บทที่ 2 การเคลื่อนที่แบบต่าง ๆ
DESCRIPTION
บทที่ 2 การเคลื่อนที่แบบต่าง ๆ 2.1 การกระจัด ความเร็ว ความเร่ง 2.2 การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงตัว 2.3 การเคลื่อนที่แบบโพรเจคไตล์ 2.4 การเคลื่อนที่เป็นวงกลม 2.5 การเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์มอนิกTRANSCRIPT
บทท�� 2การเคล��อนท��แบบต�างๆ
อ.ณภ�ทรษกร สารพ�ฒน�สาขาว�ชาฟ!ส�กส� คณะว�ทยาศาสตร�และเทคโนโลย�
มหาว�ทยาล�ยราชภ�ฏเทพสตร� ลพบ)ร�
Outline
o การเคล��อนท��แนวตรงo การเคล��อนท��แนวด��งo การเคล��อนท��แบบโพรเจคไตล� (2
ม�ต� และ 3 ม�ต�)o การเคล��อนท��เป�นวงกลมo การเคล��อนท��แบบซ�มเป�ลฮาร�มอ
น�ก
การเคล��อนท��แนวตรง
การเคล��อนท��แนวตรง หมายถ,ง การเคล��อนท��ของว�ตถ)ตามแนวเส-นตรงโดยไม�ออกจากแนวเส-นตรงของการเคล��อนท�� หร�อเร�ยกว�า การเคล��อนท��แบบ 1 ม�ต� ของว�ตถ) เช�น การเคล��อนท��ของรถยนต�บนถนนตรง การเคล��อนท��ของผลมะม%วงท��ร %วงลงส'%พ�(น การเคล��อนท��แนวตรง แบ%งได*เป�น 2 กรณ� ค�อ การเคล��อนแนวตรงตามแนวราบ และ การเคล��อนท��แนวตรงตามแนวด��ง
การบอกต1าแหน�งของว�ตถ)ส1าหร�บการเคล��อนท��แนวตรง
o ในการเคล��อนท��ของว�ตถ) ต1าแหน�งของว�ตถ)จะม�การเปล��ยนแปลง ด�งน�4นจ,งต-องม�การบอกต1าแหน�งเพ��อความช�ดเจน การบอกต1าแหน�งของว�ตถ)จะต-องเท�ยบก�บ จ)ดอ-างอ�ง หร�อ ต1าแหน�งอ-างอ�ง
ระยะห�างของว�ตถ)จากจ)ดอ-างอ�ง (0) ไปทางขวาม�ท�ศทางเป5นบวก (A,C)ระยะห�างของว�ตถ)จากจ)ดอ-างอ�ง (0) ไปทางซ-ายม�ท�ศทางเป5นลบ (A,B)
A
0
CB
20
40
60
80
-80
-60
-40
-20
ระยะทาง (Distance)
ระยะทาง (Distance) ค�อ เส-นทาง หร�อ ความยาวตามเส-นทางการเคล��อนท�� จากต1าแหน�งเร��มต-นถ,งต1าแหน�งส)ดท-าย
o ระยะทางใช-ส�ญล�กษณ� “ S ” เป5นปร�มาณสเกลาร� ม�หน�วยเป5น เมตร (m)
การกระจ�ด (Displacement)
การกระจ�ด (Displacement) ค�อ ความยาวเส-นตรงท��เช��อมโยงระหว�างจ)ดเร��มต-น และจ)ดส)ดท-ายของการเคล��อนท��
o การกระจ�ดใช-ส�ญล�กษณ� เป5นปร�มาณเวกเตอร�ม�หน�วยเป5น เมตร (m)
ต�วอย�างการแสดงระยะทางและการกระจ�ด
เม��อว�ตถ)เคล��อนท��จาก A ไป B ตามแนวเส-นทางด�งร8ปตามเส-นทางท�� 1 ได*ระยะทาง = S1 และได*การ
กระจ,ด = ท�ศจาก A ไป Bตามเส-นทางท�� 2 ได*ระยะทาง = S2 และได*การกระจ,ด = ท�ศจาก A ไป Bตามเส-นทางท�� 3 ได*ระยะทาง = S3 และได*การกระจ,ด = ท�ศจาก A ไป B
A
B
(3)
S1
S2 S
3
(2)
(1)
ข-อสร)ประหว�างระยะทางและการกระจ�ด
o ระยะทาง ข,4นอย8�ก�บเส-นทางการเคล��อนท�� o การกระจ�ด ไม�ข,4นอย8�ก�บเส-นทางการเคล��อนท��
แต�จะข,4นอย8�ก�บต1าแหน�งเร��มต-นและต1าแหน�งส)ดท-าย
การเคล��อนท��โดยท��วๆ ไป ระยะทางจะมากกว�าการกระจ�ดเสมอ ยกเว-น เม��อว�ตถ)เคล��อนท��เป5นเส-นตรง การกระจ�ดจะม�ขนาดเท�าก�บระยะทาง
ว�ตถ)หน,�งเคล��อนท��จาก A ไป B และต�อไป C ด�งร8ป จงหาระยะทางและการกระจ�ดของว�ตถ)จาก A ไป C
ต�วอย�าง 1
A B
C
3 กม.
4 กม.
ว�ตถ)เคล��อนท��จาก A ไปย�ง B ด�งร8ป จงหาระยะทางและการกระจ�ด
ต�วอย�าง 2
A B7 กม.
