УДК 373.3.016:514 - rosuchebnik.ru€¦ · 5—6 классы», размещенной в...

УДК 373.3.016:514ББК 74.262.21 Е69

© ООО «ДРОФА», 2017ISBN 978-5-358-17380-4

Ерганжиева, Л. Н.Наглядная геометрия. 5—6 классы. Рабочая программа.

Методические рекомендации к линии УМК И. Ф. Шары-гина, Л. Н. Ерганжиевой : учебно-методическое пособие / Л. Н. Ерганжиева, О. В. Муравина. — М. : Дрофа, 2017. — 132 с.

ISBN 978-5-358-17380-4Пособие содержит рабочую программу к УМК И. Ф. Шарыгина,

Л. Н. Ерганжиевой «Наглядная геометрия. 5—6 классы» и методические

рекомендации по организации работы с использованием учебника. Про-

грамма обновлена в соответствии с Примерной основной образовательной

программой общего образования, утвержденной 8 апреля 2015 г. Учебник,

входящий в данную линию, имеет гриф «Рекомендовано» и включен в

действующий Федеральный перечень учебников.

Время на изучение курса «Наглядная геометрия» (в рамках предмета

«Математика») выделяется из части учебного плана, формируемой обра-

зовательной организацией за счет вариативного компонента.

УДК 373.3.016:514ББК 74.262.21

Е69

Авторы: Л. Н. Ерганжиева, О. В. Муравина

3

Предисловие

УМК «Математика. Наглядная геометрия. 5—6 классы» включает:

� учебник авторов Шарыгина И. Ф., Ерганжие-вой Л. Н. в печатной и электронной форме;

� методическое пособие авторов Ерганжиевой Л. Н.,Муравиной О. В., в которое включена рабочая прог-рамма.

Учебник основан на авторской наглядно-эмпириче-ской концепции построения школьного курса геомет-рии. При ее создании авторы ставили перед собой сле-дующие основные цели:

� систематизация имеющихся геометрических пред-ставлений и формирование основ геометрических зна-ний, необходимых в дальнейшем при изучении систе-матического курса в 7—9 классах;

� формирование изобразительно-графических уме-ний и приемов конструктивной деятельности;

� развитие образного и логического мышления;� формирование пространственных представлений,

познавательного интереса, интеллектуальных и творче-ских способностей учащихся.

В соответствии с Федеральным государственным об-разовательным стандартом основного общего образова-ния в основе учебника лежит системно-деятельностныйподход, который обеспечивает:

� формирование готовности к саморазвитию и не-прерывному образованию;

4

� овладение универсальными учебными действия-ми;

� активную учебно-познавательную деятельностьобучающихся;

� построение образовательного процесса с учетоминдивидуальных возрастных, психологических и фи-зиологических особенностей обучающихся.

Фундаментом, на котором построен учебник, являет-ся основное положение педагогической психологии,в соответствии с которым мышление понимается какдеятельность, причем познавательная деятельность уча-щихся, которая в процессе обучения требует управлениясо стороны учителя. Специфические геометрическиеметоды, основанные на наглядности геометрическихобразов, доступны учащимся с различной математиче-ской подготовкой. Систематизация и обобщение имею-щихся у учащихся геометрических представлений, при-обретение новых знаний осуществляется в ходе само-стоятельной исследовательской деятельности учащихся,и потому основой наглядной геометрии является систе-ма познавательных задач и практических заданий, на-правленная на овладение учащимися геометрическихметодов, приобретение ими опыта геометрической де-ятельности.

Работа с учебником способствует овладению основ-ными универсальными учебными действиями: умениюпользоваться чертежными и измерительными инстру-ментами, делать рисунки к задачам. Предлагаемыепрактические задания и задачи разнообразны и инте-ресны, во многих случаях для их решения требуются нетолько и не столько геометрические знания, сколькоумение фантазировать, наблюдать, конструировать иделать выводы.

Образность и наглядность теоретического и задачно-го материала, преобладание задач на развитие геометри-ческой зоркости, пространственных представлений,интуиции и воображения учащихся — еще одна важнаясоставляющая учебника. При этом в учебнике реализо-вано на первый взгляд невыполнимое требование —практически любая задача под силу каждому ученику,

5

если считать решение задачи многоуровневым в соот-ветствии с ведущим на данный момент способом мыш-ления ученика.

Содержание учебника соответствует примерной про-грамме по математике и адаптированной образователь-ной программе «Математика. Наглядная геометрия.5—6 классы», размещенной в настоящем методическомпособии.

Одной из особенностей учебника является одновре-менное изучение элементов планиметрии и стереомет-рии. Такое построение курса, при котором плоскость ипространство, плоские фигуры и объемные тела не раз-деляются временными рамками их изучения, а соседст-вуют и органически переплетаются, создавая единуюгеометрическую картину, получило название фузиони-стского. Так, в учебнике плоские фигуры рассматри-ваются как элементы пространственных тел: от рас-смотрения куба и его свойств ученики идут к изучениюквадрата, пирамида и треугольник изучаются в одномпараграфе, перпендикулярность и параллельность пря-мых и отрезков также вводятся и на плоскости, и в про-странстве. Фузионизм изложения позволяет показатьпреимущества пространства по сравнению с плоско-стью, не противопоставляя их, а также позволяет сохра-нить и развить пространственную интуицию.

Фузионистский подход, расширяя область примене-ния геометрии, позволяет больше разнообразить рас-сматриваемые вопросы, связывая их с жизнью, а такжеиспользовать занимательные, нешаблонные задачи.Связь геометрии с жизнью делает возможным усилениеэстетического компонента математического образова-ния, причем эти возможности выходят далеко за рамкисобственно математических предметов. Геометрическиефакты иллюстрируются примерами из архитектуры,изобразительного искусства, промышленного дизайна,природы. Кроме эстетического воспитания школьни-ков, это несет в себе глубокий философский смысл, по-казывая связь математических идей и фактов с реальнойжизнью. Использование цитат из художественных про-изведений и высказываний великих людей, способствуя

6

пониманию материала, помогает превращению обуче-ния в эмоционально переживаемый процесс.

Широкий спектр вопросов, затрагиваемых в учебни-ке, их занимательность, способствуют развитию позна-вательных способностей, интереса к изучению геомет-рии, нестандартного мышления учащихся и их обще-культурного развития.

В процессе изучения геометрии ученики классифи-цируют геометрические фигуры, учатся устанавливатьпричинно-следственные связи и строить логическиеумозаключения при решении задач на вычисление и по-строение.

Таким образом, учебник нацелен на достижение лич-ностных, метапредметных и предметных результатовосвоения обучающимися основной образовательнойпрограммы по разделу «Наглядная геометрия».

Учебник имеет четкую структуру. Каждый параграфначинается с краткого вступления. В теоретическоми задачном материале выделено с помощью специаль-ных знаков важное положение, которое надо запом-нить, а также содержание практической работы, кото-рое заканчивается вопросом, стимулирующим проведе-ние самооценки и самоконтроля ее выполнения. Этомуже способствует раздел учебника «Подсказки, ответы,решения», содержащий образцы для сравнения резуль-татов, полученных обучающимися при выполнении за-даний.

В объяснительный материал учебника включены ис-торические сведения, фрагменты литературных произ-ведений, иллюстрации живописи.

Чтобы поддержать, углубить и расширить естествен-ный интерес обучающихся к геометрии, авторы учебни-ка выстроили изложение материала на основе разрабо-танной ими системы упражнений, с которыми школь-ники сталкиваются как в учебной деятельности, так и вповседневной жизни. Включено большое число практи-ческих задач — это определение форм реальных пред-метов, нахождение непересекающихся дорожек от трехдомов до ворот, использование отражения от лужи приизучении зеркального отражения и др.

7

Формы организации учебной деятельности обучающихся

Ученик выбирает индивидуальную образовательнуютраекторию, которая включает задания различных ви-дов: информационные, практические, контрольные.Формы организации учебной деятельности определя-ются видами учебной работы, спецификой учебнойгруппы, изучаемым материалом, учебными целями.

Возможны следующие организационные формы обу-чения:

� классно-урочная система (изучение нового, прак-тикум, контроль, дополнительная работа, уроки-зачеты,уроки — защиты творческих заданий). В данном случаеиспользуются все типы объектов, межпредметные свя-зи, поиск информации осуществляется учащимися подруководством учителя;

� индивидуальная и индивидуализированная. Такиеформы работы позволяют регулировать темп продвиже-ния в обучении каждого школьника сообразно егоспособностям. При работе в компьютерном классе позаранее подобранным информационным, практиче-ским и контрольным заданиям, собранным из соответ-ствующих объектов, формируются индивидуальныезадания для учащихся;

� групповая работа. Предварительно учитель форми-рует блоки объектов или общий блок, на основании де-монстрации которого происходит обсуждение в группахобщей проблемы либо, при наличии компьютерногокласса, обсуждение мини-задач, которые являются со-ставной частью общей учебной задачи;

� внеклассная работа, исследовательская работа,кружковая работа;

� самостоятельная работа учащихся по изучению но-вого материала, отработке учебных навыков и навыковпрактического применения приобретенных знаний; вы-полнение индивидуальных заданий творческого ха-рактера.

8

Рабочая программа«Математика. Наглядная геометрия. 5—6 классы»к учебнику И. Ф. Шарыгина, Л. Н. Ерганжиевой

Пояснительная записка

Рабочая программа по математике разработана на ос-нове Федерального государственного образовательногостандарта основного общего образования, Концепциидуховно-нравственного развития и воспитания личнос-ти гражданина России, Концепции развития математи-ческого образования в Российской Федерации1, При-мерной основной образовательной программы основ-ного общего образования2, Письма Минобрнауки«О рабочих программах учебных предметов»3 и др.

Обучение математике является важнейшей состав-ляющей основного общего образования и призвано раз-вивать логическое мышление и математическую ин-туицию учащихся, обеспечить овладение учащимисяумениями в решении различных практических и меж-предметных задач. Математика входит в предметнуюобласть «Математика и информатика».

Основными целями курса математики основнойшколы в соответствии с Федеральным образовательнымстандартом основного общего образования являются:осознание значения математики … в повседневной жиз-ни человека; формирование представлений о социаль-

1 Концепция развития математического образования вРоссийской Федерации. Распоряжение Правительства Россииот 24 декабря 2013 г. № 2506-Р.

2 Примерная основная образовательная программа основ-ного общего образования. Одобрено Федеральным учебно-ме-тодическим объединением по общему образованию. Прото-кол заседания от 8 апреля 2015 г. № 1/15.

3 О рабочих программах учебных предметов. Письмо Мин-обрнауки РФ от 28 октября 2015 г. № 08-1786.

9

ных, культурных и исторических факторах становленияматематической науки; формирование представленийо математике как части общечеловеческой культуры,универсальном языке науки, позволяющем описыватьи изучать реальные процессы и явления.

Усвоенные в курсе математики основной школы зна-ния и способы действий необходимы как для дальней-шего успешного изучения математики и других школь-ных дисциплин в основной и старшей школе, так и длярешения практических задач в повседневной жизни.

Этому способствует решение следующих задач:� формирование мотивации изучения математики,

готовности и способности учащихся к саморазвитию,личностному самоопределению, построению индивиду-альной траектории в изучении предмета;

� формирование у учащихся способности к организа-ции своей учебной деятельности посредством освоенияличностных, познавательных, регулятивных и комму-никативных универсальных учебных действий;

� формирование специфических для математикистилей мышления, необходимых для полноценногофункционирования в современном обществе, в част-ности логического, алгоритмического и эвристиче-ского;

� освоение в ходе изучения математики специфиче-ских видов деятельности, таких как построение матема-тических моделей, выполнение инструментальных вы-числений, овладение символическим языком предметаи др.;

� формирование умений представлять информациюв зависимости от поставленных задач в виде таблицы,схемы, графика, диаграммы, использовать компьютер-ные программы, Интернет при ее обработке;

� овладение учащимися математическим языком иаппаратом как средством описания и исследования яв-лений окружающего мира;

� овладение системой математических знаний, уме-ний и навыков, необходимых для решения задач по-вседневной жизни, изучения смежных дисциплин ипродолжения образования;

� формирование научного мировоззрения;

10

� воспитание отношения к математике как к частиобщечеловеческой культуры, играющей особую роль вобщественном развитии.

Содержание курса «Математика. Наглядная геомет-рия 5—6 классы» строится на основе системно-деятель-ностного подхода.

Преподавание курса с учетом авторской наглядно-эмпирической концепции его построения включает од-новременное изучение элементов планиметрии и сте-реометрии, обеспечивая при этом развитие пространст-венной интуиции; образность и наглядность теоретиче-ского и задачного материала, направленных на развитиегеометрической зоркости и выполнение требования —практически любая задача под силу каждому ученику,если считать решение задачи многоуровневым; иллюст-рирование геометрических фактов примерами из архи-тектуры и изобразительного искусства, использованиецитат из художественных произведений, заниматель-ность и широкий спектр рассматриваемых вопросов,способствующих развитию интереса к изучению пред-мета и превращению обучения в эмоционально пережи-ваемый процесс.

В курсе наглядной геометрии основное вниманиеуделяется геометрическим фигурам на плоскости и впространстве, геометрическим величинам, понятию ра-венства фигур и симметрии. У учащихся формируютсяобщие представления о геометрических фигурах, уме-ния их распознавать, называть, изображать, измерять.Это готовит их к изучению систематического курса гео-метрии в 7 классе.

При изучении этого курса ученики используют на-блюдение, конструирование, геометрический экспери-мент.

11

Планируемые результаты освоения курса

При освоении курса предполагается достижение вы-пускниками 5—6 классов следующих личностных, ме-тапредметных и предметных результатов на базовоми углубленном уровнях.

Личностные результаты освоения курса

1. Российская гражданская идентичность (патрио-тизм, уважение к Отечеству, идентификация себя в ка-честве гражданина России. Осознание этнической при-надлежности, знание истории, языка, культуры своегонарода, своего края, основ культурного наследия наро-дов России. Осознанное, уважительное и доброжела-тельное отношение к истории, культуре, традициям,языкам, ценностям народов России и народов мира.

2. Готовность и способность обучающихся к самораз-витию и самообразованию на основе мотивации к обу-чению и познанию; готовность и способность к осоз-нанному выбору и построению дальнейшей индивиду-альной траектории образования на базе ориентировкив мире профессий и профессиональных предпочтений,с учетом устойчивых познавательных интересов.

3. Развитое моральное сознание и компетентность врешении моральных проблем на основе личностноговыбора, формирование нравственных чувств и нравст-венного поведения, осознанного и ответственного от-ношения к собственным поступкам, способность кнравственному самосовершенствованию. Сформиро-ванность ответственного отношения к учению; уважи-тельного отношения к труду, наличие опыта участия всоциально значимом труде.

4. Сформированность целостного мировоззрения,соответствующего современному уровню развития нау-ки.

5. Осознанное, уважительное и доброжелательное от-ношение к другому человеку, его мнению. Готовность и

12

способность вести диалог с другими людьми и достигатьв нем взаимопонимания.

6. Освоенность социальных норм, правил поведения.Участие в школьном самоуправлении и общественнойжизни, освоение компетентностей в сфере организатор-ской деятельности; самореализации в группе и органи-зации, ценности «другого» как равноправного партнера,формирование компетенций анализа, проектирования,организации деятельности, рефлексии изменений, спо-собов взаимовыгодного сотрудничества, способов ре-ализации собственного лидерского потенциала.

7. Развитость эстетического сознания через освоениехудожественного наследия народов России и мира,творческой деятельности эстетического; эстетическое,эмоционально-ценностное видение окружающего ми-ра; способность к эмоционально-ценностному освое-нию мира, самовыражению и ориентации в художест-венном и нравственном пространстве культуры; уваже-ние к истории культуры своего Отечества.

8. Сформированность основ экологической культу-ры, соответствующей современному уровню экологи-ческого мышления.

9. Умение ясно, точно, грамотно излагать свои мыс-ли в устной и письменной речи, понимать смысл пос-тавленной задачи, выстраивать аргументацию, приво-дить примеры и контрпримеры.

10. Критичность мышления, умение распознаватьлогически некорректные высказывания, отличать гипо-тезу от факта.

Метапредметные результаты освоения курса

Метапредметные результаты включают освоенныеобучающимися межпредметные понятия и универсаль-ные учебные действия (регулятивные, познавательные,коммуникативные).

Межпредметные понятияУсловием формирования межпредметных понятий,

например таких, как система, факт, закономерность,феномен, анализ, синтез, является овладение обучаю-

13

щимися основами читательской компетенции, приоб-ретение навыков работы с информацией, участие в про-ектной деятельности. В основной школе на всех пред-метах будет продолжена работа по формированию иразвитию основ читательской компетенции.

При изучении учебных предметов обучающиеся усо-вершенствуют приобретенные на первом уровне навы-ки работы с информацией и пополнят их. Они смогутработать с текстами, преобразовывать и интерпретиро-вать содержащуюся в них информацию, в том числе:

� систематизировать, сопоставлять, анализировать,обобщать и интерпретировать информацию, содержа-щуюся в готовых информационных объектах;

� выделять главную и избыточную информацию, вы-полнять смысловое свертывание выделенных фактов,мыслей; представлять информацию в сжатой словеснойформе (в виде плана или тезисов) и в наглядно-символи-ческой форме (в виде таблиц, графических схем и диаг-рамм);

� заполнять и дополнять таблицы, схемы, диаграм-мы, тексты.

В ходе изучения всех учебных предметов обучающие-ся приобретут опыт проектной деятельности какособой формы учебной работы, способствующей воспи-танию самостоятельности, инициативности, ответ-ственности, повышению мотивации и эффективностиучебной деятельности; в ходе реализации исходного за-мысла на практическом уровне овладеют умением вы-бирать адекватные стоящей задаче средства, приниматьрешения, в том числе и в ситуациях неопределенности.Они получат возможность развить способность к поис-ку нескольких вариантов решений, нестандартных ре-шений, поиску и осуществлению наиболее приемлемо-го решения.

Перечень ключевых межпредметных понятий опре-деляется в ходе разработки основной образовательнойпрограммы основного общего образования (ООО) обра-зовательной организации в зависимости от материаль-но-технического оснащения, кадрового потенциала, ис-пользуемых методов работы и образовательных техно-логий.

14

В соответствии ФГОС ООО выделяются три группыуниверсальных учебных действий (УУД): регулятив-ные, познавательные, коммуникативные.

Регулятивные УУД1. Умение самостоятельно определять цели обу-

чения, ставить и формулировать новые задачи вучебе и познавательной деятельности, развиватьмотивы и интересы своей познавательной деятель-ности. Обучающийся сможет:

� анализировать существующие и планировать буду-щие образовательные результаты;

� идентифицировать собственные проблемы и опре-делять главную проблему;

� выдвигать версии решения проблемы, формулиро-вать гипотезы, предугадывать конечный результат;

� ставить цель деятельности на основе определеннойпроблемы и существующих возможностей;

� формулировать учебные задачи как шаги достиже-ния поставленной цели деятельности;

� обосновывать целевые ориентиры и приоритеты,указывая и обосновывая логическую последователь-ность шагов.

2. Умение самостоятельно планировать пути до-стижения целей, в том числе альтернативные, осоз-нанно выбирать наиболее эффективные способы ре-шения учебных и познавательных задач. Обучаю-щийся сможет:

� определять необходимые действия в соответствии сучебной и познавательной задачей и составлять алго-ритм их выполнения;

� обосновывать и осуществлять выбор наиболее эф-фективных способов решения учебных и познаватель-ных задач;

� определять/находить, в том числе из предложенныхвариантов, условия для выполнения учебной и познава-тельной задачи;

� выстраивать жизненные планы на краткосрочноебудущее (заявлять целевые ориентиры, ставить адекват-ные им задачи и предлагать действия, указывая и обо-сновывая логическую последовательность шагов);

15

� выбирать из предложенных вариантов и самостоя-тельно искать средства/ресурсы для решения задачи/до-стижения цели;

� составлять план решения проблемы (выполненияпроекта, проведения исследования);

� определять потенциальные затруднения при реше-нии учебной и познавательной задачи и находить сред-ства для их устранения;

� описывать свой опыт, оформляя его для передачидругим людям в виде технологии решения практическихзадач определенного класса;

� планировать и корректировать свою индивидуаль-ную образовательную траекторию.

3. Умение соотносить свои действия с планируе-мыми результатами, осуществлять контроль своейдеятельности в процессе достижения результата,определять способы действий в рамках предложен-ных условий и требований, корректировать своидействия в соответствии с изменяющейся ситуаци-ей. Обучающийся сможет:

� определять совместно с педагогом и сверстникамикритерии планируемых результатов и критерии оценкисвоей учебной деятельности;

� систематизировать (в том числе выбирать приори-тетные) критерии планируемых результатов и оценкисвоей деятельности;

� отбирать инструменты для оценивания своей де-ятельности, осуществлять самоконтроль своей деятель-ности в рамках предложенных условий и требований;

� оценивать свою деятельность, аргументируя причи-ны достижения или отсутствия планируемого результа-та;

� находить достаточные средства для выполненияучебных действий в изменяющейся ситуации и/или приотсутствии планируемого результата;

� работая по своему плану, вносить коррективы в те-кущую деятельность на основе анализа изменения ситу-ации для получения запланированных характеристикпродукта/результата;

� устанавливать связь между полученными характе-ристиками продукта и характеристиками процесса де-

16

ятельности и по завершении деятельности предлагатьизменение характеристик процесса для получения улуч-шенных характеристик продукта;

� сверять свои действия с целью и, при необходимос-ти, исправлять ошибки самостоятельно.

4. Умение оценивать правильность выполненияучебной задачи, собственные возможности ее реше-ния. Обучающийся сможет:

� определять критерии правильности (корректности)выполнения учебной задачи;

� анализировать и обосновывать применение соот-ветствующего инструментария для выполнения учебнойзадачи;

� свободно пользоваться выработанными критерия-ми оценки и самооценки, исходя из цели и имеющихсясредств;

� оценивать продукт своей деятельности по задан-ным и/или самостоятельно определенным критериям всоответствии с целью деятельности;

� обосновывать достижимость цели на основе оценкисвоих внутренних и доступных внешних ресурсов;

� фиксировать и анализировать динамику собствен-ных образовательных результатов.

5. Владение основами самоконтроля, самооцен-ки, принятия решений и осуществления осознанноговыбора в учебной и познавательной деятельности.Обучающийся сможет:

� наблюдать и анализировать собственную учебную ипознавательную деятельность и деятельность другихобучающихся в процессе взаимопроверки;

� соотносить реальные и планируемые результатыиндивидуальной образовательной деятельности и де-лать выводы;

� принимать решение в учебной ситуации и нести занего ответственность;

� самостоятельно определять причины своего успехаили неуспеха и находить способы выхода из ситуациинеуспеха;

� ретроспективно определять, какие действия по ре-шению учебной задачи или параметры этих действий

17

привели к получению имеющегося продукта учебнойдеятельности.

Познавательные УУД

6. Умение определять понятия, создавать обоб-щения, устанавливать аналогии, классифициро-вать, самостоятельно выбирать основания и крите-рии для классификации, устанавливать причин-но-следственные связи, строить логическоерассуждение, умозаключение (индуктивное, дедук-тивное, по аналогии) и делать выводы. Обучающийсясможет:

� выделять общий признак двух или несколькихпредметов или явлений и объяснять их сходство;

� объединять предметы и явления в группы по опре-деленным признакам, сравнивать, классифицировать иобобщать факты и явления;

� выделять явление из общего ряда других явлений;� определять обстоятельства, которые предшествова-

ли возникновению связи между явлениями, из этих об-стоятельств выделять определяющие, способные бытьпричиной данного явления, выявлять причины и след-ствия явлений;

� строить рассуждение от общих закономерностей кчастным явлениям и от частных явлений к общим зако-номерностям;

� строить рассуждение на основе сравнения предме-тов и явлений, выделяя при этом общие признаки;

� излагать полученную информацию, интерпретируяее в контексте решаемой задачи;

� самостоятельно указывать на информацию, нуж-дающуюся в проверке, предлагать и применять способпроверки достоверности информации;

� объяснять явления, процессы, связи и отношения,выявляемые в ходе познавательной и исследовательскойдеятельности (приводить объяснение с изменениемформы представления; объяснять, детализируя илиобобщая; объяснять с заданной точки зрения);

� выявлять и называть причины события, явления, втом числе возможные/наиболее вероятные причины,

18

возможные последствия заданной причины, самостоя-тельно осуществляя причинно-следственный анализ;

� делать вывод на основе критического анализа раз-ных точек зрения, подтверждать вывод собственной ар-гументацией или самостоятельно полученными данны-ми.

7. Умение создавать, применять и преобразовы-вать знаки и символы, модели и схемы для решенияучебных и познавательных задач. Обучающийся смо-жет:

� обозначать символом и знаком предмет и/или явле-ние;

� определять логические связи между предметамии/или явлениями, обозначать данные логические связис помощью знаков в схеме;

� создавать абстрактный или реальный образ предме-та и/или явления;

� строить модель/схему на основе условий задачии/или способа ее решения;

� создавать вербальные, вещественные и информа-ционные модели с выделением существенных характе-ристик объекта для определения способа решения зада-чи в соответствии с ситуацией;

� преобразовывать модели с целью выявления общихзаконов, определяющих данную предметную область;

� переводить сложную по составу (многоаспектную)информацию из графического или формализованного(символьного) представления в текстовое, и наоборот;

� строить схему, алгоритм действия, исправлять иливосстанавливать неизвестный ранее алгоритм на основеимеющегося знания об объекте, к которому применяет-ся алгоритм;

� строить доказательство: прямое, косвенное, от про-тивного;

� анализировать/рефлексировать опыт разработки иреализации учебного проекта, исследования (теорети-ческого, эмпирического) на основе предложенной про-блемной ситуации, поставленной цели и/или заданныхкритериев оценки продукта/результата.

19

8. Смысловое чтение. Обучающийся сможет:

� находить в тексте требуемую информацию (в соот-ветствии с целями своей деятельности);

� ориентироваться в содержании текста, пониматьцелостный смысл текста, структурировать текст;

� устанавливать взаимосвязь описанных в тексте со-бытий, явлений, процессов;

� резюмировать главную идею текста;� критически оценивать содержание и форму текста.

9. Развитие мотивации к овладению культуройактивного использования словарей и других поиско-вых систем. Обучающийся сможет:

� определять необходимые ключевые поисковые сло-ва и запросы;

� осуществлять взаимодействие с электронными по-исковыми системами, словарями;

� формировать множественную выборку из поиско-вых источников для объективизации результатов поис-ка;

� соотносить полученные результаты поиска со своейдеятельностью.

Коммуникативные УУД

10. Умение организовывать учебное сотрудниче-ство и совместную деятельность с учителем и свер-стниками; работать индивидуально и в группе: на-ходить общее решение и разрешать конфликты наоснове согласования позиций и учета интересов;формулировать, аргументировать и отстаивать своемнение. Обучающийся сможет:

� определять возможные роли в совместной деятель-ности;

� играть определенную роль в совместной деятель-ности;

� принимать позицию собеседника, понимая пози-цию другого, различать в его речи: мнение (точку зре-ния), доказательство (аргументы), факты; гипотезы, ак-сиомы, теории;

20

� определять свои действия и действия партнера, ко-торые способствовали или препятствовали продуктив-ной коммуникации;

� строить позитивные отношения в процессе учебнойи познавательной деятельности;

� корректно и аргументированно отстаивать своюточку зрения, в дискуссии уметь выдвигать контраргу-менты, перефразировать свою мысль (владение меха-низмом эквивалентных замен);

� критически относиться к собственному мнению, сдостоинством признавать ошибочность своего мнения(если оно таково) и корректировать его;

� предлагать альтернативное решение в конфликт-ной ситуации;

� выделять общую точку зрения в дискуссии;� договариваться о правилах и вопросах для обсужде-

ния в соответствии с поставленной перед группой зада-чей;

� организовывать учебное взаимодействие в группе(определять общие цели, распределять роли, договари-ваться друг с другом и т. д.);

� устранять в рамках диалога разрывы в коммуника-ции, обусловленные непониманием/неприятием со сто-роны собеседника задачи, формы или содержания диа-лога.

