דוגמאות לגלים סטציונריים

17.6.09

איריס רוגר

פרקים בתנודות וגלים לא לינאריים

מנחה: פרופ' לזר פרידלנד

Ion-Acoustic Waves

לינאריזציה של המשוואות•נחפש יחס נפיצה של הגל–

מקרה כללי•נחקור התנהגות של קווזי חלקיק בפוטנציאל –

אפקטיבי

Ion-Acoustic Waves

הנחות העבודה:•פלסמה•תדרים נמוכים - האלקטרונים מתפלגים התפלגות •

מקסוול בבור הפוטנציאל.( ולכן ניתן להשתמש במשוואת (B=0גל אלקטרוסטטי •

פואסון.

בעיה חד מימדית•0IonTיונים קרים: •

משוואות....

משוואת הרצף•

משוואת התנועה•

משוואת פואסון•

0 xt v

xxt M

evvv

eBxx TK

ee

exp4 0

*משוואות אלה הן עבור היונים.

לינאריזציה של המשוואות

נניח הפרעה קטנה לשיווי משקל.•

שיווי משקל? מצב בו נגזרת של הגדלים המדידים היא 0 .

הערכים

הם ערכים המקיימים ש"מ, וגם את המשוואות המתארות את הבעיה.

0eq0eqv 0 eq

לינאריזציה של המשוואות

נניח הפרעה קטנה לש"מ:

כאשר הערכים הם קטנים.

111 ,, v

1 1vv 10

0eq0eqv 0 eq

לינאריזציה של המשוואות

eBxx

xxt

xt

TK

ee

M

evvv

v

exp4

0

0

eBxx

xxt

xt

TK

e

M

evvv

v

14

0

0101

1111

101

הזנחת איברים 2מסדר

פיתוח טיילור

eBxx

xt

xt

TK

ee

M

ev

v

1

11

101

4

0

לינאריזציה של המשוואות

eBxx

xt

xt

TK

ee

M

ev

v

1

11

101

4

0

)](exp[

1

1

1

1

1

1

tkxivv

קיבלנו סט של משוואות דיפרנציאליות:

נחפש פתרון מהצורה הבאה:

111 ,, vקבועים

לינאריזציה של המשוואות

10

2

112

11

101

44

0

eBTK

ek

M

eikvi

viki 10

1 vk

11 Mke

v 12

20

1 M

ek

eBxx

xt

xt

TK

ee

M

ev

v

1

11

101

4

0

לינאריזציה של המשוואות

2

1221

drkkc

M

TKC eBמהירות אקוסטית

2

024 deB r

e

TK

נגדיר רדיוס

debye

112

20

12 1

4

drM

ekek

טמפ' אלקטרונים

מסת יונים

לינאריזציה של המשוואות 2

1221

drkkc

3

2k

crck d

0 xxxxt vvvv

ניתן לפתח krd<<1עבור בטור ולקבל:

זהו יחס הנפיצה שממנו גזרנו KDVמשוואת

מסקנה: עבור לינאריזציה של הבעיה יש KDVסוליטונים של

יחס הנפיצה:

KDVמשוואת 23)( uuuV

)]([sec 22

1 ctxChCu

uממשוואת האנרגיה קיבלנו משוואה דיפרנציאלית עבור

תנועת קווזי חלקיק בפוטנציאל אפקטיבי:

פתרון בהפרדת משתנים נתן:

המקרה הכללי

נניח פתרון של גל סטציונרי:

0 xt v

xxt M

evvv

eBxx TK

ee

exp4 0

)(

)(

)(

vv

utx נסמן

ונניח:

dd

x

dd

ut

המקרה הכללי: טיפול במשוואות

0 xt v

xxt M

evvv

eBxx TK

ee

exp4 0

0'' vu

''2

1' 2

M

evuv

eBTK

ee

exp4'' 0

קיבלנו סט של משוואות דיפרנציאליות רגילות.

utx

המקרה הכללי: טיפול במשוואות

1Cvu 0'' vu אינטגרציה

01 uC v=0 , =בפרט, עבור שיווי משקל:

vu

u

0

M

euvu

2)( 22

22

2

1C

M

evuv ''

2

1' 2

M

evuv

אינטגרציה

02 C ,v=0בפרט, עבור שיווי משקל:

=

המקרה הכללי: טיפול במשוואות

eBTK

e

vu

ue

exp4'' 00

eBTK

ee

exp4'' 0 vu

u

0

2

1

2 2

M

euvu

eBTK

e

Me

u

ue

exp2

4''2

1

2

0

)(effV

תנועת קווזי חלקיק בפוטנציאל אפקטיבי

dr

eBTK

e

M

TK

u

c

uU

eB

מעבר לגדלים חסרי יחידות:

פוטנציאל אפקטיבי

)(

2 2

12

2

2effVUUe

d

d

2

12 21 UUUeVeff

)0(0הפוטנציאל ניתן לכיול שרירותי. בכיול זה effV

אינטגרציה תיתן לנו:

פוטנציאל אפקטיבי

2

12 21 UUUeVeff

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Vef

f U=1.2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Vef

f U=1.3U=1.2U=1.1U=1.1 U=1.2 U=1.3

U>12

02

0

U

פוטנציאל אפקטיבי

נקודות אקסטרמליות: •

02)(

2

12

UUe

Veff

2

12 2

UUe

נקודת מקסימום U>1עבור

0 0.2 0.4 0.6 0.81

1.5

2

2.5

func

tion

e

2

12 2

UU

נקודת מינימום

פוטנציאל אפקטיבי

2

120 2

1

U

2

2

0

U

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Vef

f

תנועת חלקיק בבור הפוטנציאל01 02

. Veff)0)>0, בתנאי ש E=0פתרון סוליטון יתקבל עבור

U1=1.3U2=1.58

Veff)0)>0

1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

2

4

6

8

U

f)U

)

2

2U

e

21 U22

2

1U

eU

אפשר לפתור נומרית ומקבלים:

6.11 U

3.12

02

MAXMAX

U

סוליטון

2

12

2

212

'0 UUUeE

מתוך משוואת האנרגיה מוצאים משוואה דיפרנציאלית שמקיים הסוליטון.

5.02 212' UUUe

:’מחלצים את

סוליטון

5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.50.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

פתרון נומרי של המשוואה נותן:

5.02 212' UUUe

1.3

U1

U1<U2<Umax

Umax=1.6

Uהפולס הצפיפות עולה גדלמתחדד

סיכום

ion-acoustic wavesניתחנו את התנהגותם של •כאשר עושים לינאריזציה למשוואות מקבלים •

.KDVאותו יחס נפיצה ממנו נגזרת משוואת טיפלנו במקרה הכללי, חקרנו התנהגות של •

קווזי-חלקיק בפוטנציאל אפקטיביקיים תנאי לקבלת פתרון סוליטוני . •כמו שראינו קודם, גלים מהירים יותר הם בעלי •

אמפליטודה גבוהה יותר, אך קיים גבול לאמפליטודה.