อ�ตราเร9ว (Speed)
อ�ตราเร9ว (Speed) หมายถ,ง ระยะทางท��ว�ตถ)เคล��อนท��ได-ในหน,�งหน�วยเวลา ใช-ส�ญล�กษณ� ค�อ v เป5นปร�มาณสเกลาร� ม�หน�วยเป5น เมตร/ว�นาท� (m/s)o แบ�งพ�จารณาได-เป5น 3 แบบ ค�อ
1 .อ�ตราเร9วเฉล��ย (vav)2. อ�ตราเร9วขณะใดขณะหน,�ง (vt)3. อ�ตราเร9วคงท�� (v)
1. อ�ตราเร9วเฉล��ย (vav)
อ�ตราเร9วเฉล��ย (vav) หมายถ,ง ระยะทางท��ว�ตถ)เคล��อนท��ได-ในหน,�งหน�วยเวลา (ในช�วงเวลาหน,�งท��ก1าล�งพ�จารณาเท�าน�4น)
เม��อ ค�อ ระยะทางท��เคล��อนท��ได* ค�อ ช%วงเวลาท��ใช*ในการเคล��อนท��
ค�อ อ,ตราเร0วเฉล��ย
หร�อ
2. อ�ตราเร9วขณะใดขณะหน,�ง (vt)
หร�อ อ,ตราเร0วขณะใดขณะหน3�ง ค�อ อ,ตราเร0ว ณ เวลาใดเวลาหน3�งหร�ออ,ตราเร0วท��จ4ดใดจ4ดหน3�ง
อ�ตราเร9วขณะใดขณะหน,�ง (vt) หมายถ3ง ระยะทางท��ว,ตถ4เคล��อนท��ได*ในหน3�งหน%วยเวลา เม��อช%วงเวลาท��เคล��อนท��น*อยมาก ๆ ( เข*าใกล*ศ'นย�)
เม��อ
3. อ,ตราเร0วคงท�� (v)
อ�ตราเร9วคงท�� (v) หมายถ3ง เป�นการบอกให*ทราบว%าว,ตถ4ม�การเคล��อนท��อย%างสม6�าเสมอ ไม%ว%าจะพ�จารณาในช%วงเวลาใด ๆ
ข-อส�งเกต ถ*าว,ตถ4เคล��อนท��ด*วยอ,ตราเร0วคงท�� อ,ตราเร0วเฉล��ย อ,ตราเร0วขณะใดขณะหน3�งจะม�ค%าเท%าก,บ อ,ตราเร0วคงท��น, (น
ความเร9ว (Velocity)
ความเร9ว (Velocity) ค�อ อ�ตราการเปล��ยนแปลงการกระจ�ด หร�อ การกระจ�ดท��เปล��ยนแปลงไปในหน,�งหน�วยเวลาการกระจ,ด เป�นปร�มาณเวกเตอร� ม�หน%วยเป�น เมตร/ว�นาท�
(m/s)o แบ�งพ�จารณาได-เป5น 3 แบบ ค�อ1 .ความเร9วเฉล��ย 2. ความเร9วขณะใดขณะ
หน,�ง 3. ความเร9วคงท��
1. ความเร9วเฉล��ย
ความเร9วเฉล��ย หมายถ,ง การกระจ�ดของว�ตถ)ท��เปล��ยนไปในเวลาหน,�งหน�วย (ในช�วงเวลาหน,�งท��พ�จารณา)
* ท�ศทางของ จะม�ท�ศทางเด�ยวก,บ หร�อ เสมอ
หร�อ
∆ �� ,∆ 𝑡
, ,
2. ความเร9วขณะใดขณะหน,�ง
ความเร9วขณะใดขณะหน,�ง ค�อ ความเร9ว ณ เวลาใดเวลาหน,�งหร�อความเร9วท��จ)ดใดจ)ดหน,�งหมายถ,ง การกระจ�ดท��ว�ตถ)เคล��อนท��ได-ในหน,�งหน�วยเวลา เม��อช�วงเวลาท��เคล��อนท��น-อยมาก ๆ (เข-าใกล-ศ8นย�) เม��อ
∆ �� ,∆ 𝑡
3. ความเร9วคงท��
ความเร9วคงท�� ค�อ เป5นการบอกให-ทราบว�า ว�ตถ)ม�การเคล��อนท��อย�างสม1�าเสมอ ในแนวเส-นตรง ไม�ว�าจะพ�จารณาในช�วงเวลาใด ๆ
ข-อส�งเกต ถ-าว�ตถ)เคล��อนท��ด-วยความเร9วคงท�� ความเร9วเฉล��ย ความเร9วขณะใดขณะหน,�งจะม�ค�าเท�าก�บ ความเร9วคงท��น�4น
ข-อควรจ1า
ในกรณ�ท��ว�ตถ)เคล��อนท��เป5น เส-นตรง “ ” พบว�า การกระจ�ดม�ค�าเท�าก�บระยะทาง ด�งน�4นขนาดของ ความเร9วเฉล��ย “ ”จะเท�าก�บ อ�ตราเร9วเฉล��ย“ ” และ เราน�ยามใช-ส�ญล�กษณ�แทนปร�มาณท�4งสองเหม�อนก�น ค�อ เพ��อสะดวกในการต�4งสมการค1านวณ
A ซ-อมว��งรอบสนามฟ)ตบอล ซ,�งม�ความยาวเส-นรอบวง 400 เมตร ครบรอบใช-เวลา 50 ว�นาท� จงหา อ�ตราเร9วเฉล��ย และ ความเร9วเฉล��ยของ A
ต�วอย�าง 3
อน)ภาคหน,�งเคล��อนท��จาก A ไป D ตามแนว A B C D ด�งร8ป ก�นเวลานาน 20 ว�นาท� จงหา
ต�วอย�าง 4
)ก ระยะทาง)ข การกระจ�ด)ค อ�ตราเร9ว
เฉล��ย )ง ความเร9ว
เฉล��ย
40 m
50 m
100 m
30 m
A
B
D
C
ไก�เคล��อนท��เป5นเส-นตรงด-วยความเร9ว 5 เมตร/ว�นาท� ได-ทาง 100 เมตร แล-วจ,งเคล��อนท��ต�อด-วยความเร9ว 10 เมตร/ว�นาท� ได-ทาง 50 เมตร จงหาความเร9วเฉล��ยของไก�
ต�วอย�าง 5
1 00𝑚 5 0𝑚
𝑣1=5𝑚 /𝑠 𝑣2=10𝑚/𝑠
