вестник южно...

Учредитель – Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Южно-Уральский государственный

университет» (национальный исследовательский университет)

Основной целью серии «Математика. Механика. Физика» является публикация и распро-странение оригинальных результатов научных исследований в области математики, механики и физики, а также их приложений в естественных, технических и экономических науках. Редакционная коллегия:

д.ф.-м.н., профессор Загребина С.А. (отв. редактор), к.ф.-м.н., доцент Голубев Е.В. (отв. секретарь), к.ф.-м.н., профессор Заляпин В.И., д.т.н., профессор Чернявский А.О., д.ф.-м.н., профессор Кундикова Н.Д., д.ф.-м.н., профессор Ковалев Ю.М., д.ф.-м.н., профессор Келлер А.В.

Редакционный совет:

д.ф.-м.н., профессор Менихес Л.Д., д.ф.-м.н., профессор Карачик В.В., д.ф.-м.н., профессор Мирзаев Д.А., д.ф.-м.н., профессор Бескачко В.П., д.т.н., профессор Сапожников С.Б., д.ф.-м.н., профессор Жуковский В.И. (Московский государственный университет имени М.В. Ломо-

носова, г. Москва), д.ф.-м.н., профессор Пинчук С.И. (Университет штата Индиана, г. Блумингтон, США), д.ф.-м.н., Ph. D., профессор, Штраус В.А. (Университет Симона Боливара, г. Каракас, Венесуэла), Ph. D., профессор Ким Кишик (Kim Kisik, INHA-Университет, г. Инчон, Корея), Ph. D., профессор Ким Джейван (Kim Jaewan, Корейский институт передовых исследований KIAS,

г. Сеул, Корея), Ph. D., ассистент-профессор Пузырев Е.С. (Университет Вандербильта, г. Нэшвилл, США)

СЕРИЯ

«МАТЕМАТИКА.МЕХАНИКА.ФИЗИКА»

Решением ВАК России включен в Перечень рецензируемых научных изданий

ÂÅÑÒÍÈÊÞÆÍÎ-ÓÐÀËÜÑÊÎÃÎ

ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÎÃÎ

ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒÀT. 7, ¹ 3

2015

ISSN 2075-809X (Print)ISSN 2409-6547 (Online)

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

South Ural State University

The main purpose of the series «Mathematics. Meсhanics. Physics» is to promote the results of re-search in mathematics, mechanics and physics, as well as their applications in natural, technical and economic sciences.

Editorial Board S.A. Zagrebina, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation E.V. Golubev, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation V.I. Zalyapin, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation A.O. Chernyavskii, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation N.D. Kundikova, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation Yu.M. Kovalev, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation A.V. Keller, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation Editorial Counsil L.D. Menikhes, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation V.V. Karachik, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation D.A. Mirzaev, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation V.P. Beskachko, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation S.B. Sapozhnikov, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation V.I. Zhukovsky, Moscow State University, Moscow, Russian Federation S.I. Pinchuk, Indiana University, Bloomington, United States of America V.A. Strauss, University of Simon Bolivar, Caracas, Venezuela Kishik Kim, INHA-University, Incheon, Korea Jaewan Kim, Korea Institute for Advanced Study KIAS, Seoul, Korea E.S. Puzyrev, Vanderbilt University, Nashville, USA

BULLETINVol. 7, no. 3

SERIES

“”

MATHEMATICS.MECHANICS. PHYSICS

OF THE SOUTH URAL

STATE UNIVERSITY

Vestnik Yuzhno-Ural’skogo Gosudarstvennogo Universiteta.Seriya ”“Matematika. Mekhanika. Fizika

2015

ISSN 2075-809X (Print)ISSN 2409-6547 (Online)


3

СОДЕРЖАНИЕ

Математика

ИВАНОВ С.А., БЛЕЕС И.И. Устойчивость многослойных рекурсивных нейронных сетей..... 5 ИВАНОВА Н.Д., ФЕДОРОВ В.Е. Нелокальная по времени краевая задача для линеаризо-ванной системы уравнений фазового поля......................................................................................

10

КОРАБЛЁВ Ф.Г., КАЗАКОВ А.А. Задача Конвея–Гордона для редуцированных полных пространственных графов.................................................................................................................

16

МАНАКОВА Н.А. Задача оптимального управления для одной модели динамики слабо-сжимаемой вязкоупругой жидкости ................................................................................................

22

РУБИНА Л.И., УЛЬЯНОВ О.Н. Два подхода к решению уравнения потенциала в автомо-дельных переменных .........................................................................................................................

30

СИДИКОВА А.И., ВИШНЯКОВ Е.Ю., ЕРШОВА А.А. Оценка погрешности приближенно-го решения интегрального уравнения методом невязки ................................................................

39

СЫМОТЮК М.М., САВКА И.Я. Метрические оценки малых знаменателей в нелокальных задачах сопряжения ...........................................................................................................................

48

ХАЙРИСЛАМОВ К.З. Моделирование течения жидкости с нелинейной вязкостью ................ 54 ХАЙРИСЛАМОВ М.З. Численное решение квазилинейного уравнения теплопроводности в задаче нагревания цилиндра движущимся теплоисточником .......................................................

58

Механика

АНТОНЕНКО Н.Н. Задача о центральной продольной трещине нормального отрыва с на-полнителем в полосе..........................................................................................................................

65

КОВАЛЕВ Ю.М., КОВАЛЕВА Е.А., ПИГАСОВ Е.Е. Анализ некоторых модификаций ме-тода крупных частиц на примере исследования течений газовзвесей..........................................

71

Физика

СОЗЫКИН С.А., БЕСКАЧКО В.П., ВЯТКИН Г.П. Выбор оптимальных параметров для моделирования атомной и электронной структуры углеродных нанотрубок в пакете SIESTA................................................................................................................................................

78

© Издательский центр ЮУрГУ, 2015


CONTENTS

Mathematics

IVANOV S.A., BLEES I.I. Stability of Multilayer Recursive Neural Networks................................ 5 IVANOVA N.D., FEDOROV V.E. Time Nonlocal Boundary Value Problem for a Linearized Phase Field Equations System .............................................................................................................

10

KORABLEV Ph.G., KAZAKOV A.A. Conway–Gordon Problem for Reduced Complete Spatial Graphs..................................................................................................................................................

16

MANAKOVA N.A. The Optimal Control Problem for the Model of Dynamics of Weakly Viscoe-lastic Fluid ...........................................................................................................................................

22

RUBINA L.I., UL’YANOV O.N. Two Approaches to Solving the Potential Equation in Self-Similar Variables .................................................................................................................................

30

SIDIKOVA A.I., VISHNYAKOV E.Yu., ERSHOVA A.A. Error Estimation of Approximate So-lution of Integral Equation by Residual Method..................................................................................

39

SYMOTYUK M.M., SAVKA I.Y. Metric Estimates of Small Denominators in Nonlocal Bound-ary Value Problems..............................................................................................................................

48

KHAYRISLAMOV K.Z. Simulation of Nonlinear Viscous Fluid Flow............................................. 54 KHAYRISLAMOV M.Z. Numerical Solution of Quasi-Linear Heat Conduction Equation in the Problem of Cylinder Heating by Moving Heat Source........................................................................

58

Механика

ANTONENKO N.N. The Problem of the Central Longitudinal Opening Mode Crack with the Filler in the Strip..................................................................................................................................

65

KOVALEV Yu.M., KOVALEVA E.A., PIgasov E.E. The Analysis of some Modifications of the Large-Particle Method on the Basis of Research of Gas-Suspension Currents ...................................

71

Физика

SOZYKIN S.A., BESKACHKO V.P., VYATKIN G.P. Selection of the Optimal Parameters for Simulation of Atomic and Electronic Structure of Carbon Nanotubes by Siesta Package..................

78


2015, том 7, 3 5

Математика УДК 517.96

УСТОЙЧИВОСТЬ МНОГОСЛОЙНЫХ РЕКУРСИВНЫХ НЕЙРОННЫХ СЕТЕЙ

С.А. Иванов1, И.И. Блеес2

Получены численные критерии устойчивости многослойных дискрет-ных нейронных сетей. Построены области устойчивости в пространстве па-раметров для таких сетей. Задача сводится к проблеме устойчивости мат-ричных разностных уравнений высоких порядков с запаздыванием. Основ-ным средством решения проблемы являются конусы устойчивости.

Ключевые слова: нейронные сети; разностные матричные уравнения; ус-тойчивость разностных уравнений; многослойные сети.

Введение В статье рассмотрены многослойные нейронные сети с одинаковыми запаздываниями во

взаимодействии между нейронами в сети. Такие модели имеют широкое применение в различ-ных областях знаний.

В работе [1] изучалась нелинейная дискретная модель много-слойных сетей. В этой работе даны достаточные условия глобаль-ной устойчивости таких моделей. Наша задача другая – изучение локальной устойчивости и полное описание областей устойчивости в пространстве параметров.

Связи трехслойной сети с тремя нейронами в каждом слое изо-бражены на рис. 1.

В результате линеаризации вокруг стационарного решения уравнений многослойной нейронной сети получается линейное мат-ричное разностное уравнение

1 ,s s s kx Ix Bxγ − −= + 1,2s = … , (1)

где sx – вектор сигналов нейронов в момент s . Вектор sx – размерности np характеризует от-клонения сигналов нейронов от стационарных, I – единичная np np× матрица, γ – коэффици-ент затухания колебаний нейронов (0 1)γ≤ < , B – матрица размера np np× , характеризующая взаимодействия между нейронами в сети, k – запаздывание во взаимодействии между нейрона-ми, n – число нейронов в каждом слое, p – число слоев в сети.

Уравнение (1) принадлежит классу матричных разностных уравнений вида:

1 ,s s s kx Ax Bx− −= + 1,2s = … , (2) которые обладают важным для нас свойством: матрицы ,A B могут быть приведены к треуголь-ному виду одним преобразованием. Поэтому мы имеем возможность применить метод конуса устойчивости [2] для анализа устойчивости этих уравнений.

Матрица ,B например, трехслойной сети, состоящей из шести нейронов, имеет следующий вид:

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0,

0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

a a

a a

b b a aB

b b a a

b b

b b

=

(3)

1 Иванов Сергей Александрович – доцент, кафедра системного программирования, Южно-Уральский государственный университет. E-mail: [email protected] 2 Блеес Ирина Игоревна – магистр, кафедра системного программирования, Южно-Уральский государственный университет.

Рис. 1. Трехслойная нейронная сеть



Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика. Механика. Физика» 6

где a – сила воздействия нейронов одного слоя на следующий слой, b – сила обратного воздей-ствия.

Мы ставим задачу изучить область устойчивости системы (1) в пространстве параметров ,a b при разных значениях , ,n pγ и k . Конус устойчивости для диагностирования устойчивости нейронных сетей

В работах [2, 3] введены конусы устойчивости для диагностирования устойчивости систем вида (2) с матрицами ,A B, одновременно приводимыми к треугольному виду. Для решения по-ставленной задачи устойчивости многослойных нейронных сетей нам понадобится техника кону-сов устойчивости, которую мы здесь изложим.

Определение 1. Конусом устойчивости для уравнения вида (2) для данного k мы называем

множество точек 31 2 3( , , )M u u u R= ∈ , такое, что

1 2 3exp( ) exp( ( 1) ), ,u iu ik h i k u hω ω+ = − − = (4) где параметры ,h ω связаны соотношениями

sin0 , .

sin( 1)

kh

k k k

ω π πωω

≤ ≤ − ≤ ≤−

(5)

Теорема 1 [3]. Пусть , , np npA B S R ×∈ и 1 1,T TS AS A S BS B− −= = , где ,T TA B треугольные мат-

рицы с диагональными элементами ,j jλ µ соответственно (1 )j np≤ ≤ . Построим точки 3

1 2 3( , , )j j j jM u u u R= ∈ (1 )j np≤ ≤ так, что

1 2 exp( arg ),j j j ju iu ikµ λ+ = − 3 j ju λ= . (6)

Тогда уравнение (2) асимптотически устойчиво, если и только если все точки jM лежат

внутри конуса устойчивости (4), (6) для данного k . Если некоторая точка jM лежит вне конуса

устойчивости, то уравнение (2) неустойчиво. Теорема 1 сводит задачу диагностирования устойчивости системы (2) порядка ( )np np× к

геометрической задаче в 3R : асимптотическая устойчивость системы равносильна условию, что все точки (1 )jM j np≤ ≤ лежат внутри конуса устойчивости (4), (6) для данного k .

Для применения теории конусов устойчивости необходимо знать собственные числа матри-цы B . Введем следующие обозначения:

0 0 0

0 0

0 0 0

0 0 0 0

a

b a

L b

a

b

=

⋯

⋯

⋯

⋮ ⋮ ⋮ ⋱

;

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1

1 1 1 1 1

V

=

⋯

⋯

⋯

⋮ ⋮ ⋮ ⋱

,

где матрица L размера ( )p p× , матрица V размера ( )n n× . Заметим, что матрица L представляет собой матрицу сил запаздывающих взаимодействий

нейронной сети линейной конфигурации. Собственные числа таких матриц и области устойчиво-сти линейных нейронных сетей изучены в [4, 5].

Матрицу можно представить в виде произведения Кронекера следующим образом: B L V= ⊗ .

Для произведения Кронекера справедлива следующая теорема. Теорема 2 [6]. Пусть собственные значения квадратных матриц A и B равны 1,..., mα α и

1,..., mβ β . Тогда собственные числа А В⊗ равны i jα β .

Собственные числа матрицы L порядка p равны 2 cos1jj

abp

πλ ⋅= ⋅ + , 1...j p= . Собст-

венные числа матрицы V порядка n равны 1 2 0µ µ= = =⋯ ; n nµ = . Согласно теореме 2 для мат-


Иванов С.А., Устойчивость многослойных рекурсивных нейронных сетей Блеес И.И.

2015, том 7, 3 7

рицы B порядка np собственные числа равны 11 12 1 0pnε ε ε −= = = =⋯ ; 2 cos1jnj

n abp

πε ⋅= ⋅ + ,

1...j p= . Диагностирование устойчивости двухслойной сети

Определение 2. Овалом устойчивости для уравнений вида (2) для запаздывания 1k > и пара-метра γ мы называем кривую 1 2( ) ( ( ), ( ))M u uω ω ω= , такую что

1 2( ) ( ) exp( ) exp( ( 1) )u iu ik i kω ω ω γ ω+ = − − ,

где 1 1( , )ω ω ω∈ − , где 1ω – есть наименьший положительный корень уравнения

sin.

sin( 1)

k

k

ωγω

=−

Овал устойчивости для данного запаздывания k и данного γ это сечение конуса устойчиво-сти (см. Определение 1) плоскостью 3u γ= . На основании Теоремы 1 и свойств матрицы B для

диагностирования устойчивости уравнения (1) достаточно проверить две точки

1 2 1 2( , ) 2 cos1j j j jM u u u iu n ab

p

π = + = ± ⋅ +

(1 2)j≤ ≤ . Поэтому имеют место следующие теоре-

мы.

Теорема 3. Пусть даны произвольные , , 1n k Z k+∈ > . Пусть 0 1γ≤ ≤ . Построим в 2R овал

устойчивости (см. Определение 2) для данных ,k γ . Построим точки 21 2( , )j j jM u u R= ∈ (1 2)j≤ ≤

так, что

1 2 2 cos1j ju iu n ab

p

π + = ± ⋅ +

.

Если обе точки (1 2)jM j≤ ≤ лежат внутри овала устойчивости, то система (1) асимптотиче-

ски устойчива. В противном случае система (1) неустойчива. Введем обозначение

2 cos1

q np

π = ⋅ +

.

Теорема 4. 1. Если 1γ > , то система (1) неустойчива.

2. Если 1γ ≤ и 2

10 ab

q

γ −≤ <

, то система (1) асимптотически устойчива при любом запаз-

дывании k . Если 1γ ≤ и 2

1ab

q

γ −>

, то система (1) неустойчива при любом запаздывании k .

3. Если 1γ ≤ и 0ab< и 2

( , )F kab

q

γ <

, то система (1) асимптотически устойчива при дан-

ном значении k . Если 1γ ≤ и 0ab< и 2

( , )F kab

q

γ >

, то система неустойчива при данном

запаздывании k . Здесь sin ( )

( , )cos( 1) ( )

F kk

ω γγω γ

=−

, где ( )ω γ есть наименьший неотрицательный ко-

рень уравнения cos

cos( 1)

k

k

ωγω

=−

.

Области устойчивости системы (1) отражены на рис. 2, 3. Полученные результаты не противоречат известным результатам. Можно сделать вывод о

динамике областей устойчивости в пространстве параметров. Область устойчивости стягивается в крест только с ростом числа нейронов в каждом слое. Увеличение числа слоев в нейронной се-ти с сохранением числа нейронов в каждом слое не стягивает область устойчивости в крест. При




фиксированном количестве нейронов n имеется область в пространстве параметров, в которой гарантируется устойчивость независимо от запаздывания (delay-independent stability). Для сохра-нения устойчивости выгоднее увеличивать число слоев в многослойных сетях, чем наращивать число нейронов в каждом из слоев.

Литература 1. Barabanov, N.E. Stability analysis of discrete-time recurrent neural networks // N.E. Barabanov,

D.V. Prokhorov. – IEEE Transactions of Neural Networks. – 2002. – V. 13(2). – P. 292–303. 2. Kipnis, M.M. The stability cone for a matrix delay difference equation. International //

M.M. Kipnis, V.V. Malygina. – J. of Mathematics and Mathematical Sciences. – 2011. P. 1–15. ID 860326.

3. Ivanov, S.A. The stabiliry cone for a difference matrix equation with two delays // S.A. Ivanov, M.M. Kipnis, V.V. Malygina. – ISRN J. Applied Mathematics. – 2011. – P. 1–19. ID 910936.

4. Ivanov, S.A. Stability analysis of discrete-time neural networks with delayed interactions: torus, ring, grid, line / S.A. Ivanov, M.M. Kipnis. – International Journal of Pure and Applied Math. – 2012. – Vol. 78(5). – P. 691–709

5. Khokhlova, T.N. Numerical and qualitative stability analysis of ring and linear neural networks with a large number of neurons / T.N. Khokhlova, M.M. Kipnis. – International Journal of Pure and Ap-plied Math. – 2012. – Vol. 76(3). – P. 403–419.

6. Прасолов, В.В. Задачи и теоремы линейной алгебры / В.В. Прасолов. – М., 2008 – 536 с. Поступила в редакцию 26 марта 2015 г.

Рис. 2. Область устойчивости системы (1) в плос-кости ( , )a b при фиксированных 0,4, 3,kγ = =

4n = и переменном числе слоев p

Рис. 3. Область устойчивости системы (1) в плос-кости ( , )a b при фиксированных 0,4, 3,pγ = =

5n = и переменном запаздывании k


Иванов С.А., Устойчивость многослойных рекурсивных нейронных сетей Блеес И.И.

2015, том 7, 3 9

Bulletin of the South Ural State University

Series “Mathematics. Mechanics. Physics” 2015, vol. 7, no. 3, pp. 5–9

STABILITY OF MULTILAYER RECURSIVE NEURAL NETWORKS S.A. Ivanov 1, I.I. Blees 2

Numerical stability criteria are described for multilayer discrete-time neural networks. Stability do-mains in the space of parameters are built. The problem reduces to the stability problem for difference matrix equations of a higher order with delay. Stability cones are major tolls for problem solution.

Keywords: neural networks; difference matrix equations; stability of difference equations; multi-layer network.

Referemces 1. Barabanov N.E., Prokhorov D.V. Stability analysis of discrete-time recurrent neural networks.

IEEE Transactions of Neural Networks. 2002. Vol. 13(2). pp. 292–303 2. Kipnis M.M., Malygina V.V. The stability cone for a matrix delay difference equation. Interna-

tional J. of Mathematics and Mathematical Sciences. 2011. pp. 1–15. ID 860326. 3. Ivanov S.A., Kipnis M.M., Malygina V.V. The stabiliry cone for a difference matrix equation

with two delays. ISRN J. Applied Mathematics. 2011. pp. 1–19. ID 910936. 4. Ivanov S.A., Kipnis M.M. Stability analysis of discrete-time neural networks with delayed inter-

actions: torus, ring, grid, line. International Journal of Pure and Applied Math. 2012. Vol. 78(5). pp. 691–709.

5. Khokhlova T.N., Kipnis M.M. Numerical and qualitative stability analysis of ring and linear neu-ral networks with a large number of neurons. International Journal of Pure and Applied Math. 2012. Vol. 76(3). pp. 403–419.

6. Prasolov V.V. Zadachi i teoremy lineynoy algebry (Problems and theorems of linear algebra). Moscow, 2008. 536 p.

Received 26 March 2015

1 Ivanov Sergey Alexandrovich is Associate Professor, System Programming Department, South Ural State University. E-mail: [email protected] 2 Blees Irina Igorevna is a Master Student, System Programming Department, South Ural State University.



УДК 517.95

НЕЛОКАЛЬНАЯ ПО ВРЕМЕНИ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ЛИНЕАРИЗОВАННОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ФАЗОВОГО ПОЛЯ

Н.Д. Иванова1, В.Е. Федоров2

Исследована краевая задача с нелокальными по времени условиями для линеаризованной квазистационарной системы уравнений фазового по-ля. Получены необходимое и достаточное условия существования и единст-венности классического и обобщенного решений этой задачи.

Ключевые слова: нелокальная задача; краевая задача; система уравнений фазового поля; классическое решение; обобщенное решение.

Введение В ограниченной области nΩ ⊂ ℝ с границей ∂Ω класса C∞ рассмотрим линеаризованную

систему уравнений фазового поля

1( , ) ( , ) ( , ) ( , ),v w

x t l x t v x t g x tt t

κ∂ ∂+ = ∆ +∂ ∂

( , ) [0, ],x t T∈Ω × (1)

0( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0,w x t w x t v x t g x tα β∆ + + + = ( , ) [0, ],x t T∈Ω × (2) в которой для двухфазной среды связываются температура v относительно температуры равно-весия между фазами и фазовая функция w . В предположении нулевого времени релаксации эта система уравнений описывает фазовые переходы первого рода [1, 2]. Здесь l – скрытая теплота, κ – коэффициент теплопроводности, 1g – функция внешнего теплового источника, константы

,α β и функция 0g определяются соотношением фазового поля, вводимым на основе теории фазовых переходов.

Снабдим задачу нелокальными условиями по времени

00

( , ) ( ) ( ),T

v x t t dt v xη =∫ ,x∈Ω (3)

00

( , ) ( ) ( ),T

w x t t dt w xη =∫ ,x∈Ω (4)

и граничными условиями при θ ∈ℝ

( , ) (1 ) ( , ) ( , ) (1 ) ( , ) 0,v w

x t v x t x t w x tn n

θ θ θ θ∂ ∂+ − = + − =∂ ∂

( , ) [0, ].x t T∈∂Ω × (5)

Нелокальная задача в банаховом пространстве Рассмотрим сначала нелокальную задачу

00

( ) ( )T

u t t dt uη =∫ (6)

для вырожденного эволюционного уравнения в банаховом пространстве '( ) ( ) ( ),Lu t Mu t g t= + [0, ].t T∈ (7)

Здесь U и V – банаховы пространства, ( ; )L∈L U V (т.е. линейный и непрерывный оператор из U в V ), ker 0,L ≠ ( ; )M Cl∈ U V (т.е. линейный, замкнутый, плотно определенный в U , дейст-вующий в V оператор), :[0, ] .g T → V Введем обозначения

1( ) : ( ) ( ; ) ,L M L Mρ µ µ −= ∈ − ∈ℂ L U V ( ) \ ( ),L LM Mσ ρ=ℂ

1 Иванова Наталья Дмитриевна – аспирант, кафедра математического и функционального анализа, Южно-Уральский государственный университет. E-mail: [email protected] 2 Федоров Владимир Евгеньевич – доктор физико-математических наук, профессор, кафедра математического и функционального анализа, Южно-Уральский государственный университет. E-mail: [email protected]


Иванова Н.Д., Нелокальная по времени краевая задача Федоров В.Е. для линеаризованной системы уравнений фазового поля

2015, том 7, 3 11

1( ) ( ) ,LR M L M Lµ µ −= − 1( ) ( ) .LL M L L Mµ µ −= −

Определение 1. Пусть 0.p∈ ∪ℕ Оператор M называется сильно ( , )L p -радиальным, ес-ли

(i) ( , ) ( );La a Mρ∃ ∈ +∞ ⊂ℝ (ii) 0 ( , )K a nµ∃ > ∀ ∈ +∞ ∀ ∈ℕ

( 1) ( 1)( 1)( ) ( )

max ( ( )) , ( ( )) ;( )

L n p L n pn p

KR M L M

aµ µ µ

+ ++≤

−L LU V

(iii) существует плотный в V линеал

V такой, что при любом ( , )aµ ∈ +∞

1 12

const( )|| ( ) ( ( )) ||

( )L p

p

fM L M L M f

aµµ

µ− +

+− ≤−V

;f∀ ∈

V

(iv) 1 1( ; ) 2

|| ( ( )) ( ) ||( )

L pp

KR M L M

aµ µ

µ+ −

+− ≤−L V U

при любом ( , ).aµ ∈ +∞

Замечание 1. Если U и V – рефлексивные банаховы пространства, то выполнение условия (iii) следует из выполнения условий (i), (ii), (iv).

Положим 0 1ker(R ( )) ,L pMµ+=U 0 1ker( ( )) ;L pL Mµ

+=V 1U – замыкание образа оператора

1im( ( ))L pR Mµ+ в пространстве U , 1

V – замыкание образа 1im( ( ))L pL Mµ+ в пространстве V . Обо-

значим через kL ( kM ) сужение оператора L(M) на kU ( ( ) ( ) k

kD M D M= ∩ U ), k = 0, 1. Теорема 1 [3]. Пусть оператор M сильно ( , )L p -радиален. Тогда

(i) 0 1,= ⊕U U U 0 1;= ⊕V V V

(ii) ( ; ),k kkL ∈L U V ( ; ),k k

kM Cl∈ U V k=0,1;

(iii) существуют операторы 1 0 00 ( ; )M − ∈L U V и 1 1 1

1 ( ; );L− ∈L V U

(iv) оператор 10 0H M L−= нильпотентен степени не больше p;

(v) существует разрешающая уравнение '( ) ( )Lu t Mu t= вырожденная сильно непрерывная

полугруппа операторов ( ) ( ) : 0 ;U t t∈ ≥L U

(vi) оператор 11 1L M− порождает 0C -непрерывную полугруппу операторов

11

1( ) ( ) | ( ) : 0 .U t U t t= ∈ ≥LU

U

Обозначим проектор вдоль 0U на 1

U через P и проектор вдоль 0V на 1

V через Q. Определим характеристическую функцию нелокальной задачи (6)

0

( ) ( ) ,T

ztz e t dtχ η= ∫ (8)

которая, как известно [4], является целой. Следуя работе [5], в случае сильно ( , )L p -радиального оператора M обобщенным решением

уравнения (7) будем называть функцию

1 1 ( )1 0

00

( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ) ( )t p

k k

k

u t U t v U s L Qf t s ds H M I Q f t− −

== + − − −∑∫

при ([0, ]; ),Qf C T∈ V ( ) ([0, ]; )pI Q f C T− ∈ V для любого v .∈U

Функция 1([0, ]; ) ([0, ]; ( ))u C T C T D M∈ ∩U называется классическим решением уравнения (7), если для нее выполняется равенство (7). Классическим (обобщенным) решением задачи (6), (7) называется классическое (обобщенное) решение уравнения (7), если для него выполняется усло-вие (6).

Теорема 2 [5]. Пусть выполняются следующие условия: (i) оператор M сильно ( , )L p -радиален и непрерывно обратим;




(ii) 1[0, ],C Tη ∈ (0) 0;η ≠

(iii) ни один нуль характеристической функции χ не принадлежит L -спектру ( )L Mσ опе-ратора M;

(iv) 11 ([0, ]; ( )),L Qf C T D M− ∈ ( ) ([0, ]; );pI Q f C T− ∈ V

(v) 1 ( )0 0

00

( ) (( ) ) ( ) ( ) .T p

k k

k

I P u H M I Q f t t dtη−

=− = − −∑∫

Тогда (i) для 0 1( )Pu D M∈ существует единственное обобщенное решение ([0, ]; )u C T∈ U задачи

(6), (7), при этом

10 1([0, ]; ) ([0, ]; )([0, ]; ( ))

( ) ,pC T C TC T D Mu C MPu L Qf I Q f− ≤ + + −

U VV

где константа С не зависит от 0u и ;f

(ii) если 10 1\ ( ),Pu D M∈U то не существует обобщенного решения задачи (6), (7);

(iii) при 1 1 21 1 1([0, ]; (( ) )),L Qf C T D L M− −∈ 1( ) ([0, ]; ),pI Q f C T+− ∈ V 2[0, ],C Tη ∈ обобщенное

решение задачи (6), (7) является классическим тогда и только тогда, когда 1 20 1 1(( ) )Pu D L M−∈ .

Редукция исходной задачи к общему случаю Вернемся к задаче (1)–(5). Положим 2

2( ( )) ,L= = ΩU V

1( ),

00

lL

= ∈

L U 0

( ),M Clκβ α∆

= ∈ + ∆ U

( , )( ) ,

( , )

v tu t

w t

⋅ = ⋅

0t ≥ , 1

0

,g

fg

=

2 2( ) ( ) : 1 ( ) 0, ,H y H y x xnθ θ θ ∂ Ω = ∈ Ω + − = ∈∂Ω ∂

2 2( ) ( ( )) ,D M Hθ= Ω

4 4( ) ( ) : ( ) (1 ) ( ) 0, , 0,1 .k kH y H y x y x x knθ θ θ∂ Ω = ∈ Ω ∆ + − ∆ = ∈∂Ω = ∂

Рассмотрим оператор ,Ay y= ∆ 22( ) ( ) ( ).D A H Lθ= Ω ⊂ Ω Обозначим через :k kϕ ∈ℕ орто-

нормированные в смысле скалярного произведения ,⋅ ⋅ в 2( )L Ω собственные функции операто-

ра A, занумерованные по невозрастанию собственных значений :k kλ ∈ℕ с учетом их кратно-

сти. Теорема 3. Пусть ( ),l Aα β σ− + ∉ 0.κ > Тогда M – сильно ( ,0)L -радиальный оператор.

Доказательство. Используя разложение по базису :k kϕ ∈ℕ в пространстве 2( )L Ω и обо-

значение ( )

,k kk

kl

κλ α λδα β λ

+=

− + получим операторы

,l

L Mµ κ µ

µβ α

− ∆ − = − − − ∆

1 11

1 1

( ) , ,

( )( ) ( )( )( ) ( ; ),

, ( ) ,

( )( ) ( )( )

k k k k k

k k k kk k

k k k k k

k k k kk k

l

l lL M

l l

α λ ϕ ϕ µ ϕ ϕα β λ µ δ α β λ µ δ

µβ ϕ ϕ µ κλ ϕ ϕ

α β λ µ δ α β λ µ δ

∞ ∞

= =−∞ ∞

= =

− − ⋅ − ⋅ − + − − − + − − − = ∈ ⋅ − ⋅ − + − − − + − −

∑ ∑

∑ ∑L V U



2015, том 7, 3 13

1 1

1 1

( ) , ( ) ,

( )( ) ( )( )( ) ( ),

, ,

( )( ) ( )( )

k k k k k k

k k k kk kL

k k k k

k k k kk k

l

l lR M

l

l l

µ

α λ ϕ ϕ α λ ϕ ϕα β λ µ δ α β λ µ δ

β ϕ ϕ β ϕ ϕα β λ µ δ α β λ µ δ

∞ ∞

= =∞ ∞

= =

− − ⋅ − − ⋅ − + − − − + − − = ∈ ⋅ ⋅ − + − − − + − −

∑ ∑

∑ ∑L U

1 1

, ,

( ) ( ),( )( )

0 0

k k k k kL

k k kk k

l

L M lµ

ϕ ϕ κλ ϕ ϕµ δ α β λ µ δ

∞ ∞

= =

⋅ − ⋅ = ∈− − + − −

∑ ∑L V

2 2 21 11

2 2 21 1

( ) , ( )( ) ,

( )( ) ( ) ( )( )( ) .

, ( ) ,

( )( ) ( ) ( )

k k k k k k k

k kk k k kL

k k k k k

k kk k k k

l

l lR M L M

l

l l

µ

α λ ϕ ϕ α λ κλ ϕ ϕα β λ µ δ α β λ µ δ

µβ ϕ ϕ β κλ ϕ ϕ

α β λ µ δ α β λ µ δ

∞ ∞

= =−∞ ∞

= =

− − ⋅ − − − ⋅

− + − − − + − − − = ⋅ − ⋅ − + − − − + − −

∑ ∑

∑ ∑

В условиях теоремы max ,kk

a δ∈

= < +∞ℕ

min 0,kk

lα β λ∈

− + − >ℕ

max ,k

k kl

α λα β λ∈

− −< ∞

− + −ℕ

max ,k

k k

l

l

κλα β λ∈

−< ∞

− + −ℕ2

max ,( )

k

kk

l

l

κλα β λ∈

−< ∞

− + −ℕ

2

( )( )max ,

( )k k

kk

l

l

α λ κλα β λ∈

− − −< ∞

− + −ℕ

max .k kl

βα β λ∈

< ∞− + −ℕ

Следовательно, существует 0K > , такое, что для всех ,aµ >

( ) ( )max || ( ) || ,|| ( ) || ,L L KR M L M

aµ µ µ≤

−L LU V 1

( ; ) 2|| ( )( ) || .

( )L K

R M L Ma

µ µµ

−− ≤−L V U

Таким образом, с учетом гильбертовости пространств U и V , в рассматриваемой задаче оператор M сильно ( , )L p -радиален (см. замечание 1). •

Полугруппа системы может быть найдена по формуле [3] ( )U t s= – ( )/lim ( / ) ( ) .nL

n tn

n t R M→∞

Имеем

( )1 1

/

1 1

( / ) ( ) , ( / ) ( ) ,

( ) ( )

( / ) ( )( / ) , ( / ) ,

( ) ( )

n nk k k k k k

n nk k

k k k knL

n t n nk k k k

n nk k

k k k k

n t n t l

n nl l

t tn t R M

n t n t l

n nl l

t t

α λ ϕ ϕ α λ ϕ ϕ

α β λ δ α β λ δ

β ϕ ϕ β ϕ ϕ

α β λ δ α β λ δ

∞ ∞

= =

∞ ∞

= =

− − ⋅ − − ⋅ − + − − − + − −

= ⋅ ⋅ − + − − − + − −

∑ ∑

∑ ∑

.

Поэтому

1 1

1 1

( ) ( ), ,

( ) .

, ,

k k

k k

t tk k

k k k kk kk k

t t

k k k kk kk k

e e l

l lU t

e e l

l l

δ δ

δ δ

α λ α λϕ ϕ ϕ ϕα β λ α β λ

β βϕ ϕ ϕ ϕα β λ α β λ

∞ ∞

= =∞ ∞

= =

− − − −⋅ ⋅

− + − − + − = ⋅ ⋅ − + − − + −

∑ ∑

∑ ∑

Следуя работе [5], обобщенным решением задачи (1)–(5) будем называть вектор-функцию

1 1

1 1

( ) ( ), ,

( )

, ,

k k

k k

t tk k

k k k kk kk k

t t

k k k kk kk k

e e ly z

l lyU t

z e e ly z

l l

δ δ

δ δ

α λ α λϕ ϕ ϕ ϕα β λ α β λ

β βϕ ϕ ϕ ϕα β λ α β λ

∞ ∞

= =∞ ∞

= =

− − − −+

− + − − + − = + − + − − + −

∑ ∑

∑ ∑




при произвольных 2, ( ).y z L∈ Ω Классическое решение ищется в классе пар функций, каждая из

которых лежит в 1 22([0, ];L ( )) ([0, ];H ( )).C T C T θΩ ∩ Ω Обобщенное решение является классиче-

ским, если 2, ( ),y z Hθ∈ Ω классическое обобщенным является всегда [4, 5]. Проекторы P и Q имеют вид

P s= – ( )2 1 1

1 1

( ) , ( ) ,

lim ( ) ,, ,

k k k k k k

k kk kL

k k k k

k kk k

l

l lR M

l

l l

µµ

α λ ϕ ϕ α λ ϕ ϕα β λ α β λ

µβ ϕ ϕ β ϕ ϕα β λ α β λ

∞ ∞

= =∞ ∞→∞

= =

− − ⋅ − − ⋅ − + − − + − = ⋅ ⋅ − + − − + −

∑ ∑

∑ ∑

Q s= – ( )2

1

,

lim ( ) .

