Карпатські математичні публікації Т1 n1

Карпатськiматематичнiпублiкацiї

Науковий журнал

Т. 1, 1

2009

Змiст

Артемович О.Д. Лiвi нетеровi кiльця з диференцiйно-тривiальними власними

фактор-кiльцями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Дмитришин М.I., Лопушанський O.B. Простори типу Лоренца ультрагладких

векторiв замкнених операторiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Загороднюк А.В. Алгебри аналiтичних функцiй на банахових просторах . . . . . 15

Заторський Р.А., Малярчук О.Р. Нескiнченнi лiнiйнi рекурентнi рiвняння та

параперманенти . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Iлькiв В.С. Гладкiсть розв’язкiв задач iз нелокальними багатоточковими умо-

вами для строго гiперболiчних рiвнянь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Копач М.I., Обшта А.Ф., Шувар Б.А. Диференцiальнi нерiвностi з односторон-

ньою лiпшицiєвicтю . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Лiщинський I.I. Диференцiювання Жордана кiлець полiномiв . . . . . . . . . . . . 65

Можировська З.Г. Нормальнi та самоспряженi оператори композицiї на просто-

рах аналiтичних функцiй . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Осипчук М.М. Iснування дифузiйних процесiв iз заданими локальними характе-

ристиками . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Семенчук А.В. Парадетермiнанти i формальнi експоненцiальнi ряди . . . . . . . 85

Соломко А.В. Окремий випадок операторного числення для узагальнених функцiй

з носiями в конусi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Я.З.Стасюк, О.Б.Скаскiв Про еквiвалентнiсть суми i максимального члена аб-

солютно збiжного у пiвплощинi ряду Дiрiхле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Василишин Б.В., Кондур О.С. До ювiлею професора, доктора фiзико-математич-

них наук Iвасишена Степана Дмитровича . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Carpathianmathematicalpublications

Scientific journal

V. 1, 1

2009

Contents

Artemovych O.D. Left Noetherian rings with differentially trivial proper quotient rings 4

Dmytryshyn M.I., Lopushansky O.V. Lorentz type spaces of ultrasmooth vectors of

closed operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Zagorodnyuk A.V. Algebras of analytic functions on Banach spaces . . . . . . . . . . 15

Zatorsky R.A., Malarchuk A.R. The infinite linear recurrent equations and paradeter-

minants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Il’kiv V.S. The smoothness of solutions of the problems with nonlocal multi-point con-

ditions for strictly hyperbolic equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Kopach M.I., Obshta A.F., Shuvar B.A. Differential inequalities with one-sided Lipshitz

property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Lishchynsky I.I. Jordan derivations of polynomial rings . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Mozhyrovska Z.G. Normal and self-adjoint composition operators on the space of an-

alytic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Osypchuk M.M. Existence of diffusive processes with the given local characteristics . . 79

Semenchuk A.V. Paradeterminants and formal exponential series . . . . . . . . . . . 85

Solomko A.V. Particular case of operator calculus for generalized functions with sup-

ports in cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Ya.Z.Stasyuk, O.B.Skaskiv On the equivalence of the sum and the maximal term of the

Dirichlet series absolutely convergent in the half-plane . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Vasylyshyn B.V., Kondur O.S. To jubilee of professor, professor of physical and math-

ematical sciences Ivasyshen Stepan Dmytrovych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Карпатскиематематическиепубликации

Научный журнал

Т. 1, 1

2009

Содержание

Артемович О.Д.Левые нетеровы кольца с дифференциально-тривиальными собст-

венными фактор-кольцами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Дмитришин М.И., Лопушанский O.B. Пространства типа Лоренца ультраглад-

ких векторов замкнутых операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Загороднюк А.В. Алгебры аналитических функций на банаховых пространствах 15

Заторский Р.А., Малярчук А.Р. Бесконечные линейные рекуррентные уравнения

и параперманенты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Илькив В.С. Гладкость решений задач с нелокальными многоточечными услови-

ями для строго гиперболических уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Копач М.И., Обшта А.Ф., Шувар Б.А. Дифференциальные неравенства с одно-

сторонней липшициевоcтью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Лищинский И.И. Дифференцирования Жордана колец многочленов . . . . . . . . 65

Можировская З.Г. Нормальные и самосопряженные операторы композиции на

пространствах аналитических функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Осипчук М.М. Существование диффузионных процессов с заданными локаль-

ными характеристиками . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Семенчук А.В. Парадетерминанты и формальные экспоненциальные ряды . . . . 85

Соломко А.В. Частичный случай операторного исчисления для обобщенных фун-

кций с носителями в конусе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Я.З.Стасюк, О.Б.Скаскив Об эквивалентности суммы и максимального члена

абсолютно сходящегося в полуплоскости ряда Дирихле . . . . . . . . . . . . . 100

Василишин Б.В., Кондур О.С. К юбилею профессора, доктора физико-матема-

тических наук Ивасишена Степана Дмитриевича . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Карпатськi математичнi Carpathian Mathematical

публiкацiї. Т.1, 1 Publications. V.1, .1

УДК 512.552

Artemovych O.D.

LEFT NOETHERIAN RINGS WITH DIFFERENTIALLY TRIVIAL

PROPER QUOTIENT RINGS

Artemovych O.D. Left Noetherian rings with differentially trivial proper quotient rings, Carpa-thian Mathematical Publications, 1, 1 (2009), 4–7.

We characterize left Noetherian rings with differentially trivial proper quotient rings.

Introduction

Let R be an associative ring with an identity. As usually, a mapping d : R → R suchthat

d(a + b) = d(a) + d(b) and d(ab) = d(a)b + ad(b)

for any a, b ∈ R is called a derivation of R. A ring R having no non-zero derivations will becalled differentially trivial. Differentially trivial left Noetherian rings were characterized byauthor in [1].

In this paper we prove the following

Theorem. Let R be a left Noetherian ring with an identity. Then every proper quotientring of R is differentially trivial if and only if it is of one of the following types:

(i) R is a differentially trivial Artinian ring;

(ii) R is a local ring with the differentially trivial residue field R/J(R), where the Jacobsonradical J(R) is the heart of R;

(iii) R = R1 + R2 is a sum of ideals I1 and I2, where I1 ∩ I2 is the heart of R and thequotient ring R/(I1 ∩ I2) is differentially trivial Artinian.

As proved in [2], a left Artinian ring R is differentially trivial if and only if R = R1 ⊕· · · ⊕ Rm (m ≥ 1) is a ring direct sum of R1, . . . , Rm and each Ri is either a differentiallytrivial field (i.e., Ri is algebraic over its prime subfield if the characteristic char(Ri) = 0 andRi = api|a ∈ Ri if char(Ri) = pi) or isomorphic to some ring Zpn of integers modulo a

2000 Mathematics Subject Classification: 16A72, 16A12.

c©Artemovych O.D., 2009

Left Noetherian rings with differentially trivial proper quotient rings 5

prime power pn. It is clear that every quotient ring of differentially trivial left Artinian ringis differentially trivial.

For convenience of the reader we recall some notation and terminology. If I is a non-zeroideal of R, then the quotient ring R/I is called proper. N(R) will always denote the set ofnilpotent elements of R, J(R) the Jacobson radical of R, R+ the additive group of R, Wewill also use other terminology from [3], [4] and [5].

1 Preliminaries

In the sequel we shall need the next

Lemma 1.1. Let R be a ring with the identity 1. If all proper quotient rings of R aredifferentially trivial, then one of the following statements is satisfied:

(1) R is a differentially trivial ring;

(2) R has only trivial idempotents;

(3) R = R1 + R2 is a sum of ideals I1 and I2, where I1 ∩ I2 is the heart of R and thequotient ring R/(I1 ∩ I2) is differentially trivial.

Proof. Assume that e is a non-trivial idempotent of R. Put f = 1− e. If R is commutative,then R = eR⊕fR is a ring direct sum and, consequently, R is differentially trivial. Thereforewe suppose that R is not commutative. Then the ideal

I0 =⋂I|I is a non-zero ideal of R

is non-zero and I20 = (0). Clearly, R contains an idempotent e such that so eI0 = I0 and

fI0 = (0).1) Assume that I0e = (0). Then I0f = I0 and, as a consequence, fRe = (0), eRf = I0

andR = eRe⊕ eRf ⊕ fRf

is a group direct sum. We denote eRe⊕ eRf by I1 and eRf ⊕ fRf by I2. Obviously, I1, I2

are ideals in R and I1 ∩ I2 = I0 is the heart of R.2) Now suppose that I0e 6= (0). Then I0e = I0 and I0f = (0). From this it follows that

eRf = fRe = (0) andR = eRe⊕ fRf

is a group direct sum. Moreover, fRf is a two-sided ideal of R, I0 ≤ eRe and we obtainthat R is differentially trivial.

Example 1.1. Let R = Q[X]/(X2) = Q + uQ be a commutative Q-algebra, where u =

X + (X2). Then u2 = 0, R is a local ring and the Jacobson radical J(R) = uQ is the heartof R. It is not difficult to prove that R has non-zero derivations and any proper quotientring of R is differentially trivial (and so R is of type (ii) from Theorem).

6 Artemovych O.D.

Example 1.2. Let R = Qe1 + Qe2 + Qu be a central Q-algebra with the basis e1, e2, u,where

e21 = e1, e

22 = e2, u

2 = 0, e1e2 = e2e1 = 0,

e1u = u, ue1 = 0, e2u = 0, ue2 = u.

Then R is an Artinian ring with the identity 1 = e1 + e2, its Jacobson radical J(R) = uQ isthe heart of R. Moreover, R has non-zero derivations and all proper quotient rings of R aredifferentially trivial (and thus R is of type (iii) from Theorem).

Lemma 1.2. Let R be a left Noetherian ring with an identity. If R is a differentially trivialring with differentially trivial proper quotient ring, then it is Artinian.

Proof. 1) Assume that the additive group R+ is torsion. If R is a domain, then, by Propo-sition 3 of [1], it is a field. Therefore we suppose that R is not domain. Let P be a primeideal of R. Since R/P is a field, we conclude that R is Artinian by Akizuki Theorem (see[6, Chapter IV, §2, Theorem 2]).

2) Now let us R+ be a torsion-free group. Then, by Theorem 8 of [1], J(R) = N(R) = (0).If pR 6= R for some prime p, then pR is not contained in some maximal ideal M of R andtherefore R = M ⊕ pR is a ring direct sum, a contradiction. Hence pR = R for any primep and R+ is a divisible group. If R is a domain, then R is a field or aR = a2R for anyelement a ∈ R. This gives that R is Artinian. Assume now that R is not domain. Then,by Proposition 3 of [1], every prime ideal is maximal in R and, by Akizuki Theorem, R isArtinian.

3) In view of Theorem 8 of [1], from 1) and 2) it follows that R is Artinian.

2 Proof of Theorem

(⇐) is obviously.(⇒) Let R be a left Noetherian rings with every proper quotient ring differentially trivial.1) Assume that N(R) = 0. Then I0 = (0) (where I0 is as in Lemma 1.1) and R is

commutative. And therefore there are prime ideals P1, . . . , Pn of R such that

n⋂i=1

Pi = (0).

Then R is a subdirect product of differentially trivial domains R/P1, . . . , R/Pn. By Theorem2.3.6 of [4],

S = c ∈ R|c is a regular element of R is an Ore set and so the ring of quotients S−1R is an Artinian ring. Consequently

S−1R = B1 ⊕ · · · ⊕Bn

is a ring direct sum of fields B1, . . . , Bn such that the field of quotients Q(R/Pi) ∼= Bi

(i = 1, . . . , n). We have seen that S−1R is differentially trivial. Inasmuch as every derivationof R extended to some derivation of S−1R, a ring R is differentially trivial.

Left Noetherian rings with differentially trivial proper quotient rings 7

2) If N(R) 6= 0, then N(R) is an ideal of R. By Lemma 1.2, R/N(R) is Artinian.Then R is a local ring of type (ii) or, by Lemmas 1.1 and 1.2, a ring of one of types (i) or(iii).

2

References

1. O. D. Artemovych, Differentially trivial left Noetherian rings // Comment. Math. Univ. Carolinae (2)40(1999), 201-208.

2. O. D. Artemovych, Differentially trivial and rigid rings of finite rank // Periodica Math. Hungarica (1-2)36 (1998), 1–16.

3. I. Lambek, Lectures on Rings and Modules, Blaisdell Publ. C., Waltham, 1966.

4. J. C. McConnell and J. C. Robson, Noncommutative Noetherian Rings, John Wiley and Sons, Chichester,1987.

5. L. Fuchs, Infinite Abelian Groups, vol.I, Academic Press, New York London, 1970.

6. O. Zariski and P. Samuel, Commutative Algebra, vol.I, D. van Nostrand C., Addison-Wesley P. C.,Reading, 1970.

Vasyl Stefanyk Precarpathian University,

Ivano-Frankivsk, Ukraine.

[email protected]

Received 16.03.2009

Артемович О.Д. Лiвi нетеровi кiльця з диференцiйно-тривiальними власними фактор-кiльцями // Карпатськi математичнi публiкацiї. — 2009. — Т.1, 1. — C. 4–7.

Охарактеризовано лiвi нетеровi кiльця з диференцiйно-тривiальними власними фак-тор-кiльцями.

Артемович О.Д. Левые нетеровы кольца с дифференциально-тривиальными собственны-ми фактор-кольцами // Карпатские математические публикации. — 2009. — Т.1, 1.— C. 4–7.

Охарактеризовано левые нетеровы кольца с дифференциально-тривиальными собст-венными фактор-кольцами.


публiкацiї. Т.1, 1 Publications. V.1, No.1

УДК 517.98

Дмитришин М.I., Лопушанський О.В.

ПРОСТОРИ ТИПУ ЛОРЕНЦА УЛЬТРАГЛАДКИХ ВЕКТОРIВ

ЗАМКНЕНИХ ОПЕРАТОРIВ

Дмитришин М.I., Лопушанський O.B. Простори типу Лоренца ультрагладких векторiвзамкнених операторiв // Карпатськi математичнi публiкацiї. — 2009. — Т.1, 1. — C.8–14.

Визначено простори типу Лоренца ультрагладких векторiв замкнених операторiв вбанахових просторах. Встановлено iнтерполяцiйнi властивостi таких просторiв та показа-но їх застосування до розв’язання проблеми наближення елементiв банахового просторурiзними класами гладких векторiв замкненого оператора.

Вступ

Простори ультрагладких векторiв замкнених операторiв над банаховими простора-ми визначено в роботi [4], де побудовано операторне числення на таких класах векторiв.Розв’язанню проблеми наближення елементiв банахового простору рiзними класамигладких векторiв замкненого оператора, у тому числi ультрагладкими векторами, при-свячено роботи [1, 2]. У цьому зв’язку вiдзначимо також роботу [3], де введено поняттяквазiнормованого абстрактного простору Бєсова. У роботi [8] технiку ультрагладкихвекторiв застосовано до побудови спектральних розкладiв необмежених операторiв вбанахових просторах. Там же наведено застосування абстрактних результатiв в теорiїрегулярних елiптичних диференцiальних операторiв у обмежених областях.

У запропонованiй роботi розглянуто класи ультрагладких векторiв замкнених опе-раторiв, якi утворюють iнтерполяцiйнi простори типу Лоренца. Дослiджено властивостiтаких просторiв (теор. 1), а також, породжених ними, апроксимацiйних просторiв (теор.2,3). Оцiнки вiдстанi вiд елементiв банахового простору до пiдпростору ультрагладкихвекторiв представлено у виглядi нерiвностей з використанням квазiнорм вiдповiднихапроксимацiйних просторiв.

Надалi використовуємо термiнологiю i позначення роботи [9].

2000 Mathematics Subject Classification: 41A65, 47A57, 47A58, 46E35.

c©Дмитришин М.I., Лопушанський О.В., 2009

Простори типу Лоренца ультрагладких векторiв замкнених операторiв 9

1 Простори типу Лоренца ультрагладких векторiв

Нехай X — банахiв простiр над полем комплексних чисел C з нормою ‖.‖; A : D(A) ⊂X → X — необмежений замкнений лiнiйний оператор iз щiльною областю визначенняD(A). Для будь-якого числа ν > 0 i довiльної послiдовностi додатних чисел µk∞k=0

розглянемо послiдовнiсть µ−1k (A/ν)kx∞k=0, x ∈ D(A∞) =

∞⋂k=0

D(Ak). Якщо xk∞k=0 —

послiдовнiсть в просторi X, яка збiгається до нуля, то через x∗k∞k=0 позначимо послi-довнiсть, яка складається з тих самих елементiв, розмiщених в порядку незростаннянорм ‖x∗0‖ ≥ ‖x∗1‖ ≥ . . . ≥ ‖x∗k‖ ≥ . . . .

Покладемо xk ≡ µ−1k (A/ν)kx i для довiльних чисел 1 < p < ∞, 1 ≤ q ≤ ∞ визначимо

простори вигляду

Eνp,q(A) ≡

x ∈ D(A∞) : ‖x‖Eν

p,q(A) =( ∞∑

k=1

‖x∗k−1‖qkqp−1

)1/q

< ∞

,

Eνp,∞(A) ≡

x ∈ D(A∞) : ‖x‖Eν

p,∞(A) = supk‖x∗k−1‖k

1p < ∞

.

Простори Eνp,q(A) назвемо просторами типу Лоренца ультрагладких векторiв опера-

тора A. При p = q отримуємо вiдомi простори Eνp,p(A) = Eν

p (A) ультрагладких векторiв[4]. Якщо µk ≡ 1, то Eν

p (A) — простiр векторiв експоненцiального типу оператора A [5].Нехай 0 < t, ν < ∞, 1 < p0, p1 < ∞, 1 ≤ q, q0, q1 ≤ ∞, 0 < θ < 1. Визначимо

iнтерполяцiйний простiр(Eν

p0,q0(A), Eν

p1,q1(A)

)θ,q

з нормою

‖x‖(Eνp0,q0

(A),Eνp1,q1

(A))

θ,q

=( ∫ ∞

0

[t−θK(t, x; Eν

p0,q0(A), Eν

p1,q1(A))

]q dt

t

)1/q

,

K(t, x; Eνp0,q0

(A), Eνp1,q1

(A)) = infx=x0+x1

(‖x0‖Eνp0,q0

(A) + t‖x1‖Eνp1,q1

(A)

). При q = ∞

‖x‖(Eνp0,q0

(A),Eνp1,q1

(A))

θ,∞= sup

0<t<∞t−θK(t, x; Eν

p0,q0(A), Eν

p1,q1(A)).

Теорема 1.. Нехай 1 < p0, p1 < ∞, p0 6= p1, 1 ≤ q, q0, q1 ≤ ∞, 0 < θ < 1. Тодi справедливарiвнiсть

(Eνp0,q0

(A), Eνp1,q1

(A))

θ,q= Eν

p,q(A), де1

p=

1− θ

p0

+θ

p1

. (1)

Доведення. Розглянемо наступнi банаховi простори Eν1 (A) ≡

x ∈ D(A∞) : ‖x‖Eν

1 (A) =∞∑

k=0

‖xk‖ < ∞

, Eν∞(A) ≡

x ∈ D(A∞) : ‖x‖Eν∞(A) = sup

k‖xk‖ < ∞

i покажемо, що

виконується рiвнiсть

(Eν1 (A), Eν

∞(A))

θ,q= Eν

1/(1−θ),q(A). (2)

10 Дмитришин М.I., Лопушанський О.В.

При 0 < t ≤ 1 маємо K(t, x; Eν1 (A), Eν

∞(A)) = t‖x∗0‖. Нехай x = x0 + x1, x0 ∈ Eν1 (A),

x1 ∈ Eν∞(A). Використовуючи оцiнку

j−1∑

k=1

‖x∗k‖ ≤ ‖x0‖Eν1 (A) + j ‖x1‖Eν∞(A) i розклад

x0∗s = x∗s −

x∗s‖x∗s‖

‖x∗j−1‖ для s = 0, . . . , j − 1,

x0∗s = 0 для s ≥ j,

отримуємо K(j, x; Eν1 (A), Eν

∞(A)) =

j−1∑

k=1

‖x∗k‖, j = 1, 2, . . . . Отже, при q < ∞

‖x‖q(Eν1 (A),Eν∞(A)

)θ,q

∼∞∑

j=1

j−θq−1( j−1∑

k=1

‖x∗k‖)q

≥∞∑

j=1

j(1−θ)q−1‖x∗j−1‖q.

Використовуючи нерiвнiсть Гельдера, при1

q+

1

q′= 1 i 0 < ε < θ знаходимо

∞∑j=1

j−θq−1( j−1∑

k=1

‖x∗k‖)q

≤∞∑

j=1

jθq−1

j∑

k=1

k(1−θ)q−1+εq‖x∗k−1‖q ×

( j∑

k=1

kθq′−1−εq

′)q/q′

≤ c

∞∑

k=1

k(1−θ)q−1‖x∗k−1‖q.

При q = ∞ маємо ‖x‖(Eν1 (A),Eν∞(A)

)θ,∞

∼ supj

j−θ

j−1∑

k=0

‖x∗k‖ ∼ supj

j1−θ‖x∗j−1‖ i рiвнiсть (2)

встановлено.Нехай 1 ≤ q ≤ q ≤ ∞ i 0 < θ < 1. Тодi справедливi вкладення

(Eν1 (A), Eν

∞(A))

θ,q⊂ (Eν

1 (A), Eν∞(A)

)θ,q

. (3)

Дiйсно, при 1 ≤ q ≤ q < ∞

‖x‖(Eν1 (A),Eν∞(A)

)θ,q

≤(∫ ∞

0

(t−θK(t, x; Eν

1 (A), Eν∞(A))q dt

t

)1/q

×(

supt>0

t−θK(t, x; Eν1 (A), Eν

∞(A))

)(1−q/q)

≤ c ‖x‖(Eν1 (A),Eν∞(A)

)θ,q

,

звiдки отримуємо (3). Вкладення(Eν

1 (A), Eν∞(A)

)θ,q⊂ (Eν

1 (A), Eν∞(A)

)θ,∞ випливає з не-

рiвностi K(t, x; Eν1 (A), Eν

∞(A)) ≤ c tθ‖x‖(Eν1 (A),Eν∞(A)

)θ,q

.

Застосовуючи теорему про реiтерацiю [6, теор. 3.11.5], в силу рiвностi (2), маємо(Eν

p0,q0(A), Eν

p1,q1(A)

)θ,q

=(Eν

1 (A), Eν∞(A)

)λ,q

= Eν1/(1−λ),q(A), (4)

де p0 = 1/(1− θ0), p1 = 1/(1− θ1), λ = (1− θ)θ0 + θθ1, 0 ≤ θ0 < θ1 ≤ 1. При p = 1/(1− λ)

iз рiвностi (4) отримуємо (1). 2


Наслiдок 1.1.. В умовах теореми 1 iснують такi додатнi числа c1 = c1(θ, q) i c2 = c2(θ, q),

що виконуються нерiвностi

K(t, x; Eνp0,q0

(A), Eνp1,q1

(A)) ≤ c1tθ‖x‖Eν

p,q(A), x ∈ Eνp,q(A), (5)

‖x‖Eνp,q(A) ≤ c2‖x‖1−θ

Eνp0,q0

(A)‖x‖θEν

p1,q1(A), x ∈ Eν

p0,q0(A)

⋂Eν

p1,q1(A). (6)

При 1 ≤ q ≤ q ≤ ∞ справедливi вкладення

Eνp,q(A) ⊂ Eν

p,q(A). (7)

Крiм цього, якщо Eνp0,q0

(A) ⊂ Eνp1,q1

(A) i 0 < θ0 < θ1 < 1, то(Eν

p0,q0(A), Eν

p1,q1(A)

)θ0,q

⊂ (Eνp0,q0

(A), Eνp1,q1

(A))

θ1,q. (8)

Доведення. Нерiвностi (5) i (6) випливають iз (1) та [6, теор. 3.11.2]. Вкладення (7)отримуємо з (3).

Iз нерiвностi K(t, x; Eνp0,q0

(A), Eνp1,q1

(A)) ≤ t ‖x‖Eνp1,q1

(A)), x ∈ Eνp1,q1

(A), маємо

‖x‖(Eνp0,q0

(A),Eνp1,q1

(A))

θ1,1

=

∫ 1

0

t−θ1K(t, x; Eνp0,q0

(A), Eνp1,q1

(A))dt

t+

∫ ∞

1


(A), Eνp1,q1

(A))dt

t≤ c ‖x‖Eν

p1,q1(A) +

supt>0


(A), Eνp1,q1

(A))

∫ ∞

1

z−(θ1−θ0)dz

z≤

c1 ‖x‖(Eνp0,q0

(A),Eνp1,q1

(A))

θ0,∞,

звiдки випливає вкладення(Eν

p0,q0(A), Eν

p1,q1(A)

)θ0,∞ ⊂ (Eν

p0,q0(A), Eν

p1,q1(A)

)θ1,1

. Звiдси i з(7) отримуємо (8). 2

Вiдзначимо, що простори Eνp,q(A) банаховi, оскiльки є iнтерполяцiйними просторами.

Iз (1) також випливає, що ‖x‖Eνp,q(A) — квазiнорма, однак, взагалi кажучи, не норма.

2 Апроксимацiйнi простори

Нехай 0 < ν, α < ∞, 1 < p < ∞, 1 ≤ q ≤ ∞, 0 < τ ≤ ∞. Визначимо апроксимацiйнiпростори вигляду

Eν,αp,q,τ (A) ≡

x ∈ X : ‖x‖Eν,α

p,q,τ (A) =( ∫ ∞

0

tατE(t, x)τ dt

t

)1/τ

< ∞

,

Eν,αp,q,∞(A) ≡

x ∈ X : ‖x‖Eν,α

p,q,∞(A) = supt>0

tαE(t, x) < ∞

,

де E(t, x) = inf‖x0‖Eν

p,q(A)≤t‖x− x0‖, x0 ∈ Eν

p,q(A), 0 < t < ∞.

Для 0 < r ≤ ∞, 0 < θ < 1 розглянемо iнтерполяцiйний простiр(Eν

p,q(A),X)

θ,rз

нормою

‖x‖(Eνp,q(A),X

)θ,r

=( ∫ ∞

0

[t−θK(t, x; Eν

p,q(A),X)]r dt

t

)1/r

,


де K(t, x; Eνp,q(A),X) = inf

x=x0+x1

(‖x0‖Eνp,q(A) + t‖x1‖

). При r = ∞

‖x‖(Eνp,q(A),X

)θ,∞

= sup0<t<∞

t−θK(t, x; Eνp,q(A), X).

Нехай[Eν,α

p,q,τ (A)]θ

, 0 < θ < 1 — простiр Eν,αp,q,τ (A) з квазiнормою ‖x‖θ

Eν,αp,q,τ (A)

. Згiдно з[6, теор. 7.1.7] при θ = 1/(α + 1) i τ = θr справедлива рiвнiсть

[Eν,αp,q,τ (A)

]θ=

(Eνp,q(A),X

)θ,r

. (9)

Таким чином, Eν,αp,q,τ (A) можна розглядати як iнтерполяцiйний простiр мiж Eν

p,q(A) i X.

Теорема 2.. Iснують такi додатнi числа c1 = c1(θ, τ), c2 = c2(θ, τ), що виконуютьсянерiвностi

E(t, x) ≤ c1t−α‖x‖Eν,α

p,q,τ (A), x ∈ Eν,αp,q,τ (A), (10)

‖x‖Eν,αp,q,τ (A) ≤ c2‖x‖α

Eνp,q(A)‖x‖, x ∈ Eν

p,q(A). (11)

Доведення. Згiдно з [6, теор. 3.11.4(b)], для деякого додатного числа c маємо

‖x‖(Eνp,q(A),X

)θ,r

≤ c ‖x‖1−θEν

p,q(A)‖x‖θ, x ∈ Eνp,q(A).

Звiдси i з рiвностi (9) при α = (1 − θ)/θ випливає iснування такої сталої c1 > 0, щовиконується нерiвнiсть (11).

Згiдно з [6, теор. 3.11.4(a)], для деякого числа c > 0 маємо K(t, x; Eνp,q(A),X) ≤

ctθ‖x‖(Eνp,q(A),X

)θ,r

, x ∈ (Eνp,q(A), X

)θ,r. З цiєї нерiвностi та (9) випливає iснування та-

кої сталої c0 > 0, що K(t, x; Eνp,q(A), X) ≤ c0t

θ‖x‖θEν,α

p,q,τ (A), x ∈ Eν,α

p,q,τ (A). ПокладемоK∞(t, x; Eν

p,q(A), X) = infx=x0+x1

max‖x0‖Eν

p,q(A), t‖x1‖. Оскiльки виконується нерiвнiсть

K∞(t, x; Eνp,q(A), X) ≤ K(t, x; Eν

p,q(A),X), то

K∞(t, x; Eνp,q(A), X) ≤ c0t

θ‖x‖θEν,α

p,q,τ (A), x ∈ Eν,αp,q,τ (A). (12)

Згiдно з [6, лема 7.1.2], для кожного t > 0 iснує таке s > 0, що K∞(t, x; Eνp,q(A), X) = s

i E(s + 0, x) ≤ s/t. Звiдси та з нерiвностi (12) маємо s1−θEθ(s, x) ≤ c1/θ0 ‖x‖θ

Eν,αp,q,τ (A)

, x ∈Eν,α

p,q,τ (A).При α = (1− θ)/θ отримуємо

sαE(s, x) ≤ c1/θ0 ‖x‖Eν,α

p,q,τ (A), x ∈ Eν,αp,q,τ (A).

Поклавши c1 = c1/θ0 , приходимо до (10). 2

Iз результатiв [7] випливає, що у випадку оператора A з точковим спектром приµk ≡ 1 нерiвнiсть (10) дає оцiнку вiдстанi вiд вектора x ∈ X до пiдпростору Eν

p,q(A),

елементами якого є кореневi вектори оператора A.

Нехай 0 < α0, α1 < ∞, 1 < p < ∞, 1 ≤ q ≤ ∞, 0 < τ, τ0, τ1 ≤ ∞. Визначимоiнтерполяцiйний простiр

(Eν,α0p,q,τ0

(A), Eν,α1p,q,τ1

(A))

θ,τз нормою

‖x‖(Eν,α0p,q,τ0

(A),Eν,α1p,q,τ1

(A))

θ,τ

=( ∫ ∞

0

[t−θK(t, x; Eν,α0

p,q,τ0(A), Eν,α1

p,q,τ1(A))

]τ dt

t

)1/τ

,

K(t, x; Eν,α0p,q,τ0

(A), Eν,α1p,q,τ1

(A)) = infx=x0+x1

(‖x0‖Eν,α0p,q,τ0

(A) + t‖x1‖Eν,α1p,q,τ1

(A)

).


Теорема 3.. При α = (1− θ)α0 + θα1 i α0 6= α1 виконується рiвнiсть(Eν,α0

p,q,τ0(A), Eν,α1

p,q,τ1(A)

)θ,τ

= Eν,αp,q,τ (A). (13)

Доведення. Згiдно з теоремою про реiтерацiю при θ = (1− λ)θ0 + λθ1, θ0 = 1/(α0 + 1),

θ1 = 1/(α1 + 1) i τ = θr маємо([Eν,α0

p,q,τ0(A)

]θ0 ,[Eν,α1

p,q,τ1(A)

]θ1)

λ,r=

[Eν,αp,q,τ (A)

]θ. (14)

Застосовуючи теорему про степенi [6, теор. 3.11.6], отримуємо([Eν,α0

p,q,τ0(A)

]θ0 ,[Eν,α1

p,q,τ1(A)

]θ1)

λ,r=

(Eν,α0

p,q,τ0(A), Eν,α1

p,q,τ1(A)

)θ

ρ,τ, (15)

де ρ = λθ1/θ. З рiвностей (14) i (15) при α = (1− ρ)α0 + ρα1 маємо(Eν,α0

p,q,τ0(A), Eν,α1

p,q,τ1(A)

)ρ,τ

= Eν,αp,q,τ (A),

звiдки приходимо до (13). 2

Наслiдок 2.1.. Нехай 0 < θ < 1 i α = (1− θ)α0 + θα1 при α0 6= α1. Iснують такi додатнiчисла c1 = c1(θ, τ) i c2 = c2(θ, τ), що виконуються нерiвностi

K(t, x; Eν,α0p,q,τ0

(A), Eν,α1p,q,τ1

(A)) ≤ c1tθ‖x‖Eν,α

p,q,τ (A), x ∈ Eν,αp,q,τ (A), (16)

‖x‖Eν,αp,q,τ (A) ≤ c2‖x‖1−θ

Eν,α0p,q,τ0

(A)‖x‖θ

Eν,α1p,q,τ1

(A), x ∈ Eν,α0

p,q,τ0(A) ∩ Eν,α1

p,q,τ1(A). (17)

При 0 < τ ≤ τ ≤ ∞ справедливi вкладення

Eν,αp,q,τ (A) ⊂ Eν,α

p,q,τ (A). (18)

Крiм цього, якщо Eν,α0p,q,τ0

(A) ⊂ Eν,α1p,q,τ1

(A) i 0 < θ0 < θ1 < 1, то(Eν,α0

p,q,τ0(A), Eν,α1

p,q,τ1(A)

)θ0,τ

⊂ (Eν,α0p,q,τ0

(A), Eν,α1p,q,τ1

(A))

θ1,τ. (19)

Доведення. Нерiвностi (16) i (17) випливають iз (13) та [6, теор. 3.11.2]. При 0 < τ ≤τ < ∞

‖x‖(Eν,α0p,q,τ0

(A),Eν,α1p,q,τ1

(A))

θ,τ

≤(∫ ∞

0

(t−θK(t, x; Eν,α0

p,q,τ0(A), Eν,α1

p,q,τ1(A))τ dt

t

)1/τ

×(

supt>0

t−θK(t, x; Eν,α0p,q,τ0

(A), Eν,α1p,q,τ1

(A))

)(1−τ/τ)

≤ c ‖x‖(Eν,α0p,q,τ0

(A),Eν,α1p,q,τ1

(A))

θ,τ

,

звiдки отримуємо (18). Iз нерiвностi (16) безпосередньо випливає вкладення(Eν,α0

p,q,τ0(A), Eν,α1

p,q,τ1(A)

)θ,τ⊂ (Eν,α0

p,q,τ0(A), Eν,α1

p,q,τ1(A)

)θ,∞.

Вкладення (19) можна показати подiбно до (8). 2


Лiтература

1. Горбачук М.Л., Горбачук В.I. Про наближення гладких векторiв замкненого оператора цiлимивекторами експоненцiального типу // Укр. мат. журн. — 1995. — Т. 47, 5. — С. 616–628.

2. Горбачук В.И., Горбачук М.Л. Операторный подход к вопросам аппроксимации // Алгебра и анализ.— 1997. — Т.9, 6. — С. 90–108.

3. Дмитришин М.I., Лопушанський О.В. Абстрактнi простори Бєсова, асоцiйованi iз замкненимиоператорами в банахових просторах. // Доп. НАН України. — 2007. — 12. — С. 16–22.

4. Лопушанський О.В. Операторне числення на ультрагладких векторах. // Укр. мат. журн. — 1992.— Т. 44, 4. — C. 502-513.

5. Радыно Я.В. Пространство векторов экспоненциального типа. // Докл. АН БССР. — 1983. — Т.27, 9. — С. 791–793.

6. Bergh J., Lofstrom J. Interpolation spaces. An introduction, Springer, Berlin, 1976, 247 p.

7. Lopushansky O., Dmytryshyn M.Operator calculus on the exponential type vectors of the operator withpoint spectrum, Chapter 12 in book "General Topology in Banach Spaces". Nova Sci. Publ., Huntington,New York, 2001, P. 137–145.

8. Lopushansky O., Dmytryshyn M. Interpolated subspaces of exponential vectors of the unbounded operatorsin Banach spaces , Demonstratio Mathematica, 37, 1 (2004), 149–158.

9. Triebel H. Interpolation theory. Function spaces. Differential operators, Springer, Berlin, 1995, 664 p.

Прикарпатський нацiональний унiверситет iм. В.Стефаника,

Iвано-Франкiвськ, Україна.

Iнститут математики Жешiвського унiверситету,

Жешiв, Польща.

Надiйшло 3.11.2008

Dmytryshyn M.I., Lopushansky O.V. Lorentz type spaces of ultrasmooth vectors of closed op-erators, Carpathian Mathematical Publications, 1, 1 (2009), 8–14.

Lorentz type spaces of ultrasmooth vectors of closed operators in Banach spaces are defined.Interpolation properties of such spaces are established and their application to the decision ofproblem of approaching of elements of Banach space is shown different classes of smooth vectorsof the closed operator.

Дмитришин М.И., Лопушанский O.B. Пространства типа Лоренца ультрагладких ве-кторов замкнутых операторов // Карпатские математические публикации. — 2009. —Т.1, 1. — C. 8–14.

Определены пространства типа Лоренца ультрагладких векторов замкнутых опера-торов в банаховых пространствах. Установлены интерполяционные свойства таких про-странств и показано их применение к решению проблемы приближения элементов бана-хова пространства разными классами гладких векторов замкнутого оператора.



УДК 517.98

Загороднюк А.В.

