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1-1
Capítulo cuatroDescripción de los datos: medidas de dispersión
OBJETIVOSAl terminar este capítulo podrá:
UNOCalcular e interpretar la amplitud de variación, la desviación media, la variancia, y la desviación estándar de los datos originales.
DOS Calcular e interpretar la amplitud de variación, la variancia y la desviación estándar de datos agrupados.
TRESExplicar las características, usos, ventajas y desventajas de cada medida de dispersión.
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1-1
Capítulo cuatro continuación
Descripción de datos: medidas de dispersión
OBJETIVOSAl terminar este capítulo podrá:
CUATROEntender el problema de Chebyshev y la regla normal o empírica, y su relación con un conjuto de observaciones.
CINCO Calcular y explicar los cuartiles y la amplitud de variación intercuartílica.
SEIS
Elaborar e interpretar los diagramas de caja.
SIETE
Calcular y entender el coeficiente de variación y el coeficiente de asimetría.
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Desviación media
• Desviación media: media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media aritmética.
MDX X
n
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EJEMPLO 1
• Los pesos de una muestra de cajas con libros en una librería son (en lb) 103, 97, 101, 106 y 103.
• X = 510/5 = 102 lb• = 1 + 5 + 1 + 4 + 1 = 12• MD = 12/5 = 2.4• Por lo común los pesos de las cajas
están a 2.4 lb del peso medio de 102 lb.
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Variancia de la población
• La varianza de la población para datos no agrupados es la media aritmética de las desviaciones cuadráticas respecto a la media de la población.
2
2
( )X
N
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EJEMPLO 2
• Las edades de la familia Dunn son 2, 18, 34, y 42 años. ¿Cuál es la variancia de la población?
X N/ /96 4 24
2 2 944 4 236 ( ) / /X N
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Variancia poblacional continuación
• Una fórmula alternativa para la variancia poblacional es:
22
2 X
N
X
N( )
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Desviación estándar poblacional
• La desviación estándar poblacional () es la raíz cuadrada de la variancia de la población.
• Para el EJEMPLO 2, la desviación estándar poblacional es 15.19 (raíz cuadrada de 230.81).
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Variancia muestral
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• La variancia muestral estima la variancia de la población.
1
)Σ(Σ
= = operativa Fórmula
1)(Σ
== conceptual Fórmula
22
2
22
nnX
XS
nXX
S
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EJEMPLO 3
• Una muestra de cinco salarios por hora para varios trabajos en el área es: $7, $5, $11, $8, $6. Encuentre la variancia.
• X = 37/5 = 7.40• = 21.2/(5-1) = 5.3s2
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Desviación estándar muestral
• La desviación estándar muestral es la raíz cuadrada de la variancia muestral.
• En el EJEMPLO 3, la desviación estándar de la muestra es = 2.30
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Medidas de dispersión:datos no agrupados
• Para datos no agrupados, la amplitud es la diferencia entre los valores mayor y menor en un conjunto de datos.
• AMPLITUD = valor mayor - valor menor• EJEMPLO 4: una muestra de cinco
graduados de contaduría indicó los siguientes salarios iniciales: $22 000, $28 000, $31 000, $23 000, $24 000. La amplitud es $31 000 - $22 000 = $9 000.
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Variancia muestral para datos agrupados
• La fórmula de la variancia para datos agrupados usada como estimador de la vaiancia poblacional es:
• donde f es la frecuencia de clase y X es el punto medio de la clase.
SfX
fX
nn
2
22
1
( )
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Interpretación y usos de la desviación estándar
• Teorema de Chebyshev: para cualquier conjunto de observaciones, la proporción mínima de valores que está dentro de k desviaciones estándar desde la media es al menos 1 - 1/k , donde k2 es una constante mayor que 1.
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Interpretación y usos de la deviación estándar
• Regla empírica: para una distribución de frecuencias simétrica de campana, cerca de 68% de las observaciones estará dentro de ±1 de la media (); cerca de 95% de las observaciones estará dentro de ±2 de la media (); alrededor de 99.7% estará dentro de ±3 de la media ().
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Curva en forma de campana que muestra la relación entre y
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Dispersión relativa
• El coeficiente de variación es la razón de la desviación estándar a la media aritmética, expresada como porcentaje:
CVs
X (100%)
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Asimetría
• Asimetría (sesgo) es la medida de la falta de simetría en una distribución.
• El coeficiente de asimetría se calcula mediante la siguiente fórmula:
3(media - mediana) desviación estándar
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Sk =
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Amplitud intercuartílica
• La amplitud intercuartílica es la distancia entre el tercer cuartil Q3 y el primer cuartil Q1.
• Amplitud intercuartílica = tercer cuartil - primer
cuartil= Q3 - Q1
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Primer cuartil
• El primer cuartil es el valor correspondiente al punto debajo del cual se encuentra el 25% de las observaciones en un conjunto ordenado de datos.
• donde L = límite de las clasese que contienen Q1, CF = frecuencia acumulda que precede a la clase que contiene a Q1, f = frecuencia de la clase que contiene Q1, i= tamaño de la clase que contiene Q1.
Q L
nCF
fi1
4
( )
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Tercer cuartil
• El tercer cuartil es el valor correspondiente al punto debajo del cual se encuentra 75% de las observaciones en un conjunto ordenado de datos:
donde L = límite inferior de la clase que contiene a Q3, CF = frecuencia acumulada precedente a la clase que contiene a Q3, f = frequencia de la clase que contiene a Q3, i = tamaño de la clase que contiene a Q3.
)(43
+=3 if
CFn
LQ
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Desviación cuartílica
• La desviación cuartílica es la mitad de la distancia entre el tercer cuartil, Q3, y el primero, Q1.
• QD = [Q3 - Q1]/2
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EJEMPLO 5
• Si el tercer cuartil = 24 y el primer cuartil = 10, ¿cuál es la desviación cuartílica? La amplitud intercuartílica es 24 - 10 = 14; por lo tanto, la desviación cuartílica es 14/2 = 7.
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Amplitud cuartílica
• Cada conjunto de datos tiene 99 porcentiles, que dividen el conjunto en 100 partes iguales.
• La amplitud cuartílica es la distancia entre dos porcentiles establecidos. La amplitud cuartílica 10 a 90 es la distancia entre el 10º y 90º porcentiles.
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Fórmula para porcentiles
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100)1+(=P
nLp
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Diagramas de caja
• Un diagrama de caja es una ilustración gráfica, basada en cuartiles, que ayuda a visualizar un conjunto de datos.
• Se requieren cinco tipos de datos para construir un diagrama de caja: el valor mínimo, el primer cuartil, la mediana, el tercer cuartil, y el valor máximo.
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EJEMPLO 6
• Con base en una muestra de 20 entregas, Marco’s Pizza determinó la siguiente información: valor mínimo = 13 minutos, Q1 = 15 minutos, mediana = 18 minutos, Q3 = 22 minutos, valor máximo = 30 minutos. Desarrolle un diagrama de caja para los tiempos de entrega.
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EJEMPLO 6 continuación
mediana
mín Q1 Q3 máx
• 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32
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