คณิ�ตศาสตร์ปร์ะยุ กต คณิ�ตศาสตร์ปร์ะยุ กต 11

เร์��อง โจทยุสมการ์เชิ�งเส�น เร์��อง โจทยุสมการ์เชิ�งเส�นต�วแปร์เดี�ยุวต�วแปร์เดี�ยุว

โดียุโดียุ

อาจาร์ยุ ส ดี� งามเฉลี�ยุว อาจาร์ยุ ส ดี� งามเฉลี�ยุว

เน�"อหาเน�"อหาโจทยุสมการ์เชิ�งเส�นต�วแปร์โจทยุสมการ์เชิ�งเส�นต�วแปร์

เดี�ยุวเดี�ยุว

จ ดีปร์ะสงคการ์เร์�ยุนร์$�จ ดีปร์ะสงคการ์เร์�ยุนร์$�1. 1. เขี�ยุนความส�มพั�นธ์ขีองต�วแปร์ แลีะสร์�าง เขี�ยุนความส�มพั�นธ์ขีองต�วแปร์ แลีะสร์�าง

สมการ์ในร์$ปแบบสมการ์เชิ�งเส�นต�วแปร์สมการ์ในร์$ปแบบสมการ์เชิ�งเส�นต�วแปร์เดี�ยุวจากโจทยุท��ก*าหนดีให�ไดี�เดี�ยุวจากโจทยุท��ก*าหนดีให�ไดี�

2. 2. แก�โจทยุป,ญหาโดียุใชิ�ความร์$�เร์��อง สมการ์ แก�โจทยุป,ญหาโดียุใชิ�ความร์$�เร์��อง สมการ์เชิ�งเส�นต�วแปร์เดี�ยุวไดี�เชิ�งเส�นต�วแปร์เดี�ยุวไดี�

3. 3. น*าความร์$�แลีะท�กษะท��ไดี�จากการ์เร์�ยุน เร์��อง น*าความร์$�แลีะท�กษะท��ไดี�จากการ์เร์�ยุน เร์��อง สมการ์เชิ�งเส�นต�วแปร์เดี�ยุว ไปปร์ะยุ กตใชิ�ใน สมการ์เชิ�งเส�นต�วแปร์เดี�ยุว ไปปร์ะยุ กตใชิ�ใน

การ์เร์�ยุนร์$�งานอาชิ�พัแลีะในชิ�ว�ตปร์ะจ*าว�นไดี�การ์เร์�ยุนร์$�งานอาชิ�พัแลีะในชิ�ว�ตปร์ะจ*าว�นไดี�

โจทยุสมการ์เชิ�งเส�นต�วแปร์เดี�ยุวโจทยุสมการ์เชิ�งเส�นต�วแปร์เดี�ยุว น�กศ/กษาสามาร์ถน*าความร์$�แลีะท�กษะท��ไดี�จากการ์น�กศ/กษาสามาร์ถน*าความร์$�แลีะท�กษะท��ไดี�จากการ์เร์�ยุนเร์�ยุน

เร์��อง สมการ์เชิ�งเส�นต�วแปร์เดี�ยุว ไปใชิ�ในการ์แก�ป,ญหา เร์��อง สมการ์เชิ�งเส�นต�วแปร์เดี�ยุว ไปใชิ�ในการ์แก�ป,ญหา โจทยุต1าง ๆ โจทยุต1าง ๆ

หลี�กในการ์แก�ป,ญหาโจทยุสมการ์เชิ�งเส�นต�วแปร์หลี�กในการ์แก�ป,ญหาโจทยุสมการ์เชิ�งเส�นต�วแปร์เดี�ยุวเดี�ยุว1. 1. อ1านโจทยุแลีะพั�จาร์ณิาส��งท��โจทยุก*าหนดีให� แลีะส��งท�� อ1านโจทยุแลีะพั�จาร์ณิาส��งท��โจทยุก*าหนดีให� แลีะส��งท��โจทยุถามโจทยุถาม2. 2. ก*าหนดีต�วแปร์แทนส��งท��โจทยุถาม แลี�วสร์�างสมการ์ ก*าหนดีต�วแปร์แทนส��งท��โจทยุถาม แลี�วสร์�างสมการ์ตามท��โจทยุตามท��โจทยุ

ก*าหนดีก*าหนดี3. 3. ดี*าเน�นการ์แก�สมการ์ดี*าเน�นการ์แก�สมการ์

ต�วอยุ1างท�� ต�วอยุ1างท�� 11 ส��เหลี��ยุมผื�นผื�าร์$ปหน/�งม�ดี�านยุาวยุาวกว1าดี�านส��เหลี��ยุมผื�นผื�าร์$ปหน/�งม�ดี�านยุาวยุาวกว1าดี�านกว�าง กว�าง