ความเร�ง (Acceleration)ความเร�ง (Acceleration) ค�อ การเคล��อนท��ซ,�งขนาดหร�อท�ศทางของความเร9วม�การเปล��ยนแปลง เร�ยกว�า การเคล��อนท��แบบม�ความเร�ง
ความเร�ง หมายถ,ง อ�ตราการเปล��ยนแปลงความเร9ว หร�อ ความเร9วท��เปล��ยนไปในหน,�งหน�วยเวลา
ความเร�ง เป5นปร�มาณเวกเตอร� ม�หน�วยเป5น เมตร/ว�นาท�2 (m/s2)
o ความเร�งแบ�งออกเป5น 3 ประเภท
1 .ความเร�งเฉล��ย ค�อ เป5นความเร9วท��เปล��ยนไปในช�วงเวลา ท��พ�จารณาเท�าน�4น
2. ความเร�งขณะใดขณะหน,�ง ค�อ เป5นความเร�ง ณ จ)ดใดจ)ดหน,�งพ�จารณาในช�วงเวลาท��ส�4นมาก ๆ
3. ความเร�งคงท�� ค�อ เป5นความเร�งท�� ม�การเปล��ยนแปลงความเร9วอย�างสม1�าเสมอ
หาความเร�งได-จาก
เม��อ , ค�อ ความเร9วท��เวลาเร��มต-น และท��เวลาส)ดท-ายตามล1าด�บ ค�อ ช�วงเวลาท��ใช-ในการเปล��ยนความเร9วจาก เป5น
,
หร�อ
,
ข-อส�งเกต
1 .ท�ศทางของความเร�ง จะอย8�ในท�ศทางเด�ยวก�บความเร9ว ท��เปล��ยนไปเสมอ
2. เม��อว�ตถ)เคล��อนท��ด-วยความเร�งคงท�� ค�าความเร�งเฉล��ย และค�าความเร�งขณะใดขณะหน,�ง จะม�ค�าเท�าก�บ “ความเร�งคงท�� ” น�4น
3. เม��อว�ตถ)ม�ความเร9วลดลง เราจะได-ว�า ความเร�งม�ค�าเป5นลบ หร�อ ความเร�งม�ท�ศตรงข-ามการเคล��อนท�� บางคร�4งเร�ยก ความเร�ง ท��ม�ค�าเป5นลบ (-) ว�า ความหน�ว“ง”
กราฟความส�มพ�นธ�ของปร�มาณการเคล��อนท��การหาความช�น หร�อ slope ของกราฟเส-นตรงหาได-จาก
𝒔𝒍𝒐𝒑𝒆=tan𝜽=𝚫 𝒚𝚫𝒙
=𝒚𝟐− 𝒚𝟏
𝒙𝟐− 𝒙𝟏
𝜽
𝒚
𝒙
𝚫 𝒚
𝚫 𝒙
กราฟความส�มพ�นธ�ระหว�างการกระจ�ดก�บเวลา
��
𝒕
จากกราฟ1 .การกระจ�ดคงท��2. ความเร9ว = 0 เม��อ 3. Slope = 0
จากกราฟ 1 .การกระจ�ดเพ��มข,4นอย�าง
สม1�าเสมอ2. Slope คงท�� =
ความเร9วคงท�� =
กราฟความส�มพ�นธ�ระหว�างการกระจ�ดก�บเวลา
𝜽
��
𝒕
𝚫 ��
𝚫 𝒕
จากกราฟ 1 .การกระจ�ดเพ��มข,4นอย�างไม�
สม1�าเสมอ2. Slpoe เพ��มข,4น(โค-งหงาย)
ความเร9วเพ��มข,4น
𝜽
��
𝒕
𝚫 ��𝚫 𝒕
𝐴
: ความช�นของเส-นตรง PQ
ความเร9วเฉล��ย
P
t1 t2
การกระจ�ด
เวลา
Q
∆ ��
∆ 𝑡��1
��2
Px1
x2
การกระจ�ด
เวลา
x3
x4
x5Q
∆ ��
∆ 𝑡
ความเร9วขณะใดขณะหน,�ง
Slope ของเส-นส�มผ�ส ของกราฟการกระจ�ด ณ เวลาท��พ�จารณา
(∆ 𝑡→0 )
ความเร�งเฉล��ย ค�อ อ�ตราการเปล��ยนแปลงความเร9ว
ความเร�งขณะใดขณะหน,�ง
ความเร�ง (acceleration) ความหน�วง (deceleration)
* ความเร�งเฉล��ยหาได-จาก ความช�นของกราฟ v-t
��𝑡= lim∆𝑡→0
∆ ��∆ 𝑡
=𝑑𝑣𝑑𝑡
��𝑎𝑣=∆ ��∆ 𝑡
=��2− ��1
𝑡 2− 𝑡1
ความเร�ง (Acceleration)
ความเร9ว
เวลา
V0
V
0 t
ความเร�งเฉล��ย ค�อ ความช�นของกราฟ v-t
การเคล��อนท��ด-วยความเร�งคงท��
∴𝒗=𝒗𝟎+𝒂𝒕
สมการส1าหร�บค1านวณหาปร�มาณต�างๆ ของการเคล��อนท��แนวตรง
ด-วยความเร�งคงต�ว
• ค�อ ระยะเวลาท��ว�ตถ)ใช-ในการเคล��อนท��
• ค�อ ระยะกระจ�ดของการเคล��อนท��ว�ตถ)
• ค�อ ความเร�งของการเคล��อนว�ตถ)• ค�อ ความเร9วท��เวลาเร��มต-น• ค�อ ความเร9วท��เวลาส)ดท-าย
+u
+v
+s
-u
-v
-s
+a-a
จ)ดอ-างอ�ง
เง��อนไขการก1าหนดท�ศทางของ ปร�มาณต�าง ๆ
รถค,นหน3�งเคล��อนท��ไปด*วยความเร0ว 10 เมตรต%อว�นาท� แล*วเร%งเคร��องด*วยความเร%ง 5 เมตรต%อว�นาท�2 ภายในเวลา 20 ว�นาท� จะม�ความเร0วส4ดท*ายเป�นก�� เมตรต%อว�นาท�
ต�วอย�าง 6
ถ*าเคร��องบ�นต*องใช*เวลาในการเร%งเคร��อง 20 ว�นาท� จากหย4ดน��ง และใช*ระยะทาง 400 เมตร ก%อนท��จะข3(นจากทางว��งได* จงหาอ,ตราเร0วของเคร��องบ�นขณะท��ข3(นจากทางว��งเท%าก,บก��เมตรต%อว�นาท�
ต�วอย�าง 7
