第 10 章 线性动态电路的时域分析
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第 10 章 线性动态电路的时域分析. 第 10 章 线性动态电路的时域分析. 10.1 动态电路分析的 经典方法 10.2 电路的初始条件 10.3 一阶电路的响应 10.4 阶跃函数与阶跃响应 10.5 冲激函数与冲激响应 10.6 二阶电路的零输入响应 10.7 二阶电路的零状态响应和全响应 10.8 二阶电路的阶跃响应与冲激响应. 本章要求. 1. 掌握动态电路的方程的建立方法，及其初始条件的确定； 2. 理解一阶电路响应经典分析法，熟练掌握三要素法求解一阶电路的响应； 3. 初步掌握二阶电路响应的求解过程； - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
第 10 章 线性动态电路的时域分析
第 10 章 线性动态电路的时域分析 10.1 动态电路分析的经典方法 10.2 电路的初始条件 10.3 一阶电路的响应 10.4 阶跃函数与阶跃响应 10.5 冲激函数与冲激响应 10.6 二阶电路的零输入响应 10.7 二阶电路的零状态响应和全响应 10.8 二阶电路的阶跃响应与冲激响应
1. 掌握动态电路的方程的建立方法，及其初始条件的确定；2. 理解一阶电路响应经典分析法，熟练掌握三要素法求解一阶电路的响应；3. 初步掌握二阶电路响应的求解过程；4. 理解电路的阶跃响应和冲激响应及求解方法。
本章要求
10.1 动态电路分析的经典方法
含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。1. 动态电路
2 动态电路的时域分析法也称为经典法。是应用 KCL ， KVL ，以及元件
VCR 建立微分方程，求解微分方程的方法。例 RC 电路
t ＝ 0 时将开关闭合，现讨论 t≥0 时电容的电压 uC(t) 。
应用 KVL 和电容的 VCR 得：)(SC tuuRi
t
uCi
d
d C )(d
dSC
C tuut
uRC
应用 KVL 和电感的 VCR 得：RL 电路
)(S tuuRi L
t
iLuL d
d
)(d
dS tu
t
iLRi
结论： 含有一个动态元件电容或电感的线性电路，其电路方程为一阶线性常微分方程，称一阶电路。
有源 电阻 电路
一个动态元件
应用 KVL 和元件的 VCR 得：RLC 电路
)(SC tuuuRi L
t
uCi
d
d C
2C
2
d
d
d
d
t
uLC
t
iLuL
)(d
d
d
dSC
C2C
2
tuut
uRC
t
uLC
含有二个动态元件的线性电路，其电路方程为二阶线性常微分方程，称二阶电路。
结论：（ 1 ）描述动态电路的电路方程为微分方程；
（ 2 ）动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数；
即电路中有 n 个动态元件，描述电路的方程是 n 阶微分方程。
0)(d
d
d
d
d
d011
1
1
ttexat
xa
t
xa
t
xa
n
n
nn
n
n
解所得的微分方程，就可以得出电压和电流的表达式
10.2 电路的初始条件1 几个概念 1 ）过渡过程
当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。
例 RC 电路
设 S 闭合前，电路处于稳定状态i = 0 , uC = 0
S 接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态 初始状态
过渡状态新稳态t1
USuc
t0
?
2 ）换路 电路结构、状态发生变化
开关的通断；支路接入或断开电路参数变化；激励源改变等等。
t = 0 － 表示换路前的最终时刻
表示换路后的最初时刻换路经历的时间： 0 － 到 0+
t = 0+
换路是在瞬间完成，假设 t = 0 时发生换路，规定：
3 ）初始条件 也称初始值，指电路所求的变量（电压或电流）及其一阶至（ n － 1 ）阶导数在 t ＝ 0 ＋时的值。电容电压 uC(0+) 和电感电流 iL(0+) 称为独立的初始条件，其余的称为非独立的初始条件。
2 换路计算的规律 ① 电容的初始条件
dtt i
Ctutu
dtt itqtq
CCC
C
00
00
)(1
)()(
)()()(
dic
uu
diqq
CCC
C
0
0
0
0
)(1
)0()0(
)()0()0(00t
0t
当 iC() 为有限值时
0)(0
0
diC
)0()0(
)0()0(
CC
CC
uu
结论：换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
i
＋ －uC
C
若 uC(0 ＋ ) = uC(0 － ) = 0 在换路瞬间电容相当于短路
若 uC(0 ＋ ) = uC(0 － ) = U0 ，在换路瞬间（ t = 0+ ）电容可用一个电压值为 U0 的电压源替代
② 电感的初始条件
dtt u
Ltiti
dtt utt
LLL
LLL
00
00
)(1
)()(
)()()(
i
＋ －uL
L
00t
0t
duL
ii
du
LLL
LLL
0
0
0
0
)(1
)0()0(
)()0()0(当 uL() 为有限值时
0
0( ) 0Lu d
)0( )0(
)0()0(
LL
LL
ii
)0( )0(
)0()0(
LL
LL
ii
结论：换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
若 iL(0 ＋ ) = iL(0 － ) = I0 在换路瞬间电感可用一个电流值为 I0 的电流源替代若 iL(0 ＋ ) = iL(0 － ) = 0 在换路瞬间电感相当于开路
L (0+)= L (0 － )
iL(0+)= iL(0 － )
