Урок 1 – 3 2.09.Тригонометрические функции числового аргумента.

Четность, нечетность и периодичность тригонометрических функций.1. Введение.А) Рассадить школьников. Напомнить о дисциплине: приход в класс, подготовка к уроку, подготовка доски.Б) Математика – 9 часов в неделю.

По одной толстой рабочей тетради для каждого предмета; одна тонкая – для к/р; отдельная тетрадь для н/об заданий; одинарные листочки для с/р. Линейка, угольник, циркуль – на каждый урок. Цветные ручки или фломастеры!В). Система оценок прежняя: «балльные» к/р; с/р; зачеты (по алгебре – 3; по геометрии – 2); экзамен по алгебре и математическому анализу. Г) По алгебре и математическому анализу – учебник Н.Я. Виленкина; по геометрии – учебник А.Д. Александрова (раздать). К завтрашнему уроку геометрии прочитайте введение (стр. 3 – 7). 2. Новый материал. В курсе алгебры мы продолжаем изучать тригонометрию, но если в 9 классе основной упор делался на знание формул и тригонометрические преобразования, то в 10 классе мы займемся тригонометрическими функциями.Вспомните: 1) определение функции; 2) что такое область определения и множество значений функции; 3) что такое числовая функция; 4) определения четной и нечетной функций.

[1) Функцией называется соответствие между множествами А и В, при котором каждому элементу множества А соответствует не более одного элемента множества В. 2) Область определения функции – множество прообразов, множество значений функции – множество образов. 3) Область определения и множество значений – числовые множества (подмножества R). 4) Функция y = f(x) называется четной, если ее область определения симметрична относительно нуля и f(–x) = f(x). Функция y = f(x) называется нечетной, если ее область определения симметрична относительно нуля и f(–x) = –f(x)]

Рассмотрим единичную окружность (см. рис. 1) и вспомним определения тригонометрических функций произвольных углов.

Пусть R P PO

( )0 , где Î(–µ; +µ) и Р(x; y).

Тогда cos = x; sin = y; tg = yx

; ctg =

xy

(проговорить).

Определение. Тригонометрической функцией числа называется соответствующая тригонометрическая функция угла в радиан.

Как это понимать? Рассмотрим соответствие f: R ® окр (0; 1) | "xÎR f(x) = Px = R PO

x ( )0 . Наглядно это соответствие представляется наматыванием бесконечной нити (числовой оси) на барабан (единичную окружность), причем число 0 закрепляется в точке Р0 (показать на рисунке).

1) Объясните, почему это соответствие является функцией; 2) укажите ее область определения и множество значений; 3) верно ли, что различным значениям x соответствуют различные значения функции? Что из этого следует?

Рис. 1

1

Таким образом, теперь мы можем рассматривать числовые функции, указав (на основании определений, используя единичную окружность) их области определения и множества значений.

y = cos y = sin y = tg y = ctgD(y) = R D(y) = R D(y) = {ÎR | ¹ 0,5p + pn, nÎZ} D(y) = {ÎR | ¹ pn, nÎZ}

E(y) = [–1; 1] E(y) = [–1; 1] E(y) = R E(y) = RВспомните, какие из тригонометрических функций являются

четными, а какие – нечетными. Как это доказывать? (Проговорить по рис. 2 с краткими записями на доске.)

3. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске; записи: для первого пункта определения – две возможные формы!):

1) Докажите, что функция а) y tg ctg

sin cos является четной; б)

y

x tg xx x

sin

cos

3 3

является

нечетной. 2) Исследуйте на четность и нечетность функцию f xx xx

( ) sin

31 29

2 1 [D(f) = {xÎR |

x ¹ ±1}; Н]4. Устно: 1) Определите четность либо нечетность функции и кратко обоснуйте:

а) |tgx| [Ч]; б) sin|| [Ч]; в) 1 2

cossin

tt t [Н]; г)

sinbcosbtgbctgb + 2 [–]; д) cos x [Ч]; е) tgy3 [Н]; ж) sin z [–]; з) ctg(t0,2) [–]; и) sin(sin(...(sin )...)

р

xn аз

[Н]; к) sin(cos(tg(ctgx))) [Ч]; л)

[sinx] [–]; м) cos[x] [–]; н) {cosx} [Ч]; о) sin{x} [–].

2) Заполните таблицу на доске и обоснуйте:

5. Новый материал. Рассмотрим еще одно общее свойство функций.Определение. Функция f(x) называется периодической, если $ T ¹ 0 | "xÎD(f) верно, что и x ± TÎD(f) и выполняется равенство f(x + T) = f(x). В этом случае число Т называется периодом этой функции.Примеры. 1) {x} (T = 1); 2) любая из основных тригонометрических функций (T = 2p).Вопросы. 1) Почему в первой части определения знак «±», а во второй – только «+»?2) Является ли число Т единственным?Определение. Основным периодом периодической функции называется ее наименьший положительный период.Теорема. Основным периодом функций синус и косинус является T = 2p, а функций тангенс и котангенс – T = p.Доказательство. I. f(x) = sinx и f(x) = cosx.А) 1) D(f) = R Þ"xÎD(f) верно, что и x ± 2pÎD(f). 2) "xÎD(f) f(x + 2p) = f(x), так как sin(x + 2p) = sinx и cos(x + 2p) = cosx. Следовательно, 2p – период каждой из функций.Б) Пусть $Т | 0 < T < 2p и Т – период функции. Тогда: 1) "xÎR sin(x + T) = sinx.

При xp2

получим, что sinp2

1

T Û cosT = 1 Û T = 2pn, где nÎZ, что противоречит

выбору числа Т. 2) "xÎR cos(x + T) = cosx. При x0 получим, что cosT = 1 Û T = 2pn, где nÎZ, что противоречит выбору числа Т.