รถค,นหน3�งเคล��อนท��ด*วยความเร0วต*น 36 ก�โลเมตรต%อช,�วโมง ต%อมาเร%งเคร��องด*วยความเร%ง 3 เมตรต%อว�นาท�2 จงหาว%าภายในระยะทาง 50 เมตร รถค,นน�(จะม�ความเร0วปลายก��เมตรต%อว�นาท�
ต�วอย�าง 8
รถยนต�ค,นหน3�งกา ล,งเคล��อนท��ด*วยอ,ตราเร0วคงต,ว 50 ก�โลเมตรต%อช,�วโมง ต%อมา รถยนต�ค,นน�(ว��งผ%านรถยนต�อ�กค,นหน3�งซ3�งว��งไปทางเด�ยวก,นด*วยอ,ตราเร0ว 40 ก�โลเมตรต%อช,�วโมง และม�อ,ตราเร%งคงต,ว 20 ก�โลเมตรต%อช,�วโมง2 อ�กนานเท%าใดรถยนต�ท,(งสองค,นจะ มาพบก,นอ�กคร,(ง
ต�วอย�าง 9
1 2 3
การค1านวณการเคล��อนท��ของว�ตถ)ภายใต-แรงด,งด8ดของโลก
การเคล��อนท��ในแนวด��งภายใต-แรงด,งด8ดของโลก ค�อ การเคล��อนท��อย�างอ�สระของว�ตถ)โดยม�ความเร�งคงท��เท�าก�บความเร�งเน��องจากแรงด,งด8ดของโลก (g) ม�ท�ศพ) �งลงส8�จ)ดศ8นย�กลางของโลก ม�ค�าโดยเฉล��ยท��วโลกถ�อเป5นค�ามาตรฐาน ม�ค�าเท�าก�บ 9.8065 m/s2
ล�กษณะของการเคล��อนท��ม� 3 ล�กษณะ
u = 0
u > 0u < 0
1.ปล�อยลงในแนวด��งด-วยความเร9วต-นเท�าก�บศ8นย� (u = 0)
2.ปาลงในแนวด��งด-วยความเร9วต-น (u < 0)
3.ปาข,4นในแนวด��งด-วยความเร9วต-น (u > 0)
��=��+ ��𝒕��=�� 𝒕+
𝟏𝟐��𝒕𝟐
��𝟐=��𝟐+𝟐 �� ∙ ��
ว�ตถ)ตกอย�างอ�สระว�ตถ)ตกอย�างอ�สระ เป5นการเคล��อนท��ด-วย ความเร�งคงท��โดยว�ตถ)จะเคล��อนท��ลงส8�พ�4นโลกด-วยความเร�ง 9.8 เมตร/ว�นาท�2
��=��+ ��𝒕��=�� 𝒕+
𝟏𝟐�� 𝒕𝟐
��𝟐=��𝟐+𝟐 �� ∙ ����=��
สมการส1าหร�บค1านวณหาปร�มาณต�างๆ ของการเคล��อนท��ของว�ตถ)
ภายใต-แรงด,งด8ดของโลก
• ค�อ ระยะเวลาท��ว�ตถ)ใช-ในการเคล��อนท��
• ค�อ ระยะกระจ�ดของการเคล��อนท��ว�ตถ)
• ค�อ ความเร�งเน��องจากแรงด,งด8ดของโลก
• ค�อ ความเร9วท��เวลาเร��มต-น• ค�อ ความเร9วท��เวลาส)ดท-าย
เม��อ a = g และท)กปร�มาณเป5นบวกหมด เพราะม�ท�ศทางเด�ยวก�น
สมการส1าหร�บการค1านวณส�วนล�กษณะท�� 3 ว�ตถ)เคล��อนท��เป5นเส-นตรง แต�ม� 2 ท�ศทางค�อ ข,4น และ ลง ด�งน�4นปร�มาณเวกเตอร�ต�าง ๆ ต-องก1าหนดท�ศทางโดยใช-เคร��องหมาย บวก (+) และ ลบ (-)
A
B
C
D
+S
-S
+u
+v -v
a = - g
เง��อนไขการก1าหนดท�ศทางของปร�มาณต�าง ๆ
จ)ดอ-างอ�
ง
+u+va = - g **
+s
-u-v -s
ปล�อยล8กบอลจากดาดฟ>าต,กส8ง 30 เมตร ช�วงเวลาต�4งแต�ปล�อยจนตกกระทบพ�4นม�ค�าเท�าใด (g= 10 m/s2)
ต�วอย�าง 10
30
m
ปาว,ตถ4ลงในแนวด��งจากต3กส'งด*วยความเร0ว 10 เมตรต%อว�นาท� เม��อเวลาผ%านไป 5 ว�นาท� ว,ตถ4จะม�ความเร0วเท%าใด (g= 10 m/s2)
ต�วอย�าง 11
u = -10 m/s
ปาว,ตถ4ข3(นไปในแนวด��งบนยอดต3กส'งด*วยความเร0ว 15 เมตรต%อว�นาท� เม��อเวลาผ%านไป 8 ว�นาท� ว,ตถ4จ3งตกกระทบพ�(นความส'งของต3กด,งกล%าวเป�นเท%าใด (g= 10 m/s2)
ต�วอย�าง 12
u = 15 m/s
การเคล��อนท��แบบโพรเจคไตล� ค�อ ???
การเคล��อนท��แบบโพรเจคไตล� ค�อ การเคล��อนท��ในแนวโค-งพาราโบลา ซ,�งเก�ดจากว�ตถ)ได-ร�บความเร9วใน 2 แนวพร-อมก�น ค�อ ความเร9วในแนวราบและความเร9วในแนวด��ง ต�วอย�างของการเคล��อนท��แบบโพรเจกไทล� ได-แก� ดอกไม-ไฟ น14าพ) การเคล��อนท��ของล8กบอลท��ถ8กเตะข,4นจากพ�4น การเคล��อนท��ของน�กกระโดดไกล
การเคล��อนท��แบบโพรเจคไตล�
ต�วอย�างในช�ว�ตประจ1าว�น��𝟐
��𝟑
��𝟏
1
2
3
ต�วอย�างในช�ว�ตประจ1าว�น𝒚
𝒙
��𝟐
��𝟑
��𝟏
�� 𝒙𝟏
�� 𝒚𝟏
�� 𝒚𝟐=𝟎
1
2
3
¿ �� 𝒙𝟐
�� 𝒙𝟑
�� 𝒚𝟑
𝜽
��𝟏
�� 𝒙𝟏
�� 𝒚𝟏
การเคล��อนท��แบบโพรเจคไตล�o ในแนวราบ (แนวแกนX) ว,ตถ4จะเคล��อนท��ด*วย
