第 14 讲依测度收敛

第第 1414 讲依测度收敛讲依测度收敛

目的：理解依测度收敛概念，掌握 Lebesgue 定理与 Riesz 定理。

重点与难点： Lebesgue 定理与 Riesz 定理及其证明。


基本内容：一．依测度收敛定义鲁津定理实际是说，任意可测函数都可

以用连续函数在某种意义下逼近。我们可以将定理 2 改述成：若是 E 上的可测函数，则对任意，存在上的连续函数，使得

)(xf0 1R

。 )}()(|{ xgxfxmE


注意到

所以对任意 n ，有进一步，对任意，有

取，则存在上的连续函数，使

}1

|)()(||{)}()(|{1

n nxgxfxExgxfxE

， }1

|)()(||{ n

xgxfxmE

0

}|)()(||{ xgxfxmE

0n1R ng


得这种收敛性与前面的几乎处处收敛概念不同的。我们称它为依测度收敛，具体说来即下面的。定义 2 设 E 是可测集，都是 E 上几乎处处有限的可测函数，如

。)(0}|)()(||{ nxgxfxmE nn

，，， )( )( )( 21 xfxfxf


果对于任意，都有

则称在 E 上依测度收敛到，记作

下面的定理说明：几乎处处收敛蕴含依测度收敛。

0

0}|)()(||{lim

xfxfxmE nn

)(xfn )(xf

。 ffn


二． Lebesgue 定理（ 1 ） Lebesgue 定理的叙述定理 4 （ lebesgue 定理）设 E 是测度有

限的可测集，是 E 上几乎处处有限的可测函数，若

则必有

，，， )( )( )( 21 xfxfxf

， ][..)()( Eeaxfxfn 。 )()( xfxfn


证明：由叶果洛夫定理，对任意，存在E 的可测子集，使得且在上一致收敛到，于是对任意，存在，当时，有

于是，任

0

E ， )( EEm

)(xfn E )(xf

0 N Nn

)(|)()(| Exxfxfn

EExfxfxE n }|)()(||{


意，从而

由的任意性立得。证毕。问题 1： Lebesgue 定理中 E为有限测度集的条件可否去掉？为什么？

Nn

)(}|)()(||{ EEmxfxfxmE n

)()( xfxfn


问题 2 ： Lebesgue 定理的逆是否成立？举例说明。

（ 3 ）反例定理 4 的逆一般是不对的，即依测度收

敛不一定意味着几乎处处收敛，下面的例子说明了这一点。


例设，对任意正整数 k ，将区间 k 等分，并定义

令

]1,0(E ]10 ( ，

),,2,1(),

1[0

),1

[1)()( ki

ki

ki

x

ki

ki

xxf k

i

)()(),()(,)( )2(23

)2(12

)1(11 xfxxfxfx


于是是 E 上的处处有限的可测函数。对任意，若则

显然有若，则当是第k 次等分区间后所对应的函

)()(),()(),()( )3(36

)3(25

)3(14 xfxxfxxfx

)}({ xn

0 ， 0 ， }|)(||{ xxE n

0}|)(||{lim

xxE nn

1

n )1,0[


数组中第 i 个函数时有所以注意到当时，，做

这说明。然而，对任意

),1

[}|)(||{ki

ki

xxE n

。 /1})(||{ kxxmE n

n k

0}|)(||{lim

xxmE nn

0n ),1,0[0 x


总有无穷多个函数在该点等于 1 ，也有无穷多个函数在该点等于 0 ，所以

在上处处不收敛于 0 。虽然几乎处处收敛强于依测度收敛，

但我们可以从依测度收敛的函数序列中找一个几乎处处收敛的子序列。这就是著名的黎斯（ Riesz ）定理。

)}({ xn

)(xn )1,0[


三． Riesz 定理（ 1 ） Riesz 定理的叙述* 定理 5 （ Riesz 定理）设是 E

上的可测函数，如果，则存在子序列，使得

（ 2 ） Riesz 定理的证明

),2,1(, nffnffn

}{jn

f 。 ][..)()( Eeaxfxfin


证明：首先设。注意到对任何可测函数序列，它不收敛到某个函数的点集是

因此我们只要找到的一个子序列

使得

}{ ng g

Nnn

Nk kxgxgxE }

1|)()(||{

11

}{ nf }{jn

f

Nin

Nk kxfxfxEm

j0}]

