1

Министерство образования

и науки Российской Федерации

С.Е. Демин, Е.Л. Демина

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

В трех частях

Часть 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

Электронное текстовое издание

Рекомендовано Учебно-методическим советом Нижнетагильского техно-

логического института (филиала) УрФУ имени первого Президента Рос-

сии Б.Н.Ельцина в качестве учебно-методического пособия для студентов

всех форм обучения, специальностей и направлений

Нижний Тагил

2017

2

Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«Уральский федеральный университет

имени первого Президента России Б.Н.Ельцина»

Нижнетагильский технологический институт (филиал)

Теория вероятностей

В трех частях

Ч. 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

Рекомендовано Учебно-методическим советом

Нижнетагильского технологического института (филиал) УрФУ

имени первого Президента России Б.Н.Ельцина

в качестве учебно-методического пособия

для студентов всех форм обучения, специальностей и направлений

Авторы-составители:

С. Е. Демин, Е. Л. Демина

Нижний Тагил

2017

3

УДК 519.21

Р е ц е н з е н т ы :

кафедра физико-математического образования филиала ГАОУ ДПО

Свердловской области «Институт развития образования» в г. Нижний Тагил

(зав. кафедрой: канд. пед. наук, доц. Т. Н. Райхерт);

доцент кафедры общенаучных дисциплин филиала ФГБОУ ВО

«Уральский государственный университет путей сообщения»

в г. Нижний Тагил К. В. Курмаева

Научный редактор: канд. физ.-мат. наук, доц. В. А. Феофанова

Теория вероятностей : в 3 ч. Ч. 1. Случайные события : учеб.-метод. пособие / авт.-

сост.: С. Е. Демин, Е. Л. Демина ; М-во образования и науки ; ФГАОУ ВО «УрФУ имени

первого Президента России Б.Н.Ельцина», Нижнетагил. технол. ин-т (фил.). – Нижний Та-

гил : НТИ (филиал) УрФУ, 2017. – 240 с.

ISBN 978-5-9544-0079-3 (ч. 1)

ISBN 978-5-9544-0078-6

Рассматриваются вопросы темы «Случайные события» раздела «Теория вероятностей»

курса «Математика» для студентов всех специальностей и всех форм обучения.

Приводятся многочисленные примеры и подробные пояснения к ним. Основу данного

пособия составили лекции, прочитанные авторами в Нижнетагильском технологическом инсти-

туте (филиал) УГТУ-УПИ.

Учебно-методическое пособие содержит 9 заданий (по 30 вариантов в каждом) по раз-

личным темам, рассмотренным в пособии, которые позволяют формировать индивидуальную

домашнюю работу студентов по данному разделу.

Рекомендовано для самостоятельной работы студентов всех форм обучения всех спе-

циальностей при изучении соответствующего раздела высшей математики, а также для исполь-

зования в качестве дополнительного материала при организации преподавателем практических

занятий.

Библиогр.: 11 назв. Прил. 6.

УДК 519.21

ISBN 978-5-9544-0079-3 (ч. 1) © Демин С. Е., Демина Е. Л., составление, 2017

ISBN 978-5-9544-0078-6

4

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ .............................................................................................................................. 6

ГЛАВА 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ……………………………………………..……..6

1. Алгебра событий .............................................................................................................. 7

1.1. Классификация событий ......................................................................................... 7

1.2. Следование событий ................................................................................................ 9

1.3. Произведение событий ............................................................................................ 9

1.4. Объединение (сумма) событий ............................................................................. 10

1.5. Вычитание событий ............................................................................................... 11

1.6. Полная группа событий ......................................................................................... 11

Типовые примеры по теме «Алгебра событий» .................................................... 14

Тестовые задания по теме «Алгебра событий» ..................................................... 16

2. Элементы комбинаторики ......................................................................................... 21

2.1. Правило сложения ................................................................................................. 21

2.2. Правило умножения............................................................................................... 21

2.3. Число комбинаций ................................................................................................. 22

2.4. Перестановки .......................................................................................................... 23

2.5. Перестановки с повторениями .............................................................................. 23

2.6. Размещения ............................................................................................................. 24

2.7. Сочетания ............................................................................................................... 26

Типовые примеры по теме «Элементы комбинаторики» ..................................... 28

Тестовые задания по теме «Комбинаторика» ....................................................... 33

3. Вероятность случайных событий ............................................................................. 39

3.1. Классическое определение вероятности .............................................................. 39

Типовые примеры по теме «Классическое определение вероятности».............. 43

Тестовые задания по теме «Классическое определение вероятности» .............. 50

3.2. Геометрическое определение вероятности ......................................................... 55

Типовые примеры по теме «Геометрическое определение вероятности» ......... 58

Тестовые задания по теме «Геометрическое определение вероятности» .......... 63

5

3.3. Статистическое определение вероятности .......................................................... 67

Тестовые задания по теме «Статистическое определение вероятности» ........... 68

3.4. Основные свойства вероятности. Теорема сложения вероятности .................. 70

Тестовые задания по теме «Теорема сложения вероятности» ............................. 73

3.5. Условная вероятность. ........................................................................................... 75

Теорема умножения вероятностей .............................................................................. 75

Тестовые задания по теме «Условная вероятность. Теорема умножения

вероятностей» ........................................................................................................... 78

3.6. Вероятность безотказной работы сети ................................................................. 82

3.7. Вероятность появления хотя бы одного события ............................................... 83

Тестовые задания по теме «Вероятность появления

хотя бы одного события» ........................................................................................ 85

Типовые примеры по теме «Теоремы сложения и умножения. Условная

вероятность» ............................................................................................................. 86

3.8. Формула полной вероятности ............................................................................. 101

3.9. Формула Бейеса (теорема гипотез) .................................................................... 103

Типовые примеры по теме «Полная вероятность. Формула Бейеса» ............... 106

Тестовые задания по теме «Формула полной вероятности.