11. Умение осознанно использовать речевыесредства в соответствии с задачей коммуникациидля выражения своих чувств, мыслей и потребнос-тей, для планирования и регуляции своей деятель-ности; владение устной и письменной речью, моно-логической контекстной речью. Обучающийся смо-жет:

� определять задачу коммуникации и в соответствиис ней отбирать речевые средства;

� отбирать и использовать речевые средства в про-цессе коммуникации с другими людьми (диалог в паре,в малой группе и т. д.);

� представлять в устной или письменной форме раз-вернутый план собственной деятельности;

21

� соблюдать нормы публичной речи, регламент в мо-нологе и дискуссии в соответствии с коммуникативнойзадачей;

� высказывать и обосновывать мнение (суждение) изапрашивать мнение партнера в рамках диалога;

� принимать решение в ходе диалога и согласовыватьего с собеседником;

� создавать письменные «клишированные» и ориги-нальные тексты с использованием необходимых рече-вых средств;

� использовать вербальные средства (средства логи-ческой связи) для выделения смысловых блоков своеговыступления;

� использовать невербальные средства или нагляд-ные материалы, подготовленные/отобранные под руко-водством учителя;

� делать оценочный вывод о достижении цели ком-муникации непосредственно после завершения комму-никативного контакта и обосновывать его.

12. Формирование и развитие компетентности вобласти использования информационно-коммуника-ционных технологий (далее ИКТ). Обучающийсясможет:

� целенаправленно искать и использовать информа-ционные ресурсы, необходимые для решения учебных ипрактических задач с помощью средств ИКТ;

� выбирать, строить и использовать адекватную ин-формационную модель для передачи своих мыслейсредствами естественных и формальных языков в соот-ветствии с условиями коммуникации;

� выделять информационный аспект задачи, опери-ровать данными, использовать модель решения задачи;

� использовать компьютерные технологии (включаявыбор адекватных задаче инструментальных программ-но-аппаратных средств и сервисов) для решения ин-формационных и коммуникационных учебных задач,в том числе: вычисление, создание презентаций и др.;

� использовать информацию с учетом этическихи правовых норм;

22

� создавать информационные ресурсы разного типа идля разных аудиторий, соблюдать информационную ги-гиену и правила информационной безопасности.

Предметные результаты освоения курса

Выпускник научится в 5—6 классах (для использования в повседневной жизни и обеспечения возможности успешного продолжения образования на базовом уровне)

Наглядная геометрия.Геометрические фигуры

� Оперировать на базовом уровне понятиями: «фигу-ра», «точка», «отрезок», «прямая», «луч», «ломаная»,«угол», «многоугольник», «треугольник» и «четырёх-угольник», «прямоугольник» и «квадрат», «окружность»и «круг», «прямоугольный параллелепипед», «куб»,«шар». Изображать изучаемые фигуры от руки и с по-мощью линейки и циркуля.

В повседневной жизни и при изучении другихпредметов:

� решать практические задачи с применением про-стейших свойств фигур.

Измерения и вычисления

� Выполнять измерение длин, расстояний, величинуглов, с помощью инструментов для измерений длин иуглов;

� вычислять площади прямоугольников.


� вычислять расстояния на местности в стандартныхситуациях, площади прямоугольников;

� выполнять простейшие построения и измерения наместности, необходимые в реальной жизни.

История математики

� Описывать отдельные выдающиеся результаты, по-лученные в ходе развития математики как науки;

23

� знать примеры математических открытий и их ав-торов в связи с отечественной и всемирной историей.

Выпускник получит возможность научиться в 5—6 классах (для обеспечения возможности успешного продолжения образования на базовом и углублённом уровнях)

Наглядная геометрия.Геометрические фигуры

� Извлекать, интерпретировать и преобразовыватьинформацию о геометрических фигурах, представлен-ную на чертежах;

� изображать изучаемые фигуры от руки и с по-мощью компьютерных инструментов;

� работать с математическим текстом (структуриро-вать, извлекать необходимую информацию);

� владеть некоторыми основными понятиями гео-метрии, различать простейшие плоские и объемные гео-метрические фигуры.

Измерения и вычисления

� Выполнять измерение длин, расстояний, величинуглов с помощью инструментов для измерений длин иуглов;

� вычислять площади прямоугольников, квадратов,объемы прямоугольных параллелепипедов, кубов;

� использовать геометрический язык для описанияпредметов окружающего мира; выполнять чертежи, де-лать рисунки, схемы к условию задачи; измерять длиныотрезков, величины углов, использовать формулы длявычисления периметров, площадей и объемов некото-рых геометрических фигур.


� вычислять расстояния на местности в стандартныхситуациях, площади участков прямоугольной формы,объемы комнат;

� выполнять простейшие построения на местности,необходимые в реальной жизни;

� оценивать размеры реальных объектов окружающе-го мира.

24

История математики

� Характеризовать вклад выдающихся математиков вразвитие математики и иных научных областей;

� представлять геометрию как науку из сферы чело-веческой деятельности, ее значимость в жизни че-ловека.

Содержание курса

Наглядная геометрияФигуры в окружающем мире. Наглядные представле-

ния о фигурах на плоскости: прямая, отрезок, луч, угол,ломаная, многоугольник, окружность, круг. Четырех-угольник, прямоугольник, квадрат, параллелограмм,ромб1. Треугольник, виды треугольников. Построениетреугольников с помощью транспортира, циркуля илинейки. Правильные многоугольники. Изображениегеометрических фигур. Взаимное расположение двухпрямых. Построение прямой, параллельной или пер-пендикулярной данной прямой, с помощью циркуля илинейки.

Граф. Построение графов одним росчерком.Длина отрезка, длина ломаной. Периметр много-

угольника. Единицы измерения длины. Измерение дли-ны отрезка, построение отрезка заданной длины.

Виды углов. Градусная мера угла. Измерение и по-строение углов с помощью транспортира. Биссектрисаугла. Вертикальные и смежные углы.

Понятие площади фигуры; единицы измерения пло-щади. Площадь прямоугольника, квадрата. Приближен-ные измерения площадей фигур на клетчатой бумаге.Равновеликие и равносоставленные фигуры.

Наглядные представления о пространственных фигу-рах: куб, параллелепипед, призма, пирамида, шар, сфе-ра, конус, цилиндр. Изображение пространственныхфигур на плоскости. Примеры сечений. Замечатель-

1 Темы, выделенные курсивом, изучаются на углубленномуровне.

25

ные кривые. Многогранники. Проекции многогранни-ков. Правильные многогранники. Примеры развертокмногогранников, цилиндра и конуса. Взаимное распо-ложение двух прямых в пространстве.

Понятие объема, единицы объема. Объем прямо-угольного параллелепипеда, куба.

Понятие о равенстве фигур. Поворот, параллельныйперенос, центральная, осевая и зеркальная симметрии.Изображение симметричных фигур.

Координаты точки на прямой, на плоскости и в про-странстве.

Решение практических задач с применением про-стейших свойств фигур.

Тематическое планированиеТематическое планирование реализует один из воз-

можных подходов к распределению изучаемого матери-ала, не носит обязательного характера и не исключаетвозможностей иного распределения содержания.

В тематическом планировании разделы основногосодержания разбиты на темы в порядке их изучения вучебнике.

Особенностью тематического планирования являет-ся то, что в нем содержится описание возможных видовдеятельности учащихся в процессе усвоения соот-ветствующего содержания, направленных на достиже-ние поставленных целей обучения. Это ориентируетучителя на усиление деятельностного подхода в обуче-нии, на организацию разнообразной учебной деятель-ности, отвечающей современным психолого-педагоги-ческим взглядам, на использование современных техно-логий.

Планирование в 5—6 классах составлено из расчета45 ч. Рабочая программа реализуется за счет вариатив-ного компонента образовательной организации.

26

5 КЛАСС (23 ч)

Основное содержание Основные виды учебной деятельности обучающегося

Первые шаги в геометрии (1 ч)

История развития геомет-рии. Инструменты для по-строений и измерений в геометрии. Проверочная работа «Развитие прост-ранственных представлений учащихся»

Измерять с помощью инст-рументов и сравнивать дли-ны отрезков и величины уг-лов. Строить отрезки задан-ной длины с помощью линейки и циркуля и углы заданной величины с по-мощью транспортира. Вы-ражать одни единицы изме-рения длин через другие

Пространство и размерность (1 ч)

Одномерное пространство (точки, отрезки, лучи), дву-мерное пространство (тре-угольник, квадрат, окруж-ность), трехмерное прост-ранство (прямоугольный параллелепипед, куб).Плоские и пространствен-ные фигуры. Перспектива как средство изображения трехмерного пространства на плоскости. Четырех-угольник, диагонали четы-рехугольника. Куб и пира-мида, их изображения на плоскости

Изображать геометриче-ские фигуры плоские и про-странственные от руки и с использованием чертеж-ных инструментов. Разли-чать фигуры плоские и объ-емные

Простейшие геомет-рические фигуры (1 ч)

Геометрические понятия: точка, прямая, отрезок, луч, угол. Виды углов: острый, прямой, тупой, разверну-тый. Измерение углов с по-мощью транспортира. Вер-тикальные и смежные углы.

Распознавать, называть и строить геометрические фи-гуры (точку, прямую, отре-зок, луч, угол), виды углов (острый, прямой, тупой, развернутый), вертикаль-ные углы и смежные углы. Строить биссектрису на глаз и с помощью транспортира

27

Продолжение табл.


Диагональ квадрата. Биссектриса угла

Конструирование из «Т» (1 ч)

Конструирование на плос-кости и в пространстве, а также на клетчатой бумаге из частей буквы Т

Моделировать геометриче-ские фигуры, используя бу-магу

Куб и его свойства (2 ч)

Многогранники. Вершины, ребра, грани многогранни-ка. Куб: вершины, ребра, грани, диагональ, противо-положные вершины. Раз-вертка куба. Проверочная работа «Исследование куба»

Распознавать и называть куб и его элементы (верши-ны, ребра, грани, диагона-ли). Распознавать куб по его развертке. Изготавливать куб из развертки. Приво-дить примеры предметов из окружающего мира, имею-щих форму куба

Задачи на разрезание и складывание фигур (1 ч)

Равенство фигур при нало-жении. Способы разрезания квадрата на равные части. Разрезание многоугольни-ков на равные части. Игра «Пентамино». Конструиро-вание многоугольников

Изображать равные фигуры и обосновывать их равенст-во. Конструировать задан-ные фигуры из плоских гео-метрических фигур. Расчле-нять, вращать, совмещать, накладывать фигуры

Треугольник (1 ч)

Многоугольник. Треуголь-ник: вершины, стороны, уг-лы. Виды треугольников (разносторонний, равно-бедренный, равносторон-ний, остроугольный, пря-моугольный, тупоуголь-ный). Пирамида.

Распознавать на чертежах, изображать прямоуголь-ный, остроугольный, тупо-угольный, равнобедрен-ный, равносторонний, раз-носторонний треугольники. Распознавать и называть пирамиду и его элементы (вершины, ребра, грани).

28



Правильная треугольная пирамида (тетраэдр). Раз-вертка пирамиды. Постро-ение треугольников (по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум уг-лам, по трем сторонам) с помощью транспортира, циркуля и линейки

Распознавать пирамиду по его развертке. Изготавли-вать ее из развертки.Приводить примеры пред-метов из окружающего ми-ра, имеющих форму пира-миды.Строить треугольник (по двум сторонам и углу меж-ду ними, по стороне и двум углам, по трем сторонам) с помощью транспортира, циркуля и линейки1

Правильныемногогранники (2 ч)

Тетраэдр, куб, октаэдр, до-декаэдр, икосаэдр. Форму-ла Эйлера. Развертки пра-вильных многогранников

Различать и называть пра-вильные многогранники. Вычислять по формуле Эй-лера. Изготавливать некото-рые правильные многогран-ники из их разверток

Геометрические голово-ломки (1 ч)

Игра «Танграм». Составле-ние заданных многоуголь-ников из ограниченного числа фигур

Конструировать заданные фигуры из плоских геомет-рических фигур

Измерение длины (1 ч)

Единицы измерения дли-ны. Старинные единицы измерения. Эталон измере-ния длины — метр. Едини-цы измерения приборов. Точность измерения

Измерять длину отрезка ли-нейкой. Выражать одни единицы измерения длин через другие. Находить точ-ность измерения приборов. Измерять длины кривых ли-ний

1 Дополнительные виды деятельности выделены курсивом.

29



Измерение площади и объема (2 ч)

Единицы измерения пло-щади. Измерение площади фигуры с избытком и с не-достатком. Приближенное нахождение площади. Па-летка. Единицы измерения площади и объема

Находить приближенные значения площади, изме-рять площади фигур с из-бытком и недостатком; ис-пользовать разные единицы площади и объема

Вычисление длины, площади и объема (2 ч)

Нахождение площади фигу-ры с помощью палетки, объема тела с помощью еди-ничных кубиков. Равносос-тавленные и равновеликие фигуры. Площадь прямо-угольника. Объем прямо-угольного параллелепипеда

Вычислять площади прямо-угольника и квадрата, ис-пользуя формулы. Вычис-лять объем куба и прямо-угольного параллелепипеда по формулам. Выражать од-ни единицы площади и объ-ема через другие

Окружность (1 ч)

Окружность и круг: центр, радиус, диаметр. Правиль-ный многоугольник, впи-санный в окружность

Распознавать на чертежах и называть окружность и ее элементы (центр, радиус, диаметр). Изображать ок-ружность. Распознавать правильный многоуголь-ник, вписанный в окруж-ность. Строить правильные многоугольники с помощью циркуля и транспортира

Геометрический тренинг (1 ч)

Занимательные задачи на подсчет геометрических фигур в различных плоских конфигурациях

Распознавать геометриче-ские фигуры в сложных конфигурациях. Вычленять из чертежа отдельные эле-менты

30

Окончание табл.


Топологические опыты (1 ч)

Лист Мебиуса. Опыты с листом Мебиуса. Вычерчи-вание геометрических фи-гур одним росчерком. Граф, узлы графа. Возможность построения графа одним росчерком

Строить геометрические фигуры от руки. Исследо-вать и описывать свойства фигур, используя экспери-мент, наблюдение, измере-ние и моделирование. Рисо-вать графы, соответствую-щие задаче

Задачи со спичками (1 ч)

Занимательные задачи на составление геометриче-ских фигур из спичек. Трансформация фигур при перекладывании спичек

Конструировать фигуры из спичек. Исследовать и опи-сывать свойства фигур, ис-пользуя эксперимент, на-блюдение, измерение и мо-делирование

Зашифрованная переписка (1 ч)

Поворот. Шифровка с по-мощью 64-клеточного квад-рата

Рисовать фигуру, получен-ную при повороте на задан-ный угол в заданном на-правлении

Задачи, головоломки, игры (2 ч)

Деление фигуры на части. Игры со спичками, с много-гранниками. Проекции многогранников

Исследовать и описывать свойства фигур, используя эксперимент, наблюдение, измерение и моделирование

31

6 КЛАСС (22 ч)


Фигурки из кубиков и их частей (2 ч)Метод трех проекций пространственных тел.Составление куба из много-гранников. Сечения куба

Конструировать тела из ку-биков. Рассматривать прос-тейшие сечения прост-ранственных фигур, полу-чаемые путем предметного моделирования, определять их вид. Соотносить прост-ранственные фигуры с их проекциями на плоскость

Параллельность и перпендикулярность (2 ч)Параллельные и перпенди-кулярные прямые на плос-кости и в пространстве. Построение параллельных и перпендикулярных пря-мых с помощью линейки и чертежного угольника. По-строение прямой, парал-лельной и перпендикуляр-ной данной, с помощью циркуля и линейки. Парал-лельные, перпендикуляр-ные и скрещивающиеся ребра куба. Скрещиваю-щиеся прямые

Распознавать взаимное рас-положение прямых (пересе-кающихся, параллельных, перпендикулярных) в пространстве. Приводить примеры расположения прямых на кубе. Строить параллельные и перпенди-кулярные прямые с по-мощью циркуля и линейки

Параллелограммы (1 ч)Параллелограмм, ромб, прямоугольник. Некоторые свойства параллелограм-мов. Получение параллель-ных и перпендикулярных прямых с помощью пере-гибания листа. Свойства квадрата и прямоугольни-ка, полученные перегиба-нием листа. Золотое сече-ние

Моделирование параллель-ных и перпендикулярных прямых с помощью листа бумаги. Исследовать и опи-сывать свойства ромба, квадрата и прямоугольни-ка, используя эксперимент, наблюдение, измерение и моделирование

32



Координаты, координа-ты, координаты... (1 ч)Определение местонахож-дения объектов на геогра-фической карте. Определе-ние положения корабля в игре «Морской бой». Коор-динатная плоскость. Коор-динаты точки на плоскости. Полярные координаты: угол и расстояние. Декартова система координат в прост-ранстве

Находить координаты точки и строить точку по ее коор-динатам на плоскости

Оригами (1 ч)Складывание фигур из бу-маги по схеме

Конструировать заданные объекты из бумаги. Работать по предписанию, читать чертежи и схемы

Замечательные кривые (1 ч)Конические сечения кону-са: эллипс, окружность, ги-пербола, парабола. Спираль Архимеда. Синусоида. Кар-диоида. Циклоида. Гипоци-клоида

Строить замечательные кривые (эллипс, окруж-ность, гиперболу, параболу, спираль Архимеда, синусо-иду, кардиоиду, циклоиду и др.) от руки с помощью вспомогательных средств

Кривые Дракона (1 ч)Правила получения кривых Дракона

Осуществлять поворот фи-гуры на заданный угол в за-данном направлении, рисо-вать от руки и по предписа-ниям

Лабиринты (1 ч)Истории лабиринтов. Спо-собы решений задач с лаби-ринтами: метод проб и оши-бок, метод зачеркивания ту-пиков, правило одной руки

Решать задачи с помощью методов: проб и ошибок, за-черкивания тупиков и пра-вила одной руки. Приме-нять методы прохождения лабиринтов

33



Геометрия клетчатой бумаги (1 ч)

Построения перпендикуля-ра к отрезку с помощью ли-нейки. Построение окруж-ности на клетчатой бумаге. Построение прямоугольно-го треугольника и квадрата по заданной площади

Применять свойства фигур при решении задач на клет-чатой бумаге. Строить фигу-ры на клетчатой бумаге с учетом их свойств. Исполь-зовать клетчатую бумагу как палетку

Зеркальное отражение (1 ч)

Получение изображений при зеркальном отражении от одного и нескольких зер-кал

Наблюдать за изменением объекта при зеркальном отображении. Строить объ-екты при зеркальном ото-бражении

Симметрия (2 ч)

Осевая симметрия. Зеркаль-ная симметрия как частный случай осевой. Централь-ная симметрия. Использо-вание кальки для получения центрально-симметричных фигур

Находить в окружающем мире плоские и пространст-венные симметричные фи-гуры. Строить центрально-симметричные фигуры с по-мощью кальки. Определять на глаз число осей симмет-рии фигуры

Бордюры (1 ч)

Бордюры — линейные ор-наменты. Получение сим-метричных фигур: трафаре-ты, орнаменты, бордюры. Применение параллельного переноса, зеркальной сим-метрии (с вертикальной и горизонтальной осями), по-ворота и центральной сим-метрии

Конструировать бордюры, изображая их от руки и с по-мощью инструментов. При-менять геометрические пре-образования для построе-ния бордюров

34

Окончание табл.


Орнаменты (2 ч)

Плоские орнаменты — пар-кеты. Выделение ячейки ор-намента. Построение орна-ментов и паркетов

Конструировать орнамен-ты, изображая их от руки и с помощью инструмен-тов. Использовать геомет-рические преобразования для составления паркета

Симметрия помогает решать задачи (1 ч)

Построение фигур при осе-вой симметрии. Расстояние от точки до прямой. Свой-ство касательной к окруж-ности

Строить фигуры при осевой симметрии, строить рису-нок к задаче, выполнять до-полнительные построения

Одно важное свойство окружности (2 ч)

Вписанный прямоуголь-ный треугольник. Вписан-ный и центральный угол

Решать задачи на нахожде-ние длины отрезка, пери-метра многоугольника, гра-дусной меры угла, площади прямоугольника и объема куба

Задачи, головоломки, игры (2 ч)

Выделять в условии задачи данные, необходимые для решения задачи, строить логическую цепочку рас-суждений, сопоставлять по-лученный результат с усло-вием задачи

35

Темы учебных проектов и исследований

5 класс

1. Развертки и модели куба (деревянные, бумажные,стеклянные, каркасные и др.).

2. Сборник пословиц (поговорок, загадок) об изме-рении длины, площади, объема.

3. Альбом фигур, которые можно нарисовать однимросчерком.

4. Выставка правильных многогранников.5. Учимся изображать фигуры с помощью простей-

ших компьютерных инструментов.

6 класс

1. Выставка фигурок оригами.2. Выставка бордюров и орнаментов.3. Фотоальбом «Симметрия в архитектуре и искусст-

ве».

Описание учебно-методического и материально-технического обеспечения образовательной деятельности

Программа Рабочая программа «Математика. Наглядная гео-

метрия. 5—6 классы» к учебнику И. Ф. Шарыгина,Л. Н. Ерганжиевой // Математика. Наглядная геомет-рия. 5—6 классы: методическое пособие. Авт. Л. Н. Ер-ганжиева, О. В. Муравина.

УчебникШарыгин И. Ф., Ерганжиева Л. Н. Математика.

Наглядная геометрия. 5—6 классы.Методическое пособие для учителяЕрганжиева Л. Н., Муравина О. В. Математика.

Наглядная геометрия. 5—6 классы.Печатные пособияКомплект таблиц по математике. 5—6 классы. 8 двусторонних таблиц.

36

Комплект портретов для кабинета математики(15 портретов).

Технические средстваПерсональный компьютер с принтером.Мультимедиапроектор с экраном или интерактив-

ная доска.Копир.Принтер.Учебно-практическое и учебно-лабораторное

оборудованиеАудиторная доска с магнитной поверхностью и набо-

ром приспособлений для крепления таблиц.Доска магнитная с координатной сеткой.Комплект инструментов классных: линейка, транс-

портир, угольник (30 , 60 ), угольник (45 , 45 ), цир-куль.

Комплект стереометрических тел (демонстрацион-ный и раздаточный).

Набор планиметрических фигур.

37

Методические комментарии к параграфам учебника

5 класс

§ 1. ПЕРВЫЕ ШАГИ В ГЕОМЕТРИИ (1 ч)

Основные понятия : предмет геометрии, чертежные и из-мерительные инструменты.Предметные результаты : строить прямую, отрезокданной длины, окружность; измерять длину отрезка,сравнивать длины отрезков.Метапредметные результаты : развитие интуиции,пространственных представлений.Личностные результаты : формирование интереса кпредмету.Внутрипредметные, межпредметные связи : геомет-рия, черчение.

КОММЕНТАРИИ. На первом уроке, кроме знакомства сновым предметом, учебником и чертежно-измеритель-ными инструментами, целесообразно выяснить уровеньподготовленности учащихся к восприятию геометрии.Для этого предлагается провести проверочную работу,состоящую из трех частей, соответствующих основнымприемам образного мышления: композиции, реконст-рукции и изменению точки наблюдения.

ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА

Тема: «Развитие пространственных представле-ний учащихся»

1. Композиция.

а) Лист бумаги складывается вчетверо и вырезаетсясерединка. Эти действия производит учитель. Послеразворачивания листа учитель задает вопрос: «Какаяфигура отрезана?»

б) Лист бумаги складывается вдвое и отрезается уго-лок. Какая фигура получится после разворачивания от-резанного кусочка? (Возможны 2 случая.)

38

2. Реконструкция.

а) От квадрата отрезается половинка по диагонали,и закрашенная часть поворачивается на 270 противчасовой стрелки вокруг вершины А. Какая фигура полу-чится в результате такого преобразования?

б) Сделать один разрез так, чтобы после переклады-вания частей фигуры получился параллелограмм (мож-но показать учащимся, какая фигура должна полу-читься).

3. Изменение точки наблюдения.

а) На столе поставлены рядом друг с другом два ку-ба. Какие из чертежей, изображенных на доске, могутслужить изображением данных кубов?

б) На столе расставлены геометрические тела. Опи-сать словесно или рисунком, как выглядит эта группапредметов, если на нее смотреть с противоположнойточки наблюдения.

Подобные «срезы» следует проводить периодически,чтобы увидеть результаты работы по развитию про-странственных представлений и образного мышленияшкольников. Оценивание результатов, на наш взгляд,может быть только качественное. Предлагается сохра-нить результаты проверочной работы учеников до кон-ца года для сравнения.

При решении задач параграфа ученики применяютметод проб и ошибок.

К параграфу относятся восемь задач, разнообразныхкак по содержанию, так и по способам решения. Пред-полагается, что они способны продемонстрировать всемногообразие геометрии и методов решения геомет-рических проблем.

УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ УЧЕБНИКА

1. Сложите 6 спичек так, чтобы образовалось 4 тре-угольника (сторона треугольника равна спичке). Эта за-дача сразу снимает возможные ограничения, связанныес работой в плоскости, она объединяет плоскость и про-странство, давая простор действиям. Решением задачиявляется треугольная пирамида, у которой данные6 спичек являются ребрами.

39

2, 4. Решение задач на разрезание фигур на равныечасти опирается на интуитивно ясное понятие равенст-ва фигур.

В задаче № 2 требуется разрезать квадрат на 4 равныечасти (разными способами) и на 5 равных частей.

В задаче № 4 нужно предложить способ разрезанияфигуры (рис. 6 в учебнике) на две равные части. Следуетподчеркнуть, что равное количество составляющихфигуры клеточек еще не означает равенства самих фи-гур. Это необходимо, но не достаточно: фигуры должныбыть еще одинаковыми по форме. Таким образом, уча-щиеся подводятся к важнейшим понятиям размера иформы. Эти задачи могут быть решены учащимися в хо-де предметной деятельности, т. е. непосредственнымфизическим разрезанием фигур.

3. Задача показывает, что за простой формулировкойподчас скрывается неразрешимая проблема. Вычерчи-ванию уникурсальных кривых (т. е. без отрыва руки отбумаги и повторения пройденных участков) посвященпараграф 15 — топологические опыты, где объясняется,что не каждая задача, подобная данной, имеет решение.

5. Арбуз разрезали на 4 части и съели. Получилось5 корок. Как такое может быть? Предполагается реше-ние этой задачи «в уме» (на мысленное манипули-рование образом памяти). Можно также рассуждать ло-гически. Как может получиться на 1 корку больше, чембыло кусков? [Только если одна часть содержала 2 кор-ки, а это может быть, если вырезать сердцевину арбузапо вертикали, не срезая сначала «вершок» и «доныш-ко».]

6, 7. Задачи лучше сопроводить демонстрацией мо-делей или организовать работу учеников с бумагой.

При работе над задачей № 6 учитель может, какфокусник, показывать попеременно то фигуру, то рас-правленный лист бумаги с разрезами, чтобы ученикисначала смогли сделать необходимые разрезы на листебумаги, а затем уже пробовали из него сделать невоз-можную на первый взгляд фигуру.

В задаче № 7 расположить четыре «страны» треуголь-ной формы можно таким образом, чтобы каждая из нихимела общую границу с тремя другими. Для этого следу-

40

ет раздать по четыре треугольника определенной формыкаждому ученику. Имея треугольники, ученики путемкомбинирования их взаимного расположения могутнайти решение задачи, если задачу не удалось решитьумозрительно. Заметим, что с целью вовлечения в про-цесс восприятия различных органов чувств нужно какможно чаще использовать модели, особенно на первыхуроках.

