مراجعة مركزة -قصي هاشم 2015

5102مراجعة مركزة

07902162268

قصي هاشم/ اعداد املدرس اسئلة شاملة الهم افكار املنهج

1 اعدادية الكاظمية للبنين


07902162268



عزيزي الطالب ان اسئلة المراجعة المركزة ما هي اال جمع الهم افكار المنهج حسب وجهة

نظر واضعها وهي تعتبر مادة الساعات االخيرة قبل االمتحان الوزاري وال تعتبر بديال عن الكتاب فهي التمثل بالضرورة نفس االسئلة الوزارية ، وسوف يتم عرض مجموعة من االسئلة عن كل فصل والمطلوب من الطالب

ى جديته في السيطرة على مفردات المنهج ، وانصح للتحقق من مد هاء من قراءة ذلك الفصلتبعد االنالشروع في حلها كما وانصح الطالب عند كسبا للوقت في ليلة االمتحانالطالب بوضع دفتر خاص لحلول هذه االسئلة ليتسنى له مراجعتها

قراءته لكل فصل ان يستخدم االقالم الفسفورية للتأشير على بعض االسئلة فاالسئلة التي تحتاج الى جهد كبير الستيعابها يؤشر عليها بالقلم االحمر وتضاف فيما بعد الى دفتر حلول اسئلة المراجعة المركزة النها حتما تحتاج الى مراجعتها

حان مجددا ليلة االمت

\\\مضيئة للفصل االول حملات \\\

يجب ان تخفض فاذا كانت القوة تقبل القسمة على ( 0)مرفوعة الى اي عدد طبيعي موجب غير العدد iاذا كانت (0

واذا كان باقي القسمة iفانها تساوي 0يساوي 4واذا كان باقي القسمة على ( 0)بدون باق فانها تساوي 4

iاما اذا كانت (i-)فانها تساوي 3يساوي 4واذا كان باقي القسمة على (1-)فانها تساوي 5يساوي 4على

اكبر من مطلق 4مرفوعة الى اقرب قوة تقبل القسمة على iفيتم ضربها بـ مرفوعة الى قوة صحيحة سالبة

نقوم لوحدها في المقام فهنالك طريقان االول iوجدت اذا القوة االصلية ثم نستخدم التفصيل السابق اما

موجودة فنضرب البسط والمقام بالعامل المنسب اما الطريق الثاني iبتخفيضها حسب التفصيل السابق وان بقيت

مرفوعة الى اقرب قوة تقبل القسمة على اربعة اكبر من قوة المقنام iونعبر عنه بـ 0فنقوم بضرب البسط بالعدد

( عند القسمة تطرح االسس ) لالستفادة من الخاصية

i15 = -i ( 3يساوي 4الن باقي القسمة على ) , i-19 = i-19 . i20 = i ,

خارج iسالبة تحت الجذر التربيعي ووجد قربها عدد طبيعي موجب فتتحول السالب الى ذا وجدت االشارة الا (5

. الجذر تلقائيا قبل البدء بحل السؤال

اذا كان ( 0)يجب ان تخفض فيكون الجواب 5، 0مرفوعة الى اي عدد طبيعي موجب غير العددان اذا كانت (3

اذا 2 ، ويساوي 0يساوي 3اذا كان باقي القسمة على ويساوي . بدون باق 3العدد يقبل القسمة على

. 5يساوي 3كان باقي القسمة على

مايلي( 0)نستنتج من الخاصية 1 = 3 ❷ , 0 = 2 + + 1 ❶ هي ωخواص (4

1+ = - 2 , 1+ 2 = - , + 2 = -1 , = -1- 2 , 2= -1- , 1= - – 2


07902162268



لوحدها في المقام بشكل مباشر او بشكل غير مباشر اي يمكن ان تؤول الى ذلك باستخدام ω2او ωاذا وجدت (2

اكبر 3مرفوعة الى قوة تقبل القسمة على ωالخواص اعاله فيفضل ضرب بسطها بالعدد واحد ويعبر عنه ب

.من قوة المقام لالستفادة من الخاصة عند القسمة تطرح االسس

ω10 = ω ,

,

,

يفضل عدم جمع او طرح او ضرب او قسمة او ايجاد الجذور او التحويل الى الصيغة القطبية الي عدد مركب اال (6

. a + biبعد تحويله الى الصيغة الجبرية

في المقام نحاول جعل البسط والمقام بصيغته الجبرية ثم نضرب كل من البسط والمقام بمرافق المقام iاذا وجد (7

حيث ان iكما انه اذا وجد عدد سالب تحت الجذر التربيعي يحول بداللة . a2 + b2 = (a-bi)(a+bi)علما ان

.قبل البدء بالحل

ي يساوي الحقيقي والتخيلي يساوي التخيلي وال يمكن تطبيق هذه الخاصية عند تساوي عددين مركبين فان الحقيق (8

.اال اذا كان كل من الطرفين عددا مركبا واحدا بصيغته الجبرية

ونظيره الضربي a-bi–ونظيره الجمعي a-biعددا مركبا فان مرافقه a+biاذا كان (9

غير حقيقيين وكان مجموعهما وحاصل ضربهما عدد حقيقي واذا لمعرفة ان الجذران مترافقان يجب ان يكونا (01

.كانا حقيقيين يجب ان يكونا متساويين

مع فان الجذر االخر يكون مرافقه اذا طلب ايجاد معادلة تربيعية ذات المعامالت الحقيقية وعلم احد الجذرين (00

M , Lة التربيعية اذا علم جذراها علما ان المعادل. التأكيد على ان مرافق العدد الحقيقي هو العدد نفسه

x2 – (M+L)x + M L = 0هي


07902162268



حويل اي عدد مركب الى صيغته القطبية هناك حالتان تل (05

اذا كان العدد المركب حقيقي صرف او تخيلي صرف فيحول الى الصيغة القطبية بخطوة واحدة حسب ( أ

فان +a ∈ Rلكل . التلخيص التالي

a = a (cos0 + i sin0) , -a = a(cos + i sin )

ai = a (cos

+ i sin

) , -ai = a ( cos

+ i sin

)

فيجب تحويله الى صيغته a+biاذا كان العدد المركب بصيغته الجبرية مكون من جزئين حقيقي وتخيلي ( ب

= r = , cos القطبية بستة مراحل وهي

, sin =

بعد ارجاع االشارة ثم كتابة ومن ثم استخراج زاوية االسناد بعد اهمال االشارة ومن ثم حساب قيمة

z = r ( cos + i sin )الصيغة الديكارتية وهي

[r ( cos θ + i sin θ )]n = rn( cosnθ + i sin nθ) ∀ n ∈ N , θ ∈ R مبرهنة ديموافر ( 03

[r ( cos θ + i sin θ )]-n = r –n( cosnθ - i sin nθ) ∀ n ∈ N , θ ∈ R نتائج ديموافر

=

( cos

+ i sin

) ; k = 0 , 1 , 2 , ….. , n-1

r –n =

≠

تحذير


07902162268



طرق سريعة وخمتصرة ألجياد قيم الدوال املثلثية للزواية اخلاصة والزوايا املرتبطة بها

{2 , 1}وكانت ضمن الدورة االولى ففيها وجوه فاذا كان المقام { 6 , 4 , 3 , 2 , 1}اذا كان مقام الزاوية (0

نستخدم الطريقة الواردة في { 6 , 4 , 3}نستخرج قيمتها من دائرة الوحدة مباشرة ، اما اذا كان مقامها

)حيث نقوم بحساب موقع الزاوية ككل {a , b}الفرعين

ثم aلتحديد الربع الذي تقع فيه ثم نحذف قيمة (

.ج الناتج نستبدلها باشارة الربع الذي تقع فيه الزاوية االصلية خار

. {c}اذا وجد اختصار بين البسط والمقام يجب علينا االختصار اوال كما في الفرع (5

) اذا كانت الزاوية (3

فاذا {d , e , f}ليست بالقياس الرئيس فيجب تخفيضها كما سيرد ادناه في الفروع (

) كانت الزاوية بالشكل

) نحسب قيمة (

نختار اقرب عدد زوجي اصغر منها ثم ( 5)اكبر من فاذا كانت (

نظربه بالمقام ونطرحه من البسط مقسوما على نفس المقام للحصول على زاوية تقع ضمن الدورة االولى ، اما

اذا كانت الزاوية سالبة فهناك حالتان االولى نقوم بحساب

السالبة ثم نختار اقرب عدد زوجي موجب اكبر من

ظربه بالمقام ونضيفه للبسط مقسوما على نفس المقام ، اما الطريقة الثانية نقوم باستخدام مفهوم مطلقها ثم ن

الدوال الزوجية والدوال الفردية حيث ان

cos(-x)=cosx , sec(-x)=secx دوال زوجية

sin(-x)=- sinx , csc(-x)=- cscx , tan(-x)=- tanx , cot(-x)=- cotx دوال فردية

.كان ليس اي مما سبق فتبقى الزاوية على حالها اذا (4

a) sin

= sin

=

, cos

= - cos

=

, sin

=- sin

=

, cos

= cos

=

b) sin

= - sin

=

, cos

= - cos

=

c) sin

= sin

= sin

=

, cos

= cos

= - cos

=

d) sin

= sin

) =sin

= sin

=

e) cos

= cos

) =cos

=

f ) cos

= cos

) =cos

= - cos

=

or cos

= cos

= cos

) =cos

= - cos

=


07902162268



الحقيقيتين التي تحقق x , y جد قيمتي ( أ \0س

ans: x = -3 , y = 5

اذا كان ( ب

,

ans: x=7 , y = -22مجموعة الحل x , y مترافقان جد قيمتي

وكان R ∈c,dاذا كان \ 5س

c + di = جد . i ) }

+

( = { ans :