Формула Бейеса» .................................................................................................... 113

3.10. Повторение испытаний...................................................................................... 117

3.10.1. Схема Бернулли (биномиальная схема) ................................................... 117

3.10.2. Наивероятнейшее число наступления события ...................................... 119

3.10.3. Асимптотические формулы вычисления

вероятности повторных событий ......................................................................... 120

3.10.3.1. Локальная теорема Муавра – Лапласа........................................ 120

3.10.3.2. Интегральная теорема Муавра – Лапласа ................................. 121

3.10.3.3. Формула Пуассона ......................................................................... 123

3.10.4. Отклонение относительной частоты от вероятности ............................. 125

Типовые примеры по теме «Повторные события» ............................................. 127

Тестовые задания по теме «Асимптотические формулы вычисления

вероятности повторных событий» ....................................................................... 138

Тестовые задания по теме «Повторение испытаний» ........................................ 140

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ........................................................................... 142

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Значения функции Гаусса .......................................................... 141

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Значения функции Лапласа ....................................................... 142

ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Значения функции Пуассона ..................................................... 144

ПРИЛОЖЕНИЕ 4. Варианты индивидуальных заданий ........................................ 147

ПРИЛОЖЕНИЕ 5. Ответы на тестовые задания ................................................. 235

ПРИЛОЖЕНИЕ 6. Терминологческий словарь ........................................................ 237

6

ВВЕДЕНИЕ

Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных зако-

номерностей массовых однородных случайных событий.

В различных областях человеческой деятельности часто приходится

иметь дело с явлениями, которые принято называть случайными. Случайное

явление – это явление, которое при многократном воспроизведении одного

и того же эксперимента протекает каждый раз несколько по-другому.

Приведем несколько примеров.

1. Вы каждый день одним и тем же маршрутом ездите из дома в инсти-тут. Время, затраченное на поездку, будет каждый раз разное. Оно зависит

от таких случайных факторов, как погода, количество людей на остановках

автобуса, количество машин на дорогах и т. д.

2. Подкидывание монеты. Выпадение герба или решки непредсказуемо. 3. Производится стрельба в тире. Число выбитых очков даже у одного

стрелка в разных сериях выстрелов будет разным.

Во всех примерах присутствуют случайные вариации, неодинаковые ре-

зультаты ряда опытов, основные условия которых остаются неизменными.

Это связано с наличием второстепенных факторов, влияющих на результат

эксперимента, но не заданных в числе его основных характеристик. Очевид-

но, есть принципиальная разница в методах учета основных, решающих фак-

торов, определяющих в главных чертах течение явления, и вторичных, второ-

степенных факторов, влияющих на течение явления в качестве погрешностей

или возмущений. Неопределенность, сложность, многопричинность случай-

ных явлений требует создания специальных методов их изучения. Такие ме-

тоды и разрабатываются в теории вероятностей. Ее предметом являются спе-

цифические закономерности, наблюдаемые в случайных явлениях.

Знание закономерностей, которым подчиняются массовые случайные со-

бытия, позволяет предвидеть, как эти события будут протекать. Например,

хотя, как было уже сказано, нельзя наперед определить результат одного под-

кидывания монеты, но можно предсказать, причем с небольшой погрешно-

стью, число появлений герба, если монета будет брошена достаточно боль-

шое число раз. При этом предполагается, конечно, что монета бросается в од-

них и тех же условиях.

Методы теории вероятностей широко применяются в различных отрас-

лях естествознания и техники: в теории надежности, теории массового об-

служивания, в теоретической физике, геодезии, астрономии, теории стрельбы,

теории ошибок наблюдений, теории автоматического управления, общей свя-

зи и во многих других теоретических и прикладных науках. Теория вероятно-

стей служит также для обоснования математической и прикладной статисти-

ки, которая, в свою очередь, используется при планировании и организации

производства, при анализе технологических процессов, предупредительном

и приемочном контроле качества продукции и для многих других целей.

7

ГЛАВА 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

1. Алгебра событий

1.1. Классификация событий

Каждая наука при изучении и описании явлений окружающего мира

оперирует рядом понятий, среди которых имеются основополагающие (ба-

зовые). Например, в физике – масса, скорость, в геометрии – точка, плос-

кость; в химии – валентность, атом и др.

В теории вероятностей основополагающими понятиями являются ис-

пытание (опыт) и событие.

Под испытанием (опытом) понимают осуществление определенного

комплекса условий или действий, при которых наблюдается соответст-

вующее событие. Событие – возможный результат опыта.

Приведем несколько примеров опытов и событий, которые могут поя-

виться в их результате:

Опыт Событие

1. Произведен выстрел по мишени. а) попадание по мишени;

б) непопадание по мишени.

2. Наугад называют какое-либо двузнач-

ное число

а) названо четное число;

б) названо число, оканчивающееся на

цифру 5;

в) названо число больше, чем 50

Таким образом, при каждом осуществлении опыта обязательно проис-

ходит некоторое событие.

События будем обозначать большими латинскими буквами A, B, C, ...

Примеры событий:

A – попадание в цель при выстреле; B – время, затраченное на поездку от дома до института; C – количество машин перед институтом; D – выпадение орла при подкидывании монеты; E – появление туза при вынимании карты из колоды.

Множество всех взаимоисключающих исходов при осуществлении

определенного комплекса условий будем называть пространством эле-

ментарных событий.

В дальнейшем считаем, что в эксперименте конечное число элемен-

тарных событий. Пространство элементарных событий будем обозначать

1, ..., .n Здесь 1, ..., n – набор из n взаимоисключающих исходов эксперимента.

8

Случайное событие A можно рассматривать как произвольное под-

множество пространства элементарных событий.

П р и м е р 1 . Подкидывается монета. Перечислите все события дан-

ного эксперимента.

Решение:

В данном случае имеется два элементарных события: 1 – выпадет

герб (Г), 1 – выпадет решка (Р). Пространство элементарных исходов

Г;P . П р и м е р 2. Подкидывается три монеты. Перечислите все события

данного эксперимента.

Решение:

ГГГ,ГГР,ГРГ,РГГ,РРГ,РГР,ГРР,РРР .

Говорят, что событие наступило, если произошло элементарное собы-

тие из этого подмножества.

Особо выделяются два специальных события.

1. Событие называется достоверным, если оно наступает при каждой

реализации определенного комплекса условий S. Очевидно, что такое собы-

тие совпадает со всем пространством элементарных событий , т. к. всегда должно произойти одно из элементарных событий, в него входящих.