§ 2. ПРОСТРАНСТВО И РАЗМЕРНОСТЬ (1 ч)

Основные понятия : пространство, размерность про-странства, измерения как характеристики геометрическо-го объекта; одно-, двух-, трехмерное пространства. Перс-пектива как способ передачи пространства на плоскости.«Невидимые» линии. Куб, квадрат, пирамида, треуголь-ник, четырехугольник, диагонали, многоугольник, много-гранник.Предметные результаты : измерять с помощью инстру-ментов и сравнивать длины отрезков и величины углов;строить отрезки заданной длины с помощью линейки ициркуля и углы заданной величины с помощью транспор-тира; выражать одни единицы длины через другие; пере-давать объемность тела посредством изгиба линий; изо-бражать куб и пирамиду на клетчатой бумаге с использо-ванием пунктирных линий; конструировать многогранникс заданными характеристиками.Метапредметные результаты: развитие пространст-венных представлений; знакомство с именами зна-менитых художников и их работами, восприятие глубиныпространства, способность видеть ошибку в изобра-жении. Личностные результаты : эстетическое восприятие гео-метрии, интерес к окружающему миру и его изо-бражению. Внутрипредметные и межпредметные связи : пла-ниметрия (многоугольники), стереометрия (многогран-ники).

КОММЕНТАРИИ. Основная цель этого параграфа —введение учащихся из чувственно-сознаваемого про-странства в абстрактно-геометрическое. При изложе-

41

нии материала учитель переходит от реальных объектовокружающего мира к их абстракциям — геометри-ческим телам. Так, от описания многоэтажного дома(количество подъездов — длина, количество окон в тор-це — ширина, количество этажей — высота) переходят кпрямому прямоугольному параллелепипеду, полностьюописываемому тремя параметрами — длиной, шириной,высотой — или (учитель вводит термин) тремя измере-ниями. «Возвращаясь» в реальный мир, ученики нахо-дят предметы, имеющие форму параллелепипеда. За-тем, привлекая фантазию учащихся, учитель предлагаетпредставить, что произошло бы, если бы исчезла высо-та. Мир стал бы плоским, осталось только два измере-ния — длина и ширина. Какие геометрические фигурымогут находиться в плоскости? А какие фигуры не поме-щаются в двумерных рамках? Продолжая мысленноеэкспериментирование, приходим к одномерному про-странству и фигурам, которые находятся на прямой(отрезок, луч, точка). Учащихся подводят к пониманиюточки как абстрактной геометрической фигуры, неимеющей измерений.

Работу по введению понятия размерности простран-ства можно сопроводить демонстрацией модели, напо-минающей показ мультипликационного кукольногофильма.

В эту модель входит куб, изготовленный из двух кар-тонных квадратов (это верхнее и нижнее основания)и ткани, образующей боковые грани. Ткань должнаскладываться гармошкой, как в старинных фотоаппара-тах, что позволяет совместить основания куба парал-лельным переносом и получить модель двумерной фи-гуры — квадрата. Этот (или другой равный ему) квадратукладывается на картонный лист с прорезью, сторонаквадрата прикладывается к прорези, и при переходе кодномерному пространству учитель втягивает снизуквадрат, пока не останется узкая полоска, иллюстри-рующая прямую. Затем эта полоска «стягивается» в точ-ку (а на изнанке картона движется весь квадрат) — уби-рается и длина.

Далее проводится игра в «плоскатиков». Представивсебя плоскими, пятиклассники должны описать, что

42

они видят вокруг: как им представляется треугольник,квадрат, окружность, отрезок и другие плоские фигуры,что они видят, если их плоскость пересекает шар (в мо-мент касания шара с плоскостью — точку, а затем отре-зок, увеличивающийся до размера диаметра и опятьуменьшающийся до точки). Эта игра способствует раз-витию пространственного воображения учащихся наоснове мысленного манипулирования образами, гото-вит их к изображению пространственных фигур наплоскости, а в дальнейшем — к построению сечениймногогранников и тел вращения.

От понимания тесноты плоскостных рамок для про-странственных тел учащиеся переходят к изображениюфигур на плоскости. Это очень важный момент дляразвития пространственных представлений и изобрази-тельно-графических умений. Эмоциональность вос-приятия и яркость впечатлений учащихся достигаетсяпутем использования репродукций произведений ис-кусств, например, В. Вазарели «Изучение перспекти-вы», У. Хогарта «Неправильная перспектива», графи-ческих работ Вазарели «Вега-11», «Манипур» и др.,а также «невозможных фигур» О. Рутерсварда. Учительможет предложить ученикам, по аналогии с этими гра-фическими работами, придумать и нарисовать кар-тинки с кажущимися выпуклостями и вмятинами (дляудобства на миллиметровой бумаге). Это задание даетфизическое ощущение пространства при его изобра-жении на плоскости, что в дальнейшем облегчает обуче-ние изображению многогранников, принятому в гео-метрии (невидимые линии изображаются пунктиром).

Задачи параграфа призваны показать различия плос-кости и пространства и возможности, возникающие приувеличении размерности пространства.

Для тех учащихся, у которых ведущим является на-глядно-действенное мышление, работу над задачами№ 2 и 5 полезно провести с пластилином.

Упражнения, подобные задачам № 3 и 4, позволяютне только закрепить умения в изображении многогран-ников, но и развивают воображение учащихся.

Требование нарисовать, а не начертить многогран-ник весьма существенно. На данном этапе изобрази-

43

тельно-графические задания выполняются от руки, что-бы не отвлекать учеников от сути задания.


1. Для того чтобы сложить в два раза больший, чемданный, квадрат, нужно взять 4 квадрата, а для состав-ления в два раза большего куба нужно взять 8 таких ку-бов. При работе над заданием полезно предварительновыяснить смысл термина «в два раза больший», которыйможно понимать как больший по площади (по объему)или больший по длине стороны. В задаче имеется в видубольший квадрат (куб) по длине стороны. Отметим, чтоначальная стадия работы над задачей — понимание ус-ловия, а значит, выяснение смысла всех входящих в ус-ловие терминов. Это очень важный этап, и акцентиро-вание внимания на нем в пропедевтическом рассмотре-нии геометрии даст положительные результаты приизучении систематического курса.

2. В задаче требуется разделить треугольник на 4 рав-ных треугольника (для облегчения можно взять рав-носторонний треугольник). Решение — отрезание«уголков». Данная задача позволяет, проводя аналогиютреугольника с треугольной пирамидой (правильнымтетраэдром), показать и их различия, возникающиеиз-за изменения размерности пространства, а именноневозможность деления тетраэдра на 4 равных тетраэдрааналогичным отсечением «уголков».

3, 4. В заданиях требуется придумать и изобразитьмногогранники с равным количеством вершин (8 и 5),но разным количеством граней (не 6 и 6 соответствен-но). Облегчить выполнение этих заданий учащимся,у которых образы памяти превалируют над образами во-ображения, поможет набор моделей многогранников,среди которых есть и «ответы» к заданиям.

5. В задаче разница между плоским блином и объем-ным караваем также возникает из-за того, что блин име-ет малую толщину по сравнению с караваем: каравайможно разрезать на две части горизонтальным разре-зом, а тонкий блин нельзя.

44

§ 3. ПРОСТЕЙШИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ (1 ч)

Основные понятия : точка, прямая, отрезок, луч, угол,вертикальные углы, смежные углы, прямой, тупой, острыйуглы, биссектриса угла.Предметные результаты : изображать точку, прямую,отрезок, луч, угол заданной величины, строить биссект-рису угла, вертикальные и смежные углы от руки и с по-мощью чертежных инструментов; измерять величину углатранспортиром.Метапредметные результаты : формирование на-выков исследовательской деятельности, развитие глазо-мера.Личностные результаты : формирование аккуратнос-ти, наблюдательности, усидчивости.Внутрипредметные и межпредметные связи: плани-метрия (углы).

КОММЕНТАРИИ. Рассмотрение пространственных телна первых уроках естественно подводит учеников к вы-членению их элементов — границ, граней, т. е. к прос-тейшим плоским геометрическим фигурам, рассматри-ваемым в параграфе.

Изучение целесообразно начать с рассмотрения мо-делей многогранников и вычленения на них геометри-ческих фигур, известных ученикам из начальной шко-лы. Следует сразу обратить внимание учащихся на углымногогранников. Школьники могут подменять термин«вершина» термином «угол». Необходимо показатьразницу между вершиной, т. е. точкой, и многограннымуглом.

Основная нагрузка данного параграфа приходится наизучение углов, их видов и измерение. С транспорти-ром учащиеся встречаются впервые, а поэтому необ-ходимо отработать умение пользоваться им как измери-тельным и чертежным инструментом. Этому служатпрактически все задания параграфа.


4. Задание, в котором нужно изобразить две пересе-кающиеся прямые под углом в 28 и измерить остальныеуглы, подводит учеников к понятию вертикальных

45

углов и обнаружению их равенства, что потом использу-ется в рассуждениях о сумме смежных углов. Хотя этирассуждения еще нельзя назвать доказательствами, нонекоторая практика проведения дедуктивных рассужде-ний у учащихся появляется.

5. В задаче нужно изобразить четырехугольник с тре-мя прямыми углами и догадаться, что и четвертый уголтоже прямой.

6. Задача о диагоналях квадрата также позволяет ис-пользовать в решении интуицию и житейские наблюде-ния. Рассуждения, приводимые при этом учениками,можно считать первым опытом дедуктивных рассужде-ний.

7. При ответе на вопрос задачи о том, чему равенугол между часовой и минутной стрелкой часов в 9 ч,10 ч, 6 ч, 5 ч, 11 ч 30 мин, предварительно полезно рас-смотреть движение стрелок часов и выяснить: какойугол описывает минутная стрелка за полчаса, какуючасть получаса составляют 5 мин, какой угол описываетминутная стрелка за 5 мин. После проведения такой ра-боты ответы не вызывают затруднений.

8. Задача интересна своим неожиданным ответом.Казалось бы, увеличительное стекло должно все объек-ты увеличивать в некоторое число раз, и это действи-тельно происходит с линейными размерами, но не с ве-личинами углов. Данная задача «работает» на подобиефигур — преобразование, сохраняющее форму, а зна-чит, и величину угла. Объяснить этот ответ можнотаким образом: при наблюдении угла через увеличи-тельное стекло видно, что направление его сторон неизменяется, а значит, не изменяется и величина угла.Если ученик пользовался при решении интуицией, то отнего можно не требовать объяснений.

9. Задача использует понятие равных фигур, как сов-падающих при наложении. При проведении биссектри-сы угла, вырезанного из бумаги, его надо сложить по-полам. Это действие выполнял неоднократно каждыйребенок, вырезавший к новогоднему празднику бумаж-ные снежинки.

10. Решение задачи предполагает проведение про-стейших дедуктивных рассуждений на основе определе-

46

ния биссектрисы: так как дан угол 60 , а биссектриса де-лит угол пополам, то части данного угла — по 30 . Этовеличины тех углов, которые биссектриса образует состоронами данного угла.

12. Задача важна тем, что ее формулировка не позво-ляет дать однозначный ответ на поставленный вопрос,он зависит от того, какой из проведенных лучей — ОА,ОВ или ОС — лежит между двумя другими. Задача учитрешающего быть внимательным к условию и обязатель-но его анализировать перед тем, как приниматься за ре-шение.

§ 4. КОНСТРУИРОВАНИЕ ИЗ «Т» (1 ч)

Предметные результаты : моделировать геометриче-ские объекты из бумаги.Метапредметные результаты: формирование конст-руктивных и коммуникативных умений, развитие вообра-жения, нестандартного мышления, интуиции, геометриче-ского зрения, изобразительных умений, пространствен-ных представлений.Личностные результаты : вовлечение в самостоятель-ную деятельность; привитие вкуса к исследовательскойдеятельности.Внутрипредметные и межпредметные связи: плани-метрия (геометрические преобразования, параллельныйперенос).

КОММЕНТАРИИ. Освоение новых терминов и инст-рументов параграфа сменяется новым видом деятель-ности — комбинаторным.

Задача № 1, развивая образное и ассоциативноемышление учащихся, способствует развитию коммуни-кативных умений, включающих в себя умение объяс-нять, описывать адекватно ситуацию и восприниматьинформацию. Выполнение этого задания предполагаетработу учащихся в парах, и она оценена должна быть порезультатам работы пары — по взаимопониманию ислаженности. Остальные задания — индивидуальные,в которых может проявиться способность ученика кконструкторской деятельности.

47

В задаче № 4 неявно используется понятие разверт-ки, так как требуется «завернуть» куб в букву «Т». Неко-торым ученикам задача в такой постановке можетоказаться сложной, им можно предложить разрезать бу-мажный куб по ребрам (линиям сгиба бумаги) так, что-бы при разворачивании получилась фигура, имеющаяформу буквы Т, т. е. обратную задачу, более понятнуюдля учащихся с ведущим наглядно-действенным мыш-лением.

Остальные задачи параграфа под силу каждому уче-нику, и их решения не приводятся.


1. Задача на составление конструкций из заданныхэлементов (буквы Т) и словесное описание этих конст-рукций.

4. Задание несколько предваряет следующий параг-раф, в котором будет рассмотрен куб.

§ 5. КУБ И ЕГО СВОЙСТВА (2 ч)

Основные понятия : многогранник, вершины, ребра, гра-ни многогранника; куб и его элементы, диагональ куба,развертка куба.Предметные результаты : распознавать и называть куби его элементы (вершины ребра, грани, диагонали), рас-познавать куб по его развертке, изготавливать куб изразвертки, приводить примеры предметов из окру-жающей среды, имеющих форму куба; мысленно манипу-лировать объектом, переносить точку наблюдения; изо-бражать куб и другие многогранники, чертить разверткукуба.Метапредметные результаты : формирование прие-мов исследовательской деятельности, конструкторскихумений, развитие пространственных представлений, фор-мирование коммуникативных умений.Личностные результаты : эстетическое восприятиегеометрического чертежа, формирование интереса кпредмету.Внутрипредметные и межпредметные связи : стерео-метрия (многогранники, куб и его свойства).

48

КОММЕНТАРИИ. Материал параграфа может быть под-разделен на три части. Первая часть включает в себя ис-следование куба и обнаружение его свойств. Для нее ха-рактерна исследовательская деятельность учащихся.Учитель организует практическую работу.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

В первой части после небольшой вводной беседы,в ходе которой вводятся термины «многогранник»,«грань», «ребро» и «вершина многогранника», учащим-ся раздаются кубы, изготовленные из бумаги (длинаребра 4—5 см для удобства). С помощью линейки,угольника и ножниц ученики должны обнаружить какможно больше свойств куба и записать их в тетрадь. Ре-зультаты исследования обсуждаются, и список свойствдополняется.

Среди свойств должны быть и такие, как: в одной(каждой) вершине сходится одно и то же число граней иребер; все грани — равные квадраты и т. п.

Вторая часть — работа с разверткой куба. Среди об-наруженных свойств ученики выделяют наличие шестиграней куба, каждая из которых является квадратом,а разрезав куб по ребрам, видят, что его поверхность«разворачивается» в плоскую фигуру, разделенную на6 равных квадратов. Учитель вводит термин «развертка»и среди разверток, получившихся у учеников, находитнесколько разных. Вывод: куб имеет несколько раз-верток.

Задания № 3—7 предполагают работу с разверткой.Перед выполнением этих заданий полезно рассказатьучащимся, какую мысленную цепочку действий онивыстраивают. Выполняя эти задания, полезно коммен-тировать действия таким образом: «Вы мысленно вы-деляете те квадраты, которые являются боковыми гра-нями куба (оборачиваете его сбоку), а затем как бы пе-регибаете оставшиеся квадраты, делая «донышко» и«крышечку» куба — нижнее и верхнее основания».Многим ученикам работа в уме недоступна, они могутвыполнять задание непосредственным складываниемкуба из данной развертки, т. е. предметно, а не умозри-тельно решать задачу. Но в определенный момент у них

49

заработает воображение. Задания № 6 и 7 взаимнообратные.

Ко второй части относятся и задания № 12 и 15.Третья часть заданий направлена на развитие пер-

цептивных умений: восприятие глубины пространства,чтение чертежа, перенос точки наблюдения. К нимотносятся задания № 8, 9, 10, 11, 13 и 14 и рассматрива-ние рисунка 39 учебника с неоднозначными фигурами.

Учащиеся, объясняя, что они видят на рисунках 36,37 и 39 учебника, должны использовать слова «ближе»,«дальше», «выпуклость», «вогнутость», «левее», «пра-вее». При этом у учащихся формируются коммуника-тивные умения. На рисунках 37 и 39 учебника даны такназываемые неоднозначные объекты, которые могутбыть названы и охарактеризованы по-разному. Важновыслушать все различные мнения и обсудить их. Часторисунку (например, рисунку 39, в учебника) дают толь-ко два объяснения: стоящий в углу куб и параллелепи-пед (брусок), у которого вырезан «уголок», а третьятрактовка — параллелепипед с приставленным к немуснаружи кубом — приходит с трудом. Не следует торо-пить учеников, ведь наблюдательность развита у всехпо-разному.

При решении задач № 9 и 14 потребуется проявитьконструктивные способности.

Напоминаем учителю, что нельзя торопить ученика срешением и сразу давать подсказки: у каждого ученикасвой темп и способ решения, а потому необходимо стре-миться к максимальной индивидуализации работы сучениками, уменьшая долю фронтальной работы науроке.


3. В задании нужно из предложенных рисунков вы-брать те, которые являются развертками куба.

4. Необходимо расставить обозначения граней куба всоответствии с уже отмеченными.

5. Задание на сопоставление развертки куба и егоизображения.

6. По развертке куба и нанесенным на нее числамтребуется посчитать сумму чисел на противоположных

50

гранях куба, т. е. сначала определить, какие граниявляются противоположными.

7. В этой задаче необходимо, имея изображение кубаи зная числа на трех его гранях, соотнести это изображе-ние с данной разверткой и установить соответствиемежду числами на гранях куба, числами на развертке итребованием задачи, чтобы сумма чисел на противопо-ложных гранях равнялась семи.

8. Задание, в котором нужно изобразить куб в раз-личных ракурсах: слева снизу, справа сверху, справаснизу, помогает не только в чтении чертежа, но и в еговыполнении, когда нужно выбрать удобное для реше-ния изображение многогранника в соответствии с тре-бованием задачи. В старшей школе при изучении сте-реометрии это умение будет необходимо для решениязадач со сложными конструкциями. Выполняя задание,полезно сначала выяснить, какая из вершин куба (его«уголок») будет находиться ближе к наблюдателю, затемобвести сплошной линией три выходящих из нее ребра,потом выяснить, какие грани видны полностью — ихобвести сплошной линией, и, наконец, дорисоватьпунктиром невидимые ребра куба.

9. В задаче требуется измерить (именно измерить,а не вычислить) диагональ не пустого куба. Чтобы на-править мысль решающего в нужное русло, можно за-дать наводящие вопросы, например: «Что мешает про-извести непосредственное измерение?» [Кубик не пус-той.] «Как можно расположить кубики, чтобы междуними образовалось пустое пространство, имеющее не-что общее с кубиком?» Эти и другие вопросы помогаютученикам додуматься до необходимости сдвига (пере-носа) куба.

12. В задании требуется из полоски бумаги размером1 7 сложить единичный куб. Решая задачу, школьникдолжен сообразить, что полоску необходимо перегнутьпо некоторым линиям, чтобы получить верхнее и ниж-нее основания. К такому решению приводит также под-счет количества квадратов, необходимых для складыва-ния куба. Полоска содержит 7 квадратов, нужно всего6 квадратов, значит, один квадрат оказывается где-товнутри после сворачивания полоски. Но внутри ока-

51

зывается не целый квадрат, а половины двух квадратов,которые нужно согнуть по диагонали.

13. Проверку решения задачи хорошо бы осущест-вить экспериментально, т. е. осветить модель куба на-правленным пучком света и, поворачивая куб, добитьсятребуемого в задаче результата.

14. В задаче не обязательно получать минимальныйответ. Даже если ученик «распиливает» куб последова-тельно по частям — каждую отдельно — и дает верныйдля данного способа ответ, задача считается решенной.Конечно, следует предложить найти минимальное чис-ло распилов, при этом предупредив, что отпиленныечасти можно как угодно перекладывать.

15. В задаче требуется найти кратчайшее расстояниепо поверхности куба между его противоположнымивершинами. Фактически это стереометрическая задача,решаемая методом развертки. Ответом учеников на воп-рос задачи чаще всего является неверное решение, когдакратчайшим путем считают ломаную, состоящую изребра куба и диагонали грани. Ошибочность решениядемонстрируется с помощью развертки куба: на ней от-мечаются места расположения паука и мухи и проводит-ся отрезок прямой, соединяющей эти точки. Учащиесявидят, что верным решением является путь, проходя-щий через середину ребра куба. Можно продолжить за-дачу и выяснить, сколько существует различных крат-чайших путей.

§ 6. ЗАДАЧИ НА РАЗРЕЗАНИЕ И СКЛАДЫВАНИЕ ФИГУР (1 ч)

Основное понятие : равенство фигур.Предметные результаты : изображать равные фигурыи обосновывать их равенство; конструировать заданныефигуры из плоских геометрических фигур; создавать иманипулировать образом: расчленять, вращать, совме-щать, накладывать. Метапредметные результаты : развитие образногомышления, конструкторских способностей, умения пред-восхитить результат, формирование коммуникативныхумений.

52

Личностные результаты : развитие познавательной ак-тивности; привитие вкуса к умственной работе.Внутрипредметные и межпредметные связи: плани-метрия (равенство фигур, симметрия, площадь, равнове-ликость и равносоставленность), геометрическая комби-наторика, черчение, технология.

КОММЕНТАРИИ. Материал параграфа относится к раз-делу комбинаторной геометрии. Он логически разделенна две части.

Первая часть — задачи на разрезание фигур. Цельрешающего — разрезать указанную фигуру на две илинесколько равных частей. Часто для упрощения этуфигуру делят на клетки. В этих задачах неявно вводитсяпонятие равенства фигур (равными называются фигу-ры, совпадающие при наложении). Это определение ис-пользуется и для проверки равенства полученных фи-гур.

Учитель начинает с наиболее простой задачи — раз-резать квадрат 4 4 клетки на две равные части так, что-бы линия разреза шла по сторонам клеток. Простейшееразрезание может найти каждый: пополам на два пря-моугольника 4 2. Затем учитель может показать про-цесс поиска других способов: полученную линию разре-за как бы растянуть, изламывая вправо-влево относи-тельно этой линии. Инстинктивно ученики должныпочувствовать необходимость симметрии относительноцентра квадрата: в таком случае равные половинки —квадраты — будут «вдвинуты» друг в друга.

При разрезании фигур в задачах № 2 и 3 (рис. 40, б и41 учебника) можно использовать и прием подсчета це-лых клеточек и их половинок. Но следует предостеречьучеников от ошибочного мнения о том, что равными яв-ляются те фигуры, у которых равны площади. Нельзязабывать и о форме!

Вторая часть параграфа отдана игре «Пентамино».Подробнее о ней учитель может узнать из книг «Поли-мино» С. Голомба (М.: Мир, 1975) и «Математическиеголоволомки и развлечения» М. Гарднера (М.: АСТ,2010).

Задачи с игрой «Полимино» хотя и просты по форме,но их решение требует некоторого навыка: общих прие-

53

мов составления фигур из «Полимино» практическинет. Учитель может начать работу с составления фигу-рок игры «Пентамино» — фигурок, состоящих из пятиквадратов, различным способом составленных друг сдругом по целым сторонам клеток. Таких фигур полу-чится ровно 12 (рис. 42 учебника). Эту работу можнобыло выполнить на предыдущем уроке по теме «Куб иего свойства», а на дом дать задание изготовить игру«Пентамино» из плотной бумаги, одинаково окрашен-ной с обеих сторон (при выполнении заданий фигуркиможно переворачивать наизнанку, и, чтобы не отвле-кать учеников, лицевая и изнаночная стороны не долж-ны отличаться по цвету).

Упражнения с игрой «Пентамино» можно упростить,давая такие з а д а н и я:

а) сложить из двух пар фигур «Пентамино» одинако-вые фигурки;

б) сложить две фигурки, одна из которых имеет вдвоебольшие линейные размеры, чем другая (можно простосказать «вдвое больше»).

Затем переходить к более сложным заданиям.

§ 7. ТРЕУГОЛЬНИК (1 ч)

Основные понятия : треугольник, многоугольник, сторо-на, вершина, угол многоугольника; виды треугольников;пирамида, тетраэдр; понятие жесткости многогранников.Предметные результаты : вычерчивать треугольник за-данного вида, строить треугольник по двум сторонам и уг-лу между ними, по стороне и прилежащим к ней углам, потрем сторонам с использованием чертежных инструмен-тов; изготавливать развертки многогранника; создаватьобраз и манипулировать им. Метапредметные результаты : формирование иссле-довательских умений, развитие конструктивных способ-ностей, формирование логических умений: высказываниегипотезы на основании индуктивных рассуждений; выпол-нение творческого задания — рисование невозможногообъекта, восприятие глубины пространства.Личностные результаты : воспитание аккуратности,трудолюбия, настойчивости.

54

Внутрипредметные и межпредметные связи: систе-матический курс геометрии.

КОММЕНТАРИИ. Материал параграфа обладает боль-шой учебной емкостью. Он включает знания и умения,относящиеся к базовым в геометрии, поэтому необ-ходимо добиться максимально возможного усвоенияэтого учебного материала. Содержание параграфа по-добрано таким образом, что учитель может, используяего, создать положительные мотивы изучения, заинте-ресовав учащихся, и организовать деятельность с учетомпсихологических их особенностей (смена различныхвидов деятельности).

Содержание параграфа делится на три смысловыечасти. В первой части выясняется, что такое много-угольник, треугольник, рассматриваются виды тре-угольников и вопрос о сумме углов в треугольниках; де-монстрируется флексагон (изгибаемый многогранник).Вторая часть — работа с тетраэдром. Третья частьвключает построение треугольника по трем заданнымэлементам с помощью чертежных инструментов.

Урок можно начать с показа ученикам флексагона,окрашенного в три цвета (тригексафлексагон). Процессего изготовления показан на рисунке 55 учебника. Этагеометрическая фигурка вызывает удивление и подлин-ный восторг у учащихся: на их глазах «плоский» шести-угольник, имеющий красную и синюю стороны (лице-вая и изнаночная стороны), превращается в шести-угольник с синей и зеленой сторонами, а затем сзеленой и красной. Это настоящий фокус! Как самимсделать такую игрушку?

Учитель разворачивает флексагон, и ученики замеча-ют, что развертка фигурки представляет собой десятьтреугольников, уложенных в полоску. Какие это тре-угольники? И что значит «треугольники»? Ответам наэти вопросы необходимо выделить время. Таким обра-зом, можно создать положительный мотив учения.

Треугольник относится к семейству многоугольни-ков. Рассматривая с учениками слово «многоугольник»,учитель выделяет две части, указывающие на основныепризнаки этой фигуры. Но указания на то, что у фигурымного углов, еще недостаточно для определения много-

55

угольника. Рисунки 44, 45 и 46 учебника показываютотличие многоугольников от фигур, таковыми не яв-ляющихся. Находя сходства и различия фигур, ученикипод руководством учителя формулируют, что много-угольником является фигура, ограниченная замкнутойломаной линией, звенья которой не пересекают другдруга. Это определение должно быть понятно ученикамнастолько, чтобы они могли на рисунке узнать много-угольник; требовать же воспроизведения определенияне следует.

Аналогично выяснение сходства и различия много-угольников на рисунках 44, а, б и 45, а, б учебника дол-жно подвести учеников к понятию выпуклого много-угольника и к способу выяснения выпуклости много-угольника. Если многоугольник лежит по одну сторонуот прямой, проведенной через каждую его сторону, тоон выпуклый (его можно поставить вертикально, чтобыон касался поверхности стороной).

