ก กก 1 ˘ 3000 ˙ 1520

43
กกก 1 3000 1520 กก!"# !$%&ก 2546 )* #$ )ก$ +,-# %.+/ก!0 %1ก0$ +ก#กกก1ก0

Upload: others

Post on 10-Feb-2022

10 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: ก กก 1 ˘ 3000 ˙ 1520

��ก�����ก�ก������ �������������� 1 �������� 3000 � 1520

������ก� ����ก�� �����������!��" � # !$%&��ก��� 2546

)*�

�#�$���� )���������ก$� �+�,� -# �� ��%�.� �� �+� �/ก��!���0

��%�����������1ก0���$�� �+� �ก#� ��ก���ก��ก��������1ก0�

Page 2: ก กก 1 ˘ 3000 ˙ 1520

���ก������ �� ������ 1. ����� 2. ���� ����� 3. ก������������� 4. ก��������������� ������� 5. ก��"�#��$��������������� 6. ����������� �������&'��'$(������� 7. "(���(�� 8. #� (�+ #� 9. �����&'�"��-.ก( 10. ���� �&'��'$(�0�������1 11. ����������� ������ �&'��'$(�0�������1 12. ก���#����$23. ����������ก�������� �����(ก45ก6���' �0��7���'7+.#� ���'����"����8 1. �'�����-#����� #�9��ก'� �ก(0�����+.����� �����

2. �-#����������� �������&'��ก����กก������� �������#� ∧, ∨, →, ↔ 3. �-#��;'ก��"�#��$��������������� �������&'��'$(����������$��� < 4. �'�����-#����� #�9��ก'� �ก(0�����&'���="(���(�� 5. �'�����-#����� #�9��ก'� �ก(0�����&'���= #� (�+ #�ก( 6. �'�����-#����� #�9��ก'� �ก(0�����&'�"��-.ก( 7. �'�����-#����� #�9��ก'� �ก(0�����&'���=��";ก( 8. �'�����-#����� #�9��ก'� �ก(0ก����.'� ���� �"(>.(ก61&'��'$(�0�������1 9. �'�����-#����� #�9��ก'� �ก(0ก��������������� �������&'��'$(�0�������1$(�+����' � 10. �'�����-#����� #�9��ก'� �ก(0ก���#����$23.�����&'��'$(�0�������1 11. �'�����-#9ก���#����$23.�� 9�#"(���(�� 12. �#����$23.&'�"���$2"�3. ����?��"���$2"�3.?�# 13. �'�����-#����� #�9�9ก��$���"�0����"���$2"�3.

Page 3: ก กก 1 ˘ 3000 ˙ 1520

��������������� �����(ก45ก6���' �0��7���'7+.#� ���'����"����8 1. 0�ก?�#��� #�����&'�ก@���9�#��=���������?�� 2. ��02?�#��� #�����&'�ก@���9�#��=���� ���������?�� 3. ������������� �������?�#&'��������#� $(������� 4. "�#��$��������������� �������&'��'$(�������$��� < ก(?�# 5. &@�������ก(03-#���?�#� ����'����"2 6. ��02 +"���-�+00 �������&'���="(���(��?�# 7. ��02 +"���-�+00 �������&'���= #� (�+ #�ก(?�# 8. ��02 +"���-�+00 �������&'�"��-.ก(?�# 9. ��02 +"���-�+00 �������&'���=��";ก( ?�# 10. ��.'� #�����&'�ก@���9�#��=���� �"(>.(ก61&'��'$(�0�������1?�# 11. ������������� �������&'��'$(�0�������1$(�+����' �?�# 12. ��.'� ���� �"(>.(ก61&'��'$(�0�������1��= #������ก$�?�# 13. ��02?�#����-�+00&'��'$(�0�������1&'�ก@���9�#��=�-�+00&'�"���$2"�3.����?�� 14. �;�0� ก���#����$23.�� 9�#"(���(��?�# 15. +"��ก���#����$23.&'�"���$2"�3. ����?��"���$2"�3.?�# 16. $���"�0����"���$2"�3.?�# 17. 9�#��$23.� ���"���$2"�3.?�#

Page 4: ก กก 1 ˘ 3000 ˙ 1520

����������� 2/1 �$���� 2

�%&� �1�$4�"$� 1 (3000-1501) '(ก��� �� 5

&� �$�� $��ก4�"$� ����&* �+����� �(�����

�� �/�� ����� ���� ����� +.�ก������������� �,� 3 �(�����

��������. ����ก������

���ก������ (Logic) ��=�@�&'��'��กD�����กE�6�"("กF$ G$�HกI ���ก(0�@���� G4�"$�I �'������� ��� 4�"$�&'�����#� ก��9�#��$2+.�3. ��=ก��45ก6�85���;'ก��+.��.(กก��&'���9�#9ก��9�#��$2+.�3.J5����=����������"@��(>9ก��45ก6������1�$4�"$� &(7�'7�����=�������������1�$4�"$��'.(ก61���=��;��� ?��"����8�(0$#��?�# ����?��"����8�����K?�#�(��� �5�$#��45ก6��� ��4( ��;'��"-����������� +.���4( �.(กก��9�#��$23.&��$��ก4�"$� %��� ����� (Proposition ���� Statement) ��� #������������� �&'��'����������� ��=����������=�&K�� ���9�� ����5�� ������ -�9�-� ������ �0�ก�.�� �����X��"; ���� ��@�8�� �@�"(�� ��#�� �@��2&� �@��X��"; "2E�6�$ �@��(��� ?����=����� "@���(0���� �0�ก�.�� &'��'$(�+��� -��#� ?��"����80�ก�����=���������&K���?����=����� ����������� (Truth Value) �� #������������� � ��9�#"(>.(ก61 GTI +&�����������&'���=����(Truth) +.� GFI +&�����������&'���=�&K�(False) $��?�'7��=$(�� ��� �� #�����&'���=�����

- 8 ��=�@��(0 - � �� �.'กE( �� ��=� ก�(D�$�' ��?& - �����&�$ 57&��&�$ $��($ก - 3 ��=�@���-� - 6 + 4 = 10

$��?�'7��=$(�� ��� #�����&'�?��9������� - ;���$�?& �'ก'�"' - $(7�9�ab���-��� - ���85��;��(�

- �#��"-002��'� - x + y = 9 - ��#�e "� ��?�� ���'7

%��� ���� ����� (Open Sentence) ������� �0�ก�.�� ���� #�����&'��'$(�+��+.�?��&��0����������������=���������&K� &@�9�#��=�����?�#�� +&���$(�+��9���� ����� ��� - � ���=� ก�(D�$�' ��?& (��=���� ���������� �' G� �I ��=$(�+�� ?��&��0���� ����9�� �5�0�ก?��?�#������� �'7���������&K�) - x + 1 = 5 (��=���� ���������� �' GxI ��=$(�+�� ?��&��0��� x �'����&��?��� �5�0�ก?��?�#������� �'7���������&K�) - �;���=(ก45ก6���& �.( ���'�45ก6�"��02�'

Page 5: ก กก 1 ˘ 3000 ˙ 1520

.� �*�ก� 1. ���� �&'���=�������� -�9�-����� �0�ก�.�� �������� ��X��"; 2. ���� ��@�8�� �@� ��#�� �@�"(�� �@��#������ �@��#��� �@��2&� "2E�6�$ �@��(��� ?����=&(7������+.����� ����� 3. ���� �0�ก�.�� �������� ��X��"; &'��'$(�+�� ����=���� ����� ����� �����+& $(�+�� .�?�&@�9�# #�����(7��=����� �������1���� #�����$��?�'7��= ���6�� ���+���7� ���� 8�$�9�*��� � �$�� ��#���;�0� ��$23.

���� �

�����

���� ����� ?����=&(7� "��� ���

��$23.

1. �;���=(ก45ก6�&'�"� "2�9�#�� 2. �.ก�'0����� 3��� 3. �;���h �ก������������"' ���� 4. ก�21�9�#�"' ��0�< 5. 2 ��=�@���$K� 6. ?ก��' 2 � 7. � ��.�ก����ก����� 8. X + 5 = 0

9. X > Y+1 10. X + 4= 13 ����� X = 6

kkkkkkkkkkkkkkkkkk kkkkkkkkkkkk

kkkkkkkk..k. kkkkkkkkkkkkkk..kkkkkkkkkkkkkk..kkkkkkkkkk

kkkkkkkkkkkk

kk..kkkkkkkkkkkkk

k..kk

kkkk..kkkkkk.k.kkkkkk..kkkkkkkk.kkk.kkkkk..kkkk.kkkkkkkkk..kkkkkkkkkkkkk.kkkkkkkkkkk

ก��&� ����6��

ก��@������ $(7�+$� 2 ����� 57?���������$��ก(�#� $(������� ���ก����=�����9��� $(������� &'�9�#����������� �' 5 ��� +"��"(>.(ก61 +.�������� ��+$�.�$(��(�'7

1. +.� (And) 9�#"(>.(ก61 G ∧I

2. ���� (Or) 9�#"(>.(ก61 G∨I

3. 8#�k.+.#�k 9�#"(>.(ก61 G→I (ifk..thenkkk..)

4. กK$�������I (Equivalent) 9�#"(>.(ก61 G↔I (kkif and only ifkkk.)

