Лекция 2. Структура кристаллов

Научная визуализация в физике конденсированного состояния

Лекция 2. Структура кристаллов. Индексы Миллера

I.Структура кристаллов

ЯчейкиЯчейки плоской сетки - параллелограммы, вершины которых являются узлами.

Элементарные трансляции - кратчайшие и отражающие симетрию сетки.

Ячейка, для которой элементарные трансляции - стороны, это элементарная ячейка.

Примитивная если узлы есть только в вершинах ячейки.

Не примитивная если узлы есть на сторонах или внутри ячейки.

(с) doitpoms.ac.uk

Типы ячеек

Каждая вершина одновременно принадлежит четырем смежным ячейкам. Значит, на одну примитивную ячейку приходится один узел.

Каждая вершина одновременно принадлежит четырем смежным ячейкам, узел в середине принадлежит одной ячейке. Значит, на такую не примитивную ячейку приходится два узла.

Примитивная ячейка Не примитивная ячейка

Типы кубических ячеек

Примитивная (P)

Объемно-центрированная (I)

Гране-центрированная (F)

© Bruce A. Averill, Patricia Eldredge

P (Primitiv)

I (Innenzentriert)

F (Flächenzentriert)

Кристаллографические системы координатa, b и c - длина ячейки вдоль осей x, y и z

α - угол между b и c

β - угол между a и c

γ - угол между a и b

a, b, c, α, β, γ - параметры ячейки

(с) doitpoms.ac.uk

Типы ячеек

P

I F C A

B

© askiitians.com


Фoрмы элементарных ячеек (сингонии)

Решетки Браве

Проекции решеток Браве на ось Z

Построение проекции кристалла ZnS на ось z (Plan view)

Для построения проекции нам необходимо знать:

форму ячейки (сингонию)

тип решетки

координаты базисных атомов

параметры ячейки

Сфалерит (цинковая обманка) ZnS.

Построение проекции кристалла на ось z (Plan view)


форму ячейки (сингонию) кубическая

тип решетки F

координаты базисных атомов Zn(0,0,0), S(¼,¼,¼)

параметры ячейки a=b=c=5.42A, α=β=γ=90 Сфалерит (цинковая обманка)

ZnS.






параметры ячейки a=b=c=5.42A, α=β=γ=90

Построение проекции кристалла NaCl на ось z (Plan view)


Соль (хлорид натрия) NaCl.

Построение проекции кристалла NaCl на ось z (Plan view)


форму ячейки (сингонию)

тип решетки

координаты базисных атомов

параметры ячейкиСоль (хлорид натрия) NaCl.




тип решетки F (гцк, fcc)

координаты базисных атомов Na(0,0,0), Cl(0,0,1/2)

параметры ячейки a=b=c=5.6402 A, α=β=γ=90

Соль (хлорид натрия) NaCl.






параметры ячейки a=b=c=5.42A, α=β=γ=90

Построение трехмерной модели ячейкиНам известны:

форма ячейки (сингония) - кубическая

тип решетки - объемноцентрированная (оцк, bcc)

Для простоты, пусть a=b=c=1. Давайте запишем координаты атомов:

α-Fe, a=2.8665 A

Стандартная запись координат атомов в ячейкеНам известны:


тип решетки – объемно центрированная (оцк, bcc)

Для простоты, пусть a=b=c=1. Давайте запишем координаты атомов:

α-Fe, a=2.8665 A

0.000000 0.000000 0.0000000.000000 0.000000 1.0000000.000000 1.000000 0.0000000.000000 1.000000 1.0000001.000000 0.000000 0.0000001.000000 0.000000 1.0000001.000000 1.000000 0.0000001.000000 1.000000 1.0000000.500000 0.500000 0.500000

Стандартная запись координат атомов в ячейкеНам известны:


тип решетки - объемноцентрированная (оцк, bcc)

Теперь умножив координаты на реальный параметр решетки получим:

α-Fe, a=2.8665 A

0 0 0

0 0 2.8665

0 2.8665 0

0 2.8665 2.8665

2.8665 0 0

2.8665 0 2.8665

2.8665 2.8665 0

2.8665 2.8665 2.8665

1.43325 1.43325 1.43325

Стандартная запись координат атомов в ячейке. Формат .xyz

● 1 строка - число элементов

● 2 строка - комментарий

● 3 строка и далее - название элемента и его координаты

α-Fe, a=2.8665 A

9alpha FeFe 0.000000 0.000000 0.000000Fe 0.000000 0.000000 2.866500Fe 0.000000 2.866500 0.000000Fe 0.000000 2.866500 2.866500Fe 2.866500 0.000000 0.000000Fe 2.866500 0.000000 2.866500Fe 2.866500 2.866500 0.000000Fe 2.866500 2.866500 2.866500Fe 1.433250 1.433250 1.433250

Стандартная запись координат атомов в ячейке. Формат .xyz

9Cl CsCs 0.000000 0.000000 0.000000Cs 0.000000 0.000000 4.115000Cs 0.000000 4.115000 0.000000Cs 0.000000 4.115000 4.115000Cs 4.115000 0.000000 0.000000Cs 4.115000 0.000000 4.115000Cs 4.115000 4.115000 0.000000Cs 4.115000 4.115000 4.115000Cl 2.057500 2.057500 2.057500


Файлы с расширением .xyz открываются большинством программ предназначенных для моделирования химический соединений: Jmol, CrystalMaker, VMD, Vesta и т.д.

