин Qj и Pj (2 6 j 6 n), зависящих отхарактеристик qj . А именно, пусть Q2 = q1, а при j > 2

Qj+1 = qj th

(γj + arth

(Qj

qj

)).

Величины же Pj определяются следующим образом: Pn = qn+1, апри j < n—

Pj−1 = qj th

(γj + arth

(Pj

qj

)).

Многослойное уравнение записывается так:

th

(γj + arth

(Qj

qj

)+ arth

(Pj

qj

))= 0,

где 2 6 j 6 n— номер какого-либо из ограниченных слоев, кото-рый мы назовем выделенным.

Многослойное уравнение, как показывают примеры, можетиметь корни, совпадающие со значениями потенциалов uj слоев,

74

но не являющиеся собственными значениями энергии частицы.Однако, если в качестве выделенного слоя выбрать k-тый слой —слой с наименьшим (нулевым) потенциалом, то деля многослой-ное уравнение на мнимую единицу, приходим к вещественномууравнению

F ∗k (e) = tg

(tk√e− arctg

(Qk√e

)− arctg

(Pk√e

))= 0,

для которого верна следующая теорема.

Теорема. Корни уравнение F ∗k (e) = 0 на интервале (0, 1) суть

все собственные значения приведенной энергии частицы.Выпишем формулу для числа энергетических уровней. Рас-

смотрим две конечные последовательности вещественных чисел:

Q∗j(1 − 0) = AQ

j и P ∗j (1 − 0) = AP

j , 2 6 j 6 n. Очевидно,

AQ2 = Q∗

2(1 − 0) = 0 и APn = P ∗

n(1 − 0) =√un+1 − 1. Остальные

члены последовательностей легко строятся индуктивно.

Рассмотрим также последовательность Bj (2 6 j 6 n) опреде-ляемую следующим образом: при 0 6 uj < 1 имеем

Bj = −√

1 − uj lime→1−0

ctg(tj√e− uj),

при uj > 1 имеем

Bj = −√uj − 1cth(tj

√uj − 1),

а при uj = 1 —

Bj = − 1

tj.

Введем функцию Хевисайда

η_(x) =

1, при x > 00, при x 6 0.

Введем еще одну функцию — целую часть числа x с недостатком:[x]_. Под этой функцией мы разумеем наибольшее целое число,строго меньшее x при x > 0, и равное нулю при x 6 0.

75

И, наконец, пусть µj = min(1, uj). Тогда формула для числаK энергетических уровней имеет вид:

K =

k−1∑

j=2

[tj√

1 − µj

π

]

_

+ η_(Bj −AQj ) +

n∑

j=k+1

[tj√

1 − µj

π

]

_

+

+ η_(Bj −APj ) +

[1 +

tk − arctgAQk − arctgAP

k

π

]

_

.

1. Ковалев М.Д. Число энергетических уровней частицы в гребенчатойструктуре // ЖВМ и МФ, 2007. — Т. 47, 9. — C. 1590–1608.

2. Давыдов А.С. Квантовая механика. — М.: Наука, 1973. — 703 c.3. Майер А.А., Ковалев М.Д. Дисперсионное уравнение для собственных

значений эффективного показателя преломления в многослойной волно-водной структуре // ДАН, 2006. — Т. 407, 6. — C. 766–769.

4. Ковалев М.Д. Многослойное уравнение // Чебышев. сб., 2006. — Т. 7,2(18). — C. 99–105.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 08–01–90102–Мол.)

Кафедра вычислительной математики и математической физики,

МГТУ им. Н.Э. Баумана;

105005, г.Москва, 2-ая Бауманская ул., 5.

kovalev.math@mtu-net.ru

УДК 517.946:518.12:538.3:538.5

М.М. Корсун, М.Э. Рояк

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ СХЕМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯНАСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМА

Введение. Для решения уравнений Максвелла, описывающихнестационарные электромагнитные процессы в сложных техниче-ских устройствах, используют, как правило, векторный метод ко-нечных элементов. Однако при моделировании электромагнитныхпроцессов в областях с наличием объектов с высокой и нулевой(или почти нулевой) проводимостью основной (и главной) пробле-мой применения такого метода является вырожденность матрицы

76

системы конечноэлементных уравнений, что влечет за собой мно-жество решений системы.

Математическая модель. Для решения нестационарных за-дач электромагнетизма, в которых электромагнитное поле фор-мируется за счёт вихревых токов, циркулирующих в отдельныхобъектах с высокой проводимостью, окруженных непроводящейили очень слабопроводящей средой, можно использовать матема-тическую модель с совместным использованием векторного ~A искалярного U магнитных потенциалов [1].

Разделим расчетную область на две подобласти Ωσ и Ω0: вΩσ удельная проводимость σ 6= 0, а в подобласти Ω0 удельнаяпроводимостьσ = 0 и отсутствуют сторонние токи. Магнитнаяпроницаемость µ в обеих подобластях может быть произвольнойфункцией координат.

Электромагнитное поле в такой модели описывается системойиз двух уравнений: векторного уравнения

rot

(1

µrot~A

)+ σ

∂ ~A

∂t= ~Jст (1)

для вектор-потенциала~A, определенного в подобласти Ωσ, и ска-лярного уравнения

−div (µ gradU) = 0 (2)

для скалярного потенциала U , определенного в подобласти Ω0.На поверхности S∩ между подобластями Ω0 и Ωσ должны выпол-няться следующие условия сопряжения: условие непрерывностикасательных составляющих напряженности магнитного поля ~H:

(1

µrot~A× ~n

)∣∣∣∣S∩

= (− gradU × ~n)|S∩ (3)

и условие непрерывности нормальной составляющей магнитнойиндукции ~B: (

−µ∂U∂n

)∣∣∣∣S∩

=(rot~A · ~n

)∣∣∣S∩

, (4)

где ~n — нормаль к поверхности S∩.Будем полагать, что на границах расчетной области Ω = Ω0 ∪

Ωσ могут быть заданы краевые условия равенства нулю касатель-ных либо нормальных составляющих магнитной индукции.

77

Особенностью рассмотренной модели является то, что во мно-гих случаях для сохранения её корректности необходимо либовводить поверхности разрыва скалярного магнитного потенциалавнутри Ω0, либо изменять способ разделения расчётной областина подобласти Ω0 и Ωσ.

Аппроксимация по времени уравнения (1) приводит к вектор-ному уравнению вида

rot

(1

µrot~A

)+ γ ~A = ~F, (5)

где коэффициент γ и вектор-функция ~F определяются разностнойсхемой аппроксимации по времени.

Вариационная постановка. Вариационная постановка дляуравнений (5) и (2) с условиями сопряжения (3), (4) имеет вид:

∫

Ωσ

1

µrot~Arot~ΨdΩ +

∫

S∩

( gradU × ~n) ~ΨdS +

∫

Ωσ

γ ~A · ~ΨdΩ =

=

∫

Ωσ

~F · ~ΨdΩ, (6)

для всех ~Ψ ∈ HΩσ ;

∫

Ω0

µ gradU grad ΦdΩ −∫

S∩

(rot~A · ~n

)ΦdS = 0, (7)

для всех Φ ∈ HΩ0 , где HΩσ — пространство пробных вектор-функ-

ций ~Ψ, определенных на Ωσ, для которых функция rot~Ψ являетсясуммируемой с квадратом, при этом касательные всех функций~Ψ должны быть равны нулю на границе Sn ∩ Sσ (Sn — участокграницы расчетной области Ω = Ω0∩Ωσ, на котором задано усло-вие равенства нулю нормальных составляющих индукции магнит-ного поля, Sσ — граница области Ωσ); HΩ0 — пространство проб-ных скалярных функций Φ, имеющих интегрируемые с квадратомпервые производные и равных нулю на границе Sτ ∩S0 (Sτ — уча-сток границы, на котором задано условие равенства нулю каса-тельных составляющих индукции магнитного поля, S0 — границаобласти Ω0).

78

Для решения(~A, U

)системы вариационных уравнений (6),

(7) методом конечных элементов используется представление ис-комых потенциалов в виде разложения по базисным функциям [1]:векторным и скалярным соответственно. Вид этих функций зави-сит от того, какие конечные элементы использованы для построе-ния расчетной области. В большинстве случаев расчетная областьΩ имеет достаточно сложную геометрию, для описания которой,как правило, используют тетраэдральные элементы. Однако наи-более перспективным является использование смешанных сеток,которые позволяют объединить преимущества качества аппрок-симации решения на шестигранных элементах с преимуществамиописания произвольной трёхмерной геометрии тетраэдральнымии призматическими элементами.

Заключение. В данной работе рассмотрена вычислительнаясхема конечноэлементного моделирования нестационарных элек-тромагнитных полей, позволяющая вычислять магнитные поля внепроводящих подобластях через скалярный потенциал, что поз-воляет устранить многие трудности векторного метода конечныхэлементов. Однако, как показывают исследования, применение кполученной в ходе конечноэлементной дискретизации уравнений(8), (9) системе линейных алгебраических уравнений стандартныхитерационных методов решения не позволяет получить решениес приемлемыми временными затратами и требуемой точностью.Поэтому дальнейшие исследования будут связаны с реализациейспециальных методов решения систем конечноэлементных урав-нений для рассматриваемого класса задач.

1. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Персова М.Г. Метод конечных элементовдля решения скалярных и векторных задач: Учебн. пособ. — Новоси-бирск: НГТУ, 2007. — 869 c.

Новосибирский государственный технический университет,

г.Новосибирск.

maria.korsun@gmail.ru

79

УДК 519.23

В.А. Кузнецов, В. В. Кузнецов

ОБ ОСРЕДНЕНИИ СТАЦИОНАРНЫХСЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ

При измерении и регистрации реализаций стационарного слу-чайного процесса (СП) X(t) очень часто в технике используетсятак называемая операция взятия «скользящего среднего» от СП,которую называют также «осреднением» СП. Суть этого преобра-зования заключается в том, что вместо СП X(t) рассматриваетсяСП Yθ(t) имеющий вид:

Yθ(t) =1

θ

t+θ∫

t

X(τ)dτ, (1)

где θ— некоторая положительная детерминированная величина,называемая часто параметром осреднения. Параметр осредненияθ можно изменять и от него будут зависеть статистические свой-ства осреднённого процесса Yθ(t).

В дальнейшем будем рассматривать случай, когда X(t) — ста-ционарный в широком смысле случайный процесс [1].

Практически всегда считается, что статистические свойстваСП X(t) (особенно при малых значениях θ) не будут сильно от-личаться от аналогичных свойств процесса Yθ(t) . Поэтому напрактике в статистических расчетах используются характеристи-ки осреднённого СП Yθ(t), т. е. математическое ожидание и кор-реляционная функция, а характеристики СП X(t) остаются неиз-вестными.

В данной работе показывается, что даже несмотря на малостьпараметра осреднения, ошибки от замены реального СП X(t) наосреднённый СП Yθ(t) могут быть весьма значительными и ониопределяются не только параметром осреднения, но и свойствамисамого процесса X(t) (особенностями его корреляционной функ-ции).

В статье предложен способ восстановления корреляционнойфункции реального СПX(t), если известна корреляционная функ-ция осреднённого СП Yθ(t).

80

С использованием (1) легко показать [2], что СП Yθ(t) такжебудет стационарным в широком смысле, а математические ожида-ния реального СП X(t) и осреднённого СП Yθ(t) совпадают. Чтоже касается корреляционных функцийK(τ) иKθ(τ) соответствен-но реального и осреднённого процессов, то в [2] показано, что ониудовлетворяют разностному уравнению

K(τ − θ) − 2K(τ) +K(τ + θ) = θ2K ′′θ (τ). (2)

В уравнении (2) функцию Kθ(τ) следует считать известной, аопределению подлежит функция K(τ).

Методика решения уравнения (2), использованная в [2], даетвозможность записать решение этого уравнения в виде бесконеч-ного двойного ряда:

K(τ) = θ2∞∑

m=0

∞∑

n=1

K ′′θ (τ + nθ +mθ). (3)

Для наиболее часто используемых в приложениях конкретныхкорреляционных функций Kθ(τ) ряд (3) может быть либо про-суммирован и сведен к элементарным функциям, либо использо-ван для приближенных аппроксимаций корреляционной функцииK(τ).

Несмотря на то, что (3) действительно является решениемуравнения (2) (в этом легко убедиться простой подстановкой (3) в(2)), не всякое решение уравнения (2) будет являться корреляци-онной функцией некоторого стационарного случайного процесса.Действительно, корреляционная функция должна удовлетворятьеще некоторым дополнительным условиям [3], а именно:

1) K(0) > 0, 2) K(−τ) = K(τ), 3) |K(τ)| 6 K(0),

4) S(ω) = 12π

+∞∫−∞

eiωτK(τ)dτ > 0,(4)

где S(ω) — спектральная плотность стационарной случайной функ-ции X(t).

Рассмотрим некоторые конкретные выражения для корреля-ционных функций, часто применяемые в приложениях.

81

1. Пусть Kθ(τ) = σ2e−α|τ |, где α — положительный параметр.Используя (3), легко получить:

K(τ) = σ2 (αθ)2e−αθ

(1 − e−αθ)2 e

−α|τ |. (5)

Нетрудно проверить, что все условия (4) для выражения (5)выполняются и, значит, (5) является корреляционной функциейдля СП X(t). Однако, как легко видеть из (5), дисперсия СП X(t)уже равна

K(0) = σ2 (αθ)2e−αθ

(1 − e−αθ)2

и эта величина может значительно отличаться (см. [2]) от σ2 —дисперсии СП Yθ(t), причем и при малых значениях θ. Величи-на погрешности определяется величиной x = αθ и при большихзначениях x, погрешность может быть весьма велика [2].

2. Рассмотрим теперь двухпараметрическую корреляционнуюфункцию

Kθ(τ) = σ2e−α|τ | cos βτ,

часто используемую в приложениях. Параметры α и β будем счи-тать положительными. С помощью (3) получим

K(τ) = D(cos βτ + c sin β|τ |)e−α|τ |, (6)

где

D = σ2e−x

d

[(x2 − y2

)a+ 2xyb

], x = αθ, y = βθ,

a =(1 + e−2x

)cos y − 2e−x, b =

(1 − e−2x

)sin y,

c =2xya−(x2−y2)b

(x2−y2)a+2xyb, d =

(1 − 2e−x cos y + e−2x

)2.

(7)

Выражение (6) должно удовлетворять условиям (4), что с уче-том (7) приводит к следующей системе неравенств:

|cosβτ + c sin β|τ || 6 eα|τ |,x[(x2 − y2

)a+ 2xyb

]> y

∣∣2xya−(x2 − y2

)b∣∣ , (8)

причем первое неравенство должно выполняться при любых τ .Очевидно, что первое неравенство будет всегда удовлетворятьсяпри всех τ , если положить c = 0. В этом случае, если обозначить

82

x = ky ⇔ α = kβ, то получим a = k2−12k b, а второе неравенство

(8) дает b > 0. Окончательно, используя (7), получим уравнение

2k(1 + e−2ky) cos y − 4ke−ky − (k2 − 1)(1 − e−2ky) sin y = 0, (9)

корни которого должны удовлетворять условиям sin y > 0, y > 0.Легко показать, что уравнение (9) имеет бесконечно много кор-

ней yn (n ∈ Z), удовлетворяющих указанным условиям, и эти кор-ни находятся на интервалах (2nπ, (2n + 1)π). Заметим, что прибольших значениях k корни уравнения можно представить в видеyn = 2πn + γn, где положительная величина γn → 0 при n→ ∞.

Итак, при известных величинах α и β, вычисляя k = αβ , мы

получаем корни yn уравнения (9), а по этим корням находим бес-конечный набор параметров осреднения θ ≡ θn = yn

β , при исполь-

зовании которых в качестве решения (3) будет действительно по-лучаться корреляционная функция СП X(t).

Выбор того или иного значения параметра осреднения θn бу-дет определяться техническими возможностями аппаратуры. Какраз широкий набор значений θn может удовлетворить различныетребования к регистрирующей аппаратуре.

Вернемся, однако, к (8). Очевидно, что замена первого нера-венства в (8) на равенство c = 0, с одной стороны, упрощает ана-лиз этой системы неравенств, но, с другой стороны, оставляет внеполя зрения другие решения, которые могут приводить не толь-ко к дискретным значениям θn, но и к таким решениям, которыезаполняют непрерывно некоторые интервалы оси θ. И действи-тельно, численный анализ системы (8) показывает, что для любо-го набора значений (α, β) можно указать непрерывное множествозначений θ, которые удовлетворяют условиям (8). Так, например,для α = 0, 4; β = 1, 6 можно взять любой параметр осреднения θиз отрезков: [0;2], [3,5;4], [5;5,5] и т. д. Таких отрезков будет счет-ное множество.

3. В качестве последнего примера рассмотрим корреляцион-ную функцию вида

Kθ(τ) = σ2e−α|τ |(

cosβτ +α

βsin β|τ |

),

где α и β — положительные параметры. Применяя (3), получаем

K(τ) = M(cos βτ + p sinβ|τ |)e−α|τ |, (10)

83

где

M =σ2(x2 + y2)e−x

yd(xb− ya), p =

xa+ yb

xb− ya, (11)

а величины x, y, a, b, d такие же, как и в (7).Используя (10), (11) и (4), так же как и в предыдущем случае,

получим систему ∣∣∣cos βτ + ka+b

kb−a sin β|τ |∣∣∣ 6 eα|τ |,

|k(kb− a)| > |ka+ b| , b > 0.(12)

Легко видеть, что если положить ka+b = 0, то первое неравен-ство в (12), которое должно выполняться для всех τ , будет верновсегда. В этом случае система (12) сводится, как легко видеть, кодному условию: b > 0 ⇒ sin y > 0 и для определения корнейy = βθ будем иметь уравнение.

k(1 + e−2ky) cos y − 2ke−ky + (1 − e−2ky) sin y = 0,

которое нужно решать при условиях sin y > 0, y > 0. В данномслучае, можно также проверить, что корней yn, n ∈ Z∪ 0 будетбесконечно много и все они могут быть заданы формулой yn == π

2 + 2πn+ δn где положительная величина δn → 0 при n→ ∞.Полученные значения yn при известных α и β дают возмож-

ность получить целый спектр параметров осреднения θ ≡ θn = yn

β ,

при которых решение (3) будет давать корреляционную функциюСП X(t), свободную от всех погрешностей процедуры осредне-ния (1).

Отметим, что указанная процедура получения величин θn

должна быть признана приближенной и, на самом деле, к по-лученным решениям θn, могут быть добавлены другие решения,найденные при численном анализе системы (12). Этот численныйанализ показывает, что для любых наборов величин (α, β) можнонайти бесчисленное множество значений величин θ, которые ужене будут дискретными числами, а заполняют непрерывно некото-рые интервалы. Так, если α = 0, 3; β = 0, 8, то значения θ можнобрать из отрезков [0;4], [8,9;9,9], [18,8;19,7] и т. д.

1. Свешников А.А. Прикладные методы теории случайных функций. — На-ука, 1968. — 464 c.

84

2. Евдокимов М.А., Кузнецов В.А., Кузнецов В. В. Математические аспек-ты преобразования случайных процессов // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Техн. науки, 2008. — 1(21). — C. 69–73.

3. Тихонов В.И., Шахтарин Б.И., Сизых В.В. Случайные процессы. При-меры и задачи. — Радио и связь, 2003. — Т. 1: Случайные величины ипроцессы. — 400 c.

Самарский государственный технический университет,

443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

aktiv70@nm.ru

УДК 519.6:533.7/.9

Е.Н. Ладоша, Д.С. Цымбалов, О. В. Яценко

НОВЫЕ МЕТОДЫ И ОЦЕНКИ ВЛИЯНИЯ ЗАПУСКОВРАКЕТНО-КОСМИЧЕСКОЙ ТЕХНИКИ НА ОЗОНОВЫЙ

СЛОЙ ЗЕМЛИ

Интенсификация космических полетов при помощи ракет-но-сителей (РН) ставит проблемы сохранения озонового слоя стра-тосферы (озоносферы). Нарушение стратосферного баланса и ди-намики O3 влияет не только на перенос ультрафиолетового (УФ)излучения к поверхности Земли, но также на химизм нижней ат-мосферы. Научную основу программ защиты озоносферы состав-ляют результаты экспериментальных исследований ракетных воз-мущений и вычислительного эксперимента [1, 2]. Они состоят вследующем:

1) локальные (десятки километров × 1 ÷ 3 тысячи секунд)ракетные возмущения озоносферы стали доступными дляэкспериментального изучения, в то время как долгосроч-ные последствия не подлежат мониторингу;

2) удалось ранжировать риски нарушения озоносферной ди-намики в зависимости от химического состава ракетныхтоплив: наиболее опасны твердотопливные РН, вбрасыва-ющие в стратосферу соединения хлора и частицы алюми-ния, которые катализируют «хлорный» цикл гибели озо-на; вклад жидкотопливных РН в долгосрочном глобальномплане незначителен;

3) хотя ведущую роль при квантификации первичных озоно-вых «дыр» играет способ описания и количественные ха-

85

рактеристики механической диссипации следового облака,адекватная схематизация диссипации реактивной струи РНпредложена лишь в последних работах авторов;

4) кинетическое описание процессов в следовом облаке бази-руется на слишком упрощенных схемах реагирования, а ра-диационное поле принимается не зависящим от иницииро-ванных химизма и процессов мезомасштабного переноса;

5) остро востребованы модели как существенно более деталь-ные в части физико-химического и пространственно-вре-менного разрешения, так и, наоборот, предельно упрощён-ные для интерпретации экспериментальных данных и при-кидочных расчётов.

Пионерскими являются результаты инициативных исследова-ний авторов, поддержанные грантами РФФИ и Министерства об-разования и науки РФ. В рамках этих проектов созданы научнаяоснова и практические методики определения предельно допусти-мых уровней воздействия ракетно-космической техники на озо-новый слой Земли с целью выработки экологически безопаснойстратегии освоения космического пространства с помощью ракет.Решён комплекс фундаментальных задач физико-химической ки-нетики, что потребовало выработать новые теоретические поло-жения и соответственно оригинальные экспериментально-анали-тические методы. Сущность подхода заключается в интеллектуа-лизации исследований при помощи лабораторных информацион-ных комплексов, содержащих элементы искусственного интеллек-та и позволяющих автоматизировать обработку больших объёмовданных.

Важнейшими результатами проведенных исследований стали:1) проблемно-ориентированная база кинетических, термоди-

намических и спектральных коэффициентов, позволяющаяавтоматически генерировать проблемные модели;

2) практическое согласование кинетики и термодинамики ком-пьютерных моделей стратосферных процессов, в т. ч. привозмущениях ракетными выбросами, на уровне исходныхданных и генерирующих алгоритмов;

3) всестороннее изучение адекватности разработанного подхо-да и его элементов;

4) уточнение моделей турбулентной диссипации реактивногоследового облака в стратосфере;

86

5) интеграция передовых известных и оригинальных моделейв рамках иерархической структуры, составляющей научно-методическую основу реализуемого проектом лабораторно-го образца;

6) создание и отработка проблемно-ориентированных алгорит-мов дискретизации многокомпонентных задач «кинетика –транспортные процессы»;

7) факторизация количественных и качественных характери-стик применительно к параметрам ракетного следового об-лака в озоносфере;

8) методы вычислительного эксперимента с моделями высоко-го разрешения, которые позволяют детально изучать дина-мику первичных озоновых дыр, возникающих при запускахсовременных ракет-носителей;

9) выявление слабых мест в моделях высокого разрешения идейственные способы их усовершенствования;

10) методика проецирования подробных компьютерных моде-лей на маломерные аналоги с целью разработки прибли-женной методики квантификации экологических ущербов,сопутствующих освоению космического пространства припомощи современной ракетной техники и перспективныхаэрокосмических систем [1, 2].

Расчёты подтвердили [1, 2], что деструкция стратосферногоозона в сопоставимой степени зависит от наземных и ракетныхисточников озон-веществ. Первичные озоновые дыры, в которыхпрактически отсутствует озон, существуют от десятка минут донескольких часов (достигая размера в несколько километров), по-сле чего рассасываются. Их динамика слабо зависит от типа ре-активного топлива РН. Отдалённые последствия кумулятивногохарактера зависят от вида ракетного топлива: наиболее безопас-ными для озоносферы оказываются гептильные ракеты, озон-ак-тивные выбросы которых не характеризуются кумулятивным дей-ствием. Гораздо опасней твердотопливные РН на Cl-содержащихтопливах. В следе таких РН (в области догорания) значительнаячасть HCl трансформируется в катализирующие распад озона ча-стицы Cl и Cl2. Ввиду длительности существования частиц актив-ного хлора в стратосфере (свыше 2 лет), озоновая дыра глобализу-ется. Существенно также, что процесс заметно ускоряют содержа-щие алюминий-присадки в составе твёрдых ракетных топлив: их

87

влияние на глобальное истощение озона оценивается величиной до2,6×10−8 относительных единиц ежегодно (при современной ин-тенсивности ракетных запусков). Надёжно установлено, что вели-чина коэффициента турбулентной диссипации реактивного следав ряде предшествующих работ занижена на порядок. Результатынаблюдений объясняет отработанная авторами модель рассеива-ния реактивного ракетного следа в стратосфере — с двумя после-довательно реализующимися механизмами диссипации, сменяю-щими один другой через ∼ 10 минут после пролета ракеты.

1. Tyrrel W., Smith Jr., Edwards J. R. et al. Summary of the impact of launchvehicle exhaust and deorbiting space and meteorite debris on stratosphericozone: Sci. report by TRW Space & Electronics Group,. — MIT, Cambridge,MA, Lawrence LNL, Livermore, CA, 1999. — 146 p.

2. Экологические проблемы и риски воздействия ракетно-космической тех-ники на окружающую природную среду: Справочное пособие / ред. А.В.Адушкин. — М.: Анкил, 2000. — 640 с.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 05–08–12275–офи).

Донской государственный тeхнический университет, г. Ростов-на-Дону.

ladoscha@mail.ru; oleg_v_yatcenko@mail.ru

УДК 622.692.4

А.В. Лежнeв

ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССОВ АБСОРБЦИОННОЙОСУШКИ ГАЗА

Газовая промышленность является одной из ключевых госу-дарствообразующих отраслей экономики России, обеспечивающейтопливными и сырьевыми ресурсами промышленность, сельскоехозяйство, социальную сферу и приносящей существенную частьвалютных поступлений в бюджет страны. Вполне закономерно,что функционирование столь масштабной отрасли сталкиваетсяс разнообразными проблемами, обусловленными тяжёлыми при-родными условиями добычи, подготовки и транспорта газа, жёст-кими экологическими требованиями, сложными экономическимиусловиями. Данные обстоятельства приводят к постоянному услож-

88

нению задач управления отраслевыми структурами, повышениюактуальности их оптимального решения.

Технологические процессы (ТП) подготовки добываемого при-родного газа определяются его свойствами. На газовых промыс-лах (ГП) ряда месторождений осуществляется абсорбционная осуш-ка газа. Каждый ГП в полной мере может рассматриваться каксистема с распределёнными параметрами. В настоящей работерассматривается алгоритм оптимального управления процессамиабсорбционной осушки газа на ГП, предназначенный для реали-зации в АСУ ТП.

Одним из направлений повышения эффективности функцио-нирования ГП является снижение технологической составляющейсебестоимости подготовки газа. Указанным целям в значительнойстепени отвечает критерий оптимальности, предполагающий ми-нимизацию суммарной подачи абсорбента в абсорберы с учётомограничений:

n∑

i=1

Fi → min, F ′i 6 Fi 6 F ′′

i ,

где суммирование проводится по номерам всех параллельно рабо-тающих абсорберов в количестве n. Уменьшение суммарной пода-чи абсорбента позволяет снизить затраты электроэнергии на пи-тание насосов, уменьшить износ оборудования, сократить потериабсорбента, снизить нагрузку на установку регенерации абсорбен-та.

Основными планируемыми показателями работы ГП являют-ся производительность Q и температура точки росы (ТТР) Y то-варного газа. Давление P и ТТР Y газа определяют его влагосо-держание W по эмпирическому соотношению вида W = W (P, Y )(см. напр. [1]). В терминах влагосодержания естественным обра-зом формулируются ограничения по количеству и качеству газа:

n∑

i=1

Qi = Q,n∑

i=1

QiWi 6 QW (P, Y ),

где Qi — известные расходы газа по абсорберам, Wi — влагосодер-жание осушенного газа на выходе абсорберов.

В основе задачи оптимизации процесса осушки лежит агреги-рованная математическая модель абсорбции влаги из природного

89

газа раствором абсорбента, опирающаяся на соотношение

Wi = W ∗ +(W −W ∗) exp(−σi

Fi

Qi),

где W — влагосодержание газа на входе абсорберов, W ∗ — равно-весное влагосодержание, σi — коэффициенты абсорбции (см. [2]).

Поставленная задача является классической задачей матема-тического программирования. Численные методы решения подоб-ных задач разработаны весьма широко и детализировано (см.,напр., [3]) и реализованы в виде специальных модулей, процедури функций в математических пакетах, табличных процессорах,библиотеках подпрограмм. Для целей АСУ ТП использование го-товых алгоритмов признано нецелесообразным по ряду причин, втом числе и следующих:

– стремление разработчиков алгоритмов к максимальной общ-ности отрицательно сказывается на эффективности работы;

– применение заимствованных алгоритмов сопряжено с необ-ходимостью выполнения жёстких требований лицензионныхсоглашений.

В основу разработки адекватного алгоритма решения постав-ленной задачи положены следующие принципы, представляющиев некоторой степени отход от классических методик оптимизации:

– учёт специфики задачи и, в частности, наличия простыханалитических решений для упрощённых моделей;

– отказ от итерационных процессов с неизвестным заранее чис-лом повторений;

– отступление от завышенной точности решения (посколькурезультаты решения поступают на управление исполнитель-ными механизмами весьма ограниченной чувствительности).

Аналитические исследования позволяют заменой переменных

xi =Qi

Q· W −W ∗

W −W ∗exp(−σi

Fi

Qi) ≡ xi (Fi)

привести исходную задачу к следующей:

n∏

i=1

xαi

i → max,n∑

i=1

xi = 1, x′i 6 xi 6 x′′i ,

90

где x′i = xi (F′i ), x

′′i = xi (F

′′i ), αi = Qi

σi> 0. Без учёта ограниче-

ний на область изменения переменных xi полученная задача име-ет простое решение, которое используется в качестве начальногоприближения к искомому оптимальному решению.

Работоспособность алгоритма подтверждена результатами егокомплексного тестирования по следующим показателям:

– надёжность: проведено около 750 млн. тестовых просчётовна потоке случайных данных с учётом срока службы АСУ ипериодичности решения задачи, которые не выявили сбоевв работе;

– оптимальность: в 99,5 % тестов найденное квазиоптималь-ное значение задачи менее чем на 1 % отличается от действи-тельно оптимального решения, найденного методом полногоперебора;

– скорость: алгоритм вычисляет квазиоптимальное решениепочти на порядок быстрее, чем стандартные общие оптими-зационные процедуры;

– устойчивость решения: обеспечивается в достаточной степе-ни.

Тестирование показало высокие качества разработанного ал-горитма, возможность его применения в составе АСУ для опти-мального управления ГП в режиме реального времени и получе-ния экономического эффекта с высокими показателями чистогодисконтированного дохода, внутренней нормы доходности, дис-контированного срока окупаемости.

1. Гухман Л.М. Подготовка газа северных месторождений к дальнему транс-порту. — Л.: Недра, 1980. — 161 c.

2. Автоматизированные системы и средства управления технологиескимипроцессами: Сб. тр. — Краснодар, 2004. — 360 c.

3. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. — М.: Мир,1985. — 509 c.

Краснодарский филиала Российского государственного

торгово-экономического университета, г.Краснодар

alex.lzhnv@inbox.ru

91

УДК 512.516.5

М.В. Лежнёв

ЗАДАЧА ОБТЕКАНИЯ ПЛОСКОГО ПРОФИЛЯС ИСТОЧНИКАМИ НА ГРАНИЦЕ

Предлагается алгоритм решения задачи потенциального обте-кания несжимаемой жидкостью плоского профиля с расположен-ными на границе источниками (стоками). Интенсивности источ-ников задаются изменением константы функции тока на участ-ках границы. Алгоритм основан на представлении функции токаинтегралами типа потенциалов и приближении данного представ-ления системой функций, линейно независимой и полной в про-странстве L2(S) [1]. Приведены линии тока такого обтекания дляпрофиля Жуковского с двумя источниками с различными значе-ниями циркуляции около профиля.

Пусть имеем ограниченную односвязную область Q ∈ R2 с

кусочно-гладкой границей S = ∂Q, которая обтекается потен-циальным потоком несжимаемой жидкости со скоростью w(x),x = (x1, x2). Пусть известна скорость на бесконечности w(∞) == u0, v0, граница S — линия тока обтекающего течения в Q+ == R

2 \Q.Для несжимаемого поля скоростей w(x) выполняется divw(x) =

= 0, существует функция тока ψ(x) течения w(x), ∇ψ(∞) == −v0, u0, ψ(x)

∣∣S

= B = const; для потенциального обтекания

(rotw(x) = 0) выполняется ∆ψ(x) = 0 при x ∈ Q+.Функция тока рассматриваемой задачи гармонического обте-

кания имеет представление [1]

ψ(x) = (u0x2 − v0x1) +

∫

S

g(y)E(x − y)dsy, x ∈ Q+,

где искомая плотность вихрей g(y) может быть аппроксимированафункциями

gN (y) =

N∑

n=1

cnln|zn − y|;

это представление единственно, если потенциал Робена на S неравен нулю [2].