5. ��"; (Negation) � ' +&�#� "(>.(ก61 G ∼ I

Page 6: ก กก 1 ˘ 3000 ˙ 1520

� �9�#�(ก6� p , q , r,k +&����� +.�9�# "(>.(ก61 GTI +&�����������&'���=���� +.� GFI +&�����������&'���=�&K� (����8#��'����� 2 ����� ��� p +.� q &'���������ก( ���'�����������&'� ��=?�?�# 4 ก�1' ���

p q

ก�1' 1 T T ก�1' 2 T F ก�1' 3 F T ก�1' 4 F F

��������',��$�������%�. ����6�� �� ���*�&� �

�����&'��ก����กก��@���������$(7�+$� "������� 57?���������� #��#� ก( �#� $(������� ������'�������������=����������=�&K�กK?�# �������������=� ���?� 57ก(0����������� �������&'��������� +.�$(�������&'�@��������� ��� ก@���9�# p +.� q +& ����� GTI +& ����������� �������&'��'�������������=���� GFI +& ����������� �������&'��'�������������=�&K� 1. ก��&� ����6�������*�&� � =',�> (And)

$(������� G+.�I (And) � ' +&�#� "(>.(ก61 G ∧I ��� Gp ∧ qI ������ p +.� q ��=�����9���&'��'������������(�'7

8#������ p +.� q �'�������������=���� (T) &(7� 2 �������?�#��� ����� p ∧ q �'�������������=���� (T) 8#� ����� p ���� q �����9�������5���'�������������=�&K� (F) ����&(7� 2

�������=�&K� ��?�#��� ����� p ∧ q �'�������������=�&K� (F)

����������� ������� p ∧ q "�2���=$���������������?�#�(�'7 ก�1' p q p ∧ q ก�1' 1 ก�1' 2 ก�1' 3 ก�1' 4

T T F F

T F T F

kkk.. kkk.. kkk.. kkk...

Page 7: ก กก 1 ˘ 3000 ˙ 1520

�*� �$���� 1 ��� ' "(>.(ก61 +&����� +.�������������� �������$��?�'7 1) ��-�' 4 � +.�?ก��' 2 � 9�# p +&�����kkkkkkkkk. Q +&�����kkkkkkkkkkk...kkk.. G��-�' 4 � +.�?ก��' 2 �I � ' ��="(>.(ก61?�#kkkkkk�'�������������=kkkk..kk 2) 5 +.� 8 ��=�@���-� 9�# p +&�����kkkkkkkkk.k. Q +&�����kkkkkkkkkkkkk.. G5 +.� 8 ��=�@���-�I � ' ��="(>.(ก61?�#kkkkkkk�'�������������=kkkkk..k 3) �@���-� ��=�@��&'� 2 ���.�$(� +.� 0 ��=�@��(0 9�# p +&�����kkkkkkkkkkkkk.k. Q +&�����kkkkkkkkkk G�@���-� ��=�@��&'� 2 ���.�$(� +.� 0 ��=�@��(0I � ' ��="(>.(ก61?�#kk.................�'�������������= 2. ก��&� ����6�������*�&� � =��� > (Or)

$(������� G����I (Or) � ' +&�#� "(>.(ก61 G∨I ��� p ∨ q ������ p ���� q ��=�����9����'������������(�'7

8#������ p +.� q �'�������������=�&K� (F) &(7� 2 �������?�#��� ����� p ∨ q �'�������������=�&K� (F) 8#� ����� p ���� q �����9�������5���'�������������=���� (T) ����&(7� 2

�������=�&K� ��?�#��� ����� p ∨ q �'�������������=���� (T)

����������� ������� p ∧ q "�2���=$���������������?�#�(�'7 ก�1' p q p∨ q ก�1' 1 ก�1' 2 ก�1' 3 ก�1' 4

T T F F

T F T F

kkk.. kkk.. kkk. kkk.

�*� �$���� 2 ��� ' "(>.(ก61 +&����� +.�������������� �������$��?�'7 1) ��-�' 2 � ���� ?ก��' 2 � 9�# p +&�����kkkkkkkkkk. Q +&�����kkkkkkkkkkkkkk.. ��-�' 2 � ����?ก��' 2 � � ' ��="(>.(ก61?�#kkkkkkkk�'�������������=kkkkk 2) 8 ��=�@���'� ���� 3 ��� 10 .�$(� 9�# p +&�����kkkkkkkkkk Q +&�����kkkkkkkk..kkkkk..

Page 8: ก กก 1 ˘ 3000 ˙ 1520

8 ��=�@���'� ���� 3 ��� 10 .�$(� � ' ��="(>.(ก61?�#kkkkkk�'�������������=k..kk 3) �@���'� ��=�@��&'� 2 ���.�$(� ���� ��=�@��&'� 2 ���?��.�$(� 9�# p +&�����kkkkkkkkkk Q +&�����kkkkkkkkkkkkkk.. �@���'� ��=�@��&'� 2 ���.�$(� ���� ��=�@��&'� 2 ���?��.�$(� � ' ��="(>.(ก61?�#..kk �'�������������=kkkkkk. 3. ก��&� ����6�������*�&� � =D��E.',��E>

ก���������#� �@������� G8#�k.+.#�kI � ' +&�#� "(>.(ก61 G→I ��� p → q ������ 8#� p +.#� q ���� p implied q ��=�����9����'������������(�'7

����� p → q �'�������������=�&K������ ����� p �'�������������=���� (T) +.� q �'�������������=�&K� (F)

"@���(0ก�1'���< ����� p → q �'�������������=���� (T)

����������� ������� p → q "�2���=$���������������?�#�(�'7 ก�1' p q p → q ก�1' 1 ก�1' 2 ก�1' 3 ก�1' 4

T T F F

T F T F

kkk.. kkk.. kkk. kkk.

�*� �$���� 3 ��� ' "(>.(ก61 +&����� +.�������������� �������$��?�'7 1) 8#���-�' 4 � +.#� ?ก��' 2 � 9�# p +&�����kkkkkkkkkk. Q +&�����kkkkkkkkkkk.kk.. 8#���-�' 4 � +.#� ?ก��' 2 � � ' ��="(>.(ก61?�#kkkkkkk�'�������������=kk..kk 2) 8#� 8 ��=�@���'� +.#� 4 ��� 10 .�$(� 9�# p +&�����kkkkkkkkkk. Q +&�����kkkkkkkk..kkkkk.. 8#� 8 ��=�@���'� +.#� 4 ��� 10 .�$(�� ' ��="(>.(ก61?�#kkkk�'�������������=kkkk 3) 8#� 8 +9 = 17 +.#� 5+10 = 13 9�# p +&�����kkkkkkkkkk. Q +&�����kkkkkkkkkkkkk.. 8#� 8 +9 = 17 +.#� 5+10 = 12 � ' ��="(>.(ก61?�#kkkkk.k�'�������������=kkkkk. 4. ก��&� ����6�������*�&� � =กG�$ �� > (Equivalent)

ก���������#� �@������� GกK$�������I � ' +&�#� "(>.(ก61 =↔↔↔↔> (kif and only ifk.)

��� p ↔ q ������ 8#� p กK$������� q ���� p Equivalent q ��=�����9����'������������(�'7

Page 9: ก กก 1 ˘ 3000 ˙ 1520

����� p ↔ q �'�������������=���� ����� ����� p +.� q �'����������������ก(

����� p ↔ q �'�������������=�&K� ����� ����� p +.� q �'�����������$���ก(

����������� ������� p ↔ q "�2���=$���������������?�#�(�'7 p q p↔q ก�1' 1 ก�1' 2 ก�1' 3 ก�1' 4

T T F F

T F T F

..kk.. kkk.. kkk. kkk.

�*� �$���� 4 ��� ' "(>.(ก61 +&����� +.�������������� �������$��?�'7 1) �+ก���=������.�� ������&4?& กK$����'�� �����&�$ 57&��&�4$��(��ก 9�# p +&�����kkkkkkkkkk. Q +&�����kkkkkkkkkkkkk �+ก���=������.�� ������&4?& กK$����'�� �����&�$ 57&��&�4$��(��ก .� ' ��="(>.(ก61 ?�#kkkk�'�������������=kkkkkkkk 2) "2( 0�?�# กK$������� +���-�?�# 9�# p +&�����kkkkkkk.kkk. Q +&�����k..kkkkk..kkkkkk.. "2( 0�?�# กK$������� +���-�?�# � ' ��="(>.(ก61?�#kkkkkk�'�������������=kkkkk 3) 8 ��=�@������ กK$������� 7 + 4 = 11 9�# p +&�����kkkkkkkk. Q +&�����..............................�'�������������=k 5. ก��&� ����6�������*�&� � %�O (Negation)

��"; � ' +&�#� "(>.(ก61 G ∼ I ������ ?�� (Not) ����?����=����&'���� (It is not true that) ��=�����9����'������������(�'7

8#� P �'�������������=���� (T) ��?�#��� ����� ∼ P �'�������������=�&K� (F)

8#� P �'�������������=�&K� (F) ��?�#��� ����� ∼ P �'�������������=���� (T)

����������� ������� ∼p "�2���=$���������������?�#�(�'7

p ∼p ก�1' 1 ก�1' 2

T F

F T

Page 10: ก กก 1 ˘ 3000 ˙ 1520

��������������� 2/1 �$���� 2

�%&� �1�$4�"$� 1 (3000-1501) '(ก��� �� 5

&� �$�� $��ก4�"$� ����&* �+����� 2 �(�����

�� �/�� ����� ���� ����� $(������������ �,� 20 �(����� �@�"(�� 9�#(ก45ก6�"�2������-#��ก&'�?�#45ก6�.�990"�2������-#'7 1. $��ก4�"$� ���kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk 2. ����� ���kkkkkkkkkkkkkkkkkkkk.kkkkkkkkkkkkk. 3. ���� ����� ���kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk. 4. ��&@����� �����9�#��=�����?�#�� kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk. 5. ���� ����� #�����&'���= �@�8�� �@�"(�� ��#�� �2&� "2E�6�$ �@��(��� ��=���������?�� kkkkkkkkkkkkkkkk.kk..kkk..kkkkkkkkkkkkkkkkkk 6. $(�������&'�9�#������������'k$(� ���kkk..kkkk.k.kkkkk.kkkkkkkkk 7. ���$��$��������������� �������&'��������#� $(����������$��� <9�#8-ก$#��

P q ∼p p∧ q p ∨ q p → q p ↔ q T T F F

T F T F

kkkkkkkkkkkkkkkk

kkkkkkkkkkkkkkkk

kkkkkkkkkkkkkkkk

kkkkkkkkkkkkkkkk

kkkkkkkkkkkkkkkk

7. p∧ q �'����������� ��=���������kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk

8. p∧ q �'����������� ��=�&K������kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk

9. p ∨ q �'�������������=�&K�.�����kkkkkk.kkkkkkk..kkkkkkkkkk..

