Ханты Югра 2012- 10 класс’ОШ_для_10-х_классов.pdf · 10 класс 1....

Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике

Ханты-Мансийский автономный округ – Югра

2012-2013 учебный год 10 класс

1. Докажите, что , если .

2. В десятичной записи некоторого натурального числа переставили цифры и получили число в

три раза меньшее. Доказать, что исходное число делится на 27.

3. В окружность радиуса 1 вписан правильный 2012-угольник. Найти сумму квадратов

расстояний от произвольной точки окружности до всех вершин этого многоугольника.

4. Сумма первых n членов арифметической прогрессии равна сумме первых m членов той же

прогрессии. Определите сумму первых членов этой же прогрессии.

5. В шахматном одно круговом турнире, где каждый участник играет с каждым другим один раз,

участвовало два девятиклассника и некоторое число десятиклассников. Два девятиклассника

вместе набрали 8 очков, а каждый десятиклассник набрал одно и то же число очков. Сколько

десятиклассников участвовало в турнире? (За победу в шахматной партии дается одно очко,

за ничью – пол очка, за поражение – ноль очков).



2012-2013 учебный год 10 класс (решения)

1. Докажите, что , если .

Доказательство. Первое решение. Если , то условие имеет вид , что не

верно. Следовательно, если и требуемое неравенство выполняется. Пусть

. Рассмотрим квадратичную функцию . Поскольку

, и, по условию, , то в точках +1 и -1 функция

принимает значения разного знака и отлична от нуля. Это означает, что квадратичная

функция имеет два корня, необходимым и достаточным условием которого является

положительность дискриминанта, то есть , откуда и следует требуемое

неравенство.

Второе решение. Из условия имеем

. Или . Согласно неравенству о среднем арифметическом и среднем

геометрическом , откуда

.

2. В десятичной записи некоторого натурального числа переставили цифры и получили число в

три раза меньшее. Доказать, что исходное число делится на 27.

Доказательство. Пусть a – исходное число, а число b получено из a после перестановки

некоторых цифр. По условию , то есть число a делится на 3. Так как сумма цифр у

чисел a и b одинакова, то, по признаку делимости на 3, число b тоже делится на 3. Далее, раз

число b делится на 3, а число a = 3b, то a делится на 9. Теперь согласно признаку делимости

на 9, число b тоже делится на 9, а значит, число a делится на 27.

Примечание. Доказано, что число a делится на 9, – 3 балла.

3. В окружность радиуса 1 вписан правильный 2012-угольник. Найти сумму квадратов

расстояний от произвольной точки окружности до всех вершин этого многоугольника.

Ответ: 4024.

Решение. Так как число вершин правильного 2012-угольника четно, то они разбиваются на

1006 пар диаметрально противоположных вершин. Пусть AB некоторый диаметр, а M –

произвольная точка окружности. Если M совпадает с одной из вершин A или B, то

. Если точка M отлична и от A и от B, то треугольник MAB прямоугольный

(угол AMB – вписанный и опирается на диаметр) с гипотенузой AB = 2. Тогда, по теореме

Пифагора, . Следовательно, независимо от выбора точки M, сумма

квадратов расстояний от нее до вершин каждой пары диаметрально противоположных

вершин постоянна и равна 4. Следовательно, сумма квадратов расстояний от точки M до

вершин правильного 2012-угольника будет равна .

Примечание. Если не рассмотрен случай совпадения точки с вершиной многоугольника –

минус 1 балл.

4. Сумма первых n членов арифметической прогрессии равна сумме первых m членов той же

прогрессии. Определите сумму первых членов этой же прогрессии.

Ответ: 0.

Решение. Обозначим через - первый член прогрессии, а d – разность прогрессии. По

условию задачи , то есть справедливо равенство

, из

которого, учитывая, что , получаем . Подставляя полученное

выражение для в формулу суммы первых членов той же прогрессии, получим

.

Примечание. Верный ответ без обоснования – 1 балл.

5. В шахматном однокруговом турнире, где каждый участник играет с каждым другим один раз,

участвовало два девятиклассника и некоторое число десятиклассников. Два девятиклассника

вместе набрали 8 очков, а каждый десятиклассник набрал одно и то же число очков. Сколько

десятиклассников участвовало в турнире? (За победу в шахматной партии дается одно очко,

за ничью – пол очка, за поражение – ноль очков).

Ответ. 7 или 14.