اثبت ان \ 3س

M2 – 3M + 1 + 3i = 0 جد مجموعة حل المعادلة التالية في مجموعة االعداد المركبة \ 4س

ans : { 3 – i , i }

) جد المعادلة التربيعية التي جذراها \ 2س

-

) , (

-

) ans : x2 + 5ix - 7 = 0

لوحده في المقام يضرب iالجل االختصار اما اذا وجد ⍵3لوحدها في المقام نضرب بسطها في ⍵اذا وجدت \\تلميح

الجل االختصار (i2-)بالمنسب او يضرب بسطه في

حقيقية والتي احد جذراها ذات المعامالت الجد المعادلة الترتبيعية \ 6س

ans : x2 - 2x + 5 = 0 المعادلة هي

باستخدام مبرهنة ديموافر جد بابسط صورة \ 7س

a) (cos

+ isin

)-3 ans :

+

i

b)

ans:

باستخدام طريقة التحليل مرة وباستخدام مرهنة ديموافر مرة اخرى cجد مجموعة حل المعادلة التالية في \ 8س

x3 – 8 i = 0 ans : { + i , - + i , - 2i }

= z اذا كان \ 9س

عددا مركبا جد باستخدام مبرهنة ديموافر

مرة وباستخدام الفرضية مرة اخرى

ans : {

,

}


07902162268



\\\ة للفصل الثاني مضيئ حملات \\\ x-axis تقع على محور السينات الموجب F(p,0) معادلة القطع المكافئ الذي رأسه نقطة االصل وبؤرته (0

yهي x = -p ومعادلة دليله 2 = 4px

تقع على مستقيم يوازي محور السينات معادلته F(h+p,k)وبؤرته (h,k)معادلة القطع المكافئ الذي رأسه

y=k ومعادلة دليلهx = h – p هي(y-k)2 = 4p(x-h)

x-axis تقع على محور السينات السالب F(- p,0) معادلة القطع المكافئ الذي رأسه نقطة االصل وبؤرته

yهي x = p ومعادلة دليله 2 = - 4px

تقع على مستقيم يوازي محور السينات معادلته F(h- p,k)وبؤرته (h,k)معادلة القطع المكافئ الذي رأسه

y=k ومعادلة دليلهx = h + p هي(y-k)2 = - 4p(x-h)

ومعادلة y-axis تقع على محور الصادات الموجب F(0,p) معادلة القطع المكافئ الذي رأسه نقطة االصل وبؤرته

x هي y = -p دليله 2 = 4py

معادلته قع على مستقيم يوازي محور الصاداتت F(h,k+p)وبؤرته (h,k)معادلة القطع المكافئ الذي رأسه

x=h ومعادلة دليلهy = k – p هي(x-h)2 = 4p(y-k)

y-axis تقع على محور الصادات السالب F(0,- p) معادلة القطع المكافئ الذي رأسه نقطة االصل وبؤرته

xهي y = p ومعادلة دليله 2 = - 4py

تقع على مستقيم يوازي محور الصادات معادلته F(h,k-p)وبؤرته (h,k)معادلة القطع المكافئ الذي رأسه

x=h عادلة دليله ومy = k + p هي(x-h)2 = - 4p(y-k)

إليجاد معادلة قطع مكافئ رأسه نقطة االصل فان السؤال سيكون باحد االحتماالت السبعة التالية وهي اذا علمت (5

، واذا علمت معادلة الدليل ثم نكتب القانون ومن بعدها التعويض المباشر والموقع pبؤرته نستنتج منها قيمة

ثم نكمل حسب ما سبق ، واذا علمت نقطة حيث ان اشارة الدليل هي عكس اشارة البؤرة نستنتج من خاللها البؤرة

(x,y)تنتمي اليه فانها تحقق معادلته فاذا علم موقع البؤرة نكتب المعادلة المناسبة ثم نعوض بالنقطة المتمثلة

حتما ثم نعيد تعويضها بالمعادلة واذا لم يعلم موقع البؤرة فنأخذ احتماالت فمثال النقطة الموجبة pالستخراج قيمة


07902162268



تقع بالربع الثاني فان البؤرة تقع على السيني السالب او الصادي الموجب وهكذا ، واذا مر القطع المكافئ بنقطتين

ا اذا مر دليل القطع المكافئ بنقطة فان تقعان في ربعين متجاورين فان البؤرة تقع على محور تناظر الربعين ، ام

تساوي المسقط االول من النقطة اذا كانت البؤرة تقع على محور السينات او تكون معادلة xمعادلة الدليل هي

تساوي المسقط الثاني من النقطة اذا كانت البؤرة تقع على محور الصادات ثم نحسب المعادلة حسب yالدليل هي

يساوي المسقط x OR yاما اذا مر دليل القطع المكافئ بنقطتين مختلفتين فان معادلة الدليل هي االحتمال الثاني ،

، واذا مر دليل القطع المكافئ بنقطة تقع على احد المحورين اي ان احد مسقطيها صفرا المتساوي من النقطتين

مي الى دليل القطع المكافئ اليمكن ان تحقق علما النقطة التي تنت. فان البؤرة تقع على نفس المحور باالتجاه االخر

.معادلة القطع المكافئ

حداثيين فان تمثل الرأس او بنقطة تقع على احد المحورين االالذي مركزه نقطة االصل اذا مر القطع الناقص (3

ما اما القطب حصرا حسب موقع البؤرة او حسب القيمة االكبر حيث ان البؤرة والرأس يقعان على نفس المحور دائ

بنقطة تقع على احد المحورين فانها تمثل الرأس حتما والبؤرة تقع الذي مركزه نقطة االصل اذا مر القطع الزائد

اما اذا مر القطع المخروطي بنقطة اعتيادية فانها تحقق معادلته اي انها تمثل . على نفس محور الرأس ايضا

(x,y)

االصل وكان كل منهما يمر ببؤرة اآلخر فان بؤرتي الناقص هما اذا وجد قطعان زائد وناقص مركزاهما نقطة (4

.رأسي الزائد ورأسي الناقص هما بؤرتي الزائد

2اما محيطه فهي a bمساحة القطع الناقص هي (2

اما مساحة المستطيل المركزي في القطع

. 4abالزائد فهي

p = cرتي القطع الناقص او الزائد فان اذا كانت بؤرة القطع المكافئ هي احدى بؤ (6

p = aواذا كانت بؤرة القطع المكافئ هي احد رأسي القطع الناقص او الزائد فان

p = b واذا كانت بؤرة القطع المكافئ هي احد قطبي القطع الناقص او الزائد فان

اما اذا مرت بؤرة القطع المكافئ بالقطع الناقص p = aواذا كانت بؤرة القطع المكافئ تمر بالقطع الزائد فان

حسب معطيات السؤال ، علما ان هذه الفقرة تشمل القطوع المخروطية القياسية p = a OR p = bفان

.اب بدون انسح

اذا قطع احد القطعين الناقص او الزائد قطعا مكافئا عند نقطة علم احد مسقطيها فيتم تعويض هذا المسقط بمعادلة (7

.القطع المكافئ ليتم حساب المسقط اآلخر وعندها تكون النقطة الناتجة محققة للقطع الناقص او الزائد


07902162268



فان x=nاذا مس دليل القطع المكافئ قطعا ناقصا او زائدا فيجب حساب معادلة الدليل فاذا كانت معادلة الدليل (8

وان اي من هذه (m , 0)فان نقطة التماس هي y=mواذا كانت معادلة الدليل (n , 0)نقطة التماس هي

بالنسبة للقطع الزائد كما ورد ذكره في الفقرة النقاط تمثل الرأس او القطب بالنسبة للقطع الناقص وتمثل الرأس

.الثانية

2cوفرقهما الموجب 2aاذا كانت احدى بؤرتي قطع ناقص تبعد عن الرأسين بعددين فان مجموعهما (9

وفي كلتا 2aوفرقهما الموجب 2cواذا كان احد رأسي قطع زائد يبعد عن البؤرتين بعددين فان مجموعهما

.وتستخدم للتحقيق فقط b2الحالتين يكون حاصل ضربهما

اذا كانت معادلة القطع المكافئ التشبه الصورة القياسية فيمكن تحويلها الى الصورة القياسية باتباع الخطوات (01 التالية

a. يجب جعل المتغير التربيعي مع قرينه بالطرف االيسر و باقي الحدود بالطرف االيمن. b. 0وذلك بقسمة كل المعادلة على اي عدد غير العدد ( واحد ) جعل معامل المتغير التربيعي يساوي يجب . c. لكي يصبح الطرف االيسر ( المشابه له ) نضيف للطرفين مربع نصف معامل المتغير القرين للمتغير التربيعي

. مكون من ثالثة حدود

d. 2( الثالث اشارة الحد الثاني االول )جعل الطرف االيسر بالصورة .

e. جمع الحدود المتشابهة بالطرف االيمن ثم نسحب عامل مشترك لنجعل معامل المتغير الغريب يساوي واحد .علما انه التجوز القسمة او الضرب بأي عدد في هذه المرحلة ويجوز فقط استخراج عامل مشترك )

f. المقارنة بالصورة القياسية ثم استخراج المطلوب. g. حالة فقدان اي حد من الخطوات اعاله فان معاملة يساوي صفرا في.