qc (0+) = qc (0 － )
uC (0+) = uC (0 － )
③ 换路定则
① 电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。
换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
② 换路定律反映了能量不能跃变。
注意：
④ 电路初始值的确定求初始值的一般步骤：（ 1 ）由换路前 t ＝ 0- 时刻的电路（一般为稳定状
态）求 uC(0-) 和 iL(0-) ；
（ 2 ）由换路定律得 uC (0+) 和 iL(0+) ；
（ 3 ）画 t=0 ＋时刻的等效电路，电容用电压源替代，电感用电流源替代（取 0 ＋时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）；
（ 4 ）由 t=0 ＋电路求所需各变量的 0 ＋值。
A6SI【例 10.1 】 如图电路，已知t=0 时闭合开关，求电阻电流 iR(0+) 电感电压 uL(0+) 和电容电流 iC
(0+) 。
。在 t ＜ 0 时处于稳态，
R
L
S
(t=0)
＋ －uL
iR ＋
－uC
C
iC
IS
iL
R＋
－
IS iR(0-)
iL(0-) iC(0-)
uC(0-)
解：直流电路处于稳态时，视电容为开路，电感为短路。
(1) 由 0 －电路求 uC(0 － ) 、 iL( 0 － )
A6)0( SL Ii
A6)0( SR Ii
V12)0( )0( )0( Riuu RRC
(2) 由换路定律得
A6)0( )0( LL ii
V12)0( )0( CC uu
(3) 由 0+ 电路求 iC(0+) 、 uL( 0+) 、 iR(0+)
R
＋
－
iL(0+)=6A
＋ －uL(0+) iC(0+)
iR(0+)
uC(0+)=12V
电容用电压源替代
电感用电流源替代A6
)0( )0(
R
ui C
R
(0 ) (0 ) (0 )
6 6 0AC L Ri i i
(0 ) (0 ) 12VL Cu u
可见，电感电压在换路瞬间发生了跃变，即)0(V0)0( LL uu
10.3 一阶电路的响应
把换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能所产生的电压和电流，称为动态电路的零输入响应
1 一阶电路的零输入响应
① RC 电路的零输入响应
RC＋
－uC
S i
－
＋uR
(t=0)开关 S 闭合前，电容 C 电压 uC = U0 。分析开关闭合后各元件上的电压和电流。
0 CR uu
t
uCi C
d
d
uR= Ri
换路后：
0d
d C
C ut
uRC
0 CC utd
udRC
RCp
1特征根特征方程 RCp+1=0
tRC
eA1
pt
C eAu 则则
代入初始值 uC (0+)=uC(0 － )=U0 A=U0
pt
C eAu 令通解令通解
得 ( 1) 0ptRCp Ae
代入上式代入上式
0 0t
RCCu U e t
RC＋
－uC
S i
－
＋uR
(t=0)
0 0t
RCCu U e t
RC＋
－uC
S i
－
＋uR
(t=0)
00
teR
U
R
ui RC
tC
0 )1
(d
d 0
0
teR
U
RCeCU
t
uCi RC
t
RC
tC或
（ 1 ）从以上各式可以得出：
电压 uC ，电流 i 都是随时间按照同一指数规律衰减的 。
0 0t
RCCu U e t
0 0t
RCU
i e tR
令 =RC , 为一阶 RC 电路的时间常数，单位【 S 】
（ 2 ）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与 RC 有关；
时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短
大→过渡过程时间长
小→过渡过程时间短
电压初值一定：
R 大（ C 一定） i=u/R 放电电流小 放电时间长C 大（ R 一定） W=Cu2/2 储能大
物理含义
2 3 4 5t
uC =
U0e － t /
U0 e － 1
= 0.368U0
U0 e － 2
= e － 1 U0 e － 1
= 0.135U0
U0 e － 3
= e － 1 U0 e － 2
= 0.05U0
U0 e － 4
= e － 1 U0 e － 3
= 0.0184U0
U0 e － 5
= e － 1 U0 e － 4
= 0.0068U0
• 每经过时间 ，电容电压衰减至原值的 36.8%
• 经过 3 ～ 5 ，电容电压衰减至初始值的 5% ～ 0.68% ，可认为过渡过程基本结束。
o
U0
uC
0.368U0
τ t τt 0
)( 0tuC
)( 0 tuC
O t0 τ
U0
uC
t
0 0( ) 0 368 ( )C Cu t . u t ＋
（ 3 ）能量关系：
2 20
0 0
2 22 2 20 0
0 00
d ( ) d
1d ( ) |
2 2
t
RCR
t t
RC RC
UW i R t e R t
R
U U RCe t e CU
R R
电阻吸收（消耗）能量：
电容放出能量： 2
0
1
2CW CU
电容不断释放能量被电阻吸收，直到全部消耗完毕。
② RL 电路的零输入响应
L＋
－US
R1 R iL
uL
＋
－(t=0) S0
1(0 ) (0 )S
L L
Ui I i
R R
L
R iL
uL
＋
－
0t
0d
d L
L Rit
iL
特征方程 Lp+R=0
Rp
L特征根 由初始值得 A= iL(0+)= I0
0 0( ) 0R
tpt LLi t I e I e t
( ) ptLi t Ae令 得
0( )R
tL
Li t I e
L
R iL
uL
＋
－
/0( ) 0
tL L R
L
diu t L RI e t