Решение. Пусть в турнире участвовало n десятиклассников. Так как в каждой партии всего

разыгрывается одно очко, то девятиклассники в игре между собой вместе набрали 1 очко, и,

следовательно, 7 очков набрали в играх с десятиклассниками. Тогда все десятиклассники

суммарно набрали

очков в играх между собой и 2n – 7 очков в играх с двумя

девятиклассниками. По условию, все десятиклассники набрали одинаковое число очков, то

есть, число

кратно n. Последнее означает, что число

целое. Если n

нечетно, то (n – 1) – четно, и, следовательно, n делит 7, то есть n = 1 или n = 7. Значение n =

1 не подходит, так как общее число набранных очков десятиклассниками будет отрицательно.

Пусть n четно, то есть n = 2к. Тогда

=

. Следовательно,

целое, а

значит

, откуда k = 1 или k = 7. Действительно, при k > 7

, а значения k

проверяются непосредственно. Значение k = 1 не подходит по тем же причинам, что и в

первом случае. Таким образом, для n имеем два значения: 7 и 14. Проверкой легко

убедиться, что оба значения подходят.

Примечание. Получен один ответ – 5 баллов.




1. Решите задачу (7 баллов)

Найдите остаток от деления числа 222…2 (в его записи 2012 двоек) на 13.


Решите систему уравнений


Можно ли в бесконечной последовательности чисел

Выбрать 7 чисел, образующих арифметическую прогрессию?


Медиана, биссектриса и высота, проведенные из вершины треугольника, делят угол при этой

вершине на четыре равные части. Найдите углы треугольника.


Многочлен Р(х) с целыми коэффициентами принимает в точках х=1 и х=2 значение 2013.

Докажите, что у этого многочлена нет целых корней.



2013-2014 учебный год 10 класс (решения)


Найдите остаток от деления числа 222…2 (в его записи 2012 двоек) на 13.

Решение. При непосредственном делении обнаруживаем, что 222222 делится на 13. Но

2012=335·6+2. Значит, искомый остаток такой же, как и у числа из двух двоек: 22, т.е., 9.

Ответ: 9.

Оценивание. Верное решение – 7баллов.


Решите систему уравнений

Решение. Сложив уравнения системы, после сокращения на 2 получим: xy+yz+zx=14.

Вычитая отсюда первое уравнение системы, найдем: yz=9. Аналогично находим xz=4 и xy=1.

Перемножая эти три равенства, получим (xyz)²=36, откуда xyz=6 или xyz= –6, и немедленно находим

всё.

Ответ: .6;2

3;

3

2,6;

2

3;

3

2

Оценивание. Верное решение – 7 баллов.


Можно ли в бесконечной последовательности чисел

Выбрать 7 чисел, образующих арифметическую прогрессию?

Решение. Например, это можно сделать так: возьмем произвольную арифметическую

прогрессию из семи натуральных чисел, и поделим её на наименьшее общее кратное этих семи

чисел.

Ответ: Да.

Оценивание. Верное решение – 7 баллов. (Годится и любой конкретный пример).

Однако за верный ответ без обоснования – 0.


Медиана, биссектриса и высота, проведенные из вершины треугольника, делят угол при этой

вершине на четыре равные части. Найдите углы треугольника.

Решение. Пусть в треугольнике ABC высота BH, биссектриса BK и медиана BM делят угол B

на четыре равные части, по xº каждый. Пусть S – середина AB. По свойству медианы прямоугольного

треугольника, угол SHB также равен xº. SM – средняя линия, она параллельна BC, и, значит, угол

SMB также равен xº. Из равенства углов SMB и SHB следует, что точки S, H, M и B лежат на одной

окружности. Но угол BHM – прямой; значит, прямым будет и угол BSM (а, значит, и угол B).

Итого: 4x=90, x=22,5; A=90–22,5=67,5.

Ответ: 22,5º, 67,5º и 90º .


За правильный необоснованный ответ – 1 балл.

Замечание. Возможны и другие решения – как геометрические, так и алгебраические. Однако

решение типа « для треугольника с такими углами это верно – значит, углы – такие», при отсутствии

полного обоснования, оценивается в 1 балл.


Многочлен Р(х) с целыми коэффициентами принимает в точках х=1 и х=2 значение 2013.

Докажите, что у этого многочлена нет целых корней.

Решение. При x=2 значение многочлена P(x) – нечетно. Значит, его свободный член –

нечетное число. Значит, при любом четном «x» значение многочлена P(x) нечетно, и, в частности, не

равно 0. Аналогично: при x=1 значение многочлена P(x) нечетно. Значит, сумма его коэффициентов

– нечетное число. Значит, при любом нечетном «x» значение многочлена P(x) также нечетно, и,

значит, не равно 0.