1|)()(||{[

11

mE


即可。这等价于说对任意的 k ，有

对每个 k ，由，知

故对任意 i 及 k 存在，当时，有

Nin

N kxfxfxEm

j0}

1|)()(||{[

1

ffn

)(0}1

|)()(||{ nk

xfxfxmE n

in inn

in kxfxfxmE

2

1}

1)()(||{


特别地由于此处都是任意的，所以在上述不等

式中可以取，即

如果必要，还可以使满足

in kxfxfxmE

j 2

1}

1)()(||{

ki,

ki

in ixfxfxmE

j 2

1}

1)()(||{

in

innn 21


于是对任意的 k ，只要，就有，从而

这说明

ki ki11

in

ii

xfxfxmEj 2

}1

)()(||{

}1

)()(||{k

xfxfxmEjn

in ixfxfxmE

j 2

1}

1)()(||{

Nin k

xfxfxEmj

}]1

|)()(||{[


因此

进而

}1

|)()(||{k

xfxfxEmjn

Ni

)(,2

11 kNN

Nin

N kxfxfxEm

j0}

1|)()(||{lim

Nin

N kxfxfxEm

j0}

1|)()(||{[

1


所以下设，令

则是测度有限的可测集，且对任意。由前面的证明，对，存在的子序列，使

][..)()( Eeaxfxfin

mE

},,1,|||)({ 1 nimxxxxI inm

mm IEE

][.. mn Eeafmf

1E }{ nf }{ )1(nf


，当然在每个上仍有。同理可从中取子列，使，依此类推，由归纳法可作出一串子序列，任得对任意 m ，是的子序列，且。令

][.. 1)1( Eeaffn ),3,2( mEm

ffn )1( }{ )1(nf

}{ )2(nf ][.. 2

)2( Eeaffn

}{ )(mnf

}{ )(mnf }{ )1( m

nf

][..)(m

mn Eeaff


则显然仍是的子序列。记则，且对任意，存在 M ，使得时，，于是，显然当时，是

，，21 )()( )( ixfxf iin j

)}({ xfin

)}({ xfn

， )}()(|{ )(0 xfxfExE mnmm

mmEE 0

0

00 mE 0EEx

Mm 0EEx m

)()()( xfxf mn mi }{

inf


的子序列，故也有，即。证毕。

问题 3 ：一个依测度收敛的函数列是否有唯一的极限？如果极限不唯一，这些极限有什么关系？

)(mnf )()( xfxf

in

][.. Eeaffjn


三．依测度收敛函数列极限的唯一性下面的定理说明：依测度收敛的可测函

数序列在几乎处处相等意义下有唯一的极限。


定理 6 设是 E 上的可测函数，若，且，则

证明：因为

所以对任意正整数 k ，有

ffn ,

)()( xfxfn

)()( xgxfn 。 ].[.)()( Eeaxgxf

|)()(||)()(||)()(| xgxfxfxfxgxf nn


但因}

21

|)()(||{

}21

|)()(||{

}1

|)()(||{

kxgxfxE

kxgxfxE

kxgxfxE

n

,0}21

|)()(||{lim

}21

|)(||{lim

kxgxfxE

kxfxmE

nn

n


所以由于

故换言之，，证毕作业： P78 21 ， 22

，0}/1|)()(||{ kxgxfxmE

1},

1)()(||{)}()(|{

k kxgxfxExgxfxE

，0)}()(|{ xgxfxmE

].[.)()( Eeaxgxf


习题三1 、设 f 是 E 上的可测函数，证明：对任