Восстановление трехмерного изображения по координатамТеперь для восстановления трехмерной структуры записываем координаты атомов в системе кристалла:

Zn 0.000000 0.000000 0.000000Zn 0.000000 0.000000 1.000000Zn 0.000000 1.000000 0.000000Zn 0.000000 1.000000 1.000000Zn 1.000000 0.000000 0.000000Zn 1.000000 0.000000 1.000000Zn 1.000000 1.000000 0.000000Zn 1.000000 1.000000 1.000000Zn 0.000000 0.500000 0.500000Zn 1.000000 0.500000 0.500000Zn 0.500000 0.000000 0.500000Zn 0.500000 1.000000 0.500000Zn 0.500000 0.500000 0.000000Zn 0.500000 0.500000 1.000000 S 0.250000 0.250000 0.250000 S 0.750000 0.750000 0.250000 S 0.750000 0.250000 0.750000 S 0.250000 0.750000 0.750000

Восстановление трехмерного изображения по координатам

Записываем координаты в ангстремах, формируем .xyz файл:

18ZnSZn 0.000000 0.000000 0.000000Zn 0.000000 0.000000 5.420000Zn 0.000000 5.420000 0.000000Zn 0.000000 5.420000 5.420000Zn 5.420000 0.000000 0.000000Zn 5.420000 0.000000 5.420000Zn 5.420000 5.420000 0.000000Zn 5.420000 5.420000 5.420000Zn 0.000000 2.710000 2.710000Zn 5.420000 2.710000 2.710000Zn 2.710000 0.000000 2.710000Zn 2.710000 5.420000 2.710000Zn 2.710000 2.710000 0.000000Zn 2.710000 2.710000 5.420000 S 1.355000 1.355000 1.355000 S 4.065000 4.065000 1.355000 S 4.065000 1.355000 4.065000 S 1.355000 4.065000 4.065000

Дальше можно построить связи между атомами.


18ZnSZn 0.000000 0.000000 0.000000Zn 0.000000 0.000000 5.420000Zn 0.000000 5.420000 0.000000Zn 0.000000 5.420000 5.420000Zn 5.420000 0.000000 0.000000Zn 5.420000 0.000000 5.420000Zn 5.420000 5.420000 0.000000Zn 5.420000 5.420000 5.420000Zn 0.000000 2.710000 2.710000Zn 5.420000 2.710000 2.710000Zn 2.710000 0.000000 2.710000Zn 2.710000 5.420000 2.710000Zn 2.710000 2.710000 0.000000Zn 2.710000 2.710000 5.420000 S 1.355000 1.355000 1.355000 S 4.065000 4.065000 1.355000 S 4.065000 1.355000 4.065000 S 1.355000 4.065000 4.065000

II. Индексы Миллера

АнизотропияКристаллы могут иметь разные свойства по разным нарправлениям, например, жесткость, проводимость, оптические свойства

Для их описания нужно как-то обозначить направления и плоскости кристалла.

Индексы МиллераОписывают ориентацию плоскостей и векторов в

кристаллографической системе координат.

Возможны три варианта относительного расположения осей и плоскости:

плоскость пересекает все три оси

плоскость пересекает две оси, а третьей параллельна

плоскость пересекает одну ось и параллельна двум другим.

Индексы Миллера выглядят как три взаимно простых целых числа, записанные в круглых скобках: (111), (101), (110) flash 1,2,3

Индексы Миллера для параллельных плоскостейПараллельные плоскости образуют семейство плоскостей.

Индексы кристаллографической плоскости (HKL) характеризуют как плоскость, ближайшую к началу координат, так и все данное семейство плоскостей.

Кристаллографические плоскости одного семейства находятся на равных расстояниях друг от друга dHKL. flash 4

Как построить плоскость по индексам Миллера

(111) (-112) (1-1-2)

Правила записиИндексы Миллера в круглых скобках (hkl) обозначают семейство параллельных плоскостей.

Индексы Миллера в фигурных скобках {hkl} - семейство плоскостей эквивалентных в силу симметрии.

flash 5

Правила записиИндексы Миллера в квадратных скобках [hkl] обозначают направления в кристаллах.

Индексы Миллера в треугольных скобках <hkl>- семейство эквивалентных направлений.

<111>

Вектора и плоскостиВ кубических решетках плоскость (hkl) перпердикулярна направлению [hkl].

Для остальных сингоний это не так.

Построение векторов и плоскостей в Vesta

Лекция 2. Структура кристаллов

Education