10. p ∨ q �'�������������=���������kkkkkkkkkkkkkk..kkkkkkkkkk

11. p → q �'�������������=���������kkkkkkkkkkkk.kkkkkkkkkkkk

12. p → q �'�������������=�&K������kkkkkkkkkk.kk.kkkkkkkkkkkk

13. p ↔ q �'�������������=���������kkkkkkkkkkkkkkkk.kkkkkkkk

14. p ↔ q �'����������� ��=�&K������kkkkkkkkkkkkkkkk.kkkkkkkk ����3-#$���kkkkkkkkkkkkk.�(7kkkk.kkkkk�. &'�kkkkk..k.kkkk. ��+�$K�k20..?�#��+kk."�2�ก��������3.?�#���(0 �'��ก (4) �' (3) ��9�# (2) ��(0��2�(1)

Page 11: ก กก 1 ˘ 3000 ˙ 1520

ก���'�'������ 2/1 �$���� 2

�%&� �1�$4�"$� 1 (3000-1501) '(ก��� �� 5

&� �$�� $��ก4�"$� ����&* �+����� 2 �(�����

�� �/�� ����� ���� ����� +.�ก������������� �,� 20 �(����� �@�"(�� ������ก(�E���� E� 9ก.2�� ���@�$�0$��&'���& 8�� 1. �������1�������� �$��?�'7���� �9���=����� ���� ����� ����?����=&(7�"��� ���

#����� ����� ���� ����� ?����=&(7�"��� ��� 1. 2 x 10 ?�#�&��?� 2. � ��$�กv 3. ���="����'�'��$ 4. 2 x 5 = 20 5. X + 5 = 9 6. ��E( 9����?��"���ก 7. ?ก��������� ���������+$�� 8. � ���=(ก�1�$4�"$� 9. �����&�$ 57&��&�4$��(��ก 10. 5 ��=�@���-�

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk

kkkkkkkkkkkkkkkkkkk.kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk.

kkkk/kk..kkkk/k..kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk

2. ก@���9�# p +&����� G3 ��=�@���$K�I q +&����� G3 ��=�@��$��ก �I r +&����� G3 ��� 9 .�$(�I s +&����� G10 ��=�@���-�I ��� ' #�����$��?�'79�-�"(>.(ก61 +.�������������� ������� 2.1) 3 ��=�@���$K����� 3 ��� 9 ?��.�$(�

� ' ��="(>.(ก61?�#... p∨ ∼r.... �'�������������=..����... 2.2) 3 ��=�@���$K� +.� 3 ��=$��ก � กK$������� 10 ��=�@���-� � ' ��="(>.(ก61?�#k.kkkkk.�'��� ����������=kk.kkk. 2.3) 8#� 3 ?��9���@��$��ก �+.#� 3 ?��9���@���$K� � ' ��="(>.(ก61?�#kkkkk..k�'�������������=kkkkk.k 2.4) 10 ��=�@���-�กK$������� 3 ��� 9 ?��.�$(� � ' ��="(>.(ก61?�#kkk�'��� �������� ��=kkkkkkkkkkkk.

Page 12: ก กก 1 ˘ 3000 ˙ 1520

3. ก@���9�# A �'�������������=�&K� +.� B, C �'�������������=���� ��������������� �������$��?�'7

����� ����������� ����� ����������� ����� �����������

1. A ∧ B

2. A → C

3. A ↔ B

kk�&K�kk kk.kkkkkk.kk

4.A ∨ ∼ B

5.B ↔ ∼ A

6. ∼ (A ∧ B)

kkkkkkkkkkkkkkk

7. ∼B → A

8. ∼A → ∼C

9. ∼B ∨ ∼C

kkkkkkkkkkkkkkk

����3-#$���kkkkkkkkkkkkk.�(7kkkk.kkkkk�. &'�kkkkk..k.kkkk. ��+�$K�k20..?�#��+kk."�2�ก��������3.?�#���(0 �'��ก (4) �' (3) ��9�# (2) ��(0��2�(1)

Page 13: ก กก 1 ˘ 3000 ˙ 1520

'��QRก�*����� 2/1 �$���� 2

�%&� �1�$4�"$� 1 (3000-1501) '(ก��� �� 5

&� �$�� $��ก4�"$� ����&* �+����� 2 �(�����

�� �/�� ����� ���� ����� +.�ก������������� �,� 20 �(����� �@�"(�� 9�#(ก45ก6�$�0�@�8��$��?�'7 �#� $����#��.�ก3-#��� 1. �������1�������� �$��?�'7���� �9���=����� ���� ����� ����?����=&(7�"��� ���

#����� ����� ���� ����� ?����=&(7�"��� ��� 1. 0 ��=�@���$K� 2. � ���=9�� 3. �ก������ K��ก 57E-� � 4. ก+.�"2( ��="($��zก

5. �'�@������ x 0��$(� x< 8

6. x > 8

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk

2. ����.'� ���� �$��?�'7��=���� ��@��-� �����ก@���9�# p +& ��'7v$ก q +& ก0�#�� r +& ����(0ก0

2.1 p ∧ q k..kkkkkkkkkkk..kkkkkkkkkkkkkkk..

2.2 p → p ∨ q kkkkkkkkkkkkkkk..kkkkkkkkkkkkk

2.3 ∼ p ↔ q ∨ ∼ r kkkkkkkkkkkk.kkkkkkkkkkkkkkkk..

2.4 ∼ p ↔ ∼ q kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk.kkk..

2.5 ∼ p → q kkkkkkkkkkkk.kkkkkkkkkkkkkkkk.. 3. ��0�ก����������� �������$��?�'7

����� ����������� 3.1 7 ��=�@��$��ก ������@���$��ก �

3.2 8#� 5> 8 +.#� 9 > 6

3.3 12 < 9 กK$������� 8 > 10

3.4 8#� 2 ��� 5 ?��.�$(�+.#� 5 ��=�. �'� 3.5 10 ��=&(7��@������+.���=�@��(0

����3-#$���kkkkkkkkkkkkk.�(7kkkkk�. &'�kkkkk. ��+�$K�k..?�#��+k."�2�ก��������3.?�#���(0k.�'��ก (4) �' (3) ��9�# (2) ��(0��2�(1)

Page 14: ก กก 1 ˘ 3000 ˙ 1520

����������� 2/2 �$���� 2

�%&� �1�$4�"$� 1 (3000-1501) '(ก��� �� 6

&� �$�� $��ก4�"$� ����&* �+����� 2 �(�����

�� �/�� ก��������������� �������&'��'$(������� �,� 20 �(�����

,���*�ก�������. ��*�&� �

�����&'��'�.� $(������� 9�#�����1������&'��'$(�������&'�� -�9���.K0ก�� +$�8#�ก�������������(7?���'���.K0ก@�ก(0 $(�������$������"@��(>��ก#� ?�����ก�(�'7

↔ ��=$(�������&'��.2����� ��&'�"2�

→ ��=$(�������&'��.2�8(�.�����ก ↔

∧ , ∨ ��=$(�������&'��.2������&��ก( +$��.2�#� ก��� →

∼ ��=$(�������&'��.2�����#� &'�"2� �����'����$�������%�. ����6���� ���*�&� �

ก��������������� �������&'��'$(�������$(7�+$� 2 $(� 57?�ก���������������$#����4( $��������������� �������&'��'$(������� +00$���< +.��@����ก���(�'7 1. $#��������������� �������&'�� -�9���.K0ก��

2. 8#�?���'���.K09�#������������� �� ∼ ก��

3. +.#��5������ �� ∧ , ∨ , → +.� ↔ $��.@��(0

�*� �$���� 1 ��"�#��$��������������� ������� (p ∧ q) → p p q p ∧ q) (p ∧ q) → p T T T T T F F T F T F T F F F T

�*� �$���� 2 ��"�#��$��������������� �������(p∧q) → ∼ p p q p∧q ∼ p (p∧q) → ∼ p

T T F F

T F T F

T F F F

F F T T

F T T T

Page 15: ก กก 1 ˘ 3000 ˙ 1520

�*� �$���� 3 ��"�#��$��������������� �������(p∨ q) → r

�������ก�����(p∨ q) → r ���ก�0�#� ����� �� 3 ����� �5��'ก�1'$���?�#&(7���� 8 ก�1' J5���'�����������$��$����$��?�'7

p q r p∨ q (p∨ q) →r T T T T F F F F

T T F F T T F F

T F T F T F T F

T T T T T T F F

T F T F T F T T

������� 8#�������5�����ก�0�#� ����� �� n ����� ���'ก�1'$��� < ?�# &(7���� 2n ก�1'

�*� �$���� 3 ��"�#��$��������������� ������� p→r ↔ ∼ q ∨ r

Page 16: ก กก 1 ˘ 3000 ˙ 1520

ก���%�������$�������%�. ����6�� ก��������������� �������&'����ก�0�#� ����� �� ��กก��� 1 �����&'�������$��ก(�#� $(������� ��������������������������= ���� ���� �&K� &@�?�#�� ��4( �.(กก��������������� �������&'��'$(���������ก$��������������� +.�������������������� ������� �� &'�ก@��� �*� �$���� 10 9�# p, q +.� r ��=����� 9�# p�'�������������=���� q +.� r �'�������������=�&K� ��������������� ������� �������$��?�'7

1) p ∧ (r → q) p q r r → q p ∧ (r → q) kkkkkkkkkkkkkkk

kkkkkkkkkkkkkkk T F F T T kkkkkkkkkkkkkkk

3) ∼ p ↔ (r → ∼q) ∧ p kkkkkkkkkkkkkkk

kkkkkkkkkkkkkkk kkkkkkkkkkkkkkk �*� �$���� 11 9�# p, s �'�������������=���� q +.� r �'�������������=�&K� ��������������� �������$��?�'7

