1

Κεφάλαιο 4: Θεμελιώδης εξίσωση της Μηχανικής

Σύνοψη

Διερεύνηση με τη βοήθεια της μηχανής του Atwood της σχέσης μεταξύ δύναμης και επιτάχυνσης, καθώς και

προσδιορισμός της επιτάχυνσης της βαρύτητας.

Προαπαιτούμενη γνώση

Κεφάλαιο 1. Σχέσεις ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης.

4.1 Βασικές έννοιες

Το σπουδαιότερο ίσως κεφάλαιο της Μηχανικής είναι η Δυναμική, η οποία μελετάει τη σχέση μεταξύ των

χαρακτηριστικών μεγεθών (επιτάχυνση, ταχύτητα, διάστημα...) της κίνησης ενός σώματος και των αιτιών που

τις προκαλούν, των δυνάμεων.

Η Δυναμική στηρίζεται στα ακόλουθα τρία αξιώματα του Νεύτωνα:

1ο αξίωμα του Νεύτωνα: Η κινητική κατάσταση ενός σώματος παραμένει αμετάβλητη, όσο δεν

επιδρά επ’ αυτού μη μηδενική (συνισταμένη) εξωτερική δύναμη.

[Αξίωμα (στη Φυσική) = θεμελιώδης αρχή, η οποία δεν μπορεί να αποδειχθεί (ούτε θεωρητικά ούτε

πειραματικά), αλλά αποτελεί προϊόν της επιστημονικής διαίσθησης και μόνο. Τα αξιώματα γίνονται

αποδεκτά, εφόσον μας βοηθούν στην προσπάθεια ερμηνείας των φυσικών φαινομένων και δεν αντίκεινται

στους φυσικούς νόμους. Είναι προφανές, ότι είναι ανέφικτη η πειραματική επαλήθευση της παραπάνω

πρότασης, αφού είναι αδύνατο να απομονώσουμε ένα σώμα, έτσι ώστε να μη δέχεται την επίδραση

οιουδήποτε άλλου σώματος. Ακριβώς λοιπόν για τον λόγο αυτό η παραπάνω πρόταση χαρακτηρίζεται ως

αξίωμα.]

2ο αξίωμα του Νεύτωνα: Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής p⃗ ενός σώματος ισούται με τη

συνισταμένη F⃗ των επί του σώματος δρώντων δυνάμεων:

F⃗ =dp⃗⃗

dt (Εξίσωση 4.1)

3ο αξίωμα του Νεύτωνα: Όταν ένα σώμα Α ασκεί με οιονδήποτε τρόπο σε ένα άλλο σώμα Β μια

δύναμη F⃗ ΒΑ (δράση), τότε και το Β ασκεί στο Α μια ίση και αντίθετη δύναμη F⃗ ΑΒ (αντίδραση):

F⃗ ΒΑ = −F⃗ ΑΒ (Εξίσωση 4.2)

Τα αξιώματα του Νεύτωνα ισχύουν για όλα τα είδη δυνάμεων (μηχανικές, ηλεκτρικές, μαγνητικές...).

Το γεγονός αυτό καθιστά τη Δυναμική ένα από τα σπουδαιότερα κεφάλαια της Φυσικής.

4.1.1. Θεμελιώδης εξίσωση της Μηχανικής

Η ορμή p⃗ ενός σώματος ισούται εξ ορισμού με το γινόμενο της μάζας του m επί την ταχύτητά του v⃗ :

p⃗ = mv⃗ (Εξίσωση 4.3)

Αν αντικαταστήσουμε τη σχέση αυτή στην (4.1), παίρνουμε:

F⃗ =dp⃗⃗

dt=d(mv⃗⃗ )

dt (Εξίσωση 4.4)

Με την προϋπόθεση ότι η μάζα του σώματος παραμένει σταθερή, προκύπτει:

2

m = σταθ.⇒ F⃗ = mdv⃗⃗

dt ⇔⏞

a⃗ =dv⃗⃗

dt

F⃗ = ma⃗ (m = σταθ. )

(Εξίσωση 4.5)

a⃗ : επιτάχυνση του σώματος

Η παραπάνω σχέση χαρακτηρίζεται ως Θεμελιώδης εξίσωση της Μηχανικής (ή Δυναμικής

σπανιότερα, αν και σωστότερο).