dt
（ 1 ）从以上各式可以得出：
电压 uL ，电流 iL 都是随时间按照同一指数规律衰减的 。
O
uL
t
-I0RO
I0
t
iL
令 =L/R , 为一阶 RL 电路的时间常数，单位【 S 】
（ 2 ）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与 L/R 有关；
时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短
大→过渡过程时间长
小→过渡过程时间短
电流初值一定：
R 小（ L 一定） p =i2R 放电过程消耗能量小放电时间长L 大（ R 一定） W=Li2/2 起始能量大
物理含义
0( )R
tL
Li t I e
/0( ) 0
t
L RLu t RI e t
（ 3 ）能量关系：
2 2/00 0
2 2 2 2 2/
0 0 0 00
d ( )
/ 1( ) |
2 2
t
L RR
t t
L R RC
W i R t I e R t
L RI R e t I R e LI
d
d
电阻吸收（消耗）能量：
电感放出能量： 2
0
1
2LW LI
电感不断释放能量被电阻吸收，直到全部消耗完毕。
③ 一阶电路的零输入响应解的一般公式一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应 , 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。
0 )0()(
teftft
iL(0+)= iL(0 － )
uC (0+) = uC (0 － )RC 电路：
RL 电路
= R C
= L/R
注意： R 为换路后与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。
Req CN0 R C
R=Req
【例 10-2 】如图电路，电容原本充有 24V 电压，求开关闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。
＋
－
2Ω
6Ω3ΩuC 5F
S
i3
i1 i2
(t=0)解：这是一个求一阶 RC 零输入响应问题
V 24)0( 0 UuC
换路后与电容相连的一端口电路的等效电阻
Ω463
632
eqR 5 4 20 eqR C s 时间常数
20
C 0 24 V 0t t
u U e e t
A64 20
1
t
C eui
＋
－
2Ω
6Ω3ΩuC 5F
S
i3
i1 i2
(t=0)1
20 20
d
d
15 24 ( ) 6
20
C
t t
ui C
t
e e
或
A463
6 20
12
t
eii
A263
3 20
13
t
eii
由分流公式得
【例 10.3 】图示电路原来处于稳态， t=0 时打开开关，求 t＞ 0 后电压表的电压随时间变化的规律。已知 R=10Ω ， L=4H ，电压表内阻为 RV=10kΩ ，电压表量程为50V 。
10V
R
V
S
(t=0)
iL
RVuV
＋
－
＋
－ L
解：电感电流的初值为 iL (0+) = iL(0 － ) = 1 A
Veq RRR
s10410000
4 4
VRR
L
/ 2500(0 ) 0t tL Li i e e t
010000 2500 teiRu tLVV
(0 ) 10000VVu
造成电压表的损坏
10V
R
S
(t=0)
iL
＋
－ L
2 一阶电路的零状态响应 动态元件初始能量为零，由 t >0 电路中外加激励作用所产生的响应。
① RC 电路的零状态响应开关 S 闭合前，电容 C 电压 uC = 0 。分析开关闭合后各元件上的电压和电流。
S R Cu u u
t
uCi C
d
d
uR= Ri
换路后：d
dC
C S
uRC u u
t
非齐次线性常微分方程 d
dC
C S
uRC u u
t
解答形式为： CCC uuu
与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解
SC Uu
特解（强制分量）Cu
SCC
d
dUu
t
uRC 的特解
RC
t
Aeu
C
变化规律由电路参数和结构决定
的通解0d
dC
C ut
uRC
通解（自由分量，暂态分量）Cu
全解 RC
t
AeUuutu
SCCC )(
uC (0+)=US+A= 0 A= － US
由初始条件 uC (0+)= uC (0-) =0 定积分常数 A
(1 ) ( 0)
t t
RC RCC S S Su U U e U e t
RC
t
eR
U
t
uCi
SC
d
d
① 电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；
Cu
R
U SCu
Cu
Cu
t
US
-US
O
② 电容电压由两部分构成：
+
uC( ∞ ) = Us
稳态分量（强制分量） 暂态分量（自由分量）
( ) ( )t
RCC C C S Su t u u U U e
③ 响应变化的快慢，由时间常数＝ RC决定； 大，充电慢， 小充电就快。
( )(1 )
t
RCC Cu u e
⑤ 能量关系
2
S2
1CU电容储存能量：
电源提供能量： 2
SS0 S d CUqUtiU
电阻消耗能量： tRR
UtRi RC
t
e d)(d 20
S
0
2
电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。
RC
+
-
US
2S
1
2CU
④ 响应与外加激励成线性关系；
一般情况下：
(1 ) ( )(1 )eq eq
t t
R C R C
C OC Cu U e u e
( ) , C OC eqt u U R C 时
Req
＋
－ CUOC
＋
－uC
i＋
－uCC
有源一端口NS