1) p ∧ [(r → ∼q) ∧ (s → p)] kkkkkkkkkkkkkkk

kkkkkkkkkkkkkkk

2) ∼q ∨ [(p → s) ↔ (∼r → p)] kkkkkkkkkkkkkkk

kkkkkkkkkkkkkkk

�*� �$���� 12 ��������������� �� p, q, r, +.� s ��ก����������� �������&'�ก@���9�#$��?�'7

1) 9�# (p ∧ q) → (r ∨ s) �'�������������=�&K�

�%O���� (p ∧ q) → (r ∨ s) ��=�&K� +"����� (p ∧ q) ��=����, (r ∨ s) ��=�&K� �(�(7 p, q ��=���� r, s ��=�&K�

2) 9�# p ∧ [(p ↔ ∼ r) ∧ (q → r) �'�������������=���� ��;'&@�kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk

Page 17: ก กก 1 ˘ 3000 ˙ 1520

��������������� 2/2 �$���� 2

�%&� �1�$4�"$� 1 (3000-1501) '(ก��� �� 6

&� �$�� $��ก4�"$� ����&* �+����� 2 �(�����

�� �/�� ����������� �������&'��'$(������� �,� 2 �(����� �@�"(�� 9�#(ก45ก6�"�2������-#��ก&'�?�#45ก6�.�990"�2������-#'7 1. .@��(0����������� �������&'��'$(��������.� $(������� �������1�$(���������กก��?��.(��(�'7 1kkkkk..2kkkkkk3kkkkkk4kkkkkkkk 5kkkkkk. 2. ก��������������� �������&'��'$(�������$(7�+$� 2 $(� 57?� +.��'���.K0� -��#� ก���������������$#�� $#��������������� �������&'�� -�9���.K0........................... ( ก�� / �.(�)

3. 8#�?���'���.K09�#������������� �� $(�������9�ก�� ...........................( ∼ , ∧ , ∨ , → , ↔ )

4. $(�������9��.2� ��&'�"2�.........................................( ∼ , ∧ , ∨ , → , ↔ ) 5. 8#�������5�����ก�0�#� ����� �� n ����� ���'ก�1'$��� < ?�# &(7���� kk. ก�1' 6. 8#�������5�����ก�0�#� ����� �� 2 ����� ���'ก�1'$��� < ?�# &(7���� kk. ก�1' 7. 8#�������5�����ก�0�#� ����� �� 3 ����� ���'ก�1'$��� < ?�# &(7���� kk. ก�1'

Page 18: ก กก 1 ˘ 3000 ˙ 1520

ก���'�'������ 2/2 �$���� 2

�%&� �1�$4�"$� 1 (3000-1501) '(ก��� �� 6

&� �$�� $��ก4�"$� ����&* �+����� 2 �(�����

�� �/�� ����������� �������&'��'$(������� �,� 20 �(����� �@�"(�� 9�#(ก45ก6�����ก(�E���� E� 9ก.2��+.#�$�0�@�8��$��?�'7

1. ��"�#��$��������������� ������� (p ↔ q)→ ∼ p

p q p ↔ q

∼ p (p ↔ q)→ ∼ p

T T T F F

2. ��"�#��$��������������� ������� ∼p ∧ (p ∨ q) → q

3. ก@���9�# p, q �'�������������= �&K� +.�r, s �'�������������= ���� ��������������� �� �����$��?�'7

3.1 p → (r ∨ s) p r s r ∨ s p → (r ∨ s) P → (r ∨ s)

F T T T

F T T T

kkkkk.

Page 19: ก กก 1 ˘ 3000 ˙ 1520

3.2 ∼ (p → q) ↔ (r ∧ s) kkkkkkkkkkkkkkkkkk

kkkkkkkkkkkkkkkkkk kkkkkkkkkkkkkkkkkk. kkkkkkkkkkkkkkkkkk

3.3 ∼ (p ∨ q) → ∼ (r ∧ s) kkkkkkkkkkkkkkkkkk

kkkkkkkkkkkkkkkkkk kkkkkkkkkkkkkkkkkk. 4. ก@���9�# p, q �'�������������=���� +.�r, s, t �'�������������=�&K� ��������������� �� �����$��?�'7

4.1 (p ∧ q) → ∼ p 4.3 ∼ t ∨ ∼ r ↔ p→ q kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk

4.2 (p→ ∼q ∧ t) → s ∨ ∼r kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk kkkkkkkkkkkkkkkkkkk

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkk kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk

4.4 ∼ (p→ q) → p ∧ r kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk

5. ��������������� ������ �$��?�'7 5.1 �#�0�?�#+.�+��?���' � กK$������� ��' 4 $� kkkkkkkkkkkkkkkkk kkkkkkkkkkkk..kkk..kkkkk

5.2 8#� 8- 2 = 2-8 +.#� 2 x 8 = 7 +.� 8<5 kkkkkkkkkkkkkkkkk kkkkkkkkkkkkkk..kkkkkk. 5.3 3 + 4 = 5 ���� 6-5 = 2 กK$������� 8-6 = 7 +.� 3+5= 8 kkkkkkkkkkkkkkkkk kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk

5.4 8#� } 2 <-3 ���� 8 > 9 +.#� 8-2 ≠ 5 kkkkkkkkkkkkkkkkk kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk ����3-#$���kkkkkkkkkkkkk.�(7kkkkk�. &'�kkkkk.��+�$K�k..?�#��+k."�2�ก��������3.?�#���(0k.. �'��ก (4) �' (3) ��9�# (2) ��(0��2�(1)

Page 20: ก กก 1 ˘ 3000 ˙ 1520

'��QRก�*��� 2/2 �$���� 2

�%&� �1�$4�"$� 1 (3000-1501) '(ก��� �� 6

&� �$�� $��ก4�"$� ����&* �+����� 2 �(�����

�� �/�� ����������� �������&'��'$(������� �,� 20 �(����� �@�"(�� 9�#$�0�@�8��$��?�'7�#� $����#��.�ก3-#��� 1. ก@���9�# p, q �'�������������=���� +.�A, B, C �'�������������=�&K� ��������������� �������$��?�'7

1.1 (A ↔ C) ∨ ∼(p → B) kkkkkkkkkkkkkkkkkkk

kkkkkkkkkkkkkkkkkkk kkkkkkkkkk..kkkkkkkk. kkkkkkkkkkkkkkkkkkk

1.2 ∼ (p ∧ q) ↔(∼p ∨ ∼q) kkkkkkkkkkkkkkkkkkk

kkkkkkkkkkkkkkkkk kkkkkkkkkkkkkkkkkk. kkkkkkkkkkkkkkkkkk

2. 8#� (m ∨ n) → (r ∨ s) �'�������������=�&K� +.� (m → r) ��=���� ��������������� ������� m, n, r +.� s kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk..kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk.kk.

3. 8#� (m → n) ∧ (p ∨ q) �'�������������=���� +.� (n ∨ q) ��=�&K� ��������������� ������� p, q, m, +.� n kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk..kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk

4. ��"�#��$���������������$��?�'7 ∼p ∧ (p ∨ q) → q kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk.kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk ����3-#$���kkkkkkkkkkkkk.�(7kkkkk�. &'�kkkkk. ��+�$K�k..?�#��+k."�2�ก��������3.?�#���(0k..�'��ก (4) �' (3) ��9�# (2) ��(0��2�(1)

Page 21: ก กก 1 ˘ 3000 ˙ 1520

����������� 2/3 �$���� 2

�%&� �1�$4�"$� 1 (3000-1501) '(ก��� �� 6

&� �$�� $��ก4�"$� ����&* �+����� 2 �(�����

�� �/�� "(���(�� #� (�+ #� �����&'�"��-. �����&'���=��";

�,� 20 �&'

�*�%�*��� (Tautology) � �� "(���(�� ��� �����&'��'�������������=���� "@���(0�����������&2ก��� ������� �� ?���������� �� ���'�������������=���������&K� (�����&'���=����&2กก�1')

�*� �$���� 1 �������1���� [(p → q) ∧ p] → q ��="(���(������?��

"�#��$��������������� �� [(p → q) ∧ p] → q P Q p → q (p → q) ∧ p [(p → q) ∧ p] → q T T F F

T F T F

T F T T

T F F F

T T T T

"�2� ����� [(p → q) ∧ p] →q �'�������������=����&2กก�1' �5���="(���(��

�*� �$���� 2 �������1���� (∼q∧∼p) ↔p ��="(���(������?��

"�#�� $��������������� �� (∼q∧∼p) ↔p P q ∼p ∼q ∼q∧∼p (∼q∧∼p) ↔p T T F F

T F T F

F F T T

F T F T

F F F T

F F T F

"�2� ����� (∼q∧∼p) ↔p ?����="(�����(��

�*�%�*������������

1. p ∧ q ↔ q ∧ p

2. p ∨ q ↔ q ∨ p

3. p ∧(q ∧ r) ↔ (p∧ q) ∧ r

4. p ∨ (q ∨ r) ↔ (q ∨ p)∨ r

Page 22: ก กก 1 ˘ 3000 ˙ 1520

5. p ∧(q ∨ r) ↔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

6. p ∨ (q ∧ r) ↔ (p ∨ q) ∧ (p ∨r)

7. ∼(∼ p) ↔ p

8. ∼(p ∧ q) ↔ ∼p ∨ ∼q

9. ∼(p ∨ q) ↔ ∼ p ∧ ∼q

10. p→q ↔ ∼ p∨q

11. p→q ↔ ∼q→∼p

12. p↔q ↔ (p→q) ∧ (q→p)

13. p↔q ↔ ∼p↔∼q

14. p→q ↔ ∼ q →∼p .� .*�'������ � ����%�&* (Contradiction)