2014-2015 учебный год

10 класс

Задания

1. Делитель натурального числа называется собственным, если он не равен этому числу и

единице. Найдите все натуральные числа, у которых самый большой собственный делитель в

7 раз больше самого маленького собственного делителя.

2. Один из двух приведенных квадратных трехчленов имеет два корня, меньших 2014, другой –

два корня, больших 2014. Может ли сумма этих трехчленов иметь один корень меньше 2014, а

другой больше 2014?

3. Известно, что , а

. Найдите, чему может быть равно

выражение

.

4. Точка М – середина стороны АВ треугольника АВС. На отрезке СМ выбраны точки P и Q так,

что CQ=2PM. Оказалось, что 90APM . Докажите, что ACBQ .

5. В магазине в ряд висят 21 белая и 21 синяя рубашка. Найдите такое минимальное k, что при

любом изначальном порядке рубашек можно снять k белых и k синих рубашек так, чтобы

оставшиеся белые рубашки висели подряд и оставшиеся синие рубашки тоже висели подряд.




10 класс

Ответы и решения

1. Ответ: все натуральные числа вида , где q – простое число.

Решение. Наименьший собственный делитель любого натурального числа – простое число,

иначе оно не наименьшее. Если a – наибольший, а q – наименьший собственный делитель

числа n, то . По условию . Следовательно .

Критерии: Верный ответ – 7 баллов, не указано, что q простое число – 3 балла.

2. Пусть и – приведенные квадратные трехчлены, удовлетворяющие условию задачи.

Так как ветви парабол этих функций направлены вверх, а значение x = 2014, для обеих

функций, находится вне промежутка между корнями, то , , а

следовательно, и . У квадратичной функции коэффициент

перед равен 2 > 0. Следовательно, в промежутке между корнями функция принимает

отрицательные значения, то есть . Противоречие.

Критерии. Верные рассуждения на графиках – 7 баллов,

3. Ответ: 2.

Решение. Из равенства , делением обеих частей на суммы , и ,

отличные от нуля по второму условию, последовательно находим

,

,

. Складывая полученные равенства и учитывая второе условие, получим

. Откуда и следует ответ.

Критерии. Правильный ответ, полученный при конкретных значениях a, b и c – 2 балла.

4. Решение. Вначале заметим, что

. В противном случае точка Q не будет лежать на

отрезке CM. Если точка P – середина отрезка CM, то Q совпадает с точкой M. В этом случае

медиана AP треугольника AMC является, согласно условию, и высотой. Следовательно,

треугольник AMC – равнобедренный и AC = AM = BM. Утверждение верно. Пусть

. Опустим из точки B перпендикуляр BH на прямую CM. Из равенства прямоугольных

треугольников BMH и AMP имеем BH = AP, HM = MP. Далее, ,

. Таким образом, прямоугольные

треугольники BHQ и APC равны по двум сторонам: . Следовательно, BQ

= AC.

Критерии. Не отмечено, что

– минус 1 балл; не рассмотрен случай, когда P –

середина отрезка CM – минус 2 балла.

5. Ответ: k = 10.

Решение. Пример. Покажем, что значение k = 10 удовлетворяет условию задачи. Пусть все 42

рубашки висят в ряд слева направо. Разделим его на две равные части перегородкой между 21

и 22 рубашками. По принципу Дирихле, среди 21 рубашек левой половины найдется не менее

11 рубашек одного цвета, пусть белого цвета. Тогда в другой половине белых рубашек не

более 10, а в левой части синих рубашек не более 10. Удалим из левой половины все синие

рубашки – их не более 10, а из правой половины все белые рубашки – их тоже не более 10. В

левой части останутся висеть только белые рубашки, а в правой – только синие. Если

удаленных рубашек одного цвета меньше 10, то снимем еще столько рубашек, чтобы каждого

цвета стало ровно по 10.

Оценка. Пусть в начале рубашки расположены так: 11 белых ,21 синих, 10 белых. Если будет

снято с вешалки менее 10 рубашек, то оставшиеся белые рубашки не будут висеть подряд

Критерии. Оценка без примера – 3 балла, пример без оценки – 4 балла.




ЗАДАНИЯ

10 класс

1. Из ряда натуральных чисел вычеркнули все числа, которые являются квадратами

или кубами целых чисел. Какое из оставшихся чисел стоит на 100 месте?

2. Расстояние между городами A и B равно 180 км. Из A в B выехал автобус со

скоростью 60 км/ч. Одновременно из B навстречу ему выехало маршрутное такси

со скоростью 80 км/ч. Автобус через каждые 10 мин движения делает остановку на

2 мин. Маршрутное такси через каждые 12 мин движения делает остановку на 2

мин. Через сколько времени после начала движения они встретятся?