Рис. 2

F Ч Н Ч НG Ч Н Н Ч

kF ± mG, kÎR, k ¹ 0; mÎR, m ¹

0

Ч Н – –

FG Ч Ч Н НFG

Ч Ч Н Н

F(G) Ч Н Ч Ч

2

Таким образом, 2p – основной период, что и требовалось доказать.II. g(x) = tgx и h(x) = ctgx.А) 1) D(g) = {xÎR | x ¹ 0,5p + pn, nÎZ}; D(h) = {xÎR | x ¹ pn, nÎZ} Þ"xÎD верно, что и x ± pÎD (единичная окружность!). 2) "xÎD tg(x + p) = tgx и сtg(x + p) = сtgx (формулы приведения), поэтому, p – период каждой из функций.Б) Пусть $Т | 0 < T < p и Т – период функции. Тогда: 1) "xÎD tg(x + T) = tgx. При x0 получим, что tgT = 0 Û T = pk, где kÎZ, что противоречит выбору числа Т.

2) "xÎD сtg(x + T) = сtgx. При xp2

получим, что ctg Tp2

0

Û –tgT = 0 Û T = pk, где

kÎZ, что противоречит выбору числа Т.Таким образом, p – основной период, что и требовалось доказать.

6. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске; записи!):

Докажите, что 3p является периодом функции y = tg13

x – ctg2x [D(y) = {xÎR | x ¹ pn2

,

nÎZ}].Домашнее задание: повторите тригонометрические формулы, Ч и Н тригонометрических

функций (есть в учебнике); определения и теорема о периодичности – по тетради; 1) Исследуйте на Ч и Н функции: а) f(x) = cos4x +

2sin1,5xsinx + 5x2; б) ytg ctg

2 4 sin cos

; в) y

b bb b

sinsin ; г) g(x) = (sinx)0,5;

д) h(x) = cosx xx

2

1

. 2) Докажите, что 1 – основной период функции {x}.

3) Докажите, что f(x) = 4ctg3x + 5sin4x периодична с периодом p. 4) Докажите, "f(x) $g(x) и h(x) | f(x) = g(x)sinx + h(x)cosx.

Урок 4, 5 4.09.Общие свойства периодических функций.

1. Проверка д / з : вопросы? 1) – ответы? [Ч; Н; Ч; –; –]. Как находили область определения в пункте в)? [sint < t (единичная окружность)!]; 2) В.: стр. 233 – 234; 3) [D(f) = {xÎR | x ¹ pn3

, nÎZ}]; 4) [Рассмотрим, например, функции g(x) = f(x)sinx и h(x) = f(x)cosx. Тогда,

g(x)sinx + h(x)cosx = f(x)(sin2x + cos2x) = f(x), что и требовалось доказать]2. Устно: приведите пример периодической функции, периодом которой: а) является любое действительное число; б) является любое рациональное число, но не является

никакое иррациональное [а) f(x) = c, сÎR; б) g xесли x Qесли x Q

( ), ,,

Î

10 – функция Дирихле]

3. Новый материал. Рассмотрим общие свойства периодических функций.1) Если функции f(x) и g(x) имеют период Т, то и функции h(x) = kf(x) ± mg(x), где

kÎR и mÎR; p(x) = f(x)g(x); q xf xg x

( )( )( )

имеют тот же период.

Доказательство. А) D(h) = D(p) = D(f)ID(g); D(q) = {xÎ D(f)ID(g) | g(x) ¹ 0}. Так как f(x) и g(x) имеют период Т, то x ± TÎD(f) и x ± TÎD(g), следовательно, x ± TÎD(f)ID(g). Рассмотрим x | g(x) ¹ 0, тогда g(x + T) = g(x) ¹ 0, то есть, "xÎD верно, что и x ± ТÎD.Б) "xÎD h(x + Т) = kf(x + Т) ± mg(x + Т) = kf(x) ± mg(x) = h(x); p(x + T) = f(x + T)g(x + T) =

f(x)g(x) = p(x); q x Tf x Tg x T

f xg x

q x( )( )( )

( )( )

( )

.

Таким образом, утверждение доказано.Примеры (укажите период функции, воспользовавшись доказанной теоремой, и найдите

другой способ обоснования). А) h(x) = 3 sinx + cosx; T = 2p [h(x) = 2sin(x + p3

)] Б) p(x) =

sinxcosx; T = 2p [p(x) = 0,5sin2x] В) q xxx

( )sincos

; T = 2p [q(x) = tgx]

3

В доказанном утверждении не говорится о том, что найденный период – основной, что видно из примеров б) и в)!2) Если Т – период функции f(x), то и –Т является периодом f(x).Доказательство. А) "xÎD(f) верно, что и x ± (–T) = x TÎD(f).Б) "x’ÎD(f) f(x + (–T)) = f(x – T) = f(x), так как "x’ÎD(f) f(x’ + T) = f(x’) (x’ = x – T).3) Если T1 и Т2 – периоды функции f(x), то и T = Т1 + Т2 является периодом f(x).Доказательство. А) "xÎD(f) верно, что и x ± T1ÎD(f), следовательно (x ± Т1) ± Т2 = x ± (Т1

+ Т2) = x ± T ÎD(f).Б) "xÎD(f) f(x + T) = f(x + (Т1 + Т2)) = f((x + Т1) + Т2) = f(x + Т1) = f(x).Следствие. "nÎN если Т – период функции f(x), то и nТ является периодом f(x).Доказательство. Для n = 1 – очевидно. Пусть утверждение верно при n = k, докажем, что оно верно при n = k + 1. А) "xÎD(f) верно, что и x ± kTÎD(f), следовательно, x ± (k + 1)T = (x ± kT) ± TÎD(f). Б) "xÎD(f) f(x + (k + 1)T) = f((x + kT) + T) = f(x + kT) = f(x).

