ΕΝΟΤΗΤΑ 1. Ρσάecourse.uoi.gr/.../mod_resource/content/6/bet_ch1.pdf · 1 ΕΝΟΤΗΤΑ...

ΣΣηημμεειιώώσσεειιςς ΓΓεεννιικκήήςς ΦΦυυσσιικκήήςς -- ΒΒΕΕΤΤ ΜΜ.. ΜΜππεεννήήςς // 22001166 ΡΡεευυσσττάά

1

ΕΝΟΤΗΤΑ 1. Ρευστά

Η ενότητα αυτή στοχεύει στην παρουσίαση των αρχών της στατικής και δυναμικής των ρευστών με

σκοπό την κατανόησή της συμπεριφοράς τους και την εφαρμογή των νόμων τους στην

καθημερινότητα και πιο συγκεκριμένα σε ρευστά και περιβάλλοντα βιολογικού ενδιαφέροντος.

Τί είναι ρευστό. Ως ρευστό μπορεί να θεωρηθεί οποιαδήποτε μορφή

της ύλης που μπορεί να ρέει. Βασική του ιδιότητα είναι ότι όταν

βρίσκεται σε ηρεμία (μη ροή) η μορφή του καθορίζεται από το δοχείο

που το εμπεριέχει. Κατά συνέπεια ρευστά είναι τα υγρά και τα αέρια.

Από τον ορισμό προκύπτει ότι η ύπαρξη ενός ρευστού εξαρτάται από

τις περιβαλλοντικές συνθήκες. Για παράδειγμα το νερό, σε πίεση μιας

ατμόσφαιρας, είναι στερεό κάτω από τους 0ο C (πάγος), μεταξύ 0 και

100ο C είναι υγρό κι άρα ρευστό και για θερμοκρασίες μεγαλύτερες των

100ο C είναι αέριο (υδρατμός) κι άρα επίσης ρευστό. Η ροή των

ρευστών εξαρτάται από τις δυνάμεις συνοχής των μορίων που το

αποτελούν και περιγράφεται από το ιξώδες. Για παράδειγμα το μέλι

έχει πολύ μεγαλύτερο ιξώδες από ότι το ξύδι.

Πυκνότητα. Η πυκνότητα ενός ρευστού σε οποιοδήποτε σημείο του

ορίζεται αν θεωρήσουμε ένα στοιχειώδες τμήμα όγκου γύρω από

σημείο και μετρήσουμε τη μάζα του . Η πυκνότητα είναι τότε

Σχήμα 1.1

(1.1)

Εάν η πυκνότητα του ρευστού υλικού είναι ομογενής (π.χ. δεν παρουσιάζει κόκκους) τότε

μπορούμε να γράψουμε για την πυκνότητα αυτού

(1.2)

Στο σύστημα SI η πυκνότητα μετράται σε Kg/m3. Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι πυκνότητες

μερικών χαρακτηριστικών ρευστών.

Πίνακας 1.1 Ενδεικτικές πυκνότητες διαφόρων ρευστών

Ρευστό Πυκνότητα

(Kg/m3)

Ρευστό Πυκνότητα

(Kg/m3)

Διαστρικός χώρος 10-20

Αίμα 1.060 x 103

Βέλτιστο εργαστηριακό κενό 10-17

Ήλιος (μέση) 1.4 x 103

Αέρας (20ο C, 1 atm) 1.21 Λευκός νάνος 10

10

Νερό (20ο C, 1 atm) 0.998 x 10

3 Αστέρας νετρονίων 10

18

Πίεση. Η πίεση ενός ρευστού σε ένα σημείο του μπορεί να καθοριστεί ως εξής. Θεωρούμε ένα

αισθητήρα πίεσης εμβαπτισμένο εντός ρευστού όπως φαίνεται στο σχήμα 1.1. Ο αισθητήρας είναι

ένα έμβολο επιφάνειας που κινείται εφαρμοστά στο εσωτερικό ενός κυλίνδρου και στηρίζεται

σε ελατήριο. Η δύναμη που ασκείται κάθετα στην επιφάνεια του εμβόλου είναι . Τότε η


2

πίεση του ρευστού στο έμβολο που αντιστοιχεί στην πίεση του ρευστού στο εν λόγω σημείο

ορίζεται ως

(1.3)

Η πίεση έχει την ίδια τιμή ανεξάρτητα από το πως είναι τοποθετημένος ο αισθητήρας. Εάν η

δύναμη είναι ομοιόμορφη πάνω σε μια επιφάνεια Α μπορούμε να γράψουμε

(1.4)

όπου είναι το μέτρο της κάθετης δύναμης στην επιφάνεια . Στο σύστημα SI η πίεση μετράται σε

pascal (Pa). Pa = Nt/m2 = (Kg·m/s2)/m2 = Kg/(m·s2). To Pa είναι μια μικρή μονάδα μέτρησης για τις

καθημερινές ανθρώπινες δραστηριότητες με αποτέλεσμα κι άλλες μονάδες μέτρησης να είναι σε

χρήση όπως οι atm, bar, mbar, torr και lbs/in2 ανάλογα με το σύστημα μέτρησης που

χρησιμοποιείται. Στον παρακάτω πίνακα 1.2 δίνονται οι μετατροπές μεταξύ αυτών των μονάδων.

