كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

الريا�ضياتكتاب الطالب

الف�سل الدرا�سى الثانى ال�سف الأول الثانوى

للريا�سيات تطبيقات عملية فى مجالت متعددة منها اإن�ساء الطرق والكبارى وتخطيط المدن واإعداد خرائطها التى تعتمد على توازى الم�ستقيمات و الم�ستقيمات القاطعة لها وفق تنا�سب بين الطول

الحقيقى والطول فى الر�سم.

وال�سورة لكوبرى ال�سالم الذى يربط بين �سفتى قناة ال�سوي�س

جميع الحقوق محفوظة ال يجور نشر أى جزء من هذا الكتاب أو تصويره أو تخزينه أو تسجيله بأى وسيلة دون موافقة خطية من الناشر.

شركة سقارة للنشر�ش. م. م

الطبعــة األولى 2014/2013رقم اإليــداع 7949 / 2013

الرقم الدولى 8 - 002 - 706 - 977 - 978

اإعداد

�أ/ عمر ف�ؤاد جاب اهلل

�أ.د/ نبيل ت�فيق ال�ضبع �أ.د/ عفاف اأب� الفت�ح �ضالح

�أ.م.د/ ع�ضام و�ضفى روفائيل �أ / �ضريافيم اإليا�س اإ�ضكندر

�أ/ كمال ي�ن�س كب�ضة

�له الرحمن الرحيم بسم ال�

يسعدنا ونحن نقدم هذا الكتاب أن نوضح الفلسفة التى تم فى ضوئها بناء المادة التعليمية ونوجزها فيمايلى:

التأكيد عىل أن الغاية األساسية من هذه الكتب هى مساعدة املتعلم عىل حل املشكالت واتخاذ القرارات ىف حياته 1اليومية, والتى تساعده عىل املشاركه ىف املجتمع.

التأكيد عىل مبدأ استمرارية التعلم مدى الحياة من خالل العمل عىل أن يكتسب الطالب منهجية التفكري العلمى، وأن 2يمارسوا التعلم املمتزج باملتعة والتشويق، وذلك باالعتماد عىل تنمية مهارات حل املشكالت وتنمية مهارات االستنتاج

والتعليل، واستخدام أساليب التعلم الذاتى والتعلم النشط والتعلم التعاونى بروح الفريق، واملناقشة والحوار، وتقبل

آراء اآلخرين، واملوضوعية ىف إصدار األحكام، باإلضافة إىل التعريف ببعض األنشطة واإلنجازات الوطنية.

تقديم رؤى شاملة متماسكة للعالقة بني العلم والتكنولوجيا واملجتمع(STS) تعكس دور التقدم العلمى ىف تنمية 3ف الواعى الفعال حيال استخدام األدوات التكنولوجية. املجتمع املحىل، باإلضافة إىل الرتكيز عىل ممارسة الطالب الترص

تنمية اتجاهات إيجابية تجاه الرياضيات ودراستها وتقدير علمائها 4تزويد الطالب بثقافة شاملة لحسن استخدام املوارد البيئية املتاحة. 5

االعتماد عىل أساسيات املعرفة وتنمية طرائق التفكري، وتنمية املهارات العلمية، والبعد عن التفاصيل والحشو، 6واإلبتعاد عن التعليم التلقينى؛ لهذا فاالهتمام يوجه إىل إبراز املفاهيم واملبادئ العامة وأساليب البحث وحل املشكالت

وطرائق التفكري األساسية التى تميز مادة الرياضيات عن غريها.

وفى �سوء ما �سبق روعى فى هذا الكتاب ما يلى:الكتاب إىل وحدات متكاملة ومرتابطة لكل منها مقدمة توضح أهدافها ودروسها ومخطط تنظيمى لها تقسيم

واملصطلحات الواردة بها باللغة العربية واإلنجليزية ومقسمة إىل دروس يوضح الهدف من تدريسها للطالب تحت

عنوان سوف تتعلم، ويبدأ كل درس من دروس كل وحدة بالفكرة األساسية ملحتوى الدرس وروعى عرض املادة

العلمية من السهل إىل الصعب ويتضمن مجموعة من األنشطة التى تتناول الربط باملواد األخرى والحياة العملية والتى

تناسب القدرات املختلفة للطالب وتراعى الفروق الفردية بينهم وتؤكد عىل العمل التعاونى، وتتكامل مع املوضوع.

كما قدم ىف كل درس أمثلة تبدأ من السهل إىل الصعب وتشمل مستويات تفكري متنوعة، مع تدريبات عليها تحت

عنوان حاول أن تحل وينتهى كل درس ببند »تحقق من فهمك«.

تنتهى كل وحدة بملخص للوحدة يتناول املفاهيم والتعليمات الواردة بالوحدة.

وأخيرا ..نتمنى أن نكون قد وفقنا فى إنجاز هذا العمل لما فيه خير لأولادنا، ولمصرنا العزيزة.

�له من وراء القصد، وهو يهدى إلى سواء السبيل وال�

المقدمة

الرتابط والتداخل مع العلوم اآلخرى

والحياة العلمية

العمليات العقلية واملهارات الذهنية

املتضمنة

املفاهيم املتضمنة

الدروس املتضمنة بالوحدةاسم

الوحدة

،7 صـ بالمستهلك الربط

صـ 10.

الربط بالرياضيات صـ 7

الربط بالطاقة صـ 7

الربط بالتجارة صـ 13

الربط بالتكنولوجيا صـ 13

تفكري ناقد صـ8، صـ10 � تفكري جربى �

)اثناء عرض الدرس(

مصفوفة - عنصر - مصفوفة

صف - مصفوفة عمود - مصفوفة

مربعة - مصفوفة صفرية -

مصفوفات متساوية - مصفوفة

متماثلة - مصفوفة شبه متماثلة

1 - 1 : تنظيم البيانات فى مصفوفات

املصفوفات

الربط باالحصاء صـ 14

الربط بالتكنولوجيا صـ 17

تفكري جربى )اثناء عرض �الدرس(

جمع المصفوفات - طرح

المصفوفات

1 - 2 : جمع وطرح المصفوفات

الربط بالمستهلك صـ 18

الربط بالسياحة صـ 20

تفكري ناقد صـ19 � تفكري جربى �


ضرب المصفوفات 1 - 3 : ضرب المصفوفات

الربط بالهندسة صـ 15 تفكري جربى �)اثناء عرض الدرس(

محدد - محدد الدرجة الثانية -

محدد الدرجة الثالثة - القطر

الرئيس للمحدد - القطر اآلخر

للمحدد مصفوفة المعامالت

1 - 4 : المحددات

الربط بالمستهلك صـ 34 تفكري ناقد صـ 30 � تفكري جربى �


معكوس ضربى للمصفوفة-

مصفوفة الوحدة - معادلة

مصفوفية - مصفوفة المتغيرات-

مصفوفة الثوابت

1 - 5 : المعكوس الضربى للمصفوفة

تطبيقات حياتية صـ 42


تفكري ناقد صـ 42 � تفكري جربى �


متباينة خطية - مستقيم حدى -

مستقيم حدى منقط - مستقيم

حدى متصل - متباينة خطية فى

مجهول واحد - متباينة خطية فى

مجهولين

2 - 1: المتبانيات الخطية

الربمجة

الخطية

الربط بالحياة صـ 46، 47

الربط بالمهن صـ 47

تفكري جربى �)اثناء عرض الدرس(

نظام متباينات خطية-منطقة الحل

رسم بيانى

المتباينات من أنظمة حل :2 - 2الخطية بيانيا

الربط بإدارة الوقت صـ 48

الربط بإدارة اإلعمال صـ 50


الربط بالصناعة صـ 51،50

الربط بالزراعة صـ 52

الربط بالزراعة صـ 52

تفكري جربى � )اثناء عرض الدرس(

برمجة خطية - قيود محدودة -

غير محدودة حل أمثل

2 - 3: البرمجة الخطية والحل األمثل

تفكري منطقى صـ 59 � تفكري هنديس �


- مسافة - متجه - قياسية كمية

ازاحة - اتجاه

3 - 1: الكميات القياسية والكميات المتجهة، والقطعة

المستقيمة الموجهه

تفكري منطقى �املتجهات تفكري هندسى �


متجه - متجع موضع - زوج

مرتب - قيمة مطلقة - معيار

متجه- متجه مكافئ - صورة

قطبية - متجه وحدة

3 - 2: المتجهات

1

2

3

خريطة الكتاب للفصل الدراسى الثانى

الرتابط والتداخل مع العلوم اآلخرى

والحياة العلمية

العمليات العقلية واملهارات الذهنية

املتضمنة

املفاهيم املتضمنة

الدروس املتضمنة بالوحدةاسم

الوحدة

تفكري منطقى � تفكري هنديس �


جمع متجهين - طرح متجهين -

قاعدة المثلث - قاعدة متوازى

األضالع

3 - 3: العمليات على المتجهات

تابع

تفكري منطقى �املتجهات تفكري هنديس �


قوة محصلة - توازى القوى -

سرعة نسبية

3 - 4: تطبيقات على المتجهات

تفكري منطقى � تفكري هنديس �


تقسيم من الداخل - تقسيم من

الخارج - نسبة التقسيم

4 - 1: تقسيم قطعة مستقيمة

الخط

املستقيم

تفكري ناقد 84، 92 �تفكري منطقى � تفكري هنديس )اثناء عرض �

الدرس(

متجه إتجاه مستقيم - معادلة

متجهة - معادلة برامترية -

معادلة كارتيزية - معادلة عامة

4 - 2:معادلة الخط المستقيم

الربط بالهندسة صـ 95 تفكري منطقى � تفكري هنديس �


زاوية بين مستقيمين 4 - 3: قياس الزاوية بين مستقيمين

الربط بالطرق صـ 97 تفكري منطقى � تفكري هنديس �


عمود - خط مستقيم 4 - 4 : طول العمود المرسوم من نقطة إلى خط مستقيم

الربط بالتكنولوجيا صـ 100 تفكري منطقى � تفكري هنديس �


نقطة تقاطع مستقيمين -

معادلة عامة

4 - 5 : المعادلة العامة للمستقيم المار بنقطة تقاطع

مستقيمين

تفكري منطقى �)اثناء عرض الدرس(

معادلة

متطابقة

5 - 1: المتطابقات المثلثية

حساب

املثلثات

تفكري منطقى )اثناء عرض �الدرس(

معادلة مثلثية - حل عام 5 - 2:حل المعادالت المثلثية

الربط بالهندسة صـ115 تفكري ناقد صـ 115 � تفكري منطقى �


حل مثلث 5 - 3: حل المثلث القائم الزاوية


زاوية ارتفاع

زاويا انخفاض

5 - 4 : زوايا اإلرتفاع واإلنخفاض

تفكري ناقد صـ 120 � تفكري منطقى �


قطاع دائرى 5 - 5 : القطاع الدائرى

والزينة بالزراعة الربط

صـ123


قطعة دائرية 5 - 6 : القطعة الدائرية

الربط بالتكنولوجيا صـ127 تفكري منطقى �)اثناء عرض الدرس(

مضلع منتظم 5 - 7 : المساحات

4

5

تنظيم البيانات في مصفوفات.......................................................................................................................................................................................... 4 1 -1جمع وطرح المصفوفات..................................................................................................................................................................................................... 14 2 -1ضرب المصفوفات......................................................................................................................................................................................................................... 18 3 -1المحددات..................................................................................................................................................................................................................................................... 22 4 -1المعكوس الضربى للمصفوفة....................................................................................................................................................................................... 30 5 -1ملخص الوحدة.................................................................................................................................................................................................................................... 35

المتباينات الخطية.......................................................................................................................................................................................................................... 38 1 - 2

حل أنظمة من المتباينات الخطية بيانيا......................................................................................................................................................... 43 2 - 2

البرمجة الخطية والحل األمثل........................................................................................................................................................................................ 48 3 - 2ملخص الوحدة.................................................................................................................................................................................................................................... 55

الكميات القياسية والكميات المتجهة، والقطعة المستقيمة الموجهة.............................................................. 58 1 - 3

المتجهات.................................................................................................................................................................................................................................................... 63 2 - 3

العمليات على المتجهات........................................................................................................................................................................................................ 71 3 - 3

تطبيقات على المتجهات.......................................................................................................................................................................................... 76 4 - 3ملخص الوحدة.................................................................................................................................................................................................................................... 82

المحتويات

الوحدةالمصفوفاتالأولى

الوحدةالربمجة الخطيةالثانية

الوحدة املتجهاتالثالثة

تقسيم قطعة مستقيمة........................................................................................................................................................................................................ 86 1 - 4

معادلة الخط المستقيم.......................................................................................................................................................................................................... 91 2 - 4

قياس الزاوية بين مستقيمين ...................................................................................................................................................................................... 96 3 - 4

طول العمود المرسوم من نقطة إلى خط مستقيم ....................................................................................................................... 98 4 - 4

100 .......................................................... المعادلة العامة للمستقيم المار بنقطة تقاطع مستقيمين 5 - 4ملخص الوحدة................................................................................................................................................................................................................................ 103

المتطابقات المثلثية.............................................................................................................................................................................................................. 106 1 - 5

حل المعادالت المثلثية......................................................................................................................................................................................................... 111 2 - 5

114 ............................................................................................................................................................................................... حل المثلث القائم الزاوية. 3 - 5

زوايا االرتفاع وزوايا االنخفاض ............................................................................................................................................................................. 117 4 - 5

القطاع الدائرى................................................................................................................................................................................................................................ 120 5 - 5

القطعة الدائرية............................................................................................................................................................................................................................ 123 6 - 5

المساحات............................................................................................................................................................................................................................................ 125 7 - 5ملخص الوحدة................................................................................................................................................................................................................................ 129

الوحدة الخط المستقيمالرابعة

الوحدةحساب املثلثاتاخلام�سة

Ñ Matrix مصفوفة�Ñ Element عنصر�Ñ Row matrix مصفوفة�الصف�Ñ مصفوفة�العمود

Column matrix Ñ Square matrix مصفوفة�مربعة Ñ Zero matrix� مصفوفة�صفرية��Ñ مصفوفات�متساوية

Equal matrices

Ñ مصفوفة�متماثلة Symmetric matrix

Ñ مصفوفة�شبه�متماثلة Skew-symmetric matrix

Ñ مصفوفة�الوحدة Identity matrix

Ñ معادلة�مصفوفية Matrix equation

Ñ مصفوفة�المتغيرات Variable matrix

Ñ مصفوفة�الثوابت Constant matrix

Ñ جمع�المصفوفات Adding matrices

Ñ طرح�المصفوفات Subtracting matrices

Ñ ضرب�المصفوفات Multiplying matrices

Ñ مدور�المصفوفة Transpose of matrix

Ñ Determinant محدد��Ñ محدد�الرتبة�الثانية

Second order determinant Ñ محدد�الرتبة�الثالثة

Third order determinant Ñ مصفوفة�المعامالت

Coefficient matrix Ñ معكوس�ضربى�للمصفوفة

Inverse matrix

في نهاية الوحدة من المتوقع أن يكون الطالب قادرا على أن:

يتعرف�مفهوم�المصفوفة�ونظمها. �الصف�-� � )مصفوفة� الخاصة� المصفوفات� بعض� يتعرف�

المصفوفة� �- المربعة� المصفوفة� �- العمود� مصفوفة��- الوحدة� مصفوفة� �- القطرية� المصفوفة� الصفرية�-�

المصفوفة�المتماثلة�وشبه�المتماثلة(.يضرب�عددا�حقيقيا�في�مصفوفة�. �يتعرف�تساوى�مصفوفتين. �يوجد�مدور�المصفوفة. �يجرى�عمليات�الجمع�والطرح�والضرب�على�المصفوفات. �

تتضمن� � التى� المشكالت� بعض� حلول� صحة� من� يتحقق�مصفوفات�باستخدام�البرمجيات�المتاحة.

ينمذج�بعض�المشكالت�الحياتية�باستخدام�المصفوفات. �يوظف�استخدام�المصفوفات�في�مجاالت�أخرى. �يتعرف�محدد�المصفوفة�من�الرتبة�الثانية�والرتبة�الثالثة. �يوجد�قيمة�المحدد�على�الصورة�المثلثية. �يوجد�معكوس�المصفوفة�المربعة�من�الرتبة�2 × 2 �يحل�معادلتين�آنيتين�باستخدام�معكوس�المصفوفة. �يحل�المعادالت�بطريقة�كرامر. �يوجد�مساحة�المثلث�باستخدام�المحددات. �

أهداف الوحدة

المصطلحات األساسية

المصفوفاتMatrices

1الوحدة

الجبر

الدرس�)1 - 1(:�تنظيم�البيانات�في�مصفوفات.�الدرس�)1 - 2(:�جمع�وطرح�المصفوفات.�

الدرس�)1 - 3(:�ضرب�المصفوفات�.الدرس�)1 - 4(:�المحددات�.

الدرس�)1 - 5(:��المعكوس�الضربي�للمصفوفة�

المصفوفات�هي�جمع�كلمة�مصفوفة،�وهى�من�المفاهيم�الرياضية�التي�انتشر�استخدامها�في�عصرنا�الحاضر،�فشملت�العديد�من�فروع�المعرفة،�فنجد�استخداماتها�في�علوم�االحصاء�واالقتصاد،�واالجتماع�وعلم�النفس�وغيرها،�وذلك�تذكرها� يسهل� الصورة� بهذه� البيانات� وتنظيم� الشكل،� مستطيلة� جداول� صورة� في� وتخزنها� البيانات،� تعرض� ألنها�الجبر� فرع� الرياضيات�وخاصة�في� ا�في�علم� دورا�هام للمصفوفات� أن� العمليات�عليها،�كما� بينها�وإجراء� والمقارنة�

الخطى،�وأول�من�الحظ�المصفوفات�واستخدمها�هو�العالم�كيلي�)1821 - 1895م(.

األدوات المستخدمة

نبذه تاريخية

دروس الوحدة

- Excelآلة�حاسبة�علمية�-�برنامج�االكسيل� جهاز�كمبيوتر.��

خواص جمع المصفوفات

حل المعادالت المصفوفية

خواص ضرب المصفوفات

مدور حاصل ضرب مصفوفتين

المحدداتالمصفوفات

تنظيم البيانات ايجاد مساحة المثلثالعمليات على المصفوفاتفي مصفوفات

محدد المصفوفة المثلثية

المعكوس الضربي

للمصفوفة

حل أنظمة المعادالت

بطريقة كرامر

تعريف المصفوفة

حل نظام من المعادالت

باستخدام المصفوفات

تمثيل المصفوفات

تحليل البيانات

ضرب عدد بمصفوفة

بعض المصفوفات

الخاصة

ضرب المصفوفاتجمع وطرح المصفوفات

حدود المصفوفة

مخطط تنظيمي للوحدة

الرياضيات - الصف األول الثانوى 4

سوف تتعلم

1

األدوات والوسائل


آلة حاسبة بيانية �برنامج اإلكسيل �جهاز كمبيوتر �آلة حاسبة علمية �

� Matrix مصفوفة� Element عنرص� Row matrix مصفوفة الصف� Column matrix مصفوفة العمود� Square matrix مصفوفة مربعة � Zero matrix مصفوفة صفرية � Equal matrix مصفوفات متساوية � Symmetric matrix مصفوفة متامثلة مصفوفة شبه متامثلة �

Skew symmetric matrix

ما املصفوفة؟ �بعض املصفوفات اخلاصة �

)املصفوفة املربعة - مصفوفة الصف - مصفوفة العمود -

املصفوفة الصفرية - املصفوفة القطرية - مصفوفة الوحدة(

مدور املصفوفة �املصفوفة املتامثلة واملصفوفة شبه �

املتامثلة.تساوى مصفوفتني. �رضب عدد حقيقي يف مصفوفة �

تنظيم البيانات في مصفوفاتOrganizing data in Matrices

ناقشو فكر

الربط بالصناعة

به التليفزيون شاشات مكونات بعض إلنتاج مصنع

3 أقسام، ينتج 4 أجزاء رئيسية من الشاشة أ، ب، جـ، د

على النحو التالي:

القسم األول ينتج يوميا 75 قطعة من أ ، 135 قطعة من ب ، 150 قطعة من جـ ، 215 قطعة من د .

القسم الثاني ينتج يوميا 100 قطعة من أ ، 168 قطعة من ب ، 210 قطعة من جـ، 282 قطعة من د.

القسم الثالث ينتج يوميا 80 قطعة من أ ، 100 قطعة من ب ، 144 قطعة من جـ ،64 قطعة من د.

هذه على وهي بينها، المقارنة أو المعلومات هذه تذكر الصعب من أنه واضح

الصورة واآلن هناك سؤاال يطرح نفسه:

كيف يمكن ترتيب هذه البيانات حتى يمكن تحليلها واالستفادة منها؟

يمكننا من البيانات في صورة جدول يمكننا كتابة فإنه السؤال لإلجابة عن هذا

معرفة ما ينتجه كل قسم من األقسام الثالثة من األجزاء المختلفة بسرعة ووضوح،

كما يسهل لنا المقارنة بين إنتاج األقسام الثالثة من األجزاء المختلفة.

ام قس

األ

األجزاءدجـبأ

75135150215القسم األول

100168210282القسم الثاني

8010014464القسم الثالث

5كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى

تنفيف البيانات في مصفوفات

فإذا كنا نعلم أن األعداد بالصف األول هي إنتاج القسم األول من األجزاء أ ، ب، جـ ، د على الترتيب، وبالمثل

األعداد التي بالصف الثاني هي إنتاج القسم الثاني بنفس الترتيب، وكذلك األعداد التى بالصف الثالث هي إنتاج

القسم الثالث بنفس الترتيب، فإننا نستطيع كتابة المعلومات التى بالجدول السابق بصورة أكثر اختصارا كاآلتي:

الصف األولالصف الثانىالصف الثالث

7510080

135168100

150210144

21528264

وتسمى هذه الصورة "مصفوفة" كما تسمى األعداد داخل القوسين "عناصر المصفوفة"

----العمود

األولالعمود

الثانىالعمود الثالث

العمود الرابع

وهذه المصفوفة لها ثالثة صفوف وأربعة أعمدة، لذا يقال لها مصفوفة على النظم 3 * 4

)أو باالختصار مصفوفة 3 * 4( حيث تذكر عدد الصفوف أوال ثم عدد األعمدة، كما نالحظ أن:

عدد عناصر المصفوفة = 3 *4 = 12 عنصرا .

واآلن:هل هناك طريقة أخرى لترتيب بيانات المسألة ، ووضعها على صورة مصفوفة أخرى؟ فسر إجابتك. -1

من المصفوفة السابقة ، ما العنصر في الصف األول والعمود الثاني؟ وما العنصر في الصف الثاني والعمود -2األول؟

سؤال مفتوح: اكتب مثاال من عندك يمكن كتابة المعلومات المتضمنة فيه على صورة مصفوفة 2 * 3 -3

Organizing Data in Matrices تنظيم البيانات في مصفوفات تعلم

المصفوفة هى ترتيب لعدد من العناصر )متغيرات أو أعداد( في صفوف وأعمدة محصورة بين قوسين، وتنظم

باستخدام عادة المصفوفة إلى ويرمز معنى، ذا المصفوفة في الموقع يكون بحيث المصفوفة في العناصر

الحروف الكبيرة D ،C ، ج، N ،M، .... ولعناصر المصفوفة بالحروف الصغيرة C، ب، جـ، س، ص ، ....

على كتابته يمكننا فإنه ع والعمود ص الصف في يقع الذي C المصفوفة داخل العنصر عن التعبير أردنا إذا

ص عC الصورة

يقع في الصف الثالث والعمود الثاني.23C يقع في الصف األول والعمود الثاني، وكذلك

21C فمثال العنصر

= C

1-23

4

1-5

62

2-

5

41-

فى المصفوفة:

22C العنصر -1 يقع في الصف 2 والعمود 2 ويرمز له بالرمز

31C العنصر 6 يقع في الصف 1 والعمود 3 ويرمز له بالرمز


وبصفة عامة:ا، ن عمودا تكون على النظم م * ن أو من الرتبة م * ن أو من النوع م * ن )وتقرأ م المصفوفة المكونة من م صف

فى ن، حيث م، ن أعداد صحيحة موجبة.

حاول أن تحل

لإلجابة عن مايلى:135

527

= D استخدم المصفوفة 1

؟12D ،

21D ما قيمة ب ما نظم المصفوفة D؟ أ

Representing Matrcies تمثيل المصفوفات تعلم

إذا كانت C مصفوفة على النظم م * ن فإنه يمكن كتابة المصفوفة C على الصورة:

(، ص = 1 ، 2، 3، ......................، مص ع

C( = C

ع = 1 ، 2، 3، ......................، ن

3 H 3 ، ن H وسوف تقتصر دراستنا على الحاالت التى فيها م

مـثـال

اكتب جميع عناصر المصفوفات اآلتية: 1 ص = 1 ، 2 ، ع = 1، 2، 3 ، ص ع(

C( = C أ

ص = 1 ، 2، 3 ، ع = 1 ، ص ع( = )ب D ب

ص = 1 ، 2 ، ع = 1، 2 ، ص ع( = )جـ ج ج‍

الحل

مصفوفة على النظم 3 *111

ب

12ب

13ب

= D ب 11 مصفوفة على النظم 2 * 3 C

12C

21C

22C

31C

32C = C أ

11 مصفوفة على النظم 2 * 2C

12C

21C

22C ج = ج‍


اكتب جميع عناصر المصفوفات اآلتية: ص ع(، ص = 1 ، 2 ،3، ع = 1، 2، 3

C( = C أ

س ص(، ص = 1 ، 2، ع = 1 ب = )ب ب



مـثـال

الربط بالمستهلك: يبين الجدول المقابل األسعار بالجنيه في مختلفة أحجام بثالثة الساندويتشات من أنواع لثالثة

أحد مطاعم الوجبات الجاهزة.

أ نظم هذه البيانات في مصفوفة، على أن تكون األسعار

مرتبة تصاعديا.

حدد نظم المصفوفة. ب

؟ 23C ما قيمة العنصر ج‍

الحل

سمك فيليه

صدور فراخ

جمبرى مقلى

صغير

7

8

9

متوسط

11

12

13

كبير

15

16

17

أ

هناك 3 صفوف، 3 أعمدة لذا فإن المصفوفة على النظم 3 * 3 ب

هى الموجودة بالصف 3 والعمود 2 وهى 13 23C قيمة العنصر ج‍


رصد مدرب فريق كرة السلة بالمدرسة، إنجازات ثالثة العبين في مباريات دورى الفصول فكانت على النحو التالي:

سمير: لعب 10 مباريات ، 20 تسديدة ، 5 أهداف.

حازم: لعب 16 مباراة ، 35 تسديدة ، 8 أهداف.

كريم: لعب 18 مباراة ، 41 تسديدة ، 10 أهداف.

نظم البيانات فى مصفوفة على أن ترتب أسماء الالعبين ترتيبا تصاعديا تبعا لعدد األهداف. أ

؟32Cحدد نظم المصفوفة، ما قيمة ب

مـثـال تنظيم البيانات اإلحصائية باستخدام المصفوفات

الربط بالطاقة: يمكن أن تقاس الطاقة بالكيلو وات / ساعة. لبعض واالستهالك الطاقة إنتاج المقابل البيانى الرسم يبين

الدول. اكتب مصفوفة تمثل بيانات الرسم البياني المقابل.

كبيرمتوسطصغيرصدور

81216فراخ

جمبرى 91317مقلى

سمك 71115فيليه

٠

٥

١٠

١٥

٢٠

٢٥

٣٠ االستهالك

االنتاج

الدولة أالدولة بالدولة جـ

عةسا

ال/

توا

و كيل

الدد

ع


الحل

افرض أن كل صف فى المصفوفة يمثل دولة، وكل عمود يمثل

مستوى اإلنتاج واالستهالك. استنتج القيم من الرسم.

تفكير ناقدكيف يمكنك تعديل المصفوفة لتمثيل البيانات بإضافة دول أخرى؟


أعد كتابة البيانات فى المثال السابق فى صورة مصفوفة 2 *3، ضع عنوانا للصفوف واألعمدة. وضح الفرق بين المصفوفة التى على النظم 2 * 3، والمصفوفة التى على النظم 3 * 2

Some special Matrices بعض المصفوفات الخاصة تعلم

l3-4

21-b مثل: األعمدة يساوى عدد فيها الصفوف التى عدد المصفوفة المربعة: هى أ المصفوفة

)مصفوفة مربعة على النظم 2 * 2(

ب مصفوفة الصف: هى المصفوفة التى تحتوى على صف واحد وأى عدد من األعمدة مثل: )2 4 6 8(

)مصفوفة صف على النظم 1 * 4(

p2

5-1

f مثل: الصفوف التى تحتوى على عمود واحد، وأى عدد من المصفوفة العمود: هى ج‍ مصفوفة

)مصفوفة عمود على النظم 3 * 1(

د المصفوفة الصفرية: هى المصفوفة التى تكون جميع عناصرها أصفار وقد تكون مربعة أو التكون

فمثال المصفوفات:

l مصفوفة 00b ،2 * 1، )0 0( مصفوفة صفرية على النظم 1 * )0( مصفوفة صفرية على النظم 1

الصفرية للمصفوفة ويرمز ،2 * 2 النظم علي صفرية مصفوفة l00

0 0

b ،1 * النظم2 على صفرية

بمستطيل صغير

ه‍ المصفوفة القطرية: هى مصفوفة مربعة جميع عناصرها أصفار، ما عدا عناصر القطر الرئيسى فيكون،

أحدها على األقل مغايرا للصفر فمثال المصفوفة:

p )مصفوفة قطرية على النظم 3 * 3(100

01-0

002

f

و مصفوفة الوحدة: هى مصفوفة قطرية، يكون فيها كل عناصر القطر الرئيسى مساويا الواحد، ويرمز

لها بالرمز I . فمثال كل من المصفوفات:

p هي مصفوفة وحدة.

1

0

0

0

1

0

0

0

1f ، l

10

0 1

b ، )1(

دولة) أ (

دولة )ب(

دولة )جـ(

االنتاج

9٫5

13

19

االستهالك

9٫5

9

25




اكتب نوع كل مصفوفة ونظمها.

p345

f ج‍ )7 5 3 1( ب l10

1- 2

b أ

l00

0 1

b و l10

0 3

b ه‍ l00

0 0

b د

اكتب المصفوفة الصفرية على النظم 3 * 3

Equality of two Matrices تساوى مصفوفتين تعلم

تتساوى مصفوفتان D ،C إذا كانتا على نفس النظم، وكان كل عنصر في المصفوفة C مساويا لنظيره في المصفوفة

لكل ص ولكل ع.ص ع

D = ص ع

C :أي أن D

مـثـال

غير متساويتين ألنهما ليسا على نفس النظم. l1

1-25

00

b ، l1

1-25

b المصفوفتان أ

إذا و فقط إذا كانت س = -3 ، ص = 5 l1

1-3-6

2ص

b = l1

1-س6

25

b ب

l اليمكن أن يتساويا، وذلك إلختالف أحد العناصر المناظرة 1-3

ص1-b ، l

1س

21-b ج‍ المصفوفتان

في كل منهما )عناصر الصف األول والعمود األول(

p المصفوفتان متساويتان ألن لهما نفس النظم وعناصرهما 012

176

503

f = p012

176

503

f د

المتناظرة متساوية.


o هل D = C؟ فسر إجابتك. 34 -

0٫5

0٫2 2-d = D ، o

0٫75- 12

15

2-d = C إذا كان أ

هل N = M؟ فسر إجابتك . l3-0

42-b = N ، l

30

42-b = M إذا كانت ب

مـثـال استخدام المصفوفات المتساوية في حل المعادالت

l فأوجد قيمتى س، ص.25

3

4

ص + 18b = l

2س-53

43ص + 12

b إذا كان:

الحل

l253

4 ص +18

b = l2 س-5

34

3 ص +12b


حيث أن المصفوفتين متساويتان، فيكون العناصر المتناظرة متساوية ونكتب:

3ص + 12 = ص + 18 ، 2 س - 5 = 25

3ص- ص = 18 - 12 ، 2 س = 25 - 5

ص = 3 ، 2 س = 20

س = 10

الحل هو س = 10، ص = 3


فأوجد قيمتى س، ص l38

35-

4ص-10b = l

س + 83

5--ص

b إذا كان

تفكير ناقد: إذا كان )3س س + ص س - ع( = )-9 4 -10( فأوجد قيم كل من س، ص، ع 11

l فأوجد قيم C، ب، جـ، د97

3-5

b C + ب = C + ب + جـ

C - بC - ب + 2د

تفكير ناقد: إذا علم أن: 11

Multipling a Real Number by a Matrix ضرب عدد حقيقي في مصفوفة تعلم

ضرب عدد حقيقي في مصفوفة يعنى ضرب كل عنصر من عناصر المصفوفة في ذلك العدد الحقيقي أي أن:

حاصل ضرب عدد حقيقي ك في مصفوفة C على النظم م * ن هي مصفوفة ج = ك C على نفس النظم م * ن وكل

يساوى العنصر المناظر له في المصفوفة C مضروبا في العدد الحقيقي ك.ص ع

عنصر فيها جـ

حيث ص =1، 2، .....، م ، ع = 1، 2، .....، نص ع

C ك = ص ع

أي: جـ

الحظ أن:

lك س

ك ع

ك ص

ك لb = l

س

ع

ص

لb ك

l8-

10-2-2

b = l4 * 2-5 * 2-

1 * 2-1- * 2-

b = l45

11-b فمثال -2

مـثـال

تخطط إحدى الكافيتريات لرفع ثمن كل مشروب مرة ونصف المرة. استخدم الئحة األسعار فى الجدول التالى إليجاد ثمن كل مشروب بعد الزيادة؟

حجم كبيرحجم صغير

1٫50 من الجنيه0٫75 من الجنيهكوب لبن كامل الدسم

1٫75 من الجنيه0٫85 من الجنيهكوب عصير برتقال

1٫90 من الجنيه0٫90 من الجنيهكوب عصير مانجو



الحل1٫125

1٫275

1٫35

2٫25

2٫625

2٫85 =

0٫75 * 1٫5

0٫85 * 1٫5

0٫90 * 1٫5

1٫50 * 1٫5

1٫75 * 1٫5

1٫90 * 1٫5 =

0٫75

0٫85

0٫90

1٫50

1٫75

1٫90 1٫5

سوف يصبح ثمن كوب اللبن من الحجم الصغير 1٫125 من الجنيه، ثمن كوب اللبن

من الحجم الكبير 2٫25 من الجنيه، وسوف يصبح ثمن كوب عصير البرتقال من

الحجم الصغير 1٫275 من الجنيه، وثمن كوب البرتقال من الحجم الكبير 2٫625،

وسوف يصبح ثمن كوب عصير المانجو من الحجم الصغير 1٫35من الجنيه، وثمن

كوب المانجو من الحجم الكبير 2٫85 من الجنيه.


C5- فأوجد

15

20

2-

12-10-

1

10

7

3 = C 1 إذا كان

Transpose of a Matrix مدور المصفوفة تعلم

في أي مصفوفة C على النظم م * ن إذا استبدلنا الصفوف باألعمدة واألعمدة بالصفوف بنفس الترتيب فإننا نحصل

C = مد(مدC( مد ويتضح من التعريف أن C ويرمز لها بالرمز ،C على مصفوفة على النظم ن * م، وتسمى مدور المصفوفة

مـثـال

أوجد مدور كل من المصفوفات اآلتية:

l3-2

41-b ج = ج‍ ب = )1 -2 6( ب = C

1

3

2

1-1-5 أ

الحل

مصفوفة على النظم 3 * 2 p12

1-

31-5

f C مد = أ

مصفوفة عمود على النظم 3 * 1 p1

2-6

f ب مد = ب

مصفوفة مربعة على النظم 2 * 2 l3-4

21-b ج مد = ج‍


Symmetric and Semi Symmetric Matrices الم�شفوفات المتماثلة و�شبه المتماثلة إذا كانت C مصفوفة مربعة فإنها تسمى متماثلة إذا وفقط إذا كانت C = Cمد وتسمى شبه متماثلة إذا وفقط إذا كانت

C- = Cمد

مـثـال

p متماثلة أم شبه متماثلة؟0

1-1

10

3-

1-30

f هل المصفوفة ب =

الحل

p01

1-

1-03

13-0

f ب مد = p0

1-1

10

3-

1-30

f ب =

p = - ب0

1-1

10

3-

1-30

f ب مد = -1 *

` ب مد = -ب فيكون ب = - D مد فتكون المصفوفة ب شبه متماثلة


p متماثلة أم شبه متماثلة؟11

1-

135

1-56

f = C هل المصفوفة 1

تحقق من فهمك

أوجد قيمة كل من س، ص، ع في كل مما يأتى: 1

l20

ع1

03

b = lس0

31

0ص

b ب l32

01

b = lس2

01

b أ

بين أيا من المصفوفات اآلتية متماثلة وأيها شبه متماثلة:

0

521

52-0

12-

1-

120

ب p1

1-4

1-26

465

f أ



نشاط

الربط بالتكنولوجيا: استخدام الجداول اإللكترونية في تنظيم البيانات )Excel(األدوات المستخدمة: برنامج الجداول اإللكترونية

الجداول برنامج في إدخالها يتم حيث وتحليلها، وعرضها البيانات لتنظيم اإللكترونية الجداول استخدم

إيجاد أو الرسوم عمل في استخدامها يمكنك ذلك بعد المصفوفات، مثل وأعمدة صفوف في اإللكترونية

الحسابات.