Почему это свойство верно "nÎZ \ {0}? [свойство 2]4) Если T – основной период функции f(x), то {nT | nÎZ \ {0}} – множество всех периодов f(x).Доказательство. То, что эти числа являются периодами – уже доказано. Пусть $Т’ > 0 – период функции и Т’{nT | nÎZ}. Так как T – основной период, то Т’ > T, то есть, $kÎN | kT < T’ < (k + 1)T. Тогда T’’ = T’ – kT – также период функции (свойства 2 и 3), причем, 0 < T’’ < T, что противоречит условию. Случай, когда T’ < 0 сводится к рассмотренному по свойству 2.

Свойства 2 – 4 вместе с ранее доказанными нами утверждениями позволяют указать множество периодов элементарных функций: для {x} –Z \ {0}; для sinx и cosx – {2pn}; для tgx и ctgx – {pn}, где nÎZ \ {0}.5) График функции f(x), имеющей период Т, отображается на себя при Tm , где

m nT ; 0 , "nÎZ \ {0}.Для построения какого графика это свойство уже применялось? [{x}]

Доказательство. "nÎZ \ {0} f(x + nT) = f(x), что и определяет соответствующий параллельный перенос вдоль оси x.

Свойства 6) и 7) мы рассмотрим на следующем уроке (можно оставить место).4. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске; записи!):

1) Вычислите: sin( )

93053

6

tgp [ 3

2].

2) Приведите к значению тригонометрической функции наименьшего положительного

аргумента: а) ctg673° [–tg43°]; б) cos

547p

[ sin314p

]; в) sin(2 – 7,2p) [

cos

710

2p

]

3) Докажите, что p не является периодом функции y = tg(sinx).

[От противного: "xÎD(y) –tg(sinx) = tg(sinx), что не выполняется, например, при xp2

]

4) Является ли периодической функция h(x) = sin x2 ?

[Нет, так как D(h) = [0; +µ), то есть, $xÎD(h) | x – TD(h)]5) Докажите, что функция g(x) = {x2} не является периодической.

[От противного, тогда "xÎR {(x + T)2} = {x2}. При x = 0 получим, что Т2ÎZ; тогда при x = 1 получим, что ТÎQ, а при x = 2 получим, что ТQ – противоречие!]

Следующий урок – с/р!Домашнее задание: теория – по тетради и В.: стр. 232 – 234; повторите формулы

приведения и основные свойства тригонометрических функций.

Докажите, что: а) 15 является периодом функции y = {2,6x}; б) p2

4

является периодом функции f(x) = ctg(2x – 1); в) функция g(x) = tgxx

является четной и число p не является ее периодом; г) 32p

не

является периодом функции y = |sinx| – cosx. В.: №518 (1); №506 (1).

Урок 6, 7 9.09.Самостоятельная работа №1. Свойства и графики тригонометрических функций.

1. Проверка д / з : вопросы? [в) противоречие при x = 1; г) противоречие при x = 0]. №518 (1) [от противного, можно взять, например, x = 0 и x = 4p2]2. Самостоятельная работа №1 (на листочках; 15 – 20 минут).3. Новый материал. На основании известных нам свойств тригонометрических функций можно построить их графики.

Выпишем свойства функции y = sinx, анализируя как отразится на графике каждое из них. Изобразим декартову систему координат (на доске и в тетрадях).1) D(y) = R Существуют точки с любыми абсциссами2) E(y) = [–1; 1] График лежит в полосе между прямыми y = –1 и y = 13) 2p – основной период Исследуем на [–p;p]4) функция – нечетная Исследуем на [0;p]5) а) sin(p – x) = sinx Исследуем на [0;0,5p]

б) sin0 = 0; sinp2

= 1; sinp6

= 0,5; sin

p4

22

» 0,7; sin p3

32

» 0,85;

Отмечаем соответствующие точки в системе координат, затем строим график на [0;0,5p]. Используя указанные свойства функции получаем график на R.Он называется синусоидой

Остальные свойства функции можно получить, используя построенный график:6) Нули функции: y = 0 при x = pn, nÎZ7) Промежутки знакопостоянства: y > 0 при xÎ

n ZÎ (pn; p + pn); y < 0 при xÎ n ZÎ ( –p + pn; pn)

8) Монотонность: функция возрастает на каждом промежутке вида

pp

pp

22

22n n; ;

убывает на каждом промежутке вида p

pp

p2

232

2

n n; ; где nÎZ

9) Экстремальные значения функции:

max(sinx) = 1 при x = p

p2

2 n ; min(sinx) = –1 при x = p

p2

2 n ; где nÎZ

4. Упражнения. Пользуясь построенным графиком:

1) Вычислите: а) sin

p12

; б) sin76p

[а) »–0,3; б) –0,5]

2) Найдите x | а) sinx = 0,5; б) sinx = 22

[а) x = p p6

2 n или x = 56

2p

p n , nÎZ; б) x =

p

p4

2 n или x = 34

2p

pn , nÎZ]

3) Определите знаки чисел: а) sin1,9p; б) sin(–3,5) [а) –; б) +]

4) Сравните: а) sin47p

и sin67p

; б) sin(–5) и sin(–6) [a) >; б) >]

5. Новый материал. Выпишем свойства функции y = tgx, анализируя как отразится на графике каждое из них. Изобразим декартову систему координат (на доске и в тетрадях).1) D(y) = {xÎR | x ¹ 0,5p + pn, nÎZ} Не существуют точек с такими абсциссами2) E(y) = R Существуют точки с любыми ординатами3) p – основной период Исследуем на (–0,5p; 0,5p)

5

4) функция – нечетная Исследуем на [0; p2

)

5) tg0 = 0; tgp6

= 33

» 0,55;

tgp4

= 1; tgp3

3 » 1,7

Отмечаем соответствующие точки в системе

координат, затем строим график на [0; p2

). Используя

указанные свойства функции получаем график на D.Он называется тангенсоидой (асимптоты!)