التشبه احدى الصورتين القياسيتين فيمكن تحويلها الى ( الناقص او الزائد ) اذا كانت معادلة القطع المخروطي (00 .الصورة القياسية بالخطوات التالية

.لطرف االيسر جعل كل متغير تربيعي وقرينه بالطرف االيمن ونقل الحد الثابت با ( .0)استخراج عامل مشترك من كل زوج من حدود الطرف االيسر لجعل معامل كل متغير تربيعي يساوي

اضافة مربع نصف معامل كل قرين للطرف االيسر وكل عدد تم اضافته للطرف االيسر يضرب بالعامل المشترك ويضاف .الى الطرف االيمن

وجمع الحدود المتشابهة ( مع االبقاء على العامل المشترك )الى مربعا كامال تحويل كل ثالث حدود في الطرف االيسر .بالطرف االيمن

.لتحويلها الى الصورة القياسية ( 0)قسمة المعادلة على الطرف االيمن لجعله يساوي a(x-0)2فيمكن اعتباه xنجد معها المغير ولم ax2في حالة فقدان أي قرين فان معامله يساوي صفرا فمثال نجد

. yوهكذا بالنسبة للمتغير قبل البدء بالحل اذا وجد عدد يقبل القسمة على كل المعادلة يفضل اجراء عملية القسمة او وجد في المعادلة مقام غير

.فيفضل ضرب المعادلة بهذا المقام قبل الشروع بالحل ( 0)العدد


07902162268



قطع ناقص مركزه نقطة االصل وقطع زائد نقطة تقاطع محوريه نقطة االصل ، كل منهما يمر ببؤرة اآلخر فاذا \\ 0س فجد 9x2 + 25y2 = 225كانت معادلة القطع الناقص

.االختالف المركزي لكل منهما ( معادلة القطع الزائد ثم ارسمه ء( محيط القطع الناقص، ج( مساحة القطع الناقص ، ب(أ

A= a b = (5)(3) = 15 مساحة القطع الناقص

P = 2π محيط القطع الناقص

= 2π

= 2

معادلة القطع الزائد 1 =

= e للقطع الناقص اإلختالف المركزي

=

= e اإلختالف المركزي للقطع الزائد ,

=

معادلته رة القطع المكافئ الذيمعادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة االصل واحدى بؤرتيه بؤجد \ 5س

y2 + 8x = 0 ( , 2)علما ان القطع الناقص يمر بالنقطة . asn :

= 1

= y جد احداثيي البؤرة والرأس ومعادلتي المحور والدليل للقطع المكافئ \3س

x2 +

x -

؟

ans : F( -1 , 0) البؤرة , V ( -1 , -2) الرأس , x = -1 معادلة المحور , y = - 4 معادلة الدليل

جد معادلة القطع الزائد الذي بؤرتاه هما بؤرتي القطع الناقص \\ 4س

واحد رأسيه بؤرة

y2 + 8x = 0القطع المكافئ

ans:

معادلة القطع الزائد

واذا ( 2، 4) ودليله يمر بالنقطة x axisالى محور السينات جد معادلة القطع المكافئ الذي بؤرته تنتمي \ 2س ans : { 8 , - 12 } ؟ aتنتمي الى القطع المكافئ جد قيمة (a+2 , 5 -) علمت ان النقطة

تينجد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة االصل و بؤرتاه تنتميان الى محور السينات ويمر بالنقط \ 6س

(-2 , 2) , (3 ,

). ans :

= 1

والذي x2 = - 24y جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة االصل واحدى بؤرتيه بؤرة القطع المكافئ \\ 7س

: y2 + 16x = 0 . ansيمس دليل القطع المكافئ

= 1

معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة االصل وبؤرتاه تقعان على محور السينات واحدى بؤرتيه تبعد( جد أ \\ 8س . 7، 3عن الرأسين بالعددين

. 7، 3معادلة القطع الزائد الذي مركزه نقطة االصل واحد رأسيه يبعد عن البؤرتين بالعددين ( ب

ans :

= 1 ,

= 1 ,

= 1


07902162268



) النقطة \\ 9س

تنتمي الى القطع المكافئ الذي راسه نقطة االصل وبؤرته تنتمي الى محور السينات والتي هي ( 2 ,

احدى بؤرتي القطع الناقص الذي مركزه نقطة االصل و النسبة بين طولي محوريه

جد معادلة كل من القطعين المكافئ

: ans .والناقص

= 1

في السؤال السابق اذا كان النسبة بين طولي محوريه ....(( انتبه ))

فيكون

.

جد البؤرتين والرأسين والقطبين واالختالف المركزي للقطوع المخروطية التالية \ 01س

a) 9x2 + 16y2 – 72x – 96y + 144 = 0

F1(h +c , k) , F2(h- c , k) = F1(4+ , 3) , F2(4- , 3)البؤرتان هما

V1(h + a , k) , V2( h - a , k) = V1(8 , 3) , V2( 0 , 3)الرأسان هما

M1(h, k+ b ) , M2( h, k- b ) = M1(4 ,6 ) , M2(4 , 0)القطبان هما

b) 9y2 – 4x2 + 36y – 40x - 100 = 0

F1(h , k+c) , F2(h , k- c) = F1(-5 , -2 + ) , F2(-5 , -2 - )البؤرتان هما

V1(h , k + a) , V2( h , k - a) = V1(-5 ,0) , V2( -5 , - 4)الرأسان هما

M1(h + b , k ) , M2( h - b , k ) = M1(-2, -2 ) , M2(- 8 , -2 )القطبان هما

( 61)مركزه نقطة االصل ومجموع مربعي طولي محوريه يساوي hx2 + ky2 = 36 قطع ناقص معادلته \\00س

. h , kما قيمة كل من y2 = 4 xواحدى بؤرتيه بؤرة القطع المكافئ الذي معادلته

Ans : h = 4 , k = 6

(-3، 1) ،(3، 1) ورأساه ( -2، 1) ، ( 2، 1)جد باستخدام التعريف معادلة القطع الزائد الذي بؤرتاه \\ 05س

ans :

معادلة القطع الزائد 1 =

وحدة ( 6) وطول محوره الحقيقي hx2 – ky2 = 90قطع زائد مركزه نقطة االصل ومعادلته \\ 03س . الحقيقيتان h , k جد قيمتي كل من 9x2 + 16y2 = 576 وبؤرتاه تنطبقان على بؤرتي القطع الناقص الذي معادلته

ans : h = 5 , k = 9

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

........عزيزي الطالب .........ال تركن اىل الراحة

......فكلما زاد تعبك كلما اقرتبت من النجاح الباهر


07902162268



\\\( املسائل املرتبطة بالزمن ) مضيئة للفصل الثالث حملات \\\باسماء معينة ثم ايجاد عالقة بين المتغيراتخطوات الحل العامة في اسئلة المسائل المرتبطة بالزمن هي فرض (0

المتغيرات وسوف نقسم العالقات الى قسمين اساسية التي يتم اشتقاقها وثانوية التي نحسب بها قيم معينة او ، ثم اشتقاق العالقة بالنسبة للزمن ثم التعويض عن المعلوم قبل او بعد االشتقاق بها عدد المتغيراتنقلص

.إليجاد المجهول فيثاغورس تكون عالقة فيه اذا علم ضلعين في مثلث قائم الزاوية بشكل دائم او مؤقت وعلم معدل تغير ضلع (5

ة في مثلث قائم الزاوية فان العالقة االساسية هي دالة اساسية او ثانوية ، واذا علم او طلب معدل تغير زاوي ويفضل ان يكون الثابت في المقام والعالقة الثانوية غالبا ماتكون مثلثية ويفضل ان تربط بين ثابت ومتغير

فيثاغورس ، واذا علمت زاوية في مثلث قائم الزاوية بشكل مؤقت فان العالقة االساسية غالبا ما تكون .ما العالقة الثانوية فهي دالة مثلثية ويفضل ان تربط بين متغيرين فيثاغورس ا

.اذا علم او طلب معدل تغير قانون محيط او مساحة او حجم لشكل هندسي فان ذلك القانون يمثل عالقة اساسية (3او اذا وجدت مثلثات متشابهة في أي سؤال فان تشابه مثلثات او قانون الظل يمكن ان يكون عالقة اساسية (4

.ثانوية اذا علم او طلب نقطة تنتمي الى منحني معلوم المعادلة بحيث يكون معدل ابتعادها او اقترابها عن نقطة معلومة (2

.معلوما او مجهوال فان قانون المسافة هي العالقة االساسية ومعادلة المنحني هي العالقة الثانوية ان يطلب او يعلم معدل ابتعادها او اقترابها عن نقطة دون اذا طلب ايجاد نقطة تنتمي الى منحني معلوم المعادلة (6

.فان معادلة المنحني تمثل العالقة االساسية ثابتةاذا علم او طلب معدل تغير سمك القشرة الخارجية لشكل هندسي فان العالقة االساسية هي الفرق بين حجم الشكل (7

.ن بالنسبة للمكعب ولجهة واحدة بالنسبة للكرة الكلي وحجم الشكل الصغير اما هذا السمك فيضاف من جهتي

( 7،1)بحيث يكون معدل ابتعادها عن النقطة y2= 4x نقطة متحركة على منحني القطع المكافئ Mلتكن \\ 0س . x = 4 عندما يكون Mجد المعدل الزمني لتغير االحداثي السيني للنقطة unit/s 0.2 يساوي

ans :

= -1 unit/s

cm 16 وطول قطر قاعدته 24cm مرشح مخروطي قاعدته افقية ورأسه الى االسفل ارتفاعه يساوي \\ 5س cm3/s 1 بينما يتسرب منه السائل بمعدل cm3/s 5 يصب فيه سائل بمعدل

\ج cm 12 جد معدل تغير عمق السائل في اللحظة التي يكون فيها عمق السائل (0

=

cm/s

\ج cm 4جد معدل تغير نصف قطر السائل في اللحظة التي يكون فيها نصف قطر السائل (5

=

cm/s

سلم يستند طرفه االسفل على ارض افقية وطرفه االعلى على حائط رأسي فاذا انزلق الطرف االسفل مبتعدا عن \\3س