【例 10.6 】图中开关 S打开以前电路已处于稳态， t=0 时开关 S打开。求 (1) 在0t tuC时的 ； (2) 电流源发出的功率。
iC
iS
R
R
C S(t=0) ＋－uC
解：开关 S 原闭合 V000 CC uu
电路为零状态响应 t 时的电路为
iS R
R
＋
－uC(∞)
Riu SC
求 eqR 的等效电路
R
R
eqRRReq 2
2(1 ) (1 )t
tRC
C C Su u e i R e 所以
RC2
RCt
SRC
t
SC
C iRC
RCit
uCi 22 e
2
1)
2
1)(e(
d
d
iC
iS
R
R
C S(t=0) ＋－uC
2(1 )t
RCC Su i R e
电流源发出的功率为
)We2
11(
])e1(e2
1[)(
22
22S
RCt
S
RCt
SRC
t
SSCCS
Ri
RiRiiuRiip
LL ui ,
Lu
Li
O
R
US
US
t
② RL 电路的零状态响应 RS iL
＋
－
＋ －uR
US uLL(t=0)0)0( Li
LL S
diL Ri U
dt
(1 )R
tSL
L
Ui e
R
Rt
L LL S
diu L U e
dt
已知 ，电路方程为：
L L Li i i
(0 ) 0 SL
Ui A
R
tL
RS Ae
R
U
R
L时间常数：
(1 ) (1 )tR
tS SL
L
U Ui e e
R R
( ) S
L
Ut i
R 时
求解 iL 的一般公式为 : )1)(( t
LL eii
【例 10.5 】图示电路中， t=0 时，开关 S 闭合，求 iL(t) 和 i(t)
4Ω
6Ω
1.2Ω
L
a
b
S(t=0)＋
－18V
i(t)
iL(t)＋
－
uL
解：开关 S 闭合前电路为零状态响应
A0)0()0( LL ii
t 时的电路为4Ω
6Ω
1.2Ω
＋
－18V
iL(∞)
18 6 ( )
1.2 6 / /4 6 43A
Li
【例 10.5 】图示电路中， t=0 时，开关 S 闭合，求 iL(t) 和 i(t)
4Ω
6Ω
1.2Ω
L
a
b
S(t=0)＋
－18V
i(t)
iL(t)＋
－
uL
( ) 3ALi
求 eqR 的等效电路 4Ω
6Ω
1.2Ω
Req
5Ω4(1.2//6) eqR
s25
10
eqR
L
2
( ) ( )(1 )
3(1 ) A 0
t
L L
t
i t i e
e t
0 V 2
3
d
)(d)( 2
te
t
tiLtu
tL
L
【例 10.5 】图示电路中， t=0 时，开关 S 闭合，求 iL(t) 和 i(t)
4Ω
6Ω
1.2Ω
L
a
b
S(t=0)＋
－18V
i(t)
iL(t)＋
－
uL
2
3 ( ) V 0
2
t
Lu t e t
2 2
2
4
312(1 )
2
2112 V 0
2
ab L L
t t
t
u i u
e e
e t
0 V4
7 2
62
te
ui(t)
tab
③ 一阶电路的零状态响应解的一般公式恒定激励下零状态电路的过渡过程实际上是动态元件的储能由零逐渐增长到某一定值的过程。 电路中表达电容和电感的储能状态的变量 uC 或 iL 都是从零值按指数规律逐渐增长到稳态值
uC (t) 或 iL (t) 的零状态响应一般表达式可以表示为
0 )()(
teftft
稳态值 f(∞) 可以从 t=∞ 时电容相当于开路，电感相当于短路的等效电路来求取
CReq eqR
L电路的时间常数 或
Req 为与动态元件相连的一端口电路的戴维南等效电阻。
3 一阶电路的全响应
换路后电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。
t=0 时，开关 S 闭合，电路微分方程
1 ）直流激励下的全响应
C 0(0 )u U
SCC Uut
uRC
d
d
解答为： uC(t) = uC' + uC
"
特解 uC' = US
通解 t
C Aeu
= RC
/( ) tC Su t U Ae
C C 0(0 ) (0 )u u U
(0 )C Su U A
则
又
0
(0 )C S
S
A u U
U U
0( ) 0t t
C S S Su U Ae U U U e t
强制分量 (稳态分量 ) 自由分量 ( 暂态分量 )
2 ） 全响应的分解方式一
3 ） 全响应的分解方式二
0(1 ) ( 0)t t
C Su U e U e t
零输入响应零状态响应
+
+
0)0( UuC
=0)0( Cu
0)0( UuC
+Ri＋ －uR
US
S(t=0)
C＋－uC
Ri＋ －uR
US
S
(t=0)C
＋－uC
Ri＋ －uRS
(t=0)C
＋－uC
Cu
0UUS
0UUS
0UUS
U0
US
U0
O t
4 ） uC 的波形图
5 ） RL 电路的分析与 RC 电路的相似
【例 10.7 】图示电路原已处于稳定状态， t=0 时打开开关 S ，求 t＞ 0 后的电感电流 iL 和电压 uL 。
8Ω
4Ω
0.6H24V＋
－
S(t=0)
iL
＋
－uL
解：这是一个一阶 RL 电路全响应问题，电感电流的初始值为
A64/24)0()0( LL ii
s20/112/6.0/ RL
零输入响应为
A6)( 20tL eti
零状态响应为
A)1(12
24)( 20t
L eti
全响应为
A42)1(26)( 202020 tttL eeeti
4 三要素法 一阶电路的数学模型是一阶线性微分方程：
t
eAtftf
)()(
令 t = 0+ Atff 0)()0(
0)()0( tffA
cbft
fa
d
d
其解答一般形式为：特解
t
efftftf
)]0()0([)()(
直流激励时： )()0()( fftf
t
effftf
)]()0([)()(
f (0+) —— 初始值
一阶电路在直流激励下，响应的表达式：
f (∞) —— 特解，稳态解
—— 时间常数