Σημειωτέον ότι η προϋποτιθεμένη σταθερότητα της μάζας περιορίζει την ισχύ της εξίσωσης (4.5) σε

ταχύτητες πολύ μικρότερες από την ταχύτητα του φωτός.

Σύμφωνα με την παραπάνω σχέση, κάθε σώμα αντιστέκεται στη μεταβολή της κινητικής του

κατάστασης, η οποία για να επιτευχθεί απαιτεί τη δράση μιας δύναμης ανάλογης προς τη μάζα του σώματος.

Η μάζα λοιπόν ενός σώματος εκφράζει ποσοτικά το μέτρο της αντίστασης, την οποία προβάλλει ένα σώμα

στη μεταβολή της κινητικής του κατάστασης και η οποία χαρακτηρίζεται ως αδράνεια. Για τον λόγο αυτό η

μάζα, η οποία υπεισέρχεται στη Θεμελιώδη εξίσωση της Μηχανικής καλείται μάζα αδρανείας.

4.2 Η μηχανή του Atwood

Η μηχανή του Atwood (βλ. Εικόνα 4.1) αποτελείται ουσιαστικά από μια ακίνητη τροχαλία, από την οποία

περνάει ένα νήμα, στα άκρα του οποίου είναι δεμένες δύο διαφορετικές μάζες (βλέπε π.χ. Young H.D.,

Πανεπιστημιακή Φυσική, Τόμος Α). Η κίνησή τους γίνεται παράλληλα σε βαθμονομημένο κανόνα

προκειμένου να είναι δυνατή η ποσοτική της διερεύνηση.

Η μηχανή του Atwood μας επιτρέπει να μελετήσουμε με απλό τρόπο τη σχέση μεταξύ δύναμης,

μάζας και επιτάχυνσης. Ιδιαίτερα δε επιτρέπει τον υπολογισμό της επιτάχυνσης της βαρύτητας μέσω

προσδιορισμού μιας πολύ μικρότερης επιτάχυνσης.

Εικόνα 4.1 Σχηματική παράσταση μηχανής του Atwood.

Αν συμβολίσουμε με

mα/mδ τη μάζα του αριστερού/δεξιού σώματος

3

Β⃗⃗ α/Β⃗⃗ δ το βάρος του αριστερού/δεξιού σώματος

Τ⃗⃗ α/Τ⃗⃗ δ την τάση του αριστερού/δεξιού νήματος

a το μέτρο της επιτάχυνσης των δύο μαζών,

τότε παίρνουμε (Χασάπης Δ.Δ., Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής) σύμφωνα με τη θεμελιώδη

εξίσωση της Μηχανικής και με την προϋπόθεση ότι το νήμα είναι αβαρές (έχει δηλαδή αμελητέα μάζα):

Δεξιά: Β⃗⃗ δ + Τ⃗⃗ δ = mδa⃗ a⃗ +⇒ Βδ − Τδ = mδa {1}

Αριστερά: Β⃗⃗ α + Τ⃗⃗ α = mαa⃗ a⃗ +⇒ − Βα + Τα = mαa {2}

Προσθέτουμε τις δύο παραπάνω εξισώσεις κατά μέλη:

Βδ − Τδ + (−Βα + Τα) = mδa + mαa ⇒ (Βδ − Βα) − (Τδ − Τα) = (mδ +mα)a Β⃗⃗ =mg⃗ ⇒

⇒ (mδ −mα)g − (Τδ − Τα) = (mδ +mα)a ⇒ a =g

mδ+mα(mδ −mα) −

Τδ−Τα

mδ+mα (Εξίσωση 4.6)

Η διαφορά των τάσεων (Τδ − Τα) οφείλεται στη ροπή αδράνειας της τροχαλίας και στις τριβές του