0 0

k k kL

kk

lI

L M lµµ

κλ ϕ ϕµ α β λ

∞

=→∞

− ⋅ = − + −

∑

Тогда

0 22ker ( , ) ( ( )) : ,P v w L v lw= = ∈ Ω = −U

1 22

1 1

( ) , ,, : ( , ) ( ( )) ,k k k k k

k kk k

v lw v lwimP v w L

l l

α λ ϕ ϕ β ϕ ϕα β λ α β λ

∞ ∞

= =

− − + + = = ∈ Ω − + − − + − ∑ ∑U

0 22

1

,ker ( , ) ( ( )) : ,k k k

kk

l wQ v w L v

l

κλ ϕ ϕα β λ

∞

=

= = ∈ Ω = − + − ∑V

12( ) 0.imQ L= = Ω ×V

Сформулируем теорему о разрешимости задачи (1)–(5). Теорема 4. Пусть выполняются следующие условия: (i) 0, ,α− ( ),l Aα β σ− + ∉ 0;κ >

(ii) 1[0, ],C Tη ∈ (0) 0;η ≠

(iii) ( )

0,k k

kl

κλ α λχα β λ

+≠ − +

;k ∈ℕ

(iv) 21 ([0, ]; ( )),g C T Hθ∈ Ω 2

0 ([0, ]; ( ));g C T Hθ∈ Ω

(v) 00

10

( , ),( ) ,

Tk k k

kk

l g tv t dt

l

κλ ϕ ϕκ η

α β λ

∞

=

⋅∆ = −

− + −∑∫ 0 0 00

( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) .T

v x w x g x t t dtβ α η+ + ∆ = −∫

Тогда

(i) для 20 0 ( )v lw Hθ+ ∈ Ω существует единственное обобщенное решение задачи (1)–(5), при

этом

( )22 22 2

0 0 1 0([0, ]; ( )) ([0, ]; ( )) ([0, ]; ( ))( ) ([0, ]; ( )),

C T L C T L C T HH C T Hv w C v lw g gΩ Ω ΩΩ Ω+ ≤ + + +

где C не зависит от 0,v 0,w 1,g 0;g

(ii) если 20 0 2( ) \ ( ),v lw L Hθ+ ∈ Ω Ω то не существует ни одного обобщенного решения задачи

(1)-(5);

(iii) при 41 ([0, ]; ( )),g C T Hθ∈ Ω 4

0 ([0, ]; ( )),g C T Hθ∈ Ω 2[0, ]C Tη ∈ обобщенное решение зада-

чи (1)–(5) является классическим тогда и только тогда, когда 40 0 ( )v lw Hθ+ ∈ Ω .

Доказательство. Согласно теореме 3, оператор M сильно ( ,0)L -радиален, при этом kδ –

точки его L-спектра. Поэтому из условия 0, ( )Aα σ− ∉ следует, что 0,kδ ≠ ,k ∈ℕ и оператор M непрерывно обратим.

Учитывая полученные формулы для проекторов и условия данной теоремы на функции 1,g

0,g 0,v 0,w нетрудно заметить, что и остальные условия теоремы 2 выполняются. •



2015, том 7, 3 15

Литература

1. Плотников, П.И. Задача Стефана с поверхностным натяжением как предел модели фазово-го поля / П.И. Плотников, В.Н. Старовойтов // Дифференц. уравнения. – 1993. – Т. 29, 3. – С. 461–471.

2. Плотников, П.И. Уравнения фазового поля и градиентные потоки маргинальных функций / П.И. Плотников, А.В. Клепачева // Сиб. мат. журн. – 2001. – Т. 42, 3. – С. 651–669.

3. Федоров, В.Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов / В.Е. Федоров // Алгебра и анализ. – 2000. – Т. 12, 3. – С. 173–200.

4. Тихонов, И.В. Нелокальная задача с «периодическим» интегральным условием для диффе-ренциального уравнения в банаховом пространстве / И.В. Тихонов // Интегральные преобразова-ния и специальные функции. – 2004. – Т. 4, 1. – С. 49–69.

5. Федоров, В.Е. Нелокальная по времени задача для неоднородных эволюционных уравне-ний / В.Е. Федоров, Н.Д. Иванова, Ю.Ю. Федорова // Сиб. мат. журн. – 2014. – Т. 55, 4. – С. 882–897.

Поступила в редакцию 6 апреля 2015 г.

Bulletin of the South Ural State University Series “Mathematics. Mechanics. Physics”

2015, vol. 7, no. 3, pp. 10–15 TIME NONLOCAL BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A LINEARIZED PHASE FIELD EQUATIONS SYSTEM N.D. Ivanova 1, V.E. Fedorov 2

A boundary value problem with nonlocal time conditions is analyzed for a linearized quasi-steady

system of phase field equations. Necessary and sufficient conditions are obtained for the existence and uniqueness of classical and generalized solutions.

Keywords: nonlocal problem; boundary value problem; system of phase field equations; classical solution; generalized solution.

References

1. Plotnikov P.I., Starovoytov V.N. Zadacha Stefana s poverkhnostnym natyazheniem kak predel modeli fazovogo polya (Stefan Problem with Surface Tension as the Limit of the Phase-field Model). Differential Equations. 1993. Vol. 29, no. 3. pp. 395–404. (in Russ.).

2. Plotnikov P.I., Klepacheva A.V. Phase-field Equations and Gradient Flows of Marginal Func-tions. Siberian Mathematical Journal. 2001. Vol. 42, no. 3. pp. 551–567. DOI:10.1023/A:1010431411758

3. Fedorov V.E. Degenerate strongly continuous semigroups of operators. St. Petersburg Mathe-matical Journal. 2001. Vol. 12, no. 3. pp. 471–489.

4. Tikhonov I.V. Nelokalnaya zadacha s “periodicheskim” integralnym usloviem dlya differentsial-nogo uravneniya v banakhovom prostranstve (Nonlocal problem with a “periodical” integral condition for a differential equation in Banach space). Integralnye preobrazovaniya i spetsialnye funktsii. 2004. Vol. 4, no. 1. pp. 49–69. (in Russ.).

5. Fedorov V.E., Ivanova N.D., Fedorova Yu.Yu. On a time nonlocal problem for inhomogeneous evolution equations. Siberian Mathematical Journal. 2014. Vol. 55, no. 4. pp. 721–733. DOI: 10.1134/S0037446614040144.

Received 6 April 2015

1 Ivanova Natalia Dmitrievna is Post-graduate Student, Mathematical and Functional Analysis Department, South Ural State University. E-mail: [email protected] 2 Fedorov Vladimir Evgenievich is Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Mathematical and Functional Analysis Department, South Ural State University. E-mail: [email protected]



УДК 515.162.8

ЗАДАЧА КОНВЕЯ–ГОРДОНА ДЛЯ РЕДУЦИРОВАННЫХ ПОЛНЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ГРАФОВ1 Ф.Г. Кораблёв2, А.А. Казаков3

Работа посвящена исследованию графов, вложенных в трёхмерное про-странство, которые получаются из полных графов удалением нескольких рёбер, инцидентных одной вершине. Для всех таких графов вводится ана-лог функции Конвея–Гордона 2ω . Доказывается, что её значение равно ну-лю для всех графов, полученных из полных графов с не менее, чем восемью вершинами. Также приводятся примеры графов с шестью вершинами, для которых значение этой функции равно единице.

Ключевые слова: пространственный граф; гамильтонов набор циклов; за-цепление.

Введение

Настоящая работа посвящена исследованию редуцированных полных пространственных

графов, то есть вложенных в 3R графов, которые получаются из полных графов удалением не-скольких рёбер, инцидентных одной вершине. Гамильтоновой парой циклов в пространственном графе называется пара непересекающихся простых замкнутых путей по его рёбрам, проходящим через все его вершины.

Пусть 31 2l l R⊂∪ – двухкомпонентное зацепление. Определим величину 2 1 2( , )lk l l как оста-

ток от деления на 2 коэффициента зацепления 1 2( , )lk l l . Этот остаток не зависит от выбора ориен-

таций компонент 1l и 2l . Для каждого пространственного графа G определим значение функции

2( )Gω как остаток от деления на 2 суммы 2( , )

( , )lkα β

α β∑ , где суммирование берётся по всем га-

мильтоновым парам циклов ( , )α β в графе G .

Изначально функция 2ω была предложена Дж. Конвеем и К. Гордоном для полных про-странственных графов с шестью вершинами (см. [1]). Они использовали её для доказательства того, что каждый такой граф содержит нетривиальное зацепление. В работе [2] нами было пока-зано, что значение функции 2ω для полного пространственного графа , 6nK n ≥ равно нулю то-гда и только тогда, когда 7n ≥ . Помимо этого в работе [3] нами было показано, что значение функции 2ω равно нулю для всех полных двудольных пространственных графов. Также в работе

[4] показано, что значение функции 2ω равно единице для всех пространственных графов из се-мейства Петерсена.

В настоящей работе мы вычисляем значение функции 2ω для всех редуцированных полных пространственных графов, которые получаются из полного пространственного графа с 8n ≥ вершинами удалением m рёбер, 0 2m n< < − , инцидентных одной вершине. Оказывается, что для всех таких графов значение функции 2ω равно нулю. Доказательство состоит из двух шагов:

сначала мы показываем, что значение функции 2ω не зависит от вложения графа в 3R . Затем мы

доказываем тривиальность функции 2ω , используя каноническое вложение полного графа в 3R (также оно использовалось в [2, 5]).

1 Работа выполнена при поддержке Лаборатории квантовой топологии Челябинского государственного университета (грант прави-тельства РФ 14.Z50.31.0020), гранта РФФИ 14-01-00441 и гранта ведущих научных школ 1015.2014.1. 2 Кораблёв Филипп Глебович – доцент кафедры компьютерной топологии и алгебры, Челябинский государственный университет; Лаборатория квантовой топологии, Челябинский государственный университет; заведующий отделом алгоритмической топологии, Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского Уральского отделения Российской академии наук. E-mail: [email protected] 3 Казаков Александр Андреевич – преподаватель кафедры компьютерной топологии и алгебры, Челябинский государственный уни-верситет. E-mail: [email protected]


Кораблёв Ф.Г., Задача Конвея–Гордона для редуцированных Казаков А.А. полных пространственных графов

2015, том 7, 3 17

1. Независимость функции 2ω от вложения

Далее через ,n mG будем обозначать пространственный граф, который получается из полного

графа с n вершинами удалением m рёбер, инцидентных одной вершине, ,( )n mV G – множество

вершин этого графа, ,( )n mE G – множество его рёбер, ,( )n mΓ G – множество гамильтоновых пар

циклов в графе ,n mG . Пусть ,, ( )n ma b E G∈ . Обозначим , ,( )a b n mL G множество гамильтоновых пар

циклов в графе ,n mG , одна из компонент которых проходит по ребру a , а другая – по ребру b .

Теорема 1. Пусть ,n mG – редуцированный полный пространственный граф, 8n ≥ ,

0 2m n< < − . Тогда для любых двух рёбер ,, ( )n ma b E G∈ мощность , ,| ( ) |a b n mL G чётна.

Доказательство. Пусть 1 ,, , ( )n n mv v V G… ∈ – вершины графа ,n mG , и пусть этот граф получа-

ется из полного пространственного графа удалением m рёбер, инцидентных вершине 1v . Обо-

значим , ,( )s a b n mA L G⊂ , 3,4s = , множество, состоящее из гамильтоновых пар циклов, в которых

найдётся компонента, являющаяся s -угольником и проходящая по ребру a и через вершину 1v .

Можно считать, что если ( , ) sAα β ∈ , то компонента α удовлетворяет этому условию. Заметим,

что для каждой такой компоненты α пары циклов ( , ) sAα β ∈ существует ровно ( 5)!n − различ-

ных компонент β , если α – треугольник, и ровно ( 6)!n − различных компонент β , если α –

четырёхугольник. Следовательно, так как 8n ≥ , то множества 3A и 4A чётны. Аналогичным об-

разом чётными являются множества , ,( )s a b n mB L G⊂ , 3, 4s= , состоящие из пар циклов, в которых

найдётся компонента, являющаяся s -угольником и проходящая по ребру b и через вершину 1v .

Так как множества 3 4 3, ,A A B и 4B попарно не пересекаются, то для доказательства чётности

множества , ,( )a b n mL G достаточно показать, что множество

( ) ( ), , , , 3 4 3 4( )a b n m a b n mL G L G A A B B= ∪ ∪ ∪∖

чётно. Для этого каждой паре циклов ( ), ,( , ) a b n mL Gα β ∈ сопоставим другую пару циклов

( ), ,( ', ') a b n mL Gα β ∈ . Пусть

1 2 3( , , , , )

ki i i iv v v vα = … и 1 2 3

( , , , , )lj j j jv v v vβ = … .

Такая запись означает, что компонента α образована последовательным обходом вершин

1 2 3 ,, , , , ( )ki i i i n mv v v v V G… ∈ , а компонента β образована последовательным обходом вершин

1 2 3 ,, , , , ( )lj j j j n mv v v v V G… ∈ , где k l n+ = и , 3k l ≥ . Без ограничения общности можно считать, что

ребро ,( )n ma E G∈ инцидентно вершинам 1 2,i iv v , а ребро ,( )n mb E G∈ инцидентно вершинам

1 2,j jv v .

Рассмотрим два случая.

Случай 1. Пусть ( ), ,( , ) a b n mL Gα β ∈ , причём компонента α проходит через вершину 1v и

1 2 31 , , , ki i i iv v v v v∉ . В этом случае построим новую пару циклов ( ', ')α β с помощью операции пе-

реключения:

1 2 3' ( , , , , )

li i j jv v v vα = … и 1 2 3

' ( , , , , )kj j i iv v v vβ = … .

Так как максимальный подграф графа ,n mG , натянутый на вершины 2, , nv v… , является пол-

ным, значит он содержит рёбра, соединяющие пары вершин 12 3 2 3

( , , ( , , () ) , )li j i j j iv v v v v v и

1( , )

kj iv v .

Непосредственно проверяется, что так как 5n ≥ , то ( ), ,( ', ') a b n mL Gα β ∈ и пары ( ', ')α β и ( , )α β

различны.




Случай 2. Пусть теперь компонента α пары ( ), ,( , ) a b n mL Gα β ∈ проходит через вершину 1v

и 1 siv v= , где 1,2,3, s k∈ . С точностью до переобозначений можно считать, что

21 iv v= или

31 iv v= . В этом случае также с помощью переключения построим новую пару

( ), ,( ', ') a b n mL Gα β ∈ :

1 2 3 4 3' ( , , , , , , )

li i i i j jv v v v v vα = … и 1 2 5

' ( , , , , )kj j i iv v v vβ = … .

Непосредственно проверяется, что ( ), ,( ', ') a b n mL Gα β ∈ и пары ( ', ')α β и ( , )α β различны.

Аналогичным образом рассматривается случай, когда компонента β пары

( ), ,( , ) a b n mL Gα β ∈ проходит через вершину 1v и 1 sj

v v= , где 1, 2, 3, s l∈ , 5l ≥ . Таким образом,

всё множество ( ), ,a b n mL G разбито на пары, следовательно оно является чётным. Тогда чётным

является и множество , ,( )a b n mL G . Теорема 1 доказана.

Следствие 1. Пусть ,n mG и ,'n mG – два редуцированных полных пространственных графа,

8n ≥ , 0 2m n< < − . Тогда ( )2 , 2 ,( ' )n m n mG Gω ω= .

Доказательство. Пространственный граф ,'n mG получается из пространственного графа

,n mG с помощью изотопии и операций переброски,

каждая из которых состоит в преобразовании вы-бранного перекрёстка, содержащегося в некотором шаре, в противоположный перекрёсток (верхнее ребро становится нижним и наоборот, рис. 1, также см. [2]). При изотопии коэффициент зацепления не меняется, следовательно достаточно проверить, что при переброске, применённой к некоторой паре рё-бер ,, ( )n ma b E G∈ , значение функции 2ω не изменится.

Заметим, что при такой переброске для всех пар , ,( , ) ( )a b n mL Gα β ∈ коэффициент зацепления

2( , )lk α β меняется на единицу. Для всех остальных гамильтоновых пар циклов из множества

, , ,( ) ( )n m a b n mΓ G L G∖ коэффициент зацепления не меняется. В силу теоремы 1 множество

, ,( )a b n mL G чётно. Следовательно, при переброске значение функции 2ω не меняется. Следствие 1

доказано. 2. Тривиальность функции 2ω

Пусть 1 , , ( )l ne e E K… ⊂ – набор рёбер в полном пространственном графе nK с 6n ≥ вер-

шинами. Как и раньше, будем обозначать ( )nΓ K множество всех гамильтоновых пар циклов в

графе nK . Обозначим 1, , ( )

le e nΓ Γ K… ⊂ множество гамильтоновых пар циклов, проходящих по

всем выбранным рёбрам 1, , le e… . Также для произвольного подмножества ( )nL Γ K⊆ определим

значение функции 2( )s L как остаток от деления на 2 суммы

2( , )

( , ).L

lkα β

α β∈

∑

Отметим, что ( )( )2 2( )n ns Γ K Kω= .

Полный пространственный граф будем называть каноническим, если он получается следую-щим образом (такой граф рассматривался в [2, 5], также см. рис. 2):

1. Располагаем вершины 1, , nv v… в вершинах правильного n -угольника, лежащего в плоско-

сти Oxy пространства 3R ;

Рис. 1. Операция переброски



2015, том 7, 3 19

2. Опускаем каждую вершину iv , 1 , , i n= … на 1i − единиц вниз; 3. Соединяем все вершины попарно между собой прямолинейными отрезками. Лемма 1. Пусть ( )ne E K∈ – ребро полного пространственно-

го графа nK , 8n ≥ . Тогда ( )2 0es Γ = . Доказательство. Пусть редуцированный полный пространст-

венный граф ,1nG получается из полного пространственного графа

nK удалением ребра e . Тогда

( ) ( ) ( )2 ,1 2 2 ,n n eG K s Γω ω= +

где сложение осуществляется по модулю 2. Из теоремы 1 и [2, Теорема 1] следует, что значения 2 ,1( )nGω

и 2( )nKω не зависят от пространственных вложений. Следова-

тельно, для вычисления значения 2( )es Γ можно считать, что пол-

ный пространственный граф nK является каноническим. Также будем считать, что ребро e ин-

цидентно вершинам 1v и 2v .

Рассмотрим инволюцию : n nK Kτ → , индуцированную следующим отображением вершин

графа nK : все вершины 3, , nv v… остаются неподвижными, а вершины 1v и 2v меняются места-ми.

Пусть ( , ) eΓα β ∈ . С точностью до переобозначений можно считать, что компонента α про-

ходит по ребру e . Рассмотрим гамильтонову пару циклов ( ', ) eΓα β ∈ , где ' ( )α τ α= . Если

( )', ( , )α β α β= , то компонента α является треугольником, причём образующие её рёбра (кроме

ребра e ) проходят выше всех остальных рёбер графа nK . Тогда ( )2 , 0lk α β = .

Если ( ', ) ( , )α β α β≠ , то из построения следует, что при инволюции τ индексы двойных то-

чек, образованных рёбрами компонент α и β , сохраняются (рис. 3). Тогда ( )2 2, ( ', )lk lkα β α β= .

Следовательно ( )2 0es Γ = . Лемма 1 доказана.

Лемма 2. Пусть 1 2, ( )ne e E K∈ – два смежных ребра полного пространственного графа nK ,

8n ≥ . Тогда ( )1 22 , 0e es Γ = .

Доказательство. Пусть редуцированный полный пространственный граф ,2nG получается из

полного пространственного графа nK удалением смежных рёбер 1 2,e e . Тогда

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 22 ,2 2 2 2 2 , ,n n e e e eG K s Γ s Γ s Γω ω= + + +

где сложение осуществляется по модулю 2. Из того, что значения 2 ,2( )nGω и 2( )nKω на зависят от пространственных вложений графов

и из леммы 1 следует, что значение ( )1 22 ,e es Γ также не зависит от конкретного пространственно-

го графа nK . Поэтому будем считать, что этот граф nK является каноническим. Также будем

считать, что ребро 1e инцидентно паре вершин 1 2( , )v v , а ребро 2e инцидентно паре вершин

2 3( , )v v . Рассмотрим инволюцию : n nK Kτ → , которая индуцирована следующим отображением

Рис. 2. Канонический полный пространственный граф с шестью вершинами

Рис. 3. При инволюции τ индексы двойных точек, образованных рёбрами

компонент α и β , сохраняются




вершин графа nK : все вершины 4, , nv v… и вершина 2v остаются неподвижными, а вершины 1v и

3v меняются местами.

Пусть 1 2 ,( , ) e eΓα β ∈ . Без ограничения общности можно считать, что компонента α последо-

вательно проходит по рёбрам 1e и 2e . Рассмотрим пару ( ', )α β , где ' ( )α τ α= . Если

( ), (' , )α β α β= , то из построения следует, что компонента α является четырёхугольником, про-

ходящим через вершины 1 2 3, ,v v v и некоторую вершину iv . Тогда, так как рёбра графа nK , инци-

дентны парам вершин 1( , )iv v и 3( , )iv v , проходят выше всех остальных рёбер, то ( )2 , 0lk α β = .

Если ( ', ) ( , )α β α β≠ , то из построения следует, что ( )2 2, ( ', )lk lkα β α β= (см. рис. 3). Следо-

вательно ( )1 22 , 0e es Γ = . Лемма 2 доказана.

Теорема 2. Пусть ,n mG – редуцированный полный пространственный граф, 8n ≥ ,

0 2m n< < − . Тогда ( )2 , 0n mGω = .

Доказательство. Пусть редуцированный полный пространственный граф ,n mG получается

из полного пространственного графа nK удалением рёбер 1 2, , , ( )m ne e e E K… ∈ , инцидентных од-

ной вершине графа nK . Тогда из принципа включения-исключения следует, что

( ) ( ) ( )

( )1 2

1 2

2 , 2 2 2 ,1 , 1, ,

i i i

m

n m n e e ei i i m

G K s Γ s Γω ω= ⊆ …

= + + +…+∑ ∑

11 1

1 1

2 ,..., 2 ,...,,..., 1, ,

( ) ( ),i i mm

m

e e e ei i m

s Γ s Γ−

− ⊆ …+ +∑

где сложение осуществляется по модулю 2. Заметим, что

1,...,i ik

e eΓ = ∅ при 3k ≥ . Следовательно, соотношение принимает вид

( )

( )1 2

1 2

2 , 2 2 2 ,1 , 1, ,

( ) ( ) .i i i

m

n m n e e ei i i m

G K s Γ s Γω ω= ⊆ …

= + +∑ ∑

Из лемм 1 и 2 следует, что 2( ) 0ie

s Γ = для всех 1 ,..., i m= , и ( )1 2

2 , 0i ie es Γ = для всех

1 2 , 1,..., i i m⊆ . Также из теоремы 2 работы [2] следует, что 2( ) 0nKω = при 8n ≥ . Следователь-

но 2 ,( ) 0n mGω = . Теорема 2 доказана.

Можно показать, что существуют различные редуцированные полные пространственные графы, получающиеся из полного графа с шестью вершинами удалением одинакового числа рё-бер, для которых значения функции 2ω также различны. Для этого рассмотрим канонический

полный пространственный граф 6K . Пусть 6 1 6( ) ,..., V K v v= (рис. 2). Этот граф содержит един-

ственную пару циклов ( , )α β , для которой 2( , ) 1lk α β = :

1 3 5( , , )v v vα = и 2 4 6( , , )v v vβ = .

Тогда, если удалить из графа 6K ребро, инцидентное паре вершин 1 2( , )v v , то получится про-

странственный граф 6,1G , для которого значение функции 2ω равно 1. Если же удалить ребро,

инцидентное паре вершин 1 3( , )v v , то получится пространственный граф 6,1'G , для которого зна-

чение функции 2ω равно 0. Аналогичным образом строятся графы 6,2G и 6,3G , для которых зна-

чение функции 2ω равно 1. Эти графы получаются из 6K удалением семейств рёбер

1 2 1 4( , ),( , )v v v v и 1 2 1 4 1 6( , ),( , ),( , )v v v v v v соответственно. Графы 6,2'G и 6,3'G , для которых зна-

чение функции 2ω равно 0, получаются из 6K удалением семейств рёбер 1 3 1 4( , ),( , )v v v v и

1 3 1 4 1 5( , ),( , ),( , )v v v v v v соответственно.



2015, том 7, 3 21

Литература 1. Conway, J.H. Knots and links in spatial graphs / J.H. Conway, C.McA. Gordon // Journal of

Graph Theory. – 1983. – Vol. 7. – P. 445–453. 2. Казаков, А.А. Тривиальность функции ω2 для пространственных вложений полных графов

/ А.А. Казаков, Ф.Г. Кораблёв // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. – 2013. – Т. 13, 2. – С. 38–47.

3. Кораблёв, Ф.Г. Функция ω2 для полных двудольных пространственных графов / Ф.Г. Ко-раблёв, А.А. Казаков, А.И. Сергеева // Вестник Челябинского государственного университета. – 2012. – 26 (280). – С. 125–128.

4. Sachs, H. On spatial representations of finite graphs / H. Sachs // Finite and Infinite Sets, Vol I and II, Colloq. Math. Soc. Janos Bolyai. – 1984. – Vol. 37. – P. 649–662.

5. Веснин, А.Ю. О зацепленности гамильтоновых пар циклов в пространственных графах / А.Ю. Веснин, А.В. Литвинцева // Сибирские Электронные математические известия. – 2010. – Т. 7. – С. 383–393.

Поступила в редакцию 4 марта 2015 г.


2015, vol. 7, no. 3, pp. 16–21 CONWAY–GORDON PROBLEM FOR REDUCED COMPLETE SPATIAL GRAPHS Ph.G. Korablev 1, A.A. Kazakov 2

This paper is devoted to 3D embeddable graphs, which are obtained from full spatial graphs by re-

moving several edges incident to one vertex. For all such graphs we introduce the analogue of Conway-Gordon function ω2. We prove that its value is zero for all spatial graphs obtained from full graphs with no less than eight vertices. There are examples of graphs with six vertices, where the value of this func-tion is equal to unity.

Keywords: spatial graph; Hamiltonian cycle basis; link.

References 1. Conway J.H., Gordon C.McA. Knots and links in spatial graphs. Journal of Graph Theory. 1983.

Vol. 7. pp. 445–453. 2. Kazakov A.A., Korablev Ph.G. Triviality of the function ω2 for spatial complete graphs. Vestnik

Novosibirskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Matematika, mekhanika, informatika. 2013. Vol. 13, Issue 3. pp. 38–47. (in Russ.).

3. Korablev Ph.G., Kazakov A.A., Sergeeva A.I. Function ω2 for spatial bipartite complete graphs. Vestnik Chelyabinskogo gosudarstvennogo universiteta. 2012. no. 26 (280). pp. 125–128. (in Russ).

4. Sachs H. On spatial representations of finite graphs. Finite and Infinite Sets, Vol I and II, Colloq. Math. Soc. Janos Bolyai. 1984. Vol. 37. pp. 649–662.

5. Vesnin A.Yu., Litvinceva A.V. On linkness of hamiltonian cycles in spatial graphs. Siberian Electronic Mathematical Reports. 2010. Vol. 7. pp. 383–393. (in Russ).


1 Korablev Philipp Glebovich is Associate Professor, Department of Computer Topology and Algebra, Laboratory of Quantum Topology, Chelyabinsk State University; Head of Mathematician of Algorithmic Topology Department, Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of Russian Academy of Sciences. E-mail: [email protected] 2 Kazakov Alexander Andreevich is Lecturer, Department of Computer Topology and Algebra, Chelyabinsk State University. E-mail: [email protected]



УДК 517.9

ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ОДНОЙ МОДЕЛИ ДИНАМИКИ СЛАБОСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОУПРУГОЙ ЖИДКОСТИ

Н.А. Манакова1 Исследуется оптимальное управление решениями задачи Дирихле–

Шоуолтера–Сидорова для системы уравнений движения жидкости Кельвина–Фойгта нулевого порядка, которую принято называть системой уравнений Осколкова. Рассмотрен случай вырожденного уравнения. Доказано существование глобального по времени единственного слабого обобщенного решения исследуемой модели в пространстве соленоидальных функций. Проведена редукция рассматриваемой модели к задаче Шоуолтера–Сидорова для абстрактного полулинейного уравнения соболевского типа. Доказана теорема существования оптимального управления слабыми обобщенными решениями задачи Шоуолтера–Сидорова для абстрактного полулинейного уравнения соболевского типа. Полученные абстрактные результаты применены к модели Осколкова.

Ключевые слова: система уравнений Осколкова; задача оптимального управления; уравнения соболевского типа.

Введение Пусть nΩ ⊂ R – ограниченная область с границей ∂Ω класса C∞ . В цилиндре +Ω × R

рассмотрим систему уравнений движения жидкости Кельвина–Фойгта, которую принято называть системой уравнений Осколкова

2 2(1 ) ( ) , ( ) 0,tx x x u xκ ν− ∇ = ∇ − ⋅∇ − + ∇ ∇ ⋅ =p (1)

где p= ∇p – градиент давления; вектор-функция 1 2= ( , ) = ( , ,..., )nx x s t x x x – вектор скорости

жидкости; 1 2= ( , ) = ( , ,..., )nu u s t u u u – вектор объемных внешних сил, характеризующий внешнее

управляемое воздействие; коэффициент системы 11κ λ− ≥ – время ретардации, характеризующее

упругие свойства жидкости ( 1λ – наименьшее собственное значение спектральной задачи 2 = , = 0, | = 0x p x x xλ ∂Ω−∇ + ∇ ∇ ⋅ в области Ω ); ν +∈R – кинематический коэффициент вязкости,

характеризующий вязкие свойства жидкости Кельвина–Фойгта нулевого порядка. Система уравнений (1) с условием Коши–Дирихле рассматривалась в работах А.П. Осколкова [1, 2] в

случае 11>κ λ− , и в них было показано существование единственного глобального по времени

решения в слабом смысле. Систему (1) можно рассматривать как предельный случай системы 2 2(1 ) ( ) , ,t tx x x p u p xκ ν ε− ∇ = ∇ − ⋅∇ − ∇ + = −∇ ⋅ (2)

моделирующей динамику слабосжимаемой вязкоупругой жидкости типа Кельвина – Фойгта. Подействовав на второе уравнение в (2) оператором ∇ и сделав замену p∇=p , положив = 0ε , придем к системе (1). Как было отмечено в работе [3], несмотря на то, что оператор ∇ имеет ядро, натянутое на константу, мы не получим в задаче Дирихле–Шоуолтера–Сидорова

( , ) 0, ( , ) ,x s t s t= ∈∂Ω × R (3) 2

0(1 )( ( ,0) ( )) 0, ,x s x s sκ− ∇ − = ∈Ω (4) для системы (1) новых решений по сравнению с задачей (2), (3), (4) при = 0ε , благодаря краевому условию (3). В различных аспектах система уравнений Осколкова изучалась в работах Г.А. Свиридюка и его учеников [3, 4]. Исследование начально-краевых задач для моделей динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина–Фойгта ненулевого порядка были продолжены в [5]. В работе М.О. Корпусова, А.Г. Свешникова [6] рассмотрен вопрос разрушения решения системы уравнений Осколкова с кубическим источником в классе слабых обобщенных решений.

1 Манакова Наталья Александровна – кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра уравнений математической физики, Южно-Уральский государственный университет. E-mail: [email protected]


Манакова Н.А. Задача оптимального управления для одной модели динамики слабосжимаемой вязкоупругой жидкости

2015, том 7, 3 23

В подходящим образом подобранных функциональных пространствах редуцируем задачу (1), (3), (4) к задаче Шоуолтера–Сидорова

0( (0) ) = 0L x x− (5) для полулинейного уравнения соболевского типа

( , ) = .Lx Mx B x x u+ +ɺ (6) Рассмотрим задачу оптимального управления

( , ) inf , ,adJ x u u U→ ∈ (7) решениями задачи (5), (6). Здесь ( , )J x u – некоторый специальным образом построенный

функционал качества; управление adu U∈ , где adU – некоторое замкнутое и выпуклое

множество в пространстве управлений U . Задача оптимального управления для линейного уравнения соболевского типа с условием Коши рассматривалась в монографии [7]. В работе [8] было показано, что рассмотрение условия Шоуолтера–Сидорова (5) для уравнений соболевского типа позволяет уйти от феномена несуществования решения задачи Коши при произвольных начальных данных и позволяет значительно упростить численные алгоритмы нахождения приближенных решений [9]. Задачи оптимального управления для полулинейных уравнений соболевского типа с s-монотонным и p-коэрцитивным оператором рассматривались в [10]. Целью данной работы является исследование существования оптимального управления (7) решениями задачи (1), (3), (4) в классе слабых обобщенных решений в пространстве соленоидальных функций.

1. Существование нелокального слабого обобщенного решения Пусть = ( ; , )H H ⋅ ⋅ – вещественное сепарабельное гильбертово пространство,

отождествленное со своим сопряженным; *( , )A A – дуальная (относительно двойственности ,⋅ ⋅ )

пара рефлексивных банаховых пространств, причем вложения *A H A⊂ ⊂ (8)

плотны и непрерывны, а вложение A H⊂ компактно. Пусть *L( ; )L A A∈ – линейный, непрерывный, самосопряженный, неотрицательно определенный фредгольмов оператор, чей ортонормальный (в смысле H ) набор собственных векторов kϕ образует базис в пространстве

A ; *L( ; )M A A∈ – линейный, непрерывный, 2-коэрцитивный оператор (т.е. , > 0,MMC C∃ такие,

что 2

, M AMx x C x≥ и AxxxCMx A

MA ∈∀≤ 2* |||||||| ); билинейный непрерывный оператор

*:B A A A× → такой, что |< ( , ), >| BA A A

B x y z C x y z≤ , ,x y z A∀ ∈ ;

< ( , ), >= < ( , ), >B x y z B x z y− , ,x y z A∀ ∈ ; < ( , ), >= 0B y x x ,y x A∀ ∈ . Ввиду самосопряженности и фредгольмовости оператора L отождествим

*ker cokerA L L A⊃ ≡ ⊂ . Поскольку cokerL конечномерно, то * = coker imA L L⊕ . Значит, существует проектор Q вдоль cokerL на im L . Введем в рассмотрение множество

= : , = 0 ker \ 0.coim L x A x Lϕ ϕ∈ ∀ ∈

Обозначим через P проектор вдоль kerL на coim ,L тогда = ker coim .A L L⊕ Построим пространство

2 2 | (0, ;coim ) (0, ; ), (0, ;coim ) (0, ; ).x x L T L L T A x L T L L T A∞ ∞= ∈ ∩ ∈ ∩ɺX Определение 1. Слабым обобщенным решением уравнения (6) назовем функцию ,x∈ X

удовлетворяющую условию

).(0,,

,)(=),,(,,)(

2

00

TLAw

dtwutdtwxxBwMxwdt

dxLt

TT

∈∀∈∀

++ ∫∫

ϕ

ϕϕ (9)

Решение уравнения (9) назовем решением задачи Шоуолтера–Сидорова, если оно удовлетворяет (5).

