初心者のための線形代数学入門

第3章 章末問題@gm3d2

Apr. 25 2015池袋バイナリ勉強会会場

3.1 (1)-1● n × nに一般化して数学的帰納法

● nまでは成り立つとして、n+1を証明

3.1 (1)-2

第一列で余因子展開

第一行で余因子展開

3.1 (1)-3

3.1 (2)-1● ある行のスカラー倍を別の行に加えてもよい● 1, 2, ... n-1 行をn行（最下行）に加える

最下行のスカラー倍をくくり出す

3.1 (2)-2● 第一列を次の二つの列ベクトルの和に分けて計

算する

3.1 (2)-3a1をくくり出せば(1, 1, ... 1)で同じ行を二つ含むので０

Xとおく

サイズn-1でXと同じ形 サイズn-2で同じ形

3.2 (1)

上半分の行を一行ずつ下半分に加える

右半分の列を一行ずつ-1倍して左半分に加える

定理3.1.18

3.2 (2)

上半分の行を一行ずつi倍して下半分に加える

右半分の列を一行ずつ-i倍して左半分に加える

定理3.1.18

3.3 (1)

定理3.1.18

3.3 (2)

(1)

3.4

3.5● 曲線 を決めるという

こと→ を決めるということ● がこの曲線を通る

● aiを未知数とする方程式と見る

3.5 -2

Vandermondeの行列式→差積！

異なるi, jに対するxは違う値を取るので、この行列式は０ではない→行列は正則で、係数aについて方程式を解くことができる。

3.6 (1)

移項してnをn+1と書き換え

3.1 (1)と同じやりかた

3.6 (2)

3.6 (3)

3.6 (4)

k = 0, n+1は分母も0となるので不適

3.7● 教科書の解答(243p)の通り

3.8

3.9

両辺の行列式を取ると右辺が問題の行列式で左辺は差積の2乗

3.10● 任意のxiとxjを等しいとおくと第i列と第j列が等

しくなり、行列式は0となる

→因数定理より

● に含まれるxiの次数 = n-1● 左辺もxiについてn-1次 ... f()は定数c● xn^(n-1)の係数を両辺で調べると c=1とわかる

3.11-0● 左辺の行列は（おそらく）以下が正しい

(以下そうであると仮定して計算する）

3.11-1● Aも右の行列に合わせてブロックに分ける

3.11-2● 左上のブロック

余因子展開の形定理3.2.1 (80p)

3.11-3● 右上のブロック

● 右下のブロック

3.11-4● 左下のブロック

● あとはテキストの解答通り

定理3.2.1(p80)で i≠kの場合

3.12● 以下の式をまず数学的帰納法で示す

● n = 2: 積の微分そのもの● n = k まで成立したとして、n = k+1では

3.12 -2● あとは行列式の定義(3.3式)をにらんで、行列

の各成分がxの関数であることに注意して全体を微分すればよい