Затем переходят к простейшему многоугольнику —треугольнику и классификации треугольников по нали-чию равных сторон и по величинам его углов. Клас-сификацию сопровождают рассмотрением моделей тре-угольников или рисунков. Важно, чтобы учащиеся по-няли, что классификация (или разделение на группы)проводится по какому-то заранее определенномупризнаку, и что каждый треугольник может быть отне-сен к нескольким группам, например, быть равнобед-ренным и прямоугольным, равносторонним и остро-угольным и т. п. в зависимости от признака, по которо-му осуществляется разделение на классы. Закреплениемэтого материала является выполнение задания по на-хождению треугольников заданного вида (рис. 48 учеб-ника). Это задание можно выполнять и на глаз, и сиспользованием измерительных инструментов. Форми-рованию изобразительно-графических навыков спо-собствует выполнение задания № 2 по изображениютреугольников. Учитель может показать ученикам прак-тические приемы изображения различных видов тре-угольников на клетчатой бумаге, не останавливаясь наобъяснениях, так как свойств этих фигур ученики ещене знают. Урок завершается выполнением задания на

56

составление паркета из равных треугольников. Под-сказкой к решению этой задачи может служить рассмот-ренная в начале урока развертка флексагона. Основнаяидея состоит в том, что два равных треугольника образу-ют параллелограмм, а параллелограмм укладывается вполоску. Затем эти одинаковые полосы покрывают всюплоскость. Возможность построения паркета из равныхтреугольников объясняется тем, что сумма углов тре-угольника равна 180 , т. е. три угла треугольника состав-ляют развернутый угол — так получаются полосы. Сос-тавление паркета позволяет ученикам сделать и обрат-ный вывод о сумме углов треугольника. Если эта работадля ученика сложна, ее можно заменить выполнениемзадания № 1 по измерению углов и суммированию ре-зультатов. Это задание можно дать на дом в виде прак-тической работы с оформлением результатов в табли-це. Обсуждение результатов приводит к гипотезе о сум-ме углов треугольника. Учитель обращает вниманиеучеников на этот важный вывод, предлагает этот фактиспользовать при ответе на вопросы заданий № 1 (б) осуществовании треугольника с двумя прямыми углами,№ 1 (в) о существовании треугольника, все углы кото-рого больше 70 , № 1 (г) о существовании треугольника,все углы которого меньше 50 . Обоснования ответов,предлагаемые учениками, являются простейшими гео-метрическими дедуктивными рассуждениями, к кото-рым можно подводить школьников уже в 5 классе.

Задачу № 3 можно предложить учащимся решить до-ма, где они могут экспериментировать и с рисунками,и с треугольниками, вырезанными из бумаги. На урокевремени на эту задачу может не хватить.

Вторая часть полностью посвящена практическомуизучению тетраэдра. Перейти от треугольников к пира-мидам можно после выполнения задачи № 4 на разбие-ние шестиугольника на треугольники и составленияразличных многоугольников из треугольников на плос-кости. От плоскости переходят к пространству: учени-кам предлагается к сторонам правильного треугольни-ка, лежащего на столе, приставить три таких же тре-угольника с общей вершиной. Ученики получаюттетраэдр.

57

После объяснения термина «пирамида», учитель ор-ганизует исследовательскую деятельность учащихся,аналогичную работе по выяснению свойств куба(см. § 5).

Интересны задачи № 5 и 6 на перекатывание пра-вильного тетраэдра.

В задаче № 5 дан тетраэдр, грани которого окрашеныв разные цвета, и его «след», оставленный после перека-тывания. След не закрашен, известны лишь цвета пер-вого и второго треугольников следа. Нужно определитьцвет последнего треугольника.

В задаче № 6 такой же тетраэдр, совершая некоторыйпуть перекатыванием, возвращается в исходное положе-ние. Надо определить, вернется ли он на грань того жецвета, с которой начинал движение, и постаратьсяобъяснить результат.

Данные номера являются яркими задачами, предпо-лагающими многоуровневое решение в соответствии соспособом мышления, характерным для этого возраста.Они могут быть решены на уровне предметной де-ятельности, когда ученик находит ответ в результате не-посредственного перекатывания тетраэдра. Они могутбыть также решены в уме, и тогда все операции по пере-катыванию производятся мысленно. «Логикам» можнопредложить способ решения, основанный на кодирова-нии вершин тетраэдра числами 1, 2, 3, 4: если зако-дировать каждую вершину, то соответствующие кодыможно будет расставить у вершин треугольников следа.Расставленные цифры на траектории движения тетраэд-ра покажут цвет последней грани. Этот способ решенияполезно показать и всем остальным ученикам, так как вдальнейшем он будет использоваться при решении ком-бинаторных геометрических задач.

Затем провести работу на построение развертки три-гексафлексагона. Лучше раздать ученикам трафарет —вырезанный из картона правильный треугольник, таккак развертка должна быть выполнена очень аккуратно,от этого зависит складывание флексагона. Необходимообратить внимание учащихся на важность соблюденияпоследовательности раскраски треугольников на раз-вертке флексагона, особенно на изнаночной стороне.

58

Чтобы последовательность не была нарушена, перево-рачивать наизнанку окрашенную с лицевой стороныполосу нужно строго в соответствии с рисунком, соблю-дая ориентацию полосы.

Ученикам, заинтересовавшимся изготовлением этихмногогранников, можно показать, как строятся раз-вертки гексафлексагона с шестью «сторонами», т. е.раскрашенного в шесть различных цветов, и пореко-мендовать книгу М. Гарднера «Математические голово-ломки и развлечения» (М.: АСТ, 2010), в которой пока-зано построение разверток флексагонов и с другимколичеством сторон.

Третья часть посвящена рассмотрению задач на по-строение треугольника по двум сторонам и углу междуними, по стороне и прилежащим к ней углам и по тремсторонам. Попутно из практики ученики получают не-равенство треугольника как условие построения тре-угольника по трем сторонам.

В этом параграфе продолжается рассмотрение невоз-можных фигур. Это треугольник Пенроуза. Ученикамможно дать на дом задание придумать и нарисовать свойневозможный объект. Так как это творческое задание,оно выполняется учениками по желанию. На следую-щем уроке учитель может показать какой-нибудь из не-возможных объектов, придуманных учениками.

§ 8. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ (2 ч)

Основные понятия : тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр,икосаэдр, формула Эйлера.Предметные результаты : различать и называть пра-вильные многогранники; вычислять по формуле Эйлера;изготавливать некоторые правильные многогранники изих разверток.Метапредметные результаты : развитие конструктив-ных способностей, пространственных представлений, во-ображения, формирование приемов исследовательскойдеятельности и коммуникативных умений.Личностные результаты : эстетическое восприятие гео-метрии, воспитание уважения к ученым, гордости за оте-чественную науку.

59

Внутрипредметные и межпредметные связи : стерео-метрия (многогранники, правильные многогранники),черчение.

КОММЕНТАРИИ. Предполагается, что эта тема послед-няя в первом полугодии 5 класса, она рассматриваетсянакануне Нового года, и уроку следует придать волшеб-ную, праздничную окраску. Начав с демонстрациимоделей пяти правильных многогранников и рассказа оприписываемых им в древности магических свойствах,учитель может перейти к их свойствам: теореме Эйлераи двойственности многогранников. Теорема Эйлера до-статочно наглядна, надо лишь заполнить таблицу, под-считав число вершин, граней и ребер каждого много-гранника. Иллюстрация же двойственности менее на-глядна, а потому требует изготовления специальныхпособий. Так, если модели платоновых тел изготовленыиз прозрачного материала, центры граней можно соеди-нить цветными нитями, которые будут ребрами соот-ветствующего двойственного многогранника. Объясне-ние можно провести, сопоставив число вершин и гра-ней куба и октаэдра, додекаэдра и икосаэдра и сравнивчисло вершин и граней тетраэдра.

Основная нагрузка урока приходится на изготов-ление разверток правильных многогранников. Лучшераздать ученикам заготовки — правильные треугольни-ки, квадраты и правильные пятиугольники. Цель уча-щихся — нарисовать (начертить) с помощью заготовокразвертки многогранников, наметить клапаны для скле-ивания и склеить свои елочные игрушки. Работа доста-точно утомительная, трудоемкая, требующая большогонапряжения и аккуратности, а потому не следует торо-пить учеников с выполнением заданий (их можно за-кончить дома с родителями).

§ 9. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ (1 ч)

Предметные результаты : конструировать заданныефигуры из плоских геометрических фигур; создавать иманипулировать образом при переходе от предметнойдеятельности к работе в уме.

60

Метапредметные результаты : развитие познаватель-ной активности.Внутрипредметные и межпредметные связи: плани-метрия (понятие площади); геометрическая комбинато-рика.

КОММЕНТАРИИ. Одной из особенностей нагляднойгеометрии является занимательность. Увлеченный иг-рой ученик развивает свои способности, увлеченныйгеометрическими головоломками развивает геометри-ческую интуицию, геометрическое зрение, пространст-венное мышление. Формирование и развитие этихсвойств мышления — основная задача параграфа.

Начиная с уже знакомых по постановке задач на раз-резание, учащиеся под руководством учителя изготав-ливают новую игру-головоломку «Танграм» и переходятк складыванию фигурок (рис. 66 учебника). Возможно,у отдельных учащихся это задание вызовет затруднения.В таком случае учитель может начать с анализа скла-дываемой фигурки. Из каких частей она состоит? Какиеэлементы фигурки сразу можно узнать среди семи час-тей игры «Танграм»? Какие элементы остаются? Как ихможно составить из оставшихся частей головоломки?Когда фигурка сложена, полезно еще раз проверитьправильность выполнения задания. Так ли ориентиро-ваны фигурки? Пропорциональны ли элементы?

В ходе преподавания было замечено, что некоторымучащимся легче было работать не с самими фигуркамиигры «Танграм», складывая из них картинки, а с каран-дашом — разделяя готовую картинку на составные эле-менты. Видимо, в этом проявляется большая склон-ность ученика к анализу, нежели к синтезу, и этому неследует препятствовать.

После выполнения основных заданий параграфаучитель может предложить более творческую работу —придумать картинки, которые складываются из всех се-ми частей игры. Эту работу легче выполнить, если име-ется больше частей, как, например, в головоломке «Сто-махион». Изготовление ее и придумывание картинокможно дать ученикам на дом. Возможно, игрой увлекут-ся и взрослые, тогда геометрия станет любимым семей-ным развлечением.

61

Среди заданий параграфа есть одно, как бы переки-дывающее мостик к следующей очень важной и слож-ной теме «Измерение». Это задание № 8. Требуетсянайти площади всех частей игры «Танграм», если сторо-на клетки равна 1 (рис. 66 учебника). Решение можноосуществить простым подсчетом целых клеток и ихчастей-половинок, четвертей, восьмушек. Это заданиепрекрасно иллюстрирует дроби и сложение дробей —основной материал курса математики 5 класса, а потомуучителю лучше не торопиться, выполняя его вместе сучащимися, стремясь к тому, чтобы оно было понято ивыполнено всем классом без исключения.

Работу с игрой «Танграм» можно периодически во-зобновлять, давая ученикам новые задания, или на дом,или в качестве разминки на уроке.

§ 10. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИНЫ (1 ч)

Основные понятия : величина, измерение величины, еди-ницы измерения длины; точность измерения; способы из-мерения.Предметные результаты : измерять длину линейкой,измерять длину кривой линии, переводить одни единицыдлины в другие; вычислять значения выражений, нахо-дить точность измерения прибора.Метапредметные результаты : установление причин-но-следственных связей.Личностные результаты : установление связи матема-тики с жизнью; развитие познавательной активности.Внутрипредметные и межпредметные связи: плани-метрия (измерение геометрических величин: длины), гео-графия, технология.

КОММЕНТАРИИ. Вопросы измерения и вычислениядлины, величины угла, площади и объема традиционносчитаются центральными в пропедевтическом курсегеометрии. Результатом их рассмотрения в 5—6 классахдолжно стать свободное владение измерительными ин-струментами, понимание смысла этих понятий, а такжетого, что результат может быть получен с некоторойточностью, зависящей от измерительных инструментов.Учащиеся должны также овладеть некоторыми прак-

62

тическими приемами измерения, например, площадикриволинейной фигуры с помощью палетки, объема по-лого тела с помощью банки известной емкости и т. п.

Урок начинается с выяснения смысла измерения каксравнения с некоторым эталоном. Доступен и ярок при-мер измерения из мультфильма Э. Успенского «Трид-цать восемь попугаев». На нем можно показать про-извольность выбора единицы измерения и, ответив навопрос: «Верно ли мнение Удава, что в Попугаях ондлиннее, чем в слонах?» — подойти к важнейшемувыводу: величина объекта измерения (длина, площадьи т. п.) не изменяется, в каких бы единицах ни изме-ряли.

Второй важный вывод: отношение длин двух отрез-ков (равно как и других величин) есть число, которое независит от единицы измерения. Ученики должны егопонять и запомнить. На этих свойствах основано пра-вило перехода от одних единиц измерения к другим,которое наглядно иллюстрируется задачей № 1, кото-рая посвящена единице измерения длины, названной«ялим».

С целью общекультурного развития учащихся в па-раграфе даны в ознакомительном плане различные ме-ры длины, употреблявшиеся в прошлом и используемыев наши дни в разных странах. Нам представляется, чтоэто весьма полезный материал, ведь часто в литературеи в повседневной жизни мы сталкиваемся с ними и под-час не можем даже приблизительно сказать, сколько этосоставляет метров, много это или мало. Для сравненияэтих единиц длины предлагается выполнить задание№ 2. Урок завершается беседой об измерении длин кри-вых линий. Рассматриваются два практических способа,которые можно условно назвать «спрямлением» и «раз-биением на отрезки». Эти способы в дальнейшем при-годятся учащимся при изучении длины окружности.

На дом можно дать ученикам задание № 3, котороетребует работы с литературой, и его выполнение можетзанять много времени. Учитель также может предло-жить ученикам написать на альбомных листах и проил-люстрировать картинкой найденные пословицы, а за-тем организовать выставку.

63


1. Задачу можно решить пропорцией:

10,8 км — 8,1 ялима, х км — 3,6 ялима,

откуда х = (10,8 3,6) : 8,1 = 4,8 (км). О т в е т: 4,8 км.

Учащиеся 5 класса, незнакомые с пропорциями, мо-гут решать задачу по вопросам:

1) Сколько километров составляет 1 ялим?

10,8 : 8,1 = (км).

2) Сколько километров до реки (сколько километровсоставляет 3,6 ялима)?

3,6 = 4,8 (км). О т в е т: 4,8 км.

2. В задаче требуется записать все известные едини-цы длины в порядке возрастания. Нет необходимостипроводить точные вычисления, достаточно прикидки,что тоже весьма полезно для формирования вычисли-тельной культуры.

§ 11. ИЗМЕРЕНИЕ ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМА (2 ч)

Основные понятия : единицы измерения, измерение пло-щади палеткой; измерение углов, единицы измеренияуглов.Предметные результаты : измерять палеткой, мернымстаканом, транспортиром; применять нестандартныеприемы измерения площади и объема, переводить едини-цы длины, площади и объема из одних в другие.Метапредметные результаты : придумывание нестан-дартных способов измерения величин на практике.Личностные результаты: формирование познаватель-ной активности, интереса к геометрии.Внутрипредметные и межпредметные связи: плани-метрия (измерение величин, площадь, объем, мера угла),география.

КОММЕНТАРИИ. По структуре и содержанию данныйпараграф является продолжением § 10: в нем также рас-сматриваются пока лишь вопросы измерения, но не

43---

43---

64

затрагиваются вычисления длин, площадей и объемов.Главное для учителя — добиться понимания смысла из-мерения, выбора единицы измерения и аналогии с из-мерением длины. Выход на двойные неравенства имеетвопрос измерения площади кривой фигуры, в которойне укладывается целое число клеток, она заключенамежду двумя результатами измерения площади. Отсюдаясна необходимость дробления квадратной единицы наболее мелкие: квадратные метры на квадратные санти-метры, квадратные сантиметры на квадратные милли-метры и т. д.

Учитель при объяснении правила перевода однихквадратных (кубических) единиц в другие может встре-титься с непониманием учащимися того, что, например,1 см = 10 мм, а 1 см2 = 100 мм2 и 1 см3 = 1000 мм3. Воз-можно, в преодолении этой трудности поможет напо-минание учащимся, что при нахождении площади квад-рата перемножают его длину и ширину, а при нахожде-нии объема куба надо перемножить длину, ширину ивысоту, которые равны между собой. Задание № 1 наперевод одних единиц измерения в другие позволит уче-никам потренироваться в таком переводе. Особенно хо-роши задания на перевод квадратной версты в квадрат-ные аршины и т. п., так как именно при их выполнениинеобходимо понимание смысла действия. Пониманиюможет способствовать работа с таблицами перевода еди-ниц измерения длины и площади, т. е. запись величин вэти таблицы.

1) Записать следующие величины в таблицу.52 м = 5200 см (дописываем нули до разряда санти-

метров);52 см = 0,00052 км (приписываем нули спереди до

разряда километров).

Кило-метры Метры Децимет-

рыСанти-метры

Единицы Сотни Десятки Единицы Единицы Единицы

5 2 0 0

0, 0 0 0 5 2

65

2) Записать следующие величины в таблицу.5 а = 50000 дм2; 36 см2 = 0,00000036 га.

Рассуждения о выборе единицы измерения продол-жаются. Почему выбрали «квадратный сантиметр», а не«треугольный»? Можно ли в принципе пользоваться«треугольным сантиметром»? Ответ на этот вопрос мо-гут дать сами учащиеся, вспомнив решение задачи о по-крытии плоскости равными треугольниками. Задача№ 2, в которой требуется определить количество «тре-угольных» сантиметров в треугольнике со стороной7 см, использует результат этого покрытия. Разделивкаждую сторону треугольника на 7 равных частей и со-единив соответствующие точки, ученики подсчитываютколичество маленьких равных треугольников, получив-шихся при этом. Их оказывается 7 7 = 49. Аналогич-ный результат был бы получен при разбиении квадратасо стороной 7 см на сантиметровые квадраты.

Используя результат задачи № 2, можно составитьзадачи на разрезание:

1) разрезать треугольник на n равных треугольников,если n является квадратом натурального числа (напри-мер, на 16, 25 и т. д.);

2) разрезать правильный треугольник на 12 равныхтреугольников. Ее решение предостережет учащихся отсоздания стереотипа в решении подобных задач.

От задачи на разрезание треугольника легко перейтик разрезанию треугольной пирамиды, пространственно-го аналога треугольника, при этом учащиеся должнывидеть, что не всегда свойства плоской фигуры дают ос-нования для выполнения аналогичных свойств в про-

Гектары АрыКвадрат-

ные метры

Квадрат-ные

деци-метры


санти-метры


милли-метры

га а м2 дм2 см2 мм2

Дес. Ед. Дес. Ед. Дес. Ед. Дес. Ед. Дес. Ед. Дес. Ед.

5 0 0 0 0

0, 0 0 0 0 0 0 3 6

66

странстве: отрезание «уголков» от пирамиды плоскостя-ми (разрезами), проходящими через середины ребер, неприводит к возникновению четырех равных пирамид.Возможно поэтому «треугольный сантиметр» для из-мерения площадей и объемов неприменим.

Как и при измерении длин, здесь рассматриваютсяпрактические приемы измерения площадей и объемов,а также измерение величин не свойственными имединицами измерения. Это приближает наглядную гео-метрию к повседневной жизни и еще раз показывает еенеобходимость. Отыскание способов измерения толщи-ны бумажного листа, вместимости чайной ложки и др.(задание № 4) развивает конструктивные способностиучащихся, изобретательность, умение находить остро-умные, нетрадиционные решения проблемы.

§ 12. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИНЫ, ПЛОЩАДИ, ОБЪЕМА (2 ч)

Основные понятия : геометрическая фигура, свойствагеометрических фигур; равенство, равновеликость и рав-носоставленность фигур; увеличение площади и объемафигур в зависимости от увеличения линейных размеров ссохранением формы.Предметные результаты : вычислять площади прямо-угольника (квадрата) по формуле; вычислять объем пря-моугольного параллелепипеда (куба) по формуле; выра-жать одни единицы площади и объема через другие; мыс-ленно переносить точку наблюдения, манипулироватьобразом. Метапредметные результаты : индуктивное получе-ние свойств геометрических фигур, выдвижение гипотез;развитие конструктивных способностей, пространствен-ного зрения и логического мышления и коммуникативныхумений.Личностные результаты : развитие познавательной ак-тивности, желания выполнять геометрические упражне-ния и решать задачи.Внутрипредметные и межпредметные связи: плани-метрия (подобие, измерение величин: длина, площадь,объем).

67

КОММЕНТАРИИ. Параграф завершает изучение вопро-сов измерения. В нем обобщаются сведения предыду-щих уроков по этой теме, полученные индуктивно,и формулируются основные свойства меры. Также вво-дятся понятия равновеликости и равносоставленности.Утверждается, что всегда можно перекроить один мно-гоугольник в другой такой же площади и что аналогич-ное свойство для многогранников не выполняется. Эк-вивалентность равновеликости и равносоставленностидля многоугольников очень важна в геометрии: на этомсвойстве основаны выводы формул площадей много-угольников, происходит перекраивание фигуры одну вдругую.

К общим свойствам площади и объема учащиесяподходят в результате решения задач № 1—11. Термины,которыми оперируют школьники при их решении, —это в основном «форма» и «размер».

Задания на измерение длины, площади и объема за-канчиваются задачей № 12. После выполнения этого за-дания учитель переходит к обобщению полученныхсвойств и формулирует их.

Серию практических приемов измерения продолжа-ет задача № 13.


1. Задание на увеличение линии в 2 раза с сохранени-ем формы. Учащиеся должны удвоить каждое звено ли-нии, сохраняя «направление». Работа на клетчатой бу-маге облегчает выполнение задания. Учитель обращаетвнимание на необходимость учета именно направлениякаждого звена, что в дальнейшем пригодится при изуче-нии подобия (сохранение направления позволяет сохра-нить углы). С удвоением ломаной ученики не испыты-вают затруднений. Вторая же часть задания сложнее, таккак линия имеет звенья, являющиеся дугами окружнос-тей. Здесь учитель должен показать прием удвоения ду-ги. Надо удвоить радиус окружности (l = 2 r, а значит,2l = 2 2r).

2, 3. Задания практического характера. Ученикамнужно нарисовать фигуру на клетчатой бумаге и найтиее площадь (объем) путем подсчета. Сравнение ре-

68

зультатов подводит к в ы в о д у: увеличение линейныхразмеров фигуры в n раз дает увеличение площади вn n = n2 раз, а объема — в n n n = n3 раз. Полезновспомнить таблицу перевода единиц измерения и ещераз объяснить ученикам появление или удаление нулейпри переводе единиц измерения площади и объема.

4. В задании требуется найти площадь квадрата, на-рисованного на клетчатой бумаге так, что его сторонырасположены не по сторонам клеток.

5. В задании, которое аналогично № 4, требуется на-чертить на клетчатой бумаге квадраты определеннойплощади, причем решение во многих случаях возможноименно при расположении сторон квадратов не вдольсторон клеток. Выполнение заданий № 4 и 5 основыва-ется на том, что диагональ прямоугольника делит его надве равные части, т. е. если известно, что площадь пря-моугольника равна 2 3 = 6 клеток, то площадь тре-угольника, полученного проведением диагонали, равна6 : 2 = 3 клеткам. В качестве подготовительных упраж-нений можно порекомендовать вычерчивание треуголь-ников площадью 0,5 клетки, 1 клетка, 1,5 клетки и т. д.,т. е. тех треугольников, которые понадобятся при вы-черчивании квадрата заданной площади. Задание № 5можно также выполнять и в систематическом курсе гео-метрии при изучении теоремы Пифагора.

9, 10, 11. Задачи решаются одним методом — ме-тодом разрезания и достраивания (перекладывания от-резанных частей). Суть его в том, что фигуры перекра-иваются в равные, откуда заключаем, что их площадиравны. Выполнение этих заданий можно считать пропе-девтикой вывода формул площадей многоугольников,где применяется тот же прием. Решение на клетчатойбумаге очень облегчает работу: на ней хорошо видныравные отрезки, параллельные прямые, по узлам можнопостроить равную фигуру и т. д.

12. В задании требуется подсчитать объемы изобра-женных на рисунке тел, составленных из единичных ку-биков.

13. Задача на измерение высоты дерева с помощьюлужи. Недостающее знание для учащихся при решенииэтой задачи — равенство углов падения и отражения

69

луча света от плоской зеркальной поверхности. Это мо-жет рассказать учитель. Таким образом, данное вычис-ление основано на подобии треугольников, образую-щихся при отражении дерева в луже. Конечно, полногообоснования этого приема пока не нужно давать учени-кам, но если они запомнят прием, это знание сработаетпри изучении подобия в систематическом курсе геомет-рии.

14. Задание на нахождение площади фигуры, разби-ваемой на прямоугольники, — стандартное, обязатель-ное для выполнения всеми учениками. Прием его вы-полнения состоит в сведении площади искомой фигурык сумме площадей прямоугольников. Для этого фигурунадо разделить на прямоугольники или их половинки,что учениками выполняется без затруднений после ре-шения более сложных задач № 9—11.

15. Задачу можно сформулировать в более общем ви-де, взяв вместо конкретных чисел 3 и 4 некоторые бук-венные обозначения m и п. Тогда, после соответствую-щего разрезания и перекладывания, ограниченная фи-гура будет по площади больше исходной на (m – n)2

квадратных единиц.

§ 13. ОКРУЖНОСТЬ (1 ч)

Основные понятия : окружность, круг, радиус, диаметр,дуга, градусная мера дуги, вписанные фигуры.Предметные результаты : строить окружность с по-мощью циркуля и от руки, делить окружность на равныечасти, изображать правильные многоугольники, вписан-ные в окружность; пользоваться транспортиром, со-здавать образ по памяти и манипулировать им: вращать,расчленять, достраивать.Метапредметные результаты : приобретение опытаисследовательской работы, развитие логических умений:выделение существенных признаков понятия, формули-рование определений, применение приемов абстраги-рования, обобщения.Личностные результаты : развитие наблюдательности,умения видеть геометрию окружающего мира: развитиепознавательной активности, общекультурное развитиеучащихся, эстетическое воспитание.

70

Внутрипредметные и межпредметные связи: плани-метрия (окружность, дуга окружности и измерение дуги,вписанные и описанные фигуры).

КОММЕНТАРИИ. Окружность и треугольник составля-ют основу планиметрии, поэтому данный параграфможно считать одним из основных в пропедевтическомкурсе геометрии. Основная цель изучения — понять,а не просто формально запомнить определение окруж-ности, увидеть ее основное свойство и научиться его ис-пользовать, научиться делить окружность на равныечасти с использованием транспортира и циркуля. Крометого, учащиеся приобретают чертежные навыки работыс циркулем, рисуя орнаменты.

Начать можно с логического упражнения в констру-ировании различных определений. Определяя различ-ные понятия, не обязательно математические, ученикипод руководством учителя подходят к пониманию опре-деления как предложения, в котором перечисляются ос-новные свойства данного понятия, позволяющие отли-чить его от остальных понятий. Чтобы их перечислить,эти свойства должны быть сначала обнаружены.

— Чем отличается треугольник от других фигур?[Тем, что он состоит из трех точек, не лежащих на однойпрямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки.]

— Чем отличается окружность?— Как определить это понятие? Учитель может использовать простую модель, со-

стоящую из круга, закрепленного в центре и вращаю-щегося вокруг него на плоскости. Круг обведен яркойкраской. На окружности отмечена какая-либо точка.При вращении круга видно, что эта точка скользит понарисованной окружности. Значит, окружность — этолиния, которая «скользит» сама по себе, вращаясь во-круг центра.

Можно провести радиус круга, соединяющий этуточку с центром, и выяснить с учениками, на каком рас-стоянии выбранная точка находится от центра круга.Аналогичная модель делается и с правильным треуголь-ником, закрепленным в центре. Ученики замечают раз-ницу: в треугольнике выбранная точка скользит не поконтуру треугольника, а по некоторой окружности.

71

Сравнив расстояния от различных точек окружности доцентра и расстояния от различных точек треугольникадо центра, приходим к определению окружности.

Окружность — это линия, все точки которой распо-ложены на одном расстоянии от одной точки плоскос-ти, называемой центром окружности.

Непосредственно после формулировки определенияможно задать ученикам вопросы.