جد معدل انزالق طرفه العلوي عندما يكون قياس الزاوية بين السلم واالرض تساوي m/s 2 الحائط بمعدل

.

ans:

=

m/s معدل انزالق طرفه العلوي

مغطى بطبقة من الجليد بحيث يحافظ على شكله مكعبا ، فاذا بدأ الجليد يذوب m 8 مكعب صلد طول حرفه \\4س . m 1فجد معدل النقصان في سمك الجليد في اللحظة التي يكون فيها سمك الجليد m3/s 6 بمعدل

= - 0,01 m/s معدل تغير سمك الجليد OR

= 0,01 m/s معدل نقصان سمك الجليد


07902162268



\\\( مربهنة رول والقيمة املتوسطة والتقريب ) مضيئة للفصل الثالث حملات \\\مبرهنتي رول والقمية المتوسطة ان تكون الدالة مستمرة وقابلة لالشتقاق واقدم بعض المالحظات من شروط (0

.الخاصة بذلك

اذا كانت الدالة كثيرة حدود فانها مستمرة وقابلة لالشتقاق على أي فترة. اذا كانت الدالة مثلثيةsinax , cosax على اي فترة فانها مستمرة وقابلة لالشتقاق دوما. اذا كانت الدالة نسبية فانها مستمرة على اي فترة ماعدا الفترات التي تحوي على قيم تجعل المقام صفرا

.واذا كانت الدالة النسبية مستمرة بالتأكيد تكون قابلة لالشتقاق صفر واذا اذا كانت الدالة جذرية لدليل زوجي فانها تكون مستمرة على اي فترة تجعل داخل الجذر اكبر او تساوي

.كانت مستمرة فيجب ان تكون قابلة لالشتقاق اذا كانت الدالة جذرية لدليل فردي فانها مستمرة دائما الن مجالهاR واليمكن معرفة قابلية اشتقاقها اال بعد االشتقاق

فتكون قابلة لالشتقاق الى المقامالجذرفاذا نزل الجذر الى المقام نستثني القيمة التي تجعل المقام صفرا اما اذا لم ينزل ة حيث ان الفترة المغلقة تقارن عند، علما ان مجال المشتقة يقارن على الفترة المفتوحة وليست المغلق Rالن مجالها

.االستمرارية فقط اذا كانت الدالة مزدوجة فيجب تطبيق الشروط كاملة في حالة االستمرارية وقابلية االشتقاق في حالة ان الحد الفاصل

يقع داخل الفترة المعطاة اما اذا لم يقع داخل الفترة المعطاة اي ان جميع عناصر الفترة تقع ضمن احد جزئي الدالة .المزدوجة فيتم التعامل مع هذا الجزء فقط حسب التفصيل السابق

ادس اذا كانت الدالة داخل القمية المطلقة فتحول الى دالة مزدوجة ثم نتعامل معها حسب االحتمال الس. دالة فنقول انها تحقق مبرهنة رول اذا تحققت بها الشروط التالية f(x)اذا كانت (5

اذا كانت الدالة مستمرة على الفترة [ a , b ] اذا كانت الدالة قابلة لالشتقاق على الفترة( a , b ) f(b) = f(a)

f ′(c) = 0 وتحقق c ∈ ( a , b ) وعندها يوجد على االقل قيمة واحدة دالة فنقول انها تحقق مبرهنة القيمة المتوسطة اذا تحققت بها الشروط التالية f(x)اذا كانت (3

اذا كانت الدالة مستمرة على الفترة [ a , b ]

اذا كانت الدالة قابلة لالشتقاق على الفترة( a , b )

يوجد على االقل قيمة واحدة c ∈ ( a , b ) وتحقق f ′(c) =

االيمن إليجاد القيمة التقريبية لبعد او مساحة او حجم شكل هندسي نكتب القانون اوال فاذا علم من القانون طرفه (4فان القانون يمثل اسم الدالة مباشرة اما اذا علم من القانون طرفه االيسر وقد يضاف له اجزاء من الطرف االيمن

النكليزية من اليسار الى اليمين ثم اختيار اسم للدالة علما ان المقصود بالقانون هو الرموز ا فنحتاج الى التبسيطلدالة معلومة عندما يتغير احد ابعادها من قيمة الى اخرى ( مقدار الخطأ ) تغير التقريبي مقدار ال (2

كمية الغالف الخارجي فقط الي شكل هندسي يحمل نفس المعنى علما ان h f '(a)تمثل اليمكن ايجاد القيمة التقريبية لجذور الكسور العشرية المحصورة بين الصفر والواحد والبعيدة عن العدد واحد اال (6

.اذا كانت عدد المراتب على يمين الفارزة تساوي او من مضاعفات دليل الجذر


07902162268



. (c)ابحث تحقق مبرهنة رول لكل مما يأتي وان تحققت جد قيمة \\ 0س

1) f(x) =

: x ∈ [ - 1 , 1 ]

ans: c = 2 + ∉ ( -1 , 1) يهمل OR c = 2 - ∈ (-1 , 1)

2) f(x) = cosx : x ∈ [

,

]

ans: c = 0 ∉ (

,

) ∋ OR c = π تهمل (

,

)

cابحث تحقق مبرهنة القيمة المتوسطة للدوال التالية وان تحققت جد قيمة \ 5س

a) f(x) = , x ∈ [ - 4 , 0]

ans: c = ∉ ( - 4 , 0) تهمل , OR c = - ∈ ( - 4 , 0)

b) h(x) = 2sinx - cos2x , x ∈ [ 0 , π ]

ans: c =

∈ ( 0 , π ) OR c ={

,

,

} ∉ ( 0 , π )

c) B(x) =

, x ∈ [ -2 , 7 ]

قابلة لالشتقاقة النها غير الدالة التتحقق بها مبرهنة القيمة المتوسط

= B(x)لو كان السؤال السابق

على نفس الفترة ماذا تتوقع ؟؟؟؟؟

تحقق مبرهنة القيمة المتوسطة fوكانت f: [0 , b] R ,حيث f(x) = x3 - 4x2 اذا كانت \\ 3س

= c عند

b . ans : b = 2 جد قيمة

. cوان تحققت جد ان وجدت قيمة [3 , 1-] اختبر تحقق شروط القيمة المتوسطة للدالة التالية بالفترة \\ 4س

f(x) = x2 - 2 , x ∈ [1,3]

4 , x ∈ [-1,1) ans: x=1 المبرهنة النها غير مستمرة عنداليمكن تحقق

c ∈(-1 , b)فاذا كانت [b , 1-]دالة تحقق مبرهنة رول على الفترة f(x) = ax2 – 4x + 5 \ 2س

c = 2 فجد قيمتيa , b ∈ R.ans: a = 1 , b = 5

باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة المتوسطة جد القيمة التقريبية \\ 6س

ans: 11.917

جد كمية الطالء بصورة تقريبية باستخدام مبرهنة القيمة 0.1cmطليت بطالء سمكه 6cmكرة نصف قطرها \\7س الطالء( كمية)حجم h.v ′(a) = 14.4π cm3 .المتوسطة

(0.2)اما لو كان الشكل مكعبا فانها ستكون (0.1)في هذا السؤال تساوي hتكون \\تلميح


07902162268



\\\( النهايات ) مضيئة للفصل الثالث حملات \\\ خطوات الحل في ايجاد مناطق التزايد والتناقص ونقاط النهاية العظمى والصغرى المحلية (0

إيجاد المشتقة االولى ثم مساواتها بالصفر ثم حل المعادلة الناتجة إليجاد قيمة المتغيرx .

تعويض قيمةx بالمعادلة االصلية إليجاد قيمة y فتكون مجموعة النقاط(x , y) نقاط حرجة.

رسم خط االعداد االفقي وتثبيت عليه قيمx فقط فيتم تقسيمه الى عدة اقسام ثم نأخذ عدد من كل قسم ونعوضه

.بالمشتقة االولى ثم نأخذ من الناتج اشارته فقط

عند االشارة ) ( عند االشارة الموجبة ، وتكون الدالة متناقصة ) ( قراءة خط االعداد فتكون الدالة متزايدة

.السالبة

رجة فتكون عظمى محلية اذا انتقلت قيمة بيان نوع النقطة الحx من جهة ) ( فيها من التزايد الى التناقص

من جهة اليسار ايضا ، وتكون مجرد ) ( من التناقص الى التزايد xاليساروتكون صغرى محلية اذا انتقلت قيمة

.تناقص الى نفسه من التزايد الى نفسه او من ال x نقطة حرجة اذا انتقلت قيمة

التي تكون مشتقتها االولى دالة نسبية بسطها ثابتا فال يمكن مساواتها بالصفر او الجذرية في حالة الدوال النسبية

.وبالتالي التوجد نقاط حرجة وعند رسم خط االعداد االول نثبت عليه القيمة التي تجعل المقام صفر على شكل فجوة

التقعر والتحدب ونقاط االنقالبخطوات الحل في ايجاد مناطق (5 إيجاد المشتقة االولى

إيجاد المشتقة الثانية ثم مساواتها بالصفر ثم حل المعادلة الناتجة إليجاد قيمة المتغيرx .

تعويض قيمةx بالمعادلة االصلية إليجاد قيمة y فتكون مجموعة النقاط(x , y) نقاط انقالب مرشحة.