مـثـال

السلع من مبيعاته ماركت سوبر مدير جمع بالتجارة: الربط 11في ونظمها متتالية، أسابيع أربعة في جرام بالكيلو الغذائية

الجدول المقابل، أدخل البيانات في برنامج الجداول اإللكترونية.

، األول األسبوع لمبيعات B والعمود للنوع A العمود استخدم -1والعمود C لمبيعات األسبوع الثانى، والعمود D لمبيعات األسبوع

الثالث والعمود E لمبيعات األسبوع الرابع.

ســكــرزيتمكرونةدقيقزبدهالبانشاىفول

3442607025

60

2245

3048687524

36

1835

2736548020

41

3038

1832587218

77

3240

يحوي كل صف مبيعات النوع نفسه من السلعة الغذائية، ويمثل

تحتوي كل خلية في الجدول جزءا الصف الثانى مبيعات الزيت.واحدا من البيانات، حيث تحتوي الخلية D7 على القيمة 30، والتي تمثل عدد الكيلو جرامات المبيعة

في األسبوع الثالث من الشاي.


قارن بين تنظيم البيانات في الجداول اإللكترونية وتنظيمها في مصفوفة. 1 عند استخدامك لألمر )sum( يمكنك إيجاد مجاميع مدخالت الصفوف واألعمدة في الجداول اإللكترونية. 1 يمكنك إيجاد مجاميع مدخالت الصفوف من 1 إلى 8 بإدخال الصيغة )sum )F1:F8 = ماذا تمثل هذه المجاميع؟

اختر إحدى المسائل التي درستها في هذا الدرس، وتحقق من صحة إجاباتك باستخدام الجداول اإللكترونية 1 .))EXCEL( يمكنك استخدام برنامج(

بيانات حياتية تكون مجاميع عناصر أعمدتها ذات معنى، باستخدام أنشئ مصفوفة مسألة مفتوحة: 1 ومجاميع عناصر صفوفها لها معنى أيضا، أدخل بيانات المصفوفة على برنامج الجداول اإللكترونية، وتحقق

من صحة المجاميع التى حصلت عليها، ثم فسر ماذا تعنى مجاميع كل من األعمدة والصفوف.

مبيعات السوبر ماركت من بعض السلع الغذائية بالكيلو جرامات خالل 4 أسابيع متتالية

النوعاألسبوع

األولاألسبوع

الثانياألسبوع

الثالثاألسبوع

الرابع34302718سكر42483632زيت

60625458مكرونة70758072دقيق25242018زبدة60364177ألبان22183032شاي45353840فول


سوف تتعلم



آلة حاسبة بيانية �

� Adding matrices مجع املصفوفات طرح املصفوفات �

Subtracting matrices

مجع املصفوفات. �طرح املصفوفات. �

عمل تعاونى

الربط باالحصاء: اعمل مع زميل لك . استخدم المعلومات في الجدول التالي:

الوسط الحسابى للدرجات

السنةرياضياتعلوم

إناثذكورإناثذكور2011428420502457

2012425421501460

2013429426503463

أ أوجد مجموع درجات الوسطين الحسابيين للذكور في كل سنة في الجدول. -1

ب أوجد مجموع درجات الوسطين الحسابيين لإلناث في كل سنة في الجدول.

للذكور العلوم مادة لدرجات الحسابي الوسط تمثل مصفوفة أ اكتب -2واإلناث. ضع عنوانا للمصفوفة وصفوفها وأعمدتها.

ما نظم المصفوفة؟ ب

للذكور الرياضيات لدرجات الحسابى الوسط تمثل مصفوفة أ اكتب -3واإلناث. ضع عنوانا للمصفوفة وصفوفها وأعمدتها.

ما نظم المصفوفة ؟ ب

بفحص إجابتك عن السؤال رقم )1( والمصفوفات التى كتبتها في السؤالين )2(، -4)3(، اكتب مصفوفة ثالثة تمثل مجموع درجات الوسطين الحسابيين للذكور

واإلناث. ضع عنوانا للمصفوفة وصفوفها وأعمدتها، ما نظم المصفوفة؟

استخدم مالحظاتك، وأى أنماط تراها لصياغة طريقة لجمع المصفوفات. -5

Adding Matrices جمع المصفوفات تعلم

جديدة. معلومات على نحصل لكى مصفوفات، نطرح أو نجمع ان أحيانا نريد

لتحصل على مصفوفة الجمع، اجمع العناصر المتناظرة.

أى أن: إذا كانت D ،C مصفوفتين على النظم م * ن، فإن C + ب هى مصفوفة أيضا على النظم م * ن ويكون كل عنصر فيها هو مجموع العنصرين المتناظرين في C، ب.

1 جمع وطرح المصفوفات

Adding and subtracting Matrices


جمع وطرح المصفوفات

مـثـال

.D + C :فأوجد l71

2-4-

b ، ب = l0

1-2 3

b = C إذا كان 1 الحل

)بالتعويض عن C، ب( l7

12-4-

b + l0

1-2 3

b C + ب =

)بجمع العناصر المتناظرة( 7 + 01 + 1-

)2-( +2)4-( + 3

=

)بسط( l70

01-b =


أوجد كال ممايأتي إن أمكن: l74

b ، جـ = l28

7-1-b ، ب = l

4-3-

1-7-b = C إذا كانت 1

C + جـ ب C + ب أ

Properties of Adding Matrices خواص جمع المصفوفات تعلم

نفرض C ، ب ، ج ثالث مصفوفات من النظم م * ن وأن مصفوفة صفرية على نفس النظم فإن:

خاصية اإلنغالق: C + ب تكون مصفوفة على النظم م * ن -1

l مصفوفة على النظم 2 * 27

2-20

b l مصفوفة على النظم 2 * 2، ب = 1-0

23

b = C إذا كانت

l مصفوفة على النظم 2 * 26

2-4

3b = l

72-

20

b + l1-0

23

b C + ب = فإن

C + ب = ب + C :خاصية اإلبدال -2C + ب = ب + C فبين أن l

62-

53

b ، ب = l34

1-0

b = C واآلن: إذا كان

خاصية الدمج: )C + ب( + ج = C + )ب + ج( -3

فبين أن )D + C( + ج = C + )D + ج( l2

1-4

3-b ، ج = l6

2-53

b ، ب = l34

1-0

b = C واآلن: إذا كان

C = C + = + C :خاصية المحايد الجمعى -4

p167

25-8

34

9-f = p

167

25-8

34

9-f + p

000

000

000

f = p000

000

000

f + p167

25-8

34

9-f فمثال:

= C + )C-( = )C-( + C :الجمعي)خاصية المعكوس )النظير -5C النظير الجمعى للمصفوفة )C-( حيث

l32

50

25-b - = l

3-2-

5-0

2-5

b حيث l00

00

00

b = l3-2-

5-0

2-5

b + l32

50

25-b فمثال


طرح المصفوفات تعلم

إذا كانت كل من المصفوفتين C، ب على النظم م * ن فإن المصفوفة ج = C - ب = C + )-ب( حيث ج مصفوفة

علي النظم م * ن ، )-ب( هى معكوس للمصفوفة ب بالنسبة لعملية جمع المصفوفات.

lس - Cجـ - ع

ب - ص

E - لb = l

-س-ع

-ص-ل

b + lCجـ

بE

b = lسع

صل

b - lCجـ

بE

b فمثال:

مـثـال

.C - ب ! ب - C أثبت أن l58

97-

23-b l ، ب =

76

4-5

111-b = C إذا كانت

الحل

l58

97-

23-b - l

76

4-5

111-b C - ب =

l5-8-

9-7

2-3

b + l76

4-5

111-b =

)1( l2

2-13-2-

94-b =

l76

4-5

111-b - l

58

97-

23-b = C - ب

l7-6-

45-

11-1

b + l58

97-

23-b =

)2( l2-2

1312-

9-2-

b =

من )1(، )2( نالحظ أن: C - ب ! ب - C )عملية طرح المصفوفات ليست إبدالية(

فكر: هل عملية طرح المصفوفات دامجة؟

مـثـال

l أوجد المصفوفة D 3 - C2 + 5ج6

3-1-5

2-4

b ، ج = l1-9

42-

35

b ، ب = l23

54-

1-6

b = C إذا كانت الحل

l46

108-

2-12

b = l2 * 23 * 2

5 * 24- * 2

1- * 26 * 2

b = l23

54-

1-6

b 2 = C2

l3-27

126-

915

b = l1-* 39 * 3

4 * 32- * 3

3 * 35 * 3

b = l1-9

42-

35

b 3ب = 3

l3

27-12-

69-

15-b -3ب =

l30

15-5-25

10-20

b = l6 * 5

3- * 51- * 55 * 5

2- * 54 * 5

b = l6

3-1-5

2-4

b 5ج = 5

l30

15-5-25

10-20

b + l3

27-12-

69-

15-b + l

46

108-

2-12

b ` C 2 - 3ب + 5 ج =

l37

36-7-23

21-17

b = l30 + 3+ 4

15 - 27 - 65- 12 - 1025 + 6 + 8-

10 - 9 - 2-20 + 15 - 12

b =


l فأوجد المصفوفة D3 - C2 + 4ج10

3-3

b l ، ج = 1-6

42-b ، ب = l

23-

1-5

b = C إذا كان


جمع وطرح المصفوفات


أوجد قيمة كل ممايأتى: 1

p3-52

41-2

f - p305

3-42

f ب l4-1

23

12-b + l

29

30

11-b أ

l10

22

3-1

b l ، ب = 24

35

1-0

b = Cإذا كانت

ب تحقق من أن - )C + ب( = )-C( + )-ب( أوجد C - ب ، ب - C . ماذا تالحظ؟ أ

نشاط

الربط بالتكنولوجيا: يمكنك استخدام اآللة الحاسبة لجمع أو طرح المصفوفات، على اآللة الحاسبة تسمى المصفوفة باستخدام متغير، بعض اآلالت الحاسبة تضع أقواس ] [ حول

المتغير لتوضيح المصفوفة، قبل إدخال القيم للمصفوفة، يجب أن تدخل

نظم المصفوفة

[27

94

61] = ]B[ [3

625

14] = ]A[

B ثم للمصفوفة ،A تتابع المفاتيح الموضح أدناه هو إلدخال وجمع مصفوفتين، إجر كل الخطوات للمصفوفة

]B[ مصفوفة]A[ مصفوفةMatrx 2Matrx إلضافة مصفوفة1$

2 EntEr 3 EntEr2 EntEr 3 EntEr$إلدخال نظم المصفوفة

6 EntEr 9 EntEr 2 EntEr 1 EntEr 2 EntEr 3 EntEr$ إلدخال القيم في الصف األول

)-( 1 EntEr 4 EntEr )-(7 EntEr

4 EntEr 5 EntEr 6 EntEr$ إلدخال القيم في الصف الثاني

2nd Quit 2nd Quit $)home screen( للذهاب إلى

]B[ ،]A[لجمع $ EntEr 2 Matrx + 1 Matrx

$ سوف تعرض اآللة الحاسبة مجموع المصفوفتين[A] + [b]

[[7 1 1 5][3 9 -1]]

]A[ - ]B[ ،]A[ + ]B[ :واآلن: استخدم اآللة الحاسبة إليجاد -1

[5-4

15-

8116

137

8-] = ]B[ ، [5

46

4-9-7-

710-6-

] = ]A[ ب [1٫10٫6

1٫7-

1٫4-.1

0٫8] = ]B[ ، [3٫8

1٫51٫4-

2٫10٫8-1٫9

] = ]A[ أ

هل التغيير في ترتيب المصفوفات يؤثر على الناتج عند جمع المصفوفات؟ وعند طرح المصفوفات؟ فسر إجابتك. -2

تذكريمكن ]B[ ،]A[ أن تذكر على ألنهما وطرحها جمعها

نفس النظم 3 × 2


سوف تتعلم



آلة حاسبة علمية �

رضب املصفوفات �Multiplying matrices

مدور مصفوفة �Transpose of matrix

رضب املصفوفات. �خواص رضب املصفوفات. �مدور حاصل رضب مصفوفتني. �

ضرب المصفوفاتMultiplying matrices 1

عمل تعاونى

اعمل مع زميل لك. استخدم البيانات في الجدول المقابل:

ما ثمن وجبات الغذاء)1(؟ وجبات -1الغذاء)2(؟ وجبات الغذاء )3(؟

ما مجموع ثمن جميع الوحدات المباعة من الوجبات الثالثة ؟ أ -2وضح كيف استخدمت بيانات الجدول إليجاد اإلجابة. ب

اكتب مصفوفة 1 * 3 لتمثل ثمن كل وجبة مباعة. أ -3اكتب مصفوفة 3 * 1 لتمثل عدد الوجبات المباعة. ب

إجراءات لوصف عنصر ، عمود صف، الكلمات استخدم ج‍ الكتابة:

استخدام المصفوفات التى حصلت عليها إليجاد عدد الجنيهات التى تبيع

بها الكافتيريا الوجبات الثالث.

المصفوفة من صف كل عناصر اضرب المصفوفات، بضرب نقوم لكي واآلن: األولى في عناصر كل عمود من المصفوفة الثانية، ثم اجمع حواصل الضرب.

l5

1-01

b ، ب = p0

2-1

23-4

f = C :فمثال إليجاد حاصل ضرب

ثم نجمع حاصل الضرب 12

فى ب21C ثم نضرب ،

11 فى ب

11C نضرب

2- = )1-( * 2+ 5 * )0( p؟

f = l5

1-01

b p0

2-1

23-4

f

الناتج هو العنصر في الصف األول والعمود األول. كرر الخطوات نفسها مع باقي

الصفوف واألعمدة.

2 = )1()2( + )0()0( p؟-2

f = l5

1-01

b p0

2-1

23-4

f

7-= )1-()3-( + )5()2-( p2-؟

2f = l

51-

01

b p0

2-1

23-4

f

وجبة )1(

وجبة )2(

وجبة )3(

2٫752 3٫50 ثمن الوجبة بالجنيهات

5010075عدد الوجبات المباعة


ضرب المصفوفات

p2-7-

2f؟ = l

51-

01

b p0

2-1

23-4

f

3-= )1()3-( + )0()2-(

p2-7-؟

23-f = l

51-

01

b p0

2-1

23-4

f

1 =)1-()4( + )5()1(

p2-7-1

23-f = l

51-

01

b p0

2-1

23-4

f

4=)1()4(+)0()1(

p2-7-1

23-4

f = l5

1-01

b p0

2-1

23-4

f

صف نموذجا للصفوف واألعمدة الملونة. -4ما نظم المصفوفات األصلية في المثال السابق، ومانظم مصفوفة الضرب؟ أ -5

تفكير ناقد: كيف نقارن نظم مصفوفة الضرب بنظم المصفوفات األصلية؟ ب

Multiplying matrices ضرب المصفوفات تعلم

عدد كان إذا وفقط إذا مصفوفتين ضرب يمكنك

صفوف عدد يساوى األولى المصفوفة أعمدة

على C المصفوفة ضرب وعند الثانية، المصفوفة

فإن ل * ن النظم بالمصفوفة ب على ن * م النظم

الناتج هو المصفوفة D C على النظم م * ل فمثال:

مـثـال

حدد ما إذا كانت مصفوفة حاصل الضرب C ب معرفة في كل حالة أم ال. 1

إذا كانت المصفوفة C على النظم 3 * 4، والمصفوفة ب من النظم 4 * 2 أ

إذا كانت المصفوفة C على النظم 5 * 3، والمصفوفة ب من النظم 5 * 2 ب

الحل

أ بما أن عدد أعمدة المصفوفة C يساوى عدد صفوف المصفوفة ب، فإن مصفوفة حاصل الضرب C ب معرفة وتكون على النظم 3 * 2

ب بما أن عدد أعمدة المصفوفة C اليساوى عدد صفوف المصفوفة ب،

فإن مصفوفة حاصل الضرب C ب غير معرفة.


حدد ما إذا كانت مصفوفة حاصل الضرب C ب معرفة في كل حالة أم ال موضحا السبب. 1

إذا كانت المصفوفة C من النظم 3 * 2، والمصفوفة ب على النظم 2 * 3 أ

إذا كانت المصفوفة C من النظم 1 * 3 والمصفوفة ب على النظم 1 * 3 ب

من تعريف ضرب المصفوفات يتضح إنه من الممكن أن تكون C ب معرفة بينما ب C غير معرفة، وبصفة عامة

إن تساويتا في نفس النظم. إذا كانت كل من C ب، ب C معرفتين فإن C ب ليست بالضرورة تساوى ب C حتى و

p1-35

24-0

fl37

4-8

59

b 3 صفوف

3 أعمدةعمودان

صفان

متساويان

نظم مصفوفة الضرب 3 * 3

C مصفوفة بمصفوفة

C . ب = C ب4 * 32 * 42 * 3

متساويان2 * 3


مـثـال

p فأوجد كال من C ب ، ب C. ماذا تالحظ؟235

140

01

1-f ، ب = p

11-0

1-01

234

f = C إذا كان الحل

C a على النظم 3 * 3، ب على النظم 3 * 3 فإن D C معرفة )ألن عدد أعمدة C يساوى عدد صفوف ب(

وتكون مصفوفة حاصل الضرب على النظم 3 * 3

p235

140

01

1-f p

11-0

1-01

234

f C ب =

p9

1323

3-1-4

3-3-3-

f = p5 * 2 + 3 * )1-( + 2 * 1

5 * 3 + 3 * 0 + 2 * 1-5 * 4 + 3 * 1 + 2 * 0

0 * 2 + 4 * )1-( + 1 * 1

0* 1 + 4 * 0 + 1 * 1-0* 4 + 4 * 1 + 1 * 0

)1-( * 2 + 1 * )1-( + 0 * 1

)1-( * 3 + 1 * 0 + 0 * 1-)1-( * 4 + 1 * 1 + 0 * 0

f =

a ب على النظم C 3 * 3 على النظم 3 * 3 فإن ب C معرفة )ألن عدد أعمدة ب يساوى عدد صفوف C( وتكون

مصفوفة حاصل الضرب على النظم 3 * 3

p1

1-0

1-01

234

f p235

140

01

1-f = Cب

p1

1-5

2-3-5-

7226

f = p0 * 0 + 1- * 1 + 1 * 20 * 1 + 1- * 4 + 1 * 30 * )1-( + 1- * 0 + 1 * 5

1* 0 + 0 * 1 + 1- * 21 * 0 + 0 * 4 + 1- * 31 * 0 + 0 * 0 + 1- * 5

4 * 0 + 3 * 1 + 2 * 24 * 1 + 3 * 4 + 2 * 34 * 1- + 3 * 0 + 2 * 5f =

نالحظ أن C ب ! ب C يمكن استخدام ضرب المصفوفات في بعض المواقف الحياتية.

مـثـال

الربط بالسياحة: لدى شركة سياحية 3 فنادق بمدينة الغردقة كانت فإذا فندق، كل في المختلفة الغرف عدد المقابل الجدول يبين األجرة اليومية للغرفة التى تحتوى على سرير واحد 250 جنيها، وللغرفة

التى تحتوي على سريرين 450 جنيها، وللجناح 600 جنيها.اكتب مصفوفة تمثل عدد الغرف المختلفة في الثالثة فنادق، ثم اكتب مصفوفة أسعار الغرف. أ

اكتب مصفوفة تمثل الدخل اليومي للشركة، على فرض أن جميع الغرف تم شغلها. ب ما الدخل اليومى للشركة على فرض أن جميع الغرف تم شغلها؟ ج‍

الحل

p283520

649580

82015

f = C نكتب مصفوفة عدد الغرف C كاآلتي: أ

p250450600

f ب = وتكتب مصفوفة أسعار الغرف D كاآلتى

ونالحظ أننا قد كتبنا المصفوفتين بحيث يكون عدد الصفوف في المصفوفة C مساويا لعدد األعمدة في المصفوفة ب، حتى يمكن إجراء عملية الضرب ، إيجاد المطلوب في البندين )ب(، )جـ(.

غرفة الفندقبسرير

غرفة جناحبسريرين

28648الزهرة

359520اللؤلؤة

208015الماسة


ضرب المصفوفات

p250450600

f p283520

649580

82015

f = D C مصفوفة الدخل اليومى للشركة هي المصفوفة ب

p406006350050000

f = p600 * 8 + 450 * 64 + 250 * 28600 * 20 + 450 * 95 + 250 * 35600 * 15 + 450 * 80 + 250 * 20f =

الدخل اليومى للشركة = 40600 + 63500 + 50000 = 154100 جنيه ج‍

Properties of Matrix Multiplication خواص عملية ضرب المصفوفات تعلم

استنتاج يمكن للتعريفين: الالزمة الشروط تحقق افتراض مع المصفوفات، وضرب جمع عمليتى تعريف من

الخواص التالية:

)C ب( ج = C )ب ج( واألن إذا كان: خاصية الدمج: -1

p أوجد )C ب( ج، C )ب ج(. ماذا تالحظ؟ هل عملية 132

02

1-f ، ج = l

21

01

12-b l ، ب =

13

2-1

b = C

ضرب المصفوفات دامجة؟

C = C I = I C حيث I هي مصفوفة الوحدة خاصية المحايد الضربى -2

حيث I هي مصفوفة الوحدة C =CI= IC :فبرهن أن l2

1-3-5

b = C واآلن إذا كان

C)ب + ج( = C ب + C ج

)C + ب( ج = C ج + ب جخاصية توزيع ضرب المصفوفات على جمعها. -3

l3

3-10

b ، ج = l15

2-4

b ، ب = l13

24

b = C واآلن إذا كان

Cج + C ب = C )ب )ب + ج أ C)ب + ج( = Cب + Cج إثبت أن:

Transpose of the product of two matrices مدور حاصل ضرب مصفوفتين )C ب(مد = بمد Cمد من تعريف مدور المصفوفة وتعريف ضرب المصفوفات يمكن استنتاج الخاصية التالية:

، أثبت أن: )C ب( مد = ب مد C مد p1-14

21-3

f l ، ب =13

21

1-5

b = C واآلن إذا كانت


إذا كانت معرفة فأوجد نظم حدد ما إذا كانت مصفوفة حاصل الضرب Cب معرفة فى كل ممايأتي أم ال، و

المصفوفة الناتجة:

المصفوفة C على النظم 3 * 1، والمصفوفة ب على النظم 2 * 3 أ

المصفوفة C على النظم 3 * 3، والمصفوفة ب على النظم 2 * 2 ب


سوف تتعلم



ناقشو فكر

ما المصفوفة المربعة؟ -1اكتب مصفوفة مربعة من النظم 2 * 2، ومن النظم 3 * 3 -2

l فإن محدد 21

57

b = C :إذا كانت أ مصفوفة مربعة من النظم 2 * 2 حيث -3المصفوفة C هو العدد المعرف كاآلتي:

9 = 5 - 14 = 5 * 1- 7 * 2 = |C|

ما محدد كل من المصفوفات التالية؟

l3

3-51

b l ، ج = 13

24

b ب =

Determinants المحددات تعلم

إذا كانت C مصفوفة مربعة على النظم 2 * 2 حيث:

الرتبة بمحدد ويسمى |C|بالرمز له يرمز C المصفوفة محدد فإن lأ

جـبد

b = C

الثانية، وهو العدد المعرف كاآلتي:

أ = أ د - جـ بجـ

ب

د = |C|

ونالحظ أن قيمة محدد الرتبة الثانية يساوى حاصل ضرب عنصرى القطر الرئيسى

مطروحا منه حاصل ضرب عنصرى القطر اآلخر.

مـثـال

أوجد قيمة كل محدد ممايلى: 1 12

07 د

10

01 ج‍

07

53 ب

43

57 أ

الحل

5 * 3 - 7 * 4 = 43

57 أ

13 = 15 - 28 =

5 * 7 - 3 * 0 = 07

53 ب

35 - = 35 - 0 =

القطر الرئيسى

القطر األخر

آلة حاسبة علمية. �ورق رسف بياين. �

� Determinant حمدد حمدد الرتبة الثانية �

Second order determinant حمدد من الرتبة الثالثة �

Third order determinant القطر الرئيسى للمحدد �

Principle or leading diagonal القطر اآلخر للمحدد �

Other diagonal مصفوفة املعامالت �

Coefficient matrix

حمدد املصفوفة املربعة من الرتبة �الثانية.

حمدد املصفوفة املربعة من الرتبة �الثالثة.

حمدد املصفوفة املثلثية. �إجياد مساحة املثلث باستخدام �

املحددات.حل نفام من املعادالت اخلطية �

بطريقة كرامر.

المحددات Determinants 1


المحددات

0 * 0 - 1 * 1 = 10

01 ج‍

1 = 0 - 1 =

0 * 2 - 7 * 1 = 12

07 د

5 = 2 - 7 =


أوجد قيمة كل من المحددات التالية : 1

Cب

بجـ

ج‍ 05

41- ب

21

51- أ

Third order determinant محدد الرتبة الثالثة تعلم

فإن:Cدز

بهـح

حـوط

يسمى محدد المصفوفة على النظم 3 * 3 محدد الرتبة الثالثة، وإليجاد قيمة محدد الرتبة الثالثة

دز

هـح

د + حـ ز

وط

هـ - ب ح

وط

C = Cدز

بهـح

حـوط

= C)هـ ط - ح و( - ب ) د ط - ز و( + حـ ) د ح - ز هـ(

مـثـال

فإن :73

1-

242

516

إليجاد قيمة المحدد

31-

42 5 +

31-

16 2 -

42

16 7 =

73

1-

242

516

)4 * )1-( - 2 * 3 ( 5 + )1 * )1-( - 6 * 3( 2- )1* 2 - 6 * 4 ( 7 =

10 * 5 + 19 * 2 - 22 * 7 =

166 = 50 + 38 - 154 =

المحدد األصغر المناظر ألى عنصر في مصفوفةتعلم

Minor determinant corresponding to any element of a matrix

إذا كانت المصفوفة C هى مصفوفة على النظم 3 * 3 حيث

22C

23C

32C

33C | وهو

11C |يرمز له بالرمز

11C فإن: المحدد األصغر المناظر للعنصر p

11C

12C

13C

21C

22C

23C

31C

32C

33C

f = C

كاآلتي:11C والحظ إننا حصلنا على هذا المحدد بحذف الصف والعمود المتقاطعين على العنصر

p11C

12C

13C

21C

22C

23C

31C

32C

33C

f


بالمثل:×

12C

13C

32C

33C | وهو

21C|يرمز له بالرمز

21C المحدد األصغر المناظر للعنصر

× 12C

13C

22C

33C | وهو



× 21C

23C

31C

33C | وهو



وهكذا، وجميع هذه المحددات هى محددات من الرتبة الثانية:

مالحظات هامة إذا كانت C مصفوفة مربعة على النظم 3 *3 على الصورة: -1

p ، ومحدد C يرمز له بالرمز |C| حيث: 11C

12C

13C

21C

22C

23C

31C

32C

33C

f = C

12C

13C

22C

23C

31C + 12

C

13C

32C

33C

31C - 22

C

23C

32C

33C

11C = |C|

|31C|

31C + |

21C|

21C - |

11C|

11C =

الحظ أننا ضربنا كل عنصر في المحدد األصغر المناظر له مسبوقا باإلشارات +، -، +، ... على الترتيب، -2 تتعين بالقاعدة:

وهـC إشارة المحدد األصغر المناظر للعنصر و

| هى نفس إشارة )-1( و +هـو هـ

C| إشارة

| هى نفس إشارة )-1( 1 + 2 وهى سالبة21C| فمثال إشارة

| هى نفس إشارة )-1( 1 + 3 وهى موجبة31C| إشارة

بعبارة أخرى لتحديد إشارة أي محدد أصغر مناظر لعنصر ما نجمع رتبتى الصف، والعمود اللذين يتقاطعان عند

هذا العنصر:

فإذا كان مجموع الرتبتين زوجيا كانت اإلشارة موجبة. ×

ا كانت اإلشارة سالبة. × إذا كان مجموع الرتبتين فردي

+-+

-+-

+-+

ونالحظ أن قاعدة اإلشارات للمحدد األصغر تكون كاآلتى:

يمكن فك المحدد بداللة عناصر أى صف )أو عمود( ومحددتها الصغرى ولكن بإشارة مناسبة. -3


المحددات

مـثـال

باستخدام عناصر العمود الثاني.147

20

2-

35

1-إليجاد قيمة المحدد

نالحظ أن إشارات المحدد األصغر المناظر لعناصر العمود الثاني هى - ، + ، - على الترتيب فيكون:

14

35 )2-( -

17

31- 0 +

47

51- المحدد = -2

)12 - 5( 2 + 0 + )35 - 4-( 2- =

64 = 14 - 78 =


أوجد قيمة كل محدد ممايلى:

25

2-

01-0

3-43

د 325

43-0

01

2-ج‍

2-00

340

75

3-ب

1-34

700

516

أ

Determinant of triangular Matrix محدد المصفوفة المثلثية تعلم

المصفوفة المثلثية هى مصفوفة جميع عناصرها التى تحت القطر الرئيسى )أو فوقه( أصفار مثل:

p1-25

04-1-

002

f ، p100

240

356

f ، l20

34

b

ونالحظ أن: قيمة محدد المصفوفة المثلثية يساوى حاصل ضرب عناصر قطرها الرئيسى.

أى أن:

33C

22C

11C =

11C

12C

13C

0

22C

23C

00

33C

ولبرهان ذلك نفك المحدد باستخدام عناصر الصف األول:

32C

22C

11C = )0 *

21C -

32C *

22C (

11C = 22

C

23C

0

33C

11C = المحدد

مـثـال

؟100

23-0

356

ما قيمة المحدد

الحل

نالحظ أن المحدد هو محدد مصفوفة مثلثية فيكون:المحدد = 1 * - 3 * 6 = -18

يمكنك فك المحدد باستخدام أكبر فيه عمود أو صف أى األصفار من ممكن عدد قيمته على حصولك لتسهيل

بعد أخذ اإلشارة المناسبة.

فكرة مفيدة للحل



أوجد قيمة كل محدد ممايلى: 3-00

240

540

ب 1-00

230

54-2-

أ

إيجاد مساحة سطح المثلث باستخدام المحدداتتعلم

Finding area of a triangle by using Determinants يمكنك استخدام المحددات إليجاد مساحة سطح المثلث، بمعلومية إحداثيات رؤوس المثلث كاآلتى:

مساحة سطح المثلث الذى رؤوسه: س )C، ب(، ص )جـ، E(، ع )هـ، و( هى |W| حيث:

C

جـهـ

ب دو

111

12 = W

مـثـال

أوجد مستخدما المحددات مساحة سطح المثلث الذى إحداثيات رؤوسه )-1، -3( ، )2، 4(، )-3، 5( الحل

1-2

3-

3-45

111

12 = W

] 23-

45 1 +

23-

11 )3-( -

45

11 1-[ 1

2 =

])12 + 10( 1 + )3 + 2( 3 + )5 - 4( 1-[ 12=

1 )1 + 15 + 22( = 19 وحدة مربعة 2 =


أوجد مستخدما المحددات مساحة سطح المثلث C ب جـ الذى فيه C)-2، -2(، ب )3، 1(، جـ )-4، 3(

مـثـال

الربط بالهندسة: إذا كانت إحدثيات ثالث نقط على المستوى اإلحداثى هي )0، 2( )3، 5(، )-3، 2( وكانت اإلحداثيات باألمتار،

فأوجد مساحة سطح المثلث الذى رؤوسه تلك النقط.

تذكر|W| تعنى قيمة W الموجبة.

1

1

2

2

3

3

45

1-1-

2-

2-

3-

3-4-5- س

صع )-3، 5(

ص )2، 4(

س )-1، -3(

1

11-2-3-4- 2 3 4

23456

س

ص)5 ،3(

)2 ،3-( )2 ،0(


المحددات

الحل

03

3-

252

111

12 = W

] 25

11 )3-( +

22

11 3 -

52

11 0[ 1

2 =

41 متر مربع 2 = ])5-2( 3 - 0 - 0[ 1

2 =


أوجد مستخدما المحددات مساحة المثلث المبين بالشكل المقابل.

حل نظام من المعادالت الخطية بطريقة كرامرتعلم

Solving a system of linear equations by Cramer's method

1- حل اأنظمة المعادالت الخطية في مجهولينSolving a system of Linear equations in two unknowns

إذا كان لدينا نظام من المعادالت الخطية في مجهولين كاآلتي:

C س + ب ص = م

جـ س + E ص = ن

lC

جـ

بEb فإن المصفوفة التى عناصرها معامال المجهولين بعد ترتيب النظام تسمى بمصفوفة المعامالت

المعامالت مصفوفة محدد قيمة كانت فإذا الخطية، المعادالت أنظمة لحل المحددات استخدام ويمكنك

إذا كانت قيمة المحدد C ويرمز له بالرمز 9 )يقرأ دلتا( اليساوى صفرا، فإن للنظام حال وحيدا، وجـ

بE

صفرا، فإما أن يكون للنظام عدد النهائى من الحلول أو ليس له حل.

الثاني العمود ن المجهول ص تكو 9، ومعامال للمحدد العمود األول ن المجهول س تكو ونالحظ أن معاملى

للمحدد 9.

م محدد المجهول س ونرمز له بالرمز 9س )يقرأ دلتا س(، ونحصل عليه من المحدد 9 بعد ن

بE

يسمى

تغيير عناصر العمود األول )معامالت س( بالثوابت م ، ن.

C محدد المجهول ص ونرمز له بالرمز 9ص )يقرأ دلتا ص(، ونحصل عليه من المحدد 9 جـ

من

كما يسمى

بعد تغيير عناصر العمود الثاني )معامالت ص( بالثوابت م، ن.