f ( t ) = f (∞) + [ f (0+) － f (∞) ]e － t/ t > 0
注意：分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题。
用 t→ 的稳态电路求解
用 0+ 等效电路求解
用 t>0 的电路求解
f ( t ) = f (∞) + (1 － e － t/) t > 0f (0+) =0
f (∞) ≠ 0
f ( t ) = f (0+) e － t/ t > 0 零输入响应
零状态响应
f (0+) ≠0 ， 全响应
f (∞) = 0
0t tuC tiC
【例 10.8 】图示电路中开关 S 打开以前电路已处于稳态， t=0
时开关 S 打开。用三要素法求在 时的 和8kΩ
12kΩ
12kΩ20V＋
－
50μF ＋－uC
iC
S(t=0)8kΩ
12kΩ
12kΩ20V＋
－
＋
－uC(0-)
8kΩ
12kΩ
20V＋
－
＋
－uC(∞)
解： t=0- 时，电路为
12(0 ) 20
12 812V
Cu
t=∞ 时，电路为
V12)0()0( CC uuV20)( Cu
求 eqR 的等效电路 8kΩ
12kΩ
Req
8kΩ
12kΩ
12kΩ20V＋
－
50μF ＋－uC
iC
S(t=0)
(8 12)kΩ
20kΩ
eqR
s110501020 63 CReq
由三要素公式 0 V820)2012(20
)()0()()(
tee
euuututt
t
CCCC
0 mA 4.0)( tedt
duCti tC
C
V16S U Ω61 R Ω102 R Ω53 RH1L 0t Li 3i
【例 10.9 】图示电路中， ， ， ，， 时开关 S 闭合，求 及
设开关 S 闭合前电路已处于稳态。
US
R1
R2
R3L＋
－
＋
－uL
iL
S(t=0)
i3解： t=0- 时，电路为
US
R1
R2
＋
－
iL(0-)
S
1 2
0 0
161A
6 10
L Li i
U
R R
t=0+ 时，电路等效为
US
R1
R2
R3
＋
－
i3(0+)iL(0+)1A
000 3331S iRiiRU L
31
1S3
00
RR
iRUi L
A
11
10
t=∞ 时，电路为
US
R1
R2
R3
＋
－
iL(∞)i3(∞)
S 3
1 2 3 2 3
4A
/ / 7L
U Ri
R R R R R
A
7
8
57
410
3
23
R
iRi L
R1
R2
R3Req
求 eqR 的等效电路
s140
11
5//610
1
// 312eq
RRR
L
R
L
由三要素公式得 t
LLLL iiii
e 0
t11
140
e7
41
7
4
Ae
7
3
7
4 727.12
t
t
iiii
e 0 3333 Ae77
18
7
8 727.12
t
或
US
R1
R2
R3L＋
－
＋
－uL
iL
S(t=0)
i3Ve
11
60 727.12 tLL dt
diu
Ae77
18
7
8 727.12
3
23
tLL
R
Riui
10.4 阶跃函数与阶跃响应 1 阶跃函数 1 ）单位阶跃函数
定义为
)0(1
)0(0)(
t
t t O
1
t
ε(t)
2 ）延迟的单位阶跃函数
)(1
)(0)(
0
00 tt
tt tt
O
1
t
ε(t- t0)
t0 O
1
t
ε(t+t0)
t0
4 ）单位阶跃函数的作用① 在电路中模拟开关的动作
动态电路
S
(t=0)
A V
＋
－
＋
－
u(t)
3 ）阶跃函数
O
A
t
ε(t)
( ) ( ) Vu t A t在 t=0 时接入直流电压源
动态电路
＋
－
＋
－
u(t)Aε(t)V
动态电路
S
(t=t0)BA
在 t=t0 时接入直流电流源
动态电路
Bε(t- t0)A
0( ) ( ) Ai t B t t ② 表示复杂的信号
f(t)
O t0 t
A
O t
A
ε(t)
O t0
t
-A
ε(t- t0)
)]()([)()()( 00 tttAttAtAtf
f(t)
A
O t1 tt2
例1 2
1 2
( ) ( ) ( )
[ ( ) ( )]
f t A t t A t t
A t t t t
③ 起始一个函数
0
00 0
)()()(
tt
t ttftttf
f(t)ε(t)
O t
f(t)ε(t- t0)
t0O t
f(t)ε(t- t0)
2 单位阶跃响应 V )(t A )(t激励为单位阶跃函数 或 时，电路的零状态
响应即为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用 s(t) 表示。
0)0( Cu
R i
C＋
－uCε(t)
如： 0)0()0( －＋ CC uu
V1)( Cu
)( )1()(
tetu RC
t
C
)( 1
)(
teR
ti RC
t
)(t注意： 1 ）式子中乘以 ，表示 t<0 时， s(t)=0 ，即响应的
2 ）由齐次性，如果激励增加 A倍，则零状态响应也增加 A倍。 3 ）由叠加性，如果电路中同时几个激励作用时，电路的零状态响应等于各激励源单独作用产生的零状态响应之和。
初值为零。
激励在 t = t0 时加入，则响应从 t =t0 开始。如
R i
C＋－uCε(t- t0)
＋
－
0
0( ) (1 ) ( )t t
RCCu t e t t
不要写为 )( )1()( 0
ttetu RC
t
C
R
1
uC
1
O Ot t
i
t0 t0
uC 和 i 的波形
)( 1
)( 0
0
tteR
ti RC
tt
),(tiH1L Ω1R
例 10.10 】求图（ a ）所示零状态 RL 电路在图（ b ）中所示脉冲电压作用下的电流 其中
R
＋
－u(t)
i(t)
L
tt0O
US
u(t)
解法一：按照物理意义分段求解。
在 0≤t≤t0 时，激励为恒定量 US ，此时电感电流为 i 零状态响应，其表达式为
