第 5 章 频域分析法
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第 5 章 频域分析法. 5.1 频率特性及其表示法 5.2 典型环节的频率特性 5.3 系统开环频率特性的绘制 5.4 用频率特性分析控制系统的稳定性 5.5 系统瞬态特性和开环频率特性的关系 5.6 闭环系统频率特性 5.7 系统瞬态特性和闭环频率特性的关系. 5.4 用频率特性分析系统稳定性. 1 控制系统的稳定判据 2 应用幅相频率特性判断系统稳定性 3 应用对数频率特性判断系统稳定性 4 奈氏稳定判据应用举例 5 频率域中描述系统的稳定裕量. 1 控制系统的稳定判据. 闭环系统稳定条件 - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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第 5 章 频域分析法
5.1 频率特性及其表示法5.2 典型环节的频率特性5.3 系统开环频率特性的绘制 5.4 用频率特性分析控制系统的稳定性5.5 系统瞬态特性和开环频率特性的关系5.6 闭环系统频率特性5.7 系统瞬态特性和闭环频率特性的关系
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5.4 用频率特性分析系统稳定性1 控制系统的稳定判据 2 应用幅相频率特性判断系统稳定性 3 应用对数频率特性判断系统稳定性 4 奈氏稳定判据应用举例 5 频率域中描述系统的稳定裕量
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1 控制系统的稳定判据
闭环系统稳定条件 特征方程式的根必须都在复数平面的左半平面。
一阶系统 特征方程式 : 特征根 : 令 则矢量
( ) 0D s s p
s p
s j( )D j j p
4
1 控制系统的稳定判据 特征根是一个负实根 当 由 0 增加到∞时
特征根是一个正实根 图 5.31 一个负实根 当 由 0 增加到∞时
结论:一阶系统是稳定的,则 由 0→∞ 时, 矢量 将逆时针方向旋转 π/2 。 图 5.32 一个正实根
0
Im
Re
( )D j j p
p
1j
1j[ ( )]
2Arg D j
[ ( )]2
Arg D j
0
Im
Re
1j ( )D j j p
p ( )D j
5
1 控制系统的稳定判据 二阶系统 特征方程式 :
特征根 : 矢量
0))((2)( 21222 pspsssbasssD nn
21,2 (1 )n np j
1 2
2 2
1 2
( ) ( )( ) |
[ ( 1 )][ ( 1 )]
( ) ( )
s j
n n n n
D j s p s p
j j j j
D j D j
6
1 控制系统的稳定判据 特征根在左半平面 当 由 0 增加到∞时 ,
特征根在右半平面 图 5.33 共轭复数根在左半平面 当 由 0 增加到∞时
图 5.33 共轭复数根在由半平面
0
Im
Re
j
01( )D j
02 ( )D j
1 02
02 2
0
Im
Re
j
0
0
1( )D j
2 ( )D j
[ ( )] 22
Arg D j
[ ( )] 22
Arg D j
7
1 控制系统的稳定判据 阶系统 特征方程式 :
矢量 (1) 如果 个根都在复平面的左半平面 当 由 0 增加到∞时,
n0......)( 1
11
n
nn asasassD n
1 2( ) ( )( ) ( )nD j j p j p j p
n
[ ( )]2
Arg D j n
8
1 控制系统的稳定判据 (2) 如果一个根在右半平面, 个根在左半平面 当 由 0 增加到∞时,
系统稳定的条件转化为:当 由 0→∞ 时,如果矢量 的相角变化量为
那么系统是稳定的;否则,系统是不稳定的。 当 由 变到 时,如果矢量 的相角变化量为
那么系统是稳定的;否则,系统是不稳定的。
( 1)n
[ ( )] ( 1) ( 2)2 2 2
Arg D j n n
( )D j