واآلن: نفرض أن 9!0 ، فإن حل النظام هو:

م E - ن ب

EC-جـ ب =

من

بE

Cجـ

بE

9س = 9

س = Cن - جـ م

EC- جـ ب =

Cجـ

من

Cجـ

بE

9 ص = 9

ص =

س

ص

1

1

2

2

3

3

4

4

5

51-1-

2-

2-

3-

3-

4-

4-

5-

5-

C

ب

جـ


مـثـال

حل نظام المعادلتين اآلتيتين بطريقة كرامر. 2س + ص = 2 س - 3 ص = -4

الحل

0 !7 = 6 + 1 = )3- * 2( - )1 * 1( = 12

3-1

حيث إن: 9 =

فيكون 27 = 6 + 4-

7 = )3- * 2( - )1 * 4-(7 =

4-2

3-1

7 9س = 9

س =

107 = 8 + 2

7 = )4- * 2-( - )2 * 17 =

12

4-2

7 9ص = 9

ص =

})107 ،2

مجموعة الحل = })7


حل نظام المعادلتين اآلتيتين بطريقة كرامر: 2 س - 3 ص =1 س + 2 ص = 0

2- حل اأنظمة المعادالت الخطية في ثالثة مجاهيلSolving systems of Linear equations in three unknowns

إذا كان لدينا نظام من المعادالت الخطية في ثالثة مجاهيل كاآلتي:

ع = ك3 ص + جـ

3 س + ب

3C ع = ن

2 ص + جـ

2 س + ب

2C ع = م

1 ص + جـ

1 س + ب

1C

فإنه بطريقة مماثلة لما فعلناه في حالة نظام معادلتين خطيتين في مجهولين يكون:

= محدد المعامالت1C

2C

3C

1ب

2ب

3ب

1جـ

2جـ

3جـ

= 9

= محدد المجهول سم

ن

ك

1ب

2ب

3ب

1جـ

2جـ

3جـ

9س =

نحصل عليه بتغيير عناصر العمود األول )معامالت س( بالثوابت م، ن، ك

1 = محدد المجهول ص C

2C

3C

م

ن

ك

1جـ

2جـ

3جـ

9 ص =

نحصل عليه بتغيير عناصر العمود الثاني )معامالت ص( بالثوابت م، ن، ك

= محدد المجهول ع 1C

2C

3C

1ب

2ب

3ب

م

ن

ك

9 ع =

نحصل عليه بتغيير عناصر العمود الثالث )معامالت ع( بالثوابت م، ن، ك

تحقق:4- )10

7 (3 - 27

)✓( 4- = 28-7

2 107 + )2

7( 2

)✓( 2 = 2


المحددات

9ع

9، ع = 9ص

9، ص = 9س

9واآلن إذا فرض أن 9 ! صفر، فإن: س =

مـثـال

حل نظام المعادالت الخطية التالية بطريقة كرامر. س + ص + 2ع = 0 3س - 2 ص - ع = 1 - س + 3 ص + ع = 0

الحل1-31

32-1

11-2

)2+ 3-( 1 + )1-6( 3- )1+ 4-( 1- =

13- = 1 - 15 - 3 = = 9

3- = )1 * 1- 2 * 1-( 1 = 1-31

010

11-2

= ص9 5- = )1- 6( 1- =

010

32-1

11-2

= س9

4 = )3 * 1 - 1 * 1-( 1- = 1-31

32-1

010

= ع9

، 313 = 3-

9ص = -139

ص = ، 513 = 5-

9س = -139

` س =

49ع = -13

9 ع =

}) 4-13 ، 3

13 ، 513 مجموعة الحل = })


حل نظام المعادالت الخطية التالية باستخدام طريقة كرامر: 3س - ص + ع = 10 س + 2 ص + ع = 7 س + ص - ع = 2


حل كل من أنظمة المعادالت اآلتية بطريقة كرامر. 1

2 س + ص - ع = -1 ب 2 س - 3 ص + 5ع = 7 أ

2 س - ص + 4 ع = 1 3 س + 4 ص + 2ع = 11

5 س - 3ص + 2 ع = 3 س - 2ص + 7ع = 16

و 4 85 جنيها، واشترى كريم كشكولين بمبلغ 3 كشاكيل وكتابين فادى اشترى بالمستهلك: الربط كتب من األنواع نفسها بمبلغ 110 جنيه . استخدم طريقة كرامر إليجاد سعر كل من الكشكول والكتاب.

تحقق:0 ) 4-

13 ( + ) 313 (3 + ) 5

13 (-

)✓( 0 = 0

1 ) 4-13 ( - ) 3

13 (2+) 5-13 ( 3

)✓( 1 = 1

0 ) 4-13 (2 + 3

13 + 513 1

)✓( 0 = 0


سوف تتعلم



1

عمل تعاونى

اعمل مع زميل لك أوجد كل حاصل ضرب: -1

(5-4

62) (1

001) ب (1

001) (5

462) أ

صف أى أنماط تراها في إجابتك عن البند رقم )1(. -2أوجد كل حاصل ضرب: -3

(31

52) (2

1-5-3) ب (2

1-5-3) (3

152) أ

صف أي انماط تراها في إجابتك عن البند رقم )3(. -4تفكير ناقد: كيف تربط إجاباتك عن البندين )1( ، )3( ؟ -5

المعكوس الضربي للمصفوفة 2 * 2:تعلم

إذا كان لدينا مصفوفتان مربعتان C، ب وكل منهما على

النظم 2 * 2 وكان: C ب = ب I( I = C مصفوفة الوحدة(

C للمصفوفة ضربيا معكوسا تسمى ب المصفوفة فإن

وكذلك تسمى المصفوفة C معكوسا ضربيا للمصفوفة ب.

إليها نرمز فإننا ضربيا ا معكوس C للمصفوفة كان إذا

I = C 1-C = 1-C C :1 حيث-C بالرمز

وسوف ضربيا ا معكوس لها ليس المصفوفات بعض

يساعدك مايلى فى استنتاج ما إذا كانت المصفوفة على

ا ضربيا أم ال ، وكيفية إيجاد هذا النظم 2 *2 لها معكوس

المعكوس إن وجد.

أ) فإن المعكوس الضربي للمصفوفة C يكون معرفا )موجودا( جـ

بE) = C إذا كانت

0 ! 9 = C عندما يكون محدد

وبفرض أن المصفوفةC-1 هي المعكوس الضربي للمصفوفة C، وأن محدد C = 9 ! 0فإن:

(E-جـ

-بC) 1

9 =

1-C

تذكرفي المحايدة المصفوفة -1مصفوفة هي الضرب عملية الوحدة I وهى مصفوفة مربعة الرئيسى جميع عناصر قطرها

1 وباقي العناصر أصفار.حقيقيين عددين ألى -2معكوسا منهما كل يكون ضربيا( )نظيرا لالخر ضربيا هو ضربهما حاصل كان إذا

العنصر المحايد الضربي )1(

إجياد املعكوس الرضيب ملصفوفة �عىل النفف 2 * 2

حل نفام من معادلتني خطيتني �باستخدام معكوس املصفوفة.

معكوس رضبى ملصفوفة �Multiplicative inverse of a matrix

� Identity matrix مصفوفة الوحدة � Matrix equation معادلة مصفوفية � Variable matrix مصفوفة املتغريات � Constant matrix مصفوفة الثوابت


المعكوس الضربى للمصفوفة Multiplicative Inverse of a Matrix


المعكوس البربى للمصفوفة

مـثـال

-1) أثبت ان للمصفوفة C معكوس ضربي ثم أوجد هذا المعكوس8

02-) = C إذا كانت 1

الحل

2 = 0 * 8 - 2- * 1- = 1-8

02- = C محدد

` 9 ! 0 أي انه للمصفوفة C معكوسا ضربيا.

(1-4-

012-) = (2-

8-0

1-) 12 = (E

-جـ-ب

(أ 19

= 1-C


ا ضربيا ثم أوجده. 2) فأثبت ان للمصفوفة أ معكوس3

04) = C إذا كان 1

-5) معكوس ضربي؟ فسر إجابتك.3-

53) هل للمصفوفة ب =

مـثـال

C) معكوسا ضربيا.8

2C) أوجد قيم C التي تجعل للمصفوفة

الحل

المصفوفة ليس لها معكوسا ضربيا عندما يكون محدد المصفوفة يساوى صفرا.

C = صفر8

2C

أى عندما

أى 2C - 8 * 2 = صفر

2C - 16 = صفر

)0 = 16 - 2C هما 4، -4 )وهما جذرا المعادلة C إذن توجد قيمتان لـ

تجعالن المصفوفة المعطاة ليس لها معكوس ضربي.

` عندما I ∈ C - }-4، 4{ يكون للمصفوفة المعطاة معكوسا ضربيا.


س) ليس لها معكوس ضربي.4

9(س أوجد قيم س التي تجعل المصفوفة

مـثـال

M = 1- M 1) فأثبت أن0

C1-) = M إذا كانت

الحل

M = (10

C1-) = (1-

0C-1) 1

1- = 1-M ` 0 ! 1- = 10

C1-

= 9


1) علما بأن س ص ! 0س

0

1 1ص

) س) فأثبت أن ب-1= 0

-س ص(ص إذا كان ب =

تذكرإذا كان 9 ! 0 فإن للمصفوفة C معكوسا ضربيآ يتعين كاآلتي:أ( تبادل بين وضعى العنصرين القطر على الواقعين

.C الرئيسى للمصفوفةإشارتي من كال نغير ب( على الواقعين العنصرين

C القطر اآلخر للمصفوفةالناتجة المصفوفة جـ( نضرب بعد إجراء )أ(، )ب( بالعدد

1-C 1 فنحصل على

9


نشاط

Cryptography الت�شفير شفرة لفك المصفوفة معكوس استخدم . الرسالة لتشفير الضربى ومعكوسها مصفوفه أى استخدام يمكنك

الرسالة: نكتب الرسالة "في فريق" كمصفوفات على النظم 2 * 1 لتصبح األرقام الموجودة تباعا.

)1( (2821) 20) يق

10) 20) فر 28) في

عندما تستخدم ضرب المصفوفات وتستخدم مصفوفة

6) فإن الرسالة سوف تصبح هذه المصفوفات:2

21) مثل ر =

)2( (21077) (140

50) (17668)

الحظ أن: مصفوفة التشفير ر-1 يمكن إيجادها كاآلتي:0 ! 2 = 4 - 6 = 6

221

= 9 ، (62

21) a ر =

(12

1-1-3

) = (12-

2-6) 1

2 فيكون ر-1 =

وعند ضرب المصفوفة ر-1 في كل من المصفوفات في البند )2( تحصل على المصفوفات في البند )1( وتستطيع

فك الشفرة.

واألن: (6

221) اكتب رسالة " أرسل طعام " وشفرها باستخدام ضرب المصفوفات والمصفوفة ر = -1

اكتب رسالة من عندك وشفرها باستخدام ضرب المصفوفات )استخدم مصفوفة تشفير من عندك(. -2

حل معادلتين آنيتين باستخدام معكوس المصفوفةتعلم

Solving two simultaneous equations by using Inverse Matrix إذا كان لدينا نظام من معادلتين خطيتين كاآلتي:

2 ص = ك

2 س + ب

2C

1ص = ك

1س +ب

1C

فإنه يمكن كتابتهما على الصورة التالية:

(1ك

2(ك س) =

(ص (1C

2C1ب

2(ب

إذا فرضنا أن: و

(1ك

2(ك س) ، ج =

(ص = M ، (1C

2C1ب

2(ب = C

فإن المعادلتين يمكن كتابتهما على صورة معادلة مصفوفية واحدة كاآلتي:

حيث C هي مصفوفة المعامالت، M هي مصفوفة المجاهيل، ج هي مصفوفة الثوابت.M C = ج

1 C

2 ب

3 ت

4 ث

5 ج

6 ح

7 خ

8 د

9 ذ

10 ر

11 ز

12 س

13 ش

14 ص

15 ض

16 ط

17 ظ

18 ع

19 غ

20 ف

21 ق

22 ك

23 ل

24 م

25 ن

26 ـ ه

27 و

28 ي


المعكوس البربى للمصفوفة

0!1 ب

2C -

2 ب

1C = 9 أى 0 ! C وإذا كان محدد

فيكون من الممكن إيجاد حل المعادلة M C = ج كاآلتي:)1-C بضرب طرفي المعادلة من اليمين في( ج

1-C = )MC(

1-C

)خاصية التجميع( ج 1-C = M )C

1-C( `

)C المعكوس الضربي للمصفوفة( ج 1-C = M I

ج`1-C = M

.2 ، ك

1 ، ك

2 ، ب

2C ،

1 ، ب

1C وبهذا يتضح إنه يمكننا إيجاد المجهولين س ، ص بداللة الثوابت العددية

مـثـال

حل نظام المعادلتين اآلنيتين التاليتين باستخدام المصفوفات: 2 س + ص = 3 3س + 2 ص = 5

الحل

تكتب المعادلة المصفوفية M C = ج حيث

(53) س) ، ج =

(ص = M ، (32

21) = C

0 ! 1- = 4 - 3 = |32

21| = 9 = C محدد

ج وحيث أن:1-C = M معكوسا ضربيا ويكون الحل هو ك C فيكون للمصفوفة

(1-2

23-) = (1

2-2-3) 1

1- = (12-

2-3) 1

9 =

1-C

(11) = (5

3) (1-2

23-) س) =

(ص = M `

أى أن س = 1 ، ص = 1

مجموعة الحل })1، 1({


حل كل نظام من المعادالت الخطية التالية باستخدام المصفوفات. 3 س + 7 ص = 2 أ

)تحقق من صحة إجابتك( 2 س + 5ص = 1

س + 3 ص - 5 = 0 ب

)تحقق من صحة إجابتك( 2 س = 8 - 5 ص

التحقق: 3 )1( + 2)1( 5)✓( 5 = 5

3 1 + )1( 2

)✓( 3 = 3

الرياضيات - الصف الثانى الثانوى 34

مـثـال

للكتاب، الدولى القاهرة معرض إلى ومريم هدى ذهبت الكتاب: معرض فاشترت هدى من إحدى المكتبات 5 كتب علمية و4 كتب تاريخية ودفعت ثمنا

المكتبة 5 كتب علمية، 10 كتب مبلغ 120 جنيها، واشترت مريم من نفس لها

لها نفس العلمية الكتب فإذا كانت مبلغ 150 جنيها، لها ثمنا تاريخية، ودفعت

الثمن، وكذلك الكتب التاريخية لها نفس الثمن، استخدم المصفوفات في إيجاد

سعر كل من الكتاب العلمى والكتاب التاريخى.

الحل

نفرض أن س ثمن الكتاب العلمى، ص ثمن الكتاب التاريخى فيكون:

5 س + 10 ص = 150 ، 5 س + 4 ص = 120

(120150) س) =

(ص (55

410) نكون المعادلة المصفوفية على الصورة : M C = ج فيكون:

0 ! 30 = 20 - 50 = |55

410| نوجد محدد C = 9 حيث 9 =

( 13

1-6

2-1516

) = (105-

4-5) 1

30 = 1-C حيث

1-C لها معكوس ضربى C المصفوفة `

(205) = (120

150) ( 13

1-6

2-1516

) = M فيكون

أى أن: س = 20 ، ص = 5

فيكون ثمن الكتاب العلمى 20 جنيها

وثمن الكتاب التاريخى 5 جنيهات.


الربط بالمستهلك: اشترت أمل 8 كجم من الدقيق، 2 كجم من الزبد، بمبلغ 140 جنيها، واشترت صديقتها ريم 4 كيلو جرامات من الدقيق، 3 كيلو جرامات من الزبد، بمبلغ 170 جنيها، استخدم المصفوفات في

إيجاد سعر الكيلو جرام الواحد من كال النوعين.


.C فأوجد المصفوفة I= ب C ، l23

41

b إذا كان ب = 1

l فأوجد المصفوفة ب40

2-7

b ، C ب = l2

1-2-3

b = C إذا كان

تفكير ناقد: باستخدام المصفوفات ، أوجد عددين مجموعهما 10، والفرق بينهما 4

التحقق: 5)20( + 4)5( 120)✓( 120 = 120

150 )5(10 + )20(5

)✓( 150 = 150


ملخص الوحدةالمصفوفة هى ترتيب لعدد من العناصر )متغيرات أو أعداد( في صفوف وأعمدة وتكتب بين قوسين، ويرمز ×

عن التعبير أردنا إذا و الصغيرة، بالحروف المصفوفة لعناصر يرمز كما الكبيرة. الحروف باستخدام لها

ص عC الذى يقع في الصف ص والعمود ع فإنه يمكننا كتابته على الصورة C العنصر داخل المصفوفة

المصفوفة المربعة: هى مصفوفة عدد صفوفها يساوى عدد اعمدتها. ×

مصفوفة الصف: هى مصفوفة تحتوى على صف واحد، وأى عدد من األعمدة. ×

مصفوفة العمود: هى مصفوفة تحتوى على عمود واحد وأى عدد من الصفوف. ×

المصفوفة الصفرية: هى مصفوفة جميع عناصرها أصفار. ×

فتكون × الرئيسى القطر عناصر عدا ما اصفار، عناصرها جميع مربعة مصفوفة هى القطرية: المصفوفة

أحدها على األقل مغايرا للصفر.

مصفوفة الوحدة: هى مصفوفة قطرية، يكون فيها كل عناصر القطر الرئيسى مساويا الواحد ، ويرمز لها ×

.I بالرمز

المصفوفات المتساوية: هى المصفوفات التى لها نفس النظم وعناصرها المتناظرة متساوية. ×

* ن إذا استبدلنا الصفوف باألعمدة، واألعمدة بالصفوف × C على النظم م مدور المصفوفة: في أى مصفوفة

C = مد

)مدC( ،

مدC ويرمز لها C بنفس الترتيب، فإننا نحصل على مصفوفة من النظم ن * م وتسمى مدور المصفوفة

× مدC = C مصفوفة مربعة، فإنها تسمى متماثلة إذا وفقط إذا كانت C المصفوفة المتماثلة: إذا كانت

× مدC- = C شبه متماثلة إذا وفقط إذا كانت C المصفوفة شبه المتماثلة: تسمى المصفوفة

يمكن جمع أو طرح المصفوفات إذا كان لهما نفس النظم ، وذلك بجمع العناصر المتناظرة أو طرحها.

لضرب مصفوفة فى عدد حقيقى ك ، اضرب كل عنصر من عناصر المصفوفة في هذا العدد. ×

المصفوفة × في الصفوف عدد يساوى األولى المصفوفة في األعمدة عدد كان إذا مصفوفتين ضرب يمكن

الثانية.

× .I ا ضربيا لألخرى إذا كان حاصل ضربهما هو مصفوفة الوحدة تكون كل من المصفوفتين معكوس

M = ب ، نوجد المعكوس الضربى لمصفوفة المعامالت، ثم نضرب × C لحل معادلة مصفوفية على الصورة

طرفى المعادلة فيه.

Ñ Linear Inequality متباينة�خطية�Ñ Boundary line مستقيم�حدى�Ñ Dashed boundary line مستقيم�حدى�منقط�Ñ Solid boundary line مستقيم�حدى�متصل�Ñ Linear Inequality in two unknowns متباينة�خطية�فى�مجهولين�Ñ System of linear inequalities نظام�المتباينات�الخطية�

Ñ Feasible region منطقة�الحل�Ñ Graph رسم�بياني�Ñ Linear programing برمجة�خطية�Ñ Constrains القيود�Ñ Optimize الحل�األمثل�

فى نهاية الوحدة من المتوقع أن يكون الطالب قادرا على أن:

يحل�متباينات�من�الدرجة�األولى�فى�مجهول�واحد�مع�تمثيل� �الحل�بيانيا.

وتحديد� � مجهولين� فى� األولى� الدرجة� من� متباينات� يحل�منطقة�الحل�بيانيا.

يحل�نظام�من�المتباينات�الخطية�بيانيا. �

يحل�مسائل�حياتية�على�أنظمة�المتباينات�الخطية. �

يستخدم�البرمجة�الخطية�فى�حل�مشكالت�رياضية�حياتية. �

فى� � حياتية� رياضية� مشكلة� بموضوع� خاصة� معلومات� يضع�متباينات� صورة� فى� لها� البيانات� ويترجم� مناسب،� جدول�

خطية،�ثم�يحدد�منطقة�الحل�بيانيا.

النقط� � تحديد� مع� اإلحداثيات،� بداللة� الهدف� دالة� يعين�لدالة� األمثل� الحل� وإعطاء� الحل،� إلى�مجموعة� تنتمى� التى�

الهدف.



00

00

12

3 4

البرمجة الخطية

Linear Programing

2الجبرالوحدة

المتباينات�الخطية. الدرس�)2 - 1(:�

�حل�أنظمة�من�المتباينات� الدرس�)2 - 2(:�

الخطية�بيانيا.

�البرمجة�الخطية�والحل� الدرس�)2 - 3(:�

األمثل.

شبكة�إحداثيات�10 * 10ورق�مربعات�-�أقالم�ألوان�رصاص�-�

بعض�المواقع�اإللكترونية�www.phschool.comمثل�

إيجاد� إلى� ما� مشكلة� أو� مسألة� تحليل� يؤدى� عندما�تخضع� أن� يجب� لتعبير�خطى،� أو�صغرى� عظمى� قيمة�ربما� فإنه� الخطية.� المتباينات� من� لمجموعة� متغيراته�يمكننا�الحصول�على�الحل�باستخدام�تكنيكات�البرمجة�

الخطية.

الخطية� البرمجة� مشكالت� ظهرت� فقد� وتاريخيا،�أفراد� بمرتبات� تتعلق� مشكالت� لحل� للحاجة� كنتيجة�ومن� الثانية،� العالمية� الحرب� أثناء� المسلحة� القوات�أمثال�الذين�عملوا�فى�حل�مثل�هذه�المشكالت�چورچ�عامة� لصيغة� توصل� الذى� �George Dantzig دانتزيج�لحلها� طريقة� عرض� مع� الخطية� البرمجة� لمشكالت�تسمى�السمبلكس�Simplex method،�وللبرمجة�الخطية�والتجارة� الصناعة� مثل� المجاالت� كل� فى� تطبيقاتها�فمثال� وغيرها،� والصحة،� والزراعة،� الوقت،� وإدارة�البرمجة� استخدام� األعمال� إدارة� فى� النجاح� يتطلب�تحقيق� أو� ممكن� ربح� أقصى� لتحقيق� وذلك� الخطية،�أقل�تكلفة�ممكنة�وهكذا،�وفى�هذه�الوحدة�سوف�نتعلم�طرق�حل�مسائل�البرمجة�الخطية�التى�تتضمن�مجهولين�

فقط،�وتطبيقاتها�فى�مواقف�حياتية�مختلفة.

مقدمة الوحدة



مخطط تنظيمى للوحدة

الربط بالزراعة

الربط بالمستهلك الربط بالصناعة

الربط بإدارة األعمال

الربط بالهندسة

الربط بالتربية الرياضية

الربط بالحياة

حل متباينة من الدرجة األولى فى

مجهول واحد

حل نظام المتباينات

ا الخطية بياني

حل نظام من أكثر من متباينتين

خطيتين

حل نظام من متباينتين

ا خطيتين بياني

حل متباينة من الدرجة األولى فى

مجهولين

البرمجة الخطية و الحل األمثل

المتباينات الخطية


سوف تتعلم


2


شبكة إحداثيات 10 * 10 �ورق مربعات. �أقالم ألوان رصاص. �

� Linear inequality متباينة خطية � Boundary line مستقيم حدى. مستقيم حدى متقطع. �

Dashed boundary line مستقيم حدى متصل. �

Solid boundary line متباينة خطية ىف جمهول واحد �

Linear inequality in one unknown متباينة خطية ىف جمهولني �

Linear inequality in two unknowns

حل متباينة من الدرجة األوىل ىف �جمهول واحد، ومتثيل احلل بيانيا.

حل متباينة من الدرجة األوىل �ىف جمهولني، وحتديد منطقة احلل

بيانيا.

المتباينات الخطيةLinear Inequalities

األدوات املستخدمة: شبكة احداثيات 10 * 10 عمل تعاونى

باالشتراك مع زميل لك العب لعبة"ما النقطة؟" -1هدف اللعبة:

تحديد موضع نقطة على المستوى اإلحداثى بطرح أقل عدد ممكن من األسئلة.

كيف تلعب؟على × نقطة )أ( الالعب يختار

واليعلمها اإلحداثى، المستوى

سرية(، )نقطة اآلخر الالعب

عددا إحداثييها من كل ويكون

صحيحا من -5 إلى 5

تشمل × أسئلة )ب( الالعب يسأل

الكلمات "أقل من" أو "أكبر من"،

ويجيب الالعب )أ( عن كل سؤال

فقط بـ "نعم" أو "ال".

يسجل الالعب )أ( عدد األسئلة المطروحة بينما يسمى الالعب )ب( النقطة السرية. ×

يتبادل الالعبان أدوارهما لتكملة جولة واحدة من اللعبة. ×

كيف تفوز؟الالعب الذى يحدد النقطة بطرحه عددا أقل من األسئلة هو الذى يفوز بالجولة،

والالعب الذى يفوز بأول ثالث جوالت، هو الالعب الفائر.

كم سؤاال تحتاج لطرحه لتحديد موضع النقطة السرية؟ -2

إذا كنت محظوظا بدرجة كبيرة، فما عدد األسئلة التى تحتاج لطرحها، لتحديد -3موضع النقطة السرية؟ فسر إجابتك موضحا باألمثلة.

كيف تساعدك المتباينات فى تحديد موضع النقطة السرية؟ -4

اقترح إستراتيجية لتفوز فى هذه اللعبة. -5

22-4-

2

2-

4-

4

4

هل س أكبر من أو تساوى صفرا؟

هل ص أكبر من أو تساوى صفرا؟

هل س أقل من 3؟

نعم

ال

نعم)2- ،2(


الطتباينات التطية

حل متباينات الدرجة األولى فى مجهول واحد تعلم

Solving linear inequalitues in one unknown سبق أن درست حل المتباينة من الدرجة األولى فى متغير واحد، ونذكرك بأن حل المتباينات يتوقف على مجموعة

التعويض، كما يتوقف على خواص عالقة التباين التالية:

خوا�ص عالقة التباين فى ح

فإن C + جـ G ب + جـ لكل جـ < 0 ×إذا كان C، ب، جـ ∋ ح فإن: إذا كان G C ب C جـ G ب جـ لكل جـ < 0

C جـ H ب جـ لكل جـ > 0

فإن C + جـ H ب + جـ لكل جـ <0 × إذا كان H C ب C جـ H ب جـ لكل جـ <0

C جـ G ب جـ لكل جـ >0

مـثـال

أوجد مجموعة حل كل من المتباينتين التاليتين حيث س ∋ ح ثم مثل الحل على خط األعداد:

6 + س > 3 س + H 2 14 + س ب 3س - 9 < 6 س أ

الحل

بإضافة )9 - 6س( لكل من الطرفين. 3س - 9 < 6 س أ

` 3 س - 9 + 9 - 6س < 6 س + 9 - 6س

) 13 )بضرب الطرفين فى - ` -3 س < 9

س > -3

مجموعة الحل = [ -∞ و -3]

نقسم المتباينة إلى متباينتين كاآلتي: ب

المتباينة األولى: 6 + س > 3 س + 2

` 6 - 2 > 3 س - س

` س < 2

مجموعة الحل = [2، ∞]

المتباينة الثانية: 3س + H 2 14 + س

2 - 14 H 3س - س `

6 H س `

مجموعة الحل = [-∞، 6[

مجموعة الحل = [2، ∞] ∩ [-∞، 6[ = [2، 6[


حل المتباينات اآلتية فى ح ومثل مجموعة الحل بيانيا على خط األعداد:

3 + 2 س > 3 س + H 2 س + 7 ج 2 > س - 1 > 5 ب 2 G 5 + 3س أ

الحظمتغير فى المتباينة كانت إذا تمثيل يمكن فإنه واحد خط على حلها مجموعة درست كما وذلك األعداد

مسبقا.

4-6- 3-5- 2- 1- 0 1 2


حل متباينات الدرجة األولى فى مجهولين تعلم

Solving linear inequalities in two unknowns المتباينة من الدرجة األولى فى مجهولين تشبه المعادلة الخطية من الدرجة األولى فى مجهولين، والفرق بينهما هو

وضع رمز المتباينة بدال من وضع رمز التساوى فمثال: ص < 2 س + 2 هى متباينة خطية، ص = 2 س + 2 هى

معادلة خطية مرتبطة بها.

بالمنطقة موضح 2 + س 2 > ص للمتباينة البيانى التمثيل

المظللة فى الشكل المقابل.

المتباينة، تحقق الملونة المنطقة فى نقطة كل أن ونالحظ المنطقة حد هو 2 + س 2 = ص للمستقيم البيانى والتمثيل

الممثلة للحل، وقد رسم المستقيم بشكل متقطع ليدل على أنه ال

يحقق المتباينة. أما إذا احتوت المتباينة على الرمزG أو H فإن

النقاط الواقعة على المستقيم الحدى ستحقق المتباينة وعندئذ

يكون تمثيل المستقيم خطا متصال.

مـثـال

مثل بيانيا مجموعة حل المتباينة: ص > 2 س + 3 2

الحل

الخطوة )1(: ارسم المستقيم الحدى ص = 2 س + 3 والحظ أن نقط المستقيم

الحدى ليست حال للمتباينة

الحدى المستقيم يرسم لذا

متقطعا.

-2-01س

-311ص

نختار إحدى الخطوة )2(: جانبى أحد فى النقط

ونعوض المرسوم الخط

فإذا الطرف األيمن، بها فى

الجانب نلون المتباينة لم تحقق إذا و الحل(، الجانب )مجموعة نلون هذا المتباينة النقطة حققت هذه

اآلخر ويكون هو مجموعة الحل.

ف1

21 32-3- 1-4-

23

1

2-3-

1-

4-

4

4

ص = 2س + 2

ص < 2س + 2

سس

ص

ف2ص

الحظالمستقيم الحدى يقسم المستوى إلى ثالث مجموعات من النقط.

المستقيم نقط 1- مجموعة الحدى.

المستوى نقط 2- مجموعة التى تقع على أحد جانبى وتسمى الحدى المستقيم لها ويرمز مستوى نصف

بالرمز )ف1(.المستوى نقط 3- مجموعة الجانب على تقع التى الحدى للمستقيم اآلخر مستوى نصف وتسمى

ويرمز لها بالرمز )ف2(.

21 32-3- 1-4-

23

1

2-3-

1-

4-

4

4سس

ص

ص

ص = 2س + 3

ف2 ف1


الطتباينات التطية

اختر النقطة )0، 0( والتى التقع على المستقيم الحدى، بل تقع على أحد جانبيه.

)المتباينة األصلية( ص > 2 س + 3

)نعوض بالنقطة )0، 0(( 3 + )0( 2 < 0

)صواب( 3 < 0

)0، 0(، حيث مجموعة النقطة تحتوى على التى المنطقة ظلل

الحل هى نصف المستوى الذى تنتمى إليه النقطة )0، 0(.

)المتباينة األصلية( ص > 2 س + 3

)نعوض بالنقطة )2، 3(( 3 + )2( 2 < 3

3 > 7 )صواب( إذن الحل صحيح.

مـثـال

10 H مثل بيانيا مجموعة حل المتباينة: 2س – 5 ص

الحل

الخطوة )1(: نمثل بيانيا المستقيم الحدى )ل(. .)H 2 س – 5 ص = 10 بخط متصل )ألن عالقة التباين

1 052س2

–01–2ص

يمكنك رسم المستقيم الحدى بوضع المستقيم:

2 س – 5 ص = 10 على الصورة: ص = م س + جـ

حيث م الميل، جـ الجزء المقطوع من محور الصادات.

2 س – 2` ص = 5 فيكون: – 5 ص = – 2 س + 10

الخطوة )2(: اختبر النقطة )0،0( والتى تقع على أحد جانبى المستقيم الحدى. )المتباينة األصلية( 10 H 2 س – 5 ص

)نعوض بالنقطة )0، 0(( 10 H )0( 5 – )0( 2

)صواب( 10 H 0

لون المنطقة التى تحتوى على النقطة )0، 0(، حيث مجموعة الحل هى نصف المستوى الذى تقع فيه النقطة

)0، 0( ∪ مجموعة نقط المستقيم الحدى ل.


مثل بيانيا مجموعة الحل لكل من المتباينات اآلتية 2

ص – 2 س > 2 ج ص > 5 س – 5 ب 6 G 2 س – ص أ

؟

التحقق: )3 ،2( النقطة أن البيانى التمثيل يبين

تقع فى منطقة الحل.؟

21 32-3- 1-4-

23

1

2-3-

1-

4-

4

4 5سس

ص

ص

ل2س -5ص = 10

؟


مـثـال

عدم قررت أنك افترض الطعام: تسوق حياتية: تطبيقات

السودانى والفول الحمص لشراء 48 جنيها من أكثر صرف بالجيزة، الحيوان حديقة إلى وعائلتك أنت لرحلتك الالزم

كم كيلو جراما يمكنك شراؤه من كل نوع؟

الحلعرف: نفرض أن س = عدد الكيلو جرامات التى يمكنك شراؤها من الحمص.

ص = عدد الكيلو جرامات التى يمكنك شراؤها من الفول السودانى.

اربط: ثمن شراء الحمص + ثمن شراء الفول السودانى H الحد األقصى للشراء )انظر إلى الرسم(.

48 H اكتب: 8 س + 16 ص

.)H ارسم المستقيم الحدى 8 س + 16 ص = 48، ويمثل بخط مستقيم متصل )ألن عالقة التباين

استخدم الربع األول فقط من المستوى اإلحداثى، حيث إنه اليمكنك شراء كمية سالبة من المحمصات.

062س

302ص

اختبر النقطة )0، 0(

48 H )0( 16 + )0( 8

)صواب( 48 H 0

لون المنطقة التى تحتوى النقطة )0، 0(.

يوضح التمثيل البيانى كل الحلول الممكنة، على

سبيل المثال إذا قمت بشراء 2 كجم من الحمص،

فإنه اليمكنك شراء أكثر من 2 كجم من الفول

السودانى. واآلن هل 2 كجم حمص، 1كجم من الفول السودانى حل لهذا المثال؟


2 س - 2 بيانيا، هل ستظلل المنطقة فوق أم تحت الخط المستقيم 5 G تفكير ناقد: عندما نمثل المتباينة ص

2 س - 2؟ كيف علمت ذلك؟ص = 5

الربط بالمستهلك: تبيع مكتبة نوعين من الكشاكيل، النوع األول سعره 6٫25 جنيه، والنوع اآلخر سعره 2

7٫5 جنيه، فإذا أراد أحمد شراء بعض من هذه الكشاكيل، بحيث ال يدفع أكثر من 25 جنيها، فكم عدد

الكشاكيل التى يمكنه شراؤها من كل نوع؟

فول سودانىالكيلو 16 جنيها

حمصالكيلو 8 جنيهات

محمصات الرحلة

م(كج

)بالى

دانسو

ل الفو

ال

الحمص بالكجم21 3

23

1

456

4 5 6 7 8 9س

ص

؟


سوف تتعلم



ورق رسم بياين. �ألوان رصاص. �

نظام متباينات خطية �System of linear inequalities

� Feasible region منطقة احلل � Graph رسم بياين.

حل نظام من املتباينات اخلطية �بيانيا.

حل مسائل حياتية عىل أنظطة �املتباينات اخلطية.

2 حل أنظمة من المتباينات الخطية بيانيا

Solving Systems of Linear Inequalities Graphically

عمل تعاونى

اعمل مع زميل لك.

متعامد، ولون إحداثى فى مستوى 2 G المتباينة س بيانيا مجموعة حل مثل -1منطقة الحل باللون األصفر.

اإلحداثى المستوى نفس فى 1- < ص المتباينة حل مجموعة بيانيا مثل -2المتعامد، ثم لون منطقة الحل باللون األخضر.

حدد المنطقة التى تداخل فيها اللونين األصفر واألخضر معا. -3ماذا تمثل المنطقة التى حددتها فى بند )3(؟ -4

إجابتك. اختر ثالث نقط مختلفة يمثل كل منها حال للمتباينتين معا. فسر -5

نظام المتباينات الخطيةتعلم

تكون متباينتان خطيتان أو أكثر معا نظاما من المتباينات الخطية، ويكون الزوج

( حال لهذا النظام إذا حقق جميع متبايناته.1، ص

1المرتب )س


يمكنك وصف كل ربع من أرباع مستوى إحداثى متعامد باستخدام نظام من

المتباينات الخطية.

من الشكل المقابل، حدد رقم

مجموعة يمثل الذى الربع

حل كل نظام مما يأتى

س < 0 ، ص < 0 أ

س < 0 ، ص > 0 ب

س > 0 ، ص < 0 ج

س > 0 ، ص > 0 د

س/س

ص

ص/

س/س

ص

ص/

00

س/س

ص

ص/

س/س

ص

ص/

00

12

3 4


ا حل نظام من المتباينات الخطية بيانيتعلم

Solving a system of liner inequalitues graphically حل نظام المتباينات الخطية يعنى إيجاد جميع األزواج المرتبة التى تحقق متباينات هذا النظام.