Замечание 1. В работе [6] показано, что слабое обобщенное решение уравнения (6), удовлетворяющее (9), эквивалентно решению, удовлетворяющему




0

, , ( , ), , = 0, .T d

L x w Mx w B x x w u w dt w Adt

+ + − ∀ ∈ ∫

В дальнейшем мы будем отождествлять эти решения. Система kϕ собственных векторов оператора L тотальна в пространстве A , а значит, в

силу вложений (8) тотальна в пространстве H. Построим галеркинские приближения решения задачи (5), (6). Для этого выберем в A ортонормальную (в смысле H ) тотальную систему iϕ

так, чтобы 1 2span , ,..., = ker ,l Lϕ ϕ ϕ dimker =L l . Построим галеркинские приближения решения задачи (5), (6) в виде:

=1

( ) = ( ) , > ,m

mi i

i

x t a t m lϕ∑ (10)

где коэффициенты = ( ), =1,...,i ia a t i m в силу основной леммы вариационного исчисления определяются следующей задачей

, , ( , ), = , ,m m m mt i i i iLx Mx B x x uϕ ϕ ϕ ϕ+ + (11)

0( (0) ), = 0, =1,..., .miL x x i mϕ− (12)

Уравнения (11) представляют собой вырожденную систему обыкновенных

дифференциальных уравнений. Пусть ,mT +∈R 0= ( ),m mT T x 1 2= span , ,..., mmA ϕ ϕ ϕ .

Лемма 1. При любых 0x A∈ и > dim kerm L существует единственное локальное решение

(0, ; )m r mmx C T A∈ задачи (11), (12).

Доказательство. В силу работы [11] для разрешимости задачи (11), (12) достаточно установить невырожденность матрицы

( , ) , , , =1,..., ,m m mi

j

Mx B x x u i j mx

ϕ∂ + −∂

в точке 0 1= ( (0),..., (0))mx x x или, что то же самое, невырожденность оператора

0( )( ) ( ).x

'Q M B P− + −I I Однако ker , 0,v L v∀ ∈ ≠ имеем

0( )( ) ( ) , = ( , ) ( , ), = ( , ), 0m m m

x'Q M B P v v Mv B v x B x v v Mv B v x v− + − + + + ≠I I

ввиду положительной определенности оператора M и конструкции проектора ( )Q−I вдоль Lim на Lcoker и проектора ( )P−I вдоль coim L на ker .L

Теорема 1. При любых *0 2, , (0, ; )x A T u L T A+∈ ∈ ∈R существует единственное решение

x∈X задачи (5), (6). Доказательство. Доказательство теоремы проводится в несколько этапов.

Существование. Введем в coimL норму 2| | = , .x Lx x В силу принципа Куранта эта норма

эквивалента норме, индуцированной из надпространства H . Умножим i -ое уравнение (11) на ( )ia t соответственно, результаты сложим по =1,...,i m , проинтегрируем на (0, )t и получим

0 0

222 2* 22 20

( ), ( ) 2 , 2 ( ( ), ( )), ( ) =

1= 2 ( ), ( ) (0), (0) | (0) | .(0, ; ) (0, ; )

t tm m m m m m m

tm m m m m

L L

Lx t x t Mx x d B x x x d

u x d Lx x u x xT A T A

τ τ τ τ τ

τ τ τ εε

+ +

+ ≤ + +

∫ ∫

∫

(13)

В силу свойств оператора M и того, что для любого x A∈ имеет место равенство < ( , ), >= 0B x x x , получим

2 22 2 2*1 1 2

0 0

1| ( ) | ( ) ( ) | (0) | , = 2 > 0.

t Tm m m

MHAx t C x d u d x C Cτ τ ε τ τ

ε+ ≤ + −∫ ∫



2015, том 7, 3 25

Из оценки следует, что все mT , гарантированные леммой 1, можно взять равными друг другу:

= .mT T Кроме того, в силу рефлексивности бохнеровских пространств 2(0, ; )L T A и *2(0, ; )L T A

существуют слабые пределы mx x→ *-слабо в (0, ;coim );L T L∞

mx x→ слабо в 2(0, ; );L T A mt tx x→ слабо в 2(0, ; ).L T A

В силу свойств билинейного оператора B получим 2

|< ( , ), >| ,m m B mAA

B x x y C x y≤

и, следовательно, ( , )m mB x x ограничены в *(0, ; ).L T A∞ Поскольку вложение A H⊂ компактно и

выполнено < ( , ), >= < ( , ), >m m m mB x x y B x y x− y A∀ ∈ , получим, что

( , ) ( , )m mB x x B x x→ *-слабо в (0, ; ),L T A∞

где : Nmx m∈ – некоторая подпоследовательность последовательности галеркинских приближений, гарантированных леммой 1.

Теперь мы можем при фиксированном i перейти к пределу в

( ), ( ) ( ( ), ( )), = ( ),m m m mt i i iLx t Mx t B x t x t u tϕ ϕ ϕ+ +

и получим ( , ) = ,Lx Mx B x x u+ +ɺ

откуда * *2(0, ; ) (0, ; ),Lx L T A L T A∞∈ ∩ɺ следовательно, (0)Lx имеет смысл.

Единственность. Пусть 1 1= ( )x x t и 2 2= ( )x x t – два решения задачи (5), (6). Тогда для их

разности 1 2=w x x− получим

1 1 2 20

2 2 1 10 0

, 2 ( ( , ) ( , )), = 0,

, 2 , = 2 ( , ) ( , ), .

t

t t

Lw w Mw B x x B x x w d

Lw w Mw w d B x x B x x w d

τ

τ τ

+ + −

+ −

∫

∫ ∫ (14)

В силу неотрицательной определенности оператора L , 2-коэрцитивности оператора M , свойств билинейного оператора ( , )B x y и того, что 2 2 1 1 2 1( , ) ( , ), = ( , ),B x x B x x w B w x x− , получим

2(0, ; ) 2 12

0

| | 2 ( ) ( ) ( ) .t

L T coim L A A Aw w x x dτ τ τ τ≤ ∫

Откуда в силу теоремы Гронуола–Белмана следует, что 0w ≡ .

2. Задача оптимального управления Построим пространство управлений *

2= (0, ; )U L T A и определим в пространстве U

непустое замкнутое и выпуклое множество .adU Рассмотрим задачу оптимального управления (5)–(7), где функционал качества зададим формулой

2 2*

0 0

( , ) = ( ) ( ) ( ) , =1,T T

d AAJ x u x t z t dt u t dtα β α β− + +∫ ∫ (15)

где = ( )d dz z t – желаемое состояние.

Определение 2. Пару ( , ) adx u U∈ ×ɶ ɶ X назовем решением задачи оптимального управления (7), если

( , )( , ) = inf ( , ),

x uJ x u J x uɶ ɶ

где пары ( , ) adx u U∈ ×X удовлетворяют (5), (6) в смысле опеределения 1; вектор-функцию uɶ назовем оптимальным управлением в задаче (5), (6).




Замечание 2. Допустимым элементом задачи (5)–(7) назовем пару ( , ) adx u U∈ ×X ,

удовлетворяющую задаче (5), (6). Поскольку множество adU ≠ ∅ , то для любого adu U U∈ ⊂ в силу теоремы 1 существует единственное решение = ( )x x u задачи (5), (6).

Теорема 2. При любых 0 ,x A∈ T +∈R существует решение задачи (5)–(7). Доказательство. Из теоремы 1 вытекает, что оператор

*2( ) : (0, ;coim ) (0, ; )

dL M B L T L L T A

dt ∞+ + → ∩X

есть гомеоморфизм. Поэтому функционал качества (15) можно записать в виде

*2 2

(0, ; )(0, ; ) 22( , ) = ( ) = ( ) .d L T AL T A

J x u J u x u z uα β− + (16)

Пусть m adu U⊂ – последовательность такая, что

lim ( ) = inf ( ),mm u Uad

J u J u→∞ ∈

тогда из (16) вытекает, что

*(0, ; ) (0, ; )2 2const, constm mL T A L T A

u x≤ ≤ (17)

при всех .m N∈ Из (17) (переходя, если надо, к подпоследовательности) извлечем слабо сходящуюся последовательность .mu u→ ɶ В силу теоремы Мазура точка .adu U∈ɶ Обозначим

через = ( )m mx x u слабое обобщенное решение уравнения

( , ) = .m m m m mLx Mx B x x u+ +ɺ (18) Тогда, используя рассуждения теоремы 1, в силу априорных оценок (13) получим, что

mx x→ ɶ *-слабо в (0, ; );L T coim L∞ mx x→ ɶ слабо в 2(0, ; );L T A

( , ) ( , )m mB x x B x x→ ɶ ɶ *-слабо в *(0, ; ).L T A∞

Перейдем к пределу в уравнении состояния (18) и получим ( , ) = .Lx Mx B x x u+ +ɺɶ ɶ ɶ ɶ ɶ

Следовательно, = ( )x x uɶ ɶ ɶ и lim inf ( ) ( ).mJ u J u≥ Значит, u есть оптимальное управление в задаче (5)–(7).

3. Модель Осколкова Пусть ,nΩ ⊂ R = 2,3,4n – ограниченная область с границей ∂Ω класса C∞ . Обозначим

через 1 12= ( ( )) ,nW Ω

H 2 2= ( ( ))nL ΩL пространства вектор-функций 1 2= ( , ) = ( , ,..., )nx x s t x x x , определенных на области Ω .

Рассмотрим линеал 0= ( ( )) : = 0nV x C x∞∈ Ω ∇ ⋅ соленоидальных вектор-функций.

Обозначим через σL и σH замыкание по норме пространства 2L и 1

H линеала V

соответственно. Пространство σL гильбертово со скалярным произведением < , >⋅ ⋅ из

пространства 2L . Кроме того, в работе [12] показано, что существует расщепление

2 = σ π⊕L L L , где πL – ортогональное дополнение к σL . Обозначим через 2: σΣ →L L

соответствующий ортопроектор. Пространство 1

H непрерывно и плотно вложено в

пространство 2L . Сужение проектора Σ на подпространство 1

H является непрерывным

оператором 1 1:Σ →

ɶ H H , для которого =im σΣɶ H , ker = πΣɶ H . Тогда 1= σ π⊕

H H H и

1= : = 0x xσ ∈ ∇ ⋅

H H (см. теорему 1.6 [13, с. 24]).

Лемма 2. [6] Пусть 12(0, ; ( ))f L T −∈ ΩH , тогда для того чтобы имело место равенство



2015, том 7, 3 27

20

< , > = 0, (0, ; ),T

f v dt v L T σ∀ ∈∫ H

необходимо и достаточно, чтобы нашлась такая функция 2 2( , ), (0, ; ( )/ )p s t p L T∈ ΩL R , что

pf s∇= .

Положим =A σH , =H σL , тогда через *A обозначим пространтсво, двойственное к пространству A относительно скалярного произведения < , >⋅ ⋅ . Построим операторы

, = ( ) , , ;Lx y x y x y ds x y AκΩ

⟨ ⟩ ⋅ − ∇ ⋅∇ ∈∫ , = , , ,Mx y x yds x y AαΩ

⟨ ⟩ ∇ ⋅∇ ∀ ∈∫

, =1

< ( , ), >= .n

ji j

ii j

yB x y z x z ds

sΩ

∂∂∑ ∫

Непрерывное вложение 14⊂H L имеет место при 4n ≤ , и выполнено компактное вложение

12⊂H L .

Рассмотрим уравнение 2 2(1 ) ( ) = .tx x x x uκ ν− ∇ − ∇ + ⋅∇ (19)

Таким образом мы провели редукцию задачи (19), (3), (4) к задаче Шоуолтера–Сидорова (5) для полулинейного уравнения соболевского типа (6).

Лемма 3. (i) При всех 1

1κ λ− ≥ оператор *( ; )L A A∈L самосопряжен, фредгольмов и неотрицательно

определен, причем ортонормальное семейство kϕ его функций образует базис пространства A.

(ii) При ν +∈R *( ; )M A A∈L 2-коэрцитивный, симметричный оператор.

(iii) При = 2,3,4n оператор *:B A A A× → удовлетворяет неравенству

|< ( , ), >| , , , .BA A A

B x y z C x y z x y z A≤ ∀ ∈

(iv) < ( , ), >= < ( , ), >B x y z B x z y− , ,x y z A∀ ∈ . (v) Для любых ,x y A∈ имеет место равенство < ( , ), >= 0B y x x . Доказательство леммы 3 общеизвестно. Справедливость п. (i) гарантирует теорема

Солонникова–Воровича–Юдовича [14], п. (ii) вытекает из построения оператора M , доказательства пп. (iii), (iv), (v) можно найти в работах [12, 13].

Построим пространство

2 2 | (0, ;coim ) (0, ; ), (0, ;coim ) (0, ; ).dx

x x L T L L T A L T L L T Adt∞ ∞= ∈ ∩ ∈ ∩X

Теорема 3. Пусть 11, , 2,3,4nκ λ ν−

+≥ ∈ =R , тогда при любых 0x σ∈H и 12(0, ; ( ))u L T −∈ ΩH

существует единственное решение x∈X задачи (19), (3), (4). Доказательство. Доказательство теоремы вытекает из теоремы 1 и леммы 3. Замечание 3. Представим уравнение (1) в виде:

2 2(1 ) ( ) =tx x x x uκ ν− ∇ − ∇ + ⋅∇ − −p и определим оператор

( ) ( , ).C x Lx Mx B x x≡ + +ɺ

Лемма 4. Пусть 11, , 2,3,4nκ λ ν−

+≥ ∈ =R и при любых 0x σ∈H и 12(0, ; ( ))u L T −∈ ΩH

функция x∈X является решением задачи (19), (3), (4) тогда и только тогда, когда существует функция 2 2(0, ; ( )/ ))p L T∈ ΩL R такая, что пара ( , )x p удовлетворяет задаче (1), (3), (4).

Доказательство. Вектор-функция x является слабым обобщенным решением задачи (1), (3), (4), если выполнено

0

( ) < ( ) , > = 0, .T

t C x u w dt w σϕ − ∀ ∈∫ H




В силу основной леммы вариационного исчисления данное равенство эквивалентно < ( ) , >= 0, ,C x u w w σ− ∀ ∈H

где 12( ) (0, ; ( ))C x u L T −− ∈ ΩH . Тогда в силу леммы 2 существует 2 2(0, ; ( )/ )p L T∈ ΩL R такая, что

( ) =C x u− −p . Рассмотрим задачу оптимального управления (1), (3), (4), (7). Зададим пространство

управлений 12= (0, ; ( ))U L T − ΩH , постороим функционал качества

2 21(0, ; ( ))(0, ; ) 22

( , ) = .d L TL TJ x u x z u

σα β − Ω− +

HH (20)

Выберем 12(0, ; ( ))adU L T −⊂ ΩH – непустое, замкнутое, выпуклое множество. Тогда справедлива

следующая теорема.

Теорема 4. Пусть 11, , 2, 3, 4nκ λ ν−

+≥ ∈ =R , тогда существует решение задачи оптимального управления (1), (3), (4), (7).

Литература 1. Осколков, А.П. О некоторых нестационарных линейных и квазилинейных системах,

встречающихся при изучении движения вязких жидкостей / А.П. Осколков // Записки научных семинаров ЛОМИ. – 1976. – Т. 59. – С. 133–137.

2. Осколков, А.П. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина– Фойгта и жидкостей Олдройта / А.П. Осколков // Труды МИАН СССР. – 1988. – Т. 179. – С. 137–182.

3. Свиридюк, Г.А. Об одной модели динамики слабосжимаемой вязкоупругой жидкости / Г.А. Свиридюк // Известия вузов. Математика. – 1994. – 1. – С. 62–70.

4. Свиридюк Г.А. О разрешимости нестационарной задачи несжимаемой вязкоупругой жидкости / Г.А. Свиридюк, Т.Г. Сукачева // Математические заметки. – 1998. – Т. 63, 3. – С. 442–450.

5. Сукачева, Т.Г. О разрешимости нестационарной задачи динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина–Фойгта ненулевого порядка / Т.Г. Сукачева // Известия вузов. Математика. – 1998. – 3. – С. 47–54.

6. Корпусов, М.О. О разрушении решения системы уравнений Осколкова / М.О. Корпусов, А.Г. Свешников // Математический сборник. – 2009. – Т. 200, 4. – С. 83–108.

7. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. – Utrecht; Boston; Koln; Tokyo: VSP, 2003. – 216 p.

8. Свиридюк, Г.A. Задача Шоуолтера–Сидорова как феномен уравнений соболевского типа / Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина // Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. – 2010. – Т. 3, 1. – С. 104–125.

9. Келлер, А.В. Численное решение задачи оптимального управления вырожденной линейной системой уравнений с начальными условиями Шоуолтера–Сидорова / А.В. Келлер // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. – 2008. – 27(127). – С. 50–56.

10. Свиридюк, Г.А. Задача оптимального управления для уравнения Хоффа / Г.А. Свиридюк, Н.А. Манакова // Сибирский журнал индустриальной математики. – 2005. – Т. 8, 2. – С. 144–151.

11. Свиридюк, Г.А. О разрешимости сингулярной системы обыкновенных дифференциальных уравнений / Г.А. Свиридюк // Дифференциальные уравнения. – 1987. – Т. 23, 9. – С. 1637–1639.

12. Ладыженская, О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости / О.А. Ладыженская. – М.: Наука, 1970. – 288 с.

13. Темам, Р. Уравнение Навье–Стокса. Теория и численный анализ / Р. Темам. – М.: Мир, 1981. – 408 с.

14. Солонников, В.А. Линейные эллиптические системы. Конспект лекций / В.А. Солонников. – Л.: ЛГУ, 1979. – 168 с.

Поступила в редакцию 15 июня 2015 г.



2015, том 7, 3 29



THE OPTIMAL CONTROL PROBLEM FOR THE MODEL OF DYNAMI CS OF WEAKLY VISCOELASTIC FLUID N.A. Manakova 1

In this article we study the optimal control of solutions of the Dirichlet–Showalter–Sidorov problem for the system of equations of Kelvin–Voight zero order fluid motion, which is called a system of Oskolkov equations. The case of the degenerate equation is considered. Existence of global in time weak generalized solution of the model in the space of solenoidal functions is proved. The existence of opti-mal control of weak generalized solutions of Showalter–Sidorov problem for abstract semilinear Sobo-lev type equation is shown. The obtained abstract results are applied to the Oskolkov model.

Keywords: the system of Oskolkov equations; the optimal control problem; Sobolev type equations.

References 1. Oskolkov A.P. Some nonstationary linear and quasilinear systems occurring in the investigation

of the motion of viscous fluids. J. of Soviet Mathematics. 1976. Vol. 10, no. 2. pp. 299–335. 2. Oskolkov A.P. Initial-boundary value problems for equations of motion of Kelvin–Voight fluids

and Oldroid fluids. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 1989. Vol. 179. pp. 137–182. 3. Sviridyuk G.A. A model of dynamics of incompressible viskoelastic liquid. Russian Mathematics

(Izvestiya VUZ. Matematika). 1994. Vol. 38, no. 1. pp. 59–68. 4. Sviridyuk G.A., Sukacheva T.G. On the solvability of a nonstationary problem describing the

dynamics of an incompressible viscoelastic fluid. Mathematical Notes. 1998. Vol. 63, no. 3. pp. 388–395.

5. Sukacheva T.G. On the solvability of the nonstationary problem of the dynamics of an incompressible viscoelastic fluid of the Kelvin–Voigt nonzero. Russian Mathematics (Izvestiya VUZ. Matematika). 1998. Vol. 43, no. 3. pp. 44–51.

6. Korpusov M.O., Sveshnikov A.G. Blow-up of Oskolkov's system of equations. Sbornik: Mathematics. 2009. Vol. 200, no. 4. pp. 549–572.

7. Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators. Utrecht, Boston, Koln, Tokyo, VSP, 2003. 216 p.

8. Sviridyuk G.A., Zagrebina S.A. The Showalter–Sidorov problem as a phenomena of the Sobolev type equations. The Bulletin of Irkutsk State University. Series: Mathematics. 2010. Vol. 3, no. 1. pp. 104–125. (in Russ.)

9. Keller A.V. Numerical solution of the optimal control problem for degenerate linear system of equations with Showalter–Sidorov initial conditions. Bulletin of the South Ural State University. Series: Mathematical Modelling, Programming and Computer Software. 2008. no. 27(127). pp. 50–56. (in Russ.)

10. Sviridyuk G.A., Manakova N.A. An optimal control problem for the Hoff equation. Journal of Applied and Industrial Mathematics. 2007. Vol. 1, no. 2. pp. 247–253.

11. Sviridyuk G.A. A singular system of ordinary differential equations. Differentsial'nye Uravneniya. 1987. Vol. 23, no. 9. pp. 1637–1639. (in Russ.)

12. Ladyzhenskaya O.A. The mathematical theory of viscous incompressible flow. N.Y., London, Paris, Gordon and Breach, 1969. 234 p.

13. Temam R. Navier–Stokes equations. Theory and numerical analysis. Stud. Math. Appl., 2. Amsterdam, N.Y., North-Holland, 1979.

14. Solonnikov V.A. Linear elliptic systems. Lecture notes. Leningrad, LGU, 1979. (in Russ.) Received 15 June 2015

1 Manakova Natalia Aleksandrovna is Cand. Sc. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Department of Equation of Mathematical Physics, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation. E-mail: [email protected]



УДК 517.977

ДВА ПОДХОДА К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛА В АВТОМОДЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

1

Л.И. Рубина2, О.Н. Ульянов3

Исследуется уравнение потенциала в случае, когда его решение выра-жено через три автомодельные переменные. Уравнение геометрическим ме-тодом сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению (ОДУ). Получен ряд точных решений.

Ключевые слова: нелинейные уравнения в частных производных; геометри-ческий метод исследования; сведение уравнения в частных производных к ОДУ; точные решения.

Введение

Известно, что процессы неограниченного безударного сжатия газа из исходного однородного безвихревого состояния потенциальны и изэнтропичны. В статье А.Ф. Сидорова [1] для общего уравнения потенциала скоростей 1 2 3( , , , )Φ x x x t , где t – время, ix – пространственные координа-

ты, ( 1,2,3)i = рассматривается класс автомодельных решений с переменными */ ,i ix t tξ τ τ= = − , уравнение потенциала преобразуется в уравнение, которому удовлетворяет функция

1 2 3( , , )Γ Γ ξ ξ ξ= [1] 2 2 20,5( | | ) | | ( 1)( 0,5 | | )( ) 0,Γ Γ γ Γ Γ Γ k∇ ∇ ∇ − ∇ − − − ∇ ∆ − = (1)

построены точные решения этого уравнения в случае двух автомодельных переменных, изучает-ся безударное сжатие газа с использованием полученных решений. Здесь Γ∇ – градиент Γ в пространстве 1 2 3( , , ), kξ ξ ξ – размерность задачи по пространственным переменным.

В данной работе предлагается исследование уравнения (1) для случая трех автомодельных переменных 1 2 3( , , ), 3kξ ξ ξ = . Для уравнения (1) геометрическим методом [2] получены некото-рые точные решения и показано, как полученные решения могут быть использованы при рас-смотрении задачи о безударном сжатии газа. Сведение уравнения потенциала к ОДУ

Рассмотрим уравнение (1). Введем обозначения 2

, ,( 1,2,3),( 1,2,3)i iji i j

Γ ΓΓ i j

ξ ξ ξ∂ ∂= Γ = = =∂ ∂ ∂

.

Тогда уравнение (1) перепишется в виде 2 2 21 11 2 22 3 33 1 2 12 1 3 13 2 3 23

2 2 21 2 3 11 22 33

( 1) ( 1) ( 1) 2 2 2

( 1)[ 0,5( )]( 3) 0.

Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ

γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ

− + − + − + + + −

− − − + + + + − = (2)

Здесь 1γ > – показатель адиабаты.

Будем предполагать, что ( ),Γ Γ ψ= тогда 1 2 3( , , ) constξ ξ ξψ = – поверхность уровня функции

1 2 3( , , )Γ ξ ξ ξ и ' '' '., .i i ij i j ijΓ Γ ψ Γ Γ ψ ψ Γ ψ= = + Здесь штрих (′) обозначает дифференцирование по

переменной .ψ После подстановки ( )Γ ψ в уравнение (2) получаем

1 Работа выполнена при частичной финансовой поддержке в рамках проекта «Разработка новых аналитических, численных и асим-птотических методов исследования задач математической физики и приложения к обработке сигналов» программы «Современные проблемы алгебры, анализа и теории динамических систем с приложениями к управлению сложными объектами» Комплексной про-граммы ФНИ Уральского отделения РАН. 2 Рубина Людмила Ильинична – кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского Уральского отделения Российской академии наук (ИММ УрО РАН). E-mail: [email protected] 3 Ульянов Олег Николаевич – кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, ученый секретарь, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского Уральского отделения Рос-сийской академии наук (ИММ УрО РАН), доцент, Уральский федеральный университет (УрФУ). E-mail: [email protected]


Рубина Л.И., Два подхода к решению уравнения потенциала Ульянов О.Н. в автомодельных переменных

2015, том 7, 3 31

' 2 '' 2 2 2 2 '3 2 2 21 2 3 1 11 2 22 3 33 1 2 12 1 3 13

2 2 22 3 23 1 2 3 11 22 33

'2 2 2 2 '1 2 3 11 22 33

'' 2 2 21 2 3

0,5( 1) ( ) [ 2 2

2 0,5( 1)( )( )]

0,5(3 1) ( ) ( 1) ( )

( 1) ( ) 3( 1) 0

γ Γ Γ ψ ψ ψ Γ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ

ψ ψ ψ γ ψ ψ ψ ψ ψ ψ

γ Γ ψ ψ ψ γ ΓΓ ψ ψ ψ

γ ΓΓ ψ ψ ψ γ Γ

+ + + + + + + + +

+ + − + + + + −

− − + + − − + + −

− − + + + − = .

(3)

В уравнении (3) положим, что [2] 2 2 21 2 3 ( ),fψ ψ ψ ψ+ + = 11 22 33 1( ),fψ ψ ψ ψ+ + =

2 2 21 11 2 22 3 33 1 2 12 1 3 13

2 2 22 3 23 1 2 3 11 22 33 2

2 2

2 0,5( 1)( )( ) ( ).f

ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ

ψ ψ ψ γ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ

+ + + + +

+ + − + + + + = (4)

Тогда уравнение (3) можно переписать в виде ' 2 '' 2 '3 '2 ' ''

2 10,5( 1) 0,5(3 1) (γ 1) ( 1) 3( 1) 0.γ Γ Γ f Γ f γ Γ f ΓΓ f γ ΓΓ f γ Γ+ + − − − − − − + − = (5) Получим ряд условий, при которых переопределенная система (4) имеет решение. Теорема 1. Если функции 1( )f ψ , 2( )f ψ определяются из уравнений ' ' 2 " '2

1 1 18 8 4 4 0,ff f f f ff f+ − + − = '2 10,5 0,5( 1)f ff ffγ= + − , где ( )f ψ – произвольная функция, и

если вторые производные удовлетворяют зависимостям 2 2 2 ' 2 2

11 1 2 3 1 2 3[(2 ) 2 ( )]/(4 ),f f fψ ψ ψ ψ ψ ψ= − − + + '

12 1 2 1[ (2 3 )]/(4 ),f f fψ ψ ψ= − − '13 1 3 1[ (2 3 )]/(4 ),f f fψ ψ ψ= − − (6)

23 0,ψ = 2 2 2 ' 2 222 2 1 3 1 1 3[(2 ) 2 ( )] /(4 ),f f fψ ψ ψ ψ ψ ψ= − − + +

2 2 2 ' 2 233 3 2 1 1 2 1[(2 ) 2 ( )]/(4 ),f f fψ ψ ψ ψ ψ ψ= − − + +

то система (4) совместна. Доказательство. Для исследования совместности переопределенной системы (4) выпишем

дифференциальные следствия соотношения 2 2 21 2 3 ( )fψ ψ ψ ψ+ + = и выразим из полученных соот-

ношений вторые производные 11 22 33, , .ψ ψ ψ Получим '

11 1 2 21 3 31 1( 2 2 ) /(2 ,fψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ= − − '

22 2 1 12 3 32 2( 2 2 ) /(2 ),fψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ= − − (7) '

33 3 1 13 2 23 3( 2 2 ) /(2 ).fψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ= − − Подставим в последнее соотношение системы (4) выражения (7) и учтем, что должно выполнять-ся второе соотношение системы (4). В результате получим, что если справедливы две первые за-

висимости системы (4), то третье соотношение системы при условии '2 10,5 0,5( 1)f ff ffγ= + −

выполняется тождественно. Считаем, что 2f удовлетворяет указанному условию. Остается найти условие, при котором совместны первое и второе уравнения системы (4).

Подставим полученные выражения (7) во второе уравнение системы (4) и найдем из полу-ченного соотношения 23ψ . Далее рассматриваем первое соотношение системы (4)

2 2 21 2 3 ( ).fψ ψ ψ ψ+ + = (8)

Выпишем для уравнения (8) систему уравнений характеристик [3]

2 ,ii

d

ds

ξ ψ= 2 ,d

fds

ψ = ' ,ii

df

ds

ψ ψ= ( 1,2,3)i = .

Полагая, что ( ) 0,f ψ ≠ выберем в системе уравнений характеристик в качестве независимого пе-ременного .ψ Тогда система будет иметь вид

,i id

d f

ξ ψψ

= .2

ii

d f

d f

ψ ψψ

′= (9)

Получим расширенную систему уравнений характеристик, дополнив систему (9) уравнениями, описывающими изменение вдоль характеристик вторых производных 11 22 33, ,ψ ψ ψ [2]. Чтобы по-лучить такие соотношения, перепишем уравнения характеристик, описывающие изменения вдоль них первых производных




'31 1 2

11 12 13 1,2

dd d d f

d d d d f

ξψ ξ ξψ ψ ψ ψψ ψ ψ ψ

= + + =

'32 1 2

12 22 23 2,2

dd d d f

d d d d f

ξψ ξ ξψ ψ ψ ψψ ψ ψ ψ

= + + = (10)

'3 31 2

13 23 33 3,2

d dd d f

d d d d f

ψ ξξ ξψ ψ ψ ψψ ψ ψ ψ

= + + =

и, продифференцировав первое соотношение (10) по 1ξ , второе соотношение (10) по 2ξ , а третье

соотношение (10) по 3ξ и подставив вместо id

d

ξψ

, (i = 1, 2, 3) их значения из системы (9), полу-

чим зависимости '' '

2311 1 211 12 13 1 11

1 1 1

,2 2

d f f

d f f f f f

ψψ ψ ψψ ψ ψ ψ ψψ

= − − − + +

'' '2322 1 2

21 22 23 2 222 2 2

,2 2

d f f

d f f f f f

ψψ ψ ψψ ψ ψ ψ ψψ

= − − − + +

(11)

'' '233 31 2

31 32 33 3 333 3 3

.2 2

d f f

d f f f f f

ψ ψψ ψψ ψ ψ ψ ψψ

= − − − + +

Потребуем, чтобы второе соотношение системы (4) 11 22 33 1( )fψ ψ ψ ψ+ + = выполнялось тожде-

ственно на характеристиках уравнения (8): '3311 221

dd df

d d d

ψψ ψψ ψ ψ

+ + = .

Это условие будет выполняться, если обращается в тождество выражение 2 2 2 2 2 2 ' " '11 12 13 23 22 33 1 12 2 2 0,5 0,5ff ff f fψ ψ ψ ψ ψ ψ+ + + + + = + + . (12)

Подставив в (12) ранее полученные выражения 11 22 33, ,ψ ψ ψ , 23ψ , придем к квадратному уравне-

нию относительно 12ψ : 2 2 2 2 2 2 '1 2 12 1 3 13 2 3 12 13 1 2 1 12

' 2 2 2 ' " ' ' '2 21 3 1 13 1 2 3 1 1 1 1

32 ( ) 32 ( ) 64 16 (2 3 )

16 (2 3 ) 4 ( )[4( 0,5 0,5 ) (8 5 4 )].

f f f f f f

f f f ff ff f f f f f f

ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ

ψ ψ ψ ψ ψ ψ

+ + + + + − +

+ − = + + + + − −

Определим из него 12ψ , рассмотрев частный случай, когда дискриминант квадратного уравнения

равен нулю. Это приводит к квадратному уравнению для определения 13ψ . Потребовав, чтобы

дискриминант уравнения для определения 13ψ также был равен нулю, получим, что ' ' 2 " '2

1 1 18 8 4 4 0ff f f f ff f+ − + − = . (13)

Тогда '12 1 2 1[ (2 3 )]/(4 ),f f fψ ψ ψ= − − '

13 1 3 1[ (2 3 )]/(4 ),f f fψ ψ ψ= − − и, подставляя эти значения в

выражения для 11 22 33 23, , ,ψ ψ ψ ψ , получаем условия (6), которые обеспечивают совместность сис-темы (8), что и требовалось доказать.

Рассмотрим некоторые случаи выполнения условия (13).

1. Условие (13) выполняется, если 1( )f C C βψ= + , 11 1( )f BC C C βψ −= + , C = const, C1 = const,

β = const, 2(2 1) 0,5 19 20 4B β β β= − + − + . Тогда 2 12 10,5 [ ( 1) ]( )f C B C C ββ γ ψ −= + − + . В этом

случае уравнение (5) имеет решения (2 )1( )Γ A C C βψ −= + , где А = const определяется из уравне-

ния 3 4 2 20,5(2 ) [( 1) ( 1) ] (2 )[0,5(3 1)(2 ) ( 1)( 1)]

3( 1) 0

C B A C B Aβ γ γβ γ β γ β γ βγ

− + − + − − − − − + − − + ++ − =



2015, том 7, 3 33

2. Условие (13) выполняется, если exp( ),f aψ= 1 exp( ),f B aψ= a = const, (2 0,5 19)B a= ± .

Тогда 2 0,5[ ( 1) ]exp(2 )f a B aγ ψ= + − и exp( )A aψΓ = − , причем A определяется из уравнения 3 20,5 [ ( 1) ] [0,5(3 5 ) ( 1) ] 3( 1) 0a a B A a a B Aγ γ γ γ γ− − + − + − + − = . Если в рассмотренных выше случаях выполнения условия (13) в выражения ( )Γ Γ ψ= под-

ставить 1 2 3( , , )ψ ψ ξ ξ ξ= , то получим решение уравнения (1).

Рассматривая политропный газ, имеем 2 /c dp dρ= и если ,c → ∞ то ρ → ∞ . Здесь c – скорость звука, ρ – плотность, p – давление [1],

232 '2

1

( 1) ( ) 0,5ii

ψc γ Γ ψ Γ

ξ=

∂ = − − ∂

∑ . (14)

Полученные выше точные решения можно использовать для определения скорости звука и для изучения условий, при которых возможно безударное сжатие в случае политропного газа.

Если (2 )1( )Γ A C C βψ −= + и 1( )f C C βψ= + , то подставляя эти значения в (14), получаем

2 (2 ) 2 21( 1) ( ) [1 0,5(2 ) ]c A C C ACβγ ψ β−= − + − − . Если exp( )Γ A aψ= − и exp( ),f aψ= то

2 2( 1) exp( )(1 0,5 )c A a a Aγ ψ= − − − .