Например, событие «выпадение не менее двух очков при бросании

двух игральных костей» – событие достоверное. Событие «вода в сосуде

находится в жидком состоянии» есть достоверное при нормальном атмо-

сферном давлении и комнатной температуре. В этом примере заданные ат-

мосферное давление и температура воды составляют совокупность усло-

вий S.

2. Событие называется невозможным, если оно не наступает ни при

одной реализации комплекса условий S. Такое событие соответствует пус-

тому множеству , т. е. событию, в которое не входит ни одно элементар-

ное событие.

Например, событие «вода в сосуде находится в твердом состоянии»

заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий

предыдущего примера. Невозможным является и событие «выпадение ме-

нее двух очков при бросании двух игральных костей».

9

Событие называется случайным, если при осуществлении совокупно-

сти условий S оно может либо произойти, либо не произойти.

Например, если брошена монета, то она может упасть так, что сверху

будет либо герб, либо решка. Поэтому событие «при бросании монеты вы-

пал герб» – случайное.

1.2. Следование событий

Говорят, что событие A влечет событие B (обозначается AB), если

при наступлении события A обязательно наступает и событие B.

Если событие A состоит в том, что наудачу брошенная точка попала

в область A, а событие B – в область B, то соотношение AB выполняется

тогда, когда область A целиком содержится в области B.

Если AB и одновременно BA, то события A и B называются экви-

валентными или равными и обозначаются A = B.

Очевидно, что для любого события A имеет место включение вида

A .

1.3. Произведение событий

Произведением событий A и B называется такое событие C, которое

происходит тогда, когда происходят событие A и событие B, и обозначает-

ся C = A B .

Очевидно, что A = A. В дальнейшем будем обозначать произведение событий как BA .

10

Два события A и B называются несовместными, если их совместное

появление невозможно, т. е. если A B = .

Примеры:

1) попадание и промах в тире, 2) выпадение орла и решки при бросании одной монеты, 3) выпадение единицы и четного числа очков при бросании играль-

ной кости.

События iA называются попарно несовместными, если ji AA для

любой пары i и j , i j.

Примеры:

1) выпадение двойки и пятерки при однократном бросании кубика, 2) попадание в девятку и десятку при одном выстреле.

1.4. Объединение (сумма) событий

Событие C называется суммой, или объединением, событий A и B, ес-

ли оно происходит тогда, когда наступает хотя бы одно из событий A или

B, С = A B = A + B.

Можно легко показать, что введенные операции над событиями удов-

летворяют следующим основным соотношениям алгебры множеств:

ABBA , ABBA ,

CBACBA , CBACBA , CBCACBA , CBCACBA .

11

1.5. Вычитание событий

Событие С называется разностью событий A и B, если оно наступает

лишь тогда, когда происходит событие A и не происходит событие B, C = A\B.

Событие \A называется противоположным событию A и обозначает-

ся A = \A.

Через операции и связь между событиями A и A можно выразить так:

A А = и A А = .

Формулы для противоположных событий получаются из законов

де Моргана:

1. \

1iiA =

1

)\(i

iA , или

1iiA =

1iiA .

2. \

1iiA =

1

)\(i

iA , или

1iiA =

1iiA .

1.6. Полная группа событий

Введем некоторые вспомогательные определения.

Пусть имеется конечное число элементарных событий iA данного экс-

перимента.

12

События iA в данном эксперименте образуют полную группу событий,

если в результате опыта хотя бы одно из них обязательно произойдет, т. е.

если n

iiA

1

= .

Примеры:

1) попадание и промах в тире, 2) выпадение орла и решки при бросании одной монеты, 3) выпадение числа очков {от одного до трех}, {от двух до пяти} и

{от четырех до шести} при бросании игральной кости.

События iA образуют полную группу попарно несовместных событий,

если

n

iiA

1

= ,

т. е. для )(, jiji ji AA = и n

iiA

1

= .

Например, при однократном бросании игральной кости система собы-

тий 1A , 2A , 3A , 4A , 5A , 6A , состоящих в выпадении 1, 2, 3, 4, 5 и 6 очков,

является полной группой попарно несовместных событий.

П р и м е р 1. Среди студентов, собравшихся на лекцию по теории ве-

роятностей, выбирают наудачу одного. Пусть событие A заключается

в том, что он – юноша. Событие B в том, что он не курит, а событие C

в том, что он живет в общежитии.

1. Описать событие CAB (юноша живет дома и не курит). 2. При каком условии будет иметь место тождество AABC ? (BC = ,

т. е. в общежитии живут все некурящие).

3. Когда будет справедливо соотношение BC ? (живущие дома

не курят).

4. Когда будет верно равенство BA ? (не курят только девушки).

5. Будет ли оно иметь место последнее равенство, если все юноши ку-

рят? (нет, т. к. равенства BА и BA несовместны).

П р и м е р 2. Из колоды в 36 карт наугад вытаскивается карта. Вводятся

события: А = {вытащен туз}, В = {вытащена карта красной масти}, С = {вы-

тащена карта масти «пик»}. Выяснить смысл событий: AB, AC, BC, А\В, B\C,

В\А, В + С, B .

Ответы:

АВ = {вытащен туз бубны или туз черви},

АС = {вытащен туз пики},

ВС = ,

13

А\В = {вытащен туз черной масти},

B\C = В,

В\А = {вытащена карта красной масти, не являющаяся тузом},

В + С = {вытащенная карта не имеет масть трефы}.

B = {вытащенная карта черной масти}.

П р и м е р 3 . Рассмотрим техническое устройство (ТУ), состоящее

из m-элементов. В теории надежности принято говорить, что элементы со-

единены последовательно (a), если ТУ прекращает функционировать при

отказе любого элемента, и соединены параллельно (б), если прекращение

функционирования ТУ наступает только при отказе всех m -элементов.

а б

Обозначим через А событие, означающее отказ ТУ, а через iA событие

отказа i -элемента.

Тогда для последовательного соединения mAAAA ...21 (или

mAAAA ...21 ), а для параллельного соединения, соответственно,

mAAAA ...21 (или mAAAA ...21 ).

П р и м е р 4. Для изображенной электрической цепи вводят событие

A схема не работает. Записать выражения для A и A .

Решение:

Разрыв цепи произойдет, если выйдет из строя элемент 1 или все три

элемента 2, 3, 4, т. е. произойдут событие 1A или событие 432 AAA .