АЛГЕБРИ АНАЛIТИЧНИХ ФУНКЦIЙ НА БАНАХОВИХ ПРОСТОРАХ

Загороднюк А.В. Алгебри аналiтичних функцiй на банахових просторах // Карпатськiматематичнi публiкацiї. — 2009. — Т.1, 1. — C. 15–34.

В роботi зроблено огляд основних результатiв про структуру множини максимальнихiдеалiв алгебри цiлих аналiтичних функцiй обмеженого типу на банаховому просторi тадоведено деякi новi результати в цьому напрямку. Отримано також застосування до iн-терполяцiї в алгебрах аналiтичних функцiй на одиничнiй кулi банахового простору.

Вступ

Дослiдження алгебр аналiтичних функцiй на пiдмножинах банахового простору,зокрема рiвномiрних алгебр, є важливим напрямком сучасної теорiї аналiтичних функ-цiй на банахових просторах. Оскiльки кожна рiвномiрна алгебра є пiдалгеброю алгебринеперервних функцiй на множинi максимальних iдеалiв (характерiв), то визначальнимив цих дослiдженнях є проблема опису множини максимальних iдеалiв та опису аналi-тичних структур (структур аналiтичного многовиду) на цiй множинi. Зауважимо, щоу нескiнченновимiрному банаховому просторi iснує дуже багато рiзних цiкавих алгебраналiтичних функцiй. В останнi роки зрiс iнтерес до алгебри Hb = Hb(X) цiлих аналi-тичних функцiй обмеженого типу на банаховому просторi X, введених у [17], алгебриH∞(B) обмежених аналiтичних функцiй на одиничнiй кулi банахового простору, алгеб-ри H∞

uc(B) аналiтичних рiвномiрно неперервних функцiй на одиничнiй кулi банаховогопростору. Крiм того, вивчаються “слабкi” аналоги цих алгебр. Дослiдження у цьомунапрямку були започаткованi в роботах Р. Арона, Б. Коула, Т. Корна та Т. Гамелiна[6], [2], [3]. Далi ця тема набула розвитку в [4], [12], [13], [14], [21]. При цьому повнийопис множини максимальних iдеалiв алгебр Hb i H∞

uc(B) було отримано лише для дужевузького класу просторiв.

У роботах автора [24], [25] запропоновано новий пiдхiд до вивчення цiєї проблеми,який дозволяє отримати явний опис множини характерiв вказаних алгебр у виглядiпослiдовностi елементiв з деяких пiдпросторiв тензорних степеней вихiдного простору.В данiй роботi уточнено результати [24] i знайдено новi застосування цих результатiв утеорiї аналiтичних вiдображень на банахових просторах.

2000 Mathematics Subject Classification: 46J15, 46J20, 46E15.

c© Загороднюк А.В., 2009

16 Загороднюк А.В.

Стаття мiстить широкий огляд з даної тематики та всi необхiднi попереднi вiдомостi.Детальнiшу iнформацiю про аналiтичнi функцiї на банахових просторах можна знайтив монографiях [8], [9], [20].

1 Попереднi вiдомостi

Лiнiйний пiдпростiр J комутативної комплексної банахової алгебри X з одиницею1 називається iдеалом, якщо ayb ∈ J для довiльних a, b ∈ X i y ∈ J. Власний iдеалназивається максимальним, якщо вiн не мiститься строго в iншому власному iдеалi.Гомоморфiзм з банахової алгебри X в поле C називається характером (мультиплiкати-вним функцiоналом). Надалi ми будемо вживати термiни “характер”, “мультиплiкатив-ний функцiонал”, “комплексний гомоморфiзм” як синонiми. Вiдомо, що довiльний ха-рактер на банаховiй алгебрi є неперервним i його норма дорiвнює одиницi. Ядро кож-ного ненульового характера є максимальним iдеалом. Якщо X — комутативна алгебра,то вiрно навпаки: кожен максимальний iдеал є ядром деякого характера. Для комута-тивних банахових алгебр прийнято ототожнювати множину характерiв i множину мак-симальних iдеалiв. Цю множину позначають M(X) i називають спектром алгебри X.

Пiдмножина

R = a ∈ X : 1 + xa є оборотнiм елементом для довiльного x ∈ Xназивається радикалом Джекобсона алгебри X. Банахова алгебра X називається напiв-простою, якщо R = 0. Для комутативних алгебр це рiвносильно тому, що комплекснiгомоморфiзми роздiляють точки на X. Вiдомо, що якщо X — напiвпроста комутативнабанахова алгебра, то кожному елементу x ∈ X вiдповiдає функцiя x на M(X), визначенаформулою x(ϕ) := ϕ(x), де ϕ — довiльний характер з X. Вiдображення x 7→ x називаютьперетворенням Гельфанда. Найслабша топологiя на M(X), в якiй всi функцiї x, x ∈ X

є неперервними, називається топологiєю Гельфанда. Вiдомо, що для банахової алгебриM(X) є компактним гаусдорфовим простором в топологiї Гельфанда. Таким чином,кожна напiвпроста комутативна банахова алгебра вкладається як пiдалгебра в алгебрувсiх неперервних функцiй на деякому компактi (який збiгається з M(X)). Це вкладенняздiйснюється перетворенням Гельфанда. Напiвпроста комутативна алгебра називаєтьсярiвномiрною, якщо перетворення Гельфанда є iзометрiєю. Детальнiшу iнформацiю пробанаховi алгебри можна знайти в книжках [23], [11], [19].

Ми будемо казати, що Z — алгебра Фреше, якщо Z — простiр Фреше (локально-опуклий метризовний простiр) i напiвнорми на Z, якi породжують локально опуклутопологiю на Z, можна вибрати мультиплiкативно опуклими. Iншими словами, тополо-гiя на Z задається деякою злiченною системою напiвнорм qj таких, що

qj(xy) ≤ qj(x)qj(y),

для довiльних x, y ∈ Z, j = 1, . . . ,∞.

Нехай X i Y — банаховi простори над полем K комплексних C або дiйсних R чисел.Для натуральних n, m ∈ N, будемо позначати XnY m — декартовий добуток n-тогодекартового степеня простору X iз m-тим декартовим степенем простору Y.

Алгебри аналiтичних функцiй на банахових просторах 17

Використовуючи позначення з монографiї Нахбiна [22], якi тепер є загальноприйня-тими, для довiльного n ∈ N ми позначимо L(nX,Y ) простiр всiх неперервних n-лiнiйнихвiдображень з X в Y. Нехай ∆n є природним вкладенням, яке називається дiагональнимвiдображенням з X в Xn, визначеним наступним чином:

∆n : X → Xn

x 7→ (x, . . . , x).

Вiдображення P з X в Y називається неперервним n-однорiдним полiномом, якщоP (x) = B(∆n(x)) для деякого B ∈ L(nX, Y ). Ми будемо позначати P(nX,Y ) — лiнiйнийпростiр всiх неперервних n-однорiдних полiномiв з X в Y. n-лiнiйне вiдображення B

називається симетричним, якщо B(x1, . . . , xn) = B(xσ(1), . . . , xσ(n)) для довiльної пiд-становки σ на множинi 1, . . . , n. Простiр усiх симетричних n-лiнiйних неперервнихвiдображень позначається Ls(

nX,Y ).

Твердження 1.1. ([8]). Простори L(nX, Y ) i Ls(nX,Y ) є банаховими просторами вiд-

носно рiвномiрної норми на одиничнiй кулi Xn.

Теорема 1. ([8]). Вiдображення

Ls(nX, Y ) → P(nX,Y )

B 7→ B ∆n

є iзоморфiзмом мiж банаховим простором Ls(nX, Y ) i простором n-однорiдних полiно-

мiв P(nX,Y ) з топологiєю рiвномiрної збiжностi на одиничнiй кулi простору X. Прицьому

‖B ∆n‖ ≤ ‖B‖ ≤ c(n, X)‖B ∆n‖, (1)

де c(n,X) — поляризацiйна константа, 1 ≤ c(n,X) ≤ nn

n!.

Основним iнструментом при доведеннi цiєї теореми є поляризацiйна формула

B(x1, . . . , xn) =1

2nn!

∑εi=±1

ε1 . . . εnB ∆n

(n∑

j=1

εjxj

). (2)

Наслiдок 1.1. Простiр P(nX, Y ) є банаховим простором i для довiльного полiномаP ∈ P(nX,Y ) iснує єдине n-лiнiйне симетричне вiдображення AP ∈ L(nX,Y ), яке нази-вається асоцiйованим з P n-лiнiйним вiдображенням, таке, що P = AP ∆n.

Позначимо X(n) простiр формальних сум∑

i λi(x1, . . . , xn), де λi ∈ K. Нехай I —пiдпростiр в X(n), породжений елементами вигляду

(x1, . . . , xk + x′k, . . . , xn)− (x1, . . . , xk, . . . , xn)− (x1, . . . , x′k, . . . , xn), (3)

(x1, . . . , λxk, . . . , xn)− λ(x1, . . . , xk, . . . , xn), 1 ≤ k ≤ n.


Нагадаймо, що n-тий тензорний степiнь ⊗nX простору X визначається як X(n)/I. Прицьому x1 ⊗ · · · ⊗ xn := (x1, . . . , xn) + I. Позначимо in — n-лiнiйне вiдображення з Xn в⊗nX таке, що in : (x1, . . . , xn) 7→ x1 ⊗ · · · ⊗ xn. Визначимо

i∗n(B)

(∑i

λixi1 ⊗ · · · ⊗ xin

):=

∑i

λiB(xi1, . . . , xin)

для довiльної n-лiнiйної форми B ∈ L(nX, Y ). Вiдображення i∗n є коректно визначенимi i∗n(B)(xi1 ⊗ · · · ⊗ xin) = B(xi1, . . . , xin).

Iснує багато способiв ввести топологiю на тензорному добутку. Нам необхiдно матитопологiї, породженi нормами на ⊗nX, вiдносно яких вiдображення in та i∗n є неперер-вними. Ми розглянемо норму, яка породжує найсильнiшу топологiю в класi локальноопуклих топологiй.

Позначимо X ⊗π X — поповнення X ⊗X за нормою

‖w‖π = inf

∑i1,...,in

‖xi1‖ . . . ‖xin‖ : w =∑

i1,...,in

xi1 ⊗ · · · ⊗ xin

.

Простiр X ⊗π X називається проективним тензорним добутком простору X на себе, апростiр ⊗n

πX := X ⊗π · · · ⊗π X︸︷︷︸n

— проективним тензорним степенем простору X.

Теорема 2. ([16]). Простiр L(nX, Y ) є iзометрично iзоморфним до простору лiнiйнихоператорiв L(⊗n

πX, Y ) з проективного тензорного добутку ⊗nπX в Y.

Симетричним тензорним степенем ⊗ns,πX простору X називається замкнений пiд-

простiр в ⊗nπX, породжений векторами

x1 ⊗s · · · ⊗s xn :=1

n!

∑σ∈Sn

xσ(1) ⊗ · · · ⊗ xσ(n),

де xi ∈ X i Sn є групою пiдстановок на множинi 1, . . . , n.

Твердження 1.2. Пiдпростiр ⊗ns,πX є доповнювальним в ⊗n

πX i вiдображення

νn(x1 ⊗ · · · ⊗ xn) = x1 ⊗s · · · ⊗s xn

є проектором.

Наслiдок 1.2. Простiр L(⊗ns,πX, Y ) — iзометрично iзоморфний до простору Ls(

nX,Y ).

Безпосередньою перевiркою можна показати, що з поляризацiйної формули i наслiд-ку 1.2 випливає наступне спiввiдношення:

x1 ⊗s · · · ⊗s xn =1

2nn!

∑εi=±1

ε1 . . . εn

(n∑

j=1

εjxj

)⊗ · · · ⊗

(n∑

j=1

εjxj

).


Отже, кожен вектор w ∈ ⊗ns,πX має зображення

w =∞∑i=1

x⊗ni =

∞∑i=1

xi ⊗ · · · ⊗ xi︸︷︷︸n

.

Покладемо

|||w||| := inf

∞∑i=1

‖xi‖n : w =∞∑i=1

⊗nxi

. (4)

Тодi для довiльної форми B ∈ Ls(nX, Y )

|||B||| = sup|||w|||=1

‖i∗n(B)(w)‖ = ‖B ∆n‖.

Отже, доведено наступну теорему.

Теорема 3. Iснує еквiвалентна норма ||| · ||| на ⊗ns,πX така, що простiр лiнiйних опера-

торiв L((⊗ns,πX, ||| · |||), Y ) є iзометричним до простору полiномiв P(nX, Y ) для кожного

банахового простору Y i

‖w‖ ≤ |||w||| ≤ c(n,X)‖w‖, 1 ≤ c(n,X) ≤ nn

n!. (5)

Вiдображення P : X → Y називається полiномом (полiномiальним вiдображенням)степеня n, якщо P = P0 + P1 + · · · + Pn, де P0 ∈ Y, Pk ∈ P(kX,Y ) i Pn 6= 0. Простiрусiх полiномiв з X в Y позначається P(X, Y ). Ми будемо позначати простори P(kX,C) iP(X,C) через P(kX) i P(X) вiдповiдно. Зауважимо, що P(X) є топологiчною алгеброюз топологiєю локально опуклої прямої суми. Ми будемо використовувати позначенняP(≤nX, Y ) i P(≤nX) для просторiв Y -значних i C-значних полiномiв степеня n вiдповiд-но, на X. Це — банаховi простори з нормою супремум на одиничнiй кулi. Легко бачити,що P(≤nX, Y ) iзоморфний прямiй сумi просторiв (⊗k

s,πX)′, 0 ≤ k ≤ n.

Полiном P називається полiномом скiнченного типу, якщо P є скiнченною сумоюскiнченних добуткiв лiнiйних неперервних функцiоналiв. Простiр n-однорiдних полiно-мiв скiнченного типу позначається Pf (

nX). Поповнення цього простору в рiвномiрнiйтопологiї позначається Pc(

nX) i називається простором n-однорiдних апроксимовнихполiномiв. Зауважимо, що простiр Pc(

nX) iзометричний простору ⊗ns,εX

′. Очевидно,що всi полiноми з Pf (

nX) (i тiльки вони [2]) є слабко неперервними. Крiм того, всiполiноми з Pc(

nX) є слабко неперервними на обмежених множинах. Навпаки вiрно,якщо X ′ має властивiсть апроксимацiї [5]. Для деяких просторiв, таких як c0, простiрнеперервних функцiй на розрiдженому компактi, простiр Цiрельсона, всi неперервнiполiноми є слабко неперервними на обмежених множинах.

Пiдмножина Ω банахового простору X називається скiнченно вiдкритою, якщо їїперетин з довiльним скiнченновимiрним афiнним пiдпростором є вiдкритою множиноюв цьому пiдпросторi.

Вiдображення f : Ω → Y називається G-аналiтичним (позначення f ∈ HG(Ω, Y )),якщо звуження f на E ∩ Ω є аналiтичним вiдображенням для довiльного скiнченнови-мiрного афiнного пiдпростору E (еквiвалентно, для довiльного одновимiрного афiнногопiдпростору E ∈ X).


Твердження 1.3. Нехай Ω — скiнченно вiдкрита пiдмножина в X i f ∈ HG(Ω, Y ),

a ∈ Ω.

1. Iснує єдина послiдовнiсть k-однорiдних полiномiв (не обов’язково неперервних)dk

af : X → Y таких, що

f(a + x) = f(a) +∞∑

k=1

1

k!dk

af(x)

для всiх x, що належать найбiльшiй радiальнiй пiдмножинi ω(a) множини Ω− a.

Ряд праворуч збiгається поточково.

2. Полiноми dkaf визначаються єдиним чином рiвнiстю

1

k!dk

af(x) =1

2π

π∫

−π

e−ikθf(a + eikθx)dθ, x ∈ ω(a).

Означення 1.1. G-аналiтичне вiдображення, визначене на вiдкритiй пiдмножинi Ω ⊂X iз значеннями в Y, називається аналiтичним (позначаємо f ∈ H(Ω, Y )), якщо воно єнеперервним.

Зауважимо, що коли f ∈ H(Ω, Y ) i a ∈ Ω, то dkaf є неперервнi k-однорiднi полiноми

на X, якi збiгаються з похiдними Фреше k-того порядку функцiї f в точцi a. Ряд

f(a + x) = f(a) +∞∑

k=1

1

k!dk

af(x)

є рядом Тейлора функцiї f в околi точки a.

Твердження 1.4. Нехай f — G-аналiтичне вiдображення, визначене на вiдкритiй пiд-множинi Ω. Наступнi твердження еквiвалентнi.

1. f є аналiтичним.

2. f є локально обмеженим.

3. f є неперервним в деякiй точцi множини Ω.

4. Полiноми dkaf є неперервними для кожного k.

Аналiтична функцiя f називається цiлою, якщо вона визначена на всьому просторiX.

Нехай f ∈ H(Ω, Y ), де Ω вiдкрита пiдмножина в X i x ∈ Ω. Радiус рiвномiрноїзбiжностi %x(f) функцiї f в точцi x визначається як супремум тих λ, λ ∈ C, що x+λB ⊂Ω i ряд Тейлора функцiї f в околi точки x збiгається до f рiвномiрно на множинi x+λB,

де B — одинична куля в X. Радiус обмеженостi f в точцi x визначається як супремумтих λ, λ ∈ C, що f є обмеженою функцiєю на множинi x + λB.


Теорема 4. Радiус рiвномiрної збiжностi функцiї f в точцi x збiгається з радiусомобмеженостi f в x i якщо f ∈ H(X, Y ), то

%0(f) :=(lim sup

n→∞‖fn‖1/n

)−1

,

де fn = dkxfn!

.

Позначимо Hb(X) — простiр цiлих функцiй обмеженого типу, який складається зцiлих функцiй на X, якi є обмеженими на обмежених множинах (тобто мають нескiнчен-ний радiус обмеженостi). Зауважимо, що в довiльному нескiнченновимiрному просторiX iснує комплекснозначна цiла функцiя f така, що %(f) < ∞ для кожного x ∈ X.

Простiр Hb(X) є алгеброю Фреше з топологiєю, породженою напiвнормами

‖f‖r = sup|f(x)| : x ∈ X, ‖x‖ < r,

де r > 0 — рацiональнi числа.Кожен функцiонал ϕ ∈ Hb(X)′ є неперервним вiдносно топологiї рiвномiрної збiж-

ностi на деякiй кулi в X. Радiус-функцiя R(ϕ) функцiонала ϕ визначена як iнфiмумвсiх r > 0 таких, що ϕ є неперервним в нормi рiвномiрної збiжностi на кулi rB.

Позначимо ϕn — звуження ϕ на пiдпростiр n-однорiдних полiномiв P(nX). Тодi ϕn

є неперервним лiнiйним функцiоналом на P(nX) i

‖ϕn‖ = supϕ(P ) : P ∈ P(nX), ‖P‖ ≤ 1.

Теорема 5. Радiус-функцiя R на Hb(X)′ задовольняє рiвнiсть

R(ϕ) = lim supn→∞

‖ϕn‖1/n.

Теорема 6. Нехай ϕn ∈ P(nX)′ для n ≥ 0, для норм функцiоналiв ϕn виконуєтьсянерiвнiсть

‖ϕn‖ ≤ csn

для деякого c, s > 0. Тодi iснує єдиний функцiонал ϕ ∈ Hb(X)′, звуження якого наP(nX) збiгається з ϕn, n ≥ 0.

Довiльне неперервне n-лiнiйне вiдображення B : X × · · · × X → C може бути про-довжене до неперервного, n-лiнiйного вiдображення B : X ′′× · · · ×X ′′ → C наступнимчином:

B(x′′1, . . . , x′′n) = lim

α1

. . . limαn

B(xα1 , . . . , xαn),

де для кожного k, 1 ≤ k ≤ n, (xαk) — це напрямленiсть в X, збiжна в ∗-слабкiй топологiї

до x′′k.Нехай P ∈ P(nX) i B є n-лiнiйним вiдображенням, асоцiйованим з P. Тодi про-

довження Арона-Бернера P полiнома P визначається формулою P := B(x, . . . , x) [1],[7].


Теорема 7. Нехай f ∈ Hb(X) i f =∑

fn розвинення у ряд Тейлора. Тодi iснує функцiяf ∈ Hb(X

′′) яка розвивається у ряд Тейлора f =∑

fn i fn є продовженням Арона-Бернера вiдповiдного полiнома fn. Крiм того, ‖f‖ = ‖f‖ i оператор f 7→ f є гомомор-фiзмом алгебр Фреше Hb(X) i Hb(X

′′).

Доведення вказаних результатiв з теорiї тензорних добуткiв, полiномiв i аналiтичнихвiдображень можна знайти в [8], [9], [2].

2 Полiноми на тензорних добутках

Нам потрiбно встановити деякi технiчнi результати стосовно полiномiв, визначенихна тензорному добутку банахового простору.

Твердження 2.1. Нехай P ∈ P(kmX) для деяких натуральних m i k. Тодi iснує єдинийполiном P(m) ∈ P(k⊗m

s,πX) такий, що P(m)(x⊗m) = P (x) i ‖P‖ ≤ ‖P(m)‖.

Доведення. Нехай AP — симетрична полiлiнiйна форма, асоцiйована з P. Розглянемозначення AP (xm

1 , . . . , xmk ) для деяких x1, . . . , xk ∈ X. Для довiльних фiксованих

x1, . . . , xj−1, xj+1, . . . , xk, 1 ≤ j ≤ k, AP (xm1 , . . . , xm

j , . . . , xmk )

є m-однорiдним полiномом вiд xj ∈ X i, отже, AP (xm1 , . . . , xm

j , . . . , xmk ) може бути подано

як значення деякого неперервного лiнiйного функцiонала на ⊗ms,πX в точцi x⊗m

j . Оскiль-ки це справджується для всiх 1 ≤ j ≤ k, iснує єдине симетричне неперервне полiлiнiйневiдображення AP(m)

: m(⊗ms,πX) → C таке, що AP(m)

(x⊗m1 , . . . , x⊗m

k ) = AP (xm1 , . . . , xm

k ).

Покладемо P(m)(x⊗m) := AP(m)

(x⊗m, . . . , x⊗m). Оскiльки ‖x⊗n‖ ≤ 1 при ‖x‖ ≤ 1, то‖P‖ ≤ ‖P(m)‖.

Зауважимо, що для довiльного P(m) ∈ P(k⊗ms,πX) ми можемо визначити єдиним

чином полiном P (x) = P(m)(x⊗m) з P(kmX). Отже вiдображення P 7→ P(m) є iзоморфiз-

мом банахових просторiв P(kmX) i P(k⊗ms,πX).

Наслiдок 2.1. Простори ⊗kms,πX i ⊗k

s,π

(⊗m

s,π X)є iзоморфними.

Доведення. Простори ⊗kms,πX i ⊗k

s,π

(⊗m

s,π X)мiстять щiльний пiдпростiр — алгебраїчний

симетричний тензорний степiнь простору X, ⊗kms X. З iзоморфностi просторiв P(kmX) i

P(k⊗ms,πX) випливає еквiвалентнiсть їх норм. Тому спряженi норми є еквiвалентними на

⊗kms X. Отже ⊗km

s,πX i ⊗ks,π

(⊗m

s,πX)є поповненнями простору ⊗km

s X вiдносно еквiвалент-них норм. Тому цi простори iзоморфнi.

Нехай w — деякий елемент з ⊗kms,πX. Ми будемо ототожнювати w з його образом в

⊗ks,π

(⊗m

s,π X)при природному iзоморфiзмi. Розглянемо наступнi норми для w. Нехай

‖w‖ буде проективна тензорна норма в ⊗kms,πX. Тобто

‖w‖ = inf ∑

j1,...,jn

‖xj1‖ · · · ‖xjn‖ : w =∑

j1,...,jn

xj1 ⊗s · · · ⊗s xjn

,


де n = km. Згiдно з (4), ми можемо визначити

|||w||| := inf ∞∑

j=1

‖xj‖km : w =∞∑

j=1

x⊗kmj

.

Покладемо, також,

‖w‖(m) := inf ∑

j1,...,jm

∥∥∥∞∑i=1

xij1 ⊗ · · · ⊗ xijm

∥∥∥k

:

w =∑

j1,...,jm

( ∞∑i=1

xij1 ⊗ · · · ⊗ xijm

)⊗k,

|||w|||(m) := inf ∞∑

j=1

∥∥∥∞∑i=1

x⊗mij

∥∥∥k

: w =∞∑

j=1

( ∞∑i=1

x⊗mij

)⊗k

i нарештi,

‖w‖(k)(m) := inf∑

j1,...,jm

( ∑i1,...,ik

‖xi1j1‖ · · · ‖xi1jm‖)· · ·

( ∑i1,...,ik

‖xikj1‖ · · · ‖xikjm‖),

де iнфiмум береться по всiх зображеннях

w =∑

j1,...,jm

( ∑i1,...,ik

xi1j1 ⊗s · · · ⊗s xi1jm

)⊗s · · · ⊗s

( ∑i1,...,ik

xikj1 ⊗s · · · ⊗s xikjm

). (6)

Зауважимо, що зображення

w =∞∑

j=1

( ∞∑i=1

x⊗mij

)⊗k

є частковим випадком зображення

w =∑

j1,...,jm

( ∞∑i=1

xij1 ⊗ · · · ⊗ xijm

)⊗k

. (7)

Тому ‖w‖(m) ≤ |||w|||(m). Нехай

uj =∞∑i=1

xij1 ⊗ · · · ⊗ xijm . (8)

З поляризацiйної нерiвностi (5) маємо

‖uj‖ = inf∞∑i=1

‖xij1‖ · · · ‖xijm‖ ≥1

c(m,X)|||uj|||,

де iнфiмум береться по всiх зображеннях (8). Порiвнюючи формули (7) i (8), ми бачимо,що ‖w‖(m) ≥ 1/[c(m,X)]k|||w|||(m) або

‖w‖(m) ≤ |||w|||(m) ≤ [c(m,X)]k‖w‖(m). (9)


Зауважимо, також, що зображення

w =∑

j1,...,jm

( ∞∑i=1

xij1 ⊗ · · · ⊗ xijm

)⊗k

(10)

є частковим випадком зображення (6). Тому

‖w‖(k)(m) ≤ ‖w‖(m) ≤ c(k,⊗ms,π)‖w‖(k)(m). (11)

З iншого боку, зображення (6) є частковим випадком зображення

w =∑

j1,...,jn

xj1 ⊗s · · · ⊗s xjn .

Отже,‖w‖ ≤ ‖w‖(k)(m) ≤ sk,m‖w‖ (12)

для деякої константи sk,m.

Порiвнюючи формули (9),(11),(12) i беручи до уваги, що

‖w‖ ≤ |||w||| ≤ c(km, X)‖w‖

маємо наступнi нерiвностi:

|||w||| ≤ c(km, X)|||w|||(m).

З твердження 2.1 випливає, що |||w|||(m) ≤ |||w|||. Таким чином ми довели наступнутеорему.

Теорема 8. Нехай w ∈ ⊗kms,πXi P ∈ P(kmX). Тодi

|||w|||(m) ≤ |||w||| ≤ c(km, X)|||w|||(m)

i‖P‖ ≤ ‖P(m)‖ ≤ c(km,X)‖P‖.

Нехай тепер n = k1 + 2k2 + · · · + mkm для деяких k1, . . . , km i P — n-однорiднийполiном. Означимо вiдображення BP

k1,...,kmна декартовому добутку

X ×⊗2s,πX × · · · × ⊗m

s,πX

так, що BPk1,...,km

(x1, x⊗22 , . . . , x⊗j

j , . . . , x⊗mm ) є kj-однорiдним полiномом вiд x⊗j

j для фiксо-ваних x1, . . . , xj−1, xj+1, . . . , xm для кожного 1 ≤ j ≤ m i

BPk1,...,km

(x, x⊗2, . . . , x⊗m) = P (x). (13)

Як у твердженнi 2.1, вiдображення BPk1,...,km

коректно визначене i

‖BPk1,...,km

‖ ≥ ‖P‖.


Нехай w ∈ ⊗ns,πX. Тодi за теоремою 8,

‖w‖k1,...,km := inf( ∑∞

i1=1 ‖xi1‖)k1

( ∑∞i2=1 ‖xi2‖2

)k2 · · ·( ∑∞

im=1 ‖xim‖m)km

≤ c(k1, X)c(2k2, X) · · · c(mkm, X)‖w‖,

де iнфiмум береться по всiх зображеннях

w =( ∞∑

i1=1

xi1

)⊗k1( ∞∑

i2=1

x⊗2i2

)⊗k2 · · ·( ∞∑

im=1

x⊗mim

)⊗km

.

Таким чином, ми довели наступний наслiдок.

Наслiдок 2.2. Нехай P ∈ P(nX) i k1 + · · ·+ km = m. Тодi

‖P‖ ≤ ‖BPk1,...,km

‖ ≤ c(k1, X)c(2k2, X) · · · c(mkm, X)‖P‖.

3 Структура множини максимальних iдеалiв алгебри Hb(X)

Позначимо An(X) замикання в рiвномiрнiй топологiї на обмежених множинах алгеб-ри, породженої полiномами з P(≤nX). Очевидно, що A1(X) ∩ P(nX) = Pc(

nX).

Нагадаймо, що радiус-функцiя R(ϕ) функцiонала ϕ ∈ Hb(X)′ визначена як iнфiмумвсiх r > 0 таких, що ϕ є неперервним в нормi рiвномiрної збiжностi на кулi з центромв нулi i радiуса r. Згiдно з [2], радiус-функцiю можна обчислити за формулою


‖ϕn‖1/n,

де ϕn = πn(ϕ) — звуження ϕ на простiр n-однорiдних полiномiв. Ми будемо використо-вувати позначення Mb для множини характерiв (якi завжди можна утотожнити iз за-мкненими максимальними iдеалами) алгебри Hb(X)

Лема 3.1. ([24]) Нехай ϕ ∈ Hb(X)′. Припустимо, що для деякого фiксованого m > 0,

ϕ(P ) = 0 для кожного P ∈ P(mX) ∩ Am−1(X) i ϕm 6= 0. Тодi iснує функцiонал ψ ∈ Mb

такий, що ψk = 0 для k < m i ψm = ϕm. Крiм цього для радiус-функцiї виконуєтьсярiвнiсть R(ψ) = ‖ϕm‖1/m.

Для довiльного фiксованого елемента x ∈ X, оператор зсуву τx визначається наHb(X) рiвнiстю

(τxf)(y) = f(y + x), f ∈ Hb(X).

Вiдомо, що τxf ∈ Hb(X) i для довiльного фiксованого функцiонала ϕ ∈ Hb(X)′ функцiя

x −→ ϕ(τxf), x ∈ X,

належить Hb(X) (див. [2]).Для довiльних ϕ, θ ∈ Hb(X)′ операцiя згортки ϕ ∗ θ в Hb(X) визначається рiвнiстю

(ϕ ∗ θ)(f) = ϕ(θ(τxf)), f ∈ Hb(X).


Нехай ϕ, θ ∈ Mb. Згiдно з [2], iснує напрямленiсть (xα), (yβ) ⊂ X така, що

ϕ(P ) = limα

P (xα), θ(P ) = limβ

P (yβ)

для кожного полiнома P. Iншими словами, xα → ϕ i yβ → θ в слабко полiномiальнiйтопологiї. Таким чином, у цьому випадку ми можемо записати:

(ϕ ∗ θ)(P ) = limβ

limα

P (xα + yβ)

для кожного полiнома P. Зауважимо, що Mb є напiвгрупою вiдносно операцiї згортки.Позначимо для скорочення ϕ1 ∗ · · · ∗ ϕn через

n+×

k=1ϕk.

Нехай Ik — мiнiмальний замкнений iдеал в Hb(X), породжений всiма m-однорiднимиполiномами, 0 < m ≤ k. Очевидно, що Ik є власним iдеалом (не мiстить одиницi) i томумiститься в деякому максимальному замкненому iдеалi (див. [20]). Позначимо

Φk := ϕ ∈ Mb : ker ϕ ⊃ Ik.

При цьому будемо вважати, що Φ0 := Mb. Функцiонал δ(0), що є значенням в нулi,належить Φk для кожного k.

Наслiдок 3.1. ([24]) Якщо Am(X) 6= Am−1(X) для деякого m > 1, тодi iснує комплек-сний гомоморфiзм ψ ∈ Φm−1 такий, що ψ /∈ Φm.

Зауважимо, що A1(c0) = An(c0) для кожного n, але Ak(`p) = Am(`p) для k 6= m тодii тiльки тодi, коли k < p i m < p [15].

Для послiдовностi характерiв (ϕn)∞n=1 ⊂ Mb таких, що ϕn ∈ Φn−1, нескiнченна згор-тка

∞+×

n=1ϕn лiнiйний мультиплiкативних функцiонал на алгебрi полiномiв P(X) такий,

що∞+×

n=1ϕn(P ) =

k+×

n=1ϕn(P ) для кожного P ∈ P(kX) для довiльного натурального k. Цей

мультиплiкативних функцiонал єдиним чином визначає деякий характер з Mb (який мибудемо позначати тим самим символом

∞+×

n=1ϕn) якщо вiн неперервний.

Як вже було вiдзначено, оператор δ вiдображає X в Mb, δ(x)(f) = f(x). Нехайоператор δ є продовженням δ на X ′′, тобто δ(x′′)(f) = f(x′′) для кожного x′′ ∈ X ′′.

Теорема 9. ([24]) Iснують послiдовностi спряжених просторiв (Xn)∞n=1 i вiдображеньδ(n) : Xn → Mb такi, що X1 = X ′′, Xn = P(nX)′ ∩ I⊥n−1, δ(1) = δ i довiльний комплекснийгомоморфiзм ϕ ∈ Mb має зображення

ϕ =∞+×

n=1δ(n)(un) (14)

для деякої послiдовностi un ∈ Xn.

Ми будемо позначати X∞ реалiзацiю Mb у виглядi простору послiдовностей u =

(u1, . . . , un, . . . ), якi породжують комплекснi гомоморфiзми на Hb(X) за формулою (14).Для спрощення позначень ми будемо писати P (u1, . . . , um) замiсть

P (u1, . . . , um, 0, 0, . . .), uj ∈ Xj.


Теорема 10. Нехай P — деякий n-однорiдний полiном. Для кожного фiксованого m,

натуральних k1, . . . , km таких, що k1 + 2k2 + · · ·+ mkm = n iснує вiдображення

BPk1,...,km

: k1X1 × · · · × kmXm → C

таке, що для кожного 1 ≤ j ≤ n, BPk1,...,km

(u1, . . . , uj, . . . , um) є kj-однорiдним полiномомвiд змiнної uj ∈ Xj при iнших фiксованих u1, . . . , uj−1, uj+1, . . . , um i

P (u1, . . . , um) =∑

k1+2k2+···+mkm=n

BPk1,...,km

(u1, . . . , um).

Крiм того, ∥∥BPk1,...,km

∥∥ ≤ c(k1, X)c(2k2, X) · · · c(mkm, X)‖P‖.Доведення. Для m = 1 твердження теореми є очевидним. Припустимо, що воно вико-нується для m− 1. Тодi

P (u1, . . . , um) =m+×

j=1δ(j)(uj)P =

[( m−1+×

j=1δ(j)(uj)

)∗ δ(m)(um)

](P )

= δ(m)(um)( m−1

+×j=1

δ(j)(uj)τx(P ))

= δ(m)(um)( n−1∑

i=0

∑

k1+···+(m−1)km−1=n−i

BPik1,...,km−1

(u1, . . . , um−1)

+ P (x)),

де Pi(z) =(

n−ii

)AP (zn−i, xi) є n − i-однорiдним полiномом для довiльного x. Оскiльки

τx(P )(z) =∑

i Pi(z) i функцiоналm−1+×

j=1δ(j)(uj) є лiнiйним (вiд P ), BPi

k1,...,km−1(u1, . . . , um−1) є

i-однорiдним полiномом вiд змiнної x для кожного i, де елементи u1, . . . , um−1 зафiксова-нi. За означенням δm(um),

δm(um)(BPi

k1,...,km−1(u1, . . . , um−1)

)

є i/m-однорiдним полiномом, якщо i/m — натуральне i нулем, в iншому випадку. Анало-гiчно, δm(um)(P ) є n/m-однорiдним полiномом якщо n/m — натуральне i нулем, в iн-шому випадку. Отже, якщо i = kmm, то

BPk1,...,km

(u1, . . . , um) = δm(um)(BPi

k1,...,km−1(u1, . . . , um−1)

)

i якщо n = kmm, тоBP

0,...,0,km(u1, . . . , um) = δm(um)(P ).

Оскiльки Xj є пiдпростором (⊗js,πX)′′, то для кожного uj ∈ Xj iснує напрямленiсть

(wjαj

) ⊂ ⊗js,πX така, що ‖wj

αj‖ ≤ ‖uj‖ i wj

αj→ uj в ∗-слабкiй топологiї простору (⊗j

s,πX)′′.Таким чином,

BPk1,...,km

(u1, . . . , um) = limα1

. . . limαm

BPk1,...,km

(w1α1

, . . . , wmαm

),


де BPk1,...,km

визначено формулою (13). Згiдно з наслiдком 2.2,

∥∥BPk1,...,km

∥∥ =∥∥BP

k1,...,km

∥∥ ≤ c(k1, X)c(2k2, X) · · · c(mkm, X)‖P‖.