)1()1( )1)(()(
tSt
St
eR
Ue
R
Ueiti
s 1R
L
t0≤t<∞ 时，外加激励为零，所以这时电感电流 i 为零输入响应，其初始值为
)1()()( 0 00
tS eR
Utiti
)(
000
0
)1( )()( tttStt
eeR
Uetiti
R
＋
－u(t)
i(t)
L
tt0O
US
u(t)
解法二：把输入激励用阶跃函数表示，其表达式可写为
)()()( 0ttUtUtu SS RL 电路的单位阶跃响应为
)()1(1
)()1)(()(
teR
teits tt
由齐次性和叠加性得实际响应为：
)( ]1[)( )1( )( 0)( 0 tte
R
Ute
R
Uti ttStS
O tt0
O tR
US
R
US
0t
i'(t) i(t)
R
US
t0 tO
i''(t)波形
10.5 冲激函数与冲激响应1 冲激函数
1 ）单位冲激函数
1)(
0 0)(
dtt
tt
）（当
O
1
t
δ(t)
Δ
1
2
Δ
2
Δ
面积=1
p(t)
tO
单位脉冲函数
0 2 2
( )1
2 2
t tp t
t
或
)( )(lim0
ttp
单位脉冲函数的极限
3 ）延迟的冲激函数
O
K
t
δ(t) δ(t- t0)
O
K
tt0
2 ）冲激函数 Kδ (t)
4 ）冲激函数有两个主要性质： ① 冲激函数对时间的积分等于阶跃函数
)( 0 1
0 0d)( t
t
ttt
t
)(
d
)( d t
t
t
② 冲激函数的‘筛分性’
( ) ( )d (0) ( )d (0)f t t t f t t f
)(d)()( 00 tfttttf
同理
( ) ( ) (0) ( )f t t f t
O t
f(t)
δ(t- t0)
t0
f(t)δ(t- t0)
O t
f(t0)
t0
f(t)δ(t- t0)
函数 f(t) 在时间 t=t0 连续
2. 一阶电路的冲激响应 激励为单位冲激函数时，电路中产生的零状态响应，用 h(t) 表示。 。1 ）在冲激函数下电容电压的初始值分析
δi(t)C
idC
tutut
tCC 0
1)()( 0
由
得 t=0 时
- -
0 0
0 0
1 1 1 (0 ) (0-) (0-) ( ) (0-)C C C i Cu u idt u t dt u
C C C
可见，在冲激电流下，电容电压会突变。
)(tK i (0 ) (0-)C C
Ku u
C 若电流为
2 ）在冲激函数下电感电压的初始值分析
δu(t)+
-L
由
得 t=0 时
可见，在冲激电压下，电感电流会突变。
若电压为
t
tLL0
udL
titi 1)()( 0
- -
0 0
0 0
1 1 1(0 ) (0-) (0-) ( ) (0-)L L L u L i i udt i t dt i
L L L
)(tu )(0)(0 - Lii LL
(0 ) 0Cu (0 ) 0Li
当冲激函数作用于零状态的一阶动态电路，使得，电路中将产生相当于初始状态引起的零输入响应。
结论：
3 ） RC 电路的冲激响应 R
δi(t)C
＋
－u(t)
注意：因能量不能跃变，当冲激电源作用于电路的瞬间，电感应看成开路；电容应看成短路
R
(t=0)
iC(0)δi(t)
t=0 时，电容视为短路，得
(0 ) 0Cu 1 1
(0 ) (0-)C Cu uC C
0 1
)0()(
teC
euthtt
)( 1
)(
teC
tht
RCR
(t>0)
＋
－u(t)C
t>0 时，电路等效为
或
3 ） RL 电路的冲激响应
t=0 时，电感视为开路，得
t>0 时，电路等效为
0)0( Li
1 1 (0 ) (0 )L Li i
L L
)( 1
)(
teL
tht
i
)()()(
)(
teL
Rt
dt
tdhLth
ti
u
R
L
t
L
R
uL
δu(t)
O
L
1 iL(t)
O t
零状态r(t))(te
3. 单位阶跃响应和单位冲激响应关系
单位阶跃响应
单位冲激响应
h(t)
s(t)
单位冲激
(t)
单位阶跃
(t) t
tt
d
)(d)(
)(d
d)( ts
tth
激励 响应
tthts d )()(
【例 10.11 】试确定图示电路的电感电流及电压的冲激响应。
400ΩL
600Ω
100mH
u1＋ －
u2
＋
－
R2＋
－
uL
R1
＋
－δ(t)
iL
解法一 ： t=0 时，电感视为开路，得
)(4.0)()0( 22 ttku
冲激电压 )0(2u 使电感电流发生跃变
A 4)0( 2 L
kiL
t>0 时Ω 240// 21 RRReq
s2400
1
eqR
L
电感电流的冲激响应为
电感电压的冲激响应为
A )( 4)0()( 2400
teeith tt
Li
2400t 2400t
2400
( )( )
0.1 ( 2400) 4 ( ) 4 ( )
0.4 ( ) 960 ( ) V
LL
t
di tu t L
dt
e t e t
t e t
解法二 ：把电路中的冲激激励换成阶跃激励
400ΩL
600Ω
100mH
u1＋ －
u2
＋
－
R2＋
－
uL
R1
＋
－ε(t)
iLA
600
1)( Li
Ω 240// 21 RRReq
s2400
1
eqR
L
阶跃响应为
2400t
( ) ( )(1 ) ( )
1(1 ) ( )A
600
L
t
i Ls t i e t
e t
冲激响应为
2400t
2400t
( )( )
1( ) ( 2400) ( )
600
4 ( )A
LiL
ds ti t
dt
e t
e t
10.6 二阶电路的零输入响应 由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路
1 RLC串联电路的零输入响应 Ri＋
－
S(t=0)C＋
－uC L uL
0(0 )Cu U＋ 0(0 )Li I＋