92

1. Рассмотрим систему функций

σn(x) =

∫

S

ln|zn − y|E(x− y)dsy,

где E(x) — фундаментальное решение уравнения Лапласа, zn ∈Q+ — базисная последовательность точек, удовлетворяющая усло-вию единственности гармонических функций [1]. Справедливо сле-дующее утверждение: система функций σn(x)∞n=1 линейно неза-висима и полна в подпространстве L2(S).

Рассмотрим аппроксимацию

ψN (x) = (u0x2 − v0x1) +N∑

n=1

cnσn(x)

функции тока ψ(x), x ∈ Q+; ψN (x) → ψ(x) при N → ∞.Для нахождения аппроксимации ψN (x) функции тока в Q+ с

условием непротекания ψ(x)∣∣S

= B на границе S решается вари-ационная задача

∥∥ψN (x) −B∥∥2

L2(S)→ min

c

для определения коэффициентов c = (c1, c2, . . . , cN ), что приво-дит к необходимости решения системы линейных алгебраическихуравнений с матрицей Грама. Здесь ‖·‖2

L2(S) — норма в простран-

стве L2(S). Для некоторых профилей картины обтекания с раз-личными значениями циркуляции можно найти, например, в [3, 4].

2. Для моделирования точечных источника и стока на границес одинаковыми интенсивностями предположим, что ψ(x)

∣∣S1

= B1,

ψ(x)|S2 = B2, S = S1 ∪ S2, т. е. S1 и S2 — две связные части S,B1 6= B2. Тогда минимизируемый функционал может иметь вид

∥∥ψN (x) −B1

∥∥2

L2(S1)+∥∥ψN (x) −B2

∥∥2

L2(S2).

Изменение интенсивностей источника и стока достигается из-менением разности B1 − B2, перестановка B1 и B2 меняет знакиисточника и стока.

3. Численная реализация алгоритма. Для симметричного про-филя Жуковского с параметром µ = 0, 15 и угла атаки набегаю-щего потока в 30 приведены линии тока c парой «источник-сток»

93

в точках t1 = 1,5 и t2 = 4 параметра t задания профиля, (со-ответствующие точки видны на рисунках); при этом постояннаяфункции тока принимала на соответствующих участках профилязначения B1 = 0,1 и B2 = −0,1. Для приведенных картин обтека-ния изменялось лишь значение множителя γ перед потенциаломРобена, который является функцией тока чисто циркуляционногообтекания [2], на рисунках они равны соответственно γ = −0,1 иγ = −0,11. На рисунках показаны также базисные точки.

Рис. 1. γ = −0,1 Рис. 2. γ = −0,11

Алгоритм реализован на языке программирования Fortran,графика — на языке Pascal.

1. Лежнёв В. Г., Данилов Е.А. Задачи плоской гидродинамики. — Красно-дар: КубГУ, 2000. — 92 c.

2. Лежнёв В.Г. Функция тока задачи плоского обтекания, потенциал Робе-на и внешняя задача Дирихле// ДАН, 2004. — Т. 394, 5. — C. 615–617.

3. Лежнев В. Г. Автореф. . . . канд. физ.-матем. наук. — Ростов-на-Дону,2006. — 18 c.

4. Лежнёв В. Г. Выбор циркуляции в задаче обтекания профиля / В сб.:Инновационные технологии в образовательном процессе: Матер. Х Юби-лейной международн. научно-практич. конф. — Краснодар: КВВАУЛ,2008. — C. 94–99.

Работа поддержана Министерством образования и науки

(проект 2.1.1/3828), 2009-2010.

Кафедра математики и информатики,

Краснодарское высшее военное авиационное училище лётчиков.

lezhnev@kubstu.ru; lzhnv@mail.kubsu.ru

94

УДК 517.977.1/5.(575.2)(04)

Л. Г. Лелёвкина

ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА ИНДУКЦИОННОГОНАГРЕВА ОБСАДНОЙ КОЛОННЫЙ НЕФТЯНОЙ

СКВАЖИНЫ В ГОРЯЧЕМ РЕЖИМЕ

Введение. В данной работе на основе применения методикиоптимизации систем c распределёнными параметрами [1] получе-на структура оптимального управляющего воздействия при мощ-ности внутренних источников нагрева, выраженных через функ-ции Кельвина первого порядка и их производные. Численное ре-шение проводится интегро-интерполяционным методом [2]. На ос-нове численных экспериментов даются рекомендации по выборуштрафных параметров, обеспечивающих оптимальный режим ин-дукционного нагрева.

1. Постановка задачи. Управляемый процесс индукционно-го нагрева в горячем режиме с распределенными источникамиэнергии в области Q = 0 < t 6 t1, 0 < r < R описываетсяуравнением теплопроводности

∂T

∂t= a

∂2T

∂r2+a

r

∂T

∂r+a

λw(r)u(t)

с начальным условием T (0, r) = ϕ1(r) и условиями

∂T (t, 0)

∂r= 0,

∂T (t, r)

∂t

∣∣∣∣r=R

= h [TR − T (t, R)] ,

где w(r) =√

2K(ber′2Z+bei′2Z)ber′ZberZ+bei′ZbeiZ

, K = 1∆K

, z =√

2rK; berZ, beiZ,

ber′Z, bei′Z — функции Кельвина и их производные.Задача минимизации линейного функционала энергии заменя-

ется задачей минимизации функционала вида [3]:

F [u, β, γ, c] = β

γ

t1∫

0

u(t)dt +

t1∫

0

[u(t) − c]2 dt

+

+

R∫

0

r [T (t1, r) − ϕ2(r)]2 dr.

95

Структура оптимального управляющего воздействия.Согласно необходимому условию оптимальности для систем с рас-пределенными параметрами [1] имеем

F (v + ∆v) − F (v) > 0.

Для того чтобы приращение функционала было положитель-ным, достаточно выполнения равенства [4]

t1∫

0

∆v

2βv −

R∫

0

w(r)ψ(t, r)dr

dt = 0,

из которого получаем структуру оптимального управляющего воз-действия:

v(t) =

R∫0

w(r)ψ(t, r)dr

2β.

Тогда искомое оптимальное управление примет вид

u(t) = c− γ

2+

R∫0

rw(r)ψ(t, r)dr

2β.

Численная реализация задачи в среде Borland Delphi 7и анализ полученных результатов. При численных расче-тах в горячем режиме были использованы данные из работы [5]:

ρ = 1, 11 · 10−4 Омм , f = 3000 Гц, R = 6,4 см, a = λ1

cρ= 0,066 см2

сек ,

h = 0,016, TR = 850 C.Конечное распределение температуры по сечению 0 6 r 6 R

в горячем режиме, в отличие от холодного режима [6], задаетсяфункцией: ϕ2(r) = 1150 + 100

R r.В результате проведенных численных экспериментов исследо-

вались зависимости значений минимизируемого функционала Fот значений времени нагрева t1 и коэффициентов c, γ, β. Анализэкспериментов выявил следующие закономерности:

– при исследовании зависимости минимизируемого функцио-нала от времени нагрева установлено, что увеличение вре-мени t1 > 12 с влечет резкое увеличение значений функцио-нала;

96

– такой же значительный рост функционала наблюдается призначениях параметра c /∈ [0, 07; 0, 2];

– при уменьшении значений параметра γ < 10−3 наблюдаетсяпрямо-пропорциональная зависимость минимума функцио-нала от значений параметра c;

– при увеличении значений параметра β > 103 наблюдаетсяобратно-пропорциональная зависимость минимума функци-онала от значений параметра ;

– при уменьшении β с 1, 3 · 1010 по 5 · 109 значения функцио-нала уменьшаются с 20 до 9 кДж/см2, но при достижениизначения β = 108 и при дальнейшем уменьшении β с 108 до3 · 107 наблюдается резкий рост значений функционала с 9до 435 кДж/см2;

– при увеличении γ с 8 · 10−8 до 10−7 возрастают и значенияфункционала с 9 до 18 кДж/см2 при фиксированных t1 == 7,8 сек, β = 108, = 0,11;

– при малых γ < 10−7 зависимость значений функционала отγ незначительна, колебания в пределах 0,1–0,2 кДж/см2.

Как показали исследования, наилучшие результаты получаемпри значениях t = 7,8, γ = 6 ·10−7, β = 6,8 ·107, c = 0,11, обеспечи-вающих минимальное значение функционала F = 8,6 кДж/см2.

1. Егоров А.И. Основы теории управления. — М.: Физматлит, 2004. — 464 c.2. Lelevkina L.G., Sklyar S.N., Khlybov O. S. Optimal Control and Heat Con-

ductivity // Automation and Remote Control, 2008. — Vol. 69, No. 4. —P. 654–667.

3. Lelevkina L.G., Samohvalova T. P., Shemyakina T.A. Numerical Solution ofthe Synthesis Problem of Optimal Inductive Heat / In: Analytical and Ap-proximate Methods: International Conference at the Kyrgyz- Russian SlavicUniversity (Bishkek, Kyrgyzstan); ed. H.-P. Blatt, R. Felix, L.G. Lelevkina,M. Sommer. — Aachen: Shaker Verlag, 2003. — P. 163–171.

4. Лелёвкина Л. Г., Черноморцев Е.А., Сейтказиев У.А. Оптимальное уп-равление процессом индукционного нагрева обсадной колонны нефтя-ной скважины / В сб.: Программные системы: Теория и приложения. —М.: Ин-т программных систем РАН, 2006. — C. 227–247.

5. Ковалёва Л.А., Насыров Н.М., Максимочкин В.И., Суфьянов Р. Р. Изу-чение теплопроводности высоковязких углеводородных систем методомэкспериментального и математического моделирования // ПМТФ, 2005. —46. — C. 96–102.

6. Лелёвкина Л.Г., Новиков И. Оптимизация индукционного нагрева обсад-ной колонны нефтяной скважины в холодном режиме / В сб.: Проблемыуправления и информатики. — Бишкек, 2007. — C. 203–208.

КРСУ, г. Бишкек, Кыргызстан.

lelevkina_l@mail.ru

97

УДК 621.313

Ю.И. Лютахин

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕИ КООРДИНАТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАГНИТНЫХ

ПАРАМЕТРОВ СРЕД

Под магнитной характеристикой сплошной среды понимаетсязависимость

~B = ~B(~H)

(1)

или обратная ей зависимость

~H = ~H(~B), (2)

где ~B и ~H — вектор магнитной индукции и вектор напряженностимагнитного поля, соответственно. Каждая из этих зависимостейможет быть заменена соответствующими ей тремя скалярнымиуравнениями:

Bq1 = Bq1 (Hq1,Hq2,Hq3) ;

Bq2 = Bq1 (Hq1,Hq2,Hq3) ; (3)

Bq3 = Bq1 (Hq1,Hq2,Hq3) ,

где Bq1, Bq2, Bq3 — проекции вектора ~B на оси произвольной орто-гональной системы координат 0q1q2q3. Для безгистерезисных маг-нитных сред функции (1) и (2) являются однозначными, непре-рывными и дифференцируемыми.

Под параметрами магнитной характеристики сплошной средыподразумевается [1] полная производная векторной функции (1)или (2). В соответствии с общим определением [2], производнаявекторной функции по векторному аргументу изображается мат-рицей, jk-тый элемент которой равен частной производной j-тогоэлемента функции по k-тому её аргументу. Следовательно,

µ =d ~B

d ~H=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂Bq1

∂Hq1

∂Bq1

∂Hq2

∂Bq1

∂H3∂Bq2

∂Hq1

∂Bq2

∂Hq2

∂Bq2

∂Hq3∂Bq3

∂Hq1

∂Bq3

∂Hq2

∂Bq3

∂Hq3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

µq1q1 µq1q2 µq1q3

µq2q1 µq2q2 µq2q3

µq3q1 µq3q2 µq3q3

∣∣∣∣∣∣·

98

Элементы µjk матрицы по своему физическому содержанию пред-ставляют собой частные дифференциальные магнитные проница-емости среды. В соответствии с определением полной производнойлюбой функции, справедливо векторное равенство

d ~B =d ~B

d ~Hd ~H = µd ~H (4)

или равнозначная ему система скалярных равенств

dBq1 =∂Bq1

∂Hq1dHq1 +

∂Bq1

∂Hq2dHq2 +

∂Bq1

∂Hq3dHq3 =

= µq1q1dHq1 + µq1q2dHq2 + µq1q3dHq3;

dBq2 =∂Bq2

∂Hq1dHq1 +

∂Bq2

∂Hq2dHq2 +

∂Bq2

∂Hq3dHq3 =

= µq2q1dHq1 + µq2q2dHq2 + µq2q3dHq3;(5)

dBq3 =∂Bq3

∂Hq1dHq1 +

∂Bq3

∂Hq2dHq2 +

∂Bq3

∂Hq3dHq3 =

= µq3q1dHq1 + µq3q2dHq2 + µq3q3dHq3.

Следовательно, магнитные параметры среды образуют полную(необходимую и достаточную) совокупность коэффициентов, ис-

пользуемых для определения приращения вектора ~B, соответству-ющего произвольному бесконечно малому приращению вектора~H. По своему математическому содержанию параметр µ являетсятензором второго ранга и представляет собой оператор, преобра-зующий вектор d ~H в вектор d ~B. Параметр µ для любого магнит-ного состояния среды, задаваемый вектором ~H, однозначен, чтовытекает непосредственно из его определения как полной произ-водной непрерывной и дифференцируемой функции (1).

В ряде случаев расчет магнитного поля в электротехническихустройствах [3] удобно вести в полярной, сферической или инойортогональной системе координат, что требует определения тензо-ра µ рассматриваемой среды в таких системах. Каждая из выше-упомянутых систем координат, как и декартова, является част-ным случаем общей ортогональной криволинейной системы ко-ординат 0q1q2q3, поэтому вычисление тензора µ в этих системахможет быть выполнено с применением известных формул преоб-разования тензоров.

99

Если в декартовой системе координат тензоры дифференци-альной магнитной проницаемости среды обозначить как µ0xyz, ав системе 0q1q2q3 — µ0q1q2q3, то справедливы следующие соотноше-ния:

µ0q1q2q3 = Π−1µ0xyzΠ, (6)

где Π — матрица перехода от координат в системе 0q1q2q3 к коор-динатам в системе 0xyz, имеющая вид

Π =

∣∣∣∣∣∣

cosαxq1

cosαyq1

cosαzq1

cosαxq2

cosαyq2

cosαzq2

cosαxq3

cosαyq3

cosαzq3

∣∣∣∣∣∣,

где cosαxqm = 1Km

∂x∂qm

; cosαyqn = 1Km

∂y∂qm

; cosαzqm = 1Km

∂z∂qm

;

Km =

√(∂x

∂qm

)2

+

(∂y

∂qm

)2

+

(∂z

∂qm

)2

(m = 1, 2, 3)

— коэффициенты Ламе. Элементы матрицы Π являются направ-ляющими косинусами единичных векторов системы 0q1q2q3 отно-сительно единичных векторов системы 0xyz.

Таким образом, для определения магнитных параметров сре-ды в конкретно выбранной ортогональной системе координат до-статочно записать соотношения между координатами выбраннойи декартовой систем x = x(q1q2q3); y = y(q1q2q3); z = z(q1q2q3) и,определив матрицу Π и обратную ей матрицу Π−1 (6), вычислитьискомый тензор.

1. Фильц Р. В. Математические основы теории электромеханических пре-образователей. — Киев: Наукова думка, 1979. — 206 c.

2. Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. —М.: АН СССР, 1951. — 426 c.

3. Лютахин Ю.И. Алгоритм математического конструирования магнитно-го поля шарового электродвигателя / В сб.: Труды Пятой Всероссийской

конференции с международным участием, Чaсть 2: Моделирование иоптимизация динамических систем и систем с распределенными пара-метрами / Матем. моделирование и краев. задачи. — Самара: СамГТУ,2008. — C. 79–82.

Кафедра Электрические станции,

Самарский государственный технический университет;

443100, г. Самара, ул.Молодогвардейская, 244.

es@samgtu.ru

100

УДК 621.313

Ю.И. Лютахин, В.А. Рыбинский

МАГНИТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА И МАГНИТНЫЕПАРАМЕТРЫ ИЗОТРОПНОЙ ФЕРРОМАГНИТНОЙ

СРЕДЫ

Допустим, что задана изотропная ферромагнитная среда [1],

для которой известна зависимость модуля∣∣∣ ~B∣∣∣ = B вектора ин-

дукции от модуля∣∣∣ ~H∣∣∣ = H вектора напряженности, т.е. известна

характеристика B = B (H). Пусть среда намагничена напряжён-

ностью ~H. В силу изотропности среды вектор ~B совпадает с на-правлением вектора ~H. Расположим декартову систему коорди-нат OρτΘ таким образом, чтобы ось Oρ (назовем ее радиальной

осью) совпала с направлением вектора ~H. Если вектору ~H дать

приращение d ~Hρ = dHρ~ρ по оси Oρ, где ~ρ— единичный векторпо оси Oρ, то направление поля в данной точке не изменится, авектор индукции получит приращение

dBρ~ρ = µρdHρ~ρ, (1)

где

µρ =dBρ

dHρ=dB

dH(2)

— радиальная дифференциальная магнитная проницаемость приизменении модуля вектора ~H, пропорциональная тангенсу угланаклона касательной к кривой B = B (H) в точке с координатамиH и B.

Дадим вектору ~H приращение по оси Oτ , равное dHτ~τ , где ~τ —единичный вектор по оси Oτ , в результате чего вектор индукцииполучит приращение d ~Bτ = dBτ~τ . Приращения d ~Hτ и d ~Bτ не из-меняют модулей векторов ~H и ~B, но приведут к их повороту наугол

dη =dHt

H=dBt

B. (3)

Запишем приращение d ~Bτ в виде

dBτ~τ = µτdHτ~τ , (4)

101

где µτ — тангенциальная дифференциальная магнитная проница-емость при изменении вектора ~H. Из выражения (4) находим, что

µτ =dBτ

dHτ=B

H, (5)

откуда вытекает, что µτ пропорциональна тангенсу наклона секу-щей кривой B = B (H) в точке с координатами H и B.

Очевидно, если вектору ~H дать приращение по оси OΘ, топриращение d ~BΘ вектора индукции по этой оси можно определитькак

dBΘ = µτdHΘ. (6)

Таким образом, приращение вектора ~H по каждой из осей ко-ординатной системы OρτΘ не вызывает изменения вектора ~B подвум другим осям, что указывает на соответствие этой системыглавным осям тензора µ. В системе координат OρτΘ он изобра-жается матрицей

µ =

∣∣∣∣∣∣

µρ 0 00 µτ 00 0 µτ

∣∣∣∣∣∣. (7)

Определим элементы тензора µ изотропной ферромагнитнойсреды в произвольной декартовой системе координат Oxyz. Пустьвектор ~H составляет с осями этой системы соответственно углыηx, ηy и ηz. Тогда

Hx = H cos ηx; Hy = H cos ηy; Hz = H cos ηz; (8)

Bx = B cos ηx; By = B cos ηy; Bz = B cos ηz. (9)

Для первого элемента тензора µ имеем

µxx =∂Bx

∂Hx=∂(B cos ηx)

∂Hx=

∂B

∂Hxcos ηx −B sin ηx

∂ηx

∂Hx=

=dB

dH

∂H

∂Hxcos ηx −B sin ηx

∂ηx

∂Hx. (10)

Поскольку

H =√H2

x +H2y +H2

z ; etax = arccosHx

H, (11)

102

то∂H

∂Hx=

Hx√H2

x +H2y +H2

z

= cos ηx; (12)

∂ηx

∂Hx=

∂

∂Hx

(arccos

Hx

H

)= − 1

Hsin ηx. (13)

Подставив (12), (13) в выражение (10), получим

µxx =dB

dHcos2 ηx +

B

Hsin2 ηx = µρ cos2 ηx + µτ sin2 ηx. (14)

Аналогично находим второй элемент тензора

µxy =dBx

dBy=dB

dH

∂H

∂Hycos ηx −B sin ηx

∂ηx

∂Hy=

= (µρ − µτ ) cos ηx cos ηy. (15)

Повторив подобный вывод для остальных элементов тензора µзапишем его в виде

µ =

˛

˛

˛

˛

˛

˛

µρ cos2 ηx+µτ sin2 ηx (µρ − µτ ) cos ηx cos ηy (µρ−µτ ) cos ηx cos ηz

(µρ−µτ ) cos ηy cos ηx µρ cos2 ηy+µτ sin2 ηy (µρ−µτ ) cos ηy cos ηz

(µρ−µτ ) cos ηz cos ηx (µρ−µτ ) cos ηz cos ηy µρ cos2 ηz+µτ sin2 ηz

˛

˛

˛

˛

˛

˛

.

(16)

Подобным путем можно определить элементы тензора ν диф-ференциального удельного магнитного сопротивления.

Из выражения (16) следует, что среда, являющаяся изотроп-

ной по отношению к интегральным значениям векторов ~H и ~B (поопределению эти векторы параллельны), в насыщенном состояниианизотропна по отношению к приращениям этих векторов.

Для линейной изотропной среды имеют место векторные ра-венства

~B = µ0~H; ~H = ν0

~B (17)

и удовлетворяются скалярные равенства

B = µ0H; H = ν0B. (18)

Следовательно, для линейной изотропной среды

µρ = µτ = µ0, (19)

103

и выражение (16) в любой системе координат приобретает вид

µ =

∣∣∣∣∣∣

µ0 0 00 µ0 00 0 µ0

∣∣∣∣∣∣. (20)

1. Лютахин Ю.И. Алгоритм математического конструирования магнитно-го поля шарового электродвигателя / В сб.: Труды Пятой Всероссийскойконференции с международным участием, Чaсть 2: Моделирование иоптимизация динамических систем и систем с распределенными пара-метрами / Матем. моделирование и краев. задачи. — Самара: СамГТУ,2008. — C. 79–82.

Кафедра Электрические станции,

Самарский государственный технический университет;

443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

es@samgtu.ru

УДК 517.9

Т.Ф. Мамедова

О ЗАДАЧЕ СТАБИЛИЗАЦИИ ПРОГРАММНЫХДВИЖЕНИЙ ПО ЧАСТИ ПЕРЕМЕННЫХ

Проблема стабилизации программных движений являют-ся одной из важнейших в теории автоматического управления.Этой проблеме посвящены работы Н.Н. Красовского, В.И. Зу-бова, Е.В. Воскресенского, В.В. Румянцева, А.С. Озиранера идругих. В работе [1] для решения задачи стабилизации программ-ных движений по части переменных используется метод вектор-функций Ляпунова. В предлагаемом подходе для решения этойзадачи применяется метод асимптотической эквивалентностиЕ.В. Воскресенского [2].

Рассмотрим динамическую систему, поведение которой можетбыть описано обыкновенным дифференциальным уравнением ви-да

dw

dt= A(t)w + g(t, w, v), (1)

104

где A(·) : [T,+∞) → Hom(Rn), Rn — непрерывное отображение,

g(t, w, v) — типа Каратеодори, w— фазовые переменные, характе-ризующие состояние динамической системы, w : R

n → Rn;

v— управляющее воздействие к рассматриваемому объекту,v : [T,+∞) → R

m.Рассмотрим какое-нибудь частное движение системы (1), по-

рождаемое управляющим воздействием v0.Тогда уравнение (1) примет вид

dw

dt= A(t)w + g(t, w, v0). (2)

Предположим, что это уравнение имеет решение w = ϕ(t), соот-ветствующее допустимому управлению v0 = v0(t), которое назы-вается программным движением.

Определение. Будем говорить, что решение уравнения (2) ϕстабилизируется по части переменных i (i ∈ M0, M0 ⊆ N , N == 1, 2, . . . , n), если существует уравнение типа Каратеодори

dw

dt= A(t)w + g0(t, w), w ∈ R

n (3)

такое, что ϕ является устойчивым решением по части переменныхi (i ∈M0) уравнения (3).

Определение. Будем называть процесс построения уравнения(3) стабилизацией программного движения w = ϕ(t) уравнения(2) по части переменных i (i ∈ M0), а уравнение (3) — стабили-зирующим по части переменных i (i ∈M0).

Задача стабилизации программного движения w = ϕ(t) по ча-сти переменных i (i ∈M0) заключается в таком выборе управляю-щего воздействия v1 = v−v0, при котором программное движениеw = ϕ(t) будет устойчиво по части переменных i (i ∈M0).

Для решения этой задачи сделаем замену переменных

x = w − ϕ(t), u = v − v0(t). (4)

Тогда уравнение (2) примет вид

dx

dt= A(t)x+ g(t, x+ ϕ(t), u+ v0) − g(t, ϕ, v0) ≡

≡ A(t)x+ f(t, x, u), (5)

илиdx

dt= A(t)x+ f(t, x, u). (6)

105

Очевидно, что система (6) при u = 0 допускает тривиальноерешение x = 0, описывающее ее невозмущённое движение.

Пусть выбран некоторый класс K = u(t, x) управленийu(t, x), удовлетворяющих в силу условий (4) тождеству u(t, 0) ≡ 0,тогда задачу о стабилизации программных движений по части пе-ременных можно сформулировать следующим образом.

Требуется найти такое управляющее воздействие u ∈ K0, ко-торое обеспечивает устойчивость невозмущенного движения x = 0в силу системы (6) по части переменных i (i ∈M0).

Для решения задачи введем в рассмотрение уравнение вида

dy

dt= A(t)y. (7)

Фундаментальную матрицу Y (t) = (yi,j(t)), i, j = 1, 2, . . . , nбудем считать нормированной в точке t0 ∈ [T0,+∞), T0 > T .

Предположим, что функция f системы уравнений (6) удовле-творяет всем ограничениям из работ [3, 4]. Тогда согласно методаасимптотической эквивалентности Е.В. Воскресенского справед-лива следующая теорема.

Теорема. Если уравнение (7) устойчиво по части перемен-ных i (i ∈M0), то тривиальное решение уравнения (6) обладаетэтим же свойством.

Эту теорему можно применять для решения задачи стабили-зации программных движений по части переменных для уравне-ния (6).

1. Румянцев В.В., Озиранер А.С. Устойчивость и стабилизация движенияпо отношению к части переменных. — М.: Наука, 1987. — 256 c.

2. Воскресенский Е. В. Асимптотические методы: Теория и приложения. —Саранск: СВМО, 200. — 300 c.

3. Мамедова Т.Ф. Стабилизация программных движений по части перемен-ных // Tр. Средневолж. математ. об-ва, 2002. — Т. 3-4, 1. — C. 265–268.

4. Воскресенский Е.В., Мамедова Т.Ф. Методы стабилизации программныхдвижений // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Моделированиефизических процессов, 2002. — 4. — C. 45–54.

Кафедра прикладной математики,

Мордовский государственный университет им. Н.П. Огарёва;

430000, г. Саранск, ул. Большевистская, 68.

mamedovatf@yandex.ru

106

УДК 519.863.6

Н.Б. Мельников

НЕПРЕРЫВНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ МОДЕЛИЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА

С ПЕРЕКРЫВАЮЩИМИСЯ ПОКОЛЕНИЯМИК МОДЕЛИ РАМСЕЯ

Модель экономического роста, предложенная в [1–4] (далееYBWB-модель), является вариантом модели с перекрывающими-ся поколениями в непрерывном времени. Хотя YBWB-модель несодержит возрастную неоднородность явно, в ней одновременнососуществуют потребители разного возраста, обладающие разнымкапиталом и структурой потребления. Указанные обстоятельствапозволяют использовать YBWB-модель для качественного анали-за влияния демографической неоднородности потребителей на ди-намику экономических характеристик (см. [5, 6]). В настоящей ра-боте рассмотрено обобщение YBWB-модели, допускающее транс-ферты между поколениями. Предложенное обобщение содержитYBWB-модель и классическую модель Рамсея в качестве двухпредельных случаев (более подробный анализ см. в [7]).

Обозначим через a(s, t) и c(s, t) активы и потребление в моментt потребителя, «родившегося» в момент времени s 6 t. В предпо-ложениях логарифмической полезности, в каждый момент вре-мени потребитель максимизирует функционал благосостояния напоследующем отрезке:

∫ ∞

tln c(s, ζ) e−ρ(ζ−t) dζ, ρ > 0, (1)

при наличии бюджетного ограничения

∂a(s, t)

∂t= (r(t) − µ)a(s, t) + w(t) − c(s, t). (2)

Здесь r(t) есть процентная ставка, а заработная плата w(t) пред-полагается не зависящей от возраста потребителя. Слагаемое−µa(s, t) в правой части (2) имеет смысл налога, за счет котороготолько что появившиеся потребители получают стартовый капи-

107

тал, величина которого будет определена ниже (см. (8)). Предпо-лагается также стандартное условие, запрещающее схемы Понзи:

liml→∞

a(s, l) exp

(−∫ l

t

(r(ζ) − µ

)dζ

)= 0. (3)

Условия оптимальности первого порядка для задачи (1)–(3)дают следующее соотношение для потребления:

c(s, l) = c(s, t) exp

(∫ l

t

(r(ζ) − µ− ρ

)dζ

). (4)

Интегрируя (2) с учётом граничного условия на бесконечности (3)и соотношения (4), выражаем потребление как долю текущих иожидаемых активов:

c(s, t) = ρ(a(s, t) + h(t)

), (5)

где

h(t) =

∫ ∞

tw(ζ) exp

(−∫ ζ

t

(r(ξ) − µ

)dξ

)dζ.

Из последнего соотношения непосредственно получаем

˙h = (r(t) − µ)h− w(t). (6)

Считаем, что скорость роста населения n > 0 постоянна, и об-щее число потребителей в момент t равно L(t) = ent. Определимагрегированную переменную V (t) отвечающую некоторой инди-видуальной переменной v(s, t) следующим образом:

V (t) =

∫ t

−∞v(s, t) dL(s) = n

∫ t

−∞v(s, t)ensds. (7)

Предполагаем, что каждый потребитель при «рождении» по-лучает стартовый капитал, равный доле µ/n, 0 6 µ 6 n агрегиро-ванных активов в пересчете на душу населения:

a(s, s) = µA(s)/(nL(s)) = µ

∫ s

−∞a(ζ, s)en(ζ−s) dζ. (8)

108

С учетом (7) и (8) уравнения (2), (5) и (6) принимают вид:

C = ρ(A+H),

A = r(t)A+W − C,

H = (r(t) − µ+ n)H −W.

В переменных на душу населения a(t) = A(t)L(t) и c(t) = C(t)

L(t) отсюдаследует:

a = (r(t) − n)a+ w(t) − c, (9)

c = (r(t) − µ− ρ)c− ρ(n− µ)a. (10)

При µ = 0 и µ = n уравнения (9), (10) отвечают YBWB-модели имодели Рамсея, соответственно (ср. [5]).

В частном случае модели с неоклассическим производствомпроцентная ставка и заработная плата равны предельным полез-ностям капитала и труда, соответственно: r = f ′(k) и w = f(k) −− kf ′(k). Здесь k обозначает отношение капитала к количествурабочей силы, f(k) — производственная функция. Коэффициентустаревания капитала для простоты полагаем равным нулю. По-скольку в равновесии частные активы полностью инвестируютсяв производство: a = k, система (9), (10) примет вид

k = f(k) − nk − c,

c = [f ′(k) − (µ+ ρ)] c − ρ(n − µ) k.

Значение k в неподвижной точке при 0 6 µ < n здесь меньше,чем в случае µ = n, который отвечает модели Рамсея.

1. Yarri M.E. The uncertain lifetimes, life insurance and the theory of con-sumers // Rewiew of Economic Studies, 1965. — Vol. 32. — P. 137–150.

2. Blanchard O. J. Debt, deficits, and finite horizons // Journal of Political Econ-omy, 1985. — Vol. 93. — P. 223–247.

3. Weil P. Overlapping families of infinitely-lived agents // Journal of Political

Economy, 1989. — Vol. 38. — P. 183–198.4. Buiter W.H. Death, birth, productivity growth and debt neutrality // Eco-

nomic Journal, 1988. — Vol. 98. — P. 279–293.5. Blanchard O. Lectures on Macroeconomics. — Cambridge: MIT Press, 1987. —

650 p.

109

6. Marini G., Scaramozzino P. Overlapping generations and environmental con-trol // J. Environmental Economics and Management, 1995. — Vol. 29. —P. 64-77.

7. Melnikov N., Sanderson W. Intergenerational transfers as a link betweenoverlapping generations and Ramsey models / In: Interim Report. IR-07-013

— IIASA. — Laxenburg, Austria, 2007. — 10 p.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты 06–01–00148 и 08–01–

00685) и АВЦП Рособразования (грант 2.1.1/2000).

Центральный экономико-математический институт РАН, г.Москва;

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова.

nmelnikov@gmail.com

УДК 621.316.925

А.Л. Мигунов

МОДЕЛИРОВАНИЕ РАБОТЫ ИЗМЕРИТЕЛЬНОГОУСТРОЙСТВА ТОКА С ИНДУКЦИОННЫМ

ПЕРВИЧНЫМ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕМ

При исследованиях работы высоковольтных коммутационныхаппаратов в режимах короткого замыкания наиболее важнымиявляются испытания на стойкость к токам короткого замыка-ния (КЗ). Испытания на стойкость при сквозных токах к.з. про-изводятся для проверки способности коммутационного аппаратавыдерживать воздействия этих токов. Большие токи к.з. оказы-вают сильные электродинамические воздействия, которые могутвызвать разрушение аппарата, а также термическое воздействие,приводящее к большому нагреву токоведущих частей и соприка-сающейся с ним изоляции. Как правило величина этих токов к.з.может достигать ста и более килоампер [1]. При испытаниях нуж-но с высокой точностью контролировать, регистрировать формуи длительность токов к.з.[1]. Одним из наиболее эффективныхспособов измерения токов к.з. является использование индукци-онных измерительных преобразователей, известных как пояс Ро-говского [2]. Известные схемы измерительных устройств содержатпервичный индукционный преобразователь (пояс Роговского), со-единительный кабель и интегратор на операционном усилителе[3]. Недостатком данного устройства является большая величина

110

индуцированного напряжения на зажимах измерительного преоб-разователя. Измерение токов к.з. с большой крутизной нараста-ния тока, импульсных токов приводит к электрическому пробоюизоляции соединительного кабеля. Снижение напряжения извест-ными способами (уменьшение площади витка пояса Роговского,увеличение сопротивления резистора, подключенного параллель-но зажимам измерительной катушки) приводят к снижению ча-стотного диапазона устройства, увеличивают погрешность изме-рения в области высоких частот.