— Почему колеса делают круглыми? — Почему для вычерчивания окружности применяют

циркуль? — Как нарисовать окружность с помощью веревочки

или шнурка?Часто школьники подменяют термин «окружность»

термином «круг», не различая их. На этом следуетостановиться отдельно. Мы рекомендуем и здесь ис-пользовать модель — веревочку, связанную в кольцо.Это кольцо, положенное на плоскость, ограничиваетнекоторую площадь, причем, в зависимости от формы,которую мы придаем кольцу, эта площадь будет раз-личной. Если кольцо принимает форму окружности, тоограниченная им фигура будет иметь наибольшую пло-щадь, эта фигура — круг. Итак, разница окружности икруга в том, что окружность — это линия, ее величинахарактеризуется длиной, а круг — плоская фигура, ха-рактеризуется площадью.

Учащиеся на этом уроке также должны запомнитьтермины «радиус» и «диаметр». Лучшему запоминаниюпоможет знание школьниками перевода этих слов как«спица в колесе» и «поперечник».

Изобразительно-графические умения школьниковпополняются умением от руки изображать окружностьна клетчатой бумаге, что бывает часто нужно при вы-полнении набросков или рисунков к планиметриче-ским задачам. Это правило окружности можно условноназвать «3—1, 1—1, 1—3» (три вправо, одна вниз; однавправо, одна вниз; одна вправо, три вниз).

Далее основная нагрузка приходится на деление ок-ружности на равные части. Это очень трудоемкое заня-тие для пятиклассников, требующее умения работать странспортиром и циркулем. Кроме того, ученики долж-

72

ны понять соответствие между градусной мерой цент-рального угла (угол, образованный радиусами) и меройдуги (заключенной между его сторонами).

Затем предлагается рассмотреть в учебнике рисунки91—94. Учитель может также применять и другие мате-риалы, отражающие использование окружности в ар-хитектуре и искусстве. Эти примеры должны подвестиучеников к проблеме деления окружности на равныечасти.

Самая простая и наглядная модель окружности, раз-деленной на равные части, — это круглый циферблатчасов и стрелки как радиусы. Сделав полный оборот,стрелка описывает угол в 360 (этого вопроса ученикиуже касались при рассмотрении транспортира и градус-ной меры угла, и мы надеемся, что им нетрудно будетвспомнить это). Значит, треть окружности составляет120 . Надо начертить три угла с вершиной в центре ок-ружности по 120 каждый. Стороны этих углов разделятокружность на три равные части. Точки деления соеди-няем отрезками и получаем вписанный в окружностьтреугольник.

Далее учитель предлагает ученикам сделать необхо-димые расчеты для того, чтобы разделить окружностьна 5, 6, 8 частей и вписать соответствующий много-угольник.

Затем учитель может объяснить ученикам способ де-ления окружности на 6 равных частей без транспортира.Объяснение лучше провести самому учителю, так какуровень логического мышления учащихся еще недоста-точно высок для проведения доказательств подобногорода, да и приемов рассуждения учащиеся еще не знают.Конечно, требовать повторения учениками этого рас-суждения не нужно. Это доказательство в данном случаеиграет роль примера логических рассуждений, но усво-ить способ деления окружности на 6 частей они долж-ны. Закрепить его они могут при выполнении орнамен-та «цветок» (рис. 96 учебника).

Предлагается выделить время для вычерчивания ор-наментов одним циркулем. Ученики должны быть пре-дупреждены заранее о том, что им понадобятся цвет-

73

ные карандаши, если набор цветных карандашей не ис-пользуется на уроках постоянно.

По теме «Окружность» следует повторить все основ-ные понятия, приемы вычерчивания, рассмотреть орна-менты, нарисованные учащимися. Учитель не должензабывать о необходимости наглядного раздаточногоматериала, о работе с ножницами при решении задач наразрезание фигур, об играх-инсценировках задач. Инс-ценировать можно задачи № 10—12. Для этого пона-добится веревка, ее учитель приготовит заранее. Такиепрактические решения требуют большого простора,и их лучше проводить не в классе, а в рекреации илив другом просторном помещении.

Завершить урок можно несколькими задачами параг-рафа, например № 3—5. Задачи № 1 и 2 полезно решитьдома.


1. При разборе задачи полезно сравнить свойстваквадрата и основное свойство окружности и найтипринципиальное отличие, используя определение ок-ружности.

2. Задача требует неординарности мышления, реше-ние очень неожиданно — сгибание круга вместе с поло-сой, его трудно найти с помощью логических рассужде-ний. Но даже если ученики не додумаются сами, реше-ние учителя должно поразить их своей простотой иоригинальностью, а также запомниться как возможныйметод решения.

3. Задача, аналогичная задачам на складывание че-тырех треугольников из шести спичек и шести квадра-тов из 12 спичек, решение которых возможно толькопри выходе из плоскости в пространство.

4. Задача продолжает серию «невозможных фигур». 5. Решение задачи трудно найти, если в рассуждени-

ях использовать квадрат и пытаться разрезать его на час-ти. Проще в предлагаемых фигурах выделять части, изкоторых после разрезания можно сложить квадрат состороной 6 клеток. Полезно также внимательно рас-смотреть контуры фигур и выяснить, какие части могутбыть вдвинуты друг в друга после разрезания.

74

12. При решении задачи в кружок становятся учени-ки (четное или нечетное число) и каждые двое соседейначинают вращаться в разные стороны после того, какбудет выяснен смысл работы шестеренок. Ученики за-мечают разницу и дают ответ на поставленный вопрос.

13. Определенную трудность может составить реше-ние задачи о бревнах и лежащей на них платформе. Сра-зу напрашивается ответ 5 м, который является не-верным, так как не учитывается, что движется не толькоплатформа, но и бревна. Платформа передвинется на5 м относительно бревен, а бревна — на 5 м относи-тельно земли. Таким образом, передняя часть платфор-мы передвинется на 5 + 5 = 10 (м). Облегчить решениезадачи можно моделированием ситуации с помощьюцилиндрических карандашей и плоского тяжелого пе-нала, положенного на них. Не забудьте на стол поло-жить линейку и сделать соответствующие замеры!

14. При решении задачи можно использовать резуль-тат задачи № 10 о козьем пастбище, когда кольцо ошей-ника козы оказывается около колышка. Время в задачеиграет роль веревки, ограничивающей передвижениекозы.

§ 14. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ТРЕНИНГ (1 ч)

Основные понятия : теорема, теорема Пифагора.Предметные результаты : распознавать геометриче-ские фигуры в сложных конфигурациях; целостно восп-ринимать объект, вычленять из чертежа отдельные эле-менты; создавать и манипулировать мысленным образом,обосновывать найденную закономерность.Метапредметные результаты : развитие опыта поис-ковой предметной деятельности, коммуникативных уме-ний.Личностные результаты : развитие познавательной ак-тивности, интереса к занятиям геометрией; воспитаниецелеустремленности, настойчивости, смелости в приня-тии решения.Внутрипредметные и межпредметные связи: плани-метрия (теорема Пифагора).

75

КОММЕНТАРИИ. Вслед за насыщенным новыми поня-тиями параграфом «Окружность» предлагается провес-ти урок, ставящий своей основной целью развитиегеометрического зрения. Среди упражнений тренинга:задание на формирование умения целостно восприни-мать объект, на умение вычленять отдельные части ри-сунка, включать отдельный элемент рисунка в различ-ные связи, задания, требующие манипулирования обра-зом по памяти, создания образа воображения. Задания№ 10—12 требуют от учеников работы логического ха-рактера на обоснование замеченного свойства, на срав-нение, на формулировку свойств.

Среди заданий тренинга выделяются № 8 и 9, кото-рые, кроме того что развивают геометрическое зрение,а именно прием включения объекта в различные связи ивосприятие геометрической фигуры как части некото-рого объекта (другой фигуры), также являются иллюст-рацией приема, который можно условно назвать«кодированием точек». Он состоит в том, что точки пе-ресечения отрезков или прямых нумеруются или назы-ваются буквами (нумерация облегчает работу, так какчисла привычнее для детей, чем латинские буквы, кро-ме того, числами можно обозначить любое, даже боль-шое, количество точек). Обозначив таким образом точ-ки, можно начинать перечисление фигур указанием ихвершин (например, решение № 1). Можно проводитьрассуждения и другого рода, как, например, при реше-нии задачи № 5. После изучения площадей, когда уче-ники разбирали вопрос о выборе единицы измерения —квадратной или треугольной — и решали задачу о деле-нии треугольника на 4 равных треугольника, им этотспособ может быть понятен.

Задачи № 10 и 12 требуют от учеников наблюдатель-ности, а также знания темы «Площади», в их решениимогут помочь задачи на разрезание, поэтому полезновспомнить на этом уроке какие-нибудь задачи на раз-резание и складывание, например игра «Танграм», ко-торые не вызывают затруднений и нравятся школь-никам.

76


1. Решение задачи начнем с перечисления отрезков сконцом в точке А, это АК, AM, AB (три отрезка); теперьс концом в точке К. АК уже посчитали, значит, КМ иKB — два отрезка; теперь — в точке М: AM и КМ уже уч-ли, остается MB; никаких неучтенных отрезков с кон-цом в точке В нет, значит, на рисунке всего 6 отрезков.О т в е т: 6 отрезков.

4. При выполнении задания занумеруем точки пере-сечения отрезков и начнем выписывать треугольники,начиная, например, с левого нижнего уголка. Сначалавсе треугольники с вершиной 1:

1—2—9, 1—3—8, 1—4—7. Затем все не записанныееще треугольники с вершиной 2: 2—3—10, 2—4—6,2—9—10 и т. д.

Таким образом, получим 13 треугольников.5. Сначала мы подсчитываем число единичных тре-

угольников — самых маленьких. Их 4 · 4 = 16. Затем —количество треугольников, которые состоят из 4 ма-леньких, их площади больше в 2 · 2 = 4 раза. Такихтреугольников 7 штук, они частично перекрывают другдруга. Затем — число треугольников со сторонами,втрое большими, чем у единичных. Они составлены из3 · 3 = 9 маленьких. Три треугольника со сторонамивтрое большими, чем у единичных, и они тоже частичноперекрывают друг друга. И, наконец, последний тре-угольник — самый большой.

Итак, всего 16 + 7 + 3 + 1 = 27 треугольников. 9. Пронумеруем точки числами от 1 до 9 и выпишем

коды всех треугольников по порядку: 1—2—3, 1—4—6,2—4—5, 2—3—5, 2—6—7, 3—4—8, 3—5—6, 4—5—7,4—6—9, 5—6—8, 5—7—8, 7—8—9. Всего 12 равносторон-них (именно равносторонних, а не произвольных) тре-угольников.

11. Из всех задач параграфа эта задача является са-мой сложной. Хотя ее решение полностью приведено вответах, ученики едва ли смогут разобраться самостоя-тельно, поэтому учителю следует показать и объяснитьрешение этой задачи. Ученики должны понять, почемуввели соответствующие обозначения, почему достаточ-но рассмотреть только четверть всей фигуры и почему

77

получается уравнение 2х + 2а = 2а + х + у, из которогоследует равенство х и у. Если для учеников подобныерассуждения еще сложны, можно не требовать от нихповторения этих рассуждений. Учитель при решенииэтой задачи просто демонстрирует новый прием, осно-ванный на составлении уравнения (алгебраическийприем решения геометрической задачи).

§ 15. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ОПЫТЫ (1 ч)

Основные понятия : топология, поверхность, лист Меби-уса, графы, уникурсальные кривые.Предметные результаты: строить геометрические фи-гуры от руки; исследовать и описывать свойства фигур,используя эксперимент, наблюдение, измерение, моде-лирование; использовать приемы дедуктивного мыш-ления при решении задач с помощью графов, рисоватьграфы, соответствующие задачной ситуации; создаватьи манипулировать мысленным образом.Метапредметные результаты : формирование прие-мов исследовательской деятельности при обнаружениисвойств листа Мебиуса.Личностные результаты : формирование интереса к са-мостоятельному поиску знаний, фантазии, инициативы,аккуратности, эстетического восприятия геометрии.

КОММЕНТАРИИ. Логически данный параграф делитсяна две части: опыты с бумагой и вычерчивание кривыхбез отрыва руки. Учитель может построить занятиясоответственно: сначала рассмотреть лист Мебиуса иего особенности и организовать выполнение опытов сразличными кольцами и лентами, а затем рассказать озадаче Эйлера и уникурсальных кривых.

Изучение темы строится в соответствии с учебником.Одно лишь замечание можно сделать по началу урока.Данный материал не традиционен для современнойшколы, и ученики наверняка не встречались с ним. По-этому учитель может привлечь внимание учеников кизучению фокусом.

Сначала взять в руки простое, не перекрученноекольцо и спросить учащихся, что получится, если егоразрезать посередине вдоль. Ученики без труда дадут

78

верный ответ: получатся два одинаковых кольца, вдвоетоньше исходного. Затем учитель на виду у школьниковсклеивает новое кольцо (лист Мебиуса), перекрутив по-лосу бумаги один раз, задает тот же вопрос и, вероятно,получит аналогичный ответ: получатся два одинаковыхперекрученных кольца. Так ли это? Разрезав кольцовдоль, учитель показывает результат разрезания — одноперекрученное кольцо вдвое длиннее и вдвое тоньшеисходного. Не схитрил ли учитель? А что получится ушкольников? И далее проводятся опыты с перекручен-ными кольцами. В зависимости от собранности классаучитель может по-разному организовать работу. Онможет контролировать каждый шаг и после каждогоопыта подводить итог, выясняя особенности. В болееорганизованном классе ученики могут самостоятельно,лишь с помощью учебника и индивидуальной помощьюучителя, выполнить опыты и заполнить таблицу, а затемобсудить результаты и сделать выводы. Безусловно,никаких обоснований полученного результата учительне может дать ученикам. Общий вывод, к которому при-ходят ученики, состоит в том, что в мире, и в геометриив частности, есть множество удивительных и интерес-ных вещей, которые еще предстоит открыть для себяшкольникам.

Далее можно выполнить упражнение с алфавитом.Сначала учитель немного рассказывает о топологии —разделе геометрии, в котором изучаются такие свойствафигур, которые не изменяются при всяческих деформа-циях, не допускающих разрывов и склеиваний. Такимдеформациям будут подвергаться буквы алфавита.Представим буквы алфавита сделанными из мягкойпроволоки, которую можно сгибать и разгибать, нонельзя разрывать и склеивать. Какие буквы можно сде-лать из «А»? Например, вытянув «ножки» буквы в сторо-ны и затем, загнув концы книзу, можно получить букву«Д». С точки зрения топологии эти буквы одинаковые.Далее ученики преобразовывают другие буквы алфави-та, оформляя результаты в таблице, или, например,с помощью стрел.

Ученики должны в уме выполнить операцию рекон-струкции, выдать готовый результат и изобразить его.

79

Если задание вызывает затруднения, оно выполняетсяпредметно, с использованием модели (даже простой ри-сунок может помочь учащемуся, если реконструкциюзаменить рисованием как бы в движении).

Далее выполняются задачи § 1 на вычерчивание за-крытого и открытого конвертов без отрыва руки. Учени-ки вспоминают, что одна из них не имела решения. Чемотличаются эти задачи? Ответ на этот вопрос будет данна этом уроке.

Затем учитель обращается к знаменитой задаче Эйле-ра о семи кенигсбергских мостах. Объяснение ее реше-ния, приведенное в параграфе, обязательно нужносопровождать показом рисунков. Лучше, если они будутзаранее увеличены или нарисованы на доске. Ученикидолжны следить за рассказом учителя и не терять нитьрассуждений. От рисунков учитель переходит к сетикривых (их можно нарисовать под рисунком к задаче омостах), объясняя, что при схематическом изображенииострова и берега заменяем точками — узлами графа,а мосты — кривыми или сторонами графа. Узлы бываютдвух видов — четные и нечетные. Четным назовем узел,в котором сходится четное число сторон, а нечетным —узел, в котором соединяется нечетное число сторон.Подсчитывается количество четных и нечетных узловграфа (или сети кривых), и учитель формулирует усло-вие, при котором данную сеть (граф) можно вычертитьбез отрыва руки: нечетных узлов должно быть не большедвух (два или ни одного).


1, 2. Закрепление задачи о семи мостах проводитсяпри решении задач, аналогичных разобранной. Их ре-шение сводится к построению графа и подсчету количе-ства нечетных узлов. Не следует забывать, что мосты(или другие пути и дорожки) — это стороны графа,а острова, комнаты и т. п. — это узлы, в которых путисходятся. Графы удобно вычерчивать, сначала расставивузлы, а затем соединяя их в соответствии с количествомдорожек, дверей, мостов и т. п.

3, 5, 6. Задачи решаются аналогично № 1 и 2. Осо-бенность задачи № 3 в том, что построенный граф будет

80

пространственным: это будет каркасный куб, моделькоторого может помочь ученикам найти решение зада-чи.

4. Перед выполнением задания можно сначала убе-диться, что предлагаемые фигуры можно начертить безотрыва руки, а затем уже браться за вычерчивание.Ученики должны заметить, что начинать всегда нужно снечетного узла, если он есть, тогда путь заканчиваетсятоже в нечетном узле. Предложите ученикам объяснить,почему так происходит.

Задание на дом. 1) Подумать, почему любой графлибо содержит четное число нечетных узлов, либо вооб-ще их не имеет. При этом ученикам можно показатьприем рассуждений: проставить около каждого узлачисло, соответствующее количеству выходящих из этогоузла путей, затем подсчитать их сумму и сделать вывод.

2) Придумать интересные фигуры, которые можноили нельзя начертить без отрыва руки.

§ 16. ЗАДАЧИ СО СПИЧКАМИ (1 ч)

Предметные результаты : конструировать фигуры изспичек; исследовать и описывать свойства фигур, исполь-зуя эксперимент, наблюдение, моделирование; создаватьобраз, осуществлять мысленный перенос элементов об-раза, реконструировать образ.Метапредметные результаты : развитие конструктив-ных способностей, комбинаторных способностей, спо-собности предвидеть результат.Личностные результаты : развитие интереса к геомет-рической деятельности, формирование усидчивости, на-стойчивости, гибкости мышления.

КОММЕНТАРИИ. Задачи этого параграфа не являютсядля учеников незнакомыми. Они весьма распростране-ны среди школьников, причем не воспринимаются имикак геометрические, что позволяет снять напряжение,возникающее у некоторых учеников при решении мате-матических задач. Они относятся к так называемомуматематическому фольклору, популярному во все вре-мена. Никаких специальных знаний для их решения не

81

требуется. Важна лишь сообразительность, способностьк мысленному предвосхищению результата.

Для учителя важно выбрать форму проведения урока.Можно, начав с фронтальной работы, показывающейвсем ученикам решение и процесс его поиска, перейти киндивидуальной работе, когда ученики работают каж-дый в своем темпе. Учителю при этом важно поощритькаждого ученика, похвалить его за самостоятельность иоригинальность.

В конце урока, разбирая решения со всем классом,учитель может остановиться на том, как ученик догадал-ся до такого решения, что его на это натолкнуло, какиеособенности конфигурации сыграли решающую роль ввыборе пути решения. Подобная работа позволит ре-ализовать большой логический потенциал подобныхзадач, в которых логика на первый взгляд «не работает».Такие вопросы учат школьников анализировать ситу-ацию, проводить сравнение и аналогию, что весьмаважно при решении геометрических задач. Также здесьсрабатывает прием включения объекта в различные свя-зи, что является необходимым при решении геометри-ческих задач.

Урок решения задач со спичками во многом напоми-нает ученикам игру. Завершить впечатление игры и со-ревнования учителю поможет вручение призов от-личившимся на уроке школьникам. Это могут бытьмодели многогранников, красочно оформленные кар-тинки геометрического содержания, изображения не-возможных объектов и т. п., подготовленные старше-классниками.

§ 17. ЗАШИФРОВАННАЯ ПЕРЕПИСКА (1 ч)

Основные понятия : поворот на заданный угол в задан-ном направлении.Предметные результаты : осуществлять поворот фигу-ры на заданный угол в заданном направлении; манипули-ровать мысленным образом. Метапредметные результаты : приобретение опытаэкспериментирования с объектом.

82

Личностные результаты : развитие самостоятельности,поддержание познавательной активности, интереса кпредмету, воспитание усидчивости и аккуратности.

КОММЕНТАРИИ. Рассмотрение этого параграфа при-ходится на один из последних уроков наглядной геомет-рии 5 класса. Конец года, ученики устали, поэтомутрудно надеяться на усвоение серьезного теоретическо-го материала. Предлагается провести урок пропедев-тики понятия «поворот». Изготавливая шифровальнуюрешетку, распределяя «окошечки» по определенномуправилу, сформулированному учителем, ученики долж-ны проявить и самостоятельность, и умение пользовать-ся некоторым предписанием, и способность к понима-нию дедуктивных рассуждений учителя. После объясне-ния правила вырезания «окошечек» учитель может ещераз спросить учеников, почему нужно вырезать окошеч-ки с разными номерами. Если ученик смог объяснитьэто, можно надеяться, что интуитивное понятие пово-рота сформировано.

Прием и метод рассуждений при объяснении того,что разных решеток можно составить больше 4 милли-ардов, в дальнейшем встречается при решении задачи№ 10 из § 18 о количестве способов прочтения слова«шалаш». Учитель может только лишь рассказать, какподсчитывается это количество, и провести подсчет, нетребуя повторения от учеников, так как уровень разви-тия дедуктивного мышления учащихся еще недостаточ-но высок. Если ученик вспомнил прием при решенииэтой задачи, даже не сумев его применить, учитель мо-жет считать, что добился немалых результатов в разви-тии его мышления.

По организации урока можно сделать следующие за-мечания. Начать урок лучше с показа ученикам «полу-ченной» учителем шифровки и поиска способа дешиф-ровки. Лучше, если текст будет каким-либо образомкасаться учащихся данного класса. Затем учитель пока-зывает дешифровальную решетку и рассказывает о ееизготовлении. После этого пятиклассники приступаютк самостоятельному изготовлению решеток, предвари-тельно проконсультировавшись с учителем, правильноли выбраны клетки для «окошек». При этом учитель мо-

83

жет выяснить степень понимания учениками сущностиповорота. Можно предложить учащимся работу в парахили в малых группах, которые делают одинаковые ре-шетки, таким образом, игра может быть продолжена внекласса, летом на каникулах.

§ 18. ЗАДАЧИ, ГОЛОВОЛОМКИ, ИГРЫ (1 ч)

Предметные результаты : исследовать и описыватьсвойства фигур, используя эксперимент, наблюдение, из-мерение, моделирование.Метапредметные результаты : приобретение опытапоисковой деятельности, формирование познавательнойактивности, развитие коммуникативных умений.Личностные результаты : привитие вкуса к умственнойработе.

КОММЕНТАРИИ. В последнем параграфе, предложен-ном для рассмотрения в 5 классе, собраны различныезадачи и головоломки из разных разделов. Есть задачи,аналогичные рассмотренным в течение года, а также за-дачи, встречающиеся ученикам впервые. Они различныи по уровню сложности, но среди них есть такие, кото-рые под силу любому школьнику. Ко всем задачам вучебнике даны ответы или решения.

В задаче № 1 на расстановку стульев, если ответ неполучается методом проб и ошибок, полезно провестинекоторые рассуждения, как, например, в № 1 (а).


1 (а). В задаче поставим вдоль одной стены 6 стульев.Остается еще 6 стульев, но требуется получить два рядапо 4 стула, и кажется, что двух стульев не хватает. Этидва стула нужно «позаимствовать» из уже расставлен-ных, но так, чтобы все они остались в одном ряду. Зна-чит, эти недостающие стулья должны принадлежать итому ряду, в котором они стояли, и тому, в который мыхотим их поставить, т. е. они должны быть угловыми.

1 (б). В задаче «недостает» четырех стульев, значит,поставим в каждом углу комнаты по стулу и добавимвдоль каждой стены по два.

84

1 (в). В задаче после размещения двух стульев посе-редине комнаты остается 10 стульев. Их нужно размес-тить поровну вдоль четырех стен. 10 на 4 нацело не де-лится, но делится 8. Поставим по два стула околокаждой стены, а два оставшихся — в углах так, чтобы ихможно было отнести к двум парам противолежащих сто-рон.

2. Задача является иной формулировкой задачи 1 (в).3. Задачу можно переформулировать: соединить

20 точек ломаной линией так, чтобы она прошла черезвсе точки и была длиной 19 см (расстояние между точ-ками равно 1 см).

4. При решении задачи лучше пользоваться схема-тичным изображением туфель, выделив лишь шнуров-ку. Это задание на восстановление невидимой частичертежа, аналогичное приему построения чертежа в сте-реометрии. Учитель может варьировать задания, пред-лагая ученикам различные варианты шнуровки.

5. При решении задачи учитель может использоватьпредметную модель, т. е. квадраты, вырезанные в соот-ветствии с условием задачи. Начало объяснения учительв таком случае сопровождает показом этих квадратов ипроцесса наложения их друг на друга. На втором-треть-ем шаге учитель прекращает демонстрацию модели,и дальнейшие преобразования ученики проводят в уме,зарисовывая на бумаге лишь конечный результат. Как изадачу № 4, эту задачу можно варьировать, изменяяправило или последовательность действий. Например,можно укладывать квадраты, чередуя цвет и совмещаяверхние левые углы, или совмещая центры и т. п. Мож-но также предложить ученикам составить с помощьютаких квадратов рисунки, а затем сделать выставку.

6. Задача является очень трудной для пятиклассни-ков: нужно суметь увидеть пробку с разных сторон.Пробка должна быть такой, чтобы разными ее проек-циями были квадрат, треугольник и круг. Чтобы пробкамогла закрыть круг и квадрат, она должна быть цилинд-рической формы, причем диаметр основания долженбыть равен высоте. При этом одна проекция (видсверху) — круг, а вторая (вид сбоку) — квадрат. Но какбыть с треугольником? Для того чтобы одна из проек-

85

ций была треугольником, достаточно у квадрата «сре-зать уголки», т. е. от цилиндра нужно отрезать две части,проведя секущие плоскости через центр верхнего осно-вания и диаметрально противоположные точки окруж-ности нижнего основания. Таким образом, получиласьпробка, внешний вид которой изображен в ответе к за-даче. Заметим, что выше приведенные рассуждениявесьма сложны и опираются на понятия, которые уче-никам еще не известны (например, понятие «сечение»),но цель учителя состоит не в том, чтобы ученики усво-или ход решения. Возможно, ответ будет получен уча-щимися интуитивно, если предложить им предметноерешение, например с использованием пластилина.В любом случае, задача полезна для развития простран-ственного мышления подростков.

9. В задаче требуется поставить 24 стула в 6 рядов по5 в каждом. При умножении 5 на 6 получаем 30, шестистульев не хватает. Значит, эти шесть стульев — «угло-вые», принадлежащие двум рядам. Таким образом, по-лучается как бы шестиугольная комната, вдоль стен ко-торой расставляются стулья, аналогично задаче № 1.

10. В условии задачи не оговорено, могут ли совпа-дать первая и последняя буквы в слове «шалаш». Пустьэти буквы могут совпадать, тогда ходов «шал» — 12, об-ратных «лаш» тоже 12. Значит, всего 12 · 12 = 144 хода.

Добавляя условия в задачу, например, что первая ипоследняя буквы не совпадают, получаем другие ответы.В этом случае обратных ходов не 12, а 11, поэтому всего12 · 11 = 132 способа. Если же потребовать, чтобы ника-кие буквы в слове не повторялись, то количество вари-антов еще уменьшится, их станет всего 100.

12. При решении задачи помощью ученикам можетстать словесное объяснение места, где находятся колод-цы: «в уголках треугольника и посередине», и тогда онивспомнят рисунки о делении треугольника на равныечасти, встречавшиеся им ранее.

13. Если решение вызовет затруднения, можно под-сказать ученикам, что линии соединения точек могутвыходить за пределы квадрата, обозначенного даннымиточками.

86

15. В задаче № 15 (а) следует обратить внимание уче-ников на то, что искомый треугольник — прямоуголь-ный, это говорит о том, что один из углов данного пря-моугольника может стать прямым углом. Попытка до-рисовать недостающую часть треугольника натолкнетна решение задачи.

Решение задачи № 15 (б) опирается на свойство сим-метричности равнобедренного треугольника. Он состо-ит из двух равных частей, поэтому и прямоугольникнужно разделить на две равные части.

Задача № 15 (в) — посложнее. Предложите ученикампоискать подсказку.