Итак, в случае политропного газа, если известно ( )Γ Γ ψ= и 1 2 3( , , )ψ ψ ξ ξ ξ= , то легко опре-

деляется 11 2 3( , , )c ξ ξ ξ . Задача о движении поршня

Пусть в начальный момент времени скорость звука на поршне c = 1, а c' = c0 > 0, с0 = const,

тогда в начальный момент времени из (14) находим, что '2( ) 0,5 1/( 1)Γ ψ Γ f γ= + − , " ' ' ' '

0[ (1 0,5 ) 2 /( 1)]/( )Γ Γ Γ f c γ Γ f= − − − . Подставляя эти значения в уравнение (5), получаем со-

отношение, которому должна удовлетворять производная '( )Γ ψ , чтобы уравнение (5) обраща-

лось в тождество ' 2 ' '0 1 0[0,5 2 /( 1) ] 2 2 /( 1) 0Γ f c f γ f Γ c γ− − − + + − = . Отсюда следует, что либо

'0 /( 1)Γ c γ= − − , если '

1 00,5 2 /( 1)f f c f γ= − − , либо, если f и f1 удовлетворяют зависимости (13),

то '0 0 1 0 1 1 1 2 [0,5 ' 2 /( 1) ]/( 1)/[0,5 ' 2 /( 1) ]Γ c f c f γ f γ f c f γ f= − ± − − − − − − − − . Возвращаемся к

уравнению (5). Из уравнения (5) получаем, что ' 2 " 2 '

2' "

1

[0,5( 1) 0,5(3 1) ]

( 1)( 3)

Γ γ Γ f Γ f γ fΓ

γ Γ f Γ f

+ + − −=

− + −, тогда

" 2 ' '2 '2

' "1

0,5

3

Γ f Γ ff fc Γ

Γ f Γ f

+ − = + −

.

Если '0 /( 1)Γ c γ= − − и '

1 00,5 2 /( 1)f f c f γ= − − , то ' 22 00,25( 1)f ff c fγ= + − ,

2 '2 0 0

2 ' 20 0

[1 0,5 /( 1)]

3( 1) 0,5( 1) 2

c f c fc

c f c f

γγ γ

+ −=

− + − −.

Пусть знаменатель у выражения для с2 равен δ, тогда f =η exp[4с0ψ/(γ – 1)]+[3(γ – 1)2 – δ]/[2c0

2], η = const, 2 22

2 0 0 0 02 20

4 2 4[3( 1) ]exp exp 1

1 12 ( 1)

c c c cγ δc η ψ η ψ

δ γ γc γ

− −= + + − −− ,

и при любом ψ, если δ → 0, то с → ∞. Интенсивность безударного сжатия будет зависеть, оче-видно, от величины и знака ψ. О поверхностях уровня решений уравнения потенциала

Выше отмечено, что 1 2 3( , , )ψ ψ ξ ξ ξ= = const — поверхность уровня решения уравнения (1) и показано, что эта функция удовлетворяет уравнению (8) и соответствующей ему системе уравне-ний характеристик (9). Выпишем решение системы (9)

1/ 2 1/ 2 1/ 2 2 2 1/ 21 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2, , , const 0, const 0, (1 )ψ c f ψ c f ψ c f c c c c c= = = = > = > = − − (15)




2 2 1/ 23 1 2 31/ 2 1/ 2

,( 1,2), (1 ) , const,( 1,2,3)j j j idψ dψ

c a j c c a a if f

ξ ξ= + = = − − + = =∫ ∫ (16)

и будем полагать, что соотношения (16) задают преобразование координат 1 2( , , ),i i ψ α αξ ξ= где

1 2 1, 2( 1,2,3), ( , ), ( ),( 1,2,3).j j i ii c c α α a a α α i= = = =

Для такого преобразования координат должна обращаться в тождество [2] зависимость

1 1 2 2 1 2 3 1 2( ( , , ), ( , , ), ( , , )),ψ ψ ξ ψ α α ξ ψ α α ξ ψ α α≡ а именно, 3 3

1 1

1 ,0 ,( 1,2).i ii i

j

jα

ξ ξψ ψψ

∂ ∂= = =

∂ ∂∑ ∑

Требуя выполнения выписанных зависимостей, получаем соотношения, которым должны удов-летворять функции 1 2 1 2( , ), ( , )j ic α α a α α

31 1 2 22 2 1/ 2 2 2 1/ 21 2 1 2

0,( 1,2).α(1 ) (1 )j j j

ac a c aj

α αc c c c

∂∂ ∂+ + = =∂ ∂ ∂− − − −

(17)

Например, если 2 2 1/ 21 1 2 2 1 2 3 2 1 2 1 2 1 1 2const, , , [( ) ( ) ]/(1 ) ,jc a α α a α α a c c α c c α c c= = + = − = − − + − − то

соотношение (17) выполняется. Исключив jα из соотношений (16), получаем, что

1 1 2 2 3 3, const,iw k ξ k ξ k ξ k= + + = 1/ 2

dψw

f= ∫ , следовательно, в этом примере

1 1 2 2 3 3( ).k k kψ ψ ξ ξ ξ= + + В этом случае справедливо следующее утверждение.

Теорема 2. Если 1/ 2 '1 0,5 ,f f fη= + ' 3 / 2

2 0,25( 1) 0,5( 1) ,f ff fγ γ η= + + − где ( )f ψ – произ-вольная функция, const,η = то система (4) совместна, а уравнение (3) имеет вид

2 3 2[0,5( 1) ( 1) ] 0,5( 1) 0,5(3 1) ( 1) 3( 1) 0,

/ .ww w w w w

w

Γ γ Γ γ Γ γ ηΓ γ Γ γ ηΓΓ γ Γ

Γ dΓ dw

+ − − + − − − − − + − ==

(18)

Доказательство. Так как сj = const, то можно считать, что 1 2 3( , , )iψ ξ ξ ξ = 1/ 2

1 2 3( ( , , )),( 1,2,3)ic f iψ ξ ξ ξ= = . Тогда, требуя чтобы второе уравнение системы (4) тождественно удовлетворяло расширенной системе характеристик (11), получаем линейное уравнение

' ' " '21 10,5 / 0,5 0,25 /f f f f f f f− = − , решая которое, находим, что 1/ 2 '

1 0,5 ,f ηf f= + const.η =

Подставляя это значение в ранее полученное соотношение '2 10,5 0,5( 1)f ff γ ff= + − , получаем

' 3 / 22 0,25( 1) 0,5( 1) .f γ ff γ ηf= + + − Учтем полученные зависимости между функциями 1 2, ,f f f в

уравнении (5). Выберем в (5) в качестве независимого переменного .w В результате придем к уравнению (18), что и требовалось доказать.

Решаем уравнение (18). Пусть 0η = . Тогда уравнение (18) имеет вид 2 2[0,5( 1) ( 1) ] 0,5(3 1)Γ 3( 1) 0.ww w wΓ γ Γ γ Γ γ γ Γ+ − − − − + − = (19)

В уравнении (19) сначала сделаем замену ( )wΓ p Γ= , а затем положим, что 2p Q= . В ре-

зультате придем к уравнению [0,5( 1) ( 1) ] (3 1) 6( 1) 0.ΓQ γ Q γ Γ γ Q γ Γ+ − − − − + − = Далее положим,

что ( )Q Γy Γ= . В результате такой замены получим уравнение 2[0,5( 1) ( 1) ] 0,5( 1) 2(2 1) 6( 1)ΓΓy γ y γ Γ γ y γ y γ+ − − = − + + − − − . Отсюда найдем ( )Γ y . Так как

( )Q Γy Γ= , то 1/ 2[ ( )]wp Γ Γy Γ= = ± и, опуская дальнейшие выкладки, окончательно имеем ре-шение уравнения (21) в параметрическом виде

1/ 2,

( )

yΓ dyw M

yΓ= ± ∫

1/( 2)

( 1)

2

[( 1) 6( 1)]

γ

γ

yΓ N

γ y γ

−

−

− = + − −

, const, const, 0.M N N= = >

Замечание 1. Доказанные теоремы 1,2 не охватывают все возможные зависимости между функциями 1 2, ,f f f , при которых система (4) совместна. В общем случае, если рассматривать

кривую второго порядка с переменными 12ψ и 13ψ , описываемую уравнением



2015, том 7, 3 35

2 2 2 2 2 2 '1 2 12 1 3 13 2 3 12 13 1 2 1 12

' 2 2 2 ' " ' ' '2 21 3 1 13 1 2 3 1 1 1 1

32 ( ) 32 ( ) 64 16 (2 3 )

16 (2 3 ) 4 ( )[4( 0,5 0,5 ) (8 5 4 )],

f f f f f f

f f f ff ff f f f f f f

ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ

ψ ψ ψ ψ ψ ψ

+ + + + + −

+ − = + + + + − −

то она является действительным эллипсом, если ' ' 2 " '21 1 18 8 4 4 0.ff f f f ff f+ − + − < В этом случае

мы будем иметь 4 разные пары значений 12 13,ψ ψ и, возможно, другие зависимости между

функциями 1 2, ,f f f .

Замечание 2. Если положить, что 2 2 21 1 2 2 3 3( ), ( ) ( ) ( )Γ Γ ψ ψ ξ b ξ b ξ b B= = − + − + − + , где

const,( 1,2,3)ib i= = , constB = , тогда 2 2 1/ 2( ) 4( ), ( )f ψ ψ B w ψ B= − = − . После подстановки этого выражения в (2) и перехода к переменной w получим уравнение

2 3 2[0,5( 1) ( 1) ] 2( 1) 0,5(3 1) 2( 1) 3( 1) 0.ww w w w wwΓ γ Γ γ Γ γ Γ γ wΓ γ ΓΓ γ wΓ+ − − + − − − − − + − =

Это уравнение имеет решение вида 2Γ aw= , где 2 1/ 2(3 2) [1 6( 1) ] /[2(5 3)].a γ γ γ= − ± − − −

О краевых или начальных условиях

Вообще говоря, функции 1 2 1 2( , ), ( , )j ic α α a α α , удовлетворяющие (17), определяются исходя

из задания начальных или граничных условий. Исключение из соотношений (16) jα приводит к

разному виду поверхности уровня 1 2 3( , , ) const.ψ ξ ξ ξ =

Пусть при 1 1 2 2 3 1 2 00, , , ( , ), const.t ξ α ξ α ξ F α α w w= = = = = = Соотношения (16) будут удовле-

творять таким начальным условиям, если 2 2 1/ 2.0 3 0 1 2,( 1,2), (1 )j j ja α c w j a F w c c= − = = − − − Требуя

выполнения условий (17) для таких ,( 1,2,3),ia i = получаем зависимости

1 22 2 1/ 2 2 2 1/ 2

1 21 2 1 2

, ,(1 ) (1 )

c cdF dF

dα dαc c c c= − = −

− − − −

11 2 2 1/ 2

1 2

/,

[1 ( / ) ( / ) ]

F αc

F α F α

∂ ∂= −+ ∂ ∂ + ∂ ∂

22 2 2 1/ 2

1 2

/.

[1 ( / ) ( / ) ]

F αc

F α F α∂ ∂= −

+ ∂ ∂ + ∂ ∂ (20)

Подставив (20) в (16), получим

02 2 1/ 21 2

3 02 2 1/ 21 2

/( ) , ( 1,2),

[1 ( / ) ( / ) ]

1( ) .

[1 ( / ) ( / ) ]

jj j

F αw w α j

F α F α

w w FF α F α

ξ

ξ

∂ ∂= − − + =

+ ∂ ∂ + ∂ ∂

= − − ++ ∂ ∂ + ∂ ∂

(21)

Исключив из соотношений (21) 1 2,α α , найдем 1 2 3( , , ).w ξ ξ ξ

Например, пусть 2 2 1/ 21 2[1 ( )]F α α= − + , тогда исключив из соотношений (21) ,( 1,2),jα j = по-

лучаем 2 2 21 2 3 0 1 2 3( , , ) 1w ξ ξ ξ w ξ ξ ξ= + − − − .

Другой подход к решению уравнения потенциала

Рассмотрим частный случай геометрического подхода для уравнения (2) [5]. Положим, что .ψ Γ= Перепишем уравнение (2) в виде

2 2 2 2 2 21 11 2 22 3 33 1 2 12 1 3 13 2 3 23 1 2 3

2 2 2 2 2 211 22 33 1 2 3 1 2 3

2 2 2 ( 1)[ 0,5( )]

( ) 3( 1)[ 0,5( )].

Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ γ Γ Γ Γ Γ

Γ Γ Γ Γ Γ Γ γ Γ Γ Γ Γ

+ + + + + − − − + + ×

× + + = + + − − − + + (22)

Положим, что правая и левая часть соотношения (22) по отдельности равны ( )f Γ , где ( )f Γ –

некоторая функция. Находя 2 2 21 2 3( )Γ Γ Γ+ + из соотношения 2 2 2

1 2 3Γ Γ Γ+ + − 2 2 21 2 33( 1)[ 0,5( )] ( )γ Γ Γ Γ Γ f Γ− − − + + = , получим

2 2 21 2 3 2[ ( ) 3( 1) ]/(3 1) ( )Γ Γ Γ f Γ γ Γ γ g Γ+ + = + − − = . (23)

Уравнение (2) обратится в тождество, если




2 2 21 11 2 22 3 33 1 2 12 1 3 13 2 3 23

2 2 21 2 3 11 22 33

2 2 2

( 1)[ 0,5( )]( ) ( ) 0,5(3 1) ( ) 3( 1) .

Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ

γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ f Γ γ g Γ γ Γ

+ + + + + −

− − − + + + + = = − − − (24)

Выпишем дифференциальные следствия соотношения (23): '1 11 2 21 3 31 10,5Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ g+ + = ,

'1 12 2 22 3 32 20,5Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ g+ + = , '

1 13 2 23 3 33 30,5Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ g+ + = . Умножим эти выражения на

1 2 3, ,Γ Γ Γ соответственно и сложим. Получим, что 2 2 2 '1 11 2 22 3 33 1 2 12 1 3 13 2 3 232 2 2 0,5Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ gg+ + + + + = . (25)

В (24) подставим вместо 2 2 21 2 3Γ Γ Γ+ + и 2 2 2

1 11 2 22 3 33Γ Γ Γ Γ Γ Γ+ + +

1 2 12 1 3 13 2 3 232 2 2Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ+ + + их значения из (23) и (25) и найдем из полученного соотно-

шения выражение 11 22 33Γ Γ Γ+ + . Имеем '

11 22 33 [0,5 0,5(3 1) 3( 1) ] /[( 1)( 0,5 )]Γ Γ Γ gg γ g γ Γ γ Γ g+ + = − − + − − − . (26). Таким образом, решение уравнения (1) сведено к решению системы уравнений (23), (26).

Покажем, что для решения этой системы можно использовать расширенную систему уравне-ний характеристик уравнения (23). Выпишем расширенную систему уравнений характеристик для уравнения (23), выбрав в качестве параметра, меняющегося вдоль характеристики, перемен-ную Γ , аналогично тому, как это делалось при рассмотрении уравнения (8). Потребуем, чтобы уравнение (26) выполнялось тождественно вдоль характеристик. Добавим полученное соотноше-ние к расширенной системе уравнений характеристик и заменим в ней вторые производные

12 13 23, ,Γ Γ Γ их выражениями, полученными из дифференциальных следствий уравнения (23)).

Придем к системе ОДУ для определения функций , , , ( ), ( 1,2,3)i i iiξ Γ Γ g Γ i = '

, ,( 1,2,3),2

i i ii

d Γ dΓ gΓ i

dΓ g dΓ g

ξ= = = 11 22 33( 1)( 0,5 )( ) 0,5(3 1) 3( 1)

,0,5

γ Γ g Γ Γ Γ γ g γ Γdg

dΓ g

− − + + + − − −=

'' '2311 1 2

11 12 13 1 111 1 1

,2 2

ΓdΓ Γ Γ g gΓ Γ Γ Γ Γ

dΓ g g g g g

= − − − + +

'' '2322 1 2

12 22 23 2 222 2 2

,2 2

ΓdΓ Γ Γ g gΓ Γ Γ Γ Γ

dΓ g g g g g

= − − − + +

'' '233 31 2

13 23 33 3 333 3 3

.2 2

dΓ ΓΓ Γ g gΓ Γ Γ Γ Γ

dΓ g g g g g

= − − − + +

В общем случае, если на начальном многообразии будут выполняться соотношения (23), (26), то поверхность, полученная проведением характеристик через каждую точку такого много-образия, будет задавать решение системы (23),(26) [3,4] и, следовательно, будет являться точным решением уравнения (1).

Определим, в частности, вид ряда функций ( )g Γ , при которых система уравнений (23), (26) совместна.

Теорема. Если функция ( )g Γ удовлетворяет уравнению ' [(3 1) 6( 1) ] /[0,5( 1) (γ 1) ]g γ g g Γ γ g Γ= − − − + − − , (27)

то решения уравнения (23), для которых на начальном многообразии выполняется соотношение (26), являются решениями уравнения (1).

Доказательство. Рассмотрим одно частное решение системы (23), (26). Пусть 2 ( )ii i iΓ Γ f Γ= + , где ( )if Γ – произвольные функции, (i = 1, 2, 3). Тогда, полагая, ( ),iΓ p Γ= сде-

лаем такую замену и решим полученное линейное уравнение для функции ( )p Γ . Придем к зави-симости

3 3 32 2 2

1 1 1

2 , constΓ Γi i i i

i i i

Γ e η f e dΓ η−

= = =

= + =

∑ ∑ ∑∫ . (28)



2015, том 7, 3 37

Учитывая, что 3 3 3

21

1 1 1

( )ii ii i i

Γ Γ f Γ= = =

= +∑ ∑ ∑ и подставляя в это соотношение (28), получим, что урав-

нения (23), (26) обращаются в тождества, если '3

1

0,5 0,5(3 1) 3( 1),

( 1)( 0,5 )ii

gg γ g γ Γf g

γ Γ g=

− − + −= −− −∑ ' (3 1) 6( 1)

,0,5( 1) ( 1)

γ g γ Γg

γ g γ Γ

− − −=+ − −

что и требовалось доказать. Для таких функций ( )g Γ некоторое подмножество решений уравнения (23) будет удовле-

творять уравнению (2) [4]. Выпишем решение уравнения (24) через параметр /u g Γ= , полагая, что (1 2)γ< <

1/( 2)

( 1)

2

[ 6( 1) /( 1)]

γ

γ

uΓ

u γ γ

−

−

− = − − +

, .g uΓ= (29)

Для квадрата скорости звука в случае, когда выполняются условия (29), получаем [1] ( 1) /(2 )3

2 2

1

1 6( 1) /( 1)( 1) 0,5 .

2 2

γ γ

ii

γ u γ γc γ Γ Γ

u

− −

=

− − − + = − − = − − ∑ (30)

Из формулы (30) замечаем, что она имеет смысл ( 2 0c > ) только тогда, когда 6( 1) /( 1) 2.uγ γ− + < < Это условие выполняется, например, для гелия ( 1,667)γ = или метана ( 1,304)γ = [6]. Для таких газов имеем c → ∞ , если 2.u → Выпишем уравнение (23) в виде

2 2 21 2 3 ( ( )) ( ).Γ Γ Γ g Γ u G u+ + = = Решая это уравнение, получим выражения для определения

, ( 1,2,3)i iξ = (см. (16)). В этих выражениях

[ ]( 1) / 2(2 )

1/ 2 1/ 2 ( 1) / 2(2 )

6( 1) /( 1).

( 2)

uduw du

G u u

γ γ

γ γγ γ − −

− −

− − += =

−∫ ∫

Задавая вид функций 1 2 1 2( , ), ( , )i ia α α c α α (см. пункт о поверхностях уровня) и исключив из (16)

переменные 1 2.,α α , получим 1 2 3( , , )u ξ ξ ξ и, следовательно, 1 2 3( , , )c ξ ξ ξ . Заключение

Применение геометрического метода и его частного случая, когда поверхность уровня сов-падает с решением уравнения, позволило получить ряд точных решений уравнения потенциала в автомодельных переменных, которые можно использовать для решения некоторых начальных и краевых задач, в частности, для решения задачи о безударном сжатии газа.

Литература 1. Сидоров, А.Ф. Новые режимы неограниченного безударного сжатия газа / А.Ф. Сидоров //

Доклады РАН. – 1999. – Т. 364, 2. – С. 199–202. 2. Рубина, Л.И. Один геометрический метод решения нелинейных уравнений в частных про-

изводных / Л.И. Рубина, О.Н. Ульянов // Труды Института математики и механики УрО РАН. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2010. – Т. 16, 2. – C. 209–225.

3. Курант, P. Уравнения с частными производными / P. Курант. – М.: Мир, 1964. – 830 c. 4. Камке, Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. – М:

Наука, 1965. – 703 с. 5. Рубина, Л.И. Об одном методе решения уравнения нелинейной теплопроводности /

Л.И. Рубина, О.Н. Ульянов // Сибирский математический журнал. – 2012. – Т. 53, 5. – С. 1091–1101.

6. Fluid dynamics: The handbook / ed. by Richard W. Johnson. CRC Press, Boca Raton, FL, Springer-Verlag, Heidelberg, 1998.

Поступила в редакцию 26 января 2015 г.






TWO APPROACHES TO SOLVING THE POTENTIAL EQUATION IN SELF-SIMILAR VARIABLES L.I. Rubina 1, O.N. Ul’yanov 2

The authors, using the method previously proposed by them, investigate the general velocity potential equation for the case of three self-similar variables. Two approaches of this method are used. The first approach assumes that the solution depends only on one variable, which, in turn, is an unknown function of all independent variables, and thus potential equation is reduced to the ODE. Finding unknown function is based on a study of the corresponding overdetermined system of partial differential equations. A number of compatibility conditions for the system are found. Some exact solutions are constructed. It is shown how the solutions obtained can be used in considering the problem of shock-free compression of the gas. The second approach assumes that the function is known and coincides with the function that gives a solution of the potential equation. It is also received a number of exact solutions that can be used to solve some initial and boundary value problems.

Keywords: nonlinear partial differential equations; geometric method of research; reducing a par-tial differential equation to ODE; exact solutions.

References 1. Sidorov A.F. Doklady RAN. 1999. Vol. 364, no. 2. pp. 199–202. (in Russ.). 2. Rubina L.I., Ul’yanov O.N. Trudy Inst. Mat. i Mekh. UrO RAN. 2010. Vol. 16, no. 2. pp. 209–

225. (in Russ.). 3. Kurant R. Uravneniya s chastnymi proizvodnymi (Partial Differential Equations). Moscow, Mir

Publ., 1964. 830 p. 4. Kamke E. Spravochnik po obyknovennym differentsial'nym uravneniyam (Handbook of Ordinary

Differential Equations). Moscow, Nauka Publ., 1965. 703 p. 5. Rubina L.I., Ul’yanov O.N. On some method for solving a nonlinear heat equation. Siberian

Mathematical Journal. 2012. Vol. 53, no. 5. С. 872–881. DOI: 10.1134/S0037446612050126 6. Johnson, R.W. (Ed.): The Handbook of Fluid Dynamics. CRC Press, Boca Raton, FL, Springer-

Verlag, Heidelberg, 1998. Received 26 January 2015

1 Rubina Liudmila Ilinichna is Cand. Sc. (Physics and Mathematics), Senior Staff Scientist, Institute of Mathematics and Mechanics of the Russian Academy of Sciences (Ural branch). E-mail: [email protected] 2 Ul’yanov Oleg Nikolaevich is Cand. Sc. (Physics and Mathematics), Senior Staff Scientist, University’s academic secretary, Institute of Mathematics and Mechanics of the Russian Academy of Sciences (Ural branch), Associate Professor, Ural Federal University. E-mail: [email protected]


2015, том 7, 3 39

УДК 517.948

ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ НЕВЯЗКИ

А.И. Сидикова1, Е.Ю. Вишняков2, А.А. Ершова3

Получена оценка погрешности приближенного решения интегрального уравнения методом невязки. Произведена дискретизация интегрального уравнения и учтена погрешность дискретизации.

Ключевые слова: регуляризация; модуль непрерывности; оценка погрешно-сти; некорректная задача; принцип невязки.

Введение Многие задачи математической физики, анализа и геофизики сводятся к интегральным урав-

нениям первого рода. Эти уравнения относятся к классу некорректно поставленных задач, теория которых в настоящее время интенсивно развивается. Одним из эффективных методов решения таких задач является метод невязки [1]. Эффективность этого метода заключается в его эквива-лентности методу регуляризации с параметром, определенным принципом невязки [2, 3].

Так как при решении интегральных уравнений важную роль играет их дискретизация [4–7], то в данной статье при разработке алгоритма учтена погрешность дискретизации интегральных уравнений.

1. Постановка задачи Рассмотрим интегральное уравнение первого рода

( ) ( , ) ( ) ( ); ,b

a

Au s P s t u s ds f t с t d= = ≤ <∫ (1)

где ( ) [ ] )( ) [ ] )'2 2

( , ), , , , ; ( ) , , ( ) ,tP s t P s t C a b c d u s L a b f t L c d∈ × ∈ ∈ , d может быть равно ∞ .

Ядро оператора ( , )P s t предположим замкнутым. Пусть при 0( ) ( )f t f t= существует точное ре-

шение 0( )u s уравнения (1), которое принадлежит множеству rM ,

[ ]2

2[ ] ' [ 1] ' [ 1]2( ), ( ) [ , ], ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( ) 0, ( ) .l

l l lr W

M u s u s L a b u a u a u a u b u b u b u s r− −= ∈ = = = = = = = ≤ (2)

Из замкнутости ядра ( , )P s t будет следовать единственность решения 0( )u s уравнения (1).

Пусть точное значение 0( )f t нам неизвестно, а вместо него даны )2( ) ,f t L c dδ ∈ и 0δ > та-

кие, что

20( ) ( ) .

Lf t f tδ δ− ≤

Требуется по ( ),f tδ δ и rM определить приближенное решение ( )u sδ уравнения (1) и оце-

нить его уклонение от точного решения 0( )u s в метрике пространстве [ ]2 ,L a b .

Введем оператор B, отображающий пространство [ ]2 ,L a b в [ ]2 ,L a b формулой

( ) ( ) 2( ) ( ) ... , , ( ) [ , ],s s

a a

l

u s Bv s v d v s Bv s L a bθ θ= = ∈∫ ∫ (3)

и оператор C

)2 2( ) ( ); ( ) [ , ], ( ) [ , .Cv s ABv s v s L a b Cv s L c d= ∈ ∈ (4)

Из (3) и (4) следует, что

1 Сидикова Анна Ивановна – кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра вычислительной математики, Южно-Уральский государственный университет. E-mail: [email protected] 2 Вишняков Евгений Юрьевич – аспирант, кафедра вычислительной математики, Южно-Уральский государственный университет. [email protected] 3 Ершова Анна Александровна – аспирант, кафедра теории управления и оптимизации, Челябинский государственный университет. E-mail: [email protected]




( ) ( , ) ( ) ,b

a

Cv s K s t v s ds= ∫ где

( )( , ) ... , .s

b a

l

K s t P t dξ

θ θ= ∫ ∫ (5)

Для замены оператора C конечномерным оператором сначала предположим существование функции )2( ) [ ,g t L c d∈ , такой, что для любых [ ],s a b∈ и [ ),t c d∈

( , ) ( ).K s t g t≤ (6)

Затем ядро ( , )K s t заменим ядром ( , )K s tε , таким, что

( , ); , ;( , )

0; ,

K s t a s b c t dK s t

t d

εε

ε

≤ ≤ ≤ ≤= >

(7)

где

2 2( ) ,d

d

g t dt

ε

ε≤∫ (8)

а также введем функцию ( )N t '( ) max ( , ) ;s

a s bN t K s t c t dε

≤ ≤= ≤ ≤ (9)

и число N1

'1 max ( , ) : , .tN K s t a s b c t dε= ≤ ≤ ≤ ≤ (10)

Так как ( , )P s t и [ ] [ ]( )'( , ) , ,tP s t C a b c dε∈ × , то из (9) и (10) следует существование числа 1N и

[ ]( ) , .N t C c dε∈

Разобьем отрезок [ , ]a b на n равных частей точками ( )

, 0,1,..., 1ii b a

s a i nn

−= + = − , а также

отрезок [ , ]c dε на m равных частей точками ( )

; 0,1,..., 1.jj d c

t c j mmε −

= + = −

Теперь введем функции

( ) ( , ),i iK t K s tε= (11)

1ˆ ( , ) ( ); , [ , ], 0,1,..., 1,n i i iK s t K t s s s t c d i nε+= ≤ ≤ ∈ = − (12)

, 1 1ˆ ( , ) ( ); , .n m i j i i j jK s t K t s s s t t t+ += ≤ < ≤ < (13)

Используя формулы (11)–(13), определим операторы ˆnC и ,

ˆn mС

[ ]ˆ ˆ( ) ( , ) ( ) ; ,b

n na

C v s K s t v s ds t c dε= ∈∫ , (14)

[ ], ,ˆ ˆ( ) ( , ) ( ) , ,

b

n m n ma

C v s K s t v s ds t c dε= ∈∫ (15)

и предположим, что эти операторы отображают пространство 2[ , ]L a b в 2[ , )L c d , дополнив зна-

чения этих операторов при t dε> нулем.

Для удобства оператор с ядром ( , )K s tε обозначим через Cε и перейдем к оценке величины

,ˆn mC C− . Для этого используем неравенство

, ,ˆ ˆ ˆ ˆ .n m n n n mС C C C C C C Cε ε− ≤ − + − + − (16)

Из (6)–(8) следует, что .С Сε ε− ≤ (17)

Так как


Сидикова А.И., Вишняков Е.Ю., Оценка погрешности приближенного решения Ершова А.А. интегрального уравнения методом невязки

2015, том 7, 3 41

,ˆ ˆ( , ) ( , ) ( ) ( ) ,n m n i i jK s t K s t K t K t− ≤ − (18)

при 1i is s s+≤ < и 1, 0,1,..., 1, 0,1,..., 1,j jt t t i n j m+≤ < = − = − а

1( ) ( ) ,i i jd c

K t K t Nm

ε −− =

то из (18) получим

, 1ˆ ˆ( , ) ( , ) .n m n

d cK s t K s t N

mε −

− ≤ (19)

Ввиду того, что

, ,1

ˆ ˆ ˆsupn n m n n mv

С С C v C v≤

− = − ,

следует 2

, ,1

ˆ ˆ ˆ ˆsup ( , ) ( , ) ( )d b

n m n n m nv c a

С C K s t K s t v s ds dtε

≤

− ≤ −

∫ ∫ . (20)

Из (19) и (20) следует, что 22

2 2, 1

ˆ ˆ ( ) .d b

n m nc a

d cC C N v s ds dt

m

εε − − ≤

∫ ∫ (21)

Так как

2( ) ( )

b

La

v s ds b a v s≤ −∫ ,

то из (20) следует, что

, 1ˆ ˆ ( )( ) .n m n

d cС C b a d c N

mε

ε−

− ≤ − − (22)

Теперь перейдем к оценке слагаемого ˆnC Cε − .

Так как

( )ˆ ˆ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) ,b

n na

C v s C v s K s t K s t v s dsε ε− = −∫

а 2

ˆ ˆsup ( , ) ( , ) ( ) : 1 ,d b

n nc a

С С K s t K s t v s ds dt vε

ε ε

− = − ≤ ∫ ∫

то учитывая (9), (11), (12) и

ˆ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( )b b b

n ia a a

b aK s t K s t v s ds K s t K s t v s ds N t v s ds

nε ε ε−− ≤ − ≤∫ ∫ ∫ ,

получим, что 22

2 2ˆ( ) ( ) ( ) ( ) .d b

nc a

b aC v s C v s N t v s ds dt

n

ε

ε − − ≤

∫ ∫ (23)

Из того, что ( ) 1v s ≤ , а ( ) ( )b

a

v s ds b a v s≤ −∫ , учитывая (23), получим

2

ˆ ( )n L

b aC C b a N t

nε−− ≤ − . (24)

Таким образом, из (17), (22) и (24) следует, что

( )2

, 1ˆ ( )( )n m L

d c b aC C b a d c N b a N t

m nε

εε − −− ≤ + − − + − .




В дальнейшем через ,n mη , обозначим величину, удовлетворяющую соотношению

2, 1( )( ) ( ) .n m L

d c b ab a d c N b a N t

m nε

εη ε − −≥ + − − + − (25)

2. Метод невязки Введем конечномерное подпространство nX пространства 2[ , ]L a b , состоящее из функций

постоянных на промежутках [ )1, , 0,1,..., 1,i is s i n+ = − а также подпространство mY пространства

2[ , ]L c dε , состоящее из функций, постоянных на промежутках )1, , 0,1,..., 1j jt t j m+ = − . Через

( ; )mpr Y⋅ обозначим оператор метрического проектирования пространства [ ]2 ,L c dε на mY .

Для решения уравнения (1) воспользуемся конечномерным вариантом метода регуляризации А.Н. Тихонова, приведенного в [8]

2 2, 2

ˆinf ( ) ( ) ( ) : ( ) [ , ] , 0,b

mn m

a

C v s f t v s ds v s L a bδ α α − + ∈ >

∫ (26)

где ( ) ( ; )mmf t pr f Yδ δ= .

Известно, что задача (26) имеет единственное решение ,, ( ).

n mv sα

δ η Значение параметра регу-

ляризации α в решении,, ( )

n mv sα

δ η задачи (26) выберем из принципа невязки [1].

,, , ,ˆ ( ) ( )

n m

mn m n mC v s f t rα

δ η δ η δ− = + . (27)

Известно, что при условии

,( )mn mf t rδ η δ> +

существует единственное решение ( ), ,ˆˆ , ( ),n m n mС f t rδα η δ+ уравнения (27).

Если решение , ,

,

ˆˆ ( , ( ), ), ( )n m n m

n m

C f t rv sδα η δ

δ η+

задачи (26), (27) обозначим через ,

( )n m

v sδη , то прибли-

женное решение ,, ( )

n mu sδ η уравнения (1) будет иметь вид

, ,, ,( ) ( ).n m n m

u s Bv sδ η δ η= (28)

Из (11), (13) и (15) следует, что 1

, 10

ˆ ( ) ( ) , [ , ), 0,1,..., 1,n

n m i j i j ji

b aC v s K t v t t t j m

n

−

+=

−= ∈ = −∑ (29)

где 1

( ) .i

i

s

is

nv v s ds

b a

+

=− ∫ (30)

Из вида оператора ( ; )mpr Y⋅ следует, что

1( ) : , 0,1,..., 1 ,mj j jf t f t t t j mδ += ≤ < = − (31)

где 1

( ) .j

j

t

jt

mf f t dt

d c δε

+

=− ∫

Через ( )i sϕ обозначим ортонормированный базис пространства nX ,

[ )1

1

;( )

0; , , 0,1,..., 1,

i ii

i i

ns s s

b ass s s i n

ϕ +

+

≤ < −=

∉ = −

(32)



2015, том 7, 3 43

а через ( )j tφ базис пространства mY ,

)1

1

;( )

0; ; , 0,1,..., 1.

j j

j

j j

mt t t

d ct

t t t j m

εφ+

+

≤ < −=

∉ = −

(33)

Лемма 1. Пусть величины iv , 0,1,..., 1,i n= − определены формулой (30). Тогда для любой

функции 2( ) [ , ]v s L a b∈ справедливо соотношение 1

2 2

0

( ) .bn

ii a

v v s ds−

=≤∑ ∫

Доказательство. Из формул (30) и (32) следует, что

1 1

12

2( ) ( ) ( ) ( ) .i i

i i

s s

i i is s

v s v s ds s v s dsϕ ϕ+ + ≤ ≤

∫ ∫ (34)

Из (34) следует, что 1

2 2( )i

i

s

is

v v s ds+

≤ ∫

и, следовательно, 1

2 2

0

( )bn

ii a

v v s ds−

=≤∑ ∫ .