Πίνακας 1.2 Μετατροπές μεταξύ δημοφιλών μονάδων πίεσης

(Η αντιστοίχηση είναι μεταξύ γραμμής και στήλης, π.χ. 1 atm = 1013 mbar)

Pa (N/m2) Bar mbar Torr (mm Hg) atm psi (lb/in

2)

Pa 1 1x10-5

0.01 7.5x10-3

9.87x10-6

1.45x10-4

bar 1x105 1 1x10

3 750 0.987 14.5

mbar 100 1x10-3

1 0.75 9.87x10-4

1.45x10-2

Torr 1.33x102 1.33x10

-3 1.33 1 1.32x10

-3 1.93x10

-2

atm 1.01x105 1.013 1013 760 1 14.7

psi 6.89x103 6.89x10

-2 68.9 51.71 6.8x10

-2 1

Πίνακας 1.3 Ενδεικτικές πιέσεις διαφόρων περιβαλλόντων

Περιβάλλον Πίεση (Pa) Περιβάλλον Πίεση (Pa)

Βέλτιστο εργαστηριακό κενό 10-12

Πυθμένας τάφρου Μαριάνων 1.1 x 108

Συστολική πίεση αίματος 1.6 x 104 Μέγιστη εργαστηριακή πίεση 1.5 x 10

10

Ατμόσφαιρα στο επίπεδο της θάλασσας 1 x 105 Κέντρο Γης 4 x 10

11

Ελαστικό αυτοκινήτου 2 x 105 Κέντρο Ήλιου 2 x 10

16

Παράδειγμα

1.1 Βάρος αέρα. Καθιστικό έχει διαστάσεις 4 m x 3 m x 2.4 m. α) Ποιο το βάρος του αέρα αν η πίεσή του είναι 1 atm. β) Ποιά η δύναμη που ασκείται κάθετα στο κεφάλι ενός ενήλικα αν αυτό έχει επιφάνεια 0.040 m2 και σε αυτό ενός παιδιού αν αυτό έχει επιφάνεια 0.030 m2.

α) Βάρος αέρα = μάζα x επιτάχυνση της βαρύτητας = (όγκος x πυκνότητα) x επιτάχυνση της βαρύτητας => 4 x 3 x 2.4 m3 x 1.21 Kg/ m3 x 9.8 m/s2 = 341.5 N β) Ενήλικας: 1.01x105 N/m2 x 0.040 m2 = 4 x 103 N Παιδί: 1.01x105 N/m2 x 0.030 m2 = 3 x 103 N


3

Στατική ρευστών. Στο κεφάλαιο αυτό εξετάσουμε την

συμπεριφορά των ρευστών που βρίσκονται σε ισορροπία ή

αλλιώς ηρεμία. Θεωρούμε την δεξαμενή νερού του σχήματος

1.2. Θα δείξουμε ότι η πίεση αυξάνεται με το βάθος και θα

διερευνήσουμε τις επιπτώσεις αυτού του γεγονότος στην

έμβια ύλη. Έστω ένας υδάτινος κύλινδρος εντός της

δεξαμενής εμβαδού βάσης που καταλαμβάνει τα ύψη

και . Κατά σύμβαση τα ύψη τα μετράμε από τη στάθμη της

δεξαμενής.

Σχήμα 1.2

Επειδή ο κύλινδρος βρίσκεται σε στατική ισορροπία (δεν κινείται) οι δυνάμεις που ασκούνται πάνω

του έχουν άθροισμα μηδέν. Αυτές είναι: α) η δύναμη στην πάνω επιφάνειά του λόγω του νερού

που βρίσκεται πάνω από τον κύλινδρο β) η δύναμη στην κάτω επιφάνειά του λόγω του νερού

που βρίσκεται κάτω από τον κύλινδρο και γ) το βάρος του κυλίνδρου . Επειδή οι δυνάμεις

ασκούνται στην κατακόρυφο ισχύει ότι

(1.5)

ή λαμβάνοντας υπόψη ότι και η σχέση 1.5 γράφεται

(1.6)

Η σχέση αυτή περιγράφει ακριβώς το πως μεταβάλλεται η πίεση με το βάθος. Για να γίνει πιο

κατανοητό, ας θεωρήσουμε ότι η πίεση είναι η ατμοσφαιρική πίεση στην επιφάνεια και ζητούμε

να βρούμε την πίεση σε βάθος . τότε η σχέση 1.6 γράφεται πιο απλά ως

(1.7)

Παρατηρούμε ότι η πίεση εξαρτάται μόνο από το βάθος κι όχι από άλλες παραμέτρους του ρευστού

όπως π.χ. το σχήμα του δοχείου του. Η ποσότητα ονομάζεται απόλυτη πίεση ενώ η διαφορά της

από τη ατμοσφαιρική πίεση ονομάζεται μανομετρική πίεση.