ความเร0วคงต,ว (ไม%ม�แรงกระท6า) และความเร%งในแนวราบเป�นศ'นย�
o ในแนวด��ง (แนวแกนY) ว,ตถ4จะเคล��อนท��อย%างเสร�ภายใต*แรงโน*มถ%วงคงต,ว และความเร%งในแนวด��งค�อความเร%งโน*มถ%วงของโลก
o จ3งท6าให*แนวทางการเคล��อนท��เป�นแนว โค-งพาราโบลา เช%น การเคล��อนท��ของก*อนห�นเม��อถ'กขว*างออกไปแนวระด,บ การเคล��อนท��ของล'กฟ4ตบอลท��ถ'กเตะ การเคล��อนท��ของล'กป9นใหญ%ท��ถ'กย�ง เป�นต*น
𝒚
𝒙
𝜽
การทดลองการเคล��อนท��แบบโพรเจคไตล�
𝒕𝟎
𝒕𝟏
𝒕𝟐
𝒕𝟑
𝒕𝟎 𝒕𝟏 𝒕𝟐 𝒕𝟑
−𝒚
𝒙
��
�� 𝒙𝟏
�� 𝒚
ร8ปแบบของการเคล��อนท��แบบโพรเจคไตล�
1 .ความเร9วต-นตามแนวระด�บ
𝒚
𝒙
𝜽
��
2. ความเร9วต-นท1าม)มก�บแนวระด�บ
1 .ความเร9วต-นตามแนวระด�บ
a) หาความเร0ว ณ จ4ดใดๆ (ม�ท�ศส,มผ,สก,บเส*นทางเด�น ณ จ4ดน,(น)
��
��
�� 𝒙
�� 𝒚
𝜽
b) หาการกระจ,ด ณ จ4ดใดๆ
��𝒙
��𝒚
𝑠2=��𝑥2+ ��𝑦
2
1 .ความเร9วต-นตามแนวระด�บ��
���� 𝒙
�� 𝒚𝜽
หล�กการค1านวณ • ต,(งแกน X ให*อย'%ในแนวระด,บ และ
แกน Y อย'%ในแนวด��ง โดยจ4ดก6าเน�ด(origin) ต*องอย'%ท��จ4ดเร��มต*น
• แตกเวกเตอร�ท4กค%าค�อ ความเร0ว ระยะทาง ให*อย'%ในแนวแกน X และ Y
• ax = 0 และ ay = -g
2 .ความเร9วต-นท1าม)มก�บแนวระด�บ𝒚
𝒙
��𝟐�� 𝒚𝟐=𝟎
2
3
¿ �� 𝒙𝟐
��𝟑
�� 𝒙𝟑
�� 𝒚𝟑
��𝟏
�� 𝒙𝟏
�� 𝒚𝟏
1 𝜽
��𝒚
��𝒙
ส8ตรการค1านวณการเคล��อนท��แบบโพรเจกไตล�
ในแนวด��งในแนวราบความเร0วในแนวราบคงท�� ax = 0ความเร0วในแนวด��งไม%คงท�� ay = -g
ส8ตรการค1านวณการเคล��อนท��แบบโพรเจกไตล�
การเวลาท��ว,ตถ4อย'%ท��จ4ดส'งส4ด
• จาก • ท��จ4ดส'งส4ด ความเร0วในแนว
ด��ง
• เวลาท��ว,ตถ4อย'%ท��จ4ดส'งส4ด • เวลาท��ว,ตถ4อย'%ท��จ4ดส'งส4ดจน
ตกถ3งพ�(น
�� 𝒚=𝟎�� 𝒙
��𝒙
��𝒚
��𝒚
ส8ตรการค1านวณการเคล��อนท��แบบโพรเจกไตล�
การกระจ,ดท��ว,ตถ4อย'%ท��จ4ดส'งส4ด
• จาก • ท��จ4ดส'งส4ด ความเร0วในแนวด��ง
• การกระจ,ดท��ว,ตถ4อย'%ท��จ4ดส'งส4ด
�� 𝒚=𝟎�� 𝒙
��𝒙
��𝒚
��𝒚
ส8ตรการค1านวณการเคล��อนท��แบบโพรเจกไตล�
ว,ตถ4จะตกถ3งพ�(นได*ไกลท��ส4ดจากจ4ดย�ง• การกระจ,ดท��ว,ตถ4ตกถ3งพ�(นจากจ4ดย�ง
• เม��อ
• ว,ตถ4จะตกถ3งพ�(นได*ไกลท��ส4ดจากจ4ดย�ง(เตะ)��
��𝒙
��𝒚
𝜽=?? ?
ส8ตรการค1านวณการเคล��อนท��แบบโพรเจกไตล�
ว,ตถ4จะตกถ3งพ�(นได*ไกลท��ส4ดจากจ4ดย�ง• ว,ตถ4จะตกถ3งพ�(นได*ไกลท��ส4ดจากจ4ดย�ง(เตะ) ท6าม4ม
• เม��อ ด,งน,(น
�� ��𝒙
��𝒚
𝜽��𝒙
น,กอเมร�ก,นคนหน3�งฟ4ตบอลเตะล'กบอลท6าม4ม 30o ก,บแนวระด,บด*วยความเร0วต*น 80 เมตร/ว�นาท� จงหาว%าเม��อล'กบอลเคล��อนท��ไปได* 3 ว�นาท� จะม�ความเร0วเท%าไร และใช*เวลานานเท%าไรล'กบอลน,(นจ3งตกถ3งพ�(น
ต�วอย�าง 12
30o𝒖=𝟖𝟎𝒎
/𝒔
ชายคนหน3�งย�นอย'%บนต3กส'ง 45 เมตร ขว*างล'กเทนน�สออกไปในแนวราบด*วยความเร0ว 12 เมตร/ว�นาท� กระทบก,บก6าแพงแล*วกระดอนกล,บ จงหาว%าล'กเทนน�สจะตกกระทบพ�(นท��จ4ดห%างจากฐานต3กเท%าไร ถ*าให*หน*าต3กห%างจากก6าแพง 20 เมตร
ต�วอย�าง 134
5 m
��𝒙=𝟏𝟐𝒎 /𝒔
ชายคนหน3�งเตะล'กบอลด*วยความเร0ว 25 เมตร/ว�นาท� ในท�ศท6าม4มเงย 53o จงหาว%าล'กบอลน�(ข3(นได*ส'งส4ดเท%าไร และ ใช*เวลานานเท%าไรล'กบอลจ3งตกถ3งพ�(น (เม��อ g = 10 เมตร/ว�นาท�2)
ต�วอย�าง 14
53o��=
𝟐𝟓𝒎
/𝒔
ย�งล'กกระส4นออกไปในแนวระด,บด*วยความเร0ว 400 เมตร/ว�นาท� เม��อเวลาผ%านไป 3 ว�นาท� จงหา (เม��อ g = 10 เมตร/ว�นาท�2)
)ก ความเร0วและท�ศทางของกระส4น)ข ระยะกระจ,ดของล'กกระส4น
ต�วอย�าง 15
��𝒙=𝟒𝟎𝟎𝒎/𝒔