Для довiльного натурального n позначимо p(n) — число додатнiх розв’язкiв дiофан-тового рiвняння

k1 + 2k2 + · · ·+ nkn = n.

З комбiнаторики добре вiдомо, що p(n) дорiвнює числу всiх розбиттiв n на натуральнiдоданки i асимптотично

p(n) ∼ eπ√

2n/3

4n√

3. (15)

Теорема 11. Нехай u = (uk)∞k=1 — деяка послiдовнiсть елементiв uk ∈ Xk. Функцiонал

u належить X∞, тобто, ϕ =∞+×

k=1δ(k)(uk) ∈ Mb тодi i тiльки тодi, коли sup

k‖uk‖1/k < ∞. В

цьому випадкуsup

k‖uk‖1/k ≤ R(ϕ) ≤ e sup

k‖uk‖1/k. (16)

Доведення. Нехай supk ‖uk‖1/k = r < ∞ для деякого додатного r. Тодi ‖uk‖ ≤ rk. Длядовiльного P ∈ P(nX), ‖P‖ = 1 маємо

‖ϕn(P )‖ = ‖ϕ(P )‖ = ‖P (u1, . . . , un)‖=

∥∥∥∑

k1+2k2+···+nkn

BPk1,...,km

(u1, . . . , un)∥∥∥

≤∑

k1+2k2+···+nkn=n

‖BPk1,...,km

(u1, . . . , un)‖

≤ mn

∑

k1+2k2+···+nkn=n

‖u1‖k1 · · · ‖un‖kn ,

деmn = max

k1+2k2+···+nkn=n[c(k1, X)c(2k2, X) · · · c(mkm, X)].

Зауважимо, що

mn ≤ maxs1+···+sn=n

ss11 · · · ssn

n

s1! · · · sn!.

Згiдно з асимптотичною, формулою Стiрленга,

lim supn→∞

m1/nn ≤ e.

Таким чином


‖ϕn‖1/n

≤ e lim supn→∞

(p(n)rk1+2k2+···+nkn)1/n = er lim supn→∞

(p(n))1/n.


Використовуючи асимптотичну формулу (15), отримуємо

R(ϕ) ≤ er = e supk‖uk‖1/k < ∞.

Тому ϕ ∈ Mb.

З iншого боку, ‖uk‖ ≤ ‖ϕkm‖ для кожного натурального m. Отже

supk‖uk‖1/k ≤ lim sup

k→∞‖ϕk‖1/k = R(ϕ).

Для довiльного елемента u = (uk)∞k=1 ∈ X∞ позначимо ν(u) := sup ‖uk‖1/k.

Теорема 12. Множина X∞ є лiнiйним простором вiдносно операцiй (uk)∞k=1 +(vk)

∞k=1 :=

(uk+vk)∞k=1 i λ(uk)

∞k=1 := (λuk)

∞k=1 та функцiя ρ(u, v) := ν(u−v) є метрикою, iнварiантною

вiдносно трансляцiй на X∞.

Доведення. Оскiльки

‖uk + vk‖1/k ≤ (‖uk‖+ ‖vk‖)1/k ≤ ‖uk‖1/k + ‖vk‖1/k,

тоsup

k‖uk + vk‖1/k ≤ sup

k(‖uk‖1/k + ‖vk‖1/k) ≤ sup

k‖uk‖1/k + sup

j‖vj‖1/j.

Томуν(u + v) ≤ ν(u) + ν(v). (17)

Крiм того, якщо |λ| ≥ 1, то

ν(λu) = supk‖λuk‖1/k ≤ λ sup

k‖uk‖1/k = λν(u)

i якщо |λ| ≤ 1, тоν(λu) ≤ ν(u).

Тому X∞ — лiнiйний простiр. Поклавши у (17) u−w замiсть u i w−v замiсть v отримаємонерiвнiсть трикутника для ρ:

ρ(u, v) ≤ ρ(u, w) + ρ(w, v).

Отже ρ — метрика.

Зауважимо, що (X∞, ρ) не є топологiчним лiнiйним простором тому, що множен-ня на константу не є неперервною операцiєю. Справдi, нехай ν(uk) = ak, a > 0. Тодiu(u1, u2, . . .) ∈ (X∞, ρ) i для кожного 0 < λ ≤ 1, ν(λu) = a, але ν(λu) = 0 при λ = 0.


4 Алгебри аналiтичних функцiй на одиничнiй кулi банаховогопростору

У цьому пiдроздiлi ми дослiджуємо множину максимальних iдеалiв банахових ал-гебр аналiтичних функцiй на одиничнiй кулi B комплексного банахового простору X.

Ми будемо розглядати наступнi рiвномiрнi алгебри: H∞(B) — алгебра обмежених ана-лiтичних функцiй на B, H∞

uc(B) — алгебра обмежених аналiтичних функцiй на B, якi єрiвномiрно неперервнi на B, H∞

c (B) — алгебра обмежених аналiтичних функцiй на B,

неперервних на B. Очевидно, що

Hb(X) ⊂ H∞uc(B) ⊂ H∞

c (B) ⊂ H∞(B).

В [2] показано, що якщо X — нескiнченновимiрний банахiв простiр, то всi включення євласними.

Позначимо Muc, Mc i M∞ — множину максимальних iдеалiв алгебр H∞uc(B), H∞

c (B)

i H∞(B) вiдповiдно. Згiдно з [2],

Muc = ϕ ∈ Mb : R(ϕ) ≤ 1. (18)

Крiм того, iснує природна проекцiя % : M∞ → Mb, що є звуженням функцiоналiв з M∞

на Hb(X), яка є бiєкцiєю на множинi тих ϕ ∈ M∞, для яких R(ϕ) < 1. Зокрема

Muc ⊂ Mc ⊂ M∞. (19)

Твердження 4.1. Множини Muc, Mc i M∞ мiстять замкненi одиничнi кулi просторiвXn для кожного n.

Доведення. Згiдно з лемою 3.1 для довiльного uk ∈ Xk, R(uk) ≤ 1 тодi i тiльки тодi,коли ‖uk‖ ≤ 1. Тому, згiдно з рiвнiстю (18), одиничнi кулi просторiв Xn мiстяться вMuc. З вкладень (19) випливає, що вони мiстяться в Mc i M∞.

Нагадаємо, що згiдно з теоремою 9, Xn — спряжений простiр до деякого просторуWn.

Лема 4.1. Нехай P1, . . . , Pm ∈ Wn, |Pk(x)| < 1 для ‖x‖ < 1, k = 1, . . . ,m i h — деякафункцiя з H∞(∆m), ‖h‖ < a, де ∆m — одиничний диск в Cm. Тодi iснує функцiя f ∈H∞(B) така, що звуження f на Xn збiгається з h(P1, . . . , Pm) i ‖f‖ < a.

Доведення. Оскiльки простiр Wn = P(nX)/(In−1∩P(nX)), то ми можемо розглядати Pk

як класи еквiвалентноcтi в просторi n-однорiдних полiномiв. Нехай Qk — деякi представ-ники елементiв Pk в просторi P(nX). Покладемо

f(x) := h(Q1(x), . . . , Qm(x)).

Внаслiдок вiдкритостi фактор-вiдображення ми можемо вибрати представники Qk так,що ‖Qk‖ < 1 i ‖f‖ < a. Тому (Q1(x), . . . , Qm(x)) ∈ ∆m i ‖f‖ ≤ ‖h‖ < a. Отже f ∈ H∞(B).

За побудовою, звуження f на Xn збiгається з h(P1, . . . , Pm).


Скажемо, що послiдовнiсть (zj) ⊂ M∞ є iнтерполюючою послiдовнiстю для H∞(B),

якщо для довiльної обмеженої послiдовностi (αj) ∈ `∞ iснує функцiя f ∈ H∞(B) така,що f(zj) = αj, 1 ≤ j ≤ ∞.

У [2, Теорема 10.5] доведено, що кожна послiдовнiсть з одиничної кулi X ′′, нормаелементiв якої збiгається до одиницi, мiстить iнтерполюючу пiдпослiдовнiсть для ал-гебри H∞(B). Наступна теорема узагальнює цей результат, використовуючи аналогiчнусхему доведення.

Теорема 13. Нехай (zj) така послiдовнiсть з Xn, що ‖zj‖ → 1 при j → ∞. Тодi (zj)

мiстить iнтерполюючу пiдпослiдовнiсть для H∞(B).

Доведення. Переходячи, якщо потрiбно, до пiдпослiдовностi в (zj), виберемо послiдов-ностi (Pj) ⊂ Wn, ‖Pj‖ < 1, 0 < Pj(zj), i rj, 0 < rj < 1 та послiдовнiсть конформнихвiдображень одиничного диску комплексного простору в праву пiвплощину (Ψj) так,що

Ψj(Pj(zj)j) = j, 0 < Ψj(0) < 1, (20)

rj → 1 при j →∞,

Ψj(Pj(x)j) < 1/2j для довiльного x ∈ Xn, ‖x‖ < rj. (21)

Iснування таких послiдовностей випливає з того, що кожне конформне вiдображенняΨj повнiстю визначається значеннями в двох точках. Будемо брати rj так, щоб

sup‖x‖<rj

Pj(x)j < Pj(zj)j

i визначати Ψj з умов (20), (21).Покладемо hj = Ψj P j

j . Тодi |hj(x)| < 1/2j для довiльного x ∈ Xn, ‖x‖ < rj.

Визначимоgm =

h1 + · · ·+ hm − 1

h1 + · · ·+ hm + 1.

Тодi послiдовнiсть функцiй gm обмежена за модулем одиницею i рiвномiрно збiгаєтьсяна довiльнiй кулi з центром в нулi радiуса r, 0 < r < 1 в Xn до деякої функцiї g.

Згiдно з лемою 4.1, функцiї gm можна продовжити до деяких функцiй fm ∈ H∞(B),

‖fm‖ < 1, при цьому, внаслiдок вiдкритостi вiдображення fm 7→ gm, послiдовнiсть fm

можна вибрати збiжною. Внаслiдок повноти fm ∈ H∞(B) в топологiї рiвномiрної збi-жностi, послiдовнiсть (fm) прямує до деякої функцiї f ∈ H∞(B). Отже |f(zj)| ≤ 1 дляj ≥ 1 i f(zj) → 1 при j → 1. Нехай zjk

— пiдпослiдовнiсть в zj така, що f(zjk) —

iнтерполююча послiдовнiсть в H∞(∆), де ∆ — одиничний диск в C. Iснування такоїпослiдовностi випливає з вiдомої теореми Карлесона про iнтерполяцiю [18]. Тодi zjk

—iнтерполююча послiдовнiсть в H∞(B).

Позначимо через nπ неперервний проектор з X∞ = Mb на Xn. З формули (18) вид-но, що nπ(M∞

uc ) = BXn , де BXn — одинична куля в Xn. Оскiльки простiр полiномiв єспiльним для обох алгебр H∞

uc(B) та H∞(B), i алгебра H∞uc(B) є рiвномiрною границею

полiномiв, то nπ(M∞) ⊂ nπ(Muc). З iншого боку, як було вже вiдзначено, множини M∞ i


Muc перетинаються по множинi ϕ ∈ Mb : R(ϕ) < 1. Тому nπ(M∞) ⊃ BXn . Крiм того,на множинi ϕ ∈ Mb : R(ϕ) < 1 топологiя Гельфанда H∞(B) i H∞

uc(B) збiгаються iця топологiя збiгається з ∗-слабкою на BXn . Тому nπ є неперервним вiдображенням зϕ ∈ M∞ : R(ϕ) < 1 в BXn iз ∗-слабкою топологiєю. Оскiльки неперервний образкомпакта — компакт i BXn — компакт в ∗-слабкiй топологiї, то nπ(M∞) = BXn .

Нехай z ∈ BXn . Наростом множини M∞ над точкою z будемо називати множину

M∞z := (nπ)−1(z).

Наступна теорема узагальнює результат iз роботи [2], доведений для випадку BX1 =

BX′′ .

Теорема 14. Нехай X — нескiнченновимiрний банахiв простiр i для деякого n Xn єнетривiальним нескiнченновимiрним простором i вiдповiдний йому простiр Wn є спря-женим. Тодi над кожною точкою z ∈ Xn, ‖z‖ = 1 лежить нарiст M∞

z , який мiститьβ(N) \ N. Якщо простiр Xn — нескiнченновимiрний, тодi над кожною точкою z ∈ BXn

лежить нарiст M∞z , який мiстить β(N) \ N.

Доведення. Нехай zj — послiдовнiсть в BXn така, що zj → z в ∗-слабкiй топологiїпростору Xn i ‖zj‖ → 1 при j →∞. Якщо ‖z‖ = 1, то достатньо покласти zj = rjz длячислової послiдовностi 0 < rj < 1, rj → 1. Якщо ‖z‖ < 1, то в умовах теореми такапослiдовнiсть iснує [10]. Переходячи до пiдпослiдовностi, ми можемо вважати за теоре-мою 13, що послiдовнiсть zj — iнтерполююча для H∞(B). Тому замикання пiдмножиниδ(n)(zj) в M∞ гомеоморфне до β(N). Оскiльки zj прямує до z в ∗-слабкiй топологiї inπ — неперервне вiдображення з M∞ в BXn iз ∗-слабкою топологiєю, то nπ вiдображаєвсi граничнi точки послiдовностi (zj) в z. Отже, нарiст над точкою z мiстить β(N)\N.

Iснування наросту, який мiстить β(N) \ N, на множиннi M∞ зумовлене тим, щоH∞(B) мiстить замкненi пiдалгебри, iзоморфнi до `∞ (якi є завжди доповнювальнимивнаслiдок iн’єтивностi `∞). Вiдмiннiсть вiд скiнченновимiрного випадку полягає в тому,що нарости знаходяться не тiльки над точками межi, а й над внутрiшнiми точкамимножини одиничних куль BXn .

Лiтература

1. R.M. Aron and P.D. Berner, A Hahn-Banach extension theorem for analytic mappings, Bull. Soc. Math.France 106 (1978), 3–24.

2. R.M. Aron, B.J. Cole and T.W. Gamelin, Spectra of algebras of analytic functions on a Banach space, J.Reine Angew. Math. 415 (1991), 51–93.

3. R.M. Aron, B.J. Cole and T.W. Gamelin, Weak-star continuous analytic funtions, Can. J. Math. 47(1995), 673–683.

4. R.M. Aron, P. Galindo, D. Garcia and M. Maestre, Regularity and algebras of analytic function in infinitedimensions, Trans. Amer. Math. Soc. 348 (1996), 543–559.

5. R.M. Aron and J.B. Prolla, Polynomial approximation of differentiable functions on Banach spaces, J.Reine Angew. Math. 313 (1980), 195–216.


6. T.K. Carne, B. Cole and T.W. Gamelin, A uniform algebra of analytic functions on a Banach space,Trans. Amer. Math. Soc. 314 (1989), 639–659.

7. A.M. Davie and T.W. Gamelin, A theorem on polynomial-star approximation, Proc. Amer. Math. Soc.106 (1989), 351–356.

8. S. Dineen, Complex Analysis in Locally Convex Spaces, Mathematics Studies, vol. 57, North-Holland,Amsterdam, New York, Oxford, 1981.

9. S. Dineen, Complex Analysis on Infinite Dimensional Spaces, Monographs in Mathematics, Springer, NewYork, 1999.

10. J. Diestel, Sequences and Series in Banach Spaces, Berlin, Heidelberg, New York, 1984.

11. T.W. Gamelin, Uniform algebras, 2nd ed., Chelsea, New York, 1984.

12. T.W. Gamelin, Analytic functions on Banach spaces, in Complex Function Theory, Ed. Gauthier andSabidussi, Kluwer Academic Publishers, Amsterdam, 1994, 187–223.

13. D. Garcıa, M.L. Lourenco, M. Maestre and L.A. Moraes, The spectrum of analytic mappings of boundedtype, J. Math. Anal. Appl. 245 (2000), 447–470.

14. D. Garcıa, M.L. Lourenco, L.A. Moraes and O.W. Paques, The spectra of some algebras of analyticmappings, Indag. Mathem. 10 (1999), 393–406.

15. R. Gonzalo, Multilinear forms, subsymmetric polynomials, and spreading models on Banach spaces, J.Math. Anal. App. 202 (1996), 379–397.

16. A. Grothendieck, Produits tensoriels topologiques et espaces nuclearies, Mem. Amer. Math. Soc. 16(1955).

17. C.P. Gupta, On the Malgrange theorem for nuclearly entire functions of bounded type on a Banach space,Notas de Matematica, vol. 37, IMPA, Rio de Janeiro, 1968.

18. L. Karleson, Interpolation by bounded analytic functions and the corona problem, Ann. Math. 76 (1962),547–559.

19. A. Mallios, Topological Algebras. Selected Topics, Mathematics Studies, vol. 124, North-Holland,Amsterdam, New York, Oxford, 1986, 535 p.

20. J. Mujica, Complex Analysis in Banach Spaces, North-Holland, Amsterdam, New York, Oxford, 1986.

21. J. Mujica, Ideals of holomorphic functions on Tsirelson’s space, Archiv der Mathematik 76 (2001),292–298.

22. L. Nachbin, Topology on spaces of holomorphic mappings, Erd. der Math., vol. 47, Springer-Verlag, NewYork, 1969.

23. W. Rudin, Functional Analysis, McGraw-Hill, New York, 1973.

24. A. Zagorodnyuk, Spectra of algebras of entire functions on Banach spaces, Proc. Amer. Math. Soc. 134(2006), 2559–2569.

25. A. Zagorodnyuk, Spectra of Algebras of analytic functions and polynomials on Banach spaces,Contemporary Math. 435 (2007), 381–394.

Прикарпатський нацiональний унiверситет iм. В. Стефаника,




Zagorodnyuk A.V. Algebras of analytic functions on Banach spaces, Carpathian MathematicalPublications, 1, 1 (2009), 15–34.

The paper contains a survey of the most important results about structures of spectra ofalgebras of analytic functions of bounded type on Banach spaces and some new results in thisarea. Also, we have some applications to interpolations in algebras of analytic functions on unitballs of Banach spaces.

Загороднюк А.В. Алгебры аналитических функций на банаховых пространствах // Кар-патские математические публикации. — 2009. — Т.1, 1. — C. 15–34.

В работе сделано обзор основных результатов о структуре множества максимальныхидеалов алгебры целых аналитических функций ограниченного типа на банаховом прост-ранстве и доказано некоторые новые результаты в этой области. Получены примененияк интерполяции в алгебрах аналитических функций в единичном шаре банахового прост-ранства.



УДК 512.538

Заторський Р.А., Малярчук О.Р.

НЕСКIНЧЕННI ЛIНIЙНI РЕКУРЕНТНI РIВНЯННЯ ТА

ПАРАПЕРМАНЕНТИ

Заторський Р.А., Малярчук О.Р. Нескiнченнi лiнiйнi рекурентнi рiвняння та параперма-ненти // Карпатськi математичнi публiкацiї. — 2009. — Т.1, 1. — C. 35–46.

При допомозi параперманентiв трикутних матриць дослiджуються нескiнченнi лiнiйнiрекурентнi рiвняння.

Вступ

Незважаючи на широкi застосування рекурсiй в рiзних областях математики, вонидосi погано вивченi. Винятком, можливо, є лiнiйнi однорiднi та неоднорiднi рекурентнiспiввiдношення iз сталими коефiцiєнтами. Для них доведено ряд загальних теорем,змiст i доведення яких, з вiдомих причин, є аналогами вiдповiдних теорем з теорiїлiнiйних однорiдних та неоднорiдних систем рiвнянь iз сталими коефiцiєнтами та теорiїоднорiдних та неоднорiдних звичайних диференцiальних рiвнянь iз сталими коефiцi-єнтами. Цi теореми стали класичними i широко використовуються. Проте, навiть длялiнiйних однорiдних рекурентних рiвнянь iз змiнними коефiцiєнтами, загальнi методиїх розв’язання та дослiдження досi вiдсутнi. Ще гiрше вивченi нелiнiйнi рекурсiї. Тутвзагалi вiдсутнi загальнi пiдходи до їх вивчення.

В [1] лiнiйнi рекурентнi рiвняння k-го порядку дослiджуються при допомозi апаратупараперманентiв трикутних матриць. Такий пiдхiд дозволяє знайти розв’язки рекурен-тних рiвнянь, уникаючи розв’язування вiдповiдних характеристичних рiвнянь. Деякiрезультати цiєї роботи доповiдалися на Мiжнароднiй математичнiй конференцiї, при-свяченiй сторiччю вiд початку роботи Д.О. Граве у Київському унiверситетi [2].

Метою цiєї статтi є застосування апарату параперманентiв та парадетермiнантiвтрикутних матриць [3] до розв’язання нескiнченних лiнiйних рекурентних рiвнянь, якiчасто виникають у комбiнаторному аналiзi [4].

2000 Mathematics Subject Classification: 15A15.

c© Заторський Р.А., Малярчук О.Р., 2009

36 Заторський Р.А., Малярчук О.Р.


Справедлива наступна теорема [1], яка iстотно доповнює теорему Стенлi (див. [6],стор. 301).

Теорема 1. Нехай задано два вектори

a = (a1, a2, a3, . . . , ak),

b = (b0 = 1, b1, b2, . . . , bk−1).

Для послiдовностi un∞n=0 наступнi три рiвностi рiвносильнi:1. Лiнiйне рекурентне рiвняння k−го порядку

un = a1un−1 + a2un−2 + a3un−3 + . . . + akun−k, n = k, k + 1, k + 2, . . . (1)

iз початковими умовами

u0 = b0 = 1, u1 = b1, u2 = b2, . . . , uk−1 = bk−1.

2.

un = pper(An) =

a1c1a2

a1a1c2

· · · · · · . . .ak−1

ak−2

ak−2

ak−3· · · a1ck−1

ak

ak−1

ak−1

ak−2· · · a2

a1a1

0 ak

ak−1· · · a3

a2

a2

a1a1

· · · · · · · · · · · · · · · · · · . . .0 0 · · · 0 ak

ak−1· · · a2

a1a1

n

,

тут поправки ci визначаються iз рiвностей

ci = bi

(i∑

s=1

asbi−s

)−1

=bi

ai + ai−1b1 + ai−2b2 + · · ·+ a2bi−2 + a1bi−1

,

де i = 1, . . . , k − 1;

3.

1 +∞∑i=1

uizi =

1 + b1

(1− 1

c1

)z1 + b2

(1− 1

c2

)z2 + . . . + bk−1

(1− 1

ck−1

)zk−1

1− a1z − a2z2 − . . .− akzk.

u0 = 1, ui =

a1a2

a1a1

· · · · · · . . .ai−1

ai−2

ai−2

ai−3· · · a1

i

, i = 1, . . . , k − 1. (2)

Початковi умови (2) для рекурентного рiвняння (1) назвемо нормальними початковимиумовами, а послiдовнiсть, що генерується рекурентним спiввiдношенням — нормальноюпослiдовнiстю.

Нескiнченнi рекурсiї та параперманенти 37

Наслiдок 1.1. Нехай задано два вектори

a = (a1, a2, a3, . . . , ak),

b = (b0 = 1, b1, b2, . . . , bk−1),

де bi =

a1a2

a1a1

· · · · · · . . .ai−1

ai−2

ai−2

ai−3· · · a1

i

, i = 1, . . . , k − 1.

Для нормальної послiдовностi un∞n=0 наступнi три рiвностi рiвносильнi:1. Лiнiйне рекурентне рiвняння k−го порядку

un = a1un−1 + a2un−2 + a3un−3 + . . . + akun−k, n = k, k + 1, k + 2, . . .

iз початковими умовами

u0 = b0 = 1, u1 = b1, u2 = b2, . . . , uk−1 = bk−1.

2.

un =

a1a2

a1a1

· · · · · · . . .ak

ak−1

ak−1

ak−2· · · a1

0 ak

ak−1· · · a2

a1a1

· · · · · · · · · · · · · · · . . .0 . . . 0 ak

ak−1. . . a2

a1a1

n

, n = 1, 2, 3, . . . .

3.1

1− a1x− a2x2 − . . .− akxk= 1 +

∞∑i=1

uixi.

2 Нескiнченнi лiнiйнi рекурентнi рiвняння

У цьому пунктi ми розглянемо нескiнченновимiрний аналог наслiдку 1.1 теореми 1та за даною числовою послiдовнiстю побудуємо лiнiйне рекурентне рiвняння, яке цяпослiдовнiсть задовольняє.

Наслiдок 1.1 справедливий також на випадок нескiнченновимiрного вектора

a = (a1, a2, a3, . . .),

тобто справедлива наступна теорема:

Теорема 2. Нехай маємо вектор

a = (a1, a2, a3, . . .).


Для послiдовностi un∞n=0 наступнi рiвностi рiвносильнi:1.

u0 = 1, un = a1un−1 + a2un−2 + a3un−3 + . . . , n = 1, 2, . . . , (3)

2.

u0 = 1, u1 = [a1], u2 =

[a1a2

a1a1

], . . . ,

3.1

1− a1z − a2z2 − a3z3 − . . .= 1 +

∞∑i=1

uizi.

Доведення. Рiвносильнiсть рiвностей п.1 i п.2 стає очевидною пiсля послiдовного роз-кладу параперманентiв iз п.2 за елементами останнього рядка.

Рiвносильнiсть рiвностей першого i третього пунктiв випливає iз рiвностi

(1− a1z − a2z2− a3z

3− . . .) ·(

1 +∞∑i=1

uizi

)= 1 +

∞∑i=1

(ui − a1ui−1− a2ui−2− . . .− aiu0)zi,

яка можлива лише тодi, коли виконуються рiвностi

ui − a1ui−1 − a2ui−2 − . . .− aiu0 = 0, i = 1, 2, . . . .

Зауваження 2.1. Матрицю

A =

a1a2

a1a1

· · · · · · . . .an

an−1

an−1

an−2· · · a1

... . . . . . . . . .. . .

назвемо матрицею нескiнченного лiнiйного рекурентного рiвняння (3).

Приклад 2.1. Нехай маємо вектор

a = (3,−4, 4,−4, 4,−4, 4, . . .),

тодi для послiдовностi un∞n=0, u0 = 1 рiвносильнi наступнi рiвностi:1.

un = 3un−1 − 4un−2 + 4un−3 − 4un−4 + 4un−5 − 4un−6 + . . . , (4)

2.

un =

3−43

34−4

−43

3−44

4−4

−43

3

· · · · · · · · · · · · . . .(−1)n−14(−1)n−24

(−1)n−24(−1)n−34

(−1)n−34(−1)n−44

(−1)n−44(−1)n−54

· · · 3

n

=


3−43

3

−1 −43

3

−1 −1 −43

3

· · · · · · · · · · · · . . .−1 −1 −1 −1 · · · 3

n

= ££££££

BBBBBB

343

3

1 43

3

1 1 43

3

· · · · · · · · · · · · . . .1 1 1 1 · · · 3

BB

BB

BB

££

££

££ n

,

де n = 1, 2, . . . ,

3.

f(z) =1

1− 3z + 4z2 − 4z3 + 4z4 − 4z5 + . . .= 1 +

∞∑i=1

(2i + 1)zi.

Iз рекурентного рiвняння (4) легко знайти загальний член послiдовностi un, n =

1, 2, . . . . Дiйсно,

u1 = 3u0 = 3,

u2 = 3u1 − 4u0 = 5,

u3 = 3u2 − 4u1 + 4u0 = 7,

u4 = 3u3 − 4u2 + 4u1 − 4u0 = 9.

Очевидно, ми маємо справу iз послiдовнiстю непарних чисел. Припустимо, що uk =

2k + 1. Згiдно iз припущенням повинна виконуватись рiвнiсть

2k + 1 = 3(2k − 1)− 4(2k − 3) + 4(2k − 5)− . . . + (−1)k−24 · 3 + (−1)k−14 · 1,

справедливiсть якої випливає iз того, що

4((2k − 1)− (2k − 3) + (2k − 5)− . . . + (−1)k−2 · 3 + (−1)k−1 · 1) = 4k.

Отже, наше припущення справедливе i, таким чином, встановлено правильнiсть рiв-ностi

££££££

BBBBBB

343

3

1 43

3

1 1 43

3

· · · · · · · · · · · · . . .1 1 1 1 · · · 3

BB

BB

BB

££

££

££ n

= 2n + 1,

яку безпосередньо встановити важче.Вiдмiтимо також, що генератрису для цiєї послiдовностi можна спростити:

1

f(z)= 1 + z − 4z(1− z + z2 − z3 + . . .) = 1 + z − 4z

1 + z=

1− 2z + z2

1 + z.

Отже,

f(z) =1 + z

1− 2z + z2(5)


Тепер, за виглядом генератриси (5) можна спростити i саме рекурентне рiвняння. Оста-точно отримаємо лiнiйне рекурентне рiвняння другого порядку

un = 2un−1 − un−2

iз початковими умовамиu0 = 1, u1 = 3.

Якщо задана деяка послiдовнiсть, то можна знайти рекурентне рiвняння, якому за-довольняють члени цiєї послiдовностi, та її генератрису. Але, розв’язуючи задачi такоготипу, ми будемо apriori вважати, що послiдовнiсть є нормальною.

Справедлива наступна теорема:

Теорема 3. Члени нормальної послiдовностi

u0 = 1, u1, u2, . . . (6)

задовольняють лiнiйне рекурентне рiвняння

un = a1un−1 + a2un−2 + a3un−3 + . . . ,

де

ai = (−1)i−1££££

BBBB

u1u2

u1u1

· · · · · · · · ·ui

ui−1

ui−1

ui−1· · · u1

BB

BB

££

££

, i = 1, 2, . . . . (7)

Доведення. Позаяк, послiдовнiсть (6) нормальна, то, згiдно з наслiдком 1.1, справедливiрiвностi

a1a2

a1a1

...... . . .

ai

ai−1

ai−1

ai−2· · · a1

i

= ui, i = 1, 2, . . . ,

з яких можна знайти коефiцiєнти ai, i = 1, 2, . . . лiнiйного рекурентного рiвняння (3).Але ця система, згiдно з [5], має розв’язок

ai = (−1)i−1££££

BBBB

u1u2

u1u1

· · · · · · · · ·ui

ui−1

ui−1

ui−1· · · u1

BB

BB

££

££

, i = 1, 2, . . . .

Проiлюструємо теорему 3 на прикладi.


Приклад 2.2. Знайдемо рекурентнi рiвняння, якi задовольняють числовi послiдовно-стi:

u0 = 1, u1 = 2, u2 = 3, u4 = 4, . . . ,

u0 = 1, u1 = 1, u2 = 2, u3 = 3, u4 = 4, . . . , (8)

u0 = 1, u1 = 3, u2 = 4, u3 = 5, . . . . (9)

Знаходимо коефiцiєнти рекурентного рiвняння за формулою (7).

a1 = (−1)0〈2〉 = 2, a2 = (−1)1££

BB

232

2BB

££

= −1, a3 = (−1)2£££

BBB

232

243

32

2

BBB

£££

= 0.

Припустимо, що a3 = a4 = . . . = ak−1 = 0, тодi

ak = (−1)k−1££££

BBBB

232

2

· · · · · · . . .k+1

kk

k−1· · · 2

BB

BB

££

££

= (−1)k−1(2 · 0− 3 · 0 + . . . + (−1)k−1(k − 1) · 1+

(−1)kk · 2 + (−1)k+1(k + 1) · 1) = 0.

Отже, маємо a1 = 2, a2 = −1 i дана числова послiдовнiсть задовольняє лiнiйне рекурен-тне рiвняння

un = 2un−1 − un−2.

Легко показати, що для числової послiдовностi (8) коефiцiєнти вiдповiдного реку-рентного рiвняння мають вигляд

ar =

⟨i− j + 1

i− j + δij

⟩

16j6i6r

=

0, якщо r = 3s,

1, якщо r = 3s + 1,

−1, якщо r = 3s + 2,

, s = 0, 1, . . . .

Отже, послiдовнiсть (8) задовольняє нескiнченне лiнiйне рекурентне рiвняння

un = un−1 + un−2 − un−4 − un−5 + un−7 + un−8 − un−10 − un−11 + . . . ,

i її генератрисою є функцiя виду

f(z) =1

1− z − z2 + z4 + z5 − z7 − z8 + z10 + z11 − . . ..

Позаяк

1

f(z)= 1− z(1− z3 + z6 − z9 + . . .)− z2(1− z3 + z6 − z9 + . . .) =

1− z − z2 + z3

1 + z3,

тоf(z) =

1 + z3

1− z − z2 + z3.


Коефiцiєнти рекурентного рiвняння, яке задовольняє числова послiдовнiсть (9) до-рiвнюють

ai = (−1)i−1Fi+2, i = 1, 2, . . . ,

де Fn — числа Фiбоначчi.Отже, числова послiдовнiсть (9) задовольняє нескiнченне лiнiйне рекурентне рiв-

нянняun = 3un−1 − 5un−2 + 8un−3 − 13un−4 + . . . .

Цьому нескiнченному рекурентному рiвнянню вiдповiдає генератриса

f(z) =1

1− 3z + 5z2 − 8z3 + 13z4 − . . ..

Тому

1

f(z)= 1+

∞∑i=1

(−1)iF (i+2)zi = 1+∞∑i=1

(−1)i(F (i+1)+F (i))zi = 1+∞∑i=1

(−1)iF (i+1)zi+

∞∑i=1

(−1)iF (i)zi = 1− z

∞∑i=1

(−1)i−1F (i + 1)zi−1 + z2

∞∑i=1

(−1)i−2F (i)zi−2 =

1− z

∞∑i=0

(−1)iF (i + 2)zi + z2

∞∑i=−1

(−1)iF (i + 2)zi =

1− z

(1 +

1

f(z)

)+ z2

(−z−1 + 1 +

1

f(z)

).

Звiдси1

f(z)= 1− z

(1 +

1

f(z)

)+ z2

(−z−1 + 1 +

1

f(z)

)

або остаточно

f(z) =1 + z − z2

1− 2z + z2.

Таким чином, в трьох розглянутих випадках, незначнi змiни у перших членах число-вої послiдовностi приводять до iстотно рiзних рекурентних рiвнянь.

В комбiнаторному аналiзi зустрiчається важлива числова послiдовнiсть p(n) чиселневпорядкованих розбиттiв натурального числа n на натуральнi числа. Запишемо першi25 членiв генератриси цiєї послiдовностi.

1+x+2x2+3x3+5x4+7x5+11x6+15x7+22x8+30x9+42x10+56x11+77x12+101x13+135x14+

176x15+231x16+297x17+385x18+490x19+627x20+792x21+1002x22+1255x23+1575x24+. . .

Знайдемо першi 24 коефiцiєнти шуканого рекурентного рiвняння за формулою (7):

1, 1, 0, 0,−1, 0− 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0,−1, 0, 0, . . . ,


i кiлька перших ненульових членiв шуканого рекурентного рiвняння

un = un−1 + un−2 − un−5 − un−7 + un−12 + un−15 − un−22 − . . . . (10)

Таким чином, ми отримали достатньо iндуктивного матерiалу, щоб знайти закон, якомупiдпорядковується права частина рекурентного рiвняння. Ойлер показав (див. [7], стор.246), що загальний член цього рекурентного рiвняння має вигляд

un− 3k2−k

2

+ un− 3k2+k

2

, k = 1, 2, 3, . . . .

Зауважимо, що початковою умовою для знаходження числа невпорядкованих роз-биттiв натурального числа на натуральнi доданки є спiввiдношення

p(0) = 1, p(m) = 0, m < 0.

Слiд також вiдзначити, що число σ(n), яке дорiвнює сумi всiх натуральних дiльникiвнатурального числа n, також задовольняє рекурентне рiвняння (10), але початковаумова має вигляд

σ(0) = n, σ(m) = 0, m < 0.

Розглянемо деякi випадки, в яких при допомозi нескiнченного лiнiйного рекурент-ного рiвняння, коефiцiєнти якого задаються нескiнченновимiрним вектором, можна по-будувати дробово рацiональну генератрису, чисельник i знаменник якої є многочленамине вище k-того степеня.

Твердження 2.1. Якщо нескiнченновимiрнi вектори a, при допомозi яких задаютьсянескiнченнi рекурентнi рiвняння мають вигляд

a = (a1, a2, . . . , ak, a1, a2, . . . , ak, a1, . . .),

a = (a1, a2, . . . , ak,−a1,−a2, . . . ,−ak, a1, . . .), (11)

a = (−a1,−a2, . . . ,−ak, a1, a2, . . . , ak,−a1, . . .),

то їм вiдповiдають генератриси:

f(z) =1− zk

1− a1z − a2z2 − . . .− (ak + 1)zk,

f(z) =1 + zk

1− a1z − a2z2 − . . .− (ak − 1)zk, (12)

f(z) =1 + zk

1 + a1z + a2z2 + . . . + (ak + 1)zk.

Доведення. Згiдно iз теоремою 2 нескiнченному лiнiйному рекурентному рiвнянню, щозадається вектором (11) вiдповiдає генератриса

f(z) =1

1− a1z − a2z2 − . . .− akzk + a1zk+1 + a2zk+2 + . . . + akz2k − a1z2k+1 − . . ..