Η σχέση 1.6 μπορεί να χρησιμοποιηθεί για οποιοδήποτε ρευστό σε ισορροπία. Για

παράδειγμα η πίεση της ατμόσφαιρας σε ύψος μπορεί εύκολα να υπολογιστεί από την 1.7

δεδομένου ότι το ύψος είναι στη περίπτωση αυτή θετική ποσότητα. Είναι:

Παραδείγματα

1.2 Μέτρηση πυκνότητας λαδιού: Νερό πυκνότητας και λάδι εμπεριέχονται σωλήνα σχήματος U όπως φαίνεται στο σχήμα 1.3. Στην ισορροπία μετράμε και . Πόση είναι η πυκνότητα του λαδιού .

Στο ύψος της διεπιφάνειας λαδιού-νερού η πίεση είναι ίση τόσο στο αριστερό όσο και στο δεξιό σκέλος του σωλήνα. Άρα

.

Σχήμα 1.3


4

1.3 Το υδραργυρικό βαρόμετρο: Πρόκειται για την απλούστερη διάταξη μέτρησης της

ατμοσφαιρικής πίεσης. Όπως φαίνεται στο σχήμα 1.4,

ένας μακρύς υάλινος σωλήνας 80 cm με κλειστό το

ένα άκρο του γεμίζει με υδράργυρο (Hg) κι

αναστρέφεται με το ανοικτό άκρο του μέσα σε δοχείο

υδραργύρου. Η στήλη του υδραργύρου ισορροπεί σε

ύψος έτσι ώστε η πίεση της στήλης να

εξισορροπείται από την ατμοσφαιρική πίεση στην

επιφάνεια του δοχείου.

Σχήμα 1.4

Επομένως με βάση τη σχέση 1.7 μπορούμε να γράψουμε ρ . Κατά συνέπεια η πίεση

εξαρτάται μόνο από το ύψος κι όχι από την διατομή του σωλήνα ή το σχήμα του. Εξαρτάται όμως

από το g κι άρα από το ατμοσφαιρικό ύψος και το γεωγραφικό πλάτος, και την πυκνότητα του

υδραργύρου κι άρα τη θερμοκρασία. Η τελευταία ιδιότητα μάλιστα χρησιμοποιείται για την

μέτρηση θερμοκρασιών στα κλασικά θερμόμετρα υδραργύρου.

1.4 Αποσυμπίεση Δύτη: Δύτης σε βάθος γεμίζει πλήρως τους πνεύμονές του από τη φιάλη κι

επιχειρεί να ανέβει στην επιφάνεια χωρίς εκπνοή. Η πίεση σε βάθος είναι ενώ

στη επιφάνεια της θάλασσας είναι . Καθώς ο δύτης ανεβαίνει η πίεση γύρω του μειώνεται έως

ότου γίνει ίση με την ατμοσφαιρική στην επιφάνεια. Ομοίως μειώνεται και η πίεση του αίματός του

ως την φυσιολογική τιμή της στην επιφάνεια. Ωστόσο, εφόσον ο δύτης δεν εκπνέει, η πίεση των

πνευμόνων του παραμένει σε αυτή της τιμής που είχε σε βάθος . Η διαφορά πίεσης των δυο

σημείων είναι . Για είναι

. Η πίεση

αυτή όμως είναι αρκετή για να προκαλέσει διάτρηση πνευμόνων, να ωθήσει αέρα στο

αποσυμπιεσμένο αίμα ο οποίος πάει στη καρδιά σκοτώνοντας το δύτη.

Αρχή του Pascal. Θεωρούμε ένα ασυμπίεστο υγρό εντός κυλίνδρου στο

ανοικτό μέρος του οποίου προσαρμόζεται έμβολο όπως στο σχήμα 1.5.

Πάνω στο έμβολο τοποθετούμε επιπλέον βάρος με ένα δοχείο που

περιέχει σκάγια μολύβδου. Σε ύψος εντός του δοχείου η πίεση θα

είναι , όπου το άθροισμα της ατμοσφαιρικής

πίεσης και της πίεσης που ασκεί το βάρος του δοχείου με τα σκάγια.

Εάν προσθέσουμε μερικά σκάγια ακόμη η εξωτερική πίεση θα

μεταβληθεί κατά την ποσότητα κι επομένως η νέα πίεση στο

σημείο θα μεταβληθεί κατά .