قي وتثبيت عليه قيم رسم خط االعداد االفx فقط فيتم تقسيمه الى عدة اقسام ثم نأخذ عدد من كل قسم ونعوضه

.بالمشتقة الثانية ثم نأخذ من الناتج اشارته فقط

عند االشارة السالبة ) ( تكون الدالة محدبةوعند االشارة الموجبة،) ( عرةقراءة خط االعداد فتكون الدالة مق

بيان نوع النقطة المرشحة فتكون نقطة انقالب اذا انتقلت قيمة x من التقعر الى التحدب او بالعكس وتكون ليست

.من التقعر الى نفسه او من التحدب الى نفسه x نقطة انقالب اذا انتقلت قيمة

كبر من صفر فان الدالة مقعرة في كل ا او مجموع مربعين فهناك حالتان ، اذا كان اذا كانت المشتقة الثانية عددا ثابتا

.مجالها وال توجد نقاط انقالب ، واذا كان اصغر من صفر فان الدالة محدبة في كل مجالها وال توجد نقاط انقالب

التي تكون مشتقتها الثانية دالة نسبية بسطها ثابتا فال يمكن مساواتها بالصفر او الجذرية في حالة الدوال النسبية

.التوجد نقاط انقالب وعند رسم خط االعداد الثاني نثبت عليه القيمة التي تجعل المقام صفر على شكل فجوة وبالتالي

طريقة فحص النقطة الحرجة باستخدام المشتقة الثانية (3

نقطة حرجة فيمكن معرفة نوعها باستخدام المشتقة الثانية حسب الحاالت التالية (x , y)اذا كانت

اذا كانت f″(x) > 0 فان النقطة الحرجة هي نقطة نهاية صغرى محلية.

اذا كانتf″(x) < 0 فان النقطة الحرجة هي نقطة نهاية عظمى محلية.

اذا كانتf″(x) = 0 فان هذه الطريقة فاشلة في تحديد نوع النقطة وعندها يجب اللجوء الى خط االعداد.

اذا كانتf″(x) = a فان النقطة الحرجة هي عظمى محلية اذا كانت a < 0 وتكون نقطة نهاية صغرى ،

.دون الحاجة الى معرفة االحداثي السيني للنقطة الحرجة a > 0محلية اذا كانت


07902162268



إليجاد قيم الثوابت في اسئلة النهايات يجب ان ال نغفل المالحظات التالية (4 .منحني من جهة وتحقق مساواة المشتقة االولى بالصفر من جهة اخرى النقطة الحرجة تحقق معادلة ال .نقطة االنقالب تحقق معادلة المنحني من جهة وتحقق مساواة المشتقة الثانية بالصفر من جهة اخرى نقطة التماس تحقق معادلة المنحني من جهة وتحقق مساواة المشتقة االولى بميل المماس من جهة اخرى علما

المماس اذا لم يكن معلوما فقط تعطى معادلة مستقيم يمس المنحني وعندها يكون ميل المستقيم هو ان ميل

= mالمشتقة االولى او عن طريق القانون معامل

معامل، اما اذا كان المماس للمنحني موازيا لمحور السينات او

مع عموديا على محور الصادات فان ميل المماس يساوي صفرا ، واذا كان المماس يصنع زاوية مقدارها . tanاالتجاه الموجب لمحور السينات فان ميل المماس يساوي

.فقط اذا مر المنحني بنقطة اعتيادية فانها تحقق معادلته .فقط فنستفيد من مساواة المشتقة االولى بالصفر فقط xاذا علم من النقطة الحرجة قيمة .فقط فنستفيد من مساواة المشتقة الثانية بالصفر فقط xاذا علم من نقطة االنقالب قمية ن للدالة نقطة فا x=aاو بالعكس وكانت الدالة مستمرة عند x<aومحدبة لكل x>aاذا كانت الدالة مقعرة لكل

. x=aانقالب عند وعندها يجب ايجاد المشتقة y=hفتعني ان hقيمتها ( حرجة ، عظمى ، صغرى ) اذا كانت الدالة لها نهاية

واذا علمت اكثر من قيمة يتم المطلوبف ةفاذا كانت قيمة واحد xاالولى ثم مساواتها بالصفر الستخراج قيمة .فيجب عرضها على المشتقة الثانية او خط االعداد االول للتحقق من نوع النقطة المطلوب (x)واحد لـ

y = f(x)اليمكن رسم أي دالة اال اذا كانت دالة صريحة (2

والدالة مستمرة x > 1 ومحدب لكل x < 1 مقعر لكل f(x) = ax3 + bx2 + c اذا كان منحني الدالة \\ 0س

. a , b , c ∈ R جد قيم x = 3 عند y + 9x = 28ويمس المستقيم x = 1 عند

ans : a = -1 , b = 3 , c = 1

x = 1 عند ونقطة انقالب x =4 نهاية صغرى محلية عند f(x) = x3 + ax2 + bx اذا علمت ان للدالة \\ 5س a , b ∈ R ans : a=- 3 , b = -24 جد قيمتي

جد x = 1 ونقطة انقالب عند ( 8)نهاية عظمى محلية تساوي f(x) = ax3 + 3x2 + cاذا كان للدالة \\ 3س a , c ∈ R . ans : a = - 1 , c = 4 قيمتي

متماسان عند نقطة االنقالب g , f وكان كل من f(x) = ax3 + bx2 + cx ، g(x) = 1 - 12xاذا كانت \\ 4س

a , b , c ∈ R . ans: {1,-3,-9}فجد قيم الثوابت ( 0، -00)نقطة انقالب هي fوكانت للدالة

باستخدام معلوماتك بالتفاضل ارسم منحنيات الدوال التالية \\2س

a) f(x) =

b) y x2 = 3 c) f(x) = x3 – 3x2 + 4

------------------------------------------------------------------------------------------------------------


07902162268



\\\( التطبيقات على النهايات احمللية) مضيئة للفصل الثالث حملات \\\ خطوات الحل العامة في اسئلة التطبيقات على النهايات العظمى والصغرى المحلية هي (0

نفرض المتغيرات باسماء معينة. ايجاد عالقة بين المتغيرات باالستفادة من أي عدد في السؤال لجعل احد المتغيرات بداللة اآلخر. المالزمة لكلمة اكبر او اصغر او احدى مرادفاتها ( الدالة )كتابة القاعدة. ( .3)مع ( 5)، أي دمج ( 5)بداللة متغير واحد باالستفادة من الخطوة ( الدالة ) وضع القاعدة اشتقاق القاعدة ثم مساواتها بالصفر ثم حل المعادلة إليجاد قيمة المتغير الموحد. والتعويض عن المعلوم إليجاد المجهول ( 0)ثم ( 5)الرجوع الى الخطوتين. كن علماعرض النتائج على خط االعداد او المشتقة الثانية للتأكد من كون الناتج اكبر او اصغر مايم ( .7)ذهنيا دون الحاجة الى الخطوة ( 2)ان اغلب االسئلة يتم اختيار القيمة المطلوبة الناتجة من الخطوة أي بعد من االبعاد اذا كان مقسم الى قسمين متساويين يفضل ان يفرض بداللة الضعف مثل االسطوانة داخل كرة

.وغيرها 2xنفرض القاعدة ، او مثلث متساوي الساقين 2hيكون ارتفاع االسطوانة في االسئلة التي تحتوي على اسمين لقانونين احدهما معلوم القمية واآلخر اكبر او اصغر مايمكن فان االول يمثل (5

. 41كما في س. العالقة والثاني يمثل القاعدة اسطوانة داخل في االسئلة التي تحوي على مخروط علم طول وتره او مثلث متساوي الساقين علم طول ساقيه او (3

كرة او مخروط داخل كرة او مستطيل داخل دائرة او مستطيل داخل نصف دائرة او مثلث متساوي الساقين داخل فان العالقة هي ( يجب ان يكون قائم ) دائرة او مثلث داخل نصف دائرة بحيث ان احد اضالعه قطر الدائرة

. 40فيثاغورس والقاعدة قانون ذلك الشكل كما في ساالسئلة التي تحوي على مستطيل داخل مثلث او اسطوانة داخل مخروط او مخروط داخل مخروط بشكل مقلوب في (4

او مستقيم يمر بنقطة معلومة بحيث يصنع مع المحورين في احد االرباع اصغر مثلث فان العالقة تكون تشابه .44و س 43و س 45مثلثين والقاعدة قانون ذلك الشكل كما في س

ة التي تحتوي على معادلة منحني فان العالقة معادلة هذا المنحني والقاعدة القانون الهندسي علما ان في االسئل (2ن معادلة المنحني هي العالقة وقانون أليجاد نقطة تنتمي الى منحني معين وتكون اقرب مايمكن الى نقطة معلومة فا

.42البعد بين نقطتين يمثل القاعدة كما في سمخروط يحيط بكرة نصف قطرها معلوم او إيجاد بعدي اصغر مثلث يحيط بدائرة نصف قطرها إليجاد بعدي اصغر (6

. امعلوم فان العالقة تكون فيثاغورس ثم تشابه مثلثين مع


07902162268



. 432π cm3جد اقل كمية ممكنة من معدن رقيق تكفي لصنع اسطوانة دائرية قائمة بسعة \0س

ans: 216π cm2

cm .ans : 64 cm2 8جد اكبر مساحة لمثلث متساوي الساقين طول كل من ساقيه \5س

بحيث ان رأسين 18cmوارتفاعه 24cm جد بعدي اكبر مستطيل يمكن رسمه داخل مثلث طول قاعدته \\3س .متجاورين من رؤوسه تقعان على القاعدة والرأسين الباقيين تقعان على ساقيه

ans : y = 9cm , x = 12cm

.والذي يصنع مع المحورين في الربع االول اصغر مثلث ( 6، 8)جد معادلة المستقيم الذي يمر بالنقطة \\4س

ans : 4x + 3y - 48 = 0 معادلة المستقيم

وطول قطر قاعدته 8cmجد مساحة اكبر اسطوانة دائرية قائمة توضع داخل مخروط دائري قائم ارتفاعه \\2س