ย�งป9นท6าม4มเงย 37 องศา ก,บแนวราบด*วยความเร0ว 500 เมตร/ว�นาท� จงค6านวณหา (เม��อ g = 10 เมตร/ว�นาท�2)
)ก ความเร0วของล'กกระส4น เม��อเวลาผ%านไป 1 ว�นาท�
)ข เวลาท��ล'กกระส4นอย'%ท��ต6าแหน%งส'งส4ด)ค การกระจ,ดของล'กกระส4น เม��อตกถ3งพ�(น
ต�วอย�าง 16
��=𝟓𝟎𝟎𝒎
/𝒔
37o
การเคล��อนท��แบบวงกลม(Circular Motion)
การเคล��อนท��ในแนววงกลม หมายถ,ง การเคล��อนท��ของว,ตถ4 ท��ม�การเปล��ยนแปลงความเร0วตามท�ศทางการเคล��อนท��ตลอดเวลา ในการศ3กษาเราส%วยใหญ%จะให*อ,ตราเร0วของว,ตถ4จะคงท�� เช%น การโคจรของดวงจ,นทร�รอบโลก เป�นต*น
องค�ประกอบการเคล��อนท��แบบวงกลม
การเคล��อนท��แบบวงกลมประกอบไปด-วย
• แรงกระท6าจากภายนอก
• การเปล��ยนแปลงความเร0วตามท�ศทาง
• ความเร%งม�ท�ศเข*าส'%ศ'นย�กลาง
• เก�ดแรงส'%ศ'นย�กลาง• อ,ตราเร0วตามแนว
ส,มผ,สคงท��
�� 𝒄
��
�� 𝒄
��
�� 𝒄
�� 𝒄
�� 𝒄
�� 𝒄��
��
��
��
𝜽����𝒄
ส�ญล�กษณ�ในการค1านวณ
การเคล��อนท��แบบวงกลม• คาบ (T) ค�อ เวลาท��
ใช*ในการเคล��อนท��ครบ 1 รอบ หร�อ ว�นาท�ต%อรอบ (s)
• ความถ�� (f) ค�อ จ6านวนรอบท��เคล��อนท��ได*ในหน3�งหน%วยเวลา หร�อ รอบต%อว�นาท� (Hz)
�� 𝒄
��
�� 𝒄
��
�� 𝒄
�� 𝒄
�� 𝒄
�� 𝒄��
��
��
��,
𝜽����𝒄
ส�ญล�กษณ�ในการค1านวณ
การเคล��อนท��แบบวงกลม• อ�ตราเร9วเช�งเส-น (v)
ค�อ ระยะทางตามแนวเส*นรอบวงของวงกลมท��ว,ตถ4เคล��อนท��ได*ในหน3�งหน%วยเวลา ( m/s)
�� 𝒄
��
�� 𝒄
��
�� 𝒄
�� 𝒄
�� 𝒄
�� 𝒄��
��
��
��
𝒗=𝟐𝝅 𝑹𝑻
=𝟐𝝅 𝑹𝒇
• อ�ตราเร9วเช�งม)ม ( w ) ค�อ ค�อ ม4มท��จ4ดศ'นย�กลางของวงกลมท��ร ,ศม�กวาดไปได*ในหน3�งหน%วยเวลา (เรเด�ยน/ว�นาท� หร�อ rad/s)𝝎=𝜽𝑻=
𝟐𝝅𝑻
=𝟐𝝅 𝒇 =𝒗𝑻
𝜽����𝒄
ส�ญล�กษณ�ในการค1านวณ
การเคล��อนท��แบบวงกลม• ความเร�งเข-าส8�
ศ8นย�กลาง (Centripetal Acceleration, ac) ac ค�อ ความเร%งเน��องจากการเคล��อนท��แบบวงกลมม�ขนาดคงท�� และม�ท�ศเข*าส'%ศ'นย�กลางเสมอ
�� 𝒄
��
�� 𝒄
��
�� 𝒄
�� 𝒄
�� 𝒄
�� 𝒄��
��
��
��𝒂𝒄=
𝒗𝟐
𝑹
𝜽����𝒄
เม��อ R= ร,ศม�การเคล��อนท��ในแนววงกลม (m)
ส�ญล�กษณ�ในการค1านวณ
การเคล��อนท��แบบวงกลม• แรงเข-าส8�ศ8นย�กลาง
(Centripetal Force, Fc) ค�อ แรงท��กระท6าต%อว,ตถ4ในการเคล��อนท��แบบวงกลมม�ท�ศเด�ยวก,บท�ศของความเร%ง�� 𝒄
��
�� 𝒄
��
�� 𝒄
�� 𝒄
�� 𝒄
�� 𝒄��
��
��
��
�� 𝒄=𝒎��𝒄=𝒎𝒗𝟐
𝑹
𝜽����𝒄
เม��อ m = มวลว,ตถ4ท��เคล��อนท��เป�นวงกลม (kg)
กฎแรงด,งด8ดระหว�างมวลน�วต�นกฎแรงด,งด8ดระหว�างมวลน�วต�น กล�าวว�า ว,ตถ4ท,(ง“หลายในเอกภพจะออกแรงด3งด'ดซ3�งก,นและก,น โดยขนาดของแรงด3งด'ดระหว%างว,ตถ4ค'%หน3�งๆ จะแปรผ,นตรงก,บผลค'ณระหว%างมวลว,ตถ4ท,(งสองและจะแปรผกผ,นก,บก6าล,งสองระยะทางระหว%างว,ตถ4ท,(งสองน,(น”
��=𝑮𝒎𝑴𝑹𝟐
เม��อ
G ค�อ ค�าน�จความโน-มถ�วงสากล ม�ค�า 6.672 x 10-11 Nm2/kg2
�� 𝑬��𝒎
𝑴𝒎 𝑹
หล�กการค1านวณเร��องการเคล��อนท��แบบวงกลมแบบต�าง ๆ
1 .เข�ยนระนาบกลมขณะท��ว,ตถ4ก6าล,งหม4น2. เข�ยนแรงท��กระท6าต%อว,ตถ4 แล*วแตกแรง
ท,(งหมดให*อย'%ในแนวส'%ศ'นย�กลางวงกลม และแนวต,(งฉากก,บแนวส'%ศ'นย�กลาง
3. ในแนวส'%ศ'นย�กลาง หาแรงล,พธ�ท��ท�ท�ศทางพ4 %งเข*าส'%ศ'นย�กลาง แรงน�(จะท6าหน*าท��เป�นแรงส'%ศ'นย�กลาง• ในแนวต,(งฉากก,บระนาบ
วงกลมน�( ถ�อว%าสมด4ล ในแนวน�(เท%าก,บศ'นย�
∑ ��=𝟎
การเคล��อนท��วงกลมตามแนวระด�บ
o เม��อระบบของวงกลมวางอย8�ในแนวระด�บว�ตถ)ผ8กเช�อก แกว�งเป5นวงกลมบนโต@ะระด�บผ�วเกล�4ยง