لتحديد جميع النقاط )األزواج المرتبة( التى تشكل حال للنظام يتم تلوين )تظليل( منطقة حل كل واحدة من

المتباينات فى مستوى إحداثى واحد، فتكون المنطقة المشتركة بين مناطق حل جميع المتباينات هى منطقة

حل هذا النظام

مـثـال

حل نظام المتباينات الخطية التالى بيانيا: ص G 2 س + 6 ، ص + 3س > -1

الحل

الخطوة )1(: مثل مجموعة حل كل متباينة فى النظام بيانيا، ولون منطقة الحل. للمتباينة األولى: ص G 2 س + 6

نرسم المستقيم الحدى ص = 2 س + 6 )خط متصل(

-2-03س

602ص

النقطة )0، 0( التحقق المتباينة

فيه التقع الذى المستوى نصف هى 1M الحل ` مجموعة

1نقطة األصل ∪ ل

للمتباينة الثانية: ص + 3 س > -1

نرسم المستقيم الحدى ص + 3 س = -1 )خط متقطع(

-2-01س

25-1ص

النقطة )0، 0(التحقق المتباينة

هى نصف المستوى الذى التقع فيه نقطة األصل.2 M مجموعة الحل `

فيها تتداخل التى المنطقة النظام، وهى متباينات مناطق حل بين المشتركة المنطقة )2(: حدد الخطوة

2M ∩

1M األلوان، والتى تمثل منطقة حل النظام، فيكون مجموعة الحل للمتباينتين معا هى

تحقق: الحظ أن النقطة )-4، 2( تنتمى إلى منطقة حل النظام؛ لذا يمكن استخدامها نقطة اختبار، والتحقق

من صحة الحل بالتعويض عن )س، ص( بالنقطة )-4، 2( فى كلتا المتباينتين:

ص + 3 س > -1 ص G 2 س + 6

1- < )4-( 3 + 2 6 + )4-(2 G 2

-10 > -1 ) صواب( G 2 -2 )صواب(

21 32-3- 1-4-5-6-

23

1

2-3-

1-

4-5-6-

456

س/س

ص

ص/

1M

2M

2M ∩ 1M

ل1

؟ ؟


حل أنظطة من الطتباينات التطية بيانيلا


حل النظام اآلتى بيانيا: 3 س + 5ص G 15 ، ص > س -1 2

مـثـال

حل نظام المتباينات الخطية التالى بيانيا: 4 ص G 6س 2

6- H 3 س + 2ص-

الحل

الخطوة )1(: مثل مجموعة حل كل متباينة فى النظام بيانيا، ولون منطقة الحل.

للمتباينة األولى: 4 ص G 6 س نرسم المستقيم الحدى 4 ص = 6س )خط متصل(

-022س

-033ص

النقطة )0، 0( تقع على المستقيم الحدى؛ لذا يختبر باستخدام

نقطة أخرى على إحدى جانبى المستقيم الحدى ولتكن )-3، 2(

)3-( 6 G )2( 4 :فيكون

أي G 8 -12 )صواب(

الذى يقع المستوى ، و هى نصف 1M الحل فيكون مجموعة

1فيه النقطة )-3، 2( ∪ ل

6- H للمتباينة الثانية: - 3 س + 2 ص

نرسم المستقيم الحدى -3س -2ص = -6 )خط متصل(

-022س

06-3ص

النقطة )0، 0( التحقق المتباينة

2، و هى نصف المستوى الذى التقع فيه النقطة )0، 0( ∪ ل

2M مجموعة الحل `

الخطوة )2(: نحدد المنطقة المشتركة بين مناطق حل متباينات النظام، والتى تمثل منطقة حل النظام. متوازيان، والتوجد منطقة مشتركة بين المنطقتين الملونتين كما فى الشكل.

2، ل

1ونالحظ أن المستقمين ل

z = مجموعة حل المتباينتين معا `


أوجد حل نظام المتباينات الخطية التالى بيانيا: ص H س

ص G س + 1

2M

1M

ل1

ل2

21 3 4 52-3- 1-4-5-

23

1

2-3-

1-

4-5-6-

456

س/س

ص

ص/


مـثـال

الربط بالحياة يريد مربى حيوانات عمل حظيرة مستطيلة الشكل، يجب أن اليقل طول الحظيرة عن 80

مترا، وأن اليزيد محيطها عن 310 أمتار. فما األبعاد الممكنة للحظيرة؟

الحل

عرف: س = عرض الحظيرة. ص = طول الحظيرة. المحيط اليزيد عن 310 أمتار اربط: الطول اليقل عن 80 مترا.

310 H 2 س + 2 ص 80 G ص

80 G ص لحل نظام المتباينات الخطية:

310 H 2 س + 2 ص

يمكنك اتباع التالى:

للمتباينة األولى:80 G ص

الجزء وطول الميل استخدم

المقطوع من محور الصادات

لرسم المستقيم الحدى

ص = 80

)المستقيم الحدى متصل(

012س808080ص

للمتباينة الثانية:310 H 2 س + 2ص

المقطوعة األجزاء استخدم

اإلحداثيات محورى من

لرسم المستقيم الحدى:

2 س + 2ص = 310

)المستقيم الحدى متصل(

015510س1550145ص


80 G ص

G 20 80 )خطأ(

هى نصف المستوى الذى 1M مجموعة الحل

1التقع فيه النقطة )20، 20( ∪ ل


310 H 2 س + 2ص

310 H )20(2 + )20(2

H 80 310 )صواب(

الذى المستوى نصف هى 2M الحل مجموعة

2تقع فيه النقطة )20، 20( ∪ ل

وهى مجموعة النقط فى المنطقة المشتركة والموضحة بالرسم.2M ∩

1M =M مجموعة الحل


من المثال السابق:

أعط ثالثة أبعاد ممكنة )للطول والعرض( للحظيرة. كم حال لهذا النظام؟

لماذا تم توضيح منطقة الحل فى الربع األول فقط من المستوى اإلحداثى؟

140

140

100

ل1

ل2

100

60

60

20

20س

العرض بالمتر

أبعاد حظيرة الحيوانات

متر بال

وللط

ا

ص2M ∩ 1M

2M

1M

؟؟


حل أنظطة من الطتباينات التطية بيانيلا

مـثـال

قيادة فتناوبا القبلى، الوجه الفرعونية بمحافظات لزيارة اآلثار قام إسالم وفادى برحلة بالحياة الربط

السيارة، فإذا كانت فترات قيادة إسالم للسيارة على نحو متواصل فى اليوم التقل عن 3 ساعات، والتزيد

عن 7 ساعات، وكانت فترات قيادة فادى للسيارة على نحو متواصل فى اليوم التقل عن ساعتين والتزيد

عن 6 ساعات، وكان إجمالى زمن قيادة كليهما يوميا اليزيد عن 8 ساعات. اكتب نظام متباينات خطية

يمثل هذا الموقف، ثم مثل بيانيا منطقة حل هذا النظام.

الحل

إسالم: عدد ساعات قيادة إسالم للسيارة على نحو متواصل اليقل عن 3 ساعات واليزيد عن 7 ساعات.

.7 H س H 3 :نفرض أن س هى عدد ساعات قيادة إسالم للسيارة فيكون

ساعتين عن التقل للسيارة فادى قيادة ساعات فادى: عدد

والتزيد عن 6 ساعات. نفرض أن ص هى عدد ساعات

6 H ص H 2 :فيادة فادى للسيارة فيكون

إجمالى زمن قيادة كليهما يوميا اليزيد عن 8 ساعات فيكون:

8 H س + ص

مثل مجموعة حل كل من المتباينات الثالث بيانيا،

أى زوج مرتب فى منطقة حل النظام يمثل حال للنظام؟

من الحلول الممكنة:

ساعتان قيادة لفادى، 6 ساعات قيادة إلسالم. 3 ساعات قيادة لفادى، 5 ساعات قيادة إلسالم.

3 ساعات قيادة لفادى، 4 ساعات قيادة إلسالم. 5 ساعات قيادة لفادى، 3 ساعات قيادة إلسالم.


الربط بالمهن: يريد نجار شراء نوعين من المسامير، وال يريد دفع أكثر من 48 جنيها ثمنا للشراء، فإذا كان الثانى، النوع األول، وكيلو جراما واحدا على األقل من النوع النجار يحتاج 3 كيلو جرامات على األقل من

هو األول النوع من الواحد جرام الكيلو ثمن أن علمت إذا نوع، لكل ثمنا النجار سيدفعه الذى المبلغ فما

6 جنيهات، وثمن الكيلو جرام الواحد من النوع الثانى هو 8 جنيهات؟

اكتب نظاما من المتباينات الخطية يصف هذا الموقف. أ

مثل بيانيا هذا النظام لتوضيح الحلول الممكنة. ب

سم نقطة تكون حال لهذا النظام. ج

سم نقطة ال تكون حال لهذا النظام. د

8

678

6

4

4

210

3

5

2 3 5 71

س

ص

عدد ساعات قيادة إسالم

دىة فا

يادت ق

اعا س

ددع


سوف تتعلم



ورق رسم بيانى. �ألوان رصاص. �

� linear programing برجمة خطية � Constrains القيود � Bounded حمدود � Unbounded غري حمدود � Optimize احلل األمثل

إجياد القيطة العظطى والقيطة �الصغرى لدالة ضطن منطقة معينة.

استتدام الربجمة اخلطية ىف حل �بعض املسائل.

ترمجة معلومات خاصة بطشكلة �رياضية حياتية ىف جدول مناسب

مع ترمجة البيانات ىف صورة متباينات خطية وحتديد منطقة احلل بيانيا، مع حتديد دالة اهلدف وحلها

األمثل.

البرمجة الخطية والحل األمثلLinear programing and Optimization

2

عمل تعاونى

وأنت الوقت، لبعض وظيفة عليك عرض أنه افترض

تفكر ما الوقت الذى يمكنك تخصيصه لهذا العمل.

يمكنك استخدام الرياضيات لتساعدك على تنظيم

تفكيرك واتخاذ القرار السليم.

اعمل مع زميل لك:

تقضى التى بالطرق قائمة اكتب أ -1بها أوقاتك خالل األسبوع.

ب نظم قائمتك بحيث التزيد عن عشرة طرق.

اعمل تقويما شخصيا لألسبوع الماضى. -2أ حدد وقتا للطرق التى حددتها فى البند رقم )1(.

ب ما الوقت الذى تراه مناسبا للعمل فى وظيفة بعض الوقت؟

ج ناقش: ما الذى يمكنك اإلقالع عنه أو عدم اإلقالع عنه فى جدولك؟

Linear Programing البرمجة الخطية تعلم

البرمجة تسمى باستخدام عملية أعاله المطروحة مثل أسئلة اإلجابة عن يمكنك

.Linear programing الخطية

البرنامج كتابة هو به القيام يجب عمل أول فإن الخطية البرمجة مسائل ولحل

الخطى للمسألة، ويتكون من:

دالة الهدف )وهى ما تهدف إليه المشكلة محل الدراسة لحساب قيمة عظمى -1أو قيمة صغرى(، وهى دالة خطية تكون على الصورة:

حيث C، ب عددان حقيقيان اليساويان الصفر معا. C = S س + ب ص

مجموعة القيود التى تفرضها طبيعة المسألة، وهى فى صورة متباينات خطية -2بمتغيرين تمثل الحدود العليا أو الدنيا للعوامل التى تتحكم بمتغيرات المسألة.

القيود التى يفرضها الواقع العلمى للمسألة على المتغيرات عندما ال يمكن أن -3تأخذ هذه المتغيرات قيما سالبة.


البرم ة التطية وال ل األمثل

مـثـال

باستخدام البرمجة الخطية أوجد قيمتى س، ص التى تجعل قيمة الدالة S = 3س + 2ص قيمة عظمى

3 G 8 ، ص H 0 ، س + ص G 0 ، ص G ثم قيمة صغرى تحت القيود: س

الحل

الخطوة )1(: ارسم القيود )مثل المتباينات بيانيا(

الخطوة )2(: أوجد إحداثيات رؤوس منطقة الحل.

من الشكل نالحظ أن رؤوس منطقة الحل هى:

C)0، 8(، ب ) 5، 3(، جـ )0، 3(

الخطوة )3(: أوجد قيمة الدالة S = 3 س + 2 ص عند كل رأس

نكون الجدول التالى:

قيمة الدالة 3Sس + 2صصس النقطة)8 ،0( C08)8( 2 + )0( 316قيمة عظمى$321 )5( + 2 )3(53ب )5، 3(قيمة صغرى$36 )0( + 2 )3(03جـ )0، 3(

القيمة العظمى للدالة تساوى 21 وتكون عند النقطة )5، 3(، والقيمة الصغرى للدالة تساوى 6 وتكون عند

النقطة )0، 3(

فكر: لماذا تتحقق القيمة العظمى أو الصغرى لدالة الهدف عند أحد رؤوس منطقة الحل؟لتعرف إجابة هذا التساؤل:

نضع S = 0 فى دالة الهدف S = 3س + 2ص فنجد أن 3س + 2ص = 0 -1تمثل مستقيما يمر بنقطة األصل، والنقطة )2، -3(.

إذا رسمت عدة مستقيمات تقطع منطقة الحل وموازية لهذا المستقيم -2المار بنقطة األصل فإن:

أول هذه المستقيمات يمر بالنقطة جـ )0، 3(

6 = S وتكون معادلته 3س + 2ص = 6 أى

المار الثانى المستقيم إلى تنتمى التى النقط جميع عند S قيمة -3بالنقطة C )0، 8( تساوى 16، و تستمر S فى التزايد حتى نصل إلى

21 = 3 * 2 + 5 * 3 = S آخر خط يقطع منطقة حل النظام والمار بالنقطة ب )5، 3( ، فنجد أن

لذلك فإن القيمة الصغرى لدالة الهدف = 6 عند النقطة )0، 3( وهى أحد رؤوس منطقة الحل، وكذلك القيمة

العظمى لدالة الهدف = 21 عند النقطة )5، 3( وهى أحد رؤوس منطقة الحل أيضا.

مما سبق نستنتج أن: القيمة العظمى والقيمة الصغرى إن وجدتا لدالة الهدف، فإنهما تتحققان عند رؤوس المضلع الذى يحيط منطقة الحلول الممكنة للمتباينات التى تشكل مجموعة قيود المسألة أو عند نقط إلتقاء

المستقيمات التى تحد منطقة الحلول الممكنة.

8

6789

6

4

4

210

3

5

2 3 5 71س

ص

)3 ،0(

)3 ،5(

)8 ،0(

جـب

C

8

6789

6

4

4

21

1-2-3-

0

3

5

2 3 5 71س

ص

)3 ،0(

)3 ،5(

)8 ،0(

جـب

C



باستخدام البرمجة الخطية أوجد كال من القيمة الصغرى والقيمة الكبرى للدالة S = س + ص تحت القيود:

س G 0 ، ص 0G ، ص 2G س -2 ، ص H -س + 8

من الشكل المقابل: أوجد قيمتى س، ص 2

التى تجعل قيمة الدالة S = 2 س + 5 ص قيمة صغرى.

تطبيقات حياتية على البرمجة الخطية تعلم

Real life applications of linear programing البرمجة الخطية طريقة رياضية تمكنا من الوصول إلى أفضل قرار لحل مشكلة حياتية أو الوصول إلى الحل

األمثل Optimization؛ لتحقيق هدف معين مثل تحقيق أقل تكلفة أو أعلى ربح لمشروع معين، مع االلتزام بشروط

وقيود آليات اإلنتاج والسوق أو المشكلة محل الدراسة، ويمكن تحقيق ذلك من خالل:

تحليل الموقف أو المشكلة لتحديد المتغيرات، والتعرف على القيود ووضعها فى صورة نظام من المتباينات -1الخطية.

كتابة دالة الهدف المراد تحقيقه فى المشكلة موضع الدراسة )وهى دالة خطية(. -2تمثيل نظام المتباينات الخطية بيانيا. -3

تحديد رؤوس منطقة الحل. -4نعوض بإحداثيات الرؤوس فى دالة الهدف، ثم نختبر القيمة العظمى أو القيمة الصغرى تبعا للمطلوب فى المسألة. -5

مـثـال

من نوعين البحرية المأكوالت محال أحد يبيع األعمال إدارة 2

األسماك المطهية C، ب، والتقل الطلبات من صاحب المحل عن 50

سمكة، كما أنه اليستخدم أكثر من 30 سمكة من النوع )أ(، أو أكثر

من 35 سمكة من النوع )ب(، فإذا علمت أن ثمن شراء السمكة من النوع )أ(

هو 4 جنيهات، ومن النوع )ب( هو 3 جنيهات، كم سمكة من كل من النوعين

أ، ب يجب استخدامها لتحقيق أقل ثمن ممكن للشراء؟

الحل

نفرض أن: عدد األسماك من النوع )أ( هو س، عدد األسماك من النوع )ب( هو ص -1)سوف يشترى أسماكا من النوع أ( 0 G ويكون س

)سوف يشترى أسماكا من النوع ب( 0 G ص

)هو يحتاج 50 سمكة على األقل( 50 G س + ص

)اليمكنه استخدام أكثر من 30 سمكة من النوع أ( 30 Hس

)اليمكنه استخدام أكثر من 35 سمكة من النوع ب( 35 H ص

67

6

4

4

210

3

5

2 3 5 71س

ص

الحد األقصىالنوع الثانيالنوع األول

50صس4س + 3ص43ثمن الشراء



نكتب دالة الهدف وهى: ثمن الشراء أقل ما يمكن: S = 4 س + 3 ص -2نمثل نظام المتباينات بيانيا كما هو موضح بالشكل المقابل. -3

نحدد رؤوس منطقة الحل وهي: -4C )30، 20(، ب )30، 35(، جـ )15، 35(.

نعوض بإحداثيات الرؤوس فى دالة الهدف لتحديد أقل ثمن ممكن -5للشراء، كما هو موضح بالجدول التالي:

قيمة الدالة 4Sس + 3ص صسالنقطة)20 ،30( C3020)20( 3 + )30( 41804225 )30( + 3 )35(3035ب )30، 35(أقل قيمة ممكنة لثمن الشراء$4165 )15( + 3 )35(1535جـ )15، 35(

يجب على صاحب محل األسماك شراء 15 سمكة من النوع )أ(، 35 سمكة من النوع )ب( ليكون ثمن الشراء

أقل ما يمكن.


،C الربط بالصناعة: ينتج مصنع صغير لألثاث المعدنى 20 دوالبا أسبوعيا على األكثر من نوعين مختلفين

ب، فإذا كان ربحه من النوع )أ( هو 80 جنيها وربحه من النوع )ب( هو 100 جنيه، وكان مايباع من النوع

األول اليقل عن ثالثة أمثال ما يباع من النوع الثاني. أوجد عدد الدواليب من كل نوع ليحقق المصنع أكبر

ربح ممكن.

مـثـال

ذات األغذية من نوعين األطفال ألغذية مصنع ينتج بالصحة الربط

مواصفات خاصة، فإذا كان النوع األول يحتوى على وحدتين من فيتامين )أ(،

3 وحدات من فيتامين )ب( والنوع الثانى يحتوى على 3 وحدات من فيتامين

إذا كان الطفل يحتاج فى غذائه على األقل 120 وحدة من فيتامين )أ(، )أ(، ووحدتين من فيتامين )ب(، و

100 وحدة من فيتامين )ب( وكانت تكلفة النوع )أ( 5 جنيهات، وتكلفة النوع )ب( 4 جنيهات، فما الكمية

الواجب شراؤها من كل من النوعين لتحقيق ما يحتاجه الطفل فى غذائه بأقل تكلفة ممكنة؟

الحل

نفرض أن: عدد السلع من النوع األول س -1وعدد السلع من النوع الثانى ص ويكون:

0 G 0 ، ص G س

120 G 2 س + 3 ص

100 G 3 س + 2 ص

10

0

30

50

30 5010س

ص

C

جـب

الصنفعدد السلع من

النوع األولعدد السلع من

النوع الثانيالحد األدنى من الوحدات

3120 ص2 سفيتامين أ

2100 ص3 س فيتامين ب

4 جنيهات5 جنيهاتالتكاليف


دالة الهدف هى التكلفة أقل مايمكن: S = 5 س + 4 ص -2

نمثل نظام المتباينات الخطية كما هو موضح بالشكل المقابل. -3

رؤوس منطقة الحل هي: -4C )60، 0(، ب )12، 32(، جـ )0، 50(.

بإحداثيات نعوض -5دالة فى الرؤوس

الهدف لتحديد أقل

تكلفة ممكنة:

قيمة الدالة 5Sس + 4ص صسالنقطة)0 ،60( C600)0( 4 + )60( 5300

أقل تكلفة ممكنة$5188 )12( + 4 )32(1232ب )12، 32(5200 )0( + 4 )50(050جـ )0، 50(

تكون التكلفة أقل ما يمكن عند ب، عدد األغذية من النوع األول هو 12 وعدد األغذية من النوع الثانى هو 32

مـثـال

الربط بالمستهلك: ينتج مصنع نوعين من المكاتب الصاج وكل نوع يقوم بتجميعه أحد العمال ثم يقوم

لتجميع النوع األول، و3 ساعات الوحدة من لتجميع العامل األول ساعتين بالدهان. يستغرق عامل آخر

الوحدة من النوع الثانى، بينما يستغرق العامل الثانى ساعة ونصف الساعة لدهان الوحدة من النوع األول

،بينما العامل األول يعمل 6 ساعات يوميا على األقل فإذا كان الثانى، النوع الوحدة من وساعتين لدهان

يعمل العامل الثانى 6 ساعات يوميا على األكثر، وكان ربح المصنع هو 50 جنيها فى كل وحدة من كل من

النوعين، فما عدد الوحدات التى يجب أن ينتجها المصنع يوميا من كال النوعين ليحقق أكبر ربح ممكن؟

الحل

نفرض أن عدد الوحدات من النوع األول س

وعدد الوحدات من النوع الثانى ص

0 G 0 ، ص G فيكون س

6 G 2 س + 3ص

12 H 6 أى 3 س + 4 ص H 11س + 2ص2

دالة الهدف: الربح أكبر ما يمكن S = 50 س + 50 ص

100

30

50

70

30 50 7010س

ص

C

ب

)0، 50(جـ)32 ،12(

)0 ،60(

الربح بالجنيهساعات الدهانساعات التجميععدد الوحدات1 21النوع األول س

250

3250النوع الثانى ص



قيمة الدالة 50S س+ 50صصسالنقطة)2 ،0( C02)2( 50 + )0(50100

50150)3( + 0 )0(30ب )3، 0(أكبر ربح ممكن$50200)4( + 0 )0(40جـ )4، 0(

)3 ،0( E03)50( 3 + )0(0150

` أكبر ربح ممكن = 200 جنيه عند النقطة )4، 0(

حاول أن تحلبالمستهلك: سلعتان غذائيتان تعطى األولى 3 سعرات حرارية وبها 5 وحدات من فيتامين سى الربط

والثانية تعطى 6 سعرات حرارية ولها وحدتان من فيتامين سي. فإذا كان المطلوب هو 36 سعرا حراريا على األقل، 25 وحدة من فيتامين سى على األقل، وبفرض أن سعر الوحدة من السلعة األولى 6 جنيهات ومن الثانية 8 جنيهات، فما الكمية الواجب شراؤها من كل من السلعتين لتحقيق المطلوب بأقل تكلفة ممكنة؟


الربط بالزراعة: وجد مزارع أنه يمكن تحسين نوعية مزروعاته إذا استخدم على األقل 16 وحدة من النيترات، 9 وحدات من الفوسفات فى عملية التسميد للقيراط الواحد. يوجد فى األسواق نوعان من السماد أ، ب موضحة

محتوياتها وتكلفة كل منها فى الجدول التالي:

السمادعدد الوحدات لكل كيلو جرام

التكلفة لكل كيلو جرام الفوسفاتالنترات

170 قرشا41أ

150 قرشا23ب

أوجد أقل تكلفة من مزيج السمادين أ، ب تمكنان المزارع من توفير العدد الكافى من وحدات النيترات

والفوسفات لتحسين نوعية مزروعاته.

123

32س

ص)3 ،0( E

ب )3، 0(جـ )4، 0()2 ،0( C

ص/

س/


نشاط

إذا كان المستقيم الذى يمثل دالة الهدف يوازى أحد أضالع منطقة الحل، هل تتغير قيمة دالة الهدف عند أى

نقطة على هذا الضلع؟

تتبع المثال اآلتى ثم أجب عن السؤال المطروح

مـثـال

أوجد أقصى قيمة ممكنة للدالة S = 3س + 6ص تحت القيود التالية:

8 H 6 ، س + 2ص H 5 ، 2س + ص H 0 ، س + ص G 0 ، ص G س

الحل

: ص = 02 : س = 0 ، ل

1نرسم ل

: س + ص = 53ل

05س

50ص

: 2س + ص = 64ل

03س

60ص

: س + 2ص = 85ل

08س

40ص

10( لماذا؟3 ، 4

3 المنطقة الملونة بالشكل هى و C ب جـ تمثل مجموعة حل النظام حيث: ب)

قيمة الدالة 3Sس + 6صصسالنقطة

C300 + 3 * 39

4ب3

103

103 * 6 + 4

3 * 324

324 * 0 + 6 * 044جـ

الحظ أن: القيمة العظمى لدالة الهدف = 24 تحققت عند النقطتين ب، جـ

ر إجابتك. هل المستقيم ب جـ يوازى المستقيم الذى يمثل دالة الهدف؟ فس -1

أوجد قيمة دالة الهدف عند منتصف ب جـ، ماذا تالحظ؟ -2

هل العبارة التالية صحيحة؟ فسر إجابتك. -3

نقاط جميع عند تقع فهى النظام حل منطقة فى نقطتين عند الصغرى( )أو العظمى القيمة وقعت »إذا

القطعة المستقيمة الواصلة بينهما«.

وس

ص

C

بجـ

a 13 ، 4

3 k

)4 ،0(

)0 ،3(


ملخص الوحدة× Linear Inequality in two unknowns المتباينة الخطية فى مجهولين

المتباينة من الدرجة األولى فى مجهولين تشبه المعادلة الخطية من الدرجة األولى فى مجهولين، والفرق بينهما

هو وضع رمز المتباينة بدال من وضع رمز التساوي، فمثال: ص< 5س +1 هى متباينة خطية فى مجهولين س، ص،

ص = 5 س + 1 هى معادلة خطية مرتبطة بها.

وتصف المتباينة الخطية منطقة من المستوى اإلحداثى، ولتمثيل حل المتباينة الخطية، نرسم أوال المستقيم الحدى

إذا كان يحقق >(، ويرسم متصال أو > الرمز المتباينة احتوت )إذا المتباينة إذا كان اليحقق منقطا ويرسم

المتباينة )إذا احتوت المتباينة الرمز Gأو H(، ثم نختبر نقطة لتظليل المنطقة التى تجعل المتباينة صحيحة.

× Solving a system of Linear inequalities حل نظام من المتباينات الخطية

ن متباينتان خطيتان أو أكثر نظاما من المتباينات الخطية، وإليجاد حل نظام من المتباينات الخطية، نرسم تكو

كل متباينة، ومنطقة الحل هى التى تكون فيها جميع المتباينات صحيحة.

× Linear programing البرمجة الخطية

البرمجة الخطية طريقة رياضية تمكننا من الوصول إلى أفضل قرار لحل مشكلة حياتيةأو الوصول إلى الحل

األمثل لتحقيق هدف معين، مثل تحقيق أقل تكلفة أو أعلى ربح لمشروع معين مع االلتزام بشروط وقيود آليات

اإلنتاج والسوق أو المشكلة محل الدراسة، ويمكن تحقيق ذلك من خالل:

تحليل الموقف أو المشكلة للتعرف على القيود ووضعها فى صورة نظام متباينات خطية. -1

تحديد دالة الهدف فى صورة خطية )C س + ب ص(. -2

تحديد فضاء حل المشكلة. -3

البحث عن القيمة أو القيم من فضاء الحل التى تحقق دالة الهدف. -4

-

Ñ Scalar Quantities كمية�قياسية�Ñ Vector Quantities )كمية�متجهة(�Ñ Vector متجه�Ñ Distance مسافة�Ñ Displacement إزاحة�Ñ Position Vector متجه�موضع�

Ñ Orderd Pair زوج�مرتب�Ñ Absolute value قيمة�مطلقة�Ñ Norm معيار�متجه�Ñ Equivalent Vector متجه�مكافئ�Ñ Adding vectors جمع�المتجهات�Ñ The triangle Rule قاعدة�المثلث�

Ñ Parallelogram Rule قاعدة�متوازى�األضالع�Ñ Subtracting Vectors طرح�المتجهات�Ñ �)قوة�محصلة�)محصلة�القوى

Resultant Force Ñ Relative Velocity سرعة�نسبية��

فى نهاية الوحدة من المتوقع أن يكون الطالب قادرا على:

يتعرف�الكمية�القياسية�والكمية�المتجهة�والقطعة�المستقيمة� �الموجهة،�ويعبر�عنها�بداللة�طرفيها�فى�مستوى�اإلحداثيات.

يتعرف�متجه�الموضع�ويضعه�فى�الصورة�القطبية. �

يوجد�معيار�المتجه،�والمتجه�الصفرى. �

يتعرف�ويحل�تمارين�على�تكافؤ�متجهين. �

يتعرف�متجه�الوحدة�ويعبر�عن�المتجه�بداللة�متجهى�الوحدة� �األساسيين.

يتعرف�توازى�متجهين�وتعامد�متجهين. �

يضرب�متجه�فى�عدد�حقيقى. �

� �- )اإلحداثيات� المثلث� قاعدة� باستخدام� متجهين� يجمع�طريقة�متوازى�األضالع(�-�يطرح�متجهين.

يثبت�بعض�النظريات�الهندسية�باستخدام�المتجهات. �

يحل�تطبيقات�فى�الهندسة�المستوية�على�المتجهات. �



المتجهاتVectors

الهندسة 3التحليلية

الوحدة

-

المتجهة،� والكميات� القياسية،� �الكميات� الدرس�)3 - 1(:�والقطعة�المستقيمة�الموجهة.

المتجهات�. الدرس�)3 - 2(:�

العمليات�على�المتجهات�. الدرس�)3 - 3(:�

تطبيقات�على�المتجهات. الدرس�)3 - 4(:�

فقد� التحليلية،� للهندسة� األولى� اللبنة� العرب� وضع�استخدموا�الجبر�فى�حل�بعض�المشكالت�الهندسية،�كما�استخدموا�الهندسة�فى�حل�المعادالت�الجبرية�فقدم�ثابت��هندسية�لبعض�المعادالت� بن�قرة�)835 - 900م(�حلوالا

كما�ربط�الكندى�فى�مؤلفاته�بين�الجبر�والهندسة.

من� كل� ساهم� عشر� السابع� القرن� بداية� ومع� Rene1601 - 1665م(،�ورينيه�ديكارت�(�Fermatفيرمات�الجبرية� الطرق� تبسيط� فى� 1650م(� - 1596( �Descartes

ا�إلى�أن�الهندسة�المستوية� لحل�المشكالت�الهندسية�استنادالها�بعدان،�فعبرا�عن�كل�شيء�فى�أى�شكل�هندسى�بداللة�باإلضافة� ص� س،� بالرمزين� لهما� رمزا� متغيرين� طولين�ألبس� مما� الشكل،� يتيحها� التى� الثابتة� الكميات� بعض� إلى�)اإلحداثية(� التحليلية� بالهندسة� عرف� ا� جديدا ثوباا� الهندسة�والتى�وظفت�الستنباط�النظريات�والحقائق�وبرهنة�صحتها�على� المساعدة� العوامل� من� كانت� كما� جبرى،� بإسلوب� Newton نيوتن� بواسطة� والتكامل� التفاضل� علمى� ظهور�1716م(،� - 1646( �Leibinz وليبنيز� 1727م(� - 1642(وابتكار�جبس��Gibbs)1839 - 1903م(�لتحليل�المتجهات�

فى�ثالثة�أبعاد.




ورق - رسومية برامج - بيانات عرض جهاز - آلى حاسب

مربعات - أدوات هندسية للرسم والقياس - خيوط - أثقال -

دبابيس رسم.

مخطط تنظيمى للوحدة

زوج مرتب

تساوى متجهين

براهين نظريات

حل مشكالت

السرعة النسبية

محصلة قوى

جمع متجهين

طرح متجهين

توازى متجهين

تعامد متجهين

ضرب قسمة بعدد حقيقى

الصورة القطبيةمتجها الوحدة

األساسيينقطعة مستقيمة

موجهة

قياسية

الكميات

متجهة

جبرياالمتجهات ا هندسي

تطبيقات فيزيائيةهندسية

اتزان قوى


سوف تتعلم



أدوات هندسية للرسم والقياس. �حاسب آىل. �برامج رسومية. �جهاز عرض بيانات. �

� Scalar quantity كمية قياسية متجه )كمية متجهة( �

Vector quantity � Distance مسافة � Displacement إزاحة � Direction اجتاه

تصنيف ومتيز الكميات القياسية �والكميات املتجهة.

مفهوم القطعة املستقيمة املوجهة �واجتاهها ومعيارها.

التعرف عىل القطع املستقيمة �املوجهة املتكافئة.

إنشاء قطعة مستقيمة موجهة �مكافئة لقطعة مستقيمة موجهة

أخرى ىف املستوى اإلحداثى.التعبري عن قطعة مستقيمة �

موجهة بداللة طرفيها ىف املستوى اإلحداثى.

3

مقدمة

هناك كميات ال يحتاج وصفها إال إلى معرفة العدد الذى يعبر عن قيمتها مثل الطول

أنه توجد كميات ....... غير السكان والمساحة والحجم والكتلة والكثافة وعدد

سرعة فمعرفة قيمتها، على يدل الذى العدد ذكر مجرد لوصفها يكفى ال أخرى

فحركة أيضا. الرياح اتجاه تحديد يجب بل الطيران لحركة كافيا ليس الرياح

إذا تقاس مقدارا واتجاها، والقوة المؤثرة على جسم يختلف تأثيرها عليه الرياح

ليس بمقدارها فحسب، بل باتجاهها أيضا. وهكذا نجد أننا أمام نوعين من الكميات.

Scalar quantities الكميات القياسية هى كميات تتحدد تماما بمعرفة مقدارها فقط مثل الطول والمساحة ...

Vector quantities الكميات المتجهة هى كميات تتحدد تماما بمعرفة مقدارها واتجاهها مثل السرعة والقوة ...

ناقشو فكر

إذا تحرك جسم من النقطة C مسافة 3 أمتار شرقا ثم غير

اتجاهه وسار 4 أمتار شماال وتوقف عند النقطة جـ.

كم المسافة التى قطعها الجسم أثناء حركته؟ ×

كم يكون بعد الجسم عن النقطة C وهى النقطة التى ×

بدأ منها الحركة؟

الحظ أن× .C ب + ب جـ أو جـ ب + ب C هى كمية قياسية وهى ناتج Distance المسافة

اإلزاحة Displacement وهى المسافة بين نقطتى البداية والنهاية فقط وفى اتجاه ×واحد من C إلى جـ، أى أن لوصف اإلزاحة يلزم تحديد مقدارها C جـ واتجاهها

من C إلى جـ

فاإلزاحة إذا كمية متجهة وهى المسافة المقطوعة فى اتجاه معين.

جـ

Cب

متر 4

3 متر

شمال

جنوب

غربشرق

الكميات القياسية والكميات المتجهة، والقطعة المستقيمة الموجهة

Scalars, Vectors and Directed Line Segment


الكميات القياسية والكميات المتجهةا والقطعة المستقيمة الموجهة


فى الشكل المقابل: احسب المسافة واإلزاحة الحادثة

عندما يتحرك جسم من النقطة C إلى النقطة جـ ثم يعود

إلى النقطة ب.

Direction االتجاه كل شعاع فى المستوى يعين اتجاها، ففى الشكل المقابل: -1

و س/ يحدد اتجاه الغرب، و س يحدد اتجاه الشرق،

و ص يحدد اتجاه الشمال، و ص/ يحدد اتجاه الجنوب.

ما االتجاهات التى يحددها كل من:

؟ E و ، و جـ، و ب ، C و

C ب فإن: جـ E، هـ ∋ // C ب إذا كان -2ب هـ لهما نفس االتجاه ويحملهما مستقيم واحد. × ، C هـ

، Eجـ لهما نفس االتجاه ويحملهما مستقيمان متوازيان. × C هـ

هـ ب فى اتجاهين متضادين ويحملهما مستقيم واحد. × ، C هـ

جـ E فى اتجاهين متضادين ويحملهما مستقيمان متوازيان. × ، C هـ

وبصفة عامة فإن:الشعاعان المتحدان فى االتجاه أو المتضادان فى االتجاه يحملهما مستقيم واحد أو مستقيمان متوازيان، ×

والعكس صحيح.