Σχήμα 1.5

Συνεπώς η μεταβολή αυτή της πίεσης είναι ανεξάρτητη του ύψους και θα γίνει αισθητή από όλα

τα σημεία του υγρού. Αυτή είναι και η αρχή του Pascal η οποία μπορεί να διατυπωθεί ως

Μεταβολή της πίεσης που εφαρμόζεται σε ένα έγκλειστο ασυμπίεστο ρευστό μεταδίδεται αμείωτη

σε κάθε τμήμα του ρευστού και στα τοιχώματα του δοχείου του.


5


1.5 Το υδραυλικό πιεστήριο: Πρόκειται για το υδραυλικό

ισοδύναμο του μοχλού πολλαπλασιάζοντας την εφαρμοζόμενη

δύναμη σε μια επιφάνεια. Θεωρήστε την υδραυλική διάταξη

του σχήματος 1.6 που εμπεριέχει ασυμπίεστο υγρό και

πακτώνεται από δυο έμβολα στις ανοικτές επιφάνειες διατομών

και με . Έστω ότι ασκείται εξωτερική δύναμη

στην μικρή επιφάνεια . Για να υπάρξει ισορροπία θα πρέπει

να ασκηθεί μια δύναμη στην μεγάλη επιφάνεια .

Επομένως θα ισχύει ότι

Σχήμα 1.6

με άλλα λόγια η δύναμη θα είναι πολλαπλασιασμένη επί τον παράγοντα του λόγου των

επιφανειών. Εάν για παράδειγμα μετακινήσουμε το έμβολο της μικρής επιφάνειας κατά απόσταση

τότε το έμβολο μεγάλης επιφάνειας θα μετακινηθεί κατά απόσταση . Επειδή η μεταβολή του

όγκου είναι ίδια και για δυο έμβολα ισχύει .

Αρχή του Αρχιμήδη. Θεωρούμε μια πλαστική σακούλα γεμάτη

με νερό την οποία τοποθετούμε εντός μεγάλου δοχείου γεμάτο

με νερό. Παρατηρούμε πως η σακούλα παραμένει στο ύψος

που την θέσαμε αρχικά. Αυτό σημαίνει ότι η συνιστάμενη

δύναμη που ασκείται πάνω της είναι μηδέν. Όπως φαίνεται και

στο σχήμα 1.7, η σακούλα δέχεται την υδροστατική πίεση από

όλες τις πλευρές αλλά εφόσον δεν κινείται αυτό σημαίνει πως οι

αντίθετες συνιστώσες σε κάθε διεύθυνση

αλληλοεξουδετερώνονται εκτός από τις κατακόρυφες συνιστώσες.

Σχήμα 1.7

Αυτές έχουν μια συνισταμένη δύναμη με φορά προς την επιφάνεια εξαιτίας του γεγονότος ότι η

πίεση αυξάνεται με το βάθος. Αυτή η συνισταμένη δύναμη λέγεται άνωση κι εξουδετερώνεται από

το βάρος του νερού της σακούλας.

Εάν επαναλάβουμε το πείραμα με μια πέτρα θα δούμε ότι τελικά η πέτρα βουλιάζει ενώ

εάν χρησιμοποιήσουμε ένα κομμάτι ξύλου τότε θα δούμε ότι αυτό θα κινηθεί προς την επιφάνεια.

Ο λόγος είναι ότι η δύναμη της βαρύτητας είναι είτε μικρότερη είτε μεγαλύτερη από την άνωση της

πέτρας ή του ξύλου αντίστοιχα.

Πιο συγκεκριμένα, αν αφήσουμε το κομμάτι στην επιφάνεια του νερού τότε το ξύλο αρχίζει

να βυθίζεται λόγω του βάρους του εκτοπίζοντας ποσότητα νερού όση αντιστοιχεί στον όγκο της

βύθισής του. Η βύθιση θα σταματήσει όταν η δύναμη της άνωσης, που αντιστοιχεί στο βάρος του

ρευστού που έχει εκτοπιστεί από το κομμάτι ξύλου, γίνει ίση με το βάρος του ξύλου.


6

Τα παραπάνω συνοψίζονται στην αρχή του Αρχιμήδη:

Όταν ένα σώμα είναι πλήρως ή μερικώς βυθισμένο σε ρευστό, μια δύναμη άνωσης ασκείται στο

σώμα από το περιβάλλον ρευστό. Η δύναμη κατευθύνεται προς τα πάνω κι έχει μέτρο ίσο με το

βάρος του υγρού που έχει εκτοπιστεί από το σώμα.