Тому маємо

1

f(z)= 1− a1z − a2z

2 − . . .− akzk + a1z

k+1 + a2zk+2 + . . . + akz

2k − a1z2k+1 − . . . =

1− a1z(1− zk + z2k − . . .)− a2z2(1− zk + z2k − . . .)− . . .− akz

k(1− zk + z2k − . . .) =

1− a1z

1 + zk− a2z

2

1 + zk− akz

k

1 + zk=

1− a1z − a2z2 − . . .− (ak − 1)zk

1 + zk.

Таким чином, ми отримуємо генератрису (12). Решта випадкiв аналогiчнi.

У багатьох випадках корисною виявляється наступна теорема:

Теорема 4. Нехай задано вектор

a = (a1, a2, a3, . . .),

компоненти якого задовольняють рекурентне рiвняння

an = ω1an−1 + ω2an−2 + . . . + ωkan−k, n = 1, 2, 3, . . . ,

де a0 = 1. Генератрисою послiдовностi un∞n=1, яка задовольняє рекурентне рiвняння

u0 = 1, un = a1un−1 + a2un−2 + a3un−3 + . . . , (13)

є функцiя f(z) виду

1− ω1z − ω2z2 − ω3z

3 − . . .− ωkzk

1− (a1 + ω1)z − . . .− (ak−1 − ω1ak−2 − . . .− ωk−2a1 + ωk−1)zk−1 − ωkzk.

Доведення. Згiдно iз твердженням 2, для послiдовностi un∞n=1 рекурентне рiвняння(13) вiдповiдає генератрисi

f(z) =1

1− a1z − a2z2 − a3z3 − . . ..

Тому

1

f(z)= 1−

∞∑i=1

aizi = 1−a1z−a2z

2−. . .−ak−1zk−1−

∞∑

n=k

(ω1an−1+ω2an−2+. . .+ωkan−k)zn =

1−a1z−a2z2−. . .−ak−1z

k−1−ω1z

∞∑

n=k

an−1zn−1−ω2z

2

∞∑

n=k

an−2zn−2−. . .−ωkz

k

∞∑

n=k

an−kzn−k =

1− a1z − a2z2 − . . .− ak−1z

k−1 − ω1z1

∞∑

n=k−1

anzn − ω2z2

∞∑

n=k−2

anzn − . . .− ωkzk

∞∑n=0

anzn =

1− a1z − a2z2 − . . .− ak−1z

k−1 + ω1z

(−1 + a1z + a2z

2 + . . . + ak−2zk−2 +

1

f(z)

)+


ω2z2

(−1 + a1z + a2z

2 + . . . + ak−3zk−3 +

1

f(z)

)+ . . . + ωk−1z

k−1

(−1 +

1

f(z)

)+

ωkzk

(−1 +

1

f(z)

).

Отже, маємо рiвнiсть1

f(z)=

1− (a1 + ω1)z − . . .− (ak−1 − ω1ak−2 − . . .− ωk−2a1 + ωk−1)zk−1 − 2ωkz

k

1− ω1z − ω2z2 − ω3z3 − . . .− ωkzk.

Наведемо приклад, який iлюструє теорему 4.

Приклад 2.3. Нехай задано нескiнченне рекурентне рiвняння

un = un−1 + 3un−2 + 8un−3 + 21un−4 + 55un−5 + . . . + F2k−1un−k + . . . ,

де Fn — числа Фiбоначчi. Коефiцiєнти цього рiвняння задовольняють лiнiйне рекурент-не рiвняння другого порядку

an = 3an−1 − an−2.

Отже, ω1 = 3, ω2 = −1 i генератриса числової послiдовностi un∞n=1, згiдно iз теоремою4, має вигляд

f(z) =1− 3z + z2

1− 4z + z2.

Висновок

Дослiдження лiнiйних рекурентних рiвнянь k−го порядку при допомозi параперма-нентiв трикутних матриць можуть бути використанi також при аналогiчних дослiджен-нях нескiнченних лiнiйних рекурентних рiвнянь. При цьому можна видiлити класи та-ких нескiнченних лiнiйних рекурентних рiвнянь, якi зводяться до рiвносильних лiнiйнихрекурентних рiвнянь k-го порядку, та побудувати для них вiдповiднi генератриси.

Лiтература

1. Zatorsky R.A. Theory of paradeterminants and its applications // Algebra and Diskrete Mathematics. —2007. — 1. — Р. 109-138.

2. Заторський Р.А. Параперманенти та лiнiйнi рекурентнi спiввiдношення // Матерiали мiжнаро-дної математичної конференцiї, присвяченої сторiччю вiд початку роботи Д.О. Граве в Київськомуунiверситетi. — Київ. — 2002. — С. 138.

3. Заторський Р.А. Про паравизначники та параперманенти трикутних матриць // Математичнiстудiї. — 2002. — Т.17, 1. — С. 3-17.

4. Эндрюс Г. Теория развиений. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1982. — 256 с.

5. Атаманюк О.Б., Заторський Р.А. Застосування функцiй трикутних матриць до розв’язання де-яких систем рiвнянь // Матерiали мiжнар. конф., присвяченої 125 рiчницi вiд дня народж. ГансаГана. — Чернiвцi. — 2004. — C.7-8.


6. Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. — М.: Мир, 1990. — 440 с.

7. Эйлер Л. Введение в анализ бесконечных. — М.: Гос. Изд-во физ.-мат. лит-ры, 1961. — 315 с.




Zatorsky R.A., Malarchuk A.R. The infinite linear recurrent equations and paradeterminants,Carpathian Mathematical Publications, 1, 1 (2009), 35–46.

The infinite linear recurrent equations by means of parapermanents of triangular matricesare investigated.

Заторский Р.А., Малярчук А.Р. Бесконечные линейные рекуррентные уравнения и пара-перманенты // Карпатские математические публикации. — 2009. — Т.1, 1. — C. 35–46.

При помощи параперманентов треугольных матриц исследуются бесконечные линей-ные рекуррентные уравнения.



УДК 517.946+511.37

Iлькiв В.С.

ГЛАДКIСТЬ РОЗВ’ЯЗКIВ ЗАДАЧ IЗ НЕЛОКАЛЬНИМИ

БАГАТОТОЧКОВИМИ УМОВАМИ ДЛЯ СТРОГО ГIПЕРБОЛIЧНИХ

РIВНЯНЬ

Iлькiв В.С. Гладкiсть розв’язкiв задач iз нелокальними багатоточковими умовами длястрого гiперболiчних рiвнянь // Карпатськi математичнi публiкацiї. — 2009. — Т.1, 1.— C. 47–58.

У декартовому добутку часового вiдрiзка та просторового багатовимiрного тора длястрого гiперболiчного рiвняння зi змiнними коефiцiєнтами дослiджено умови розв’язностiзадачi з багатоточковими нелокальними умовами. За допомогою метричного пiдходу вста-новлено iснування та єдинiсть розв’язку у шкалi просторiв Соболєва. Доведено теоремупро оцiнки знизу малих знаменникiв, якi виникають у процесi побудови цього розв’яз-ку. Встановлено залежнiсть мiж гладкiстю розв’язку, гладкiстю правих частин задачi такоефiцiєнтами крайових умов.

1 Постановка задачi. Позначення

В областi Dp = [0, T ] × Ωp2π, де T > 0, Ωp

2π = (R/2πZ)p — p-вимiрний тор (R/2πZ)p,розглядається багатоточкова задача для строго гiперболiчного рiвняння

L(t,Dt, D)u ≡ Dnt u +

n∑j=1

Aj(t,D)Dn−jt u = 0, Dt = ∂/∂t, (1)

з нелокальними багатоточковими умовами

lu ≡M∑

α=1

n∑j=1

Bjα(D)Dn−jt u

∣∣t=tα

= ϕ, (2)

що пов’язують значення невiдомої функцiї u = u(t, x) та її похiдних Dtu, . . . , Dn−1t u в

рiзних M точках t1, . . . , tM , причому M ≥ 2, 0 ≤ t1 < · · · < tM ≤ T .

2000 Mathematics Subject Classification: 18B30, 54B30.

c© Iлькiв В.С., 2009

48 Iлькiв В.С.

Коефiцiєнти Aj(t,D) рiвняння (1) — диференцiальнi оператори порядку jl виглядуAj(t, D) =

∑|s|≤jl

ajs(t)Ds, де ajs(t) — неперервно диференцiйовнi на вiдрiзку [0, T ] компле-

кснозначнi функцiї, Ds = Ds11 · · ·Dsp

p , D1 = −i∂/∂x1, . . . , Dp = −i∂/∂xp, s = (s1, . . . , sp),|s| = s1 + · · ·+ sp.

Нехай A0j(t,D)— головна частина Aj(t,D), тодi Aj(t,D) = A0

j(t, D) + A1j(t,D), де

A0j(t, D) =

∑|s|=jl

ajs(t)Ds, а A1

j(t,D) =∑

|s|≤(j−1)l

ajs(t)Ds, тобто припускаємо, що коефiцi-

єнти ajs(t) молодшої частини дорiвнюють нулевi при (j − 1)l + 1 < |s| < jl, j = 1, . . . , n.Iз строгої гiперболiчностi диференцiального рiвняння (1) випливає, що для всiх ве-

кторiв (t, ξ) ∈ [0, T ]× Rp \ 0 коренi λ1(t, ξ), . . . , λn(t, ξ) алгебричного рiвняння

λn +n∑

j=1

A0j(t, ξ)λ

n−j = 0 (3)

є уявними та рiзними. Тому цi коренi є неперервно диференцiйовними функцiями зазмiнною t та гладкими за змiнною ξ, модуль дискримiнанта

∏1≤i<j≤n

(λi(t, ξ) − λj(t, ξ)

)2

многочлена λn +∑n

j=1 A0j(t, ξ)λ

n−j є додатною функцiєю.Оператори Bjα(D) в умовах (2) — це стовпцi з n елементiв такого вигляду: Bjα(D) =∑

|s|≤jl

BjαsDs, де Bjαs — вектори iз Cn. Деякi компоненти (якi виберемо далi) векторiв

Bjαs ∈ Cn будемо вважати параметрами задачi (1), (2).Натуральне число l характеризує рiст коренiв λj(t, ξ), а саме: абсолютна величина

кореня λj(t, ξ) при ξ →∞ росте не швидше, нiж |ξ|l, тобто полiномiально.Задача (1), (2) розглядалася в роботi [1] для систем неоднорiдних безтипних дифе-

ренцiальних рiвнянь, а також для випадку двоточкових умов в роботах [3, 2]. Встановле-но розв’язнiсть задач у просторах Eh,l = Eh,l(Ω

p2π), h, l ∈ R, перiодичних вектор-функцiй

ψ(x) =∑k

ψkei(k,x), якi отримуються у результатi поповнення множини тригонометри-

чних многочленiв за нормою

‖ψ;Eh,l(Ωp2π)‖ =

( ∑

k∈Zp

exp(2hk l)ψ∗kψk

)1/2

,

де x = (x1, . . . , xp) ∈ Ωp2π, k = (k1, . . . , kp) ∈ Zp — цiлочисловий вектор, (k, x) = k1x1 +

· · ·+kpxp, k = (1+k21+· · ·+k2

p)1/2, а символ

”∗“ позначає операцiю ермiтового спряження.

Цi простори складаються з функцiй, коефiцiєнти Фур’є яких мають експоненцiйнуповедiнку. Така властивiсть є характерною ознакою нелокальних задач для безтипнихрiвнянь з частинними похiдними зi змiнними коефiцiєнтами.

Для рiвнянь зi сталими коефiцiєнтами задачi типу (1), (2) мають розв’язки [4, 5] ушкалi просторiв Соболєва Hq(Ω

p2π), де простiр Hq(Ω

p2π), q ∈ R, є поповненням множи-

ни тригонометричних многочленiв за нормою

‖ψ;Hq(Ωp2π)‖ =

( ∑

k∈Zp

k 2qψ∗kψk

)1/2

.

У роботах [6, 7, 8] встановлено, що розв’язки нелокальних задач для рiвнянь зiзмiнними коефiцiєнтами гiперболiчного типу (строго гiперболiчних) другого порядку

Нелокальна багатоточкова задача 49

за змiнною t, також належать шкалi просторiв Соболєва, якщо цiй шкалi належатьправi частини задач.

Нелокальнi задачi для гiперболiчних рiвнянь та систем зi сталими коефiцiєнтами,факторизованих та деяких iнших рiвнянь вивчалися, зокрема, у роботах [9, 10, 11, 12]

Розглядуванi задачi є некоректними за Адамаром, а їх розв’язнiсть пов’язана з про-блемою малих знаменникiв, якi виникають в рядах Фур’є, що зображають формальнiрозв’язки. Для отримання оцiнок знизу малих знаменникiв використовується метри-чний пiдхiд [13, 14].

Iснування розв’язку встановлюється для всiх задач за винятком множини задачмалої мiри в просторi коефiцiєнтiв крайових умов.

В данiй роботi, яка є продовженням роботи [8] на випадок змiнних коефiцiєнтiв вголовнiй частинi рiвняння, показано, що майже всi задачi (1), (2) розв’язнi в просторахСоболєва, подiбно до нелокальних задач для диференцiальних рiвнянь з частиннимипохiдними зi сталими коефiцiєнтами. Встановлено гладкiсть їх розв’язкiв та залежнiстьгладкостi вiд коефiцiєнтiв нелокальних умов.

Розв’язком задачi (1), (2) у шкалi просторiв Hq(Ωp2π)q∈R називаємо n разiв непе-

рервно диференцiйовну на вiдрiзку [0, T ] функцiю u = u(t, x) таку, що для кожногоt ∈ [0, T ] елементи u(t, ·), Dtu(t, ·), . . . , Dn−1

t u(t, ·) належать до цiєї шкали, i u задоволь-няє рiвняння (1) та умови (2) у слабкому сенсi:

∫

Ωp2π

L(t,Dt, D)u(t, ·)w dt = 0,

∫

Ωp2π

(lu− ϕ)w dt = 0

для всiх t ∈ [0, T ] та для всiх тригонометричних многочленiв w = w(x).Розв’язок шукаємо в банаховому просторi Hn

l,q(Dp), де Hnl,q(Dp), l, q ∈ R, n ∈ N, —

простiр функцiй u = u(t, x) таких, що Djtu ∈ C

([0, T ],Hq−lj(Ω

p2π)

)для кожного значення

j = 0, 1, . . . , n; норму в просторi Hnl,q(Dp) визначимо формулою

‖u;Hnl,q(Dp)‖ =

( n∑j=0

‖Djtu;C

([0, T ],Hq−lj(Ω

p2π)

)‖2)1/2

.

Якщо U j ∈ C([0, T ],Hq(Ω

p2π)

)для j = 1, . . . , n, то вважаємо, що вектор-функцiя

U = col(U1, . . . , Un) належить до Hq(Dp) i ‖U ;Hq(Dp)‖2 =n∑

j=1

‖U j;C([0, T ],Hq(Ω

p2π)‖2.

Для довiльної послiдовностi комплексних чисел F (k) введемо псевдодиференцiаль-ний оператор F (D), який дiє у шкалi просторiв Hq(Ω

p2π) за формулою

F (D)ψ(x) =∑

k∈Zp

F (k)ψkeikx,

де ψ(x) =∑

k∈Zp

ψkeikx. Якщо послiдовнiсть |F (k)| обмежена зверху, то оператор F (D) є

обмеженим оператором у цiй шкалi, якщо— знизу, то обмеженим є оператор F−1(D);всякий обмежений оператор вiдображає простiр Hq(Ω

p2π) в себе.

Послiдовнiсть k , що використовується в означеннi норми ‖ϕ;Hq(Ωp2π)‖, визначає опе-

ратор D, який для всiх q1 ∈ R справджує формулу ‖ϕ;Hq(Ωp2π)‖ = ‖Dq1ϕ;Hq−q1(Ω

p2π)‖

для довiльної функцiї ϕ з простору Hq(Ωp2π), зокрема ‖ϕ;Hq(Ω

p2π)‖ = ‖Dqϕ;H0(Ω

p2π)‖.


2 Побудова розв’язку та умови iснування у просторах Соболєва

Нехай λj(t, k) = ik lµj(t, k) при j = 1, . . . , n, а функцiя Uk(t) визначається формулою

Uk(t) = col(U1

k (t), . . . , Unk (t)

)= col

(k nluk(t), k

(n−1)lu′k(t), . . . , klu

(n−1)k (t)

), (4)

де uk(t) — коефiцiєнти Фур’є розв’язку u задачi (1), (2). Якщо U ∈ Hq−nl(Dp), то iз за-мiни (4) випливає, що Dj

tu ∈ C([0, T ],Hq−lj(Ω

p2π)

)при j = 0, 1, . . . , n, тобто u ∈ Hn

l,q(Dp).Вектор-функцiя U = col(U1, . . . , Un) =

∑k∈Zp

Uk(t)eikx задовольняє систему диферен-

цiальних рiвнянь

DtU = iDlA(t, D)U, A(t,D) = A0(t,D) + A1(t,D), (5)

де A0(t,D) i A1(t,D) оператор-матрицi порядку n з елементами A0ij(t,D) та A1

ij(t,D),причому A0(t, 0) = 0, A1

i,i+1(t, 0) = 1, A0i,i+1(t, k) = 1 при k 6= 0, i = 1, . . . , n − 1,

A0nj(t, k) = −i−jA0

j(t, k/k l), A1nj(t, k) = −(ik l)−jA1

j(t, k), всi iншi елементи A0ij(t, k) та

A1ij(t, k) є нулями. Оператори A0(t,D) та iDlA1(t,D)— обмеженi для всiх t ∈ [0, T ].Числа µj(t, k) дорiвнюють нулевi при k = 0, а при k 6= 0 є простими коренями

многочлена

L0(µ, t, k) = µn +n∑

j=1

A0nj(t, k)µn−j =

n∏j=1

(µ− µj(k)

)(6)

з обмеженими на [0, T ] × Zp коефiцiєнтами A0nj(t, k), j = 1, . . . , n, тому вони також

обмеженi зверху:supj,t,k

|µj(t, k)| ≤ µ, (7)

де µ залежить лише вiд |ajs|, |s| = jl, j = 1, . . . , n, а похiдна L0(µ, t, k), k 6= 0, зазмiнною µ многочлена (6) на його коренях внаслiдок строгої гiперболiчностi обмеженазнизу, тому

supj,t,k

|L0(µj(k), t, k)| = supj,t,k

n∏

j=1,j 6=α

∣∣µj(t, k)− µα(t, k)∣∣ ≥ d. (8)

Введемо новi невiдомi вектори Zk(t) = col(Z1

k(t), . . . , Znk (t)

)за формулою

Uk(t) = R(t, k)G(t, k)Zk(t), (9)

де R(t, 0), G(t, 0) — одиничнi матрицi, R(t, k) =(µα−1

j (t, k))n

α,j=1— матриця Вандер-

монда, G(t, k) = diag(exp(ik l

∫ t

0µj(τ, k) dτ)

)n

j=1—дiагональна матриця, тому для k 6= 0

маємо Uαk (t) =

n∑j=1

µα−1j (t, k) exp

(ik l

∫ t

0µj(τ, k) dτ

)Zj

k(t), а також Uα0 (t) = Zα

0 (t) для k = 0.

Оскiльки G′(t, k) = iDl diag(µj(t, k))nj=1 · G(t, k), то функцiя Z =

∑k∈Zp

Zk(t)eikx, задо-

вольняє систему диференцiальних рiвнянь

DtZ = G−1(t,D)R−1(t,D)(iDlA1(t,D)R(t,D)G(t,D)−DtR(t,D)G(t,D)

)Z. (10)


Елементи iDlA1ij(t,D) матрицi iDlA1(t,D) є обмеженими операторами, як i елементи

матриць R(t,D) та G(t,D), для всiх t ∈ [0, T ]. Оберненi матрицi R−1(t,D) та G−1(t,D)

мають обмеженi елементи, оскiльки [15, 16, с. 428]

R−1(t, k) = diag((

L0(µj(t, k), t, k))−1)n

j=1· (A0

n,n−i−j+1(t, k))n

i,j=1·R(t, k),

G−1(t, k) = diag(exp(−ik l

∫ t

0

µj(τ, k) dτ))n

j=1,

де A0n,0(t, k) — одинична, а A0

n,j(t, k) — нульова матрицi при j < 0 та k 6= 0; елементи(α− 1)Dtµj(t, k)µα−2

j (t, k) матрицi DtR(t, D) також є обмеженими операторами.

Теорема 1. Якщо вектор-функцiя Z задовольняє систему рiвнянь (10) i Z ∈ Hq1(Dp),q1 ∈ R, то вектор-функцiя U = R(t,D)G(t,D)Z задовольняє систему рiвнянь (5) iналежить до простору Hq1(Dp). Якщо фундаментальна1 матриця Φj(t,D) системи (10)нормована рiвнiстю Φj(tj, D) = G−1(tj, D)R−1(tj, D), де j = 1, . . . , n, то

U = R(t,D)G(t,D)Φj(t,D)C ∈ Hq1(Dp), U(tj, ·) = C, (11)

для довiльної вектор-функцiї C ∈ Hq1(Ωp2π).

Доведення. Оскiльки стовпцi матрицi R(t,D) i числа µj(t,D) є вiдповiдно власнимивекторами та власними значеннями матрицi A0(t,D), а значить

R(t,D)DtG(t,D) = iDlR(t,D) diag(µj(t,D)

)n

j=1G(t,D) = iDlA0(t,D)R(t,D)G(t, D),

i G−1(t,D)R−1(t,D)DtZ = iDlA1(t,D)R(t,D)G(t,D) − DtR(t,D)G(t,D)Z, останнє ви-пливає з рiвностi (10), то

DtU = R(t,D)DtG(t,D)Z + DtR(t,D)G(t,D)Z + R(t,D)G(t,D)DtZ =

= iDlA0(t,D)R(t,D)G(t,D)Z + i DlA1(t, D)R(t,D)G(t,D)Z,

тобто DtU = iDlA(t,D)U . Внаслiдок обмеженостi операторiв R(t,D) i G(t,D) та iзумови Z ∈ Hq1(Dp) випливає включення U ∈ Hq1(Dp).

Загальний розв’язок рiвняння Z ′k = A2(t, k)Zk, де

A2(t, k) = G−1(t, k)R−1(t, k)(ik lA1(t, k)R(t, k)G(t, k)−R′(t, k)G(t, k)

),

визначається формулою Zk = Φj(t, k)Ck, де Ck ∈ C n, тому

Z = Φj(t,D)C, U = R(t,D)G(t,D)Φj(t,D)C

для C =∑

k∈Zp

Ckeikx, а також U(tj, ·) = R(tj, D)G(tj, D)Φj(tj, D)C = C.

Пiд фундаментальною матрицею Φ(t,D) системи (10) розумiємо матрицю, що породжена послiдовнi-стю матриць Φ(t, k)k∈Zp , де Φ(t, k) — фундаментальна матриця системи звичайних диференцiальнихрiвнянь, яка отримується iз системи (10) замiною оператора D на вектор k ∈ Zp.


Оскiльки для слiду tr(Φ∗

j(t, k)Φj(t, k))справджується формула

(tr

(Φ∗

j(t, k)Φj(t, k)))′

= tr(Φ∗

j′(t, k)Φj(t, k) + Φ∗

j(t, k)Φ′j(t, k)

)=

= tr(Φ∗

j(t, k)(A2∗(t, k) + A2(t, k)

)Φj(t, k)

),

то iз нерiвностей для слiдiв

β1 tr(Φ∗

j(t, k)Φj(t, k)) ≤ tr

(Φ∗

j(t, k)(A2∗(t, k) + A2(t, k)

)Φj(t, k)

) ≤≤ β2 tr

(Φ∗

j(t, k)Φj(t, k))

де β1 i β1 — незалежнi вiд t та k сталi, отримуємо нерiвностi для похiдних(e−β1t tr

(Φ∗

j(t, k)Φj(t, k)))′ ≥ 0,

(e−β2t tr

(Φ∗

j(t, k)Φj(t, k)))′ ≤ 0.

Iнтегруючи цi нерiвностi на вiдрiзку [tj, t], отримуємо вiдповiдно при t < tj та при t ≥ tjоцiнки

tr(Φ∗

j(t, k)Φj(t, k)) ≤ eβ1(t−tj) tr

(R∗−1(k)R−1(k)

),

tr(Φ∗

j(t, k)Φj(t, k)) ≤ eβ2(t−tj) tr

(R∗−1(k)R−1(k)

).

Отже, оператор Φj(t, D), а разом з ним i оператор R(D)G(t,D)Φj(t,D) є обмеженим.Звiдси маємо, що U ∈ Hq1(Dp), якщо C ∈ Hq1(Ω

p2π).

Введемо матрицi Bα(D), α = 1, . . . , M , якi є обмеженими операторами, за допомогоюформули

Bα(D) =(D−nlBnα(D), D−(n−1)lBn−1,α(D), . . . , D−lB1α(D)

),

тодi з врахуванням (4) умови (2) перетворяться до вигляду

M∑α=1

Bα(D)U |t=tα = ϕ. (12)

Використовуючи (11), отримаємо систему рiвнянь для визначення вектор-функцiї C:

∆j(D)C = ϕ, (13)

де

∆j(D) = Bj(D) +M∑

α=1,α6=j

Bα(D)R(D)G(t,D)Φj(tα, D), j = 1, . . . , n. (14)

Теорема 2. Якщо для деякого j, 1 ≤ j ≤ n, iснує оператор ∆−1j (D), то задача (5), (12)

має не бiльше одного розв’язку. При виконаннi для всiх k ∈ Zp сильнiшої умови, а саме,нерiвностi

ϕ∗k∆−1∗j (k)∆−1

j (k)ϕk ≤ β3k2r, β3 > 0, r ∈ R, (15)

де ϕk — коефiцiєнти Фур’є вектор-функцiї ϕ, розв’язок U iснує, належить до просторуHq−nl(Dp), де q < nl − r − p/2, i визначається формулою

U = R(D)G(t,D)Φj(t,D)∆−1j (D)ϕ. (16)

При цьому iснує єдиний розв’язок u задачi (1), (2), а саме u = D−nlU1 ∈ Hnl,q(Dp).


Доведення. Якщо U та ˜U рiзнi розв’язки задачi (5), (12), то U0 = U − ˜

U —ненульовийрозв’язок однорiдної (ϕ = 0) задачi (5), (12), тому

U0 = R(D)G(t, D)Φj(t,D)C,

як у формулi (11), i ∆j(D)C = 0, де C =∑

k∈Zp

Ckeikx, причому C 6= 0.

Тодi iснує k ∈ Zp таке, що Ck 6= 0. Оскiльки Ck визначається iз системи лiнiй-них однорiдних алгебричних рiвнянь ∆j(k)Ck = 0, то матриця ∆j(k) є виродженою,det ∆j(k) = 0. Отже, матриця ∆−1

j (k) не iснує, як i оператор ∆−1j (D), що суперечить

припущенню теореми. Єдинiсть розв’язку U доведено.З теореми 1 для деякої додатної сталої β4 випливає, що

‖U ;Hq−nl(Dp)‖2≤ β4‖∆−1j (D)ϕ;Hq−nl(Ω

p2π)‖2 = β4

∑

k∈Zp

k 2(q−nl)ϕ∗k∆−1∗j (k)∆−1

j (k)ϕk. (17)

Використовуючи умову (15) та рiвнiсть (17), маємо при q < nl − r − p/2 включенняU ∈ Hq−nl(Dp), оскiльки ‖U ;Hq−nl(Dp)‖2 ≤ β3β4

∑k∈Zp

k 2(q−nl+r) < ∞.

За формулою (4) отримуємо, що u = D−nlU1 i ‖u;Hnl,q(Dp)‖ = ‖U ;Hq−nl(Dp)‖.

За єдиностi розв’язку задачi (5), (12), умова (15) виконується для всiх скiнченнихвектор-сум ϕ, причому стала β3 залежить вiд функцiї ϕ.

Ця умова може виконуватися для якоїсь функцiї iз простору Hq1(Ωp2π) i не виконува-

тися для iншої функцiї iз цього ж простору. Щоб усунути таку залежнiсть, перетворимолiву частину формули (15).

Нехай ϕ — довiльна функцiя iз простору Hq1(Ωp2π), тодi iз обмеженостi елементiв

матрицi ∆j(D) випливає нерiвнiсть

ϕ∗k∆−1∗j (k)∆−1

j (k)ϕk ≤ β5ϕ∗kϕk/| det ∆j(k)|2, (18)

де стала β5 не залежить вiд k та вiд ϕ.

Теорема 3. Якщо для деякої послiдовностi j(k), де 1 ≤ j(k) ≤ n, виконується умова

| det ∆j(k)(k)| ≥ β6kr, β6 > 0, k ∈ Zp, (19)

то задача (1), (2) має єдиний розв’язок u ∈ Hnl,q(Dp) для довiльної функцiї ϕ iз простору

Hq−nl−r(Ωp2π).

Доведення. Згiдно з формулою (16) розв’язок задачi (5), (12) має вигляд

U(t, x) =∑

k∈Zp

R(k)G(t, k)Φj(t, k)∆−1j (k)ϕke

ikx,

причому iндекс j може залежати вiд вектора k, тобто j = j(k). Тому з нерiвностей (17)та (18) випливає оцiнка

‖U ;Hq−nl(Dp)‖2 ≤ β4β5

∑

k∈Zp

k 2(q−nl)ϕ∗kϕk/|∆−1j(k)(k)|2.

Тепер iз умови (19) i теореми 2 випливає, що u ∈ Hnl,q(Dp), оскiльки

‖u;Hnl,q(Dp)‖2 ≤ β4β5β

−26 ‖ϕ;Hq−nl−r(Ω

p2π)‖2.


3 Оцiнки малих знаменникiв

Вирази ∆j(k)(k) є полiлiнiйними функцiями елементiв матриць B1(k), . . . , Bn(k) iнелiнiйно залежать вiд елементiв матрицi A0(k) та матрицi A1(t, k). Вони, взагалi, ємалими знаменниками задачi (1), (2), якi можуть також обертатися в нуль для деякихзначень її коефiцiєнтiв.

Будемо використовувати метричний пiдхiд для отримання оцiнок знизу знаменни-кiв |∆j(k)(k)|, вважаючи фiксованим рiвняння (1). Елементи векторiв Bjαs iз умови (2)належать одиничному кругу O з центром у початку координат комплексної площини,тобто Bjαs ∈ On. Це не обмежує загальностi i отримується нормуванням умови (2).

Позначимо через δ(k) матрицю ∆j(k)(k). Послiдовнiсть j(k) виберемо далi. Нехайпершi n коефiцiєнтiв мають вигляд

b1 = Bζ1

1α1s1 , b2 = Bζ2

2α1s2 , . . . , bn = Bζn

nα1sn ,

де sj = (θj, 0, . . . , 0), 0 ≤ θj ≤ jl, j = 1, . . . , n, другi n коефiцiєнтiв —

bn+1 = Bζn+1

1α2sn+1 , bn+2 = Bζn+2

2α2sn+2 , . . . , b2n = Bζ2n

nα2s2n ,

де sj = (0, θj, 0, . . . , 0), 0 ≤ θj ≤ (j − n)l, j = n + 1, . . . , 2n, останнi n коефiцiєнтiввибираємо так:

b(p−1)n+1 = Bζ(p−1)n+1

1αps(p−1)n+1 , b(p−1)n+2 = Bζ(p−1)n+2

2αps(p−1)n+2 , . . . , bpn = Bζpn

nαpspn ,

де sj = (0, . . . , 0, θj, ), 0 ≤ θj ≤ (j − (p − 1)n)l, j = (p − 1)n + 1, . . . , pn, причомуα1, . . . , αp ∈ 1, . . . , Mp,

ζ1, . . . , ζn = ζn+1, . . . , ζ2n = · · · = ζ(p−1)n+1, . . . , ζpn = 1, . . . , n.

Визначимо число θ i вектор b формулами

θ = minj=1,...,p

n∑σ=1

θ(j−1)p+σ, b = col(b1, . . . , bpn). (20)

Вважаємо, що елементи матрицi δ(k), k ∈ Zp, залежать лише вiд компонент b1, . . . , bpn

вектора b ∈ Opn; iншi компоненти векторiв Bjαs фiксуємо.При цьому матриця δ(0), де δ(0) = ∆1(0), не залежить вiд b1, . . . , bpn, тому det δ(0)

є сталою стосовно цих коефiцiєнтiв. Фiксованi коефiцiєнти вибираємо так, щоб ця ма-триця була невиродженою (det δ(0) 6= 0).

Лема. Для довiльних чисел r та ε, i для всiх векторiв b ∈ Opn \ Bε, де 0 < ε < 1,r < θ−n(p+nl+l)/2, meas Bε ≤ ε, виконується нерiвнiсть (19), причому стала β6 = β6(ε)

та множина Bε залежать вiд r i

β6 = εn/2 min| det δ(0)|/εn/2, n−n/2π−n2p/2

( ∑

k 6=0

k 2(r−θ)/n+nl+l)−n/2

> 0. (21)


Доведення. Нехай k = 0, тодi | det δ(0)| ≥ β6 i нерiвнiсть (19) виконується.Позначимо Ωk, k 6= 0, пiдмножину тих векторiв b iз множини Opn, для яких не

виконується нерiвнiсть (19) для фiксованого значення k. Очевидними є такi рiвностi:⋃k 6=0

Ωk = Bε i meas Bε ≤∑k 6=0

meas Ωk.

Якщо k 6= 0 i |k1| = max|k1|, . . . , |k1|, то для j(k) = α1 розкладемо визначникdet δ(k) за останнiм його стовпцем

| det δ(k)| = |k1|θ1

k l

∣∣ det δ1(k)b1 − δ1(k)∣∣ ≥ k θ1−l

√p + 1

∣∣ det δ1(k)∣∣∣∣∣b1 − δ1(k)

det δ1(k)

∣∣∣, (22)

де матриця δ1(k) i функцiя δ1(k) не залежать вiд b1, а залежать вiд b2, . . . , bpn, причомуδ1(k) отримується iз δ(k) викреслюванням останнього стовпця i рядка з номером ζ1.

Для матрицi δ1(k), яка має порядок n− 1 формула (22) має вигляд

| det δ1(k)| ≥ k θ2−2l

√p + 1

∣∣ det δ2(k)∣∣∣∣∣b2 − δ2(k)

det δ2(k)

∣∣∣,

а матриця δ2(k) має порядок n − 2, не залежить вiд b1 та b2 i отримується з матрицiδ(k) викреслюванням двох останнiх стовпцiв i двох рядкiв з номерами ζ1 i ζ2. Такимспособом отримуємо послiдовнiсть матриць δ1(k), . . . , δn(k) i нерiвностей

| det δm−1(k)| ≥ k θm−ml

√p + 1

∣∣ det δm(k)∣∣∣∣∣bm − δm(k)

det δm(k)

∣∣∣,

де m = 2, . . . , n, det δn(k) = 1.Об’єднуємо цi нерiвностi з нерiвнiстю (22) в одну нерiвнiсть

| det δ(k)| ≥ k θ1+···+θn−n(n+1)l/2

(p + 1)n/2

n∏m=1

∣∣∣bm − δm(k)

det δm(k)

∣∣∣. (23)

Формула (23) справджується для тих векторiв b ∈ Opn, для яких виконується нерiвнiсть

det δ1(k) · · · det δn−1(k) =n∏

m=2

∣∣∣bm − δm(k)

det δm(k)

∣∣∣ 6= 0.

Множник bm − δm(k)

det δm(k), m = 1, . . . , n, лiнiйно залежить вiд bm, тому

∣∣∣bm − δm(k)

det δm(k)

∣∣∣ ≥ β1/n6 k (r−θ)/n+(n+1)l/2 (24)

для всiх bm ∈ O \ Ωmk (b1, . . . , bm−1, bm+1, . . . , bpn), де Ωm

k (b1, . . . , bm−1, bm+1, . . . , bpn) є про-екцiєю на m-ту координату множини векторiв Ωm

k (b1, . . . , bm−1, bm+1, . . . , bpn). Остання єпiдмножиною векторiв з фiксованими компонентами b1, . . . , bm−1, bm+1, . . . , bpn множиниΩm

k векторiв b, для яких не виконується нерiвнiсть (24).Множина Ωm

k (b1, . . . , bm−1, bm+1, . . . , bpn) — пiдмножина множини, що є перетиноммножини O та круга радiуса β

1/n6 k (r−θ)/n+(n+1)l/2 з центром у точцi δm(k)/ det δm(k),

томуmeas Ωm

k (b1, . . . , bm−1, bm+1, . . . , bpn) ≤ πβ2/n6 k 2(r−θ)/n+nl+l.


Iнтегруючи останню нерiвнiсть за змiнними b1, . . . , bm−1, bm+1, . . . , bpn в областi Opn−1

маємо

meas Ωmk ≤ πpnβ

2/n6 k 2(r−θ)/n+nl+l.

На множинi Opn \( n⋃

m=1

Ωmk

)нерiвнiсть (24) виконується для всiх m = 1, . . . , n, отже

Ωk ⊂n⋃

m=1

Ωmk i

meas Ωk ≤ nπpnβ2/n6 k 2(r−θ)/n+nl+l. (25)

Для векторiв k ∈ Zp таких, що |k1| < |k2| = max|k1|, . . . , |kp| також виконуєтьсяоцiнка (25). ЇЇ отримуємо встановлюючи оцiнку (23) для вектора bn+1, . . . , b2n та при-ймаючи j(k) = α2.