Остальные свойства функции можно получить, используя построенный график:6) y = 0 при x = pn, nÎZ7) y > 0 при xÎ

n ZÎ (pn; 0,5p + pn); y < 0 при xÎ n ZÎ ( –0,5p + pn; pn)

8) Функция возрастает на каждом промежутке вида

pp

pp

2 2n n; , где nÎZ;

промежутков убывания нет 9) Экстремальных значений функции не существует

10) Асимптоты: прямые, имеющие уравнения x n n Z Îp

p2

,

6. Упражнения. Пользуясь построенным графиком:

1) Вычислите: а) tg512p

; б) tg

34p

[а) »5; б) 1]

2) Найдите x | а) tgx = 3 ; б) tgx = 33

[а) x = p p3 n , nÎZ; б) x =

pp

6n , nÎZ]

3) Определите знаки чисел: а) tgp 2 ; б) tg(–4) [а) +; б) –]

4) Сравните: а) tg65p

и tg75p

; б) tg(–1,5) и tg(–1) [a) <; б) <]

Домашнее задание: теория – по тетради и В.: стр. 242 – 244 и 252 – 254 (выборочно); постройте графики функций y = cosx и y = ctgx. Пользуясь

построенными графиками: 1) вычислите: а) cos

p8

; б) cos53p

; в)

сtgp7

; г) ctg

56p

; 2) найдите x | a) cosx = 32

; б) cosx = – 0,5; в)

ctgx = –1; г) сtgx = 33

; 3) определите знаки чисел: а) cos p 3 ; б)

cos4; в) сtg(–p 2 ); г) сtg 2 3 ; 4) сравните: а) cos38p

и cos49p

; б) cos(–

2) и cos(–3); в) сtg59p

и сtg79p

; г) сtg

p11

и сtg

211p

. Докажите,

что"f(x) $g(x) и h(x) | f(x) = g(x)p(x) + h(x)r(x), где p(x) и r(x) – произвольные заданные функции, определенные на R, и имеющие несовпадающие нули.

Урок 8, 9 10.09.Вычисление периодов некоторых функций.

1. Разбор с / р . 2. Проверка д / з : вопросы? Как называются графики функций y = sinx и y = tgx? Как вы

думаете, как называются графики y = cosx и y = ctgx? Почему? [ cos sinx x

p2

;

ctgx tg x

p2

] То есть, графики этих функций можно было получить из уже

построенных с помощью преобразований на координатной плоскости.

6

Доп. [ g xf xp x

( )( )( )

2 ; h x

f xr x

( )( )( )

2 во всех точках, таких что p x( ) ¹0 и r x( ) ¹0 . В тех

точках, где p x( ) 0 , возьмем h xf xr x

( )( )( )

, а g x = C. В тех точках, где r x( ) 0 , возьмем

g xf xp x

( )( )( )

, а h x = C]

3. Новый материал. Продолжим изучение свойств периодических функций.

6) Если T – основной период функции f(x), то T’ = Tk

– основной период функции

g(x) = f(kx) (kÎR, k > 0).

Доказательство. 1) "xÎD(g) верно, что x ± T’ = xTk

kx Tk

± ±

ÎD(g), так как если xÎD(g), то

kxÎD(f), значит, kx ± TÎD(f).

2) "xÎD(g) g(x + T’) = g xTk

f k xTk

= f(kx + T) = f(kx) = g(x).

3) Пусть T’ – не основной период функции g(x), то есть, $T’’ | 0 < T’’ < T’ и T’’ – период

функции g. Обозначим: t = kx, тогда f(t) = gtk

. По доказанному, kT’’ – период функции f,

но kT’’ < kT’ = T – противоречие с тем, что ее основной период – Т!Примеры (показать на графиках).

а) g(x) = sin2x; T = 2p; k = 2; T’ = p; б) g(x) = {13

x}; T = 1; k = 13

; T’ = 3.

4. Упражнения. Найдите основные периоды функций. В пунктах а) – в) постройте графики.

а) f(x) = cos0,5x; б) g(x) = 2tg1,5x; в) h(x) = 0,5ctgpx2

; г) tg

x

p8

; д) cos x 2 ; е) {x + px}

[а) 4p; б) 23p

; в) 2; г) p; д) p 2 ; е) 1

1p ]

5. Новый материал. Вспомните определение НОК (k; l), где kÎN, lÎN. Сформулируем аналогичное определение для произвольных положительных

действительных чисел k и l:

Определение. Если k > 0, l > 0, то НОК (k; l) = mÎR | mk

NÎ ; ml

NÎ и m – наименьшее.

Примеры и упражнения (1) – 4) – подбор!).

1) НОК (5,2; 1) = 26; 2) НОК 12

13

;

= 1; 3) НОК (1,4; 2,1) = 4,2; 4) НОК 4 3 6 3; = 12 3 ; 5)

НОК 2 6 167

, ;

= НОК

135

137

;

= 13, так как НОК (5; 7) = 1; 6) НОК

1053

111

;

= НОК

1053

10110

;

= 10; 7) НОК 2 2 5; не существует, так как: пусть m

n N2 2

Î и m

k N5 Î , тогда 2n 2 = k

5 Û nk

Q 85

– противоречие.

Теперь мы готовы рассмотреть последнее свойство периодических функций.7) Если Т – основной период функций f(x) и g(x), то основным периодом функции

h(x) = f(px) + g(qx) является T’ = mT, где m = НОК 1 1p q

;

.

Доказательство – н/об на дом.Пример. Найдем основной период функции f(x) = 3sin5,3x – cos11x.

7

Основной период функций sinx и cosx равен 2p; p = 5,3; q = 11; m = НОК 1

5 31

11,;

=

НОК 1053

111

;

= 10; T’ = 20p.