t>0 时， KVL 方程 0 CLR uuu
t
uCi C
dd
t
uRCRiu C
R d
d
t
uLC
t
iLu C
L dd
dd 2
02
CCC ut
uRC
t
uLC
dd
dd
ptC Aeu 0
2
CCC ut
uRC
t
uLC
dd
dd
设
012 RCpLCp
代入
特征方程
解出特征根为 2 2
1 2
1 1
2 2 2 2
R R R Rp p
L L LC L L LC
把特征根称为电路的固有频率。
21 pp tptpC eAeAtu 21
21)(
ppp 21pt
C etAAtu )()( 21 时，设
时，设
0(0 )Cu U＋ 1 2 0A A U
当
1 21 1 2 2 1 1 2 20+
0+
p t p tCduA p e A p e A p A p
dt （ ）
t
uCi C
dd
01 1 2 2
0+
Cdu IA p A p
dt C
C
I
dt
duC 0
0
C
IApAp
UAA
02211
021
21 pp 时当 0
2 0
12 1
01 0
21 2
Ip U
CAp p
Ip U
CAp p
2 二阶电路特征根讨论 00 U 00 I设
1.C
LR 2 ，非振荡衰减放电过程（过阻尼情况）
21
1 2
22
1( )
12 2
1( )
2 2
R Rp
L L LCp p
LCR Rp
L L LC
12
012
12
021
pp
UpA
pp
UpA
又
) ( 1
2
12
0 2
1
2121 tptptptpC epep
pp
UeAeAu
1 2 0
2 1
( )( )
p t p tCu Ui C e e
t L p p
dd
)()(
2
1
12
0 21 tptpL epep
pp
U
t
iLu
dd
1 2 02 1
2 1
( )p t p tC
Uu p e p e
p p
1 2 0
2 1
( )( )
p t p tUi e e
L p p
21
1
2ln
pp
p
p
tm
t= tm 时， 电感储能最大
Cu i Lu过阻尼情况下 、 、 的波形
2. 2L
RC
，非振荡衰减放电过程（过阻尼情况）
22 )2
(1
2
1)
2(
2 L
R
LCj
L
R
LCL
R
L
Rp
21 ( )
2 2
R R
L LC L 令： 衰减系数 谐振角频率( ), ( )
jp 1 jp 2
2 20
1 tanarc
LC
再令
cos sin cos sinj je j e j 根据欧拉公式
jep 01 jep 02
β
ω
δ
ω0
jep 01 jep 02
1 2 02 1
2 1
( ) ( ) 00 0
( ) ( )0 0 0 0
( )
[ ]2
[ ] sin( )2
p t p tC
j j t j j t
j t j tt t
Uu p e p e
p p
Ue e e e
j
U Ue ee e t
j
teL
U
t
uCi tC
sin 0
dd
)sin( 00 te
U
t
iLu t
L dd
iuu LC ,,
U0
O
uC
i
uL
π-β
2β
π
2π t2π-β
Cu i Lu欠阻尼情况下 、 、 的波形
1 ）波形呈衰减振荡的状态，称为欠阻尼情况
2 ）响应的振荡幅度按指数规律衰减。 3 ）衰减振荡按周期规律变化
0 < t <
LC+
- R
< t < -
LC+
- RLC
+
- R
- < t <
特例： R=0 时2
1
0 0
，，LC
0
0 0
sin( )2
sin
C Lu U t u
Ci U t
L
等幅振荡
LC+
-
3. =2L
RC
，临界情况（临界阻尼情况）
L
Rpp
221
微分方程的通解为 etAeAtu tptp
C
2
121 )(
C 0 1 0
C1 2
(0 )
(0 ) 0 ( ) 0
u U A U
uA A
t
dd
根据初始条件
02
01
UA
UA
tttC eUteAeAu
0
2
1 )1(
tC teL
U
t
uCi 0
dd ) 1(
0 teUt
iLu t
L
dd
0 (1 ) t
Cu U e
0 tUi te
L
0 (1 )t
Lu U e t
具有非振荡性质
经典法求解二阶电路零输入响应的一般步骤：（ 1 ）根据基尔霍夫定律和元件特性列出换路后的电路微
分方程；（ 2 ）由特征方程求出特征根，并判断电路是处于衰减放
电还是振荡放电还是临界放电状态，三种情况下微分方程解的形式分别为：
特征根为两个不相等的负实根，电路处于过阻尼状态 tptp eAeAty 21
21)( 特征根为两个相等的负实根，电路处于临界阻尼状态
)sin()( tAety t
（ 3 ）根据初始值
)0(
)0(
t
yy
dd 确定积分常数从而得方程的解
特征根为共轭复根，电路处于衰减振荡状态
)sin()( tAety t
【例 10.15 】图示电路在 t ＜ 0 时处于稳态， t=0 时打开开关，求电容电压 uC并画出其变化曲线。
0.5H5Ω
10Ω
10Ω
20Ω
＋
－uC
50V＋ －
S(t=0)100μF
（ 1 ）首先确定电路的初始值。
iL(0_)=5A ， uC(0_)=25V
2 ）开关打开，电路为 RLC串联零输入响应问题
0C2
CCC ut
uRC
t
uL
dd
dd
代入参数得特征方程： 50p2+2500 p +106=0 13925 jp
电路处于振荡放电过程，解的形式为
)139sin(25 tAeu tC
（ 3 ）根据初始条件
5d
d25)0(
0t
uC
u
C
C
410
5)sin25cos139(
25sin
A
A
410
5)sin25cos139(
25sin
A
A 356A176
25 25sin(139 ) 356 sin(139 176 )Vt tCu Ae t e t
uC 变化曲线：
10.7 二阶电路的零状态响应和全响应1. 二阶电路的零状态响应