Тем самым лемма доказана. Наряду с задачей (26) рассмотрим задачу

2 2,

ˆ ˆ ˆ ˆinf ( ) ( ) ( ) : ( )mn m nC v s f t v s v s Xδ α− + ∈ , (35)

где ( )( ) , .mmf t pr f Yδ δ=

В одной из теорем [8] доказано существование и единственность решения ,,ˆ ( )

n mv sα

δ η задачи

(35). Лемма 2. Вариационные задачи (26) и (35) эквивалентны. Доказательство. Так как 2[ , ]nX L a b⊂ , то

2 22 2, 2 ,

ˆ ˆinf ( ) ( ) ( ) : ( ) [ , ] inf ( ) ( ) ( ) : ( )m mn m n m nC v s f t v s v s L a b C v s f t v s v s Xδ δα α− + ∈ ≤ − + ∈ . (36)

Из (29) следует, что для любого 2( ) [ , ]v s L a b∈ 1

, 10

ˆ ( ) ( ) ; [ , ), 0,1,..., 1n

n m i j i j ji


n

−

+=

−= ∈ = −∑ .

Положив 1

0

ˆ( ) ( )n

i ii

v s v sϕ−

==∑ получим, что

ˆ( ) nv s X∈ и

1

, 10

ˆ ( ) ( ) ; [ , ), 0,1,..., 1n

n m i j i j ji


n

−

+=

−= ∈ = −∑ . (37)

Из (36), (37) и леммы 1 следует, что для любого 2( ) [ , ]v s L a b∈ найдется ˆ( ) nv s X∈ такой, что 2 2

, ,ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )m mn m n mС v s f t С v s f tδ δ− = − (38)

и




2 2ˆ( ) ( )v s v sα α≥ . (39)

Из (38) и (39) следует, что для любого 2( ) [ , ]v s L a b∈ существует ˆ( ) nv s X∈ такой, что 2 22 2

, ,ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m mn m n mC v s f t v s C v s f t v sδ δα α− + ≥ − + . (40)

Из (40) следует, что

2 22 2, 2 ,

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆinf ( ) ( ) ( ) : ( ) [ , ] ( ) ( ) ( ) : ( )m mn m n m nC v s f t v s v s L a b C v s f t v s v s Xδ δα α− + ∈ ≥ − + ∈ . (41)

Из (36) и (41) получим

2 22 2, 2 ,

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆinf ( ) ( ) ( ) : ( ) [ , ] ( ) ( ) ( ) : ( )m mn m n m nC v s f t v s v s L a b C v s f t v s v s Xδ δα α− + ∈ = − + ∈ . (42)

Так как решения задач (26) и (35) единственны, то из (42) следует эквивалентность этих за-дач. Тем самым лемма доказана.

Рассмотрим задачу

( )21 1 1

2

0 0 0

inf ( ) : ,m n n

ni j i j i i

j i i

d c b aK t v f v v R

m nε α

− − −

= = =

− − − + ∈

∑ ∑ ∑ (43)

где 1

( )j

j

t

jt

mf f t dt

d c δε

+

=− ∫ .

Из [4] следует, что для любого 0α > существует единственное решение ( ) niv Rα ∈ задачи

(43). Кроме того, задача (43) эквивалентна системе линейных алгебраических уравнений

1

0

; 0,1,..., 1n

ik i k ki

b ab v v g k n

nα

−

=

− + = = −∑ , (44)

где 1

0

( ) ( ),m

ik i j k jj

d cb K t K t

mε

−

=

−= ∑ а ( )

1

0

m

k k j jj

d cg K t f

mε

−

=

−= ∑ .

Теперь введем операторы 1J и 2J , отображающие пространства nR на nX и mR на mY , со-ответственно, формулами

( ) ( ) ( )1

1 10

( ); , ,n

ni i i i i n

i

J x x s x R J x Xϕ−

= = ∈ ∈ ∑ (45)

( ) ( ) ( )1

2 20

( ); , ,n

mj j j j j m

i

J y y t y R J y Yφ−

=

= ∈ ∈ ∑ (46)

где ( )i sϕ определены формулой (32), а ( )j tφ формулой (33).

Так как системы ( )i sϕ и ( )j tφ ортонормированы в nX и mY соответственно, то операто-

ры 1J и 2J , определяемые формулами (45) и (46), изометричны.

Теорема 1. Пусть операторы 1J и 2J определены формулами (45) и (46), а ,,ˆ ( )

n mv sα

δ η и ( )ivα

– решения задач (35) и (43) соответственно. Тогда

( ),, 1ˆ ( )n m iv s J vα α

δ η =

.

Доказательство. Пусть ,,ˆ ( )

n mv sα

δ η решение задачи (35). Тогда

, ,

2 2 2 2, , , ,

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) inf ( ) ( ) ( ) : ( ) .n m n m

m mn m n m nC v s f t v C v s f t v s v s Xα α

δ η δ δ η δα α− + = − + ∈ (47)

Если ( ) ,

11 ,ˆ ˆ ( )

n miv J v sα αδ η

− =

, то



2015, том 7, 3 45

( ) .

21 1 21 1 12 , 1 1 , 2

0 0

ˆˆ ˆ ( ) ( )n m

m nm

i j i j n mj i

d c b aK t v f J C J J v s J f t

m nα αε

δ η δ

− −− − −

= =

− − − = −

∑ ∑ . (48)

Из (48) и изометричности операторов 1J и 2J следует, что

( ), ,

21 1 12 2 2

, , ,0 0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) .n m n m

m n nm

n m i j i j ij i i

d c b aC v s f t v s K t v f v

m nα α α αεδ η δ δ ηα α

− − −

= = =

− −− + = − +

∑ ∑ ∑ (49)

Теперь покажем, что ( )ivα является решением задачи (43).

Предположим противное, то есть найдется вектор ( )' niv R∈ такой, что

( ) ( )2 21 1 1 1 1 12 2' '

0 0 0 0 0 0

ˆ ˆ( ) ( ) .m n n m n n

i j i j i i j i j ij i i j i i

d c d cb a b aK t v f v K t v f v

m n m nα αε εα α

− − − − − −

= = = = = =

− −− −− + < − +

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ (50)

Тогда, положив

( )'1( ) iv s J v =

,

и используя (49), получим

( )21 1 1 22 2 ' '

,0 0 0

ˆ ( ) ( ) ( ) ( )m n n

mn m i j i j i

j i i

d c b aC v s f t v s K t v f v

m nε

δ α α− − −

= = =

− −− + = − +

∑ ∑ ∑ ,

что, наряду с (50), противоречит (47).

Таким образом, ( ) ( ),

11 ,ˆ ˆ ( )

n miv J v sα αδ η

− = является решением задачи (43).

Тем самым теорема доказана. Так как из леммы 2 и теоремы 1 будет следовать, что вариационная задача (26) с помощью

отображений 1J и 2J может быть сведена к системе линейных алгебраических уравнений (44), то

решив последнюю, получим ( ) niv Rα ∈ .

Для определения параметра регуляризации ( ), ,ˆ , ( ),n m n mС f t rδα η δ+ в этом решении, восполь-

зуемся уравнением (27), которое, используя операторы 1J и 2J , сведем к следующему

( ) ( )21 1 2

,0 0

ˆm n

i j i j n mj i

d c b aK t v f r

m nαε η δ

− −

= =

− − − = +

∑ ∑ . (51)

При условии ,( )mn mf t rδ η δ> + существует единственное решение ( ), ,

ˆ , ( ),n m n mС f t rδα η δ+

уравнения (51). Окончательно, приближенное решение

,,ˆ ( )n m

u sδ η уравнения (1) определим формулой

, ,, ,ˆ ˆ( ) ( )n m n m

u s Bv sδ η δ η= ,

где ( ),, 1ˆ ( )n m iv s J vα

δ η =

, ( )ivα – решение системы линейных алгебраических уравнений (44), а

( ), ,ˆ , ( ),n m n mС f t rδα α η δ= + решение уравнения (51).

3. Оценка погрешности приближенного решения ,,ˆ ( )

n mu sδ η уравнения (1)

Для вывода оценки погрешности приближенного решения ,,ˆ ( )

n mu sδ η уравнения (1), введем

функцию

( , ) sup : , , , , 0.r u u Bv v r Au rω τ τ τ= = ≤ ≤ >

Из теоремы, сформулированной в [9], следует, что

,, 0 ,ˆ ( ) ( ) 2 ( , )n m n mu s u s r rδ η ω η δ− ≤ + ,




где ,,ˆ ( )

n mu sδ η – приближенное решение уравнения (1), а 0( )u s – его точное решение.

Литература 1. Морозов, В.А. О регуляризации некорректно поставленных задач и выборе параметра ре-

гуляризации / В.А. Морозов // Журнал вычисл. математики и матем. физики. – 1966. – Т. 6, 1. – С. 170–175.

2. Морозов, В.А. О принципе невязки при решении операторных уравнений методом регуля-ризации / В.А. Морозов // Журнал вычисл. математики и матем. физики. – 1968. – Т. 8, 2. – С. 295–309.

3. Иванов, В.К. О приближенном решении операторных уравнений первого рода / В.К. Ива-нов // Журнал вычисл. математики и матем. физики. – 1966. – Т. 6, 6. – С. 1089–1094.

4. Гончарский, А.В. Конечноразностная аппроксимация линейных некорректных задач / А.В. Гончарский, А.С. Леонов, А.Г. Ягола // Журнал вычисл. математики и матем. физики. – 1974. – Т. 14, 4. – С. 1022–1027.

5. Васин, В.В. Необходимые и достаточные условия сходимости проекционных методов для линейных неустойчивых задач / В.В.Васин, В.П. Танана //ДАН СССР. – 1974. – Т. 215, 5. – С. 1032–1034.

6. Васин, В.В. Дискретная сходимость и конечномерная аппроксимация регуляризующих ал-горитмов / В.В. Васин // Журнал вычисл. математики и матем. физики. – 1979. – Т. 19, 1. – С. 11–21.

7. Танана, В.П. Проекционные методы и конечно-разностная аппроксимация линейных не-корректных задач / В.П. Танана // Сиб. мат. журн. – 1975. – Т. 16, 6. – С. 1301–1307.

8. Тихонов, А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач / А.Н. Тихонов // ДАН СССР. – 1963. – Т. 153, 1. – С. 49–52.

9. Танана, В.П. Об оптимальности методов решения нелинейных неустойчивых задач/ В.П. Танана // ДАН СССР. – 1975. – Т. 220, 5. – С. 1035–1038.

Поступила в редакцию 24 марта 2015 г.


2015, vol. 7, no. 3, pp. 39–47 ERROR ESTIMATION OF APPROXIMATE SOLUTION OF INTEGRA L EQUATION BY RESIDUAL METHOD

A.I. Sidikova 1, E.Yu. Vishnyakov 2, A.A. Ershova 3

Error estimation of approximate solution is obtained for integral equation by residual method. Dis-cretization of integral equation is performed and discretization error is estimated.

Keywords: regularity, module of continuity, error estimation, ill-posed problem, residual principle.

References 1. Morozov V.A. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki. 1966. Vol. 6, no. 1.

pp. 170–175. (in Russ.). 2. Morozov V.A. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki. 1968. Vol. 8, no. 2.

pp. 295–309. (in Russ.). 3. Ivanov V.K. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki. 1966. Vol. 6, no. 6.

pp. 1089–1094. (in Russ.). 1 Sidikova Anna Ivanovna is Cand. Sc. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Calculating Mathematics Department, South Ural State University. E-mail: [email protected] 2 Vishnyakov Evgeniy Yur'evich is Post-graduate Student, Calculating Mathematics Department, South Ural State University. E-mail: [email protected] 3 Ershova Anna Aleksandrovna is Post-graduate Student, Department of Theory of Management and Optimization, Chelyabinsk State Univer-sity. E-mail: [email protected]



2015, том 7, 3 47

4. Goncharskiy A.V., Leonov A.S., Yagola A.G. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matema-ticheskoy fiziki. 1974. Vol. 14, no. 4. pp. 1022–1027. (in Russ.).

5. Vasin V.V., Tanana V.P. DAN SSSR. 1974. Vol. 215, no. 5. pp. 1032–1034. (in Russ.). 6. Vasin V.V. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki. 1979. Vol. 19, no. 1.

pp. 11–21. (in Russ.). 7. Tanana V.P. Sibirskiy matematicheskiy zhurnal. 1975. Vol. 16, no. 6. pp. 1301–1307. (in Russ.). 8. Tikhonov A.N. DAN SSSR. 1963. Vol. 153, no. 1. pp. 49–52. (in Russ.). 9. Tanana V.P. DAN SSSR. 1975. Vol. 220, no. 5. pp. 1035–1038. (in Russ.).




УДК 511.42

МЕТРИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ МАЛЫХ ЗНАМЕНАТЕЛЕЙ В НЕЛОКАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ СОПРЯЖЕНИЯ1 М.М. Сымотюк2, И.Я. Савка3

Установлены теоремы об оценках снизу малых знаменателей, возни-кающих при исследовании нелокальных задач сопряжения для одного уравнения смешанного параболо-гиперболического типа. Для доказатель-ства оценок применен метрический подход.

Ключевые слова: уравнение смешанного типа; нелокальная задача сопря-жения; лемма Бореля-Кантелли; мера Лебега.

1. Введение. В работах [1, 2] в прямоугольной области ( , ) :0 1,D x t x tα β= < < − < < ,

, 0α β > , для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа

0, 0,

0, 0t xx

tt xx

u u tLu

u u t

− = >= − = <

(1)

рассмотрены следующие краевые задачи сопряжения с нелокальным условием, связывающем значения искомого решения (или значения производных решения по времени) на противополож-ных сторонах области.

Задача 1. Найти функцию ( , )u x t , удовлетворяющую условиям

1 2 2,1,( , ) ( ) ( ) ( )x tu x t C D C D C D− +∈ ∩ ∩ , (2)

( , ) 0, ( , )Lu x t x t D D− +≡ ∈ ∪ , (3) (0, ) (1, ) 0,u t u t tα β= = − ≤ ≤ , (4)

( , ) ( , ) , 0 1u x u x x xα β ϕ− − = ( ) ≤ ≤ , (5)

где 0D D t− = <∩ , 0D D t+ = >∩ , ( )xϕ – достаточно гладкая функция, (0) (1) 0ϕ ϕ= = .

Задача 2. Найти функцию ( , )u x t , удовлетворяющую условиям (2)–(4) и условию

( , ) ( , ) , 0 1t tu x u x x xα β ψ− − = ( ) ≤ ≤ , (6) где ( )xψ – достаточно гладкая функция, причем (0) (1) 0ψ ψ= = .

В работах [1, 2] доказано, что для единственности решения задачи 1 необходимо и доста-точно, чтобы выполнялось условие

2( ) cos( ) sin( ) exp( ) 0k k k kk kα βδ λ α λ λ α βλ,∀ ∈ ≡ + − − ≠N , k kλ π= . (7)

Если условие (7) выполнено, то задача 1 имеет единственное формальное решение, предста-вимое рядом

1

( , ) 2 ( )sin( )kk

u t x u t kxπ∞

=

= ∑ , (9)

где 2( )exp( ), 0,

( )( )(cos( ) sin( )), 0,

k k

k

k k k k

k t tu t

k t t t

α β

α β

ϕ δ λ

ϕ δ λ λ λ

−1,

−1,

− <= − >

1 Исследования частично поддержаны Государственным фондом фундаментальных исследований Украины (проект 54.1/027). 2 Сымотюк Михаил Михайлович – старший научный сотрудник, Институт прикладных проблем механики и математики им. Я.С. Подстригача НАН Украины, Львов, Украина. E-mail: [email protected] 3 Савка Иван Ярославович – младший научный сотрудник, Институт прикладных проблем механики и математики им. Я. С. Подстри-гача НАН Украины, Львов, Украина; ассистент, Прикарпатский национальный университет им. В. Стефаныка, Ивано-Франковск, Украина. E-mail: [email protected]


Сымотюк М.М., Метрические оценки малых знаменателей Савка И.Я. в нелокальных задачах сопряжения

2015, том 7, 3 49

а kϕ , k ∈N , – коэффициенты Фурье функции xϕ( ) по системе функций 2 sin( ) :kx kπ ∈N . Ес-

ли выполняется условие (7) и, кроме того, существуют такие постоянные 1 0c > , 1γ ∈R , что для всех натуральных чисел k выполняется оценка

121| cos( ) sin( ) exp( ) |k k k k c k γλ α λ λ α βλ −+ − − ≥ , (10)

можно установить классическую сходимость решения задачи 1 в случае, когда xϕ( ) – достаточно гладкая функция, а также его непрерывную зависимость от правой части условия (5).

В случае, когда выполняется условие 2( ) sin( ) cos( ) exp( ) 0k k k k kk kα β λ α λ λ α λ βλ,∀ ∈ ∆ ≡ − + − ≠N ,

ряд (9), коэффициенты ( )ku t , k ∈N , которого находятся по формуле 1 2

1

( )exp( ), 0,( )

( )(cos( ) sin( )), 0,

k k k

k

k k k k k

k t tu t

k t t t

α β

α β

ψ λ λ

ψ λ λ λ λ

− −1,

− −1,

∆ − <= ∆ − >

где kψ , k ∈N , – коэффициенты Фурье функции xψ ( ) по системе 2 sin( ) :kx kπ ∈N , определя-

ет единственное формальное решение задачи 2. Вопрос о классической сходимости этого реше-ния может быть сведен к вопросу о выполнении для всех k ∈N оценки

222| sin( ) cos( ) exp( ) |k k k k k c k γλ α λ λ α λ βλ −− + − ≥ (11)

с некоторыми постоянными 2 0c > , 2γ ∈R , не зависящими от k . Таким образом, разрешимость задач 1, 2 тесно связана с вопросом о возможности выполне-

ния оценок (10), (11). Отметим, что в [1, 2] доказано, что в случае, когда α является рациональ-ным числом, существует такая постоянная 1 0c > , что оценка (10) выполняется для произвольно-

го фиксированного 0β > для всех k ∈N при 1γ = 0 . Оценка (11) выполняется с некоторой по-

стоянной 2 0c > для произвольного фиксированного 0β > для всех k ∈N при 2 1γ = − , если α ∈N или /p qα = , ,p q∈N , ( , ) 1p q = , q – нечетное, /p q∉N .

В случае, когда α – иррациональное число, вопрос о выполнении неравенств (10), (11) оста-ется открытым (см. с. 111 в [1]). Это обусловлено, в частности, тем, что для фиксированного

0β > выражение ( )kα βδ , , k ∈N имеет нетривиальное множество нулей

2

2 2

exp( ) 1( 1) arcsin , arcsin , 1,2,

1 1

n kk k

k k k

n nβλα π γ γ

λ λ λ

−1 = − + − = = + +

… ,

а выражение ( )kα β,∆ , k ∈N , – множество нулей

21

2 2

exp( )( 1) arcsin , arcsin , 0,1,2,

1 1

n k k kk k

k k k

n nλ βλ λα π ω ω

λ λ λ+

−1 = − + + = = + +

… .

Более того, можно доказать существование таких действительных чисел α , при которых вы-ражения ( )kα βδ , , ( )kα β,∆ являются отличными от нуля для всех k ∈N , но принимают сколь

угодно малые значения для бесконечного количества натуральных чисел k , что свидетельствует о наличии проблемы малых знаменателей при исследовании сходимости ряда (9).

2. Формулировка основных результатов и вспомогательных утверждений. С помощью метрического подхода [3, 4] нами получены следующие результаты о выполнении оценок (10), (11) для иррациональных чисел α > 0 .

Теорема A. Для произвольного фиксированного β > 0 для всех иррациональных (за исклю-

чением множества лебеговой меры нуль) чисел α > 0 существует такая постоянная 1 1( ) 0c c α= > ,

что оценка (10) выполняется для всех натуральных чисел k при 1 0γ > . Отметим, что в работе [5] был анонсирован аналогичный (более слабый) результат с пока-

зателем 1γ >1 .




Теорема B. Для произвольного фиксированного β > 0 для всех иррациональных (за исклю-

чением множества лебеговой меры нуль) чисел α > 0 существует такая постоянная

2 2( ) 0c c α= > , что оценка (11) выполняется для всех натуральных чисел k при 2 0γ > .

Для доказательства теорем A, B будем использовать вспомогательные утверждения. Лемма 1. Пусть 1 k kA ∞

= – последовательность таких измеримых (относительно меры Лебе-га в R ) подмножеств действительной оси, что

1

meas kk

A∞

=

< ∞∑ .

Тогда мера Лебега в R множества точек, попадающих в бесконечное число множеств дан-ной последовательности, равна нулю.

Лемма 1 известна в литературе как лемма Бореля-Кантелли; ее доказательство имеется, на-пример, в [6].

Лемма 2. Пусть 1( , )f C a b∈ . Если в каждой точке ( , )t a b∈ выполняется неравенство

'( )f t δ≥ , δ > 0 , (12)

то для произвольного ε > 0

meas ( , ) :| ( ) | 2 / .t a b f t ε ε δ∈ < ≤

Доказательство. Из условия леммы 2 следует, что функция ( )f t является строго монотон-

ной на ( , )a b . Поэтому множество ( , ) :| ( ) |t a b f t ε∈ < либо пусто, либо есть некоторый интервал

( )ξ η, , a bξ η≤ < ≤ . В первом случае meas ( , ) :| ( ) | 0t a b f t ε∈ < = . Во втором случае, по теореме

Лагранжа, найдется такая точка 0 ( )t ξ η∈ , , что 0( ) ( ) '( )( )f f f tη ξ η ξ− = − . Поскольку | ( ) |f ξ ε≤ , | ( ) |f η ε≤ , из последнего равенства и условия (12) получим

0 0

| ( ) ( ) | 2 2| |

'( ) '( )

f f

f t f t

η ξ ε εη ξδ

−− = ≤ ≤| | | |

.

Таким образом, meas ( , ) :| ( ) | 2 / .t a b f t ε ε δ∈ < ≤ Лемма доказана.

Отметим, что аналоги леммы 2 об оценках мер множеств ( , ) :| ( ) |t a b f t ε∈ < в случае глад-

ких функций ( )f t с некоторой невырождающейся на ( , )a b производной ( ) ( )nf t , а также их при-менения в теории диофантовых приближений содержатся в работах [3, 4, 7].

3. Доказательство теоремы A. Введем в рассмотрение функции 2( ) cos( ) sin( ) exp( )k k k k kf α λ α λ λ α βλ= + − − , k ∈N , (13)

и множества ( ) [ ; ] | ( ) | k kA a b f k γγ α α −= ∈ : < , k ∈N , 0 a b≤ < < +∞ ,

считая значения ,a bβ , фиксированными числами. Обозначим через ( )A γ множество чисел, при-

надлежащих бесконечному числу множеств ( )kA γ , k ∈N .

Дифференцируя функцию ( )kf α , получим, что 2'( ) cos( ) sin( )k k k k kf α λ λ α λ λ α= − , k ∈N . (14)

Умножив равенство (13) на sin( )k kλ λ α , а равенство (14) – на cos( )kλ α , а затем сложив полу-ченные равенства, найдем, что

( )2 2( ) exp( ) sin( ) '( )cos( )k k k k k k kf fλ α βλ λ λ α α λ α= + − + .

Таким образом, в каждой точке [ ; ]a bα ∈ выполняется неравенство

2 '( )2max ( ) exp( ) , k

k k kk

ff

αλ α βλ

λ

≤ + −

. (15)

Легко проверить, что каждая из функций

2 21

'( )( ) ( ) exp( ) 2 2 sin( )k

k k k k k kk

fg f

αα α βλ λ λ α ϕλ

≡ + − − = + − , 1

arctg1

kk

k

λϕλ

−=

+, k ∈N ,



2015, том 7, 3 51

2 22

'( )( ) ( ) exp( ) 2 2 cos( )k

k k k k k kk

fg f

αα α βλ λ λ α ϕλ

≡ + − + = + − , k ∈N ,

может иметь на [ ; ]a b не более, чем 1( , ) kC a b λ нулей, 1( , ) 2max1; C a b b a= − . В самом деле, ко-

личество нулей функции 1 ( )kg α (соответственно, функции 2 ( )kg α ) не превышает количества тех

целых чисел 1m (соответственно, тех целых чисел 2m ), для которых выполняется неравенство

1 k

k

ma b

π ϕλ

+≤ ≤ (соответственно, неравенство 2 / 2k

k

ma b

π ϕ πλ

+ +≤ ≤ ).

Обозначим через 1 ( )( ), , ( )m kk kξ ξ… , k ∈N все различные нули обеих функций 1 ( )kg α ,

2 ( )kg α , принадлежащие промежутку ( ; )a b . Будем считать, что точки 1 ( )( ), , ( )m kk kξ ξ… записаны

в порядке возрастания: 1 ( )( ) ( )m kk kξ ξ< <… . Определим отрезки 1( ) [ ( ); ( )]j j jI k k kξ ξ += ,

0,1, , ( )j m k= … , 0( )k aξ = , ( ) 1( )m k k bξ + = , образующие разбиение отрезка [ ; ]a b , так что ( )

0

[ ; ] ( )m k

jj

a b I k=

= ∪ . Согласно определению, на каждом из отрезков ( )jI k , 0,1, , ( )j m k= … обе функ-

ции 1 ( )kg α , 2 ( )kg α сохраняют знак, поэтому из неравенства (15) получим, что или

( )jI kα∀ ∈ 2'( ) / 2k kf α λ≥ , (16)

или

( )jI kα∀ ∈ 2( ) exp( ) / 2k k kf α βλ λ+ − ≥ . (17)

Если на отрезке ( )jI k выполняется условие (16), то, применяя лемму 2, найдем, что для про-

извольного γ ∈R имеет место оценка 2meas( ( ) ( )) 4k jA I k k γγ π −2 − −≤∩ , k ∈N . (18)

Если же на отрезке ( )jI k выполняется условие (17), то ни одна точка этого отрезка не может

принадлежать множеству ( )kA γ при 2k ≥ и γ > 0 . Действительно, если ( ) ( )j kI k A γ ≠ ∅∩ , 2k ≥ ,

γ > 0 , то существует точка α0 , что одновременно выполняются неравенства 2

0( ) exp( ) / 2k k kf α βλ λ+ − ≥ , ( )kf k γα −0 ≤ ,

из которых следует неравенство / 2 1 2k k γλ −≤ + ≤ , противоречивое при 2k ≥ и γ > 0 . Учитывая теперь очевидное равенство

( )

0

meas ( ) meas( ( ) ( ))m k

k k jj

A A I kγ γ=

= ∑ ∩ ,

а также то, что 1( ) 2 ( , ) km k C a bλ≤ , из оценки (18) получим

2meas ( ) ( , )kA C a b k γγ − −1≤ , 2 1( , ) 16 ( , )C a b C a bπ −1= , 2k ≥ , γ > 0 .

Таким образом, при 0γ > ряд 1

meas ( )kk

A γ∞

=∑ является сходящимся. Тогда в силу леммы 1 ле-

бегова мера множества ( )A γ при 0γ > равна нулю. Множество M действительных α -нулей

всех функций ( )kf α , k ∈N , не более чем счетно, поэтому имеет нулевую меру. Следовательно,

meas ( ) \ 0A Mγ = . Для каждого ( )Aα γ∈ существует такое число ( )K α , что оценка | ( ) |kf k γα −≥ выполняется для всех ( )k K α≥ , если, кроме того, Mα ∉ , то для всех натуральных k выполня-

ется неравенство | ( ) | ( )kf c k γα α −≥ , где ( ) min 1, ( )c dα α= , ( )

( ) min | ( ) | 0kk K

d f kγ

αα α

<= > . Для за-

вершения доказательства теоремы A остается отметить, что множество ( ) \ ( )A Mγ ∪Q имеет ну-левую меру (так как множество Q рациональных чисел счетно), а также то, что действительную

ось можно покрыть счетным числом отрезков: 1

[ 1; ]n

n n∞

=

= −∪R .




Доказательство теоремы В аналогично приведенному выше доказательству теоремы А. 4. Дальнейшие обобщения. При исследовании многомерных (по пространственным пере-

менным) аналогов задач 1, 2 возникают определители 2( ) cos( ) sin( ) exp( ) 0k k k kkα βδ λ α λ λ α βλ, ≡ + − − ≠ , 2 2

1k pk kλ π= + +… , 1( , , ) ppk k k= ∈… N , (19)

2( ) sin( ) cos( ) exp( ) 0k k k k kkα β λ α λ λ α λ βλ,∆ ≡ − + − ≠ , 2 21k pk kλ π= + +… , 1( , , ) p

pk k k= ∈… N . (20)

Представляется возможным доказать следующие гипотезы. Гипотеза A. Для произвольного фиксированного β > 0 для всех иррациональных (за исклю-


3 3( ) 0c c α= > , что для определителя (19) оценка 3

3 1| ( ) | (| | | |)pk c k k γα βδ −

, ≥ + +… ,

выполняется для всех векторов 1( , , ) ppk k k= ∈… N при 1 1pγ > − .

Гипотеза B. Для произвольного фиксированного β > 0 для всех иррациональных (за исклю-


4 4( ) 0c c α= > , что для определителя (20) оценка 4

4 1| ( ) | (| | | |)pk c k k γα β

−,∆ ≥ + +… ,

выполняется для всех векторов 1( , , ) ppk k k= ∈… N при 1 1pγ > − .


1. Юнусова, Г.Р. Нелокальные задачи для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа // Г.Р. Юнусова / Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер. – 2011. – 8(89). – С. 108–117.

2. Сабитов, К.Б. Нелокальная задача для уравнения параболо-гиперболического типа в пря-моугольной области // К.Б. Сабитов / Матем. заметки. – 2011. – Т. 89. – Вып. 4. – C. 596–602.

3. Пташник, Б.И. Некорректные граничные задачи для дифференциальных уравнений с част-ными производными / Б.И. Пташник. – Киев: Наук. думка, 1984. – 264 с.

4. Берник, В.И. Диофантовы приближения и размерность Хаусдорфа // В.И. Берник, Ю.В. Мельничук. – Минск: Наука и техника, 1988. – 144 с.

5. Симотюк, М.М. Оцінка малого знаменника задачі з нелокальною крайовою умовою для параболо-гіперболічного рівняння / М.М. Симотюк, І.Я. Савка // Всеукраїнська наукова конфе-ренція «Сучасні проблеми теорії ймовірностей та математичного аналізу». Тези доповідей (Во-рохта, 25 лютого – 3 березня 2013 р.). – С. 83–84. (на укр. языке)

6. Гихман, И.И. Теория вероятностей и математическая статистика / И.И. Гихман, А.В. Скороход, М.И. Ядренко – Киев: Вища школа, 1979. – 408 с.

7. Ільків, В.С. Про константу в лемі Пяртлі / В.С. Ільків, Т.В. Магеровська // Вісник На-ціонального університету «Львівська політехніка». Серія «Фізико-математичні науки». – 2007. – 607. – С. 12–17. (на укр. языке)

Поступила в редакцию 14 июня 2013 г.



2015, том 7, 3 53



METRIC ESTIMATES OF SMALL DENOMINATORS IN NONLOCAL BOUNDARY VALUE PROBLEMS M.M. Symotyuk 1, I.Y. Savka 2

The metric estimates of small denominators at the analysis of nonlocal boundary value problems for a parabolic-hyperbolic equation are established. We use the metric approach to prove these estimates.

Keywords: equation of mixed type; nonlocal boundary value problem; Borel–Cantelli lemma; Lebesgue measure.

References 1. Yunusova, G.R. Vestnik of Samara State University. Natural Science Series. 2011. no. 8(89).

pp. 108–117. (in Russ.). 2. Sabitov K.B. Nonlocal problem for a parabolic-hyperbolic equation in a rectangular domain.

Mathematical Notes. 2011. Vol. 89. Issue 4. pp. 562–567. DOI: 10.4213/mzm8462 3. Ptashnik B.I. Nekorrektnye granichnye zadachi dlya differentsial'nykh uravneniy s chastnymi

proizvodnymi (Invalid boundary value problems for differential equations with partial derivatives). Kiev, Nauk. dumka Publ., 1984. 264 p. (in Russ.).

4. Bernik V.I., Mel'nichuk Yu.V. Diophantine approximation and Hausdorff dimension (Diofantovy priblizheniya i razmernost' Khausdorfa). Minsk, Nauka i tekhnika Publ., 1988. 144 p. (in Russ.).

5. Symotyuk M.M., Savka I.Ya. Assessment small denominator problem with nonlocal boundary condition for a parabolic-hyperbolic equations. Proceedings of the Ukrainian scientific conference "Modern problems of on-probability theory and mathematical analysis." Vorokhta, February 25 – March 3, 2013). pp. 83–84. (in Ukrainian).

6. Gikhman I.I., Skorokhod A.V., Yadrenko M.I. Teoriya veroyatnostey i matematicheskaya sta-tistika (Probability theory and mathematical statistics). Kiev, Vishcha shkola Publ., 1979. 408 p. (in Russ.).

7. Ilkiv V.S., Maherovska T.V. Proceedings of the National University "Lviv Polytechnic". Series "Physics and mathematics". 2007. no. 607. pp. 12–17. (in Ukrainian).

Received 14 June 2013

1 Symotyuk Mikhail Mikhailovich is Senior Staff Scientist, Ya. S. Pidstryhach Institute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics, NAS Ukraine, L'vov, Ukraine. E-mail: [email protected] 2 Savka Ivan Yaroslavovich is Junior Research Fellow, Ya. S. Pidstryhach Institute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics, NAS Ukraine, L'vov, Ukraine; Assistant, Vasyl Stefanyk Precarpathian National University, Ivano-Frankivsk, Ukraine. E-mail: [email protected]



УДК 519.633

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ С НЕЛИНЕЙНОЙ ВЯЗКОСТЬЮ К.З. Хайрисламов1

Рассматривается задача моделирования течения жидкости с нелиней-ной вязкостью. В уравнения Навье–Стокса вводится зависимость коэффи-циента динамической вязкости от скоростей деформаций. Полученные уравнения решаются численным методом.

Ключевые слова: вязкость; вязкая жидкость; уравнения Навье–Стокса. Введение

При решении задач о течении вязких жидкостей предположение о постоянстве коэффициен-та динамической вязкости исключает из рассмотрения такие важные с практической точки зре-ния вещества, как масла, смазки, растворы и т. д.

Некоторые из них могут менять свои вязкостные свойства при движении и находят примене-ние, например, в гидроамортизаторах, гидравлических муфтах сцепления и др.

В работе исследуется изменение свойств течения жидкости вследствие зависимости коэффи-циента вязкости от скоростей деформаций. 1. Постановка задачи

Для простоты будем рассматривать влияние коэффициента вязкости на течение жидкости в двумерном случае. Пусть в некоторой области на плоскости имеется несколько регионов, зани-маемых вязкой несжимаемой жидкостью. Под действием внешней силы жидкости начинают дви-гаться и взаимодействовать друг с другом и границами области. В начальный момент времени все скорости нулевые. На границе расчетной области (жесткая граница) выполняется условие Неймана

0u

n

∂ =∂

, (1)

на свободной границе при отсутствии поверхностного натяжения и нулевом давлении выполня-ется условие

( )2 0e nµ ⋅ = . (2)

В (1) и (2) под n понимается вектор внешней нормали к границе. Цель – смоделировать течение с помощью численного метода и сравнить поведение жидко-

стей с постоянной и переменной вязкостью. 2. Система уравнений

Система уравнений, описывающих движение вязкой несжимаемой жидкости, в случае двух независимых переменных ( ),x y может быть записана в следующем виде [1]:

( )

( )

div 0,

1,

Re

u

up N u

t

=∂ = − ∇ + ∂

(3)

где t – время; u – вектор скорости ( ,u υ – соответственно x - и y -компонента);

( )divu

ux y

υ∂ ∂= +∂ ∂

– дивергенция скорости; ( )N u имеет компоненты

( ) ( ) ( )2

11 1

2Re Re x

u u u uN u g

x y x x y y x

υ υµ µ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − − + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

1 Хайрисламов Кирилл Зинатуллаевич – аспирант, кафедра прикладной математики, Южно-Уральский государственный университет. E-mail: [email protected]


Хайрисламов К.З. Моделирование течения жидкости с нелинейной вязкостью

2015, том 7, 3 55

и

( ) ( ) ( )2

21 1

2Re Re y

u uN u g

x y x y x z z

υυ υ υµ µ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − − + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

;

p – давление; µ – коэффициент динамической вязкости; ( ),x yg g – вектор массовых сил; Re –

число Рейнольдса. Введем зависимость коэффициента вязкости µ от скорости деформаций [1]. Под скоростью

деформаций понимается величина

( )( )1

2 22q Tr e= ,

где ( )( )1

2T

e u u= ∇ + ∇ – тензор скоростей деформаций, Tr – оператор следа. Легко показать, что

в данном случае 2 22

2 2u u

qx y y x

υ υ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + + ∂ ∂ ∂ ∂ .