6. Письменно (самостоятельно в тетрадях с устной проверкой):1) В.: стр. 234, №508 (1, 2, 5) [1) 15; 2) 1; 5) 10]; 2) В.: стр. 237, №517 (2, 4) [2) 80p; 4) p (частное функций с одинаковым периодом!)]

3) h(x) = 4ctg3x + 5sin4x [p; p – основной период функций ctgx и sin2x; НОК 12

13

;

= 1]

4) В.: стр. 238, №518 (3)

[От противного; НОК 112

;

не существует: если mÎN, то m N2 ]

Домашнее задание: теория – по тетради; доказательство свойства 7; повторите преобразования графиков на координатной плоскости. В.: №508 (4, 7); №517 (1, 5). Найдите основные периоды функций (а) – в) –

постройте графики): а) {2x}; б) 0,5sin0,5x; в) 3ctg0,2x; г) x 2

2

; д) –

cos1,6x; е) 0,1tg(0,1px).

Урок 10, 11 12.09.Преобразования графиков тригонометрических функций.

1. Проверка д / з : вопросы? №508 [4) 0,5; 7) 1]; №517 [1) 2p; 5) 20p]; графики – на доске (по необходимости); [а) 0,5; б) 5p; в) 4p; г) 2 ; д) 1,25p; е) 10]2. Устно: дан график функции y = f(x) (на доске). Объясните, как получить из него графики: а) y = f(x – a) + b; б) y = –f(–x); в) y = |f(x)|; г) |y| = f(x); д) |y| = |f(x)| (показать). Какие из них являются функциями? [а) – в)].3. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске):

Постройте графики функций (вспомнить записи):

1) В.: стр. 244, №539 (9); 2) y = sin(–x – p3

); 3) В.: стр. 254, №561 (11); 4) В.: стр. 245,

№540 [г) – порядок!] 5) а) y = [tgx]; б) y = tg[x]; в) y = {tgx}; г) y = tg{x}.4. Повторение. Приведите к значению тригонометрической функции наименьшего положительного аргумента (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске): а) sin20; б) cos30 [а) cos(6,5p – 20); б) sin(30 – 9,5p)].Домашнее задание: повторите формулы сложения: f( ± b), где f – тригонометрические

функции); В.: №568 (3, 7); №539 (6); №561 (6); №562; №569; 1) Для функции f(x) = cosx постройте: а) [f(x)]; б) f([x]); в) {f(x)}; г) f({x}); 2) Найдите основной период функции h(x) = 3tg1,75x + 5cos2x.

Урок 12 16.09.Гармонические колебания.

1. Проверка д / з : вопросы? Период h(x)? [4p, так как НОК (47

; 1) = 1]

Графики – заготовить на доске!2. Новый материал. Тригонометрические функции часто используют для описания различных физических процессов, связанных с колебательным движением. Рассмотрим простейший из этих процессов, называемый гармоническими колебаниями.

8

Пусть точка движется по окружности радиуса R с постоянной угловой скоростью w. Выберем декартову систему координат так, чтобы ее начало совпало с центром этой окружности. За промежуток времени t точка проходит путь wt по окружности. Если Р – начальное положение точки, то по истечении времени t ее положение – Рwt + (x; y) (см. рис.). Тогда, x = Rcos(wt + ); y = Rsin(wt + ), где x и y – координаты точки в момент времени t.

Полученные уравнения задают зависимость координат точки от времени. Зависимости такого вида и называются гармоническими колебаниями, причем, так как

cosx = sin(p2

+ x), то первое уравнение можно переписать так: x = Rsin(wt + + p2

), то

есть оба уравнения имеют одинаковый вид. В дальнейшем, условимся записывать уравнение произвольных гармонические колебания в виде: f(t) = Rsin(wt + ), причем A = |R| > 0 – амплитуда колебаний (показывает наибольшее значение функции); w – угловая частота (показывает количество полных колебаний точки за 2p единиц времени); – начальная фаза колебаний (показывает начальное положение точки).

Условились также, что w > 0; Î[0; 2p). Кроме того, рассматривается величина Т = 2pw

> 0

– период колебания (показывает время одного полного колебания).Примеры физических величин, изменяющихся по этому закону: отклонение от

положения равновесия груза на пружине или на невесомой нити (математический маятник), напряжение и сила переменного тока и пр.

Для любых гармонических колебаний можно определить их параметры и построить график.

Пример. f(t) = 3sin(–0,5t + p4

). Преобразуем: f(t) = –3sin(0,5t – p4

) Û f(t) = –3sin(0,5t + 74p

).

Параметры: А = 3; w = 0,5; T = 4p; = 74p

.

График: f(t) = –3sin0,5(t – p2

) (показать на доске; параметры – самоконтроль!)

3. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске):В.: стр. 247, №541 (3, 4).Домашнее задание: В.: стр. 245 – 246, п. 7; №541 (1, 2, 6); .повторите формулы

двойного, тройного и половинного аргумента; №568 (4; 7); №591 (4; 7); №596 (5); стр. 324, К_10, №7.

Урок 13, 14 17.09.Сложение гармонических колебаний.

1. Проверка д / з : вопросы?

2. Устно: 1) Найдите основной период функции f(x) = sin3xcosp10

– cos3xsinp10

.

[f(x) = sin(3x – p10

); T = 23p

]

2) Упростите: а) 22

22

cos sinx x ; б) 35

45

sin cost t ; в) sin cosx x 3 .