Аналогiчно встановлюється оцiнка (25) для всiх iнших векторiв k ∈ Zp.Пiдставляючи нерiвнiсть (24) у (24) i враховуючи (20) отримуємо шукану нерiвнiсть

(19). Iз нерiвностi (25) випливає нерiвнiсть для мiри множини Bε:

meas Bε ≤∑

k 6=0

meas Ωk ≤ nπpnβ2/n6

∑

k 6=0

k 2(r−θ)/n+nl+l = ε.

Теорема 4. Якщо виконуються нерiвностi

0 < ε < min1,

(nn/2πn2p/2| det δ(0)|/(

∑

k 6=0

k 2(r−θ)/n+nl+l)−n/2)2/n, r < θ − n(p + nl + l)/2,

а також умова ϕ ∈ Hq−nl−r(Ωp2π), то для всiх векторiв b ∈ Opn \ Bε, де Bε, meas Bε ≤ ε,

множина iз леми, iснує єдиний розв’язок u, u ∈ Hnl,q(Dp), задачi (1), (2) та виконується

нерiвнiсть

‖u;Hnl,q(Dp)‖2 ≤ ε−nβ4β5n

nπn2p( ∑

k∈Zp\0k 2(r−θ)/n+(n+1)l

)n

‖ϕ;Hq−nl−r(Ωp2π)‖2. (26)

Доведення. Якщо b ∈ Opn \ Bε, то за лемою виконується нерiвнiсть (19) зi сталою β6,яка визначається формулою β6 = εn/2n−n/2π−n2p/2

( ∑k 6=0

k 2(r−θ)/n+(n+1)l)−n/2 згiдно iз (21),

а, отже, iснує єдиний розв’язок задачi (1), (2). Нерiвнiсть (26) безпосередньо випливаєiз формул (17) та (18).

Iз теореми 4 випливає, що розв’язок iснує в просторi Hnl,q(Dp) для бiльшостi задач

(1), (2), якщо ϕ ∈ Hψ(Ωp2π) та ψ > q + n(p + nl + l)/2− nl− θ. В залежностi вiд вигляду

вектора b стала θ змiнюється вiд максимального значення n(nl + l)/2 до мiнiмальногозначення 0, тобто дiапазон граничних значень гладкостi вектор-функцiї ϕ—це iнтервал(q + np/2− nl, q + np/2− nl + n(nl + l)/2).


4 Висновки

Задача iз загальними багатоточковими нелокальними умовами для строго гiперболi-чних рiвнянь високого порядку з неперервними за t коефiцiєнтами є розв’язною у шкалiпросторiв Соболєва перiодичних за змiнною x функцiй, причому гладкiсть правої ча-стини задачi (iз достатнiх умов iснування розв’язку) залежить вiд вибору коефiцiєнтiвкрайових умов в якостi змiнних параметрiв.

Отриманi результати можна поширити на випадок систем гiперболiчних рiвняньвисокого порядку.

Лiтература

1. Iлькiв В. С. Багатоточкова нелокальна неоднорiдна задача для систем рiвнянь з частинними по-хiдними зi змiнними за t коефiцiєнтами // Мат. вiсник НТШ. — 2004. — 1. — С. 47-58.

2. Iлькiв В. С. Нелокальна крайова задача для неоднорiдної системи диференцiальних рiвнянь зчастинними похiдними та змiнними коефiцiєнтами // Вiсник Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. — 2000.— Вип. 58. — С. 139-143.

3. Iлькiв В. С. Двоточкова нелокальна крайова задача для системи неоднорiдних рiвнянь iз частин-ними похiдними// Мат. методи i фiз.-мех. поля. — 2002. — 45, 4. — С. 87-94.

4. Iлькiв В. С. Нелокальна крайова задача для нормальних анiзотропних систем iз частинними по-хiдними i сталими коефiцiєнтами // Вiсник Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. — 1999. — Вип. 54. — С.84-95.

5. Iлькiв В. С. Нелокальна крайова задача для систем iз частинними похiдними в анiзотропних про-сторах // Нелинейные граничные задачи. — 2001. — 11. — С. 57-64.

6. Iлькiв В. С. Крайова задача з нелокальними двоточковими умовами для гiперболiчного рiвняннядругого порядку // Вiсник нац. ун-ту. ”Львiвська полiтехнiка“. Фiз.-мат. науки. — 2006. — 566.— С. 41-51.

7. Iлькiв В. С., Магеровська Т. В. Нелокальна двототочкова задача для строго гiперболiчного рiвня-ння зi змiнними коефiцiєнтами другого порядку // Мат. вiсник НТШ. — 2006. — 3. — С. 69-83.

8. Iлькiв В. С., Магеровська Т. В. Задача з нелокальними багатоточковими умовами для строгогiперболiчних рiвнянь високого порядку // Мат. вiсник НТШ. — 2007. — 4. — С. 107-115.

9. Гой Т. П. Нелокальна крайова задача для слабко нелiнiйного гiперболiчного рiвняння // VI-аМiжнар. наук. конф. iм. М. Кравчука: Матерiали конф. — Київ. — 1997. — С. 108.

10. Гой Т. П., Пташник Б. Й. Задача з нелокальними умовами для слабко нелiнiйного гiперболiчногорiвняння зi сталими коефiцiєнтами // Нелинейные краевые задачи математической физики и ихприложения. — К.: Ин-т мат. НАН Украины. — 1996. — С. 74-76.

11. Гой Т. П., Пташник Б. Й. Задача з нелокальними умовами для слабконелiнiйних гiперболiчнихрiвнянь // Укр. мат. журн. — 1997. — 49, 2. — C. 186-195.

12. Полищук В. Н. Задача с нелокальными краевыми условиями для гиперболических уравнений спеременными коэффициентами // Приближенные и качественные методы теории дифференци-альных и дифференциально-функциональных уравнений. — К.: Наук. думка. — 1979. — С. 54-65.

13. Пташник Б. И. Некорректные граничные задачи для дифференциальных уравнений с частнымипроизводными. — К.: Наук.думка, 1984. — 264 с.

14. Пташник Б. Й., Iлькiв В. С., Кмiть I. Я., Полiщук В. М. Нелокальнi крайовi задачi для рiвняньiз частинними похiдними. — К.: Наук. думка, 2002. — 416 с.


15. Илькив В. С. Компактное обращение обобщенной матрицы Вандермонда. — Деп. в НИИЭИР. Сб.реф. деп. рук. ВИМИ, 1991. — Вып. 5, 3-8836. — 10 с.

16. Higham N. J. Accuracy and stability of numerical algorithms. — SIAM, 1996. — 688 p.

Нацiональний унiверситет “Львiвська полiтехнiка”,

Львiв, Україна.


Il’kiv V.S. The smoothness of solutions of the problems with nonlocal multi-point conditions forstrictly hyperbolic equations, Carpathian Mathematical Publications, 1, 1 (2009), 47–58.

We consider the problem with nonlocal multi-point boundary conditions for high order intime strictly hyperbolic equation with variable coefficients in Cartesian product of the timeinterval and the spatial multidimensional torus. We establish the solvability of this problem inthe Sobolev spaces scale for almost all (except for the set of a given small measure) vectors ofcoefficients in the nonlocal conditions. We prove the metric theorem of the lower estimation ofsmall (nonlinear) denominators of the problem.

Илькив В.С. Гладкость решений задач с нелокальными многоточечными условиями длястрого гиперболических уравнений // Карпатские математические публикации. — 2009.— Т.1, 1. — C. 47–58.

В декартовом произведении часового отрезка и пространственного многомерного то-ра для строго гиперболического уравнения с переменными коэффициентами исследованыусловия разрешимостi задачи с многоточечными нелокальными условиями. С помощьюметричного подходу встановлено существование и единственность решения в шкале про-странств Соболева. Доказано теорему об оценках снизу малых знаменателей, которыевозникают в процессе построения этого решения. Установлена зависимость между гладко-стью решения, гладкостью правых частей задачи и коэффициентами граничных условий.



УДК 517.948

Копач М.I., Обшта А.Ф., Шувар Б.А.

ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI НЕРIВНОСТI З ОДНОСТОРОННЬОЮ

ЛIПШИЦIЄВICТЮ

Копач М.I., Обшта А.Ф., Шувар Б.А. Диференцiальнi нерiвностi з односторонньою лi-пшицiєвicтю // Карпатськi математичнi публiкацiї. — 2009. — Т.1, 1. — C. 59–64.

Отримано новi результати про диференцiальнi нерiвностi за припущень, якi є слабши-ми за умову Лiпшиця.

Численнi застосування iнтегральних, диференцiальних та iнших класiв оператор-них нерiвностей стимулюють iнтерес до їх теорiї, започаткованої Пеано в 1885 – 1886роках (див., напр., [2, c. 60]). Обширну бiблiографiю щодо цього можна знайти в [4].Поява нових дослiджень про операторнi, зокрема iнтегральнi нерiвностi (див., напр.,[5, 3] та бiблiографiю в них) спонукає звернутись до запропонованої М. С. Курпелемметодики побудови i обгрунтування тверджень про двостороннi операторнi нерiвностi(див., напр., [1]).

В теорамах про строгi диференцiальнi нерiвностi, в яких з нерiвностей

p′(t) < f(t, p(t)) (t ∈ [t0, t1]), p(t0) 6 x(t0)

випливає нерiвнiсть p(t) < x(t) при t ∈ (t0, t2), (t2 ∈ [t0, t1]) з неперервно диференцiйов-ними функцiєю p(t) та розв’язком x(t) рiвняння

x′ = f(t, x), (1)

вимагається неперервностi f(t, x) по сукупностi аргументiв, а в теоремах про нестро-гi диференцiальнi нерiвностi, в яких iз спiввiдношень u′(t) 6 f(t, u(t)), u(t0) 6 x(t0)

випливає u(t) 6 x(t) при t > t0, нерiдко фiгурує умова Лiпшиця для f(t, x) щодо x.

Пропонована замiтка присвячена диференцiальним нерiвностям для рiвнянь (1) зпочатковою умовою

x(t0) = x0 (2)

за припущення, що функцiя f(t, x) задовольняє умову Лiпшиця в неповному об’ємi.Одержанi результати можна розглядати як покращення вiдповiдних результатiв iз [2]


c©Копач М.I., Обшта А.Ф., Шувар Б.А., 2009

60 Копач М.I., Обшта А.Ф., Шувар Б.А.

у зв’язку з наведеними в [2, c. 40, 49] твердженнями про однозначну розв’язнiсть таоцiнку розв’язку скалярного диференцiального рiвняння (1).

Вважатимемо f(t, x) неперервною при t ∈ [t0, t1], x ∈ S(x0) = x||x−x0| 6 M,x, x0 ∈R1 функцiєю (−x < t0 < t1 < ∞, R1 — множина дiйсних чисел).

Умовою A назвемо припущення про iснування неперервної i невiд’ємної при t ∈[t0, t1] функцiї l1(t), для якої iз спiввiдношень t ∈ [t0, t1], y, z ∈ S(x0), y 6 z випливаєнерiвнiсть

f(t, z)− f(t, y) =6 l1(t)(z − y).

Теорема 1. Нехай: 1) виконана умова A; 2) iснує неперервно диференцiйовний на [t0, t1]

розв’язок x(t) задачi (1), (2); 3) заданi неперервно диференцiйовнi функцiї u(t), v(t), якiпри t ∈ [t0, t1] задовольняють нерiвностi

u′(t) 6 f(t, u(t)), v′(t) > f(t, v(t)), (3)

при чомуu(t0) 6 x(t0) 6 v(t0). (4)

Тодi для єдиного неперервно диференцiйовного на [t0, t1] розв’язку x(t) задачi (1), (2)при t ∈ [t0, t1] справджуються оцiнки

u(t) 6 x(t) 6 v(t). (5)

Доведення. Припустимо iснування множини D таких значень t ∈ [t0, t1], для яких невиконується хоч одне iз спiввiдношень (5). Позначимо t∗ = inf D. Очевидно, що t∗ ∈[t0, t1], t∗ не належить D, якщо множина D не є порожньою. Нехай t2 ∈ D таке, щоu(t2) > x(t2) або x(t2) > v(t2). Приймемо для конкретностi, що u(t2) > x(t2). Тодiu(t) > x(t) у деякому околi точки t2, бо u(t) та x(t) — неперервнi. Без обмеженнязагальностi i задля спрощення мiркувань вважатимемо, що u(t) > x(t) при t ∈ [t∗, t2].Скориставшись з (1), (3) та умови A, на [t∗, t2] будемо мати

x′(t)− u′(t) > f(t, x(t))− f(t, u(t)) > −l1(t)(u(t)− x(t)) = l1(t)(x(t)− u(t)).

Позначивши w(t) = x(t)− u(t), отримаємо

w′(t) = l1(t)w(t) + δ(t), w′(t∗) = 0, (6)

де δ(t) — деяка невiд’ємна неперервна при t ∈ [t∗, t2] функцiя. Оскiльки явний розв’язокзадачi (6) має вигляд

w(t) =

∫ t

t∗δ(s)e

∫ ts l1(ξ)dξds,

то w(t) > 0 при t ∈ [t∗, t2]. Отримана суперечнiсть з припущенням доводить справедли-вiсть твердження теореми щодо оцiнок (5).

З неперервностi f(t, x) випливає iснування нижнього y(t) i верхнього z(t) розв’язкiвзадачi (1), (2). Тодi

z′(t)− y′(t) = f(t, z(t))− f(t, y(t)) 6 l1(t)(z(t)− y(t)).

Диференцiальнi нерiвностi з односторонньою лiпшицiєвicтю 61

Позначивши z(t)− y(t) = ϕ(t), матимемо

ϕ′(t) = l1(t)ϕ(t)− τ(t), τ(t∗) = 0 (7)

де τ(t) — неперервна невiд’ємна при t ∈ [t0, t1] функцiя. З явного вигляду розв’язку

ϕ(t) = −∫ t

t0

τ(s)e∫ t

s l1(ξ)dξds

задачi (7) робимо висновок, що ϕ(t) 6 0. Одержана нерiвнiсть суперечить тому, щоz(t) 6 y(t) для будь-якого t ∈ [t0, t1] i y(t) 6= z(t) бодай для одного значення t ∈ [t0, t1].

Тому z(t) = y(t) для будь-якого t ∈ [t0, t1], тобто розв’язок задачi (1), (2) — єдиний.Теорему доведено. 2

Зауважимо, що правi i лiвi частини нерiвностей (3)–(5) взаємно незалежнi, томутеорему 1 можна було б подати у виглядi двох окремих теорем.

Назвемо умовою B припущення про iснування невiд’ємної неперервної при t ∈ [t0, t1]

функцiї l2(t), для якої iз спiввiдношень t ∈ [t0, t1], y 6 z, y, z ∈ S(x0) випливає нерiвнiсть

−l2(t)(z − y) 6 f(t, z)− f(t, y).

Теорема 2. Нехай: 1) виконана умова B; 2) при t ∈ [t0, t1] iснує неперервно диферен-цiйовний розв’язок x(t) задачi (1), (2); 3) система рiвнянь

y′(t) = f(t, z(t))− l2(t)(z(t)− y(t)),

z′(t) = f(t, y(t)) + l2(t)(z(t)− y(t))(8)

з початковими умовамиy(t0) = z(t0) = x0 (9)

має єдиний розв’язок (y(t), z(t)) з неперервно диференцiйовними на [t0, t1] компонентамиy(t), z(t); 4) заданi неперервно диференцiйовнi функцiї u(t), v(y), для яких

u′(t) = f(t, v(t))− l2(t)(v(t)− u(t)),

v′(t) = f(t, u(t)) + l2(t)(v(t)− u(t)), t ∈ [t0, t1],

u(t0) 6 x(t0) = x0 6 v(t0). (10)

Тодi для єдиного неперервного диференцiйовного розв’язку x(t) задачi (1), (2) при t ∈[t0, t1] справджуються оцiнки (5.)

Доведення. Розглянемо систему рiвнянь

ϕ′n(t) = f(t, ψn(t))− l2(t)(ψn(t)− ϕn(t)) + 1n,

ψ′n(t) = f(t, ϕn(t)) + l2(t)(ψn(t)− ϕn(t))− 1n, (n = n0, n0 + 1, . . .)

(11)

з початковими умовами

ϕn(t0) = ψn(t0) = x0 (n = n0, n0 + 1, . . .).


Якщо d > 0, то при (t, ϕ, ψ) ∈ D1 = (t, ϕ, ψ)|t ∈ [t0, t1], |ϕ− x0| 6 d, |ψ − x0| 6 dнеперервнi функцiї

f(t, ψ(t))− l2(t)(ψ(t)− ϕ(t)) +1

n, f(t, ϕ(t)) + l2(t)(ψ(t)− ϕ(t))− 1

n, (12)

як функцiї вiд t, обмеженi в сукупностi. Використовуючи методику Тонеллi (див. [2,c.21, 22, 38] ), розглянемо iтерацiйний процес

ϕn,k+1(t) = ϕn,0(t), ψn,k+1(t) = ψn,0(t) (t ∈ [t0 − 1

k, t0]), (13)

ϕn,k+1(t) = ϕn,0(t) +∫ t

t0f(s, ψn,k(s− 1

k))ds− ∫ t

t0l2(s)(ψn,k(s− 1

k)− ϕn,k(s− 1

k))ds + t−t0

n

ψn,k+1(t) = ψn,0(t) +∫ t

t0f(s, ϕn,k(s− 1

k))ds +

∫ t

t0l2(s)(ψn,k(s− 1

k)− ϕn,k(s− 1

k))ds− t−t0

n

(14)

де t ∈ [t0, t0 + 1k], k = k0, k0 + 1, . . . , k0 — яке-небудь натуральне число, для якого

1k0

< δ, δ > 0. Неперервно диференцiйовнi на [t0−δ, t0] функцiї ϕn,0(t), ψn,0(t) вважаємозаданими так, щоб

ϕn,0(t0) = ψn,0(t0) = x0,

ϕ′n,0(t0) = f(t0, ψn,0(t0))− l2(t0)(ψn,k(t0)− ϕn,k(t0)),

ψ′n,0(t0) = f(t0, ϕn,0(t0)) + l2(t0)(ψn,k(t0)− ϕn,k(t0)),

|ϕn,0(t)− x0| 6 d, |ψn,0(t)− x0| 6 d, |ϕ′n,0(t)| 6 M, |ψ′n,0(t)| 6 M (t ∈ [t0 − δ, t0]).

Функцiї ϕn,k+1(t), ψn,k+1(t) за допомогою вiдомого в теорiї диференцiальних рiвняньiз запiзненням аргументу методу крокiв можна продовжити на сегмент [t0, t0 + α], де

α = min

t1 − t0,

d

M

.

Послiдовностi ϕn,k(t), ψn,k(t) для кожного фiксованого n рiвномiрно обмеженi iрiвностепенево неперервнi. З них можна видiлити збiжнi пiдпослiдовностi, кожна з якихзбiгається рiвномiрно на [t0, t0 +α] до ϕn(t) та ψn(t) вiдповiдно. При цьому (ϕn(t), ψn(t))

— розв’язок задачi (13), (14). Оскiльки функцiї (12) обмеженi в сукупностi, наприклад,константою M1, то |ϕ′n(t)| 6 M1, |ψ′n(t)| 6 M1. Отже, на [t0, t0 +α] послiдовностi ϕn(t)та ψn(t) рiвномiрно обмеженi i рiвностепенево неперервнi. Лема Арцела дає пiдставувидiлити з них пiдпослiдовностi, якi на [t0, t0 +α] збiгаються рiвномiрно до границь y(t)

та z(t) вiдповiдно. Правi частини рiвностей (11) збiгаються вiдповiдно до

f(t, z(t))− l2(t)(z(t)− y(t)), f(t, y(t)) + l2(t)(z(t)− y(t)).

Тому (y(t), z(t)) є розв’язком задачi (8), (9) (див., напр., [2] ). Умови 2) та 3) теоремидозволяють вважати, що можна видiлити пiдпослiдовностi ϕnm(t), ψnm(t) послiдов-ностей ϕn(t), ψn(t) вiдповiдно, якi збiгаються рiвномiрно на [t0, t0 + α] до єдиногонеперервно диференцiйовного на [t0, t0 + α] розв’язку x(t) задачi (1), (2).

Перейдемо до доведення нерiвностей

u(t) < ϕn(t), v(t) > ψn(t) (n = n0, n0 + 1, . . .) (15)

Диференцiальнi нерiвностi з односторонньою лiпшицiєвicтю 63

на напiвiнтервалi (t0, t0 + α]. Очевидно, що u′(t0) < ϕ′n(t0), v′(t0) > ψ′n(t0). Тому знай-деться t ∈ (t0, t0 +α] таке, що при t ∈ (t0, t2) виконуються нерiвностi (15). Припускаючи,що цi нерiвностi справджуються не на всьому (t0, t1], допустимо iснування такого t3 ∈(t1, t0 + α), що при t ∈ (t0, t3) виконуються нерiвностi (15), а при t = t3 будемо мати

u(t3) 6 ϕn(t3), v(t3) > ψn(t3) (16)

i при цьому бодай одне iз спiввiдношень (16) є рiвнiстю. Нехай для визначеностi u(t3) =

ϕn(t3). Тодi з умови B отримуємо

ϕ′n(t3) = f(t3, ψn(t3))− l2(t3)(ψn(t3)− ϕn(t3)) +1

n>

f(t3, v(t3))− l2(t3)(v(t3)− u(t3)) +1

n> u′(t3) +

1

n> u′(t3). (17)

Оскiльки

ϕ′n(t3) = lim4t→0−

ϕn(t3 +4t)− ϕn(t3)

4t= lim

4t→0−

u(t3 +4t)− u(t3)

4t= u′(t3),

то одержана суперечнiсть iз строгою нерiвнiстю (17) доводить, що на (t0, t0+α) нерiвно-стi (15) виконуються. За допомогою граничного переходу приходимо до спiввiдношень(10) для t ∈ (t0, t0 + α).

Залишається довести можливiсть продовження оцiнок (10) на [t0, t1]. Припускаючипротилежне, вважатимемо, що t0 + α < t1 i що знайдеться t′ ∈ (t0 + α, t1] таке, щопри t = t′ хибне принаймнi одне iз спiввiдношень (10). Нехай t∗ — точна нижня граньтаких t′, для яких на деякому iнтервалi (t∗, t4) (t4 6 t1) якесь одне iз спiввiдношень(або обидва) є хибним. Побудуємо послiдовностi функцiй ϕn(t), ψn(t), визначаючи(ϕn(t), ψn(t)) як розв’язок системи рiвнянь

ϕ′n(t) = f(t, ψn(t))− l2(t)(ψn(t)− ϕn(t)) + 1n,

ψ′n(t) = f(t, ϕn(t)) + l2(t)(ψn(t)− ϕn(t))− 1n

(n = n0, n0 + 1, . . .)

з початковими умовамиϕn(t∗) = ψn(t∗) = x(t∗).

Мiркуючи так само, як при розглядi ситуацiї для [t0, t0 + α], приходимо до висновкупро iснування сегменту [t∗, t∗ + α1] ⊆ [t∗, t1], на якому справджуються оцiнки (10). Цесуперечить припущенню про неможливiсть продовження спiввiдношень (10) правiше заt∗ i означає, що теорему доведено повнiстю. 2

Теореми 1 та 2 є новими, якщо l1(t) 6= 0 та l2(t) 6= 0. При l1(t) = 0 та l2(t) = 0

отримуються вiдповiднi результати iз [4] (див. також [2, c. 40, 49]).

Лiтература

1. Курпель Н. С., Шувар Б. В. Двусторонние операторные неравенства и их применение. — Киев:Наук. думка. — 1980. — 267 с.

2. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Мир. — 1973. — 720 с.


3. Matarazzo G., Pecoraro M., Tucci D., About new Bihari’s lemma for discontinuous functions // Дванад-цята мiжнародна наукова конференцiя iм. академiка М. Кравчука. Матерiали конференцiї. — Київ:2008. — С. 722–724.

4. Rabczuk R., Elementy nierownosci rozniczkowych, Warszwa: PWN, 1976, 276 s.

5. Verygina I., Piccirillo A. M., Angela Gallo, About some generalization Bihari result for integro-suminequalities for discontinuous functions of n-independent variables // Дванадцята мiжнародна науковаконференцiя iм. академiка М. Кравчука. Матерiали конференцiї. — Київ: 2008. — C. 540–542.

Прикарпатський унiверситет iм. В. Стефаника,



Kopach M.I., Obshta A.F., Shuvar B.A. Differential inequalities with one-sided Lipshitz prop-erty, Carpathian Mathematical Publications, 1, 1 (2009), 59–64.

New results on differential inequalities under assumptions, which are weaker than the Lip-shitz conditions, are obtained.

Копач М.И., Обшта А.Ф., Шувар Б.А. Дифференциальные неравенства с одностороннейлипшициевоcтью // Карпатские математические публикации. — 2009. — Т.1, 1. — C.59–64.

Получено новые результаты о дифференциальных неравенствах, которые являютсяболее слабыми, чем условие Липшица.


публiкацiї. Т.1, 1 Publications. V.1, .1

УДК 515.12+512.58

Лiщинський I.I.

ДИФЕРЕНЦIЮВАННЯ ЖОРДАНА КIЛЕЦЬ ПОЛIНОМIВ

Лiщинський I.I. Диференцiювання Жордана кiлець полiномiв // Карпатськi математич-нi публiкацiї. — 2009. — Т.1, 1. — C. 65–68.

В данiй статтi встановлено зв’язок мiж множиною диференцiювань Жордана кiльця R

та множинами диференцiювань Жордана кiльця полiномiв R[x1, . . . , xn] та кiльця форма-льних степеневих рядiв R[[x1, . . . , xn]]. Встановлено також умову, за якої JDerR є лiвимR-модулем.

0. Нехай R – асоцiативне кiльце. Вiдображення δ : R → R називається диференцiю-ванням Жордана кiльця R, якщо δ(x + y) = δ(x) + δ(y) та δ(x2) = δ(x)x + xδ(x) длявсiх елементiв x, y ∈ R (див. [1],[2]). Множину всiх диференцiювань Жордана кiльця R

звичайно позначають через JDerR. Очевидним є те, якщо c – елемент центру Z(R), аd1, d2 ∈ JDerR, то cd1, d1±d2 ∈ JDerR, тобто JDerR – лiвий Z(R)-модуль. Вважається,що кiльце вiльне вiд 4-скруту, якщо з рiвностi 4x = 0 випливає x = 0.

Метою даної статтi є встановити зв’язок мiж множиною диференцiювань Жорда-на кiльця R та множинами диференцiювань Жордана кiльця полiномiв R[x1, . . . , xn]

та кiльця формальних степеневих рядiв R[[x1, . . . , xn]]. Знайдено також умову, за якоїJDerR є лiвим R-модулем.

1. Нехай I – злiченна множина. Тодi родина диференцiюваньЖордана δ = δi|i ∈ Iкiльця R називається локально скiнченною, якщо для кожного елемента a ∈ R маємоδi(a) = 0 майже для всiх iндексiв i ∈ I. Через (jDerR)∞ позначимо сукупнiсть всiхлокально скiнченних родин диференцiювань Жордана кiльця R, а через (JDerR)∞ –сукупнiсть всiх родин диференцiювань Жордана кiльця R.

Твердження 1. Нехай R[x1, . . . , xn] – кiльце полiномiв вiд n комутуючих змiннихx1, . . . , xn над кiльцем R i вiльне вiд 4-скруту. Тодi має мiсце iзоморфiзм лiвих Z(R)-модулiв

JDerR[x1, . . . , xn] ∼= (jDerR)∞ ⊕ Z(R)[x1, . . . , xn]n.

2000 Mathematics Subject Classification: 18B30, 54B30.

c©Лiщинський I.I., 2009

66 Лiщинський I.I.

Доведення. 1) Нехай D – яке-небудь диференцiювання Жордана кiльця полiномiвR[x1, . . . , xn]. Тодi для кожного елемента r ∈ R його похiдна D(r) ∈ R[x1, . . . , xn].

Оскiльки R[x1, . . . , xn] – пiдкiльце в кiльцi формальних степеневих рядiв R[[x1, . . . , xn]],то формально D(r) можна записати у виглядi степеневого ряду (в якому майже всiкоефiцiєнти є нульовими):

D(r) =∑

(i1,...,in)∈Nn0

δi1...in(r)xi11 . . . xin

n ,

де δi1...in(r) ∈ R для кожної n-ки (i1, . . . , in) ∈ Nn0 . Легко встановити, що вiдображення

δ : R → R, де δ(r) = δi1...in(r) (r ∈ R), є диференцiюванням Жордана кiльця R i, якнаслiдок, родина диференцiювань Жордана

δ = δi1...in|(i1, . . . , in) ∈ Nn0 (1)

кiльця R є локально скiнченною.2) Тепер нехай dj = D(xj), де j = 1, . . . , n. Тодi

dj =∑

ai1...inxi11 . . . xin

n (2)

– деякий полiном кiльця R[x1, . . . , xn]. Розглянемо як дiє диференцiювання Жорданана добуток комутуючих мiж собою елементiв s, t ∈ R[x1, . . . , xn], для цього знаходимо

4D(st) = D(4st) = D((s + t)2 − (s− t)2) = D((s + t)2)−D((s− t)2) =

= 2(s + t)D(s + t)− 2(s− t)D(s− t) = 4(sD(t) + D(s)t).

А оскiльки дане кiльце вiльне вiд 4-скруту, то D(st) = sD(t) + D(s)t. Позаяк axj = xja

та D(a)xj = xjD(a) для кожного a ∈ R, то

aD(xj) = D(xj)a,

а звiдси ∑aai1...inxi1

1 . . . xinn =

∑ai1...inaxi1

1 . . . xinn .

Оскiльки a – довiльний елемент iз R, то ai1...in ∈ Z(R) для всiх коефiцiєнтiв полiномаdj. Це означає, що dj ∈ Z(R)[x1, . . . , xn].

Пiдсумовуючи 1) та 2), легко встановити, що вiдображення

ϕ : JDerR[x1, . . . , xn] → (jDerR)∞ ⊕ Z(R)[x1, . . . , xn]n,

де ϕ(D) = (δ, d1, . . . , dn), δ – локально скiнченна родина (1) диференцiювань Жорданакiльця R, а dj – полiном (2), є iзоморфiзмом лiвих Z(R)-модулiв.

Твердження 2. Нехай R[[x1, . . . , xn]] – кiльце формальних степеневих рядiв вiд n кому-туючих змiнних x1, . . . , xn над кiльцем R i вiльне вiд 4-скруту. Тодi має мiсце iзоморфiзмлiвих Z(R)-модулiв

JDerR[[x1, . . . , xn]] ∼= (JDerR)∞ ⊕ Z(R)[[x1, . . . , xn]]n.

Диференцiювання Жордана кiлець полiномiв 67

Доведення. Аналогiчне доведенню твердження 1, а тому ми його опускаємо.

2. Зрозумiло, якщо кiльце R комутативне, то JDerR – лiвий R-модуль. Але iснуютькiльця R, якi не є комутативними i JDerR є лiвим R-модулем. Нами встановлено:

Твердження 3. Нехай R – кiльце. Тодi JDerR – лiвий R-модуль в тому i тiльки томувипадку, коли

(ax− xa)δ(x) = 0

для будь-яких a, x ∈ R та δ ∈ JDerR.

Доведення. (⇒) Нехай JDerR – лiвий R-модуль. Тодi для будь-яких δ ∈ JDerR таa, x ∈ R маємо

aδ(x)x + xaδ(x) = (aδ)(x2) = a(δ(x2)) = a(δ(x)x + xδ(x)) = aδ(x)x + axδ(x),

а звiдси(ax− xa)δ(x) = 0.

(⇐) встановлюється безпосередньо.

Приклад 1. Розглянемо поле F4 = F2/(X2+X+1) = 0, 1, α, α+1, яке має нетривiаль-

ний автоморфiзм σ : F4 → F4, σ(x) = x2 для кожного x ∈ F4. Нехай B = F4[X, σ]/(X2) =

F4 +F4b, де b2 = 0 та bx = σ(x)b для всiх x ∈ F4. Очевидним є те, що JDerF4 = DerF4 =

0.Нехай δ ∈ DerB. Тодi δ(b) = x + yb для деяких елементiв x, y ∈ F4. Iз рiвностi

0 = δ(b2) = δ(b)b + bδ(b) = (x + yb)b + b(x + yb) = xb + bx = (x + x2)b (3)

випливає, що x + x2 = 0. Це означає, що x = x2, а отже, x = 0 або x = 1. Правило

δz : B → B, δz(x + yb) = zyb, де x, y, z ∈ F4,

є диференцiюванням, оскiльки для всiх z, x1, x2, y1, y2 ∈ F4 вiрними є рiвностi:

δz((x1 + y1b)(x2 + y2b)) = δ(x1x2 + (x1y2 + y1x22)b) = z(x1y2 + y1x

22)b,

δz(x1+y1b)(x2+y2b)+(x1+y1b)δz(x2+y2b) = zy1b(x2+y2b)+(x1+y1b)zy2b = (zy1x22+x1zy2)b.

Покажемо, що правило

µz : B → B, µz(x + yb) = y(1 + zb), де x, y, z ∈ F4,

не є диференцiюванням:

µz((α + b)2) = µz(α2 + αb + bα) = µz(α

2 + b) = µz(b) = 1 + zb,

µz(α + b)(α + b) + (α + b)µz(α + b) = (1 + zb)(α + b) + (α + b)(1 + zb) = zb.

68 Лiщинський I.I.

Отже, DerB = δz| z ∈ F4 – алгебра Лi, яка складається з 4 елементiв. Зрозумiло,що DerB ⊆ JDerB. Знайдемо диференцiювання Жордана кiльця B, якi не є йогодиференцiюваннями.

Нехай δ ∈ JDerB. Тодi δ(b) = x + yb для деяких x, y ∈ F4. З рiвностi (3) отримуємо,що x = 0 або x = 1. Випадок x = 1 не пiдходить (контрприклад можна розглянути тойсамий, що i для диференцiювання). Встановимо, що правило:

δz : B → B, δz(x + yb) = z(y)b,

де x, y,∈ F4 та z(y) : F4 → F4 – адитивне вiдображення поля F4, є диференцiюваннямЖордана кiльця B. Дiйсно,

δ((x + yb)2) = δ(x2 + (xy + yx2)b) = δ(x2 + y(x + x2)b) = z(y(x + x2))b,

δ(x + yb)(x + yb) + (x + yb)δ(x + yb) = z(y)b(x + yb) + (x + yb)z(y)b = (x2 + x)z(y)b.

Якщо x = 0 або x = 1, то x + x2 = 0; а якщо x = α або x = α + 1, то x + x2 = 1.Тодi рiвнiсть δ((x + yb)2) = δ(x + yb)(x + yb) + (x + yb)δ(x + yb) вiрна для всiх x, y ∈ F4.Оскiльки z(0) = 0, а z(α+1) = z(α)+z(1), тобто z(α) i z(1) можуть набувати довiльнихзначень iз поля F4, то лiвий B-модуль JDerB мiстить 16 елементiв.

Лiтература

1. Бурков В.Д.Дифференцирования колец многочленов // Вестник Москов. унив., сер. мех.-мат. — 1981,2. — С.51-52.

2. Herstein I.N., Jordan derivations of prime rings, Proc. Amer. Math. Soc., 8 (1957), 1104–1110.

Прикарпатський унiверситет iм. Василя Стефаника,

Iвано-Франкiвськ, Україна,

[email protected]


Lishchynsky I.I. Jordan derivations of polynomial rings, Carpathian Mathematical Publica-tions, 1, 1 (2009), 65–68.

We study connections between the set of Jordan derivations of a ring R and the sets of Jor-dan derivations of a polynomial ring R[x1, . . . , xn] and formal power series ring R[[x1, . . . , xn]].We also establish a condition when JDerR is a left R-module.

Лищинский И.И. Дифференцирования Жордана колец многочленов // Карпатские мате-матические публикации. — 2009. — Т.1, 1. — C. 65–68.

Установлена связь между множеством дифференцирований Жордана кольца R и мно-жествами дифференцирований Жордана кольца многочленов R[x1, . . . , xn] и кольца фор-мальных степенных рядов R[[x1, . . . , xn]]. Установлено также условие, при котором JDerR

будет левым R-модулем.



УДК 517.98

Можировська З.Г.

НОРМАЛЬНI ТА САМОСПРЯЖЕНI ОПЕРАТОРИ КОМПОЗИЦIЇ НА

ПРОСТОРАХ АНАЛIТИЧНИХ ФУНКЦIЙ

Можировська З.Г. Нормальнi та самоспряженi оператори композицiї на просторах ана-лiтичних функцiй // Карпатськi математичнi публiкацiї. — 2009. — Т.1, 1. — C. 69–78.

В статтi розглядаються спектральнi властивостi нормальних операторiв композицiї, атакож дослiджуються деякi властивостi самоспряжених операторiв композицiї на просто-рах аналiтичних функцiй гiльбертового простору.