Выберем следующий закон зависимости

( )1

2 2 20 1

n

qµ µ λ−

= + , (4)

описывающий довольно широкий класс жидкостей, где 0µ , λ , n – константы, характеризующие жидкость [2]. 3. Общая схема численного решения

Система уравнений (3) решается численно. В численном методе используется сетка с разне-сенной структурой расположения сеточных узлов, т.е. значения компонент скорости u , υ опре-делены в полуцелых узлах вида ( )1 2,i j+ , ( ), 1 2i j + соответственно, а значения давления и

вязкости – в целочисленных узлах ( ),i j [3].

Будем использовать следующую вычислительную процедуру (далее под давлением понима-ется величина Reh p= ):

1) пусть имеется скорость ( )0u t в момент времени 0t , а ( )*0h t – произвольное давление, со-

гласованное с условиями на границе;

2) найдем промежуточную скорость *u в момент времени 0t t+ ∆ из уравнения

( )*

*uh N u

t

∂ = −∇ +∂

при условии ( ) ( )*0 0u t u t= ;

3) решим уравнение Пуассона *uψ∆ = ∇ ⋅

с граничными условиями: 0ψ = на свободной границе и 0n

ψ∂ =∂

на жесткой границе;

4) получим скорость и давление для момента времени 0t t+ ∆ : *u u ψ= − ∇ , *h h tψ= + ∆ .

Из пунктов 3 и 4 видно, что в каждый момент времени поле скоростей остается недивергент-ным, т.е. ( )div 0u = , что согласуется с первым уравнением в (3).

4. Численный эксперимент и его результаты

Рассмотрим некоторую область Ω с круглой границей. Пусть внутри Ω в начальный момент времени имеются три подобласти, занимаемых жидкостью: две в форме тонких полос, ориенти-




рованных вертикально и горизонтально, и одна в форме круга (рис. 1, а). Под действием внешней силы, направленной вниз, жидкости приходят в движение и в дальнейшем вступают во взаимо-действие друг с другом и с границей области Ω .

Сравним между собой жидкости с переменной и постоянной вязкостью. Для этого проведем два эксперимента, отличающиеся только тем, что в первом случае вязкость жидкости является константой в ходе всего процесса расчета (порядка 1 мПа·с, как у воды), а во втором случае ме-няется по выбранному закону (4), где возьмем 1n > , тогда с ростом скорости деформаций вяз-кость будет увеличиваться.

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

Рис. 1. Конфигурации системы с постоянной вязкостью в моменты времени: а) 0,00 с; б) 0,56 с; в) 0,88 с; г) 1,16 с; д) 1,30 с; е) 1,42 с; ж) 1,60 с; з) 2,88 с

(стрелки характеризуют направления и модули векторов скорости в соответствующей окрестности жидкости)

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

Рис. 2. Конфигурации системы с переменной вязкостью в моменты времени: а) 0,00 с; б) 0,56 с; в) 0,88 с; г) 1,16 с; д) 1,56 с; е) 1,84 с; ж) 2,46 с; з) 3,56 с

(стрелки характеризуют направления и модули векторов скорости в соответствующей окрестности жидкости)

Из рис. 1, 2, где представлены результаты численного эксперимента, хорошо видно, сколь сильный эффект оказывает переменность коэффициента вязкости. В областях с большими скоро-стями деформаций жидкость с переменной вязкостью начинает терять свойства текучести (к


Хайрисламов К.З. Моделирование течения жидкости с нелинейной вязкостью

2015, том 7, 3 57

примеру, кончик вертикальной полосы начинает «складываться» – рис. 2 е, ж) в отличие от жид-кости с постоянным коэффициентом вязкости (рис. 1). Заключение

В работе рассмотрена и численно решена задача моделирования течения жидкости в 2R с коэффициентом вязкости, зависящим от скорости деформаций. Согласно выбранной зависимости с ростом скорости деформаций вязкость увеличивалась, что приводило к ослаблению текучих свойств жидкости в таких областях течения.

Моделировать такие изменения свойств жидкостей важно, т.к. многие смазочные материалы, используемые в промышленности, не обладают постоянной вязкостью и меняют свои вязкостные свойства в зависимости от испытываемых деформаций.


1. Tome, M.F. A numerical technique for solving unsteady non-Newtonian free surface flows / M.F. Tome, B. Duffy, S. McKee // J. Non-Newtonian Fluid Mech. – 1996. – Vol. 62. – P. 9–34.

2. Уилкинсон, У. Неньютоновские жидкости / У. Уилкинсон; под ред. А.В. Лыкова. – М.: Мир, 1964. – 216 с.

3. Метод численного решения уравнений Навье–Стокса в переменных скорость-давление / Е.В. Бруяцкий, А.Г. Костин, Е.И. Никифорович, Н.В. Розумнюк // Прикладная гидромеханика. – 2008. – Т. 10, 2. – С. 13–23.

Поступила в редакцию 5 мая 2015 г.


2015, vol. 7, no. 3, pp. 54–57 SIMULATION OF NONLINEAR VISCOUS FLUID FLOW K.Z. Khayrislamov 1

The problem of simulation of nonlinear viscous fluid flow is considered in the article. Dependence of dynamic viscosity coefficient on strain rate is introduced in Navier-Stokes equation. The equations given are solved by numerical method.

Keywords: viscosity, viscous fluid, Navier-Stokes equations

References 1. Tome M.F., Duffy B., McKee S. A numerical technique for solving unsteady non-Newtonian free

surface flows. J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1996. Vol. 62. pp. 9–34. 2. Uilkinson U. Nen'yutonovskie zhidkosti (Non-Newtonian Fluids). Moscow, Mir Publ., 1964. 216

p. (in Russ.). [Wilkinson W.L. Non-Newtonian fluids; fluid mechanics, mixing and heat transfer. Per-gamon Press, New York, 1960. 138 p.].

3. Bruyatskiy E.V., Kostin A.G., Nikiforovich E.I., Rozumnyuk N.V. Prikladnaya gidromekhanika. 2008. Vol. 10, no. 2. pp. 13–23. (in Russ.).

Received 5 May 2015

1 Khayrislamov Kirill Zinatullaevich is Post-Graduate student, Applied Mathematics Department, South Ural State University. E-mail: [email protected]



УДК 519.633.6

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ КВАЗИЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В ЗАДАЧЕ НАГРЕВАНИЯ ЦИЛИНДРА ДВИЖУЩИМСЯ ТЕПЛОИСТОЧНИКОМ

М.З. Хайрисламов1

Рассматривается задача нагревания конечного цилиндра тепловым ис-точником, вращающимся с постоянной угловой скоростью и движущимся вдоль оси цилиндра. Теплофизические параметры материала цилиндра предполагаются функциями температуры. Предлагается численный метод решения квазилинейного уравнения теплопроводности, основанный на ис-пользовании явной разностной схемы. Приводится сравнение численного решения задачи по предлагаемому методу с решением по чисто неявной разностной схеме.

Ключевые слова: теплопроводность; квазилинейное уравнение теплопро-водности; разностные схемы; цилиндрическая система координат.

Введение

Учет зависимостей теплофизических параметров материала от температуры приводит к ква-зилинейному уравнению теплопроводности [1]:

0( , )( ) div( ( ) ), , ,u tc u q u u t tt

∂ = ∇ > ∈Ω∂

xx (1)

где объемная теплоемкость ( )c u и теплопроводность ( )q u являются функциями температуры u . Уравнение (1) часто рассматривается совместно с начальным и краевым условиями:

0 0( , ) ( ), ,u t u= ∈Ωx x x (2)

0( , )( ) ( , , ), ,u tq u t u t tn

∂ = Θ > ∈∂Ω∂

xx x . (3)

Для численного решения начально-краевой задачи (1)–(3) обычно применяются варианты метода конечных разностей (чисто неявные схемы – линейный и нелинейный варианты метода Ньютона [2]) или метода Розенброка [3] (решается система ОДУ большой размерности). Однако явные разностные схемы во многих случаях оказываются удобнее: они проще в реализации, об-ладают простой логикой, легко переносимы на многопроцессорные вычислительные системы.

В рамках данной работы предлагается явная разностная схема решения третьей смешанной задачи для квазилинейного уравнения теплопроводности, возникающего в задаче нагревания ци-линдра вращающимся тепловым источником. 1. Постановка задачи

Имеется цилиндр высоты H и радиуса R , выполненный из материала с переменными теп-лофизическими параметрами, зависящими от температуры. Рубашка цилиндра разогревается по-верхностным тепловым источником мощности Q , вращающимся с постоянной угловой скоро-стью ω и равномерно движущимся вдоль оси цилиндра.

Для определения температурного поля цилиндра требуется решить квазилинейное уравнение теплопроводности (1), которое удобнее рассматривать во вращающейся цилиндрической системе координат:

21 1( ) ( ) ( ) ( ) ,u u u u uc u rq u q u q u

t r r r z zrω

ϕ ϕ ϕ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

0 , 0 , 0 ,t t r R z H> ≤ < ≤ ≤ (4)

где ( , , , )u u t r zϕ= – искомая функция температуры, удовлетворяющая в 0( )t tΩ × > уравнению (4), ( , , ) | 0 , 0 2 , 0 r z r R z Hθ θ πΩ = ≤ < ≤ < ≤ ≤ , 0( ) 0c u c≥ > – объемная теплоемкость;

0( ) 0q u q≥ > – теплопроводность.

1 Хайрисламов Михаил Зинатуллаевич – аспирант, кафедра прикладной математики, Южно-Уральский государственный университет. E-mail: [email protected]


Хайрисламов М.З. Численное решение квазилинейного уравнения теплопроводности в задаче нагревания цилиндра движущимся теплоисточником

2015, том 7, 3 59

В момент времени 0t t= известно начальное распределение температуры – функция

0( , , )u r zϕ , непрерывная в области Ω :

0(0, , , ) ( , , )u r z u r zϕ ϕ= . (5) Следующие соотношения задают граничные условия на торцах и боковой поверхности ци-

линдра:

00

( ) ( ( )( )) ,z

z

uq u u U u

zλ =

=

∂ = − − ∂ ( ) ( ( )( )) ,

z Hz H

uq u u U u

zλ =

=

∂ = − − ∂ (6)

0 0, 0 , ( ) ( ) ,( )

( ( )( )) , впротивномслучае.r R r R

Q t h t z h t huq u

u U ur

ϕ ω αλ= =

≤ − ≤ ≤ ≤ +∂ = −∂ (7)

На торцах, а также на рубашке цилиндра вне пятна контакта с теплоисточником происходит теплоотдача. Коэффициент теплоотдачи задан функцией ( )uλ , температура внешней среды по-стоянна и равна u . Теплоисточник в плоскости ( , )zϕ имеет форму прямоугольника со сторонами

α и h . Точка 0( )h t движется вдоль оси цилиндра с постоянной по модулю скоростью (при дос-тижении теплоисточником торца цилиндра происходит смена знака скорости). 2. Численный метод

Для решения задачи (4)–(7) в работе предлагается использовать дифференциально-разностную схему, получающуюся редукцией уравнения (4) к набору ОДУ первого порядка для точек сетки разбиения области Ω [4, 5]. 2.1. Разностная сетка. Расчетные формулы

Введем новую искомую функцию с помощью замены

0

( ) ( )u

G u q dξ ξ= ∫ . (8)

Тогда уравнение (4) преобразуется к виду 2 2

22 2 2

1 1( )

G G G G Ga u r

t r r r r zω

ϕ ϕ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

, (9)

где ( ) ( ) ( )a u q u c u= – коэффициент температуропроводности.

Заметим, что функция ( )G u является строго монотонной функцией температуры, поэтому

обратная функция 1G− существует. В предлагаемом численном методе используется регулярная сетка:

, , ,r z r zϕ τ ϕ τω ω ω ω ω∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆= × × × ,

1, 1,2,..., ,

2r ir i r i Nω∆ = = − ∆ =

1, 1,2,..., ,

2j j j Mϕω ϕ ϕ∆ = = − ∆ =

1, 1,2,..., ,

2z kz k z k Lω∆ = = − ∆ =

, 0,1,...nt n nτω τ= = = ,

где r R N∆ = – шаг по радиусу r , 2 Mϕ π∆ = – шаг по углу ϕ , z H L∆ = – шаг по переменной z , τ – шаг по времени t .

Пусть ( , )i k i kG G t ϕ⋅ ⋅= – значение функции G , а ( , )i k i ku u t ϕ⋅ ⋅= – значение функции u в точке

( , , , )i kt r zϕ . Тогда замена производных на конечные разности в правой части уравнения (9) в точ-

ке ( , , , )i kt r zϕ приводит к уравнению в частных производных первого порядка:

( , ) ( , )( , ) ( )i k i k

i k i k i kG t G t

G t gt

ϕ ϕω µ ϕ ϕϕ

⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

∂ ∂ − + = ∂ ∂

, (10)

где




22 2 2 2

1 1 12 ( )i k i k

i

a ur r z

µϕ⋅ ⋅

= + + ∆ ∆ ∆

, (11)

( ) ( )

2( 1) ( 1)2 2

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)2 2 2

1 1 1 1( ) ( )

2 2

1 1,

i k ij k i j k i j ki i

i j k i j k ij k ij ki

g a u G Gr r r rr r

G G G Gr z

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ

ϕ

⋅ + −

+ − + −

= + + − + ∆ ∆∆ ∆

+ + + +∆ ∆

(12)

а индекс jϕ обозначает номер узла сетки по углу, которому принадлежит угол ϕ .

На текущем временном слое рассматривается уравнение:

( , ) ( , )( , ) ( )i k i k

ij k i k i kG t G t

G t gt ϕ

ϕ ϕω µ ϕ ϕϕ

⋅ ⋅⋅ ⋅

∂ ∂− + = ∂ ∂

, (13)

с начальным условием 0

( , )i k i ktG t Gϕ⋅ ⋅=

= . Коэффициент i kµ ⋅ в левой части уравнения (10) счита-

ется замороженным (значения i ku ⋅ в выражении (11) берутся с текущего временного слоя в мо-

мент 0t = ). А правая часть уравнения ( )i kg ϕ⋅ считается известной функцией аргумента ϕ (зна-чения сеточных функций в формуле (12) также берутся с текущего временного слоя). Из уравнения (13) получаем следующее ОДУ

( , )( , ) ( )i k

i kij k i kdG t t

G t t g tdt ϕ

ϕ ω µ ϕ ω ϕ ω⋅⋅ ⋅

− + − = − . (14)

Уравнение (14) решается на каждом слое по времени на отрезке [0; ]t τ∈ . Его точным реше-нием является функция

0

( , ) (0, ) (0, ) .ij k ij kt

t s

i k i k i kG t G t e g s e dsϕ ϕµ µϕ ϕ ω ϕ ω

− −⋅ ⋅ ⋅= + + +∫ (15)

За время τ цилиндр провернется на угол, равный ωτ . Пусть этот угол составляет K полных шагов по углу, т.е. , 0 1K p pωτ ϕ ϕ= ∆ + ∆ ≤ < . Поворот на ϕ∆ осуществляется за время

t ϕ ω∆ = ∆ . С учетом этого после дискретизации формулы (15) получаем окончательные расчет-ные формулы

1( ) ( 1)1

( )0

( )( ) ( 1)

1 1 1

1

1

1,

1

( ), 1, , 1, ,

nijkn n

ijk ijk

nijkn

ijk

n n t Km ti j K k i j K kn n

ijk i j m knmijk

n n K tK ti j K k i j K k

nijk

n nijk ijk

G pG eG e g e

p

g pg ee

p

u G G i N k L

µµ τ µ

µ τµ

µ

µ

− ∆ −− − ∆+ + ++

+=

− − ∆− ∆+ + +

+ − +

+ −= + ⋅ ++

+ −+ ⋅+

= = =

∑

(16)

где верхний индекс n обозначает номер временного слоя, к которому относятся значения сеточ-ных функций.

Чтобы рассчитать температуру на оси цилиндра в точке kz , проинтегрируем уравнение (9)

по малому цилиндру с центром в точке kz радиуса 2r∆ и высоты z∆ . В результате получим

ОДУ относительно функции 0 ( )kG t

00 ,k

k k kdG

G gdt

µ+ = (17)

где

0( 1) 0( 1)2 20 0 12 2 2 2

1

4 1 4 1( ) , ( ) .

2

Mk k

k k k k jkj

G Ga u g a u G

Mr z r zµ + −

=

+ = + = ⋅ + ∆ ∆ ∆ ∆ ∑

Из решения уравнения (17) получаем расчетные формулы для узлов сетки на оси цилиндра:



2015, том 7, 3 61

1 1 1 10 0 0 0(1 ) , ( ), 1, .

n nk k

nn n n nkk k k kn

k

gG G e e u G G k Lµ τ µ τ

µ− −+ + − += + − = = (18)

2.2. Аппроксимация краевых условий

Для аппроксимации краевых условий (6) и (7) введены фиктивные узлы сетки

1, , 1Nr z N zrϕ ϕω ω ω+ ∆ ∆ + ∆ ∆= × × , 1 2Nr R r+ = + ∆ , а также два фиктивных слоя

0, , 0r z r z zϕ ϕω ω ω ω∆ ∆ ∆ ∆ ∆= × × × и 1, , 1Lr z r z Lzϕ ϕω ω ω ω

+∆ ∆ ∆ ∆ ∆ += × × × , 0 2z z= −∆ , 1 2Lz H z+ = + ∆ .

Сначала для следующего временного слоя рассчитываются значения искомой функции во внут-ренних узлах, после чего, исходя из краевых условий, задаются ее значения в фиктивных узлах.

Краевое условие, описывающее воздействие теплового источника, с учетом замены (8) мож-но переписать в виде

0 0, 0 , ( ) ( ) .r R

Q t h t z h t hr

ϕ ω α=

∂Ω = ≤ − ≤ ≤ ≤ +∂

(19)

Условие (19) аппроксимируется с использованием разностной формулы второго порядка точности. В результате имеем расчетную формулу для точек

1, ,Nr zϕω+ ∆ ∆ , удовлетворяющих огра-

ничениям в условии (19):

( 1) .N jk NjkG G rQ+ = + ∆

Теперь рассмотрим узлы 1, ,Nr zϕω

+ ∆ ∆ , для которых требуется выполнить условие теплоотдачи

( ) ( ( )( ))r R

r R

uq u u U u

rλ =

=

∂ = − ∂ . (20)

Условие (20) можно аппроксимировать следующим выражением:

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)3 ( ) ( ) 3 ( ) ( ),

2 2 2Njk N jk N jk Njk Njk N jk N jk Njkq u q u u u u u u u

Ur

λ λ− + − +− − − + ⋅ = ⋅ − ∆

откуда получаем расчетные формулы:

( )( 1) ( 1)

( 1)

( 1) ( 1)

(3 ( ) ( )) (3 ( ) ( ))2

,3 ( ) ( ) 3 ( ) ( )

2

NjkNjk Njk N jk Njk N jk

N jk

Njk N jk Njk N jk

uu q u q u u u r U

ur

q u q u u u

λ λ

λ λ

− −

+

− −

− + − ∆ −

= ∆− + −( 1) ( 1)( ).N jk N jkG G u+ +=

Для фиктивных слоев 0, ,r zϕω∆ ∆ и

1, , Lr zϕω+∆ ∆ расчетные формулы выводятся аналогичным спосо-

бом. 2.3. Использование метода итераций

Для повышения точности может быть использован метод итераций (или метод последова-тельных приближений) [2].

Использование данного метода приводит к следующей схеме вычислений для внутренних узлов (см. формулу (16)):

( )( ) ( )

( )( )

1( ) ( 1)( 1) ( )

( )( )0

( )( ) ( )( ) ( 1)

( )

1

1

1, 1, , 1, , 1, ,

1

sijks s

ijk ijk

sijks

ijk

tn n K m ti j K k i j K ks sijk i j m ks

mijk

K ts sK ti j K k i j K k

sijk

G pG eG e g e

p

g g ee i N j M k L

p

µµ τ µ

µ τµ

µ

µ

− ∆ −− − ∆+ + +++

=

− − ∆− ∆+ + +

+ −= + ⋅ ++

+ −+ ⋅ = = =+

∑

где номер итерации s пробегает значения 0,1,..., 1S− . При этом (0) nijkijkG G= , ( )1 Sn

ijk ijkG G+ = . Для уз-

лов на оси цилиндра схема аналогична (см. формулу (18)): ( ) ( ) ( )

( 1)00 ( )

(1 ) , 1, , 0, 1,s s

k k

ss n k

kk sk

gG G e e k L s Sµ τ µ τ

µ− −+ = + − = = − (0)

00nkkG G= , ( )1

0 0Sn

k kG G+ = .




3. Численные расчеты. Сравнение с неявной разностной схемой Для проведения численных расчетов были взяты значения параметров задачи (4)–(7), указан-

ные в таблице. Значения параметров тестовой задачи

Параметр Значение параметра, размерность

Параметр Значение параметра, размерность

R 0,05, м α 0,0314

H 0,2, м 0u 25, °С

ω 6,28, рад/с U 25, °С

0t 0, с Q 106, Дж/(м2·с)

( )q u u , Дж/(м·с·°С) 0( )h t 0,14, м

( )c u 34000, Дж/(м3·°С) 0| ( ) |h t′ 0, м/с

( )uλ 50 ln(1 )u⋅ + , Дж/(м2·с·°С) h 0,06, м

В ходе расчетов число элементарных участков по координате r было принято равным 30, по углу ϕ – 90, по координате z – 80, шаг по времени – 0,001 с. Число итераций S было равно 3.

На рис. 1 представлено распределение температуры на поверхности цилиндра в момент вре-мени T = 2 c, вычисленное по описанному в работе методу (рис. 1, a) и с использованием неяв-ной разностной схемы (рис. 1, б).

а) б) Рис. 1. Распределение температуры на поверхности цилиндра, °С:

a) дифференциально-разностная схема; б) чисто неявная разностная схема

Результаты численных расчетов показывают, что описанный метод обеспечивает приемле-мую точность. В то же время использование неявной схемы приводит к необходимости решения СЛАУ большой размерности. Число неизвестных в такой системе может достигать сотен тысяч (в тестовой задаче размерность вектора неизвестных была равна 236160). Данная сложность час-тично преодолевается благодаря тому, что матрица системы является разреженной, и можно применять эффективные численные методы решения СЛАУ с разреженными матрицами. В ходе расчетов использовался устойчивый метод бисопряженных градиентов (BiCGSTAB) [6]. Выводы

Учет зависимостей теплофизических параметров от температуры является существенным во многих задачах теплопередачи. Так, например, в работе [7] было установлено, что в задаче на-гревания стержня выход на установившийся температурный режим с переменными теплофизиче-скими параметрами происходит раньше, нежели при допущении постоянства этих параметров. Предложенный метод учитывает зависимости теплофизических параметров цилиндра от темпе-ратуры и может применяться при моделировании температурных полей цилиндрических деталей. Метод обладает логической простотой и без существенных изменений может быть перенесен на многопроцессорные вычислительные системы.



2015, том 7, 3 63

Литература 1. Мартинсон, Л.К. Дифференциальные уравнения математической физики: Учеб. для вузов /

Л.К. Мартинсон, Ю.И. Малов; под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. – 2-е изд. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. – 368 с.

2. Калиткин, Н.Н. Численные методы / Н.Н. Калиткин; под. ред. А.А. Самарского – М.: Нау-ка, 1978. – 512 с

3. Коконков, Н.И. Схема Розенброка для двумерного нестационарного нелинейного уравне-ния теплопроводности / Н.И. Коконков, Е.Н. Аристова // Сборник тезисов докладов 18-й Между-народной конференции «Математика. Компьютер. Образование». – Пущино, 2011.

4. Геренштейн, А.В. Явная разностная схема решения одномерного квазилинейного уравне-ния теплопроводности / А.В. Геренштейн, М.З. Хайрисламов // Вестник ЮУрГУ. Серия «Мате-матика, механика, физика». – 2013. – Т. 5, 1. – С. 12–17.

5. Хайрисламов, М.З. Дифференциально-разностная схема решения задачи квазилинейной теплопроводности для цилиндра / М.З. Хайрисламов // Современные проблемы математики и её прикладные аспекты – 2013: сб. тез. науч.-практ. конф. / под. ред. В.И. Яковлева. – Пермь: Перм. гос. нац. исслед. ун-т, 2013. – C. 177.

6. Saad, Y. Iterative Methods for Sparse Linear Systems (2nd ed.) / Y. Saad. – SIAM, 2003. – P. 231–234.

7. Геренштейн, А.В. Моделирование тепловых полей при переменных теплофизических свойствах детали / А.В. Геренштейн, Н. Машрабов, Е.А. Геренштейн // Материалы LIII междуна-родной научно-технической конференции «Достижения науки – агропромышленному производ-ству» / под ред. П.Г. Свечникова. – Челябинск: ЧГАА, 2014. – Ч. III. – С. 31–38.



2015, vol. 7, no. 3, pp. 58–64 NUMERICAL SOLUTION OF QUASI-LINEAR HEAT CONDUCTION EQUATION IN THE PROBLEM OF CYLINDER HEATING BY MOVING HEAT S OURCE M.Z. Khayrislamov 1

The problem of finite cylinder heating by heat source rotating with constant angular rate and mov-ing along cylinder axis is considered in the paper. Thermophysical properties of cylinder material are defined by the temperature functions. Numerical method of quasi-linear heat conduction equation solu-tion is given on the basis of the use of explicit difference scheme. The numerical problem solution by the given method is compared with the solution by implicit difference scheme.

Keywords: heat conduction; quasi-linear heat conduction equation; difference schemes; cylinder coordinate system.

References 1. Martinson L.K., Malov Yu.I. Differentsial'nye uravneniya matematicheskoy fiziki: Ucheb. dlya

vuzov (Differential equations of mathematical physics: the Textbook for high schools). Moscow, Izd-vo MGTU im. N.E. Baumana Publ., 2002. 368 p. (in Russ.).

2. Kalitkin N.N. Chislennye metody [Numerical methods]. Moscow, Nauka Publ., 1978. 512 p. (in Russ.).

3. Kokonkov N.I., Aristova E.N. Skhema Rozenbroka dlya dvumernogo nestatsionarnogo neliney-nogo uravneniya teploprovodnosti (Rosenbrock scheme for two-dimensional non-stationary nonlinear heat equation.). Sbornik tezisov dokladov 18 Mezhdunarodnoy konferentsii «Matematika. Komp'yuter. Obrazovanie» (Proc. 18th International Conference "Mathematics. Computer. Education"). Pushchino, 2011. (in Russ.).

1 Khayrislamov Mikhail Zinatullaevich is Post-Graduate student, Applied Mathematics Department, South Ural State University. E-mail: [email protected]




4. Herreinstein A.V., Khayrislamov M.Z. Explicit difference scheme for the solution of one-dimensional quasi-linear heat conductivity equation. Bulletin of South Ural State University. Series of “Mathematics. Mechanics. Physics”. 2013. Vol. 5, no. 1. pp. 12–17. (in Russ.).

5. Khayrislamov M.Z. Differentsial'no-raznostnaya skhema resheniya zadachi kvazilineynoy teplo-provodnosti dlya tsilindra (Differential-difference scheme for solving the problem for a quasi-linear heat conduction cylinder). Sbornik tezisov nauchno-prakticheskoy konferentsii «Sovre-mennye problemy matematiki i eye prikladnye aspekty» (Proc. of scientific-practical conference "Modern problems of mathematics and its practical aspects."). Perm', Permskiy gosudarstvennyy natsional'nyy issle-dovatel'skiy universitet Publ, 2013. p. 177. (in Russ.).

6. Saad Y. Iterative Methods for Sparse Linear Systems (2nd ed.). SIAM, 2003. pp. 231–234. 7. Gerenshteyn A.V., Mashrabov N., Gerenshteyn E.A. Modelirovanie teplovykh poley pri pere-

mennykh teplofizicheskikh svoystvakh detali (Modeling of thermal fields at variable thermal properties of detail). Materialy LIII mezhdunarodnoy nauchno-tekhnicheskoy konferentsii “Dostizheniya nauki – agropromyshlennomu proizvodstvu” (Proc. LIII international scientific-technical conference “Advances in science – agricultural production”). Chelyabinsk: ChGAA Publ., 2014. Part III. pp. 31–38. (in Russ.).

Received 5 May 2015


2015, том 7, 3 65

Механика УДК 539.3

ЗАДАЧА О ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРОДОЛЬНОЙ ТРЕЩИНЕ НОРМАЛЬНОГО ОТРЫВА С НАПОЛНИТЕЛЕМ В ПОЛОСЕ Н.Н. Антоненко1

Предложен способ решения задачи о центральной продольной трещине нормального отрыва с наполнителем в полосе. Для решения задачи исполь-зовано интегральное преобразование Фурье. Задача сведена к интегро-дифференциальному уравнению относительно функции, связанной со скач-ком вертикальных перемещений на берегах трещины. Приведены резуль-таты численных расчетов, которые иллюстрируют влияние наполнителя трещины, толщины и упругих характеристик полосы на коэффициенты интенсивности напряжений.

Ключевые слова: полоса; трещина; наполнитель; коэффициенты интен-сивности напряжений; интегральное преобразование Фурье; интегро-дифференциальное уравнение.

Введение

Рассматривается задача о напряженно-деформированном состоянии полосы, содержащей прямолинейную трещину, параллельную границам полосы. В литературе рассматриваются два типа задач о продольных трещинах в полосе. К первому типу можно отнести задачи о трещине в полосе, границы которой свободны от напряжений, а к берегам трещины приложены нагрузки [1–7]. Ко второму – задачи о трещинах со свободными берегами с различными видами условий на границах полосы [1]. В вышеуказанных работах рассматриваются трещины типа разрезов, од-нако на практике трещины могут возникать в результате непроклейки слоистых элементов кон-струкций. Дефекты такого вида можно считать заполненными неким клейким веществом [8]. В данной статье рассматривается задача о центральной продольной трещине с наполнителем в по-лосе. В рамках этой модели предполагается, что скачки вертикальных перемещений на берегах трещины пропорциональны нормальным напряжениям на ее берегах [8]. Постановка задачи

Рассмотрим упругую полосу толщины 2h . Материал полосы будем характеризовать двумя упругими характеристиками: модулем сдвига µ и коэффи-циентом Пуассона ν . Нижняя граница полосы жестко заде-лана, а к верхней границе приложена нормальная сосредо-ченная нагрузка. Введем две локальные декартовые системы координат i iO x z ( )1,2i = так, как показано на рис. 1.

На серединной плоскости полосы при ( )1 2 0z h z= = ,

имеется продольная трещина с наполнителем, занимающая область ( );x a a∈ − . Напряжения и перемещения, которые

относятся к верхней половине полосы ( ( );x∈ −∞ +∞ , 10 z h≤ ≤ ), будем обозначать нижним ин-

дексом 1, а к нижней ( ( );x∈ −∞ +∞ , 20 z h≤ ≤ ) – 2.

Граничные условия:

( ) ( )1 ,0z x Q xσ δ= , ( )1 ,0 0xz xτ = , ( )2 , 0u x h = , ( )2 , 0w x h = . (1)

Условия на серединной плоскости полосы:

1 Антоненко Нина Николаевна – кандидат физико-математических наук, старший преподаватель, кафедра общей математики, Запо-рожский национальный технический университет. E-mail: [email protected]

Рис. 1

Q x

µν ,

a a

1O

x

2z

h

2O h 1z


Механика


( ) ( )2 1,0 ,z zx x hσ σ= , ( ) ( )2 1,0 ,xz xzx x hτ τ= ,

( ) ( )2 1,0 ,u x u x h= , ( ) ( ) ( )2 1

, ,,0 ,

0, ,

A x x aw x w x h

x a

≤− = >

(2)

( ) ( )1 ,z x h cf xσ = , x a≤ , (3)

где ( ) ( )2 2A x a x f x= − , ( ) [ ]2

,a af x C −∈ , ( ) 0f a± ≠ , c – коэффициент, который характеризует

наполнитель. Требуется определить скачок вертикальных перемещений на берегах трещины и коэффици-

енты интенсивности напряжений (КИН).

Введем безразмерные величины kk

xx

l=ɶ , k

kz

zl

=ɶ , a

al

=ɶ , Q

Ql E

=ɶ , h

hl

=ɶ , E

µµ =ɶ , c

cE

=ɶ

uu

l=ɶ ,

ww

l=ɶ , xz k

xz k E

ττ =ɶ , z k

z k E

σσ =ɶ , где l , E – характерные величины ([ ]l = м, [ ]E = Па). В

дальнейшем тильды над функциями и переменными будем опускать, считая, что все преобразо-вания выполняются над безразмерными величинами. Метод решения

Для решения задачи воспользуемся интегральным преобразованием Фурье:

( ) ( ) ,i xf f x e dxξξ∞

−∞

= ∫ ( ) ( )1

2i xf x f e dξξ ξ

π

∞−

−∞

= ∫ .

В пространстве трансформант компоненты напряженно-деформированного состояния поло-сы могут быть представлены в виде линейных комбинаций вспомогательных функций, которые связаны с напряжениями и перемещениями точек ее верхней границы такими формулами [9]:

( ),0zα σ ξ= , ( ),0Wβ µ ξ= , ( ),0Sγ µ ξ= , ( ),0xzi

p

ξδ τ ξ= − , (4)

где ( ), ,S i u zξ ξ= − ( ),W p w zξ= , | |p ξ= .

Трансформанты напряжений и перемещений полосы имеют вид [9]:

( ) ( )( ) ( )2 , 2 sh ch 2 sh chW z pz pz pz pz pz pzµ ξ ω ω α ω β= − − + − + +

( )( )2 1 sh ch shpz pz pz pz pzω ω γ ω δ+ − − − , (5)

( ) ( )( )2 , sh 2 1 sh chS z pz pz pz pz pzµ ξ ω α ω ω β= + − + +

( ) ( )( )2 sh ch 2 sh chpz pz pz pz pz pzω γ ω ω δ+ + + − + , (6)

( ) ( ) ( ), ch sh 2 sh ch 2 shz z pz pz pz pz pz pz pz pzσ ξ ω α ω β ω γ= − + − − −

( )( )1 sh ch ,pz pz pzω ω δ− − + (7)

( ) ( )( ), 1 sh ch 2 shxzi

z pz pz pz pz pzp

ξ τ ξ ω ω α ω β− = − − + + +

( ) ( )2 sh ch ch sh .pz pz pz pz pz pzω γ ω δ+ + + + (8)

Запишем условия (1)–(2), с учетом формул (4), в пространстве трансформант Фурье:

1 Qα = , 1 0δ = , ( )2 1 ,z hα σ ξ= , ( )2 1 ,xzi

hp

ξδ τ ξ= − ,

( )2 1 ,S hγ µ ξ= , ( ) ( )2 1 ,W h pMβ µ ξ µ ξ− = , ( )2 , 0S hξ = , ( )2 , 0W hξ = ,

где ( ) ( )a

i t

a

M A t e dtξξ−

= ∫ .