[а) cos sinx x

p p4 4

; б) sin(t – ), где cos ,

sin

3545

; в) 23

sin x

p]

3. Новый материал. 1) Рассмотрим уравнение произвольного гармонического колебания

9

f(t) = Rsin(wt + ) и преобразуем правую часть: Rsin(wt + ) = R(sinwtcos + coswtsin)

= Rcossinwt + Rsincoswt = R1sinwt + R2coswt = R1sinwt + R2sin(wt + p2

), где R1 = Rcos;

R2 = Rsin. Таким образом, любое гармоническое колебание можно представить в виде

суммы двух гармонических колебаний с одинаковой частотой.2) А) Рассмотрим сумму двух гармонических колебаний с одинаковой частотой и нулевой

начальной фазой: R1sinwt + R2coswt = R RR

R Rt

R

R Rt1

222 1

12

22

2

12

22

sin cosw w = Rsin(wt + ),

где R R R 12

22 ;

cos ,

sin

R

R RR

R R

1

12

22

2

12

22

.

Б) Если колебания имеют ненулевые начальные фазы, то R1sin(wt + 1) + R2sin(wt + 2) = (R1cos1+ R2cos2)sinwt + (R1sin1+ R2sin2)coswt = C1sinwt + C2coswt, то есть, мы приходим к случаю А). Продолжив преобразования можно в общем виде получить параметры суммы гармонических колебаний. Желающие – прочтут в учебнике.

Таким образом, сумма гармонических колебаний одинаковой частоты есть гармоническое колебание той же частоты.

Полученные факты позволяют при описании физических процессов представлять сложные гармонические колебания в виде суммы двух более простых и наоборот, находить уравнение результирующих колебаний для величины, участвующей в двух колебательных движениях с одинаковой частотой.4. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске):1) В.: стр. 273, а) №607 (2; выписать параметры колебания)

[25sin(3t + j – p4

), где cos ,

sin

j

j

7252425

; А = 25; w = 3; T = 23p ; = j – p

4];

б) №608 (2; без точек экстремума)

[13sin(2x – ) = 13sin2(x – 0,5), где cos ,

sin

5131213

; ±13; график!];

в) №609 (2; 4) [2) 2sin(3t – p3

); 4) 3 6 2

22

4( )

sin

t

p]

2) Найдите основной период и экстремальные значения функции:

а) 3 3 3sin cosx xp p [6sin

xp

p

3

; T = 2p2; ±6]

б) 161

12

2

cos

ctg

[1 – 2cos4, ¹ pn, где nÎZ; T = p (область определения!); max: 3; min: –1]

в) ctg t tg t

t

2 2

132

8

sin

p , t Î

08

;p

[28sin t

; функция не является периодической! max: не

существует; min: 2 (обоснования!)]3) Постройте график уравнения: |y| = sin4|x| – cos4|x| [|y| = –cos2|x|; график!]

Следующий урок – к/р (тетради)!Домашнее задание: В.: п. 7 (стр. 271, 272); №607 (3; выписать параметры колебания);

№608 (4; без точек экстремума); №609 (1; 3); стр. 324, К_11, №6. 1) 10

Дана функция f(x) = tg2x – 3ctg0,8x; а) исследуйте ее на четность; б) докажите по определению, что 15p – ее период; в) найдите ее основной период. 2) Найдите основной период и экстремальные значения функции y = sinxcosxcos2xcos4x.

Урок 15, 16 19.09.Контрольная работа №1.

1. Проверка д / з : вопросы?2. Контрольная работа №1 (90 минут).

Ответы и решения.

I вариант. II вариант.№1. Четная. №1. Нечетная.

№2. А) 5; 1 2 5 2 , ; –5. В) 83p

. №2. А) –1; 0; 1 1 5 3, . В) 12p.

№3. y = 0,5sin4x, T = p, так как x n¹ p

p2

, nÎZ.

max: 0,5 (проверить, что достигается!).

№3. y = 0,5sin4x, T = p, так как x n¹ p

p2

, nÎZ.

min: –0,5 (проверить, что достигается!).

№4. y t

0 5 2

6, sin

p;

A = 0,5; w = 2; T = p; = p3

.

№4. y t

2 0 5

3sin ,

p;

A = 2; w = 0,5; T = 4p; = 116p .

№6. Пусть $T ¹ 0 | "xÎD tg[x + T] = tg[x] Û [x + T] – [x] = pn, nÎZ. Так как числа этого вида при n ¹ 0 не являются целыми, то "xÎD [x + T] = [x], что невозможно.

№6. Пусть $T ¹ 0 | "xÎD cos[x + T] = cos[x]. Û [x + T] = ± [x] + 2pn, nÎZ. Так как числа этого вида при n ¹ 0 не являются целыми, то "xÎD [x + T] = ±[x], что невозможно.

№7. Применим тождество: tgmx tgkxm k x

mx kx

sin( )cos cos

. Для этого умножим и разделим

левую часть на sin2x (I вариант) или на sinx (II вариант).

11

Урок 17 23.09.Решение уравнений вида sint = m.

1. Разбор к / р . 2. Новый материал. Мы приступаем к решению простейших тригонометрических уравнений. Особенностью тригонометрических уравнений является то, что в большинстве случаев они имеют бесконечное множество решений. Для записи решений нам потребуется ввести новые понятия.

Определение. "mÎ[–1; 1] arcsinm = x | 1) xÎ

p p2 2

; ; 2) sinx = m.

Примеры (обоснования!). 1) arcsin0 = 0, так как 0Î

p p2 2

; и sin0 = 0; 2) arcsin1 = p2

;

3) arcsin 22

= p4

; 4) arcsin(–0,5) = p6

; 5) arcsin(–1,5) не существует.

Вопросы. 1) Почему mÎ[–1; 1]? [Множество значений синуса]

2) Почему xÎ

p p2 2

; ? Можно ли было выбрать другой промежуток? Какой? [Любой

промежуток возрастания синуса от –1 до 1 или убывания синуса от 1 до –1] 3) Как связаны арксинусы противоположных чисел? Почему?

Итак, "mÎ[–1; 1] arcsin(–m) = – arcsinm (см. рис. 1).