��%��� #� (�+ #�������&������( ��� ��� �������&'��'�������������=�&K�&2กก�1' ?���������� �� ���'�������������=���������&K�กK$��

�*� �$���� 4 �������1���� (p ∧ q) ∧∼ (p ∨ q) ��=��&������(����?�� P q p ∧ q p ∨ q ∼(p ∧ q) (p ∧ q) ∧∼ (p∨q) T T F F

T F T F

T F F F

T T T F

F T T T

F F F F

�*� �$���� 5 �������1���� ∼ (p ∧ q) ∨ (p ∨ q) ��=��&������(����?�� P q p ∧ q p ∨ q ∼(p ∧ q) ∼ (p ∧ q)∨(p∨q)

kkkkk..kkkkkkk

kkkkk..kkkk

k..kk

kkkkk..kkkkk..kkkkk..kkkkk..

kkkkk..kkkkk..kkkkkkk..

kkkkk..kkkkk..kkkkk..kkkkk..

kkkkk..kkkkk..kkkkk..kkkkk..kkkkk..kkkkk..kkkkkkk

���6���� ����,ก* (Logical Equivalent)

%��� �����"���������"��-.ก( กK$������� �����&(7�"���'����������������ก(&2ก

ก�1' ก�1'$��ก�1' ��9�# "(>.(ก61 G ≡ G +& #����� G"��-.ก(I �����&'�"��-.ก(9�#+&ก(?�# "����8$���"�0���������-�9�0#��"��-.ก( �� 9�#$����

Page 23: ก กก 1 ˘ 3000 ˙ 1520

�*� �$���� 6 ��$���"�0�-���������-�9�0#��"��-.ก(

1) p↔q ก(0 (p→q) ∧ (q→p) p q p→q q→p p↔q (p→q) ∧ (q→p) T T F F

T F T F

T F T T

T T F T

T F F T

T F F T

(���� p↔q "��-.ก(0 (p→q) ∧ (q→p)

���� ' +&�#� p↔q ≡ (p→q) ∧ (q→p)

2). p→ (q→r)+.�(p→q) →r p q r q→r p→q p→ (q→r) (p→q) →r T T T T F F F F

T T F F T T F F

T F T F T F T F

T F T T T F T T

T T F F T T T T

T F T T T T T T

T F T T T F T F

(���� p→ (q→r)?��"��-.ก(0(p→q) →r

���� ' +&�#� p→ (q→r)≅(p→q) →r

���'�����6���� ����,ก*�� ������� ���*��$ 8���

1. p ∧ q ≡ q ∧ p

2. p ∨ q ≡ q ∨ p

3. p ∧(q ∧ r) ≡ (p∧ q) ∧ r

4. p ∨ (q ∨ r) ≡ (q ∨ p)∨ r

5. p ∧(q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

6. p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨r)

7. ∼(∼ p) ≡ p

Page 24: ก กก 1 ˘ 3000 ˙ 1520

8. ∼(p ∧ q) ≡ ∼p ∨ ∼q

9. ∼(p ∨ q) ≡ ∼ p ∧ ∼q

10. p → q ≡ ∼ p∨q

11. p→q ≡ ∼q→∼p

12. p↔q ≡ (p→q) ∧ (q→p)

13. p↔q ≡ ∼p↔∼q

14. p ≡ p ∧ q

15. p ≡ p ∨ q ������� �����&'�"��-.ก( 9�#+&ก(?�# ������'����������������ก(&2กก�1' ก�1'$��ก�1'

�*� �$���� 7 �������1���� #�����$��?�'7"��-.ก(����?�� 1) 8#�?�#��+ 80 ��+ �7?�+.#���?�#�ก�� 4 8#�?��?�#�ก�� 4 +.#� ?��?�#��+ 80 ��+ �7?� kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk 2) 8#�v$ก+.#�8.�� 8#�8.�� +.#� v$ก kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk 3) 8#�$(7�9���' +.� (����(�"�� +.#� ��"�03�� 8#�"�0?��3�� +.#� ?��$(7�9���' ����?�� (����(�"�� kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk ���6���� �9%�Oก* (Negation Statement)

%��� ����� 2 �������=��";ก( กK$������� ����� 2 �����(7&'��'�����������$�� #��ก(

&2กก�1' ก�1'$��ก�1' 9�#"(>.(ก61 G∼I +&�@���� G?��I ���� G?��9��I ��� #����� G� +����=��'I�X��"; �� #�����'7����������X��"; ��� G� +����=�?���'I ���� G� +��?����=��'I���� G?����=����&'����� +����=��'I

Page 25: ก กก 1 ˘ 3000 ˙ 1520

�*� �$���� 8 ������"; �������$��?�'7 �����&'�ก@���9�# ��";�����&'�ก@���9�#

1. ?ก��' 2 � 2. �����&�$ 57&��&�4$��($ก 3. 8 + 9 = 15

4. 10 < 20

�*� �$���� 9 ����� ∼(p→q) +.� p∧∼q ��=��";ก(+"��?�#�(�$����$��?�'7 p q P→q ∼(p→q) ∼q p∧∼q T T F F

T F T F

T F T T

F T F F

F T F T

F T F F

�*� �$���� 10 �������1���������$��?�'7 ��=�����&'�"��-.ก( ���� ��=��";ก(

1) p → q ก(0 ∼ q → ∼ p

2) (p → q) ก(0 p ∧ ∼ q

�*� �$���� 11 ������"; �������$��?�'7

1) p ∨ ∼q kkkkkkkkkkkkkkkkkk

2) ∼p ∧ q kkkkkkkkkkkkkkkkkk

3) (p ∧ q) → ∼ r kkkkkkkkkkkkkkkkkk

4) p ∧ (p → q)

Page 26: ก กก 1 ˘ 3000 ˙ 1520

��������������� 2/3 �$���� 2

�%&� �1�$4�"$� 1 (3000-1501) '(ก��� �� 6

&� �$�� $��ก4�"$� ����&* �+����� 2 �(�����

�� �/�� "(���(�� #� (�+ #� �����&'�"��-. �����&'���=��";

�,� 2 �(�����

�@�"(�� 9�#(ก45ก6�"�2������-#��ก&'�?�#45ก6�.�990"�2������-#'7 1. "(���(�� ���kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk 2. #� (�+ #� ���kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk. 3. �����&'�"��-.ก( ���kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk 4. �����&'���=��";ก(���kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk 5. ����� 2 �������9�#+&ก(?�#กK$������� ����� 2 ����� (7 ��=�����&'� kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk. 6. ���������&'�"��-.ก(0�����$��?�'7

∼ (∼ p) ≡kkkkkkkkk p ↔ q ≡kkkkkkkkk

∼ (p ∧ q) ≡kkkkkkkkk p ↔ q ≡kkkkkkkkk

∼ (p ∨ q) ≡kkkkkkkkk p ↔ q ≡kkkkkkkkk

p ∧ q ≡kkkkkkkkk (p ∧ q) ∧ r ≡kkkkkkkkk

(p ∨q)∨ r ≡kkkkkkkkk (p ↔ q) ↔ r ≡kkkkkkkkk

p → q ≡kkkkkkkkk p → q ≡kkkkkkkkk 7. ��&@������$��?�'79�#��=�*�%�*���

p ∧ q ↔ kkkkkkkk

p ∨ q ↔ kk..k..kkkk

p ∧(q ∧ r) ↔ kk..kkkkk

p ∨(q ∨ r) ↔ kk..kkkkk.

p ∧(q ∨r) ↔ kkkkkkkk

p ∨(q ∧ r)↔ kkkk.kkkk

p →q ↔ kkkkkkkkkk..

p→q ↔ kkkkkkkkkk..

p↔q ↔ kkkk..kkkkkk

Page 27: ก กก 1 ˘ 3000 ˙ 1520

ก'�'������ 2/3 �$���� 2

�%&� �1�$4�"$� 1 (3000-1501) '(ก��� �� 6

&� �$�� $��ก4�"$� ����&* �+����� 2 �(�����

�� �/�� "(���(�� #� (�+ #� �����&'�"��-. �����&'���=��";

�,� 2 �(�����

�@�"(�� 9�#$�0�@�8��$��?�'7 1. ��"�#��$���������+"������-�+00$��?�'7��="(���(�� ���� #��$#+ #� ����?����=&(7�"��� ���

1.1 p → (p ∨ q) p q p ∨ q p → (p ∨ q) T T F F

T F T F

kkkTk..kkkkk..kkkkk..kkkkkkkkkk..

kkkTk..kkkkk..kkkkk..kkkkkkkkkk.

"�2�kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk.

1.2 (p → q) ↔ (∼ p ∨ q) P q ∼ p p → q ∼ p ∨ q (p → q) ↔ (∼ p ∨ q)

kkkkk..kkkkk..kkkk

kkkkk..kkkkk..kk

kkkkk..kkkkk..kkkkk..

kkkkk..kkkkk..kk

kkk..

kkkkk..kkkkk..kkkkk..

kkkkk..kkkkk..kkkkk..kkkkk..kkkkk..kkk

kk..kkkkk.. "�2�kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk.

1.3 (p → q)↔ (p ∧ ∼q) p q

"�2�kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk.