• หาความเร0วเช�งม4มได*จาก • หาความเร%งส'%ศ'นย�กลางได*จาก • หาแรงส'%ศ'นย�กลางได*จาก
𝒗
𝑭 𝒄=𝒎𝒂𝒄=𝒎𝒗𝟐
𝑹=𝒎𝝎𝟐𝑹
การเคล��อนท��เป5นวงกลมในแนวด��ง
การเคล��อนท��ของวงกลมในแนวด��งแตกต%างจากแนวระด,บ ค�อ ม�ค%า g
• แรงตามแนวร,ศม� • แรงตามแนวส,มผ,ส • จาก ได*ว%า • เม��อ ได*ว%า • ด,งน,(น ความต3กเช�อกค�อ
q
𝑚𝑔
𝑚𝑔 cos𝜃
𝑚𝑔
sin𝜃
𝑇
𝑻=𝒎𝒗𝟐
𝑹+𝒎𝒈cos𝜽
𝑹
การเคล��อนท��บนทางโค-งในแนวราบ
การท��ว,ตถ4หร�อรถจะเล�(ยวโค*งต*องม�แรงส'%ศ'นย�กลางเสมอ ในขณะท��รถเล�(ยวโค*งแรงส'%ศ'นย�กลางท��กระท6าต%อรถก0ค�อ แรงเส�ยดทานน,�นเอง โดยแรงเส�ยดทานม�ท�ศเข*าส'%ศ'นย�กลางในขณะท��รถเล�(ยวโค*งการหาความเร0วท��พอด�ท6าให*รถเล�(ยวโค*งได*
รถจะเล�(ยวโค*งได*ด*วยความเร0วมากหร�อน*อยข3(นอย'%ก,บร,ศม� (R) วงกลมของทางโค*ง และม4ม q ท��รถเอ�ยงจากแนวด��ง ถ*า R และ q ม�ค%ามาก รถจะเล�(ยวโค*งได*ด*วยความเร0วส'ง
q
𝑓 𝑘=𝜇𝑁
𝑁=𝑚𝑔
• ส.ป.ส. ของแรงเส�ยดทานระหว%างล*อก,บถนน
o เม��อ o ด,งน,(น o ได*ว%า
𝒗=√𝒕𝒂𝒏𝜽 𝑹𝒈=√𝝁𝑹𝒈
การเคล��อนท��เป5นทางโค-งบนถนนล��นเอ�ยงท1าม)ม q ก�บแนวระด�บ
ในกรณ�ทางโค*งน�ยมยกขอบด*านนอกให*ส'งกว%าด*านใน เพ��อช%วยท6าให*เก�ดแรงส'%ศ'นย�กลางโดยไม%ต*องอาศ,ยแรงเส�ยดทาน
𝑵
q
𝑵𝐜𝐨
𝐬𝜽
𝑵 𝐬𝐢𝐧 𝜽
𝒎𝒈
อ,ตราเร0วพอด�ก,บม4มท��ยกข3(น หาได*ด,งน�(o เม��อ o และ o ได*ว%า o อ,ตราเร0วพอด�ก,บม4มท��
ยกข3(น ค�อ
q
q = ม4มท��ผ�วถนนกระท6าต%อพ�(นราบv = อ,ตราเร0วท��พอด�ก,บม4มท��ยกผ�วถนนR = เป�นร,ศม�ความโค*งg = ความเร%งเน��องจากความโน*มถ%วง
𝒗=√𝒕𝒂𝒏𝜽 𝑹𝒈
การเคล��อนท��วงกลมของดาวเท�ยม
• แรงส'%ศ'นย�กลาง ด,งน,(น หร�อ • ค%าแรงโน*มถ%วงกระท6าก,บดาวเท�ยม เม��อ
• ความเร0วของดาวเท�ยม
����
น14าหน�กดาวเท�ยมลงส8�โลก เป5นแรงส8�ศ8นย�กลาง
𝒎��𝒉
𝒎 𝑴��𝑬
• G ค�อ ค%าน�จความโน*มถ%วงสากล ม�ค%า 6.672 x 10-11 Nm2/kg2
𝒗=√𝒈𝒉𝑹=√𝒈𝒉 (𝑹𝑬+𝒉 )=√ 𝑮𝑴𝑹𝑬+𝒉
จงหาความเร%งเข*าส'%ศ'นย�กลางของว,ตถ4ท��เคล��อนท��เป�นร'ปวงกลมร,ศม� 8 เมตร ด*วยอ,ตราเร0ว 20 เมตร/ว�นาท� และหากมวลท��เคล��อนท��ม�ขนาด 5 ก�โลกร,ม จงหาแรงเข*าส'%ศ'นย�กลาง
ต�วอย�าง 17
ว,ตถ4มวล 2 ก�โลกร,ม ผ'กเช�อกยาว 1 เมตร แล*วแกว%งให*เคล��อนท��เป�นวงกลมตามแนวระด,บด*วยอ,ตราเร0วคงท�� 2 รอบต%อว�นาท� จงหา
)ก ความเร%งส'%ศ'นย�กลาง)ข แรงต3งในเส*นเช�อก
ต�วอย�าง 18
1 m
โลกหม4นรอบต,วเองครบ 1 รอบ ใช*เวลา 24 ช,�วโมง และร,ศม�ของโลกเท%าก,บ 6.37x106 เมตร จงค6านวณหา
)ก อ,ตราเร0วเช�งม4มของว,ตถ4บนผ�วโลก)ข อ,ตราเร0วเช�งเส*น และขนาดของความเร%งส'%
ศ'นย�กลางของว,ตถ4ท��อย'%บนเส*นศ'นย�ส'ตรของโลก
ต�วอย�าง 19
เส*นเช�อกเบายาว 1 เมตร ปลายข*างหน3�งต�ดว,ตถ4มวล 0.5 ก�โลกร,ม อ�กปลายหน3�งตร3งแน%นแกว%งให*ว,ตถ4เคล��อนท��เป�นวงกลมในแนวราบร,ศม� 30 เซนต�เมตร และ เส*นเช�อกท6าม4ม 37o ก,บแนวด��ง จงค6านวณหา
)ก อ,ตราเร0วเช�งเส*น และ อ,ตราเร0วเช�งม4ม)ข แรงต3งในเส*นเช�อก)ค คาบของการแกว%ง
ต�วอย�าง 20
0.5 kg
37o
30 cm1
m
การเคล��อนท��แบบซ�มเป�ลฮาร�โมน�ก(Simple Harmonic Motion,
SHM)
การเคล��อนท��แบบซ�มเป!ลฮาร�โมน�ก หมายถ,ง การท��ว,ตถ4เคล��อนท��กล,บไปมาซ6(ารอยเด�ม ม,กจะใช*ส,ญญล,กษณ�ว%า SHM. ต,วอย%างของการเคล��อนท��แบบน�(ได*แก% การเคล��อนท��ของว,ตถ4ท��ถ'กผ'กต�ดไว*ก,บสปร�งในแนวราบ การแกว%งของช�งช*า การแกว%งของล'กต4*มนาฬ�กา เป�นต*น