3. Найдите сумму чисел

.

4. Пусть 0,, cba . Найдите наименьшее значение выражения

.

5. В выпуклом четырехугольнике ABCD диагональ AC делит пополам отрезок,

соединяющий середины сторон BC и AD. В каком отношении она делит диагональ

BD?




Ответы и решения 10 класс

1. Ответ: 112.

Решение. Среди натуральных чисел от 1 до 100 имеется 10 чисел, являющихся квадратами целых

чисел – 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, и 4 числа, являющихся кубами целых чисел – 1, 8, 27, и

64. Из них числа 1 и 64 входят в оба списка. Значит, из первых 100 натуральных чисел от 1 до 100

будут вычеркнуты ровно 12 чисел: 1, 4, 8, 16, 25, 27, 36, 49, 64, 81, 100. Тогда последнее

оставшееся число 99 будет стоять на 88 месте. Так как среди следующих 12 чисел от 101 до 112

нет ни одного квадрата или куба целого числа, то на сотом месте будет стоять число 112.

Критерии. Обоснованно получен верный ответ – 7 баллов; не учтено, что числа 1 и 64 входят в

список дважды – 2 балла; верный ответ без обоснования – 1 балл.

2. Ответ: через 1 ч 30 мин.

Решение. Для удобства переведем скорости в км/мин. Скорость автобуса равна 1 км/мин, а

маршрутного такси –

. Согласно условию, автобус начинает движение от каждой

следующей остановки через 12 минут после начала движения от предыдущей: 10 минут на

движение и 2 минуты на стоянку. Маршрутное такси начинает движение через каждые 14 минут –

12 минут на движение и 2 минуты на стоянку. Тогда, через 84 минуты ( )

автобус и маршрутное такси одновременно начнут движение после 7-й и 6-й остановки

соответственно. К этому моменту автобус находился в движении 70 минут (7 промежутков по 10

минут) и проехал за это время 70 км, маршрутное такси было в движении 72 минуты (6

промежутков по 12 минут) и проехало

= 96 км. Следовательно, в момент начала движения

после 84 минуты между ними будет 180 – 70 – 96 = 14 км, и встреча после этого произойдет через

6 минут. Таким образом, автобус и маршрутное такси встретятся через 84 + 6 = 90 минут

после начала движения.

Критерии. Обоснованно получен верный ответ – 7 баллов; за введение средних скоростей

движения и нахождение времени встречи исходя из этого – 0 баллов; верно определены

пройденные расстояния автобусом и маршрутным такси за интервалы времени, кратные 12 и 14

минутам соответственно – 3 балла.

3. Ответ:

.

Решение.

=

= 10 – 1 + + =

= .

В первой скобке – геометрическая прогрессия со знаменателем , во второй – геометрическая

прогрессия со знаменателем 10. Применяя формулу суммы для конечной геометрической

прогрессии к каждой скобке, получим

=

=

=

.

Критерии. Верный, обоснованный ответ – 7 баллов; за каждую арифметическую ошибку в

формуле суммы геометрической прогрессии – минус 1 балл.

4. Ответ:

.

Решение. Предварительно докажем вспомогательное неравенство:

(1).

Действительно, ⟹ А л г ч п луч е ер ве с в

, С л дыв я все р ер ве с в п сле пр веде я п д б ых

сл г е ых с р ще я п луч ер ве с в Т бр з

(во втором неравенстве выражение в скобках

знаменателя заменяем на большую левую часть неравенства (1)). Оценка

достигается при

. Следовательно, полученная оценка и есть наименьшее значение заданного выражения.

Критерии. Верный, обоснованный ответ – 7 баллов; если не указано, что полученная оценка

достижима – 5 баллов; получена верная оценка из рассмотрения частных случаев или

подстановкой конкретных числовых значений – 1 балл.

5. Ответ: в отношении 1 : 1.

Решение. Обозначим в выпуклом четырехугольнике ABCD через K, L, M и N середины сторон AB,

BC, CD и DA соответственно, О – точка пересечения диагоналей AC и BD. Наконец, точки

пересечения отрезков KL и MN с диагональю BD через P и Q соответственно. Отрезок KL является

средней линией в треугольнике ABC, то есть он параллелен AC и делит сторону AB пополам.

Тогда, по теореме Фалеса KL делит и отрезок BO на две равные части, то есть BP = PO.

Аналогично, MN – средняя линия треугольника ACD делит отрезок OD на равные части OQ = QD.