Поэтому 4321 AAAAA , и по законам де Моргана находим

)( 43214321 AAAAAAAAA .

14

Типовые примеры по теме «Алгебра событий»

Пример 1. Событие А означает, что хотя бы одна пуля при трех выстре-лах попадет в цель, т. е. цель будет поражена. Что означает событие А ?

Решение: Событие А означает, что ни одна из трех пуль не попала в цель. П р и м е р 2. Событие А – хотя бы одно из четырех изделий бракован-

ное, событие В – бракованных изделий среди них не менее двух. Что озна-

чают события A и B ? Решение:

A – событие противоположное А, A – бракованных изделий нет; B – бракованных изделий менее двух.

П р и м е р 3. Пусть А, В, С – три произвольных события. Выразить формулами, что из событий А, В, С:

1) появляется только одно, 2) появляются только два, 3) появляются три, 4) не появляется ни одно из событий, 5) появляются хотя бы два, 6) появляется хотя бы одно. Решение:

1) СВАСВАСВА , 2) СВАСВАСВА ,

3) CBA , 4) CBA ,

5) СВАСВАСВА + CBA , 6) CBA . Пример 4. При каких событиях А и В возможно равенство А + В = А?

Решение: А + В событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А

или В. Если А + В = А, то событие В не изменяет события А, а потому В яв-ляется частью события А.

Например, из таблицы случайных чисел выбирают число. Пусть А – событие, состоящее в том, что число делится на 2; В – число делится на 4. То-гда А + В = А, т. к. если число делится на 4, то оно делится на 2.

П р и м е р 5. Пусть эксперимент заключается в вытаскивании одной карты из колоды в 36 карт. Событие A заключатся в том, что выбрали чер-ву ( A = {черва}), а событие B – в том, что выбрали туза ( B = {туз}). Оп-ределите, что означают события: BA , AB , BA , AB , A и B .

Решение: BA = {все червы и все тузы},

AB = {червовый туз}, BA = {все червы, кроме туза}, AB = {тузы бубновый, трефовый и пиковый},

A = { бубны, трефы и пики}, B = { шестерки, семерки, восьмерки, девятки, десятки, валеты, дамы и

короли}.

15

П р и м е р 6. Из таблицы случайных чисел наудачу выбирают одно число. Вводят события: А – выбранное число делится на 5, В – выбранное число оканчивается нулем. Выяснить смысл событий AB и BA .

Решение: Событие AB описывается так: выбранное число делится на 5 и одно-

временно оканчивается нулем, т. е. оканчивается нулем. Поэтому BAB . Событие BA описывается так: выбранное число или делится на 5

или оканчивается нулем, т. е. делится на 5. Поэтому ABA . П р и м е р 7. Три стрелка произвели по одному выстрелу по мишени.

Записать выражение следующих событий: 1) в мишень попали все три стрелка, 2) попал только один стрелок, 3) попал хотя бы один стрелок.

Решение:

Пусть событие 1A – попал первый стрелок, 2A и 3A – попал второй и

третий, соответственно. Тогда

1) ;321 AAAC

2) D 321 AAA 321 AAA ;321 AAA

3) E 321 AAA 321 AAA 321 AAA 321 AAA 321 AAA

321 AAA .321 AAA

П р и м е р 8. Для изображенной электрической цепи вводят следую-

щие события: A работает блок a , 21,BB работают блоки 1b или 2b , со-

ответственно, C схема работает. Записать выражения для C и C .

Решение: Параллельное соединение 1b 2b работает, если работает хотя бы одно

из них, поэтому событие 21 BB работает параллельное соединение блоков. Событие С произойдет, если одновременно с этим работает блок a .

Значит, AC 21 BB . Схема не работает, если не работает или блок ,a или параллельное со-

единение блоков 1b 2b , или и то и другое сразу. Поэтому 21BBAC .

П р и м е р 9. Из множества супружеских пар наугад выбирается одна пара. Событие А = {мужчине большее 30 лет}, событие В = {мужчина старше женщины}, событие С = {женщине большее 30 лет}. Выяснить со-держание событий АВС, А\(ВА), АB С.

Решение: АВС {супружеству за 30 лет, причем мужчина старше женщины}; А\(ВА) = (А но не ВА) {мужчине за 30, но он не старше женщины}; АB С {супружеству за 30, причем мужчина не старше женщины}.

16

Тестовые задания по теме «Алгебра событий»

1. Какие события не могут быть признаны случайными?

а) количество образцов с положительной реакцией в общем объеме

образцов;

б) число машин на автостоянке;

в) количество мест для пассажиров в поезде;

г) количество студентов на лекции.

2. Ряд всех возможных элементарных событий данного эксперимента

называется

а) событием; б) пространством элементарных событий;

в) исходом; г) последовательностью событий.

3. Подмножество всех элементарных событий в выборочном про-

странстве дискретного типа называется

а) случайным событием; б) результатом эксперимента;

в) исходом; г) набором исходов.

4. Случайное событие – это событие, которое

а) происходит в каждом испытании;

б) происходит один раз в серии испытаний;

в) происходит очень редко;

г) может произойти или не произойти в данном испытании.

5. Событие называется достоверным, если

а) вероятность его близка к единице;

б) при заданном комплексе факторов оно может произойти;

в) при заданном комплексе факторов оно обязательно произойдет;

г) вероятность события не зависит от причин, условий, испытаний.

6. Событие, которое при заданном комплексе факторов не может осу-

ществиться, называется

а) несовместным; б) независимым;

в) невозможным; г) противоположным.

7. Бросается игральный кубик с шестью гранями. Событие

А = очков 6 до 1 от выпадет а) невозможное; б) случайное;

в) достоверное; г) редкое.

8. Бросаются два игральных кубика. Событие С = выпало 14 очков а) достоверное; б) возможное;

в) маловероятное; г) невозможное.

17

9. Если случайные события А и В не могут появиться вместе, то они

называются

а) независимыми; б) несовместными;

в) противоположными; г) невозможными.

10. События называются несовместными, если

а) в данном опыте они могут появиться все вместе;

б) сумма вероятностей их равна единице;

с) хотя бы одно из них не может появиться одновременно с другим;

г) в одном и том же опыте появление одного из них исключает появ-

ление других событий.

