1

Тема: Предел функции. Свойства пределов1. Предел функции

Пусть f(x) – функция, определенная на множестве Х;

А и а –числа.

Опр. Число А называется пределом функции f(x) при xa, если >0 такая -окрестность точки а U(a), что | f(x) -A|< x U(a).

Эквивалентные формы записи:

или f(x) А при xa.

Опр. , если >0 =():

| f(x) -A|< |x|> .

lim ( )x a

f x A

lim ( )x

f x A

2

Замечания:1. Функция может быть меньше своего

предела.

2. Функция может быть больше своего предела.

3. Функция может колебаться вокруг своего предела.

2

2lim 1

1x

x

x

2

0lim 0x

x

0

1lim( sin ) 0x

xx

3

Бесконечно малые и бесконечно большие функции (БМФ и ББФ)

Опр. Функция f(x) называется бесконечно малой при xa, если >0 U(a), что |f(x)|< при x U(a) или

Опр. Функция f(x) называется бесконечно большой при xa, если >0 U(a), что |f(x)|> при x U(a) или

lim ( ) 0.x a

f x

lim ( ) .x a

f x

4

Лемма (связь БМФ и ББФ) .

Теорема (свойства БМФ).1.Алгебраическая сумма (+ и -) конечного

числа б.м. функций при xa есть б.м. функция при xa.

2.Произведение б.м. функций при xa есть б.м. функция при xa.

11. Если lim ( ) , то lim 0.

( )

12. Если lim ( ) 0( ( ) 0), то lim .

( )

x a x a

x a x a x a

f xf x

f x f xf x

5

2. Свойства пределов

Теорема 1. Число A является пределом функции f(x) при xa, тогда и только тогда, когда функция f(x)-A является бесконечно малой:

Теорема 2. Предел постоянной функции f(x)C при xa равен самой постоянной:

lim .x a

C C

(lim ( ) ) lim( ( ) ) 0.x a x a

f x A f x A

6

Свойства пределов (продолжение)Теорема 3. Если каждое слагаемое алгебр. суммы

конечного числа функций имеет предел при xa, то предел этой суммы при xa и равен сумме пределов слагаемых:

Теорема 4. Если каждый из сомножителей произведения конечного числа функций имеет предел при xa, то предел произведения при xa и равен произведению пределов сомножителей:

lim[ ( ) ( ) ( )] lim ( ) lim ( ) lim ( ).x a x a x a x a

f x g x h x f x g x h x

lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( ).x a x a x a

f x g x f x g x

7

Свойства пределов (продолжение)Теорема 5. Предел частного равен частному

пределов:

Теорема 6. Если функция f(x) имеет предел при xa и

Теорема 7. Если f(x) – элементарная («школьная») функция и число a принадлежит ее области определения, то предел вычисляется прямой подстановкой:

lim ( )( )lim (при lim ( ) 0).

( ) lim ( )x a

x a x ax a

f xf xg x

g x g x

( ) ( ) в точке , тогда

lim ( ) lim ( ).

n

n nx a x a

f x n а

f x f x

N

lim ( ) ( ).x a

f x f a

8

СледствияСледствие 1. Постоянный множитель можно

выносить за знак предела:

Следствие 2. Если функция f(x) имеет предел при xa, то предел при xa целой положительной степени n ее равен такой же степени предела этой функции:

lim[ ( )] lim ( ).x a x a

c f x c f x

lim[ ( )] [lim ( )] .n n

x a x af x f x

9

Следствия (продолжение)

Следствие 3. Если функция f(x) имеет предел

при xa, отличный от 0, то предел при xa

обратной ей по величине функции равен

обратной величине предела данной функции:

1 1lim .

( ) lim ( )x ax a

f x f x

10

3. «Замечательные» пределыЗамечание. Не всякая функция имеет предел (даже

ограниченная).

Пример:

Теорема 1. (1-й замечательный предел)

Теорема 2. (2-й замечательный предел)

( ) sin

| sin | 1, но lim sin не .x

f x x

x x

0

sinlim 1.x

x

x

1

0

1lim(1 ) ( 2.718)

или lim(1 ) .

x

x

y

y

e ex

y e

11

4. Раскрытие неопределенностей

Опр. Случаи, в которых подстановка предельного значения в функцию не дает значения предела, называют неопределенностями.

Они бывают следующих типов:

Устранить неопределенности часто удается с помощью алгебраических преобразований.

0, , ,1 .

0

12

1-й тип

В числителе и знаменателе сложные степенные или показательные функции.

Для степенных функций – вынести за скобку в числителе и знаменателе дроби х с наибольшим показателем степени среди всех слагаемых дроби;

для показательных функций – за скобку выносится наиболее быстро возрастающее слагаемое среди всех слагаемых дроби. После сокращения дроби неопределенность устраняется.

.

3 2 3 (1 (2 /3) ) 1 (2 /3) 1 0lim lim lim 1.

1 3 3 ((1/3) 1) (1/3) 1 0 1

x x x x x

x x x xx x x

13

2-й тип а) многочлены

Необходимо разложить на множители и числитель, и знаменатель дроби, исходя из того, что, если a – корень многочлена P(x), то P(x) делится на (x-a). Часто помогают «формулы сокращенного умножения».

После сокращения дроби неопределенность устраняется.

0.

0

2

23 3

3

9 ( 3)( 3)lim lim

7 12 ( 4)( 3)

( 3) 6lim 6.

( 4) 1

x x

x

x x x

x x x x

x

x

14

2-й тип б) тригонометрические

Необходимо упростить выражение, чтобы свести к 1-му замечательному пределу

0.

0

2

2 2

4 20 02

2

0

cos 2 1 2sinlim 0 lim

3 31 cos 2 2sin

2 sin 2lim .

3 3

x y

y

x yx y

yx y

y

y

15

3-й тип

Если функция представляет собой алгебраическую сумму дробей, то неопределенность устраняется или приводится ко 2-му типу после приведения дробей к общему знаменателю.

Если функция представляет собой алгебраическую сумму иррациональных выражений (корней), то неопределенность устраняется или приводится к 1-му типу путем домножения и деления функции на одно и то же (сопряженное) выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения.

.

22 2

2 2

1 4 2 4lim lim

2 4 ( 2)( 2)

2 1 1lim lim .

( 2)( 2) 2 4

x x

x x

x

x x x x

x

x x x

16

4-й тип

Сводить ко 2-му замечательному пределу

1 .

5 110

0 0

10110

0

2

lim 1 2 0 lim 1

5 110

lim 1 .

x yx y

yy

x y

x y y

x y

y e

( 2 )( 2 )lim 2 lim

2

4lim 0.

2

x x

x

x x x xx x

x x

x x