Вступ

Серед лiнiйних операторiв, що дiють на просторах аналiтичних функцiй вирiзня-ються оператори композицiї з аналiтичними вiдображеннями, якi не виводять за межiданого класу функцiй. Точнiше, нехай U1, U2 — вiдкритi множини у комплексних бана-хових просторах X1 та X2 iA1 таA2 — деякi лiнiйнi простори аналiтичних функцiй на U1

та U2 вiдповiдно. Якщо F : X1 → X2 — аналiтичне вiдображення таке, що f(F (x)) ∈ A1

для кожної функцiї f ∈ A2, то вiдображення TF : f 7→ f F є лiнiйним оператором зA2 в A1.

В 1960-х роках Й. Риф [15], Е. Нордгрен [13] та Г. Шварц [16] описали зв’язок мiжвластивостями операторiв композицiї та теорiєю функцiй. Їхнi досягнення поклали по-чаток активнiй дiяльностi з вивчення операторiв композицiї, яка включає дослiдженняспектру ([7, 8, 11, 10]) i компактностi ([12, 17]).

Спектральнi властивостi лiнiйних операторiв добре описанi у вiдомих працях У. Ру-дiна [5], Н. Данфорда й Дж. Т. Шварца [3], а також Н.I. Ахiєзера, I.М. Глазмана [1].В данiй статтi дослiджено цi ж властивостi для операторiв композицiї на простораханалiтичних функцiй нескiнченної кiлькостi змiнних. Також в статтi розглядаютьсявластивостi самоспряжених операторiв композицiї. Вiдомо, що не завжди, спряженийоператор до оператора композицiї TF буде оператором композицiї. В данiй роботi мирозглянемо умови, при яких TF є самоспряженим оператором композицiї.

2000 Mathematics Subject Classification: 46J15, 46J20, 46E15.

c©Можировська З.Г., 2009

70 Можировська З.Г.


Спектральна теорема в нескiнченновимiрному гiльбертовому просторi вiдповiдаєкласичнiй теоремi лiнiйної алгебри про зведення ермiтової матрицi до дiагональноговигляду в n-вимiрному просторi.

Нехай T — лiнiйний обмежений оператор в гiльбертовому просторi E, T ∗ — спря-жений оператор , (x, y) — скалярний добуток в E, x, y ∈ E. За означенням (Tx, y) =

(x, T ∗y).

Означення 1.1. Оператор T називається нормальним, якщо TT ∗ = T ∗T .

Наведемо деякi вiдомi результати зi спектральної теорiї нормальних операторiв (див.[3]). Будемо позначати ρ(T ) — резольвентна множина, σ(T ) — спектр оператора T , λ —власне значення оператора T .

Спектральнi множини визначаються як пiдмножини спектру σ(T ), якi одночасновiдкритi та замкненi в топологiї простору.

Кожнiй спектральнiй множинi σ вiдповiдає проектор

E(σ) =1

2πi

∫

C(σ)

(λI − T )−1dλ, (1)

де C(σ) — довiльна орiєнтована жорданова крива в резольвентнiй множинi ρ(T ), якаохоплює σ. Цi проектори задовольняють такi вiдношення:

E(σ ∩ δ) = E(σ) ∩ E(δ),

E(σ ∪ δ) = E(σ) ∨ E(δ) = E(σ) + E(δ)− E(σ ∩ δ),

E(σ(T )) = I, E(∅) = 0, (2)

де σ i δ — довiльнi спектральнi множини, I — одиничний оператор, ∅ — порожнямножина.

Вiдношення (2) показують, що вiдповiднiсть σ → E(σ) є гомоморфним вiдображен-ням булевої алгебри спектральних множин на булеву алгебру проекторiв X . Крiм того,цей гомоморфiзм переводить одиницю σ(T ) алгебри спектральних множин в одиницюI алгебри проекторiв.

Спектральною мiрою в банаховому просторi X називається гомоморфне вiдображе-ння булевої алгебри множин в булеву алгебру проекторiв в X , яке переводить одиницювихiдної алгебри в одиничний оператор I.

Отже, за спiввiдношенням (1) з кожним обмеженим оператором T в комплексномубанаховому просторi пов’язана спектральна мiра E , яка визначена на сiм’ї спектральнихмножин оператора T . Ця спектральна мiра пов’язана з T також спiввiдношеннями:

E(δ)T = TE(δ), σ(Tδ) = δ, (3)

де δ — довiльна спектральна множина оператора T , а σ(Tδ) — спектр звуження Tδ

оператора T на пiдпростiр Xδ = E(δ)X .

Нормальнi та самоспряженi оператори композицiї на просторах аналiтичних функцiй 71

Нормальний оператор T в гiльбертовому просторi E породжує спектральну мiру,яка визначена на булевiй алгебрi B всiх борелiвських множин комплексної площини iзадовольняє умовi (3) для всiх δ ∈ B. Ця спектральна мiра, яка пов’язана з нормальнимоператором є злiченно адитивною на B в сильнiй операторнiй топологiї. Це означає, що

∞∑i=1

E(δi)x = E (∪∞i=1δi) x, (4)

x ∈ X, δi — довiльна послiдовнiсть множин, якi не перетинаються.Спектральна мiра E , яка визначена на борелiвських множинах комплексної площини

i яка задовольняє умовi (3) для кожної борелiвської множини δ i умовi (4) для будь-якоїпослiдовностi неперетинних борелiвських множин δi, називається розкладом одиницiдля оператора T .

Спектральна теорема для обмежених нормальних операторiв в гiльбертовому про-сторi стверджує, що кожний такий оператор має однозначно визначений розклад оди-ницi (див. [3]).

Теорема 1. Обмежений нормальний оператор T однозначно визначає на борелiвськихмножинах комплексної площини регулярну злiченно адитивну самоспряжену спек-тральну мiру E , яка перетворюється в нуль на ρ(T ) i володiє тiєю властивiстю, що

f(T ) =

∫

σ(T )

f(λ)E(dλ), f ∈ C(σ(T )).

Однозначно визначена спектральна мiра в цiй теоремi є розкладом одиницi для T .

Теорема 2. Регулярна злiченно адитивна самоспряжена спектральна мiра E , яка ви-значена на борелiвських множинах комплексної площини, тодi i тiльки тодi є розкладомодиницi для нормального оператора T, коли T =

∫σ(T )

λE(dλ).

Побудуємо простiр на якому розглянемо спектральнi властивостi операторiв компо-зицiї.

Простори Hη будуються як спряженi до абстрактних симетричних просторiв ФокаFη над простором E. Тобто Fη є зваженi `2-суми симетричних гiльбертових тензорнихдобуткiв простору E. Таким чином, кожна функцiя f ∈ Hη має вигляд f(x) = 〈η(x) | f〉,де f — деякий елемент з Fη, x ∈ E, а η : U → Fη — вкладення з U ∈ E в Fη.Вiдображення η має вигляд

η(x) =∞∑

k1+···+kn=0

∑i1<···<in

ck1...kni1...in

xk1i1

. . . xknin

ek1i1

. . . eknin

=

=∞∑

|(k)|=0

∑

[i]

c(k)[i] x

(k)[i] e

(k)[i] . (5)

Якщо (en)∞n=1 — ортонормована база в E, то e(k)[i] := ek1

i1⊗s· · ·⊗se

knin, kj ≥ 0, k1+· · ·+kn =

n, i1 < . . . < in, ортогональна база в Fη i∥∥∥e

(k)[i]

∥∥∥ =(c(k)[i]

)−2

.


Теорема 3. Припустимо, що iснує константа S > 0 i послiдовнiсть додатних чисел(Mn) така, що

lim supn→∞

n√

Mn = M ≤ ∞i для кожного n

0 < c(k)[i] = ck1...kn

i1...in≤ SM2

n

(k1 + · · ·+ kn)!

k1! · · · kn!= SM2

n

n!

k1! · · · kn!,

де n = k1 + · · ·+ kn. Тодi iснує вiдкрита пiдмножина U ⊂ E, U 3 0, така, що

i) Ряд (5) збiгається для кожного x ∈ U i η є аналiтичним вiдображенням з U в Fη.

ii) Для кожного ϕ ∈ Fη вiдображення fϕ(x) = 〈η(x) | ϕ〉 є аналiтичною функцiєю наU.

iii) Функцiя⟨η(x)

∣∣∣e(k)[i]

⟩є n-однорiдним полiномом i

⟨η(x)

∣∣∣e(k)[i]

⟩= xk1

i1· · · xkn

in.

iv) Множина η(x) : x ∈ U є щiльною в Fη.

Теорема 4. Припустимо, що константа S > 0 i послiдовнiсть додатних чисел (Mn) єтакими, що

limn→∞

n√

Mn = 0

ic(k)[i] ≤ SM2

n

n!

k1! · · · kn!,

де c(k)[i] =

∥∥∥e(k)[i]

∥∥∥−2

, e(k)[i] — ортогональна база в Fη. ТодiHη = F∗

η є гiльбертовим простором,який складається з цiлих функцiй обмеженого типу на E.

Цей простiр розглядався в роботi Ю.М. Березанського та Ю.Г. Кондратьєва [2], атакож дослiджувався в роботах А.В. Загороднюка та О.В. Лопушанського [4].

2 Спектральний розклад для нормальних операторiв композицiї

Нехай E — комплексний гiльбертiв простiр. Розглянемо спектральнi властивостiнормального оператора композицiї TF : Hη → Hη, TF (f)(x) = f(F (x)).

Теорема 5. Якщо F : E → E — лiнiйний нормальний оператор, то оператор TF єнормальним.

Доведення. Нехай F — лiнiйний нормальний оператор. Доведемо, що оператор компо-зицiї TF є нормальним оператором. Вiзьмемо функцiю f(x) ∈ D(TF ), тодi для деякогоелемента

u =∞∑

n=0

∞∑

k=1

unk⊗ · · · ⊗ unk︸︷︷︸

n


f(x) =∞∑

n=0

∞∑

k=1

(x|unk)n, f(F (x)) =

∞∑n=0

∞∑

k=1

(F (x)|unk)n.

Отже,

T ∗F TF (f(x)) = T ∗

F (f(F (x))) =∞∑

n=0

∞∑

k=1

(F (F ∗(x))|unk)n =

=∞∑

n=0

∞∑

k=1

(F ∗(F (x))|unk)n = TF T ∗

F (f(x)).

Тобто оператори F i F ∗ комутують на спiльнiй областi визначення. Таким чином, опе-ратор TF є нормальним. Теорему доведено.

Теорема 6. Нехай F — нормальний (не обов’язково обмежений) лiнiйний оператор вE з областю визначення D(F ), B(C) 3 λ → E(λ) ∈ L(E) — розклад одиницi цьогооператора в E. Тодi TF , як оператор в просторi Hη, допускає зображення

TF =∞∑

n=1

∫

σ(F )

· · ·∫

σ(F )

λ1 · · ·λnE(dλ1)⊗s · · · ⊗s E(dλn),

де σ(F ) позначає спектр оператора F .

Доведення. Нехай x =∫

σ(F )

E(dλ)x, E(λ) — розклад одиницi в E, який вiдповiдає лiнiй-

ному оператору F , x ∈ D(F ). Тодi для x1, . . . xn ∈ D(F )

x1 ⊗s · · · ⊗s xn =

∫

σ(F )

E(dλ)x1 ⊗s · · · ⊗s

∫

σ(F )

E(dλ)xn.

Нехай

wn =∑

k

∫

σ(F )

E(dλ)yk ⊗ · · · ⊗∫

σ(F )

E(dλ)yk

︸︷︷︸n

−

елемент з ⊗ns E, який належить областi визначення ⊗n

s D(F ).

Вiзьмемо

fn(x) = 〈x⊗ · · · ⊗ x︸︷︷︸n

| wn〉 = 〈x(n) | wn〉.


Тодi fn ∈ D(TF ).

fn(F (x)) = 〈F (x)⊗ · · · ⊗ F (x)︸︷︷︸n

|∑

k

∫

σ(F )

E(dλ)yk ⊗ · · · ⊗∫

σ(F )

E(dλ)yk〉 =

=∑

k

⟨F (x) |

∫

σ(F )

E(dλ)yk

⟩n

=∑

k

⟨ ∫

σ(F )

λE(dλ)x |∫

σ(F )

E(dλ)yk

⟩n

=

=∑

k

( ∫

σ(F )

λ〈E(dλ)x |∫

σ(F )

E(dλ)yk〉)n

=

=∑

k

( ∫

σ(F )

λ1〈E(dλ1)x | E(dλ1)yk〉)· · ·

( ∫

σ(F )

λn〈E(dλn)(x) | E(dλn)yk〉)

=

=∑

k

∫

σ(F )

· · ·∫

σ(F )

λ1 · · ·λn〈E(dλ1)(x) | E(dλ1)(yk)〉

· · · 〈E(dλn)(x) | E(dλn)(yk)〉 =∑

k

∫

σ(F )

· · ·∫

σ(F )

λ1 · · ·λn

〈E(dλ1)⊗s · · · ⊗s E(dλn)x(n) | E(dλ1)⊗s · · · ⊗s E(dλn)y(n)k 〉 =

=⟨∑

k

∫

σ(F )

· · ·∫

σ(F )

λ1 · · ·λnE(dλ1)⊗s · · · ⊗s E(dλn)(x⊗ · · · ⊗ x︸︷︷︸n

) | wn

⟩.

Отже,

TF (fn) =∑

n

⟨ ∫

σ(F )

· · ·∫

σ(F )

λ1 · · ·λnE(dλ1)⊗s · · · ⊗s E(dλn) | wn

⟩.

Теорему доведено.

Нехай δ — деяка борелiвська пiдмножина в σ(TF ). Позначимо

∆n(δ) = (λ1, . . . , λn) ∈ Cn | λ1 · · ·λn ∈ δ, λ1, . . . , λn ∈ σ(F ).

Оскiльки функцiя (λ1, . . . , λn) → λ1 · · ·λn є неперервною i множина (λ1, . . . , λn) ∈Cn | λ1, . . . , λn ∈ σ(F ) є замкненою, то множина ∆n(δ) є борелiвською в Cn. То-му iснує iнтеграл

En(δ) :=

∫

∆n(δ)

· · ·∫

∆n(δ)

E(dλ1)⊗s · · · ⊗s E(dλn).

Позначимо E(δ) =∞∑

n=0

En(δ), де у випадку n = 0 ми розглядаємо мiру Лебега на C. З

властивостей iнтеграла випливає, що E(δ) є спектральною мiрою, яку будемо позначатиE(λ), λ ∈ C. За побудовою бачимо, що

∞∑n=0

∫

σ(TF )

λEn(dλ) =∞∑

n=0

∫

∆n(δ)

· · ·∫

∆n(δ)

λ1 · · ·λnE(dλ1)⊗s · · · ⊗s E(dλn) =


=∞∑

n=1

∫

σ(F )

· · ·∫

σ(F )

λ1 · · ·λnE(dλ1)⊗s · · · ⊗s E(dλn).

Тому за теоремою 6

TF =∞∑

n=0

∫

σ(TF )

λEn(dλ) =∞∑

n=1

∫

σ(F )

· · ·∫

σ(F )

λ1 · · ·λnE(dλ1)⊗s · · · ⊗s E(dλn).

Таким чином, ми можемо довести наступну теорему.

Теорема 7. Обмежений нормальний оператор TF однозначно визначає на борелiв-ських множинах комплексної площини регулярну злiченно адитивну самоспряжену спе-ктральну мiру E(λ), яка перетворюється в нуль на ρ(TF ) i володiє тiєю властивiстю, що

g(TF ) =∞∑

n=1

∫

σ(F )

· · ·∫

σ(F )

g(λ1 · · ·λn)E(dλ1)⊗s · · · ⊗s E(dλn)

для кожної функцiї g з C(σ(F )).

Доведення. Якщо приймемо E(λ) = 0, коли σ(TF ) — порожня множина, то твердженнятеореми безпосередньо випливає з сформульованого вище i наслiдку [3, ст. 21]. Теоремудоведено.

Згiдно з теоремою 2 однозначно визначена спектральна мiра E(λ) є розкладом оди-ницi для оператора TF .

Наслiдок 2.1. Якщо F : E → E — нормальний оператор i σ(F ) — спектр, то спектроператора TF : Hη → Hη має вигляд:

σ(TF ) = λ1 · · ·λn | λ1, . . . , λn ∈ σ(F ).Наслiдок 2.2. Нехай F : E → E — лiнiйний нормальний оператор. Оператор TF :

Hη → Hη — неперервний тодi i тiльки тодi, коли ‖F‖ ≤ 1.

Доведення. Якщо ‖F‖ ≤ 1, то TF — нормальний оператор i σ(TF ) — обмежена множина.Звiдси випливає, що оператор TF — неперервний.

Якщо ‖F‖ > 1, то iснує λ ∈ σ(F ), |λ| > 1. Тому λk → ∞ при k → ∞. Крiм тогоλk ∈ σ(TF ) ∀k, тодi σ(TF ) — необмежена множина, а отже оператор TF — необмежений.Отримали протирiччя. Наслiдок доведено.

Зауваження 2.1. Нехай v(t) — деяка функцiя однiєї комплексної змiнної, яка непе-рервна на σ(F ). В загальному випадку, коли функцiя v(t) =

∑∞k=0 vkt

k — полiном, толегко бачити, що

v(TF )(f) =∞∑

k=0

vk(TF )k(f) 6= Tv(F )(f).

Проте, якщо v(t) = tn, то отримаємо

v(TF )(f) = T nF (f) = f(F · · · (F (x))︸︷︷︸

n

) = f(F n(x)) = TF n(f) = Tv(t)(f).


3 Спряженi оператори композицiї

Нехай E — комплексний гiльбертiв простiр. Розглянемо умови самоспряженостi опе-ратора композицiї TF , TF : Hη → Hη, TF (f)(x) = f(F (x)).

Твердження 3.1. Нехай TF — оператор композицiї на Hη для деякого аналiтичноговiдображення F. Якщо T ∗

F — оператор композицiї з аналiтичним вiдображенням G, тоF i G — лiнiйнi оператори.

Доведення. Припустимо, що T ∗F = TG. Нехай F =

∞∑

k=0

Fk, G =∞∑

k=0

Gk, де Fk, Gk — одно-

рiднi полiномiальнi вiдображення. Припустимо, що g1 — деякий лiнiйний функцiонал ifk — довiльний k-однорiдний полiном. Нехай Lk — k-лiнiйне симетричне вiдображеннятаке, що fk(x) = Lk(x, . . . , x). Тодi

fk

( ∞∑n=0

Gn(x)

)= fk(x0) + nLk(G1(x), x0 · · · x0) +

∞∑m=2

gm(x),

де x0 = G0 = G(0), gm — m-однорiдний полiном. Отже, для однорiдного полiнома fk

будемо мати:〈TF (g1) | fk〉 = 〈g1(Fk(x)) | fk〉 =

= 〈g1 | fk(x0) + nLk(G1(x), xk−10 ) +

∞∑m=2

gm(x)〉 =

= 〈g1 | nLk(G1(x), xk−10 )〉.

Вiзьмемо замiсть x ∈ E елемент λx, де λ ∈ C

〈g1(Fk(λx)) | fk〉 = λk〈g1(Fk(x)) | fk〉 = λ〈g1 | nLk(G1(x), xk−10 )〉.

Це виконується лише при k = 1.

Отже,

〈TF (g1) | fk〉 =⟨g1

( ∞∑n=0

Fn(x))∣∣∣fk

⟩=

⟨ ∞∑n=0

g1(Fn)∣∣∣fk

⟩= 〈g1(Fk(x)) | fk〉.

З iншого боку

〈g1 | TG(fk)〉 =⟨g1

∣∣∣fk

( ∞∑n=0

Gn(x))⟩

.

Покажемо, що Fk = 0 при k 6= 1. Справдi, при k 6= 1

0 =⟨g1

( ∞∑n=0

Fn(x))∣∣∣fk

⟩= 〈g1(Fk(x)) | fk〉

для кожного g1 — лiнiйного, fk — k-однорiдного полiнома. Звiдси отримуємо, що Fk = 0.Таким чином, F — лiнiйний оператор. Оскiльки T ∗

G = T ∗∗F = TF , то G — лiнiйний.

Твердження доведено.


Теорема 8. Нехай, тепер F : E → E — деяке аналiтичне вiдображення. Припустимо,що η задовольняє умови теореми 3 для деякої вiдкритої кулi U ∈ E з центром в нулi.Оператор TF — обмежений i самоспряжений тодi i тiльки тодi, коли F — самоспряженийлiнiйний оператор, ‖F‖ ≤ 1. Якщо ‖F‖ > 1, то TF — самоспряжений необмеженийоператор.

Доведення. Якщо TF — самоспряжений оператор, то з твердження 3.1 випливає, щоF — лiнiйний. Крiм того, TF (f1) = F ∗(f1) для кожного лiнiйного фукцiонала f1. ТомуF — самоспряжений.

Нехай x, z ∈ E. Внаслiдок самоспряженостi вiдображення F будемо мати:

〈TF η(x) | η(z)〉 = 〈η(F (x)) | η(z)〉 =

=∑

|(k)|=n

∑

[i]

⟨c(k)[i] F

(x

(k)[i] e

(k)[i]

) ∣∣∣c(k)[i] z

(k)[i] e

(k)[i]

⟩=

∑

|(k)|=n

∑

[i]

(c(k)[i]

)2 ⟨F

(x

(k)[i] e

(k)[i]

) ∣∣∣z(k)[i] e

(k)[i]

⟩=

=∑

|(k)|=n

∑

[i]

(c(k)[i]

)2 ⟨x

(k)[i] e

(k)[i]

∣∣∣F(z

(k)[i] e

(k)[i]

)⟩=

∑

|(k)|=n

∑

[i]

⟨c(k)[i] x

(k)[i] e

(k)[i]

∣∣∣F(c(k)[i] z

(k)[i] e

(k)[i]

)⟩=

= 〈η(x) | η(F (z))〉 = 〈η(x) | TF η(z)〉.Оскiльки лiнiйна оболонка множини 〈· | η(z)〉 : z ∈ U є щiльною в Hη, то 〈TF (f) |

g〉 = 〈f | TF (g)〉 ∀f, g ∈ D(TF ).Отже, TF — симетричний оператор. Тому, за наслiдком 2.2, якщо F — лiнiйний

неперервний самоспряжений оператор з E в E, то TF — самоспряжений i замкнений.Якщо ‖F‖ ≤ 1, то TF — обмежений. Теорему доведено.

Зауважимо, що якщо F — лiнiйний унiтарний оператор, то TF також є унiтарнимоператором. Навпаки, з унiтарностi TF випливає, що T ∗

F = (TF )−1 = TF−1 . Тому F —бiєктивне аналiтичне вiдображення i F−1 — аналiтичне. Тодi, за твердженням 3.1, F —лiнiйний оператор. При цьому (TF )∗ = TF ∗ . Отже, F — унiтарний оператор.

Означення 3.1. ϕ — внутрiшнє аналiтичне вiдображення з одиничної кулi в C2, якщодля майже всiх z = (z1, z2), |z| = 1

limr→1−

|ϕ(rz)| = 1.

В статтi [9] показано, що для довiльного внутрiшнього вiдображення ϕ на C2 i не-вiд’ємних цiлих N i M вiдображення композицiї TF , де

F (z1, z2) = (z1ϕM(z1, z2), z2ϕ

N(z1, z2)) (6)

є iзометричним оператором на просторi Хардi H2(B2).

В роботi [6] доведено iснування нетривiальної внутрiшньої функцiї ϕ(z) на одиничнiйкулi в Cn, яка не є рацiональною функцiєю.

Таким чином, для довiльних фiксованих N i M композицiя TF з вiдображенням F ,яке задається формулою (6) є лiнiйним iзометричний (але не унiтарним) оператором напросторi Hη = H2(B2), який є композицiєю з нелiнiйним аналiтичним вiдображенням.


Лiтература

1. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. — М.:Наука, 1966. — 543 c.

2. Березанський Ю. M., Кондратьев Ю. Г. Спектральные методы в бесконечномерном анализе. — К.:IМ АH УРСР, 1978. — 680 с.

3. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Спектральная теория. — М.: Мир, 1966. — 1064 с.

4. Загороднюк А. В., Лопушанський О. В. Класи функцiй H2 в одиничнiй кулi гiльбертового просто-ру// Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2001, 5. — С. 13–19.

5. Рудин У. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975. — 448 c.

6. Aleksandrov A. B., Existence of inner functions in a ball, Mat. Sb. Nov. Ser, 118, 160 (1982), 147–163.

7. Caughran J. G., Polynomial approximation and spectral properties of composition operators on H2, Indi-ana Univ. Math. J., 21 (1971), 81–84.

8. Caughran J. G., Schwartz H. J., Spectra of compact composition operators, Proc. Amer. Math. Soc. 51(1970), 127–130.

9. Cima J. A., Stanton C. S., Wogen W. R., On boundedness of composition operators on H2(B2), Proc.Amer. Math. Soc. 91, 2 (1984), 217–222.

10. Cowen C. C., Composition operators on H2, J. Operator Th., 9 (1983), 77–106.

11. Kamowitz H., The spectra of composition operators on Hp, J. Funct. Anal., 18 (1975), 132–150.

12. MacCluer B. D., Shapiro J. H., Angular derivatives and compact composition operators on Hardy andBergman spaces, Canadian J. Math. 38 (1986), 878–906.

13. Nordgren E. A., Composition operators / E. A. Nordgren // Canadian J. Math., 20 (1968), 442–449.

14. Nordgren E. A., Composition operators on Hilbert spaces, Hilbert spaces operators. Lecture Notes inMath., Springer-Verlag, Berlin, 693 (1978), 37–63.

15. Ryff J. V., Subordinate Hp functions, Duke Math. J., 33 (1966), 347–354.

16. Schwartz H. J., Composition operators on Hp, Ph. D. Thesis, Univ. of Toledo, 1969.

17. Shapiro J. H., The essential norm of a composition operator, Annals of Math., 125 (1987), 375–404.

Львiвська комерцiйна академiя,

Львiв, Україна.


Mozhyrovska Z.G. Normal and self-adjoint composition operators on the space of analytic func-tions, Carpathian Mathematical Publications, 1, 1 (2009), 69–78.

We consider spectral properties of normal composition operators and investigate some prop-erties of self-adjoint operators on space of analytic functions on Hilbert space.

Можировская З.Г. Нормальные и самосопряженные операторы композиции на простран-ствах аналитических функций // Карпатские математические публикации. — 2009. —Т.1, 1. — C. 69–78.

В статье рассматриваются спектральные свойства нормальных операторов, а такжеисследуются некоторые свойства самосопряженных операторов композиции на пространс-твах аналитических функций на гильбертовом пространстве.



УДК 519.217.4

Осипчук М.М.

IСНУВАННЯ ДИФУЗIЙНИХ ПРОЦЕСIВ IЗ ЗАДАНИМИ

ЛОКАЛЬНИМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

Осипчук М.М. Iснування дифузiйних процесiв iз заданими локальними характеристика-ми // Карпатськi математичнi публiкацiї. — 2009. — Т.1, 1. — C. 79–84.

У роботi наведенi результати, що стосуються iснування узагальнених дифузiйних про-цесiв в сепарабельному гiльбертовому просторi iз заданими локальними характеристиками– вектором переносу i оператором дифузiї. Розглянуто деякi властивостi таких процесiв(еквiвалентнiсть мiр, зв’язок iз стохастичними диференцiальними рiвняннями).

Нехай P (t, x, Γ) (t ≥ 0, x ∈ Rm, Γ ∈ B (Rm)) — ймовiрнiсть переходу однорiдногомаркiвського процесу в Rm. Такий процес називається дифузiйним, якщо виконуютьсянаступнi умови [1]:

1. limt↓0

1

t

∫

|y−x|>ε

P (t, x, dy) = 0 при всiх ε > 0, x ∈ Rm;

2. Iснує така функцiя a : Rm → Rm, що

limt↓0

1

t

∫

|y−x|≤ε

(y − x, θ)P (t, x, dy) = (a(x), θ)

при всiх x, θ ∈ Rm;

3. Iснує така функцiя b : Rm → Ls(Rm), що

limt↓0

1

t

∫

|y−x|≤ε

(y − x, θ)2P (t, x, dy) = (b(x)θ, θ)

при всiх x, θ ∈ Rm.

При цьому функцiю a(x) прийнято називати вектором переносу, а функцiю b(x) — ма-трицею (оператором) дифузiї, а їх сукупнiсть — локальними характеристиками дифу-зiйного процесу.

Питання полягає в iснуваннi для заданих a(x) i b(x) такого дифузiйного процесу,щоб цi функцiї були його вектором переносу та матрицею дифузiї вiдповiдно.

Класичним результатом, що дає вiдповiдь на це питання, є така теорема.

2000 Mathematics Subject Classification: 60J60, 60H10.

c©Осипчук М.М., 2009

80 Осипчук М.М.

Теорема 1. Якщо iснують константи K > 0, 0 < α < 1, 0 < C1 ≤ C2, для яких привсiх x, y, θ ∈ Rm та i, j = 1, 2, . . . , m :

1. |bij(x)− bij(y)| ≤ K|x− y|α;

2. C1θ2 ≤ (b(x)θ, θ) ≤ C2θ

2;

3. |ai(x)− ai(y)| ≤ K|x− y|α, |ai(x)| ≤ C2,

то iснує однорiдний дифузiйний процес з вектором переносу a(x) та оператором дифузiї,що задається матрицею b(x).

Серед властивостей цього процесу слiд вiдмiтити те, що його ймовiрнiсть переходумає щiльнiсть g(t, x, y), яка є фундаментальним розв’язком диференцiального рiвняння

∂u

∂t=

m∑i=1

ai(x)∂u

∂xi

+1

2

m∑i,j=1

bij(x)∂2u

∂xi∂xj

.

На шляху послаблення умов на локальнi характеристики дифузiйних процесiв (восновному вектора переносу) лежить результат М.I.Портенка [2].

Теорема 2. Якщо функцiя b(x) така ж, як i в теоремi 1, а функцiя a(x) така, що придеякому p > m

‖a‖p =

(∫

Rm

|a(x)|pdx

) 1p

< +∞, (1)

то iснує (узагальнений) дифузiйний процес з локальними характеристиками a(x) i b(x).

Зауваження 1. Дифузiйний процес, iснування якого стверджується в теоремi 2, єузагальненим в тому розумiннi, що границi з означення дифузiйного процесу iснуютьв узагальненому розумiннi, тобто для кожної неперервної фiнiтної функцiї ϕ : Rm → Rмають мiсце рiвностi:

1. limt↓0

∫

Rm

ϕ(x)1

t

∫

|y−x|>ε

P (t, x, dy)dx = 0;

2. limt↓0

∫

Rm

ϕ(x)1

t

∫

|y−x|≤ε

(y − x, θ)P (t, x, dy)dx =

∫

Rm

ϕ(x)(a(x), θ)dx;

3. limt↓0

∫

Rm

ϕ(x)1

t

∫

|y−x|≤ε

(y − x, θ)2P (t, x, dy)dx =

∫

Rm

ϕ(x)(b(x)θ, θ)dx.

Приклад 1. Для функцiї a(x) з компактним носiєм та степеневою особливiстю в по-чатку координат

a(x) =

x

|x|α+1 , при |x| ≤ C;

0, при |x| > C

умова теореми 2 виконується при α < 1.

Iснування дифузiйних процесiв ... 81

Зауваження 2. Вектор переносу, який задовольняє умову теореми 2, може мати тiль-ки такi особливостi, що дифузiйний процес "не помiчає" їх. Його траекторiї такi ж,як траекторiї процесу без переносу. Мiри, породженi перехiдними ймовiрностями цихпроцесiв, є еквiвалентними:

P ax ∼ P 0

x .

Тут P ax i P 0

x заданi на σ-алгебрах пiдмножин Ω = C([0; +∞)), що породжуються мно-жинами виду Ct1,...,tn(Γ1, . . . , Γn) = x(t1) ∈ Γ1, . . . , x(tn) ∈ Γn, ti ∈ [0; +∞), ti+1 > ti,Γi ∈ B(R),

P 0x (Ct1,...,tn(Γ1, . . . , Γn)) =

=

∫

Γ1

P0(t1, x, dy1)

∫

Γ2

P0(t2 − t1, y1, dy2) . . .

∫

Γn

P0(tn − tn−1, yn−1, dyn)

Px(Ct1,...,tn(Γ1, . . . , Γn)) =

=

∫

Γ1

P (t− 1, x, dy1)

∫

Γ2

P (t2 − t1, y1, dy2) . . .

∫

Γn

P (tn − tn−1, yn−1, dyn)

де P0(t, x, Γ) — ймовiрнiсть переходу дифузiйного процесу з нульовим переносом таматрицею дифузiї b(x).

Слабшi вимоги на вектор переносу, при яких iснує узагальнений дифузiйний процесз вектором переносу a(x) та матрицею дифузiї b(x), розглянуто в [4].

Теорема 3. Якщо iснують константи K > 0, 0 < α < 1, 0 < C1 ≤ C2, δ > 0, γ > − δ+12

+m2

для яких при всiх x, y, θ ∈ Rm та i, j = 1, 2, . . . , m :

1. |bij(x)− bij(y)| ≤ K|x− y|α;2. C1θ

2 ≤ (b(x)θ, θ) ≤ C2θ2;

3.∫

Rm

|a(y)|1+δ exp

−(y − x)2

t

dy ≤ Ktγ,

то iснує однорiдний узагальнений дифузiйний процес з вектором переносу a(x) та мат-рицею дифузiї b(x).

Доведення. Зауважимо, що умови 1 i 2 гарантують iснування дифузiйного процесу знульовим переносом та матрицею дифузiї b(x) (див. теорему 1).

Випадковий процес, про iснування якого стверджується в теоремi, задається визна-ченою на множинi обмежених вимiрних функцiй ϕ : Rm → R, напiвгрупою операторiв

Ttϕ(x) =

∫

Rm

ϕ(y)g(t, x, y)dy +

t∫

0

dτ

∫

Rm

V (t− τ, y, ϕ)|a(y)|g(τ, x, y)dy,

де g(t, x, y) — щiльнiсть ймовiрностi переходу дифузiйного процесу з нульовим перено-сом та матрицею дифузiї b(x), V (t, x, ϕ) — розв’язок рiвняння

V (t, x, ϕ) = V0(t, x, ϕ) +

t∫

0

dτ

∫

Rm

V (t− τ, y, ϕ)|a(y)|(∇xg(τ, x, y), e(x))dy (2)


з V0(t, x, ϕ) =

∫

Rm

ϕ(y)(∇xg(t, x, y), e(x))dy та e(x) =a(x)

|a(x)| при |a(x)| > 0.

Умови теореми гарантують iснування та єдинiсть розв’язку рiвняння (2) в класi фун-кцiй, якi задовольняють нерiвнiсть |V (t, x, ϕ)| ≤ Ct−

12 . Цей розв’язок можна одержати

методом послiдовних наближень.Ймовiрнiсть переходу одержаного однорiдного маркiвського процесу задається рiв-

нiстю P (t, x, Γ) = TtIΓ(x) (t > 0, x ∈ Rm, Γ ∈ B(Rm)) .

Зауваження 3. Всi функцiї a(x), для яких виконується умова (1), задовольняють вiд-повiдну умову теореми 3. Крiм того можна навести приклади, якi свiдчать про те, щоклас векторiв переносу з теореми 3 є ширшим:

a(x) =

x

|x|·|x|αn , при |x| ≤ C;

0, при |x| > C.

Тутn

m≤ α < 1, n < m, |x|n =

(n∑

i=1

x2i

) 12

.

Зауваження 4. При виконаннi умов теореми 3 випадковий процес, про iснування якогостверджується в теоремi, є слабким розв’язком стохастичного диференцiального рiвня-ння

dξ(t) = a(ξ(t))dt + b12 (ξ(t))dw(t),

що дає змогу моделювати траекторiї такого процесу.

Зауваження 5. Особливостi вектора переносу вже не завжди дозволяють процесу непомiчати їх. Для еквiвалентностi мiр, породжених одержаним процесом та процесом знульовим переносом i тiєю ж дифузiєю, приходиться вимагати δ > 1 в умовi 3 теореми

3. Прикладом такого переносу є функцiя з обмеженим носiєм a(x) =a

|x|α1при |x| ≤ C,

12≤ α < 1, a ∈ Rm.

Вид наведеної в теоремi 3 умови на вектор переносу дозволяє перенести застосова-ний метод побудови дифузiйного процесу на випадок нескiнченновимiрного простору[3].

Нехай X — сепарабельний гiльбертiв простiр, B(X) — борелiвська σ-алгебра пiд-множин X, B — додатний ядерний оператор i ‖B‖ < 1. Позначимо через P0(t, x, ·)гаусiвську мiру на B(X) з середнiм x ∈ X та кореляцiйним оператором tB.

Теорема 4. Нехай функцiя a : X → X задовольняє умови:

1. Для майже всiх x ∈ X за всiма мiрами P0(t, y, ·) (t > 0, y ∈ X) (далi P0 - м.в.)

a(x) ∈ B12 X;

2. Iснують такi сталi K > 0, δ > 0, γ > − δ+12, що при t > 0, P0 - м.в. x ∈ X

∫

X

∣∣∣B− 12 a(y)

∣∣∣1+δ

P0(t, x, dy) ≤ Ktγ.