11. Бросается игральный кубик. Какие события являются несовмест-

ными:

а) 4,5,6 ,4,3,2,1 ; б) 5,3 ,4,3 ,1 ; в) 1,3,5 ,4,2 ; г) 2,3,5 ,2,6,4 .

12. Ориентируясь на рисунок, выберите вариант ответа, в котором

правильно указано наибольшее число несовместных событий:

а) A и B; б) А, В, T, P, D, E, C; в) A, B, C, E, T; г) C, D, Е, Р.

13. Сумма двух событий – это

а) событие, состоящее в одновременном появлении этих событий;

б) сумма вероятностей этих событий;

в) число появлений этих событий;

г) событие, состоящее в появлении одного или другого события.

18

14. Сумма (объединение) трех событий изображена на рисунке

15. Укажите рисунок, на котором заштриховано событие D + E.

16. Произведение двух событий – это

а) произведение вероятностей этих событий;

б) меры возможности одновременного появления этих событий;

в) событие, состоящее в одновременном появлении этих событий;

г) событие, состоящее в появлении одного или другого события.

17. Произведение трех событий изображено на рисунке:

18. Два события называются противоположными, если

а) они равновозможные и в сумме составляют достоверное событие;

б) они несовместны и в сумме составляют достоверное событие;

в) они совместны и в сумме составляют достоверное событие.

19. Бросается игральный кубик. Какие события являются противопо-

ложными?

а) 5,6 ,3,4 ,2,1 ; б) 2,3,4,5,6 ,1 ; в) 3,4,5,6 ,3,2,1 ; г) 1,6 ,5,4 .

19

20. Производится 5 раз некоторый опыт, в каждом из которых может

произойти событие А. Событие С = { событие А произойдет хотя бы 2

раза} противоположно событию

а) раз 5 произойдетА событие ;

б) событие А не произойдет ни разу ; в) раздвух менее произойдетА событие ; г) раза два произойдетА событие .

21. Полная группа событий – это

а) группа событий, когда в результате опыта неизбежно должно про-

изойти одно из них;

б) группа событий, вероятности которых равны между собой;

в) группа взаимоисключающих друг друга событий;

г) группа событий, вероятности которых равны 1.

22. Бросается игральный кубик. Какие события образуют полную

группу событий?

а) 5,6 ,1,2,4 ; б) 4,5,6 ,3,4,5 ,3,2,1 ; в) 4,5 ,3,4 ,2 ,1 ; г) .4,5,3,4 ,2,3 ,2,1

23. Будет ли сумма противоположных событий составлять полную

группу?

а) да; б) зависит от природы случайных событий;

в) нет; г) только для независимых событий.

24. Aи B – независимые события. Тогда справедливо следующее ут-

верждение:

а) BPBAP / ; б) BPAPBAP ; в) 0BAP ; г) BPABP / .

25. А, В, С – три события, наблюдаемые в эксперименте. Событие

Е = {из трех событий А, В, С произойдет ровно одно} в алгебре событий

имеет следующий вид:

а) E = ABCCABCBA ; б) E = СBACBACBA ; в) E = ABC; г) E = A+B+C.

26. Электрическая цепь имеет следующий вид:

1

2

4

3

20

Событие Ак= {k – элемент с номером п вышел из строя}, k = 1,2,3,4.

Событие В = {разрыв цепи} выражается через события А1, А2, А3, А4 сле-

дующим образом:

а) В=А1+А2+А3+А4; б) В =А1·А4+А2+А3;

в) В=А1+А2·А3+А4; г) В=А1·А2·А3·А4.

27. При бросании игральной кости обозначим А событие, состоящее

в появлении 2 очков, В – четное число очков. Какое из утверждений не-

справедливо?

а) А влечет за собой В; б) В влечет за собой А;

в) АВ = А; г) А + В = В.

28. В каком случае при бросании кости верно, что событие А влечет

за собой событие В?

а) А – появление четного числа очков, В – появление 6 очков;

б) А – появление 4 очков, В – появление любого четного числа очков;

в) А – выпадение любого нечетного числа очков, В – появление 3 оч-

ков;

г) А – появление любой грани, кроме 6, В – появление 3 очков.

29. В ящике 20 стандартных деталей и 7 бракованных. Вытащили три

детали. Событие А1 – первая деталь бракованная, А2 – вторая деталь брако-

ванная, А3 – третья деталь бракованная. Записать событие: В – все детали

стандартные.

а) 321 AAAB ; б) 321 AAAB ;

в) 321 AAAB ; г) 321321321 AAAAAAAAAB .

21

2. Элементы комбинаторики

Комбинаторикой называется область математики, в которой изучаются

вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или

иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих данному

множеству.

2.1. Правило сложения

Если какой-то объект A можно выбрать m -способами, а объект B –

n -способами (не такими, как A ), то объект «или A , или B » можно вы-

брать nm способами.

П р и м е р . В одной урне лежит 10 шаров, в другой – 8 шаров. Произ-

вольно из какой-нибудь урны вынимается один шар. Сколькими способами

можно это сделать?

Решение:

10 + 8 = 18 способов.

2.2. Правило умножения

Если объект A можно выбрать m -способами, а после каждого такого

выбора другой объект B можно выбрать n -способами (независимо от вы-

бора объекта A ), то пары объектов A и B можно выбрать mn -способами.

П р и м е р 1. Пусть из пункта A в пункт B имеется 5 дорог, а из пункта

B в пункт C – 6 дорог.

1. Сколько существует различных вариантов проезда из пункта A

в пункт C?

2. Сколько существует различных вариантов проезда из пункта A

в пункт B и обратно?

3. Сколько существует различных вариантов проезда из пункта A в пункт

B и обратно при условии, что дороги туда и обратно будут разными?

Решение:

1. Существует 5 различных путей из пункта A в пункт B – это 5 спосо-

бов 1-го действия, при этом существует 6 различных путей из пункта B в

пункт C – это 6 различных способов 2-го действия. Согласно правилу ум-

ножения число различных способов выбора пути из пункта A в пункт C

равно 5 6 = 30.