สมการของการเคล��อนท��แบบซ�มเป�ลฮาร�โมน�ก
จากภาพจะเห0นว%าเม��อว,ตถ4ส�เหล�องเคล��อนท��เป�นวงกลม เงาของว,ตถ4บนฉากจะเคล��อนท��เป�นเส*นตรงกล,บไปกล,บมา เร�ยกการเคล��อนท��แบบซ6(ารอยเด�มน�(ว%า การเคล��อนท��แบบซ�มเป�ลฮาร�โมน�ค (Simple Harmonic Motion) หร�อการเคล��อนท��แบบ S.H.M
q ฉาก
เงาของบอล
𝑹
𝒀
การเคล��อนท��แบบซ�มเป�ลฮาร�โมน�ก
q ฉาก
เงาของบอล
จะได-การกระจ�ดในแนวแกน Y ด�งน�4
𝑹
𝒀อ,ตราเช�งเส*นม4ม ค�อ
𝒀=𝑹 sin𝜔𝑡
การเคล��อนท��แบบซ�มเป�ลฮาร�โมน�ก
หร�อ (แอมปล�จ'ด)
เม��อน6า ไปเข�ยนกราฟการกระจ,ด-เวลา ของการเคล��อนท��แบบซ�มเป�ลฮาร�โมน�ค จะได*กราฟด,งน�(
จากสมการ เม��อ ค%าของการกระจ,ดของการเคล��อนท��แบบซ�มเป�ลฮาร�โมน�คจะม�ค%ามากท��ส4ด น,�นค�อ
0 2 4 6 8 10 12 14
-1.5-1
-0.50
0.51
1.5
เวลา
การก
ระจ�ด
ซ�มเป�ลฮาร�โมน�คในสปร�งการท��ว,ตถ4เคล��อนท��กล,บไปมาซ6(ารอยเด�ม ม,กจะใช*
ส,ญล,กษณ�ว%า SHM. ต1าแหน�งสมด)ล
ต1าแห
น�งสม
ด)ล
−𝒚
+𝒚−𝒙
+𝒙
2
22
2
F ma
kx m x
k mT
mT
k
2 k
T m
ซ�มเป�ลฮาร�โมน�คในสปร�ง
ต1าแหน�งสมด)ล
−𝒙
+𝒙
สปร�งเบาต,วหน3�งม�ค%าน�จ 100 น�วต,น/เมตร ผ'กต�ดก,บมวล 1 ก�โลกร,ม ซ3�งวางอย'%บนพ�(น ราบเกล�(ยง เม��อด3งสปร�งออกไป 30 เซนต�เมตร แล*วปล%อยม�อ มวลก*อนน�(จะม�อ,ตราเร%งส'ง ส4ดเท%าใด
ต�วอย�าง 21
รถทดลองมวล 500 กร,ม ต�ดอย'%ก,บปลายสปร�งด,งร'ป เม��อด3งด*วยแรง 5 น�วต,น ในท�ศขนานก,บพ�(น จะท6าให*สปร�งย�ดออก 10 เซนต�เมตร เม��อปล%อยรถจะเคล��อนท��กล,บไปกล,บมาบนพ�(นเกล�(ยงแบบซ�มเป�ลฮาร�โมน�ก ด*วยคาบเท%าไร(ค%าคงท��สปร�งเท%าก,บ 10 N/m)
ต�วอย�าง 22
แขวนมวล 2 ก�โลกร,ม ก,บสปร�ง แล*วปล%อยให*ส,�นข3(นลง ว,ดคาบของการส,�นได* 1 ว�นาท� ถ*าเอามวล 2 ก�โลกร,ม ออกสปร�งจะส,(นกว%าตอนท��แขวนมวลน�(อย'%ก��เมตร
ต�วอย�าง 23
การเคล��อนท��แบบล8กต)-มนาฬ�กา
จากร'ป เป�นการเคล��อนท��แบบล'กต4*มนาฬ�กา (simple pendulum) ซ3�งเป�นการเคล��อนท��แบบซ�มเป�ลฮาร�มอน�กอย%างง%าย อ�กล,กษณะหน3�งโดยการน6าว,ตถ4มวล m ผ'กเช�อกยาว l เม��อว,ตถ4แกว%งเป�นม4มแคบๆ (q ม�ค%าน*อย ๆ) ซ3�งถ�อได*ว%าแรงล,พธ�ท��ท6าให*ว,ตถ4เคล��อนท��ม�ท�ศขนานก,บเส*นทางการเคล��อนท��ของว,ตถ4 และส%วนโค*งของวงกลมจากต6าแหน%งสมด4ลถ3งต6าแหน%งต%างๆ ของว,ตถ4เป�นเส*นตรง
q
𝑚𝑔
𝑚𝑔
cos𝜃
𝑚𝑔sin𝜃
𝑇𝒍
𝒙
การเคล��อนท��แบบล8กต)-มนาฬ�กา
o จากกฎข*อสองของน�วต,น
o เม��อ q ม�ค%าน*อย ๆ ด,งน,(น
o จาก ได*ว%า
q
𝑚𝑔
𝑚𝑔
cos𝜃
𝑚𝑔sin𝜃
𝑇𝒍
𝒙
และ
ล'กต4*มแขวนด*วยเช�อกยาว 0.4 เมตร แกว%งไปมาด*วยแอมพล�จ'ด 0.1 เมตร จงหา ความเร0วขณะเคล��อนผ%านจ4ดสมด4ล
ต�วอย�าง 24
q 𝑙=0 . 4𝑚
𝑥=0 .1𝑚
ล'กต4*มแขวนด*วยเช�อกยาว 100 เซนต�เมตร เม��อจ,บล'กต4*มให*เบนออกมาจากตาแหน%ง สมด4ลเป�นระยะ 5 เซนต�เมตร แล*วปล%อยให*แกว%งอย%างอ�สระความเร0วส'งส4ดในการแกว%ง จะม�ค%าเท%าก,บก�� เซนต�เมตร / ว�นาท�
ต�วอย�าง 25
ปล%อยล'กต4*มซ3�งม�สายยาว 90 เซนต�เมตรจากม4มหน3�งให*แกว%ง แต%สายล'กต4*มต�ดตะป'ท��ระยะ 50 เซนต�เมตร ใต*จ4ดท��แขวนในแนวด��ง ล'กต4*มจะแกว%งกล,บมาท��เด�มในเวลาเท%าใด (g = 10 m/s2)
ต�วอย�าง 26
q
𝑙=90𝑐𝑚
.
50𝑐𝑚
.
บทท�� 2การเคล��อนท��แบบต�างๆ
อ.ณภ�ทรษกร สารพ�ฒน�สาขาว�ชาฟ!ส�กส� คณะว�ทยาศาสตร�และเทคโนโลย�
มหาว�ทยาล�ยราชภ�ฏเทพสตร� ลพบ)ร