(1.8)


1.6 Φαινόμενο βάρος: Είναι κοινώς αποδεκτό πως είναι ευκολότερο να σηκώσει κανείς μια βαριά

πέτρα η οποία είναι βυθισμένη μέσα σε νερό από ότι αν βρίσκεται στο αέρα. Ο λόγος είναι ότι

εντός του νερού ασκείται η και δύναμη της άνωσης που έχει αντίθετη φορά από αυτή του βάρους

του σώματος. Έτσι το σώμα φαίνεται να εμφανίζει μικρότερο βάρος . Το βάρος αυτό

ονομάζεται φαινόμενο βάρος. Στην περίπτωση που το σώμα επιπλέει τότε το φαινόμενο βάρος

είναι μηδέν. Την ιδιότητα αυτή την εκμεταλλεύονται κατά την εκπαίδευσή τους οι αστροναύτες για

να προσομοιώσουν συνθήκες έλλειψης βαρύτητας.

1.7 Συνθήκες πλεύσης-βύθισης: Θεωρούμε ένα κυλινδρικό αντικείμενο με ύψος , επιφάνεια ,

όγκο , μάζα και πυκνότητα το οποίο αφήνουμε σε επιφάνεια ρευστού πυκνότητας

. Έστω ότι το αντικείμενο βυθίζεται κατά ύψος όπου και ισορροπεί. Στην κατάσταση

ισορροπίας το βάρος του σώματος είναι ίσο με τη δύναμη της άνωσης, δηλ.

.

Επομένως αν το αντικείμενο αποτελείται από υλικό που έχει μικρότερη πυκνότητα από ότι το

ρευστό, δηλ. , τότε το αντικείμενο επιπλέει και μάλιστα το βάθος πλεύσης του δίνεται ως

ποσοστό του ύψους του από το λόγω των δυο πυκνοτήτων . Στην περίπτωση που το

αντικείμενο έχει την ίδια πυκνότητα με το ρευστό τότε έχουμε την περίπτωση της οριακής πλεύσης

του αντικειμένου του οποίου το βάθος βύθισης είναι ίσο με το ύψος του . Στην περίπτωση που

το αντικείμενο έχει μεγαλύτερη πυκνότητα από αυτή του ρευστού τότε η δύναμη της βαρύτητας

υπερισχύει της άνωσης ( και το αντικείμενο βυθίζεται. Επομένως η πλεύση ή βύθιση

εξαρτάται μόνο από τις πυκνότητες του αντικειμένου και του ρευστού.

Ερώτηση: Εφόσον ο σίδηρος είναι πιο πυκνός από το θαλασσινό νερό γιατί τα καράβια

επιπλέουν;

Ροή ρευστών. Στο σημείο αυτό θα εξετάσουμε την συμπεριφορά των ρευστών όταν είναι σε

κίνηση. Εξαιτίας της πολυπλοκότητας του προβλήματος θα περιοριστούμε σε ιδανικά ρευστά, τα

οποία πληρούν τις εξής προϋποθέσεις:

1. Σταθερή ροή. Η ταχύτητα του ρευστού παραμένει σταθερή σε οποιοδήποτε σημείο του.

2. Ασυμπίεστη ροή. Η πυκνότητά του είναι ομοιόμορφη και σταθερή.

3. Ροή χωρίς ιξώδες. Το ιξώδες είναι το μέτρο της τριβής μεταξύ των στοιχείων (ατόμων,

μορίων, συσσωματωμάτων) που αποτελούν το ρευστό. Επομένως η ροή χωρίς ιξώδες

είναι το ανάλογο της κίνησης χωρίς τριβές.

4. Αστρόβιλη ροή. Κατά την ροή του ρευστού δεν σχηματίζονται στρόβιλοι.


7

Εξίσωση συνέχειας. Είναι κοινή τακτική το κλείσιμο του

ανοίγματος ενός λάστιχου ποτίσματος με τον αντίχειρα

για να αυξηθεί το μέτρο της ταχύτητας του νερού και να

ποτιστούν τα φυτά σε μεγαλύτερες αποστάσεις. Για να

γίνει κατανοητό αυτό το φαινόμενο θα θεωρήσουμε την

ροή ενός ιδανικού ρευστού από το σωλήνα μεταβλητής

διατομής του σχήματος 1.8. Ο σωλήνας μήκους έχει

εμβαδό διατομής στο αριστερό μέρος κι στο δεξιό

ενώ η ροή έχει φορά προς τα δεξιά. Αντίστοιχα, η

ταχύτητες ροής είναι και . Έστω τώρα ότι σε χρόνο

όγκος ρευστού εισέρχεται στο αριστερό άκρο του

σωλήνα.