2. Из пункта A в пункт B ведет 5 дорог, значит, имеется 5 способов

проезда туда и 5 способов проезда обратно. По правилу умножения число

всех способов проезда туда и обратно равно 5 5 = 25.

22

3. Рассуждаем аналогично пункту 2, но учитываем, что дороги туда и

обратно не должны совпадать, т. е. при выборе одного из 5-ти способов

проезда «туда» обратно можно вернуться одним из 4-х способов. Поэтому

число различных способов проехать из пункта A в пункт B и вернуться об-

ратно, но обязательно другой дорогой, равно 5 4 = 20.

П р и м е р 2. В урне находятся 10 белых, 15 черных и 20 красных ша-

ров. Сколькими различными способами можно взять из урны 3 шара раз-

ных цветов?

Решение:

В таких задачах предполагается, что все шары различимы, например,

перенумерованы. Тройку шаров, взятых из урны, можно образовать тремя

действиями.

1 действие. Возьмем один белый шар. Это действие можно совершить

10-ю способами (по числу различных белых шаров в урне).

2 действие. К выбранному белому шару присоединим черный шар, ко-

торый можно взять 15-ю различными способами (по числу различных чер-

ных шаров в урне).

3 действие. К выбранной паре присоединим красный шар, который мож-

но взять 20-ю различными способами (по числу красных шаров в урне).

Таким образом, можно образовать различные тройки разноцветных

шаров, причем порядок действия при этом не играет роли. Число различ-

ных способов выбора троек разноцветных шаров совпадает с числом раз-

личных трех действий и по правилу умножения равно 101520 = 3 000.

2.3. Число комбинаций

Обобщим результат, полученный в предыдущей задаче.

Пусть нам надо выбрать по одному объекту из k -групп объектов, при-

чем в первой группе 1n объектов, во второй – 2n в третьей – 3n и т. д. То-

гда первый объект можно выбрать 1n способами, независимо от него вто-

рой – 2n способами, независимо от первых двух третий – 3n способами, и

т. д., и, наконец, k -й объект выбирается независимо от всех предыдущих –

kn способами. Общее число способов выбрать k объектов, называемое чис-

лом комбинаций, равно

K 1n 2n 3n .... kn .

П р и м е р . Номера машин в России имеют следующий код: вначале

идет буква, затем трехзначный номер, затем еще две буквы и затем дву-

значное число – код региона. Сколько всего можно составить различных

номеров машин.

23

Решение:

В номерах машин используются только буквы, написание которых

есть как в русском, так и в латинском алфавитах. Таких букв – 12 (А, В, Е,

К, М, Н, О, Р, С, Т, У и Х). Таким образом, первую букву можно выбрать

12 способами. Ненулевых трехзначных чисел – 999. Каждую из следую-

щих букв также можно выбрать 12 способами. Ненулевых двузначных чи-

сел – 99. Итого всего номеров может быть 12 999 12 12 99 = 170 900 928.

2.4. Перестановки

Перестановками nP называются комбинации, состоящие из одних и

тех же n различных элементов, отличающиеся друг от друга только поряд-

ком расположения этих элементов.

Пусть у нас есть n объектов. Первому объекту мы можем приписать n

номеров, для каждого варианта номера первого объекта второму остается

1n вариант, для каждого варианта номеров первых двух объектов треть-

ему остается 2n номера, и т. д., и, наконец, последнему объекту останет-

ся один номер. По правилу подсчета комбинаций получаем, что nP равно

произведению всех чисел от n до 1.

Следовательно,

!123...)2()1( nnnnPn .

П р и м е р 1. На полке находится пять книг. Сколькими способами их

можно расставить?

Решение:

Число способов равно 12054321!55 P .

П р и м е р 2. Студенты должны сдать 4 экзамена. Сколькими спосо-

бами деканат может составить последовательность сдачи экзаменов?

Решение:

Число способов равно 244321!44 P .

2.5. Перестановки с повторениями

Выше предполагалось, что все n -объектов различны. Если же некото-

рые объекты повторяются, то в этом случае число перестановок вычисля-

ется по-другому. Пусть среди n -объектов есть 1n -объектов первого рода,

2n – второго рода, 3n – третьего, и т. д., наконец, kn -объектов k -го рода.

Тогда число перестановок с повторениями равно

24

!...!!

!,...,,

2121

kkn

nnn

nnnnP ,

где nnnn k ...21 .

П р и м е р 1. Сколько различных шестизначных чисел можно соста-

вить с помощью цифр 1, 1, 1, 2, 2, 3?

Решение:

Эта задача на перестановки с повторениями. У нас три цифры 1, две

цифры 2 и одна цифра 3. Следовательно, количество таких чисел равно

60112123

123456

!1!2!3

!61,2,36

P .

П р и м е р 2. Сколько различных перестановок букв можно сделать

в словах: книга, кусок, шалаш, колокол?

Решение:

В слове книга все буквы разные. Поэтому число перестановок равно

.12054321!55 P

В слове кусок буква «к» повторяется дважды. Следовательно, 21 n ,

1432 nnn . Число перестановок равно .60!1!1!1!2

!51,1,1,25

P

В слове шалаш буквы «ш» и «а» повторяется дважды. Следовательно,

221 nn , 13 n . Число перестановок равно .30!1!2!2

!51,2,25

P

В слове колокол буквы «к» и «л» повторяются дважды, а буква «о» –

трижды. Следовательно, 221 nn , 33 n . Число перестановок равно

.2101231212

1234567

!3!2!2

!73,2,25

P

2.6. Размещения

Размещениями mnA называются комбинации, составленные из n раз-

личных элементов по m-элементов в комбинации, отличающиеся друг

от друга либо составом элементов, либо их расположением.

Пусть у нас есть m мест и n объектов ( mn ). Нас интересует число

способов, которыми можно разместить объекты на этих местах (по одному

объекту на одно место, некоторым объектам мест не хватит). Будем дейст-

вовать также, как и в предыдущем случае: на первое место мы можем по-

25

местить n -объектов, на второе – 1n , на третье – 2n и т. д. Наконец,

на m -е место мы можем поместить 1mn объект.

26

Таким образом,

!

!1...21

mn

nmnnnnAmn

.