الشعاعان المختلفان فى االتجاه ال يمكن أن يحملهما مستقيم واحد أو مستقيمان متوازيان. ×


، س ص جـ E متوازيان وكل منهما ال يوازى ، C ب فى الشكل المقابل:

. س ص جـ E، ع ∋ ، و ∋ C ب هـ ∋

أو االتجاه فى متحدين يأتى مما كل فى الشعاعان كان إذا ما بين

متضادين فى االتجاه أو مختلفى االتجاه.

هـ ب ، E جـ ج س ص ، C ب ب E و ، C ب أ

ع ص ، ع س و ع س ، جـ و ه ع س ، ع ص د

Cبجـ

6 سم4 سم

c30c45

c60

c25

س/س

ص

ص/

Cب

جـ

و

E

C

ب

جـ

Eهـ

Cس

صب

جـ

عو

E

هـ


The Directed Line Segment القطعة المستقيمة الموجهة هاتين إحدى حددنا إذا C ب أو C ب طرفا هما ب ،C النقطتان

النقطتين لتكون نقطة بداية للقطعة، واألخرى لتكون نقطة نهاية

لها، فإنه يترتب على ذلك أن يصبح للقطعة المستقيمة اتجاه هو

بدايته هى نقطة القطعة وتكون الذى يحمل هذه الشعاع اتجاه

نفس نقطة البداية للقطعة.

هى ب والنقطة C ب بداية نقطة لتكون C النقطة حددنا فإذا

موجهة مستقيمة قطعة بأنها القطعة هذه نصف فإننا نهايتها،

. C ب من C إلى ب ويرمز لها بالرمز

ناقشو فكر

؟ فسر إجابتك. × C ب C ب / ؟ هل C ب C ب / هل

ب C مختلفان أم متضادان فى االتجاه ؟ ولماذا؟ × ، C ب هل

تعريفالقطعة المستقيمة الموجهة: هى قطعة مستقيمة لها نقطة بداية، و نقطة نهاية، و اتجاه.1


C، ب، جـ ثالث نقط فى المستوى. اكتب كل القطع المستقيمة الموجهة التى تعينها هذه النقط. 3

تعريف2.|| C ب C ب ويرمز له بالرمز || C ب هو طول معيار القطعة المستقيمة الموجهة: معيار

|| = C ب C ب || = || C ب الحظ أن ||

تعريفتكافؤ قطعتين مستقيمتين موجهتين: تتكافأ القطعتان المستقيمتان الموجهتان إذا كان 3

لهما نفس المعيار ونفس االتجاه.

C

C

ب

نقطة بالبداية

نقطة النهاية

C ب


الكميات القياسية والكميات المتجهةا والقطعة المستقيمة الموجهة

مـثـال

فى الشكل المقابل: C ب جـ E مستطيل تقاطع قطراه

E C فيكون: فى م . هـ ∋

E C ويساويه، جـ E ويساويه ، ب جـ // // C ب

E م جـ = م ب = م = C م

C ب تكافئ E جـ ` ـ C ب هو نفس اتجاه E ج || = ||E جـ|| واتجاه C ب || a أ

م جـ C م تكافئ ` ـ م ج C م هو نفس اتجاه || واتجاه م جـ || = || C م || a ب

م ب م C ال تكافئ ` م ب م C مختلف عن اتجاه || واتجاه م ب || = || C م || a ج

C هـ ال تكافئ ب جـ ` ـ C هـ هو نفس اتجاه ب ج || ! ||ب جـ|| واتجاه C هـ || a د


C ب جـ E متوازى أضالع تقاطع قطراه فى م.

: اذكر القطع المستقيمة الموجهة )إن وجدت( والتى تكافئ: أوالا

E م ه C م د ب جـ ج E ب جـ C ب أ

ثانياا: بين لماذا تكون القطع المستقيمة الموجهة التالية غير متكافئة:

E م ، ب م ج ـ ، E ج C ب ب C جـ ، C م أ

تفكير منطقى:C ب تكافئ جـ E ماذا تستنتج؟ إذا كان -1

؟ C ب ما عدد القطع المستقيمة الموجهة التى يمكن رسمها فى المستوى وكل منها تكافئ -2

؟ C ب من نقطة جـ فى المستوى كم قطعة مستقيمة موجهة يمكن رسمها وتكافئ -3

الحظ أنه:. C ب توجد قطعة مستقيمة موجهة وحيدة يمكن رسمها من النقطة جـ )جـ E مثال( بحيث تكون جـ E تكافئ

مـثـال

القطع المستقيمة الموجهة فى المستوى اإلحداثى المتعامد:

E ل ، جـ هـ فى مستوى إحداثى متعامد عين النقط C)-2، 1(، ب)2، 3(، جـ)3- ،1(، E)-1، 4( ثم ارسم

C ب . أوجد إحداثيى كل من هـ، ل. كل منهما تكافئ

C

جـب

E هـ

م


الحل

C ب لهما ، C ب يجب أن تكون جـ هـ لرسم جـ هـ تكافئ

نفس االتجاه، ونفس المعيار.

. C ب || = طول C ب جـ هـ|| = || || ، C ب // جـ هـ أى أن:

× )12 C ب = ميل جـ هـ = C ب )ميل // نرسم جـ هـ

الفرجار، × باستخدام C ب طول = جـ هـ طول نحدد

أو بحساب عدد المربعات األفقية والرأسية، فنجد أن

E ل فنجد أن: ل )3، 6( هـ )5، -1(. بالمثل نرسم

الحظ أن: حيث إن االنتقال يحافظ على توازى المستقيمات، وأطوال القطع المستقيمة وباعتبار النقطة جـ صورة النقطة C باالنتقال )1 - )-2(، -3 - 1( = )3، -4(

C ب باالنتقال )3، -4( C ب نجد أن جـ هـ هى صورة ` لرسم جـ هـ تكافئ

ويكون إحداثى هـ = )2 + 3، 3 + )-4(( = )5، -1(

C ب باستخدام االنتقال: عين إحداثيى النقطة S التى تجعل و S تكافئ


، E ل ، جـ هـ فى مستوى إحداثى متعامد عين النقط C)2، 3(، ب)-2، 6(، جـ )3- ،5(، E)2، 5( ثم ارسم

.S ، وأوجد إحداثيى كل من هـ ، ل ، C ب و S كل منها تكافئ


فى الشكل المقابل: C ب جـ مثلث فيه C ب = C جـجـ C على الترتيب ، ب جـ، C ب س، ص، ع منصفات

أوالا: أى العبارات التالية صحيحة؟

. ع س ب ص تكافئ ج . ع ص س ص تكافئ ب .|| ع ص || = || س ص || أ

ثانياا: اكتب القطع المستقيمة الموجهة )إن وجدت( والتى تكافئ كالا من:س ع ج C ع ب ب س أ

ع ص و س ص ه جـ ص د

ب

2

2

1

1

3-

3-

2-

2-1-

1-

4

4

3

3

65

5س

ص

س/

ص/

C

ل

جـ

و

E

هـ

)4 ،1-(

)1 ،2-(

)3- ،1(

)3 ،2(

C

س

ص جـب

ع


سوف تتعلم


3

� Vector متجه )كمية متجهة( � Position Vector متجه موضع � Orderd Pair زوج مرتب � Absolute Value قيمة مطلقة � Norm معيار متجه � Equivalent Vectors متجهات متكافئة � Addition of vector مجع املتجهات � Multiplication رضب � Polar Form صورة قطبية � Unit Vector متجه وحدة � Magnitude مقدار

إجياد متجه املوضع لنقطة معلومة �بالنسبة لنقطة األصل ىف مستوى

إحداثى متعامد.وضع متجه ىف الصورة القطبية. �إجياد معيار متجه والتعرف عىل �

املتجه الصفرى.مفهوم تكافؤ متجهني وحل متارين �

عليه.مجع متجهني جربيا �رضب متجه ىف عدد حقيقى. �التعبري عن متجه بداللة متجهى �

الوحدة االساسيني.رشط توازى متجهني. �رشط تعامد متجهني. �رضب متجه ىف عدد حقيقى �

والتمثيل اهلندسى له.

المتجهاتVectors

مقدمةيمكن تعيين موضع النقطة C فى المستوى

الزوج بمعرفة المتعامد اإلحداثى

حيث لها، المناظر ص( )س، المرتب

اإلحداثى المستوى فى نقطة لكل إن

موضع وحيد بالنسبة لنقطة األصل و.

Position Vector متجه�المو�صع�لنقطة�معلومة�بالن�صبة�لنقطة�الأ�صل:�

تعريفالقطعة 4 هو األصل: لنقطة بالنسبة معلومة لنقطة الموضع متجه

المستقيمة الموجهة التى بدايتها نقطة األصل ونهايتها النقطة المعلومة.

مـثـال

،)3 ،5( C :فى الشكل المقابل

ب)4، -3(، جـ )-2، 4( فيكون:

× C لنقطة الموضع متجه هو C و

ويناظر و، األصل لنقطة بالنسبة

ويكتب .)3 ،5( المرتب الزوج

.)3 ،5( = C و

× )3- و ب = )4، لنقطة األصل، حيث بالنسبة لنقطة ب الموضع و ب متجه

كما أن و جـ = )-2، 4(

مالحظة: نظرا ألن كل متجهات الموضع لها نفس نقطة البداية )و( فإنه يمكننا ب وهكذا و ب بالرمز C ولمتجه الموضع و C بالرمز أن نرمز لمتجه الموضع

جـ = )-2، 4(. ب = )4، -3( ، ، )3 ،5( = C وبذلك يكون:

معيار المتجه: هو طول القطعة المستقيمة الممثلة للمتجه.S = )س، ص( فإذا كان:

س2 + ص2 = || S فإن: ||

سس

ص

و

ص

س/ ص/

C )س، ص(

)3 ،5( C

جـ )-2، 4(

ب )4، -3(

سو

ص

ص/

س/


حاول أن تحلفى المستوى اإلحداثى المتعامد إذا كانت C)2، -1(، ب)5، 0(، جـ)-2، -3( فأوجد متجه الموضع لكل منها

بالنسبة لنقطة األصل و، وارسم القطعة المستقيمة الموجهة الممثلة له فى المستوى اإلحداثى.

ناقشو فكر

واتجاهها 4سم معيارها ، C و موجهة مستقيمة قطعة المقابل الشكل يبين يصنع زاوية قياسها c60 مع االتجاه الموجب لمحور السينات.

كيف يمكن إيجاد متجه الموضع لنقطة C بالنسبة لنقطة األصل و فى مستوى

إحداثى متعامد؟

Polar form of position Vector ال�صورة�القطبية�لمتجه�المو�صع

و C يصنع زاوية قياسها i مع االتجاه الموجب فى الشكل المقابل المتجه

||. فيمكن التعبير عنه كما يلي: C و لمحور السينات كما أن معياره يساوى ||

وتعرف بالصورة القطبية للمتجه. )i ،|| C و ||( = C و

ويكون إحداثيا النقطة C فى المستوى اإلحداثى المتعامد هما:صس = i ويكون ظا iجا || C و || جتاi ، ص = || C و س = ||

مـثـال

بالنسبة C النقطة لمتجه موضع القطبية الصورة أوجد .) 3 6 ،6(C إذا كانت متعامد إحداثى فى مستوى

لنقطة األصل و.

الحل

12 = 2) 3 6( + 2)6( = C و || = طول C و || ` ) 3 6 ،6( = C و a

[ r2 ، 0] ∈ i 3 = 3 66 =

صس = i ظا ،

) r3 ،12( = C و ` c60 = _ 3 i 1-ظا = i `


. C و ، 8( أوجد الصورة القطبية للمتجه 3 8( = C و إذا كان أ

r3( متجه موضع لنقطة جـ بالنسبة لنقطة األصل و، فأوجد احداثيي نقطة جـ4 ، 2 إذا كان و جـ = )12 ب

فكر: ما متجه الموضع لنقطة األصل و)0، 0( فى مستوى إحداثى متعامد؟0 و = )0، 0( بالمتجه الصفرى المتجه الصفرى: يعرف

|| = 0، والمتجه الصفرى غير معين االتجاه. 0 || = || و ويكون ||

c60

C

وس

i

)س، ص( C

وس

i جا || C و ||

i جتا || C و ||

ص

وس

C

||C و

||

)8 ،6(

i


المتجهات

Eequivalent Vectors المتجهات�المتكافئة

لنفرض أن جسما تحرك من C حتى وصل إلى ب بعد أن قطع

C ب تمثل إلى أعلى. فإن اليمين، 3 وحدات إلى 4 وحدات

متجه إزاحة الجسم من C إلى ب.

بعدد المتعامد اإلحداثى المستوى فى C ب تمثيل يمكننا

والتى المتوازية الموجهة المستقيمة القطع من منته غير

. و ن ، ويكون إحداها متجه الموضع C ب يكافئ كل منها

و ن = )4، 3( C ب = E هـ = ....... = أى إن:

)4(2 + )3(2 = 5 وحدات طول. = || و ن || = ...... = || E هـ || = || C ب ويكون: ||


فى الشكل المقابل: 3

نقطة إلى بالنسبة جـ للنقطة الموضع متجه أ عين

األصل و، ثم أوجد معياره.

ب حدد جميع عناصر مجموعة المتجهات التى يكافئ

. كل منها و جـ

األزواج مجموعة بعناصر المتجهات ارتباط الحظت لعلك

يمكن ذلك وعلى ح2 ∈ ص( )س، حيث ص( )س، المرتبة

تعريف المتجهات كما يلى:

تعريفالمتجهات: عناصر المجموعة ح2 مع عمليتى الجمع والضرب المعرفتين عليها تسمى 5

متجهات.

S ........... مثل: ، X ، ن ، مـ يرمز للمتجهات بأحد الرموز

ن = )-2 ،7( ، X = )0، 5( ........... وهكذا مـ = )2، 3( ،

Adding two Vectors Algebraically جمع مجهين جبريا( ∋ ح2

2، ص

2ب = )س ( ∋ ح2 ،

1، ص

1C = )س لكل

( ∋ ح2يكون:2 + ص

1، ص

2 + س

1ب = )س + C

)5 ،8( = )7 + 2- ،5 + 3( = )7 ،5( + )2- ،3( : فمثلا

س

ص

ص/

س/2

2

1

1

1-2- 3

3

4

4

5

5

6

678

7

)4، 3(ن

و

ب

جـE

C

هـ

ص/

س/ س

سن

ع

ب

ك

ق

ل

مهـ

و

جـ

E

C

ف إلى أض

معلوماتك

نرمز لحاصل الضرب الديكارتى ح * ح

بالرمز ح2وتقرأ: ح اثنان


ولعملية�الجمع�الخوا�ص�التالية:

ب ∋ ح2خا�صية�النغالق + C ب ∋ ح2 يكون ، C لكل Cخا�صية�الإبدال ب + ب = + C ب ∋ ح2 يكون ، C لكل

جـخا�صية�التجميع�اأو�الدمج ب + + C جـ = + ) ب + C ( = ) جـ ب + ( + C جـ ∋ ح2 يكون ، ب ، C لكل Cخا�صية�وجود�العن�صر�المحايد و + = C و = + C و = )0، 0( ∋ ح2 حيث: C ∋ ح2 يوجد لكل

خا�صية�توافر�المعكو�صاتC = )-س، -ص( ∋ ح2 C )س، ص( ∋ ح2 يوجد - لكل

C + ) C و = )- = ) C -( + C حيث: جـخا�صية�الحذف ب = فإن جـ + C ب = + C جـ ∋ ح2 إذا كان ، ب ، C لكل

Multiplying a vectore by a real number ضرب متجه فى عدد حقيقى C = ك )س، ص( = )ك س، ك ص( ∋ ح2 ك C = )س، ص( ∋ ح2 ، ولكل ك ∋ ح : لكل

)8 ،6-( = )4- ،3(2- ، )0 ، 0( = )0 ، 0(4 ، )92 ،2( = )9 ،4(1

2 ، )15- ،6( = )5- ،2(3 : فمثلا

ولعملية�ال�صرب�الخوا�ص�التالية:

خا�صية�التوزيعب C + ك ( = ك ب + C ب ∋ ح2، لكل ك ∋ ح يكون: ك) ، C : لكل أوالا

C 2C + ك

1C = ك )

2 + ك

1 ∋ ح يكون: )ك

2، ك

1C ∋ ح2 ، لكل ك ثانياا: لكل

(خا�صية�التجميع�اأو�الدمج C 2)ك

1C = ك )

2 ك


2، ك

1C ∋ ح2 ، لكل ك لكل

خا�صية�الحذفب ∋ ح2 ، لكل ك ∋ ح٭ ، C لكل

ب والعكس صحيح = C C = ك ب فإن: إذا كان ك

)2، ص

2ن = )س ( يكافئ

1 ، ص

1مـ = )س الحظ أن : إذا كان

)خاصية تساوى األزواج المرتبة(.2 = ص

1، ص

2 = س

1 فإن: س

متساويان. ن مـ ، ونقول عندئذ أن المتجهين

مـثـال

ب = )4، 3( ، )2- ،6( = C إذا كان 3

ب ، C جـ = )11، 5( بداللة عبر عن ب 3ب - C2 أوجد أ

الحل

3ب = 2 )6، -2( - 3)4، 3( - C2 أ

)13- ،0( = )9- ،12-( + )4- ،12( =

∋ ح2، ك

1ب حيث ك

2C + ك 1

جـ = ك بفرض أن ب )3 ،4(

2 )6، -2( + ك

1 = ك

)2 + 3ك

1، -2ك

2 + 4ك

1( = )6ك

2 + 3ك

2( + )4ك

1 - 2ك

1 = )6ك


المتجهات

ومن خاصية تساوى زوجين مرتبين ينتج أن: )2( 5 =

2 + 3ك

1 = 11 )1( ، -2ك

2 + 4ك

16ك

ب 2 + C 12 جـ = ` 2 =

21 ، ك

2 = 1بحل المعادلتين )1(، )2( نجد أن: ك


جـ = )-6، 14( ب = )-2، 5(، ،)6- ،2( = C إذا كان

جـ ب - + C ، جـ 1 ، -ب ، 2 C2 أوجد: أ

. ب ، C جـ بداللة عبر عن ب

Unit Vector متجة الوحدة: هو متجه معياره الوحدة. التعبير�عن�المتجه�بدللة�متجهى�الوحدة�الأ�صا�صيين.

تعريفالمستقيمة ×6 القطعة هو : M األساسى الوحدة متجه

الوحدة ومعيارها األصل نقطة مبدؤها التى الموجهة واتجاهها هو االتجاه الموجب لمحور السينات.

المستقيمة × القطعة هو : N األساسى الوحدة متجه الوحدة ومعيارها األصل نقطة مبدؤها التى الموجهة

واتجاهها هو االتجاه الموجب لمحور الصادات.

س

ص

1

1 2 3

2

M

)0 ،1(

)0 ،1( = M

س

ص

1

1 2 3

2

N

)1 ،0( = N

)1 ،0(

مـ = )س، ص( إذا كان

من تعريف الجمع. مـ = )س، 0( + )0، ص(

من تعريف الضرب. = س )1، 0( + ص )0، 1(

N ص + M = س س2 + ص2 = || مـ ويكون: ||

مـثـال

عبر عن كل من المتجهات التالية بداللة متجهى الوحدة األساسيين:

)3ع = )0، -2 د ل = )-5، 0( ج ن = )4، -3( ب مـ = )2، 7( أ

الحل

N 3 - M ن = 4 ب N7 + M مـ = 2 أ

N 3-2 ع = د M ل = -5 ج



عبر عن كل من المتجهات التالية بداللة متجهى الوحدة األساسيين ثم أوجد معياره:

ع = )-7، 0( د ل = )-3، -6( ج )12- ،5( = ن ب مـ = )-3، 4( أ

مـثـال

أوجد بداللة متجهى الوحدة األساسيين المتجه الذى يعبر عن كل من:

السرعة المنتظمة لسيارة تقطع 90 كم كل ساعة فى اتجاه الشرق. أ قوة مقدارها 50 نيوتن تؤثر فى نقطة مادية فى اتجاه c30 شمال الشرق. ب

الحل

و ب = )س، ص(. بفرض أن متجه الموضع لسرعة السيارة أ ` س = 90 ، ص = 0

M ب = 90

بفرض أن متجه الموضع للقوة المعطاة و جـ = )س، ص( ب ، 3 25 = c30س = 50 جتا `

25 = c30 ص = 50 جا ،

N25 + M 3 جـ = 25


أوجد بداللة متجهى الوحدة األساسيين المتجه الذى يعبر عن كل من:

ازاحة جسم مسافة 60سم فى اتجاه الجنوب. أ

قوة مقدارها 30ث كجم تؤثر على جسيم فى اتجاه c60 شمال الغرب. ب

Perpendicular and Parallel Vectors توازى�متجهين�وتعامدهما

ن متجهين غير صفريين مـ ، لكل )

2 ، ص

2ن = )س ، )

1، ص

1مـ = )س حيث

ن مـ // 1- إذا كان 2ص

2س = 1

ص

1س ،

2i ظا =

1i فإن: ظا

= صفر والعكس صحيح1 ص

2 - س

2 ص

1 ويكون س

س

ص

90 كم/ سو ب

50 نيوتن

و E

س

ص

c30

جـ

ن Cمـ // س

ب

ص

ص/

س/

جـ

و

Eن

مـ1i2i


المتجهات

ن مـ = 2- إذا كان 1- =

2i ظا *

1i ظا فإن:

1- = 2ص

2س * 1

ص

1س

= 0 والعكس صحيح2 ص

1 + ص

2 س

1 ويكون س

جـ = )4، 8( ب = )-6، 3( ، ، )4 ،2( = C الحظ أن: إذا كان ألن: 2 * -6 + 4 * 3 = -12 + 12 = صفرا. ب = C فإن:

ألن: 2 * 8 - 4 * 4 = 16 - 16 = صفرا. جـ // C

ألن: - 6 * 4 + 3 * 8 = -24 + 24 = صفرا. جـ ب =

مـثـال

ب = )ك، -4( فأوجد قيمة ك عندما: ، )5 ،2( = C إذا كان

. ب = C ب . ب // C أ

الحل

ب فإن شرط التوازى هو: 2 * -4 - 5 * ك = صفرا // C عندما أ 85 ويكون: ك = - ` -8 - 5ك = صفر

ب فإن شرط التعامد هو: 2 * ك + 5 * -4 = صفرا = C ب

ويكون: ك = 10 ` 2ك - 20 = صفرا


C جـ = جـ ، ب = ب ، // C جـ = )3، 2( أثبت أن: ب = )6، -9(، ،)6 ،4-( = C إذا كان

مـ = )س، ص(، ك ∋ح الحظ أن إذا كان مـ = ك )س، ص( = )ك س، ك ص( فإن: ك

مـ مـ // ك مـ متجه غير صفرى، ك !0 فإن: وإذا كان

|| مـ || =|ك| 0 || مـ ويكون: ||ك

مـ لكل ك < 0 مـ هو نفس اتجاه حيث اتجاه ك

مـ لكل ك > 0 مـ هو عكس اتجاه اتجاه ك

ن مـ =

Cس

ب

ص

ص/

س/

جـ

و

E

ن

مـ2i1i


: فمثلامـ = 2)2، 1( = )4، 2( 2 = C مـ = )2، 1( فإن: إذا كان مـ = 3)2، 1( = )6، 3( ب = 3

مـ = -)2، 1( = )-2، -1( جـ = -

)32 - ،3-( = )1 ،2( 3

مـ = -2 32 - = E

والشكل المقابل يوضح ذلك.


الشبكة المقابلة لمتوازيات أضالع متطابقة.

أوالا: عبر عن كل من القطع المستقيمة الموجهة التالية بداللة ن مـ ، المتجهين

جـ هـ ج جـ ب ب C ب أ

ط هـ و C ب ه ب جـ د

C ل ط E هـ ح E ل ز

ب C وفسر ذلك هندسياا. C ب = - ثانياا: استنتج أن


يبين الشكل التالى تمثيال لبعض المتجهات فى المستوى اإلحداثى المتعامد.

اكتب كل متجه بداللة متجهى الوحدة األساسيين.

و

2

4 8 12 16 20

4

6

8

س

ص

س/ ص/

هـ

ل

جـ

ك

ب

M

NC

E

S

س/ س

مـ ب = 3

مـ 2 = C

مـ جـ = -

مـ3

2 - = E

ص

ص/

ومـ

هـ

ل

ط

مـن

C ب

جـ

E


سوف تتعلم



3

أدوات رسم هندسى. �ورق مربعات للرسم. �

� Addition of vectors مجع املتجهات طرح املتجهات �

Subtraction of vectors قاعدة املثلث �

Triangle Rule قاعدة متوازى األضالع �

Parallelogram Rule

مجع املتجهات والتمثيل اهلندسى �هلا.قاعدة املثلث جلمع متجهني . �قاعدة متوازى األضالع جلمع �

متجهني.طرح املتجهات والتمثيل البيانى �

هلا.التعبري عن قطعة مستقيمة موجهة �

بداللة متجهى املوضع لطرفيها.

العمليات على المتجهاتOperations on Vectors

Adding vectors geomitricaly أوال: جمع المتجهات هندسيا

ناقشو فكر

ب جـ مـ ، C ب تمثل المتجه إذا كانت

ن حيث: تمثل المتجه

ن = )1، 5( مـ = )4، -2( ،

. ن مـ + اكتب ما يساويه

C جـ . اكتب المتجه الذى تمثله

ماذا تالحظ؟ ماذا تستنتج؟

Triangle Rule of Adding two vectors� قاعدة�المثلث�لجمع�متجهين��

ن تمثل المتجه ب جـ مـ ، C ب تمثل المتجه إذا كان مـ و هى للمتجه النهاية نقطة النقطة ب حيث

. ن نفسها نقطة البداية للمتجه

المستقيمة القطعة تمثله ن + مـ فإن: المتجه C جـ الموجهة

أى C جـ ن = مـ + C جـأى إن: ب جـ = C ب +

وتعرف هذه العالقة بعالقة شال

مـثـال

تقطع سفينة 300 متر شرقا، ثم 400 متر شماال للخروج من الميناء.

احسب إزاحة السفينة حتى خروجها من الميناء.

الحل

1- نأخذ مقياس رسم مناسب: باعتبار كل 1 سم تمثل 100 متر.

` 3سم تمثل 300 متر، 4 سم تمثل 400 متر.

فيكون الهندسية، أدواتك مستخدما الرسم بمقياس الرحلة مسار 2- ارسم . ب جـ C ب + = C جـ متجه اإلزاحة

س

جـ

C

ب

ص

ص/و

ن

مـس/

C ب

جـ

ن مـ +

ن

مـ


C جـ بالمسطرة ) C جـ = 5سم( 3- قس طول

4- معيار اإلزاحة = الطول فى الرسم * مقياس الرسم

= 5 * 100 = 500 متر.

c53 - )4 ألقرب درجة.5- اتجاه اإلزاحة : i = طا-1 )3

` السفينة تبعد عن نقطة إبحارها مسافة 500 متر فى اتجاه c53 شمال الشرق.

حاول أن تحل تحركت شاحنة من الموقع C مسافة 80 كم فى اتجاه الغرب ثم مسافة 120 كم فى اتجاه c60 شمال الغرب.

. C ب إلى أن وصلت إلى الموقع ب. أوجد مقدار واتجاه اإلزاحة

مالحظات هامة:

بإنشاء 1- )إيجاد محصلتهما( ن يمكن جمعهما ، مـ أى متجهين

الشكل فى كما ن ، مـ للمتجهين ومكافئين متتالين متجهين

المقابل.

ن

ن

مـ

مـ

ن مـ +

جـ 2- ب، ،C النقط كانت إذا صحيحة متجهين لجمع شال قاعدة

تنتمى إلى مستقيم واحد.

C جـ ب جـ = C ب + ففى األشكال الثالثة المقابلة يكون

C

C

C

ب

ب

ب

جـ

جـجـ

0 )العنصر المحايد لعملية جمع المتجهات(3- = C C = C ب C ب +

C ب هو المعكوس الجمعى للمتجه C ب `

C ب - = C ب أى إن

C ب

فكر: استنتج صحة العبارات التالية:0 = C جـ ب جـ + C ب + 1- فى C 9 ب جـ :

C هـ E هـ = + E جـ ب جـ + C ب + 2- فى الشكل C ب جـ E هـ :

Cالشرق

حةإلزا

ا

ب

النهايةجـ

البداية

i

C ب

جـ

C ب

جـ

E

هـ


العمليات على المتجهات

Parallelorgram Rule of Adding two vectors قاعدة�متوازى�الأ�صالع�لجمع�متجهين�

، أى إن للمتجهات ن E C تمثل المتجه ، مـ C ب تمثل المتجه إذا كان

ن نكمل متوازى األضالع + مـ ن نفس نقطة البداية، فإليجاد ، مـ

. )لماذا؟( ب جـ E C تكافئ C جـ فتكون C ب جـ E ونرسم قطره

E C C ب + ن = مـ + `

C جـ أى أن: ب جـ = C ب + = C جـ = E C C ب +

وتعرف هذه القاعدة بقاعدة متوازى األضالع لجمع متجهين.

فكر استنتج صحة العبارات التالية:مـ + ن ن = + مـ -1

E ب 2- فىC 9 ب E إذا كانت هـ منتصف C هـ 2 = E C C ب + فإن:

مـثـال

E ب C جـ + Eجـ = C ب + فى أى شكل رباعى C ب جـ E أثبت أن:

الحل

)1( جـ ب C جـ + C ب = فى C 9 ب جـ :

)2( ب جـ E ب + Eجـ = فى E 9 جـ ب :

من )1( ، )2( ينتج أن:

ب جـ E ب + جـ ب + C جـ + Eجـ = C ب +

)خاصية اإلبدال(. ب جـ جـ ب + E ب + C جـ + =

)خاصية الدمج(. ) ب جـ جـ ب + ( + ) E ب C جـ + ( =

)المعكوس الجمعى(. 0 E ب + C جـ + =

)خاصية المحايد الجمعى(. E ب C جـ + =


E C أثبت أن : ب جـ = 3 C ب جـ E شكل رباعى فيه

. E C 4 = Eجـ + ب C ب C ب جـ E شبه منحرف. أ

مـثـال

C ب جـ د متوازى أضالع تقاطع قطراه فى م. ن نقطة فى نفس المستوى. أثبت أن: 3

Eن ن ب + ن جـ = + Cن ب 0 = جـ م 2+ E C C ب + أ

C ب

Eجـ

ن مـ +

مـ

ن

C ب

Eجـ

هـ

C ب

جـ

E


الحل

)1( قاعدة متوازى األضلع. C جـ = E C C ب + a أ

.)C 2( )جـ م = م( C جـ جـ م = 2

بجمع )1( ، )2( ينتج أن

C جـ C جـ + جـ م = 2 + E C C ب +

0 جـ م = 2 + E C C ب + ` 0 = C جـ C جـ + a

ن م ارسم ب

.)3( ن م ن جـ = 2 + C ن ` C جـ فى 9 ن C جـ: a م منتصف

.)4( ن م 2 = E ن + ن ب ` E ب فى 9 ن ب a :E م منتصف

. E ن ن ب + ن جـ = + C ن من )3( ، )4( ينتج أن:


C هـ Eجـ = 2 + E C C ب + C ب جـ E متوازى أضالع فيه هـ منتصف ب جـ أثبت أن: 3

Subtracting Vectors geometricaly ثانيا: طرح المتجهات هندسيافى C 9 ب جـ بالشكل المقابل:

)تعريف الطرح(. ) C جـ C ب + )- C جـ = C ب -

)المعكوس الجمعى(. Cجـ C ب + =

)اإلبدال(. C ب + Cجـ =

)قاعدة المثلث(. جـ ب =

جـ بأى إن C جـ = C ب -

ن C جـ تمثل المتجه ، مـ C ب تمثل المتجه فإذا كانت مـ ن - ب جـ تمثل ن كما أن مـ - جـ ب تمثل فإن:

�بدللة�متجهى�المو�صع�لطرفيها: �Cب التعبير�عن�القطعة�الم�صتقيمة�الموجهة�

.)2، ص

2( ، ب )س

1، ص

1إذا كانت C )س

)من قاعدة الطرح(. C و - و ب = C ب فإن: و C متجهى موضع للنقطتين ب ، C على الترتيب. و ب ، حيث

`C ب - C ب =

)6 ،5-( = )1- ،7( - )5 ،2( = C ب - C ب = فمثال: إذا كانت C )7، -1( ، ب )2، 5( فإن:

C

ن

جـب

E

م

C ب

جـ

ن

مـ

نمـ -

C

س

بص

ص/

س/و


العمليات على المتجهات

مـثـال

.E 2، -1( ، ب )7، 1( ، جـ )4، 4( أوجد إحداثيى نقطة (C متوازى أضالع حيث E ب جـ C

الحل

ب جـ = E C ` ، E C = ب جـ د

ب جـ // E C a

ب جـ - + C = E ` ب جـ - = C - E ويكون

` إحداثيا نقطة E هما )-1، 2( )2 ،1-( = )1 ،7 ( - )4 ،4( + )1- ،2( = E أى إن


.)2 ،0( E ،)4 ،8(جـ ،)1، -2(، ب )9، 0-(C شكل رباعى فيه E ب جـ C

. ب جـ C ب = ب . E جـ C ب = أ أثبت أن:

مـثـال

. C جـ ن = ب C أثبت أن جـ ب + 5 C ب = 3 ن - 2 إذا كان: 3

الحل

C ب للطرفين(. )إضافة 2 C ب 2 + C ب جـ ب + 5 ن = 3 3

)المعكوس الجمعى للمتجهات(. Cب 2 - C ب جـ ب + 5 ن = 3 3

)عملية الطرح(. C ب جـ ب + 3 ن = 3 3

. C جـ ن = ` C جـ 3 = ) C ب جـ ب + ن = 3 ) 3


. C جـ مـ = ب C أثبت أن جـ ب - مـ + C 3 ب = 2 إذا كان: 2


فى الشكل المقابل: C ب جـ E سداسى منتظم، أثبت أن:. E C C و = 2 C جـ + C هـ + C ب +

C ب

وجـ

Eهـ


سوف تتعلم


3

� Resultant Force قوة حمصلة. توازن القوى. �

Equilibrium of Forces � Relative Velocity رسعة نسبية.

استخدام املتجهات والعمليات �عليها ىف إثبات بعض النظريات

اهلندسية.حل تطبيقات هندسية ىف اهلندسة �

املستوية باستخدام املتجهات.حل تطبيقات فيزيائية عىل �

املتجهات إلجياد : حمصلة عدة قوى

اتزان القوىالرسعة النسبية.

تطبيقات على المتجهاتApplications on Vectos

Geometric Applications أوال: تطبيقات هندسية

ناقشو فكر

:E ب جـ C فى الشكل الرباعى

ماذا تستتنج؟ C ب = E جـ إذا كان -1E جـ؟ C ب ، ما العالقة بين E جـ 3

2 C ب = إذا كان -2

E جـ ، ك ! 0 C ب = ك الحظ أن: إذا كان: E جـ C ب // فإن:

وعلى ذلك يمكن استخدام المتجهات والعمليات عليها

فى إثبات بعض النظريات والعالقات الهندسية كمايلى:

مـثـال

باستخدام المتجهات أثبت أن: إذا تساوى وتوازى ضلعان متقابالن فى الشكل

الرباعى كان الشكل متوازى أضالع.

الحل

:E ب جـ C المعطيات: فى الشكل، C ب = Eجـ E جـ C ب //

E C ب جـ // المطلوب: C جـ ارسم البرهان:

E جـ C ب // C a ب = E جـ ،

E جـ C ب = `

)تعريف الجمع(. ب جـ C ب + C جـ = فى C 9 ب جـ :

)تعريف الجمع(. ـ Eج + E C C جـ = فى E C 9 جـ :

E جـ C ب = a

E C E C ويكون ب جـ // ب جـ = `

` الشكل C ب جـ E متوازى أضالع.

C

ب

جـE

C ب

Eجـ


تطبيقات على المتجهات

مـثـال

باستخدام المتجهات أثبت أن: القطعة المستقيمة المرسومة بين منتصفى ضلعين فى مثلث توازى الضلع الثالث.