= 12cm .ans: Aيساوي

π cm2

( .1، 4)بحيث تكون اقرب مايمكن الى النقطة y2 – x2 = 3 جد نقطة او نقاط تنتمي الى القطع الزائد \\6س

مجموعة الحل { (2 , 1 - ) , (2 , 1) }

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------


07902162268



\\\( العليا والسفلى اجملاميع ) نقاط مضيئة للفصل الرابع \\\نقوم بإيجاد المشتقة االولى للمنحني وإن كانت باحدى الحاالت االربعة ادناه نقوم بتعويض طرفي كل فترة بالمعادلة االصلية \\( 0)مالحظة

. Mi ونضع اكبرهما تحت miالستخراج ناتجين نضع اصغرهما تحت

-:والحاالت االربعة هي

. f(a)=m , f(b)=Mاذا كانت المشتقة االولى عددا ثابتا موجبا فنقول ان الدالة متزايدة في كل مجالها وعندها يكون (0

.f(a)=M , f(b)=mاذا كانت المشتقة االولى عددا ثابتا سالبا فنقول ان الدالة متناقصة في كل مجالها وعندها يكون (5

.وفي هذه الحالة اليجب االشتقاق Mمع mتكون صفرا عندها يتساوى اذا كان اصل الدالة ثابتا اي ان مشتقتها (3

.المستخرجة التنتمي الى الفترة المعطاة xوعند مساواتها بالصفر نجد ان قيمة xاذا كانت المشتقة االولى تحتوي على المتغير (4

(σ – 0عدد عناصر )كون عدد الفترات تساوي المعطاة في السؤال هي التي تحدد عدد الفترات المطلوبة وت σعناصر \\( 5)مالحظة

= hمن التجزيئات المنتظمة فنقوم بحساب طول الفترة من خالل القانون nاذا طلب في السؤال التقسيم الى \\( 3)مالحظة

وبعد

. bفي كل مرة وننتهي بقيمة hثم نضيف aعلى ان نبتدأ بقيمة σاستخراجها نقوم بإنشاء عناصر

في السؤال ولم يطلب التقسيم الى عدد محدد من التجزئيات فنقوم باختيار مانشاء من التجزئيات σاذا لم تعطى عناصر \\( 4)مالحظة

.bوننتهي بقيمة aعلى ان نبتدأ بقيمة (( اثنتين على االقل ))

اذا كانت جميع عناصر الجدول موجبة او صفر فيمكن حساب المساحة التقريبية بالقانون \\( 2)مالحظة

وإن كانت كل عناصر الجدول باستثناء الفترة وطولها سالبة او صفر فيمكن حساب المساحة بمطلق نفس القانون

.وإن كانت عناصر الجدول بإشارات مختلفة فال يمكن حساب المساحة ويطلب حينها فقط المجموع االعلى واالسفل

يمكن استبدال مطلب المساحة التقريبية بمطلب آخر وهو \\( 6)مالحظة

ويكون نفس الجواب السابق حيث ان

الحتفاظ بشروط المساحة السابقة مع ا ( , ) + ( , )

تنتمي الى احدى الفترات الجزئية xوعند مساواتها بالصفر نجد ان قيمة xان كانت المشتقة االولى تحتوي على المتغير \\( 7)مالحظة

ة االصلية الستخراج على االقل فنقوم بإنشاء الجدول ونحسب باقي الفترات حسب التفصيل السابق اي نقوم بتعويض طرفي كل فترة بالدال

. المستخرجة من مساواة الدالة بالصفر xونؤجل العمل بالفترة التي تنتمي لها قيمة Mونضع اكبرهما تحت mقيمتين نضع اصغرهما تحت

االعداد ثم نقوم ببحث نوع النهاية عن طريق خط ( لها yقيمة ) ثم نعود الى هذه القيمة ونعوضها بالدالة االصلية الستخراج صورتها

yللمشتقة االولى او المشتقة الثانية وهي الطريقة االسهل فان كانت النهاية عظمى اي ان المشتقة الثانية عددا ثابتا سالبا فان قيمة

عندها نقوم بتعويض طرفي الفترة mالمستخرجة توضع تحت yوان كانت النهاية صغرى محلية فإن قيمة Mالمستخرجة توضع تحت

نضع mألستخراج ناتجين فإن كان الحقل الشاغر هو ( مع التأكيد على ان التعويض يكون دائما بالدالة االصلية ) المؤجلة بالدالة االصلية

-:نضع اكبرهما ثم نكمل باقي الجدول كما سيتضح مما يلي Mفيه اصغر الناتجين وان كان الحقل الشاغر هو


07902162268



، والمجموع L(σ , f )اوجد كال من المجموع االسفل f : [0 , 4] R , f(x) = 3x - x2 اذا كانت \\ 0س . σ = ( 0 , 1 , 3 ,4)، حيث U(σ , f )االعلى

ans: L(σ , f ) = - 4 , U(σ , f ) =

f : [ 1 , 5 ] R , f(x) = 3x - 2 لتكن // 5س

اوجد قيمة تقريبية للتكامل

fالمنطقة تحت المنحني ثم تحقق هندسيا بحساب مساحة اربعة تجزيئاتباستخدام

Ans:

=

=

=

= 28 unit2

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

جد / 3س

لكل مما يأتي

a) x3y2 – 2y = 5x + 3 ans:

b) y = (sinx + cosx )2 ans:

= 2 cos2x

sin2x = 2sinx cosx , sin2x + cos2x = 1 \\تذكير

c) y = ln|2x| ans:

+ 2x

ln|2x|

d) y = x2 ln|x| ans: x + 2x ln|x|

نتجاهل وجود القيمة المطلقة في السؤال |ln|f(x)عند اشتقاق دالة \\تذكير

e) y = tan(cosx) ans: - sinx . sec2(cosx)

tanتمثل الزاوية لدالة cosxالحظ عزيزي الطالب ان

f) y = ln(tan2x) ans: 2cotx . sec2x

tan2x = (tanx)2 ≠ tanx2اي دالة مثلثية مرفوعة الى قوة يتم اشتقاقها حسب القاعدة السابعة \\تذكير

g) y =

ans:

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

فان y = au برهن انه اذا كانت \\4س

= au . lna .

au = eu lnaتذكر ان .

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

= F : [0 , 2π ] R , F(x) اثبت فيما اذا كانت الدالة \\ 2س

sin2x

ثم اوجد f : [0 , 2π ] R , f(x) = cos2xهي دالة مقابلة للدالة

dx

Ans :

dx =


07902162268



\\\( للدوال اجلربية احملدد غري احملدد و التكامل) مضيئة للفصل الرابع حملات \\\المحدد وغير المحدد يتوزع على الجمع والطرح وال يتوزع على الضرب والقسمة كما انه كما تعلم ان التكامل (0

اليجاد التكامل ألي قوس مرفوع الى قوة معينة نقوم بإيجاد مشتقة داخل القوس فاذا كانت نفسها خارج القوس نطبق قلوب االس الجديد مع الحفاظ لقوة القوس االصلية ثم نضرب في م 0القاعدة الخامسة مباشرة وذلك باضافة العدد

على اصل القوس دون تغيير ، اما اذا كانت مشتقة داخل القوس تختلف عن خارجه بعدد ثابت عندها نقوم بخطوة ال بعد موازنة ثم نستخدم القاعدة الخامسة ، اما اذا اختلفت عنها بمتغير فال يمكن تطبيق القاعدة الخامسة او غيرها ا

والثانية بتحليل ( مربع حدانية )بدائل رئيسية االولى التخلص من القوى التربيعية بثالثةاعادة صياغة السؤال بشرط اذا كان حدها االوسط هو ضعف حاصل ضرب جذري الحدين االول مع الثالث)حدودية الثالثية الى مربع كامل ال

. ( بين المغيرات يكون باصغر اس) رك والبديل الثالث استخراج عامل مشت( ان يكون الحدين االول والثالث موجبين كما انه التوجد قاعدة مباشرة لتكامل حاصل ضرب دالتين وعندها اما نتخلص من االقواس ثم نستخدم القاعدة (5

.الرابعة المباشرة او نستخدم القاعدة الخامسة اذا امكننا الحصول على مشتقة داخل القوس بعدة طرق اهمها ل قسمة دالتين عندها يجب التخلص من المقامكما انه التوجد قاعدة مباشرة لتكامل حاص (3

. او التحليل ثم رفع المقام الى البسط التحليل واالختصار او برفع المقام الى البسطعند التكامل المحدد نستخدم نفس االساليب اعاله ومن ثم التعويض بالحد االعلى ثم نعوض بالحد االدنى وبينهما (4

.عملية طرح لتكامالت المحددة التي يكون حدها االعلى اصغر من الحد االدنى يفضل التبديل بين حدود التكامل ثم اخراج في ا (2

.اشارة سالبة خارج التكامل قبل الشروع بالحل

احسب كال من التكامالت التالية \\6س

1)

ans : {

}

2)

ans : {

}

3)

ans : {

}

4)

ans : { }

5)

ans : { }

6) ∫

, x > 0 ans:

+ c

7)

ans:

8) ∫

ans:

+ c

9)

ans:


07902162268



\\\( احملدد للدوال املثلثية احملدد و غري التكامل) مضيئة للفصل الرابع حملات \\\يكون التكامل مباشرا اذا كان باحد الحاالت الستة ادناه عندها نجري موازنة على الزاوية فقط ثم نطبق القاعدة (1

وللتذكير ( cosu , sinu , sec2u , csc2u , secu tanu , cscu cotu)وهي

If y= sinu → y΄ = cosu du

If y=cos u → y΄ = - sinu du

If y=tan u → y΄ =sec2 u du

If y=cot u → y΄ =- csc2 u du

If y=sec u → y΄ = secutanu du

If y=csc u → y΄ =- csc u cotu du

يكون التكامل باستخدام القاعدة الخامسة اذا وجدت دالة مثلثية مرفوعة الى قوة او قوس مرفوع الى قوة ووجدت (2ا يجب ان ال كم( 0)مشتقته بجواره عندها نجري موازنة على اصل الدالة مع الزاوية وليست الزاوية فقط كما في