Одним из способов решения указанных проблем [4] являетсявведение дополнительной короткозамкнутой катушки, располо-женной (намотанной) поверх измерительной катушки и резисто-ра, включенного последовательно с конденсатором интегратора.При этом постоянная времени цепи короткозамкнутой катушкисвязана с величиной резистора, включенного последовательно вцепь интегратора, соотношением

L1

R1= R2C1,

где L1 — индуктивность дополнительной короткозамкнутой катуш-ки; R1 — сопротивление короткозамкнутой катушки; C1 — ёмкостьконденсатора интегратора, R2 — резистор включенный последова-тельно с конденсатором интегратора.

Измерительное устройство работает следующим образом. Приизмерении переменного тока в цепи измерительной катушки наво-дится Э.Д.С., пропорциональная производной измеряемого тока.Напряжение, снимаемое с концов измерительной катушки, посту-пает через коаксиальный кабель на вход интегратора, состоящегоиз усилителя, в цепи обратной связи которого последовательно сконденсатором включен резистор. Напряжение на выходе устрой-ства оказывается пропорциональным измеряемому току как в об-ласти низких, так и в области высоких частот [4].

Для оценки эффективности расширения полосы пропусканиярассматриваемого измерительного устройства тока была смодели-рована работа измерительного устройства с использованием про-граммы схемотехнического моделирования Electronics Workbench(EWB 5.12)[5]. Интегратор был реализован на базе операционно-го усилителя(ОУ), входящего в состав активных элементов EWB5.12. Измерительный преобразователь был смоделирован активно

111

индуктивной схемой, на вход которой подавался сигнал, пропор-циональный производной измеряемого тока. Результаты модели-рования показывают, что применение подобного устройства поз-воляет на порядок увеличить полосу пропускания измерительногоустройства тока, существенно снизить величину индуцированногонапряжения на зажимах индукционного первичного преобразова-теля, позволяет осуществлять измерение нестационарных, пере-ходных токов с высокой точностью.

1. Болотин И.Б., Эйдель Л. З. Измерения при испытаниях аппаратов в ре-жимах короткого замыкания. — Л.: Энергия, 1988. — 200 c.

2. Разин Г.И., Щелкин А.П. Бесконтактное измерение электрических то-ков. — М.: Атомиздат, 1974. — 160 c.

3. Панин В.В., Степанов Б.Н. Измерение импульсных магнитных и элек-трических полей. — М.: Энергоатомиздат, 1987. — 120 c.

4. Мигунов А.Л., Привалов В.Д., Келл Г.А., Мелешкин Ю.А. А. с. 632959(СССР): Устройство для измерения тока. — Опубл. в Б. И., 1978, 42.

5. Карлащук В.И. Электронная лаборатория на IBM PC. — М.: СОЛОН Р,2000. — 506 c.

Самарский государственный технический университет,

443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

Migunov@smrtlc.ru

УДК 518.517.944

В.М. Монтлевич, И. А. Бородинова

РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ МНОГОПРОДУКТОВЫХЗАДАЧ С ВЗАИМОЗАМЕНЯЕМЫМИ ТОВАРАМИ

При комплексном планировании производства, сбыта и обес-печения потребительского спроса возникают задачи оптимизацииперевозки различных видов товаров. При этом товары могут до-полнять друг друга, либо быть взаимозаменяемыми. Получаю-щиеся при этом модели оптимизации перевозок отличаются оттрадиционных двух- и многоиндексных транспортных задач [1].Для них требуется разработка своих критериев разрешимости иалгоритмов решения.

Общая модель такой задачи может быть записана следующимобразом [1]. Пусть имеется m пунктов производства, n пунктов

112

потребления и k видов продукта. В каждом пункте производятся(потребляются) все виды продуктов. Тогда ai = (ai1, ai2, . . . , aik) —объём производства в i-том пункте, bj = (bj1, bj2, . . . , bjk) — объемпотребления в j-том пункте, cij = (c1ij , c

2ij , . . . , c

pij) — стоимость пе-

ревозки из i-того пункта производства в j-тый пункт потребления,xij = (x1

ij , x2ij, . . . , x

pij) — объем перевозок из i-того пункта в j-тый.

В случае взаимозаменяемых товаров потребность в одном то-варе может быть удовлетворена некоторым объёмом других това-ров. Для любой пары товаров p и q обозначим через αpq количе-ство товара q, которое можно заменить единицей товара p, A—матрица размерности k×k, составленная из элементов αpq. Еслитовар p не заменяет товар q, то αpq = 0, αqq = 1. Пусть в пунктпотребления j завезли набор продуктов xij = (x1

ij , x2ij , . . . , x

pij).

Каждый из продуктов может использоваться, во-первых, для удо-влетворения спроса в нем самом и, во-вторых, для удовлетворенияспроса на другие продукты, которые могут быть заменены им. Та-ким образом, объем поставки каждого товара в пункт j долженбыть представлен в виде k слагаемых:

m∑

i=1

xpij = y1

jp + y2jp + . . .+ yk

jp =k∑

q=1

yqjp,

где yqjp — часть поставки продукта p в пункт j, которая использу-

ется для замещения продукта q.Условие удовлетворения спроса, с учетом взаимозаменяемо-

сти, запишем в виде

k∑

p=1

αpqyqjp = bjq, j = 1, 2 . . . , n, q = 1, 2, . . . , k.

Тогда получаем следующую формулировку задачи оптимизацииперевозок взаимозаменяемых товаров:

L =k∑

p=1

m∑

i=1

n∑

j=1

cpijxpij → min, (1)

n∑

j=1

xpij = ap

i , p = 1, 2, . . . , k, i = 1, 2, . . . ,m, (2)

113

m∑

i=1

xpij =

k∑

q=1

yqjp, p = 1, 2, . . . , k, j = 1, 2, . . . , n, (3)

k∑

p=1

αpqyqjp = bjq, (4)

xpij , yp

j , zpj > 0. (5)

Рассмотрим частный случай k = 2, причем только второй то-вар может быть заменен первым. В этом случае α12 > 0, α21 = 0.Ограничения (4) запишутся в виде

α11y1j1 + α21y

1j2 = bj1 ⇔ y1

j1 = bj1, (6)

α12y2j1 + α22y

2j2 = bj2 ⇔ y2

j2 = bj2 − α12y2j1. (7)

В оптимальном плане задачи (1)–(5) переменная y1j2=0. С учетом

(6), (7) из модели можно также исключить переменные y1j1 и y2

j2.Тогда модель примет вид

L =

2∑

p=1

m∑

i=1

n∑

j=1

cpijxpij → min, (8)

n∑

j=1

xpij = ap

i , p = 1, 2, i = 1, 2, . . . ,m, (9)

∑

i

x1ij = b1j + y2

j1, j = 1, 2, . . . , n, (10)

∑

i

x2ij = b2j − α12y

2j1, j = 1, 2, . . . , n, (11)

xpij, y

2j1 > 0. (12)

В [1] был сформулирован и доказан критерий разрешимости за-дачи (8)–(12).

Теорема. Для разрешимости задачи (8)–(12) необходимо и до-статочно выполнения условий:

1)m∑

i=1a1

i >n∑

j=1b1j ;

2)m∑

i=1a2

i + α12

(m∑

i=1a1

i −n∑

j=1b1j

)=

n∑j=1

b2j .

114

Решение задачи (8)–(12) сводится к решению двух однопро-дуктовых задач и выполняется в два этапа.

На первом этапе решается однопродуктовая транспортная за-дача перевозки первого товара, т. к. потребность в нём удовлетво-ряется только им самим.

На втором этапе оптимизируются перевозки второго товара,и неиспользованные остатки первого так, чтобы удовлетворитьпотребность во втором товаре. Для этого строится следующаявспомогательная задача. Каждый пункт производства i исходнойзадачи разбивается на два пункта i′ и i′′, объемы производства

в которых и полагают равными ai′ = α12∆1i = α12

(a1

i −n∑

j=1x1

ij

),

∆1i — невывезенный остаток первого продукта, приведенный к еди-

ницам второго; ai′′ = a2i , ci′j = c1ij , ci′′j = c2ij , bj = b2j .

После решения задачи второго этапа, перевозки из пунктов i′

приводятся к единицам первого продукта и суммируются с пе-ревозками первого этапа. Таким образом, решение является опти-мальным для задачи (8)–(12). Задачи отдельных этапов решаютсялюбым методом, применимым для однопродуктовых транспорт-ных задач.

Рассмотренный подход распространяется на задачи с произ-вольным числом продуктов и дополнительным условием: продук-ты упорядочены так, что продукт p может заменяться любым изпродуктов 1, 2, . . . , p− 1, но сам не является их заменителем.

1. Монтлевич В.М., Бородинова И.А. О некоторых постановках многопро-дуктовых транспортных задач // Вестн. Сам. гос. ун-та. Гуманитарная

сер., 2008. — 7(66). — C. 86–93.

Кафедра математики, информатики

и математических методов в экономике,

Самарский государственный университет;

443011, г. Самара, ул. ак. Павлова, 1.

teacher79@mail.ru

115

УДК 541.123.7

Е.Ю. Мощенская, И.К. Гаркушин

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТОЧЕКНОНВАРИАНТНОГО РАВНОВЕСИЯ

ЧЕТЫРЕХКОМПОНЕНТНЫХ СИСТЕМ

Математическое моделирование составов для различных кон-струкций основывается на фазовых диаграммах. Важным элемен-том большинства фазовых диаграмм являются точки нонвариант-ного равновесия. Их экспериментальный поиск требует большихзатрат, которых можно избежать путем планирования экспери-мента. Ранее для расчета тройных и четверных эвтектик исполь-зовалась программа для расчёта четверных эвтектик по методуМартыновой—Сусарева [1, 2]. В связи с тем, что не все рассчиты-ваемые системы хорошо согласуются с экспериментальными дан-ными, возникла необходимость в использовании других методоврасчета. Все они имеют свои недостатки, но обладают одним пре-имуществом: перед тем как исследовать новую систему, можнооценить с помощью имеющихся методов характеристики эвтекти-ки за короткий промежуток времени.

Метод 1. Предложен Анипченко Б.В. [3], основан на гра-фическом построении кривых по 3 точкам (полином второго по-рядка): по оси абсцисс откладываются значения состава одноком-понентной системы (100%), двух- и трехкомпонентной систем, апо оси ординат — откладываются соответствующие температурыплавления компонента и эвтектик. Выбор точек осуществляетсяпо минимальному значению из двойных, а затем тройной эвтек-тики — из тройных. Затем составляется система трех уравнений стремя неизвестными, ищутся коэффициенты для уравнения видаy = Ax2 + Bx + C, для каждого из компонентов составляющихчетырехкомпонентную систему. Составляется система, в которойчетыре уравнения — это уравнения кривых, построенных в коор-динатах «состав – температура», а пятое уравнение — дополни-тельное условие, учитывающее тот факт, что сумма компонентовв четырехкомпонентной системе не превышает 100%.

Метод 2 [3]. Основан на построении прямых по точкам, отве-чающим логарифмическим координатам. Из точки, соответству-ющей однокомпонентной системе (выбранного компонента) с ко-

116

ординатами (ln (x1) , T1), строится прямая, проходящая наиболееблизко к двум оставшимся точкам, соответствующим логариф-мическим координатам двух- и трехкомпонентной систем. Выборточек осуществляется как в методе 1. Задача сводится к нахожде-нию тангенса угла наклона прямой. Затем составляется системауравнений. Четыре уравнения — это уравнения прямых, построен-ных в координатах «логарифм состава – логарифм температуры»для четырех компонентов, составляющих четырехкомпонентнуюсистему, а пятое уравнение — дополнительное условие (сумма ком-понентов в четырехкомпонентной системе не превышает 100%).

Метод 3. Является слиянием метода 1 и метода 2, и основанна построении кривых по 3 точкам (полином второго порядка): пооси абсцисс откладываются логарифмические координаты составаоднокомпонентной системы (ln(100)), двух- и трехкомпонентнойсистем, а по оси ординат — откладываются соответствующие ло-гарифмические координаты температуры плавления компонентаи эвтектик. Выбор точек осуществляется как и в методе 1. Затемосуществляется поиск координат четырехкомпонентной эвтекти-ки по аналогии с методом 1; разница в том, что берутся логариф-мические координаты.

На основе данных методов разработаны алгоритмы, которыепрограммно реализованы в среде визуального программированияDelphi. Для удобства пользователя спроектирована база данных,которая включает данные по характеристикам индивидуальныхвеществ, двойных и тройных систем. С помощью данного про-граммного комплекса был рассчитан ряд исследованных ранее си-стем (см. таблицу).

Большие отклонения в расчётах привели к попытке улучшитьрезультат посредством расчёта состава системы по имеющейсятемпературе четверной эвтектики во всех трех методах, что так-же реализовано в программе: в окне температуры нужно задатьизвестное значение, нажать кнопку «расчёт» (см. рисунок).

Метод 3 показал себя лучше всех при вычислении координатэвтектик с заданной температурой. Например, при расчёте харак-теристик системы CaF2 – KF – LiF – SrF2 (см. таблицу) очевиднабольшая погрешность расчёта (максимальная погрешность по со-ставу составляет 48,6%, относительная погрешность по темпера-туре — 28,15%). Если известна температура плавления эвтектики(с помощью метода ДТА определяется довольно быстро по тем-

117

Составы и температуры эвтектик четверных систем

Харак- Экспе- Расчетные методытерис- римен-тики тальные Метод

систе- (литера- Марты-п/п мы (Сос- турные) новой- Метод 1 Метод 2 Метод 3

тав и данные Суса-темпе- (% мол., реваратура) T C)

1

BaF2 39,2 23,6 32,3 30,5 22,4KCaF3 16,6 18,5 6,0 14,9 49,6

KF 27,3 33,4 37,7 33,0 18,2NaF 16,9 24,5 24,0 21,6 9,8T С 606 [4-7] 588,8 608,0 577,0 483,0

2

CaF2 1,5 11 0,5 5,1 11,2KF 41,2 44,2 41,8 40,5 41,5LiF 45,6 27,3 46,4 42,8 46,3NaF 11,7 17,5 11,4 11,5 0,8T С 444 [3] 400,7 453,0 429,0 452,0

3

CaF2 0,6 14,1 3,1 5,5 40,0KF 49,2 51,1 42,7 42,2 57,3LiF 49,9 23,1 48,0 44,0 1,3SrF2 0,3 11,7 6,1 8,2 1,3T С 476 [3] 450,3 477,0 444,0 342,0

4∗

CaF2 7,9 — 18,6 17,4 12,8LiF 50,2 — 37,7 41,0 31,9NaF 37,4 — 29,8 26,3 32,8SrF2 4,5 — 13,0 15,2 22,4T С 600 [3] — 603,0 555,0 540,0

5

KF 41 43,3 40,5 39,5 40,7LiF 45 42,5 45,9 41,8 46,0NaF 11 11,2 10,7 11,0 0,8SrF2 2 3 2,5 7,4 12,4T С 546 [1] 545 448,0 421,0 449,0

6

NaCl 43 35 41,4 37,2 42,3KCl 11 15,7 10,6 14,1 4,2KI 44 44,6 43,1 44,8 48,1

NaF 2 4,6 4,5 3,5 5,2T С 499 [1] 469,4 482,0 467,0 494,0

*По методу Мартыновой–Сусарева характеристики эвтектики вычислитьнельзя, т.к. система Ca, Sr//F образует непрерывный ряд твердых

растворов.

118

Расчет с помощью программы характеристик системы CaF2 – KF – LiF – SrF2

по заданной температуре

пературе четвертого термоэффекта, соответствующего четвернойэвтектике), то рассчитанные значения получаются близкими кэкспериментальным (максимальная погрешность по составу со-ставляет 5,27%) (см. рисунок). Данный метод является расчётно-экспериментальным.

1. Трунин А.С., Мощенская Е.Ю. Моделирование и расчет характеристикчетырехкомпонентных систем // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-

мат. науки, 2004. — 30. — C. 202–205.2. Мощенская Е.Ю. Св-во об официальной регистрации программы для

ЭВМ 2006613134 от 05.09.2006.3. Анипченко Б.В. Физико-химическое взаимодействие и расчёт составов и

температур плавления эвтектик в многокомпонентных системах из солей

119

лития и калия: Aвтореф. дис. . . . канд. хим. наук: 02.00.04. — Самара:СамГУ, 1999. — 20 с.

4. Диаграммы плавкости солевых систем: Справочник / ред. В.И. Посыпай-ко, Е.А. Алексеева. — М.: Металлургия, 1977. — Т. 1: Двойные системыс общим анионом. — 415 с.

5. Диаграммы плавкости солевых систем: Справочник / ред. В.И. Посы-пайко. — М.: Металлургия, 1977. — Т. 2: Двойные системы с общим ани-оном. — 303 с.

6. Диаграммы плавкости солевых систем (многокомпонентные системы):Справочник / ред. В. И. Посыпайко, Е. А. Алексеева. — М.: Химия, 1977. —216 с.

7. Диаграммы плавкости солевых систем (тройные системы): Справочник /ред. В.И. Посыпайко, Е.А. Алексеева. — М.: Химия, 1977. — 328 с.

Кафедра аналитической и физической химии,

кафедра общей и неорганической химии,

Самарский государственный технический университет;

443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

lmos@rambler.ru

УДК 532.5:519.8

М.Ж. Мукимбеков

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЛАНОВОЙ ЗАДАЧИ В ОСВОЕНИИМЕСТОРОЖДЕНИЙ ВТОРИЧНЫМ МЕТОДОМ

В последнее время на многих месторождениях Казахстана вви-ду нерентабельности первичных способов добычи нефти стали пе-реходить на совместную разработку пласта вторичными метода-ми, а именно, с учетом закачки воды и газа; для этого в целях эко-номии в качества закачиваемого агента берут попутно вырабаты-ваемый газ из коллектора [1, 2]. В данной работе рассматриваетсязадача неизотермической трехфазной фильтрации, с учетом сов-местной закачки воды и газа на нагнетательных скважинах, приэтом, что немаловажно учитывается также растворимость газа вводной и нефтяной фазе соответственно.

Математическая модель неизотермической трехфазной пла-новой фильтрации пластового течения описывается следующимиуравнениями:

H(x, y)∂ (mρBsB)

∂t+ div

(ρBWB

)=

120

=

N1∑

i=1

QB, нiδ (x− xнi, y − yнi) −N2∑

i=1

QB, дiδ (x− xдi, y − yдi) ,

H(x, y)∂(mρHsH)

∂t+ div(ρHWH) =

N2∑

i=1

QHiδ(x − xдi, y − yдi),

H(x, y)∂

∂t(mρГsГ +mρBsBRB +mρHsHRH) +

+div(ρГWГ + ρBWBRB + ρHWHRH

)=

=

N1∑

i=1

QГ,нiδ(x − xнi, y − yнi) −N2∑

i=1

QГ, дiδ(x− xдi, y − yдi),

WB = −Hk fB

µB∇P, WH = −Hk fH

µH∇P, WГ = −Hk fГ

µГ∇P,

sB + sH + sГ = 1,

ρB = ρB(p, T ), ρH = ρH(p, T ), ρГ = ρГ(p, T ),

H [m(cBρBsB + cHρHsH + cГρГsГ) + (1 −m)cПρП]∂T

∂t+

+(cBρBWB + cHρHWH + cГρГWГ + cГρBWBRB+

+cГρHWHRH

)∇T = div ((Hm (sBλB + sHλH + sГλГ) +

+H(1 −m)λП)∇T )+

+

N1∑

i=1

Qтепло,нiδ(x− xнi, y − yнi)−N2∑

i=1

Qтепло,дiδ(x− xдi, y − yдi).

Здесь sB,sH , sГ — насыщенность воды, нефти и газа соответствен-но; p, T — давление и температура пласта соответственно; H —толщина пласта; k— абсолютная проницаемость пласта; m— по-ристость пласта; RB, RH — растворимость газа в водной и неф-тяной фазе соответственно; ρB , ρH , ρГ — плотность воды, нефтии газа соответственно; fB , fH , fГ — относительные фазовые про-ницаемости воды, нефти и газа соответственно; µB, µH , µГ — вяз-кость воды, нефти и газа соответственно; cB , cH , cГ, cП — коэффи-циент теплоемкости воды, нефти, газа и породы соответственно;λB, λH , λГ, λП — коэффициент теплопроводности воды, нефти,газа и породы соответственно; QB,нi, QB,дi — приведенные дебитыводы на нагнетательных и добывающих скважинах соответствен-но; QГ,нi, QГ,дi — приведенные дебиты газа на нагнетательных и

121

добывающих скважинах соответственно; QHi — приведенные де-биты нефти на добывающих скважинах; Qтепло,нi, Qтепло,дi — при-веденные расходы количества тепла на нагнетательных и добы-вающих скважинах соответственно; (xнi, yнi) — координаты i-тойнагнетательной скважины; (xдi, yдi) — координаты i-той добыва-ющей скважины; N1, N2 — количество нагнетательных скважин идобывающих скважин соответственно.

В качестве начальных условий берутся начальные распреде-ления давлении и температуры пласта; осреднёные по мощностинасыщенности воды, нефти, газа в начальный момент времени:

(p, T )|t=0 = (p0, T 0),

(sB , sH , sГ)|t=0 = (s0B , s0H , s

0Г).

На границах области течения задаются условия непротеканияфлюидов и отсутствия теплового потока:

(WBn;WHn;WГn)∣∣Г

= 0,∂T

∂n

∣∣∣∣Г

= 0.

Задаются поддерживаемые давления на добывающих скважи-нах соответственно. На нагнетательных скважинах задаются тем-пература потока, расходы воды и газа.

Строится вычислительный алгоритм для решения данной за-дачи. Результаты расчетов позволяют выяснять динамику разра-ботки данных месторождений от попеременного нагнетания газа иводы. Расчеты выявляют закономерности основных технологиче-ских показателей разработки месторождения этим способом, поз-воляют находить схемы эффективных технологий для повышенияи улучшения темпа разработки данных месторождений.

1. Жумагулов Б.Т., Монахов В.Н., Смагулов Ш.С. Компьютерное моде-лирование в процессах нефтедобычи. — Алматы: НИЦ «Гылым», 2002. —307 C.

2. Смагулов Ш.С., Айдарбаев А.С., Мукимбеков М.Ж. Вычислительныетехнологии в разработке нефтегазовых месторождений // Нефть и газ,2000. — 2. — C. 32–38.

Кафедра информатики,

Казахский национальный университет имени аль-Фараби,

г.Алматы, Казахстан.

m.mukim@gmail.com

122

УДК 532.5:519.8

М.Ж. Мукимбеков

О ПРОЦЕССЕ ДОБЫЧИ АНОМАЛЬНОЙ НЕФТИВ МНОГОПЛАСТОВОЙ СИСТЕМЕ

Разработка аномальной нефти в многопластовой системе обыч-ными способами в большинстве случаев является очень затрудни-тельным способом, поэтому очень важно использовать различныеспособы по повышению нефтеотдачи, отличающихся от обычногометодов заводнения, а именно различные вторичные методы до-бычи нефти, такие как заводнение активными веществами [1–7].

За основу математической модели принимаем одномернуюдвухфазную модель неизотермической фильтрации с учетом за-воднения поверхностно-активными веществами в n-многопласто-вой системе:

Hj(x)∂(mjρBjsBj)

∂t+∂(ρBjϑBj)

∂x= 0,

Hj(x)∂(mjρHjsHj)

∂t+∂(ρHjϑHj)

∂x= 0,

Hj(x)∂(m0jρBjsBjCj + ρBjaj)

∂t+∂(ρBjϑBjCj)

∂x=

∂

∂x

(Dj

∂Cj

∂x

),

ϑBj = −kjHjfBj(sBj , Cj)

µBjRj

∂pBj

∂x,

ϑHj = −kjHjfHj(sBj , Cj)

µHjRj

(∂pHj

∂x− sign

(∂pHj

∂x

)GHj

),

sBj + sHj = 1, pHj − pBj = pkj(sBj),

ρBj = ρBj(pBj , Tj), ρHj = ρHj(pHj , Tj),

Rj = Rj

(Cj , aj ,

∣∣∣∣∂pHj

∂x

∣∣∣∣),

Hj

[mj(cBjρBjsBj + cHjρHjsHj)+

+m0jcBjρBjCj + (1 −mj)cПjρПj

]×

× ∂Tj

∂t+(cBjρBjϑBj + cHjρHjϑHj

+ cBjρBjϑBjCj

) ∂Tj

∂x=

123

=∂

∂x

[(Hjmj (sBjλBj + sHjλHj) +Hjm0jCjλBj+

+Hj(1 −mj)λПj

)∂Tj

∂x

].

Здесь n— количество пластов в многопластовой системе; sBj ,sHj — насыщенности водной и нефтяной фаз в j-том пласте со-ответственно; pBj , pHj — давление воды и нефти в j-ом пластесоответственно; pkj — капиллярное давление в j-ом пласте; Cj —концентрация активного агента в водной фазе в j-том пласте; Tj —пластовая температура в j-том пласте; aj — функция, характери-зующая потери агента в породе j-того пласта; mj — пористостьj-го пласта; m0j — объем пор, доступный для агента в j-том пла-сте; ρBj , ρHj — плотности воды и нефти в j-том пласте соответ-ственно; Rj — функция, характеризующая фактор сопротивленияв j-том пласте; Hj — поперечное сечение j-того пласта; kj — абсо-лютная проницаемость j-того пласта; fBj (sBj , Cj), fHj (sBj , Cj) —относительные проницаемости воды, нефти в j-том пласте соот-ветственно; µBj , µHj — вязкости воды, нефти, газа в j-том пластесоответственно; GHj — предельный градиент сдвига нефти в j-томпласте; cBj , cHj , cПj — коэффициенты теплоемкости воды, нефтии породы в j-том пласте соответственно, λBj , λHj , λПj — коэффи-циенты теплопроводности воды, нефти и породы в j-том пластесоответственно; j — индекс пласта, j = 1, . . . , n.

В качестве начальных условий берутся начальные распределе-ния давлений воды и нефти и температуры пласта; осреднёные помощности насыщенности воды, нефти и концентрации активногоагента в начальный момент времени для каждого пласта соответ-ственно:

(pBj , pHj, Tj)|t=0 =(p0

Bj , p0Hj, T

0j

),

(sBj, sHj, Cj)|t=0 =(s0Bj , s

0Hj, C

0j

).

На левой границе области многопластового течения, где рас-положена нагнетательная скважина, задаются давления и насы-щенности флюидов, расход и температура закачиваемой воды,концентрация активного агента; на правой границе области, гденаходится добывающая скважина, задаются объемные фазовыерасходы, поток тепла и концентрации активного агента.

124

В работе строится вычислительный алгоритм для решенияданной задачи. Результаты расчетов позволяют выявлять эффек-тивные методы по освоению аномальной нефти в многопластовойсистеме данным вторичным методом.

1. Жумагулов Б.Т., Монахов В.Н., Смагулов Ш.С. Компьютерное моде-лирование в процессах нефтедобычи. — Алматы: НИЦ «Гылым», 2002. —307 C.

2. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей игазов в природных пластах. — М.: Недра, 1984. — 207 c.

3. Азиз Х., Сеттари Э. Математическое моделирование пластовых систем. —М.: Недра, 1982. — 407 c.

4. Коновалов А.Н. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидко-сти. — Новосибирс: Наука. Сиб. отд., 1988. — 166 c.

5. Смагулов Ш.С., Айдарбаев А.С., Мукимбеков М.Ж. Вычислительныетехнологии в разработке нефтегазовых месторождений // Нефть и газ,2000. — 2. — C. 32–38.

6. Антониади Д. Г. Научные основы разработки нефтяных месторожденийтермическими методами. — М.: Недра, 1995. — 320 c.

7. Бурже Ж. и др. Термические методы повышения нефтеотдачи пластов. —М.: Недра, 1988. — 421 c.

Кафедра информатики,

Казахский национальный университет имени аль-Фараби,

г.Алматы, Казахстан.

m.mukim@gmail.com

УДК 532.1

Н.Н. Муромцев, С.Н. Редников

К ВОПРОСУ ПРИМЕНИМОСТИ ГИПОТЕЗТУРБУЛЕНТНОСТИ К РАСЧЕТУ ТЕЧЕНИЯ

ЖИДКОСТИ В ЩЕЛЕВЫХ КАНАЛАХПРИ ВЫСОКИХ ДАВЛЕНИЯХ

Течение вязкой жидкости в механике жидкостей и газов под-разделяется на ламинарное, турбулентное и зону переходных ре-жимов. Зона переходных режимов является наиболее сложнымдля описания, так как все физические явления, происходящие принем, зависят от большого количества факторов, влияющих на па-раметры потока.

125

Изучение данного явления обычно проводят с помощью систе-мы уравнений Навье—Стокса, осреднённой по методу Рейнольдса.Но она является незамкнутой, так как по причине нелинейностиисходных уравнений в системе появляются неопределенные кор-реляционные члены (типа турбулентной диффузии, тепла и т.д.).

Для устранения неопределенности используют полуэмпириче-ские модели турбулентности, основанные на определенных гипо-тезах.

Первая группа моделей основана на градиентной гипотезе Бус-синеска, которая говорит о линейной взаимосвязи турбулентныхпотоков и с градиентами осреднённых значений характеристиксреды:

JTαj = −ρDT

kj〈Zα〉,k,

qTj = p′Vj +

N∑

α=1

〈hα〉JTαj − λT

jk

(〈T 〉,k − p,k

ρ〈Cp〉

),

Rij = −2

3ρ〈e〉δij + 2ρνT

ijsl

(〈Vs〉,l + 〈Vl〉,s −

2

3δsl〈Vk〉,k

).

Данная гипотеза позволяет значительно упростить расчеты,так как описывает корреляционные функции только первого по-рядка и приводит осреднённые уравнения турбулентного теченияк виду уравнений ламинарного течения, позволяя тем самым ре-шать эти задачи одновременно. Однако она справедлива толькотогда, когда параметры потока в точке не зависят от характери-стик турбулентного потока в целом.

Вторая группа моделей опирается на метод Келлера—Фридма-на, в основе которого лежит использование уравнений для пульса-ционных составляющих плотности, скорости, энтальпии, составаи др. для вывода эволюционных дифференциальных уравненийдля корреляторов случайных величин второго порядка. Общийвид такого уравнения:

ρd〈A′′B′′〉

dt+ JTΣ

(AB)j,j = −JT(A)j〈B〉,j − JT

(B)j〈A〉,j+

+A′′σ(B) +B′′σ(A) − ρ〈ε(AB)〉.

126

Использование эволюционных уравнений при описании корре-ляционных функций высокого порядка показывает хорошие ре-зультаты при численном моделировании течений, в которых вли-яние всего потока в целом на характеристики турбулентности вточке имеют существенное значение. Только следует отметить,что для решения задач данным методом необходимо использо-вать эмпирические аппроксимированные функции масштаба тур-булентности для замыкания эволюционных уравнений, которыечасто не имеют требуемой точности.

К третьей группе относятся модели, основанные на замыка-нии уравнений Рейнольдса в рамках термодинамического подхо-да. Принцип данных моделей можно проследить из выведенныхсоотношений Стефана—Максвелла для потока многокомпонент-ной диффузии:

(1

n2

) N∑

α=1

nβJTαj − nαJ

Tβj

DTαβ

= dTβj +KT

tβ

〈T 〉,j〈T 〉 ,

где

dTβj ≡ x∗,j +

(x∗β −Mβ〈Zβ〉

) p,j

p+nβ

p

(−Fβj +Mβ

N∑

α=1

〈Zα〉Fαj

),

и связанным с ними выражением потока тепла

qTj = p′V ′′

j − λT 〈T 〉,j + k〈T 〉N∑

α=1

KTtα

x∗αJT

αj +

N∑

α=1

〈hα〉JTαj .

Несмотря на достаточно подробную изученность таких явле-ний как ламинарный и турбулентный режимы течения вязкойжидкости, не существует модели, описывающей физические явле-ния, происходящие в момент перехода от волн Толмина – Шлиф-тинга к пульсационному процессу. Кроме того, остается открытымвопрос влияния загрязнений (включений) на вязкость жидкостив пристеночном слое на зону перехода.

Чтобы решить данную задачу необходимо провести комплекслабораторных исследований, связанных с изменением вязкостипри условии течения жидкости в зонах защемления, характери-зующихся высокими значениями абсолютных давлений.

127

На сегодняшний день однозначно указать преимущество тойили иной модели представляется весьма затруднительным, таккак все модели имеют ограниченную область применения. Луч-шие результаты при исследовании означенных явлений, были по-лучены с использованием K–L модели Глушко:

ρ

(ux∂E

∂x+ uy

∂E

∂y

)=

∂

∂y

((µ+ c1µt)

∂E

∂y

)+

+ µt

(∂E

∂y

)2

− c2 (µ+ c1µt)

L2E,

ρ

(ux∂L

∂x+ uy

∂L

∂y

)=

∂

∂y

((µ+ c3µt)

∂L

∂y

)−

− c4L

E

(∂ux

∂y

)2

+Bc5√Eρ

(1 − L

(R− r)2

)− ρc6L

∂U

∂x.