Наконец, так как параллельные прямые KL, AC и MN высекают на прямой NL равные отрезки, то и

на прямой PQ, по теореме Фалеса, они высекают равные отрезки, то есть PO = OQ. Таким

образом, имеем , откуда и следует ответ.

Критерии. При обоснованном решении получен верный ответ – 7 баллов; верный ответ получен

из рассмотрения частных случаев выпуклого четырехугольника – 1 балл.

Всероссийская олимпиада школьников по математике (школьный этап)


Задание 1

Решите неравенство:

х7 + 4 х

5 + х

2 + 2х – 3 < х

7 +

4 х

5 - х

2 - 2х + 3.

Задание 2

В арифметической прогрессии (a n)

a k=l, a l= k (k≠ l)

Вычислите a n

Задание 3

В параллелограмме ABCD стороны AB = 4, BC = 7. Биссектрисы AK и BM

углов параллелограмма пересекаются в точке О (точки К и М принадлежат сторонам

ВС и AD соответственно) . Найдите отношение площадей пятиугольника OKCDM и

треугольника OAB.

Задание 4

Решите систему уравнений в натуральных числах:

Задание 5

Через сколько минут после того, как часы показали ровно 3 часа, минутная

стрелка догонит часовую ?



Задание 1

Решение:

Данное неравенство равносильно системе неравенств

324)324(

,324324

257257

257257

хххххххх

хххххххх

, (1)

которую, можно переписать в виде

0)4(

,032

25

2

хх

хх

(2)

решения первого неравенства системы (2) составляют промежуток

– 3 < х < 1,

решения второго промежуток 0 < х < + .

Следовательно, решения системы неравенств (2), а значит, и исходного неравенства

(1) составляют промежуток 0 < х < 1.

Ответ: 0 < х < 1.

Задание 2

Решение:

Задание 3

Решение:

ВАО + АВО = ( BAD + ABC): 2 = 90°. Тогда BOA = 90°. Значит, АВ = ВК

(т.к ВО - биссектриса и высота АВК). Аналогично из ВАМ получаем, что АВ =

АМ. Таким образом, АВКМ - ромб (ВК = АВ = АМ и ВК II АМ ). Он имеет общую

высоту с параллелограммом АВСD, площадь которого S. Отсюда следует, что SCDMK

составляет 7

3 от S,а площадь каждого из четырех треугольников, на которые

диагонали разбивает ромб АВКМ, равняется 7

S. Значит SOKCDM составляет

7

4 от S,

откуда OAB

OKCDM

S

S = 4

Ответ : OAB

OKCDM

S

S = 4

Задание 5

Решите систему уравнений в натуральных числах:

Решение:

1. Сложим уравнения системы, получим:

x 2+9y

2+6 x y=100

(x +3 y) 2=100 т.к. х € N, y € N, то x + 3y = 10

2. Вычтем второе уравнение из первого получим:

4 y 2+z

2+4yz = 36

(2y + z) 2 = 36 т.к. y € N, z € N, то 2 y+z =6

3. Решим систему

a) 2y+ z =6, z=2, y=2

z=4, y=1

z=6, нет решений

б)x+3 y =10

при y=2, x=4

при y=1, x=7

Ответ: x=4; y=2; z=2;

x=7; y=1; z=4.

Задание 5

Поскольку скорость минутной стрелки в 12 раз больше скорости часовой, то,

обозначив через х время, пройденное часовой стрелкой, 12х - минутной и, учитывая,

что первоначально между стрелками было ровно 15 минут, получим уравнение

12х = х + 15, х = 111

4

Тогда минутная стрелка догонит часовую стрелку через

15 + 111

4= 16

11

4минут


2013-2014 учебный год (10 класс)

Задние № 1. Доказать, что произведение двух последовательных натуральных чисел не

является степенью никакого целого числа.

Задание № 2. В треугольнике ABC сторона BC равна полусумме двух других сторон.

Доказать, что биссектриса угла A перпендикулярна отрезку, соединяющему центры

вписанной и описанной окружностей треугольника.

Задание № 3. Решить систему уравнений:

Задание № 4.Доказать, что 7+72+...+74K, где K - любое натуральное число, делится на 400.

Задание № 5.На координатной плоскости изображен график функции y = ax2 + c (см. рисунок). В каких точках график функции y = cx + a пересекает оси координат?


2013-2014 учебный год (10 класс)

№ 1.

Доказать, что произведение двух последовательных натуральных чисел не является

степенью никакого целого числа.