Page 28: ก กก 1 ˘ 3000 ˙ 1520

2. �������1���������$��?�'7"��-.ก(������=�";ก( �� "�#��$����

2.1 p → (q ∧ r) ก(0 (p → q) ∧ (p → r) p q

2. 2 (p → q) ∨ r ก(0 (p ∧ ∼q) ∧∼ r p q

����3-#$���kkkkkkkkkkkkk.�(7kkkkk�. &'�kkkkk.��+�$K�k..?�#��+k."�2�ก��������3.?�#���(0k.. �'��ก (4) �' (3) ��9�# (2) ��(0��2�(1)

Page 29: ก กก 1 ˘ 3000 ˙ 1520

'��QRก�*��� 2/3 �$���� 2

�%&� �1�$4�"$� 1 (3000-1501) '(ก��� �� 6

&� �$�� $��ก4�"$� ����&* �+����� 2 �(����� ������/�� "(���(�� #� (�+ #� �����&'�"��-. �����&'���=��";ก(

�,� �(�����

�@�"(�� 9�#$�0�@�8��$��?�'7 1. �������1���������$��?�'7��="(���(������?��

kkkkkkkk1.1 p ∨ ∼ p

kkkkkkkk1.2 ∼ ((p ∨ q) → ∼ p ∧ ∼ q

kkkkkkkk1.3 [(p → q) ∧ (q → p)] → (p ↔ q)

kkkkkkkk1.4 ∼ (p ↔ q) ↔ (p ↔ ∼ q)

kkkkkkkk1.5 [(p → r) → q] → [(p → q) → r] 2. �������1���������$��?�'7"��-.ก(����?��

kkkkkkkk2.1 p → ∼ q "��-.ก(0 ∼ p ∨ ∼ q

kkkkkkkk2.2 p → (q ∧ r) "��-.ก(0 (p → q) ∧ (p → r)

kkkkkkkk2.3 ∼ (p → q)"��-.ก(0 p ∨ ∼ q

kkkkkkkk2.4 p ∧ q → r "��-.ก(0 p → (q → r)

kkkkkkkk2.5 p → (q ∧ r)"��-.ก(0 (p → q) ∧ (p → r) 3. ��$���"�0�-����-�+00 �������9 #�9�"��-.ก( ������=��";ก( ����?����=&(7�"��� ���

kkkkkkkk3.1 ∼p ∧ ∼q ก(0 (∼p ∨ q)

kkkkkkkk3.2 p → q ก(0 ∼p ∨ q

kkkkkkkk3.3 ∼ (p ∨ ∼q) ก(0 p → q

kkkkkkkk3.4 ∼ (p → q) ∧ ∼ r ก(0 ∼p → q ∧ r

kkkkkkkk3.5 ∼p ↔ ∼q ก(0 (∼p ↔ q)

kkkkkkkk3.6 p → q ก(0 ∼p ∨ q

kkkkkkkk3.7 p ∧ (q → r) ก(0 ∼p ∨ ∼q

kkkkkkkk3.8 (p → q) → r ก(0 p → (q → r)

Page 30: ก กก 1 ˘ 3000 ˙ 1520

4. ��$���"�0�-��� #�����$��?�'7"��-.ก(����?�� 4.1 - 8#�����ก� #��+.#� �;���?��ก�กh� �$'~ � - ����?��ก� #�� ���� �;�ก�กh� �$'~ � kkkkkkkkkkkkkkkk..kkkkkkk..kkkkkkkkkkkkkkkkkkk..kkkkkkkkkkkkkkkkk..kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk..kk.. 4.2 - 8#�v?��$ก +.#� ����(ก6 ��?�������� - 8#�����(ก6?��?�������� +.#� v$ก kkkkkkkkkkkkkkkk..kkkkkkk..kkkkkkkkkkkkkkkkkkk..kkkkkkkkkkkkkkkkk..kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk 4.3 - 8#����&��'��� +.#� ���&���J�7�0#� - 8#����&�?���'��� +.#� ���&���?��J�7�0#� kkkkkkkkkkkkkkkk..kkkkkkk..kkkkkkkkkkkkkkkkkkk..kkkkkkkkkkkkkkkkk..kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk 4.4 - �2&�$�������(�"�� กK$������� �;�"�0 - 8#��2&�$�����(�"�� +.#� �;���"�0 +.� 8#��2&�$�"�0 +.#� �;��� ����(�"�� kkkkkkkkkkkkkkkk..kkkkkkk..kkkkkkkkkkkkkkkkkkk..kkkkkkkkkkkkkkkkk..kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk ����3-#$���kkkkkkkkkkkkk.�(7kkkkk�. &'�kkkkk. ��+�$K�k..?�#��+k."�2�ก��������3.?�#���(0k..�'��ก (4) �' (3) ��9�# (2) ��(0��2�(1)

Page 31: ก กก 1 ˘ 3000 ˙ 1520

����������� 2/4 �$���� 2

�%&� �1�$4�"$� 1 (3000-1501) '(ก��� ��

&� �$�� $��ก4�"$� ����&* �+����� 2 �(�����

�� �/�� ก���#����$23. �,� 20 �&'

ก�� ������(, (Argument) ก���#����$23. ��� ก���#����� "��$2ก��1 P1, P2,..., Pn �2��5�� "����8"�2�3.&'�$���� C ?�#" ก���#����$23.���ก�0�#� 2 "�� ��� 1. ��$2 ����"���&'�ก@���9�# 2. 3. ����"���&'�$���� ก��"�2�3."���$2"�3. (valid) ����?��"���$2"�3. (invalid) 57� -�ก(0ก��@���$2$���<������

�#� G∧ G+.�9�#$(������� → ������ก(0 3. 8#��-�+00 ������� p1 ∧p2∧ p3∧k.∧pn → q ��="(����(�� "�2�?�#���ก��9�#��$23. "���$2"�3. (����ก���#����$23. ��=ก��9�#��$23.�� @� #�����&'�ก@���9�# J5��$#�� ���(0�����=����&(7���� ����= #��#��+.�"(0"2�����"�2���= #���������9��� #�����&'���= #��#����' ก��� ��$2 +.� #���������9���&'�?�#��' ก��� 3."�2� ���� #�"�2� J5��8#��0�����$2&'�ก@���(70(��(09�#�ก��3."�2� +"����� ก��9�#��$23.�(�ก.���"���$2"�3. +$�8#��0�����$2&'�ก@���(70(��(09�#�ก��3."�2�?��?�# +"����� ก��9�#��$23.�(�ก.���?��"���$2"�3. ก��$���"�0ก��"���$2"�3.&@�?�# 2 ��;'���

1. �� ก��"�#��$��������������� &@�?�#�� @���$2$���<�������#� G∧ G +.�9�#$(������� →

������ก(0 3. 8#��-�+00 ������� p1 ∧p2∧ p3∧k.∧pn → q ��="(����(�� "�2�?�#���ก��9�#��$23. "���$2"�3. 2. �� ก��������������������� �� 9�#�-�+00 �������&'�"���$2"�3. �*� �$���� 1 �������1����ก���#����$23.$��?�'7"���$2"�3.����?��

1) ��$2 1 p → q

2. ∼ q

3. ∼ p

Page 32: ก กก 1 ˘ 3000 ˙ 1520

��;'&@� �� ก��"�#��$��������������� ������� [ (p → q) ∧ ∼ q] →∼ p p q p → q ∼ q (p → q) ∧ ∼ q ∼ p [ (p → q) ∧ ∼ q] →∼ p

"�2�3.kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk..

2) ��$2 1 p →q

3. 2. ∼q →∼p

"�#��$��������������� ������� (p → q) →(∼q →∼p) p q p → q ∼ q ∼ p (p → q) →(∼q →∼p)

"�2�3.kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk.. ก���#����$23.��������1���ก�-�+00 ������� �'�(�'7 ก��+�ก+��$����$23.

��$2 1) p →q 2) p 3. q

5. ก���2������ ��$2 1) p 2) q

3. p∧q

ก��+�ก+��3.�#���$2

��$2 1) p →q

2) ∼q

3. ∼ p

6. ก� ��ก��&@�9�#���

��$2 1) p∧q 3. p

ก� ��$��ก0& 7. ก� �� #�����&'�+ #�".(0

Page 33: ก กก 1 ˘ 3000 ˙ 1520

��$2 1) p →q

2) q →r

3. p →r

��$2 1) p →q

3. ∼q →∼p

4. $��ก0&+00�(���ก

��$2 1) p∨q

2) ∼p 3. q

8. ก� ��ก���$���$K� ��$2 1) p

3. p∨q

�*� �$��ก��������(,���'���$��[

�*� �$���� 2 �������1����ก��9�#��$23.$��?�'7"���$2"�3.����?��

1) ��$2 1 p → p∨q

2. ∼ (p∨q)

3. ∼ p "�2�kkkkkkkkkkkkkkkkk

2) ��$2 1 ∼ q → r

2. p→ ∼ q

3. p → r "�2�kkkkkkkkkkkkkkkkk

3) ��$2 1 p → q 2. q 3. p "�2�kkkkkkkkkkkkkkkkk

4) ��$2 1 p∨q

2. p → r

3. ∼r 3. q "�2�kkkkkkkkkkkkkkk

5) ��$2 1 ∼r → ∼ p

2. ∼q

3. r → s

4. p∨q 3. s "�2�kkkkkkkkkkkkkkkkk

6) ��$2 1 8#�v$ก+.#�8.�� 2. 8#�8.��+.#��8�ก( 3. v?��$ก 3. �8?���ก( "�2�kkkkkkkkkkkkkkkkk

7) ��$2 1 8#� (+.#�"�03�� 2. 8#�"�03��+.#�?�#����(. 3. ( 3. ?�#����(. "�2�kkkkkkkkkkkkkkkkk

8) ��$2 1 8#�v$ก+.#�8.�� 2. 8#�8.��+.#��8�ก( 3. v?��$ก 3. �8?���ก( "�2�kkkkkkkkkkkkkkkkk.

Page 34: ก กก 1 ˘ 3000 ˙ 1520

�*� �$���� 3 ����3."�2�&'�&@�9�#ก���#����$23.$��?�'7"���$2"�3.

1) ��$2 1 p → q

2. q → r "�2�3. kkkkkkkkkkkkkkkk..

2) ��$2 1 p → q

2. q → r 3. p "�2�3. kkkkkkkkkkkkkkkk..

3) ��$2 1 ∼ p ∨ q

2. ∼p → r

3. q →∼s "�2�3. kkkkkkkkkkkkkkkk..