Iснування дифузiйних процесiв ... 83

Тодi iснує неперервний однорiдний маркiвський процес зi значеннями в X, що є узагаль-неним дифузiйним процесом з вектором переносу a(x) та оператором дифузiї b(x) = B.

Зауваження 6. Пiд узагальненим дифузiйним процесом з вектором переносу a(x) таоператором дифузiї b(x) в гiльбертовому просторi розумiємо такий неперервний мар-кiвський процес з ймовiрнiстю переходу P (t, x, Γ), для якого iснують границi:

1. limt↓0

∫

X

ϕ(x)1

t

∫

X

(y − x, θ)P (t, x, dy)µ(dx) =

∫

X

ϕ(x)(a(x), θ)µ(dx);

2. limt↓0

∫

X

ϕ(x)1

t

∫

X

(y − x, θ)2P (t, x, dy)µ(dx) =

∫

X

ϕ(x)(b(x)θ, θ)µ(dx),

для кожної неперервної обмеженої функцiї ϕ : X → R та деякої гаусової мiри µ наB(X).

Зауваження 7. Побудований в теоремi 4 випадковий процес є слабким роз’язком сто-хастичного диференцiального рiвняння

dξ(t) = a(ξ(t))dt + dwB(t),

де wB(t) — так званий B-вiнерiвський процес, тобто випадковий процес з незалежнимиприростами, для якого рiзницi wB(t) − wB(s) мають гаусiвський розподiл iз нульовимсереднiм та кореляцiйним оператором (t− s)B.

Лiтература

1. Гихман И.И., Скороход А.В. Теория случайных процессов. Т.2. — М.: Наука, 1973. — 640 с.

2. Портенко Н.И. Обобщенные диффузионные процессы. — К.:Hаук. думка, 1982. — 208 с.

3. Осипчук М.М. Дифузiя з нерегулярним переносом в гiльбертовому просторi. // Укр. матем. жур-нал. — 1995. — Т.47, 9. — С. 1224–1230.

4. Осипчук М.М. Дифузiя з нерегулярним переносом // Теорiя ймовiрн. та мат. стат. — 1996. — Т.54.— С. 122–128.

Прикарпатський нацiональний унiверситет iм. Василя Стефаника,



Osypchuk M.M. Existence of diffusive processes with the given local characteristics, CarpathianMathematical Publications, 1, 1 (2009), 79–84.

The results which concern to existence of diffusive processes with the given local char-acteristics (vector of drift, operator of diffusion) are considered in the article. The processesare examined in separable Hilbert space. Some properties of such processes (equivalence ofmeasures, connection with stochastic differential equations) are also considered.


Осипчук М.М. Существование диффузионных процессов с заданными локальными ха-рактеристиками // Карпатские математические публикации. — 2009. — Т.1, 1. — C.79–84.

В работе приведены результаты, касающиеся существования обобщенных диффузион-ных процессов в сепарабельном гильбертовом пространстве с заданными локальными ха-рактеристиками – вектором переноса и оператором диффузии. Рассмотрены некоторыесвойства таких процессов (эквивалентность мер, связь с стохастическими дифференци-альными уравнениями).



УДК 512.538

Семенчук А.В.

ПАРАДЕТЕРМIНАНТИ ТА ФОРМАЛЬНI ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНI РЯДИ

Семенчук А.В. Парадетермiнанти i формальнi експоненцiальнi ряди // Карпатськi ма-тематичнi публiкацiї. — 2009. — Т.1, 1. — C. 85–91.

При допомозi парадетермiнантiв трикутних матриць дослiджуються формальнi експо-ненцiальнi та логарифмiчнi ряди.

Вступ

Центральним методом комбiнаторного аналiзу є метод генератрис [1], [3], який базу-ється на формальних операцiях з формальними степеневими рядами. Сьогоднi вiдомiефективнi рекурсивнi алгоритми таких операцiй (див. [2], стор. 569–582), проте вонине дозволяють знайти явного вигляду загальних членiв їх результатiв. Застосуванняапарату парадетермiнантiв трикутних матриць до дослiдження формальних операцiйз рядами [4] дозволяє заповнити вказану прогалину.

В багатьох випадках розв’язання задач перелiку в комбiнаторному аналiзi iстотноспрощується, якщо в ролi генератриси використовуються експоненцiальнi чи логариф-мiчнi формальнi степеневi ряди.

Метою цiєї статтi є застосування апарату парадетермiнантiв та параперманентiвтрикутних матриць до дослiдження операцiй з формальними експоненцiальними талогарифмiчними степеневими рядами.

1 Операцiї з експоненцiальними формальними степеневими рядами

Нехай A(z), B(z), X(z) – вiдповiднi позначення формальних факторiальних степене-вих рядiв:

∞∑i=0

aizi

i!,

∞∑i=0

bizi

i!,

∞∑i=0

xizi

i!, a0 = b0 = x0 = 1.

Тодi справедливе наступне твердження:


c©Семенчук А.В., 2009

86 Семенчук А.В.

Твердження 1.1. Якщо

X(z) =A(z)

B(z), (1)

то

xi =i−1∑j=0

(−1)j

(i

j

)(ai−j − bi−j) ·

⟨(j − r + 1)

(s− r + 1)· bs−r+1

bs−r

⟩

16r6s6j

, i = 1, 2, . . . . (2)

Тут i нижче ми вважаємо, що⟨

(0− r + 1)

(s− r + 1)· bs−r+1

bs−r

⟩

16r6s60

= 1, i = 1, 2, . . . .

Доведення. Iз рiвностi (1) випливає справедливiсть системи рiвнянь

ai =

(i

0

)bi +

(i

1

)x1bi−1 + . . . +

(i

i− 1

)xi−1b1 +

(i

i

)xi, i = 1, 2, . . .

Доведемо, що розв’язком цiєї системи рiвнянь є xi, що задається рiвнiстю (2).Очевидно, що при i = 1 твердження – iстинне. Доведемо його iстиннiсть при i =

m + 1, якщо при i = 1, 2, . . . ,m воно – iстинне. Нехай⟨

(j − r + 1)

(s− r + 1)· bs−r+1

bs−r

⟩

16r6s6j

= Bj,

тодi

xm+1 = am+1 − bm+1 −∑m

i=1

(i

m+1

)bm−i+1 · xi =

am+1 − bm+1 −∑m

i=1

(i

m+1

)bm−i+1

∑i−1j=0(−1)j

(ij

)(ai−j − bi−j) ·Bj =

am+1 − bm+1 − (am − bm)b1B0

(m0

)(m+1

m

)+

(am−1 − bm−1)(b1B1

(m1

)(m+1

m

)− b2B0

(m−1

0

)(m+1m−1

))− . . . +

(−1)m(a1 − b1)(b1Bm−1

(m

m−1

)(m+1

m

)−b2Bm−2

(m−1m−2

)(m+1m−1

)+ . . . + (−1)m−1bmB0

(10

)(m+1

1

)=

(am+1 − bm+1)B0 −(

m+10

)(am − bm)B1 + . . . + (−1)m

(m+1

m

)(a1 − b1)Bm =∑m

j=0(−1)j(

m+1j

)(am−j+1 − bm−j+1)Bj.

Твердження 1.2. Якщо X(z) = 1A(z)

, то

xi = (−1)i

⟨(i− r + 1)

(s− r + 1)· as−r+1

as−r

⟩

16r6s6i

, i = 1, 2, . . . . (3)

Доведення. З рiвностi X(z) = 1A(z)

випливає система рiвнянь

(i

0

)ai +

(i

1

)ai−1x1 + . . . +

(i

i− 1

)a1xi−1 +

(i

i

)xi = 0, i = 1, 2, . . . .

Парадетермiнанти та експоненцiальнi ряди 87

Розв’язком цiєї системи є xi з рiвностi (3). Покажемо це. При i = 1 твердження,очевидно, iстинне. Доведемо його iстиннiсть при i = m + 1, якщо при i = 1, 2, . . . , m

воно – iстинне.Нехай ⟨

(i− r + 1)

(s− r + 1)· as−r+1

as−r

⟩

16r6s6i

= Ai,

тодi

xm+1 = −am+1 −∑m

i=1

(m+1

i

)am−i+1 · xi =

−am+1 −∑m

i=1

(m+1

i

)am−i+1(−1)iAi =

−am+1 −(

m+11

)amA1 −

(m+1

2

)am−1A2 + . . .− (−1)m

(m+1

m

)a1Am+1 =

(−1)m+1Am+1.

Таким чином, справедлива тотожнiсть

1

A(z)= 1− 〈a1〉 · z

1

1!+ ££

BB

2a1a2

a1a1

BB

££

· z2

2!− . . . + (−1)i£

£££

BBBB

ia1ia2

a1(i− 1)a1

... · · · . . .ai

ai−1

ai−1

ai−2· · · a1

BB

BB

££

££

· zi

i!+ . . . .

Теорема 1. Якщо X(z) = (A(z))p , тут

A(z) = 1 +∞∑i=1

aizi

i!,

а p – деяке дiйсне число, то

xn = (−1)n

⟨(i− j + 1) · p− (j − 1)

(i− j) · p− j· (n− j + 1)

(i− j + 1)· ai−j+1

ai−j

⟩

16j6i6n

= (4)[(−1)δij

(i− j + 1) · p− (j − 1)

(i− j) · p− j· (n− j + 1)

(i− j + 1)· ai−j+1

ai−j

]

16j6i6n

Доведення. Рiвнiсть парадетермiнанта i параперманента в рiвностях (4) доводитьсявинесенням iз кожного стовпця парадетермiнанта за його межi спiльного множника(−1) i застосуванням теореми про зв’язок параперманента i парадетермiнанта. Розкла-демо параперманент iз рiвностi (4) при n = k + 1 за елементами останнього рядка. Прицьому отримаємо рiвнiсть (4) при n = k.

Наслiдок 1.1. Справедливi наступнi комбiнаторнi тотожностi:

(A(z))n = 1 +∞∑

k=1

(−1)k

⟨(i− j + 1) · n− (j − 1)

(i− j) · n− j· (k − j + 1)

(i− j + 1)· ai−j+1

ai−j

⟩

16j6i6k

· zk

k!=

1 +∞∑

k=1

[(−1)δij

(i− j + 1) · n− (j − 1)

(i− j) · n− j· (k − j + 1)

(i− j + 1)· ai−j+1

ai−j

]

16j6i6k

· zk

k!,


(A(z))−n = 1 +∞∑

k=1

(−1)k

⟨(i− j + 1) · n + (j − 1)

(i− j) · n + j· (k − j + 1)

(i− j + 1)· ai−j+1

ai−j

⟩

16j6i6k

· zk

k!=

1 +∞∑

k=1

[(−1)δij

(i− j + 1) · n + (j − 1)

(i− j) · n + j· (k − j + 1)

(i− j + 1)· ai−j+1

ai−j

]

16j6i6k

· zk

k!,

(A(z))1n = 1 +

∞∑

k=1

(−1)k

⟨−(i− j + 1) + (j − 1) · n−(i− j) + j · n · (k − j + 1)

(i− j + 1)· ai−j+1

ai−j

⟩

16j6i6k

· zk

k!=

1 +∞∑

k=1

[(−1)δij

−(i− j + 1) + (j − 1) · n−(i− j) + j · n · (k − j + 1)

(i− j + 1)· ai−j+1

ai−j

]

16j6i6k

· zk

k!,

(A(z))−1n = 1 +

∞∑

k=1

(−1)k

⟨(i− j + 1) + (j − 1) · n

(i− j) + j · n · (k − j + 1)

(i− j + 1)· ai−j+1

ai−j

⟩

16j6i6k

· zk

k!=

1 +∞∑

k=1

[(−1)δij

(i− j + 1) + (j − 1) · n(i− j) + j · n · (k − j + 1)

(i− j + 1)· ai−j+1

ai−j

]

16j6i6k

· zk

k!,

в яких n – натуральне число.

Доведення. Для доведення цих тотожностей достатньо в рiвностi (4) замiнити p вiдпо-вiдно на вирази: n, −n, 1

n, − 1

n.

2 Операцiї з логарифмiчними формальними степеневими рядами

Розглянемо деякi операцiї з формальними логарифмiчними степеневими рядами.Нехай A(z), B(z), X(z) – вiдповiднi позначення формальних степеневих рядiв:

∞∑i=0

aizi

i,

∞∑i=0

bizi

i,

∞∑i=0

xizi

i, a0 = b0 = x0 = 1.

Тодi справедливе наступне твердження:

Твердження 2.1. Якщо

X(z) =A(z)

B(z), (5)

то

xi =i−1∑j=0

(−1)j · i

(i− j)· (ai−j − bi−j) ·

⟨(s− r + δsr)

(s− r + 1)· bs−r+1

bs−r

⟩

16r6s6j

, i = 1, 2, . . . . (6)

Тут, як i в випадку експоненцiальних рядiв, ми вважаємо, що⟨

(s− r + δsr)

(s− r + 1)· bs−r+1

bs−r

⟩

16r6s60

= 1, i = 1, 2, . . . .


Доведення. Iз рiвностi (5) випливає справедливiсть системи рiвнянь

ai = bi +i

1(i− 1)· x1bi−1 + . . . +

i

(i− 1)1· xi−1b1 + xi, i = 1, 2, . . .

Доведемо, що розв’язком цiєї системи рiвнянь є xi, що задається рiвнiстю (6).Очевидно, що при i = 1 твердження – iстинне. Доведемо його iстиннiсть при i =

m + 1, якщо при i = 1, 2, . . . ,m воно – iстинне. Нехай⟨

(s− r + δsr)

(s− r + 1)· bs−r+1

bs−r

⟩

16r6s6j

= Bj,

тодi

xm+1 = am+1 − bm+1 −∑m

i=1m+1

i·(m−i+1)· bm−i+1 · xi =

am+1 − bm+1 −∑m

i=1m+1

i·(m−i+1)· bm−i+1

∑i−1j=0(−1)j · i

(i−j)· (ai−j − bi−j) ·Bj =

am+1 − bm+1 − (am − bm)b1B0 · mm· m+1

m+

(am−1 − bm−1)(b1B1 · mm−1

· m+1m− b2B0 · m−1

m−1· m+1

(m−1)·2)− . . . +

(−1)m(a1 − b1)(b1Bm−1 · m1· m+1

m−

b2Bm−2 · m−11· m+1

(m−1)·2 + . . . + (−1)m−1bmB0 · 11· m+1

m) =

(am+1 − bm+1)B0 − m+11· (am − bm)B1 + . . . + (−1)m · m+1

m· (a1 − b1)Bm =∑m

j=0(−1)j · m+1(m−j+1)

· (am−j+1 − bm−j+1)Bj.

Твердження 2.2. Якщо X(z) = 1A(z)

, то

xi = (−1)i · i ·⟨

(s− r + δsr)

(s− r + 1)· as−r+1

as−r

⟩

16r6s6i

, i = 1, 2, . . . . (7)

Доведення. З рiвностi X(z) = 1A(z)

випливає система рiвнянь

ai +i

1(i− 1)· ai−1x1 + . . . +

i

(i− 1)1· a1xi−1 + xi = 0, i = 1, 2, . . . .

Розв’язком цiєї системи є xi з рiвностi (7). Покажемо це. При i = 1 твердження,очевидно, iстинне. Доведемо його iстиннiсть при i = m + 1, якщо при i = 1, 2, . . . , m

воно – iстинне.Нехай ⟨

(s− r + δsr)

(s− r + 1)· as−r+1

as−r

⟩

16r6s6i

= Ai,

тодi

xm+1 = −am+1 −∑m

i=1m+1

m−i+1· am−i+1 · xi =

−am+1 −∑m

i=1m+1

m−i+1· am−i+1 · (−1)i · i · Ai =

−am+1 + m+1m· amA1 − m+1

m−1· am−1 · 2 · A2 + . . .− (−1)m · m+1

1· a1 ·m · Am+1 =

(−1)m+1 · (m + 1) · Am+1.


Таким чином, справедлива тотожнiсть

1

A(z)= 1−〈a1〉· z

1

1+2·££

BB

a1a2

2a1a1

BB

££

· z2

2−. . .+(−1)i ·i·££

££

BBBB

a1a2

2a1a1

... · · · . . .(i−1)ai

iai−1

(i−2)ai−1

(i−1)ai−2· · · a1

BB

BB

££

££ i

· zi

i+. . . .

Теорема 2. Якщо X(z) = (A(z))p , тут

A(z) = 1 +∞∑i=1

aizi

i,

а p – деяке дiйсне число, то

xn = (−1)n · n ·⟨

(i− j + 1) · p− (j − 1)

(i− j) · p− j· (i− j + δij)

(i− j + 1)· ai−j+1

ai−j

⟩

16j6i6n

= (8)

n ·[(−1)δij

(i− j + 1) · p− (j − 1)

(i− j) · p− j· (i− j + δij)

(i− j + 1)· ai−j+1

ai−j

]

16j6i6n

.

Доведення. Рiвнiсть парадетермiнанта i параперманента в рiвностях (8) доводитьсявинесенням iз кожного стовпця парадетермiнанта за його межi спiльного множника(−1) i застосуванням теореми про зв’язок параперманента i парадетермiнанта. Розкла-демо параперманент iз рiвностi (8) при n = k + 1 за елементами останнього рядка. Прицьому отримаємо рiвнiсть (8) при n = k.

Наслiдок 2.1. Справедливi наступнi комбiнаторнi тотожностi:

(A(z))n = 1 +∞∑

k=1

(−1)k · k ·⟨

(i− j + 1) · n− (j − 1)

(i− j) · n− j· (i− j + δij)

(i− j + 1)· ai−j+1

ai−j

⟩

16j6i6k

· zk

k=

1 +∞∑

k=1

·k ·[(−1)δij

(i− j + 1) · n− (j − 1)

(i− j) · n− j· (i− j + δij)

(i− j + 1)· ai−j+1

ai−j

]

16j6i6k

· zk

k,

(A(z))−n = 1+∞∑

k=1

(−1)k · k ·⟨

(i− j + 1) · n + (j − 1)

(i− j) · n + j· (i− j + δij)

(i− j + 1)· ai−j+1

ai−j

⟩

16j6i6k

· zk

k=

1 +∞∑

k=1

·k ·[(−1)δij

(i− j + 1) · n + (j − 1)

(i− j) · n + j· (i− j + δij)

(i− j + 1)· ai−j+1

ai−j

]

16j6i6k

· zk

k,

(A(z))1n = 1+

∞∑

k=1

(−1)k ·k ·⟨−(i− j + 1) + (j − 1) · n

−(i− j) + j · n · (i− j + δij)

(i− j + 1)· ai−j+1

ai−j

⟩

16j6i6k

· zk

k=

1 +∞∑

k=1

·k ·[(−1)δij

−(i− j + 1) + (j − 1) · n−(i− j) + j · n · (i− j + δij)

(i− j + 1)· ai−j+1

ai−j

]

16j6i6k

· zk

k,

(A(z))−1n = 1+

∞∑

k=1

(−1)k ·k ·⟨

(i− j + 1) + (j − 1) · n(i− j) + j · n · (i− j + δij)

(i− j + 1)· ai−j+1

ai−j

⟩

16j6i6k

· zk

k=


1 +∞∑

k=1

·k ·[(−1)δij

(i− j + 1) + (j − 1) · n(i− j) + j · n · (i− j + δij)

(i− j + 1)· ai−j+1

ai−j

]

16j6i6k

· zk

k,

в яких n – натуральне число.

Доведення. Для доведення цих тотожностей достатньо в рiвностi (8) замiнити p вiдпо-вiдно на вирази: n, −n, 1

n, − 1

n.

Лiтература

1. Айгнер М. Комбинаторная теория. — М.: Мир. — 1982. — 558 с.

2. Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ, т.2: Получисельные алгоритмы. — М.: Мир. —1978.

3. Стенли Р. Перечислительная комбинаторика — М.: Мир. — 1990. — 440 с.

4. Zatorsky R.A. Theory of paradeterminants and its applications // Algebra and Diskrete Mathematics. 1(2007), 109–138.




Semenchuk A.V. Paradeterminants and formal exponential series, Carpathian MathematicalPublications, 1, 1 (2009), 85–91.

Formal exponential and logarithmic series using triangular matrices are investigated.

Семенчук А.В. Парадетерминанты и формальные экспоненциальные ряды // Карпатскиематематические публикации. — 2009. — Т.1, 1. — C. 85–91.

При помощи парадетерминантов треугольных матриц исследуются формальные экспо-ненциальные и логарифмические ряды.



УДК 517.98+517.982.4

Соломко А.В.

ОКРЕМИЙ ВИПАДОК ОПЕРАТОРНОГО ЧИСЛЕННЯ ДЛЯ

УЗАГАЛЬНЕНИХ ФУНКЦIЙ З НОСIЯМИ В КОНУСI

Соломко А.В. Окремий випадок операторного числення для узагальнених функцiй з но-сiями в конусi // Карпатськi математичнi публiкацiї. — 2009. — Т.1, 1. — C. 92–99.

В цiй роботi узагальнюється побудова функцiонального числення для сильно неперерв-них напiвгруп операторiв в алгебрi розподiлiв Шварца на довiльний конус. Дослiджуєтьсяокремий випадок векторнозначного числення на основi модифiкацiї операторного перетво-рення Фур’є.

1 Термiнологiя, основнi позначення та додатковi твердження

В статтi [2] побудовано функцiональне числення вiд генераторiв n-параметричних(Co)-напiвгруп операторiв в алгебрi узагальнених функцiй з носiями в додатному n-вимiрному кутi. В цiй роботi узагальнюється функцiональне числення на довiльнийконус i розглядається окремий випадок векторнозначного операторного числення наосновi модифiкацiї формули операторного перетворення Фур’є.

Введемо допомiжнi позначення та твердження, якi використовуються в данiй статтi.Розглянемо класичну двоїстiсть 〈D′(Rn), D(Rn)〉. Як звичайно, D(Rn) – простiр нескiн-ченно диференцiйованих функцiй ϕ(t) з компактними носiями suppϕ ⊂ Rn, D′(Rn) –спряжений до D(Rn) простiр лiнiйних неперервних функцiоналiв, введений Л.Шварцомв [8, 9]. Позначимо через Γ – довiльний замкнений гострий тiлесний конус. Всюди далiD′

Γ – пiдпростiр в D′(Rn) тих розподiлiв f, носiї яких supp f мiстяться в Γ. Полярапiдпростору D′

Γ вiдносно класичної двоїстостi 〈D′(Rn), D(Rn)〉 має вигляд

(D′Γ)o = ϕ ∈ D(Rn) : suppϕ ⊂ Rn \ Γ .

Бiлiнiйна форма D′Γ × D(Rn)/(D′

Γ)o 3 (f, ϕΓ) → 〈f, ϕ〉 ∈ C, ϕ ∈ ϕΓ, iндукованадвоїстiстю 〈D′(Rn), D(Rn)〉, ставить простори D′

Γ i D(Rn)/(D′Γ)o у двоїстiсть, де через

ϕΓ ∈ D(Rn)/(D′Γ)o позначаємо клас еквiвалентностi з представником ϕ ∈ D(Rn). Якщо

вiдповiдно λΓ(t) =

1, t ∈ Γ,

0, t /∈ Γ,% : ϕ → ϕΓ := λΓ · ϕ є характеристичною функцiєю

2000 Mathematics Subject Classification: 42A38, 46H30.

c©Соломко А.В., 2009

Окремий випадок операторного числення 93

конуса Γ i оператором множення на неї, то фактор-вiдображення D(Rn) → D(Rn)/(D′Γ)o

реалiзується формулою:

% : D(Rn) 3 ϕ → ϕΓ ∈ D(Rn)/(D′Γ)o

i обернене вiдображення %−1 : D(Rn)/(D′Γ)o 3 ϕΓ → ϕ ∈ D(Rn) є багатозначним лiнiй-

ним вiдображенням.Визначимо множину Γν як перетин довiльного конуса Γ iз замкненою кулею радiуса

ν i поставимо у вiдповiднiсть кожнiй множинi Γν простiр функцiй

DΓν = ψ(τ) = λΓ(t)ϕ(t), ϕ(t) ∈ D(Rn), suppϕ ∩ Γ ⊂ Γν .

Зрозумiло, що suppψ ⊂ Γν для кожної функцiї ψ ∈ DΓν . Топологiю в DΓν задаємо задопомогою норм

‖ψ‖ν, m =∑

|k|≤m

1

k!supτ∈Γν

|∂kψ(τ)|,

де ∂k = ∂k11 . . . ∂kn

n , ∂kj

j = ∂kj

∂tkjj

, k = (k1, . . . , kn) ∈ Zn+. При ν < µ вкладення DΓν ⊂ DΓµ є

неперервними, тому можна визначити iндуктивну границю

DΓ =⋃ν

DΓν = lim indν→∞

DΓν .

В статтi [1] доведено, що простори DΓ i D(R)/(D′Γ)o є топологiчно iзоморфними.

Надалi будемо розглядати дуальну пару 〈D′Γ, DΓ〉, де DΓ – простiр функцiй, озна-

чений вище. В статтi [1] доведено, що простiр DΓ є монтелевим, борнологiчним (LF )-простором. Ядернiсть просторiв дуальної пари 〈D′

Γ, DΓ〉 доведено в роботi [4]. Вiдомотакож (див. [4]), що простiр D′

Γ є алгеброю вiдносно операцiї згортки.Перетворення Фур’є простору D(Rn) визначаємо за формулою

F : D(Rn) 3 ϕ → ϕ, ϕ(ξ) =

∫

Rn

ϕ(t)e−i(t, ξ)dt, ξ ∈ Rn.

Фур’є-образ простору D(Rn) позначаємо через D(Rn) = ϕ : ϕ ∈ D(Rn).Визначимо фактор-вiдображення

% : D(Rn) 3 ϕ → ϕΓ, DΓ := D(Rn)/Ker %,

де Ker % := F((D′Γ)o). В [3] доведено, що оператор F = %F%−1 є лiнiйним i неперервним

з простору DΓ на простiр DΓ. Зауважимо, що на Фур’є-образ DΓ переносяться основнiтопологiчнi властивостi простору DΓ, тобто DΓ – бочковий, монтелевий i борнологi-чний (LF )-простiр. Обернене перетворення Фур’є на просторi DΓ iснує i зображаєтьсяу виглядi F−1 % = % F−1, де F−1 : D(Rn) → D(Rn) – обернене вiдображення до F .

Спряжене до оберненого перетворення Фур’є

F ∗ := (2π)n(F−1)′ : D′Γ 3 f → f ∈ D′

Γ, (1)

94 Соломко А.В.

де через D′Γ позначено його образ з вiдповiдною iндукованою топологiєю простору D′

Γ,

визначаємо спiввiдношенням

〈f(ξ), ϕΓ(ξ)〉 = (2π)n〈f(s), ϕΓ(s)〉, ϕΓ ∈ DΓ, s ∈ Γ, ξ ∈ Rn. (2)

Зазначимо, що формула (2) разом iз вiдображенням (1) визначає нову дуальну пару〈D′

Γ, DΓ〉, крiм того простiр D′Γ є алгеброю вiдносно звичайної поточкової операцiї мно-

ження (див. [3]).

2 Побудова операторного числення

Розглядаємо комплексний банаховий простiр Y , ‖ · ‖ i простiр DΓ(Y) – фiнiтнихнескiнченно диференцiйованих Y-значних функцiй x(t) з носiями в конусi Γ з тополо-гiєю, що визначається набором норм

‖x‖m =∑

|k|≤m

1

k!supt∈Γ

‖∂kx(t)‖.

З ядерностi простору DΓ та вiдомої теореми Гротендiка [7] про представлення тен-зорного добутку двох повних просторiв, один з яких є ядерним, буде випливати топо-логiчний iзоморфiзм просторiв DΓ(Y) та Y⊗DΓ, де ⊗ – поповнення тензорного добуткупросторiв в проективнiй топологiї.

Теорема 1. Для довiльного елемента x = x(t) ∈ DΓ(Y), t ∈ Γ, знайдеться числоν > 0 таке, що x(t) ∈ Y⊗DΓν i x(t) можна подати у виглядi абсолютно збiжного ряду впросторi Y⊗DΓν вигляду

x(t) =∞∑

m=1

λmxm ⊗ (ϕm)Γ(t),

де∑m

|λm| < ∞ i послiдовностi (ϕm)Γ та xm прямують до нуля у просторах DΓν та

Y вiдповiдно.Крiм того, справедливою є рiвнiсть

∂kx(t) =∞∑

m=1

λmxm ⊗ ∂k(ϕm)Γ(t),∀k ∈ Zn+.

Доведення. З представлення простору DΓ(Y) випливає, що для кожного x ∈ DΓ(Y)

iснує таке число ν > 0, що x ∈ Y⊗DΓν . Очевидно, що простори Y та DΓν є метризовними,тому для довiльного елемента x ∈ Y⊗DΓν можна застосувати теорему [6, гл. III, т. 6.4]про зображення елементiв поповнення проективного тензорного добутку метризовнихпросторiв, що забезпечує нам розклад x(t) в ряд.

Виконання рiвностi ∂kx(t) =∞∑

m=1

λmxm ⊗ ∂k(ϕm)Γ(t) слiдує iз абсолютної збiжностiряду. 2

Нехай IY – одиничний оператор, що дiє в банаховому просторi Y . Визначимо опера-цiю крос-кореляцiї розподiлу f ∈ D′

Γ iз основною функцiєю ϕΓ ∈ DΓ за формулою

MfϕΓ(t) = λΓ〈f(s), ϕ(t + s)〉 = λΓ〈f(s), Tsϕ(t)〉 = 〈f(s), TsϕΓ(t)〉,


де t ∈ Rn, s ∈ Γ, Ts % = % Ts. В [1] доведено, що вiдображення D′Γ 3 f → Mf ∈ L(DΓ),

де L(DΓ) – алгебра лiнiйних неперервних вiдображень над простором DΓ з топологiєюрiвномiрної збiжностi на компактах, здiйснює топологiчний iзоморфiзм згорткової ал-гебри D′

Γ на комутант напiвгрупи операторiв Tss∈Γ в алгебрi L(DΓ).

Оператор IY ⊗Mf належить простору лiнiйних неперервних вiдображень iз DΓ(Y)

в DΓ(Y) i дiє за формулою:

(IY ⊗Mf )x(t) =

∞∑m=1

λmxm(Mf (ϕm)Γ)(t), t ∈ Γ,

0, t /∈ Γ.

Нехай Us : Γ 3 s → Us ∈ L(Y) – n-параметрична напiвгрупа класу (C0) над Y . Генера-тори цiєї n-параметричної (C0)-напiвгрупи визначаються наступним чином:

∂jUsx|s=0 = −iAjx, x ∈ D(Aj), j = 1, . . . , n.

Припускаємо, що Aj є замкненими, щiльно визначеними операторами з областю визна-чення D(Aj). Тодi оператор A = (A1, . . . , An) визначений над банаховим простором Y .

Розглянемо в DΓ(Y) пiдпростiр DoΓ(Y) := x(t) ∈ DΓ(Y) : x(0) = 0.

Оскiльки для довiльного розподiлу f ∈ D′Γ оператор IY ⊗Mf та оператор зсуву IY ⊗

Ts, s ∈ Γ вздовж конуса Γ належать простору L[DoΓ(Y), DΓ(Y)] лiнiйних неперервних

вiдображень iз DoΓ(Y) в DΓ(Y), то справедливою є наступна теорема.

Теорема 2. Для кожного розподiлу f ∈ D′Γ оператор IY ⊗Mf є лiнiйним неперервним

перетворенням простору DoΓ(Y) в DΓ(Y) i є ядерним оператором, що iнварiантний вiдно-

сно векторного оператора зсуву IY ⊗Ts. Навпаки, для кожного лiнiйного неперерв-ногоперетворення IY ⊗ K ∈ L[Do

Γ(Y), DΓ(Y)], яке iнварiантне вiдносно зсуву, iснує єдинийрозподiл f ∈ D′

Γ такий, що K = Mf для всiх x ∈ DoΓ(Y).

Доведення. За означенням

(IY ⊗Mf )x(t) =∞∑

m=1

λmxm(Mf (ϕm)Γ)(t) =∞∑

m=1

λmxm〈f, Ts(ϕm)Γ〉,

де послiдовностi xmm∈N i Ts(ϕm)Γm∈N прямують до нуля в Y та DoΓ вiдповiдно. Тодi

в силу вiдомого критерiю ядерностi (див. [5, гл. Х, ст. 401]) випливає, що IY ⊗ Mf –ядерний оператор.

Для довiльної функцiї x(t) ∈ DoΓ(Y) та розподiлу f ∈ D′

Γ маємо:

(IY ⊗Mf Ts)x(t) =∞∑

m=1

λmxm (Mf Ts(ϕm)Γ)(t) =

∞∑m=1

λmxm (Ts Mf (ϕm)Γ)(t) = (IY ⊗ Ts Mf )x(t).

Навпаки, нехай для довiльної функцiї ϕΓ ∈ DoΓ лiнiйний неперервний функцiонал

f : ϕΓ → (KϕΓ)(0) визначає розподiл f ∈ D′Γ, якщо доозначити f на всьому Rn як то-

тожно нульовий функцiонал. Тодi для довiльної функцiї x(t) ∈ DΓ(Y) можна записати,


що 〈f, x〉 = (IY ⊗ K)x(0) = (IY ⊗ Mf )x(0) (див. [4]). Якщо тепер в останню рiвнiстьзамiсть x(t) пiдставити функцiю (IY ⊗ Ts)x(t) i скористатися властивiстю iнварiантно-стi, яка для оператора IY ⊗K виконується за умовою теореми, то отримаємо потрiбнеспiввiдношення (IY ⊗K)x(s) = (IY ⊗Mf )x(s), s ∈ Γ. 2

Визначимо вiдповiднi Фур’є-образи просторiв DΓ(Y) та DoΓ(Y) вигляду

DΓ(Y) := x =

∫

Γ

Usx(s)ds : x(s) ∈ DΓ(Y)

i

DoΓ(Y) := x =

∫

Γ

Usx(s)ds : x(s) ∈ DoΓ(Y).

Теорема 3. Якщо Us : s ∈ Γ – n-параметрична (C0)-напiвгрупа операторiв, то пiд-простiр Do

Γ(Y) щiльний в банаховому просторi Y .

Доведення. Для довiльного m ∈ N iснує нескiнченно диференцiйована фiнiтна функцiяϕm = ϕm(s) з властивостями ϕm(s) ≥ 0, suppϕm ⊂ Γ 1

m,

∫Γ 1

m

ϕm(s)ds = 1. Для довiльного

y ∈ Y побудуємо в просторi DoΓ(Y) послiдовнiсть ym, де ym = y ⊗ ϕm. Тодi

‖ym − y‖ = ‖∫

Γ 1m

ϕm(s)Usyds−∫

Γ 1m

ϕm(s)yds‖ ≤

∫

Γ 1m

‖Usy − y‖ϕm(s)ds ≤ sups∈Γ 1

m

‖Usy − y‖.

Оскiльки Us : s ∈ Γ – n-параметрична (C0)-напiвгрупа, то для кожного елементаy ∈ Y одержуємо sup

s∈Γ 1m

‖Usy − y‖ → 0 при m →∞. Отже, limm→∞

ym = y для всiх y ∈ Y . 2

Нехай L[DoΓ(Y), DΓ(Y)] – алгебра лiнiйних неперервних вiдображень iз пiдпростору

DoΓ(Y) в DΓ(Y) з топологiєю рiвномiрної збiжностi на обмежених множинах.

Теорема 4. Вiдображення

Φ : D′Γ 3 f → f(A) ∈ L[Do

Γ(Y), DΓ(Y)],

де лiнiйний оператор f(A) визначається формулою

f(A) : DoΓ(Y) 3 x → f(A)x =

∫

Γ

(Us ⊗Mf )x(s)ds, (3)

є неперервним гомоморфiзмом алгебри D′Γ в алгебру операторiв L[Do

Γ(Y), DΓ(Y)].


Доведення. З теореми 1 випливає, що кожен елемент x(s) ∈ DoΓ(Y) розкладається в

абсолютно-збiжний ряд x(s) =∞∑

m=1

λmxm ⊗ (ϕm)Γ(s). Користуючись його абсолютною

збiжнiстю, а також неперервнiстю скалярної операцiї крос-кореляцiї Mf , приходимо до

висновку, що бiлiнiйне вiдображення D′Γ × Do

Γ(Y) 3 (f, x) →∞∑

m=1

λmxm · Mf (ϕm)Γ(s)

є нарiзно неперервним. Оскiльки Us є (Co)-напiвгрупою операторiв, то з властиво-стей iнтегралу Бохнера буде випливати нарiзна неперервнiсть бiлiнiйного вiдображенняD′

Γ×DoΓ(Y) 3 (f, x) → f(A)x. Узагальнене перетворення Фур’є F ∗ розподiлiв з простору

D′Γ, а також вiдображення Do

Γ(Y) 3 x(s) → x ∈ DoΓ(Y) є топологiчним iзоморфiзмом [3],

тому бiлiнiйне вiдображення

ω : D′Γ × Do

Γ(Y) 3 (f , x) → f(A)x ∈ L[DoΓ(Y), DΓ(Y)] (4)

є теж нарiзно неперервним. Простiр D′Γ – бочковий, а Do

Γ(Y) – бочковий, як iндуктивнаграниця бочкових просторiв Фреше. Тому до вiдображення (4) можна застосувати тео-рему Банаха-Штейнгауза, яка гарантує нам одностайну неперервнiсть вiдображення Φ.