16. Полезно начинать решение задачи с подсчетаплощади данной фигуры и выяснения того, какую пло-щадь должна иметь четвертая часть фигуры. А какуюформу?

19. При рассмотрении рисунков, изображающихсвернутую из бумаги трубочку, нужно обратить внима-ние на наклон (правый или левый) закручивающегосякрая бумаги и на то, какой это край — ровный или нет.Один из вариантов сворачивания трубочки можно про-демонстрировать ученикам, иначе многим ребятам мо-жет быть непонятно условие задачи.

21, 22. При выполнении этих заданий полезновспомнить, как решали задачи № 8 и 9 в § 14. Используяприем кодирования точек, выписывали всевозможныеквадраты в № 8 или правильные треугольники в № 9.Теперь ученикам предстоит «отбросить» наиболее частовстречающиеся в записи вершины так, чтобы остальныене являлись вершинами квадрата (треугольника).

Решим задачу № 22. Пронумеруем точки и выпишемвершины всех правильных треугольников: 1—2—3,2—4—5, 3—5—6, 4—5—7, 5—6—8, 5—7—8, 7—8—9, 1—4—6, 4—6—9, 2—6—7, 3—4—8. Теперь остается вычерк-нуть наиболее часто встречающиеся вершины. Вычер-чивание вершины 5 делает невозможным построениешести треугольников. Теперь вычеркнем, например,вершину 4, она встречается три раза в оставшихся тре-угольниках, остается три треугольника. В них дваждывстречается вершина 2. Вычеркнем ее, останется один

87

треугольник 7—8—9. Отбросим любую из этих трех то-чек и таким образом выполним требование задачи.

24, 25, 26, 36. Задачи можно считать шутками изматематического фольклора. Подобные задачи решаютвсе дети, начиная с дошкольного возраста, проявляяпри этом изобретательность, юмор, находчивость. На-верняка, ученики смогут предложить для решения вклассе и свои задачи, от которых не следует отказывать-ся: повеселитесь на уроке, это так полезно, особенно вконце учебного года.

28. К верному решению поможет прийти анализ ри-сунка к задаче. Домики № 2 и 3 расположены так, чтосоединение их с соответствующими калитками по пря-мым неизбежно дает пересечение дорожек, значит, про-ведя одну дорожку напрямую, например, от домика№ 3, дорожку к домику № 2 нужно провести «в обход».Для этого есть единственная возможность: нужнообойти домик № 3 сзади. После этого шага становитсявидно, что дорожка к домику № 1 должна вначале про-ходить между второй и третьей дорожками, т. е. тоже ид-ти за домик № 3. Теперь обогнуть домик № 2 не соста-вит труда.

30. Процесс решения этой сложной задачи сводитсяк последовательному выяснению длин сторон квадра-тов, начиная с закрашенного. Его сторона равна 1. Сле-дующий по величине квадрат, прилегающий к закра-шенному, со стороной 2. Теперь идем против часовойстрелки: третий по величине квадрат имеет сторону2 + 1 = 3. Квадрат над ним — сторону 3 + 1 = 4. Далее,4 + 1 = 5. Мы подошли к первому квадрату со знакомвопроса. Его сторона равна стороне пятого квадрата безединицы, т. е. 4. Теперь ясно, что левый верхний квад-рат имеет сторону 5 + 4 = 9, левый нижний 9 + 4 = 13,и больший квадрат со знаком вопроса — со стороной13 + 2 = 15.

32. Разъяснить невозможность переплетения каран-дашей способом, предложенным в учебнике на рисунке159, можно с использованием понятий «выше», «ниже».Так, если рассмотреть вертикальный желтый и горизон-тальный коричневый и серый карандаши, то желтый ле-жит ниже указанных серого и коричневого. В то же вре-

88

мя наклонный бежевый карандаш лежит под желтым инад серым, т. е. ниже желтого, но выше коричневого исерого карандашей, что невозможно: получается, чтобежевый карандаш как бы огибает желтый снизу, какпетля. Ученики могут не проводить подобных рассужде-ний, достаточно, если они увидят «невозможность» этойкартинки.

33. Объяснение ученика может быть подобным сле-дующему: двигаясь вдоль стороны треугольника, спичкаповорачивается так, что, возвратившись в исходноеположение, ее головка оказывается повернутой в проти-воположную сторону, т. е. спичка повернулась на 180 .Ее поворот происходил на углы, равные углам треуголь-ника, значит, сумма этих углов 180 .

Итак, последний параграф в 5 классе пройден. Учи-тель может подвести некоторые итоги, выделив дляэтого урок. На зачетном уроке можно дать ученикам ра-боту, аналогичную выполненной ими в сентябре на пер-вом уроке, и сравнить результаты. Большего воспита-тельного воздействия можно добиться, если сохранитьсентябрьские работы. Их сравнение наглядно проде-монстрирует положительные результаты обучения.

6 класс

Предполагается, что основы геометрической дея-тельности учащихся заложены в 5 классе, и поэтомувторой год изучения наглядной геометрии насыщенпрактическими работами, при выполнении которыхучащимся необходимо владеть чертежно-измерительны-ми инструментами, уметь мысленно представить кон-фигурацию и мысленно изменить ее, видеть глубинупространства в плоскостном изображении пространст-венных тел.

Основные теоретические вопросы изложены в § 20«Параллельность и перпендикулярность», § 21 «Парал-лелограммы», § 22 «Координаты» и § 28—31, касающих-ся вопросов симметрии, параллельного переноса, пово-рота. Напомним, что как в 5 классе, так и в 6 классе неследует требовать от учащихся заучивания форму-лировок, достаточно владения терминами, умения узна-

89

вать объект, использовать его свойства в простых ситу-ациях.

Большую нагрузку в развитии образного мышления,геометрического видения несут § 19 «Фигурки из куби-ков и их частей», § 23 «Оригами», § 25 «Кривые Дра-кона», § 26 «Лабиринты». Практические навыки геомет-рической деятельности учащиеся приобретают при рас-смотрении § 27 «Геометрия клетчатой бумаги» и § 32«Симметрия помогает решать задачи». Выходы за пре-делы школьной программы открывает § 24 «Замечатель-ные кривые».

§ 19. ФИГУРКИ ИЗ КУБИКОВ И ИХ ЧАСТЕЙ (2 ч)

Основные понятия : равенство пространственных тел,проекция, метод трех проекций, сечение тела плоско-стью.Предметные результаты : конструировать тела из ку-биков; выделять и называть сечения пространственныхфигур, получаемые путем предметного моделирования;соотносить пространственные фигуры с их проекциями наплоскость; изображать объемные геометрические тела наплоскости, применять метод трех проекций; оперироватьмысленным образом: вращать, совмещать, переноситьточку наблюдения; целостно воспринимать объект. Метапредметные результаты : развитие конструктив-ных способностей.Внутрипредметные и межпредметные связи : стерео-метрия (многогранники, сечение многогранника плос-костью, параллельная проекция).

КОММЕНТАРИИ. Первое занятие после летних кани-кул обычно бывает сложным для учеников: многое за-быто, нет былых изобразительно-графических навыков,трудно вспоминается терминология. Поэтому учительдолжен дать ученикам возможность восстановить уме-ния и навыки, приобретенные в прошлом году. Можноначать с разминки — решения несложных задач из § 18 и34, а затем переходить к материалу § 19.

С одной стороны, для выполнения заданий этого па-раграфа не нужно никаких специфических знаний, а сдругой стороны, необходимы хорошо развитые про-

90

странственные представления и умение мысленно ма-нипулировать образом (в основном переносить точкунаблюдения). Работа на клетчатой бумаге облегчаетрисование фигур, да и фигуры подобраны так, что ониявляются либо квадратами, либо кубами, либо их час-тями.

Обязательно на уроке должны быть модели куба —каркасные, полукаркасные, прозрачные. Хорошо, еслидля иллюстрации метода трех проекций учитель пока-жет на уроке какую-либо деталь и ее изображение в про-екциях (такое пособие, наверняка, имеется в кабинетечерчения или в школьной мастерской).

Основной прием, используемый при построениипроекции, — это мысленный перенос точки наблюде-ния или вращение образа. Вспомнить его поможет зада-ние № 1.

Задания № 6—9 на сечение куба плоскостью. Поня-тие сечения является для учеников новым, а потомулучше учителю начать с показа модели куба и процессапроведения сечения. Удобнее всего использовать плас-тилиновый куб, в таком случае легко провести аналогиюс разрезанием хлеба ножом. Учащиеся могут путатьпонятие «сечение» с отсекаемой частью тела. Так, навопрос, какое сечение получится, если от куба отрезать«уголок», ученики нередко отвечают, что получится пи-рамида. С целью предотвращения такой ошибки учи-тель должен подчеркнуть, что сечение — это плоскаяфигура, можно сказать, «поверхность разреза».

Решив задачу № 9, можно продолжить, спросив, по-чему в сечении куба плоскостью не может получитьсясеми-, восьми- и т. д. угольник. Ученики должны заме-тить, что в сечении получается многоугольник, стороныкоторого являются линиями пересечения плоскости сгранями куба. У куба 6 граней, следовательно, макси-мальное число сторон многоугольника, получаемого всечении, тоже шесть.


1. В задании ученикам нужно выбрать пары одина-ковых объектов на рисунке. Учащимся может показать-ся, что для ответа на вопрос достаточно подсчета ко-

91

личества кубиков, составляющих фигуру. Учитель дол-жен напомнить, что в пространстве важна ориентацияобъекта.

2. В задании требуется по изображению пространст-венной ломаной, навитой на куб, нарисовать три проек-ции (три вида), что проще, так как переходить отпространственного тела к плоскому легче, это действиепривычнее для нас: воспринимая объемное тело, мыизображаем его на плоскости. Кроме того, в этом зада-нии происходит вычленение элемента из целого.

3. В этом задании, обратном № 2, наоборот, необхо-димо осуществить синтез деталей, воспроизвести целоеиз частей. Для этого нужно удерживать в памяти триразличных образа, причем расположенных в простран-стве. Это задание, на первый взгляд кажущееся невы-полнимым для шестиклассников, однако, выполняетсяими практически без ошибок, если отработано уп-ражнение № 2, которое, при достаточно серьезных за-труднениях, можно делать с использованием модели.

4. Это задание проще предыдущих, в нем не требует-ся изображать фигуру, а только узнать части одного це-лого. Мысленно поворачивая образ одной из частей исовмещая с другой, ученики выполняют задание в уме.Возможно, некоторым ученикам легче искать сходстваи различия частей, анализируя рисунки. В таком случаеможно спросить, как они рассуждают при выполненииупражнения. Объяснения подобного рода развиваютречь и умение стройно и логично мыслить.

10. Задание самое сложное. В нем требуется изобра-зить не только проекции тел, но и нарисовать стерео-метрические рисунки, соответствующие виду данноготела с различных точек наблюдения. Не думаем, что всеученики справятся с заданием, но попробовать выпол-нить его стоит. Это задание может открыть учителюспособных к черчению школьников, у которых хорошоразвиты изобразительные умения и пространственныепредставления. Облегчить выполнение упражнения мо-жет раскраска данного тела в разные цвета или работа спластилиновой фигурой.

11. Задача является пространственным аналогом уп-ражнения на изготовление деталей игры «Пентамино»:

92

на плоскости равные квадраты присоединялись друг кдругу целыми сторонами, в пространстве же присоеди-няются равные кубы. Как и на плоскости, задание мож-но выполнять в определенной последовательности: сна-чала в первом ряду 4 кубика, затем 3 и различные ва-рианты расположения четвертого кубика, потом 2 и,наконец, 1.

§ 20. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ (2 ч)

Основные понятия : параллельные и перпендикулярныепрямые и отрезки и их свойства; скрещивающиесяпрямые.Предметные результаты : распознавать взаимное рас-положение прямых (пересекающихся, параллельных,перпендикулярных) в пространстве; приводить примерырасположения прямых на модели куба; строить парал-лельные и перпендикулярные прямые с помощью чертеж-ных инструментов и на глаз; называть взаимное располо-жение прямых на плоскости и в пространстве.Метапредметные результаты : формирование прие-мов исследовательской деятельности.Личностные результаты : воспитание аккуратности, об-щекультурное развитие учащихся.Внутрипредметные и межпредметные связи : стерео-метрия (параллельность; перпендикулярность; взаимноерасположение прямых в пространстве).

КОММЕНТАРИИ. Рассматриваемые в параграфе поня-тия являются одними из центральных в пропедевтиче-ском курсе геометрии, и на их изучение следует обра-тить большое внимание. Учащиеся в результате изуче-ния материала параграфа должны знать термины«параллельность» и «перпендикулярность», узнаватьвзаимное расположение прямых на плоскости и в про-странстве, уметь изображать параллельные и перпенди-кулярные отрезки с помощью различных чертежных ин-струментов и на глаз, узнавать их прообразы в реальнойжизни. Если учащиеся запомнят основные свойства па-раллельных и перпендикулярных прямых, их за это сле-дует похвалить, но требовать обязательного знания этих

93

свойств не нужно, в систематическом курсе геометрии кэтому ученики вернутся на более высоком уровне стро-гости.

Основная нагрузка при изучении данной темы ло-жится на формирование изобразительно-графическихумений школьников. Предлагаемая теория должна вво-диться через работу с чертежными инструментами.У каждого ученика на уроке должны быть линейка иугольник.

Урок начинается с построения прямого угла с по-мощью угольника. Продолжаем стороны прямого углаза его вершину, получаем две пересекающиеся прямые.Угол между ними равен 90 . Такие прямые называют-ся перпендикулярными. Встает вопрос: «Где в жизнивстречаются перпендикулярные прямые?» Ученики спомощью учителя находят эти объекты в окружающейобстановке. Работа проводится в пространстве, т. е. го-ворится о свойствах перпендикулярных прямых в про-странстве, и модели должны представлять собой про-странственные объекты — каркасные модели прямых инаклонных параллелепипедов, стереометрический на-бор со спицами и пластилином. Для проведения пер-пендикулярных прямых и проверки перпендикуляр-ности учащиеся пользуются треугольником. С его по-мощью ученики обнаруживают основные свойстваперпендикулярных прямых, учитель направляет их ра-боту вопросами: «Сколько прямых, перпендикулярныхданной прямой, можно провести через точку на этойпрямой? А если точка не принадлежит данной прямой?Пересекаются ли на плоскости два перпендикуляра,проведенные к одной и той же прямой?»

От этого последнего свойства учитель переходит крассмотрению параллельных прямых, введению терми-на и значка для обозначения.

Определение параллельных прямых, в отличие от оп-ределения перпендикулярных прямых, не дает способапостроения таких прямых. Однако все необходимое дляотыскания этого способа ученики уже знают и имеют.Это третье свойство перпендикулярных прямых, от ко-торого учитель перешел к изучению параллельности.Вопрос: «Как при помощи линейки и угольника, знаятретье свойство перпендикулярных прямых, рассмот-

94

ренное на этом уроке, построить параллельные пря-мые?» Наверняка часть учеников найдет способ по-строения, изображенный в учебнике на рисунке 176.

Для закрепления рассмотренных понятий можно вы-полнить задания № 1 и 3 на отыскание параллельных иперпендикулярных прямых в окружающей обстановке ина рисунке.

Следующий этап урока — построение изученныхпрямых с применением циркуля. Следует помнить, чтов этом учебном году ученики еще не работали с цирку-лем, поэтому навык требует восстановления, не нужноторопить учеников в работе.

В заключение, когда основные понятия ученикамиусвоены, можно перейти к взаимному расположениюпрямых в пространстве. Лучшая демонстрационнаямодель — каркасный куб с обозначенными вершинами(обозначение вершин поможет восприятию и выделе-нию найденных отрезков). После работы по отысканиюпараллельных и перпендикулярных ребер куба учительобращает внимание учеников на ребра, которые не пе-ресекаются, но тем не менее не являются параллельны-ми. Это скрещивающиеся отрезки, через них нельзяпровести плоскость, в отличие от параллельных отрез-ков. Далее, выписывая пары скрещивающихся ребер,ученики закрепляют это понятие. Безусловно, наличиекаркасного куба у каждого ученика или хотя бы на каж-дой парте значительно облегчило бы работу — ученикимогли бы не только увидеть, но и потрогать скрещиваю-щиеся отрезки, что дает большее ощущение пространст-ва, нежели рассматривание демонстрационной модели;кроме того, не следует забывать, что немалая часть уче-ников имеет плохое зрение.

Задание № 4 можно дать на дом, напомнив, что приего выполнении можно использовать знания, получен-ные в 5 классе в § 3.

На следующем уроке при проверке домашнего зада-ния учитель формулирует замеченную закономерностьо величинах углов, образующихся при пересечении двухпараллельных прямых третьей. Эта работа не будет вы-глядеть инородной на следующем уроке, посвященномизучению четырехугольников, имеющих параллельныеи перпендикулярные стороны.

95

§ 21. ПАРАЛЛЕЛОГРАММЫ (1 ч)

Основные понятия : параллелограмм, прямоугольник,ромб, квадрат и их свойства; золотое сечение.Предметные результаты : моделировать параллель-ность и перпендикулярность прямых с помощью листабумаги; исследовать и описывать свойства ромба, прямо-угольника (квадрата), используя эксперимент, наблюде-ние, измерение, моделирование; изображать параллело-грамм с помощью чертежных инструментов и от руки;строить золотой прямоугольник, формулировать опреде-ления.Метапредметные результаты : формирование прие-мов исследовательской деятельности: составление планаисследования и его осуществление, оформление резуль-татов, умение делать индуктивные выводы.Личностные результаты : общекультурное и эстетиче-ское развитие, привитие вкуса к исследовательскойдеятельности.Внутрипредметные и межпредметные связи: плани-метрия (четырехугольник, параллелограмм).

КОММЕНТАРИИ. Логически данный параграф являетсяпродолжением § 20. В нем рассматриваются способыполучения параллельных и перпендикулярных прямыхпутем перегибания листа бумаги и четырехугольники спараллельными и перпендикулярными сторонами. По-этому учителю не следует разделять рассмотрение этихвопросов во времени. Начать урок можно с показа шар-нирной модели параллелограмма. Именно шарнирнаямодель очень наглядно демонстрирует, что прямоуголь-ник тоже является параллелограммом, что ромб и квад-рат тоже параллелограммы. Что объединяет эти четы-рехугольники? [У всех рассмотренных фигур проти-воположные стороны параллельны, поэтому ониназываются параллелограммами.] Учитель делит словона две части, вторая часть указывает на то, что это фигу-ра, а первая дает основное отличие этой фигуры от дру-гих — наличие параллельных сторон.

Итак, четырехугольник, стороны которого попарнопараллельны, есть параллелограмм. Это определениепараллелограмма. В определении мы указали, к какомуроду относится данная фигура и какие у нее отличитель-

96

ные особенности, позволяющие узнать или изобразитьэту фигуру. Учитель объясняет учащимся, как строятсяопределения, а затем проводится работа по формулиро-ванию определений прямоугольника, ромба, квадрата.

Можно еще раз показать структуру определения:

термин — это род, у которого есть видовое отличие.

Для экономии времени можно заранее заготовить«модель определения» — плакат, на котором прорезаныокошечки и написаны связующие слова «это» и«у которого». А также набор табличек, вставляющихсяв «окошечки»: «параллелограмм», «ромб», «квадрат»,«прямоугольник», «все стороны равны», «все углы пря-мые». Использование этой модели позволит визуализи-ровать определения, показать четкую их структуру.

Далее логические упражнения сменяются заданиямипрактического характера на отыскание свойств квадра-та. Поисковая предметная деятельность учащихся на-правляется учителем, который вначале показывает, какс помощью только листка бумаги, без линейки, уголь-ника и карандаша получить перпендикулярные и па-раллельные прямые. Затем ученикам предлагается толь-ко лишь перегибанием бумаги получить прямоугольники вырезать его. Из прямоугольника получить квадрат.Каким свойством квадрата можно воспользоваться дляэтого? [Равенством всех сторон.] Процесс полученияквадрата из прямоугольного листа бумаги известенкаждому ученику, хотя он не отдает себе отчета, на чемоснован этот способ; теперь же его действия становятсяболее осмысленными.

Какие свойства квадрата можно обнаружить и на-глядно продемонстрировать при помощи перегибов бу-маги? С этого вопроса учителя начинается исследованиешкольниками квадрата.

Можно предложить ученикам записать обнаружен-ные свойства, если они работают самостоятельно, а за-тем обсудить результаты исследования. Такая органи-зация возможна в подготовленном классе, в которомученики быстро пишут и могут сформулировать своимысли. В слабом классе запись свойств лишь только от-влечет учеников от сути задания, они сосредоточатся назаписях, и урок не даст ожидаемых результатов. В таком

97

классе можно порекомендовать пошаговое выполнениезадания под контролем учителя, который руководит ра-ботой с помощью системы вопросов и заданий. Резуль-таты каждого задания должны быть проверены непо-средственно по его выполнении.

Далее можно вспомнить определения изученныхмногоугольников и их основные свойства, решить зада-чу учебника о проверке утверждения: вырезанный уче-никами четырехугольник является квадратом, что помо-жет вспомнить и закрепить свойства квадрата и перейтик изучению золотого сечения.

Порядок рассмотрения в классе вопроса о золотомсечении и золотом прямоугольнике тот же, что предло-жен в учебнике:

1) практическая работа с бумагой;2) рассмотрение картинок учебника;3) измерение отрезков, на которые делится каждая из

пяти линий, составляющих правильную пятиконечнуюзвезду, нахождение их отношения;

4) построение золотого прямоугольника с помощьюциркуля и линейки.

Последний этап этой работы рекомендуется органи-зовать как с а м о с т о я т е л ь н у ю р а б о т у скнигой, когда ученики в работе руководствуются схема-ми и лишь в случае затруднений прибегают к помощиучителя. Это подготовит их к изготовлению фигурокоригами.

Далее можно посвятить время отработке понятий«перпендикулярность» и «параллельность» и формиро-ванию изобразительно-графических умений учащихся,что необходимо будет на последующих уроках при изу-чении координат.

На дом предлагается задание: исследовать аналогич-ным образом прямоугольник, ромб и произвольный па-раллелограмм (по вариантам) и, сравнив полученныерезультаты со свойствами квадрата, сделать вывод. Этотвывод должен отражать тот факт, что у всех рассмотрен-ных фигур есть общие свойства (это свойства парал-лелограмма) и специфические, присущие только дан-ным объектам.

98

§ 22. КООРДИНАТЫ, КООРДИНАТЫ, КООРДИНАТЫ... (1 ч)

Основные понятия : система координат, декартова и по-лярная системы координат, метод координат, методраскраски.Предметные результаты : находить координаты точкии строить точку по ее координатам на прямой и плос-кости; пользоваться методом координат на прямой,на плоскости и в пространстве; использовать метод рас-краски для решения геометрических задач.Метапредметные результаты : самостоятельное за-полнение карты объектами и описание их расположенияс помощью координат, формирование коммуникативныхумений.Личностные результаты : развитие инициативы и фан-тазии.Внутрипредметные и межпредметные связи : алгебра(метод координат), география.

КОММЕНТАРИИ. Основной целью изучения координатна этом этапе обучения является первоначальное овла-дение методом координат на плоскости, включающее:

— знание терминов (оси координат, начало коорди-нат, координаты точки, координатная плоскость);

— умение задавать координатную плоскость, изобра-жая оси координат и выбирая на осях единичные от-резки;

— умение находить координаты точки и отмечать наплоскости точку по заданным ее координатам.

Дополнительными можно считать знания о поляр-ной системе координат и декартовой системе координатв пространстве.

На достижение этих целей направлена вся работа надпараграфом. Алгоритмичность основных заданий дела-ет уроки похожими на обычные уроки математики,поэтому для привлечения внимания школьников учите-лю следует максимально акцентировать занимательнуюсторону изучения материала. Этому может способст-вовать связь с курсом географии, опора на который вы-брана авторами пособия в начале параграфа, игра в«Морской бой» и игра «Остров сокровищ».

99

Учитель начинает урок с рассмотрения любой геогра-фической карты. Ученики вспоминают известные имтермины «широта» и «долгота», смысл, вкладываемый вэти понятия, находят на карте экватор и гринвичскиймеридиан, обращая внимание на то, что эти условныелинии являются началами отсчета широты и долготысоответственно. При этом учитель должен обязательнообратить внимание учеников на тот факт, что место-положение любого географического объекта характери-зуется двумя координатами, причем эти координатыдолжны указываться в строго определенном порядке.Усвоению этих важнейших фактов поможет обращениек роману Жюля Верна «Дети капитана Гранта», в кото-ром поиски пропавшего капитана опирались на знаниешироты того места, где находился капитан Грант. Не-знание долготы этого места потребовало от участниковпоисковой экспедиции осуществления кругосветногопутешествия по соответствующей параллели.

Переходом от географической координатной сетки,на которой неизбежны искажения за счет кривизныземной поверхности, к абстрактной математической де-картовой системе координат служит игра «Морскойбой». Учитель напоминает учащимся правила игры ивносит в них необходимые ему изменения, а именно:вместо привычных школьникам букв для обозначениястолбцов будут использоваться числа, как и для обозна-чения строк, причем первым числом в паре координатбудет номер столбца, а вторым — номер строки. Лучшесразу принять единый способ оформления игрового по-ля: номера столбцов отмечать по нижнему краю поляслева направо, а номера строк — по левому краю сверхувниз. Затем ученики, разбившись на пары, начинаютигру. В течение 10—15 минут ученики играют, записы-вая свои ходы парами чисел в круглых скобках. Такимобразом, учитель организует первоначальное закрепле-ние материала. Запись учениками ходов-выстрелов по-зволяет учителю проконтролировать усвоение и принеобходимости исправить ошибку. По истечении вре-мени игра прерывается, выигравшим в паре считаетсяученик, поразивший наибольшее количество целей.

100

Следующий этап урока — решение задач № 1—4. За-дачи № 1—2 решаются обычными рассуждениями уче-ников, основным моментом которых является тот факт,что каждый корабль по правилам должен быть окруженпустыми клеточками, чтобы не соприкасаться с сосед-ним кораблем. Выслушивая ответы учеников, учительдолжен быть максимально внимателен к каждому, неперебивать их, давать возможность высказать свое мне-ние, просить аргументировать ответ, по окончании от-вета стараться резюмировать, оформляя ответ ученикаболее логично и четко. Подобные упражнения не толькоразвивают умение мыслить, но и умение аргументиро-ванно излагать свою точку зрения (одно из основныхкоммуникативных умений).

Метод раскраски, применяемый при решении задач№ 3 и 4, является одним из самых красивых методовкомбинаторной геометрии, он очень нагляден и вполнедоступен шестиклассникам. В предлагаемых задачах по-ле раскрашивается в 4 цвета, так как линкор состоит из4 клеток.

Далее, в зависимости от усвоения материала и темпаработы на уроке, предлагаемые задачи можно распреде-лить таким образом: в классе решить задачи № 1 и 3, надом дать задачи № 2 и 4, разобрав или наметив планрешения в классе.

Продолжение темы включает рассмотрение коорди-нат в одно-, двух- и трехмерном пространстве. От коор-динатной оси, на которой откладываются числа, даты,расстояния и т. п., переходят к координатной плоскостии повторяют термины: координатная плоскость, оси ко-ординат, начало координат, координаты точки. Учительможет рассказать ученикам немного о Рене Декарте,французском ученом, чье имя носит рассматриваемаясистема координат. Далее, не закрепляя умение рабо-тать на координатной плоскости, можно «выйти в про-странство» и построить систему координат в простран-стве. Использование аналогий упростит объяснение ма-териала, а применение наглядных пособий поможетобразному его восприятию. Наглядное пособие изготав-ливается очень просто. Когда учитель разбирает с уче-никами понятие координатной оси, он демонстрирует

101

спицу, на которой цветной краской отмечены точки 0и 1. Переходя к системе координат на плоскости, учи-тель к имеющейся спице под прямым углом присоеди-няет еще одну такую же спицу, совмещая 0 и закрепляяспицы в этой точке, например пластилином. Постро-ение системы координат в пространстве требует присо-единения в нулевой отметке еще одной такой же спицыпод прямым углом к каждой из уже построенных. Пре-красной иллюстрацией трехмерной системы координаттакже является каркасный куб с нанесенными на трехего ребрах, выходящих из одной вершины, единичнымиотметками. На такой модели решается задача № 9, тре-бующая работы с трехмерной системой координат.