3 3 น�"ว ถ�าเส�นร์อบร์$ปขีองส��เหลี��ยุมผื�นผื�าร์$ปน�"ยุาว น�"ว ถ�าเส�นร์อบร์$ปขีองส��เหลี��ยุมผื�นผื�าร์$ปน�"ยุาว 30 30 น�"ว น�"ว

จงหาขีนาดีขีองความกว�างแลีะความยุาวขีอง จงหาขีนาดีขีองความกว�างแลีะความยุาวขีอง ส��เหลี��ยุมผื�นผื�าร์$ปน�"ส��เหลี��ยุมผื�นผื�าร์$ปน�"ว�ธ์�ท*าว�ธ์�ท*า โจทยุต�องการ์ให�หาความกว�างแลีะความยุาวขีองโจทยุต�องการ์ให�หาความกว�างแลีะความยุาวขีอง ส��เหลี��ยุมผื�นผื�าส��เหลี��ยุมผื�นผื�าสมม ต� สมม ต� ให�ส��เหลี��ยุมผื�นผื�าม�ความกว�างให�ส��เหลี��ยุมผื�นผื�าม�ความกว�าง x x น�"วน�"ว

ดี�งน�"น จะไดี�ความยุาวเป5น ดี�งน�"น จะไดี�ความยุาวเป5น x + 3 x + 3 น�"วน�"วความยุาวขีองเส�นร์อบร์$ป ความยุาวขีองเส�นร์อบร์$ป == ความยุาว ความยุาว 2 2 ดี�าน ดี�าน + + ความกว�าง ความกว�าง

2 2 ดี�านดี�านน��นค�อ ความยุาวขีองเส�นร์อบร์$ปน��นค�อ ความยุาวขีองเส�นร์อบร์$ป = 2(x+3) = 2(x+3)

+ 2 x + 2 x

เน��องจาก โจทยุก*าหนดีความยุาวขีองเส�นร์อบร์$ป เน��องจาก โจทยุก*าหนดีความยุาวขีองเส�นร์อบร์$ป = 30 = 30 น�"วน�"ว จะไดี�สมการ์จะไดี�สมการ์ 2(x+3) + 2x = 302(x+3) + 2x = 30

2 2 ค$ณิเขี�าในวงเลี6บ ค$ณิเขี�าในวงเลี6บ ; ; 2x +6 + 2x = 2x +6 + 2x = 30 30

4x + 6 = 304x + 6 = 30

– น*า – น*า 6 6 บวกท�"งสองขี�าง บวกท�"งสองขี�าง ; ; 4x + 6 + (– 4x + 6 + (–6) = 30 + (–6)6) = 30 + (–6)

4x4x = 24 = 24

น*า น*า 4 4 หาร์ตลีอดี หาร์ตลีอดี ; ; = =

x = 6x = 6

น��นค�อ ความกว�าง น��นค�อ ความกว�าง = 6 = 6 น�"วน�"วจะไดี�ความยุาวเป5นจะไดี�ความยุาวเป5น = 6+3 = 9 = 6+3 = 9 น�"ว น�"ว

ตอบตอบ

4

24

4

x4

ต�วอยุ1างท�� ต�วอยุ1างท�� 22 โร์งงานแห1งหน/�งม�คนงานแลีะชิ1างเทคน�คโร์งงานแห1งหน/�งม�คนงานแลีะชิ1างเทคน�ค ร์วมท�"งส�"น ร์วมท�"งส�"น 210 210 คน จ*านวนชิ1างเทคน�คเป5น คน จ*านวนชิ1างเทคน�คเป5น

ขีองขีอง จ*านวนคนงาน จ*านวนคนงาน อยุากทร์าบว1าโร์งงานแห1งน�"ม�คนงานอยุากทร์าบว1าโร์งงานแห1งน�"ม�คนงาน แลีะชิ1างแลีะชิ1าง

เทคน�ค เทคน�ค ปร์ะเภทลีะก��คนปร์ะเภทลีะก��คนว�ธ์�ท*าว�ธ์�ท*า โจทยุถามจ*านวนขีองคนงานแลีะชิ1างเทคน�คโจทยุถามจ*านวนขีองคนงานแลีะชิ1างเทคน�ค

สมม ต�ให�ม�คนงานสมม ต�ให�ม�คนงาน= x = x คนคนจ*านวนชิ1างเทคน�คจ*านวนชิ1างเทคน�ค = x = x คนคน