[ ( )]2
Arg D j n
+ ( )D j
[ ( )]Arg D j n
9
2 应用幅相特性判断系统稳定性 闭环系统如图示开环传递函数
图 5.35 闭环系统
闭环传递函数
闭环系统的特征多项式
1( )G s
( )H s
( )R s ( )C s
1( ) ( ) ( )G s G s H s
1 1 2
1
( ) ( )
( ) ( )H
H
K N s K N s
D s D s
)(
)(
sD
sKN
)(
)(
)()(
)()(
)()(1
)()( 11
1
1
sD
sN
sKNsD
sDsNK
sHsG
sGs
B
BH
)()()( sKNsDsDB
10
2 应用幅相特性判断系统稳定性 辅助函数
辅助函数 有如下特征:1 )其零点为闭环传递函数的极点;2 )其极点为开环传递函数的极点;3 )其零点和极点的个数是相同的;4 ) 和开环传递函数 只差常数 1 。控制系统稳定的充要条件变为: 辅助函数 的全部零点必须都在复平面的左侧。
)(1)(
)(1
)(
)()( sG
sD
sKN
sD
sDsF B
( )( ) 1 ( )
( )BD j
F j G jD j
( )F s
( )F s ( )G s
( )F s
11
2 应用幅相特性判断系统稳定性 分 3 种情况讨论 (1) 开环系统是稳定的情况 如果开环系统是稳定的,那么它的特征方程式 的 个根应都在 S 左半平面,而当 由 到 时,矢量的相角变化量为
如果系统闭环也是稳定的,那么闭环特征方程式 的 个根也应都在 S 左半平面。当 由 到 时,矢量的相角变化量为
矢量 的相角变化为
( ) 0D s
n + ( )D j
[ ( )]Arg D j n
( ) 0BD s
n
[ ( )]BArg D j n
+ ( )BD j
( )F j
[ ( )] [1 ( )] [ ( )] [ ( )] 0BArg F j Arg G j Arg D j Arg D j n n
12
2 应用幅相特性判断系统稳定性
图 5.36 的相角变化 (a) 系统稳定 (b) 系统不稳定
奈奎斯特( Nyquist ) 稳定判据 ( 奈氏稳定判据 ) 当 由 到 时,矢量 的相角变化量为 0 ,则开环稳定的系统,闭环后也是稳的。
+ ( ) 1 ( )F j G j
0
Im
Re1
0
(a)
0
Im
Re1
0
(b)
13
2 应用幅相特性判断系统稳定性 因为
和 两个矢量之间只相差常数 1 ,如果把 平面坐标原点右移 1 个单位,那么这同一曲线却表示开环频率特性 的矢量轨迹。
图 5.37 和 曲线
( ) 1 ( )F j G j
( )F j ( )G j
( )F j
( )G j
0
Im
Re
0
ImF平面 G平面
( )G j
( ) 1 ( )F j G j
( 1, 0)j
1
( )G j( )F j
14
2 应用幅相特性判断系统稳定性
推论 1 :用开环频率特性判断闭环系统稳定性判据 如果开环系统是稳定的,那么闭环系统稳定的条
件: 当 由 变到 时,开环频率特性在复数平面的轨迹 不包围 这一点。
+( )G j ( 1, 0)j
15
2 应用幅相特性判断系统稳定性 (2) 开环系统是不稳定的情况 如果开环系统是不稳定的,那么它的特征方程式有 个根在 S 右半平面, 个根在 S 左半平面,则开环系统是不稳定的。当 由 变到 时,矢量 的相角变化量为
若闭环系统的特征方程式的 个根中,有 个根在 S 右半平面, 个根在 S 左半平面,则 由 变到 时,矢量 的相角变化量为
+
( )D j
n
+
Pn P( )
[ ( )]Arg D j P (n-P) ( ) n -P(2 )
Z
( )n Z
( )BD j
[ ( )] ( ) ( ) (2 )BArg D j n Z Z n Z
16
2 应用幅相特性判断系统稳定性 矢量
的相角变化量为
式中 代表矢量 的相角变化圈数。 即:矢量 的轨迹在 平面逆时针围绕坐标原点转 圈;或用 的轨迹说明,开环频率特性 的轨迹在 平面逆时针围绕 这一点转 圈。
( )( ) 1 ( )
( )BD j
F j G jD j