二阶电路的初始储能为零（即电容两端电压和电感中电流都为零），仅由外施激励引起的响应称为二阶电路的零状态响应。
R L
uS(t)＋
－
i ＋ －uL＋ －uR
＋－uCC
uC(0 － )=0 , iL(0 － )=0微分方程为：
S
2
d
d
d
d Uu
t
uRC
t
uLC C
CC 特解 : SC Uu
C C Cu u u
特解 通解
与零输入响应的形式相同Cu
再根据初始条件确定积分常数，从而得到全解。
如果二阶电路具有初始储能，又接入外施激励，则电路的响应称为二阶电路的全响应。
已知： iL(0-)=2A uC(0-)=0 求： iL, iR
(1) 列微分方程
50d
d
d
d L
2
2
LL Ri
t
iL
t
iRLC
(2) 求特解
0d
d50dd
2
2L
t
iLCi
Rti
LL
L
A1L i
解
例
应用结点法： ＋
－50V
0.5H
50Ω
CL
RS(t=0)
iR
iL iC
100μF
(3) 求通解 0200002002 PP
特征根为： P= -100 j100
)100sin(1 100 tAei t
(4) 定常数
)0( 0sin100cos100
)0( 2sin1
L
L
uAA
iA
245
A
)45 100sin(21 100 tei t
L
特征方程为：
50d
d
d
d2
2
LL Ri
t
iL
t
iRLC
tet
iLCiiii tL
LCLR 100sin21d
d 1002
2
10.8 二阶电路的阶跃响应与冲激响应1 二阶电路的阶跃响应
二阶电路在阶跃激励 下的零状态响应称为二阶电路的阶跃响应。阶跃响应和零状态响应的求解方法相同。
)(t
R L
ε(t)＋
－
i ＋ －uL＋ －uR
＋－uCC
， uC(0 － )=uC(0+)=0 ， iL(0 － )=iL(0+)=0 例： RLC串联电路中已知
t＞ 0 时， SCLR uuuu
)(d
d
d
d2
2
tut
uRC
t
uLC C
CC
L
R
2
LC
1 0
)(d
d2
d
d 20
202
2
tut
u
t
uC
CC
CCC uuuts )(
1Cu
02 20
2 pp
令
则
特解
特征方程
解为
1 2p p
02 20
2 pp
1)( 21
21 tptp eAeAts
0
d
d
d
d
01
22110
C
0
21
pApAt
u
t
s
AA
tt
21
2 1
12
2 1
p
Ap p
pA
p p
)() (1
1)( 1
2
12
21 tepeppp
ts tptp
由初始条件得到
阶跃响应为
若特征根
其他情况可参考零状态响应的求解方法
得特征根 求解
2 二阶电路的冲激响应 指零状态的二阶电路在冲激函数 激励下的响应)(t
如 RLC 电路R L
δ(t)＋
－
i ＋ －uL＋ －uR
＋－uCC
0)0( Cu 0)(0 i
2C C
C2
d d( )
d d
u uLC RC u t
t t
0
0
0
0 C
0
0
C0
0 2C
2
d)(ddd
dd
d
dtttut
t
uRCt
t
uLC
-
0
00 0
d d( ) ( (0 ) (0-)) 1
d dC C
C C Ct t
u uLC RC u u u dt
t t
uC 不能跃变
0 0
1)d
d
d
d(
00
t
C
t
C
t
u
t
uLC
1)d
d
d
d(
00
t
C
t
C
t
u
t
uLC
0
(0 ) 0C
t
dui
dt
1d
d
0
t
C
t
uLC
0
1C
t
du
dt LC
Ldt
duCi t
C 1)0( 0
t>0+ 为零输入响应
0d
d
d
dC
C2C
2
ut
uRC
t
uLC
又
0d
d
d
dC
C2C
2
ut
uRC
t
uLC
C
LR 2 tptp
C eAeAu 2
1
21
LCpApA
t
u
AAu
tC
C
1
d
d
0)0(
22110
21
)(
1
1221 ppLC
AA
)()(
1)( 21
12
tptpC ee
ppLCtu
若 则
初始条件
2C
LR
)()sin(1
C tteLC
u t
)sin(
C tAeu t
1 2 jP 、若
0)0( Cu 0)0( Li
Ω2.0R F 2C H25.0L A)(tiS )(tiL A)(tiS )(tiL
【例 10.18 】在图 10-61 所示电路中，，试求：（ 1 ）
时，单位阶跃响应 ；（ 2 ） 时，单位冲激响应
R L
0.5iCiR
iS
iC
C
iL
解：（ 1 ） A)(tiS
SCLCR iiiii 5.0
)(5.0 tiii LCR
2
2
dt
idLC
dt
duCi LC
C
dt
di
R
L
R
ui LR
R
2
20.25 1.25 ( ) L L
L
d i dii t
dt dt
2
25 4 4 ( ) L L
L
d i dii t
dt dt
2
25 4 4 ( ) L L
L
d i dii t
dt dt LLL iii 其解为
1Li 对应齐次方程的解 tptpL eAeAi 21
21 特解
0452 pp特征方程 11 p 42 p
ttL eAeAi 4
2
11
t=0+ 时的初始值为
0)0(
1)0(
1)0(
1)(
0)0()0(
0 LCLL
LL
uL
uL
uLdt
di
ii
04
01
21
21
AA
AA
3
1
3
4
2
1
A
A
ttL eAeAi 4
2
11 1 2
4 1
3 3A A
阶跃响应为 A )( 3
1
3
41)()( 4 teetsti tt
L
（ 2 ）根据阶跃响应和冲激响应的关系，可求得冲激响应为
A )(3
4
3
4
3
1
3
41)(
d
)(d)()( 4 4
teeeet
t
tsthti tttt
L
在 t≥0+ 时为零，所以冲激响应在 t≥0+ 时 )(t
A 3
4
3
4)( 4
tt eeth