П р и м е р . Экзамен сдает 30 студентов. В начале экзамена для подго-товки по порядку запускают 6 студентов. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: Число способов равно

.000518427252627282930630 A

2.7. Сочетания

Сочетаниями mnC называются комбинации, составленные из n различ-

ных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним эле-ментом.

Заметим, что если бы был существенен порядок внутри группы, то зада-

ча не отличалась бы от предыдущей, и число вариантов было бы равно mnA .

Зафиксируем некоторую группу из m -объектов. Посчитаем, сколько

раз мы ее посчитали в числе mnA . Очевидно, это число равно числу упоря-

дочений (нумераций от 1 до m) этой группы, т. е. mP . Следовательно, для

того чтобы получить число вариантов неупорядоченной группы, надо mnA

разделить на mP . Итак,

!

! !

mm nn

m

A nC

P n m m

.

П р и м е р 1. Группе из 25 студентов надо выбрать делегацию из трех человек на студенческую конференцию. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: Исходное множество различных объектов образуют студенты группы.

Число всех элементов множества равно 25 (по числу студентов). Выделенные 3 человека дежурных образуют трехэлементное подмножество из общего числа в 25 элементов (n = 25, k = 3). При этом подмножество определяется только элементами, в него входящими, но неважно, в каком порядке (Иванов, Петров, Сидоров или Сидоров, Иванов, Петров – одно и то же подмножест-во). Поэтому по определению имеем сочетание из 25 элементов по 3 и по вышеуказанной формуле число различных способов выбрать трех делегатов из 25 студентов равно

27

325

25! 23 24 2525 23 4 2 300

3!22! 1 2 3C

.

П р и м е р 2. В урне находятся 10 белых, 15 черных, 20 красных ша-ров. Из урны наудачу берутся 9 шаров. Найти:

1. Сколькими различными способами можно вынуть 9 шаров? 2. Сколькими различными способами можно взять 9 шаров, среди ко-

торых 6 белых и 3 черных? 3. Сколькими различными способами можно взять 9 шаров, среди ко-

торых 2 белых, 3 черных и 4 красных шара? Решение: 1. Всего в урне 45 шаров. Считаем, что шары различимы, например,

пронумерованы. Следовательно, имеем множество из n = 45 различных объектов. Наудачу взятые 9 шаров образуют подмножество из k = 9 эле-ментов. Это подмножество определяется лишь элементами, попавшими в него, порядок не имеет значения. Следовательно, это сочетание из 45 элементов по 9. Число таких различных подмножеств совпадает с числом различных способов вынуть 9 любых шаров из 45 и равно

945

45! 37 38 39 40 41 42 43 44 45886 163 135

9!36! 1 2 3 4 5 6 7 8 9C

.

2. Взятие 9 шаров, из которых 6 белых и 3 черных, можно разбить

на два действия: 1-е действие – возьмем 6 белых шаров из 10 белых шаров,

находящихся в урне (это можно сделать 610C различными способами); 2-е

действие – возьмем 3 черных шара из общего числа 15 черных шаров (это

можно сделать 315C различными способами). Тогда число различных спо-

собов взятия 9 шаров нужного состава по правилу умножения равно

6 310 15

10! 15! 7 8 9 10 13 14 1595 550

6!4! 3!12! 1 2 3 4 1 2 3C C

.

3. Чтобы получить 9 шаров, из которых 2 белых, 3 черных и 4 крас-ных, надо последовательно выполнить три действия: а) взять 2 белых шара из общего числа 10 белых шаров; б) взять 3 черных шара из общего числа 15 черных шаров; в) взять 4 красных шара из общего числа 20 красных шаров. Тогда число способов взятия 9 шаров такого состава совпадет с числом реализаций таких действий, которое по принципу умножения совпадает с числом

2 3 410 15 20

10! 15! 20!45 13 35 17 19 3 5 99 201 375

2!8! 3!12! 4!16!C C C .

28

Типовые примеры по теме «Элементы комбинаторики»

П р и м е р 1. На одной полке книжного магазина стоит 20 различных

книг, а на другой – 40 различных книг (и не таких, как на первой полке).

Сколькими способами можно выбрать одну книгу?

Решение:

Выбрать одну книгу из стоящих на этих полках можно по правилу

суммы 20 + 40 = 60 способами.

П р и м е р 2. В столовой предлагают два различных первых блюда,

три различных вторых блюда и два вида десерта. Сколько различных обе-

дов из трех блюд может предложить столовая?

Решение:

По принципу умножения получаем 2 3 2 = 12. П р и м е р 3. На полке наудачу располагаются 10 книг. 1) Сколько су-

ществует различных способов расположения 10-ти книг? 2) Сколько суще-

ствует различных способов расположения 10-ти книг, при которых 2 зара-

нее помеченные книги окажутся рядом? 3) Сколько существует различных

способов расположения 10-ти книг, при которых 3 заранее помеченные

книги окажутся рядом?

Решение:

1. 10 книг образуют множество из n = 10 различных элементов, т. к.

книги разные. Расположение книг на полке – это упорядочивание книг

слева направо. Таким образом, расположение книг на полке – перестановка

из 10-ти элементов. Поэтому число различных расположений 10 книг на

полке совпадает с числом различных перестановок из 10-ти элементов и

находится по формуле Р10 = 10! = 3 628 800.

2. Подсчитаем число различных расположений 10-ти книг, при которых

2 помеченные книги стоят рядом. Временно свяжем две заранее помеченные

книги веревочкой в 1 том. После этого на полке окажется 9 томов, из которых

8 – старые книги, а 9-й том образован связкой двух книг. Существует 9! раз-

личных способов расположения указанных 9-ти томов на полке. При этом,

тасуя две книги в связке 2! различными способами (по числу перестановок

двух книг внутри составного тома), получим, что каждая из 9! перестановок

9-ти томов даст 2! искомых перестановок 10-ти книг. Следовательно, число

искомых перестановок из 10 книг равно 9!2! = 725 760.

3. Как в предыдущем пункте, для поиска числа перестановок 10 книг,

при которых 3 заранее отмеченные книги окажутся рядом, свяжем эти 3

помеченные книги веревочкой в один толстый том. После этого на полке

окажутся 7 +1 = 8 томов. Их мы расположим на полке 8! различными спо-

собами, при этом каждая из 8! перестановок 8-и томов порождает 3! иско-

мых перестановок из 10-ти книг за счет того, что внутри толстого тома

29

можно тасовать 3 книги 3! различными способами. Поэтому число пере-

становок 10-ти книг, при котором 3 заранее отмеченные книги стоят ря-

дом, равно 8!3! = 241 920.