Решение

Предположим, что n(n + 1) = am, где m 2 (a, m и n — натуральные числа). Числа n и n + 1

не имеют общих делителей, поэтому n = bm и n + 1 = cm. Но этого не может быть, потому

что разность между двумя последовательными m-ми степенями строго больше 1.

№ 2.

В треугольнике ABC сторона BC равна полусумме двух других сторон. Доказать, что

биссектриса угла A перпендикулярна отрезку, соединяющему центры вписанной и

описанной окружностей треугольника.

Решение

Пусть D – точка пересечения биссектрисы угла A c описанной окружностью

треугольника. По теореме Птолемея AD· BC = AB· CD + AC· BD . Так

как BD=CD и BC=(AB+CD)/2 , то AD=2BD . Пусть I – центр вписанной окружности

треугольника ABC . Легко проверить, что ID=BD . Поэтому I – середина отрезка AD ,

откуда следует утверждение задачи.

№ 3.

Решить систему уравнений:

Решение

(4(a2 + 1) – 2z)2 = (x + y)2 = x2 + y2 + 2xy = 2z2 + 2a2 + 2(z2 – a2) = 4z2, откуда 16(a2 + 1)2 =

16(a2 + 1)z, то есть z = a2 + 1. Теперь второе и третье уравнения записываются так:

x + y = 2(a2 + 1),

xy = a4 + a2 + 1.

Решение этой системы сводится к решению квадратного уравнения t2 – 2(a2 + 1)t +

a4 + a2 + 1 = 0; решая его, находим

№ 4.

Доказать, что 7+72+...+74K, где K - любое натуральное число, делится на 400.

Решение

Данную сумму можно сгруппировать следующим образом:

(7+72+7

3+7

4)+(7

5+7

6+7

7+7

8)+...+(7

4K3+7

4K2+7

4K1+7

4K) =

= (7+72+7

3+7

4)(1+7

4+7

8+...+ 7

4K4).

Сумма (7+72+73+74)=7·400 делится на 400, откуда и вытекает доказываемое.

№ 5.

На координатной плоскости изображен график функции y = ax2 + c (см. рисунок).

В каких точках график функции y = cx + a пересекает оси координат?

Решение

Так как данный график пересекает ось y в точке (0, 2), то с = 2. Кроме того, он

проходит через точку (1, 1), значит 1 = 2 + а, то есть а = –1.

Таким образом, новая функция задается уравнением y = 2x – 1. Её график пересекает

ось x в точке (½, 0), а ось y – в точке (0, –1).

Ответ

В точках (½, 0) и (0, –1).



Задание 1 (7 баллов)

Вычислите:


Найти три числа, образующих геометрическую прогрессию, если известно,

что их произведение равно 64, а их среднее арифметическое равно 14/3.


Решите систему уравнений х у х у

х у х у .


Пешеход вышел из пункта А в пункт В. Через 45 минут из А в В выехал

велосипедист. Когда велосипедист прибыл в пункт В, пешеходу оставалось

пройти 3/8 всего пути. Сколько времени потратил пешеход на весь путь, если

известно, что велосипедист догнал пешехода на середине пути из пункта А в

пункт В, а скорости пешехода и велосипедиста постоянны?


Вычислите: .72cos36cos 00


2014-2015 учебный год Ответы и решения 10 класс

1. Вычислить:

Решение: Пусть А =

. Найдём А , применив формулу

. Получили кубическое уравнение А А Решая его, получим А=3.

ве :

= 3.

2. Найти три числа, образующих геометрическую прогрессию, если известно, что их

произведение равно 64, а их среднее арифметическое равно 14/3.

Решение:

Составим систему уравнений из условия:

⟹

Решая систему, найдём л

получим ответы.

Ответ: 1) 2,4,8; 2) 8,4,2.

3. Решить систему уравнений х у х у

х у х у .

Решение:

Запишем систему уравнений в виде х ху х у у

х ху х у у . Сложим и вычтем первое и

второе уравнения системы:

х у

ху х у ⟹

х у

ху х у

х у х у ху

ху х у

Обозначим х у ⟹

е я п след с с е у п луч

Тогда х у

Ответ: (2;1), (-1;-2).

4. Пешеход вышел из пункта А в пункт В. Через 45 минут из А в В выехал велосипедист. Когда

велосипедист прибыл в пункт В, пешеходу оставалось пройти 3/8 всего пути. Сколько

времени потратил пешеход на весь путь, если известно, что велосипедист догнал пешехода на

середине пути из пункта А в пункт В, а скорости пешехода и велосипедиста постоянны?

Решение.