เน��องจากม�จ*านวนคนงานแลีะชิ1างเทคน�ค ร์วมท�"งส�"น เน��องจากม�จ*านวนคนงานแลีะชิ1างเทคน�ค ร์วมท�"งส�"น210 210 คน คน

สามาร์ถเขี�ยุนเป5นสมการ์ไดี�เป5น สามาร์ถเขี�ยุนเป5นสมการ์ไดี�เป5น x + xx + x = = 210 210

3

2

3

2

3

2

จากสมการ์ จากสมการ์ x + x x + x 210= 210=

น*า น*า 3 3 ค$ณิตลีอดี ค$ณิตลีอดี = ; 3 + (3 ) = = ; 3 + (3 ) =2103( )2103( )

3 2x+ x 3 2x+ x 630= 630=

5 630x = 5 630x =

น*า น*า 5 5 หาร์ตลีอดี หาร์ตลีอดี = = = =

x x 126= 126=

ดี�งน�"น ม�คนงาน ดี�งน�"น ม�คนงาน 126 126 คนคนม�ชิ1างเทคน�คม�ชิ1างเทคน�ค (1 2 6 )=8 4 (1 2 6 )=8 4 คนคน

ตอบตอบ

3

2

5

x5

5

630

3

2

ต�วอยุ1างท�� ต�วอยุ1างท�� 33 คร์อบคร์�วหน/�งม�บ ตร์ คร์อบคร์�วหน/�งม�บ ตร์ 3 3 คน บ ตร์ คน บ ตร์ ท�"ง ท�"ง 3 3 คน ม�อายุ ร์วมก�นไดี�เท1าก�บ คน ม�อายุ ร์วมก�นไดี�เท1าก�บ 28 28 ป9 ถ�าบ ตร์ ป9 ถ�าบ ตร์

คนโตม�อายุ มากกว1าบ ตร์คนกลีาง คนโตม�อายุ มากกว1าบ ตร์คนกลีาง 2 2 ป9 แลีะม�อายุ ป9 แลีะม�อายุ เป5น เป5น 2 2 เท1าขีองอายุ ขีองบ ตร์คนเลี6ก จงหาอายุ เท1าขีองอายุ ขีองบ ตร์คนเลี6ก จงหาอายุ

ขีองบ ตร์คนเลี6กขีองบ ตร์คนเลี6กว�ธ์�ท*าว�ธ์�ท*า โจทยุต�องการ์ให�หาอายุ ขีองบ ตร์คนเลี6กโจทยุต�องการ์ให�หาอายุ ขีองบ ตร์คนเลี6ก สมม ต�ให�บ ตร์คนเลี6กม�อายุ สมม ต�ให�บ ตร์คนเลี6กม�อายุ x x ป9ป9

บ ตร์คนโตม�อายุ เป5น บ ตร์คนโตม�อายุ เป5น 2 2 เท1าขีองบ ตร์คนเลี6กเท1าขีองบ ตร์คนเลี6ก น��นค�อ บ ตร์คนโต ม�อายุ น��นค�อ บ ตร์คนโต ม�อายุ = 2x = 2x ป9ป9

บ ตร์คนโตม�อายุ มากกว1าบ ตร์คนกลีาง บ ตร์คนโตม�อายุ มากกว1าบ ตร์คนกลีาง 2 2 ป9ป9ดี�งน�"นบ ตร์คนกลีางม�อายุ ดี�งน�"นบ ตร์คนกลีางม�อายุ = 2x – 2 = 2x – 2 ป9ป9

บ ตร์ท�"ง บ ตร์ท�"ง 3 3 คน ม�อายุ ร์วมก�นคน ม�อายุ ร์วมก�น 28= 28= ป9ป9

จะไดี�สมการ์ จะไดี�สมการ์ = = = =222 = = = =222 2 8 2 8

ถอดีเคร์��องหมายุวงเลี6บ ถอดีเคร์��องหมายุวงเลี6บ ;; 2 2 2x + x – + x = 2 2 2x + x – + x = 28 28

5 2x – 5 2x – 28 28น*า น*า 2 2 บวกท�"ง สองขี�าง บวกท�"ง สองขี�าง ; ; 5 2 2x – + = 5 2 2x – + =

28 2+ 28 2+ 5x5x 30= 30=

น*า น*า 5 5 หาร์ตลีอดี หาร์ตลีอดี ;; = === 6= 6=

ดี�งน�"น อายุ ขีองบ ตร์คนเลี6ก ค�อ ดี�งน�"น อายุ ขีองบ ตร์คนเลี6ก ค�อ 6 6 ป9 ป9 ตอบตอบ