ننسى قوانين التحويالت التي توصلنا الى هذه الحالة واهمها

sec2x =1 + tan2x , csc2x = 1 + cot2x , tanx=

, cotx=

, secx=

, cscx=

الدوال المثلثة في حالة ضرب عندها نحتاج الى قوانين اليمكن اجراء التكامل اال اذا كانت الزوايا موحدة وكانت (3

sin2ax = 2sinax cosax التحويالت التالية

cos2ax = cos2ax – sin2ax = 2cos2ax – 1 = 1 – 2sin2 ax حسب الحاجة

تكامالت مربعات الدوال المثلثية في حالة فشل الحاالت السابقة وتحتاج الى قوانين التحويالت التالية (4

tan2ax = sec2ax – 1 , cot2ax = csc2ax – 1 , sinax cosax =

sin2ax

1 - sin2x اذا كان اصل السؤال بقوة فردية cos2x =

( 1 + cos2x) اذا كان اصل السؤال بقوة زوجية

1 - cos2x اذا كان اصل السؤال بقوة فردية sin2x =

( 1 - cos2x) اذا كان اصل السؤال بقوة زوجية

في التكامل غير حيث ان بعض الحاالت الخاصة التي يجب التركيز عليها (5

في التكامل المحدد المحدد وان

u= f(x)

du = f΄(x)

∫cosu du = sinu + c

∫sinu du = - cos u + c

∫ sec2 u du = tan u + c

∫ csc2 u du = - cot u + c

∫secutanu du = sec u + c

∫csc u cotu du = - csc u + c


07902162268



احسب التكامالت التالية \\7س

1) ∫

dx ans: -2 cot + c

2) ∫ ( + x sec2x2 ) dx ans:

+

tanx

2 + c

3) ∫

dx ans :

+ c

4)

ans : {

}

5) ∫

dx ans : =

sin3x -

cos3x + c

6)

ans : { π - 2 }

7)

ans : {

}

8) ∫

ans :

(1 + sinx)2 + c

9) ∫ (csc x . cot x - 1)2 dx ans : -

cot3x + 2cscx + x + c

10) ∫ dx ans : ± ( - cosx - sinx ) + c

11) ∫ (sinx - 3cos2x)2 dx ans : 5x -

sin2x + 4 cos3x - 6cosx +

sin4x + c

الدنيا مسألة حسابيةهذه خربة ومن االمس –اجعل من اليوم عربة

واترك الباقي على رب السماء –وامجع هلا اجلد والوفاء –اطرح منها التعب والشقاء


07902162268



\\\( اهم خواص التكامل احملدد ) مضيئة للفصل الرابع حملات \\\

فأن [a , b]مستمرتين على الفترة f1 , f2اذا كانت الدالتين (0

=

اي ان التكامل المحدد يتوزع على الجمع والطرح ألي عدد من الحدود وغالبا ما نستخدم هذه الخاصية للتعامل

.مع دوال مقسمة الى قسمين احدهما قابل للتكامل واآلخر غير قابل للتكامل

5)

= -

فان c ∈ [a , b] وكانت [a , b]مستمرة على الفترة fاذا كانت الدالة (3

=

+

ن احد حدي التكامل مجهوال وكان ناتج التكامل معلوما نجري عملية تكامل اصولية ثم التعويض لتحول اذا كا (4

.الفصلين الثالث والرابع السؤال الى معادالت اعتيادية مع التأكيد على اسئلة الربط بين

اذا كان \\8س

وكان 6 - =

:c . {3- }sجد قيمة 42 =

اذا كان \\9س

a , b . {(-7,5),(-1,2) }جد قيمتي a + 2b = 3، وكان 12 =

مهم جدا جدا \\01س

فاذا كان [6 , 2-]دالة مستمرة على الفترة f(x)اذا كانت ( أ

وكان

جد

. ans :

= 2

اذا علمت ان a ∈ R جد قيمة ( ب

.ans: a = {- 3 , 2}

جد ( -2)، دالة نهايتها الصغرى k ∈ Rحيث f(x) = x2 + 2x + kلتكن ( جـ

.ans:{

}

جد القيمة العددية للمقدار (a , b) يمتلك نقطة انقالب f(x) = (x - 3)3 + 1 اذا كان للمنحني ( ء

′(x) dx -

ans: 46


07902162268



\\\( مشتقات وتكامالت الدوال االسية واللوغارمتية ) مضيئة للفصل الرابع حملات \\\if y = Ln u ⇒ y' =

,,,,,

، اما إليجاد تكامل اي دالة نسبية مقامها اي دالة تساوي مشتقة تلك الدالة مقسوما على نفس الدالة Lnاي ان مشتقة

Ln|المقام | c +مرفوع لالس واحد وكانت مشتقة المقام موجودة في البسط فان ناتج التكامل هو

if y = eu ⇒ y' = eu du ,,,,, ʃ eu du = eu + c

فهي نفسها بشرط الحصول على مشتقة االس euهي نفسها مضروبة في مشتقة االس ، انما تكامل euمشتقة

if y = au ⇒ y' = au du . Lna ,,,,, ʃ au du =

au + c

االساس Lnهي نفسها مضروبا في مشتقة االس مضروبا في auاي ان مشتقة

االساس مضروبا في نفسها بشرط الحصول على مشتقة االس Lnهي مقلوب auانما تكامل

Lne = 1 , Ln1 = 0 , e0 = 1 , Lnax = x Lna

Lnex = x , eLnx = x , eaLnx = xa

التكامالت التاليةجد \\ 00س

1)

ans: ln3

2) ∫ cot3 5x dx ans: -

cot25x -

ln|sin5x| + c

3)

ans :ln|lnx| + c

4)

dx ans : 8

5)

dx ans:

6)

dx ans : e2 - e

7)

dx ans: -1 + e


07902162268



\\\( التكامل احملدد للدوال املزدوجة ودوال القيمة املطلقة ) مضيئة للفصل الرابع حملات \\\ لحد الفاصل وعندها نتوقع ثالث احتماالت إليجاد التكامل المحدد للدوال المزدوجة يجب اوال تحديد ا (0

عندها نثبت اذا كانت جميع العناصر المحصورة بين حدي التكامل تنتمي الى احد الجزئين فقط \\االول (أي ان عدم تجزئة التكامل تكون اجبارية ) ونجري التكامل عليه االستمرارية على ذلك الجزء فقط

اذا كان الحد الفاصل يقع بين حدي التكامل فان االستمرارية تكون واجبة لكال الجزئين وخصوصا عند \\الثاني .لفاصل الحد الفاصل وتجزئة التكامل تكون اجبارية بالنسبة للحد ا

عندها نثبت االستمرارية عند الحد ( االعلى او االسفل ) اذا كان الحد الفاصل هو احد حدي التكامل \\الثالث .الفاصل لكال الجزئين ثم نجري التكامل على الجزء الذي تقع فيه الفترة فقط

نستخدم نفس االسلوب السابق إليجاد التكامل المحدد لدوال القيمة المطلقة يجب تحويلها الى دوال مزدوجة ثم (5حيث ان مطلق أي عدد فيه حالتان االولى اذا كان داخل المطلق موجبا يبقى على حاله والثانية اذا كان داخل

حسب التمرين التالي ( -)المطلق سالبا يضرب في

|x| = ∀ ∀

اصبحت دالة مزدوجة حدها الفاصل صفرا

|3x - 6| = ∀ ∀

( 5)اصبحت دالة مزدوجة حدها الفاصل

اذا كانت ( أ \\05س ∀ ∀

جد

ans : {26}

اذا كانت ( ب ∀ ∀

جد

ans : {51}

اثبت ان ( أ \\03س

( ب

ans : {2}

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

......طريقان

وآخره راحة وسعادة.............. االول غالبيته تعب ومشقة

وآخره حسرة وندم............. الثاني غالبيته راحة ومرح

...........الى نفسك واختر طريقك فانظر .........


07902162268



\\\( املساحات واملسافة ) مضيئة للفصل الرابع حملات \\\، ومن ثم يتحول السؤال xإليجاد هذه المساحة نقوم ابتداءا بمساواة دالة المنحني بالصفر ثم نحل المعادلة إليجاد قيم

-:الى احد االحتماالت الخمسة التالية

الناتجة من مساواة الدالة بالصفر عليها فاذا كانت xفنقوم بعرض قيم [a , b]اذا علمت فترة في السؤال (0

تنتمي لها فنقوم بتجزئة التكامل الى جزئين او اكثر اما اذا كانت طرف فيها او التنتمي لها فال نجزئ التكامل وفي

.التكامل كلتا الحالتين نقوم بسحب القيمة المطلقة الى خارج هذا

ويكون لها نفس التفسير x = a ,, x = b في السؤال بعبارة المستقيمين [a , b]يمكن ان تستبدل الفترة (5

.السابق

الناتجة من مساواة الدالة بالصفر ترتب تصاعديا ويتم xاذا لم يعلم فترة او مستقيمين في السؤال فان قيم (3

.الناتجة تكون على االقل قيمتين xة وفي هذه الحالة فان قيم اعتبارها فترات للتكامل دون اهمال أي قيم

اذا لم نتمكن من مساواة الدالة بالصفر كأن تكون مجموع مربعين او اذا كانت الدالة اليمكن تحليلها بالطرق (4

وفيما يلي سوف نستعرض امثلة مختلفة عن. المعروفة فان المساحة تكون تكامال واحدا وعلى الفترة المعطاة