άξονά της. Η ροπή αδράνειας είναι σταθερή. Εξάλλου σταθερές μπορούν να θεωρηθούν σε πρώτη

προσέγγιση και οι τριβές, με την προϋπόθεση ότι το άθροισμα (mδ +mα) παραμένει σταθερό. Αν λοιπόν,

ενώ κρατάμε σταθερό το άθροισμα (mδ +mα), μεταβάλλουμε τη διαφορά (mδ −mα) ανακατανέμοντας

μάζα μεταξύ των δύο άκρων του νήματος, η σχέση (4.6) είναι (στα πλαίσια των παραπάνω προϋποθέσεων) η

εξίσωση μιας ευθείας με

κλίση =g

mδ+mα

και σημείο τομής με τον άξονα y: 𝑦0 −Τδ−Τα

mδ+mα

(Εξίσωση 4.7)

Από τις παραπάνω σχέσεις μπορούμε λοιπόν να προσδιορίσουμε τόσο την επιτάχυνση της

βαρύτητας g, όσο και τη διαφορά τάσης (Τδ − Τα). Αμφότερα αποτελούν αντικείμενο της παρούσας

άσκησης. Όπως δε προκύπτει από την εξίσωση (4.6), η επιτάχυνση a είναι αισθητά μικρότερη

[τουλάχιστον κατά τον παράγοντα (𝐦𝛅 −𝐦𝛂)/(𝐦𝛅 +𝐦𝛂)] από την επιτάχυνση της βαρύτητας g. Το

γεγονός αυτό καθιστά τον προσδιορισμό της επιτάχυνσης a πολύ ευκολότερο από εκείνον της

επιτάχυνσης g. Όσον αφορά τον προσδιορισμό του a, αυτός γίνεται από τη γνωστή σχέση της

ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης 𝐬 =𝟏

𝟐𝐚𝐭𝟐 ⇒ 𝐚 =

𝟐𝐬

𝐭𝟐 (βλ. κεφάλαιο 7) μέσω μέτρησης του

χρόνου t, μέσα στον οποίο οι μάζες της μηχανής Atwood διανύουν συγκεκριμένο διάστημα s.

[Σημειωτέον ότι στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση η επιτάχυνση είναι εξ ορισμού σταθερή,

γεγονός το οποίο, ισχύει και εδώ σύμφωνα με την (4.6) και τις προϋποθέσεις που αναφέραμε.]

4.3. Πειραματική διαδικασία

Animation 4.1 Διαδραστική περιγραφή της πειραματικής διαδικασίας. (Είναι διαθέσιμη από τον Ελληνικό Συσσωρευτή

Ακαδημαϊκών Ηλεκτρονικών Βιβλίων.)

Η πειραματική διαδικασία στοχεύει στη μέτρηση (μέσω ψηφιακού χρονομέτρου) του χρόνου, εντός του

οποίου οι μάζες μηχανής Atwood διανύουν συγκεκριμένο διάστημα, συναρτήσει της διαφοράς τους, έτσι

4

ώστε να προσδιοριστεί η επιτάχυνσή τους και στη συνέχεια η επιτάχυνση της βαρύτητας, με τον τρόπο που

αναπτύξαμε στην προηγούμενη ενότητα.

Απαιτούμενα όργανα:

1. Χρονόμετρο (βλ. Εικόνα 4.4)

Το ξεκινάμε πιέζοντας το Α

Το σταματάμε πιέζοντας το B

Το ξαναξεκινάμε ξαναπιέζοντας το B

Το μηδενίζουμε πιέζοντας το A και εν συνεχεία το Β.

Εικόνα 4.2 Ψηφιακό χρονόμετρο.

2. Μηχανή του Atwood (βλ. Εικόνα 4.3)

Διαθέτει

κανόνα βαθμονομημένο σε cm

μηχανισμό εκκίνησης

πλάκα οριοθέτησης του τερματισμού της κίνησης των μαζών

5

Εικόνα 4.3 Μηχανή Atwood.