Антоненко Н.Н. Задача о центральной продольной трещине нормального отрыва с наполнителем в полосе

2015, том 7, 3 67

Используя формулы (5)–(8), из последних соотношений найдем 1β , 1γ , 2α , 2β , 2γ , 2δ .

Трансформанты нормальных напряжений в точках срединной плоскости полосы ( )1 ,z hσ ξ при-

мут такой вид:

( ) ( ) ( ) ( )( )

1 21 ,z

p A p M QA ph

D p

ξσ ξ

−= , (9)

где ( ) ( )1 1 1 12 4 6 81 1 2 3 4 1

p p p pA p a a e a e a e a eµ ω − − − −=− + + + − ,

( ) 1 1 1 13 5 72 1 2 3 4

p p p pA p b e b e b e b e− − − −= + + + , ( ) 1 14 81 1

p pD p a k e a e− −= + + , 21 2a ω ω= − ,

( )22 1 12 2 2a p pω ω ω ω= − + +ɶ ɶ , ( )2 2 2

3 1 18 2a p pω ω ω= + +ɶ , ( )24 1 12 2 2a p pω ω ω ω= + −ɶ ɶ ,

( )1 1 11b a p= − + , 2 2 2 22 1 12 3 4b p pω ω ω ω= + + +ɶ , 2 2 2 2

3 1 12 3 4b p pω ω ω ω= + − +ɶ , ( )4 1 11b a p= − − ,

( )( )0,5 1i iω ν= − , 1p ph= , 1ω ω= −ɶ , ( )2 21 12 2 8k a pω= − + + .

Используя связь между оригиналами и трансформантами нормальных напряжений (9) в точ-ках срединной плоскости полосы и последнее из условий (2), получим интегральное уравнение задачи:

( ) ( ) ( ) ( ),a

a

cf x A t K t x dt QL xπ−

= − −∫

где ( ) ( )( )1

0

cospA p

K z pz dpD p

∞

= ∫ , ( ) ( )( )

2

0

cosA p

L z pz dpD p

∞

= ∫ .

Выделим в ядре интегрального уравнения регулярную ( )1K z и сингулярную ( )2K z части:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2

a a

a a

cf x A t K t x dt A t K t x dt QL xπ µω− −

= − − − −∫ ∫ , (10)

где ( ) ( )( )

11

0

cosA p

K z p pz dpD p

µω∞

= +

∫ , ( )20

cosK z p pz dp∞

= ∫ , ( )( )

1limp

A p

D pµ ω

→∞= − .

Интеграл ( )2K z расходится, поэтому его будем понимать в следующем смысле:

( )( )

2 2

2 2 20 0 0 0 2 20 0

1cos lim cos limq p

q q

q zK z p pzdp p pz e dp

zq z

+∞ +∞−

→ + → +

−= = = = −+

∫ ∫ .

Поскольку ( )

( )2

a

a

A tdt

t x− −∫ при x t= имеет неинтегрируемую особенность, то воспользуемся фор-

мальным равенством:

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )2

1aa a a a

a a a aa

d A tA t A t A t dtdt A t d

t x t x t x t xt x− − − −−

′ = − = − + = − − − − −∫ ∫ ∫ ∫ . (11)

Математическое обоснование (11) приведено в [10]. В (11) использован тот факт, что берега трещины должны смыкаться, т.е. ( ) 0A a± = .

Окончательно интегральное уравнение задачи (10) принимает вид:

( ) ( ) ( )( )( )

( )2 2

2 2a a

a a

a t f tcf x a t f t R t x dt dt QL x

t xπ µω

− −

′−

= − − + −−∫ ∫ . (12)

Неизвестную функцию ( )f x будем искать в виде:

( ) ( )20

n

i ii

f x U xα=

=∑ , (13)


Механика


где ( )2iU x – полиномы Чебышева второго рода.

Для определения неизвестных iα раскладываем левую и правую части уравнения (12) в ли-нейные комбинации полиномов Чебышева и приравниваем коэффициенты при полиномах оди-накового порядка. Количество членов в линейных комбинациях выбираем из условия, чтобы ре-шения, полученные на n -м и 1n + -м шагах, отличались на некоторую наперед заданную величи-ну.

Используя асимптотические оценки, полученные в [8], для интеграла ( )( )2 2

a

a

a t f tdt

t x−

′−

−∫ ,

получаем

( ) ( ) ( )1

2, 1

2z

f a ax h O

r

µωσ = + , r x a= − , при 0x a→ + .

Формула для вычисления коэффициентов интенсивности напряжений принимает вид:

( )1K f a aµω π= ,

где функция ( )f x вычислена по формуле (13).

Численные результаты

Численные расчеты проведены для трещины длины 2 2a = . Полоса находится под действием нормальной сосредоточенной силы 1Q = . Ниже в табл. 1–4 приведены результаты, которые ил-люстрируют зависимость КИНов от упругих характеристик полосы, ее полуширины и наполни-теля трещины.

Таблица 1

Зависимость коэффициентов интенсивности напряжения от толщины полосы ( 0,3ν = , 1µ = )

h a 2 3 4 5 10 100

IK

Q aπ, 1c = 0,11205 0,08416 0,06611 0,05408 0,02788 0,00282

IK

Q aπ, 0c = 0,30996 0,21577 0.16476 0,13299 0,06733 0,00676

Таблица 2

Зависимость коэффициентов интенсивности напряжения от модуля сдвига полосы ( 0,3ν = , 10h a = )

µ 1 2 3 4 5 10

IK

Q aπ, 1c = 0,02788 0,03945 0,04577 0,04976 0,05250 0.05890

IK

Q aπ, 0c = 0,06733 0,06733 0,06733 0,06733 0,06733 0,06733

Таблица 3

Зависимость коэффициентов интенсивности напряжения от коэффициента Пуассона полосы ( 1µ = , 10h a = )

ν 0,1 0,2 0,3

IK

Q aπ, 1c = 0,02375 0,02563 0,02788

IK

Q aπ, 0c = 0,06697 0,06709 0,06733


Антоненко Н.Н. Задача о центральной продольной трещине нормального отрыва с наполнителем в полосе

2015, том 7, 3 69

Таблица 4

Зависимость коэффициентов интенсивности напряжения от коэффициента, который характеризует наполнитель c ( 0,3ν = , 1µ = , 10h a = )

c 1 2 3 4 5 10

IK

Q aπ 0,02788 0,01757 0,01282 0,01009 0,00832 0,00443

Из табл. 1–4 можно сделать выводы: 1) увеличение полуширины полосы и коэффициента c приводит к уменьшению КИНов; 2) к увеличению КИНов приводят увеличение модуля сдвига и коэффициента Пуассона по-

лосы; 3) для случая трещины, берега которой свободны от напряжений ( 0c = ), упругие характери-

стики полосы практически не влияют на КИНы.

Литература 1. Murakami, Y. Stress intensity factors handbook: in 2 Vol. / Y. Murakami. – Pergamon Press,

1987. – Vol. 1. – 1566 p. 2. Сметанин, Б.И. Некоторые задачи о щелях в упругом клине и слое / Б.И. Сметанин // Инж.

ж. МТТ. – 1968. – 2. – С. 115–122. 3. Саврук, М. П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами / М.П. Саврук. – Киев:

Наук. думка, 1981. – 324 с. 4. Александров, В.М. Продольная трещина в преднапряженном тонком упругом слое со сво-

бодными границами / В.М. Александров, Б.И. Сметанин // ПММ. – 2005. – Т. 69, Вып. 1. – С. 150–159.

5. Fichter, W.B. Stresses at the tip of a longitudinal crack in a plate strip / W.B. Fichter. – Washing-ton: National Aeronautics and Space Administration, 1967. – 55 p.

6. Александров, В.М. Продольная трещина в ортотропной упругой полосе со свободными гранями / В.М. Александров // Изв. РАН. МТТ. – 2006. – 1. – С. 115–124.

7. Пожарский, Д.А. Асимптотические решения смешанных задач для упругой полосы и кли-на / Д.А. Пожарский, А.А. Молчанов. – Вестник Донского государственного технического уни-верситета. – 2010. – Т. 10. – С. 447–454.

8. Антоненко, Н.М. Моделювання тріщини нормального відриву з наповнювачем на межі багатошарового пакета та півплощини / Н.М. Антоненко, І.Г. Величко // Прикл. проблеми мех. і мат. – 2011. – Вип. 9. – С. 141–149.

9. Ткаченко І.Г. Двомірна мішана задача термопружності для багатошарової основи / І.Г. Ткаченко // Прикладні проблеми механіки і математики. – 2005. – Вип. 3. – С. 70–78.

10. Лифанов, И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент (в математической физике, аэродинамике, теории упругости и дифракции волн) / И.К. Лифанов. – М.: Янус, 1995. – 520 с.

Поступила в редакцию 22 января 2015 г.


Механика




THE PROBLEM OF THE CENTRAL LONGITUDINAL OPENING MOD E CRACK WITH THE FILLER IN THE STRIP

N.N. Antonenko 1

The solution to the problem of the central longitudinal opening mode crack with the filler in the

strip is given. Within this model we suppose that disturbances of vertical displacement at crack edges are proportional to the normal stress at its edges. Fourier integral transformation is used to solve the problem. The problem is reduced to integral differential equation as function which is connected with disturbances of vertical displacement at crack edges. On the basis of numerical results the conclusion is made that the increase of the half-width of the strip and coefficient which is characterized by the filler leads to the reduction stress intensity coefficients (SIC), the increase of modulus of rigidity and Pois-son’s strain ratio will lead to the increase of stress intensity coefficients, elastic behaviour of the strip doesn’t affect stress intensity coefficients for the cracks with stress-free edges.

Keywords: strip; crack; filler; stress intensity coefficients; Fourier integral transformation; integral differential equation.

References 1. Murakami Y. Stress intensity factors handbook: in 2 Vol. Pergamon Press, 1987. Vol. 1. 1566 p. 2. Smetanin B.I. Nekotorye zadachi o shchelyakh v uprugom kline i sloe (Some of the problem of

cracks in an elastic wedge and layer). Inzh. zh. MTT. 1968. no. 2. pp. 115–122. (in Russ.). 3. Savruk M.P. Dvumernye zadachi uprugosti dlya tel s treshchinami (Two-dimensional elasticity

problems for the bodies with cracks). Kiev, Nauk. dumka Publ., 1981. 324 p. (in Russ.). 4. Aleksandrov V.M., Smetanin B.I. Prikladnaya matematika i mekhanika (Journal of Applied

Mathematics and Mechanics). 2005. Vol. 69. Issue 1. pp. 150–159. (in Russ.). 5. Fichter W.B. Stresses at the tip of a longitudinal crack in a plate strip. Washington, National

Aeronautics and Space Administration, 1967. 55 p. 6. Aleksandrov V.M. Izv. RAN. MTT. 2006. no. 1. pp. 115–124. (in Russ.). 7. Pozharskiy D.A., Molchanov A.A. Vestnik Donskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo uni-

versiteta. 2010. Vol. 10. pp. 447–454. (in Russ.). 8. Antonenko N.M., Velichko І.G. Prikladnye problemy matematiki i mekhaniki (Applied Problems

of Mathematics and Mechanics). 2011. Issue 9. pp. 141–149. (in Ukrainian). 9. Ткаченко І.Г. Prikladnye problemy matematiki i mekhaniki (Applied Problems of Mathematics

and Mechanics). 2005. Issue 3. pp. 70–78. (in Ukrainian). 10. Lifanov I.K. Metod singulyarnykh integral'nykh uravneniy i chislennyy eksperiment (v mate-

maticheskoy fizike, aerodinamike, teorii uprugosti i difraktsii voln) (The method of singular integral equations and numerical experiment (in mathematical physics, physics of aerodynamics, elasticity and wave diffraction)). Moscow, Yanus Publ., 1995. 520 p. (in Russ.).

Received 22 January 2015

1 Antonenko Nina Nikolayevna is Cand. Sc. (Physics and Mathematics), Senior Lecturer, Department of General Mathematics, Zaporizhzhya National Technical University. E-mail: [email protected]


2015, том 7, 3 71

УДК 519.63+532.529.5

АНАЛИЗ НЕКОТОРЫХ МОДИФИКАЦИЙ МЕТОДА КРУПНЫХ ЧАСТИЦ НА ПРИМЕРЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ТЕЧЕНИЙ ГАЗОВЗВЕСЕЙ1 Ю.М. Ковалев2, Е.А. Ковалева3, Е.Е. Пигасов4

Приводятся новые модификации метода крупных частиц в приложе-нии к исследованиям течений газовзвесей. Показано, что предложенные модификации позволяют проводить расчеты поведения ударных волн в га-зовзвесях без введения в явном виде искусственной вязкости, что позволяет избежать искажения физической картины течения газовзвеси, связанной с наличием осцилляций. Показано, что предложенные модификации метода крупных частиц являются эффективными и позволяют проводить расчеты сильных ударных волн в газовзвесях.

Ключевые слова: численный метод; математическая модель; газовзвесь; законы сохранения; ударные волны; число Куранта.

Введение

Появление новых математических моделей механики сплошных сред, с одной стороны, свя-зано с отсутствием в природе чистых веществ, что требует активного развития математических моделей многокомпонентных сред, достоверно описывающих физические процессы, применяе-мые в различных отраслях науки и техники. С другой стороны, развитие вычислительной техни-ки позволяет получать численные решения для новых [1], все более сложных математических моделей многокомпонентных сред. Более того, есть такие проблемы, когда математическое мо-делирование является единственным средством предварительного изучения явлений (например, [2]). Адекватность математических моделей многокомпонентных сред физическим процессам предъявляет достаточно жесткие требования к математическим моделям: с одной стороны, урав-нения сохранения должны быть инвариантны относительно преобразования Галилея [3], с другой стороны, должны выполняться законы сохранения для смеси [4]. В работах [1, 5] было показано, каким образом можно выполнить оба эти условия.

Несмотря на наличие большого числа вычислительных пакетов и увеличение быстродейст-вия вычислительной техники, разработка эффективных численных методов для решения задач в рамках новых математических моделей механики сплошных сред в настоящее время является актуальной задачей. Успешное решение многочисленных задач газовой динамики и аэродинами-ки методом крупным частиц [6] и его модификациями [7] позволяет надеяться на то, что идеоло-гия метода может быть применена и для решения задач распространения ударных волн в газо-взвесях. Поэтому целью данной работы является разработка модификации метода крупных час-тиц, которая позволит эффективно решать проблемы, связанные с течением газовзвесей. 1. Математическая модель газовзвеси

Рассмотрим одномерный плоский случай математической модели течения газа с твердыми частицами (аэровзвесь), которая описывается системой уравнений сохранения [5]. Данная систе-ма уравнений двухфазной аэровзвеси [5] без химических превращений имеет следующий вид

1 1 1 2 2 2 20, 0, 0,v v nvn

t x t x t x

ρ ρ ρ ρ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂+ = + = + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(1)

1 Работа выполнена при поддержке РФФИ грант 13–01–00072. 2 Ковалев Юрий Михайлович – д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой вычислительной механики сплошных сред, Южно-Уральский государственный университет. E-mail: [email protected] 3 Ковалева Елена Адамовна – к. ф.-м. н., доцент кафедры математических методов в экономике, Челябинский государственный уни-верситет. E-mail: [email protected] 4 Пигасов Егор Евгеньевич – учебный мастер кафедры вычислительной механики сплошных сред, Южно-Уральский государственный университет. E-mail: [email protected]


Механика


1 1 2 21 1 2 2, ,

d v d vp pnf nf

dt x dt xρ α ρ α∂ ∂= − − = − +

∂ ∂ (2)

( ) ( )1 1 1 1 11 1 2

1

, d e p d

nf v v nqdt dt

α ρρρ

°

°= + − − (3)

( )2 2 2 2 2

22

d e p dnq

dt dt

α ρρρ

°

°= + , (4)

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2, , , , , , ,p p T p T e e T e e Tρ ρ ρ ρ° ° ° °= = = =

( )2

1 1 1 2 2 2 1 2, , 1, 1, 2 . 2i

i iv

E e i ρ ρ α ρ ρ α α α° °= = + = = + = (5)

( ) ( )21 1 2 1 2 1 1 2/8, .df d C v v v v q d Nu T Tπ ρ π λ°= − − = − (6)

Система уравнений (1)–(6) замыкается уравнениями состояния газовой фазы и частиц

( )( )

( )1 1 1 0 0 1 2 2 2 01

, , 1

vp

e c T T C e e c T Tk ρ °= − + = = −

−. (7)

Здесь индексы 1, 2 относятся соответственно к газу и частицам; ,i iρ α° ( i = 1, 2) – истинные

плотности и объемные содержания фаз; , , , ,i i i i iv T e Eρ – парциальная плотность, скорость, темпе-ратура, внутренняя и полная энергия i-ой фазы; p – давление, n – число частиц в единице объе-

ма смеси; 1 vc и 2c – теплоемкости фаз: 0C – постоянная для нормирования внутренней энергии

газовой фазы: 1λ – теплопроводность газовой фазы; 1R – универсальная газовая постоянная; dC и Nu – коэффициент трения и число Нуссельта, определяемые числами Рейнольдса ( Re) и Прандтля (Pr) относительного движения фаз соответственно: k — показатель адиабаты Пуассо-на; d – диаметр частиц.

Уравнения (1) – уравнения неразрывности газа и частиц и уравнение сохранения числа час-тиц в единице объема смеси; (2) – уравнения импульса газа и частиц; (3) и (4) – уравнения сохра-нения внутренней энергии газа и частиц соответственно. (6) – уравнения, определяющие члены теплового (q) и силового (f) взаимодействия между фазами: (7) – уравнения состояния фаз. В данной работе не рассматриваются более сложные уравнения состояния [8].

Для того чтобы воспользоваться идеологией метода крупных частиц, необходимо привести уравнения (2)–(4) к дивергентному виду и получить уравнения кинетической энергии газовой фазы и частиц.

Умножая уравнение сохранения импульса газовой фазы на 1v , а уравнение сохранения им-

пульса конденсированной фазы на 2v , получим уравнения сохранения кинетической энергии газа и частиц соответственно

21 1 1 1

1 1 1 1,v v p

v v nfvt x x

ρ ρ α ∂ ∂ ∂+ = − − ∂ ∂ ∂

22 2 2 2

2 2 2 2,v v p

v v nfvt x x

ρ ρ α ∂ ∂ ∂+ = − + ∂ ∂ ∂

которые после простых преобразований принимают следующий вид 2 2

1 11 1 1

1 1 12 2 ,

v vv p

v nfvt x x

ρ ρα

∂ ∂ ∂+ = − −∂ ∂ ∂

(8)

2 22 2

2 2 2

2 2 22 2 .

v vv p

v nfvt x x

ρ ρα

∂ ∂ ∂+ = − +∂ ∂ ∂

(9)

Преобразуем левые части уравнений сохранения внутренней энергии газа (3) и частиц (4) к ди-вергентному виду. С учетом равенств (1) они могут быть представлены в виде


Ковалев Ю.М., Ковалева Е.А., Анализ некоторых модификаций метода крупных частиц Пигасов Е.Е. на примере исследования течений газовзвесей

2015, том 7, 3 73

( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 11 2

1

, e e v p d

nf v v nqt x dt

ρ ρ α ρρ

°

°

∂ ∂+ = + − −

∂ ∂ (10)

( )2 2 2 2 2 2 2 2

2

e e v p dnq

t x dt

ρ ρ α ρρ

°

°

∂ ∂+ = +

∂ ∂. (11)

Из уравнений неразрывности газовой и конденсированной фаз (1) легко получить следующие равенства

1 1 1 1 11 1 ,

d v

dt t x

ρ α αα ρ°

° ∂ ∂ = − + ∂ ∂

2 2 2 2 22 2 .

d v

dt t x

ρ α αα ρ°

° ∂ ∂ = − + ∂ ∂

Подставляя данные выражения в уравнения (10) и (11) соответственно, получим

( )1 1 1 1 1 1 1 11 2 ,

e e v vp nf v v nq

t x t x

ρ ρ α α∂ ∂ ∂ ∂ + = − + + − − ∂ ∂ ∂ ∂ (12)

2 2 2 2 2 2 2 2e e v vp nq

t x t x

ρ ρ α α∂ ∂ ∂ ∂ + = − + + ∂ ∂ ∂ ∂ . (13)

В случае несжимаемости конденсированной фазы уравнения сохранения внутренней энергии га-зовой (3) и конденсированной (4) фаз легко преобразуются к виду

( )1 1 1 1 1 1 1 2 21 2 ,

e e v v vp nf v v nq

t x x x

ρ ρ α α∂ ∂ ∂ ∂ + = − + + − − ∂ ∂ ∂ ∂ (14)

2 2 2 2 2 ,e e v

nqt x

ρ ρ∂ ∂+ =∂ ∂

(15)

Для получения уравнение сохранения полной энергии смеси просуммируем левые и правые части уравнений (8), (9), (14), (15). В результате получим уравнение сохранения полной энергии смеси в виде

( ) ( )1 1 2 21 1 1 2 2 2 1 1 2 2 0.

E Ev E v E v v p

t x

ρ ρρ ρ α α

∂ + ∂+ + + + = ∂ ∂ (16)

Система уравнений (1), (2), (5)–(7), (14)–(16) представляет собой замкнутую систему уравнений для описания течений газовзвесей, инвариантную относительно преобразования Галилея.

2. Некоторые модификации метода крупных частиц для расчета течений газовзвеси

В соответствии с идеологией метода крупных частиц [6] систему законов сохранения газо-взвеси (1), (2), (5)–(7), (14)–(16) на эйлеровом этапе можно представить следующим образом

1 20, 0, 0,n

t t t

ρ ρ∂ ∂ ∂= = =∂ ∂ ∂

(17)

1 21 1 2 2, ,

v vp pnf nf

t x t xρ α ρ α∂ ∂∂ ∂= − − = − +

∂ ∂ ∂ ∂ (18)

( )1 1 1 2 21 1 2 ,

e v vp nf v v nq

t x x

α αρ ∂ ∂ ∂ = − + + − − ∂ ∂ ∂ (19)

22 ,

enq

tρ ∂ =

∂ (20)

( ) ( )1 1 2 21 1 2 2 0.

E Ev v p

t x

ρ ρα α

∂ + ∂+ + = ∂ ∂ (21)

Учитывая несжимаемость конденсированной фазы ( 2 constρ ° = ), запишем уравнения (17), (19), (21) в более удобном для представления на эйлеровом этапе виде

1 2 11 2 10, 0, 0, 0

n

t t t t

ρ α αα ρ ρ°

° °∂ ∂ ∂∂= = = =∂ ∂ ∂ ∂

(22)


Механика


( )1 1 21 1 2 1 2 ,

e v vp nf v v nq

t x xρ α α∂ ∂ ∂ = − + + − − ∂ ∂ ∂

(23)

( ) ( )1 21 21 2 1 2 0.

v p v pE E

t t x xρ ρ α α

∂ ∂∂ ∂+ + + =∂ ∂ ∂ ∂

(24)

Подставляя уравнение состояния газовой фазы (7) в уравнение (23), получим следующее ба-зовое соотношение для определения давления на эйлеровом этапе

( ) ( ) ( )( )1 21 2 1 2

1 1

1 1

k kv vpp nf v v nq

t x xα α

α α− −∂ ∂∂ = − + + − − ∂ ∂ ∂

. (25)

Используя явные разностные представления для равенства (25), легко получить выражения для определения предварительных значений давления на новом 1m+ временном слое на грани-цах 1/ 2i − и 1/ 2i + для ячеек 1i − , i и 1i +

( ) ( )1 11/ 2 1, 1/ 2 1, 1 1,

1, 1/ 2

1(1 (

2

m mm m m mi ii i i im

i

kp pp v vα

α+ +

+ + ++

−+= − − +ɶ

( ) ( ) ( )2, 1/ 2 2, 1 2, 1/ 2 1/ 21, 1/ 2

1) ) m m m m m

i i i i imi

ktv v n q t

xα

α+ + + ++

−∆+ − − ∆∆

( ) ( )( )1/ 2 1/ 2 1, 1/ 2 2, 1/ 21, 1/ 2

1 .m m m m

i i i ini

kn f v v t

α + + + ++

−+ − ∆ (26)

Здесь t∆ – шаг по времени, x∆ – шаг по пространству. Полученные значения давления исполь-зуются для определения промежуточных величин скоростей на эйлеровом этапе:

( )1 1 11, 1, 1/ 2 1/ 2

1, 1,

1

mm m m m mii i i i im m

i i

ntv v p p f t

xρ ρ+ + +

+ −°∆= − − − ∆∆

ɶ ɶ ɶ , (27)

( )1 1 12, 2, 1/ 2 1/ 2

2, 2,

1

mm m m m mi

i i i i im mi i

ntv v p p f t

xρ ρ+ + +

+ −°∆= − − + ∆∆

ɶ ɶ ɶ . (28)

Для получения промежуточных значений скоростей газовой и конденсированной фаз можно использовать еще одну модификацию эйлерова этапа метода крупных частиц, связанную с час-тично неявной аппроксимацией силы межфазного взаимодействия. Если ввести обозначения

1 1 1 1 1 11, 1 1 2, 1 1

1, 2,2 2 2 2

1 1 ; ; m m m m m m

i im mi i i ii i

t tp p p p p p

x xρ ρ+ + + + + +

° °+ − + −

∆ ∆ ∆ = − ∆ = − ∆ ∆

ɶ ɶ ɶ ɶ

2 21 1 2 1 1 2

1, 2,1, 2,

( ) ; ( ) ,8 8

m md dm m m mi i

i i i im mi i

d C v v d C v vn nf f

π ρ π ρρ ρ

° °− −∆ = − ∆ = −

то уравнения (27) и (28) можно будет записать следующим образом

( )1 1 11, 1, 1, 1, 1, 2, m m m m m m

i i i i i iv v p f v v+ + += − ∆ + ∆ −ɶ ɶ ,

( )1 1 12, 2, 2, 2, 1, 2, m m m m m m

i i i i i iv v p f v v+ + += − ∆ − ∆ −ɶ ɶ .

Из полученных уравнений промежуточные значения скоростей легко определяются в явном виде

( ) ( )1 11, 1, 1, 1, 2, 1, / 1m m m m m m

i i i i i iv v p f v f+ += − ∆ − ∆ − ∆ɶ , (29)

( ) ( )1 12, 2, 2, 2, 1, 2, / 1 m m m m m m

i i i i i iv v p f v f+ += − ∆ − ∆ − ∆ɶ . (30)

Более сложная модификация метода крупных частиц в приложении к течениям газовзвесей может быть реализована в случае неявной аппроксимации разности скоростей газа и конденсиро-ванной фазы в выражении для силы межфазного взаимодействия. Подставляя в равенства (27) и (28) выражение для силы межфазного взаимодействия, получим

( )1 1 1 11, 1, 1, 1, 1, 2, m m m m m m

i i i i i iv v p f v v+ + + += − ∆ + ∆ −ɶ ɶ ɶ , (31)

( )1 1 1 12, 2, 2, 2, 1, 2, m m m m m m

i i i i i iv v p f v v+ + + += − ∆ − ∆ −ɶ ɶ ɶ . (32)



2015, том 7, 3 75

Вычитая левые и правые части равенства (32) из левых и правых частей равенства (31) соот-ветственно, получим уравнение для определения промежуточных значений разности скоростей газовой и конденсированной фаз

( ) ( )( )1 1 1 1 1 11, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, m m m m m m m m m m

i i i i i i i i i iv v v v p p f f v v+ + + + + +− = − − ∆ − ∆ + ∆ − ∆ −ɶ ɶ ɶ ɶ .

Окончательное выражение для определения разности промежуточных значений скоростей имеет следующий вид

( ) ( )( ) ( )( )1 1 1 11, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, / 1 m m m m m m m m

i i i i i i i iv v v v p p f f+ + + +− = − − ∆ − ∆ − ∆ − ∆ɶ ɶ . (33)

Подставляя выражение (33) в равенства (31) и (32), получим значения скоростей фаз на эйле-ровом этапе метода крупных частиц.

Промежуточные значения скорости конденсированной и газовой фаз на границах ячеек оп-ределяются как средние арифметические от их значений в двух соседних ячейках

( )1 1 1 1 1 11, 1/ 2 1, 1, 1 2, 1/ 2 2, 2, 1 ( ) / 2, / 2. m m m m m m

i i i i i iv v v v v v+ + + + + ++ + + += + = +ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ (34)

Теперь можно определить промежуточные значения внутренней энергии конденсированной фазы

12, 2,

2,

1 m m m m

i i i imi

e e n q tρ

+ = + ∆ɶ (35)

и полной энергии смеси

1 11, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 2,m m m m m m m mi i i i i i i iE E E Eρ ρ ρ ρ+ ++ = + −ɶ ɶ ( )1 1 1 1

1, 1/ 2 1, 1/ 2 1/ 2 1, 1/ 2 1, 1/ 2 1/ 2 n m m n m mi i i i i i

tv p v p

xα α+ + + +

+ + + − − −∆− −∆

ɶ ɶ ɶ ɶ

( )1 1 1 12, 1/ 2 2, 1/ 2 1/ 2 2, 1/ 2 2, 1/ 2 1/ 2 .n m m n m m

i i i i i it

v p v px

α α+ + + ++ + + − − −

∆− −∆

ɶ ɶ ɶ ɶ (36)

На этапе Лагранжа и заключительном этапе метода крупных частиц для каждой фазы были использованы формулы, приведенные в монографии О.М. Белоцерковского и Ю.М. Давыдова [6]. Заключение

1. Тестирование предложенной модификации метода крупных частиц проводилось на реше-нии задач о распространении ударных волн в «замороженной» газовзвеси [9, 10] и в облаке газо-взвеси [11].

2. Было показано, что применение на этапе Эйлера уравнений (26)–(31) более эффективно, чем применение метода крупных частиц [6] и модификации метода [12] при решении задач о распространении ударных волн в «замороженной» газовзвеси [9, 10] и в облаке газовзвеси [11].

3. Применение на этапе Эйлера уравнений (29)–(30) и (33) позволяет проводить расчеты за-дач [9–11] при больших значениях числа Куранта.

Авторы выражают свою благодарность профессору В.Ф. Куропатенко за полезные обсужде-ния и интерес к работе.


1. Куропатенко, В.Ф. Новые модели механики сплошных сред / В.Ф. Куропатенко // Инже-нерно-физический журнал. – 2011. – Т. 84, 1. – С. 74–92.

2. Гришин, А.М. Об усилении ударных волн при их взаимодействии с фронтом лесного по-жара / А.М. Гришин, Ю.М. Ковалев // Доклады Академии наук. – 1990. – Т. 312, 1. – С. 50–54.

3. Ковалев, Ю.М. Математическая модель газовзвеси с химическими превращениями в при-ближении парных взаимодействий / Ю.М. Ковалев, Е.Е. Пигасов // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математическое моделирование и программирование. – 2014. – Т. 7, 3. – С. 40–49.

4. Ковалев, Ю.М. Математический анализ уравнений сохранения двухфазных смесей / Ю.М. Ковалев, Е.А. Ковалева // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математическое моделирование и программирование. – 2014. – Т. 7, 2. – С. 29–37.

5. Ковалев, Ю.М. Анализ возможности применения некоторых численных методов для ре-шения задач механики многокомпонентных сред / Ю.М. Ковалев, Е.А. Ковалева // Вестник Юж-


Механика


но-Уральского государственного университета. Серия: Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника. – 2014. – Т. 14, 1. – С. 57–62.

6. Белоцерковский, О.М. Метод крупных частиц в газовой динамике / О.М. Белоцерковский, Ю.М. Давыдов. – М.: Наука, 1982. – 392 с.

7. Гришин, Ю.А. Новые схемы метода крупных частиц и использование их для оптимизации газовоздушных трактов двигателей / Ю.А. Гришин // Математическое моделирование. – 2002. – Т. 14, 8. – С. 51–55.

8. Ковалев, Ю.М. Уравнения состояния и температуры ударного сжатия кристаллических ВВ / Ю.М. Ковалев // Физика горения и взрыва. – 1984.– Т. 20, 2. – С. 102–107.

9. Ковалев, Ю.М. Ослабление воздушных ударных волн системой решеток/ Ю.М. Ковалев, А.Ю. Черемохов // Вопросы атомной науки и техники. Серия «Математическое моделирование физических процессов». – 1997. – Вып. 3. – С. 39–43.

10. Кругликов, Б.С. Ослабление воздушных ударных волн экранирующими решётками / Б.С. Кругликов, А.Г. Кутушев // ФГВ. – 1988. – 1. – С. 115–117.

11. Кругликов, Б.С. Ослабление воздушных ударных волн слоями запыленного газа и решет-ками / Б.С. Кругликов, А.Г. Кутушев // ПМТФ. – 1988. – 1. – С. 51–57.

12. Ивандаев, А.И. Численное исследование нестационарных волновых течений газовзвесей с выделением границ двухфазных областей и контактных разрывов в несущем газе / А.И. Ивандаев, А.Г. Кутушев // Численные методы в механике сплошных сред. – 1983. – Т. 14, 6. – С. 47–60.

Поступила в редакцию 2 апреля 2015 г.


2015, vol. 7, no. 3, pp. 71–77 THE ANALYSIS OF SOME MODIFICATIONS OF THE LARGE-PAR TICLE METHOD ON THE BASIS OF RESEARCH OF GAS-SUSPENSION CURRENTS Yu.M. Kovalev 1, E.A. Kovaleva 2, E.E. Pigasov 3

In the paper new modifications of a large-particle method are given in the appendix to the analysis

of gas-suspension currents. It is shown that given modifications allow us to carry out calculations of shock waves behavior in gas-suspensions without introduction explicit artificial viscosity which helps to avoid distortion of a physical phenomenon of gas-suspension current connected with the existence of oscillation. It is shown that given modifications of the large particle method are effective and help to carry out calculations of strong shock waves in gas-suspensions.

Keywords: numerical method; mathematical model; gas-suspension; conservation laws; shock waves; Courant number.

References 1. Kuropatenko V.F. New models of continuum mechanics. Journal of Engineering Physics and

Thermophysics. 2011. Vol. 84, no. 1. pp. 77–99. 2. Grishin A.M., Kovalev Yu.M. Doklady Akademii nauk. 1990. Vol. 312, no. 1. pp. 50–54. (in

Russ.). 3. Kovalev Yu.M., Pigasov E.E. A Mathematical Model of Gas Suspension with Chemical Reac-

tions in the Pair-Interaction Approximation. Bulletin of South Ural State University. Series “Mathemati-cal Modelling, Programming & Computer Software”. 2014. Vol. 7, no. 3. pp. 40–49. (in Russ.). DOI: 10.14529/mmp140304

1 Kovalev Yury Mikhailovich is Dr. Sc. (Physics and Mathematics), professor, Head of the Computational Continuum Mechanics Department, South Ural State University. E-mail: [email protected] 2 Kovaleva Elena Adamovna is Cand. Sc. (Physics and Mathematics), Associate professor, Department of the mathematical methods of eco-nomics, Chelyabinsk State University. E-mail: [email protected] 3 Pigasov Egor Evgenyevich is Educational Assistant, Computational Continuum Mechanics Department, South Ural State University. E-mail: [email protected]



2015, том 7, 3 77

4. Kovalev Yu.M., Kovaleva E.A. A Mathematical Study of the Conservation Equation for Two-Phase Mixtures. Bulletin of South Ural State University. Series “Mathematical Modelling, Programming & Computer Software”. 2014. Vol. 7, no. 2. pp. 29–37. (in Russ.). DOI: 10.14529/mmp140202

5. Kovalev Yu.M., Kovaleva E.A. The Analysis of some Numerical Methods Application for the Solution of Multicomponent Mediamechanics Tasks. Bulletin of South Ural State University. Series “Computer Technologies, Automatic Control & Radioelectronics”. 2014. Vol. 14, no. 1. pp. 57–62. (in Russ.).