.هذه االحتماالت الخمسة

إليجاد المساحة بين منحني دالتين يجب استخراج دالة مولدة وناتجة من فرق الدالتين وعندها نستخدم نفس (2

مع التأكيد على ان الدالة المولدة لها اكثر من صورة واحدة عند الحاالت السابقة لكن بالنسبة للدالة المولدة ،

على أي منها مالم نضرب بعدد او نقسم على عدد او نجذر الطرفين الي قوة او التبسيط فيجوز اجراء التكامل

.رفع الطرفين الي قوة حيث ان هذه العمليات االربعة تستخدم لحل المعادالت الناتجة من مساواة الدالة بالصفر

اذا كانت (6

sinx = 0 ⇒ x = 0 + n , n = 0 , 1 , 2 , -1 , -2 , ….. حسب الحاجة

cosx = 0 ⇒ x =

+ n , n = 0 , 1 , 2 , -1 , -2 , ….. حسب الحاجة

sin(-x) = - sinx , cos(-x) = cosx , sec(-x) = secx , csc(-x) = -cscx , …

اذا كانتsinax, cosax = ± {

حسب موقع x ستخرج زاوية اسناد ثم نستخرج قيمتين

.الزاوية في االرباع االربعة

اذا كانتtanax , cotax = ± {

حسب موقع x نستخرج قيمتينستخرج زاوية اسناد ثم

.الزاوية في االرباع االربعة

اذا كانتsinax , cosax = { 1 , -1} نستخرج قيمةx من خالل موقعها في دائرة الوحدة

2م استخراجها نضيف لها كل زاوية يتn حيث انn=± 1 , ±2 , ±3 , … اذا كان معامل حسب الحاجة

x اكبر من واحد .


07902162268



هي [a , b]تمثل سرعة جسم يتحرك على خط مستقيم فان المسافة المقطوعة بالفترة V(t) اذا كانت (أ (7

d =

ثم عرضها على الفترة المعطاة فاذا كانت tاي يجب مساواة السرعة بالصفر ألستخراج قيمة

تنتمي لها تكون التجزئة اجبارية واذا كانت طرفا فيها او التنتمي لها تكون عدم التجزئة اجبارية وفي كلتا الحالتين

.يسحب المطلق الى الخارج

هي تكامل السرعة على الفترة المعطاة دون تجزئة او قيمة مطلقة اما االزاحة المقطوعة بفترة معينة ف( ب

s =

هي tتمثل سرعة جسم يتحرك على خط مستقيم فان المسافة المقطوعة في او خالل الثانية V(t) اذا كانت (جـ

|d = |

ثانية من بدء الحركة tتمثل سرعة جسم يتحرك على خط مستقيم فان بعد الجسم بعد مرور V(t) اذا كانت ( ء

= sهي

ويجب a(t)dt = v(t) + c ∫فان v(t)يمثل تعجيل جسم يتحرك على خط مستقيم بسرعة a(t)اذا كانت ( هـ

من خاللها عندها cان يكون تكامال غير محددا ويجب ان تعلم قيمتي السرعة والزمن في السؤال الستخراج قمية

.يتحول السؤال الى االحتماالت االربعة السابقة

اذا كانت معادلة السرعة مجموع حدين او اكثر فال حاجة الى مساواتها بالصفر عند إيجاد المسافة المقطوعة( و

.وان وجدت ستكون سالبة او صفر وفي كلتا الحالتين تهمل tبفترة معينة الن قيم

ومحور السينات y = f(x)لحساب حجم الشكل المتولد من دوران المنطقة المحددة بين منحني الدالة \\اوال (8

V = π تعرف بالقانون التالي x = bالى x = aوالمستمرة من

ومحور الصادات x = f(y)لحساب حجم الشكل المتولد من دوران المنطقة المحددة بين منحني الدالة \\ثانيا

V = π تعرف بالقانون التالي y = bالى y = aوالمستمرة من

ثم y=0فقط عندها نفرض x = aإليجاد الحجم الناتج من دوران منحني حول محور السينات والمستقيم \\ثالثا

.االخرى والعكس بالعكس xنعوضها بالمعادلة االصلية الستخراج قيمة

نقوم بتعويضها بالمعادلة y = 0الستخراج الحجم الناتج من دوران منحني حول محور السينات والمستقيم \\رابعا

.والعكس صحيح xاالصلية الستخراج قيمتي

نقوم بتعويض y = a, y = bإليجاد الحجم المتولد من دوران منحني حول محور السينات والمستقيمين \\خامسا

للجدل ، حسب رأي اصحاب المنهج وهذا الرأي مثيروالعكس بالعكس xكل منها بالدالة االصلية الستخراج قيمتي

.يبقى العمل به حتى ورود تصحيحه


07902162268



, 0]] ومحور السينات وعلى الفترة y = sin4x جد المساحة المحددة بالمنحني \\ 0س

. ans : {1}

ans : {4} , - ]] ومحور السينات وعلى الفترة y = cosx جد المساحة المحددة بالمنحني \\ 5س

, 0]] وعلى الفترة f(x) = sin2x , g(x) = sinx جد المساحة المحددة بمنحني الدالتين \\ 3س

.

ans : {

وحدة مساحة {

{01} \ج . [3 , 2]ومحور السينات بالفترة y = x4 - 6x2 + 5 جد المساحة المحددة بالمنحني \\4س

جد المساحة بين هذا المنحني ومحور (2 , 1-) نقطة نهاية عظمى y = ax3 + bx اذا كان لمنحني الدالة \\2س

} \ج . السينات

}

= y = x , y جد المساحة المحددة بمنحني الدالتين \\6س

} \ج . [1 , 1-]ة وعلى الفتر

}

, 0]] وعلى الفترة y = cosx + 1 , y = - cosx جد المساحة المحددة بمنحني الدالتين \\7س

.

}} \ج

, 0]المعرفتين على الفترة f(x)=cos22x , g(x)= sin22xجد المساحة المحددة بمنحني الدالتين \\8س

]

{ 0} \ج

]المعرفتين على الفترة f(x)=cosx , g(x)= sinxجد المساحة المحددة بمنحني الدالتين \\9س

,

]

{ 2} \ج أوجد الزمن m/sec (100t - 6t2) ثانية من بدء الحركة اصبحت سرعتها tتتحرك نقطة من السكون وبعد \\01س

ans: t=25. الالزم لعودة النقطة الى موضعها االول الذي بدأت منه ، ثم احسب التعجيل عندها

90m/secفاذا كانت سرعته قد اصبحت m/sec2 (4t + 12) جسم يتحرك على خط مستقيم بتعجيل قدره \\00س : من بدء الحركة جد sec(4)بعد مرور

a) السرعة عندما t = 2 . ans: 42 m/sec

b) [ . 0، 5] المسافة خالل الفترة ans:

c) 10االزاحة بعدsec من بدء الحركة.

ans:

= x جد حجم المنطقة المحددة بالمنحني \\ 05س

y ≤ 4 . ans : π ln4 ≥ 1 ومحور الصادات حيث

حول y = 4 والمستقيم y = x2 + 1 اوجد الحجم الناتج من دوران المساحة المحصورة بين منحني الدالة \\ 03س

: ans . المحور الصادي

ومحور السينات y = sin2x محددة بمنحني الدالة اوجد حجم الجسم الناتج من دوارن المنطقة ال \\ 04س

= x = 0 , x والمستقيمين

. ans :

حول x = 0 والمستقيم y2 + x = 1 احسب الحجم المتولد من دوران المساحة المحصورة بين المنحني \\02س

: ans .المحور الصادي

π


07902162268



املعادالت التفاضلية

y″ = 2y ( 1 + y2 )هو حال للمعادلة y = tanxاثبت \\0س هو حال للمعادالت التالية 2x2 + y2 = 1 اثبت ان \\5س

1) y3 y″ = - 2 , 2) y y" + (y')2 = - 2 xy″ + 2y′ + 25yx = 0 حال للمعادلة yx = sin5xاثبت ان \\3س

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

حل المعادلة التفاضلية \\ 4س

= e

2x+y x = 0 , y = 0 حيث

ans : ey =

⇒ ey =

⇒ y = ln(

)

tan2y dy = sin3x dx حل المعادلة التفاضلية \\2س

ans : tany - y = - cosx +

cos3x + c

= cos2x . cos2y حل المعادلة التفاضلية \\6س

ans : tany =

(x +

sin2x) + c

---------------------------------------------------------------------------------------------------- y′ = x + y (3x - y) حل المعادلة التفاضلية \\7س

ans : ln|x|+ ln|1 - v| =

+ c ⇒ln |x(1 - v)| =

+ c

⇒ ln|x(1 -

)| =

+ c ⇒ ln | x - y | =

+ c ⇒ ln | x - y | =

+ c

x (

- tan

) = y حل المعادلة التفاضلية \\8س

ans : ln|x| = ln|c(sinv)| ⇒ |x| = |c(sinv)| ⇒ x = ± c(sinv) ⇒ x = ± c(sin

)

في اسئلة المعادالت التفاضلية ينتهي الحل مبدئيا بمجرد اجراء التكامل ولكن التترك االسس \تلميح مهم

السالبة الى بعد تحويلها الى موجبة والتترك االسس النسبية اال بعد تحويلها الى جذور وان كان تكامل

lnتطبيق خواص جلال lncفنعتبر ان ثابت التكامل هو lnالطرفين هو

النها قد واسئلة الحجوم كما انصح طلبتنا االعزاء بعدم التخلي عن الهندسة وخصوصا المبرهنات والنتائج

متمنيا لكم النجاج الباهر بعونه تعالى . تدفع االحراج عنكم في بعض االسئلة

مراجعة مركزة -قصي هاشم 2015

Education