3. Νήμα

4. Συλλογή βαριδίων

Αποτελείται από:

2 βασικά βαρίδια των 70 g, δεμένων στα άκρα του νήματος. Είναι κατάλληλα διαμορφωμένα,

ώστε να μπορούν να τοποθετηθούν επάνω τους όλα τα υπόλοιπα (επίσης κατάλληλα

διαμορφωμένα) βαρίδια.

2 βαρίδια του 1 g

4 βαρίδια των 2 g

2 βαρίδια των 4 g

2 βαρίδια των 6 g

4.3.1 Προετοιμασία:

Κατανέμουμε τα βαρίδια συμμετρικά στα δύο άκρα του νήματος. Αν τα κάνουμε όλα σωστά,

η συνολική μάζα (mδ +mα) θα ισούται με 170 g, ενώ σε κάθε άκρο του νήματος θα έχουμε

mδ = mα = 85g. Ελέγχουμε αν η πλάκα τερματισμού είναι τοποθετημένη στα 50 cm. Αν δεν είναι, τη

μετακινούμε χαλαρώνοντας τη βίδα που έχει στο πίσω μέρος.

6

Εξοικειωνόμαστε με τη λειτουργία του μηχανισμού εκκίνησης, τον οποίο οπλίζουμε και

ενεργοποιούμε τραβώντας το νήμα της στάθμης, πολύ προσεχτικά για να μην καταστραφεί

το ελατήριό του.

Προσδιορισμός της επιτάχυνσης a συναρτήσει της διαφοράς μάζας (mδ −mα)

1. Μετακινούμε τόσα βαρίδια από την αριστερή στη δεξιά άκρη του νήματος, ώστε να έχουμε (mδ −mα) = 8g.

1. Τραβώντας προσεχτικά την αριστερή πλευρά του νήματος ανυψώνουμε τη δεξιά μάζα, μέχρι

λίγο πιο πάνω από την πλάκα εκκίνησης, την οποία και οπλίζουμε. Αφήνουμε τότε

προσεχτικά τη δεξιά μάζα να καθίσει επ’ αυτής.

2. Ενεργοποιούμε την πλάκα εκκίνησης ξεκινώντας ταυτόχρονα το χρονόμετρο και

χρονομετρούμε την κάθοδο της δεξιάς μάζας. Σημειώνουμε τον χρόνο στον Πίνακα 1.

3. Επαναλαμβάνουμε το βήμα 3 (τη χρονομέτρηση) άλλη μια φορά.

4. Αυξάνουμε τη διαφορά μάζας κατά 2 g και επαναλαμβάνουμε τα βήματα 2, 3 και 4 για όλες

τις διαφορές (mδ −mα) του Πίνακα 1.

4.4 Επεξεργασία των μετρήσεων

Η επεξεργασία των μετρήσεων στοχεύει (βλ. ενότητα 4.2):

στον προσδιορισμό της επιτάχυνσης a των μαζών mα και mδ μηχανής Atwood συναρτήσει

της διαφοράς μάζας (mδ −mα) στη γραφική παράσταση της παραπάνω προσδιορισθείσας επιτάχυνσης a συναρτήσει της

διαφοράς μάζας (mδ −mα) και στον αριθμητικό και γραφικό υπολογισμό της κλίσης της

αντίστοιχης καμπύλης

στον υπολογισμό της επιτάχυνσης της βαρύτητας από την παραπάνω προσδιορισθείσα κλίση

και στη σύγκριση της τιμής της με τη θεωρητική της τιμή

στον προσδιορισμό της διαφοράς τάσης (Τδ − Τα) από το σημείο τομής της παραπάνω

καμπύλης με τον άξονα y.

Προς τον σκοπό αυτό:

1. Συμπληρώνουμε τον Πίνακα 1. Παρατήρηση: Η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλά

επιταχυνόμενη χωρίς αρχική ταχύτητα. Για το διάστημα s έχουμε λοιπόν s =1

2at2 ⇒ a =

2s

t2

(βλ. κεφάλαιο 7).