الحل

C جـ ، هـ منتصف C ب المعطيات: فى C 9 ب جـ : E منتصف ب جـ Eهـ // المطلوب:

C ب 12 = E C C 1 ب ،

2 = E C ` C ب E a منتصف البرهان: C جـ 1

2 C هـ = C 1 جـ ، ` C هـ = 2 C جـ a هـ منتصف

)1( )تعريف الجمع(. C جـ + C ب ب جـ = فى C 9 ب جـ :

)تعريف الجمع(. C هـ + C E E هـ = فى E C 9 هـ :

)2( .) C جـ + C ب ( 12 C جـ = 1

2 + C ب 12 =

من )1(، )2( ينتج أن:

وهو المطلوب ب جـ Eهـ // ` ب جـ 12 E هـ =

1 طول ب جـ 2 Eهـ = || فيكون طول ب جـ || 1

2 = || E هـ الحظ أن ||


الترتيب. C E على ، E جـ ، ب جـ ، C ب منتصفات األضالع رباعى. س ص ع ل E شكل C ب جـ

باستخدام المتجهات أثبت أن:

ب محيط الشكل C ب جـ E يساوى مجموع طولى قطريه. الشكل س ص ع ل متوازى أضالع. أ

مـثـال

باستخدام المتجهات أثبت أن: قطرى متوازى األضالع ينصف كل منهما اآلخر. 3

الحل

E م ب م = ` E ب العمل والبرهان: نفرض أن م نقطة تنصيف م جـ فيكون: C م ، ارسم المتجهين

)تعريف الجمع(. ب م C ب + C م = فى C 9 ب م:

)تعريف الجمع(. ـ Eج + E م م جـ = فى 9 جـ E م:

)من متوازى األضلع(. ـ C ب =E ج م E عملا ، ب م = a

م جـ C م = `

م جـ لهما نفس االتجاه وتشتركان فى نقطة م. C م ، وحيث إن

`كل منهما يقع على نفس المستقيم، أى أن C ، م ، جـ على استقامة واحدة

ب E عمال. ، م منتصف C جـ ` م منتصف || م جـ || = || C م || a

ب E ينصف كل منهما اآلخر )وهو المطلوب(. ، C جـ ` القطران

C

جـب

Eهـ

C

جـب

E

م



ب جـ ، // E C فى الشكل المقابل: Cب جـ Eشبه منحرف،

ن C ب = 1 ب جـ ، 2 = E C

ن عن كل من: ، W عبر بداللة أ

E ب ، E جـ، C جـ ، ب جـ

C 1 جـ، أثبت أن النقط E، س، ب تقع على استقامة واحدة.C جـ حيث C س = 3 إذا كانت س∋ ب

مـثـال

باستخدام المتجهات أثبت أن النقط C )1، 4(، ب)-1، -2(، جـ)2، -3( هى رؤوس مثلث قائم الزاوية فى ب.

الحل

فى المثلث C ب جـ:

جـ ب - جـ ب = ، C ب - C ب =

)1 ،3-( = )3- ،2( - )2- ،1-( = )6- ،2-( = )4 ،1( - )2- ،1-( =

c90 = )بc(X ، جـ ب C ب = ` a )-2( * )-3( + )-6( * 1 = صفر

` المثلث C ب جـ قائم الزاوية فى ب.


باستخدام المتجهات أثبت أن النقط C )3، 4(، ب)1، -1(، جـ)-3- ،4(، E)2، 2( هى رؤوس معين 3


C ب جـ E مربع، إذا كانت C )8، 2(، ب)3، -1(، جـ)0، 4( فأوجد باستخدام المتجهات إحداثيى نقطة E ومساحة

سطح المربع.

Physical Applications ثانيا: تطبيقات فيزيائية

نشاط )1(

خشبى مكعب على الشرق باتجاه نيوتن 6 مقدارها قوة أثرت إذا -1موجهة مستقيمة بقطعة الرسم على نيوتن 3 كل تمثل أن واخترنا

إذا القوة؟ هذه يمثل الذى المتجه طول ما واحدا، سنتيمترا طولها

المكعب. ما الشرق على باتجاه نيوتن أثرت قوة إضافية مقدارها 3

مقدار القوة المؤثرة على الجسم عندئذ؟

وما طول القطعة المستقيمة الموجهة التى تمثل هذه القوة على الرسم؟

C

س

جـب

E

ن

مـ

ق1 = 6 نيوتن

ق = ..... نيوتن

ق1 = 6 نيوتن

ق2 = 3 نيوتن



عند محاولتك لتحريك كتاب على سطح نضد أفقى خشن قد تشعر -2بمقاومة سطح النضد لحركة الكتاب وهى ما تعرف بقوة االحتكاك.

إذا تحرك الكتاب على سطح النضد، فأى القوتين تكون األكبر:

القوة المؤثرة لتحريك الكتاب أم قوة االحتكاك؟

Resultant Force القوة المحصلة ق القوى بمحصلة العملية هذه ناتج ويعرف المتجهات، جمع لعملية جسم على المؤثرة القوى تخضع

... + 2ق +

1ق ق = )أو القوة المحصلة( المؤثرة على الجسم حيث

وعلى ذلك: إليجاد محصلة القوى المؤثرة على المكعب الخشبى:ى متجه وحدة فى اتجاه الشرق. اعتبر )1(

ى ى = 9 ى + 3 6 = 2ق +

1ق ق = فيكون

أى إن: ق = 9 نيوتن، وتعمل فى اتجاه الشرق.

1ق إليجاد محصلة القوى المؤثرة على الكتاب عند محاولة تحريكه بقوة )2(

ى متجه وحدة مقدارها 5 نيوتن وكان مقدار قوة االحتكاك 3 نيوتن اعتبر

فى اتجاه حركة الكتاب.

ى 5 = 1ق ` قوة الدفع:

ى كـ = - 3 قوة االحتكاك:

ى ى = 2 ى - 3 كـ = 5 + 1ق ق = ويكون

أى إن: ق = 2 نيوتن، وتعمل فى اتجاه حركة الكتاب.


ق فى كل ممايأتى: أوجد محصلة القوى المؤثرة

أ

30 ث كجم 40 ث كجم

ب

70 نيوتن 70 نيوتن

ج

50 ث كجم

100 ث كجم

15 ث كجمد

15 ث كجم30 ث كجم

قوة دفع

قوة احتكاك

ىى ق1 = 6

ى ق2 = 3

ى

ى كـ = -3

ى ق1 = 5

ف إلى أض

معلوماتك

وحدات القوةداين - نيوتن

ثقل الجرام )ث جم(ثقل الكيلو جرام )ث كجم(.


N فى نقطة 5 - M = 3ق ، N 7 + M =

2ق ، N + M 2 =

1ق إذا أثرت القوى: -3

مادية.

احسب مقدار واتجاه محصلة هذه القوى )القوى مقاسه بالنيوتن(.

الحل

3ق +

2ق +

1ق ق = a محصلة القوى

N )5 - 7 + 1( + M ق = )2 + 1 + 1( `

N 3+ M 4 =

= 5 نيوتن 2)3( + 2)4( ق || = مقدار المحصلة =||

.c37 - )3اتجاه المحصلة: i = طا-1 )4


N تؤثر فى نقطة مادية. = M5 + ب3ق ، N + M C =

2ق ، N 3 + M2 =

1ق القوى:

: ق أوجد قيمتى C، ب إذا كانت محصلة هذة القوى

. N 2 - M5 = ق أ

. 0 = ق ب

0 فكر: ما معنى أن محصلة عدة قوى متالقية فى نقطة واحدة =

نشاط )2(

Relative Velocity السرعة النسبية )C( تتحرك فى نفس اتجاه حركة السيارة )( والحظت سرعة سيارة أخرى )بC( أثناء جلوسك فى سيارة متحركة

فإنك تشعر أن سرعة السيارة )ب( أقل من سرعتها األصلية. أما إذا تحركت السيارة )ب( فى عكس اتجاه حركة

السيارة )C( فإنك تشعر أن سرعة السيارة )ب( أكبر من سرعتها األصلية.

، هى السرعة التى يبدو C ب

ع الحظ أن: السرعة النسبية لجسم )ب( بالنسبة إلى جسم آخر )C( ويرمز لها بالرمز الجسم )ب( متحركا بها إذا اعتبر الجسم )C( فى حالة سكون.

سرعة السيارة ب الفعلية.ب

ع سرعة السيارة C الفعلية،C ع فإذا كان:

فإن:C ع -

ب ع =

C بع

؟ C ب

ع فكر ماذ تعنى

وس

ص

M

N

X

i



مـثـال

تتحرك سيارة )C( على طريقة مستقيم بسرعة 70 كم /س وتتحرك السيارة )ب( على نفس الطريق بسرعة

90كم/س. أوجد سرعة السيارة )C( بالنسبة إلى السيارة )ب( عندما:

تتحرك السيارتان فى اتجاه واحد. أ

تتحرك السيارتان فى اتجاهين متضادين. ب

الحل

C ى متجه وحدة فى نفس اتجاه سرعة السيارة باعتبار

السيارتان تتحركان فى اتجاه واحد: أ

ى 70 = C ع

ى 90 = ب

ع

ب ع -

C ع =

ب Cع

ى ى = 20 ى - 90 70 =

أى إن راكب السيارة )ب( يشعر أن السيارة C تتحرك نحوه بسرعة 20كم/س.

السيارتان تتحركان فى اتجاهين متضادين: ب

ى 70 = C ع

ى 90 - = ب

ع

ب ع -

C ع =

ب Cع

ى 160 = ) ى ى - )- 90 70 =

أى إن راكب السيارة )ب( يشعر أن السيارة C تتحرك نحوه بسرعة 160كم/س.


تتحرك سيارة على طريق مستقيم بسرعة 90كم/س. إذا تحركت دراجة بخارية بسرعة 40كم/س على

نفس الطريق. فأوجد سرعة الدراجة البخارية بالنسبة إلى السيارة عندما يتحركان فى نفس االتجاه.

C

ى ى90 70

ب

ى

C

ى ى-90 70

ب

ى


ملخص الوحدةالكميات القياسية Scalars: هى كميات تتحدد تماما بمعرفة مقدارها فقط مثل الطول والمساحة والكثافة. ×

الكميات المتجهة Vectors: هى كميات تتحدد تماما بمعرفة مقدارها واتجاهها مثل اإلزاحة والسرعة والقوة. ×

القطعة المستقيمة الموجهة Directed Line Segment: هى قطعة مستقيمة لها نقطة بداية، نقطة نهاية، اتجاه. ×

Cب ||. × C ب ويرمز لها بالرمز || C ب هو طول معيار القطعة المستقيمة الموجهة

تتكافأ القطعتان المستقيمتان الموجهتان إذا كان لهما نفس المعيار ونفس االتجاه. ×

Position Vector: متجه الموضع لنقطة معلومة بالنسبة لنقطة األصل هو القطعة المستقيمة × متجه الموضع الموجهة التى بدايتها نقطة األصل ونهايتها النقطة المعلومة.

معيار المتجه Norm: هو طول القطعة المستقيمة الممثلة للمتجه. ×

i قياس الزاوية التى يصنعها × i( حيث ،||S ||( = S :Polar Form S الصورة القطبية لمتجه الموضع المتجه مع اتجاه ثابت.

و = )0، 0( بالمتجه الصفرى حيث: × ( Zero Vector: يعرف 0 و أو) المتجه الصفرى يرمز له بالرمز || = 0 وهو غير معين االتجاه. 0 || = || و ||

المتجهات Vectors: هى عناصر المجموعة ح2 مع عمليتى الجمع والضرب فى عدد حقيقى المعرفتين عليها. ×

C ∋ ح2. × C ∋ ح2 يوجد - و عنصر محايد - لكل خواص عملية جمع المتجهات: مغلقة - إبدالية - دامجة -

خواص ضرب متجه فى عدد حقيقى ×ب C + ك ( = ك ب + C يكون: ك ) ب ∋ ح2 ، لكل ك ∋ ح ، C خاصية التوزيع: لكل

C 2C +ك 1

C = ك )2 + ك


2 ، ك

1C ∋ ح2 ، لكل ك ولكل

) C 2)ك

1C = ك )

2 + ك


2 ، ك

1C ∋ ح2 ، لكل ك خاصية التجميع: لكل

ب والعكس صحيح. = C ب فإن C = ك ب ∋ ح2 ، لكل ك ∋ح إذا كان ك ، C خاصية الحذف: لكل

متجه الوحدة هو متجه معياره وحدة واحدة ×

M وهو القطعة المستقيمة الموجهة التى مبدؤها نقطة األصل ومعيارها الوحدة × متجه الوحدة األساسى )0 ،1( = M واتجاهها هو االتجاه الموجب لمحور السينات ويكتب

N وهو القطعة المستقيمة الموجهة التى مبدؤها نقطة األصل ومعيارها الوحدة × متجه الوحدة األساسى .)1 ،0( = N واتجاهها هو االتجاه الموجب لمحور الصادات ويكتب

× . N 2C + M

1C = C ( فإن

2C ،

1C( = C التعبير عن المتجه بداللة متجهى الوحدة األساسيين إذا كان


ملخص الوحدةتمثل × إذا كانت أى قطعة مستقيمة موجهة أنهما متوازيان ن ، مـ لمتجهين يقال المتوازيان: المتجهان

أحدهما توازى أى قطعة مستقيمة موجهة تمثل اآلخر أو محتواه معها فى مستقيم.

ن أنهما متعامدان إذا كان المستقيم الذى يحمل قطعة مستقيمة × ، مـ المتجهان المتعامدان: يقال لمتجهين موجهة ممثلة ألحدهما عمودى على المستقيم الذى يحمل قطعة مستقيمة موجهة ممثلة لآلخر.

× )2، ص

2ن = )س ،)

1، ص

1مـ = )س ن متجهين غير صفريين حيث ، مـ شرطا التوازى والمتعامد: إذا كان

= 0 والعكس صحيح.1 ص

2 - س

2 ص

1إذا كان: س ن مـ // فإن: )1(

= 0 والعكس صحيح.2 ص

1 - ص

2 س

1إذا كان: س ن مـ = )2(

(، ك ∋ ح ×1، ص

1مـ = )س يمكن ضرب متجه بعدد حقيقى، فإذا كان

)1 ، ك ص

1(= )ك س

1 ، ص

1مـ = ك )س فإن ك

مـ مـ // ك م متجه غير صفرى فإن إذا كان ك ! 0، و

مـ لكل ك < 0 مـ هو نفس اتجاه اتجاه ك

مـ لكل ك > 0 مـ هو عكس اتجاه اتجاه ك

× Adding Vectors Geometrically جمع المتجهات هندسيااقاعدة المثلث

C جـ C ب + ب جـ =

C ب

جـ

ن

نمـ مـ + قاعدة متوازى األضلعب هـ بC + ب جـ =

E ب 2 =

C

جـب

E نمـ + مـ

ن

× Subtracting Vectors Geometrically :طرح المتجهات هندسياا

Cجـ = جـ ب C ب -

C ب بداللة متجهى الموضع لطرفيها. × التعبير عن

C C ب = ب - ( فإن: 2، ص

2( ، ب )س

1، ص

1 إذا كان C)س

تطبيقات على المتجهات: × )1( تطبيقات هندسية )إلثبات النظريات وحل مشكالت حياتية بنمذجتها(.

)2( تطبيقات فيزيائية )أنشطة(

C ب

جـ

ن

مـ

نمـ -

-



الخط المستقيمStraight Line


أو � الداخل من مستقيمة قطعة تقسيم نقطة إحداثيى يوجد الخارج إذا علمت نسبة التقسيم.

يوجد النسبة التى تنقسم بها قطعة مستقيمة من الداخل أو من �الخارج إذا علم إحداثيات نقطة التقسيم.

يتعرف الصور المختلفة لمعادلة الخط المستقيم. �

والمعادلة � البارامترية، والمعادالت المتجهة المعادلة يوجد الكارتيزية للخط المستقيم.

يوجد الصورة العامة لمعادلة الخط المستقيم. �

من � المقطوعة األجزاء بداللة المستقيم الخط معادلة يوجد محورى اإلحداثيات.

يوجد قياس الزاوية الحادة بين مستقيمين. �

يوجد طول العمود المرسوم من نقطة إلى خط مستقيم. �

يوجد المعادلة العامة للمستقيم المار بنقطة تقاطع مستقيمين. �

Ñ point of division نقطة تقسيم Ñ direction vector of Straight line direction متجه اتجاه مستقيم Ñ Vector equation معادلة متجهة Ñ parametric Equation معادلة بارامترية

Ñ Cartesian Equation معادلة كارتيزية Ñ General Equation معادلة عامة Ñ Angle between two straight lines زاوية بين مستقيمين Ñ Length of perpendicular طول عمود

الهندسة 4التحليلية

الوحدة

تقسيم قطعة مستقيمة. الدرس )4 - 1(: معادلة الخط المستقيم. الدرس )4 - 2(:

قياس الزاوية بين مستقيمين. الدرس )4 - 3(: إلى خط نقطة المرسوم من العمود الدرس )4 - 4(: طول

مستقيم.بنقطة المار للمستقيم العامة الدرس )4 - 5(: المعادلة

تقاطع مستقيمين.

آلة حاسبة علمية - حاسب آلى - برامج رسم بيانى.

-



للرياضيات األساسية الفروع أحد التحليلية الهندسة تعد الرياضية العلوم معظم دراسة عند بالغة أهمية من لها لما على ساعدت ولقد التقنية، والعلوم الفيزيائية والتطبيقات دراسة الفضاء وخواصه الهندسية في العصر الحديث، وترتبط تعتبر األساس فى تفسير الصور إنها بكل ما هو جديد، حيث

فى علم الكمبيوتر.الهندسة لدراسة مدخلا التحليلية الهندسة وتعتبر إن حيث الجبرية، والهندسة الحركة( )هندسة التفاضلية الهندسة التفاضلية تختص بدراسة األشكال الهندسية وخاصة وذلك الهندسية، خواصها حيث من والسطوح المنحنيات النظام العلماء ابتكر وقد والتكامل، التفاضل حساب بتطبيق ومتقاطعين )محور متعامدين المكون من محورين اإلحداثى السينات ومحور الصادات( والذى بواسطته يمكن التعبير عن كل نقطة فى المستوى بعددين حقيقيين )س، ص( وباستخدام النظام اإلحداثى امكن اثبات صحة خواص الهندسة اإلقليدية ا عن المستقيمات والمنحنيات بمعادالت جبرية باعتبارها معبرابين العلقة تحكم بشروط تتحرك عامة لنقط مسارات من الكثير التحليلية الهندسة يسرت ولقد ص(، )س، من كانت كما المختلفة، الرياضيات فروع فى المعالجات

عوامل تطورها والتعامل بينها.


الخط المستقيم

إيجاد طول العمود المرسوم من نقطة

إلى خط مستقيم.

مخطط تنظيمي للوحدة

الصورة المتجهةمن الداخل

ميل الخط المستقيم

بمعلومية الميل ونقطةفى الصورة العامة

بمعلومية نقطتين تقعان على المستقيم

الميل والجزء المقطوع من محور الصادات

الجزءان المقطوعان من محورى اإلحداثيات

المستقيم المار بنقطة تقاطع مستقيمين

فى الصورة المتجهة

بمعلومية نقطتين

بمعلومية ظل الزاوية الموجبة مع االتجاه

الموجب لمحور السينات

تكوين معادلة الخط المستقيم

الصورة البارمترية

يحصران بينهما زاوية حادة

الصورة الكارتيزية

متعامدينمتوازيينمن الخارج

متجه اتجاه المستقيم

متجه اتجاه العمودى

تقسيم قطعة

مستقيمة

الصور المختلفة لمعادلة المستقيم

العالقة بين مستقيمين

أنشطة وتطبيقات حياتية

الصورة العامة لمعادلة الخط المستقيم


سوف تتعلم




تقسيم من الداخل �Internal Division

تقسيم من اخلارج �External Division

نسبة التقسيم �Ratio of Division

مفهوم التقسيم من الداخل �مفهوم التقسيم من اخلارج �إجياد نسبة التقسيم �

ناقشو فكر

سبق أن درست إيجاد إحداثيى نقطة منتصف قطعة مستقيمة، فهل يمكنك إيجاد

إحداثيى نقطة تقسيم قطعة مستقيمة من الداخل أو الخارج إذا علمت نسبة التقسيم؟

اأوال: اإيجاد اإحداثيى النقطة التى تق�سم قطعة م�ستقيمة معلومة بن�سبة معينة:

Coordinates of the point of division of a line segment

1- التقي�سم من الداخل

C ب فإن النقطة جـ إذا كانت جـ ∋

1 : ل

2C ب من الداخل بنسبة ل تقسم

2ل

1ل C جـ =

جـ ب 2 < 0 فيكون ل

1ل حيث

، جـ ب C جـ ويكون للقطعتين الموجهتين

* جـ ب2C جـ = ل *

1نفس األتجاه، أى أن: ل

(، جـ)س، ص(2، ص

2(، ب)س

1، ص

1وإذا فرضنا أن C)س

، C و الموجهة المستقيمة بالقطع الممثلة المتجهات S هى ،2S ،

1S فإن

، و جـ على الترتيب، حيث و نقطة األصل لنظام إحداثى متعامد. و ب

و ب - و جـ( ( 2( = ل C و )و جـ -

1ل وباستخدام طرح المتجهات:

) S - 2S (

2( = ل

1S - S (

1ل

S 2 - ل

2S

2 = ل

1S

1S - ل

1ل بالتوزيع

2S

2 + ل

1S

1S = ل

2S + ل

1ل

2S

2 + ل

1S

1( = ل

2 + ل

1S )ل فيكون

2أى أن:S

2 + ل

1S

1ل

2 + ل

1ل

= Sوت�سمى بال�سيغة المتجهة

شكل )1(

C

ل1

ل2

)س2، ص2(

)س1، ص1(

)س، ص(ب

جـ

و

S

1S

2S

تقسيم قطعة مستقيمةDivision of a line segment 4


تقسيم مطةة مستقيمة

مـثـال

2 : 3 بنسبة الداخل C ب من التى تقسم النقطة جـ )- 3، 4( فأوجد إحداثيى - 1(، ب ،2( C إذا كانت

بالصيغة المتجهة

الحل

بفرض جـ )س، ص(

)4 ،3-( = 2S ` = )1- ،2( ، a ب )-3، 4(

1S ` )1- ،2( C a

2 : 3 = 1 : ل

2ل

2S

2 + ل

1S

1ل

2 + ل

1ل = S a

)2 ،1-( = )10 ،5-(5 = )12 ،9-( + )2- ،4(

5 = )4 ،3-(3 + )1- ،2(23 + 2 = S `

` إحداثيا النقطة جـ هما )-1، 2(

ال�سيغة االإحداثية:

)2 ص

2 +ل

1 ص

1، ل

2 س

2 + ل

1 س

1)ل

2 + ل

1ل

= )

2، ص

2)س

2( + ل

1، ص

1)س

1ل

2 + ل

1ل

)س، ص( =

bومنها ينتج أن: 2 ص

2 + ل

1 ص

1ل

2 + ل

1ل

، 2 س

2 + ل

1 س

1ل

2 + ل

1ل

l = )س ، ص(

مـثـال

حل المثال السابق باستخدام الصيغة اإلحداثية.

الحل

)2 ،1-( = _ 4 * 3 + 1- * 23 + 2 ، 3- * 3 + 2 * 2

3 + 2 i = )س، ص(


C ب من الداخل بنسبة 1 : 3 إذا كانت C )4، 2(، ب )8، -6( فأوجد إحداثيي النقطة جـ التى تقسم

2- التقي�سم من الخارج2 > 0 وبالتالى تكون

ل

1ل حيث

1 : ل

2C ب من الخارج بنسبة ل C ب فإن جـ تقسم ،جـ ∌ C ب إذا كانت جـ ∋

موجبة واألخرى سالبة، ويكون هناك احتماالن، واألشكال التالية توضح ذلك:2 أو ل

1إحدى القيمتين ل

C ب ،جـ ∌ C ب C بجـ ∋ ،جـ ∌ C ب جـ ∋

شكل )2(

)س2، ص2()س1، ص1()س، ص(

و

بجـ C

1S

2S S

شكل )3(

)س، ص( )س2، ص2( )س1، ص1(

و

جـ ب C

1S2

SS

C

ب

جـ

2

3)س، ص(

)1- ،2(

)4 ،3-(


مـثـال

C ب من الخارج بنسبة 5 : 4. إذا كانت C )2، 0(، ب )1، -1( فأوجد إحداثيى النقطة جـ التى تقسم

الحل

)1 - ،1( = 2S ،)0 ،2( =

1S a

بالتعويض 1 > 0 أى سالبة ل

2ل 4 - : 5 =

1 : ل

2 ، ل

الصيغة الرياضية للقانون 2S

2 + ل

1S

1ل

2 + ل

1ل = S ،

بالتوزيع )1 - ،1( 5 + )0 ،2(4-

5 + 4- = S `

بالجمع والتبسيط )5 - ،3 -( = )5 – 0 ،5 + 8 -( = S

` إحداثيا نقطة جـ هما )-3، -5(

الصيغة اإلحداثية: _1- * 5 + 0 * 4-

5 + 4- ، 1* 5 + 2 * 4-

5 + 4 - i = )س، ص(

)5- ،3-( =

)2، ص

2(، ب)س

1، ص

1C ب حيث C )س الحظ أن: إذا كانت جـ منتصف

( ويكون = )ل مثلا2 = ل

1فإن: ل

الصيغة المتجهة 2S +

1S

2 = S

a الصيغة اإلحداثية 2 + ص

1 ص

2 ، 2

+ س1س

2k = )س، ص(


C ب حيث C )س، 4(، ب )1، ص( أوجد كلا من س، ص إذا كان جـ )2، 4( منتصف

Finding the ratio of Division ثانيا: اإيجاد ن�سبة التق�سيم

وكان:1 : ل

2C ب بنسبة ل إذا كانت النقطة جـ تقسم

2 < 0 كان التقسيم من الداخل.ل

1ل 1- نسبة التقسيم

2 > 0 كان التقسيم من الخارج.ل

1ل 2- نسبة التقسيم

مـثـال

C ب مع محورى C ب بكل من نقط تقاطع إذا كانت C )5، 2(، ب )2، - 1( فأوجد النسبة التى تنقسم بها 4

اإلحداثيات، مبيناا نوع التقسيم فى كل حالة، ثم أوجد إحداثيى نقطة التقسيم.

C

بجـ

)0 ،2(

)1- ،1(

5

4)س، ص(

C

بجـ

)0 ،2(

)1- ،1(

5

4)س، ص(

)س2، ص2()س، ص(

)س1، ص1(

و

جـب

C

1S

2S

S


تقسيم مطةة مستقيمة

الحل

C ب في النقطة جـ )س، 0( أوال: نفرض أن محور السينات يقطع

2 ص

2 + ل

1 ص

1ل

2 + ل

1ل

2 فيكون: ص = ل

1ل C جـ =

جـ ب حيث

2 - ل

12ل

2 + ل

1ل

= )1-(

2 )2( + ل

1ل

2 + ل

1ل

= 0 `

)نسبة التقسيم( 21 = 2ل

1ل `

2 = ل

1` 2ل

` التقسيم من الداخل بنسبة 2 : 1 0 > 2ل

1ل a

a0 ، 2 * 2 + 5 * 12 + 1 k أى a0 ، 2

س2 + ل

1 س

1ل

2 + ل

1ل

k إحداثيا جـ هما `

ويكون إحداثيا نقطة جـ هما )3، 0(

E ثانيا: المستقيم يقطع محور الصادات في النقطة

نفرض أن إحداثيى النقطة E هما )0، ص(

2 س

2 + ل

1 س

1ل

2 + ل

1ل

2 فيكون س = ل

1ل = E C

E بحيث

2 * 2 * 5 + ل

1ل

2 + ل

1ل

= 0 `

)نسبة التقسيم( 52 - = 2

ل

1ل `

1 = -5ل

2` 2 ل

` التقسيم من الخارج نسبة 5 : 2 0 < 2ل

1ل a

a1- * 5 + 2 * 2-

5 + 2- ، 0k هما )0، ص( أى E إحداثيا نقطة

` إحداثيا E هما )0، -3(

بمحورى اإلحداثيات، C ب بها تنقسم التى النسبة المتجهة إليجاد الصورة استخدم السابق المثال فى فكر: ثم أوجد إحداثيى نقطة التقسيم.


C ب بالنقطة C ب حيث جـ )س، 0(، فأوجد النسبة التى تنقسم بها إذا كانت C )- 4، 3(، ب )8، 6(، جـ ∋

جـ مبيناا نوع التقسيم، ثم أوجد قيمة س.


ب C من الداخل بنسبة 1 : 2 إذا كانت C )0، - 3(، ب )3، 6( فأوجد إحداثيى النقطة جـ التى تقسم

،)6 - ،5(C المدينة ب حيث إلى أ المدينة من فى طريقها نقل ركاب سيارة تتحرك بالمسافة: الربط

ب)- 1، 0( وتوقفت مرتين أثناء سيرها. أوجد إحداثيات النقطتين التى توقفت عندهما السيارة إذا كانت:

توقفت فى ثلثى الطريق من جهة النقطة أ. ب توقفت فى منتصف الطريق. أ

11-1-

1

2-

2

3-

3

4-

4

2- 2 3

ل2

ل14

)1- ،2(

)2 ،5(

5 6

ص

و

C

ب

جـ س

11-1-

1

2-

2

3-

3

4-

4

2- 2 3

ل2

ل14 5 6

ص

سC

ب

E

)1- ،2(

)2 ،5(

جـ


سوف تتعلم



آلة حاسبة علمية �Scientific calculator

متجه اجتاه مستقيم �vector direction of Straight line

� Vector equation مةادلة متجهة مةادلة بارامرتية �

Parametric equation � Cartisian equation مةادلة كارتيزية � General equation مةادلة عامة

اجياد مةادلة اخلط املستقيم �بمةلومية نقطة مةلومة ومتجة

اجتاه له.اجياد الصورة الةامة ملةادلة اخلط �

املستقيم.اجياد مةادلة اخلط املستقيم �

بمةلومية األجزاء املقطوعة من املحورين.

4 معادلة الخط المستقيم

Equation of the straight line

ناقشو فكر

سبق أن درست المعادلة العامة للخط المستقيم وهى:

ا( !0 ومثلتها بيانياا بخط مستقيم. C س + ب ص + جـ = 0 حيث C، ب)كلهما معا

بين أى من العالقات التالية تمثل خطا مستقيما:ص = 3 ج س + 1 ص= ب 3س - 2ص = 5 أ

1 = ص2 -

س3 و 2 =

1س ص + ه 0 = 2 س - د

الحظ أن المعادلة C س + ب ص + جـ = 0 حيث C، ب اليساويان الصفر معا تسمى بالصورة العامة لمعادلة الخط المستقيم.

فإن: C س +جـ = 0 0 ! C ، 0 = إذا كان ب -1- جـ وهى معادلة مستقيم موازى لمحور الصادات

Cأى أن: س =

)0 ، - جـC

ويمر بالنقطة )

فإن: ب ص +جـ = 0 إذا كان C = 0 ، ب ! 0 -2- جـ وهى معادلة مستقيم موازى لمحور السينات

ب أى أن: ص =

) - جـب ويمر بالنقطة )0،

فإن: Cس + ب ص = 0 إذا كان جـ = 0 -3وهى معادلة مستقيم يمر بنقطة األصل.

حاول أن تحلأى من المستقيمات اآلتية يكون موازيا لمحور الصادات، وأيها يكون موازياا

لمحور السينات، وأيها يمر بنقطة األصل، ثم أوجد إحداثيات نقاط التقاطع مع محورى اإلحداثيات )إن وجدت(.

س + 3ص = 0 ب 2س + 3 = 0 أ

ص – 5 = 0 د 2س + 3ص = 12 ج

ا، ق نقطة فى المستوى، ق ∌ ل تفكير ناقد: إذا كان ل خطاا مستقيماقفكم عدد المستقيمات التى تمر بالنقطة ق وتوازى الخط المستقيم ل؟

ل


مةادلة الطط المستقيم

Slope of a straight line ميل الخط الم�ستقيم

ا شرطان مثل نقطة تاما تعيناا المستقيم لتعيين الخط أنه يلزم سبق أن عرفت

معلومة ، ميل الخط المستقيم، كما علمت أن ميل الخط المستقيم )م( المار

1 - ص

2ص

1 - س

2س

( يساوى 2، ص

2( ، )س

1، ص

1بالنقطتين )س

2 = م

1 فإن م

2 // ل

1مالحظة )1( إذا كان ل

أى أنه إذا توازى مستقيمان فإن ميليهما يكونان متساويين، وعكس ذلك صحيح.

1- = 2 * م

1 فإن م

2 = ل

1 )2( إذا كان ل

أى أنه حاصل ضرب ميلى المستقيمين المتعامدين = -1 وعكس ذلك صحيح.


أوجد ميل الخط المستقيم المار بكل زوج من النقط التالية، وبين أياا من هذه المستقيمات متوازياا وأيها

متعامد:

)1- ،2( ، )0 ،4( ب )5 ،2-( ، )1 ،3( أ

)3 ،1-( ، )2- ،5-( د )3- ،3( ، )1- ،7( ج

Direction vector of a straight line متجه اتجاه المستقيم تعلم

كل متجه غير صفرى يمكن تمثيله بقطعة مستقيمة موجهة على خط مستقيم يسمى متجه تعريفاتجاه للخط المستقيم ل

جـ C متجهات اتجاه للخط المستقيم. C ب ، ب جـ ، فإذا كانت النقاط C، ب، جـ ∋ ل فإن

ى = )2، 1( متجه اتجاه للمستقيم فمثـــال: إذا كان 1(،... متجه اتجاه لهذا المستقيم.

فإن كلا من المتجهات )4، 2(، )-2، -1(، )1، 2

ى = )C، ب( متجه اتجاه للمستقيم وبوجه عام إذا كان ى حيث ك ∋ ح – }0{ متجه اتجاه لنفس المستقيم. لماذا؟ فإن ك


ى = )2، -3( متجه اتجاه لمستقيم فأى مما يأتى يكون متجه اتجاه لنفس المستقيم؟ إذا كان

.)3- ،2-( ب .)3 ،2-( أ

.)9- ،6( د .)3 ،2( ج

)س2، ص2(

)س1، ص1( ص2 - ص1

س2 - س1

بCلجـ


معادلة الم�ستقيم بمعلومية نقطة عليه ومتجه االتجاه له

Vector form اأوال: ال�سيغة المتجهة

ى متجه اتجاه له، لتعيين معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة ق، والمتجه

نفرض نقطة ن تقع على الخط المستقيم ل.

ق هما المتجهان الممثلن بالقطعتين المستقيمتين الموجهتين ، S وأن

و ق على الترتيب، حيث و أى نقطة فى المستوى. ، و ن

ى ق = ك - S ق ن = إذن، يوجد عدد ك ∋ ح – }0{ بحيث أن

ىوبالتالى فإن: ق + ك = S

ى متجه اتجاه له. تسمى هذه الصورة بالمعادلة المتجهة للخط المستقيم ل المار بالنقطة ق، والمتجه

مـثـال

اكتب المعادلة المتجهة للمستقيم الذى يمر بالنقطة )2، -3( ومتجه االتجاه له )1، 2(.

الحل

ى = )1، 2( بفرض أن المستقيم يمر بالنقطة ق )2، -3( ،

الصورة المتجهة لمعادلة المستقيم. ى ق + ك = S a

S = )2،- 3( + ك)1، 2(. ` المعادلة المتجهة للمستقيم هى


اكتب المعادلة المتجهة للمستقيم الذى يمر بالنقطة )- 3،4( ومتجه االتجاه له )5،2(. 4

The parametric equations ثانيا: المعادالت الو�سيطية )البارامترية(

ى ق + ك = S المعادلة المتجهة هى

( ، S )س، ص( بالنسبة لنظام إحداثى متعامد،1، ص

1إذا كانت ق )س

ى = )C، ب( و نقطة األصل، وكان

( + ك ) C ، ب(1 ، ص

1فإن معادلة المستقيم هي )س ، ص( = )س

+ ك بومنها ينتج أن:1 + ك C ، ص = ص

1س = س

)1، ص

1وهما المعادلتان الوسيطيتان للخط المستقيم المار بالنقطة )س

ى = )C، ب( متجه اتجاه له. حيث ك ∋ ح – }0{. والمتجه

ق

ى

S

ن

ق

ل

و

ل

ق

ى

S

)س، ص(

)س1، ص1( ق

و

S



مـثـال

اكتب المعادلتين الوسيطيتين )البارامتريتين( للمستقيم الذى يمر بالنقطة )4، -3( ومتجه اتجاه له )2، 3(.