Σχήμα 1.8

Τότε, εφόσον το ρευστό είναι ασυμπίεστο (ιδανικό) ίσος όγκος πρέπει να εξέλθει από το δεξί

μέρος του σωλήνα. O όγκος είναι ίσος με την επιφάνεια του κυλίνδρου επί την απόσταση που

διαγράφει σε χρόνο . Κι επειδή η ταχύτητα ροής είναι σταθερή ισχύει ότι

Εφαρμόζοντας τη σχέση αυτή εκατέρωθεν του σωλήνα προκύπτει ότι

από την οποία προκύπτει η εξίσωση συνέχειας ροής ιδανικού ρευστού

1.9

Πρόκειται για τη σχέση ανάμεσα στη διατομή του σωλήνα και την ταχύτητα ροής του ρευστού το

γινόμενο των οποίων παραμένει αναλλοίωτο. Αυτή ακριβώς η σχέση προβλέπει ότι η ταχύτητα ενός

ρευστού θα αυξηθεί αν μειωθεί η διατομή του σωλήνα ροής του ή το αντίθετο. Ένας άλλος τρόπος

να δούμε την εξίσωση συνέχειας να την γράψουμε ως

1.10

που σημαίνει ότι ο ρυθμός ροής του όγκου, ή αλλιώς η παροχή , είναι σταθερή. Μονάδα

παροχής στο S.I. είναι το κυβικό μέτρο ανά δευτερόλεπτο (m3/s).


1.8 Ροή νερού βρύσης: Είναι κοινή εμπειρία πως το ρεύμα νερού, κατά τη ροή νερού από τη βρύση,

στενεύει. Ο λόγος είναι ότι λόγω της βαρύτητας το μέτρο της ταχύτητάς του αυξάνεται. Επομένως

με βάση της εξίσωση συνέχειας η διατομή του πρέπει να μειώνεται. Εάν για παράδειγμα η διατομή

στο στόμιο της βρύσης είναι ενώ μετά από ύψος 45 cm μετρηθεί

ποια είναι η παροχή;

Από την εξίσωση συνέχειας έχουμε .

Από την αρχή διατήρησης της ενέργειας κατά τη ροή μάζας κατά το ύψος έχουμε

, από την οποία εισάγοντας την σχέση συνέχειας

προκύπτει ότι

.

Επομένως η παροχή είναι .


8

Εξίσωση Bernoulli. Στην εξίσωση συνέχειας της ροής ρευστών

δεν υπεισέρχεται πουθενά η πίεση του ρευστού. Για να

εμφανιστεί στο πρόβλημα η πίεση του ρευστού σε κάποιο

σημείο του ως παράγοντας σκεφτόμαστε ως εξής. Θεωρούμε

τον σωλήνα το σχήματος 1.9 στον οποίο ρέει ιδανικό ρευστό

με σταθερή παροχή. Έστω ότι σε χρόνο όγκος ρευστού

εισέρχεται στο αριστερό άκρο του σωλήνα (είσοδος). Τότε,

εφόσον το ρευστό είναι ασυμπίεστο πυκνότητας , ίσος όγκος

πρέπει να εξέλθει από το δεξί μέρος του σωλήνα (έξοδος).

Έστω επίσης ότι είναι το ύψος η ταχύτητα και η πίεση

στην είσοδο ενώ οι αντίστοιχες ποσότητες στην

έξοδο. Εφαρμόζοντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας στο

ρευστό αποδεικνύεται ότι ισχύει η εξής ισότητα που είναι

γνωστή ως αρχή Bernoulli:

Σχήμα 1.9

1.11

ή

1.12

Εφαρμόζοντας την 1.11 στην περίπτωση που το ρευστό βρίσκεται σε ηρεμία ( )

προκύπτει η σχέση που είναι η σχέση 1.6. Γενικότερα, η εξίσωση του

Bernoulli καθώς και η εξίσωση συνέχειας δεν είναι αξιώματα καθώς προκύπτουν από γενικότερες

αρχές της Μηχανικής. Χρησιμεύουν όμως στην εύκολη αντιμετώπιση προβλημάτων ροής ρευστών.

Σαν μια δεύτερη περίπτωση μπορούμε να εφαρμόζουμε εξίσωση του Bernoulli όταν το ρευστό ρέει

στο ίδιο ύψος ( ) και αντιστοιχεί στην περίπτωση του σχήματος 1.8. Τότε η εξίσωση

γράφεται ως

1.13

η οποία μας λέει ότι σε οριζόντια ροή αν η ταχύτητα του ρευστού αυξάνεται τότε μειώνεται η πίεσή

του και αντίστροφα. Έτσι εξηγείται η αρχική μας παρατήρηση σχετικά με το ποτιστικό λάστιχο. Η

χρήση του αντίχειρα ως εμπόδιο μειώνει την ταχύτητά του ρευστού κοντά στην έξοδο αυξάνοντας

με βάση την εξίσωση Bernoulli την πίεση. Μετά την έξοδο από το στόμιο του λάστιχου μειώνεται η

πίεση (στην τιμή της ατμοσφαιρικής) κι αυξάνεται η ταχύτητα ροής με αποτέλεσμα το νερό να

πηγαίνει πολύ μακρύτερα εκτελώντας σχεδόν βαλλιστική βολή.