1) Пусть х км/ч – скорость пешехода, а у км/ч – скорость велосипедиста.

2) Точка С – точка встречи и С – середина пути, т.е. АС = 0,5 АВ. А в точке К пешеход был

тогда, когда велосипедист прибыл в точку В, и АК = 3/8*АВ.

3) Пусть АВ = S.

4) Найдём время движения до встречи:

пешехода

, велосипедиста

у Известно, что до встречи пешеход был в

пути на 45 минут больше, т.е.

.

5) После встречи пешеход прошёл расстояние СК = АК – АС =

S=0,125 S, а велосипедист

проехал расстояние СВ =0,5S. После встречи время движения у них одинаковое. Т.е.

6) Составим систему уравнений:

ус

7) Получили

, где S = AB (весь путь), х км/ч – скорость пешехода. А значит

– время,

которое потратит пешеход на весь путь.

Ответ: пешеход потратил на весь путь 2 часа.

5. Вычислите: .72cos36cos 00

Решение.

1 способ – тригонометрический.

.25,04

1

36sin4

36sin

36sin4

)36180sin(

36sin4

144sin

36sin4

72cos72sin2

36sin4

72cos36cos36sin472cos36cos

0

0

0

00

0

0

0

00

0

00000

2 способ – геометрический.

Рассмотрим правильный 10-угольник, вписанный в окружность с центром в точке О и радиусом R.

Сторона правильного 10-угольника равна а. Проведём в этом многоугольнике радиусы в вершины

многоугольника и получим 10 равнобедренных треугольников. Рассмотрим один из таких

треугольников: ).1..( риссмАОС У этого треугольника

.722:)36180(;3610:360 00000 АСООАСАОС

Решение.

1) Работаем на рисунке 2. Проведём в треугольнике АОС биссектрису СК.

2) Получили:

..

7236 00

хАКПустьаКСАС

нныйравнобедреКАСАКСКАСКСОАСК


2015-2016 учебный год Математика 10 класс

Задание 1

На базаре продаются рыбки, большие и маленькие. Сегодня три больших и одна

маленькая стоят вместе столько же, сколько пять больших вчера. А две большие и

одна маленькая сегодня стоят вместе столько же, сколько три больших и одна

маленькая вчера. Можно ли по этим данным выяснить, что дороже: одна большая и

две маленьких сегодня, или пять маленьких вчера.

Задание 2

Все трехзначные числа записаны в ряд: 100, 101, 102, ....., 998, 999. Сколько раз в этом

ряду после двойки идет нуль?

Задание 3

Решите неравенство:

Задание 4

На продолжении AB, BC, CD и DA сторон выпуклого четырёхугольника ABCD

откладываются отрезки

BB1=AB; CC1=BC; DD1=CD; AA1=AD .

Доказать, что площадь четырёхугольникаA1B1C1D1 в пять раз больше площади

четырёхугольника ABCD.

Задание 5

Доказать, что для любых положительных чисел a и b выполняется неравенство:


2015-2016 учебный год Математика 10 класс

Задача 1.

На базаре продаются рыбки, большие и маленькие. Сегодня три больших и одна маленькая

стоят вместе столько же, сколько пять больших вчера. А две большие и одна маленькая сегодня

стоят вместе столько же, сколько три больших и одна маленькая вчера. Можно ли по этим данным

выяснить, что дороже: одна большая и две маленьких сегодня, или пять маленьких вчера.

Решение:

Обозначим "рыбные цены": сегодня большая рыба стоит bc, а маленькая mc. Вчера большая

стоила bv, а маленькая — mv. Тогда из условий задачи имеем два уравнения

3bc + mc = 5bv, 2bc + mc = 3bv + mv.

Отсюда получаем:

5mv = (2bc + mc – 3bv)5 = 10bc + 5mc – 3(3bc + mc) = bc + 2mc.

То есть пять маленьких вчера стоили столько же, сколько одна большая и две

Задача 2

Все трехзначные числа записаны в ряд: 100, 101, 102, ....., 998, 999.

Сколько раз в этом ряду после двойки идет нуль?

Решение:

Так как трехзначное число не может начинаться с нуля, то двойка, после которой идет нуль, не

может стоять в разряде единиц одного из трехзначных чисел ряда.

Пусть двойка стоит в разряде десятков трехзначного числа.

Тогда идущий за ней нуль стоит в разряде единиц того же числа,

т.е. это число оканчивается на 20.

Таких чисел 9: 120, 220, .........., 920.

Наконец, если двойка, после которой идет нуль, стоит в разряде сотен, то соответствующее

трехзначное число начинается на 20.