Эта модель позволяет четко описывать физику происходящих про-цессов, в том числе и для зон фазовых переходов, где проявля-ются свойства, характерные для неньютоновской жидкости. Нопоследнее требует определения коэффициентов, что возможно сиспользованием методов параметрической идентификации с ис-пользованием экспериментальных данных.

Для изучения данного вопроса была разработана и сконстру-ирована установка, представляющая собой вязкозиметр, которыйсостоит из двух встречно подключенных мультипликаторов дав-ления, разделенных калиброванной диафрагмой. Данная установ-ка позволить производить контроль загрязненности рабочей жид-кости, съем и обработку показаний датчиков давления.

1. Галимзянов Р.Ф., Галимзянов Ф. Г. Теория внутреннего турбулентногодвижения / ред. Ф. Г. Галимзянов. — Уфа: Эксперт, 1999. — 352 c.

2. Колесниченко А. В., Маров А. В. Турбулентность многокомпонентныхсред. — М.: Наука, 1998. — 336 c.

3. Лойцянский Л.Г. Механика жидкостей и газов. — М.: Наука, 1973. —848 c.

Кафедра гидравлики и гидропневмосистем,

Южно-Уральский государственный университет;

454080, г.Челябинск, пр. Ленина 76.

nikmurrr@yandex.ru

128

УДК 519.634

Д.Н. Никольский

ОБ ЭВОЛЮЦИИ ГРАНИЦЫ РАЗДЕЛА РАЗЛИЧНЫХЖИДКОСТЕЙ В НЕОДНОРОДНЫХ ПОРИСТЫХ

СРЕДАХ

1. Основная система уравнений. Эволюция замкнутой ку-сочно-гладкой границы σt в пористой среде проницаемости K опи-сывается системой интегрального и дифференциального уравне-ний [1]:

g − 2λ

∫

σt

g(N, t)Ω(M,N)dlN = 2λϕ0 + 2αΠ на σt, (1)

dr

dt= v0+

+√K

∫

σt

√K(N)g(N, t)∇M (∇NU(rNM ),nN ) dσN−

−∇√K

∫

σt

√K(N)g(N, t) (∇NU(rNM ),nN ) dσN−

−√K

∫g(N, t)

(∇N

√K(N),nN

)∇MU(rNM )dσN+

+ ∇√K

∫

σt

g(N, t)(∇N

√K(N),nN

)U(rNM )dσN+

+K

∫

σt

K(N)g(N, t)F (M,N)dσN на σt. (2)

Здесь F (M, N) = ∇M

(∇N (K(M)K(N))−

12G(M, N),nN

), Ω =

= (∇NG1(M,N),nN ); функция Грина [2] G1 = (K(M)K(N))−12 ×

× (U(rNM ) +G(M,N)) удовлетворяет метагармоническому урав-нению ∆G1 + β2G1 = 0, β = const и учитывает границы областифильтрации; ϕ0 — квазипотенциал скорости v0 невозмущенноготечения, Π — потенциал массовой силы, параметры λ = µ2−µ1

µ2+µ1и

α = ρ1−ρ2

µ1+µ2; µi и ρi (i = 1, 2) — вязкости и плотности жидкостей.

Локальная разрешимость системы (1)–(2) доказана в [3].

129

2. Дискретная схема. В некоторый момент времени ts (s == 0, 1, . . . ) представим поверхность раздела жидкостей элемен-тарными площадками ∆σs

m, (m = 1, 2, . . . , n, s = 0, 1, . . . ) с при-близительно одинаковыми площадями. В центре каждой площад-ки расположим «расчётную» точку.

После замены интеграла (1) на сумму по формуле прямоуголь-ников получаем систему линейных алгебраических уравнений

gsm − 2λ

∑

i6=m

gsi Ω

smi∆σ

si = 2λϕs

0 m + 2αΠsm. (3)

Для построения разностного аналога (2) полагаем, что плот-ность gs

m и коэффициент проницаемости Km не меняются в пре-делах каждой площадки ∆σs

m. Заменяя интегралы на суммы поформуле прямоугольников и дифференциалы – разностями, с уче-том перехода от гиперсингулярного интеграла к интегралу по кон-туру [1] получим

∆rsm

∆ts= vs

0 m −√Km

∑

i

√Kig

si

∑

ξ

θVξs2mi+

+√Km

∑

i6=m

√Kig

si (θWs

1 mi − θWs2mi) ∆σs

i +

+KmgsmWs

1 m∆σsm +Km

∑

i

Kigsi W

s3 mki∆σ

si , (4)

Здесь

Vξsi =

∫ lξsi

0∇MU(rNM ) × drM ,

W1 =((

∇N ln√K(N),nN

)× ∇M ln

√K(M) − β2nN

)U(rNM ),

W2 =(∇N ln

√K(N),nN

)×∇MU(rNM )+

+ ∇M

√K(M) (∇NU(rNM ),nN ) ,

W3 = ∇M (∇N×((K(M)K(N))−

12G(M, N)

),nN

),

130

Ws1 mk =

∫

∆σsmk

W1dσN ,

lξsi — длина ξ отрезка i-той рамки (индекс ξ используется для пе-ребора отрезков рамки), θ— сглаживающая функция [4].

3. Эволюция границы загрязнения. В качестве приме-ра продемонстрируем эволюцию поверхности раздела различныхжидкостей, первоначально имеющей форму эллипсоида, в посту-пательном потоке под действием силы тяжести.

За характерное расстояния выберем меньшую полуось эллип-соида, за характерное время — время T0 = L0/u. На рисунке пред-ставлены положения поверхности раздела жидкостей в моментывремени t = 0 и t = 5. Параметры λ = 0, 5 и α = −0, 1. Скоростьпоступательного потока u = 1. Коэффициент проницаемости по-ристой среды K = 1. В качестве сглаживающей функции исполь-зовалось выражение θ = (63(r/rǫ)

5 − 90(r/rǫ)7 + 35(r/rǫ)

9)/8, 0,rǫ = 0, 33. Поверхность раздела жидкостей σt представлена 1225площадками.

−1−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5−2−1.5

−1−0.5

0 0.5

1 1.5

2

−2−1.5

−1−0.5

0 0.5

1 1.5

2−2

−1.5−1

−0.5 0

0.5 1

1.5 2

−1−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

xOz

−2−1.5

−1−0.5

0 0.5

1 1.5

2

−1−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

xOy

1. Никольский Д.Н. Математическое моделирование трехмерной задачи эво-люции поверхности раздела жидкостей различной вязкости и плотностив неоднородном грунте // Журнал вычислительной математики и ма-тематической физики, 2007. — Т. 47, 8. — C. 1402–1412.

2. Голубева О.В. Курс механики сплошных сред. — Высшая школа: М.,1972. — 368 c.

131

3. Никольский Д.Н., Сетуха А.В О локальной разрешимости уравненийэволюции линии раздела двух фильтрующихся жидкостей в классе ана-литических функций// Дифференциальные уравнения, 2008. — Т. 44,9. — C. 1193–1204.

4. Киряхин В.Ю., Сетуха А.В О сходимости вихревого численного методарешения трехмерного уравнения Эйлера в лагранжевых координатах //Дифференциальные уравнения, 2007. — Т. 43, 9. — C. 1263–1276.

Работа выполнена при финансовой поддержке Президента РФ

(грант МК-491.2008.1)

Кафедра информатики,

Орловского государственного университета;

302026, г.Орёл, ул. Комсомольская, 95.

nikolskydn@mail.ru

УДК 537.525

В.Б. Опарин, М.В. Петровская, К.Н. Виноградов,

Е.А. Косарева

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЗАРЯЖЕННЫХЧАСТИЦ В КАТОДНОЙ ОБЛАСТИ ТЛЕЮЩЕГО

РАЗРЯДА

Актуальным современным направлением является создание на-нодисперсных материалов, которые позволяют образовывать фрак-тальные агрегаты, определяющее их физико-механические свой-ства. Одним из методов получения таких материалов является ис-пользование тлеющего разряда в химически активной среде. Фор-мирование нанодисперсных материалов в таких условиях требуетизучения целого комплекса процессов и механизмов их образова-ния.

Катодная область разряда характеризуется высоким градиен-том потенциала и высокой напряженностью электрического поля.Ионы, двигающиеся под действием электрического поля в этой об-ласти, сталкиваются с дисперсными частицами. Возникает диф-фузионная и ударная зарядка частиц.

В проведенных экспериментах плотность тока при НЧ разряде(частота 103 Гц) в тетрафторэтилене j = 1,2 А/м2, средняя напря-женность в катодной области около 60 кВ/м. Частота разрядного

132

тока (1 кГц) такая, что разряд успевает за период действующегонапряжения дважды зажечься и погаснуть, и каждый из элек-тродов за период становится катодом и анодом. Поэтому в такихусловиях важна кинетика нарастания заряда на частице, посколь-ку в этом случае важно знать, какие частицы успевают долететьдо поверхности электрода за половину периода напряжения, а ка-кие нет.

В [1] было показано, что для частиц, радиус которых меньше1 мкм (а именно такие частицы встречаются при полимеризациичастиц в тлеющем разряде), определяющее значение имеет диф-фузионная зарядка.

Дифференциальное уравнение для диффузионной зарядки

dq

dt=

jq

Eε0

(exp

(e

kБTq

4πε0a

)− 1) , (1)

получено исходя из предположения, что в непосредственной бли-зости от поверхности частицы концентрация ионов равна нулю(здесь kБ — постоянная Больцмана). В уравнении также учтенасферическая симметрия распределения плотности потока ионовна частицу.

Конечно, напряженность электрического поля на переменномтоке не является постоянной величиной, и разряд зажигается придостижении напряжения пробоя, но учесть это довольно сложно.Поэтому предполагаем, что j и E — постоянные величины. В каче-стве граничного условия за начальный момент времени принима-ем не t = 0, а t = 10−4 c, что примерно совпадает с началом про-цесса горения разряда. Начальный заряд частицы считаем рав-ным нулю. Численное решение этого уравнения было выполненос использованием программы Mathcad и позволило найти зави-симость заряда частицы от ее радиуса и времени q(a, t). Расчетпоказывает, что для того чтобы частица приобрела один элемен-тарный заряд, ее радиус должен быть не меньше 6 нм.

В первом приближении зависимость напряженности поля в ме-жэлектродном пространстве от времени можно считать синусои-дальной:

E =Uэф

√2

Lsin(2πνt). (2)

133

Перемещение частицы можно найти из уравнения

md2x

dt2= q(a, t)E(t) − Fc, (3)

где Fc — сила сопротивления среды движению частицы, обычнопропорциональная скорости Fc = γkυ(t).

Коэффициент γk можно найти через коэффициент взаимнойдиффузии D12 для дисперсных частиц и молекул газа γk = kБT

D12.

Согласно строгой теории Ланжевена

D12 =3

8

√πkБT

2Mr

1

n0πd212,

(4)

где Mr — приведенная масса молекулы и частицы, n0 — концен-трация газа, а d12 — сумма радиуса частицы и радиуса молекулы.

Решение уравнения (3) для частиц разных размеров также бы-ло выполнено численно с помощью программы Mathcad.

Анализ результатов показал, что преодолеть катодную областьза половину периода при таких параметрах разряда могут части-цы размером менее 30 нм. Частицы чуть большего размера доле-тят до катода в начале следующего полупериода, пока напряжен-ность поля невелика. Более крупные частицы под действием поляпройдут расстояния много меньшие размеров катодного слоя. На-пример, частица радиусом 100 нм может «накопить» около 16 эле-ментарных зарядов и пройти расстояние порядка 1,2 мм, частица

Зависимости скоростей (пунктирная линия) и перемещений (сплошная ли-ния) от времени для наночастиц радиусами 1 — 12 нм, 2 — 25 нм, 3 — 50 нм

134

500 нм — до 80 элементарных зарядов и расстояние менее 0,1 мм.Следовательно, в катодной области образуется пространственныйзаряд и под действием силы электрического отталкивания возни-кает поток из этой области, выносящей частицы из разряда.

В следующем полупериоде катод становится анодом и электро-ны, летящие к нему, перезаряжают крупные частицы в приэлек-тродной области. Такие частицы в процессе горения разряда неуспевают долететь до катода и задерживаются в этой области, чтоспособствует процессу коагуляции и образованию нанопорошков.

1. Опарин В.Б., Соснина М.В., Виноградов К.Н. Ионные потоки заряжен-ных частиц в катодной области тлеющего разряда// Вестн. Сам. гос.техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2007. — 1(14). — C. 119–124.

2. Мак—Даниель И. Процессы столкновений в ионизованных газах: пер. с ан-гл. под ред. Л.А. Арцимовича. — М.: Мир, 1967. — 393 с.

Кафедра общей физики и физики нефтегазового производства,

Самарский государственный технический университет;

443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

oparin_v_b@mail.ru; physics@samgtu.ru

УДК 621.365.5

Ю.Р. Осипов, С.П. Рожин, С.Ю. Осипов,

К.В. Кутовой, С. В. Волкова

АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙЗАДАЧИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

ПРИ ИНДУКЦИОННОЙ СУШКЕ

Нагрев, основанный на подводе тепла к изделию с помощьюэлектромагнитного поля, широко применяется в различных тех-нологических процессах. Рассмотрим случай сушки клеевого по-крытия, нанесенного на металлический лист, нагреваемый элек-тромагнитным полем промышленной частоты. Формулировка этойзадачи описана в [1]: схематично задача показана на рисунке.

Решение производится путём упрощения исходных уравнений,приведением их к безразмерной форме [2], и последующим при-менением лапласовой трансформации.

135

Математическое описание задачи определения теплопроводности при индук-ционной сушке

В качестве масштаба температуры и влажности выберем ихначальные значения: T (x, 0) = T1(x, 0) = T0 при −δст < x < δкл;U(x, 0) = U0 при 0 6 x 6 δкл. Тогда безразмерные температура ивлажность имеет вид:

T (N, F ) =T (x, τ) − T0

T0; U(N, F ) =

U(x, τ)

U0.

Характерным отрезком системы удобнее считать толщину влаж-ного материала δкл и отнести безразмерную координату к этойтолщине: N = x

δкл. При таком выборе характерного размера ком-

плекс Фурье — Fo = aτδ2кл

и симплекс температуропроводностей A =

= a1a . Введя критерии Коссовича Ko = rU0

cT0, Лыкова Lu = am

a ,

Поснова Pn = δ−T0u0

и представляя безразмерный источник энер-

гии в виде ω(N, F ) = ω(x, τ)δ2кл

λ1T0, можно систему уравнений переноса

тепла и влаги записать в критериальном виде:

A−1∂T1

∂F=∂2T1

∂N2+ ω при −N1 6 N 6 0;

136

∂T

∂F=∂2T

∂N2+ Ko

∂U

∂N, при0 6 N < 1;

∂U

∂F= Lu

[∂2U

∂N2+ Pn

∂2T

∂N2

], при0 6 F <∞.

Начальные значения безразмерных температур и влагосодер-жания — T (N, 0) = T1(N, 0) = 0 и U(N, 0) = 1. Температурыповерхностей влажного материала — T (0, F ) = T0(F ) и T (1, F ) == T1(F ) являются технологическими функциями времени.

Условия сопряжения по потоку вещества и условия равенствапотоков энергии в безразмерной форме имеют вид:

∂U(0, F )

∂N+ Pn

∂T (0, F )

∂N= 0,

−∂T (0, F )

∂N=∂T (1, F )

∂N+ ε · Ko · U ′

υ(F ) +

∫ 1

0

∂T (N, F )

∂F∂N.

Обозначим лапласову трансформацию функции z(F ) [2]:

z(s) =

∫ ∞

0z(F ) exp(−sF )dF .

Тогда уравнения процесса запишутся следующим образом:

A1sT 1 = T′′

+W, sT + T′′

+ ε · Ko[U s − 1

],

sU − 1 = Lu[U

′′+ PnT

′′];

условия непроницаемости металлической подложки и температу-ры поверхностей подложки и клеевого покрытия:

T (0, s) = T 0(s), T (1, s) = T 1(s), U′(0, s) + Pn · T ′

(0, s) = 0.

Изображение закона конвективного теплообмена на свободной

поверхности клея −T ′(1, s) = BiT (1, s).

Итоговое выражение для температуры клея имеет вид:

T (T, s) = C1 chN√s+ C2 shN

√s+

+ ε · Ko ·∞∑

n=0

(√s)n ∇−2(n+1)

[1 − sU(N, s)

],

137

где интегральный оператор — антилапласиан

∇−2z=

∫ N

0dη

∫ η

0z(ξ)dξ,

C1 и C2 — константы, определяемые из начальных и граничныхусловий

Подложка в рассматриваемом процессе служит, прежде всего,источником тепла и характеризуется величиной полной выделяе-мой в ней мощности W (τ) и величиной мощности, передаваемойклеевому покрытию Q(τ).

Температурное поле подложки в лапласовом изображении:

c1∂T

∂τ= λ1∇2T1 −W (τ).

Изображения мощностей W (τ) и Q(τ):

W (s) = −Q(s)

√s · shN1(s)

chN1√s− 1

+s(T 1 − T 0

)

chN1√s− 1

+ sT0(s);

Q(s) =chN1

√s−B1s

−0,5 shN1√s

B1s (chN1

√s− 1) − sh N1

√s√

s

.

1. Осипов Ю.Р. Математическая модель процесса тепло- и массопереносапри индукционной сушке клеевых покрытий на металлической подлож-ке / В сб.: Труды Пятой Всероссийской конференции с международным

участием, Чaсть 2: Моделирование и оптимизация динамических си-стем и систем с распределенными параметрами / Матем. моделированиеи краев. задачи. — Самара: СамГТУ, 2008. — C. 101–104.

2. Лукомская А.И., Баденков П.Ф., Кеперша Л.М. Тепловые основы вул-канизации резиновых изделий. — М.: Химия, 1972. — 360 c.

Кафедра теории и проектирования машин и механизмов,

Вологодский государственный технический университет;

160000, г. Вологда., ул. Ленина, 15.

Тверской государственный технический университет,

170026, г. Тверь, наб. Аф. Никитина, 22.

sergey_rozhin@mail.ru

138

УДК 517.977.5

Д.В. Петров

ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССОВ РАБОТЫДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ИЗГОТОВИТЕЛЕЙ

И ПОТРЕБИТЕЛЕЙ ПРОДУКЦИИ

В докладе рассматриваются математические модели совмест-ной работы завода-изготовителя и покупателя продукции. Прини-мается, что купленная у завода продукция затем перепродается.В отличие от [1,2], решены задачи полной реализации имеющейсяу изготовителя или покупателя продукции.

Дифференциальные уравнения процесса изготовления и реа-лизации продукции можно записать в следующем виде:

x′ = u− v0 − vx, x(0) = x0; x > 0;

z′ = v0 + vx− ω0 − ωz, z(0) = z0; z > 0,(1)

где x(t) — количество продукции на складе у изготовителя, а z(t)соответственно у покупателя. Изготовление продукции характе-ризуется величиной темпа производства u(t), а реализация - ско-ростями покупки (v0 + vx) и дальнейшей перепродажи (ω0 + ωz).Здесь v0 и ω0 соответственно скорости покупки и перепродажиединицы продукции, а v и ω соответственно эти показатели дляминимальных партий. Для изготовителя в дальнейшем принима-ется, что он может управлять своим параметром u, а потреби-тель — соответственно v и ω.

При этом должно быть u > (v0 + vx) и (v0 + vx) > (ω0 + ωz),т.к. в противном случае имеем тривиальное решение, т.е. весь из-готовленный товар мгновенно покупается или перепродается.

Рассмотрим задачу определения минимального времени реа-лизации имеющейся у изготовителя продукции. Пусть на складеу изготовителя имеется продукция, т.е. x(0) = x0. Ему при задан-ных v0 и v нужно найти такое изменение u, чтобы за кратчайшеевремя T реализовать всю свою продукцию, т.е. получить x(T ) = 0.Такую задачу можно отнести к классу задач Лагранжа теориисистем управления. Для ее решения используется принцип мак-симума Понтрягина, для чего составляется функция Гамильтона:

H = ψ (u− v0 − vx) ,

139

где ψ(t) – вспомогательная функция, определяемая из уравненияψ′ = −∂H

∂x = ψ · v. Определенное из условий трансверсальностиграничное значение для ψ будет: ψ(T ) = Q, где Q произвольнаяконстанта. Как видно, функция Гамильтона относительно пара-метра u принимает максимальное значение при следующих усло-виях:

u =

0, при ψ < 0;

u∗, при ψ > 0.(2)

Здесь u∗ — максимально возможное значение u.

В соответствии с (2), изменение параметра u имеет релейныйхарактер. Момент переключения u происходит при смене знакаψ. В работе рассматривается совместное решение системы (1) иуравнения для ψ′ с учетом (2). В результате такого решения по-лучено, что время T , при котором x(T ) = 0, записывается так:

T = − 1

v∗ln

v0v0 + v∗x0

.

Таким образом, минимальное время T , за которое изготови-тель может реализовать всю имеющуюся у него продукцию (x0)зависит как от ее начального значения, так и от скоростей ее ре-ализации.

Рассмотрим еще одну задачу — определение оптимальных ре-жимов изменения параметров v и ω покупателя с целью получе-ния минимального времени реализации имеющейся у него про-дукции. Пусть в начальный момент времени как у изготовителя,так и у покупателя имеется определенное количество продукции,т.е. x(0) = x0, z(0) = z0, при этом дополнительная продукция неизготавливается, т.е. u = 0. Покупателю нужно найти такое из-менение v и ω, чтобы за кратчайшее время T реализовать всюсвою продукцию, т.е. получить z(T ) = 0. Считаем, что покупа-тель действует только в своих интересах, поэтому на конечноезначение параметра x(T ) изготовителя не накладывается ника-ких ограничений. Для решения этой задачи будем использоватьпринцип максимума Понтрягина.

Составим функцию Гамильтона для системы уравнений (1):

H = −ψ1 (v0 + vx) + ψ2 (v0 + vx) − ψ2 (ω0 + ωz) . (3)

140

Уравнения для вспомогательных функций ψ1 и ψ2 будут:

ψ′1 = −∂H

∂x= (ψ1 − ψ2) v. ψ′

2 = −∂H∂z

= ψ2ω.

Из условий трансверсальности запишем граничные условиядля этой задачи: ψ1(T ) = 0, ψ2(T ) = Q, где Q— произвольнаяконстанта.

Максимальное значение гамильтониана (3) относительно управ-ляющих параметров v и ω будет при следующих условиях:

v =

0 при ψ2 − ψ1 < 0;

v∗ при ψ2 − ψ1 > 0.ω =

0 при ψ2 > 0;

ω∗ при ψ2 < 0.

Здесь v∗ и ω∗ — максимально возможные значения v и ω.Совместное решение системы (1), уравнений для ψ′

1, ψ′2 с уче-

том условий изменения v и ω для этой задачи позволяет найтивремя T , при котором будет реализована вся продукция:

T =1

ω∗ lnv0 − ω∗

v0 − ω0 − ω∗z0.

Из этого выражения видно, что время реализации всей продукциизависит как от скоростей продажи, так и от начального количе-ства продукции.

Таким образом, полученные выражения минимальных временреализации продукции для изготовителя и покупателя позволяютболее обоснованно выбирать им режимы совместной работы.

1. Горский А.А., Колпаков И.Г., Локшин В.А. Динамическая модель про-цесса производства, хранения и сбыта товаров повседневного спроса //Извест. РАН. Теория и системы управления, 1998. — 1. — C. 144–148.

2. Параев Ю.И. Игровой подход к решению задачи производства, храненияи сбыта товара // Извест. РАН. Автоматика и телемеханика, 2005. —2. — C. 115–123.

Кафедра информационно-измерительной техники,

Самарский государственный технический университет;

443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

totosha@mystep.ru

141

УДК 519.816

М.В. Посашков, Н.В. Дилигенский

МЕТОДИКА ОЦЕНИВАНИЯЭНЕРГОРЕСУРСООБЕСПЕЧЕННОСТИ

НАСЕЛЕНИЯ ОБЛАСТИ

Задачей настоящей работы был сравнительный анализ жи-лых районов Самарской области — выявление дисбаланса в энер-гообеспечении отдельных районов области, от которых зависитэкономика области в целом, и районов, которым для эффектив-ного развития требуется финансовая поддержка.

При проведении сравнительного анализа жилых районов Са-марской области были использованы следующие показатели: вы-работка тепловой энергии для населения, потребление электро-энергии населением, водоснабжение, водоотведение, потреблениетоплива и численность населения. Для анализа были использова-ны данные по 26 районам Самарской области. Все анализируемыепоказатели рассматривали с точки зрения потребителя.

Различные значения потребления ресурсов населением затруд-няют сравнение, а, следовательно, и выбор района с наиболееэффективными показателями. Для решения данной задачи ис-пользована методология многокритериального оценивания срав-нительной эффективности — Data Envelopment Analysis (DEA). До-стоинством данной методологии является минимальный вклад субъ-ективного фактора при определении интегральных оценок эффек-тивности. В соответствии с этим подходом нахождение обобщен-ной оценки эффективности сложной системы с множеством вы-ходных и входных факторов сводится к решению некоторой зада-чи нелинейного математического программирования [1].

Для обобщенной оценки из числа рассматриваемых показате-лей, в соответствии с методом DEA, сформулируем функционалэффективности для анализируемых районов г.Самары. Проана-лизируем удельные показатели по численности населения райо-нов. Рассмотрим функционал, характеризующийся только следу-ющими выходными параметрами:

– удельная выработка тепловой энергии Y 1n, Гкал/год/чел.;– удельное потребление электроэнергии Y 2n, тыс. кВт-ч/год/

чел.;– удельное потребление воды Y 3n, м3/год/чел.;

142

– удельное потребление воды Y 3n, м3/год/чел.;– удельное потребление топлива Y 5n, т.у.т./год/чел.Максимизирующий функционал оценки эффективности имеет

следующий вид [2]:

fn = maxu1,u2,u3,u4,u5∈G

u1nY 1n + u2nY 2n+

+ u3nY 3n + u4nY 4n + u5nY 5n, (1)

где u1n, u2n, u3n, u4n, u5n — положительные весовые коэффициен-ты выходных параметров; n = 1, 2, . . ., 26.

Рассчитаем значения целевой функции для каждого районапри наличии ограничений на весовые коэффициенты:

u11Y 11 + u21Y 21 + u31Y 31 + u41Y 41 + u51Y 51 6 1,u12Y 12 + u22Y 22 + u32Y 32 + u42Y 42 + u52Y 52 6 1,

...u1 26Y 126 + u2 26Y 226 + u3 26Y 326 + u4 26Y 426 + u5 26Y 526 6 1.

(2)

Таким образом, определение DEA-оценки сводится к решениюоптимизационной задачи для 26 объектов.

На основании результатов расчета анализируемые районы мож-но разделить на три группы. В первую группу можно отнестирайоны с наивысшим показателем эффективности (f = 1). Этосоответственно: Исаклинский, Сергиевский, Челно—Вершинскийи Шенталинский районы. Наибольшее влияние на величину функ-ционала (1) оказывает удельное потребление электроэнергии —u2 ∈ (0; 0, 283).

Ко второй группе можно отнести районы со средними показате-лями эффективности: Волжский (f = 0,61), Елховский (f = 0,62),Кинель—Черкасский (f = 0,7), Красноармейский (f = 0,87), Неф-тегорский (f = 0,7), Приволжский (f = 0,78), Сызранский (f == 0,97), Хворостянский (f = 0,71). Наибольшее влияние на вели-чину максимизируемого функционала (1) имеет удельное потреб-ление топлива — u5 ∈ (0; 0, 38).

К третьей группе относим районы с низким показателем эф-фективности: Алексеевский (f = 0,37), Безенчукский (f = 0,38),Богатовский (f = 0,07), Болшеглушицкий (f = 0,29), Большечер-ниговский (f = 0,39), Борский (f = 0,21), Кинельский (f = 0,19),Камышлинский (f = 0,13), Клявлинский (f = 0,18), Кошкинский

143

(f = 0,23), Пестравский (f = 0,14), Похвистневский (f = 0,14),Ставропольский (f = 0,22), Шигонский (f = 0,21). У даннойгруппы самые низкие удельные показатели потребления ресурсовнаселением. Из анализа весовых коэффициентов видно, что наи-большее влияние имеет показатель удельного потребления топ-лива, на что указывает значение u5 ∈ (0; 0,38) [2]. Этой группетребуется дополнительное финансирование.

Исаклинский, Сергиевский, Челно—Вершинский и Шенталин-ский районы образуют фронт с наивысшим показателем эффек-тивности (f = 1), что свидетельствует об оптимальных условияхресурсообеспечения населения этих районов, а также о стабиль-ном уровне доходов, развитии бизнеса и о благоприятном инве-стиционном климате.

1. Дилигенский Н.В., Гаврилова А.А., Цапенко М.В. Построение и иденти-фикация математических моделей производственных систем. — Самара:Офорт, 2005. — 126 c.

2. Гаврилова А.А., Гаврилов В.К., Косолапов Д.Ю. Методика оцениваниясравнительной эффективности работы основного технологического обо-рудования ТЭЦ / В сб.: Труды Второй Всероссийской научной конфе-ренции, Чaсть 2: Моделирование и оптимизация динамических систем исистем с распределенными параметрами / Матем. моделирование и кра-ев. задачи. — Самара: СамГТУ, 2005. — C. 34–37.

Кафедра управления и системного анализа в теплоэнергетике,

Самарский государственный технический университет;

443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

PosashkovMV@svgc.ru

УДК 519.816

М.В. Посашков

КОМПЛЕКСНЫЙ СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗЭКОЛОГИЧЕСКОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ

СТРОИТЕЛЬСТВА АВТОНОМНЫХЭНЕРГОИСТОЧНИКОВ

Проблема обеспечения населения энергоносителями на сего-дняшний день является весьма актуальной. Многие автономные

144

теплоисточники имеют высокую степень износа, морально устаре-ли, имеют высокие эксплуатационные расходы, низкие экономи-ческие показатели и высокий уровень выбросов вредных веществ.Поэтому появляется необходимость проведения всесторонней си-стемной оценки эффективности предлагаемых решений по вво-ду новых энергетических мощностей с учетом технологических,экономических, потребительских и экологических характеристиктеплоисточников. В настоящей работе проведен комплексный ана-лиз экологических показателей трёх пилотных проектов мини-ТЭЦ, разработанных на базе газо-поршневых установок (ГПУ),предлагаемых для реализации в рамках областной целевой про-граммы «Развитие малой энергетики Самарской области на 2006–2015 годы».

В данной работе стоит задача, проанализировав три проектареформирования энергетических комплексов: г.Чапаевска, г.Пох-вистнево и с. Большая Черниговка, определить наиболее экологи-чески эффективный проект.

Для решения данной задачи предлагается использовать мето-дологию многокритериального оценивания сравнительной эффек-тивности — Data Envelopment Analysis (DEA) [1]. Суть рассмат-риваемого подхода по оценке эффективности сложных систем со-стоит в исследовании объекта с множеством выходных и входныхфакторов. Решения оптимизационных задач дают ранги зависи-мости факторов, которые определяют сравнительную эффектив-ность каждого объекта. Объекты с максимальным коэффициен-том эффективности (равным единице) формируют границу эф-фективности.

Рассмотрим функционал представленный отношением взвешен-ной суммы выходных характеристик к сумме входных факторов [2].Численные значения показателей приведены в таблице.

Максимизирующий функционал оценки экологической эффек-тивности имеет следующий вид:

fn = maxu3,u2,u8,u9,v6,v7∈G

u3nY3n + u2nY2n + u8nY8n + u9nY9n

v6nX6n + v7nX7n, (1)

где u3n, u2n, u8n, u9n — положительные весовые коэффициентывыходных параметров; v6n, v7n — положительные весовые коэф-фициенты входных параметров.

Функционал (1) максимален (fn = 1) при минимальных зна-чениях знаменателя и максимальных значениях числителя.

145

Показатели пилотных проектов мини-ТЭЦ на базе ГПУПоказатели Обозна- Ед. Проекты мини-ТЭЦ в Самарской области

чения изм. Похвистнево Б. Черниговка ЧапаевскВыходные параметры

МощностьY2

тыс.56 17,28 326,94электрическая МВт

МощностьY3

тыс.65,5 30,8 560,33тепловая МВт

ТемператураY8

С 95 95 95на отоплениеТемпература

Y9С 70 70 70на ГВСВходные параметры

Содержание

X7 мг/м3 0,09 0,08 0,14в выбросахоксидов

азота (NOx)Содержание

X6 мг/м3 0,001 0,001 0,0003в выбросахоксидов

углерода (CO)

146

Рассчитываются значения целевой функции для каждого про-екта при наличии следующих ограничениях на весовые коэффи-циенты:

u3Y31 + u2Y21 + u8Y81 + u9Y91

v6X61 + v7X716 1,

u3Y32 + u2Y22 + u8Y82 + u9Y92

v6X62 + v7X726 1,

u3Y33 + u2Y23 + u8Y83 + u9Y93

v6X63 + v7X736 1.

(2)

Из результатов расчёта следует, что два проекта имеют наи-высшие показатели экологической эффективности. Это проектыэнергоснабжения г.Чапаевска и с. Большая Черниговка (f = 1).Высокие значения оценки функционала (1) обусловлены высоки-ми выходными характеристиками и относительно низкими вход-ными показателями. Наибольшее влияние на значение функцио-нала оказывает содержание в выбросах оксидов азота (v7 = 4,3).

