Лекція 11. Сценарії переходу до хаосу

Лекція 11. Сценарії переходу до хаосу. Моделювання динамічних систем

)cos(3 tFxxkxx

Біфуркації періодичних рухів.

Подвоєння періоду Двохчастотні рухи Пара стійких циклів

Біфуркація подвоєння періоду (какскад Фейгенбаума)

- система Дуффінга

50,5.15

,3,1,1

F

k

30~...,

,3.22,6.15


Біфуркації у дискретних моделях.

)1(1 nnn xxx

n

nn

nnn

12

1δ=4.6692016…

Константа Фейгенбаума характеризує єдину швидкість прямування до хаосу в фізичних осциляторах, у біологічних популяціях, у рідинах, і ще у багатьох практично важливих для людини системах.


Сценарії виходу на хаос:

ланцюжок Фейгенбаума Рюеля - Такенса – Ньюхауза перемежовуваність Помо - Манневілля

Розглянемо M ≥ 3 дисипативних підсистем, які виконують незалежні між собою автоколивання (тобто на частотах, що знаходяться в ірраціональних співвідношеннях). Атрактором такої системи буде М-мірний тор. Тепер введемо деякий зв’язок між підсистемами, тобто незалежні рівняння їх моделей зведемо у єдину систему (прикладом є система Лоренца). Рюель і Такенс довели, що за будь-якого, навіть самого слабкого зв’язку між підсистемами можна підібрати такі його вид і параметри, котрі призведуть до появи дивного атрактора (отже й хаосу) у всій системі.

Більше того, далі Рюель і Такенс отримали ще дивовижніший результат. Уявімо собі простір фунцій, які стоять у правих частинах динамічних рівнянь моделі системи. Виявляється, що в довільно малому околі будь-якої точки цього простору, що відповідає незв’язаним (регулярним) автоколиванням підсистем існує всюди щільна множина точок, які призводять до хаотичної динаміки.

Сценарій Рюеля - Такенса – Ньюхауза


Моделі попередніх сценаріїв були звичайними диференціальними рівняннями без залежності фазових величин від просторових координат. Поза тим, наприклад, у гідродинаміці давно відоме явище так званої перемежовуваної турбулентності, коли плавна ламінарна течія в одних областях співіснує з нерегулярною турбулентною у сусідніх.

У 1980 році французські дослідники І. Помо та П. Манневілль виявили явище перемежовуваності (чергування упорядкованої та хаотичної динаміки) у динамічних моделях, що описуються системами навіть звичайних диференціальних рівнянь.

Сценарій Помо-Манневілля


Ланцюжки біфуркацій. Вибір сценарію хаотизації.

),(),,( yxgyyxfx ),(),,( 000000 yxgyyxfx

yyyxxx ~,~00

y

x

y

x~

~ˆ

~

~J

),(),(

),(),(ˆ0000

0000

yxgyxg

yxfyxf

yx

yxJ

Вибір визначається внутрішними властивостями системи (у моделі системи), чи зумовлений якимись зовнішними, а, можливо, й випадковими факторами ???

Оскільки всі сценарії хаотизації починаються з переходу системи від рівноваги до автоколивного режиму через біфуркацію Андронова-Хопфа, спостереження за фазовим простором моделі почнемо з граничного циклу.

Січення Пуанкаре:

Для граничного циклу:

Вносимо збурення:

)x~x~xAFx~x 2O( )((x)

dt

d

dt

dРозвиток у ряд Тейлора:

Лінійна частина збурення:

де:


.2,1,~

~ˆ

~

~

s

y

x

y

x

s

s

s

ss J J

SSJS

42,0

2

2,12

),(),( 0000 yxgyxfS yx

),(),(),(),( 00000000 yxgyxfyxgyxfJ xyyx

Матриця Якобі, характеризує швидкість зміни початкового збурення у часі, а її власні числа виражають це у кількісному значенні:

де - слід матриці Якобі, а

- її визначник

Таким чином в координатах (S,J) область стійкості граничного циклу обмежується лініями, що відповідають μ = 1, μ = -1 та 1J

1

,01

,01

J

JS

JS

J

S1 2-1-2

-1

1

Область стійкості

Біфуркація подвоєння

періоду

Біфуркація сідло-вузол

Біфуркація Неймарка


21 nnn xxx

Проілюструємо сказане на діаграмі Ламерея одномірного відображення ,яке реалізується, наприклад, на перетині границі області стійкості та осі J = 0. У цьому випадку

Заміна стійкого вузла граничним циклом після

біфуркації подвоєння періоду.

),(1 nn xfx

tg

Після проходження біфуркації (μ = -1) графік функції нахиляється так, що μ < -1, вузол втрачає стійкість, але після декількох ітерацій нелінійність функції стабілізує процес і в системі з’являється стійкий цикл з подвоєним періодом


1Сідло і вузол взаємно анігілюються.

Можлива реінжекція розв’язку

реалізує сценарій Помо-Маневілля І-го роду

Розвалення тора

Каскад подвоєння

М’яка

Жорстка + реінжекція

Жорстка + реінжекція

М’яка

Періодичний режим

Подвоєння періоду

Перемежовува-ність ІІІ

Перемежовува-ність І

Квазі-періодичність

Перемежовува-ність ІІ

1

1

комплексні

2,1

ХАОС

ХАОС

ХАОС

ХАОС

ХАОС


Література.

1.Кузнецов С.П. Динамический хаос.2.Физическая енциклопедия. http://www.femto.com.ua/articles/part_1/0327.html

Лекція 11. Сценарії переходу до хаосу

Documents