Таких чисел 10: 200, 201, .........., 209.

Таким образом, всего после двойки нуль будет встречаться 19 раз

Задача 3

Решите неравенство :

Решение:

Заметим, что все решения исходного неравенства существуют, если подкоренные выражения

неотрицательны. Одновременно эти неравенства выполняются лишь при условии x2 – 4x + 3 = 0. Это

уравнение имеет два корня 1 и 3. Проверка показывает, что исходное неравенство имеет

единственное решение 3.

Задача 4.

На продолжении AB, BC, CD и DA сторон выпуклого

четырёхугольника ABCD откладываются отрезки

BB1=AB; CC1=BC; DD1=CD; AA1=AD .

Доказать, что площадь четырёхугольникаA1B1C1D1 в пять раз больше площади

четырёхугольника ABCD .

Решение:

Проведём диагональ AC данного четырёхугольника и соединим точку C с точкой B1

(смотри рисунок).

В треугольнике ACB1 отрезок BC является медианой, поэтому она делит его на два равновеликих

треугольника.

CB1 – медиана треугольника BB1C1 , следовательно, она также делит его на два равновеликих

треугольника:

S ABC=S BCB1=S CC1B1 .

Итак, S BB1C1=2S ABC .

Проведя медиану AD1 треугольника DD1A1 , мы точно так же убедимся, что S DD1A1=2SACD .

Таким образом, если мы сложим площади треугольников BB1C1 и A1D1D ,

то получим удвоенную площадь данного четырёхугольника.

Аналогично, проведя диагональ DB данного четырёхугольника, увидим, что сумма площадей

треугольников

D1CC1 и AA1B1 равна удвоенной площади данного четырёхугольника.

Следовательно, площадь четырёхугольника A1B1C1D1 равна упятерённой площади данного

четырёхугольника.

Задача 5.

Доказать, что для любых положительных чисел a и b выполняется неравенство

Р е ш е н и е:

Сделаем замену x = b1/15

, y = a1/10

. Тогда доказываемое неравенство приобретает вид

2y5 + 3x

5 ≥ 5y

2x

3.

Деля на y5 и обозначая t = x / y, получаем 3t

5 – 5t

3 + 2 ≥ 0. Разложим левую часть на множители.

Последовательно получаем

f(t) = (3t 5 – 3t

3) – (2t

3 – 2) ? 0,

3t 3(t

2 – 1) – 2(t – 1)(t

2 + t + 1) ? 0,

(t – 1)(3t 3(t + 1) – 2(t

2 + t + 1)) ? 0,

(t – 1)(3t 4 + 3t

3 – 2t

2 – 2t – 2) ? 0,

(t – 1)((2t 4 – 2t

2) + (t

4 – t) + (t

3 – t) + (2t

3 – 2)) ? 0

(t – 1)(2t 2(t

2 – 1) + t(t

3 – 1) + t(t

2 – 1) + 2(t

3 – 1)) ? 0,

(t – 1)2(2t

2(t + 1) + t(t

2 + t + 1) + t(t + 1) + 2(t

2 + t + 1)) ? 0,

(t – 1)2(3t

3 + 6t

2 + 4t + 2) ? 0.

Для t > 0 выражение в первой скобке ≥ 0, во второй скобке > 0. В итоге, f(t) ≥ 0 для всех t > 0.

Равенство нулю достигается лишь при t = 1, т.е. при x = y, т.е. при a3 = b

2.

.2

5,54RD,0

).

(0:

,)()4

.)3()3

2,1

22222

2222

2

2

RRaRRRRaa

апеременнойноотносительуравнение

квадратноеданноерешимRRaaR

aR

R

aRaПолучаем

R

ахгдеxRxRa

a

R

x

xR

АС

ОС

КА

КОАСОабиссектрисCK

R

ax

a

R

х

а

АС

ОС

АК

АСуглампоАКСАОС

.4

1

16

15

4

51

4

5172cos36cos)6

.4

5172cos,

4

51

2

52

2

5

272cos

72cos2

.4

5136cos,

4

51

2

2

52

236coscos362

:.3)5

.2

50..,

2

5

00

0

2

2

2

2220

0222

0

2

2

2

22200222

RRR

RRR

R

ACAO

OCACAO

OCAOACAOOC

R

RRR

ОСАО

CAОСАООСАООСАОАС

имеемкосинусовтеоремеПорисункенаРаботаем

RRaактподходитне

RRa

Ответ: .25,04

172cos36cos 00

Ханты Югра 2012- 10 класс’ОШ_для_10-х_классов.pdf · 10 класс 1....

Documents