Те, що вiдображення Φ здiйснює гомоморфiзм алгебр, випливає з теореми про то-пологiчний iзоморфiзм алгебри D′

Γ комутанту напiвгрупи зсувiв [1] та властивостейвекто-рної операцiї крос-кореляцiї (див. [4]). 2

Наслiдок. Неперервний гомоморфiзм Φ задовольняє спiввiдношення:

∂ljf(A)x = (−iAj)

lf(A)x = f(A)(−iAj)lx, (5)

∂ljδ(A)x = (−iAj)

lx, l ∈ N, j = 1, . . . , n, (6)

де f ∈ D′Γ, x ∈ Do

Γ(Y), δ – функцiя Дiрака.

Доведення. Для довiльного розподiлу f ∈ D′Γ та функцiї x ∈ Do

Γ(Y), використовуючиформулу (3) операторного числення, запишемо

∂ljf(A)x =

∫

Γ

(Us ⊗M∂ljf )x(s)ds = (−1)l

∫

Γ

∞∑m=1

λmUsxmMf∂lj(ϕm)Γ(s)ds =

(−1)l

∫

Γ

∞∑m=1

λmUsxm∂ljMf (ϕm)Γ(s)ds = (−1)l

∫

Γ

(Us ⊗ ∂ljMf )x(s)ds.

Тодi за допомогою формального iнтегрування частинами останнього iнтеграла iз заува-женням, що 〈f, ∂l

jx〉 = (IY ⊗ ∂ljMf )x(0) = 0, отримаємо рiвнiсть (5).

Для доведення формули (6) в рiвнiсть (5) пiдставимо функцiю Дiрака. В такомувипадку для довiльної функцiї x ∈ Do

Γ(Y) отримаємо

δ(A)x =

∫

Γ

(Us ⊗Mδ)x(s)ds =

∫

Γ

∞∑m=1

λmUsxmMδ(ϕm)Γ(s)ds =

∫

Γ

Usx(s)ds = x, s ∈ Γ.


Пiдставивши знайдене значення в праву частину формули (5), одержимо виконаннярiвностi (6) 2

Розглянемо приклади застосування операторного числення, яке реалiзується фор-мулою (3).

Приклад 1. В [3] доведено, що δ = λΓ

(2π)n , де λΓ – характеристична функцiя конуса Γ.

Для n-параметричної (Co)-напiвгрупи Uss∈Γ використаємо позначення Us = e−i(s, A),

де s ∈ Γ i A – генератор цiєї напiвгрупи. Тодi для функцiї Дiрака δ ∈ D′Γ запишемо

δ(A)x =1

(2π)n

∫

Γ

(Us ⊗MλΓ)x(s)ds =

1

(2π)n

∫

Γ

∞∑m=1

λme−i(s, A)xm ·MλΓ(ϕm)Γ(s)ds =

1

(2π)n

∫

Γ

e−i(s, A)

∫

Γ

x(t + s)ds =

1

(2π)n

∫

Γ

∫

Γ

e−i(s, A)x(t + s)dsdt =1

(2π)n

∫

Γ

x(t + s)dt.

Приклад 2. Застосуємо узагальнене перетворення Фур’є (1) до рiвностi λΓ ∗ ∂jδ =

∂jδ ∗ λΓ = δ, j = 1, . . . , n. Тодi отримаємо

δ · ∂jδ = ∂jδ · δ =1

(2π)n, j = 1, . . . , n.

Отже, функцiя Дiрака δ має в алгебрi D′Γ обернений елемент (2π)n∂jδ. Використо-

вуючи основну теорему 4 операторного числення, робимо висновок, що для довiльноїфункцiї y ∈ Do

Γ(Y) рiвняння(2π)n∂jδ(A)x = y

має єдиний розв’язок

x = δ(A)y =1

(2π)n

∫

Γ

y(t + s)dt.

Лiтература

1. Лопушанський О.В., Соломко А.В., Шарин С.В. Про топологiчний iзоморфiзм алгебри розподiлiвз носiями в конусi комутанту напiвгрупи зсувiв // Мат. методи та фiз.-мех. поля. — 2004. — Т.47,2. — С. 95–99.

2. Соломко А.В., Шарин С.В. Функцiональне числення над банаховими просторами в конусi Rn+ //

Мат. методи та фiз.-мех. поля. — 2004. — Т.47, 4. — С. 51–56.

3. Соломко А.В. Операторне зображення Фур’є-образу згорткової алгебри розподiлiв на конусi //Вiсник Львiвського унiверситету. Серiя мех.-мат. — 2005. — Вип. 64. — С. 266–272.

4. Соломко А.В., Шарин С.В. Векторна операцiя крос-кореляцiї в довiльному конусi // Вiсник При-карп. ун-ту. — 2007. — Вип. 3. — С. 29–36.

5. Иосида К. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1967. — 624 c.

6. Шефер Х. Топологические векторные пространства. — М.: Мир, 1971. — 359 c.


7. Grothendieck A. Produits tensoriel topologiques et espaces nucleaire // Mem. Amer. Math. Soc. — 16, 2(1995). — P. 1–140.

8. Schwartz L. Theorie des distribution, I. — Hermann, 1950. — 430 p.

9. Schwartz L. Theorie des distributions, II. — Paris, 1951. — 476 p.

Прикарпатський унiверситет iм. В. Стефаника,



Solomko A.V. Particular case of operator calculus for generalized functions with supports incone, Carpathian Mathematical Publications, 1, 1 (2009), 92–99.

In this work the construction of functional calculus for strongly continuous semigroups ofoperators in Schwartz distribution algebra on some cone is generalized. The partial case of vec-tor valued calculus on the base of modification operator Fourier transformation is researched.

Соломко А.В. Частичный случай операторного исчисления для обобщенных функций сносителями в конусе // Карпатские математические публикации. — 2009. — Т.1, 1. —C. 92–99.

В этой работе обобщается построение функционального исчисления для сильно непре-рывных полугрупп операторов в алгебре распределенийШварца на любой конус. Исследу-ется частичный случай векторнозначного исчисления с помощью модификации операто-рного преобразования Фурье.



УДК 517.76

Я.З.Стасюк, О.Б.Скаскiв

ПРО ЕКВIВАЛЕНТНIСТЬ СУМИ I МАКСИМАЛЬНОГО ЧЛЕНА

АБСОЛЮТНО ЗБIЖНОГО У ПIВПЛОЩИНI РЯДУ ДIРIХЛЕ

Я.З.Стасюк, О.Б.Скаскiв Про еквiвалентнiсть суми i максимального члена абсолютнозбiжного у пiвплощинi ряду Дiрiхле // Карпатськi математичнi публiкацiї. — 2009. —Т.1, 1. — C. 100–106.

Для абсолютно збiжних у пiвплощинi z : Re z < 0 рядiв Дiрiхле F (z) =+∞∑n=0

anezλn , де

0 ≤ λn ↑ +∞ (0 ≤ n ↑ +∞), встановлено умови на коефiцiєнти його мажоранти Ньютона,за яких спiввiдношення F (x+iy) = (1+o(1))aν(x)e

(x+iy)λν(x) виконується при x → −0 зовнiдеякої множини E нульової логарифмiчної щiльностi у точцi 0, рiвномiрно по y ∈ R.

Вступ

Нехай S0 — клас функцiй F , зображуваних абсолютно збiжними у пiвплощинiz : Re z < 0 рядами Дiрiхле

F (z) =+∞∑n=0

anezλn , (1)

де послiдовнiсть λ = λj : j ≥ 0 ⊂ R+ попарно рiзних чисел задовольняє умову

supλn : n ≥ 0 = +∞. (2)

Нехай S0(a) — клас усiх рядiв Дiрiхле F ∈ S0 вигляду (1) з фiксованою послiдовнiстюa = |an| : n ≥ 0.

Через S позначимо клас усiх цiлих рядiв Дiрiхле з невiд’ємними показниками.У статтi [1] доведено, що за умови

+∞∑n=0

1

µn+1 − µn

< +∞, (3)

де µndef= ln |an|, для кожної функцiї F ∈ S0(a) спiввiдношення

F (x + iy) = (1 + o(1))aν(x)e(x+iy)λν(x) (4)

2000 Mathematics Subject Classification: 30B50.

c©Я.З.Стасюк, О.Б.Скаскiв, 2009

Еквiвалентнiсть суми i максимального члена ряду Дiрiхле 101

виконується при x → −0 зовнi деякої множини E скiнченної логарифмiчної мiри, тобто

ln -measEdef=

∫

E∩[−1,0)

d ln

(−1

x

)< +∞,

рiвномiрно по y ∈ R. Тут ν(x) = ν(x, F ) = maxn : |an|exλn = µ(x, F ) — центральнийiндекс ряду (1), а µ(x, F ) = max|an|exλn : n ≥ 0 — його максимальний член.

У статтi [2] доведено, що скiнченнiсть логарифмiчної мiри виняткової множини E успiввiдношеннi (4) за умови (3) є непокращуваним описом.

В [1], крiм цього, встановлено, що умова (3) є i необхiдною для того, щоб спiввiдно-шення (4) виконувалось для кожної функцiї F ∈ S0(a) при x → −0 (x /∈ E, ln -measE <

+∞) рiвномiрно по y ∈ R.Подiбно, як i в [3], виникає запитання про можливiсть послабити умову (3), накла-

даючи, можливо, додатковi умови на показники ряду (1). Як i в [3], вiдповiдь на цезапитання позитивна.

Надалi розглядатимемо лише пiдкласи S+0 , S+

0 (a), до яких належать лише рядиДiрiхле вiдповiдно з S0 i S0(a), зi строго зростаючою до +∞ системою показникiв λ =

(λn), 0 < λ0 < λn ↑ +∞ (1 ≤ n ↑).

1 Формулювання основного результату

Для того, щоб сформулювати i потiм довести основний результат статтi, нам потрi-бне поняття мажоранти Ньютона ряду Дiрiхле, а також деякi її властивостi.

Мажоранту Ньютона довiльного ряду (1) будуємо, як i в [4, c.163] (див. також [5,c.682]). У прямокутнiй системi координат λOµ позначимо точки Pn з координатами(λn,− ln |an|) i проведемо з них вертикальнi променi Vn в напрямку додатної пiвосi Oµ.Позначимо через Q опуклу оболонку множини

⋃n≥0 Vn. Якщо множина Q не є пiв-

площиною, то кожна пряма (λ, µ) : λ = λn, n ∈ 0, 1, 2, . . . , перетинає межу ∂Q

множини Q в єдинiй точцi Pn з координатами (λn,− ln a∗n)def= (λn,−µ∗n). Формальний

ряд F∗ =∑+∞

n=0 a∗nezλn називаємо мажорантою Ньютона ряду (1).За побудовою ([5]):

(i) a∗n ≥ |an| (n ≥ 0); (ii) a∗n+1 ≥ a∗n (n ≥ 0); (iii) κ∗ndef=

µ∗n−µ∗n+1

λn+1−λn↑ 0 (n → +∞);

(iv) µ(x, F ) = µ(x, F∗) (x < 0).

Наступна лема мiстить ще одну властивiсть мажоранти Ньютона.

Лема 1.1 ([4]). Нехай σF i σF∗ — абсциси абсолютної збiжностi ряду (1) i мажорантиНьютона ряду (1) вiдповiдно. Якщо ln n = o(λn) (n → +∞), то

σF∗ = limn→+∞

− ln a∗nλn

=− ln |an|

λn

= σF .

Сформулюємо тепер основний результат.

Теорема 1. Нехай функцiя F ∈ S0(a), а додатна неспадна на [t0, +∞) функцiя ψ(t) —така, що (∃α ∈ (0, 1))(∀t ≥ t0) : ln ψ(t) ≤ tα. Якщо виконуються умови

ln n = o(λn) (n → +∞),

102 Я.З.Стасюк, О.Б.Скаскiв

(∃n0)(∀n ≥ n0) : λn − λn0 ≥ µ∗nψ(µ∗n) (5)

i1

ln ψ(µ∗n

2

)n−1∑

k=0

1

µ∗k+1 − µ∗k= o(1) (n → +∞), (6)

то спiввiдношення (4) виконується при x → −0 зовнi деякої множини E нульової лога-рифмiчної щiльностi (Dln0E

def= lim

R→−0

1

ln( 1|R|)

ln -meas (E∩ [−1, R])=0) рiвномiрно по y ∈ R.

Схема доведення теореми 1 подiбна до схеми доведення вiдповiдної теореми з [1].Вiдмiннiсть полягає в тому, що умова (6) не припускає з необхiднiстю збiжностi ряду(3), i тому виникають додатковi труднощi, зокрема, з оцiнками залишкiв ряду Дiрiхле.

Зауваження. З умови (6) випливає, що µ∗n → +∞ (n → +∞).

2 Доведення основного результату

Доведення теореми 1. Як i в [1], позначимо bn = e−λn i розглянемо ряд

f(s) =+∞∑n=0

bnesµ∗n . (7)

За нерiвнiстю Кошi-Буняковського i умовою ln ψ(t) ≤ tα (t ≥ t0) отримаємо

1

ln ψ(

µ∗n2

)n−1∑

k=0

1

µ∗k+1 − µ∗k≥ n2

µ∗n − µ∗0· 2α

(µ∗n)α,

а отже, з умови (6) маємоn

21+α = o(µ∗n) (n → +∞), (8)

тому ln n = o(µ∗n), а отже, з огляду на (5), ln n = o(λn) (n → +∞).

Оскiльки для кожного фiксованого x < 0 з огляду на лему 1.1 виконується спiввiдно-шення lim

n→+∞(ln a∗n−λn|x|) = −∞, тобто lim

n→+∞(µ∗n+|x| ln bn) = −∞, то звiдси, враховуючи,

що µ∗n ↑ +∞ (n → +∞), з огляду на довiльнiсть x отримаємо limn→+∞

(− 1

µ∗nln bn

)= +∞.

Далi, оскiльки з (5) i (8) випливає, що ln n = o(λn) (n → +∞), за лемою 1.1 отримуємо,що ряд (7) — абсолютно збiжний скрiзь в C.

Наступне допомiжне твердження фактично доведено в [1, c.122-123].

Лема 2.1. Нехай f(s) =∑+∞

n=0 bnesµ∗n ∈ S, µ∗n ↑ +∞ (0 ≤ n ↑ +∞), а (εk) — послiдовнiстьтака, що 0 ≤ εk ≤ 1/2 (k ≥ 0). Тодi iснує множина E0 ⊂ [1, +∞) така, що для кожногоσ ∈ [1, +∞) \ E0 виконуються рiвностi

ν(σ(1± εν(σ))) = ν(σ), ν(σ) = ν(σ, f), (9)

i для всiх σ ∈ [1, +∞) для логарифмiчної мiри E0 справджується оцiнка

ln -meas (E0 ∩ [1, σ))def=

∫

E0∩[1,σ)

d ln x ≤ 3

ν(σ−0)∑

k=0

εk.


Доведення. Нехай σj — послiдовнiсть точок стрибка центрального iндексу ν(σ, f), зану-мерована так, що ν(σ, f) для σ ∈ [σj, σj+1); якщо ν(σj+1, f) = j + p, p ≥ 2, то вважаємо,що σj+1 = . . . = σj+p < σj+p+1.

В [1] доведено, що рiвностi (9) на промiжку [σj, σj+1) можуть не виконуватися лишена множинi Ij =

[σj,

σj

1−εj

)∪

[σj+1

1+εj, σj+1

). Для логарифмiчної мiри Ij маємо

ln -meas (Ij) ≤ ln1

1− εj

+ ln(1 + εj) ≤ 3εj = 3εν(σj+1−0).

Якщо σ ∈ [σn, σn+1), то для логарифмiчної мiри множини E0 =⋃+∞

j=0 Ij отримаємо

ln -meas (E0 ∩ [1, σ)) ≤n−1∑j=0

ln -meas (Ij) + ln -meas (In ∩ [σn, σ)) ≤

≤ν(σ−0)∑

j=0

ln -meas (Ij) ≤ 3

ν(σ−0)∑j=0

εj.

Лему 2.1 доведено.

Подiбно, як i в [3], визначимо q(k) = n0(2µ∗k) − 1 (k ≥ 0), де n0(t) =

∑µ∗k∈[0,t] 1 —

лiчильна функцiя послiдовностi (µ∗k), i

δ(l, j) = (j − l + 1)−3/2

j∑

m=l

1

µ∗m+1 − µ∗m(0 ≤ l ≤ j),

δk = supδ(l, j) : 0 ≤ l ≤ k − 1, k − 1 ≤ j ≤ q(ν)− 1.

Наступнi леми доведено в [3].

Лема 2.2. Якщо функцiя ϕ(t) ↑ +∞ (t → +∞), то з умови

1

ϕ(µ∗n2

)

n−1∑

k=0

1

µ∗k+1 − µ∗k= o(1) (n → +∞)

випливає, що iснує послiдовнiсть ck ↑ +∞ (k → +∞) така, що εk = δkck ∈ [0, 1/2]

(k ≥ 0), i виконується умова

1

ϕ(µ∗n)

n∑

k=0

εk = o(1) (n → +∞).

Лема 2.3. Нехай µ∗n ↑ +∞, а q(k) i εk — визначенi вище. Тодi

Σ0def=

ν−1∑n=1

e−εν |µ∗n−µ∗ν | +q(ν)∑

n=ν+1

e−εν |µ∗n−µ∗ν | = o(1) (ν → +∞).

Доведення наступної леми подiбне до доведення леми 4 з [3].


Лема 2.4. Якщо для функцiї F ∈ S0(a) виконуються умови теореми 1, то

Σ1def=

+∞∑

n=q(ν)+1

|an|exλn = o(µ(x, F ))

при x → −0 зовнi деякої множини E1 скiнченної логарифмiчної мiри.

Доведення. В [3] фактично доведено таке твердження.

Лема 2.5. Нехай ψ(t) — додатна неспадна функцiя така, що ψ(t) ↑ +∞ (t → +∞)

i (∃α ∈ (0, 1))(∀t ≥ t0) : ln ψ(t) ≤ tα. Нехай послiдовнiсть µ∗n ↑ +∞ (n → +∞) iвиконується умова (6). Тодi iснує c∗n ↑ +∞ така, що

∑+∞n=1

c∗nµn

< +∞, c∗nµn∈ [0, 1/2] i

∫ +∞

2µν∗exp

−

(t

µ∗ν− 1

)cν∗

dn(t) = o(1) (ν → +∞).

Застосуємо лему 2.1 до визначеної вище функцiї f ∈ S вигляду (7) з εn = c∗nµ∗n, де 0 ≤

c∗n ↑ +∞ — послiдовнiсть така, що∑+∞

n=0c∗nµ∗n

< +∞ i εn ∈ [0, 1/2] (n ≥ 0). Тодi, за лемою

2.1, рiвностi (9) виконуються для всiх σ ∈ [1, +∞) \E2, ln -meas (E2 ∩ [1, σ)) ≤ 3ν(σ−0)∑

k=1

εk,

звiдки

ln -measE2def= ln -meas (E2 ∩ [1, +∞)) ≤ 3

+∞∑

k=1

εk < +∞,

тобто E2 має скiнченну логарифмiчну мiру на промiжку [1, +∞). Отже, для всiх σ ∈[1, +∞) \ E2 за означенням максимального члена функцiї f i за допомогою рiвностей(9) послiдовно отримуємо

bn expσ(1± εν(σ))µ∗n ≤ µ(σ(1± εν(σ)), f) = bν(σ) expσ(1± εν(σ))µ

∗ν(σ),

звiдкиbneσµ∗n ≤ µ(σ, f) exp±εν(σ)(µ

∗ν(σ) − µ∗n)σ. (10)

Вибираючи знак “ - ” для n < ν(σ) i знак “ + ” для n > ν(σ), отримаємо нерiвнiсть

(∀n ≥ 0)(∀σ ∈ [1, +∞) \ E2) : bneσµ∗n ≤ µ(σ, f) exp−σ|µ∗n − µ∗ν |εν, ν = ν(σ). (11)

Оскiльки bn = e−λn , µ∗n = ln a∗n, σ = − 1x, з (11) отримаємо для всiх n ≥ 0 i x ∈ [−1, 0)\E1,

де E1 — образ множини E2 при вiдображеннi x = − 1σ,

|an|exλn ≤ a∗nexλn = (bneσµ∗n)−x ≤ (µ(σ, f))−x(exp−σ|µ∗n − µ∗ν |εν)−x =

=(bν(σ,f)e

σµ∗ν(σ,f)

)−x

e−|µ∗n−µ∗

ν(σ,f)|εν(σ,f) = expxλν(σ,f) + µ∗ν(σ,f) · e−|µ

∗n−µ∗

ν(σ,f)|εν(σ,f) .

Зауважимо, що для n 6= ν(σ, f) i εν(σ,f) 6= 0 маємо e−|µ∗n−µ∗

ν(σ,f)|εν(σ,f) < 1. Отже

|an|exλn ≤ exλν(σ,f)+µ∗ν(σ,f) = a∗ν(σ,f)e

xλν(σ,f) = µ(x, F∗),


звiдки µ(x, F ) = µ(x, F∗) = a∗ν(σ,f)exλν(σ,f) = |aν(σ,f)|exλν(σ,f) , а тому ν(x, F ) = ν(σ, f) =

ν(− 1

x, f

)i (µ(σ, f))−x = b−x

ν(x,F )eµ∗

ν(x,F ) = |aν(x,F )|eλν(x,F )x = µ(x, F ).Отже, для всiх n ≥ 0 i x ∈ [−1, 0) \ E1 маємо

|an|exλn ≤ µ(x, F )e−|µ∗n−µ∗ν |c∗ν/µ∗ν ,

а тому

Σ1/µ(x, F ) ≤+∞∑

n=q(ν)+1

exp−

(µ∗nµ∗ν− 1

)c∗ν

=

∑µ∗n>2µ∗ν

exp−(µ∗n/µ∗ν − 1)c∗ν =

=

∫ +∞

2µ∗ν

exp−

( t

µ∗ν− 1

)c∗ν

dn(t).

Звiдси, за лемою 2.5 отримуємо твердження леми 2.4.

Завершення доведення теореми 1. Нехай E — образ множини E0 з леми 2.1 при вiд-ображеннi x = − 1

σ. Тодi за лемою 2.1 маємо

ln -meas (E ∩ [−1, R)) =

∫

E∩[−1,R)

d ln(− 1

x

)=

=

∫

E0∩[1,− 1R

)

d ln t ≤ 3

ν(0− 1R

,f)∑

k=0

εk = 3

ν(R−0,F )∑

k=0

εk.

Оскiльки при R → −0 для n = ν(R − 0, F ) маємо 0 ≤ ln µ(R,F ) − ln |an0| − λn0R =

µ∗n − µ∗n0+ (λn − λn0)R, то |R| ≤ µ∗n−µ∗n0

λn−λn0, а отже

1

|R| ≥λn − λn0

µ∗n − µ∗n0

≥ µ∗nψ(µ∗n)

µ∗n − µ∗n0

= (1 + o(1))ψ(µ∗n) (n → +∞).

Звiдси

1

ln(

1|R|

)∫

E∩[−1,R)

d ln

(−1

x

)≤ 4

∑ν(R−0,F )k=0 εk

ln ψ(µ∗ν(R,F ))≤ 4

∑nk=0 εk

ln ψ(µ∗n)→ 0 (R → −0).

Тут ми скористались лемою 2.2 з функцiєю ϕ(x) = ln ψ(x).

Нехай x ∈ [−1, 0) \ E. Тодi σ = − 1x∈ [1, +∞) \ E0 i за лемою 2.1, подiбно, як i

у доведеннi леми 2.4, за означенням µ(σ, f) послiдовно отримаємо, що нерiвнiсть (10)виконується з довiльним вибором знакiв “±”, звiдки, вибираючи знаки, як i у доведеннiлеми 2.4, отримуємо нерiвнiсть (11) для всiх σ ∈ [1, +∞] \ E0. Тепер з (11) для всiх n iвсiх x ∈ [−1, 0) \ E отримуємо

|an|exλn ≤(

µ

(−1

x, f

))−x

exp−εν(− 1

x,f)

∣∣∣µ∗n − µ∗ν(− 1

x,f)

∣∣∣

.


Як i в доведеннi леми (2.4) , маємо ν(− 1

x, f

)= ν(x, F ) i

(µ(− 1

x, f)

)−x

= µ(x, F ).Отже, для x ∈ [−1, 0) \ E i всiх n ≥ 0

|an|exλn ≤ µ(x, F ) exp−εν(x,F )|µ∗n − µ∗ν(x,F )|.Застосовуючи леми 2.3 i 2.4, при x → −0 (x /∈ E ∪ E1) отримаємо

1

µ(x, F )

∣∣F (x + iy)− aν(x,F )e(x+iy)λν(x,F )

∣∣ ≤ Σ1/µ(x, F ) + Σ0 = o(1)

рiвномiрно по y ∈ R. Оскiльки множина E ∪ E1 має нульову логарифмiчну щiльнiсть,теорему 1 доведено.

Лiтература

1. Скаскив О.Б. О минимуме модуля суммы ряда Дирихле с ограниченной последовательностьюпоказателей// Мат. заметки. – 1994. – Т.56, 5. – С.117–128.

2. Стасюк Я.З. Про ряди Дiрiхле з монотонними коефiцiєнтами i остаточнiсть опису винятковоїмножини// Матем. вiсник НТШ. – 2008. – Т.5. – С.202 –207.

3. Скаскiв О.Б., Стасюк Я.З. Про еквiвалентнiсть суми i максимального члена цiлого ряду Дiрiхлез монотонними коефiцiєнтами// Математичнi студiї. – 2009. – Т.31, 1. – С.37–46.

4. Гече Ф.И., Онипчук С.В. Об абсциссах сходящегося ряда Дирихле и его мажоранты Ньютона//Укр. мат. журн. – 1974. – Т. 26, 2. – С.161–168.

5. Скаскив О.Б. О росте в полуполосах аналитических функций, представленных рядами Дирихле//Укр. мат. журн. – 1993. – Т. 45, 5. – С.681–693.

Львiвський нацiональний унiверситет iменi Iвана Франка, Львiв, Україна.


Ya.Z.Stasyuk, O.B.Skaskiv On the equivalence of the sum and the maximal term of the Dirich-let series absolutely convergent in the half-plane, Carpathian Mathematical Publications, 1, 1(2009), 100–106.

For absolutely convergent in the half-plane z : Re z < 0 Dirichlet series F (z) =+∞∑n=0

anezλn ,

where 0 ≤ λn ↑ +∞ (0 ≤ n ↑ +∞), we establish conditions on the coefficients of its Newtonmajorant, sufficient for the relation F (x + iy) = (1 + o(1))aν(x)e

(x+iy)λν(x) to hold as x → −0outside some set E of zero logarithmic density in the point 0, uniformly by y ∈ R.

Я.З.Стасюк, О.Б.Скаскив Об эквивалентности суммы и максимального члена абсолю-тно сходящегося в полуплоскости ряда Дирихле // Карпатские математические публи-кации. — 2009. — Т.1, 1. — C. 100–106.

Для абсолютно сходящихся в полуплоскости z : Re z < 0 рядов Дирихле F (z) =+∞∑n=0

anezλn , где 0 ≤ λn ↑ +∞ (0 ≤ n ↑ +∞), установлены условия на коэффициен-

ты его мажоранты Ньютона, достаточные для справедливости соотношения F (x + iy) =(1 + o(1))aν(x)e

(x+iy)λν(x) при x → −0 вне некоторого множества E нулевой логарифмиче-ской плотности в точке 0, равномерно по y ∈ R.



Василишин Б.В., Кондур О.С.

ДО ЮВIЛЕЮ ПРОФЕСОРА, ДОКТОРА ФIЗИКО-МАТЕМАТИЧНИХ

НАУК IВАСИШЕНА СТЕПАНА ДМИТРОВИЧА

Василишин Б.В., Кондур О.С. До ювiлею професора, доктора фiзико-математичних наукIвасишена Степана Дмитровича // Карпатськi математичнi публiкацiї. — 2009. — Т.1,1. — C. 107–109.

70 рокiв виповнилось нашому земляку —вiдомому українському математику свiтовогорiвня, визначному педагогу, доктору фiзико-математичних наук, професору Степану Дми-тровичу Iвасишену. Народився С.Д. Iвасишен10 грудня 1937 року в с. Угорники (нинi мiстоIвано-Франкiвськ). Шкiльнi роки майбутньогоматематика пройшли спочатку у семирiчцi се-ла Пiдлужжя, що поблизу Угорникiв, а потiм —в Угорницькiй середнiй школi. У студентськупору в Чернiвецькому державному унiверсите-тi iм. Ю. Федьковича на математичному вiд-дiленнi фiзико-математичного факультету йо-му пощастило слухати лекцiї вiдомих математи-кiв К.М. Фiшмана, М.Г. Бiляєва, Ю.М. Круга,В.П. Рубаника, С.Д. Ейдельмана та iн. Пiд ке-рiвництвом професора С.Д. Ейдельмана поча-ли формуватись науковi iнтереси допитливогоi сумлiнного студента. Вони стосувалися теорiїпараболiчних рiвнянь iз частинними похiдними. Саме їм присвяченi i обидвi дисерта-цiї С.Д. Iвасишена та науковi дослiдження його учнiв. Захист кандидатської дисертацiї“Оценки решений 2b-параболических систем и их применения” вiдбувся у 1963 роцi наОб’єднанiй вченiй радi Iнститутiв математики, кiбернетики та Головної астрономiчноїобсерваторiї АН УРСР (науковий керiвник — доктор фiзико-математичних наук, профе-сор С.Д. Ейдельман, офiцiйнi опоненти: доктори фiзико-математичних наук, професори

c©Василишин Б.В., Кондур О.С., 2009

108 Василишин Б.В., Кондур О.С.

Ю.М. Березанський, Ю.Л. Далецький, кандидат фiзико-математичних наук В.С. Коро-люк), а докторської “Матрицы Грина параболических граничних задач” — у 1981 роцi наспецiалiзованiй вченiй радi Iнституту математики АН УРСР (науковий консультант —доктор фiзико-математичних наук, професор С.Д. Ейдельман, офiцiйнi опоненти: док-тор фiзико-математичних наук, професор В.О. Солонников, члени-кореспонденти АНУРСР, доктори фiзико-математичних наук, професори Ю.М. Березанський, I.I. Дани-люк).

С.Д. Iвасишен вiдомий в науковому свiтi як дослiдник фундаментальної матрицiрозв’язкiв задачi Кошi для рiвномiрно параболiчних i з виродженнями на початковiйгiперплощинi систем рiвнянь, матриць Грiна загальних параболiчних крайових задач iзадач спряження. Ним i його учнями знайдено необхiднi та достатнi умови зображеннярозв’язкiв широких класiв параболiчних рiвнянь та систем у виглядi iнтеграла Пуассо-на функцiй або узагальнених мiр iз спецiальних вагових просторiв; означено та вивченоновi класи рiвнянь i систем: виродженi рiвняння типу Колмогорова з 2b-параболiчноючастиною за основною групою змiнних, p-параболiчнi псевдо-диференцiальнi рiвнянняз виродженнями за частиною змiнних, параболiчнi системи Солонникова-Ейдельмана.Одержанi результати висвiтлено бiльш нiж у 200 публiкацiях, серед яких 3 моногра-фiї та 8 статей монографiчного характеру. Видана у 2004 роцi у спiвавторствi з Ей-дельманом i Кочубеєм монографiя “Analytic methods in the theory of differential andpseudo-differential equation of parabolic type” визнана класичною науковою працею зтеорiї параболiчних рiвнянь.

Педагогiчну майстернiсть С.Д. Iвасишен почав набувати ще навчаючись в аспiран-турi кафедри диференцiальних рiвнянь Чернiвецького державного унiверситету. Тутвiн пройшов шлях вiд асистента до доцента, став її завiдувачем у 26-рiчному вiцi. Удiяльностi на кафедрi розкрився його непересiчний талант педагога, органiзатора, вче-ного. З 1969 року Степан Дмитрович майже на два десятилiття пов’язав свою трудо-ву дiяльнiсть з Києвом: керував кафедрою вищої математики Київського вищого ра-дiотехнiчного училища протиповiтряної оборони, потiм працював на посадi професоракафедри математичного аналiзу Київського державного унiверситету iм. Тараса Шев-ченка. Згодом вiн знову повернувся у Чернiвцi, у рiдний унiверситет, щоб органiзуватикафедру математичного моделювання, якою завiдував 15 рокiв. Одночасно створив iочолив у Чернiвцях науковий пiдроздiл Iнституту прикладних проблем механiки i ма-тематики АН УРСР з вивчення крайових задач для рiвнянь з частинними похiдними(нинi — Чернiвецька фiлiя вiддiлу математичної фiзики Iнституту прикладних проблеммеханiки i математики iм. Я.С. Пiдстригача), який став потужним науковим осередкомматематикiв Буковини. З 2003 року — знову у столицi, завiдує кафедрою математичноїфiзики в Нацiональному технiчному унiверситетi “Київський полiтехнiчний iнститут”.Незважаючи на те, що наукову i навчальну дiяльнiсть Степан Дмитрович здiйснюваву навчальних закладах Києва i Чернiвцiв, його постiйно турбувало становлення мате-матичної школи у Прикарпатському унiверситетi. Впродовж багатьох рокiв вiн читаєтут спецiальнi курси, забезпечує пiдготовку магiстерських, дипломних робiт, керує на-уковим семiнаром, консультує молодих викладачiв, аспiрантiв.

Педагогiчно-органiзацiйну дiяльнiсть Степан Дмитрович завжди тiсно пов’язує з

До ювiлею Iвасишена Степана Дмитровича 109

активною науково-органiзацiйною роботою. За його керiвництва регулярно i плiднопрацювали математичнi науковi семiнари в Чернiвцях. Степан Дмитрович — постiй-ний член спецiалiзованої вченої ради у Чернiвецькому нацiональному унiверситетi iм.Ю. Федьковича. В 2001-2006 роках член експертної ради з математики ВАК України.З його iнiцiативи засновано випуск збiрника наукових праць “Науковий вiсник Чернi-вецького унiверситету”, який є фаховим математичним виданням. Вiн член редколегiй4 наукових фахових журналiв; рецензент американського журналу “Mathematical Revi-ews”, “Українського математичного журналу”; залучається до роботи в органiзацiйнихта програмних комiтетах багатьох мiжнародних i всеукраїнських наукових конферен-цiй. С.Д. Iвасишена обрано академiком Академiї наук вищої школи України, одним зфундаторiв якої вiн є. Вiн — член Українського та Американського наукових матема-тичних товариств. За самовiддану працю С.Д. Iвасишен нагороджений Орденом трудо-вого Червоного прапора, Ювiлейною медаллю “За доблесну працю”, Знаком “Вiдмiнникосвiти України”.

В особi Степана Дмитровича Iвасишена поєднанi найкращi якостi людини i високийпрофесiоналiзм вченого, педагога, органiзатора. Колеги й учнi цiнують його за великужиттєву мудрiсть, людянiсть, надзвичайну поряднiсть i принциповiсть, вимогливiсть досебе та iнших, колосальну працездатнiсть, широку ерудицiю, глибокi знання та активнупозицiю в науцi й громадському життi або ж коротко: за iнтелiгентнiсть в її найвищомупроявi.

Свiй ювiлей професор Iвасишен зустрiв у розквiтi творчих сил. Надiйною опороюйому в життi, вiрним другом, помiчником у багатьох справах є дружина Iрина Iванiв-на — висококласний хiрург, надзвичайно доброзичлива людина, також наша землячка.Радiсть i втiху має вiн вiд дiтей i онукiв. Щиро бажаємо Степану Дмитровичу мiцногоздоров’я, багато плiдних, сонячних та приємних лiт життя, реалiзацiї нових iдей з теорiїпараболiчних рiвнянь iз частинними похiдними, яка є його пристрастю вже пiвстолiття.

Прикарпатський нацiональний унiверситет iменi Василя Стефаника,

м. Iвано-Франкiвськ, Україна.


Vasylyshyn B.V., Kondur O.S. To jubilee of professor, professor of physical and mathematicalsciences Ivasyshen Stepan Dmytrovych, Carpathian Mathematical Publications, 1, 1 (2009),107–109.

Василишин Б.В., Кондур О.С. К юбилею профессора, доктора физико-математическихнаук Ивасишена Степана Дмитриевича // Карпатские математические публикации. —2009. — Т.1, 1. — C. 107–109.

Науковий журнал

Карпатські Математичні Публікації

(свідоцтво про державну реєстрацію КВ 14703-3674P)

Том 1, 1 2009

Відповідальний за випуск д.ф.-м.н. Загороднюк А.В.

Літературна редакція Лабачук О.

Комп’ютерна правка та макетування Максимів В.В.

Підписано до друку 25.05.2009 р. Формат 60×84/8. Папір офсетний. Друк цифровий. Гарнітура Computer Modern

Умовн. друк. аркушів 12,24. Наклад 300 примірників. Замовлення 35

Друк: пп Голіней О.М. м. Івано-Франківськ, вул. Галицька, 128

тел. 0342 58 04 32

Карпатські математичні публікації Т1 n1

Documents