الحل

ى = )2، 3( بفرض أن ق )4، -3( ∋ للمستقيم ل ،

الصورة المتجهة ` المعادلة المتجهة للمستقيم ل هى )س، ص( = )4،- 3( + ك)2، 3(

المعادلتان البارامتريتان وتكون المعادلتان س = 4 + 2 ك ، ص = -3 + 3 ك


اكتب المعادلتين البارامتريتين للمسقيم الذى يمر بالنقطة )0، 5( ومتجه االتجاه له هو )-1، 4(.

Cartesian Equation ثالثا: المعادلة الكارتيزية

+ ك ب1 + ك C ، ص = ص

1بحذف ك من المعادلتين البارامتريتين: س = س

1ص - ص

1س - س =

بC

أى أن: 1ص - ص

ب = 1س - س

Cنحصل على المعادلة:

1ص - ص

1س - س فإن المعادلة تصبح على الصورة: م = = م )حيث م هو ميل المستقيم(

بC

وبوضع

مـثـال

أوجد المعادلة الكارتيزية للخط المستقيم الذى يمر بالنقطة )3،-4( ومتجه االتجاه له )2، -1(

الحلبC

ميل المستقيم م = 1-2 م =

معادلة المستقيم بمعلومية ميله ونقطة تنتمى إليه. 1ص - ص

1س - س م =

-1، س1 = 3، ص1 = - 42 بالتعويض عن م = ص - )-4(

س - 3 = 1-2

حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين. 2ص + 8 = - س + 3

الصورة العامة. س + 2 ص + 5 = 0


أوجد المعادلة الكارتيزية للخط المستقيم الذى يمر بالنقطة )3، -4( ويصنع زاوية قياسها c45 مع االتجاه

الموجب لمحور السينات.

تفكير ناقد: أوجد المعادالت المتجهة والمعادالت الكارتيزية للخط المستقيم ى = )C، ب( فى الحاالت اآلتية: ( ومتجه االتجاه له

1، ص

1المار بالنقطة )س

أوال: إذا كان المستقيم يوازى محور الصادات.ثانيا: إذا كان المستقيم يوازى محور السينات.

ثالثا: إذا كان المستقيم يمر بنقطة األصل.

ف إلى أض

معلوماتك

الذى المستقيم اتجاه متجه والنقطة األصل بنقطة يمر

)س1، ص1( هو

ى = )س1، ص1( ص1س1 وميله هو


The perependicular direction vector of a straight line متجه اتجاه العمودى للمستقيم تعلم

ى = )C، ب( متجه اتجاه مستقيم فإن أياا من عائلة المتجهات التى إذا كان على الصورة ك )ب، -C( حيث ك ∋ ح - }0{ يكون متجه اتجاه العمودى على

. ى المتجه

أياا من عائلة فإن )C، ب( عمودياا على خط مستقيم = ن إذا كان وبالعكس

المتجهات التى على الصورة ك )ب، -C( حيث ك ∋ ح - }0{ يكون متجه اتجاه

المستقيم.

ى = )3، 2( متجه اتجاه للمستقيم فإن متجه اتجاه العمودى له هو )-2، 3(، )2، -3(، )-4، 6(، ... فمثال: إذا كان


1، 1( متجه اتجاه للمستقيم فإن جميع المتجهات التالية عمودياا على المستقيم عدا المتجه:ى = )2 إذا كان

)2- ،4( د )12 - ،1-( ج )1- ،2( ب )1

2 - ،1( أ

مـثـال

إذا كان المستقيم الذى يمر بالنقطة ق )- 3، 5( والمتجه )- 1، 2( عمودى عليه فأوجد: 4

المعادلة الكارتيزية للمستقيم. ب المعادلة المتجهة للمستقيم. أ

الحل

a المستقيم المار بالنقطة ق )-3، 5( عمودى على المتجه )-1، 2(. أ

ى = )2، 1( ` متجه اتجاه المستقيم هو

ى ق + ك = S a المعادلة المتجهة للمستقيم هى:

S = )-3، 5( + ك)2، 1( `

1ص - ص

1س - س ( هى: م =

1، ص

1a معادلة المستقيم الذى ميله م ويمر بالنقطة )س ب

12 وإحداثى النقطة )-3، 5(. بالتعويض عن م = ص - 5 س + 3 = 1

2 `

` س + 3 = 2 ص – 10

وتكون س – 2 ص + 13 = 0 هي المعادلة الكارتيزية للمستقيم.

فكر: أوجد المعادلة الكارتيزية لنفس المستقيم، وذلك بحذف ك من المعادلتين البارامتريتين.


ى = )- 1، 2( فأوجد: إذا كان المستقيم المار بالنقطة X )2، - 3( عمودياا على المتجه

المعادلتين البارامتريتين للمستقيم. ب المعادلة المتجهة للمستقيم. أ

المعادلة الكارتيزية للمستقيم. ج

ص

وس

ى

ن

S نق



معادلة المستقيم بمعلومية الجزءين المقطوعين من محورى اإلحداثيات تعلم

The Equation of the straight line in terms of the two intercepts parts from the two axes نعلم أن معادلة المستقيم الذى ميله )م( ويقطع جزءا من محور الصادات طوله ب هى: ص = م س + ب

من الشكل المقابل - ب )لماذا؟(

Cنجد أن ميل المستقيم المار بالنقطتين )C،0(، )0،ب( هو: م =

معادلة المستقيم بمعلومية الميل ونقطة 1 = م ص - ص

1س - س

بالتعويض عن إحداثى نقاط التقاطع بC

ص - 0 = - C - س

حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين C ص = - ب س + C ب

بقسمة الطرفين على C ب ب س + C ص = C ب

1 = صب +

سC

مـثـال

أوجد طولى الجزءين المقطوعين من المحورين بالمستقيم: 3 س + 4 ص – 12 = 0

الحل

1 = صب +

سC

بوضع المعادلة على الصورة

= 1 )لماذا؟(ص3 +

س4 `

` طوال الجزأين المقطوعين من المحورين السينى والصادى هما 4، 3 على الترتيب


أوجد طولى الجزأين المقطوعين من المحورين بالمستقيم: 5 س – 3 ص = 15


أوجد المعادلة العامة للمستقيم فى الحاالت اآلتية:

يقطع محورى اإلحداثيات فى النقطتين )3، 0(، )0، - 4(. أ

يمر بالنقطة )3، 1( ويوازى المستقيم 2 س – 3 ص + 7 = 0 ب

يمر بالنقطة )0، - 1( ومتجه االتجاه له )2، -3( ج

C

)0، ب(

)0 ،C(ب


سوف تتعلم




زاوية بني مستقيمني �Anagle between two straight lines

اجياد مياس الزاوية احلادة بني �مستقيمني.

4 قياس الزاوية بين مستقيمين

Measure of the angle between two straight lines

قياس الزاوية الحادة بين مستقيمين تعلم

Measure of the acute angle between two straight lines 2، ل

1إذا كانت هـ قياس الزاوية الحادة بين المستقيمين ل

فإن:2، م

1اللذين ميلهما م

1- ! 2م

1| حيث م 2

- م1م

2 م

11 + م ظا هـ = |

مـثـال

أوجد قياس الزاوية الحادة بين كل زوج من أزواج المستقيمات اآلتية

3 س – 4 ص – 11 = 0 ، س + 7 ص + 5 = 0

الحل

نوجد ميل كل من المستقيمين: أ

ميل المستقيم األول 34 = 3-

4- = )

1)م

ميل المستقيم الثانى 1-7 = )

2)م

صيغة القانون | 2 - م

1م

2 م

11 + م ظاهـ = |

بالتعويض عن قيمتى م1، م2 | ) 17 -( - 3

4) 1

7 -( 34 + 1 ظاهـ = |

1 = | 4 + 2128

3 - 2828

| = | 17 + 3

43

28 - 1 | =

c45 = هـ

فى الحاالت اآلتية:2، ل

1تعبير شفهى: اذكر العلقة بين المستقيمين ل

ا. إذا كان ظل الزاوية بينهما يساوى صفرا أ

إذا كان ظل الزاوية بينهما غير معرف. ب

. ب ، أ فى 2، م

1 فاذكر العلقة بين م

2 وميل الثانى م

1إذا كان ميل األول م جـ

س/س

ص

ص/

هـ

هـ1هـ2

ل1 ل2

تذكرميل الخط المستقيم

Cس + ب ص + جـ = 0C-ب يساوى


مياس الزاوية بين مستقيمين


أوجد قياس الزاوية الحادة بين كل زوج من أزواج المستقيمات اآلتية:

S = )0، 5( + ك)1، 2(. S = )0، -2( + ك)3، -1( ، أ

2ص = 3 ، 2س + ص = 4 ج س + 2ص + 3 = 0 ، س – 3ص + 1 = 0 ب

مـثـال

الربط بالهندسة: C ب جـ مثلث فيه C )0، 5(، ب )2، -1(، جـ )6، 3( أثبت أن المثلث متساوى الساقين،

.C ثم أوجد قياس زاوية

الحل

صيغة القانون 2)1 - ص

2(2 + )ص

1 - س

2)س البعد بين نقطتين =

10 2 = 2))1-( - 5( + 2)2 - 0( C ب =

10 2 = 2)3 - 5( + 2)6 - 0( C جـ =

2 4 = 2)3 - 1-( + 2)6 - 2( ب جـ =

المثلث متساوى الساقين؛ ألن C ب = C جـ نلحظ أن )ب جـC( < 2) بC( + 2) جـ(2

أى أن C c حادة

C ب ميل 3- = )1-( - 52 - 0 =

1م

C جـ ميل 13 - = 3 - 5

6 - 0 = 2م

صيغة القانون | 2 - م

1م

2 م

11 + م ظا هـ = |

بالتعويض عن قيمتى م1، م2 43 = | )1

3 -( - 3-

)13 -( )3-( + 1 | = C ظا

باستخدام الحاسبة c53 7 49 ا = )C c(ق


فى المثال السابق أوجد مساحة سطح المثلث أ ب جـ ألقرب رقمين عشريين.


S = )-3، 1( + ك)6، 3(. ى = )2، 0( + ك)-2، 1(، أوجد قياس الزاوية الحادة المحصورة بين المستقيمين

أوجد قياس الزاوية الحادة المحصورة بين المستقيم س - 2ص + 3 = 0 والمستقيم المار بالنقطتين

.)1 ،2( ،)1- ،4(

C 0، 2(، ب)3، 1(، جـ)-2، -1(. أوجد قياس زاوية( C ب جـ مثلث فيه C

الحظالزاوية قانون استخدام عند بين مستقيمين فى إيجاد قياس زاوية داخلة لمثلث يجب أوال - )حادة الزاوية نوع تحديد

قائمة - منفرجة(


سوف تتعلم




� Perpendicular عمود � Straight Line خط مستقيم

4

إجياد طول الةمود املرسوم من �نقطة مةلومة إىل خط مستقيم.

طول العمود المرسوم من نقطة إلى خط مستقيم The length of the perpendicular from a point to a straight line

تعلم

إيجاد طول العمود المرسوم من نقطة معلومة إلى خط مستقيم The length of the perpendicular from a point to a straight line

( ال تنتمى للمستقيم الذى1، ص

1إذا كانت النقطة )س

معادلته C س + ب ص + جـ = 0

فإن طول العمود )ل( المرسوم من هذه النقطة إلى المستتقيم

+ جـ|1 + ب ص

1|C س

2C + ب2يتحدد من العلقة: ل =

مـثـال

أوجد طول العمود المرسوم من النقطة ) 4، -5 ( إلى الخط المستقيم

S = )0، 2( + ك)4، 3(.

الحل

نفرض أن )س، ص( = )0، 2( + ك )4، 3(

` س = 4 ك ، ص = 2 + 3ك )المعادلتان الوسطيتان للمعادلة المتجهة(

بحذف ك ص - 2 3 =

س4

حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين 3س = 4ص – 8

المعادلة الكارتيزية 3س – 4ص + 8 = 0

صيغة قانون طول العمود + جـ|

1 + ب ص

1|C س

2C + ب2ل =

5- = 1 = 4 ، ص

1بالتعويض: C = 3 ، ب = -4 ، جـ = 8 ، س

|8 + 5 - * 4 - 4 * 3|24 + 23

ل =

40 = 8 وحدات طول 5 = |40|

25 = |8 + 20 + 12|

16+ 9 =


أوجد طول العمود المرسوم من النقطة )2، -5( إلى المستقيم:

S = )-1، 0( + ك)12، 5(.

)س1، ص1(

C س + ب ص + جـ = 0

ل


طول الةمود المرسوم من نقطة إلى خط مستقيم

تعبير شفهى: اكتب طول العمود المرسوم من النقطة C إلى المستقيم م فى الحاالت اآلتية:

C )0 ، 0( ، م : Cس + ب ص + جـ = 0 أ

( ، م : س = 01، ص

1 C )س ج ( ، م : ص = 0

1، ص

1C )س ب

مـثـال

في الشكل المقابل:أوجد طول العمود المرسوم من النقطة C )6، -2( إلى

المستقيم المار بالنقطتين ب )4، 4(، جـ )1، 0(، ثم أوجد مساحة سطح

المثلث C ب جـ.

الحل

صيغة الميل 1 - ص

2ص

1 - س

2س م =

a جـ )1، 0( ، ب )4، 4(

بالتعويض بالنقطتين )4، 4(، )1، 0( 43 = 0 - 4

1 - 4 ` م =

معادلة المستقيم بمعلومية الميل ونقطة عليه 1ص - ص

1س - س م =

43 بالتعويض عن م = ص- 0 س - 1 = 4

3

المعادلة الكارتيزية فيكون: 4س – 3ص – 4 = 0

صيغة قانون طول العمود + جـ|

1 + ب ص

1|C س

2C + ب2 ل =

فيكون طول العمود المرسوم من النقطة C )6، -2( إلى المستقيم : 4س - 3ص - 4 = 0

1 5 وحدة طول5 = |4 - 6 + 24|

25 = |4 - 2 - * 3 - 6 * 4|

23 + 24هو : ل =

باعتبار ب جـ قاعدة للمثلث C ب جـ

صيغة قانون البعد بين نقطتين 2)1 - ص

2(2 + )ص

1 - س

2)س a ب جـ =

بالتعويض بالنقطتين )4، 4(، )1، 0( )4 - 1(2 + )4 - 0(2 = 5 وحدات =

1 طول القاعدة * االرتفاع صيغة قانون مساحة المثلثمساحة سطح المثلث C ب جـ = 2

26 = 13 وحدة مربعة5 * 5 * 1

2 =


أوجد طول العمود المرسوم من النقطة )5، 2( إلى الخط المستقيم المار بالنقطتين )0، -3(، )4، 0(


طرق طريقان متجاوران مسار الطريق األول تمثله المعادلة 3 س – 4 ص – 7 = 0 ومسار الطريق الثانى

تمثله المعادلة 3 س – 4 ص + 11 = 0

أثبت أن الطريقين متوازيان، ثم أوجد أقصر بعد بينهما.

جـ11-1-

1

2-

2

3-

3

4-

45

2- 2 3 4 5 6

ص

س

C

ب


سوف تتعلم



4


نقطة تقاطع مستقيمني � intersection point of two straight

lines

� General Equation مةادلة عامة

كيفية إجياد الصورة الةامة ملةادلة �اخلط املستقيم املار بنقطة تقاطع

مستقيمني

المعادلة العامة للمستقيم المار بنقطة تقاطع مستقيمين General equation of the straight line passing through the point of

intersection of two lines

ناقشو فكر

سبق أن درست كيفية إيجاد إحداثيي نقطة تقاطع مستقيمين غير متوازيين

0 = 2 ص +جـ

2 س + ب

2C ،0 =

1 ص +جـ

1 س + ب

1C

فهل يمكنك إيجاد معادلة عدة مستقيمات تمر بنقطة تقاطع المستقيمين السابقين؟

المعادلة العامة للمستقيم المار بنقطة تقاطع مستقيمين معلومينتعلم

General equation of the straight line passing through the point of intersection of two given lines

a أى نقطة معلومة يمكن أن يمر بها عدد النهائى من المستقيمات.

` المعادلة التى تمثل جميع المستقيمات المارة بنقطة تقاطع المستقيمين.

= صفر هى:2 ص + جـ

2 س + ب

2C ، صفر =

1 ص + جـ

1 س + ب

1C

)1( ( = صفر ، م ∋I ، ل ∋ح 2 ص + جـ

2 س + ب

2C( ل + )

1 ص + جـ

1 س + ب

1C( م

ففى حالة م = صفر تنتج معادلة المستقيم الثانى.

فى حالة ل = صفر تنتج معادلة المستقيم األول.

! صفر فتنتج معادلة أى مستقيم يمر بنقطة التقاطع ! صفر ، ل أما فى حالة م

خلف المستقيمين األصليين، ويمكن فى هذه الحالة وضع المعادلة )1( على الصورة:

)2( ( = صفر 2ص+جـ

2س + ب

2C( ك +

1ص +جـ

1 س + ب

1C

مـثـال

أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة C )- 2، 4( وبنقطة تقاطع المستقيمين:

س + 2 ص – 5 = 0 ، 2 س – 3 ص + 4 = 0


المةادلة الةامة للمستقيم المار بنقطة تقاطع مستقيمين

الحل

المعادلة العامة ص +جـ( = 0 2 س + ب

2C( ص +جـ + ك

1 س + ب

1C

بالتعويض عن معادلة المستقيمين س + 2 ص – 5 + ك ) 2 س – 3 ص + 4( = 0

بالتعويض عن س = - 2 ، ص = 4 - 2 + 2 × 4 – 5 + ك )2×- 2 – 3×4 + 4( = 0

بالتبسيط 11 – 12ك = 0 أى ك = 12

بالتعويض عن قيمة ك ) 2 س – 3 ص + 4 ( = 0 112 س + 2 ص – 5 +

بضرب طرفى المعادلة فى 12 12 س + 24 ص – 60 + 2 س – 3 ص + 4 = 0

بالتبسيط 14 س + 21 ص – 56 = 0

بقسمة طرفى المعادلة ÷ 7 2 س + 3 ص - 8 = 0


)1- ،2( C أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة

وبنقطة تقاطع المستقيمين: 7س + ص + 3 = 0 ، 5 س – ص – 3 = 0

مـثـال

S = )1، 2( + ك )-2، 3( متقاطعان على التعامد، ثم أوجد: أثبت أن المستقيمين 2س – 3ص + 4 = 0 ،

نقطة تقاطعهما.

الحل

ميل المستقيمين. 32 - = 3

2- =

22 ، م

3 = 2-

3- =

1م

شرط تعامد مستقيمين. 1 - = 32 - * 2

3 = 2 * م

1` م

1 = 2 * م

1a م

` المستقيمان متقاطعان على التعامد.

إليجاد نقطة تقاطع المستقيمين، نوجد المعادلة الكارتيزية للمعادلة الثانية. أ

a )س، ص( = )1، 2( + ك )-2، 3(

بحذف الثابت ك. ص - 2 3 س - 1 =

2- `

حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسيطين. 3س – 3 = -2ص + 4

بالتبسيط 3س + 2ص – 7 = 0

بحل المعادلتين 2س – 3ص + 4 = 0، 3س + 2ص – 7 = 0

` س = 1 ، ص = 2

وتكون نقطة تقاطع المستقيمين المتعامدين هى )1، 2(


أثبت أن المستقيمين س – 4ص + 14 = 0 ، 4س + ص + 5 = 0 متعامدان

ثم أوجد نقطة تقاطعهما ومعادلة المستقيم المار بنقطة التقاطع والنقطة )2، 1(.



S = )-2، 0( + ك )3، 2(. :2: 3س + 2ص - 7 = 0، ل

1إذا كان ل

فأوجد:

2المعادلة الكارتيزية للمستقيم ل

2، ل

1قياس الزاوية بين المستقيمان ل

.2، ل

1نقطة تقاطع المستقيمين ل

معادلة المستقيم الذى يمر بنقطة تقاطع المستقيمين والنقطة )3، 4( 4

طول العمود المرسوم من نقطة تقاطع المستقيمين إلى الخط المستقيم الذى معادلته 3س - 4ص -9 = 0

ومحور السينات.2، ل

1مساحة سطح المثلث المحدد بالمستقيمين ل

نشاط

مبين البحرى، بالميل مقسمة تربيعية شبكة المقابل الشكل يبين )3 ،6-( ب والجزيرة )5 ،4( أ الميناء من: كل إحداثيات عليها

والسفينة جـ )-2، -3(.

أوجد:المسافة بالميل البحرى بين الميناء والسفينة.

إذا كانت C ب المسافة قطع فى السفينة استغرقته الذى الزمن

سرعتها 20 عقدة.

النسبة التى تنقسم بها ب جـ بمحور السينات، ثم أوجد إحداثيى

نقطة التقسيم.

معادلة مسار السفينة إذا كانت تتحرك فى خط مستقيم. 4

أقصر مسافة بين الجزيرة والسفينة.

C جـ ، C ب قياس الزاوية المحصورة بين

مساحة سطح المثلث C ب جـ

تكنولوجيا:استعن بالشبكة الدولية للمعلومات )اإلنترنت(.

أ ابحث عن الخدمات التى تقدمها الهيئة المصرية لسلمة الملحة البحرية للموانئ والسفن البحرية.

هل تفضل العمل فى الملحة البحرية؟ لماذا؟

حدد أهم الموانئ البحرية بجمهورية مصر العربية، وحدد مواقعها. ب

11-1-

1

2-

2

3-

3

4-

45

2-3-4-5-6- 2 3 4 5

C

ب

جـ

ميناءجزيرة

سفينة

ف إلى أض

معلوماتك

العقدة هى وحدة قياس سرعة السفن في البحر، وهى تساوى ميل بحرى لكل ساعة. والميل

البحرى يساوى 1852 مترايساوى البرى الميل بأن علما

1600 مترا.


ملخص الوحدةS هى المتجهات الممثلة بالقطع المستقيمة ،

2S ،

1S حيث

1 : ل

2C ب بنسبة ل إذا كانت جـ تقسم

و جـ على الترتيب ، و ب ، C و الموجهة

b 2 ص

2 + ل

1 ص

1ل

2 + ل

1ل

، 2 س

2 + ل

1 س

1ل

2 + ل

1ل

l = )س، ص( ، 2S

2 + ل

1S

1ل

2 + ل

1ل

= S فإن:

ميل الخط المستقيم )م(:

الذى يصنع زاوية موجبة )هـ( مع االتجاه الموجب لمحور السينات: م = ظا هـ أ 1 - ص

2ص

1 - س

2س (: م =

2،ص

2(، )س

1،ص

1الذى يمر بالنقطتين )س ب

بC

( + ك)C، ب( م = 1،ص

1S = )س الذى معادلته على الصورة: ج

C-ب م = الذى معادلته على الصورة: C س + ب ص + جـ = 0 د

ا اتجاه العمودى لمستقيم معلوم، فإن متجه االتجاه لهذا المستقيم هو ن = )C، ب( متجها إذا كان

.)C ،( أو )- بC- ،ب(

هما ميل مستقيمين معلومين فإن: 2

، م1إذا كان م 4

= -1 إذا كان المستقيمان متعامدين.2 * م

1م ب إذا كان المستقيمان متوازيين.

2 = م

1م أ

معادالت الخط المستقيم:

( + ك)C، ب(1، ص

1 أى )س، ص( = )س ى X + ك = S المعادلة المتجهة هى: أ

+ ك ب1 + ك C ، ص = ص

1المعادالت البارامترية هى: س = س ب

1ص - ص

1س - س المعادلة الكارتيزية )بمعلومية الميل ونقطة معلومة(: م = ج

بمعلومية الميل )م( وطول الجزء المقطوع من محور الصادات جـ: ص = م س + جـ د

1 = صب +

سC

بمعلومية طولى الجزءين المقطوعين C ، ب من محورى السينات والصادات على الترتيب: ه

ا. الصورة العامة لمعادلة المستقيم: C س + ب ص + جـ = 0 حيث C ، ب ال يساويا الصفر معا و

المعادلة العامة للمستقيم الماربنقطة تقاطع مستقيمين معلومين هى: ز

ص +جـ( = 0 حيث ك ! 02 س + ب

2C( ص +جـ + ك

1 س + ب

1C

| 2 - م

1م

2 م

11 + م فإن: ظاهـ = |

2، م

1 اللذين ميلهما م

2، ل

1إذا كانت )هـ( هى قياس الزاوية الحادة بين المستقيمين ل

1- ! 2م

1حيث م

( إلى المستقيم C س + ب ص + جـ = 0 هو:1، ص

1طول العمود )ل( المرسوم من النقطة )س

+ جـ |1 + ب ص

1| C س

2C + ب2ل =

Ñ Trigonometric identitie متطابقة�مثلثية�

Ñ Trigonometric equation معادلة�مثلثية�

Ñ Angle of elevation زاوية�ارتفاع�

Ñ Angle of depression زاوية�انخفاض�

Ñ Circular sector قطاع�دائرى�

Ñ Circular Segment قطعة�دائرية�


يستنتج�العالقات�األساسية�بين�الدوال�المثلثية�. �يثبت�صحة�متطابقات�على�الدوال�المثلثية�. �الفترة � فى� العامة� الصورة� فى� بسيطة� مثلثية� معادالت� يحل�

[r2�،0[يتعرف�الحل�العام�للمعادلة�المثلثية. �يحل�المثلث�القائم�الزاوية. �يحل�تطبيقات�تشمل�زوايا�االرتفاع�واالنخفاض. �يتعرف�القطاع�الدائرى�وكيفية�إيجاد�مساحته.� �يتعرف�القطعة�الدائرية�وكيفية�إيجاد�مساحتها. �

ومساحة� � الرباعى� الشكل� ومساحة� المثلث� مساحة� يوجد�المضلع�المنتظم.

يحل�مسائل�متنوعة�على�حساب�المثلثات. �التطبيقات� � التعرف�على� المعلومات�فى� يستخدم�تكنولوجيا�

المتعددة�للمفاهيم�األساسية�لحساب�المثلثات.ينمذج�بعض�الظواهر�الفيزيائية�والحيوية�والتى�تمثل�بدوال� �

مثلثية.يستخدم�أنشطة�لبرامج�الحاسب�اآللى �



حساب المثلثاتTrigonometry

5الوحدة

الدرس�)5 - 1(:�المتطابقات�المثلثية.الدرس�)5 - 2(:�حل�المعادالت�المثلثية.�

الدرس�)5 - 3(:�حل�المثلث�القائم�الزاوية.�الدرس�)5 - 4(:��تطبيقات�تشمل�زوايا�االرتفاع�واالنخفاض.

الدرس�)5 - 5(:�القطاع�الدائرى.

الدرس�)5 - 6(:�القطعة�الدائرية.الدرس�)5 - 7(:��مساحة�المثلث،�مساحة�الشكل�الرباعى،�

مساحة�المضلع�المنتظم.�

آلة حاسبة علمية - ورق مربعات - حاسب آلى متصل باالنترنت

- برامج رسومية

علم� فروع� أحد� هو� المثلثات� حساب�الرياضيات،�وهذا�فرع�كما�هو�واضح�من�اسمه�حيث� من� بالمثلث� الخاصة� بالحسابات� يتعلق�أن� المؤرخين� بعض� ويذكر� وأضالعه.� زواياه�أول� هو� الطوسى� الدين� نصير� العربى� الرياضى�كما� الفلك،� عن� المثلثات� حساب� فصل� من�الميالد(� المؤرخون�أن�طاليس�)�600قبل� يذكر�تعرض�لحساب�المثلثات،عندما�تمكن�من�قياس�ظل� طول� بين� المقارنة� طريق� عن� الهرم� ارتفاع�

عصا�رأسية�وطول�ظله�فى�نفس�الوقت.

من� نصيبه� المثلثات� لحساب� كان� ولقد�)الظل(� اصطالح� أن� ويذكر� العرب.� اهتمامات�فى� البوزجانى� الوفا� أبو� العربى� العالم� قد�وصفه�القرن�العاشر�الميالدى.�وهذا�االصطالح�مأخوذ�من�ظالل�األجسام،�التى�تتكون�نتيجة�سير�الضوء�

المنبعث�من�الشمس�فى�خطوط�مستقيمة.

كما�أن�للعرب�إضافات�عديدة�فى�حساب�المثلثات�المستوى�والكرى�أو�الكروى�)نسبة�إلى�سطح�الكرة(،�وعنهم�أخذ�الغربيون�المعلومات�الهامة�وأضافوا�أيضا�الكثير،�حتى�أصبح�حساب�المثلثات�متضمنا�فى�العديد�من�األبحاث�الرياضية،�

وأصبحت�تطبيقاته�فى�شتى�المناحى�العلمية�والعملية.�وساهم�ذلك�فى�دفع�عجلة�التقدم�والحضارة.�



مخطط تنظيمي للوحدةنبذه تاريخية

حساب المثلثات

حل المثلث القائم الزاوية المتطابقات المثلثية

تطبيقات حياتية

المساحة

استخدام التكنولوجيا

المعادالت المثلثيةبمعلومية ضلع

وزاويةبمعلومية ضلعين

حل المعادلة فى فترة

زاويا االنخفاضزاويا االرتفاع

الحل العام للمعادلة

المضلع المنتظمالشكل الرباعىالمثلثالقطعة الدائريةالقطاع الدائرى


سوف تتعلم




� Equation معادلة� Identity متطابقة

مفهوم املتطابقة املثلثية . �تبسيط املقادير املثلثية. �إثبات صحة متطابقة مثلثية . �

العالقات األساسية بين الدوال المثلثيةBasic Relations Among Trigonometric Functions

ناقشو فكر

بعض األول الداسى الفصل فى درست أن سبق

خواص الدوال المثلثية ورسومها البيانية، وفى هذه

المثلثية؛ وذلك المتطابقات الوحدة سوف تستخدم

لتبسيط المقادير وحل المعادالت المثلثية.

وسبق أن درست دائرة الوحدة وعلمت أن Cc و ب الموجهة فى الوضع القياسى وضلعها

،i = )و ب Cc(X حيث )و ب يقطع دائرة الوحدة فى نقطة ب)س، ص النهائى

ب)جتاi، جاi( فهل يمكنك استنتاج بعض العالقات األساسية بين الدوال المثلثية؟

المتطابقات والمعادالت المثلثية تعلمTrigonometric Identities and Equations المتطابقة: هى متساوية صحيحة لجميع قيم المتغير الحقيقية والذى يعرف به كل

طرف من طرفى المتساوية.

i - r2( = جتا i متطابقة صحيحة لجميع قيم i الحقيقية. فمثال: جا )

المعادلة: هى متساوية صحيحة لبعض األعداد الحقيقية التى تحقق هذه المتساوية وغير صحيحة للبعض اآلخر الذى ال يحققها.

[r 2 ،0[ ∈ i ، 12 = iجا : فمثالا

[r2 ،0[ التى تحقق هذه المعادلة والتى تنتمى إلى الفترة i نجد أن: قيم r5 فقط.

6 ،r6 هى


أى من العالقات اآلتية تمثل معادلة وأيها تمثل متطابقة.

i ظتا - = )i + r32 ظا ) ب 3

2 = i جتا أ

i جا = )i - r( جا د 13

- = i ظتا ج‍

C

س

ب )س، ص(ص

و1i

س/

ص/

المتطابقات المثلثيةTrigonometric Identities 5


المتطابقات المثلثية

Basic Trigonometric Identities المتطابقات المثلثية األساسية سبق أن درست الدوال المثلثية األساسية ومقلوباتها وعلمت أن: -1

1i ظتا

= i ظا ، 1i قا

= i جتا ، 1i قتا

= i جا

1i ظا = i ظتا ، 1

i جتا = i قا ، 1i جا = i قتا

الدوال المثلثية للزاويتين المتتامتين: -2

iجا = )i - r2 i - r2( = جتاi ، جتا) جا)

iقا = )i - r2 i - r2( = ظتاi ، قتا) ظا)

iظا = )i - r2 i - r2( = قتاi ، ظتا) قا)

:i- ، i متطابقة الزاويتين -3نالحظ من الشكل المقابل أن:

× )i-(س = جتا ، i س = جتا

× )i-(ص = جا- ، i ص = جا

لذلك فإن:

i جتا = ) i-(جتا ، i جا - = )i-(جا

i قا = )i-(قا ، i قتا - = )i-(قتا

i ظتا - = )i-(ظتا ، i ظا - = )i-(ظا

متطابقات فيثاغورث: -4نعلم من دائرة الوحدة أن:

iص = جا ، iوبالتعويض عن س = جتا 1 س2 + ص2 = 1

1 = i 2جا + i 2جتا فإن:

1 على س2 فإن: وبقسمة طرفى العالقة 1

س2 = ص2س2 +

س2س2

i 2قا = i 21 + ظا أى أن:

1 على ص2 فإن: وبقسمة طرفى العالقة 1ص2 =

ص2ص2 +

س2ص2

i 2قتا = i 21 + ظتا أى أن:

من تطابق المثلثين: و C ب، ب/ جـ ونجد أن: ص/ = س، س/ = ص

C س

ص

وجـ

ب)س، ص(

ب/ )س/، ص/(

i

H )i - c90(

ص/س/

ف إلى أض

معلوماتك

الزاويتين متطابقات تسمى الدوال بمتطابقات θ- ،θوستدرس والفردية، الزوجية

فى صف دراسى الحق.

)س، ص(

)س، -ص(

و1ii-

ص

سص

C

س

ب )س، ص(ص

و1i

س/

ص/


:i جتا ،i بداللة جا ،سص = i ظتا ،

صس = i التعبيرعن ظا -5

i جتاi جا

= i ظتا ` ، i جاi جتا = i ظا `

تب�سيط المقادير المثلثية:المقصود بتبسيط المقادير المثلثية هو وضعها فى ابسط صورة، وذلك باستخدام المتطابقات المثلثية األساسية.

مـثـال

i جتا i 2 – 2 جا)i جتا + i اكتب فى أبسط صورة: )جا الحل

i جتا i 2 – 2 جا)i جتا + i جا( أ

المقدار = جاi 2 + جتاi 2 + 2 جا i جتا i – 2 جا i جتا i بفك األقواس

بالتبسيط 2i جتا + i 2جا =

بتطبيق متطابقة فيثاغورث: 1 =

ويمكن التحقق من الناتج باستخدام أحد البرامج الرسومية الموضحة بالشكل التالى:

i 21 + ظاi 2اكتب في أبسط صورة: 1 + ظتا

الحل

i1 + ظا2

i 21 + ظتا المقدار:

i 2قاi 2قتا

بتطبيق متطابقة فيثاغورث: المقدار = 1

i 2جا ÷ 1

i 2جتا =

i 2ظا = iجا2

i 2جتا =


ضع كال من المقادير اآلتية فى أبسط صورة ثم تحقق من صحة الناتج:

)i - r2 جا )

)i -r2( جتاج‍ )i - r

2 i - r2( قا ) جتا ) ب 1

i 2ظتا - 1

i 2جتا أ

الحظ أن

i22 = جا)iجا( = iجا × iجا


المتطابقات المثلثية

trigonometric identities المتطابقات المثلثية عند إثبات صحة متطابقة مثلثية نثبت أن الدالتين المحددتين لطرفيها متساويتان

i جتا i 2جا = i 2وللتحقق من عدم صحة الجملة: جتا

نرسم الشكل البيانى لكل من الدالتين: i جتا i س( = 2 جا(S ، i 2جتا = )د)س

وبتأمل الشكل البيانى المجاور نجد عدم تطابق الدالتين؛ أى أن د)س( ! S)س(، لذلك فإن هذه العالقة ليست متطابقة.

ويمكن التحقق من ذلك جبريا وذلك بوضع i = صفر فتكون:

د)0( = 1 ، ر)0( = 0 لذلك فإن الدالتين غير متساويتين.

i جتا i 2 جا = i 2بينما فى المتساوية: جا i جتا i س( = 2 جا(S ، i 2جا = )بوضع د)س

نجد من التمثيل البيانى للشكل تطابق منحنى الدالتين؛ أى أن د)س( = S)س(

وبذلك تكون هذه المتساوية متطابقة .