1.9 Παροχή σωλήνα: Θεωρήστε ότι αλκοόλη πυκνότητας ρέει ομαλά σε οριζόντιο σωλήνα που στενεύει από εμβαδό διατομής σε εμβαδό διατομής . Η διαφορά πίεσης είναι 4120 Pa. Ποιά η παροχή της αλκοόλης;

Χρησιμοποιώντας την εξίσωση συνέχειας έχουμε


9

κι αντικαθιστώντας τις ταχύτητες στην εξίσωση Bernoulli

(είναι ) κι επιλύοντας ως προς προκύπτει ότι

.

1.10 Πίεση αίματος: Η ροή του αίματος στις αρτηρίες μπορεί να περιγραφεί κατά προσέγγιση από

την θεωρία ροής ιδανικών ρευστών. Πέρα από την ροή του αίματος από την καρδιά στις αρτηρίες κι

από κει στο υπόλοιπο σώμα η καρδιά προωθεί αίμα και στον εαυτό της για την δική της τροφή

μέσα από τις στεφανιαίες αρτηρίες. Οι κλάδοι των στεφανιαίων αρτηριών δεν διακλαδώνονται

αρκετά μεταξύ τους. Γι' αυτό, αν αποφραχτεί κάποιος κλάδος από αυτούς, τότε η περιοχή της

καρδιάς που τρέφεται απ' αυτόν νεκρώνεται, οδηγώντας στο λεγόμενο έμφραγμα. Με βάση το

παράδειγμα 1.9 υπολογίστε την ποσοστιαία μείωση της παροχής αίματος σε στεφανιαία αορτή που

εμφανίζει μείωση της διαμέτρου της στο μισό της αρχικής (λόγω συσσώρευσης λιπιδίων στο

εσωτερικό της αορτής εξαιτίας κακής διατροφής, καπνίσματος, έλλειψης άσκησης, κτλ. του

υποψηφίου προς έμφραγμα). Δίνεται ότι η ταχύτητα ροής του αίματος είναι 30 cm/s, η πυκνότητά

του αίματος 1060 Kg/m3 και η πίεση της αρτηρίας πριν το στένεμα 12.

Όταν λέμε πίεση εννοούμε συνήθως την αρτηριακή πίεση. Η αρτηριακή πίεση εκφράζεται με τη

βοήθεια δύο τιμών, της συστολικής και της διαστολικής πίεσης. Η συστολική πίεση είναι ο πρώτος

αριθμός που εμφανίζεται στη μέτρηση και αφορά στην πίεση που ασκείται στις αρτηρίες όταν χτυπά η

καρδιά, δηλαδή όταν συστέλλεται ο καρδιακός μυς. Η διαστολική πίεση είναι ο δεύτερος αριθμός που

εμφανίζεται στη μέτρηση και η τιμή της είναι πάντοτε μικρότερη από αυτή της συστολικής πίεσης.

Μετρά την πίεση που ασκείται στις αρτηρίες όταν ο καρδιακός μυς αναπαύεται μεταξύ των παλμών

και γεμίζει με αίμα. Η αρτηριακή πίεση μετριέται με ειδικά όργανα που λέγονται σφυγμομανόμετρα.

Όταν λέμε ότι ένα άτομο έχει π.χ. πίεση 12, σημαίνει ότι το αίμα ασκεί πίεση πάνω στο τοίχωμα της

αρτηρίας ίση προς 120 χιλιοστόμετρα στήλης υδραργύρου.

Εάν η διάμετρος της αρτηρίας μειωθεί στο 1/4 της αρχικής τότε το αποτέλεσμα είναι 76 %.


10

Προβλήματα

1. Υπολογίστε τη διαφορά αρτηριακής πίεσης μεταξύ του εγκεφάλου και του πέλματος για

έναν άνθρωπο ύψους 1.83 m.

2. Πόση είναι η μεταβολή της πίεσης σε ένα στρατιώτη ειδικών δυνάμεων, ο οποίος πρέπει να

καταδυθεί σε βάθος 20 m σε θαλασσινό νερό τη μια μέρα και την επόμενη να πέσει με

αλεξίπτωτο από υψόμετρο 7.6 km; Η μέση πυκνότητα του αέρα σε αυτό το υψόμετρο είναι

0.87 Kg/m3.

Η νόσος των δυτών σε πτήσεις. Σε οποιονδήποτε κάνει καταδύσεις του συνιστάται να μην

πετάξει τις επόμενες 24 ώρες. Ο λόγος είναι ότι το αέριο μείγμα που χρησιμοποιείται στην

κατάδυση μπορεί να εισάγει άζωτο στην κυκλοφορία του αίματος. Εάν δεν αφήσουμε το

άζωτο να διαφύγει από το μείγμα σιγά-σιγά, οποιαδήποτε απότομη ελάττωση στην πίεση

του αέρα (όπως κατά την άνοδο ενός αεροπλάνου) μπορεί να έχει αποτέλεσμα το άζωτο να

σχηματίσει φυσαλίδες στο αίμα, δημιουργώντας τη νόσο των δυτών, η οποία είναι επώδυνη

και ίσως θανατηφόρα.

