パスカルの三角形 ~ 3 次元への拡張 ~ 2009.08.15
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パスカルの三角形 ~ 3 次元への拡張 ~ 2009.08.15. 立命館高校 2 年 池内 正剛. 動機. 去年は、“ブラックバスが琵琶湖を埋め尽くすのは何年後か ! ?” … 指数関数 見栄えのいいものを目指して! できるもの。 3D パズル・ミツバチがなぜ減っているのか?・ 回転寿司の回転数と客の動員数の関係・ 3D 数独. 見て・触って・実感. 3 次元にこだわる !!. 目的. パスカルの三角形には、様々な規則性が見つけられている。 2 次元→ 3 次元へ拡張した場合規則性は、どのように変化するのか? 3 次元ならではの規則性があるのか?. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
動機
•去年は、“ブラックバスが琵琶湖を埋め尽くすのは何年後か ! ?”…指数関数
•見栄えのいいものを目指して! できるもの。•3D パズル・ミツバチがなぜ減っているのか?・ 回転寿司の回転数と客の動員数の関係・ 3D 数独
目的
•パスカルの三角形には、様々な規則性が見つけられている。
•2 次元→ 3 次元へ拡張した場合規則性は、どのように変化するのか?
•3 次元ならではの規則性があるのか?
パスカルの三角形
•各列の和は、2 n-1 である。
•最初の列を除いて各段を横に見てみると11 n になる。
•フィボナッチ数列1.1.2.3.5.8……
→8
→4
→2
→11
1
2
3
5
3 次元への拡張~立体~
2次元
3次元
3 次元への拡張~平面~
1段目
2段目 3段
目 4段目
5段目
6段目
性質の比較
•各段落の合計について ・ 2 次元の時は、 2n-1で求めることができる。 ・ 3 次元の場合は、下表のようになる
段数 計算式 合計1 段目 1 1=30
2 段目 1×3 3=31
3 段目 1×3+2×3 9=32
4 段目 1×3+3×6+6 27=33
5 段目 1×3+4×6+6×3+12×3 81=34
6 段目 1×3+5×6+10×6+20×3+30×3 243=35
表を見たら分かるように 3次元にすると n段目の合計は 3n-1
•各段の個数について・ 2 次元では、 1 ・ 2 ・ 3 ・ 4 ・ 5… というように各段落の個数が増加していく。
・ 3 次元の場合は、 1 ・ 3 ・ 6 ・ 10 ・ 15 ・ 21… となる。
・このような数列を階差数列という。 階差数列は、2・3・4…となり 初項 a=2 交差 d=1 の階差数列になる。
2 3 64 5
・各段の個数は、 an= a1+ ∑n-1 bk で求まる。
この数列 {an} の段差数列を {bn} とすると、 {an}{bn} は… {an} = 1 ・ 3 ・ 6 ・ 10 ・ 15…
{bn} = 2 ・ 3 ・ 4 ・ 5 ・ 6…
{bn} は初項 2, 交差 1 の等差数列である。よって bn=n+1 ゆえに n≧2 の時 an=a1+ ∑n-1 (k+1)=1+ ∑n-1 k+ ∑n-1 1
=1+1/2(n-1)n+(n-1) an=1/2n2+1/2n
初項は a1=1 なので、 n=1 も成り立つ。
k=1
k=1 k=1 k=1
an=1/2n2+1/2n
•中央の個数
3段目4段目
5段目上の図のように、三角形で囲まれた部分を中央の個数とする。そうすると、中央の個数は… 1 ・ 2 ・ 3 段目= 0 個 4 段目= 1 個 5 段目=3 個これを表にすると、
段数 1 2 3 4 5 6 7 8中央の数の個数
0 0 0 1 3 610
15
となる。
1~3 段目までは、 0 個なので 1 段にまとめる(下表)段数(実際の段) 1 ( 1~
3 )2(4)
3(5)
4(6)
5(7)
6(8)
中央の数の個数 0 1 3 6 10 15
先ほども利用した an= a1+∑n-1 bk を利用する。k=1
数列 {an} = 0 ・ 1 ・ 3 ・ 6… とすると階差数列 {bn} =1 ・ 2 ・ 3 ・ 4…{bn} は a=1,d=1 の等差数列である。よって、 bn=n
ゆえに、 n≧2 のとき an=a1+ ∑n-1 (n) =0+ ∑n-1 (k) =0+ 1/2(n-1)n = 1/2n2-1/2n …① また、初項は a1=0 なので、①は n=1 のときも成り立つ。 以上により一般項は
k=1
k=1
an= 1/2n2-1/2n
↑ 2次元のパスカルの三角形を 2で割った場合白色・・・(奇数)青色・・・(偶数)
・ 3次元でもフラクタル図形が現れるか調べる。
・立体的な図ではわかりにくいので、 各段に分けて調べてみる。
・ 3次元へ拡張した場合、 側面は 2次元の場合と同じである。
フラクタル図形
• 2で割った場合 白色…奇数 青色…偶数
1 段目 2 段目
3 段目
4 段目 5 段目
6 段目 7 段目 8 段目
9 段目
10 段目
11 段目
12 段目
13 段目
14 段目
15 段目
16 段目
17 段目
18 段目
19 段目
8段が 1 周期フラクタル図形が現れる。
20 段目
3 次元の場合
• 3 次元に拡張するとn段の合計が、 3n-1で表わされることがわかった。 M 次元→ mn-1
• 各段の個数については、一般項 an=1/2n2+1/2nで求めることができる。
• 中央の個数は an=1/2n2 - 1/2nで求めることができる。• 中央の数の合計については、規則性がなく一般化できなかった。
• 3 次元へ拡張したときでもフラクタル図形が現れる。 ( 1 周期は 8 段)
結果
•中央の数の合計を一般化する。•10 段ぐらいまで自分で制作してみる。•フラクタル図形をプログラムして n 段目でも求められるようにする。 ( 他の数で)
20 段目の Max の値は 36.832.392
考察
拡張オブジェクト トラッキングの設定 - Cisco...Mobile IP アプリケーションの拡張オブジェクト トラッキング Enhanced Object Tracking Support for
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