第 40 课时　操作探究型问题

第 40课时　操作探究型问题

　　操作探究型问题是通过动手测量、作图 (象 )、取值、计算等实验，猜想获得数学结论的研究性活动，这类活动完全模拟以动手为基础的手脑结合的科学研究形式，需要动手操作、合理猜想和验证．常见类型： (1)操作设计问题；(2)图形剪拼； (3)操作探究； (4)数学建模．解题策略：运用观察、操作、联想、推理、概括等多种方法．

第 40课时┃ 操作探究型问题

考向互动探究

考点聚焦归类探究

探究一　折叠剪拼操作探究型问题

回归教材

例 1 　 [2013· 北京 ] 阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图 40 － 1①所示，在边长为 a(a

>2) 的正方形 ABCD各边上分别截取 AE＝ BF＝ CG＝ DH

＝ 1 ，当∠ AFQ＝∠ BGM＝∠ CHN＝∠ DEP＝ 45° 时，求正方形MNPQ的面积．小明发现：分别延长 QE，MF， NG， PH，交 FA， GB，HC， ED的延长线于点 R， S， T，W，可得△ RQF，△ SMG，△ TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形( 如图 40 － 1 )② ．

考点聚焦归类探究回归教材

图 40 － 1

　　请回答：　　 (1) 若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形

( 无缝隙，不重叠 ) ，则这个新的正方形的边长为 ________ ；　　 (2) 求正方形MNPQ的面积；

a



图 40 － 2

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例题分层分析　　 (1)△RQF，△ SMG，△ TNH，△WPE是四个全

等的等腰直角三角形，拼成一个新的正方形怎么拼？边长多少？动手试试．

　　 (2) 要求正方形MNPQ的面积，可以利用转化思想，外面的 4 个小三角形的面积和恰好等于正方形MNPQ的面积．

　　 (3) 依图 40 － 1②的作法补全图 40 － 2 ，外面的三个“尖角三角形”的面积之和恰为阴影三角形的面积．



解题方法点析

　　此类问题按照要求把一个图形先分成若干块，然后拼接成一个符合条件的图形，常常利用平移、旋转、轴对称等变换进行作图．


探究二　中心对称操作探究问题

例 2 　 [2013· 陕西 ] 　问题探究　　 (1) 请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；　　 (2) 如图②，M是正方形 ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线 ( 要求其中一条直线必须过点M) ，使它们将正方形 ABCD的面积四等分，并说明理由．　　问题解决　　 (3) 如图③，在四边形 ABCD中， AB∥CD， AB＋ C

D＝ BC，点 P是 AD的中点，如果 AB＝ a， CD＝ b，且 b＞ a，那么在边 BC上是否存在一点 Q，使 PQ所在直线将四边形 ABCD的面积分成相等的两部分？若存在，求出 BQ的长；若不存在，说明理由．




例题分层分析

　　 (1) 如何利用一条直线把一个圆分成两个面积相等的部分？利用两条直线如何把一个圆分成四个相等的部分呢？利用了圆的什么性质？

图 40 － 3



解题方法点析

　平行四边形、矩形、菱形都是中心对称图形．过对称中心的每一条直线都把这些图形分成两个全等的图形．

　　 (2) 利用两条直线如何把一个正方形分成四个相等的部分呢？利用了正方形的什么性质？如果正方形内有一点M，要求其中一条直线必须过点M，如何分割呢？　　 (3) 把正方形改为菱形呢？



　　解： (1) 如图所示．

　 (2) 如图，连接 AC、 BD相交于点 O，作直线 OM分别交 AD、 BC于 P、 Q

两点，过点 O作 OM的垂线分别交 AB、CD于 E、 F两点，则直线 OM、 EF

将正方形 ABCD的面积四等分．理由如下：



探究三　平移旋转操作探究问题

例 3 　 [2013· 山西改编 ] 数学活动——求重叠部分的面积．问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图 40 － 4 ，将两块全等的直角三角形纸片△ ABC和△ D

EF叠放在一起，其中∠ ACB＝∠ E＝ 90° ， BC＝ DE＝6 ， AC＝ FE＝ 8 ，顶点 D与边 AB的中点重合， DE经过点 C， DF交 AC于点 G.

求重叠部分 (△DCG) 的面积．

图 40 － 4



　　 (1)独立思考：请解答老师提出的问题；　　 (2) 合作交流：“希望”小组受此问题的启发，将△

DEF绕点 D旋转，使 DE⊥AB交 AC于点 H， DF交 AC

于点 G，如图 40 － 5 ，你能求出重叠部分 (△DGH) 的面积吗？请写出解答过程．

图 40 － 5



例题分层分析

　　 (1) 为求△ DCG的面积，需要研究该三角形的边角的特征；　　 (2) 当将△ DEF绕点 D旋转，使 DE⊥AB交 AC于点 H，此时 G点是 AH的中点吗？△ DGH的面积与△ DAH的面积之间是倍分关系吗？



解题方法点析

　　此类问题通过平移、旋转等动态过程创建了一个探究问题的情景和一个思维空间．解答中常常需要分类讨论、自主探究、叙述推理．关键是掌握好平移前后，旋转前后的图形是全等形．平移前后，每一个点移动的方向相同、距离相等；旋转前后图形上每一点的旋转角度都相同．


第 40 课时 操作探究型问题

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