3. Όταν κάποιος καταδύεται με αναπνευστήρα οι πνεύμονες συνδέονται απευθείας με την

ατμόσφαιρα και κατά συνέπεια βρίσκονται σε ατμοσφαιρική πίεση. Πόση είναι η μεταβολή

Δp μεταξύ αυτής της εσωτερικής πίεσης και της πίεσης του νερού στο σώμα εάν το μήκος

του αναπνευστήρα είναι α) 20 cm και β) 4 m.

Στην τελευταία περίπτωση η διαφορά πίεσης προκαλεί διάρρηξη των αιμοφόρων αγγείων

γύρω από τους πνεύμονες, γεμίζοντάς τους με αίμα. Σε αντίθεση ένας ελέφαντας μπορεί να

καταδυθεί με ασφάλεια στα 4 m χρησιμοποιώντας την προβοσκίδα του ως αναπνευστήρα

επειδή η μεμβράνη γύρω από τους πνεύμονές του περιέχει συνδετικό ιστό, που συγκρατεί

και προστατεύει τα αιμοφόρα αγγεία, αποτρέποντας την διάρρηξή τους .

4. Υποθέστε ότι κατά την εκβολή αέρα στο βήξιμο η παροχή είναι 7.0x10-3 m3/s. Ποιο

πολλαπλάσιο της ταχύτητας του ήχου (=343 m/s) είναι η ταχύτητα του αέρα στην

τραχεία εάν η διάμετρος της οπής (α) παραμένει στην φυσιολογική της τιμή των 14 mm και

(β) συστέλλεται στα 5.2 mm.

Όταν βήχετε αποβάλλετε αέρα με μεγάλη ταχύτητα δια μέσου της τραχείας και των άνω

βρόγχων, έτσι ώστε ο αέρας να απομακρύνει στη διαδρομή την πλεονάζουσα βλέννα.

Δημιουργείται μεγάλη ταχύτητα ως εξής: εισπνέετε μια μεγάλη ποσότητα αέρα, την

παγιδεύετε κλείνοντας τη γλωττίδα (το στενό άνοιγμα του λάρυγγα), αυξάνετε την πίεση

του αέρα συστέλλοντας τους πνεύμονες, εν μέρει συστέλλετε την τραχεία και τους άνω

βρόγχους για να στενέψετε το πέρασμα και κατόπιν εκβάλετε τον αέρα ανοίγοντας ξαφνικά

την γλωττίδα.

5. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ένα σιφώνι, το οποίο είναι μια

συσκευή για απομακρύνουμε υγρά από δοχεία. Ο σωλήνας ABC

πρέπει να είναι αρχικά γεμάτος αλλά όταν επιτευχθεί αυτό

(ρουφώντας για παράδειγμα τον αέρα από μέσα του όπως στο

καλαμάκι του φραπέ), υγρό θα ρέει από αυτόν μέχρις ότου η

επιφάνεια του υγρού στο δοχείο ισοσταθμιστεί με το άνοιγμα

του σωλήνα Α. Το υγρό έχει πυκνότητα 1000 Kg/m3 και αμελητέο

ιξώδες. Οι αποστάσεις που φαίνονται στο σχήμα είναι

, και . (α) Με πόση ταχύτητα

εξέρχεται το υγρό από τον σωλήνα στο C; (β) Εάν η

ατμοσφαιρική πίεση είναι 1.0 x 105 Pa, πόση είναι η πίεση στο


11

υγρό στο πιο ψηλό σημείο της διαδρομής Β; (γ) Θεωρητικά ποιο είναι το μέγιστο δυνατό

ύψος στο οποίο ένα σιφώνι μπορεί να ανυψώσει νερό.

6. Σε κυλινδρικό ποτήρι διαμέτρου 6 cm γεμάτο με νερό ως το ύψος βάζουμε τρία

κυβικά παγάκια πλευράς 2 cm το καθένα. (α) Ποιο το ύψος της στάθμης του νερού μόλις

βάλλουμε τα παγάκια; (β) Ποιο το ύψος της στάθμης του νερού αφότου λιώσουν τα

παγάκια; Δίνεται η πυκνότητα του πάγου 920 Kg/m3.

ΕΝΟΤΗΤΑ 1. Ρσάecourse.uoi.gr/.../mod_resource/content/6/bet_ch1.pdf · 1 ΕΝΟΤΗΤΑ...

Documents