Теперь рассмотрим решение уравнения sint = m (см. рис. 1, дополнить).А) Если |m| > 1, то решений нет.Б) Если m = 0, то t = pk, kÎZ.

Если m = 1, то t = p2

+ 2pk, kÎZ.

Если m = –1, то t = –p2

+ 2pk, kÎZ.

В) Для остальных m: t = arcsinm + 2pl, lÎZ или t = p – arcsinm + 2pn, nÎZ.Применима ли эта формула для частных случаев пункта Б)? [Да, но запись по ней

менее удобна]Примеры (два вида записи: «в строчку» или «в столбик»).

1) sint = 32

Û t = arcsin 32

+ 2pl, lÎZ или t = p – arcsin 32

+ 2pn, nÎZ Û

t = p3

+ 2pl, lÎZ или t = 23p

+ 2pn, nÎZ. Ответ: {p3

+ 2pl | lÎZ} {23p

+ 2pn | nÎZ}.

2) sinx = 0,3 Û x = arcsin0,3 + 2pl, lÎZ или x = p – arcsin0,3 + 2pn, nÎZ. Ответ: {arcsin0,3 + 2pl | lÎZ} {p – arcsin0,3 + 2pn | nÎZ}.

3) siny = 27

Û y = arcsin

27 + 2pl, lÎZ или y = p – arcsin

27 + 2pn, nÎZ Û

y = – arcsin27

+ 2pl, lÎZ или y = p + arcsin27

+ 2pn, nÎZ.

Ответ: {– arcsin27

+ 2pl | lÎZ} {p + arcsin27

+ 2pn | nÎZ}.

Можно ли преодолеть неудобство записи решений уравнения в виде объединения двух множеств? Оказывается, что можно: t = (–1)karcsinm + pk, kÎZ.

Рис. 1

12

Проверим, что такая формула задает те же самые множества решений [при k = 2l – первое множество, а при k = 2n – 1 – второе]

Запишем, например, решение уравнения 3) другим способом:

{(–1)k + 1arcsin27

+ pk | kÎZ}

Домашнее задание: В.: стр. 281 – 285, п. 1; №636 – №639; №7 из к/р. Индивидуально (в зависимости от ошибок, допущенных в к/р): 1) (по вариантам) найдите основной период и экстремальные значения функции

yx сtgxсtg x

cos2

1 2 | yx сtg xсtg x

sin ( )2 1

1

2

2 ; 2) для функции f(x) = sinx постройте:

а) [f(x)]; б) f([x]); в) {f(x)}; г) f({x}).

Урок 18, 19 24.09.Решение уравнений вида cost = m, tgt = m, ctgt = m.

1. Проверка д / з : вопросы? 1) y x x n n Z ¹ Î14

4sin , |p . Следовательно, Т = p; экстремальные

значения: ±14

(достигаются!); 2) индивидуально.

2. Новый материал. Для решения тригонометрических уравнений, содержащих косинус, нам потребуется ввести понятие арккосинуса.Определение. "mÎ[–1; 1] arccosm = x | 1) xÎ 0;p ; 2) cosx = m.

Примеры (обоснования!). 1) arccos0 = p2

, так как p2Î 0;p и cos

p2

= 0; 2) arccos(–1) = p;

3) arccos 32

= p6

; 4) arccos

22 =

34p

; 5) arccos 3 не существует.

Вопросы. 1) Почему mÎ[–1; 1]? [Множество значений косинуса] 2) Почему xÎ 0;p ? Можно ли было выбрать другой промежуток? Какой? [Любой промежуток возрастания косинуса от –1 до 1 или убывания косинуса от 1 до –1] 3) Как связаны арккосинусы противоположных чисел? Почему?

Итак, "mÎ[–1; 1] arccos(–m) = p – arccosm (см. рис. 1).Теперь рассмотрим решение уравнения cost = m (см. рис. 1, дополнить).

А) Если |m| > 1, то решений нет.

Б) Если m = 0, то t = p2

+ pn, nÎZ.

Если m = 1, то t = 2pn, nÎZ.Если m = –1, то t = p + 2pn, nÎZ.

В) Для остальных m: t = ±arccosm + 2pn, nÎZ.Применима ли эта формула для частных случаев пункта Б)? [Да, но запись по ней

менее удобна]Обратите внимание, что уравнение cost = m (также, как и уравнение sint = m) можно

было исследовать, пользуясь графиками тригонометрических функций, а не единичной окружностью!

Рис. 1

13

Примеры. 1) cost = = 32

Û t = ±arccos

32 + 2pn, nÎZ Û t = ±(p – arccos 3

2) + 2pn,

nÎZ Û t = ±56p

+ 2pn, nÎZ. Ответ: {±56p

+ 2pn | nÎZ}

2) cosy = 175

Û y = ±arccos 175

+ 2pn, nÎZ. Что необходимо было сделать, прежде чем

записывать решения? [Проверить, что 175

< 1] Ответ: {±arccos 175

+ 2pn | nÎZ}.

3) cosx = –0,2 Û x = ±arccos(–0,2) + 2pn, nÎZ Û x = ±(p – arccos0,2) + 2pn, nÎZ.Ответ: {±(p – arccos0,2) + 2pn, nÎZ | nÎZ}.

По аналогии с арксинусом и арккосинусом попробуйте сформулировать определения арктангенса и арккотангенса. В чем разница? [Е(tgx) = E(ctgx) = R]

Определение. 1) arctgm = x | 1) xÎ

p p2 2

; ; 2) tgx = m.

2) arcctgm = x | 1) xÎ 0;p ; 2) ctgx = m.

Примеры (обоснования!). 1) arctg0 = 0, так как 0Î

p p2 2

; и tg0 = 0; 2) arcctg0 = p2

; 3)

arctg(–1) = p4

; 4) arcctg(–1) = p4

; 5) arctg

33 =

p6

; 6) arcctg

33 =

23p

.