[ ( )] [ ( )] [ ( )] ( )2 2BArg F j Arg D j Arg D j P Z N
N ( )F j
( )F j ( )F jN ( )G j ( )G j
( )G j ( 1, 0)j N P Z
17
2 应用幅相特性判断系统稳定性 推论 2 :用开环频率特性判断闭环系统稳定性判
据 如果开环系统是不稳定的,开环特征方程式有 个根在S 右半平面上,则闭环系统稳定的充要条件是: 由 变到 时,开环幅相频率特性 的轨迹在复平面上逆时针围绕 点转 圈。否则闭环系统是不稳定的。
实际应用判据 若开环传递函数在 S 右半平面上有 个极点,则当 由 0变到 +∞ ,如果开环幅相频率特性 的轨迹在复平面上逆时针围绕 点转 圈,则闭环系统是稳定的;否则是不稳定的。
+ ( )G j
( 1, 0)j
P
N P
P ( )G j
( 1, 0)j / 2P
18
2 应用幅相特性判断系统稳定性 例 5.4 一个闭环系统如图示,其开环传递函数为
这是一个不稳定的惯性环节,开环特征方程式在右半平面有一个根 。闭环传递函数为
由于 ,闭环特征方程式的根在S 左半平面,所以闭环是稳定的。 开环频率特性如图,当 由 图 5.38 例 5.4 的稳定判定 变到 时, 矢量逆时针围绕 点转一圈。 即 ,故由奈氏稳定判据知闭环系统是稳定的。
+ ( )G j ( 1, 0)j
( ) , 11
KG s K
Ts
( )R s ( )C s
1
K
Ts
(a)
0
Im
Re0
(b)
1
1K
1P
1)(
KTs
Ks
1K
N P
19
2 应用幅相特性判断系统稳定性 (3) 开环系统有积分环节的情况 系统中有串联积分环节(即在坐标原点上有极点)例如开环系统传递函数为
其频率特性
开环频率特性在 处轨迹不连续,可作如下处理:
令 ,当 由 变到 时, 角变化为 图 5.39 坐标原点有极点的处理
1 2
( )( 1)( 1)
KG s
s T s T s
)1)(1()(
21
jTjTj
KjG
0
js e
0
Im
Re
0j
0j
0 0
2 2
20
2 应用幅相特性判断系统稳定性 所以在 由 时,幅相频率特性以∞为半径,相角由 0 度旋转到 ,如图 5.40(a) 所示。
如果在原点处有重根 为重根数目。
在 由 时,幅相特性以∞为半径,转过 ,得到了连续变化的轨迹,如图 5.40 虚线所示。 图 5.40 有积分环节的幅相频率特性
(a) 有一个积分环节
00
2
Im
Re00
(a)
0
1
2
( )N
KG s
s
N
( ) jNN
KG s e
00
2N N
21
2 应用幅相特性判断系统稳定性 用奈氏稳定判据很容易判断出图 5.40(a) 、 (b) 、 (c)中的轨迹都不包围 点,所以闭环系统是稳定的。
图 5.40 有积分环节的幅相频率特性
(b) 有二个积分环节 (c) 有三个积分环节
(b)
00
Im
ReR=∞0 1
22
(c)
00
Im
Re
0
1
32
( 1, 0)j
22
3 应用对数频率特性判断系统稳定性 在波德图上应用奈氏稳定判据 考察一个系统的幅相频率特性及其对应的对数频率特性正穿越: 在区间 由上向下穿越负实轴,以 表示。负穿越: 在区间 由下向上穿越负实轴,以 表示。
图 5.41 用对数频率特性判断系统稳定性 (a) 幅相频率特性 (b) 对应的对数频率特性
001
( )
(a)
Im
Re( )( )
( )L
( )
0°
-180° ( ) ( )( )
c
(b)
( )G j ( , 1) ( )
( )G j ( , 1) ( )
23
3 应用对数频率特性判断系统稳定性 注意: 如果 逆时针方向包围 点,则一定存在正穿越,即在负实轴区间 由上部向下部穿越负实轴。 如果 顺时针方向包围 点,则一定存在负穿越,即在负实轴区间 由下部向上部穿越负实轴。
奈氏稳定判据用正负穿越表述如下: 如果系统开环传递函数的极点全部位于 S 左半平面,当 由 0 变到 +∞ 时, 在复平面上正穿越与负穿越次数之差等于零,则闭环系统是稳定的,否则闭环系统是不稳定的。 如果系统开环传递函数有 个极点在 S 右半平面,当 由 0变到 +∞ 时, 在复平面上正穿越和负穿越之差为 ,则闭环系统是稳定的,否则闭环系统是不稳定的。