Проект энергоснабжения г.Похвистнево (f = 0,97) имеет болеенизкий показатель экологической эффективности по функциона-лу (1) из-за относительно высокого содержания в выбросах окси-дов углерода и азота и относительно низких значениях тепловойи электрической мощностей. Наибольшее влияние на функционал(1) оказывает содержание в выбросах оксидов азота (v7 = 2,17).

Отметим, что различие для рассмотренных проектов обобщен-ных показателей эффективности достаточно мало, т. е. все ониимеют близкую экологическую эффективность.

1. Дилигенский Н.В., Гаврилова А.А., Цапенко М.В. Построение и иденти-фикация математических моделей производственных систем. — Самара:Офорт, 2005. — 126 c.

2. Посашков М.В. Комплексный сравнительный анализ оценки экономи-ческой эффективности строительства автономных энергоисточников /В сб.: Компьютерные технологии в науке, практике и образовании: Тр.Седьмой Всеросс. межвузовской научно-практич. конф. Ч. 2.. — Сама-ра: СамГТУ, 2008. — C. 197–200.

Кафедра управления и системного анализа в теплоэнергетике,

Самарский государственный технический университет;

443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

PosashkovMV@svgc.ru

147

УДК 623.4.056.4

И.А. Прошин, В.М. Тимаков, Е.А. Сапунов, А.В. Савельев

ИМИТАЦИОННАЯ МОДЕЛЬ ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИЯДИНАМИЧЕСКИМ СТЕНДОМ АВИАЦИОННОГО

ТРЕНАЖEРА

Вопросы обеспечения безопасности являются приоритетнымипри организации воздушного движения и осуществлении авиапе-ревозок пассажиров и грузов.

К сожалению, практика эксплуатации авиационной техникипоказывает, что причиной большинства (около 80%) авиацион-ных происшествий является «человеческий фактор». Изменитьэту тенденцию к лучшему возможно в результате тренировок лет-ного состава на авиационных тренажерах (АТ) и отработки ихдействий в составе экипажа в наземных условиях.

Силовое — акселерационное воздействие (АВ) на пилота ста-новится определяющим при выработке навыков пилотирования иосуществляется перемещением кабины тренажера, установленнойна динамическом стенде, создавая «полетные» перегрузки, удары,тряску при посадке и взлете, вибрации от силовой установки и накритических режимах полета, а также эффекты при стрельбе изствольного и реактивного оружия.

Имитация перегрузок должна осуществляться в ограниченныхконструкцией стенда пределах для угловых и линейных переме-щений. Очевидно, что с увеличением диапазона перемещений ка-бины тренажера появляется возможность более качественно вос-производить ощущения движения близкие к полетным. Однакоувеличение диапазонов перемещения кабины тренажера приво-дит к росту стоимости динамического стенда пропорциональнокубу отношения перемещений, поэтому увеличение диапазона пе-ремещений приводит к резкому увеличению стоимости всего тре-нажера.

Подобие акселерационной информации, воспроизводимой натренажере, зависит как от качественных характеристик и разме-ров динамического стенда, так и от выбора закона управлениядвижением платформы, и определяется возможностями и харак-теристиками привода.

148

Текущее значение высоты на промежутке времени от t1 до t2при переменном ускорении определяется выражением

h(t) = h0 + v0t+a0t

2

2+

t2∫∫∫

t1

adt3, (1)

где h0, v0, a0 — начальные значения высоты, скорости и ускоренияв момент изменения перегрузки; t— время.

В (1) наиболее информативным ингредиентом, несущим по-лезную акселерационную информацию, является последнее сла-гаемое правой части.

С целью повышения точности и повышения экономической эф-фективности предложен способ управления координатами дина-мического стенда, отличительной особенностью которого являет-ся единое управление в замкнутой системе перемещением, скоро-стью, ускорением и перегрузкой.

Для реализации в соответствии с предложенным способом со-ставляющей

∆h (t) =

t2∫∫∫

t1

adt3

на динамическом стенде при моделировании процессов реальногообъекта вычисляется сигнал, пропорциональный третьей произ-водной от вертикального перемещения, троекратное интегриро-вание которого в реальном масштабе времени, позволяет опреде-лить сигнал, пропорциональный текущему значению высоты h (t)в заданном интервале времени

∆h (t) =

t2∫∫∫

t1

adt3 = C1 + C2 +C3 + ∆h2 (t) , (2)

где C1 = a0t2

2 ; C2 = v0t; C3 = h0.Не вводя в решение уравнения (2) величины C1, C2, C3, полу-

чаем искомый закон изменения координаты hст(t) динамическогостенда

hст(t) = ∆h2(t) =

t2∫∫∫

t1

adt3,

149

для реализации которого, требуются наименьшие перемещенияего подвижной платформы.

При предлагаемом способе воспроизведения акселерационнойинформации на вход следящего привода, при воспроизведении,например, ускорения, подается сформированный сигнал пропор-циональный перемещению от действия ускорения по времени. Приидеальной работе привода его исполнительное звено (шток гидро-цилиндра) будет двигаться по квадратичной зависимости от вре-мени в соответствии с изменением управляющего сигнала, вос-производя тем самым реальные ускорения исполнительного звена.При этом следящий привод должен удовлетворять высокой точ-ности отработки входного сигнала, быстродействию и плавностидвижения.

Обеспечение заданных характеристик динамического стендапо управлению возможно в общем случае в замкнутой системе n-го порядка, показанной на рисунке. Минимально возможный по-рядок системы, обеспечивающей формирование заданных законовуправления динамического стенда в замкнутой астатической си-стеме согласно предложенному способу, соответствует третьему.В то же время, реальные системы приводов (гидропривода, элек-тропривода) чаще всего могут быть описаны математическимимоделями более высокого порядка.

Структурная схема формирования законов управления

С целью исследования основных характеристик динамическихстендов и определения требований к их приводам при формирова-нии заданных законов управления координатами: перемещением,скоростью, ускорением, перегрузкой разработана имитационнаяматематическая модель, обеспечивающая моделирование законовуправления в замкнутой системе произвольного порядка с задан-ными показателями качества.

Обобщенная имитационная модель динамической системы n-

150

го порядка, описывающая формирование законов управления взамкнутой системе по перемещению вектором управляемых коор-динат X = [xn−1 xn xn+1 xn+2]

т, включающим координаты управ-ления перемещением xn+2, скоростью xn+1, ускорением xn, пере-грузкой xn−1 имеет следующий вид:

ν(1)1

ν(1)2

ν(1)3. . .

ν(1)n−1

ν(1)n

ν(1)n+1

ν(1)n+2

=

−an−2 −an−1 . . . −a1 −a0 0 0 −λ0

1 0 . . . 0 0 0 0 −λ1

0 1 . . . 0 0 0 0 −λ2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . 1 0 0 0 00 0 . . . 0 1 0 0 00 0 . . . 0 0 1 0 00 0 . . . 0 0 0 1 0

×

×

ν1

ν2

ν3

. . .νn−1

νn

νn+1

νn+2

+

λ0

λ1

λ2

. . .0000

;

X =

xn−1

xn

xn+1

xn+2

=

0 0 . . . 1 0 0 00 0 . . . 0 1 0 00 0 . . . 0 0 1 00 0 . . . 0 0 0 1

·

ν1

ν2

ν3

. . .νn−1

νn

νn+1

νn+2

.

Синтез имитационной модели системы с формированием за-конов управления по предлагаемому способу выполнен на основеметодов стандартных коэффициентов и динамической компенса-ции. Задание свойств системы обеспечивается выбором порядка

151

системы n, коэффициента демпфирования ξ, времени нарастанияпереходного процесса τ .

Синтезированы математические модели третьего, шестого(с одним и двумя нулями), седьмого порядков и проведены ис-следования влияния на точность отработки законов управления:порядка системы; перерегулирования; времени управления.

Кафедра автоматизации и управления,

Пензенская государственная технологическая академия;

440605, г.Пенза, проезд Байдукова / ул. Гагарина, 1а/11.

vector950@list.ru

УДК 623.4.056.4

И.А. Прошин, В.М. Тимаков, А.В. Савельев, Е.А. Сапунов

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКОГОСТЕНДА АВИАЦИОННОГО ТРЕНАЖEРА

С КОМПЕНСАЦИЕЙ НАГРУЗКИ

Одно из приоритетных направлений развития науки и техни-ки — тренажеростроение обусловливается настоятельной необхо-димостью повышения качества подготовки летного состава, обес-печения безопасности и надежности полетов при сокращении за-трат на подготовку, обучение и тренировку летных экипажей.Авиационные тренажеры — имитаторы полета и работы самолёт-ного оборудования с помощью вычислительных и моделирующихсистем позволяют отрабатывать навыки в пилотировании само-лета, аэронавигации и обслуживании всего комплекса его обору-дования, а для военных самолетов обеспечивают возможность со-вершенствовать действия экипажа в полете на боевое применение.

Математическая модель механической части динамическогостенда может быть представлена дифференциальными уравнени-ями перемещений xa, xb, xc шарнирных узлов с платформой смассами нагрузки ma, mb , mc и действующими силами со сторо-ны гидропривода Fa, Fb, Fc и со стороны платформы Fп,a, Fп,b,Fп,c:

mid2xi

dt2= Fi − Fп,i; i ∈ [a, b, c] . (1)

152

Здесь за положительное направление движения принято движе-ние вверх.

Для моделирования механической части динамического стен-да на компьютере представим модель (1) в пространстве векторасостояний V = [ν1 ν2 ν3 ν4 ν5 ν6]

т:

ν(1)1

ν(1)2

ν(1)3

ν(1)4

ν(1)5

ν(1)6

=

0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0

·

ν1

ν2

ν3

ν4

ν5

ν6

+

+

1ma

− 1ma

0 0 0 0

0 0 0 0 0 00 0 1

mb− 1

mb0 0

0 0 0 0 0 00 0 0 0 1

mc− 1

mc

0 0 0 0 1 0

·

Fa

Fп,a

Fb

Fп,b

Fc

Fп,c

. (2)

Проведем исследование влияния веса платформы на форми-рование силовых воздействий со стороны привода. Примем массыкаждого шарнирного соединения вместе с платформой одинако-выми. Для обеспечения движения массы m = 1400 кГ с постоян-ным ускорением a = 8 м

c2 требуется усилие F = ma = 11200 H,что меньше веса платформы Fп = mg = 14009,81 = 13734 Н.Для перемещения платформы динамического стенда с учетом ве-са платформы с ускорением a = 8 м

c2 требуется усилие F = ma++mg = 24934 Н, которое более чем в два раза превышает усилие,требующееся для перемещения инерционной нагрузки при отсут-ствии веса платформы.

Для модели перемещений и скоростей платформы в шарнир-ном узле a при ее движении вверх и вниз при действующей наплатформу в каждом узле равных сил Fa = Fb = Fc = 24934 Ндля системы с компенсаций статической нагрузки и без ее ком-пенсации.

Платформа в системе с компенсацией платформа в системе скомпенсацией статической нагрузки приобретает ускорение ak =

153

= 17,81 мc2 , превышающее более чем в два раза ускорение плат-

формы в системе без компенсации (an = 8 мc2 , что позволяет по-

высить более чем в два раза быстродействие системы с компенса-цией при одинаковых мощностях гидроприводов. Характеристикидвижения и по перемещению и по скорости для системы без ком-пенсации несимметричны относительно оси времени, для системыс компенсацией обеспечивается полная симметрия характеристик.

Для модели перемещений и скоростей платформы в том жеузле a при ее движении вверх с одинаковыми для системы с ком-пенсаций статической нагрузки и без ее компенсации ускорения-ми ak = an = 8 м

c2 в системе с компенсацией статической нагруз-ки обеспечивается движение как вверх, так и в низ с одинаковымускорением, а характеристики движения симметричны. В системебез компенсации ускорение (an = 27,62 м

c2 ) платформы при дви-жении вниз значительно превышает ее ускорение при движениивверх (an = 8 м

c2 ), что и определяет несимметрию характеристик.Для перемещения платформы с заданными ускорениями ak =

= an = 8 мc2 в системе с компенсацией со стороны привода необхо-

димо обеспечить усилие F = ma = 11200 Н, в то время как длясоздания такого же ускорения в системе без компенсации требу-ется значительно большее усилие F = 24934 Н.

При движении платформы с меньшими ускорениями эффек-тивность введения компенсации статической нагрузки значитель-но возрастает. Действительно, как следует из проведенных иссле-дований для движения платформы с ускорением ak = an = 1,28 м

c2

в системе с компенсацией при массе платформы m = 1400 кГ тре-буется усилие Fk = ma = 1792 Н против Fn = 15530 Н для систе-мы без компенсации, т.е. в 8,664 раза меньше, чем в системе безкомпенсации. Аналогичные результаты получены и для другихточек.

Кафедра автоматизации и управления,

Пензенская государственная технологическая академия;

440605, г.Пенза, проезд Байдукова / ул. Гагарина, 1а/11.

vector950@list.ru

154

УДК 519.68

С.А. Саввина, Д. Л. Головашкин

МЕТОДИКА ФОРМИРОВАНИЯ ПАДАЮЩЕЙ ВОЛНЫПРИ РАЗНОСТНОМ РЕШЕНИИ ВОЛНОВОГО

УРАВНЕНИЯ

Введение. В связи с интересом к светотехническим устрой-ствам, основанным на применении элементов нанофотоники, ак-туальной представляется задача разработки математического ап-парата для моделирования распространения лазерного излучениячерез нанофотонные структуры. К наиболее распространенномуметоду решения указанной проблемы традиционно относят FDTDподход [1], основанный на разностном решении уравнений Макс-велла. Характеризуясь универсальностью и простой реализации[2], FDTD метод не свободен и от недостатков, связанных с высо-кой вычислительной сложностью расчетов по нему.

При исследовании распространения TE-волны через цилин-дрический элемент уместней реализация разностного решения вол-нового уравнения. Она не связана с упрощением математическоймодели и потерей точности вычислительного эксперимента. Приэтом ожидается снижение вычислительной сложности при сохра-нении основных черт FDTD метода: способов задания падающейволны и наложения поглощающих слоев на границу области экс-перимента.

Начиная исследования в указанном направлении, авторы огра-ничились рассмотрением методики задания падающей волны дляслучая одномерного волнового уравнения.

1. Задание падающей волны методом «жесткого» ис-точника. Записывая разностную схему [2]

En+1i − 2En

i + En−1i

h2t

=c2

εiµ

Eni−1 − 2En

i + Eni+1

h2y

(1)

для одномерного волнового уравнения, наложим на область вы-числительного эксперимента D (0 6 x 6 Lx, 0 < t 6 T )сеточную область Dh, в узлах которой (tт, xi) : tn = nht, n == −1, 0, 1, . . . , N = T

ht, xi = ihx, i = 0, . . . , I = Lx

hx определены

значения электрической компоненты E электромагнитного поля

155

в случае распространения TEM-волны. Среда и оптический эле-мент характеризуются диэлектрической и магнитной проницаемо-стями εi и µ, величина соответствует скорости света в свободномпространстве.

На краях вычислительной области зададим электрическую стен-ку, до начала вычислений полагаем поле отсутствующим. Приве-денная схема характеризуется вторым порядком аппроксимации(по времени и пространству) и следующим критерием устойчиво-сти: ht 6 hx

2 [2].Задавая падающую волну методом «жесткого» источника (hard

source) определим [2, 3] в узле I2 поле так

EnI2

= Re(exp

(−i(2πht

cn

λ− π

2

))), (2)

где λ— длина волны падающего излучения в вакууме.Изучая сходимость решения (1), (2) для свободного простран-

ства на области Lx = 20λ, T = 10λc , обратимся ко второй колонке

таблицы.

Зависимости погрешностей вычислительных экспери-ментов от дискретизации сеточной области

(Q, Qt) погрешность решения (в %)10/24 0,1513 17,9580 15,144825/52 0,0244 2,3657 1,823250/100 0,0123 0,5926 0,5691100/200 0,0054 0,1640 0,1555

Параметры дискретизации сеточной области заданы в виде па-ры чисел (Q, Qt). Первое соответствует количеству узлов сеточ-ной области по пространству, приходящееся на длину волны, вто-рое — количеству узлов по времени, приходящееся на временнойинтервал, за который плоский волновой фронт в вакууме пройдетрасстояние в одну длину волны.

2. Задание падающей волны методом «прозрачного»источника. При изучении прохождения электромагнитной вол-ны через оптическую поверхность методом FDTD уместно исполь-зование метода «прозрачного» источника [4] («жесткий» некор-ректно работает при наличии отраженной волны).

Адаптируя указанный метод к разностному решению волно-вого уравнения, будем наряду с задачей (1) решать аналогичную

156

с постоянным значением εinc (′ решение обозначим за E), равнымдиэлектрической проницаемости среды из которой на поверхностьпадает электромагнитная волна. Тогда в узле I

2 поле формируетсякак

EnI2

= Re(exp

(−i(2πht

cn

λ− π

2

)))+ En,

где отраженная волна En = EnI2

− EnI2

.

Погрешности разностного решения при исследовании распро-странения через границу раздела среда (ε = 4)/вакуум представ-лены в колонках 3 (прошедшая волна) и 4 (отраженная) таблицы.Сходимость разностного решения к аналитическому подтвержда-ет корректность задания падающей волны предложенным мето-дом.

Выводы. Сформулирован метод «прозрачного» источника длязадания падающей волны при разностном решении волнового урав-нения. Сходимость решения продемонстрирована на тестовом при-мере распространения TEM-волны через границу раздела двухсред.

1. Tsukerman I. Computational Methods for Nanoscale Applications. Particles,Plasmons and Waves, Springer Science, 2005. — 530 p.

2. Taflove A., Hagness S. Computational Electrodynamics: The Finite-DifferenceTime-Domain Method: 2nd.ed. — Boston: Arthech House Publishers, 2000. —852 p.

3. Головашкин Д.Л., Казанский Н.Л. Декомпозиция сеточной обасти приразностном решении уравнений Максвелла // Математ. моделирование,2007. — Т. 19, 2. — C. 48–58.

4. Головашкин Д.Л. Постановка излучающего условия при моделированииработы цилиндрических дифракционных оптических элементов методомразностного решения уравнений Максвелла // Математ. моделирование,2007. — Т. 19, 3. — C. 3–14.

Кафедра прикладной математики,

Самарский государственный аэрокосмический университет;

им. академика С.П. Королева,

443001, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 151.

Институт систем обработки изображений Российской академии наук

лаборатория дифракционной оптики,

443001, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 151.

savvina@yandex.ru; dimitriy@smr.ru

157

УДК 534.2:532

И.В. Семёнова

ПОЛЕ НАПРАВЛЕННОГО ИЗЛУЧАТЕЛЯВ ТРEХСЛОЙНОЙ ОБЛАСТИ

Возьмём в качестве модели неоднородного полупространствасовокупность однородных в горизонтальном направлении слоев.Выделим трехслойную область, состоящую из: Ω1 толщиной d снеидеальными границами Σ1 и Σ2; Ω2 толщиной d1 с неидеаль-ными границами Σ2 и Σ3; Ω3 толщиной d2 с неидеальными гра-ницами Σ3 и Σ4. Каждый из слоев характеризуется постояннымиплотностью и скоростью звука ρ1 и c1, ρ2 и c2, ρ3 и c3, соответ-ственно.

Рассмотрим модельный излучатель, находящийся в слое Ω1 нарасстоянии z0 от его нижней границы Σ2, описываемый в одно-родном неограниченном пространстве потенциалом вида

ψ(r, θ, ϕ) =

N∑

n=0

n∑

m=−n

Cnmh(1)n (kr)P |m|

n (cos θ)eimϕ,

где N — порядок мультипольности, Cnm — моменты мультиполей,

h(1)n — сферические функции Бесселя третьего рода порядка n,

P|m|n — присоединенные полиномы Лежандра.

Поле, создаваемое таким источником в области Ω2, описыва-ется функцией, которая является решением следующей краевойзадачи: найти функцию ψ(M), которая

1) в области Ω2 удовлетворяет однородному уравнению Гельм-гольца: ∇2ψ(M) + k2ψ(M) = 0, M ∈ Ω2;

2) на границах Σ2 и Σ3 слоя удовлетворяет условию сохране-ния непрерывности потенциала и его нормальной производ-ной: [ψ]|s = 0, [dψ/dn]|s = 0, s = Σ2

⋃Σ3.

Вместо второго условия будем применять вытекающие из негофункциональные зависимости, определяющие коэффициенты от-ражения плоских звуковых волн от границ слоев:

V1(β1) — коэффициент отражения от границы Σ1,V20(β1) — коэффициент отражения от границы Σ2 в слое Ω1,V21(β1) — коэффициент отражения от границы Σ2 в слое Ω2,

158

V3(β1) — коэффициент отражения от границы Σ3, где β1 —угол падения волны на границу.

Для решения поставленной задачи воспользуемся подходом,развитым в [1] для нахождения поля мультипольного излучателя,находящегося в одном с приемником слое, ограниченном полупро-странствами.

С учетом того, что волны внутри слоя Ω1 могут претерпеватьмногократные отражения от его границ Σ1 и Σ2, падая на нихпод углом β, а также то, что при прохождении через границуΣ2 они претерпевают преломление, после которого также могутмногократно отразиться от границ Σ2 и Σ3 слоя Ω2, падая на нихуже под углом β1 = arcsin(sin(β)/n2), где n2 = c1/c2, общее поле,создаваемое всеми такими волнами можно представить в виде:

ψ(r, θ, ϕ) =

N∑

n=0

n∑

m=−n

DnmeimϕInm(r, θ), (1)

где

Inm(r, θ) =

π/2−i∞∫

−π/2+i∞

H(1)m P |m|

n (cos β1)f(β1) sin(β1)dβ1,

f(β1) = W2(β1)e−bz1(χnme−2b(d1−z0)+e2bz1V3(β1))(χnme−2b(d+z0)+V1(β1))

(e−2bd−V1(β1)V20(β1))(e−2bd1−V21(β1)V3(β1)),

Dnm = 1/2Cnmeiπ(m−n)/2, u = kρ sin(β1), ρ = r sin θ, r, θ, ϕ— сфе-

рические координаты точки наблюдения, k = ω/c2 — волновоечисло в слое Ω2, b = ik cos(β1), z1 = r cos θ,

W2(β1) =2 em20

√1−en2

20 sin2 β1

em20

√1−en2

20 sin2 β1+en20 cos β1— коэффициент прозрачности

границы Σ2, m20 = ρ20/ρ1,n20 = c1/c2. Коэффициенты отраже-ния V1(β1), V20(β1), V21(β1) и V3(β1) определяются по стандарт-ным формулам Френеля через m1 = ρ0/ρ1,n1 = c1/c0, n21 = c2/c1,m3 = ρ3/ρ2, n3 = c2/c3.

Для вычисления интеграла в (1) воспользуемся первым при-ближением метода перевала. Для этого с использованием асимп-тотического разложения функции Ханкеля [2, c.186, 9.2.7] преоб-

разуем интеграл к виду

∫

G

F (β1)eλf(β1)dβ1, где большой параметр

159

λ = kr, F (β1) =(1 + i 4m2−1

8kρ sinβ1

)P

|m|n (cos β1)f(β1)

√sin β1,

f(β1) = W2(β1)(χnme−2b(d1−z0)+e2bz1V3(β1))(χnme−2b(d+z0)+V1(β1))

(e−2bd−V1(β1)V20(β1))(e−2bd1−V21(β1)V3(β1)),

f(β1) =

i cos(θ − β1), 0 6 θ 6 π/2,

−i cos(θ + β1), π/2 6 θ 6 π.Полученный интеграл можно представить в виде ряда по об-

ратным степеням параметра λ. С учетом анализа особых точек иточек ветвления подынтегральных функций [1] решение постав-ленной задачи можно записать в более удобном для вычисленийвиде:

ψ(r, θ, ϕ) =

N∑

n=0

n∑

m=−n

DnmeimϕInm(r, θ), (2)

где

Inm(r, θ) =2eikr−π/2i(m+1)

kr

(F ∗

1 (θ) +im2F ∗

1 (θ)

2kr sin2(θ)−

− i(F∗1 (θ))′′

2kr− i(F ∗

1 (θ))′ ctg θ2kr

),

F ∗1 (θ) = P

|m|n (cos θ)f(β1).

Полученное соотношение (2) может быть обобщено для произ-вольного числа слоев, что позволит приближенно находить полеизлучателя в произвольном неоднородном полупространстве, ко-торое моделируется такими слоями.

1. Степанов А.Н. Мультипольная модель гидроакустических излучателей. —Самара: Самар. ун-т, 2000. — 212 c.

2. Абрамовиц М., Стигана И. Справочник по специальным функциям. —М.: Наука, 1979. — 930 c.

Кафедра информатики и вычислительной математики,

Самарский государственный университет;

443011, г. Самара, ул. ак. Павлова, 1.

andirina@mail.ru

160

УДК 658.012.011.56

О.Б. Сигова, Е.А. Кротков

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ПОДГОТОВКИ ГАЗАК ТРАНСПОРТИРОВКЕ

Технологический процесс (ТП) подготовки газа к транспор-тировке включает в себя сбор газа от кустов скважин, очист-ку его от механических примесей, осушку и охлаждение, реге-нерацию абсорбента и ингибитора. В качестве объекта управле-ния (ОУ) будем рассматривать установку комплексной подготов-ки газа (УКПГ), к особенностям которой относятся (см. рисунок):многочисленность контролируемых параметров, взаимосвязь тех-нологических компонентов и другие. Параметры ОУ с течениемвремени изменяются; нарушается технологический режим уста-новок. Входные параметры X подразделяются на управляемые Uи неуправляемыеZ.

На управляемые параметры накладываются позиционные и

Блок-схема УКПГ: 1 — абсорбер; 2 — блок регенерации; 3 - установка для охла-ждения газа, XN

1 , XN2 , XN

3 — давление, расход и температура газа во входныхшлейфах УКПГ; N — количество шлейфов; X4, X5 — давление и температурагаза в коллекторе сырого газа; XM

6 , XM7 , XM

8 , XM9 , XM

10 — давление и темпера-тура газа, перепад давления в абсорбере, в фильтрационной и массообменнойчастях абсорбера; XM

11 , XM12 , XM

13 — давление, расход и температура газа навыходе технологической нитки; X14, X15, X16, X17 — давление, расход, тем-пература и температура точки росы газа в выходном коллекторе УКПГ; X18,X19, X20, X21 — давление, расход, температура и концентрация абсорбента;

M — количество абсорберов

161

функциональные ограничения

bUi 6 Ui 6 aUi (i = 1, 2, . . . , r) , (1)

где[bUi 6 Ui 6 aU

i

]— диапазон изменения переменной U .

Неуправляемые переменные Z воспринимаются как шумоваясоставляющая возмущающего спектра, которая математическиформализуется аппаратом теории стохастических управлений.К возмущениям относятся: состав природного газа, изменение ха-рактеристик технологического оборудования и т.д. Выходные пе-ременные Y — это характеристики ТП УКПГ, на которые накла-дываются ограничения вида

Y Ij 6 Y 6 Y II

j (j = 1, 2, . . . , n) , (2)

где Y Ij 6 Y 6 Y II

j — диапазон изменения выходной переменной,определяемый стандартами на качество выпускаемой продукции.

Векторы входных воздействий X, в том числе управляемыхпеременных U и возмущений Z, и выходных переменных Y , связа-ны между собой уравнениями, которые являются математическоймоделью (ММ) процесса:

1) уравнения связей технологических компонентов УКПГ:

Fi [U , Z , X , t] = 0, (3)

где t— время протекания процессов;2) уравнения показателей технико-экономической эффектив-

ностиek = ei [U , Z , Y , t] . (4)

3) уравнения управления, состоящие из уравнений связей, на-лагаемых системой автоматики

Ωi = Ωi [U] ,

и уравнений вида

ui = ui [Z , Y , t] ,

определяющих алгоритм управления и обеспечивающих экс-тремум показателей (4), совместно с уравнениями (2) и (3);через ui обозначены сигналы управления, вырабатываемыеАСУ ТП на основании информации о параметрах Z, Y .

162

Для описания ТП УКПГ используются детерминированные истохастические ММ. Детерминированные ММ, описывающие ТПУКПГ, являются достаточно сложными из-за большого количе-ства параметров ТП и взаимосвязей между ними. Для детерми-нированных ММ задача моделирования сводится к минимизациисреднеквадратической погрешности

σM =

√√√√[

1

n

n∑

i=1

yi − yi (x∗)]→ min,

где yi (x∗) — решение ММ статического режима ОУ, который опи-

сывается уравнением

f (y, z, u, x) = 0

при ui = uiЭ, zi = ziЭ, или

σM =

√√√√√1

t

t1∫

0

yэ (t) − yi (x∗t)2

→ min,

где y = (x∗, t) — решение ММ динамического режима ОУ, кото-рый описывается уравнением

dY

dt= f (y, z, u, x) при u = uЭ,

где y, z, u— векторы выходных, возмущающих и управляющихкоординат соответственно; x— вектор параметров; f — вектор функ-ции; yЭ, zЭ, uЭ — значения координат, получаемых эксперимен-тально на объекте; i— номер эксперимента, i = 1, 2, . . .; n— числоэкспериментов; t, t1 — координаты времени.

Методика построения детерминированных ММ заключается ввыборе методов составления уравнений (функций f), способа по-лучения экспериментальных данных и методов идентификациимодели (определение вектора параметров x). Стремление учесть вматематической модели все факторы, влияющие на процесс, при-водит к усложнению структуры моделей. Вероятностно-статисти-ческие ММ ТП УКПГ составляются на основе эмпирических зави-симостей, включающих в себя статистический анализ связей меж-ду группами параметров. Такое описание ТП позволяет опреде-лять влияние контролируемых и неконтролируемых параметров,

163

а также случайных возмущающих воздействий на его протекание.Если выходная величина ОУ линейно зависит от входных случай-ных величин, то уравнение выходной переменной yk относительновекторных случайных величин ~x и ~z описывается линейным урав-нением

M

yk

(x1, . . . , xn, z1, . . . zm)

= a0 +

n∑

i=1

aixi +

m∑

j=1

bjzj,

где a0, ai (i = 1, 2, . . . , n) и bj (j = 1, 2, . . . ,m) — коэффициенты ре-грессии, характеризующие отображения свойств ~x и ~z на выход-ную переменную Yk.

Математическое ожидание и дисперсия выходной переменнойYk определяются из уравнений:

M yk = a0 +n∑

i=1

aiM xi +m∑

j=1

bjM zj ,

D

M

[Yk

(X1, . . . , Xn, Z1, . . . , Zm)

].

Коэффициенты регрессии определяются методом наименьшихквадратов из условия минимума среднего квадрата отклонения:

L = M

yk −

a0 +

n∑

i=1

aiM xi +

m∑

j=1

bjM zj

2 = min .

Если выходная случайная величина ОУ нелинейно зависит отвходных и внутренних случайных величин, то уравнение выход-ной переменной описывается зависимостью

M

[Yk

(X1, . . . , Xn, Z1, . . . , Zm)

]= f (x1, . . . , xn, z1, . . . , zm) .

УКПГ является нестационарным объектом, поэтому для ееописания целесообразно использовать адаптивные модели, учи-тывающие изменение состояния ОУ и ТП.

164

1. Байков И.Р., Смородов Е.А., Ахмадуллин К.Р. Методы анализа надеж-ности и эффективности систем добычи и транспорта углеводородногосырья. — М.: ООО «Недра-Бизнесцентр», 2003. — 275 c.

2. Золотухин Е.А., Михальцов Э.И. и др. Модернизация АСУ ТП маги-стральных нефтепроводов // Современные технологии автоматизаци,1997. — 4. — C. 18–26.

3. Кулиев А.М., Тагиев В. Г. Оптимизация процессов газопромысловой тех-нологии. — М.: Недра, 1984. — 200 c.

4. Сигова О.Б. Математические модели технологического процесса под-готовки газа к транспортировке / В сб.: Математика. Информацион-ные технологии. Образование. Т. 1.: Материалы регион. научн.-практ.конф. — Оренбург: ОГУ, 2006. — C. 96–99.

Самарский государственный технический университет,

443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

УДК 519.8

П.М. Симонов, А.В. Чистяков

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ В БЕССЕЛЕВСКОЙМОДЕЛИ МАССОВОЙ КРИСТАЛЛИЗАЦИИ

Предложенная ниже бесселевская модель массовой кристал-лизации полностью соответствует выдвинутой И.В. Мелиховым[1] концепции самоорганизации кристаллической системы, но от-личается от известных математических моделей подобного типа вцелом ряде существенных предположений о зарождении кристал-лов и процессе их роста. Модель основана на гипотезе об изотроп-ном характере роста кристаллов-агрегатов в условиях полной од-нородности внешних условий кристаллизации. В целом массоваякристаллизация представляется как случайное блуждание (диф-фузия) кристаллов в пространстве значений характеристическо-го параметра кристалла. Для коэффициентов диффузии и сно-са используются простейшие линейные зависимости от основныхстатистических характеристик состояния кристаллической систе-мы: общего числа кристаллов N , их суммарных эквивалентнойдлины L, площади поверхности S и массы M . Таким способомудается минимизировать число эмпирических констант, необхо-димых для описания всех основных явлений, присущих массовойкристаллизации: первичное и вторичное зарождение кристаллов,

165

диффузионный и конвективный механизмы их роста, агрегирова-ние или разрушение кристаллов при столкновениях, растворениеобразовывавшейся при этом пыли мелких частиц, приводящее напоздних стадиях процесса к перекристаллизации (оствальдову со-зреванию).