П р и м е р 4. На 6-ти карточках написаны буквы, из которых можно

составить слово «АНАНАС». Сколько существует различных шестибук-

венных слов, которые можно составить при помощи этих 6-ти карточек?

Решение:

6 карточек разобьем на 3 группы. Первая группа образована карточка-

ми с буквой А. Число таких карточек равно 3. Они неразличимы по бук-

вам, у всех одна и та же буква А, .31 n Вторая группа образована двумя

карточками, содержащими букву Н. Элементы второй группы также не-

различимы между собой, .22 n Третья группа образована одной карточ-

кой с буквой С, .13 n Таким образом, мы имеем дело с перестановками

с повторениями и число слов из 6-ти букв равно

(3,2,1)Р (3 2 1)! 6!

60.3!2!1! 3!2!

П р и м е р 5. На 10-ти карточках написаны буквы так, что из этих кар-

точек можно составить слово «МАТЕМАТИКА». Сколько существует раз-

личных 10-буквенных слов, которые можно образовать при помощи этих

десяти карточек?

Решение:

10 карточек разобьем на группы. Первая группа содержит букву М.

Элементы ее неразличимы (буквы М – неразличимы). Число элементов

первой группы .21 n Вторую группу образуют карточки с буквой А. Чис-

ло элементов второй группы .32 n Третью группу образуют карточки

с буквой Т. Число элементов третьей группы .23 n Четвертая группа со-

стоит из одного элемента Е; число элементов четвертой группы .14 n Пя-

тая группа состоит из одного элемента И; число элементов пятой группы

.15 n Шестая группа состоит из одного элемента К; число элементов

шестой группы .16 n Число различных 10-буквенных слов, образованных

этими десятью карточками, совпадает с числом различных перестановок

с повторениями и равно

(2,3,2,1,1,1)Р 10! 10!

5 6 7 8 9 10 151 200.2!3!2!1!1!1! 4!

30

П р и м е р 6. Набирая номер телефона, абонент забыл последние три

цифры, помня лишь, что они различные и набрал их наудачу. Сколько по-

пыток ему придется сделать?

Решение:

Номера телефонов могут отличаться набираемыми различными циф-

рами и их порядком, поэтому имеем размещения

7208910)!310(

!10310

А .

П р и м е р 7. В соревнованиях принимает участие 7 спортсменов. Сре-

ди них разыгрывается три призовых места. Сколько существует различных

способов заполнения пьедестала?

Решение:

Участники соревнований – множество из n = 7 различимых элементов

– людей. Победители – это подмножество из 3-х элементов (k = 3), которое

определяется двумя признаками: 1) людьми, попавшими в победители, 2)

порядком следования этих людей, т. е. тем, кто занял первое место, кто –

второе, а кто – третье. Таким образом, пьедестал почета – это упорядочен-

ное подмножество трех элементов, т. е. размещение из 7-ми элементов по

3. Поэтому число различных способов заполнения пьедестала совпадает

с числом различных размещений из 7 элементов по 3 и может быть найде-

но по формуле

.210765!4

!737 A

П р и м е р 8. На 9-ти карточках написано по одной цифре от 1 до 9 без

повторений. Располагая любые 3 карточки в строку, мы получим трехзнач-

ное число. Сколько различных трехзначных чисел можно изобразить при

помощи этих 9-ти карточек? Сколько различных пятизначных чисел мож-

но изобразить, используя эти 9 карточек? Сколько различных девятизнач-

ных чисел можно изобразить с помощью этих 9-ти карточек?

Решение:

Карточки образуют множество из n = 9 различимых элементов (на кар-

точках различные цифры). Для образования трехзначного числа надо взять

подмножество из 3-х карточек и упорядочить его. Таким образом, k = 3.

Подмножество 3-х карточек определяется элементами, входящими в него,

и порядком следования этих элементов. Например, 123, 321, 124, … По-

этому любому такому трехзначному числу соответствует размещение из 9-

ти элементов по 3. Количество трехзначных чисел, которые можно изобра-

зить при помощи 3-х карточек, совпадает с числом различных размещений

из 9-ти элементов по 3 и может быть найдено по формуле

39

9!7 8 9 504.

6!A

31

Аналогично, число различных пятизначных чисел, которые можно

изобразить при помощи этих 9-ти карточек, совпадает с числом размеще-

ний из 9-ти элементов по 5 и это число может быть найдено по формуле

.1201598765!4

!959 A

Число различных девятизначных чисел, которые можно изобразить

при помощи этих 9-ти карточек, совпадает с числом перестановок 9-ти

элементов. Это число может быть найдено по формуле .880362!99 P

П р и м е р 9. Из колоды в 36 карт наудачу без возвращения вынима-

ют по одной карте 3 раза. Сколько существует различных способов полу-

чения 3 карт, среди которых на первых двух местах – бубна, а на третьем –

пика?

Решение:

В колоде 9 бубен и 9 пик. Получение тройки карт «бубна, бубна, пики»

можно рассматривать как результат двух действий. Первое действие – по-

лучение на первых двух картах «бубна, бубна». Поскольку порядок следо-

вания карт существенен, то число различных способов осуществления пер-

вого действия совпадает с числом размещений из 9 элементов по 2 (всего 9

бубен) и находится по формуле

.7298!7

!929 A

Второе действие – взятие пики на 3-м месте Число способов выпол-

нить 2-е действие, очевидно, равно 9 (по числу «пик»). Поэтому число раз-

личных троек карт «бубна, бубна, пики» совпадает с числом различных

указанных выше пар действий и по правилу умножения вычисляется по

формуле: 648989 .

Второй способ рассуждений. Первую бубну можно выбрать 9-ю спо-

собами (по числу всех бубен), вторую можно вытащить 8-ю способами (по

числу оставшихся бубен), третью карту можно вытащить 9-ю способами

(по числу пик). Итого, число всех способов равно 648989 .

П р и м е р 10. В поисковой группе 6 человек. Для поисков группа

разбивается на отряды, но та