( )G j ( 1, 0)j
( , 1) ( )G j ( 1, 0)j
( , 1)
( )G j
P ( )G j / 2P
24
幅相频率特性与对数频率特性之间存在如下对应关系 平面( )G j 平面/( )L
| ( ) | 1G j 单位圆 ( )L =0分贝线
( , 1) 区段 ( ) 0L 分贝频段/ ( )
( ) 平面
线
( )L
( )
0°
-180°
(b)对应的对数频率特性
( ) ( )( )
c
001
( )
Im
Re( )( )
(a)幅频特性
3 应用对数频率特性判断系统稳定性
25
3 应用对数频率特性判断系统稳定性 奈氏稳定判据用于对数频率特性 如果系统开环传递函数的极点全部在 S 左半平面,即 ,则在 dB 的所有频段内,对数相频特性与 线正穿越与负穿越次数之差为 0 时,闭环系统是稳定的;
否则闭环系统是不稳定的。 如果系统开环传递函数有 个极点在 S 右半平面,则在 dB 的所有频段内,对数相频特性与 线正穿越与负穿越次数之差为 时,闭环系统是稳定的;否则闭环系统是不稳定的。
/ 2P
0P ( ) 0L
P( ) 0L
26
4 奈氏稳定判据应用举例 例 5.5 系统开环传递函数为
其极点全部位于 S 左半平面, 。( 1 )应用开环幅相频率特性判断闭环系统的稳定性 绘出系统开环幅相频率特性如图 5.42 ( a )。 由于 不包围 点,所以不论 值多大,闭环系统均是稳定的。
图 5.42 例 5.5 的稳定判定
0,)1)(1(
)(21
KsTsT
KsG
0P
( )G j ( 1, 0)j
K 0
Im
Re
0 0 K
(a)
27
4 奈氏稳定判据应用举例 ( 2 )应用开环对数频率特性判断闭环系统的稳定性 绘出系统开环对数频率特性如图 5.42 ( b )。 由于在 dB 的频段内,二阶系统对数相频特性不会穿越 线,即对数相频特性与 线正穿越和负穿越次数之差总为 0 ,所以不论 值多大,闭环系统均是稳定的。
图 5.42 例 5.5 的稳定判定
K
( ) 0L
90°
( )
180°
0°
( )L
1
2_
=1/T22
c1 =1/T1
_
_
(b)
_
28
4 奈氏稳定判据应用举例 例 5.6 系统开环传递函数为
没有极点位于位于 S 右半平面, 。( 1 )应用开环幅相频率特性判断闭环系统的稳定性 将开环幅相频率特性写成代数形式其中
在 时,
在 时, 。
0P
0,)1)(1(
)(21
KsTsTs
KsG
( ) ( ) ( )G j R jI
21 2 1 2
2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 2 21 2 1 2 1 2 1 2
( ) (1 )( ) , ( )
1 ( ) [1 ( ) ]
K T T K TTR I
T T T T T T T T
0 1 2(0) ( ) , ( )R K T T I
21
1
TT 1 2
1 2
( )( ) , ( ) 0
( )
K TTR I
T T
29
4 奈氏稳定判据应用举例 绘出系统开环幅相频率特性如图 5.43 ( a )。由图看出, 值较大时,当 由 -∞ 变到 +∞ 时, 顺时针包围 两圈, 。故
表明闭环系统在 S 右半平面有两个极点,系统是不稳定的。 如果减小 值,则当 ,
,系统达到稳定边界。 当 时, ,闭环 图 5.43 例 5.6 的稳定判定系统是稳定的。
( )G j ( 1, 0)jK 2N
2Z P N
K 1 2
1 2
T TK
TT
( ) 1R
1 2
1 2
T TK
TT
0N
0
Im
Re
0
0
1R=∞
1 2( )K T T
(a)
30
4 奈氏稳定判据应用举例 ( 2 )应用开环对数频率特性判断闭环系统的稳定性 绘出系统开环对数频率特性如图 5.43 ( b )。 值较大时,在 dB的频段内,对数相频特性负穿越 线 1 次,闭环系统不稳定。 如果减小 值,对数幅频特性 下移,幅值穿越频率 左移减小,使在 dB 的频段内,对数相频特性不穿越 线,则闭环系统稳定。 图 5.43 例 5.6 的稳定判定