Формирование умения работать с координатнойплоскостью осуществляется с помощью игры «Островсокровищ», описанной в учебнике, и задач № 5 и 6.

Затем повторяются полученные знания и рассматри-вается полярная система координат. Также может бытьпроведена проверочная работа — материал являетсяосновным в пропедевтическом курсе геометрии, и учи-тель должен быть уверен в его усвоении всеми ученика-ми. Можно также организовать выставку карт игры«Остров сокровищ», составленных учениками дома.Учащиеся при этом рассказывают об объектах и их ко-ординатах на карте, что также позволяет учителю судитьо степени усвоения материала.


1. Рассмотрим возможные варианты решения зада-чи. В этой задаче ученик должен сделать серию безоши-бочных выстрелов и поразить один авианосец, состоя-щий из трех клеток, два крейсера по две клетки и четырекатера по одной клетке, размещенные на поле 5 × 5.Возможны различные способы решения задачи. Одиниз наиболее приемлемых для шестиклассников — методпроб и ошибок. В таком случае ученик делает сериюпрактически беспорядочных выстрелов, опираясь наинтуицию, опыт и, возможно, некоторые рассуждения.Решение находится случайно или не находится. Другойвозможный способ состоит в проведении логическихрассуждений с рассмотрением всех возможных вариан-

102

тов расположения кораблей на поле и достаточно пол-ным обоснованием этих рассуждений. Заметим, чтоэтот способ решения задачи может быть применен лишьнекоторыми учащимися, у которых логическое мышле-ние превалирует над образным и в достаточной мереразвито. Ниже мы приведем один из вариантов рас-суждений.

Итак, на поле 5 × 5 должны располагаться 7 кораб-лей, причем они не должны соприкасаться друг с дру-гом. В таком случае обязательно должны быть занятыугловые клетки: именно угловые клетки «экономят» по-ле наибольшим образом, их с двух сторон не нужно ок-ружать пустыми клетками. Выстреливаем по этим клет-кам. О том, какой корабль поражен выстрелом, одно-значно можно сказать только о катере. Будем опиратьсяна это суждение. Среди кораблей в угловых клетках мо-жет быть один, два или три катера (четыре катера зани-мают слишком много клеток, и не остается места дляавианосца и двух крейсеров).

Пусть в углах поля расположены 3 катера. В такомслучае должны быть заняты клетки, расположенные всерединах сторон поля: они не соприкасаются с угловы-ми и «экономят» клетки, их окружающие. Стреляем поэтим клеткам. Среди пораженных кораблей долженбыть один катер, он располагается между двумя угловы-ми катерами (в противном случае не остается места дляостальных кораблей). Два раненных корабля на проти-воположных сторонах поля — это крейсеры, вторые по-ловины которых направлены к центру поля. Поражаемсоответствующие клетки. Авианосец теперь определяет-ся однозначно.

Пусть в углах поля два катера. Они могут быть в со-седних или в противоположных углах. Если это проти-воположные клетки, то один из угловых — трехкле-точный авианосец или двухклеточный крейсер. И в том,и в другом случае для оставшихся кораблей не хватаетместа. Если это соседние клетки, то в противоположныхуглах расположены катера, повернутые друг к другу. За-нимаем эти клетки. Остается симметричное поле, на ко-тором клетки — середины сторон должны быть заняты.Стреляем по этим клеткам. Катера находятся сразу, ос-тавшийся корабль — авианосец.

103

Пусть теперь среди угловых клеток только один ка-тер. В этом случае обязательно должна быть занята сере-динная клетка поля, причем это тоже катер. Стреляем вклетки — середины сторон, прилежащие к угловому ка-теру. Среди пораженных клеток одна обязательно — ка-тер (не обе, так как две заняли бы много поля). Втораяклетка принадлежит авианосцу. На оставшемся поленужно поместить один катер и два крейсера, которыерасполагаются однозначно: две угловые клетки принад-лежат крейсерам, повернутым друг к другу. Оставшаясянезанятая середина — последний катер.

Вот таким может быть логическое решение задачи.Видно, что рассуждения длинны и достаточно запутан-ны. Возможно, учитель возьмет лишь часть этих рассуж-дений в качестве образца, если позволит уровень разви-тия класса. Если нет, в логическом решении задачи наэтом этапе обучения нет необходимости.

2. В решении задачи также используется тот факт,что катер, стоящий в угловой клетке, «экономит» боль-ше клеток поля, он должен быть окружен только тремяклетками. Таким образом, все поле разбивается на частипо 4 клетки, в каждой из которых размещается один ка-тер. Поэтому на поле 10 10 можно разместить 25 кате-ров (100 : 4 = 25), но не больше.

3. Раскрасим поле в 4 цвета. Каждый линкор содер-жит клетки всех четырех цветов, поэтому для попаданияв него достаточно поразить хотя бы одну клетку како-го-либо цвета. Подсчитаем количество клеток: 25 пер-вого цвета, 26 второго цвета, 25 третьего цвета и 24 чет-вертого. Наличие «лишней» клетки второго цвета ука-зывает на то, что наименьшее количество необходимыхдля поражения линкора выстрелов — 26, причем огоньнужно вести по клеткам второго цвета.

4. При решении задачи, раскрасив поле в 4 цвета иподсчитав количество клеток разного цвета, замечаем,что их неодинаковое количество. Если бы поле можнобыло разрезать на линкоры, содержащие клетки разныхцветов, то окрашенных по-разному клеток было бы рав-ное количество, что противоречит нашей раскраске.Следовательно, разрезать поле на линкоры нельзя.

104

§ 23. ОРИГАМИ (1 ч)

Предметные результаты : конструировать заданныеобъекты из бумаги; работать по предписанию или алго-ритму, читать чертежи и схемы.Личностные результаты : эстетическое воспитание,формирование коммуникативных умений; воспитаниеусидчивости, внимательности и аккуратности, развитиетактильной памяти и пространственных представлений.Внутрипредметные и межпредметные связи : техно-логия и искусство.

КОММЕНТАРИИ. Соблюдая требование чередованияформ деятельности, на смену абстрактной приходитпредметная деятельность — работа с бумагой. Оригами(складывание фигурок из бумаги) развивает простран-ственное мышление, чувство формы, вырабатываетсложную координацию движения кисти и пальцев, фор-мирует интуитивное мышление и способность к инсай-ту, т. е. озарению — основе творческого мышления.

В учебнике предлагаются схемы изготовления фигу-рок лягушки, кузнечика, сороки и зайчика, а такжеяпонского фонарика. Многие ученики могут делать избумаги и другие фигурки, пусть они изготовят их и при-несут в класс для выставки.

Схемы изготовления фигурок могут не всегда бытьпонятны ученикам. Поэтому учитель должен разобратьсхему заранее, а в классе обучать по образцу, когдаученики повторяют все движения учителя. Следует пом-нить, что учитель стоит к ученикам лицом, и все дейст-вия учителя школьники видят с противоположной отучителя стороны. Это нужно учитывать и либо стоять кученикам вполоборота, либо выполнять сгибы бумаги впротивоположном направлении. Важно не торопиться вработе и контролировать выполнение каждого шага все-ми учениками без исключения, повторяя при необхо-димости действие несколько раз и помогая ученику наместе.

В настоящее время искусство оригами получило ши-рокое распространение, появились книги и альбомы пооригами различной сложности. Учителю можно по-рекомендовать книгу Коротеева И. А. «Оригами. Пол-

105

ная иллюстрированная энциклопедия» (М.: ЭКСМО,2011). В ней можно найти сведения по истории оригамии схемы складывания разных фигурок.

Как показала практика, оригами очень захватываетшкольников. Увлекаясь этим искусством, они само-стоятельно разбирают новые схемы, придумывают своифигурки. В некоторых школах создаются кружки иликлубы оригамистов под руководством учителей или ро-дителей школьников.

§ 24. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ (1 ч)

Основные понятия : эллипс, гипербола, парабола, конус,конические сечения, спираль Архимеда, синусоида, кар-диоида, циклоиды, гипоциклоиды. Предметные результаты : рисовать замечательныекривые от руки и с использованием вспомогательныхсредств, создавать и манипулировать мысленными об-разами (вращать, совмещать).Метапредметные результаты : формирование прие-мов предметной исследовательской деятельности, раз-витие конструктивных способностей, развитие простран-ственных представлений.Личностные результаты : формирование интереса к за-нятиям геометрией, эстетическое и общекультурноеразвитие.Внутрипредметные и межпредметные связи : алгеб-ра, выходы за пределы школьной программы.

КОММЕНТАРИИ. Основная задача параграфа — зна-комство учеников с некоторыми видами кривых линий,рассматриваемых в геометрии. Одни кривые встретятсяученикам в курсе алгебры (это гипербола, парабола, си-нусоида), а потому можно считать данный материалпропедевтическим по отношению к курсу алгебры, дру-гие (эллипс, конус) — в курсе геометрии, а третьи (кар-диоида, спираль Архимеда, циклоида и гипоциклоиды)выходят за рамки школьного курса математики, зна-комство с ними расширяет кругозор школьников.

Организационной особенностью изучения матери-ала является большая доля практической работы с ис-

106

пользованием чертежных инструментов и различныхподручных средств.

Следующее оборудование должно быть подготовленоучениками заранее:

— плотный, лучше картонный лист размером с тет-радную страницу, на котором закреплена в двух точкахнить;

— альбомный лист бумаги и лезвие, защищенноес одной стороны наклеенной плотной бумагой дляпредотвращения порезов;

— одинаковые картонные круги диаметром 3—4 см;— плотный лист бумаги и клей.Аналогичные заготовки большего размера должны

быть и у учителя. Практическая работа проходит под ру-ководством учителя и по образцу, данному учителем.

Хорошо также заранее подготовить плакаты иликомпьютерную презентацию с изображением замеча-тельных линий. Если есть возможность, процесс по-строения кривых можно осуществить и продемонст-рировать ученикам с помощью компьютера (формулы,задающие рассматриваемые кривые в полярных коор-динатах, можно найти в любом справочнике по высшейматематике). При этом экономится время и появляетсявозможность расширить круг рассматриваемых линий.Ученики всегда испытывают удивление, когда видятгеометрическую красивую интерпретацию громоздких инепонятных им математических формул, что являетсямощным мотивом изучения предмета. Однако учителюне следует увлекаться демонстрационными методами.Нужно помнить, что изучение курса наглядной геомет-рии во многом опирается на наглядно-действенноемышление подростков, а сделанное своими рукамизапоминается лучше, чем увиденное.

Порядок рассмотрения материала определен учебни-ком. Напомним, что учитель волен рассматривать толь-ко часть материала на уроке, а оставшуюся часть па-раграфа предложить ученикам самостоятельно прочи-тать дома и попытаться получить кривые, пользуясьописанием, данным в учебнике. На дом можно такжепредложить еще раз нарисовать линии, рассмотренныев классе.

107

Безусловно, никаких определений ученики запоми-нать и заучивать не должны. Хорошо, если они запом-нят названия кривых и будут узнавать их в дальнейшем.Основная цель урока — развитие изобразительно-гра-фических умений, образного мышления, эстетическоевоспитание.

§ 25. КРИВЫЕ ДРАКОНА (1 ч)

Основное понятие : поворот.Предметные результаты : рисовать от руки по предпи-саниям, составлять коды.Метапредметные результаты : развитие регулятив-ных умений.Личностные результаты : эстетическое восприятиегеометрии.Внутрипредметные и межпредметные связи: плани-метрия (преобразования плоскости, поворот).

КОММЕНТАРИИ. Кривые Дракона настолько необыч-ный для нашего школьного курса математики материал,что на первый взгляд может показаться ненужным дажев подготовительном курсе геометрии. Однако, внима-тельно разобравшись в заданиях параграфа, учитель неможет не увидеть большой развивающий потенциал уп-ражнений. Во-первых, составление цепочек кодов кри-вых Дракона требует сосредоточенности, внимательнос-ти и большой логичности выполнения задания. Умениеразобраться в правилах и применить их — это основа ал-горитмического мышления, так необходимого при изу-чении алгебры. Во-вторых, вычерчивание кривых раз-вивает пространственную ориентацию учеников, образ-ное мышление, а именно: умение переносить точкунаблюдения, мысленно поворачивать объект, способст-вует формированию изобразительных умений. Приработе с калькой или даже при использовании кодовученик неявно знакомится с одним из геометрическихпреобразований плоскости — поворотом, изучение ко-торого предполагается в курсе планиметрии. Таким об-разом, выходы темы на систематический курс геомет-рии не вызывают сомнений. Урок, отведенный на рас-смотрение параграфа, логически делится на две части в

108

соответствии с изложением материала в пособии. Пер-вая часть — работа с полосой бумаги. Перегибая ее по-полам справа налево, записывая порядок чередованияизгибов и анализируя полученные коды, ученики вмес-те с учителем находят закономерности, используя такиеприемы мыслительной деятельности, как сравнение,аналогия и обобщение.

Как и при изготовлении фигурок оригами, учительдолжен стоять вполоборота к ученикам или выполнятьвсе действия зеркально, чтобы ученики могли повто-рить за ним все действия. Когда полоса после серии пе-регибов развернута, учитель прикрепляет ее на доскетак, как ученики должны положить ее перед собой настол (важно соблюдать условие нахождения точки свер-ху слева). Рядом на доске записываются коды изгибов,лучше, если разные коды отмечаются мелками разногоцвета.

Вторая часть урока значительно сложнее. Это свя-зано с тем, что не все шестиклассники свободно ориен-тируются в пространстве, и для того чтобы повернутьрисунок налево или направо, они должны сначала сооб-разить, куда поворачивать. Нередко встречаются дети ис зеркальной ориентацией, которые повторяют дейст-вия или команды учителя в зеркальном отражении. По-этому для предупреждения ошибок необходимо предва-рительно провести серию тренировочных упражнений,например, следующих: ученики обводят вертикальнуюсторону клеточки (они как бы шагают по сторонам кле-ток), а затем по команде учителя делают «шаги» влевоили вправо. Каждый раз после очередного «шага» детиповорачивают лист бумаги так, чтобы последняя чер-точка была направлена вертикально вверх, это очень об-легчает выполнение следующего действия.

После тренировочных упражнений переписываютсякоды кривых Дракона с заменой букв «Н» на «Л» и «В»на «П» и вычерчиваются кривые, соответствующиетрем, четырем и пяти сложениям полосы.

Работу с калькой учитель может только показать уче-никам, к сожалению, времени на выполнение ее учени-ками в классе не хватает.

109


3. Задание можно выполнить как в классе при нали-чии времени, так и дома. Также дома с родителями уче-ники могут нарисовать кривые Дракона большей длиныс помощью кальки или кодов, обвести их контуромДракона. Такие работы требуют очень больших затратэнергии, и их выполнение должно быть поощрено. Без-условно, они помещаются на выставку ученических ра-бот, которая обязательно должна быть организованаеще в начале 5 класса и периодически пополняться иобновляться.

§ 26. ЛАБИРИНТЫ (1 ч)

Основные понятия : лабиринты и методы их прохожде-ния.Предметные результаты : решать задачи с помощьюметодов проб и ошибок, зачеркивания тупиков и правилаодной руки; ориентироваться в пространстве; выделятьсущественные и несущественные свойства и отношенияобъектов.Личностные результаты : формирование интереса кгеометрии, эстетическое и общекультурное развитиеучащихся.

КОММЕНТАРИИ. Основная цель данного параграфа,как и предыдущего, развитие пространственной ориен-тации школьников, образного мышления. Материалбольше имеет познавательно-эстетический характер,чем геометрический. Его можно считать разгрузочнымв конце первого полугодия, и к лабиринтам добавитькакие-нибудь занимательные задачи, игры, соревнова-ния. Но несмотря на очевидную занимательность, необ-ходимо, чтобы ученики усвоили способы прохождениялабиринтов и в дальнейшем использовали не только ме-тод проб и ошибок.

Следует заметить, что если ученики не имеют кни-жек по наглядной геометрии, то учителю необходиморазмножить лабиринты и раздать их ученикам для ин-дивидуальной работы, ведь каждому из них хочется ла-биринт пройти самостоятельно.

110

§ 27. ГЕОМЕТРИЯ КЛЕТЧАТОЙ БУМАГИ (1 ч)

Основные понятия : треугольник, виды треугольников,прямоугольник, квадрат, площадь, формула Пика.Предметные результаты : изображать геометрическиефигуры на клетчатой бумаге с учетом свойств этих фигур;использовать клетчатую бумагу как палетку; черпать ин-формацию из чертежа; создавать и манипулировать мыс-ленным образом (вращать, перемещать, достраивать,совмещать, расчленять).Метапредметные результаты : развитие конструктив-ных способностей, формирование приемов исследова-тельской деятельности.Личностные результаты : развитие аккуратности и на-блюдательности.Внутрипредметные и межпредметные связи : плани-метрия (многоугольники, параллельность и перпендику-лярность, площадь).

КОММЕНТАРИИ. Использование клетчатой бумаги каквспомогательного средства геометрических построенийшироко было распространено в школах России в первойполовине ХХ столетия. Впоследствии в связи с рефор-мой математического образования и усилением фор-мально-логической стороны изложения материалаклетчатая бумага как инструмент была забыта. В настоя-щее же время, когда концепция наглядно-эмпирическо-го построения школьного курса геометрии находит всебольше и больше сторонников, этот материал становит-ся актуальным вновь.

Умение видеть на клетчатой бумаге свойства геомет-рических фигур и использовать их в построениях на-столько важно для дальнейшего изучения геометрии,что учителю следует очень внимательно отнестись кизучению материала данного параграфа. Мы рекомен-дуем отвести на решение задач параграфа два урока.В начале первого урока необходимо повторить некото-рые свойства треугольника, прямоугольника, квадрата,ромба и вспомнить, как на клетчатой бумаге легче изо-бразить эти фигуры. Например:

— ромб легче рисовать, начиная с диагоналей, по-мня, что они перпендикулярны друг другу и делятсяточкой пересечения пополам;

111

— равнобедренный треугольник удобно вычерчиватьс основания и высоты, проведенной к основанию, таккак высота является его осью симметрии;

— параллелограмм начинают изображать, например,с горизонтальной верхней стороны, затем рисуют отре-зок такой же длины ниже и правее, а затем соединяютсоответственные концы этих отрезков.

Вспомнив основные фигуры и их свойства, можнопереходить к решению задач.

На примере задачи № 11 учитель имеет возможностьрассказать ученикам о формуле Пика, расширяя, такимобразом, кругозор школьников.

Если задачного материала пособия недостаточно,учитель может дополнить его любыми упражнениями сбумагой, например на перегибание бумаги (выравнива-ние краев бумаги), получение из прямоугольника квад-рата и различных видов треугольников, получение изправильного треугольника правильного шестиугольни-ка, проведение параллельных и перпендикулярных пря-мых и т. п.


1. Решение облегчит поворот вокруг одной из вер-шин треугольника. При этом треугольники не наклады-ваются друг на друга, легче выделить большие стороныи измерить угол между ними. Объяснения результатамогут быть, например, следующими: поворачивая тре-угольник на 90 , мы тем самым поворачиваем все егоэлементы, в том числе и стороны, на тот же угол, зна-чит, угол между большими сторонами также равен 90 .

2. Решение задачи сводится к решению № 1, если до-строить отрезок до прямоугольного треугольника, в ко-тором данный отрезок является гипотенузой (большейстороной), а затем повернуть треугольник на 90 вокругпроизвольной точки в задании № 2 (а) и относительноконца данного отрезка в задании 2 (б).

3. Задача уже решалась учениками при изученииплощадей, поэтому возможны два способа решения:один как в § 12, другой — двукратным решением задачи№ 2 (б), т. е. поворотом отрезка на 90 вокруг точки А,а затем поворотом отрезка АD на 90 градусов вокругточки D.

112

4. В задаче достаточно построить два равных прямо-угольных треугольника, один — с гипотенузой СD, дру-гой — полученный переносом первого до совмещенияточек С и А с сохранением направления катетов по сто-ронам клеток.

5. В задаче используется свойство симметрии равно-бедренного треугольника относительно высоты, прове-денной к основанию.

6. В задаче следует сформулировать рекомендациипо вычерчиванию окружности радиусом 13 клеток, ана-логичные правилу, данному в § 13 при изучении ок-ружности. После вычерчивания окружности с помощьюциркуля ученики должны заметить, через какие узлыклеток эта окружность проходит, а затем указать путь(вправо-вниз), по которому можно в эти узлы попастьпри вычерчивании четверти окружности.

7. Аналогичные задачи уже встречались ученикам в§ 12 в другой формулировке. Решение состоит в достра-ивании вокруг треугольника некоторого прямоугольни-ка с вершинами в узлах и сторонами, проходящими че-рез вершины треугольника, нахождении площади этогопрямоугольника и отбрасывании площадей «лишних»треугольников.

9. Задача на понятие равновеликости показываетученикам, что для равенства фигур еще недостаточноравенства площадей.

10. При решении задачи искомый квадрат разбива-ется на четыре равных прямоугольных треугольника ивнутренний меньший квадрат. Поиск этих частей мож-но осуществить методом проб и ошибок или разбиваячисло, выражающее площадь искомого квадрата, насумму двух чисел, одно из которых квадрат некоторогочисла, а второе, разделенное на 4, показывает, какиетреугольники присоединяются к внутреннему квадрату.Например, при решении задачи № 10 (а) 10 = 4 + 6,4 — полный квадрат, 6 : 4 = 1,5, поэтому для решениянужно нарисовать квадрат площадью 4 клетки и к немупририсовать треугольники площадью 1,5 клетки (а этополовины прямоугольников с размерами 3 1). Дляквадратов в 17 и 26 клеток рассуждения следующие:

б) 17 = 9 + 8, 8 : 4 = 2, получаем квадрат 3 3 и четырепрямоугольных треугольника площадью по 2 клетки(половины прямоугольников 4 1);

113

в) 26 = 16 + 10, 10 : 4 = 2,5, получаем квадрат 4 4 итреугольники площадью 2,5, т. е. половинки прямо-угольников 5 1.

§ 28. ЗЕРКАЛЬНОЕ ОТРАЖЕНИЕ (1 ч)

Основное понятие : симметрия.Предметные результаты : наблюдать за изменениямиобъекта при зеркальном отображении; строить фигурыпри зеркальном отображении; видеть геометрию окру-жающего мира. Метапредметные результаты : формирование уменияпланировать эксперимент и осуществлять его.Личностные результаты : развитие самостоятельности,творческой фантазии, инициативы.Внутрипредметные и межпредметные связи: плани-метрия (симметрия), искусство.

КОММЕНТАРИИ. Данный параграф открывает цикл са-мых красивых, на наш взгляд, уроков наглядной геомет-рии 6 класса, посвященных изучению геометрическихпреобразований. Именно на этих уроках учитель можетв полной мере раскрыть эстетическую сторону геомет-рии, связать ее с природой, искусством, архитектурой,дизайном. Уроки должны проходить на эмоциональномподъеме, радость от сделанного и увиденного должнасопровождать решение любой задачи, выполнение лю-бого упражнения. Учителю следует поощрять учеников,позволять им фантазировать, самостоятельно ставить ирешать задачи, не торопя учащихся и позволяя им вы-сказываться и выражать свои эмоции. Однако, несмотряна свободу действий, ученики должны выполнить всезадания учителя и выслушать все объяснения, иначе невозникнет целостная картина восприятия симметрии идругих геометрических преобразований.

Изложение параграфа дает учителю план проведенияурока. Если последовательно выполнять задания, то непотребуется внесения коррективов. Безусловно, приэтом практические задания учитель должен расчленитьна более мелкие шаги для большей организационнойчеткости урока. И конечно, необходимо обеспечить всехучеников парами маленьких зеркал.

114

§ 29. СИММЕТРИЯ (2 ч)

Основные понятия : зеркальная, осевая, центральнаясимметрия; ось симметрии; симметричные фигуры; сим-метричные точки и их построение; способы проверки сим-метричности фигуры.Предметные результаты : находить в окружающем ми-ре плоские и пространственные симметричные фигуры;рисовать, чертить, вырезать симметричные фигуры; опре-делять на глаз количество осей симметрии, центр симмет-рии; аргументировать свои утверждения.Метапредметные результаты : формирование уменийпо организации и проведению эксперимента, предвиде-нию результата и выдвижению гипотез.Личностные результаты : формирование познаватель-ной активности, интереса к геометрической и исследова-тельской деятельности, формирование чувства пре-красного, эмоционального восприятия мира.Межпредметные и общекультурные связи : планимет-рия (симметрия), искусство, технология; симметрия в ар-хитектуре, дизайне, искусстве, ювелирном деле и др.

КОММЕНТАРИИ. Рассматриваемый параграф являетсяочень емким как в плане теоретического материала, таки в плане проведения практических работ.

Параграф логически делится на две части. В первойчасти вводится термин «симметрия», к которому уча-щихся подводит предыдущий урок. Зеркальное отраже-ние называют новым для учащихся термином «зеркаль-ная симметрия». Чтобы определить, является ли фигуразеркально-симметричной, надо мысленно попытатьсяпоставить зеркало так, чтобы отраженная половинка до-полнила фигуру до целой, и если удастся найти такуюлинию, по которой проходит зеркало, то фигура зер-кально симметрична. Такая линия называется осьюсимметрии, а фигура, если она плоская, симметричнаотносительно оси. Далее учащиеся должны самостоя-тельно установить практический способ проверки пло-ской фигуры на симметричность. Для этого учитель раз-дает вырезанные из бумаги фигуры, среди которых естьи симметричные, и несимметричные. Предполагается,что задание выполняется без линейки и карандаша,а ученики уже прочно усвоили способ проведения пря-

115

мых линий на бумаге путем ее перегибания. Итак, прак-тический способ состоит в перегибании фигуры попо-лам: если половинки совпадут, то фигура симметричнаотносительно линии сгиба.

Затем ученики находят симметричные фигуры вучебнике на рисунке 244 и в окружающей обстановке.В ходе обсуждения учитель как бы невзначай задаетвопрос о количестве осей симметрии, т. е. выясняет,сколько различных линий сгиба можно провести, чтобыполовинки фигурки совпали. Безусловно, среди назы-ваемых учениками фигур обязательно найдутся фигуры,у которых более одной оси симметрии. Число осей сим-метрии у различных геометрических фигур ученики на-ходят и по рисунку 248 учебника, выясняя, что «самойсимметричной» фигурой является круг — у него беско-нечно много осей симметрии, как и бесконечно многодиаметров.

От созерцания и мысленной работы ученики перехо-дят к практической деятельности. Им нужно получитьфигуры с одной осью симметрии (клякса) и четырьмяосями (снежинка). Предварительно учитель должен входе фронтальной беседы наметить план выполнениязадания, обратив особое внимание на число сложенийбумаги для вырезания снежинки. Обязательно нужно вконце работы проанализировать результат, т. е. выяс-нить, действительно ли снежинка имеет четыре осисимметрии, не получились ли у школьников снежинки сдругим числом осей.

Следующий этап работы носит логический характер.Рассматривая в учебнике рисунки 249 и 250, ученикидолжны проанализировать их, сравнить, выделитьсущественные и несущественные свойства фигур, найтиобщее и отбросить лишние фигуры. При этом ученикидолжны отвечать аргументированно, и, если есть разныеточки зрения, следует разобрать их. Так, среди фигур вучебнике на рисунке 250 лишней может быть признанатретья фигура, как не имеющая оси симметрии, иличетвертая, как не имеющая дугообразных (закруглен-ных) элементов. И первое, и второе решения правиль-ные в зависимости от выбранного общего признака. Этазадача показывает ученикам, что не на каждый вопросможно ответить однозначно.

116

Если в конце урока осталось немного времени, мож-но предложить ученикам вырезать из бумаги фигуры,имеющие разное количество осей симметрии, написатьна фигуре число осей и фамилию изготовителя и сдатьработу. Так учитель может проконтролировать усвоениематериала.