6. Belotserkovskiy O.M., Davydov Yu.M. Metod krupnykh chastits v gazovoy dinamike (Large par-ticle method in gas dynamics). Moscow, Nauka Publ., 1982. 392 p. (in Russ.).

7. Grishin Yu.A. The new schemes of a large particles method and their usage for optimization gas-air channels of engines. Matem. Mod. 2002. Vol. 14, no. 8, pp. 51–55. (in Russ.).

8. Kovalev Yu.M. Fizika goreniya i vzryva. 1984. Vol. 20, no. 2. pp. 102–107. (in Russ.). 9. Kovalev Yu.M., Cheremokhov A.Yu. Voprosy atomnoy nauki i tekhniki. Seriya “Mate-

maticheskoe modelirovanie fizicheskikh protsessov”. 1997. Issue 3. pp. 39–43. 10. Kruglikov B.S., Kutushev A.G. Fizika goreniya i vzryva. 1988. no. 1. pp. 115–117. (in Russ.). 11. Kruglikov B.S., Kutushev A.G. Prikladnaya mekhanika i tekhnicheskaya fizika. (Journal of Ap-

plied Mechanics and Technical Physics). 1988. no. 1. pp. 51–57. (in Russ.). 12. Ivandaev A.I., Kutushev A.G. Chislennye metody v mekhanike sploshnykh sred. 1983. Vol. 14,

no. 6. pp. 47–60. Received 2 April 2015



Физика УДК 004.942

ВЫБОР ОПТИМАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ АТОМНОЙ И ЭЛЕКТРОННОЙ СТРУКТУРЫ УГЛЕРОДНЫХ НАНОТРУБОК В ПАКЕТЕ SIESTA

С.А. Созыкин1, В.П. Бескачко2, Г.П. Вяткин3

В связи с развитием и все большей доступностью методов компьютер-ного моделирования материалов, базирующихся на первых принципах, и появлением противоречивых данных о результатах их использования дела-ется попытка обосновать технологию вычислений на примере перспектив-ных для приложений систем – углеродных нанотрубок. Обсуждаются во-просы, связанные с выбором геометрических параметров модели (диаметр, длина, симметрия трубок), способы оптимизации ее стартовой конфигура-ции, выбор приближений, необходимых для описания электронной струк-туры в рамках теории функционала электронной плотности. Рассуждения поддерживаются ссылками на опыт, накопленный авторами ранее, а также множеством численных экспериментов, сделанных специально при подго-товке настоящей работы.

Ключевые слова: углеродные нанотрубки, атомная структура, электрон-ная структура, компьютерное моделирование, расчеты из первых принципов.

Введение Углеродные нанотрубки (УНТ) уже более 20 лет привлекают внимание экспериментаторов и

теоретиков благодаря перспективе использования на практике их уникальных физико-химических свойств. Базой Scopus, например, на протяжении последнего десятилетия ежегодно индексируется более 500 статей по запросу «carbon nanotube simulation» (моделирование угле-родных нанотрубок). За это время накопился материал, требующий систематизации и обобще-ния. Его анализ необходим для оценки надежности предсказаний, сделанных с помощью компь-ютерного моделирования свойств упомянутых систем.

Методы компьютерного моделирования материалов, в том числе и УНТ, весьма разнообраз-ны, как и задачи, для которых они используются. Эти методы выстраиваются в некоторую иерар-хию, называемую многомасштабным (мультискейлинговым) моделированием [1]. В основании этой иерархии лежат методы, базирующиеся на атомистическом рассмотрении материала и точ-ных законах квантовой механики, трактующих о движении атомных частиц – ядер и электронов. Совокупность этих методов называется моделированием из первых принципов или моделирова-нием ab initio. На вершине иерархии находятся методы, рассматривающие материал как сплош-ную среду со свойствами, получаемыми (в идеале) в результате макроскопического усреднения свойств моделей более низкого уровня или взятыми из эксперимента.

Достоинством первопринципных методов является отсутствие необходимости в апелляции к каким-либо опытным данным о свойствах исследуемого материала или в использовании подго-ночных параметров. Это позволяет прогнозировать поведение систем, данные о которых либо отсутствуют, либо труднодоступны для современных экспериментов. Недостаток таких методов – большой объем необходимых вычислений и, как следствие, малый размер моделируемой сис-темы. С использованием современных вычислительных средств удается рассмотреть системы, содержащие несколько сотен атомов. Этого достаточно для изучения не слишком больших моле-кул или индивидуальных фуллеренов. Поскольку такая низкоразмерная форма углерода, как УНТ, имеет макроскопический размер в одном из измерений, то расчет из первых принципов ог- 1 Созыкин Сергей Анатольевич – доцент, кандидат физико-математических наук, кафедра общей и теоретической физики, Южно-Уральский государственный университет. E-mail: [email protected] 2 Бескачко Валерий Петрович – доктор физико-математических наук, профессор, кафедра общей и теоретической физики, Южно-Уральский государственный университет. 3 Вяткин Герман Платонович – профессор, доктор химических наук, член-корреспондент Российской Академии Наук, кафедра общей и теоретической физики, Южно-Уральский государственный университет.


Созыкин С.А., Бескачко В.П., Выбор оптимальных параметров для моделирования атомной Вяткин Г.П. и электронной структуры углеродных нанотрубок в пакете SIESTA

2015, том 7, 3 79

раничивается рассмотрением либо конечного изолированного фрагмента трубки (модель конеч-ного кластера), либо бесконечно длинной трубки, получаемой из конечного фрагмента его транс-ляцией вдоль оси УНТ (то есть наложением циклических граничных условий). Таким образом, при моделировании УНТ возникает вопрос о влиянии граничных условий на рассчитываемые свойства, и появляется параметр модели – длина рассматриваемого фрагмента трубки. Этот па-раметр не единственный даже в расчетах из первых принципов. Дело в том, что ab initio методы не нуждаются в параметрах материала, но нуждаются в выборе приближений, с помощью кото-рых многоэлектронная задача сводится к одноэлектронной. В оригинальных статьях обсуждению выбора параметров обычно не уделяется большого внимания. Авторы часто ограничиваются лишь констатацией самого факта выбора. Это весьма затрудняет оценку достоверности представ-ляемых данных и возможность сравнения результатов разных исследователей.

В настоящем сообщении мы ограничимся рассмотрением только узкого круга задач, связан-ных с моделированием из первых принципов углеродных нанатрубок и их комплексов с инород-ными атомами, и будем опираться на опыт расчетов в этой области, накопленный нами за по-следний десяток лет [2–5]. Мы попытаемся обобщить этот опыт и показать, какие рассуждения и предварительные эксперименты нужно сделать, чтобы получить те параметры моделирования, которые мы считаем оптимальными. Модель и метод моделирования

Свойства углеродных нанотрубок оцениваются разными теоретическими методами. С помо-щью атомистического моделирования (классические молекулярная механика и динамика) воз-можно адекватно описать атомные свойства нанотрубок и их комплексов, если удачно подобра-ны потенциалы взаимодействия атом-атом. Эти методы с успехом были применены для изучения атомной структуры и динамики нанотрубок, фуллеренов, аморфного углерода. В то же время ма-ло что известно о том, как можно в том же духе описать взаимодействие атомов углерода с ато-мами иной природы, например, с атомами металлов или галогенов, склонных к образованию свя-зей иного типа (металлических или ионных). Кроме того, при атомистическом моделировании целиком выпадают из рассмотрения электронные свойства систем, важные для многих приложе-ний. Подобных проблем не возникает, если для моделирования используются методы, базирую-щиеся на первых, квантовомеханических, принципах описания микросистем. Эти соображения определили наш выбор средств для исследования адсорбционных свойств комплексов на основе УНТ.

В настоящее время наиболее эффективным способом выполнения априорных расчетов явля-ется метод функционала электронной плотности, реализованный в целом ряде коммерческих и свободно распространяемых пакетов. К числу последних относится пакет SIESTA [6], использо-ванный нами в данной работе.

Выбор геометрических параметров модели. При изучении комплексов на основе нанотрубок существенны два ряда пространственных параметров: диаметр нанотрубки и длина ее модели-руемого фрагмента, с одной стороны, и размер атома адсорбата – c другой. Диаметр однослойной нанотрубки можно оценить по формуле

2 2 2 2030,78

dD m n mn m n mn

π= + + = + + (Å), (1)

где , 0,1,2...m n= – индексы хиральности, а 0d = 0,142 нм – длина связи «углерод–углерод» в гра-фитовом листе. Изолированные трубки малых диаметров нестабильны из-за большого напряже-ния связей, возникающего при сворачивании графитового листа. По-видимому, наиболее тонки-ми являются трубки (2,2) и (3,3). Их диаметр составляет 3–4 Å.

Под размером атома будем понимать радиус сферы, содержащей 90 % электронной плотно-сти. Тогда можно считать, что если два нейтральных атома, A и B, с радиусами Ar и Br находятся

друг от друга на расстоянии, большем чем A Br r+ , то они слабо взаимодействуют друг с другом, поскольку их электронные оболочки не перекрываются. Наибольшие радиусы имеют щелочные металлы: от 1,6 Å (Li) до 2,5 Å (Cs, Fr), наименьшие – атомы благородных газов: от 0,3 Å (He, Ne) до 0,8 Å (Xe). Атомный радиус углерода – 0,7 Å.

Таким образом, по стерическим соображениям беспрепятственное проникновение внутрь ре-кордно тонких нанотрубок возможно для атомов благородных газов и вряд ли возможно для ато-


Физика


мов щелочных металлов. «Беспрепятственное» здесь означает «без существенного взаимодейст-вия с каркасом трубки». Наличие такого взаимодействия не означает, с другой стороны, невоз-можность нахождения «большого» атома внутри тонкой трубки – это взаимодействие может вес-ти к образованию прочных связей внедряемого атома с каркасом.

В приложениях, где нанотрубки используются для накопления или хранения каких-либо атомов или молекул (хранилища водорода, метана, электрические батареи и пр.), важно, чтобы объем внутренней полости и ее диффузионная доступность были достаточно велики. В частно-сти, механизм диффузии изменится, если внедренные атомы смогут при встрече разминуться друг с другом. Для этого необходимо, чтобы выполнялось соотношение

2 4C AD r r> + , (2) где rC и rA – атомные радиусы углерода и внедренного атома соответственно. Для цезия мини-мальный диаметр трубки составляет 11–12 Å, для Li – 8–9 Å, а для He – 2–3 Å. Этим требованиям могут удовлетворять нанотрубки различной симметрии. Известно [7], что в зависимости от соот-ношения между индексами хиральности нанотрубки могут проявлять разные свойства в отноше-нии электрической проводимости. Именно, пусть n – наибольший из индексов хиральности. По-ложим k = n – m, (n ≥ m). Тогда, если k = 3l, (l = 0, 1, 2, …), то трубка – проводник; если k = 3l+ 1, то трубка – узкозонный полупроводник; если k = 3l+ 2, то трубка – полупроводник с умеренно широкой зоной. Таким образом, трубки (14,0) и (10,6) являются полупроводниками с умеренной и узкой запрещенными зонами соответственно.

Если нас интересуют комплексы УНТ с атомами меньшего размера, например, с литием, то-гда D ≈ 8 Å. Для трубок типа «зигзаг» теперь получаем n ≈ 10, а для трубок типа «кресло» n ≈ 6. Диаметры трубок (10,0) и (6,6) составляют 7,8 и 8,1 Å, соответственно. Близкие диаметры имеют хиральные трубки (10,1), (9,2), (9,3), для них D = 8,2; 7,9 и 8,4 Å соответственно. Трубки (6,6), (10,1), (9,3) являются проводниками, а трубки (9,2) и (10,0) – узкощелевыми полупроводниками. Трубка (7,7) имеет диаметр 9,5 Å и «проходима» как для лития, так и для натрия (rNa = 1,7 Å, D = 7,2), но, по-видимому, непроходима для более тяжелых щелочных металлов.

После выбора симметрии трубки (n,m) и, следовательно, ее диаметра, нужно определить длину моделируемого фрагмента и количество N атомов в нем. В априорных расчетах критиче-ским является выбор N, поскольку им определяется объем вычислительных ресурсов, необходи-мых для решения задачи. Среди этих ресурсов наиболее важным обычно является время реше-ния. Это время для данного метода моделирования зависит от многих факторов: быстродействия компьютера, способа вычислений (последовательный или параллельный), характера решаемой задачи, а также от качества исходных (начальных) данных, если процесс решения итерационный. Такой процесс в пакете SIESTA запускается, например, при оптимизации геометрии комплекса на этапе получения самосогласованного распределения электронной плотности для анализируе-мой в данный момент конфигурации системы. Поскольку выбор начальной конфигурации до-вольно субъективен, особенно при моделировании систем, геометрия которых известна недоста-точно хорошо или вовсе плохо, то для оценки зависимости времени решения от числа частиц ра-зумнее взять не время, затрачиваемое на оптимизацию, а время τi, необходимое для выполнения фиксированного числа итераций, которое от выбора начальных данных не зависит. Зависимость τi(N) для используемого нами компьютера показана на рис. 1. Здесь же приведены результаты аппроксимации этой зависимости полиномами 2 (слева) и 3 (справа) степени. Статистический анализ подтверждает зрительное ощущение, что зависимость типа τi(N) ~ N3 предпочтительнее. Наш опыт показывает в итоге, что если время решения всей задачи порядка недели еще прием-лемо, модель УНТ должна содержать не более 120–150 атомов углерода (на компьютере, подоб-ном упомянутому выше).

Зная верхнюю границу для N, попытаемся теперь определить длину моделируемого фраг-мента. Пусть Ncell = 2N0 – число атомов в элементарной ячейке УНТ. Тогда для трубки (n,m) спра-ведливо:

2 2

0 2 2

2( ), если 3 , 0,1,2...,

2( ), если 3 .

3

n nm mn m rK r

KNn nm m

n m rKK

+ + − ≠ ==

+ + − =

(3)



2015, том 7, 3 81

Здесь K – наибольший общий делитель m и n. Для «кресловидной» трубки (7,7) получаем N0 = 14; тот же результат получается для трубки (10,0) типа «зигзаг», N0 = 14. Это означает, что вследствие периодических граничных условий моделируемый фрагмент таких трубок должен содержать число N атомов углерода, кратное 28: 28, 56, 84, 112, 140, 168…. Последние два числа находятся «на границе достижимости результата за неделю». Поэтому если к модели для образо-вания комплексов будут добавляться сторонние атомы в количестве порядка десятков, тогда ра-зумно выбрать модель с N=112, содержащую 4 элементарные ячейки структуры УНТ.

Рис. 1. Время, затрачиваемое на выполнение 25 итераций процедуры самосогласования электронной плотности на 1 узле (12 ядер) суперкомпьютера ЮУрГУ «Торнадо», как функция числа атомов углерода в модели УНТ (7,7)

Хуже обстоит дело с моделированием хиральных трубок, когда n ≠ m, m ≠ 0. Из геометриче-ских соображений ясно, что в этом случае элементарная ячейка может быть очень большой, точ-нее –длинной. Например, элементарная ячейка трубки (10,1) содержит 148 атомов и вряд ли к ним можно что-то добавить при расчетах на данном компьютере и для данной задачи.

Таким образом, для изучения комплексов УНТ с легкими щелочными металлами (Li, Na) в широком диапазоне содержания последних наиболее подходящим является выбор модели трубки (7,7), содержащей 4 элементарные ячейки, 112 атомов углерода и имеющей диаметр 9,5 Å. В таб-л. 1 приведены характеристики трубок с близкими к этому диаметрами, лежащими в интервале 8–10 Å.

Таблица 1 Параметры трубок с диаметрами в диапазоне 8-10 Å

трубка диаметр, Å Ncell проводимость трубка диаметр, Å Ncell проводимость (6,6) 8,14 24,0 мет. (10,1) 8,25 444,0 мет. (7,5) 8,17 436,0 п/п (10,2) 8,72 248,0 п/п (7,6) 8,82 508,0 п/п (10,3) 9,23 556,0 п/п (7,7) 9,49 28,0 мет. (10,4) 9,78 312,0 мет. (8,4) 8,29 112,0 п/п (11,0) 8,61 44,0 п/п (8,5) 8,89 516,0 мет. (11,1) 9,03 532,0 п/п (8,6) 9,53 296,0 п/п (11,2) 9,49 588,0 мет. (9,3) 8,47 156,0 мет. (11,3) 9,99 652,0 п/п (9,4) 9,03 532,0 п/п (12,0) 9,40 48,0 мет. (9,5) 9,62 604,0 п/п (12,1) 9,81 628 п/п Видно, что из двух десятков представленных в таблице трубок только шесть пригодны для

моделирования при высказанных выше ограничениях на время счета. Эти трубки выделены в таблице серым цветом. Из них только две трубки, (9,3) и (8,4), являются хиральными и только две трубки, (8,4) и (11,0), обладают полупроводниковой проводимостью.

После того, как определились с параметрами модели, необходимо задать декартовы коорди-наты всех участвующих в ней атомов. Это можно сделать с помощью множества программных средств, интегрированных в современные пакеты, моделирующие свойства молекулярных сис-тем, например, CoNTub 2.0 [8], Nanotube Modeler [9]. Однако в них отсутствуют инструменты для подготовки входных файлов для пакета SIESTA. Это удобно делать с помощью пакета NanoView [10, с. 142], разработанного в нашей группе. Он, уступая коммерческим продуктам по широте решаемых задач, предоставляет множество простых средств, помогающих существенно эконо-мить время исследователя на сопровождение массивных расчетов.


Физика


Выбор параметров Несмотря на то, что в пакете SIESTA расчет свойств выполняется из первых принципов, тем

не менее он (как и любой другой пакет такого рода) нуждается в выборе ряда приближений и па-раметров. Рассмотрим, каким образом можно выбрать эти приближения, если речь идет о моде-лировании нанотрубок или их комплексов.

В методе функционала электронной плотности существует два способа описания обменно-корреляционного взаимодействия между электронами, известные как приближение локальной плотности (LDA – local density approximation) и приближение обобщенного градиента (GGA – generalized gradient approximation). В рамках каждого из этих приближений предложен ряд ре-цептов конструирования соответствующего функционала. В схеме LDA наиболее распространен функционал CA (Ceperly, Alder), а в GGA – функционал PBE (Perdew, Burke, Ernzerhof). В пред-варительных экспериментах по выбору параметров моделирования следует рассмотреть эти два функционала как минимум.

Первый этап моделирования состоит в определении равновесной геометрии трубки – такого расположения атомов, которое обеспечивает минимум энергии системы. При оптимизации гео-метрии изменяются длины связей и, следовательно, глобальные геометрические параметры труб-ки – ее диаметр и длина. Последний параметр определяет период трансляции фрагмента УНТ вдоль ее оси. На рис. 2 представлены зависимости энергии системы от длины моделируемого фрагмента с использованием LDA (CA) и GGA (PBE) приближений. Все прочие параметры мо-дели были установлены по умолчанию. Видно, что для УНТ (7,7) равновесный параметр транс-ляции равен 0,9893 нм, если используется функционал LDA(CA), и 0,9943 нм, если используется приближение GGA(PBE). Для УНТ (11,0) этот параметр равен, соответственно, 1,2843 и 1,2920 нм. Таким образом, использование приближения GGA (PBE) приводит к несколько большему (на 0,6 %) параметру трансляции. Однако это отличие мало и оба функционала должны рассматри-ваться на равных при выборе остальных параметров.

а) б)

Рис. 2. а) зависимость энергии фрагмента УНТ (7,7) из 112 атомов углерода от его длины, б) то же для УНТ (11,0) из 132 атомов углерода

В качестве критерия достижения равновесного состояния при оптимизации атомной струк-туры в пакете SIESTA используется параметр ε = ZM.ForceTolLength, имеющий смысл макси-мально допустимой силы, действующей на атом в рассматриваемой конфигурации. Расчет пре-кращается, когда сила, действующая на любой атом в модели, становится меньше ε. Это состоя-ние достигается с помощью некоторого итерационного процесса, длительность которого (число N необходимых итераций) зависит от выбора стартовой конфигурации и величины критерия ε. Рис. 3 дает представление о том, какова плата за точность, с которой исследователь желает опре-делить равновесную конфигурацию. На нем показана зависимость N(ε) для фрагмента трубки (7,7), имеющего равновесную длину. Отметим, что в этих расчетах максимальное число итераций было ограничено числом 520 и поэтому конфигурации, полученные при ε = 10–5 (lg(ε) = –5), от-вечают незавершенному итерационному процессу.

Из рисунка видно, что зависимость N(ε) имеет несколько плато, отвечающих «низкой» (ε ~ 10–2), «умеренной» (ε ~ 10–3) и «разумно высокой» (ε ~ 10–4) точности. Последний термин оз-начает, что при попытке повысить точность еще на порядок число итераций «неразумно» растет.



2015, том 7, 3 83

Рис. 3. Число итераций, необходимых для оптимизации геометрии УНТ, как функция критерия

На рис. 4 приведены максимальные откло-нения длин связей С-С, полученных при раз-личных значениях ε, от соответствующих зна-чений, рассчитанных для ε = 10–5. Среднее зна-чение длины связи составило 0,143 нм и 0,144 нм при использовании LDA(CA) и GGA(PBE). Первое значение ближе к расстоя-нию между соседними атомами в графене (0,142 нм). Из рисунка видно, что значение ε, установленное по умолчанию (0,00156), вполне приемлемо для рассматриваемых систем: при небольшом числе итераций при определении длин связей достигается достаточно высокая точность, которую трудно улучшить за счет уменьшения ε .

Таблица 2 Тестирование базисных наборов

PBE CA Базисный набор

Число ите-раций

Время расче-та, минут

Отклонение длины свя-зи, нм

Число итераций

Время расче-та, минут

Отклонение длины свя-зи, нм

SZ 17 287 0,003323 25 381 0,003203 SZP 17 940 0,000941 22 1062 0,001086 DZ 17 796 0,000452 13 576 0,000472

DZP 16 1885 0,000143 12 1429 0,000346 TZ 18 1798 0,000393 23 1980 0,000486 TZP 15 3091 0 22 4233 0 При проведении неэмпирических расчетов большую роль имеет выбор базиса: слишком ши-

рокий базисный набор приводит к увеличению времени расчета (или даже делает его невозмож-ным), недостаточно широкий базис не позволяет достигнуть желаемой точности результатов. В табл. 2 приведены количество итераций, время расчета (в минутах) и максимальное отклонение длины связи от таковой, полученной с использованием наиболее широкого базисного набора (TZP). Видно, что длины связей, полученные с использованием базисных наборов SZ и SZP, за-метно отличаются от остальных. Длины же связей при выборе более широких базисных наборов мало отличаются друг от друга. Таким образом, для оценочных расчетов достаточно использо-вать базисный набор DZ, а для расчетов, требующих высокой точности – DZP. Базисы TZ и TZP использовать нецелесообразно, так как точность первого ненамного больше, чем у DZ, а второй базис существенно увеличивает время счета, незначительно уменьшая погрешность.

При расчете электрических свойств большую роль имеет корректный выбор количества то-чек, на которые разбивается обратное пространство (k-точек). Недостаточное их количество не

Рис. 4. Влияние параметра ε на длины связей


Физика


позволяет правильно описывать электронную структуру изучаемой системы. В то же время про-должительность расчета пропорциональна количеству k-точек. Используемые нами периодиче-ские граничные условия требуют увеличения размеров расчетной ячейки в прямом пространстве в направлениях, перпендикулярных оси трубки. Это приводит к тому, что в направлении, соот-ветствующем оси УНТ, необходимо намного большее количество k-точек. Тестовые расчеты по-казали, что при использовании обменно-корреляционного потенциала LDA(CA) и базисных на-боров DZ, DZP и TZP достаточно взять в обратном пространстве 1 1 32 32× × = k-точки. При этом

погрешность в определении полной энергии системы не превзойдет 210− эВ. Дальнейшее увели-чение количества точек не приводит и к изменению плотности электронных состояний DOS вблизи уровня Ферми.

Заключение В настоящей работе рассмотрены основные этапы моделирования больших молекулярных

систем (типа углеродных нанотрубок) с помощью методов, исходящих из первых принципов. Главное внимание уделяется вопросу о том, как добиться достаточной точности в предсказаниях модели при разумных ограничениях на вычислительные ресурсы, располагая параметрами, вы-бор которых остается за пользователем того или иного программного пакета, в данном случае – пакета SIESTA. Опираясь на имеющийся у авторов опыт и результаты специально сделанных численных экспериментов, можно, в частности, утверждать, что при наличии вычислительных возможностей того же порядка, что и в ЮУрГУ (кластер TORNADO [11]):

1) оптимальным для описания обменно-корреляционных эффектов является выбор прибли-жения LD(CA),

2) в качестве базиса для волновых функций в предварительных расчетах можно использовать набор DZ, а в окончательных достаточно ограничиться набором DZP.

3) для корректного описания электронной структуры достаточно разбиения обратного про-странства на 32 k-точки.

Литература 1. Computational materials: Multi-scale modeling and simulation of nanostructured materials /

T.S. Gates, G.M. Odegard, S.J.V. Frankland, T.C. Clancy // Composites Science and Technology. – 2005. – Vol. 65. – P. 2416–2434.

2. Созыкин, С.А. Электрические свойства комплексов углеродной нанотрубки (7,7) с оди-ночными атомами Li, Na, S и Se / С.А. Созыкин, В.П. Бескачко // Вестник ЮУрГУ. Серия «Мате-матика. Механика. Физика». – 2012. – Вып. 7. – 34(293). – С. 113–119.

3. Созыкин, С.А. Механические свойства комплексов углеродной нанотрубки (7,7) с одиноч-ными атомами Li, Na, S и Se / С.А. Созыкин, В.П. Бескачко // Вестник ЮУрГУ. Серия «Матема-тика. Механика. Физика». – 2012. – Вып. 7. – 34(293). – С. 182–185.

4. Sozykin, S.A. Structure of endohedral complexes of carbon nanotubes encapsulated with lithium and sodium / S.A. Sozykin, V.P. Beskachko // Molecular Physics. – 2013. – Vol. 111. – Issue 7. – P. 930–938. DOI:10.1080/00268976.2012.760049

5. Sozykin, S.A. Adsorption of Sulfur’s Atoms on the Outer Surface of Carbon Nanotubes / S.A. Sozykin, V.P. Beskachko // Advanced Materials Research. – 2015. – Vol. 1091. – P. 25–29.

6. The Siesta method for ab initio order-N materials simulation / José M. Soler, Emilio Artacho, Julian D. Gale et al. // J. Phys.: Condens. Matter. – 2002. – Vol. 14. – P. 2745–2779.

7. Елецкий, А.В. Углеродные нанотрубки / А.В. Елецкий // УФН. – 1997. – Т. 167, 9.– С. 945–972.

8. CoNTub v2.0 – Algorithms for Constructing C3-Symmetric Models of Three-Nanotube Junc-tions. / S. Melchor, F.J. Martin-Martinez, J.A. Dobado // J. Chem. Inf. Model. – 2011. – V. 51. – P. 1492–1505.

9. Nanotube Modeler [Электронный ресурс]: офиц. сайт. URL: http://jcrystal.com/products/wincnt/ (дата обращения: 26.04.2015).

10. Программы для ЭВМ. Базы данных. Топологии интегральных микросхем: Официальный бюллетень. – Б.м.: Б.и.. – Ч. 4. – 2012.

11. Суперкомпьютер «Торнадо ЮУрГУ» [Электронный ресурс]: офиц. сайт. URL: http://supercomputer.susu.ac.ru/computers/tornado/ (дата обращения: 26.04.2015).




2015, том 7, 3 85



SELECTION OF THE OPTIMAL PARAMETERS FOR SIMULATION OF ATOMIC AND ELECTRONIC STRUCTURE OF CARBON NANOTUBES BY SIE STA

PACKAGE

S.A. Sozykin 1, V.P. Beskachko 2, G.P. Vyatkin 3

In connection with the development and the increasing availability of computer modeling of materi-als based on the first principles, and the emergence of conflicting data about the results of their use there are attempts to justify the use of computing technology on the example of the promising applications of systems – carbon nanotubes. Issues related to the selection of geometric parameters of the model (di-ameter, length, tube symmetry), ways to optimize its starting configuration, the selection of approxima-tions required to describe electronic structure in the framework of functional electron density theory are discussed. Arguments are supported by the reference to the experience gained by the authors earlier, as well as a variety of calculations carried out specifically in the preparation of this paper.

Keywords: carbon nanotubes; atomic structure; electronic structure; computer simulation; calcula-tions from first principles.

References 1. Gates, T.S. Computational materials: Multi-scale modeling and simulation of nanostructured ma-

terials / T.S. Gates, G.M. Odegard, S.J.V. Frankland, T.C. Clancy // Composites Science and Technol-ogy. – 2005. – V. 65. – P. 2416–2434.

2. Sozykin S.A., Beskachko V.P. Electrical properties of carbon nanotube (7,7) complexes with sin-gle atoms Li, Na, S and Se. Bulletin of South Ural State University. Series of “Mathematics. Mechanics. Physics”. 2012. Issue 7. no. 34(293). pp. 113–119. (in Russ.).

3. Sozykin S.A., Beskachko V.P. Mechanical properties of the complexes of carbon nanotube (7,7) with single Li, Na, S and Se atoms. Bulletin of South Ural State University. Series of “Mathematics. Mechanics. Physics”. 2012. Issue 7. no. 34(293). pp. 182–185. (in Russ.).

4. Sozykin S.A., Beskachko V.P. Structure of endohedral complexes of carbon nanotubes encapsu-lated with lithium and sodium. Molecular Physics. 2013. Vol. 111. Issue 7. pp. 930–938. DOI:10.1080/00268976.2012.760049

5. Sozykin S.A., Beskachko V.P. “Adsorption of Sulfur’s Atoms on the Outer Surface of Carbon Nanotubes”. Advanced Materials Research. Vol. 1091. pp. 25–29. DOI: 10.4028/www.scientific.net/ AMR.1091.25

6. Soler José M., Artacho Emilio, Gale Julian D., García Alberto, Junquera Javier, Ordejón Pablo and Sánchez-Portal Daniel The Siesta method for ab initio order-N materials simulation. J. Phys.: Con-dens. Matter. 2002. Vol. 14. pp. 2745–2779.

7. Eletskii A.V. Carbon nanotubes. Phys. Usp. 1997. Vol. 40. pp. 899–924. DOI: 10.1070/ PU1997v040n09ABEH000282

8. Melchor S., Martin-Martinez F.J., Dobado J.A. CoNTub v2.0 – Algorithms for Constructing C3-Symmetric Models of Three-Nanotube Junctions. J. Chem. Inf. Model. 2011. Vol. 51. pp. 1492–1505.

9. Nanotube Modeler. http://jcrystal.com/products/wincnt/ (26.04.2015). 10. Programmy dlya EVM. Bazy dannykh. Topologii integral'nykh mikroskhem: Ofitsial'nyy byul-

leten' (Computer programs. Database. Topographies of Integrated Circuits: Official Bulletin). 2012. Part 4.

11. “Tornado SUSU” Supercomputer. http://supercomputer.susu.ac.ru/computers/tornado/ (26.04.2015).

Received 23 May 2015

1 Sozykin Sergey Anatolevich is Cand. Sc. (Physics and Mathematics), Associate Professor, General and Theoretical Physics Department, South Ural State University. E-mail: [email protected] 2 Beskachko Valeriy Petrovich is Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, General and Theoretical Physics Department, South Ural State University. 3 Vyatkin German Platonovich is Corresponding Member of Russian Academy Science, Dr. Sc. (Chemistry), Professor, General and Theoreti-cal Physics Department, South Ural State University.


СВЕДЕНИЯ О ЖУРНАЛЕ

Серия основана в 2009 году. Свидетельство о регистрации ПИ ФС77-57362 выдано 24 марта 2014 г. Федеральной службой по

надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций. Журнал включен в Реферативный журнал и Базы данных ВИНИТИ. Сведения о журнале ежегодно

публикуются в международной справочной системе по периодическим и продолжающимся изданиям «Ulrich’s Periodicals Directory».

Решением Президиума Высшей аттестационной комиссии Министерства образования и науки Россий-ской Федерации журнал включен в «Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученых степеней доктора и кандидата наук».

Подписной индекс 29211 в объединенном каталоге «Пресса России», Е29211 в Интернет-каталоге агентства «Книга-Сервис».

Периодичность выхода – 4 номера в год.

ТРЕБОВАНИЯ К ПУБЛИКАЦИИ СТАТЬИ

1. Публикуются оригинальные работы, содержащие существенные научные результаты, не опублико-ванные в других изданиях, прошедшие этап научной экспертизы и соответствующие требованиям к подго-товке рукописей.

2. В редакцию предоставляется электронная (документ MS Word 2003) версия работы объемом не бо-лее 6 страниц, экспертное заключение о возможности опубликования работы в открытой печати, сведения об авторах (Ф.И.О., место работы, звание и должность для всех авторов работы), контактная информация ответственного за подготовку рукописи.

3. Структура статьи: УДК, название (не более 12–15 слов), список авторов, аннотация (150–250 слов), список ключевых слов, текст работы, литература (в порядке цитирования, в скобках, если это возможно, дается ссылка на оригинал переводной книги или статьи из журнала, переводящегося на английский язык). После текста работы следует название, расширенная аннотация (реферат статьи) объемом до 1800 знаков с пробелами, список ключевых слов и сведения об авторах на английском языке.

4. Параметры набора. Поля: зеркальные, верхнее – 23, нижнее – 23, внутри – 22, снаружи – 25 мм. Шрифт – Times New Roman, масштаб 100 %, интервал – обычный, без смещения и анимации, 11 pt. Отступ красной строки 0,7 см, интервал между абзацами 0 пт, межстрочный интервал – одинарный.

5. Формулы. Стиль математический (цифры, функции и текст – прямой шрифт, переменные – курсив), основной шрифт – Times New Roman 11 pt, показатели степени 71 % и 58 %. Выключенные формулы должны быть выровнены по центру.

6. Рисунки все черно-белые. Если рисунок создан не средствами MS Office, то желательно предоста-вить рисунки и в виде отдельных файлов.

7. Адрес редакции журнала «Вестник ЮУрГУ» серии «Математика. Механика. Физика»: Россия 454080, г. Челябинск, пр. им. В.И. Ленина, 76, Южно-Уральский государственный универси-

тет, факультет математики, механики и компьютерных наук, кафедра дифференциальных и стохастических уравнений, ответственному редактору профессору Загребиной Софье Александровне. [Prof. Zagrebina Sof'ya Aleksandrovna, Differential and Stochastic Equations Department, SUSU, 76, Lenin prospekt, Chelyabinsk, Russia, 454080].

8. Адрес электронной почты: [email protected] 9. Полную версию правил подготовки рукописей и пример оформления можно загрузить с сайта жур-

нала: см. www.vestnik.susu.ac.ru/mmph. 10. Журнал распространяется по подписке. Электронная версия: см. www.elibrary.ru,

http://вестник.юургу.рф/mmph. 11. Плата с аспирантов за публикацию не взимается.

Редактор А.Ю. Федерякин

Издательский центр Южно-Уральского государственного университета

Подписано в печать 22.06.2015. Формат 60×84 1/8. Печать цифровая. Усл. печ. л. 10,23. Тираж 500 экз. Заказ 296/385.

Отпечатано в типографии Издательского центра ЮУрГУ. 454080, г. Челябинск, пр. им. В.И. Ленина, 76.


вестник южно...

Automotive