意实数 a ，是可测集。2 、设 f 是 E 上的函数，证明： f 在 E 上

可测当且仅当对一切有理数 r ，是可测集。

})(|{ axfxE

})(|{ rxfxE


3 、设 f 是 R1 上的可测函数，证明：对任意常数 a ，仍是 R1 上的可测函数。

4 、设是 E 上的可测函数，证明：在 E 上也可测。5 、若 [a,b] 上的函数在任意线段上可

测，试证它在整个闭区间 [a,b] 上也可测。

)(axf

)(xf ])([ 3xf

)(xf


6 、设 f 是 R1 上的可测函数，证明：（当时，规定）都是 R1 上的可测函数。7 、设 f 是 E 上的可测函数，证明：（ i ）对 R1 上的任何开集 O ， f-1(O) 是可测集；（ ii ）对 R1 上的任何闭集 F ， f-1(F) 是可测集；

)1

(),(),( 32

xfxfxf 0x

0)01

( f


（ iii ）对 R1 上的任何型集或型集 M ，f-1(M) 是可测集。

8 、设是 E 上几乎处处有限的非负可测函数，证明对任意存在闭集

，使，而在 F 上，有界。

G F

fmE ,

,0

EF )( FEm )(xf


9 、设是 E 上的非负可测函数序列 . 证明：如果对任意，都有

则必有10 、证明：如果是 Rn 上的连续函数，则

在 Rn 的任何可测子集 E 上都可测。11 、证明：如果是 Rn 上的可微函数，

}{ nf

0 ， |)(||{1

nn xfxmE

。 ].[.0)(lim Eeaxfnn

)(xf

)(xf

)(xf


证明都是 Rn 上的可测函数。12 、设是 E 上的两个可测函数序列，

且都是 E 上的有限函数），证明：

（ i ）对任意实数，若，则还有

),,1( nixf

i

}{},{ nn hf

hfhhff nn ,(,

hafhaf nn ,,

mE


（ ii ）若 , 且在 E 上几乎处处不等于 0 ，

则（ iii ）13 、设是 E 上的可测函数，，则当

且 f 是有限函数，对任意，

,fhhf nn

hhn ,mE

,fhhf nn

}{ nf mEffn 0P


有 (i)

(ii) 对 E 上任意可测函数 h，有

14 、设 f 是 [a,b] 上的函数，则 f 可测当且仅当下列几个条件之一成立。

ppn ff ||||

ppn hfhf ||||


（ i ）存在多项式序列，在 [a,b] 上，

（ ii ）若，存在三角多项式序列，在上15 、设 f 是 R1 上的可测函数，且在某个点 to处连续，若对任意有

)}({ xPn

.. eafpn

)2,0(],[ ba

}{ nT ],[ ba ..)()( eaxfxTn

,, 121 Rtt


证明必有常数 c，使得。16 、 Egoroff定理中的条件能否去掉？17 、设，是 E 上几乎处处有限的可测函数序列，若，

)()()( 2121 tftfttf

cttf )(

mE

}{ nfmE

].[.0)( Eeaxfn


试证存在 E 的可测子集列使，且，而在每个上，都一致收敛到 0 。 18 、证明任意有界闭集上的连续函数都有界。19 、设是 E 上的可测函数序列，且存

},{ kE

,2,1,1 kEE kk mEmEkk

lim

kE }{ nf

}{ nf


在常数 k ，使得对任意，有，若试证

20 、设是 E 上的可测函数，证明：的充要条件是，对任意子列，都存在，使得

1n

].[.|| Eekafn ,ffn

].[.|)(| EeKaxf

ffn ,

)()( xfxfn

knf

jknf


21 、 Lebesgue 定理中的条件可否去掉？

mE

。 ].[. Eeaffjkn

第 14 讲 依测度收敛

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