Состояние кристаллической системы определяется функцией

g(s, t) =∂N(s, t)

∂s,

где N(s, t) — число частиц, у которых характеристический пара-метр (площадь поверхности) меньше s в момент времени t. В со-ответствии с описанием диффузионных процессов по Фоккеру—Планку из феноменологических предположений модели следуеткинетическое уравнение

∂g

∂t= D

[∂2(2sg)

∂s2− ∂

∂s

((α+ β

√s− 2γs)g

)], (1)

где параметры α, β и γ характеризуют детерминированный меха-низм скорости роста кристаллов, а коэффициент D— интенсив-ность её флуктуации. В данной модели кинетические параметрыD, α, β и γ являются фактически линейными функционаламистатистического состояния системы:

D = aE + bM, α = 3 − 2κ

D, β =

2(cE + dM)

D, γ =

kM

D.

Здесь E = M0 −M — пересыщение кристаллизующегося продук-та; M0 — заданный режимом кристаллизации ресурс массы; κ—коэффициент растворимости; a, b, c, d, k, ν, ǫ, ra — эмпирическиеконстанты, определяющие скорость V (s) роста поверхности s кри-сталлов и интенсивность J их зарождения:

V (s) = D(α+ β√s− 2γs), J = νE + ǫS(

L

N− ra).

Из предположения о непрерывности функции g(s, t) определя-ются следующие граничные условия:

166

D

[(α+ β

√s− 2γs)g − ∂(2sg)

∂s

]

s→0+

= (α− 2)J приα > 2;[α∂(sg(s))

∂s− 2g(s)

]

s→0+

= 0 при 0 6 α 6 2 ;

g(s)∣∣∣s→0+

= 0 при α < 0.

(2)

Общие тенденции изменения дисперсного состава кристалловв существенном определяются параметром α — стохастическойразмерностью. Она оценивает число независимых случайных про-цессов, воздействующих на кристаллическую систему. Эта раз-мерность изменяется в пределах от −3 до 3. Знак α указываетна преобладание разрушительных («–») или созидательных («+»)процессов. В частности, только при α > 2 равновесное состояниеустойчиво и при наличии энергетического ресурса E возможнозарождение новых частиц. При 0 6 α 6 2 макросистема можетнакапливать и перераспределять массу при очень резких резкихколебаниях общего числа частиц — это область постоянно проис-ходящих сложных перестроек дисперсного состава кристалличе-ской системы. При α < 0 макросистема находится в стадии ги-бели (уничтожения, исчезновения, растворения во внешней сре-де). Таким образом, процесс массовой кристаллизации описыва-ется уравнением самосогласованного поля (1) с самосогласован-ными граничными условиями (2). Подобное описание все чащеприменяется при исследовании массовых процессов не только хи-мической технологии, но и процессов в биологии, экологии и эко-номике. Уравнения самосогласованного поля сильно нелинейны инелокальны: в наблюдаемой точке фазового пространства произ-водная решения зависит фактически от всех его значений. Общейматематической теории таких уравнений не существует. Строгоедоказательство существования и единственности решений дажедля простейших уравнений (например, самосогласованных волн)представляет собой трудную математическую проблему. Тем бо-лее, это замечание в полной мере следует отнести к самосогласо-ванной диффузии (1). Пока можно говорить о том, что числен-ное решение уравнений — область «нестрогой» математики, гдедостоверность эвристических расчетов проверяется эксперимен-тально. Наличие вырождения на границе s = 0, а также малость

167

коэффициента диффузии D может осложнить численное инте-грирование уравнения (1) сеточными методами. Вполне вероят-но, что для получения удовлетворительного численного решениянеобходимо использовать неравномерные сетки, сгущающиеся кграничной точке, и неявные схемы высокого порядка. Если си-туация действительно окажется такой, как предположено выше,то возникнет необходимость решения системы, состоящей из боль-шого числа нелинейных уравнений, что связано со значительнымивычислительными затратами. Получению качественного числен-ного решения сеточными методами может также препятствоватьтеоретически предсказываемая возможность существования зна-чений параметров, при которых кристаллическая система попа-дает в область сложной неравновесной динамики. Можно предпо-ложить, что оптимальным решением вычислительных проблем вбесселевской модели массовой кристаллизации является исполь-зование алгоритмов параллельных вычислений, которые позволятс минимальными затратами найти куски решения на разных ин-тервалах параметра s и осуществить их «сшивку».

1. Мелихов И.В. Концепция самоорганизации в описании кристаллизации//Хим. промышлен., 1993. — 8. — C. 5–14.

Работа выполнена при поддержке РФФИ и Администрации Пермского края

(проекты 09–01–00414-а, 07–01–96060-р-урал-а) и ЗАО «ПРОГНОЗ».

Кафедра информационных систем

и математических методов в экономике,

Пермский государственный университет;

614990, г.Пермь, ул. Букирева, 15.

simonov@econ.psu.ru; simpm@mail.ru

168

УДК 532.546:519.632

В.П. Сироченко, М.В. Морозова

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕФОРМИРОВАНИЯ ВОДОИЗОЛЯЦИОННОГО ЭКРАНА

В НЕФТЯНОМ ПЛАСТЕ

Важной задачей практики нефтедобычи является оптимиза-ция процесса извлечения нефти из выкачиваемой водонефтянойсмеси. Для повышения дебита нефти в нефтяном пласте вблизидобывающей скважины может быть сформирован водоизоляцион-ный экран путем закачки высоковязкой жидкости (геля). В рабо-те предлагается численная модель процесса образования экрана,позволяющая получить в заданные моменты времени положениеграницы экрана и распределение давления в пласте вблизи сква-жины.

Пусть пласт имеет ради-альную симметрию, постоян-ную мощность h, пористостьm, проницаемость в горизон-тальном направлении kr ив вертикальном — kz, причемkr > kz . Радиус контура пи-тания скважины равен Rk [1].Закачка геля происходит с по-стоянным объемным расходом q0 через перфорированную частьтрубы скважины радиуса Rc при значениях вертикальной коор-динаты a < z < b (см. рисунок).

Область пласта D = [Rc < r < Rk, 0 < z < h] делится надве части — область D1, в которую гель не проник, и область D2,занятую гелем (экран). Подвижная граница раздела областей D1

и D2 изменяется со временем и определяется в процессе решениязадачи.

С целью начальной оценки изменения со временем формы иразмеров экрана при закачке геля принимается упрощенная мо-дель процесса. Пусть пласт полностью обводнен, гель заменяетсявысоковязкой несжимаемой жидкостью. Пусть µ1 и µ2 — вязкости,ρ1, ρ2 — плотности воды и геля.

169

Из уравнений фильтрации для скоростей воды и геля и урав-нений неразрывности получим уравнение с разрывными коэффи-циентами для давления p(r, z, t) с учетом силы тяжести в цилин-дрических координатах:

∂

∂r

(rkr

µ

∂

∂r(p+ ρgz)

)+∂

∂z

(rkz

µ

∂

∂z(p+ ρgz)

)= 0,

(r, z) ∈ D = D1 ∪D2, t ∈ (0, T ], (1)

где µ(r, z, t) =

µ1, (r, z) ∈ D1,µ2, (r, z) ∈ D2,

ρ(r, z, t) =

ρ1, (r, z) ∈ D1,ρ2, (r, z) ∈ D2.

Граничными условиями на кровле и подошве пласта являютсяусловия непротекания

∂

∂z(p + ρgz)

∣∣∣∣∣z=0,h

= 0, t ∈ (0, T ]. (2)

На контуре питания давление задано соотношением

p(Rk, t) = pk, t ∈ (0, T ]. (3)

Граничные условия на скважине имеют вид:на непроницаемом участке:

∂

∂r(p + ρgz)

∣∣∣∣∣r=Rc

= 0, 0 < z 6 a, b 6 z < h, t ∈ (0, T ]; (4)

на участке перфорации:

∂

∂r(p+ ρgz)

∣∣∣∣∣r=Rc

= − q0µ

2πkrRc(b− a), a < z < b, t ∈ (0, T ]. (5)

Положение подвижной границы раздела определяется конеч-ным набором из N отмеченных частиц (геля или воды), в началь-ный момент времени находящихся на участке перфорации сква-жины. Координаты частиц находятся из уравнений движения:

drkdt

=1

muk(rk, zk, t),

dzkdt

=1

mvk(rk, zk, t), t ∈ (0, T ], (6)

rk(0) = Rc, zk(0) = a+ (k − 1)∆z,

∆z =b− a

N − 1, k = 1, 2, . . . , N. (7)

170

Краевая задача (1)–(5) для давления p в заданные моментывремени аппроксимируется конечно-разностной схемой, получен-ной интегро-интерполяционным методом. Для решения разност-ной задачи используется попеременно-треугольный метод сопря-женных градиентов [2]. Задача Коши (6)–(7) для определения ко-ординат отмеченных частиц заменяется явной разностной схемой.Компоненты скоростей частиц uk, vk (k = 1, 2, . . . , N) в (6) опре-деляются с помощью двумерной линейной интерполяции вычис-ленных в ближайших узлах разностной сетки значений скоростижидкости в пласте.

Алгоритм решения нестационарной задачи о формированииэкрана состоит в следующем:

1) задается распределение давления в пласте p = pk и положе-ние отмеченных частиц (7) в начальный момент времени;

2) при заданном положении частиц рассчитывается давлениеp в пласте в следующий момент времени (соотношения (1)–(5));

3) по найденному полю давления вычисляется новое положе-ние отмеченных частиц (соотношения (6)–(7));

4) последние два пункта повторяются, пока не будет достиг-нут конечный момент времени T .

Проведены расчеты при различных значениях параметров, опре-деляющих задачу.

1. Басниев К.С., Власов А.М., Кочина И.Н., Максимов В.М. Подземнаягидравлика: Учебник для вузов. — М.: Недра, 1986. — 303 c.

2. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. —М.: Едиториал УРСС, 2003. — 784 c.

Кафедра информатики и вычислительной математики,

Самарский государственный университет;

443011, г. Самара, ул. ак. Павлова, 1.

sir@ssu.samara.ru, morozova@ssu.samara.ru

171

УДК 532.543:519.632

В.П. Сироченко, Е.А. Смагина

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙВ ВОДОEМАХ С УЧEТОМ ВЕТРОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

Для исследования течений в прибрежных водах, озерах и т.д.использование полных уравнений движения вязкой жидкости пред-ставляет определенные трудности. Эти уравнения сложны дляприменения в задачах циркуляции воды в мелководных бассейнахиз-за наличия свободной поверхности и вследствие большого ко-личества переменных. Во многих случаях используются модели,основанные на численном решении двумерных уравнений, полу-ченных путем применения осреднённых по вертикали характери-стик задачи (уравнений мелкой воды). С целью начальной оценкитечений в озерах и других небольших бассейнах можно использо-вать упрощенную линейную модель, если в уравнениях движенияжидкости пренебречь инерционными членами [1].

Рассмотрим течение в небольшом водоеме с внутренними участ-ками суши, происходящее в результате действия ветровых напря-жений и (или) вследствие втекающих и вытекающих потоков.

Пусть D— двумерная область течения, ограниченная внешнейбереговой линией γ0 и внутренними границами γk, k = 1, 2, . . . ,m.С учетом высказанных упрощений исследование течения матема-тически можно свести к определению функции тока ψ, удовлетво-ряющей уравнению

− ψ = A+Bx1 + Cx2, x = (x1, x2) ∈ D (1)

и граничным условиям

ψ|γ0 = ψ0(x), (2)

∂ψ

∂n

∣∣∣∣∣γk

= 0, k = 1, 2, . . . ,m, (3)

где A,B, C — заданные постоянные, n— направление внешней нор-мали.

Правая часть уравнения, линейная функция от , обусловленаветровыми напряжениями, распределенными по квадратичномузакону.

172

Особенностями задачи (1)–(3) являются многосвязность обла-сти D и сложность береговых линий.

На основе более простой постановки задачи без внутреннихграниц в [2] методом конечных элементов получены численныерезультаты для циркуляции воды, вызванной ветром, в озере Эри.

Для решения задачи (1)–(3) в нерегулярной области D приме-ним метод фиктивных областей [3], отличающийся высокой степе-нью автоматизации программирования. Обозначим через Dk фик-тивные области, ограниченные внутренними границами γk, k == 1, 2, . . . m. Дополним область D ∪ (∪m

k=1Dk) областью D0 до ми-нимального прямоугольника Ω. В Ω рассмотрим вспомогательнуюзадачу с малым параметром ε > 0:

div(aε(x)∇ψε) − cε(x)(ψε − ψ0(x)) = −f ǫ(x),

x ∈ Ω = D ∪ (∪mk=0Dk), (4)

ψε|γ0 = ψ0(x), (5)

где коэффициенты aε(x), cε(x) и f ε(x) задаются формулами:

aε, cε, f ε =

1, 0, A+Bx1 + Cx2, x ∈ D,1, 1/ε, 0, x ∈ D0,ε, 0, 0, x ∈ Dk,

k = 1, 2, . . . ,m.

(6)

Функция ψ0(x) в исходной задаче, заданная на γ0, продолженагладким образом в фиктивную область D0.

Проведён качественный анализ вспомогательной задачи (4)–(6) метода фиктивных областей. Показано, что ее решение ψε(x)приближенно удовлетворяет всем соотношениям исходной задачи(1)–(3) в области D при малых ε.

Для численного решения задачи (4)–(6) с разрывными коэф-фициентами интегро-интерполяционным методом получена кон-сервативная разностная схема.

В прямоугольнике Ω введём разностную сетку с шагами h1 внаправлении x1 и h2 в направлении x2. Проинтегрируем уравне-ние (4) по окрестности G узла (x1,i, x2,j) разностной сетки. При-меняя интерполирование и квадратурные формулы, получим раз-

173

ностное уравнение во внутренних узлах сетки

1

h1

(k1,i+1,j

ψεi+1,j − ψε

i,j

h1− k1,i,j

ψεi,j − ψε

i−1,j

h1

)+

+1

h2

(k2,i,j+1

ψεi,j+1−ψε

i,j

h2−k2,i,j

ψεi,j − ψε

i,j−1

h2

)−di,jψ

εi,j = −gi,j, (7)

где

k1,i,j =h1

x1,i∫x1,i−1

dx1aε

, k2,i,j =h2

x2,j∫x2,j−1

dx2aε

, di,j =1

h1h2

∫∫

G

cε(x)dx,

gi,j =1

h1h2

∫∫

G

(f ε(x) + cε(x)ψ0(x))dx.

В граничных узлах сетки используется условие (5). Системаразностных уравнений решается итерационным методом.

Проведено численное моделирование циркуляции жидкости вводоемах с островами и с различными конфигурациями берего-вых линий. Результаты расчетов представлены картинами линийтока жидкости в области течения. На рис. 1 течение жидкостивызвано действием ветровых напряжений (A = 0, B = 0, C = 10).На рис. 2 течение обусловлено входящим и выходящим потокамичерез внешнюю границу.

Рис. 1. Течение в водоеме, вы-званное ветром

Рис. 2. Водоем с входящим и выходя-щим потоками

174

1. Коннор Дж., Бреббиа К. Метод конечных элементов в механике жидко-сти. — Л.: Судостроение, 1979. — 264 c.

2. Cheng R.T., Tung C. Wind Driven Lake Circulation by the Finite ElementMethod: Proc. 13th Conference Great Lakes, 1979.

3. Вабищевич П.Н. Метод фиктивных областей в задачах математическойфизики. — М.: МГУ, 1991. — 156 c.

Кафедра информатики и вычислительной математики,

Самарский государственный университет;

443011, г. Самара, ул. ак. Павлова, 1.

sir@ssu.samara.ru, smagina-elena@mail.ru

УДК 517.977.1, 519.71, 330.5.057.7, 334.02

Н.В. Смирнов, Д.В. Худяков

О СТОИМОСТНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ УПРАВЛЯЕМОЙДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА

1. Введение. Основные понятия. При повышении ролии ответственности местного самоуправления за проводимую со-циально-экономическоую политику возрастают требования к ис-пользуемым методам анализа, прогнозирования и оценки послед-ствий управленческих решений, принимаемых на региональномуровне. В этой связи представляется перспективным применениесовременных экономико-математических методов для выбора при-оритетных направлений устойчивого развития региональной со-циально-экономической системы [1, 2]. К наиболее важным на-правлениям следует отнести разработку прогнозов развития мно-гоотраслевых комплексов и анализ перераспределения валовогопродукта между отраслями и институциональными секторами эко-номики. При этом предлагается использовать модель межотрас-левого баланса (МОБ), т.к. она отражает и позволяет учитыватьмногочисленные внутрирегиональные межотраслевые связи, даетвозможность исследовать процессы ценообразования, рассчиты-вать оптимальные траектории развития экономики.

Рассмотрим уравнение [1]:

X = AX + Y, (1)

где X — n-мерный вектор валовой продукции; Y — n-мерный век-тор конечной продукции; A— (n × n)-матрица прямых матери-

175

альных затрат. Уравнение (1) называется экономической модельюМОБ или моделью Леонтьева «затраты-выпуск».

В начале 50-х гг. прошлого века была предложена динами-ческая модель МОБ, которая является классическим примеромиспользования систем дифференциальных уравнений в исследо-вании проблем экономического роста. Она имеет вид [3]

X(t) = AX(t) +BdX(t)

dt+ Y ′(t), (2)

где Y ′(t) — вектор столбец конечного потребления; B = bij—матрица коэффициентов капиталоемкости прироста производства;A = aij— матрица коэффициентов прямых материальных за-трат, в которую включаются также затраты на возмещение и ка-питальный ремонт основных производственных фондов.

2. Динамический межотраслевой баланс в стоимост-ном выражении. Известно, что модель МОБ допускает стои-мостную форму записи [2]:

P = (E −AT )−1r, (3)

где A— как и ранее матрица прямых материальных затрат, p—n-мерный вектор цен на продукцию, а r— n-мерный вектор функ-ционально обусловленных расходов за исключением закупок про-дукции у поставщиков.

Уравнение (2) дает возможность отслеживать динамику из-менения валового объема производства. Его вывод стал возмо-жен после введения в рассмотрение матрицы B коэффициентовкапиталоемкости прироста производства. С экономической точкизрения — это матрица, каждый столбец которой характеризует всоответствующей отрасли величину и структуру фондов, необхо-димых для увеличения на единицу ее производственной мощности[1]. Эта экономическая трактовка дает нам основание рассматри-вать столбы матрицы коэффициентов капиталоемкости приростапроизводства как затратную часть и возможность составить урав-нение, аналогичное уравнению (2):

P (t) = ATP (t) +BT dP (t)

dt+ r(t). (4)

176

Отметим, что система (4) ранее не встречалась нам в научнойлитературе. По сути, она является динамическим аналогом урав-нения (3). Если предположить, что матрица B не вырождена посвоей экономической природе [3], то систему (4) можно переписатьв следующем эквивалентном виде

dP (t)

dt= DP (t) +Qr(t). (5)

Здесь D = BT−1(E−AT ), Q = −BT−1

. Так как вектор r(t) напря-мую зависит от налогов и дотаций, то его можно считать управ-ляющим параметром [2].

Далее можно сделать следующие выводы:

– система (5) описывает динамику изменения вектора цен (илипрейскуранта) P (t) и является управляемой линейной систе-мой с постоянными коэффициентами;

– система (5) полностью управляема по Калману.

С практической точки зрения эти выводы означают, что прилюбом действующем на данный момент прейскуранте (векторецен P (t0) ) можно поставить задачу управления (настройки на-логово-дотационной политики): за конечный промежуток време-ни [t0, T ] привести вектор цен P (t) в наперед заданное состояниеP (T ). Это означает, что модель (5) может служить для обосно-вания действий региональных властных структур по противодей-ствию инфляционным процессам.

Более того, используя методы стабилизации программных дви-жений и модального управления, можно ставить и решать следу-ющие типы задач:

1) обеспечение неизменного уровня цен при изменении объе-мов производства и расширении спектра выпускаемых то-варов;

2) планомерного снижения цен на социально значимые товарыи, одновременно, равномерное повышение цен на социальновредные товары (табак, алкоголь и т.д.).

В заключение отметим, что для повышения адекватности мо-дели (5) в ней необходимо учитывать элементы кредитно-финан-совой системы в виде одного из уравнений в структуре балан-са, предполагая, что банковский сектор производит определенный

177

спектр услуг. Это позволит количественно оценить отрицательноевлияние ссудного процента на развитие экономики региона.

1. Федосеев В.В., Гармаш А.Н., Дайитбегов Д. М. и др. Экономико-мате-матические методы и прикладные модели: Учебн. пособие для вузов. —М.: ЮНИТИ, 1999. — 391 с.

2. Ефимов В.А. Методология экономического обеспечения демографиче-ской политики устойчивого развития. — СПб.: СЗАГС, 2007. — 184 с.

3. Гранберг А. Г. Динамические модели народного хозяйства. — М.: Эконо-мика, 1985. — 240 с.

Кафедра моделирования экономических систем,

Санкт-Петербургский государственный университет;

198504, Петергоф, г. Санкт-Петербург, Университетский просп., 35.

УДК 517.977.1, 519.71

Н.В. Смирнов, Я.А. Шахов

МНОГОПРОГРАММНЫЕ УПРАВЛЕНИЯ В ОДНОМКЛАССЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Введение. Постановка задачи. Задача многопрограммно-го управления была впервые сформулирована В. И. Зубовым вработах [1, 2]. В этих статьях рассмотрена проблема представле-ния правых частей систем дифференциальных уравнений, име-ющих наперед заданное конечное семейство решений, а такжезадача синтеза управлений, которые реализуют заданное множе-ство программных движений и обеспечивают их асимптотическуюустойчивость по Ляпунову. В работе [2] дано представление такихуправлений в линейных стационарных управляемых системах, аполученные результаты иллюстрируются на задаче управлениямеханическими системами, описываемыми уравнениями Лагран-жа второго рода. В дальнейшем результаты Зубова были распро-странены на класс билинейных систем [3, 4].

В настоящей работе рассмотрим класс квазилинейных системвида

x = A(t)x + B(t)u + F(t) + µG(t, x, u, µ), (1)

178

где x — n-мерный вектор фазового состояния; u — r-мерный век-тор управления; элементы матриц A(t), B(t) и компоненты векто-ра F(t) заданы при t > 0, вещественны и непрерывны; G(t, x, u, µ) —вещественная, непрерывно дифференцируемая по компонентам xи u вектор-функция; µ— малый положительный параметр.

Предположим, что для системы (1) построены программныеуправления u1(t), . . . , uN (t) в классе непрерывных и ограничен-ных при t > 0 функций, а также соответствующие им программ-ные движения x1(t), . . . , xN (t). Число программных движений Nне связано с размерностью системы (1) и размерностью прост-ранства управлений. Здесь не рассматриваются методы построе-ния таких управлений. Для определенности будем полагать, чтокаждое программное управление uj(t) и программное движениеxj(t) строятся как решение некоторой специальной граничной за-дачи. Примеры таких построений можно найти в статье [5].

Таким образом, если систему (1) замкнуть программным уп-равлением uj(t), то она будет иметь соответствующее частное ре-шение xj(t), отвечающее выбранным начальным и конечным дан-ным.

Задача многопрограммной стабилизации состоит в том, чтобыдля системы (1) построить управление u = u(x, t), которое реа-лизует заданные программные движения x1(t), . . . , xN (t) и обес-печивает их асимптотическую устойчивость по Ляпунову.

1. Представление многопрограммного управления. Длярешения поставленной задачи будем строить многопрограммноеуправление в следующем виде:

u(x, t) =N∑

j=1

(uj + C(t)(x(t) − xj(t))−

−2uj(t)

N∑

s=1,s 6=j

(xj(t) − xs(t))(x(t) − xj(t))

(xj(t) − xs(t))2

pj(x(t), t), (2)

где

pj(x(t), t) =N∏

s=1,s 6=j

(x(t) − xs(t))2

(xj(t) − xs(t))2. (3)

Для управления (2) и скалярных функций (3) выполнены следу-

179

ющие очевидные тождества:

u(xj(t), t) ≡ uj(t); pj(xs(t), t) ≡ 0, s 66= j; pj(xj(t), t) ≡ 1.

В силу этих свойств система (1), замкнутая управлением (2), (3),имеет заданные программные движения x1(t), . . . ,xN (t), т.е. бу-дет двигаться по одному из них в случае точной установки соот-ветствующих начальных данных. Эти свойства имеют место, по-скольку многопрограммное управление (2), (3) построено в видеинтерполяционного полинома Лагранжа—Сильвестра.

2. Система в отклонениях. В качестве примера рассмот-рим квазилинейную управляемую систему (1) с постоянными ко-эффициентами, т.е. A, B — постоянные, вещественные матрицысоответствующих размерностей.

Индексом k обозначим конкретное программное движение xk(t)замкнутой системы (1)–(3) из семейства x1(t), . . . ,xN (t). Ему соот-ветствует программное управление uk(t). Чтобы показать асимп-тотическую устойчивость xk(t), построим систему в отклонениях.Для отклонения yk(t) = x(t) − xk(t) получим

yk = (A + BC)yk + Hk(t,yk) + µRk(t,yk, µ). (4)

Для системы (4) не представляет особых сложностей (см. [3, 4])выписать явное представление нелинейных слагаемых Hk(t,yk) иRk(t,yk, µ). Далее, используя теорему об устойчивости по линей-ному приближению, можно доказать следующее утверждение.

Теорема. Пусть выполнены следующие условия:1) система x = Ax + Bu при u = Cx может иметь сколь

угодно большой запас устойчивости, получающийся пу-тем выбора постоянной матрицы C;

2) заданные программные движения x1(t), . . . , xN (t) различи-мы при t > t0 > 0, иначе говоря inft>t0 ‖xj(t) − xi(t)‖ > 0;

3) µG(t,x,u(x,t),µ)|x‖ 0 при ‖x‖ → 0.

Тогда существует управление u = u(x, t) вида (2), (3), реали-зующее программные движения x1(t), . . . ,xN (t), при этом каж-дое из них будет асимптотически устойчиво по Ляпунову.

1. Зубов В.И. Интерполяция систем дифференциальных уравнений // ДАН

СССР, 1991. — Т. 318, 1. — C. 28–31.

180

2. Зубов В.И. Синтез многопрограммных устойчивых управлений // ДАН

СССР, 1991. — Т. 318, 2. — C. 274–277.3. Смирнов Н.В., Смирнова Т. Е. Стабилизация семейства программных

движений билинейной нестационарной системы // Вестн. СПбГУ. Сер. 1.,1998. — 2 (8). — C. 70–75.

4. Смирнов Н.В., Смирнова Т. Е. Синтез многопрограммных управлений вбилинейных системах // ПММ, 2000. — Т. 64, 6. — C. 929–932.

5. Демидова А.М., Квитко А.Н. Решение граничной задачи для квазили-неных управляемых систем // Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2006. — 1. —C. 140–147.

Кафедра моделирования экономических систем,

Санкт-Петербургский государственный университет;

198504, Петергоф, г. Санкт-Петербург, Университетский просп., 35.

УДК 621.762

Л.Н. Смирнова, А.В. Фролов

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВЫБОРА ДАВЛЕНИЯВ КАМЕРЕ СГОРАНИЯ ЖИДКОСТНОГО РАКЕТНОГО

ДВИГАТЕЛЯ

Математическая модель идеального ракетного двигателя пред-ставляет собой сложную многомерную систему нелинейных урав-нений. Введем некоторые допущения, в качестве исходных дан-ных рассмотрим ряд параметров: давление в камере сгорания pк,энтальпия топлива Iт. С учетом корректирующих особенностейпри выборе давления в модели идеального ракетного двигателяэнтальпия топлива Iт не является независимой переменной, а за-висит от давления pк. И при этом может быть определена по фор-муле:

Iт = Iт0 − ∆I (pк) , (1)

где Iт — полная энтальпия топлива с учетом потерь в турбонасос-ном агрегате (ТНА); Iт0 — полная энтальпия топлива без учетапотерь; ∆I (pк) — потери энтальпии в турбонасосном агрегате.

Для определения потерь энтальпии ∆I (pк) составляется си-стема с учетом физических особенностей жидкостного ракетного

181

двигателя с турбонасосным агрегатом:

∆I = C1(1 − πKS

т

),

∆I = A1 · πт +B1,(2)

где πт — степень расширения газа в турбине.Коэффициенты A1, B1, C1, KS определяются по формулам:

A1 =(pк + ∆pгаз маг)

ηнρо· 1

1 + 1Km

+(pк + ∆pгаз маг)

ηHвдρг·

1Kmгг

1 + 1Km

;

B1 =∆pо маг − pвх н

ηHρо· 1

1 + 1Km

+

+pк + ∆pг маг + ∆pг кс − pвх н

ηнρг·

1Km

1 + 1Km

+

+∆pг маг ВД − pк − ∆pг маг − ∆pг кс + pвх н

ηн вдρг·

1Kmгг

1 + 1Km

;

C1 =1 + 1

Kmгг

1 + 1Km

· ηтRггTггn

n− 1;

KS = −n− 1

n,

где ∆pгаз маг — сопротивление магистрали подачи окислительногогаза от турбины до камеры сгорания; ∆po маг — перепад давле-ния на линии окислителя от насоса до газогенератора; ∆pг маг —перепад давления по линии горючего от насоса до входа в ка-меру; ∆pг кс — гидравлическое сопротивление тракта охлаждениякамеры и форсунок; ηн, ηн вд, ηт — коэффициент полезного дей-ствия насоса, насоса высокого давления и турбины соответствен-но; ρо, ρг — плотности окислителя и плотность горючего соответ-ственно;KМ гг — массовое соотношения компонентов в газогенера-торе; KМ — массовое соотношения компонентов в двигателе; Rгг —удельная газовая постоянная генераторного газа; Tгг — температу-ра генераторного газа; n— средний показатель изоэнтропы гене-раторного газа.

182

В результате решения системы (2) методом последовательныхприближений получим значения ∆I (pк) — потери энтальпии в ТНА.Затем по (1) определяем энтальпию топлива Iт с учетом потерь.

Выбирая в качестве исходных данных энтальпию топлива сучетом потерь, уточняем математическую модель идеального ра-кетного двигателя, при этом удельный импульс тяги будет дости-гать максимального значения в зависимости от pк.

Результаты решений для одного из вариантов представленына рисунке, где показана зависимость удельного импульса тягиот давления.

Диаграмма зависимости удельного импульса тяги в м/c от давления в камересгорания в МПа. Верхняя линия — без учёта потерь в ТНА, нижняя линия —

с учётом потерь в ТНА

Анализ результатов расчетов на ЭВМ показал, что потериудельного импульса в турбонасосном агрегате превосходят 0,1 %.Следовательно, необходимо учитывать потери удельного импуль-са в ТНА при инженерных расчетах жидкостных ракетных дви-гателей с давлением в камере сгорания более 20 МПа.Кафедра высшей математики и прикладной информатики,

Самарский государственный технический университет;

443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

183

УДК 519.71

И.В. Соловьeва

О ПОЗИЦИОННОЙ ОПТИМИЗАЦИИ В ОДНОЙНЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧЕ МНОГОПРОГРАММНОГО

УПРАВЛЕНИЯ

В данной работе рассматривается метод синтеза многопро-граммного управления. Он основан на идее построения одного об-щего управления в виде интерполяционного полинома специаль-ного вида, под действием которого, система реализует некотороепрограммное движение из заданного конечного набора [1, 2].

Постановка задачи. Рассмотрим задачу многопрограммногоуправления для нелинейной системы вида

xk =

(pk +

m∑

j=1

akjxj

)xk + uk, k = 1, 2, . . . ,m, (1)

где pk и akj, j, k = 1, 2, . . . ,m— положительные постоянные.Пусть положения равновесия xs (s = 1, 2, . . . , n) системы (1),

которые могут рассматриваться как желаемые программные ре-жимы, обеспечиваются управлениями

ups = −(pk +

m∑

j=1

akjxj

)xs, s = 1, 2, . . . , n, k = 1, 2, . . . ,m.

Чтобы реализовать n выбранных положений равновесия, по-строим многопрограммное управление

ump(x) =n∑

s=1

ups

∏

j 6=i

(x − xj)2

(xs − xj)2, (2)

где под произведением (xs−xj)2 понимаем квадрат нормы вектора

(xs −xj). Многопрограммное управление (2) обладает очевиднымсвойством ump(xs) = ups , s = 1, 2, . . . , n.

Для каждого положения равновесия xs, s = 1, 2, . . . , n запи-шем систему в отклонениях. Введём новые переменные ys = x−xs

(s = 1, 2, . . . , n) v = u−ump. Тогда для векторов ys (s = 1, 2, . . . , n)получим

184

ys = Pys + H(ys) + v, (3)

P =

(P + 2Eups

n∑

j=1,j 6=s

(xs − xj)T

(xs − xj)2

),

P=

p1 + a11xs1 +m∑

j=1a1jxsj

. . . a1mxs1

.... . .

...

am1xsm . . . pm + ammxsm +m∑

j=1amjxsj

,

H(ys) = E

(n∑

i=1,i6=s

upi

y2s

(xi−xs)2

∏

j 6=i,j 6=s

(xs+ys−xj)2

(xi−xj)2+

+∑

j 6=s,i6=s

upsy2s

(xs−xi)(xs−xj)+ . . .+us

∏

j 6=s,i6=s

y2s

(xs−xi)(xs−xj)

)+

m∑

j=1

akjysjysk

.

В отличие от подхода, предложенного в статьях [1, 2], пробле-му стабилизации программных режимов будем решать, используяметод позиционной оптимизации [3].

Алгоритм решения задачи. Разобьём фазовое пространст-во на области Ωj, границы которых описываются уравнениямиysi

= 0. В каждой из них построим аппроксимацию нелиней-ных слагаемых системы в отклонениях (3) линейными комбина-циями Djyk(t). Учитывая условия совпадения аппроксимирую-щих функций на границах областей Ωj, найдем элементы (n×n)-матриц Dj = (dj1 , . . . ,djn) по методу наименьших квадратов.