K
( ) 0L
K
)(L c( ) 0L
90°( )
270°
( )L
1
3_
=1/T22
c1 =1/T1
_
_
(b)
_
2_
180°_
31
4 奈氏稳定判据应用举例 例 5.7 系统开环传递函数为
没有极点位于位于 S 右半平面, 。 应用开环幅相频率特性判断闭环系统的稳定性 系统开环频率特性为
其中
相频特性为
0P
( ) ( ) ( )G j R jI
22
1
( 1)( )
( 1)
K T sG s
s T s
21 2 2 1
2 2 2 2 21 1
(1 ) ( )( ) , ( )
(1 ) (1 )
K TT K T TR I
T T
1 2( ) 180 arctan arctanT T
32
4 奈氏稳定判据应用举例 分几种情况讨论 ( 1 ) 幅相频率特性如图 5.44(a) 示。
当 由 -∞ 变到 +∞ 时, 顺时针包围 点两圈:
即闭环传递函数有两个极点位于S 右半平面,闭环系统不稳定。 图 5.44 例 5.7 幅相频率特性示意图
( )G j
( 1, 0)j
2Z P N
2N 0
0
1
0
(a)
I( )j
( )R
1 2arctan arctanT T 1 2T T
33
4 奈氏稳定判据应用举例 ( 2 ) 幅相频率特性如图 5.44(b) 示。
当 由 -∞ 变到 +∞ 时, 不包围 点:
闭环系统稳定。
图 5.44 例 5.7 幅相频率特性示意图
( )G j
( 1, 0)j
1 2T T
1 2arctan arctanT T
0N
0Z P N
0
0
1
0
I( )j
( )R
(b)
34
4 奈氏稳定判据应用举例 ( 3 ) 幅相频率特性如图 5.44(c) 示。
当 由 -∞ 变到 +∞ 时, 正好通过 点。 闭环系统处于临界稳定状态。
图 5.44 例 5.7 幅相频率特性示意图
( )G j
( 1, 0)j
1 2T T( ) 180
( ) 180
1 ( )R
I( )j
(c)
35
4 奈氏稳定判据应用举例 例 5.8 系统开环传递函数为
在 S 右半平面有一个极点, 。 系统开环频率特性为其中
相频特性为 当 时, , 当 时, 当 时,
( ) ( ) ( )G j R jI
2
1
( 1)( )
( 1)
K T sG s
s T s
1P
21 2 1 2
2 2 2 21 1
( ) ( 1)( ) , ( )
1 ( 1)
K T T K TTR I
T T
1 2( ) 90 ( 180 arctan ) arctanT T
0 (0) 270 1 2(0) ( ) , (0)R K T T I
( ) 90
21
1
TT 2( ) , ( ) 0R KT I
36
4 奈氏稳定判据应用举例 幅相频率特性绘于图 5.45 。 当 时
闭环系统是稳定的; 当 时
闭环系统是不稳定的。
图 5.44 例 5.7 幅相频率特性示意图
2 1KT
1N 0Z P N
2 1KT 1N
2Z P N
0
Im
Re
0
0
12KT
37
5 频率域中描述系统的稳定裕量 如果开环系统传递函数没有极点位于 S 右半平面,那么
闭环系统稳定的充要条件是: 开环系统幅相频率特性 不包围 点;或 闭环系统临界稳定的条件是开环系统幅相频率特性经过 点。即满足:
式中: 称为幅值穿越频率; 称为相位穿越频率。
( )G j
( 1, 0)j
( 1, 0)j
( )G j
| ( ) | 1,
( ) 180c
c jj
G j
且
c
j
38
5 频率域中描述系统的稳定裕量 相位裕量
增益裕量
dB
图 5.46 稳定裕量
( ) ( ) 180c c
1 1
| ( ) |j
GMG j
1
(c)
Im
Rej
c
( )G j(a)
1
Im
Rej
c
( )G j
( )L
( ) 0°
-180°
c
(b)
j
PM
GM
-90°
20
( )L
( ) 0°
-180°
c
(d)
j
PM
GM
-90°
20
120lg 20lgGM
39
The End!