Второй урок начинается с повторения терминоло-гии и практических способов изготовления и проверкисимметричных относительно прямой фигур. Затем про-водится работа с зеркалами. Два плоских зеркальца ста-вятся под определенным углом друг к другу, между ни-ми на бумаге рисуется какая-нибудь линия и рассматри-вается фигура, полученная при отражении этой линии взеркалах. Сколько осей симметрии имеет фигура, еслиугол между зеркалами 60 , 45 , 90 градусов и т. д.?

Следующая работа — мысленное приставление зер-кал под углом 90 и изображение отражения кривой. Ре-зультат — симметричная фигура. Это задание учительможет сначала выполнить сам на доске, чтобы показатьэтапы работы, провести необходимые рассуждения, т. е.дать образец выполнения задания. Проконтролироватьправильность решения можно с помощью реальныхзеркал, приставленных к рисунку.

Основная часть урока — построение ломаной, сим-метричной данной относительно прямой. Алгоритм по-строения дан в учебнике, рисунок 252 показывает каж-дый этап построения. Алгоритм должен быть понят уче-никами и отработан на аналогичных упражнениях.Только убедившись в усвоении материала, можно пере-ходить к следующим заданиям с зеркалами. Эти заданияученики выполняют самостоятельно, причем сами мо-гут изменять их по своему желанию.

Заключительная часть урока посвящена рассмотре-нию центральной симметрии и центрально-симметрич-ных фигур. Учитель должен подготовить демонстраци-онное пособие, представляющее собой лист плотной бу-маги с наклеенной на него центрально-симметричнойфигурой, проколотой проволочкой в центре симметрии,и закрепленной в этой точке второй фигурой, равнойпервой и свободно вращающейся вокруг проволочки.Важно не только заметить особенности центрально-

117

симметричных фигур, но и обсудить их с учениками,предложить ученикам найти в окружающей обстановкесимметричные фигуры. Кроме того, обратить вниманиена существование фигур, у которых есть ось симметрии,но отсутствует центр симметрии; фигур, у которых, на-оборот, есть центр симметрии; а также фигур, у которыхесть и центр, и ось симметрии.

Урок приобретет большую эстетическую направлен-ность, если учитель сможет показать применение сим-метрии в архитектуре, дизайне, искусстве, ювелирномделе и т. п. Для этого можно использовать всевозмож-ные альбомы, открытки, репродукции. Полезно при-гласить на урок учителя рисования или культуролога.О симметрии в музыке может рассказать учитель музы-ки, о симметрии в поэзии — учитель литературы. Мож-но также дать ученикам задание подготовить небольшиесообщения на эту тему и третий урок (если учитель от-водит на изучение параграфа три урока) провести в видесеминара, конференции или выставки.

§ 30. БОРДЮРЫ (1 ч)

Основные понятия : симметричные орнаменты, бордю-ры, трафарет, параллельный перенос, поворот, сим-метрия.Предметные результаты : рисовать различные бор-дюры с помощью геометрических преобразований; со-здавать мысленный образ и манипулировать им (вращать,перемещать, совмещать, осуществлять параллельныйперенос); воспринимать пространственное расположе-ние объектов, выявлять свойства объекта из наглядногоматериала.Личностные результаты : развитие познавательнойактивности и интереса к предмету, воспитание аккурат-ности и трудолюбия, эстетическое и общекультурное раз-витие.Внутрипредметные и межпредметные связи: плани-метрия (геометрические преобразования, симметрия, па-раллельный перенос, поворот), искусство, технология;бордюры в архитектуре, в оформлении помещений, на-родном творчестве и др.

118

КОММЕНТАРИИ. Изучение симметрии продолжается входе практической деятельности учащихся в течениеследующих двух уроков. На первом уроке, еще разрассматривая и вырезая снежинки с различным числомосей симметрии, ученики проникаются идеей симмет-рии, учатся чувствовать ее, выполнять задания в соот-ветствии с начальными условиями. Экспериментируясо снежинками, ученики приходят к выводу, что дляизготовления фигуры, у которой n осей симметрии,круг-заготовку необходимо разделить на 2n частей. Наэтом повторение пройденного материала можно закон-чить: ученики вспомнили термины, воссоздали образы,поработали практически.

Следующий этап первого урока — изготовление сим-метричных лент. Учитель показывает, как изготавлива-ются такие ленты, обращая внимание на наличие не-разрезанных участков на линиях сгибов, а затем учени-ки приступают к самостоятельной работе. Рисунки лентмогут быть самыми различными, но главное, чтобыкаждый ученик изготовил и ленту, имеющую тольковертикальные оси симметрии между мотивами, и ленту,имеющую еще и горизонтальную ось симметрии (на-помним, что для этого полоска бумаги должна бытьпредварительно свернута пополам вдоль). Ленту, анало-гичную приведенной в учебнике на рисунке 259, лучшесделать учителю на глазах у учеников после небольшогообсуждения процесса изготовления, так как в работе ис-пользуется лезвие бритвы или острый нож — инстру-менты, небезопасные для детей. Дома аналогичные лен-ты ученики могут сделать вместе с родителями.

Переходом к работе с трафаретами может послужитьрассмотрение всевозможных линейных орнаментов:бордюров в архитектуре, в оформлении помещений, на-родном творчестве и т. п. Хорошо при этом использо-вать открытки, слайды, плакаты — любой наглядныйматериал, который можно найти в кабинете рисования,библиотеке, дома. Анализируя рассматриваемые бордю-ры, учитель вместе с учениками выделяет основной эле-мент — мотив — и выясняет, как из этого мотива полу-чается весь бордюр. Ученики, не зная терминов, долж-ны для объяснения использовать обычные, бытовые

119

слова, которым в дальнейшем учитель представит мате-матические термины.

Если в конце урока останется время, можно раздатьученикам вырезанные заранее трафареты и организо-вать соревнование с ними. Кто нарисует больше различ-ных лент с помощью одного трафарета? Продолжить не-законченную работу можно дома с помощью взрослых.При этом надо помнить, что рисунок трафарета не дол-жен быть симметричным. В случае симметричного тра-фарета разные геометрические преобразования приве-дут к одинаковым результатам.

Далее рассматривается более формальный, абстракт-ный материал: термины «параллельный перенос», «по-ворот», «центральная и осевая симметрии» и различныетрафареты (рис. 265 учебника). Это логическая деятель-ность по обоснованию результатов тех или иных пре-образований различных трафаретов: анализ, синтез,аналогия, абстрагирование. Элемент творческой дея-тельности присутствует в самостоятельном составлениитрафаретов различных видов и рисовании бордюров избукв русского или латинского алфавита.

Напомним, что творческие работы учащихся должныбыть помещены на выставке.

В конце урока учитель еще раз повторяет новые тер-мины, введенные на уроке, рассматривая с учениками вучебнике рисунок 268.

§ 31. ОРНАМЕНТЫ (2 ч)

Основные понятия : замощение плоскости без промежут-ков, паркет, элементарная ячейка паркета.Предметные результаты : использовать геометриче-ские преобразования для составления паркета; восприни-мать пространственное расположение объектов,создавать мысленный образ и манипулирование им (осу-ществлять параллельный перенос, поворот, симметрич-ное отражение, совмещение).Метапредметные результаты : выполнение творчес-ких заданий по составлению паркетов.Личностные результаты : формирование эмоциональ-ного отношения к геометрическим занятиям, эстетиче-ское и общекультурное развитие.

120

Внутрипредметные и межпредметные связи: плани-метрия (геометрические преобразования: симметрия, по-ворот, параллельный перенос), искусство, технология.

КОММЕНТАРИИ. Геометрические преобразования,рассмотренные на предыдущих уроках, используютсядля построения плоских орнаментов — паркетов. Как ив бордюрах, в паркетах выделяется мотив — элементар-ная ячейка. Затем, применяя параллельный перенос,поворот, симметрию или композицию этих преобразо-ваний, добиваются плотной упаковки ячеек на плоскос-ти без промежутков.

На усвоение темы предлагается отвести два урока.Первый урок начинается с небольшой разминки.

Ученикам раздаются квадраты с нарисованными внутрилиниями. Квадрат должен быть расчерчен на маленькиеквадраты или сделан из обыкновенной тетрадной клет-чатой бумаги, чтобы ученикам легче было переноситьсоответствующие линии в тетрадь. Задание: нарисоватьквадратный орнамент из четырех одинаковых квадра-тов, используя данный (его можно как угодно повора-чивать, симметрично отображать и сдвигать). Рисункиполучаются различные. Затем результаты обсуждаются,и учитель завершает обсуждение тем, что говорит о воз-можности заполнения такими орнаментами всей плос-кости без промежутков.

Теперь можно перейти к паркетам голландского ху-дожника Мориса Эшера, изображенным в учебнике нарисунках 269, 271. Полезно будет напомнить, что весьдемонстрируемый материал должен удовлетворять ос-новным требованиям к наглядным пособиям, т. е. ри-сунки должны быть четкими, крупными, видными в де-талях издалека или размножены по крайней мере по ко-личеству парт в классе. Рассматривая паркеты, ученикидолжны выделить элементарную ячейку или мотив идогадаться, с помощью каких преобразований полученвесь орнамент. Задача учителя при этом состоит еще и всоздании некоего эмоционального подъема у учащихся,так как стройность и красота паркетов вызывают обыч-но удивление и восторг.

Следующий этап урока более прозаичен, но необхо-дим для овладения умением самостоятельно составлять

121

подобные орнаменты. На этом этапе рассматриваютсярешетки, составленные из простых геометрическихфигур, — это рисунки 272 и 273 в учебнике и решаютсязадачи № 1 и 4.

Решение задачи № 2 лучше проводить с использова-нием готовых ячеек. Учитель раздает ученикам различ-ные четырехугольники (по одному на парту) и предлага-ет составить паркет, считая этот четырехугольник эле-ментарной ячейкой. У каждой пары учениковполучается свой паркет, рисунки разбираются, делаетсявывод о возможности замощения плоскости произ-вольными четырехугольниками.

Второй урок предлагается полностью посвятитьтворчеству шестиклассников. Показав в начале урокапроцесс изменения элементарной квадратной илипрямоугольной ячейки в более сложную и разобрав пошагам, как был нарисован паркет в учебнике на рисун-ке 275, учитель предлагает ученикам самостоятельно за-няться творчеством. Готовые паркеты хорошо было быраскрасить и тут же поместить на выставку. По ходу уро-ка учитель помогает ученикам справиться с заданием,возможно, сам предлагает темы или начинает преобра-зование ячейки. Рассматриваемые на предыдущем уро-ке орнаменты М. Эшера вывешены на доске. К нимможно подойти, внимательно рассмотреть. Заметим,что на уроке, хотя и должен поддерживаться порядок,но атмосфера должна быть свободной, ученики должнычувствовать себя раскрепощенно. Каждого из них нуж-но похвалить за оригинальность или аккуратность, под-держать или направить.


1. К решению первой задачи может подвести рису-нок 273 в учебнике, на котором изображены ячейки ввиде параллелограммов. Нетрудно заметить, что парал-лелограмм разбивается на два равных треугольника.Значит, идя в рассуждениях в обратном направлении,т. е. составляя из двух равных произвольных треуголь-ников параллелограмм, можно замостить плоскостьпроизвольными треугольниками.

122

2. Решению же задачи поможет рисунок 274 в учеб-нике, элементарной ячейкой на котором является пра-вильный треугольник — одна шестая часть правильногошестиугольника.

3. Наиболее трудная, на наш взгляд, задача. В нейнужно придумать пятиугольную ячейку. Подсказкойк решению может оказаться задача на деление квадратана равные пятиугольники, которую можно заранеепредложить ученикам на дом, а проверить решение до-машней задачи именно сейчас, будто бы только вспом-нив о домашнем задании.

§ 32. СИММЕТРИЯ ПОМОГАЕТ РЕШАТЬ ЗАДАЧИ (1 ч)

Основные понятия : основные свойства симметричныхфигур, понятие доказательства.Предметные результаты : строить фигуры при осевойсимметрии; выполнять рисунок, соответствующий усло-вию задачи, проводить дополнительные построения,проводить простейшие доказательства.Личностные результаты: развитие настойчивости в до-стижении цели, любознательности, аккуратности, форми-рование интереса к геометрии.Внутрипредметные и межпредметные связи: плани-метрия (симметрия).

КОММЕНТАРИИ. Этот и следующий параграфы боль-ше соотносятся с систематическим курсом геометрии,чем с курсом наглядной, практической геометрии. Темне менее в конце 6 класса логическое, абстрактноемышление многих учащихся развито в достаточной ме-ре для усвоения доказательств и решения несложных за-дач, поэтому рекомендуется учителю все же рассмотретьэти два параграфа. Безусловно, основная нагрузка науроке ложится на учителя, доля практической работыучащихся мала, умений работать с геометрическими за-дачами у школьников нет. Учитель должен показать,как анализировать условие задачи, как по условию зада-чи сделать рисунок, как проходит процесс поиска планарешения и как этот план реализуется.

123

Тема параграфа выбрана не случайно. Симметрия,рассмотренная на предыдущих уроках с точки зрения еепрактических приложений, является еще и мощнымметодом решения задач. Достаточно вспомнить, что вучебнике А. Н. Колмогорова «Геометрия. 6—8 классы»симметрия выступала основным методом доказательст-ва теорем и решения задач, которые становились на-глядными и доступными. В параграфе даны основныесвойства симметрии, рассмотрено решение задачи № 1и предлагаются задачи № 2—5 для совместного решенияв классе.

Основные свойства симметрии можно сформулиро-вать как результат лабораторно-практической работыпо плану учителя. Формулировки свойств заучивать ненужно, ведь на данном этапе овладения геометриейглавная задача состоит в формировании опыта геомет-рической деятельности учеников, включающего и эле-менты логических рассуждений.

Касаясь вопроса решения задач № 2—5, заметим, чтологическому обоснованию может предшествовать прак-тический этап, когда задача решается, например, пере-гибанием листа бумаги (№ 2 и 3) или методом проб иошибок (№ 4 и 5).

Поиск решения задачи может сопровождаться систе-мой наводящих вопросов учителя.

Подробный анализ задачи № 2 дает ученикам нетолько решение, но и образец рассуждений, которыйони могут применить при самостоятельном решении за-дач № 2 и 3.

Важно показать ученикам, как связаны между собойрешения разных задач. Так, в решении задач № 4 ис-пользуется факт, который объяснен при разборе второйзадачи, а именно: симметричность концов отрезка, ле-жащих на окружности (концов любой хорды окружнос-ти), относительно диаметра, перпендикулярного хордеи проходящего через его середину. Вопрос об особен-ности расположения относительно друг друга всех диа-метров одной окружности (все они проходят черезцентр) наводит на необходимость построения двух диа-метров и нахождения их точки пересечения. Положениецентра окружности и одной ее точки полностью опреде-ляют саму окружность.

124


2. Наводящие вопросы в задаче могут быть следую-щими:

— Как расположены относительно друг друга пря-мые, пересекающие окружность?

— Какие дуги оказались равными? Выделим их.— Равные дуги — дуги, совпадающие при наложе-

нии. Как перегнуть окружность, чтобы выделенные дугисовпали?

— Чем для окружности является линия сгиба?— Какое свойство диаметра окружности нам из-

вестно? — Действительно ли концы дуг симметричны отно-

сительно диаметра? — Перпендикулярны ли данные прямые диаметру и

делятся ли отрезки прямых, заключенные внутри ок-ружности, диаметром пополам?

После ответов на эти вопросы решение оформляетсяот последнего вопроса к требованию задачи.

Учитель может предложить ученикам форму записиусловия и решения задачи в тетради. Но если он сочтетэто лишним, вполне можно ограничиться устнымразбором, сопровождающимся некоторыми записямина доске.

5. Задача аналогична № 1, разобранной в текстеучебника, хотя и немного сложнее. Ее решение учительможет полностью рассказать сам (безусловно, объясне-ния учителя не должны быть чисто синтетическими, вних должны присутствовать и элементы аналитическихрассуждений).

§ 33. ОДНО ВАЖНОЕ СВОЙСТВО ОКРУЖНОСТИ (2 ч)

Основные понятия : понятие геометрической фигуры и еесвойства.Предметные результаты : решать задачи на нахожде-ние длины отрезка, периметра многоугольника, величиныугла, площади фигуры и объема куба; выполнять рисунокпо условию задачи, использовать чертежные инстру-менты; проводить простейшие доказательства, вос-

125

принимать чертеж как целое и получать информацию изчертежа.Личностные результаты : развитие коммуникативныхумений и познавательной активности, формирование ин-тереса к геометрии.Внутрипредметные и межпредметные связи: плани-метрия (окружность).

КОММЕНТАРИИ. Важные свойства окружности, ко-торым посвящен данный параграф, касаются углов, впи-санных в окружность. Первое свойство — вписанныйугол, опирающийся на диаметр, равен 90 — можно об-наружить опытным путем в соответствии с построения-ми, выполненными в № 1. Необходимость логическогообоснования вытекает из того, что вывод о величине по-строенного угла получен в результате индукции и, вооб-ще говоря, пока является лишь гипотезой (ведь все слу-чаи рассмотрены быть не могут, их бесконечно много).Доказательство проводит учитель, не торопясь и стара-ясь добиться от учеников понимания хода логическогорассуждения.

Подробный анализ задачи № 2 достаточен для того,чтобы ученики смогли выполнить построение само-стоятельно. В случае затруднений все построения мож-но провести на доске.

Дальнейшая работа обобщает результат задачи № 1на случай любого вписанного угла и связывает вписан-ный угол с соответствующим центральным. Восприя-тию этого факта очень помогает хорошо выполненныйрисунок и предварительная работа с ним.

Заметим, что предлагаемые для решения задачи весь-ма непросты, и если работа над ними не доступна уче-никам, можно ограничиться только разбором условия,построением чертежа и его анализом, т. е. вычленениемотдельных элементов рисунка, включением этих эле-ментов в различные связи и отношения. Это особеннокасается задач № 7 и 8, которые непросты и для девяти-классников. Решения этих задач даны в учебнике.

Напомним, что основным умением, которым школь-ники должны овладеть, является умение изображатьугол, вписанный в окружность, находить его на чертеже

126

и находить вписанные углы, опирающиеся на одну и туже дугу окружности. Но и это умение, повторяем, не яв-ляется обязательным для шестиклассников.


2. В решении задачи важен анализ. — Что значит построить прямую, проходящую через

точку А перпендикулярно прямой l? [Это означает, чтонужно построить прямой угол с вершиной в точке А так,чтобы одна из сторон лежала на данной прямой.]

— Какой факт относительно прямого угла выведен входе решения задачи № 1? [Прямой угол, вписанный вокружность, опирается на диаметр этой окружности.Этот факт используем в решении. Требуется построитьокружность, проходящую через точку А (чтобы угол былвписанным) и пересекающую прямую l в какой-нибудьточке, отличной от точки А.]

— Важно ли, где будет находиться центр этой окруж-ности и каких размеров эта окружность должна быть?[Нет, это не важно, так как свойство угла, опирающего-ся на диаметр, справедливо для любой окружности.]

После того как окружность будет построена, для вы-яснения положения второй стороны вписанного прямо-го угла нужно изобразить ее диаметр. Имея центр ивторую точку пересечения прямой l с окружностью,проводим диаметр.

3. Решение задачи начинается со свойства квадрата.У квадрата все углы прямые. Вписанный прямой уголопирается на диаметр окружности, значит, отрезок АСявляется диаметром (на него опирается угол АВС). Нона этот же отрезок опирается и угол АМС. Вывод: уголАМС — прямой. Далее можно, сказав о том, что верши-ны квадрата разбили всю окружность на четыре равныечасти, сравнить углы АМD и СМD. Они оказываютсяравными как вписанные и опирающиеся на равные ду-ги, следовательно, каждый из них равен половине углаАМС, т. е. 45 . Угол ВМС состоит из трех равных угловпо 45 каждый, значит, его величина равна 45 3 = 135 .

4. Рассуждения при решении задачи похожи на пре-дыдущие, начинать их нужно с выяснения величин уг-лов правильного треугольника.

127

5. Как и в № 4, в задаче определяют величину дуги,на которую опирается угол АDС, а затем находят вели-чину соответствующего вписанного угла.

6. В задаче отрезок АВ необходимо связать с ради-усом окружности, так как никаких иных линейных эле-ментов заданной длины нет, поэтому следует соединитьточки А и В с центром окружности и сосредоточиться наполученном треугольнике. Какого он вида? [Он равно-бедренный, так как две его стороны равны как радиусыокружности.] Что еще можно сказать о нем? Можно лиопределить величину центрального угла? [Для этого не-обходимо знать, сколько градусов в дуге АВ.] Есть лиэлемент, позволяющий это определить? Что еще не ис-пользовали в решении? [Угол АСВ.] Ученики с по-мощью учителя добрались до начального пункта реше-ния, теперь можно оформлять решение.

§ 34. ЗАДАЧИ, ГОЛОВОЛОМКИ, ИГРЫ (1 ч)

Предметные результаты : выделять в условии задачиданные, необходимые для решения; делать рисунок к за-даче; строить логическую цепочку рассуждений; сопос-тавлять полученный результат с условием задачи.Метапредметные результаты : развитие воображе-ния, интуиции, нестандартного мышления, приобретениеопыта поисковой деятельности.Личностные результаты : формирование положитель-ного отношения к занятиям геометрией, развитие комму-никативных умений, эстетическое воспитание.

КОММЕНТАРИИ. Рекомендуется рассмотреть решенияотдельных задач, наиболее трудных в методическом от-ношении. Заметим при этом, что в учебнике даны отве-ты и решения практически ко всем задачам.

Хотя задачи в учебнике и снабжены решениями, темне менее следует предлагать ученикам работать над ни-ми самостоятельно, не глядя в ответы.

Последний урок в 6 классе желательно отвести напроведение зачетного урока, планирование которогоосуществляет учитель с учетом уровня освоения мате-риала курса в классе.

128


1. У шестигранного карандаша 8 граней, если он неотточен. Если же рассматривать подточенный каран-даш, то ответ зависит от способа заточки. Задача пока-зывает необходимость дополнения условия для получе-ния однозначного ответа.

2. Задачу можно решить практически, раздав учени-кам бумажные цепочки из трех колец. Возможно, чтопредметное решение для них будет проще.

3. В решении используется свойство симметрии ок-ружности относительно любого своего диаметра.

5. Возможно, что решению поможет следующее дей-ствие учителя: он «стирает» одну из «стен» и таким обра-зом убирает 4 башни. Теперь нужно найти новое поло-жение этой стены такое, что башни образуются на пере-сечении с оставшимися стенами.

6. Обратите внимание на сходство ответа с решением№ 5 и проведите аналогии.

8. Можно сначала выяснить, какова площадь данно-го прямоугольника. Такая же площадь будет и у искомо-го квадрата. Отсюда получаем, что сторона квадратадолжна быть равна 6 единицам, значит, линия разрезадолжна быть ступенчатой.

9. Подсказкой может служить замечание, что однасторона искомого треугольника должна быть вдвоеменьше высоты треугольника, а вторая должна равнять-ся стороне треугольника, к которой эта высота прове-дена.

11. Заметим, что в звезде нужно оставить неразре-занной как можно большую часть, причем так, чтобыэта часть стала частью искомого параллелограмма.

12. Для упрощения решения можно расчертить фи-гуры на более мелкие квадраты и треугольники соответ-ственно.

15. Деля лунный серп на части, нужно заметить, чтопересечение линий разреза внутри серпа дает дополни-тельные кусочки.

16. Перед выполнением задания можно вспомнить,всегда ли подобные задачи имеют решения, и, подсчи-тав количество четных и нечетных узлов, начать реше-ние с нечетного узла, если таковой имеется.

129

18. Решение можно осуществить предметно, сделавиз клетчатой бумаги цилиндр и нанеся на него рисунокв соответствии с условием задачи.

20. Можно вспомнить решение задачи № 7 из § 1, гдечетыре страны соседствовали друг с другом. Решениеданной задачи аналогичное.

24. Решение задачи можно проводить без предвари-тельного анализа, метод решения — перебор вариантов.

25. Треугольник необходимо разделить на части, аэти части дополнить до прямоугольников (равные тре-угольники пронумерованы одинаково).

26. Для решения достаточно вспомнить тему«Окружность», в которой с помощью замкнутой вере-вочки получали фигуры разной формы.

27, 28. Задачи можно решить предметно, если уче-ник испытывает затруднения с оперированием образа-ми.

29. Упростить решение можно, пронумеровав точки,как в задачах № 21 и 22 из § 18.

31. Задача решается путем раскраски доски в двацвета, так как костяшка домино состоит из двух клеток(см. решение аналогичных задач в § 22).

33, 34. Решения задач могут быть найдены в ходепрактических работ с разными многоугольниками. Важ-но, чтобы многоугольники были различной формы.

35. Задача решается методом подбора контрпримера.Учитель может ее сформулировать именно в таком виде,чтобы ученикам потребовалось найти два треугольникас тремя равными углами и двумя равными сторонами.

40. Решение основано на свойстве вписанного в ок-ружность угла, опирающегося на диаметр.

43 (а). Полезно соединить точки таким образом,чтобы получился треугольник, и определить вид этоготреугольника.

46. Задачу можно решить практически, если прило-жить два равных прямоугольных треугольника с острымуглом в 30 друг к другу, совместив большие катеты. По-лучаем правильный треугольник, у которого однасторона разделена пополам, что и «доказывает» утверж-дение задачи.

47. Полезно вспомнить, что для замощения плоскос-ти в § 31 сначала были получены полоски.

130

48. Задача является обратной к задаче на делениетреугольника на 4 равные части, где использовалосьсвойство средней линии. Теперь по «внутреннему» тре-угольнику надо достроить в 4 раза больший тре-угольник.

55. На решении этой задачи учитель показывает уче-никам один из способов решения задач комбинаторнойгеометрии. Решение полностью приведено в учебнике.

131

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Рабочая программа «Математика. Наглядная геометрия. 5—6 классы» к учебнику И. Ф. Шарыгина, Л. Н. ЕрганжиевойПояснительная записка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Планируемые результаты освоения курса . . . . . . . . . 11Содержание курса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Тематическое планирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 класс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 класс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Темы учебных проектов и исследований . . . . . . . . . . 35Описание учебно-методического

и материально-технического обеспечения образовательной деятельности . . . . . . . . . . . . . . . 35

Методические комментарии к параграфам учебника

5 класс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

§ 1. Первые шаги в геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37§ 2. Пространство и размерность . . . . . . . . . . . . . . . 40§ 3. Простейшие геометрические фигуры . . . . . . . . . 44§ 4. Конструирование из «Т» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46§ 5. Куб и его свойства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47§ 6. Задачи на разрезание и складывание фигур . . . . 51§ 7. Треугольник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53§ 8. Правильные многогранники. . . . . . . . . . . . . . . . . 58§ 9. Геометрические головоломки . . . . . . . . . . . . . . . . 59§ 10. Измерение длины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61§ 11. Измерение площади и объема . . . . . . . . . . . . . . . 63

132

§ 12. Вычисление длины, площади, объема. . . . . . . . 66§ 13. Окружность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69§ 14. Геометрический тренинг . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74§ 15. Топологические опыты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77§ 16. Задачи со спичками. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80§ 17. Зашифрованная переписка . . . . . . . . . . . . . . . . . 81§ 18. Задачи, головоломки, игры . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6 класс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

§ 19. Фигурки из кубиков и их частей . . . . . . . . . . . . . 89§ 20. Параллельность и перпендикулярность . . . . . . 92§ 21. Параллелограммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95§ 22. Координаты, координаты,

координаты... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98§ 23. Оригами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104§ 24. Замечательные кривые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105§ 25. Кривые Дракона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107§ 26. Лабиринты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109§ 27. Геометрия клетчатой бумаги . . . . . . . . . . . . . . . . 110§ 28. Зеркальное отражение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113§ 29. Симметрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114§ 30. Бордюры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117§ 31. Орнаменты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119§ 32. Симметрия помогает решать задачи . . . . . . . . . 122§ 33. Одно важное свойство окружности . . . . . . . . . . 124§ 34. Задачи, головоломки, игры . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

УДК 373.3.016:514 - rosuchebnik.ru€¦ · 5—6 классы», размещенной в...

Documents