مـثـال

i 1 + جا = i

جتا2 i 1 - جا أثبت صحة المتطابقة:

الحل

i1-جا2

i 1 - جا = i

جتا2 i 1 - جا

الطرف األيمن =

)1 + جا i()1 - جا i( = 1 + جا i = الطرف األيسرi 1 - جا

=

مـثـال

i قتا i قا = i ظتا + i أثبت صحة المتطابقة: ظا الحل

i ظتا + i الطرف األيمن = ظا

i 2جتا + i 2جاi جا i جتا = i

جتا i جا +

i جاi جتا =

1

i جا i جتا =

= قا i قتا i = الطرف األيسر

r3-/2 r3/2r-/2 r/2r2-

r2

r- r

2

2-

س

ص

س

ص

r3-/2 r3/2r-/2 r/2r2-

r2

r- r

2

2-

تذكر 1 = i2جتا + i 2جا

i21- جتا = i 2جا

i21- جا = i 2جتا



i 4جتا = )i)1 - جاi 2()1 - جتا2

i 2ظاأثبت صحة المتطابقة:

مـثـال

1 - i 22جا = i 21 - ظتاi 21 + ظتا

5 أثبت صحة المتطابقة: الحل

i 21 - ظتاi 21 + ظتا الطرف األيمن =

i جتا ،i بالتحويل إلى جا i 2جتاi 2جا

- 1

1i2جا

= i1 - ظتا2 i 2قتا

=

i 2جتا - i 2جا = iجا2

i 2جا * i

جتا2 i 21 - جا

1i 2جا

=

)i 21 - جا( - i 2جا =

= 2جاi 2 - 1 = الطرف األيسر

فكر: هل توجد حلول أخرى للمثال؟


أثبت صحة كل من المتطابقات اآلتية:

1 = i ظتا + i ظاi قتا i قا

ب i 2ظتا = i1 + ظتا2

i 21 + ظاأ

i 1 - جاi 1 + جا

= 2)i ظا - i قا( ج‍


اكتشف اإلجابة الخطأ: جاi 2 + جتاi 2 تساوى:

i جتا i 1 + 2جا د i 21 - 2 جا ج‍ 1 - i 22 جتا ب 1 أ

أثبت صحة المتطابقات اآلتية:

2 = iجاi 3 - جتا3 i جتا - i جا

+ iجاi 3 + جتا 3i جتا + i جا

ب 1 = i ظاi قتا i قا

+ i جتا i جاi ظا

أ


سوف تتعلم



5 حل المعادالت المثلثية

Solving Trigonometric Equations

آلة حاسبة علمية �الة حاسبة رسومية �

معادلة مثلثية �Trigonometric equation

� General solution حل عام

إجياد احلل العام للمعادالت املثلثية �

� [r2 ،0[ حل املعادالت ىف الفرتة

حل معادلة مثلثية بحلول حقيقية

ناقشو فكر سبق أن درسنا حل المعادالت الجبرية من الدرجة األولى والدرجة الثانية )جبريا

وبيانيا(، وفى هذا الدرس سوف نحل المعادالت المثلثية وذلك باالستعانة بالمتطابقات

األساسية، فهل يوجد تشابه بين حل المعادالت الجبرية وحل المعادالت المثلثية؟

عمل تعاونى

1 والحظ 2 اشترك مع أحد زمالئك فى رسم الدالة المثلثية ص = جتا i والدالة ص =

نقط تقاطعهما المشتركة

1 والحظ نقاط تقاطعهما المشتركة.2 =

2 = جتاi، ص

1ارسم منحنى الدالة ص -1

1 في ]r2 ،0]؟2 = iكم حال للمعادلة جتا -2

1 في الشكل البيانى؟2 = iهل توجد حلوالا أخرى للمعادلة جتا -3

1 حيث نجد أن2 = iالشكل البيانى التالى يمثل حل المعادلة جتا

r5 عندما r2 ،0[∈ i]، وبإضافة r2 أو -r 2 نحصل 3 ، r3 المعادلة لها حالن هما

على حلول أخرى للمعادلة.

r3-/2 r3/2r-/2 r/2r2- r2r- r س

ص

ص/

س/

الحل العام للمعادالت المثلثيةGeneral solution of the trigonometric equations

مـثـال

أوجد الحل العام لكل من المعادالت اآلتية : 3 = i ظا ج‍ 2

2 = i جتا ب 12 = i جا أ


الحلr6 = i ` 1

2 = i جا a أ

N ∈ ن ، r 2ن+ r + r6 r6 + 2ن r أو - أى أن الحل العام للمعادلة هو

r3-/2 r3/2r-/2 r/2r2-

r2

r- r

12

1-2-

ص

س

ص/

س/ 0٫5

r4 = i ` 2

2 = i جتا a ب

N ∈ ن ، r4 ! r أى أن الحل العام للمعادلة هو 2ن

r3-/2 r3/2r-/2 r/2r2- r2r- r س

ص

ص/

س/ 0٫71

1

r3 = i ` 3 = i ظا a ج‍

N ∈ ن ، نr + r3 أى أن الحل العام للمعادلة هو


أوجد الحل العام لكل من المعادالت اآلتية: 32 = i ظا ج‍ 1 = i 2جتا ب 32 = i جا أ

مـثـال

i 3 جا2 = i جتا i أوجد الحل العام للمعادلة: جا

الحل

0 = ) 32 - i جتا( i جا 0 = i 3 جا

2 - i جتا i جا

3 = 0أوجا i = 0إما2 - iجتا

32 = iجتا

، 0 = i r6 = i

r6 + 2نr حيث ن ∋ i N = ن r حيث ن ∋ Nالحل العام للمعادلة ! = i


حل المعادالت المثلثية

ا من حل المعادلة. والشكل البيانى التالى يمثل جزءا

س

ص

وr3-/2 r3/2r-/2 r/2r2- r2r- r

س/

ص/

تفكير ناقد: هل بالضرورة أن جميع المعادالت المثلثية لها حلول حقيقية؟ وضح ذلك بأمثلة.


أوجد الحل العام لكل من المعادالت اآلتية:

0 = i جا - i جتا i 2 جا ج‍ i جا = i 22 جا ب 0 = i جتا - i 2جتا أ

[r2 ،0[ حل المعادالت المثلثية فى الفترة

مـثـال

c180 < i < c0 0 إذا كانت = i 1 جتا2 - i جتا i حل المعادلة: جا

الحل

بالتحليل 0 = )12 - i جا(i جتا

12 = i 0 أو جا = i جتا

c150 أو c30 = i أو c90 = i

c150 أو c90 أو c30 :حل المعادلة هى


إذا كانت c360 H i < c0 فأوجد مجموعة حل كل من المعادالت اآلتية: 0 = i جتا i 3 جا – i 24 جا ب 0 = i 3 جتا + i جتا i 2 جا أ


أوجد الحل العام لكل من المعادالت اآلتية بالراديان .

0 = 3 - i 2 جا ج‍ i 2جا = i جتا ب 1 = i ظا أ


سوف تتعلم




� Solution of a tringle حل املثلث

5

حل املثلث القائم الزاوية بمعلومية �طوىل ضلعني.

حل املثلث القائم الزاوية بمعلومية �طول أحد أضالعه وقياس إحدى

زاوياه احلادة.

حل المثلث القائم الزاويةSolving the Right Angled Triangle

ناقشو فكر

نعلم أن للمثلث ستة عناصر هى أضالعه الثالثة وزواياه الثالث ، وحل المثلث يعنى

المثلث قائم الزاوية فإنه يلزم معرفة إما إذا كان إيجاد قياسات عناصره الستة، و

طولى ضلعين فيه أو طول أحد أضالعه وقياس إحدى زاويتيه الحادتين.

حل المثلث القائم الزاوية اإذا علم منه طوال �سلعين:

مـثـال

حل المثلث C ب جـ القائم الزاوية فى ب والذي فيه C ب = 39 سم، ب جـ = 62سم.

الحل

: نوجد c( X جـ(: أوالاC ب

ب جـ a ظا جـ =

0.6290322581 - 39` ظا جـ = 62

باستخدام اآللة الحاسبة يكون:

c32 10 جـ( = 17 ا c( X

$ 3 9 ÷ 6 2 = Shift Tan-1 Ans = c,,,

:)C c( X نوجد

c57 49 43 ا = c32 10 17 ا – c90 = )C c( X

أو من الممكن استخدام الحاسبة كاآلتى:

$ 9 0 – 3 2 c,,, 1 0 c,,, 1 7 c,,, = c,,,

C جـ ثانياا: نوجد طول: 39

C جـ = c32 10 جا 17 ا a C ب

C جـa جا جـ =

C

جـب?

?

39 سم

62 سم

?


حل المثلث القائم الزاوية

$ 3 9 0 ÷ sin 3 2 c,,, 1 0 c,,, 1 7 c,,, ( =

39 - 73.24581124 سمc32 10 17 جا

فيكون C جـ =

فكر؟ اذكر هذه الدوال إن وجدت. × C جـ هل توجد دوال مثلثية أخرى تستطيع بواستطها إيجاد طول

؟ أكتب خطوات الحل إن أمكنك ذلك. × C جـ هل يمكنك االستعانة بنظرية فيثاغورث إليجاد طول

C جـ أم استخدام إحدى الدوال المثلثية؟ لماذا؟ × أيهما تفضل استخدام نظرية فيثاغورث إليجاد طول


حل المثلث C ب جـ القائم الزاوية فى ب فى الحالتين اآلتيتين : ب جـ = 5 سم ، C جـ = 13 سم ب Cب = 8 سم ، ب جـ = 12 سم أ

حل المثلث القائم الزاوية اإذا علم منه طول �سلع وقيا�س زاوية

مـثـال

حل المثلث C ب جـ القائم الزاوية فى ب، حيث c( X جـ ( = C ،c62 ب = 16 سم، مقرباا الناتج لرقمين عشريين. الحل

:)C c( X نوجد

c28 = c62 – c90 = )C c( X

ب جـ: نوجد طول

فيكون16

ب جـ = c62 أى أن: ظا C بب جـ a ظا جـ =

16 = c62 ب جـ * ظا

16 = 8.507350907 - 8.51 سم c62 ظا

ب جـ =

C جـ : نوجد طول 16

C جـ = c62 أى أن: جا C ب

C جـa جا جـ =

16 = c62 جـ × جا C

= 18.12112081 - 18.12 سم 16c62 جا

C جـ =


حل المثلث C ب جـ القائم الزاوية فى ب فى الحالتين اآلتيتين: c53 /12 = )C c( X ، جـ = 26 سم C ب c34 = ) جـ c( X ، ب = 8 سم C أ

C

جـبc62

16 سم

?

?

?


تفكير ناقد:هل يمكن حل المثلث القائم الزاوية بمعلومية زاويتيه الحادتين؟ فسر إجابتك .

مـثـال

،c110 قياسها مركزية زاوية يقابل وتر فيها رسم سم، 7 قطرها نصف طول دائرة بالهندسة: الربط احسب طول هذا الوتر ألقرب ثالثة أرقام عشرية.

الحل

C ب = E م فى الشكل المقابل: نرسم

C ب من خواص الدائرة: نقطة د منتصف

c55 = 2 ÷ c110 = )E م C c( X

E C فى المثلث E C م القائم الزاوية: نوجد طول

من تعريف دالة الجيب E C C م

= )E م C( جا

E C 7 =c 55 أى أن: جا

حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين :

E C = 7 × جا c55 - 5.73406431 سم

E C * 2 = ب C : C ب إيجاد طول

أى أن: C ب = 2×5.73406431 = 11.46812862 - 11.468 سم


C ب قطر فيها، الربط بالهندسة: يبين الشكل المقابل دائرة مركزها م ، فإذا كان Cجـ = 12 سم، c37 = )C c( X فأوجد طول نصف قطر الدائرة.

ألقرب رقمين عشريين.


س ص ع مثلث فيه س ص = 11.5 سم، ص ع = 27.6 سم، س ع = 29.9 سم، أثبت أن المثلث قائم الزاوية فى ص، ثم أوجد قياس زاوية س

تفكير ناقد: دائرة طول نصف قطرها 6 سم، رسم فيها وتر يقابل زاوية مركزية قياسها c108 احسب طول

هذا الوتر مقرباا الناتج ألقرب رقمين عشريين.

Cب E

مc55

جـ

Cب مc37


سوف تتعلم




� Angle of Elevation زاوية ارتفاع زاوية انخفاض �

Angle of Depression

مفهوم زوايا االرتفاع واالنخفاض. �استخدام املثلث القائم الزاوية �

حلل مسائل تتضمن زوايا االرتفاع واالنخفاض.

5 زوايا االرتفاع وزوايا االنخفاض

Angles of Elevation and Angles of Depression

ناقشو فكر

هل يمكنك أن توجد ارتفاع مأذنه عن سطح األرض وأنت تبتعد عنها مسافة معلومة

دون أن تقوم بالقياس الفعلى لطول هذه المأذنه؟

زوايا االرتفاع واالنخفاض تعلم

Angles of Elevation and Angles of Depression

إذا رصد شخص C نقطة جـ أعلى -1C ب فإن من مستوى نظره األفقى

تسمى C جـ ، C ب بين الزاوية

المستوى عن جـ ارتفاع زاوية

.C األفقى لنظر الشخص

C نقطة د أسفل إذا رصد شخص 2- وC ب فإن من مستوى نظره األفقى

تسمى C د ، C ب بين الزاوية

المستوى عن د أنخفاض زاوية

.C األفقى لنظر الشخص

فى الشكل المقابل: -3ارتفاع × زاوية هى ب C جـ c

.C البالون بالنسبة للشخص عند

انخفاض × زاوية هى C ب E c

الشخص عند C بالنسبة للبالون وفى

b = ∝ :هذه الحالة يكون

C ب

جـ

شعاع واصل بين الجسم و عين الراصد

الشعاع األفقىعين زاوية االرتفاع

الراصد

C ب

د

شعاع واصل بين الجسم و عين الراصد

الشعاع األفقىزاوية األنخفاض

عين الراصد

C

ب

زاوية األنخفاض

مستوى النظر األفقى

مستوى النظر األفقى∝

b

جـ

E



فى الشكل المقابل )a( من حيث ،)i( ،)b( ،)c( : حدد نوع كل زاوية أوالا

.C كونها زاوية ارتفاع أم انحفاض بالنسبة للراصد عند

ثانيا: اكتب أزواج الزوايا المتساوية.

مـثـال

ا وجد أن قياس زاوية انخفاض من قمة برج ارتفاعه 60 مترا 5 البرج تساوى المار بقاعدة المستوى األفقى جسم واقع فى

c28 36. أوجد بعد الجسم عن قاعدة البرج ألقرب متر.

الحل

C ب نفرض أن C هى قمة البرج

فتكون C E c جـ هى زاوية انخفاض الجسم

لذلك فإن: c( XجـC Ec( X = ) جـ( C ب

ب جـ ظاجـ = تعريف دالة الظل:

60 ب جـ = c28 36 ظا بالتعويض عن C ب = 60:

60 = c28 36 ب جـ × ظا

= 125.22966 - 125 مترا60

c28 36 ظاب جـ =


.c63 رصد شخص من قمة جبل ارتفاعه 2.56 كم نقطة على سطح األرض، فوجد أن زاوية انخفاضها هو أوجد المسافة ألقرب متر بين النقطة والراصد.

مـثـال

عمود إنارة طوله 7.2 متر يلقى ظال على األرض طوله 4.8 متر، أوجد بالراديان قياس زاوية ارتفاع الشمس عندئذ.

الحل

نفرض أن نقطة C هى قمة عمود اإلنارة C ب، وأن ب جـ هو طول ظل العمود،

i زاوية ارتفاع الشمس

1.5 = 7.24.8= i ظا ` C ب

ب جـ a ظاجـ =

c56 36 18 ا = )ic( X

E0.9827937232 - r

c180 * c56 زاوية ارتفاع الشمس بالراديان = 36 18 ا `

∝Cb

c

i

C

جـب

E

c28 /36

c28 /36

ا ترا6م

0

C

جـب

7٫2 م

4٫8 مi


زوايا االرتفاع وزوايا االنخفاض

مالحظة: يمكن استخدام اآللة الحاسبة إليجاد i بالراديان مباشرة دون إيجادها بالدرجات كاآلتى:

$ Shift Mode 4 )Rad :4( :)Radian( تهيئة اآللة الحاسبة على نظام -11 . 5 Shift tan )tan-1( :)Data( أدخال البيانات -2

:)call outputs( أستدعاء النواتج -3=

r math

0.982793732


من قمة صخرة ارتفاعها 180 متر من سطح البحر قيست زاوية انخفاض قارب يبعد 300 متر عن قاعدة الصخرة، فما مقدار قياس زاوية االنخفاض بالراديان؟

مـثـال

ا، والحظ سفينتين فى البحر على شعاع واحد من قاعدة الصخرة وقف شخص على صخرة ارتفاعها 50 مترا وقاس زاويتى انخفاضيهما، فوجدهما c55 ،c 38 أوجد البعد بين السفينتين ألقرب متر .

الحل

E ب ، وأن البعد بين السفينتين هو جـ C نفرض أن ارتفاع الصخرة هو

:E ب C 9 فى

50

c38 ظا = E ب `

50E ب

= c38 ظا a

` ب E - 64 متر

- 35 متر 50

c55 ظا` ب جـ =

50ب جـ = c55 ظا a

` جـ E = 64 – 35 = 29 متر ـ a جـ E = ب E – ب ج


ى أفقى نحو المنطاد شاهد راصد أن قياس زاوية ارتفاع منطاد مثبت هى c30، ولما سار الراصد فى مستوا مسافة 1000 متر شاهد أن قياس زاوية االرتفاع هى c45. أوجد ارتفاع المنطاد ألقرب متر.


يقف شخص على بعد 50 متر من قاعة برج ، رصد زاوية ارتفاع قمة برج، فوجد أن قياسها c25 . أوجد ارتفاع البرج ألقرب متر.

بين المسافة . أوجد c25 رصد شخص طائرة على ارتفاع 1000 متر، فوجد أن قياس زاوية ارتفاعها 17 الراصد عن الطائرة.

رصد شخص واقف على سطح األرض طائرة على ارتفاع 800 متر عن سطح األرض، فوجد أن قياس زاوية ارتفاعها c25 17. أوجد المسافة بين الشخص والطائرة .

C

Eجـب

c55

c38

c38 c55

؟

متر 50


سوف تتعلم



آلة حاسبة علمية �Scientific Calculator

� Circular Sector قطاع دائرى

مفهوم القطاع الدائرى �إجياد مساحة القطاع الدائرى �

5 القطاع الدائرى

Circular Sector

ناقشو فكر

القطاع الدائرى: سبق أن درست العالقة بين طول قوس )ل( من دائرة

المركزية الزاوية وقياس )H( قطرها نصف طول

.H * Ei = وعلمت أن: ل )i( المقابلة لهذا القوس

فهل يمكنك إيجاد مساحة هذا الجزء من سطح الدائرة

المظلل فى الشكل المقابل؟

محدود الدائرة سطح من جزء هو الدائرى: القطاع بنصفى قطرين وقوس.

م C ، م ب يقسمان الدائرة إلى ففى الشكل المجاور

قطاعين دائريين، القطاع األصغر م C ج ب والقطاع

القطاع بزاوية ب Cم c وتسمى ب. E Cم األكبر

األصغر، Ccم ب المنعكسة بزاوية القطاع األكبر.

Area of the Circular sector م�ساحة القطاع الدائرى

نشاط:

CCCC

بب

ب مممم

ا من الدوائر المتطابقة: األشكال الموضحة بالشكل العلوى تمثل عددا

هل زيادة مساحات القطاعات الدائرية ناتج عن زيادة طول نصف قطر الدائرة؟ -1هل زيادة مساحات القطاعات الدائرية ناتج عن زيادةقياس زاوية القطاع الدائرى؟ -2

م ب إذا استمرت الزيادة فى قياس زاوية القطاع إلى أن ينطبق الضلع النهائى -3م C فماذا تتوقع أن تكون مساحة القطاع؟ على الضلع االبتدائى

م

ل

i HH

Cب

م

جـ

E

القطاع األكبر

القطاع األصغر


القطاع الدائرى

مساحة القطاع الدائرى بمعلومية قياس زاويته المركزية وطول نصف القطر تعلم

. r2 مساحة القطاع يمثل جزء من مساحة دائرة قياس زاويتها المركزية يساوى

من النشاط السابق نستنتج أن:Eir2

مساحة القطاع = مساحة الدائرة

* مساحة الدائرةEir2

أى أن مساحة القطاع =

Ei 2H 12

= 2H r * Eir2

=

Ei 2H 1 )حيث i زاوية القطاع، H طول نصف قطر دائرته( مساحة القطاع الدائرى = 2

ا دائريا؟ وضح ذلك تفكير ناقد: هل تعتبر الدائرة قطاعا

مـثـال

E1.2أوجد مساحة القطاع الدائرى الذى طول نصف قطر دائرته 10 سم وقياس زاويته الحل

Ei 2H 1مساحة القطاع الدائرى = 2 صيغة القانون:

1 )10(2 * 1.2 = 60 سم2 2 = :E1.2 = Ei ،10 = H بالتعويض عن


قطاع دائرى مساحته 270 سم2 وطول نصف قطر دائرته 15 سم ، أوجد بالراديان قياس زاويته .

ثانياا: إيجاد مساحة القطاع الدائرى بمعلومية زاويته بالدرجات:

Ei * 2H 1

22H r

= مساحة القطاعمساحته دائرته a

cس

c360 =

Eir2

ولكن

سc * مساحة الدائرة

c360` مساحة القطاع =

مـثـال

قطاع دائرى طول نصف قطر دائرته 16 سم وقياس زاويته c120، أوجد مساحته ألقرب سنتيمتر مربع . الحل

2H r * cس

c360 مساحة القطاع = صيغة القانون:

r * c120 )16(2 - 268 سم2c360

= :c120 =c16 ،س = H بالتعويض عن

م

ل

i HH

تذكرالستينى القياس بين العالقة

والقياس الدائرى هى:

cس

c180 = Ei

r



قطاع دائرى قياس زاويته c60 وطول نصف قطر دائرته 12 سم أوجد مساحته ألقرب رقم عشرى واحد.

ثالثاا:إيجاد مساحة القطاع الدائرى بمعلومية طول قوسه

Ei 2H 1تعلم أن: مساحة القطاع الدائرى = 2

H 1 ل2 =

لH * 2H 1

2 =

ل (H

= Ei :وذلك بالتعويض عن(

مـثـال

أوجد مساحة قطاع دائرى محيطه يساوى 28 سم، وطول نصف قطر دائرته 8 سم. الحل

أى H 2 + ل = 28 محيط القطاع = H 2 + ل:

2 * 8 + ل = 28 بالتعويض عن H = 8 سم:

ل = 28 – 16 = 12 سم بالتبسيط:

H 1 ل2 صيغة القانون: مساحة القطاع =

بالتعويض عن: ل = 12 سم، H = 8 سم: 1 * 12* 8 = 48 سم2

مساحة القطاع = 2


الربط بالجغرافيا: إذا علمت أن خط االستواء هو دائرة طول نصف قطرها 6380 كم، فأوجد المسافة بين مدينتين على خط األستواء إذا كان القوس الواصل بينهما يقابل زاوية قياسها c30 عند مركز األرض.


أوجد بداللة r مساحة الجزء المظلل فى كل شكل من األشكال اآلتية: د ج‍ ب أ

3 سم3 سم8 سم

6 سم

6 سم

5 سم7 سم

2 سمc60

تذكرطول القوس الذى يقابل زاوية

دائرة فى i قياسها مركزية طول نصف قطرها H يتحدد

من العالقة:H × Ei = ل

ف إلى أض

معلوماتك

طول الذى القطاع محيط قطر نصف وطول ل قوسه دائرته H يتحدد من العالقة :

محيط القطاع = H2 + ل

م

ل

H H


سوف تتعلم



5

آلة حاسبة علمية �Scientific Calculator

� Circular Segment قطعة دائرية

القطعة الدائرية � إجياد مساحة القطعة الدائرية �

القطعة الدائريةCircular Segment

القطعة الدائرية تعلم

القطعة الدائرية هى جزء من سطح الدائرة محدود بقوس فيها ووتر مار بنهايتى ذلك القوس.

تسمى دائرتين قطعتين إلى الدائرة يقسم C ب الوتر

ب، E C الكبرى والقطعة ب جـ C الصغرى القطعة بينما الصغرى القطعة بزاوية ب م Cc وتسمى

Cc م ب المنعكسة بزاوية القطعة الكبرى.

اإيجاد م�ساحة القطعة الدائرية:

Cب

جـ

م

iHH

مساحة القطعة الصغرى C جـ ب

= مساحة القطاع األصغر م C ب - مساحة سطح المثلث م C ب

iجا H * H *12 - Ei 2H 1

2 =

)i جا - Ei(2H 1مساحة القطعة الدائرية = 2

حيث H طول نصف قطر دائرتها، i هو قياس زاوية القطعة.

فكر: هل يمكنك إيجاد مساحة القطعة الكبرى بمعلومية مساحة القطعة الصغرى؟ وضح ذلك.

القطعة الكبرى

القطعة الصغرى Cبجـ

E

م

تذكر

H 1 × ع2 مساحة المثلث =

حيث:ع

H = i جا

i جا H = ع

مساحة المثلث = iجا H * H *1

2

iHH

ع


مـثـال

.c150 أوجد مساحة القطعة الدائرية التى طول نصف قطر دائرتها 8 سم، قياس زاويتها الحل

r56

- r

c180 * c150 = Ei

c150جا = iجا

)iجا - Ei( 2H 1مساحة القطعة الدائرية = 2

r5 – جاc150( - 67.7758 سم26

( 64 * 1مساحة القطعة الدائرية = 2


الناتج مقرباا E2.2 زاويتها قياس سم، 10 دائرتها قطر نصف طول التى الدائرية القطعة مساحة أوجد ألقرب رقمين عشريين.

مـثـال

مساحة أوجد األخرى. بمركز منهما كل وتمر سم، 12 منهما كل قطر نصف طول متطابقتان دائرتان المنطقة المشتركة بينهما.

الحل

حيث المساحة فى متساويتين قطعتين إلى المظلل الجزء فيقسم C جـ نرسم

الزاوية المركزية لكل منها c90 ونصف قطر كل منها 12 سم.

مساحة الجزء المظلل = 2 * مساحة القطعة الدائرية

)iجا -Ei( 2H 12 * 2 =

( = 144 * 0.75 - 82.19 سم2 r2 r2 - جا ( 144 =


ا سنتيمترا 12 وترها طول التى الكبرى الدائرية القطعة مساحة أوجد وارتفاعها 2 سنتيمتر مقرباا الناتج ألقرب سنتيمتر مربع.


زينه: حوض زهور على شكل دائرة طول نصف قطرها 8 أمتار، رسم فى الدائرة وتر طوله 8 أمتار. احسب مساحة القطعة الدائرية الصغرى ألقرب رقم عشرى واحد.

مثلث بواسطة أجزاء أربعة إلى قسم أمتار، 4 قطرها نصف طول دائرة شكل على للزرع حوض زراعة: الدائرية الصغرى ألقرب رقمين القطع الدائرة. احسب مساحة إحدى متساوى األضالع تقع رؤوسه على

عشريين .

C

جـب

E12 سم

سم 2

أرتفاع القطعة

م


سوف تتعلم



5


� regular polygon مضلع منتظم

مساحة املثلث �مساحة الشكل الرباعى �مساحة املضلع املنتظم �

المساحاتAreas

ناقشو فكر

The Area of a Triangle م�ساحة المثلث: سبق أن درست مساحة المثلث وعلمت أن مساحته تتحدد كاآلتى:

1 طول القاعدة * االرتفاعمساحة المثلث = 2

ففى الشكل المجاور: E C × 1 ب جـ

مساحة المثلث = 2

فكر: هل تنطبق هذه العالقة على المثلث القائم الزاوية والمثلث المنفرج الزاوية؟

م�ساحة المثلث بمعلومية طولى �سلعين والزاوية المح�سورة بينهماThe Area of a tringle in terms of the lengths of two sides and the included angle

تعلم

من الشكل المقابل: أى أن: C = E Cب جا ب E C

C بجا ب =

ومن قانون مساحة المثلث: E C * 1 ب جـ


1* ب جـ * Cب جا ب2 =

تعبير شفهى: أوجد مساحة المثلث بمعلومية كل من: C c ،جـ C ،ب C ب جـ C، جـ ب، cجـ أ

وبوجه عام نستنتج أن:

مساحة المثلث = نصف حاصل ضرب طولى ضلعين * جيب الزاوية المحصورة بينهما.

C

جـب E

C

جـب E


مـثـال

أوجد مساحة المثلث C ب جـ الذى C ب = 9 سم ، C جـ = 12 سم، c48 = )Cc(X مقرباا الناتج ألقرب رقمين عشريين.

الحل

C جـ جاC * ب C * 1مساحة المثلث C ب جـ = 2

c48 = )Cc(X ،جـ = 12 سم C ، ب = 9 سم C بالتعويض عن

1 * 9 * 12 * جا 48 - 40.13 سم2 مساحة المثلث C ب جـ = 2

$ 1 ÷ 2 × 9 × 1 2 × Sin 4 8 =


أوجد مساحة المثلث C ب جـ الذى فيه ب جـ = 16 سم، ب C = 22 سم ، c(Xب( = c 63 مقربا الناتج ألقرب ثالثة أرقام عشرية.

The Area of a Convex Quadrilateral اإيجاد م�ساحة ال�سكل الرباعى المحدب

فى الشكل المقابل: C جـ ∩ ب E = }م{ C ب جـ E شكل رباعى فيه

جـ و = ب i ،E هى الزاوية المحصورة بين القطرين. ،E هـ = ب C

E 9جـ ب + E ب C9 مساحة الشكل الرباعى = مساحة

1 ب E * جـ و1 ب C * E هـ + 2

2 =

)iجـ م جا + iم جا C( E 1 ب1 ب C( E هـ + جـ و( = 2

2 =

iجـ * جا C * E 1ب1 ب E * جاC( i م + جـ م( = 2

2 =

وبوجه عام يكون مساحة الشكل الرباعى بمعلومية طولى قطريه والزاوية المحصورة بينهما هى:

1 حاصل ضرب طولى قطريه * جيب الزاوية المحصورة بينهمامساحة الشكل الرباعى = 2

فكر: هل تتغير مساحة الشكل الرباعى إذا استبدلنا الزاوية i بالزاوية المكملة لها؟ فسر إجابتك.

C

جـب

وم

E

هـii


المساحات

مـثـال

c68 بينهما المحصورة الزاوية الذى طوال قطريه 12 سم، 16 سم وقياس الرباعى الشكل أوجد مساحة مقربا الناتج ألقرب سنتيمتر مربع.

الحل

صيغة المساحة هى:

1 حاصل ضرب طولى قطريه * جيب الزاوية المحصورة بينهما مساحة الشكل الرباعى = 2

1 * 12 * 16 * جا c68 - 89 سم2 2 ` مساحة الشكل الرباعى =


c122 أوجد مساحة الشكل الرباعى الذى طوال قطريه 32 سم، 46 سم وقياس الزاوية المحصورة بينهما مقربا الناتج ألقرب رقم عشرى واحد.

تفكير ناقد: احسب باستخدام القانون السابق مساحة كالا من:

مربع طول قطره 10 سم أ معين طوال قطريه 8 سم ، 12 سم - ماذا تالحظ؟ ب

The area of a regular polygon اإيجاد م�ساحة الم�سلع المنتظم شكل )1(: يمثل مضلع منتظم، عدد أضالعه ن وطول ضلعه س.

شكل )2(: يمثل أحد المثلثات المأخوذه من شكل )1( )لماذا(؟ r2

ن c( X aبCجـ( =

rن أى أن E C = ب E * ظتا E C

E ب = rن ` ظتا

)حيث س طول ضلع المضلع( rن 1 س ظتا

2 = E C

rن 1 س ظتا

2 1 س * 2 = E C * 1 ب جـ


rن 1 س2 * ظتا

4 =

مساحة المضلع الذى عدد أضالعه ن وطول ضلعه س =

rن 1 ن س2 * ظتا

4

مـثـال

أوجد مساحة الشكل الثمانى المنتظم الذى طول ضلعه 6 سم مقرباا الناتج ألقرب رقمين عشريين.

C

سجـب E

شكل )1(شكل )2(


الحل

rن 1 ن س2 * ظتا

صيغة القانون مساحة الشكل المنتظم = 4 بالتعويض عن ن = 8، س = 6 سم:

˚1808 1 * 8 * )6(2 * ظتا

المساحة = 4

- 173.8 سم21

ظا 22.5˚ * 72 =

تعبير شفهى: باستخدام صيغة القانون السابق أوجد مساحة كل من:

3- المسدس المنتظم 2- المربع 1- المثلث المتساوى األضالع


أوجد مساحة الشكل الخماسى المنتظم الذى طول ضلعه 16 سم مقربا الناتج ألقرب ثالثة أرقام عشرية.

نشاط

http://www.keycurriculum.com/products/sketchpad وتحميله من الموقع SKETCHEXCHANGE المجانى )GSP( استخدم برنامج

إيجاد أطوال أضالعها وقياسات زواياها ومساحاتها يستخدم هذا البرنامج لرسم األشكال الهندسية المختلفة و

إيجاد مساحته نتبع اآلتى: إيجاد خصائصها فمثالا لرسم شكل رباعى و كما يستخدم فى رسم الدوال الجبرية و

نفتح البرنامج كما فى الشكل المجاور. -1

رسمه نريد الذى الشكل صفة نختار األيقونة على بالضغط -2وبالضغط بالماوس نحدد نقاط الشكل على الرسم.

بمجرد تلقائيا الشكل رموز نكتب األيقونة على بالضغط -3تحديد نقاط الشكل.

بالضغط على األيقونة يمكن االختيار المناسب إلجراء التحويالت الهندسية المختلفة على الشكل أو -4تغيير أبعاده.

بالضغط على األيقونة يمكن رسم قطع مستقيمة أو مستقيمات أو أشعة فى الشكل . -5

...( مع قياس زاوية، ، طول ضلع، المطلوب )محيط، مساحة القياس نختار نوع )Measure( التبويب من -6كتابة بيانات كل قياس بجوار الشكل.

.)Help( للتعرف على أدوات أكثر أو عمليات أخرى استخدم التبويب -7


ملخص الوحدة

المتطابقة: هى متساوية صحيحة لجميع قيم المتغير الحقيقية والذى يعرف به كل طرف من طرفى المتساوية.

θ 2قتا = θ 21 + ظتا ، θ 2قا = θ 21 ، 1 + ظا = θ 2جتا + θ 2متطابقات فيثاغورث: جا

إثبات صحة متطابقة: إلثبات صحة متطابقة مثلثية نثبت أن الدالتين المحددتين لطرفيها متساويتان.

المعادلة: هى متساوية صحيحة لبعض األعداد الحقيقية التى تحقق هذه المتساوية وغير صحيحة للبعض األخر

الذى ال يحققها.

زاوية االرتفاع وزاوية االنخفاض:

زاوية االرتفاع أو االنخفاض هى اتحاد الشعاع األفقى

ا بعين الراصد. مع الشعاع البادئ من الجسم مار

قياس زاوية االرتفاع = قياس زاوية االنخفاض )بالتبادل(.

القطاع الدائرى : هو جزء من سطح الدائرة محدودة بنصفى قطرين وقوس .

)حيث Eθ زاوية القطاع ، H نصف قطر دائرته( Eθ 2H 12 مساحة القطاع الدائرى =

)حيث سc زاوية القطاع بالدرجات( × مساحة الدائرة cسc360

=

)حيث ل طول القوس، H طول نصف قطر دائرته( H 1 ل2 =

القطعة الدائرية : هى جزء من سطح الدائرة محدود بقوس فيها ووتر مار بنهايتى ذلك القوس.

)θجا - Eθ(2H 1مساحة القطعة = 2

)حيث θ قياس الزاوية المركزية للقطعة، H طول نصف قطر دائرتها(.

1 طول القاعدة × االرتفاع2 مساحة المثلث =

1 حاصل ضرب ضلعين × جيب الزاوية المحصورة بينهما. 2 =

1 حاصل ضرب القطرين × جيب الزاوية المحصورة بينهما.2 مساحة الشكل الرباعى =

rن 1 ن س2 × ظتا

4 مساحة الشكل المنتظم =

)حيث ن عدد أضالع المضلع ، س طول الضلع(

زاوية االنخفاض

زاوية األرتفاع

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

Education