2. Κάνουμε τη γραφική παράσταση της επιτάχυνσης a συναρτήσει της διαφοράς μάζας (mδ −mα), σύμφωνα με τις γενικές οδηγίες του κεφαλαίου 1. Παρατήρηση: Από τη σχέση (4.6)

φαίνεται, ότι πρόκειται για ευθεία της μορφής y = ax + b. Η χάραξή της γίνεται σύμφωνα με

το κεφάλαιο 1.5.1 συμπληρώνοντας τον Πίνακα 2.

3. Υπολογίζουμε την επιτάχυνση της βαρύτητας g (Προσέχουμε τις μονάδες!). Σημειωτέον ότι η

αποδεκτή τιμή για γεωγραφικό πλάτος 45 και υψόμετρο 0 είναι: g = 9,81 m/s2. 4. Για επαλήθευση υπολογίζουμε την κλίση της ευθείας στο παραπάνω διάγραμμα και γραφικά

σύμφωνα με το κεφάλαιο 1.5.2. (Το τρίγωνο υπολογισμού καθώς και τα μήκη των

πλευρών του θα πρέπει να φαίνονται στο διάγραμμα!). Σημειώνουμε την κλίση καθώς και

το σημείο τομής με τον κατακόρυφο άξονα στον Πίνακα 2.

5. Τέλος, σχολιάζουμε τα αποτελέσματά μας και τα παρουσιάζουμε με τη μορφή εργασίας, η

οποία θα έχει τα κύρια χαρακτηριστικά, τα οποία περιγράφονται στην Εισαγωγή.

7

Εικόνα 4.4 Ενδεικτικός Πίνακας 1.

8

Εικόνα 4.5 Ενδεικτικός Πίνακας 2.

Βιβλιογραφία/Αναφορές Young H.D., Πανεπιστημιακή Φυσική, Τόμος Α, Εκδόσεις Παπαζήση,1995

Χασάπης Δ.Δ., Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής, Αθήνα, Β. Γκιούρδας Εκδοτική, 2004

Κριτήρια αξιολόγησης

Ερώτηση 1 Τι μας λένε τα τρία αξιώματα του Νεύτωνα;

Απάντηση/Λύση 1ο αξίωμα του Νεύτωνα: Η κινητική κατάσταση ενός σώματος παραμένει αμετάβλητη, όσο δεν επιδρά επ’

αυτού μη μηδενική (συνισταμένη) εξωτερική δύναμη. 2ο αξίωμα του Νεύτωνα: Ο ρυθμός μεταβολής της

ορμής p⃗ ενός σώματος ισούται με τη συνισταμένη F⃗ των επί του σώματος δρώντων δυνάμεων. 3ο αξίωμα του

Νεύτωνα: Όταν ένα σώμα Α ασκεί με οιονδήποτε τρόπο σε ένα άλλο σώμα Β μια δύναμη F⃗ ΒΑ (δράση), τότε

και το Β ασκεί στο Α μια ίση και αντίθετη δύναμη F⃗ ΑΒ (αντίδραση).

9

Ερώτηση 2 Σε τι χρησιμεύει η μηχανή του Atwood;

Απάντηση/Λύση Η μηχανή του Atwood μας επιτρέπει να μελετήσουμε με απλό τρόπο τη σχέση μεταξύ δύναμης, μάζας και

επιτάχυνσης. Ιδιαίτερα δε επιτρέπει τον υπολογισμό της επιτάχυνσης της βαρύτητας μέσω καταγραφής μιας

πολύ μικρότερης επιτάχυνσης.

Ερώτηση 3 Γιατί η καμπύλη που παριστάνει την εξάρτηση της επιτάχυνσης a συναρτήσει της διαφοράς μάζας

(𝐦𝛅 −𝐦𝛂) δεν διέρχεται από την αρχή των αξόνων;

Απάντηση/Λύση Λόγω της ροπής αδράνειας και των τριβών στον άξονα της τροχαλίας, που έχουν σαν συνέπεια (Τδ − Τα) ≠ 0