Пусть T = [t∗, t∗], h = (t∗ − t∗)/K, t∗ < t∗ < +∞. Функциюv(t), t ∈ T определим как дискретное управление, если v(t) == v(t∗ + kh), t ∈ [t∗ + kh, t∗ + (k + 1)h), k = 1, 2, . . . ,K − 1.Последовательно будем определять значения стабилизирующегодискретного управления v∗(t), решая следующую задачу [3]:

185

Bτ (z) = minv

N∑

i=1

t∗∫

t∗

| v(t) | dt, (4)

ys = Pys + H(ys) + v, ys(τ)=z, ys(t∗) =

(00

), |v(t)| 6 L. (5)

Для этого на каждом промежутке t ∈ [τ, τ +h) будем рассматри-вать вспомогательную линейную задачу

Bτ (z) = minv,θl

N∑

i=1

t∗∫

t∗

| v(t) | dt, (6)

ysl= (P + Dl)ysl

+ v, t ∈ T = [t∗, ϑl), ys(τ) = z, |v(t)| 6 L, (7)

ysl+1= (P + Dl+1)ysl+1

+ v, t ∈ T = [ϑl, t∗], ys(t

∗) =

(00

). (8)

Обозначим Ys(τ) — набор начальных состояний z, для кото-рых задача (6)–(8) имеет решение при фиксированном τ , z == ys(τ) ∈ Ys(τ), t ∈ T (τ) = [τ, t∗], и ϑl – момент перехода тра-ектории из области Ωl в Ωl+1. Наличие момента ϑl определяем,используя поле направлений в данной точке фазового простран-ства в момент τ . Обозначим v0(τ, z) = v0(τ | τ, z) — дискретноеоптимальное программное управление в задаче (6)–(8). К момен-ту τ + h = t∗ + kh определены первые k компонент вектора v∗(t):v∗(t∗),v∗(t∗+h), . . . ,v∗(t∗+(k−1)h). Текущим положением систе-мы (3), в котором она оказалась под действием этих управлений вмомент τ+h, является y∗

s(τ+h), которое отличается от оптималь-ного y0

s(τ +h). Поэтому, чтобы получить следующую компонентуv∗(t) = v∗(τ + h) в момент τ + h = t∗ + kh снова решим вспомо-гательную задачу, но с новыми начальными условиями.

Полученное управление u = ump + v обеспечивает решениеисходной задачи.

1. Зубов В.И. Синтез многопрограммных устойчивых управлений // ДАН

СССР, 1991. — Т. 318, 2. — C. 274–277.

186

2. Смирнов Н.В., Смирнова Т. Е. Стабилизация семейства программныхдвижений билинейной нестационарной системы // Вестн. СПбГУ. Сер. 1.,1998. — 2(8). — C. 70–75.

3. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Ружицкая Е.А. Демпфирование и стабили-зация маятника при больших начальных возмущениях // Известия Ака-

демии Наук. Теория и системы управления, 2001. — 1. — C. 29–38.

Санкт-Петербургский государственный университет,

г. Санкт-Петербург.

isolovyeva@mail.ru

УДК 536.2(075)

Е.В. Стефанюк, И. В. Кудинов, Е. В. Ларгина

ПОСТРОЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙУРАВНЕНИЙ ДИНАМИЧЕСКОГО И ТЕПЛОВОГО

ПОГРАНИЧНЫХ СЛОЕВ

При обтекании тела потоком жидкости, имеющей скорость υ(скорость невозмущенного потока), вблизи поверхности тела об-разуется динамический пограничный слой, в пределах которогоскорость течения изменяется от нуля на стенке до скорости невоз-мущенного потока (рис. 1).

При наличии разности температур между стенкой и набегаю-щим потоком вблизи стенки наряду с динамическим образуетсятакже тепловой пограничный слой, в пределах которого темпера-тура среды изменяется от t (x, 0) до температуры невозмущенногопотока tср (рис. 2).

В итоге ряда допущений система уравнений движения и урав-нение неразрывности приводятся к системе уравнений Прандтля(уравнений динамического пограничного слоя) с соответствующи-ми граничными условиями [1–3]:

υx∂υx

∂x+ υy

∂υx

∂y= ν

∂2υx

∂y2; (1)

∂υx

∂x+∂υy

∂y= 0; (2)

υx|y=0 = υy|y=0 = 0; (3)

187

υx|y=δ(x) = υ = const; (4)

∂υx (x, δ)

∂y= 0; (5)

∂2υx (x, 0)

∂y2= 0, (6)

где υx, υy — составляющие скорости по соответствующим коорди-натным осям; x, y— координаты; δ (x) — толщина динамическо-го пограничного слоя; υ — скорость невозмущенного потока вдольоси x; ν = µ

ρ — кинематическая вязкость жидкости.Применительно к тепловому пограничному слою уравнение

энергии приводится к виду (уравнение Польгаузена)

υx∂t (x, y)

∂x+ υy

∂t (x, y)

∂y= a

∂2t (x, y)

∂y2,

(0 6 y 6 ∆ (x) ; 0 6 x <∞) (7)

где t— температура; a— коэффициент температуропроводности;∆ (x) — толщина теплового пограничного слоя.

Граничные условия для уравнения (7) имеют вид

∂t (x, 0)

∂y=α

λ[t (x, 0) − t1] ; (8)

t (x,∆) = tср; (9)

∂t (x, ∆)

∂y= 0; (10)

∂2t (x, 0)

∂y2= 0, (11)

Рис. 1. Схема динамического по-граничного слоя

Рис. 2. Схема теплового пограничногослоя

188

где α— коэффициент теплоотдачи; λ— коэффициент теплопро-водности жидкости; tср — температура невозмущенного потока;tср1 — температура среды с противоположной поверхности стен-ки (y = 0) (теплопроводность стенки принимается бесконечной, аее толщиной пренебрегаем).

Ввиду нелинейности задач (1)–(6) и (7)–(11) получение их точ-ных аналитических решений затруднительно. В настоящее времярешения этих задач получены лишь путем численного интегриро-вания [1, 2].

Для получения приближенных аналитических решений диф-ференциальные уравнения задач (1)–(6), (7)–(11) путем их осред-нения в пределах толщин соответствующих слоев сводятся к ин-тегральным уравнениям, решение которых существенно упроща-ется. Определяя интегралы от уравнений (1), (2) в пределах отy = 0 до y = δ (x), после некоторых преобразований (с учётом за-кона Ньютона для касательного напряжения в жидкости) прихо-дим к следующему интегральному уравнению для динамическогопограничного слоя, впервые полученного Карманом в 1921 г.:

d

dx

δ∫

0

(υx − υ) υxdy = ν∂υx (x, 0)

∂y. (12)

Осредняя уравнение (7) в пределах толщины теплового погра-ничного слоя, получаем следующее интегральное уравнение:

d

dx

∆∫

0

υx [tср − t (x, y)] dy = a∂t (x, 0)

∂y. (13)

Физический смысл использования интегральных уравнений(12) и (13) в том, что при получении решений задач (1)–(6) и (7)–(11) требуется выполнение не исходных уравнений (1), (2), (7), анекоторых осреднённых по толщине соответствующего слоя. Ра-зумеется, подобное осреднение снижает точность решения исход-ных уравнений. Однако, как будет показано ниже, применение до-полнительных граничных условий позволяет найти такие прибли-женные аналитические решения, которые в зависимости от числаприближений удовлетворяют уравнениям (1), (2), (7) практическис любой заданной степенью точности.

189

Решения краевых задач (1)–(6), (7)–(11) путем использованияинтегральных уравнений (12) (интеграл импульсов) и (13) (ин-теграл теплового баланса) впервые были получены Карманом иПольгаузеном. Основной их недостаток – низкая точность. Этосвязано с тем, что решения, полученные лишь в первом прибли-жении, удовлетворяя точно интегральным уравнениям (12), (13)и соответствующим граничным условиям, исходным дифференци-альным уравнениям краевых задач (1)–(6) и (7)–(11) удовлетво-ряют лишь в среднем. Для повышения точности решений необ-ходимо увеличивать степень аппроксимирующих полиномов. Од-нако при этом появляются неизвестные коэффициенты решения,для определения которых требуются дополнительные граничныеусловия [3, 4].

С использованием дополнительных граничных условий былиполучены аналитические решения задач (1)–(6) и (7)–(11), прак-тически совпадающие с результатами их численного интегриро-вания. Например, в третьем приближении решения имеют вид

υx

υ=

8

3

y

δ−70

3

(yδ

)4+56

(yδ

)5−56

(yδ

)6+

80

3

(yδ

)7−5(yδ

)8; (14)

T

Tср=

1

D[8λ+

+αy

(8−70

y3

∆3+168

y4

∆4−168

y5

∆5+80

y6

∆6−15

y7

∆7

)]; (15)

1

α

(D1∆

2

xR− D2λ

2ν

α2υR1

)+λ3α3νD3

υRD4=

27a

υD, (16)

где δ = 7,7931 x√Rex

; D = 8λ+ 3α∆; D1 = 0,021386; D2 = 0,152081;

D3 = 841,6548α∆; D4 =(1683,309α3λR+ 631,241α4R2∆

R

)2; R =

=√

νxυ ; R1 =

√(νxυ

)3; R2 = νx

υ ; Rex = υxν .

Из уравнения (16) находится толщина теплового пограничногослоя ∆(x).

Отличие результатов расчетов по формулам (14) и (15) от точ-ных решений составляет соответственно 0,2% и 0,5%.

На основе выполненных исследований могут быть сделаны сле-дующие выводы:

1. На основе математических моделей гидродинамического и

190

теплового пограничных слоев, включающих интегральные урав-нения Кармана и Г.Н. Кружилина, путем использования допол-нительных граничных условий разработана методика полученияуточненных аналитических решений исходного дифференциаль-ных уравнений пограничного слоя, предложенных Прандтлем иПольгаузеном.

2. Дополнительные граничные условия находятся из диффе-ренциальных уравнений Прандтля и Польгаузена путем выпол-нения этих уравнений и производных от них в граничной точке(y = 0) и на фронте гидравлического (температурного) возмуще-ния (на границе пограничных слоев).

1. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. — М.: Наука, 1969. — 742 с.2. Abdul Aziz A similarity solution for laminar thermal doundary layer over a

flat plate with a convective surface boundary condition // Commun NonlinearSci Numer Simulat, 2009. — No. 14. — P. 1064–1068.

3. Стефанюк Е.В., Аверин Б.В., Кудинов И.В. Получение аналитическо-го решения уравнений гидродинамического пограничного слоя на осно-ве введения дополнительных граничных условий/ Актуальные вопросытепло- и массообмена, энергоэффективность, исследование вихревых за-крученных потоков // Извест. Самар. научн. центра РАН, 2008. — C. 39–46.

4. Кудинов В. А., Аверин Б.В., Стефанюк Е.В. Теплопроводность и термо-упругость в многослойных конструкциях. — М.: Высшая школа, 2008. —391 с.

Кафедра теоретических основ теплотехники и гидромеханики,

Самарский государственный технический университет;

443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

larginaevgenya@mail.ru

УДК 519.6

В.Д. Сулимов, П.М. Шкапов

ЛОКАЛЬНЫЙ ПОИСК СО СГЛАЖИВАЮЩЕЙАППРОКСИМАЦИЕЙ В ГИБРИДНОМ АЛГОРИТМЕ

ГЛОБАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

Принято различать два типа экстремальных задач для дина-мических систем — задачи оптимизации и диагностики. В первом

191

случае требуется выбрать оптимальные параметры системы илиобеспечить оптимальное управление системой. Во втором случаенеобходимо диагностировать систему по результатам косвенныхизмерений. Ввиду наличия в спектре системы кратных частот ивозможной многоэкстремальности критериальных функций, обу-словленной, например, неполнотой регистрируемых данных, длярешения задач вычислительной диагностики необходимо приме-нение алгоритмов глобальной недифференцируемой оптимиза-ции [1].

Теория и методы решения задач глобальной минимизации мно-гоэкстремальных функций достаточно хорошо разработаны. Сле-дует отметить, что эффективность детерминированных алгорит-мов ограничена их зависимостью от размерности задачи. К чис-лу наиболее мощных и современных стохастических алгоритмовглобальной оптимизации относится алгоритм PCA [2]. Существен-ным шагом алгоритма является сравнительная оценка качестварешения, определяемого текущей и предшествующей конфигура-цией системы. Пробное решение принимается с определенной ве-роятностью; локальный поиск также осуществляется стохастиче-ским методом. Алгоритм удобен для реализации в виде приклад-ной программы и может использоваться при решении как непре-рывных, так и дискретных задач оптимизации. Вместе с тем, одиниз ресурсов повышения эффективности алгоритма PCA заклю-чается в совершенствовании процедуры локального поиска. Нижеприведено описание гибридного алгоритма, в котором исследова-ние пространства переменных проводится стохастическим мето-дом, а при локальном поиске используется градиентная информа-ция для сглаживающих аппроксимаций не всюду дифференциру-емых критериальных функций. Преимуществом подхода являетсявозможность применения эффективных методов, разработанныхдля задач дифференцируемой оптимизации. Выбираются пара-метры аппроксимации p, q, определяющие соответственно левуюи правую границы интервала, на котором задана сглаживающаяфункция s (p, q, x) [3]. Приближенная функция f (p, q, x) совпа-дает с исходной функцией f (x) всюду, за исключением интервала[p, q]. Потребуем, чтобы функция s (p, q, x) была выпуклой и покрайней мере один раз дифференцируемой на [p, q]. Указаннымисвойствами обладает, например, дуга кривой, описываемой урав-нением второй степени. В данном случае: s (p, q, 0) = −pη (p, q),

192

гдеα = −p

q, η (p, q) =

[1 +

α −

√2(1 +

α)]

(α2 − 1).

Теорема 1 [3.] Пусть x∗ ∈ Rn и x ∈ Rn суть точки миниму-

ма для f (x) и f (p, q, x) соответственно. Тогда

0 6 f (p, q, x) − f (x∗) 6 −p minx∈X⊂Rn

1, (m− 1)η (p, q) .

Рассмотрим задачу минимизации: определить

minx

f (x) : aj 6 xj 6 bj , j = 1, ... , n ;

выбраны числа aj , bj, а также число ε, 0 < ε < 1 и параметрыp < 0, q > 0. Алгоритм локальной минимизации со сглажива-ющей аппроксимацией критериальной функции включает в себяследующие шаги.

0. Выбрать точку x0, aj 6 x0j 6 bj , j = 1, ... , n.

1. Если точка xk уже построена, то вычислить вектор hk=h(xk).

2. Определить первое значение r = 0, 1, ... , при котором для

α =

(1

2

)r

будет выполнено неравенство

f(p, q, xk + αhk

)6 f

(p, q, xk

)− εα

∥∥∥hk∥∥∥

2;

если такое r=r0 найдено, то положить αk=2−r0 , xk+1 = xk+αkhk.

Перейти к шагу 1.3. Критерий останова: hk = 0.

Теорема 2. Если числа aj , bj , j = 1, ..., n конечны и гради-

ент функции f (p, q, x) удовлетворяет условию Липшица, то вовсякой предельной точке последовательности xk, k = 0, 1, ... ,удовлетворяются необходимые условия минимума.

Доказательство. Доказательство получается непосредствен-ной ссылкой на теорему 2.3 [4, с. 60] и теорему 1.

Ниже представлен псевдокод гибридного алгоритма глобаль-ной оптимизации, использующего процедуру локального поискасо сглаживающей аппроксимацией критериальных функций.

0. Generate an initial solution Old_Config

193

1. For n = 0 to # iterationsGenerate a stochastic perturbation of the solutionIf Fitness (New_Config) > Fitness (Old_Config)

Old_Config := New_ConfigLocal search ( )

ElseScattering ( )

End IfEnd For2. Local search ( )

Apply procedure of local minimizationusing smoothing approximation

Return3. Scattering ( )

pscatt = 1−( Fitness (New_Config)) / (Best Fitness)If pscatt > random(0, 1)

Old_Config := random solutionElse

Exploration ( )End If

ReturnВведение сглаживающих аппроксимаций многомерных крите-

риальных функций при локальном поиске позволяет расширитьприменение гибридного алгоритма PCAH [5] на класс задач гло-бальной недифференцируемой оптимизации.

1. Kinelev V.G., Shkapov P.M., Sulimov V.D. Application of global optimiza-tion to VVER-1000 reactor diagnostics // Progress in Nuclear Energy, 2003. —Vol. 43, No. 1–4. — P. 51–56.

2. Sacco W.F., de Oliveira C.R.E., Pereira C.M.N.A. Two stochastic algo-rithms applied to nuclear reactor core design // Progress in Nuclear Energy,2006. — Vol. 48, No. 6. — P. 525–539.

3. Сулимов В.Д., Шкапов П.М. Сглаживающая аппроксимация в задачахвекторной недифференцируемой оптимизации механических и гидроме-ханических систем // Вестн. МГТУ им. Бумана. Сер. Естеств. науки,2006. — 2. — C. 17–30.

4. Pshenichnyj B.N. The Linearization Method for Constrained Optimization. —Berlin et al.: Springer-Verlag, 1994. — 174 p.

5. Сулимов В.Д., Шкапов П.М. Стохастические алгоритмы глобальной оп-тимизации для интеллектуальных систем поддержки принятия диагно-стических решений / В сб.: Кибернетика и высокие технологии XXI века:

194

IX Международная научно-техническая конференция. — Воронеж: САК-ВОЕЕ, 2008. — Т. 1. — C. 253–257.

Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ

(грант Президента РФ по поддержке ведущих научных школ РФ, код НШ-

1311.2008.8).

Кафедра теоретической механики,

Московский государственный технический

университет им. Н.Э. Баумана;

105005, г.Москва, ул. 2-я Бауманская, 5.

spm@bmstu.ru

УДК 517.977.5

М. Султанов, К. Абдрахманов, Ш. Алтынбеков

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНО-ИНФОРМАЦИОННЫЕТЕХНОЛОГИИ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

СЕТОЧНЫХ СИСТЕМ

Вычислительные технологии — это совокупность структур дан-ных, алгоритмов, расчетных методик и программных реализацийдля решения прикладных задач на ЭВМ [1–3].

Последние полвека характерны бурным развитием вычисли-тельной техники и теории численных методов. В результате про-исходит быстрое изменение взглядов на весь комплекс вопросов,связанных с применением компьютеров, в частности, на требова-ния к численным методам. Появление современных систем ком-пьютерной математики позволяет, не отказываясь от фундамен-тальных принципов классического образования, качественно из-менить подходы и методы изложения материала, сделать его бо-лее наглядным и доступным, а, следовательно, более интересными привлекательным для основной массы обучающихся. В частно-сти, хочется привлечь внимание к возможности по-новому взгля-нуть на преподавание практических занятий на ЭВМ курса «Чис-ленные методы», связанного с разделом: «Теория разностных схемдля уравнений в частных производных», которому обычно уделя-ется, по нашему мнению, недостаточное внимание.

195

Этапы численного решения прикладной задачи составляет це-почку: физический объект исследования – математическая мо-дель – вычислительный алгоритм – реализующая программа –расчёты на ЭВМ – анализ результатов, которую называют «тех-нологией математического моделирования» или «математическойтехнологией».

На практических занятиях обучающиеся должны научитьсяприменять теоретические сведения и овладеть основными этапа-ми численного решения начально-краевых задач на примере про-стейших уравнений математической физики: уметь аналитиче-ски исследовать свойства разностной схемы — аппроксимацию иустойчивость; проиллюстрировать эти свойства численными рас-четами; уметь выбрать схему заданной точности; овладеть прин-ципами разработки эффективных прикладных программ, спосо-бами их тестирования; методикой проведения численных расчетови анализа результатов.

В настоящей работе мы рассмотрим один из основных эта-пов технологического процесса получения численного решения —решения систем сеточных уравнений, которые получается в ре-зультате дискретизации исходной дифференциальной задачи. Вкачестве модельной задачи нами рассмотрена первая начально-краевая задача для уравнения теплопроводности.

Как известно, явные схемы для численного решения уравне-ний параболического типа используется очень редко, так как на-кладывается серьезные ограничения на выбор шага по времени.Поэтому обычно используется неявные разностные схемы, в ре-зультате которых получается системы алгебраических уравненийс трёхдиагональной матрицей коэффициентов, которые эффек-тивно решаются методом прогонки.

Рассмотрим следующую краевую задачу:

ut = uxx , 0 < x < L , 0 < t < T,

u(x, 0) = ϕ(x) , 0 6 x 6 L (начальное условие)

u(0, t) = ψ1(t) , 0 < t 6 T (краевое условие на левой границе)

u(L, t) = ψ2(t) , 0 < t 6 T (краевое условие на правой границе),

где ϕ(x), ψ1(t), ψ2(t) — заданные функции.Аппроксимируя задачу получаем двухслойную неявную раз-

196

ностную схему

− τ

h2um+1

n−1 +(1 + 2

τ

h2

)um+1

n − τ

h2um+1

n+1 = umn ,

n = 1, 2, . . . , N − 1, (1)

u0n = ϕ(xn), n = 0, 1 . . . , N, um

0 = ψ1 (tm) ,

umN = ψ2 (tm) , m = 1, . . . ,M, (2)

которому соответствует шаблон, показанный на рис. 1.

Рис. 1

Как известно, это разностная схема имеет порядок аппрокси-мации по τ первого порядка и по h второго порядка, и являетсяабсолютно устойчивой и сходящейся [4].

Методика вычислений по неявной схеме.

1. Задать значения шагов сетки h, τ из условия обеспечениятребуемой точности решения так, что N · h = L, M · τ = T , гдеN , M — целые положительные числа. Вычислить u0

n = ϕ(xn), n == 0, 1, . . . , N ; um

0 = ψ1(tm), m = 1, . . . ,M ; umN = ψ2(tm), m =

= 1, . . . ,M .2. Сформируем систему линейных алгебраических уравнений

для некоторого временного слоя, записывая уравнение (1) при n == 1, 2, . . . , N − 1:

− τ

h2um+1

0 + (1 + 2τ

h2)um+1

1 − τ

h2um+1

2 = um1 ,

− τ

h2um+1

1 + (1 + 2τ

h2)um+1

2 − τ

h2um+1

3 = um2 , (3)

. . .τ

h2um+1

N−2 + (1 + 2τ

h2)um+1

N−1 −τ

h2um+1

N = umN−1.

Положим m = 0. Тогда, учитывая начальное условие u0n =

= ϕ(xn), n = 0, 1, . . . , N и краевые условия um0 = ψ1(tm), m =

197

= 1, . . . ,M ; umN = ψ2(tm), m = 1, . . . ,M , из системы (3) полу-

чаем трёхдиагональную систему (N − 1) линейных алгебраиче-ских уравнений с (N − 1) неизвестными (неизвестные — u1

1, u12,. . .,

u1N−1):

(1 + 2τ

h2)u1

1 −τ

h2u1

2 = ϕ(x1) +τ

h2ψ1(t1),

− τ

h2u1

1 + (1 + 2τ

h2)u1

2 −τ

h2u1

3 = ϕ(x2), (4)

. . .

− τ

h2u1

N−2 + (1 + 2τ

h2)u1

N−1 = ϕ(xN−1) +τ

h2ψ2(t1).

Такие системы можно решить методами прогонки, простойитераций, Зейделя и т. д.

3. Если m = M , вычисления завершить. Иначе положить m == m+ 1 и перейти к п. 2.

На рис. 2 в качестве примера приведен результат программы

Рис. 2

198

для решения краевой задачи

ut = uxx + (−t+ 1), 0 < x < 1, 0 < t < 0, 1,

u(x, 0) = 0, 0 6 x 6 1, u(0, t) = t, u(1, t) = t · e−1, 0 6 t 6 0, 1

для уравнения теплопроводности с помощью неявной схемы в сре-де визуального программирования Delphi использованием методапрогонки.

1. Ильин В.П. Вычислительно-информационные технологии математиче-ского моделирования // Автометрия, 2000. — 1. — C. 3–16.

2. Современные проблемы вычислительной математики и математическогомоделирования. — М.: Наука, 2005. — Т. 1.

3. Ильин В.П. Вычислительная информатика: открытие науки. — Новоси-бирск: Наука, 1991.

4. Пирумов У. Г. Численные методы. — М.: МАИ, 1998.

Шымкентский институт Международного Казахско-Турецкого

университета им. К.А. Ясави, г.Шымкент, Казахстан.

totosha@mystep.ru

УДК 519.5; 620.9

Е.П. Тупоносова

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ВЫПУСКА СПЕЦИАЛИСТОВСАМГТУ ДО 2013 ГОДА

Одним из важнейших источников обновления в социальной си-стеме общества считается молодое поколение с высоким уровнемобразования, воспроизводственная функция которого существен-но актуализируется в условиях нестабильности.

Для случая прогнозирования выпуска специалистов с высшимобразованием сформулируем качественную модель с обратной свя-зью, представленную на рис. 1.

Система высшего образования должна удовлетворять потреб-ность экономики кадрами и обеспечивать баланс на рынке тру-да [1].

Для анализа выпуска специалистов вузами с учетом влияниянекоторых социальных факторов, построим производственную функ-цию (ПФ) в форме Кобба—Дугласа:

Y = AKαV β, (1)

199

Рис. 1

где Y — общая численность выпускников вуза в расчетный год;K — демография или выпускники школы (за 5 лет до расчетногогода); V — прием студентов вузом; α, β — функции эластичности.

В качестве примера построим модель выпуска специалистовСамарским государственным техническим университетом за 2002-2006 (прием 1997–2003), строим модель за 5 лет с помощью линей-ного регрессионного анализа по методу наименьших квадратов(МНК).

Логарифмированием (1) приводится к линейному виду: ln(Y ) == ln(A) + α ln(K) + β ln(L). Считаем вектор искомых коэффици-ентов X = (HTH)−1HTZ, где H — матрица входных параметров,Z — вектор выходных параметров. Обработав исходную информа-цию, получаем: A = 0,0016, α = 0,118, β = 1,281.

Статистическая обработка описания дала следующие резуль-

таты: дисперсия выборочных коэффициентов σ2xi

=

3,3750,0080,058

,

σ2 = 0,0006 дисперсия погрешности модели 2002–2006.Сравнение исходных данных и модели по выпуску 2002–2006

представлены на рис. 2.Экстраполируем по указанной модели данные на выпуск в

2007–2008 год (пунктир на рис. 2). Сходимость модели ухудши-лась, погрешность 2007 и 2008 года составляет порядка 6%.

Добавляем в модель 2007 и 2008 годы, проводим оценку коэф-фициентов, получаем: A = 0,0001, α = 0,02, β = 1,62, дисперсия

выборочных коэффициентов σ2xi

=

1,3530,0050,025

, σ2 = 0,0007.

Увеличение выборки показывает общую тенденцию к умень-

200

Рис. 2. Модель 2002–2006 с 2007 и 2008 годом: 1 — выпуск школ (×10); 2 —прием (−5 лет); 3 — расчетный выпуск; 4 — действительный выпуск; 5 — про-

гноз 2007 – 2008

шению дисперсии выборочных коэффициентов при почти неиз-менном значении дисперсии погрешности измерения. Это говорито достаточно позитивных влияниях добавленных данных.

Экстраполируем расчет на 2009–2013 годы (прогноз), по дан-ным поступления студентов с 2004 по 2008 годы. Результат пред-ставленный на рис. 3, показывает снижение выпуска специалистовв ближайшие годы.

Разница моделей 2002–2006 и 2002–2008 требует оценки корре-ляции. Проверим статистическую взаимосвязь зависимости пере-менных. Применим к данной модели критерий Дарбина—Уотсона[2].

Качество модели определяется ее адекватностью исследуемо-му процессу и точностью. Данный критерий позволяет установитьналичие автокорреляции.

Для модели 2002–2006 получили d = 2,57. Автокорреляцияотрицательная. Для модели 2002–2008 получили d = 2,43. Этозначение статистики лежат в допустимом интервале 0 < d < 4.По критерию существует верхний dB и нижний dH пределы зна-чений статистики d. Недостаток данного метода, что при объе-ме выборки меньше 15 для d не существует критических значе-ний и используют коэффициент автокорреляции ra. Для модели2002–2008 объем выборки равен 7. Вычислим коэффициент ав-

201

Рис. 3. Модель 2002–2008 с прогнозом до 2013 года: 1 — выпуск школ (×10);2 — прием (−5 лет); 3 — действительный выпуск; 4 — расчетный выпуск; 5 —

прогноз 2009 – 2013

токорреляции: ra = −0,21. Критическое значение коэффициентаавтокорреляции raT = −0,674. Так как неравенство ra 6 raT невыполняется, то уровни динамического ряда зависимы. Для мо-дели 2002–2006 объем выборки равен 5. Вычислим коэффициентавтокорреляции: ra = −0,28, raT = −0,753. Также уровни дина-мического ряда зависимы.

Построенная по расчетным данным модель в соответствии скритерием Дарбина—Уотсона позволяет прогнозировать выпускспециалистов.

1. Дилигенский Н.В., Цапенко М.В., Гаврилова А.А., Математические мо-дели управления производственно–экономическими системами. — Сама-ра: СамГТУ, 2005. — 112 с.

2. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирова-ния экономических систем. — М.: Финансы и статистика, 2002. — 368 с.

Самарский государственный технический университет;

443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

alenushka1982@inbox.ru, fpkp@samgtu.ru

202

УДК 536.421.4:532.781

И.М. Цун

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ СТЕФАНАДЛЯ ТЕРМИЧЕСКИ ТОНКОГО ЖИДКОГО

ЗАТВЕРДЕВАЮЩЕГО ЦИЛИНДРА

Экструдирование расплавленного металла с последующей кри-сталлизацией в математической физике формализуется динами-ческой задачей Стефана. В этом процессе капиллярную струюдиаметром 0,2÷3 мм направляют в охлаждающую среду. В лите-ратуре имеются два допущения о форме фронта кристаллизациицилиндра: плоской (перпендикулярной к оси) и криволинейной(осесимметричной) поверхностях фронта.

Н.Р.Берманом и другими [1] рассматривалась кристаллизацияцилиндра диаметром 5 ÷ 30 мкм, движущуюся со скоростью до8 м/с. Фронт кристаллизации при этом был аксиоматизированкак плоскость, перпендикулярная оси цилиндра. Источники ука-зывают, например [2], на значительную грубость этого допущения.Так, Ш.Кэвеш (Sh.Kavesh, [2]) определял металлографическимметодом направление нормали к фронту кристаллизации в цин-ковой литой проволоке диаметром 267 мкм, полученной экструди-рованием расплава в воду. У поверхности угол между нормальюи осью проволоки составлял 79. Таким образом, фронт кристал-лизации следует считать криволинейным, что и предполагаем.

Пусть диск толщиной l переместится совместно с цилиндромна величину z = v τ в направлении движения, где v — ско-рость движения, τ — время. При этом в диске за счет кристал-лизации кольца толщиной r выделяется количество тепла

Q = −Hпл 2πrrl ρж,

а потери тепла составят величину

Q = q 2πrв lτ,

где Hпл — теплота кристаллизации, q— удельный тепловой по-ток с внешней поверхности, r— текущий радиус фронта кристал-лизации, rв = r1

√(r/r1)2 + [1 − (r/r1)2](ρж/ρт) — текущий внеш-

ний радиус кристаллизирующегося жидкого цилиндра, r1 — на-чальный радиус жидкого цилиндра; ρж, ρт — плотности металла

203

в жидком и твердом состояниях. Приравнивая два выражениядля Q и переходя к пределу при τ → 0, получим уравнение,описывающее продвижение фронта кристаллизации по сечениюцилиндра:

dR

dτ= − 2 q

ρж Hпл d1

√1 +

1 −R2

R2Ω,

где R = r/r1, Ω = ρж/ρт, d1 = 2r1.В результате замены

dR

dτ=dR

dz· dzdτ

= vdR

dz

получаем дифференциальное уравнение фронта кристаллизации

dR

dz= − 2 q

v ρж Hпл d1

√1 +

1 −R2

R2Ω,

решение которого с краевым условием R |z=0= 1 задает вид по-верхности, образующей фронт кристаллизации:

Zd =2

Nq (1 − Ω)[1 −

√R2(1 − Ω) + Ω],

где Zd = z/d1, Nq = 4q/(v ρж Hпл).Комплекс Nq характеризует соотношение удельного теплово-

го потока с внешней поверхности и теплового потока вдоль оси,создаваемого движущимся кристаллизующимся цилиндром.

Длина участка кристаллизации

Lк =lкd1

= Zd |R=0 =2

Nq (1 + Ω0.5).

Для случая ρж = ρт ( Ω = 1) следует, что

Zd =1

Nq(1 −R2).

Следовательно, фронт кристаллизации имеет форму, близкуюк параболоиду вращения, и тем он ближе к указанной форме, чемменьше изменение плотности при кристаллизации. Оценив преде-лы изменения входящих в него величин, получаем, что Nq ∼

204

(10−2 ÷ 10−5). Соответственно Lк ∼ (102 ÷ 105). Иными слова-ми, длина участка кристаллизации составляет от 100 до 100 000диаметров цилиндра вдоль оси.

Таким образом, анализ двух взаимоисключающих допущенийо форме фронта кристаллизации в термически тонком цилин-дре при математическом моделировании показал, что допущениео криволинейном осесимметричном фронте кристаллизации даетболее близкие к состоянию реальности результаты.

1. Бадинтер Е.Я., Берман Н. Р., Драбенко И.Ф. и др. Литой микропроводи его свойства. — Кишенев: Штиинца, 1973.

2. Kavesh Sh. Melt spinning of metal fibers // American Institute of Chemical

Engineers. Symposium Series, 1978. — Vol. 74, No. 180. — P. 1–15.3. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. —

М.: Эдиториал УРСС, 2003. — 784 с.