4) ��$2 1 (p ∨ r)→ ∼s

2. q ∨ r "�2�3. kkkkkkkkkkkkkkkk.. 5) ��$2 1 8#� a ��=�@���$K�0�ก +.#� a ��=�@��(0 2. a ?����=�@��(0 "�2�3. kkkkkkkkkkkkkkkk.. 6) ��$2 1 8#�4�'�@��( ����� ��������7@��� +.#� 4�'�@�������ก�+a 2. 4�'�@���?������ก�+a "�2�3. kkkkkkkkkkkkkkkk..

Page 35: ก กก 1 ˘ 3000 ˙ 1520

ก���'�'������ 2/4 �$���� 2

�%&� �1�$4�"$� 1 (3000-1501) '(ก��� �� 7

&� �$�� $��ก4�"$� ����&* �+����� 2 �(�����

�� �/�� ก���#����$23. �,� 20 �(����� �@�"(�� 9�#$�0�@�8��$��?�'7�#� $����#��.�ก3-#��� 1. �������1����ก��9�#��$23.$��?�'7 "���$2"�3. ����?��"���$2"�3. 1.1 ��$2 1. 8#�v$ก+.#�7@�&��� 2. v$ก "�2�3. 7@�&���kkkkkkkkkkkkk 1.2 ��$2 1. 8#�v$ก+.#�7@�&��� 2. 7@�?��&��� "�2�3. v?��$กkkk.kkkkkkkkk 2. ����3."�2�&'�&@�9�#ก��9�#��$23.$��?�'7 "���$2"�3. 2.1 ��$2 1. 8#�v$ก+.#������'9� 2. ����?���'9� "�2�3.kkkkkkkkkkkkkkkk 2.2 ��$2 1. "��� ����"����?�#����(. 2. "����?��?�#����(. "�2�3.kkkkkkkkkkkkkkkk 2.3 ��$2 1. 8#��(��=�"��02�' +.#��(��=�E��ก.�� 2. �(?����=�E��ก.�� "�2�3.kkkkkkkkkkkkkkkk 2.4 ��$2 1. 8#�v$ก +.#�7@�&��� 2. 8#�7@�&��� +.#�"2E�����' ?��?�# "�2�3.kkkkkkkkkkkkkkkk 3. �������1����3."�2� ��+$�.� #�"���$2"�3.����?��

3.1) ก@���9�# 1. a → b

2. ∼b "�2�3. ∼ a kkkkkkkkkkkk..

3.2) ก@���9�# 1. p → (q ∧ r)

2. ∼q V ∼r "�2�3. ∼ p kkkkkk.k..kkkkk

3.3) ก@���9�# 1. ∼q V r

2. q "�2�3. ∼r kkkkkk.kk.kkkkk.

3.4) ก@���9�# 1. a → ∼b

2. ∼b → c 3."�2� a → c kkkkkk..kk.kkk.

Page 36: ก กก 1 ˘ 3000 ˙ 1520

'��QRก�*��� 2/4 �$���� 2

�%&� �1�$4�"$� 1 (3000-1501) '(ก��� �� 7

&� �$�� $��ก4�"$� ����&* �+����� 2 �(�����

�� �/�� ก���#����$23. �,� 20 �(����� �@�"(�� 9�#$�0�@�8��$��?�'7 1. �������1����ก���#����$23.$��?�'7"���$2"�3.����?��

1.1. ��$2 1 p → r

2. q →p

3. ∼r

3. ∼q kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk

1.2. ��$2 1 p→q

2. q→r

3. r→s 4. p 3. s kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk.

1.3 ��$2 1 p→(r→s)

2. ∼s→∼r 3. pkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk..

1.4 ��$2 1 ∼t → ∼r

2. ∼s

3. t→w

4. r ∨s 3. wkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk. 1.5 ��$2 1 8#���4ก�$(��#�+.#� ��4ก�����=? # 2. ��4ก�?��$(��#� 3. ��4ก�?����=? #kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk. 2. ����3."�2�&'�&@�9�#ก���#����$23.$��?�'7"���$2"�3.

2.1 ��$2 1 p∨∼q

2. p → r

Page 37: ก กก 1 ˘ 3000 ˙ 1520

3. ∼r 3.kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk

2.2 ��$2 1 p→q

2. r∨p

3. ∼q 3.kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk

2.3 ��$2 1 r→s

2. ∼ t →r

3. p →∼t

4. s →∼q 3.kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk

2.4 ��$2 1 p→q

2. r∨p

3. ∼q 3.kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk 2.5 ��$2 1 8#��(����(�"��+.#� �(��?��"�0$ก 2. 8#��(?���-.���+.#��(������(�"�� 3. �("�0$ก 3.kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk 4. ��6%���\��$�ก��������(,�$ 8��� �������(,��� 8�$

4.1) ��$2 1. 8#����. ( � ���� #�9�0&��' 2. 8#����.� #�9�0&��' +.#�� ���"�0?�#��+�' "�2�3. 8#����. ( +.#�� ���"�0?�#��+�' kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk.kk. 4.2) ��$2 1. 8#�v$ก +.#�7@�&��� 2. 8#�7@�&��� +.#����0#�������#� "�2�3. 8#�v?��$ก +.#����0#�?��������#� kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk.kkkkk.

Page 38: ก กก 1 ˘ 3000 ˙ 1520

����������� 2/5 �$���� 2

�%&� �1�$4�"$� 1 (3000-1501) '(ก��� ��

&� �$�� $��ก4�"$� ����&* �+����� 2 �(�����

�� �/�� �.'0�ก�����1 �,� �(�����

�,�� ก��%��\ (Quantifiers)

�.'0�ก�����1 ��� 85� #�����&'�0�ก������� +"��85������1&(7��������0���@�� �� &(�� < ?� �.'0�ก�����1�'9�#� -� 2 .(ก61� ��� 1. 0�ก�����1��=�@��&'�+�� ��� � 3 � �(� 5 $(� ก 7 $(� ��=$# 2. 0�ก�����1�@����ก#� ��� (ก��' 0��� "2( &2ก$(� ก&2ก$(� ��Kก+$�.����=$# 9&��$��ก4�"$� 9�#�.'0�ก�����19.(ก61�&'� 2 J5��+0����ก��= 2 ����E& ��� 1. �*��$�� ก��%��\�*����� Universal Quantifier ��� 85�&2ก"���&2ก� ���&'�ก.���85� ?�#+ก� �@���� G&(7����I G&2ก <I���� G+$�.�I J5����� 85� G&2ก"���&2ก� ���&2ก� ���&'�ก.���85�I � ' +&�#�

"(>.(ก61 G∀I+&������� ��� G"@���(0&2ก < kI (For all) ���� G"@���(0k.&2ก$(�I ����

G&2ก<I ��9�#"(>.(ก61 G∀xI +&"@���(0 x &2ก$(� 2. �*��$�� ก��%��\�� �$��� � �a ��*� Existential Quantifier ?�#+ก� �@���� G0��"���I

G�'� ���#� �5��I J5����� 85� G0��"���0��� ���9�J$&'�ก.���85�I � ' +&�#� "(>.(ก61 G∃I+&������� ��� G�'0��$(�kI (For some) "@���(0k.0��$(�I ���� G�'� ���#� �5��$(�I ��9�#

"(>.(ก61 G∃xI +&"@���(0 x 0��$(� ก��9�#"(>.(ก61 ���.'0�ก�����1$#��9�#��0�-�ก(0���� ������"�� ��� ���� �&'����G"@���(0 x &2ก$(� 8#� x ��=�@���$K�0�ก+.#� x ��=�@������I

9�# P(x) : x ∈ I+ → x ∈ R ��ก���� � #��0� ' ��="(>.(ก61?�# 2 +00 ���

∀x [P(x)] +.� ∀x [ x ∈ I+ → x ∈ R] 9&@�����' �ก( ���� � G"@���(0 x 0��$(� 8#���=�@���$K�0�ก+.#�$#����=�@������I � ' ��="(>.(ก61?�# 2 +00 ���ก( ���

∃x [P(x)] +.� ∃x [x ∈ I+ → x ∈ R] .� �*�ก� 1) ���� ������� �ก$�?����=����� +$������9�#�-�ก(0�.'0�ก�����1 ����' "E����=����������"����8�������������?�# ��� 9��กE� J5����= �J$ ���@���$K� x + 2 = 8 ��=���� ����� (?����=�����) +.�

Page 39: ก กก 1 ˘ 3000 ˙ 1520

∃x [x + 2 = 8] ��=����� (�'�������������=����) 2) ���� �0�����?���'�.'0�ก�����1���กX� -� +$�"����8� #�9�?�#�����

ก(0�'�.'0�ก�����1���กX� -� ��� 2x + 3x = 5x J5����� 85� ∀x [2x + 3x = 5x] �*� �$�� 2 ก@���9�# P(x) : x 0�?�# U = {ก} �����"(>.(ก61$��?�'7

1. ∀x [P(x)] 2. ∃x [P(x)]

3. ∼∀x [P(x)] 4. ∼∃x [P(x)]

5. ∀x [∼P(x)] 6. ∃x [∼P(x)]

�%O���� 1. ∀x [P(x)] ������ ก&2ก$(�0�?�# 2. ∃x [P(x)] ������ ก0��$(�0�?�#

3. ∼∀x [P(x)] ������?��9�����ก&2ก$(�0�?�# 4. ∀x [∼P(x)] ������ ก&2ก$(�0�?��?�#

5. ∼∃x [P(x)] ������?���������ก0��$(�0�?�# 6. ∃x [∼P(x)] ������ ก0��$(�0�?��?�#

�����1�������� ������� ∼∀x [P(x)] ก(0����� ∃x [∼P(x)] ��ก$(�� ��� &'� 2 ����K���

∼∀x [P(x)] : ?��9�����ก&2ก$(�0�?�# ��� 85� ก0�?�#?��&2ก$(� ����0�?��?�#0��$(� ����ก0��$(�0�?��?�# (����

∃x [∼P(x)] : ก0��$(�0�?��?�# �(�(7����K�������� ∼∀x [P(x)] �5��'������� �����ก(0

����� ∃x [∼P(x)]

(���� ∼∀x [P(x)] กK��� ∃x [∼P(x)] ���� ∼∀x [P(x)] ≡ ∃x [∼P(x)] ก�����$�������%�. ����6���� ���*�� ก��%��\

%��� ∀x [P(x)] �'�������������=���� กK$������� @����&2ก���9��กE�"(��(&; (U) ��+&���$(�+�� x 9 P(x) +.#�&@�9�# P(x) ��=����

∀x [P(x)] �'�������������=�&K� กK$������� @����&2ก���9��กE�"(��(&; (U) ��+&���$(�+�� x 9 P(x) +.#��' x � ���#� &'�"2��5�����&'�&@�9�# P(x) ��=�&K�

%��� ∃x [P(x)] ���'�������������=���� กK$������� �' x 9��กE�"(��(&; (U) � ���#� &'�"2��5����� �����@���+& x 9 P(x) +.#�&@�9�# P(x) ��=����

∃x [P(x)] ���'�������������=�&K� กK$������� @����&2ก���9��กE�"(��(&; (U) ��+&���$(�+�� x 9 P(x) +.#�&@�9�# P(x) ��=�&K� �*� �$�� 3 ก@���9�# P(x) : x + 4 < 7 +.� U = {-1, 0, 1, 2}

�������1���� ∀x [P(x)] ���'�������������=����������=�&K� �%O���� P(-1) : -1 + 4 < 7 (����) P(0) : 0 + 4 < 7 (����) P(1) : 1 + 4 < 7 (����) P(2) : 2 + 4 < 7 (����

Page 40: ก กก 1 ˘ 3000 ˙ 1520

����K��� &2ก < ��� x ∈ U &@�9�# P(x) �'�������������=����&(7����

�(�(7 ∀x [P(x)] �'�������������=���� �*� �$�� �� 4 ก@���9�# P(x) : x + 4 < 7 +.� U = {0, 1, 2, 3}

�������1���� ∀x [P(x)] �'�������������=����������=�&K� �%O���� P(0) : 0 + 4 < 7 (����) P(1) : 1 + 4 < 7 (����) P(2) : 2 + 4 < 7 (����) P(3) : 3 + 4 < 7 (�&K�)

����K��� P(3) �'�������������=�&K� �(�(7 ∀x [P(x)] �'�������������=�&K� �*� �$�� �� 5 ก@���9�# P(x) : x + 1 = 4 +.� U = {1, 2, 3, 4}

�������1���� ∃x [P(x)] �'�������������=����������=�&K� �%O���� P(1) : 1 + 1 = 4 (�&K�) P(2) : 2 + 1 = 4 (�&K�) P(3) : 3 + 1 = 4 (����) P(4) : 4 + 1 = 4 (�&K�)

����K��� P(3) �'�������������=���� �(�(7 ∃x [P(x)] �'�������������=���� �*� �$�� �� 6 ก@���9�# P(x) : x + 1 = 4 +.� U = {4, 5, 6}

�������1���� ∃x [P(x)] �'�������������=����������=�&K� �%O���� P(4) : 4 + 1 = 4 (�&K�) P(5) : 5 + 1 = 4 (�&K�) P(6) : 6 + 1 = 4 (�&K�)

����K��� &2ก < ��� x ∈ U &@�9�# P(x) �'�������������=�&K�&(7����

�(�(7 ∃x [P(x)] �'�������������=�&K�

กc6�*�6*O� ��� �J$&'�ก@��� �0� $ ��"���&'����45ก6�9�#+&�#� "(>.(ก61 µ $(�� ���&'� 1 ������� �������$��?�'7

1) ∀x [x + 5 = x], µ = r ������ "@���(0 x &2ก$(�J5�� x + 5 = x �������กE�"(��(&;��=�@�������'�������������=kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk........

2) ∀x [x } 4 = 0] ����� µ = {1, 2, 3, 4, 5} ������ .kkkkkkkkkkkkkkk. �'�������������=kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk.

3) ∃x [x +2 < 5] ����� µ = {2, 3, 4, 5} ������ �' x 0��$(�&'� x +2 < 5 ����� µ = {2, 3, 4, 5} �'�������������=kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk.

4) ∃x [x > 2 x < 6] ����� µ = {1, 2, 3, 4} ������kkkkkkk.kkkkkkkkk. �'�������������=kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk

Page 41: ก กก 1 ˘ 3000 ˙ 1520

$(�� ���&'� 2 ����.'� #�����$��?�'79�#��=���� �"(>.(ก61

���� � ���� �"(>.(ก61

1. "@���(0 x &2ก$(� x + x = 3x ����� µ = R

2. �' x � ���#� �5��$(�J5�� x } x = 1 ����� µ = R 3. "@���(0 x &2ก$(�+.� y &2ก$(�J5��

x + 3 = y + 5 ����� µ = I 4. "@���(0 x &2ก$(� x > 0 กK$������� x2 > 0

kkkkkkkkkkkkkkk.. kkkkkkkkkkkkkkk.. kkkkkkkkkkkkkkk.. kkkkkkkkkkkkkkkk..

�$�������%�. ����6���� ���*��$�� ก��%��\�*�'������

��%��� #����� ∀xP(x)∃ �'�������������=���� �����+ก x G&2ก$(�I �� µ 9 P(x) +.#� P(x) ��=����

∀xP(x) �'�������������=�&K�������' x G0��$(�I �� µ +&9 P(x) +.#� P(x) ��=�&K�

��%��� #����� ∃xP(x) ��=����กK$��������' a 0��$(�9��กE�"(��(&;J5�� P(a) ��=����

∃xP(x) ��=�&K������+&&'� x �#� "����ก&2ก$(�9��กE�"(��(&;+.#���=�&K�

�*� �$�� &'� 2 �������1������������ �������$��?�'7

∀x(Px) µ �����������

1. ∀x [x > 0]

2. ∀x [x ��=�@��$K�]

3. ∀x [x2 }16 =0]

4. ∀x [x-2 > 0]

5. ∃ [x = x + 1]

6. ∃x [x + 3 = 4]

7. ∃ [x +7 <5]

8. ∀ [x +7 >5]

µ = {0, 1, 2}

µ = R

µ = {1, 2, 3,4}

µ = {1, 2, 3,4}

µ = {0, 1, 2}

µ = {1, 2, 3}

µ = R

µ = R

�&K� kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk.

Page 42: ก กก 1 ˘ 3000 ˙ 1520

��������������� 2/5 �$���� 2

�%&� �1�$4�"$� 1 (3000-1501) '(ก��� �� 7

&� �$�� $��ก4�"$� ����&* �+����� 2 �(�����

�� �/�� $(�0�������1 �,� 20 �(����� �@�"(�� 9�#(ก45ก6�"�2������-#&'�?�#�(0.�990"�2������-#'7 1. ���� �������&@�9�#��=�����?�#�� kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk.. kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk.. 2. $(�0�ก�����1�' 2 ��� ��� 2.1kkkkkkkkkkkkkkk9�#"(>.(ก61kkkkkkkkkkkkkkk 2.2kkkkkkkkkkkkkkk9�#"(>.(ก61kkkkkkkkkkkkkkk

3. ����������� ������� ∀x (P(x)) ��=���������kkkkkkkkkkkkkkkk..

4 ����������� ������� ∀x (P(x)) ��=�&K������kkkkkkkkkkkkkkkk..

5. ����������� ������� ∃x (P(x)) ��=���������kkkkkkkkkkkkkkkk..

6. ����������� ������� ∃x (P(x)) ��=�&K������kkkkkkkkkkkkkkkk.. 7. �������1�������������� �������$��?�'7

∀x(Px) µ �����������

7.1 ∀x [x > 0]

7.2 ∀x [x +1=1+x]

7.3 ∃x [x2 +1 =0]

7.4 ∃x [x <0]

7.5∀ [x2 = x + 2]

µ = I

µ = R

µ = R

µ = {1, 2, 3,4}

µ = {0, 1, 2}

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk.

Page 43: ก กก 1 ˘ 3000 ˙ 1520

ก���'�'������ 2/5 �$���� 2

�%&� �1�$4�"$� 1 (3000-1501) '(ก��� �� 7

&� �$�� $��ก4�"$� ����&* �+����� 2 �(�����

�� �/�� $(�0�������1 �,� 20 �(����� �@�"(�� 9�#$�0�@�8��$��?�'7�#� $����#��.�ก3-#��� 1 ��� ' ���� �+$�.� #�$��?�'79�#��=�-�"(>.(ก61 1.1 �'�@������ x J5�� x2 = 25 �������กE�"(��(&;��� {1, 3, 5} kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk...�'�������������=kkkkkkkkkk.. 1.2 8#� x ��=�@��$��ก �+.#� x ��=�@������ kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk�'�������������=kkkkkkkk..kk 1.3 �'�@������0���@��J5�� x(x + 1) = 30 �������กE�"(��(&; ��� {x | x < 5) kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk�'�������������=kkkkkkkk..kk 1.4 "@���(0�@������ x &2ก$(� J5�� x x 1 = x kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk�'�������������=kkkkkkkk..kk

��������������� ������ �9+$�.� #������=���������&K� 2.1 �'�@���$K�0���@���'���#� ก��� 5kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk..

3.2 ∀x [x + 2 ≤ 5] ����� µ = {0, 1, 2, 3}kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk.. 2.3 &2ก��� �� x &'���=�@������ J5�� (x + 1)2 = x2 + 1kkkkkkkkkkkkkkk

2.4 �' x < 0 J5�� -2x < 4 ����� µ = {-3, -2, 0, 1}kkkkkkkkkkkkkkkkkk 2.5 0���(���(�9����&4?& �'7@��2�#�kkkkkkkkkk..kkkkkkkkkkk..