5

x5

5

30

ต�วอยุ1างท�� ต�วอยุ1างท�� 44 ถ�าร์ถถ�าร์ถ ว��งจากกร์ งเทพั ฯ ถ/ง ว��งจากกร์ งเทพั ฯ ถ/ง เพัชิร์บ ร์� ดี�วยุอ�ตร์าเร์6ว เพัชิร์บ ร์� ดี�วยุอ�ตร์าเร์6ว 90 90 กมกม././ชิมชิม. . ถ/งถ/ง

เร์6วกว1าร์ถท��ว��งดี�วยุอ�ตร์าเร์6ว เร์6วกว1าร์ถท��ว��งดี�วยุอ�ตร์าเร์6ว 80 80 กมกม././ชิมชิม. . เป5นเวลีา เป5นเวลีา 10 10 นาท� จงหาร์ะยุะทาง จาก นาท� จงหาร์ะยุะทาง จาก

กร์ งเทพั ฯ ถ/งเพัชิร์บ ร์� กร์ งเทพั ฯ ถ/งเพัชิร์บ ร์�ว�ธ์�ท*าว�ธ์�ท*า โจทยุถามร์ะยุะทางร์ะหว1างกร์ งเทพั ฯ แลีะเพัชิร์บ ร์�โจทยุถามร์ะยุะทางร์ะหว1างกร์ งเทพั ฯ แลีะเพัชิร์บ ร์�สมม ต� สมม ต� ให�ร์ะยุะทางจากกร์ งเทพั ฯ ถ/งเพัชิร์บ ร์� ให�ร์ะยุะทางจากกร์ งเทพั ฯ ถ/งเพัชิร์บ ร์� == x x กมกม..

ร์ถว��งดี�วยุอ�ตร์าเร์6ว ร์ถว��งดี�วยุอ�ตร์าเร์6ว 90 90 กมกม././ชิมชิม . . ใชิ�เวลีา ใชิ�เวลีา ชิมชิม..

ร์ถว��งดี�วยุอ�ตร์าเร์6ว ร์ถว��งดี�วยุอ�ตร์าเร์6ว 80 80 กมกม././ชิมชิม . . ใชิ�เวลีา ใชิ�เวลีา ชิมชิม..

อ�ตร์าเร์6ว อ�ตร์าเร์6ว 90 90 กมกม././ชิมชิม . . จะถ/งเร์6วกว1าร์ถท��ว��งดี�วยุจะถ/งเร์6วกว1าร์ถท��ว��งดี�วยุอ�ตร์าเร์6ว อ�ตร์าเร์6ว 80 80 กมกม././ชิมชิม . . เป5นเวลีา เป5นเวลีา 10 10 นาท�นาท� เขี�ยุน เขี�ยุนเป5นสมการ์ไดี�ดี�งน�"เป5นสมการ์ไดี�ดี�งน�"

90

x

80

x

จะไดี� สมการ์ จะไดี� สมการ์ – – ==

น*าคน*าค..ร์ร์..นน . 720 . 720 ค$ณิตลีอดีค$ณิตลีอดี;; 720( ) 720( ) – (7 2 0 ) – (7 2 0 ) = (7 2 0 ) = (7 2 0 )

9 8x – x 9 8x – x = = 120120

== 120 120

น��นค�อ ร์ะยุะทางจากกร์ งเทพั ฯ ถ/ง เพัชิร์บ ร์� น��นค�อ ร์ะยุะทางจากกร์ งเทพั ฯ ถ/ง เพัชิร์บ ร์� เท1าก�บ เท1าก�บ 120 120 กมกม.. ตอบตอบ

60

10

80

x

90

x

80

x

90

x

60

10

ต�วอยุ1างท�� ต�วอยุ1างท�� 55 ม�ส�มอยุ$1จ*านวนหน/�ง แบ1งให� ม�ส�มอยุ$1จ*านวนหน/�ง แบ1งให� คน คน 15 15 คน ปร์ากฏว1าแบ1งไดี�ไม1เท1าก�น คน ปร์ากฏว1าแบ1งไดี�ไม1เท1าก�น

จ/งไปซื้�"อมาเพั��มอ�ก จ/งไปซื้�"อมาเพั��มอ�ก 10 10 ผืลี เม��อแบ1งแลี�ว ผืลี เม��อแบ1งแลี�ว จะไดี�ส�มคนลีะ จะไดี�ส�มคนลีะ 4 4 ผืลี จงหาจ*านวนส�มท�� ผืลี จงหาจ*านวนส�มท��

ซื้�"อมาในคร์�"งแร์กซื้�"อมาในคร์�"งแร์กว�ธ์�ท*าว�ธ์�ท*า โจทยุถามจ*านวนส�มท��ซื้�"อมาคร์�"งแร์กโจทยุถามจ*านวนส�มท��ซื้�"อมาคร์�"งแร์กสมม ต� สมม ต� ให�จ*านวนส�มท��ซื้�"อมาคร์�"งแร์ก ให�จ*านวนส�มท��ซื้�"อมาคร์�"งแร์ก == = =

ผืลีผืลีซื้�"อมาเพั��มอ�ก ซื้�"อมาเพั��มอ�ก 10 10 ผืลี ร์วมม�ส�มเป5น ผืลี ร์วมม�ส�มเป5น = + = +

10 10 ผืลีผืลีน*าไปแบ1งให�คน น*าไปแบ1งให�คน 15 15 คน จะไดี�คนลีะ คน จะไดี�คนลีะ 4 4

ผืลีผืลีน��นค�อ จะไดี�สมการ์น��นค�อ จะไดี�สมการ์ =4 =4

15

10x

จากสมการ์จากสมการ์ = 4= 4

น*า น*า 15 15 ค$ณิตลีอดี ค$ณิตลีอดี ; (15) = ; (15) = (15)4 (15)4

x + 10 = 60x + 10 = 60 –น*า –น*า 10 10 บวกท�"งสองขี�าง บวกท�"งสองขี�าง ;;

x + 10 + (–10) = x + 10 + (–10) = 60 + (–10)60 + (–10)

x = 50x = 50น��นค�อน��นค�อ เดี�มม�ส�มจ*านวน เดี�มม�ส�มจ*านวน 50 50 ผืลี ผืลี

ตอบตอบ

15

10x

15

10x

ต�วอยุ1างท�� ต�วอยุ1างท�� 66 ว�ชิ�ยุซื้�"อเส�"อยุ�ดีมา ว�ชิ�ยุซื้�"อเส�"อยุ�ดีมา 20 20 ต�ว ร์าคา ต�ว ร์าคา 150 150 บาท เส�"อม�สองชิน�ดี ชิน�ดีท��หน/�งร์าคาบาท เส�"อม�สองชิน�ดี ชิน�ดีท��หน/�งร์าคา

ต�วลีะ ต�วลีะ 6 6 บาท อ�กชิน�ดีหน/�งร์าคาต�วลีะบาท อ�กชิน�ดีหน/�งร์าคาต�วลีะ 11 11

บาท ถามว1าว�ชิ�ยุซื้�"อเส�"อชิน�ดีท��สองมาท�"งหมดีก��บาท ถามว1าว�ชิ�ยุซื้�"อเส�"อชิน�ดีท��สองมาท�"งหมดีก��ต�วต�วว�ธ์�ท*า ว�ชิ�ยุซื้�"อเส�"อยุ�ดีมาท�"งหมดี 20

ต�ว สมม ต� ให�ซื้�"อเส�"อยุ�ดีชิน�ดีท��สองมา x ต�ว;

ค�ดีเป5นเง�น 6x บาท ดี�งน�"น เส�"อยุ�ดีชิน�ดีท��หน/�ง เป5น 20 – x

ต�ว; ค�ดีเป5นเง�น = == 1120 บาท ว�ชิ�ยุซื้�"อเส�"อมาท�"งหมดีเป5นเง�น 150

บาท จะไดี�สมการ์ ค�อ 6 11 20x + ( –

x) = 150

จากสมการ์ 6x + 11(20 – x) = 150

11 11 ค$ณิเขี�าในวงเลี6บค$ณิเขี�าในวงเลี6บ;; 6x + 220 – 11x 6x + 220 – 11x = = 150150

– – 5x + 2205x + 220 = = 150150

– น*า – น*า 220 220 บวกท�"งสองขี�าง บวกท�"งสองขี�าง ;;

– – 5x + 220 + (–220) 5x + 220 + (–220) = = 150 + (–220)150 + (–220)

– – 5x5x = = – 70– 70

– น*า – น*า 5 5 หาร์ท�"งสองขี�าง หาร์ท�"งสองขี�าง ; ; = =

xx = = 1414

น��นค�อ ว�ชิ�ยุซื้�"อเส�"อชิน�ดีท��สองมาท�"งหมดี น��นค�อ ว�ชิ�ยุซื้�"อเส�"อชิน�ดีท��สองมาท�"งหมดี 14 14 ต�วต�วตอบตอบ 5

x5

5

70

ท*าแบบฝึ>กห�ดี แลีะแบบทดีสอบท�ายุ ท*าแบบฝึ>กห�ดี แลีะแบบทดีสอบท�ายุบทเร์�ยุนบทเร์�ยุน

The End...The End...