Кафедра алгебры и геометрии,

Магнитогорский государственный университет;

455038, г.Магнитогорск, пр. Ленина, 114.

tsoun@masu.ru

УДК 534.22

А.И. Четырин, М.В. Червяков, В.М. Червяков

УТОЧНЕННАЯ МОДЕЛЬ ТЕЧЕНИЯ СРЕДЫВ КАНАЛАХ РОТОРНОГО АППАРАТА

Использование роторных аппаратов в различных отраслях про-мышленности показало их высокую эффективность при проведе-нии процессов в системе «жидкость – жидкость» [1–3]. Конструк-тивно они представляют собой коаксиальные цилиндры или усе-ченные конусы — вращающийся ротор и неподвижный статор —со сквозными каналами в боковых стенках. В результате пере-крывания каналов статора промежутком между каналами роторажидкая среда подвергается интенсивному кавитационному, меха-ническому, турбулентному и другим воздействиям. Установлено[2-4], что наиболее эффективным фактором воздействия на обра-батываемую среду является акустическая импульсная кавитация,интенсивность которой определяется закономерностями течения

205

среды в каналах роторного аппарата в процессе «открывания –закрывания» каналов статора.

Известны решения, описывающие нестационарное течение жид-кости в каналах, базирующихся на нестационарном уравненииБернулли [1, 2]. Они не учитывают особенности течения во вра-щающемся канале ротора. В работе [4] получено уравнение неста-ционарного движения потока несжимаемой жидкости в каналахроторного аппарата на основании уравнения Навье—Стокса. Ана-литически решена одномерная задача движения вязкой ньютонов-ской жидкости в цилиндрической системе координат, связанной свращающимся ротором. Для удобства использования полученноеуравнение приведено к безразмерному виду. В качестве перемен-ных использованы критерии Рейнольдса, критерий, характеризу-ющий соотношение кориолисовых и центробежных сил, и сим-плексы подобия. Задача решена с использованием зонного подхо-да к закономерностям течения среды при переходе от подвижногоканала к неподвижному на основании уравнения неразрывностив интегральной форме.

Существенным недостатком данной модели течения являетсято, что при решении уравнения течения во вращающемся кана-ле использовалось граничное условие в виде υ1 = const (первоеприближение), где υ1 — скорость на входе в канал ротора.

В данной работе, являющейся продолжением [4], в качествеграничных условий принято граничное условие в виде υ1 = υ sinωt,где υ— средняя скорость за период процесса «открывание – за-крывание» канала статора, определяемая по объемному расходучерез канал и средней площади его поперечного сечения. Это гра-ничное условие более адекватно соответствует условию несжима-емости жидкости и неразрывности потока среды.

В виду сложности аналитического решения и громоздкостиполученного результата, было использовано математическое обес-печение MathLab. Для подтверждения адекватности полученныхрезультатов экспериментально исследовано изменение динамиче-ского давления в камере озвучивания роторного аппарата. Дина-мическое давление пропорционально ускорению движения среды[1, 2]. В качестве датчика давления использовался гидрофон изтитаната бария. Сигнал с гидрофона напрямую подавался на за-поминающий осциллограф. В качестве рабочей среды использо-валась водопроводная вода.

206

Сравнение теоретических результатов, полученных в работе[4] и данном исследовании, с экспериментальными данными под-твердило правомерность предложенного граничного условия. Тео-ретические кривые изменения ускорения от времени, полученныес использованием нового граничного условия, качественно луч-ше соответствуют экспериментальным осциллограммам динами-ческого давления, чем теоретические кривые работы [3].

Таким образом, предложенное граничное условие и численныйметод решения с использованием среды MathLab позволяет повы-сить точность расчетов режимов кавитационной работы ротор-ного аппарата и, в конечном итоге, повысить эффективность егоработы.

1. Балабашко А.М., Юдаев В.Ф. Роторные аппараты с модуляцией потокаи их применение в промышленности. — М.: Недра, 1992. — 275 с.

2. Балабашко А.М., Зимин А.И. Гидромеханическое диспергирование. —М.: Наука, 1998. — 338 с.

3. Червяков В.М., Зимин А.И. Использование гидромеханических и ка-витационных явлений в роторных аппаратах. — М.: Машиностроение,2008. — 124 с.

4. Червяков В.М., Юдаев В.Ф. Гидродинамические и кавитационные явле-ния в роторных аппаратах. — М.: Машиностроение-1, 2007. — 128 с.

Кафедра теории механизмов, машин и деталей машин,

Тамбовский государственный технический университет;

392032, г. Тамбов, ул. Мичуринская, 112 a.

shuruptmb@yandex.ru

УДК 517.956.47:519.642.5

А.А. Чубатов, В.Н. Кармазин

О ВЫБОРЕ ПАРАМЕТРА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ В ЗАДАЧЕЭКСПРЕСС-КОНТРОЛЯ ЗА ИСТОЧНИКОМ

ЗАГРЯЗНЕНИЯ АТМОСФЕРЫ

Работа продолжает исследования, представленные в [1].Введение. Для описания процессов распространения примеси

в атмосфере используем линейное уравнение турбулентной диф-фузии [2] с однородными начальным и граничными условиями

207

∂q

∂t+ vx · ∂q

∂x+ vy ·

∂q

∂y+

∂

∂z(vz · q) =

Kx · ∂2q

∂x2+Ky ·

∂2q

∂y2+

∂

∂z

(Kz ·

∂q

∂z

)+ f(x, y, z) · g(t), (1)

где q = q(x, y, z, t) — концентрация примеси, (vx; vy; vz) — векторскорости ветра, (Kx;Ky;Kz) — коэффициенты турбулентной диф-фузии, f(x, y, z) — функция, определяющая пространственное рас-положение источника, g(t) — интенсивность действия источника.

Обратная задача идентификации интенсивности выбросов ис-точника состоит в последовательном определении функции g(t)по данным измерений концентрации в стационарных пунктах кон-троля, расположенных в точках (xj , yj, zj), j = 1, . . . , J . Измере-ния проводятся через промежутки времени ∆t.

Будем считать, что ошибка замеров концентрации аддитивна,т.е. cji = q(xj, yj , zj , ti)+ δ · γ, где cji — концентрация, измереннаяj-тым датчиком в момент времени ti = i · ∆t, δ — среднеквадра-тичная ошибка измерений, γ — нормальная случайная величина.

Обратная задача для источника характеризуется неустойчи-востью решения к погрешностям замеров концентрации и требуетспециальных методов решения. Для решения задачи использова-лись методы шаговой регуляризации и последовательной функ-циональной аппроксимации при r последующих шагах по време-ни [1, 3].

Вычислительные эксперименты. В [1] отмечалось, что прификсированном шаге по времени (∆t = const) с увеличением регу-ляризирующего параметра r среднеквадратичная погрешность σG

сначала убывает и влияние параметра δ на нее ослабевает, и приопределенном r = rc величина σG практически не зависит от δ.Далее с увеличением r погрешность σG начинает возрастать.

Пусть имеется один датчик и известны ступенчатые коэффи-циенты чувствительности φ1i = Q(x1, y1, z1, ti) (т.е. решение зада-чи (1) при g(t) = 1 в точке (x1, y1, z1)), а также задан шаг междузамерами концентрации ∆t. Необходимо найти r, при котором по-грешность восстановления интенсивности σG минимальна.

Среднеквадратичная погрешность σgNвосстановления g(tN )

состоит из детерминированного смещения D, обусловленного по-

208

грешностью аппроксимации, и дисперсии V ar, зависящей от по-грешности замеров концентрации ∆cji = cji − q(xj, yj , zj , ti) [3]:

σgN=√D2 + V ar.

Для оценки влияния D и V ar на погрешность σgNоценим точ-

ность восстановления импульса интенсивности и исследуем пове-дение отклика интенсивности на импульс концентрации δgi/δcr.

Пусть gi = 0 при i 6= r и gr = 1. Тогда рассчитанные концен-трации (q1i = q(x1, y1, z1, ti)) равны q1i = 0 при i < r и q1i = ∆φi−r

при i > r. При этих значениях q1i решаем обратную задачу (ал-горитм описан в [1]) и в результате получаем отклики δgi/δgr

на импульсное изменение интенсивности. При шаге по времени∆t = 0, 25 · ∆tst[1] (∆tst[1] — минимальный шаг, при котором реше-ние устойчиво для r = 1) для r = 2; 3 форма импульса интенсив-ности восстанавливается хорошо (см. рис. 1), но с возрастаниемпараметра r смещение D увеличивается.

0 1 5 10 15

−1

0

1

t/∆t

δg/δ

g 2

impulse grestored g

0 1 5 10 15

−1

0

1

t/∆t

δg/δ

g 3

impulse grestored g

Рис. 1. Отклики δgi/δgr на импульсное изменение интенсивности.

Пусть c1i = 0 при i 6= r и c1r = 1. Для этих значений c1i реша-ем обратную задачу и в результате получаем отклики δgi/δcr наимпульсное изменение концентрации. Результат представлен нарис. 2. При шаге ∆t = 0, 25 · ∆tst[1] для r = 2 влияние случайно-го возмущения в датчике наблюдается дольше, чем для r = 3. Cвозрастанием r влияние случайных погрешностей уменьшается.

В результате при шаге ∆t = 0, 25 · ∆tst[1] значение парамет-ра r = 3 обеспечивает лучшую оценку интенсивности g(t).

Заключение. Анализ информации о коэффициентах чувстви-тельности для заданного шага ∆t позволяет выбрать значение па-раметра регуляризации r, обеспечивающего устойчивую оценкуинтенсивности g(t).

209

0 1 5 10 15

−200

0

200

t/∆t

δg/δ

c 2

0 1 5 10 15

−10

0

10

20

30

t/∆t

δg/δ

c 3

Рис. 2. Отклики δgi/δcr на импульсное изменение концентрации.

1. Чубатов А.А., Кармазин В.Н. Экспресс-контроль за источником загряз-нения атмосферы на основе метода последовательной функциональнойаппроксимации // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки,2008. — 2(17). — C. 210–214.

2. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающейсреды. — М.: Наука, 1982. — 320 с.

3. Бек Дж., Блакуэлл Б., Чент-Клэр С., мл. Некорректные обратные зада-чи теплопроводности: Пер. с англ. — М.: Мир, 1989. — 312 с.

Работа выполнена при поддержке РФФИ и администрации Краснодарского

края (проект 09–01–96506–р юга).

Кафедра прикладной математики,

Кубанский государственный университет;

350040, г.Краснодар, ул. Ставропольская, 149.

chaa@inbox.ru; karmazin@kubsu.ru

УДК 533.982.23

В.П. Шакшин

СТАТИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОТНОСИТЕЛЬНЫХФАЗОВЫХ ПРОНИЦАЕМОСТЕЙ ПО ДАННЫМНОРМАЛЬНОЙ ЭКСПЛУАТАЦИИ ОБЪЕКТА

РАЗРАБОТКИ

Для решения задачи параметрической идентификации трех-мерной двухфазной гидродинамической модели в первом прибли-жении необходимо получить хорошую сходимость по кумулятив-ным показателям истории разработки и получить отражение те-кущего энергетического состояния пластовой системы в постро-енной модели. Решение этой задачи напрямую, минуя специаль-

210

ные приемы, оказывается наиболее трудоемкой задачей в рамкахпроцесса расчета прогнозных показателей. Для упрощения это-го процесса в статье предлагается в качестве стартовых парамет-рических зависимостей относительных фазовых проницаемостей(ОФП) использовать ОФП, полученные с помощью статистиче-ского метода, минимизирующего дисперсию ошибки в статисти-ческих тождествах. ОФП ищем в классе функций вида kro (sd) == (1 − sd)

m1 ; krw (sd) = Fwsm2d , где sd = Sw−Swi

1−Swi−Sorw, Sw — водона-

сыщенность, Swi — начальная водонасыщенность, Sorw — остаточ-ная нефтенасыщенность в системе «нефть-вода». На первом эта-пе собираются необходимые для алгоритма данные: дебиты жид-кости, коэффициенты продуктивности (КП), замеры пластовогои забойного давлений. Далее для каждой скважины вычисляет-ся среднеквадратичное отклонение КП и тем самым оставляютсятолько данные, попавшие в доверительный интервал.

Пусть κi,j — КП i–той категории обводненности для j–той сква-жины, σ·,j — сренеквадратичное отклонение для j–той скважины.

Тогда имеем: ω =κ·,j+σ·,j

κ·,j−σ·,j6 ζ = max

(θ, 1

θ

), θ = µ0B0

µwBw, где µ0 —

вязкость нефти, µw — вязкость воды, B0 и Bw — объемные коэф-фициенты нефти и воды соответственно. Теперь рассмотрим сле-дующие два случая.

1. Пусть κ·,j−σ·,j 6 0. Тогда µ =κ·,j(1−ζ)+σ·,j(1+ζ)

ζ , κmin·,j = κ·,j−

− σ·,j + µ, κmax·,j = κ·,j + σ·,j.

2. Пусть κ·,j−σ·,j > 0. Тогда µ =κ·,j(1−ζ)+σ·,j(1+ζ)

1+ζ , κmin·,j = κ·,j−

− σ·,j + µ, κmax·,j = κ·,j + σ·,j − µ.

ПолучаемKj =⋃i

κi,j

∣∣∣κi,j ∈(κmin·,j , κmax

·,j

)∣∣∣. Если card (Kj) 6

6 1, то скважина из выборки убирается. Если µ 6 0, то диапазондля КП не меняется.

Далее, обводненность делится на 20 категорий (0–5% — 1–аякатегория; 5–10% — 2–ая категория и т.д.). Затем все скважиныделятся на 4 класса по краевой категории обводненности (ККО):

1) у скважины в конечной выборке на данном этапе существу-ет период с 1-ой категорией обводненности (КО) и с 20-ойКО;

2) у скважины в конечной выборке на данном этапе существу-ет период с 1-ой КО, но не существует период с 20-ой КО;

3) у скважины в конечной выборке на данном этапе не суще-

211

ствует периода с 1-ой КО, но существует период с 20-ойКО;

4) скважины, не попавшие в 1-ый, 2-ой или 3-ий классы поККО.

Пронормировав по 1-вой и по 20-той категориям обводненности,имеем следующие уравнения:

θFwsm1d (1 − α) = α (1 − sd)

m2 ;

κ1 = (1 − sd)m2 + θFws

m1d ;

κxx = sm1d +

1

θFw(1 − sd)

m2 ,

где κi — нормированный КП по КП i-ой категории обводненности(КО).

Вычисление параметров ОФП. Приведем соотвествующийалгоритм.

10. Вычисление Fw: (κ1 = θFwκxx) ⇒(Fw = κ1

θκxx

).

1.1) Для 1-го ККО:

LFw = Fw =κ1

θκxx= RFw ,

т. е. для 1-го ККО Fw вычисляется явно.1.2) Для 2-го ККО:

κxx =κmax

θ

(θ (max−1)

19+

1

θ

),

где κmax — КП, нормированный по максимальной КО в ККО.1.3) Для 3-го ККО:

κ1 =θκmin(

θ(min−1)19 + 1

θ

) ,

где κmin — КП, нормированный по минимальной КО в ККО.1.4) Для 4-го ККО:

κ1 =θκmin(

θ(min−1)19 + 1

θ

) , κxx =κmax

θ

(θ (max−1)

19+

1

θ

).

212

Рассмотрим норму ‖LFw −RFw‖ = εFw (θ′) . Пусть

εminFw

= min ‖LFw −RFw‖ .Получаем решение

ΦFw =Fw

∣∣εFw 6 1.1εminFw

.

20. Вычисление m2:

Lm2 = (1 − sd)m2 = κ1 (1 − α) = Rm2 ,

α =

α1

. . .α20

; sd =

sd1

. . .sd100

,

Lm2 = Lm2 (α, sd) , Rm2 = Rm2 (α, sd) .

Рассмотрим норму ‖Lm2 −Rm2‖ = εm2 (m2). Пусть

εminm2

(Fw) = min ‖Lm2 −Rm2‖ .Получаем решение

Φm2 =m2

∣∣εm2 6 1.1εminm2

.

30. Вычисление m1:

Lm1 = θ′sm1d = κ1 − (1 − sd)

m2 = Rm1 ,

Lm1 = Lm1 (α, sd) , Rm1 = Rm1 (α, sd) .

Рассмотрим норму ‖Lm1 −Rm1‖ = εm1 (m1). Пусть

εminm1

(m1) = min ‖Lm1 −Rm1‖ .Получаем решение

Φm1 =m1

∣∣εm1 6 1.1εminm1

; Fw ∈ ΦFw ; m2 ∈ Φm2

.

Полное решение (Fw, m1, m2) ∈ ΦFw × Φm1 × Φm2 .Усредненные значения параметров можно использовать в ка-

честве стартовых в гидродинамических расчетах.Кафедра прикладной математики и информатики,

Самарский государственный технический университет;

443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

ShakshinVP@samnipineft.ru

213

УДК 517.957

Р.В. Шамин

ВОЛНЫ НА ВОДЕ: МОДЕЛИРОВАНИЕИ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

В работе рассматриваются дифференциальные уравнения, опи-сывающие поверхностные волны идеальной жидкости в конформ-ных переменных. Эти уравнения эквивалентны системе уравненийЭйлера со свободной поверхностью, и представляют собой систе-му нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частныхпроизводных. В работах [1–3] получены результаты, гарантирую-щие существование решений в классах аналитических функций,методы позволяющие, оценивать время существования решений,а также эффективные численные методы.

В работах академика В.Е. Захарова ([4, 5]) эти уравнения при-менялись для прямого моделирования поверхностных волн экс-тремально амплитуды, так называемых волн-убийц. Волнами-убий-цами принято называть внезапные поверхностные волны экстре-мальной амплитуды (до 30 метров). Подобные волны являютсяпредметом пристального исследования (см. [6]).

Используя эффективные численные схемы и методику прове-дения доказательных вычислительных экспериментов, в настоя-щей работе мы рассматриваем методы, позволяющие строить ста-тистические характеристики амплитуд поверхностных волн в за-висимости параметров, задающих начальные данные.

Результаты работы могут быть использованы при моделиро-вании и теоретическом изучении волн-убийц и других феноменовповерхностных волн в океане.

1. Шамин Р.В. Вычислительные эксперименты в моделировании поверх-ностных волн в океане. — М.: Наука, 2008. — 133 c..

2. Шамин Р.В. О существовании гладких решений уравнений Дьяченко,описывающих неустановившиеся течения идеальной жидкости со свобод-ной поверхностью // Доклады Российской академии наук, 2006. — Т. 406,5. — C. 112-113.

3. Шамин Р.В. Динамика идеальной жидкости со свободной поверхностьюв конформных переменных // Современная математика, 2008. — Т. 28. —C. 3-144.

214

4. Zakharov V.E., Dyachenko A. I., Vasilyev O.A. New method for numericalsimulation of a nonstationary potential flow of incompressible fluid with a freesurface // Eur. J. Mech. B Fluids, 2002. — No. 21. — P. 283-291..

5. Zakharov V. E., Dyachenko A. I., Prokofiev A.O. Freak waves as nonlinearstage of Stokes wave modulation instability // Eur. J. Mech. B Fluids, 2006. —No. 25. — P. 677-692.

6. Куркин А.А., Пелиновский Е.Н. Волны-убийцы: факты, теория и моде-лирование. — Нижний Новгород: Нижегородский гос. тех. университет,2004.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты 07–01–00268–а, 07–05–

00648–а, 07-05-92211–НЦНИЛ–а)

Лаборатория нелинейных волновых процессов,

Учреждение Российской академии наук Институт океанологии РАН;

117997, г.Москва, Нахимовский просп., 36ю

roman@shamin.ru, www.shamin.ru

УДК 539.3

Д.А. Шляхин

ДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ЭЛЕКТРОУПРУГОСТИДЛЯ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА

С ОКРУЖНОЙ ПОЛЯРИЗАЦИЕЙ

1. Введение. Основным элементом широкого класса импульс-ных преобразователей энергии является пьезокерамический ци-линдр конечных размеров, работа которого основана на связанно-сти механических и электрических полей напряжения. В случаеокружной поляризации пьезоматериала данный эффект наблю-дается при распространении нестационарных осесимметричныхволн кручения. В связи с определенной сложностью данного ис-следования большинство работ сводилось к задачам электроупру-гости для длинного цилиндра при гармоническом воздействии ианализу свободных колебаний толстой пластины при различныхэлектрических краевых условиях [1].

2. Постановка задачи. В настоящей работе исследуется по-лый анизотропный цилиндр, занимающий в цилиндрической си-стеме координат (r∗, θ, z∗) область Ω: a 6 r∗ 6 b, 0 6 θ 6 2π,0 6 z∗ 6 h и выполненный из пьезокерамического материала снаведенной окружной поляризацией.

215

Рассматривается случай, когда его торцевые плоскости свобод-ны от механических напряжений и электрических зарядов, а ра-диальные поверхности электродированы и внутренняя ее закреп-ленная часть заземлена.

Краевая задача моделирует работу пьезоэлементов в прибо-рах прямого и обратного пьезоэффекта при действии на внешнейкриволинейной поверхности цилиндра соответственно тангенци-альных напряжений σ∗ (z∗, t∗) (вариант «а» краевых условий) ипотенциала V ∗ (z∗, t∗) (вариант «б»).

В общем случае дифференциальные уравнения движения иэлектростатики в цилиндрической системе координат записыва-ются в виде [1]:

(∂2

∂r2+

1

r

∂

∂r− 1

r2

)v +

∂2v

∂z2+ e15

(∂2

∂r2+

2

r

∂

∂r+

∂2

∂z2

)φ−

− ∂2v

∂t2= 0, (1)

e15

(∂2

∂r2+

∂2

∂z2

)v − C55ε11

(∂2

∂r2+

1

r

∂

∂r+

∂2

∂z2

)φ = 0,

z = 0, L : σzθ =∂v

∂z+ e15

∂φ

∂z= 0,

Dz = −C55ε11∂φ

∂z+ e15

∂v

∂z= 0, (2)

r = 1, k : v (k, z, t) = 0, φ (k, z, t) = 0, (3)

а) σrθ|r=1 =∂v

∂r− v

r+ e15

∂φ

∂r= σ1 (z, t), Dr|r=1 = −ε11

∂φ

∂r+

+ e15

(∂v

∂r− v

r

)= 0,

б ) σrθ|r=1 =∂v

∂r− v

r+ e15

∂φ

∂r= 0 , φ (1.z, t) = V (z, t),

t = 0 : v (r, z, 0) = v0 (r, z) ,∂v

∂t |t=0= v0 (r, z) , (4)

где v, r, z, L, k =v∗, r∗, z∗, h, a

b, φ, V, σ =

φ∗, V ∗, σ∗bC55

,

t = t∗b−1√

C55ρ , t∗ — время, σrθ (r∗, z∗, t∗), σzθ (r∗, z∗, t∗) — компо-

216

ненты тензора механических напряжений; v∗ (r∗, z∗, t∗) — танген-циальная составляющая вектора перемещений; Dr (r∗, z∗, t∗),Dz (r∗, z∗, t∗), φ∗ (r∗, z∗, t∗) — компоненты вектора индукции и по-тенциал электрического поля; ρ, C55, e15 — объемная плотность,модуль упругости и пьезомодуль анизотропного электроупругогоматериала; ε11 — диэлектрическая проницаемость; v0, v0 — извест-ные в начальный момент времени тангенциальные перемещенияи их скорости.

3. Построение общего решения. Решение начально-кра-евой задачи (1)–(4) осуществляется методом интегральных пре-образований c использованием последовательно косинус-преобра-зования Фурье с конечными пределами по переменной z и обоб-щенного конечного интегрального преобразования по радиальнойкоординате r [2].

В результате расчетные соотношения для v (r, z, t), φ (r, z, t)имеют вид:

v (r, z, t) =

∞∑

n=0

Ω−1 [H1 (r, n, t) +

+∞∑

i=1

G (λin, n, t)K1 (λinr) ‖Kin‖−2

]cos jnz,

φ (r, z, t) =

∞∑

n=0

Ω−1 [H2 (r, n, t) +

+∞∑

i=1

G (λin, n, t)K2 (λinr) ‖Kin‖−2

]cos jnz,

где Ωn =

L, (n = 0),L2 , (n 6= 0),

jn = nπL , (n = 0,∞),H1,H2 — стандар-

тизирующие функции, G— трансформанта нагрузки, K1, K2 —вектор-функции ядра преобразования , ‖Kin‖— норма вектор-функ-ции вырожденного преобразования, λin — положительные пара-метры, образующие счетное множество.

1. Гринченко В. Т., Улитко А.Ф., Шульга Н.А. Механика связанных полейв элементах конструкций. — Киев: Наукова думка, 1989. — 279 c.

217

2. Сеницкий Ю.Э. Динамическая задача электроупругости для неоднород-ного цилиндра// ПММ, 1993. — Т. 57, 1. — C. 116–122.

Кафедра сопротивления материалов и строительной механики,

Самарский государственный архитектурно-строительный

университет;

443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 194.

n-1-@ya.ru

УДК 517.977.5

Д.А. Шляхин

ДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ЭЛЕКТРОУПРУГОСТИДЛЯ ДЛИННОГО РАДИАЛЬНО ПОЛЯРИЗОВАННОГО

ПЬЕЗОЦИЛИНДРА

1. Введение. Исследование задач электроупругости для по-лого анизотропного радиально поляризованного цилиндра связа-но с процедурой интегрирования сложной системы уравнений вчастных производных. Поэтому большинство подобных работ сво-дится к построению решения для бесконечного цилиндра [1] пригармоническом воздействии и анализу свободных колебаний ко-нечного элемента при различных краевых условиях [2]. В настоя-щей работе построено точное замкнутое решение задачи электро-упругости для длинного пьезокерамического анизотропного ци-линдра при произвольном нестационарном воздействии.

2. Постановка задачи. Пусть полый длинный цилиндр пред-ставляет собой линейно-упругое анизотропное тело и выполнен изпьезокерамического материала с наведенной поляризацией вдольрадиуса r∗. Рассматривается случай, когда электродированныекриволинейные r∗ = a, b поверхности загружены динамическойнагрузкой q∗1 (t∗), q∗2 (t∗) (вариант «а», «б» краевых условий ) иэлектрическим потенциалом V ∗ (t∗) ( вариант «в»).

Краевая задача моделирует работу пьезоэлементов в приборахпрямого и обратного пьезоэффекта. При этом в первом случаерассматриваются режимы «холостого хода» (радиальные плоско-сти подключены к измерительному прибору с большим входнымсопротивлением) и «короткого замыкания» (электродированныеповерхности закорочены).

218

Система дифференциальных уравнений, граничные и началь-ные условия рассматриваемой динамической задачи теории элек-троупругости в безразмерной форме имеет вид [1]:

∇2U − C11

C33

U

r2+ ∇2φ− e31

e33

1

r

∂φ

∂r− ∂2U

∂t2= 0, (1)

C33ε33e−133 ∇2φ− e33∇2U − e31

1

r

∂U

∂r= 0,

r = 1, k : «а»,«б» : σrr

∣∣∣r=1

=∂U

∂r+C13

C33U +

∂φ

∂r= q1 (t) , (2)

σrr

∣∣∣r=k

=∂U

∂r+C13

C33

U

k+∂φ

∂r= q2 (t) ,

«а»: Dr = −C33ε33e−133

∂φ

∂r+ e31

U

r+ e33

∂U

∂r= 0,

«б»: φ (1, t) = φ (k, t) = 0,

«в»: σrr =∂U

∂r+C13

C33U +

∂φ

∂r= 0 , φ (1, t) = V (t) ,

φ (k, t) = −V (t),

t = 0 : U (r, 0) = U0 (r) ,∂

∂tU (r, 0) = U0 (r) , (3)

где U, r, k = U∗, r∗, ab , q1 (t) , q2 (t) =

q∗1 , q∗233

, t = t∗b−1√

C33ρ ,

φ, V (t) = φ∗, V ∗ e33bC33

, σrr (r∗, t∗), Dr (r∗, t∗), U∗ (r∗, t∗) — со-ответственно радиальные компоненты тензора механических на-пряжений, векторов электрической индукции и перемещений ;φ∗ (r∗, t∗) — потенциал электрического поля; ρ, Cms, ems, ε33 — объ-емная плотность, упругие постоянные, пьезомодули и диэлектри-ческая проницаемость анизотропного электроупругого материала(m, s = 1, 2, 3); U0, U0 — известные в начальный момент времени

перемещения, скорости перемещений; ∇2 = ∂2

∂r2 + r−1 ∂∂r .

3. Построение общего решения. Решение краевой задачиэлектроупругости (1)–(3) осуществляется методом конечных ин-тегральных преобразований (КИП) [3] по радиальной координа-те r.

219

В результате получаем выражения для определения переме-щений U (r, t) и потенциала электрического поля φ (r, t):

U (r, t) = H1 (r, t) +

∞∑

i=1

G (λi, t)K1 (λi, r) ‖Ki‖−2 ,

φ (r, t) = H2 (r, t) +

∞∑

i=1

G (λi, t)K2 (λi, r) ‖Ki‖−2,

1. Партон В. З., Кудрявцев Б.А. Электроупругость пьезоэлектрических иэлектропроводных тел // М.: Наука, 1988. — C. 470.

2. Шульга Н.А., Болкисев А.М. Колебание пьезоэлектрических тел // Ки-

ев: Наук. Думка, 1990. — C. 228.3. Сеницкий Ю.Э. Многокомпонентное обобщенное конечное интегральное

преобразование и его приложение к нестационарным задач механики//Изв. вузов. Математика, 1991. — 4. — C. 57-63.

Кафедра сопротивления материалов и строительной механики,

Самарский государственный архитектурно-строительный

университет;

443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 194.

n-1-@ya.ru

220

Именной указатель

Абдрахманов К. — 195Алиев А.М. — 58Алиев Н.А. — 58Алтынбеков Ш. — 195Астафуров В.И. — 9

Базаров А.А. — 13Богер А.А. — 16Богорош А.Т. — 18Борисова К.А. — 21Бородинова И.А. — 112

Васильев А.А. — 24Виноградов К.Н. — 132Волкова С.В. — 135

Гаврилов В.К. — 30, 33Гаврилова А.А. — 27Гаркушин И.К. — 116Гирш Д.С. — 36Головашкин Д.Л. — 155Грекова А.Н. — 39

Данилушкин А.И. — 42Десяев Е.В. — 45Дилигенский Н.В. — 142

Желтухин А.А. — 48

Зайцев В.В. — 52Зарецкая М.В. — 55

Ильясов М.Х. — 58

Каледин О.Е. — 59Карлов А.В. (мл) — 52Кармазин В.Н. — 207Кирпиченкова Н.В. — 66, 70Ковалёв М.Д. — 73

Корсун М.М. — 76Косарева Е.А. — 132Кротков Е.А. — 161Кудинов И.В. — 187Кузнецов В.А. — 80Кузнецов В.В. — 80Кутовой К.В. — 135

Ладоша Е.Н. — 36, 85Ларгина Е.В. — 187Латыпов Р.Р. — 13Лежнёв А.В. — 88Лежнёв М.В. — 92Лелёвкина Л. Г. — 95Лущиков Н.В. — 27Лютахин Ю.И. — 98, 101

Мамедова Т.Ф. — 104Мельников Н.Б. — 107Мигунов А.Л. — 110Мирошниченко А.Е. — 24Монтлевич В.М. — 112Морозова М.В. — 169Мощенская Е.Ю. — 116Мукимбеков М.Ж. — 120,

123Муромцев Н.Н. — 125

Никитина Е.А. — 42Никольский Д.Н. — 129

Опарин В.Б. — 132Осипов С.Ю. — 135Осипов Ю.Р. — 135

Петров Д.В. — 139Петровская М.В. — 132Посашков М.В. — 142, 144Прошин И.А. — 148, 152

221

Редников С.Н. — 125Рожин С.П. — 135Рояк М.Э. — 76Рыбинский В.А. — 101Рябов С.В. — 16Ряжских В.И. — 16

Саввина С.А. — 155Савельев А.В. — 148, 152Самылин К.А. — 21Сапунов Е.А. — 148, 152Сапчук Д.Н. — 27Семёнова И.В. — 158Сигова О.Б. — 161Симонов П.М. — 165Сироченко В.П. — 169, 172Слюсарев М.И. — 16Смагина Е.А. — 172Смирнов Н.В. — 175, 178Смирнова Л.Н. — 181Соловьёва И.В. — 184Стефанюк Е.В. — 187Сулимов В.Д. — 191Султанов М. — 195

Сухарев Л.А. — 59

Телегин С.С. — 52Тимаков В.М. — 148, 152Тупоносова Е.П. — 199

Фролов А.В. — 181

Холодова С.Н. — 36Худяков Д.В. — 175

Цун И.М. — 203Цымбалов Д.С. — 85

Червяков В.М. — 205Червяков М.В. — 205Четырин А.И. — 205Чистяков А.В. — 165Чубатов А.А. — 207

Шакшин В.П. — 210Шахов Я.А. — 178Шкапов П.М. — 191Шляхин Д.А. — 215, 218

Яценко О.В. — 85

222

Математическое моделированиеи краевые задачиЧасть 2 «Моделирование и оптимизация

динамических систем и систем

с распределенными параметрами»

Редактор В.П. Радченко

Оригинал-макет М.Н. Саушкин, О. С. Афанасьева

Лицензия ЛР 020595 от 09.07.97.Подп. в печать 15.05.09.Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная.Печать офсетная.Усл.-печ. л. 13,2. Уч.-изд. л. 13,01.Тираж 100 экз. Рег. 144/09. Заказ 440.

Государственное образовательное учреждениевысшего профессионального образования«Самарский государственный технический университет»443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244. Главн. корп.

Отпечатано в типографии Самарскогогосударственного технического университета.443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244. Корп. 8.