Как связаны а) арктангенсы; б) арккотангенсы противоположных чисел? Почему?"mÎR 1) arctg(–m) = – arctgm; 2) arcctg(–m) = p – arcctgm (показать на графиках функций tgx и ctgx).

Рассмотрим решения уравнений tgt = m и ctgt = m. "mÎR такие уравнения имеют решения, причем на каждом промежутке длины p – единственное (показать на графиках). Из каких свойств функций это следует? [Множество значений; монотонность]

Поэтому, нет смысла рассматривать частные случаи, а можно сразу, учитывая периодичность этих функций, записать множества решений: {arctgm + pn | nÎZ} и {arcсtgm + pn | nÎZ} соответственно.

Те же результаты можно было получить, рассматривая не графики, а оси тангенсов и котангенсов на единичной окружности (см. рис. 2).

Примеры. 1) tgt = 1 Û t = arctg1 + pn, nÎZ Û t = p

p4 În n Z, . Ответ: {

p4

+ pn | nÎZ}

2) tgx = –3,6 Û t = arctg(–3,6) + pn, nÎZ Û t = –arctg3,6 + pn, nÎZ. Ответ: {–arctg3,6 + pn | nÎZ}

3) ctgy = – 3 Û y = arcctg(– 3 ) + pn, nÎZ Û p –arcctg 3 + pn, nÎZ Û y = 56p

+ pn, nÎZ.

Ответ: {56p

+ pn | nÎZ}

Найдите другой способ решения этого уравнения [ctgy = – 3 Û tgy = – 33

Û y = –

arctg 33

+ pn, nÎZ Û y = –p6

+ pn, nÎZ] Почему получились разные ответы? [Ответ – один

и тот же, но записан разными способами!]

Рис. 2

14

При различных способах решения тригонометрических уравнений часто получаются ответы, записанные по разному, причем не всегда это видно сразу!3. Письменно (самостоятельно в тетрадях с устной проверкой и проверкой на доске): Решите уравнения:

1) а) cost = mm

2 12 ; б) tgt = – m

m

2 12 ; в) сtgt = – m

m

2 12 , где m > 0.

[а) при m ¹ 1 решений нет; при m = 1 {2pn | nÎZ}; б) –arctg mm

2 12 + pn, nÎZ; в) p – arcсtg

mm

2 12 + pn, nÎZ]

2) В.: стр. 294, №655 (2; 4; 14) [2) ± p p24 3

n , nÎZ; 4) p p18 12

n , nÎZ либо

p p36 12

k , kÎZ (в

зависимости от способа решения); 14) (–1)n 13

arcsin0,4 + pn3

, nÎZ]

Домашнее задание: В.: стр. 286 – 290, пп. 2 – 3; №641; №643; №645; №646; №648;

№650 (1 – 3); №652. 1) Решите уравнения: а) cost = 25

; б) cosx =

2 aba b , где а > 0; b > 0. 2) Вычислите: tg ctg tg ctg4 4 4 4

24 24524

524

p p p p .

Урок 20, 21 26.09.Основные методы решения тригонометрических уравнений.

1. Проверка д / з : вопросы?2. Устно: Существуют ли числа (обоснования!): а) arcsin( 2 ); б) p | arcsinp = 2 ; в) arccosp; г) p | arccosp = p; д) arctg100; е) p | arctgp = 100; ж) arcctg 2 2 ; з) p | arcctgp = 2 2 ? [а) нет; б) да; в) нет; г) да; д) да; е) нет; ж) да; з) да]3. Новый материал. Рассмотрим основной метод решения тригонометрических уравнений. Это – способ замены переменных (подстановки). Он применяется для уравнений вида f(g(t) = m, где хотя бы одна из функций – тригонометрическая.

Примеры. 1) 2cos(3t + p6

) = 3 ; x = 3t + p6

; cosx = 32

Û x = ±p6

+ 2pn, nÎZ; t = ±p18

– p18

+

23pn

, nÎZ. Ответ можно записать и по другому. Ответ: {– p9

+ 23pn | nÎZ} { 2

3pk

| kÎZ}.В конце прошлого урока мы решали более простые уравнения такого же вида, где

замена переменных была «неявной»!2) 2sin3x + 3sin2x = 2sinx; sinx = y; 2y3 + 3y2 = 2y Û y(2y2 + 3y – 2) = 0 Û y = 0 или y = 0,5 или

y = –2; x = pk, kÎZ или x = (–1)n p6

+ pn, nÎZ.

3) |sinxcos3x + cosxsin3x| = 1 Û |sin4x| = 1; t = 4x; |sint| = 1 Û t = p2

+ pn, nÎZ (единичная

окружность!); x = p p8 4

n , nÎZ.

Обратите внимание, что разбивать уравнение с модулем на совокупность двух уравнений нерационально!4. Письменно (самостоятельно в тетрадях с устной проверкой и проверкой на доске):

1) В.: стр. 294, №656 (17) [p p16 4

n , nÎZ или

14

44

arctgkp , kÎZ]

sin0,3xcos0,3x = –0,5 [ 56

103

p pn , nÎZ]

2) В.: стр. 294, №655 (8; 15) [8) p p12 3

n , nÎZ;15) ±3arccos 29

– p2

+ 6pn, nÎZ]

12

23

22

32

sin cosx x [(–1)k p 26

+ p 26

+ pk 22

, kÎZ]

15

3) В.: стр. 294, №655 (9; 10; 13; 19) [9) 30

6 1p ( )n± , nÎZ; можно решать также с помощью

формулы понижения степени! 10) ±10° + 20° + 60°n, nÎZ; 13) Æ; ± 23

2p

pn , nÎN]

cos4(p x ) + cos2(p x ) = 2 [n2, nÎZ+]Домашнее задание: В.: стр. 291 –294, п. 4 (примеры 1, 2, 6 – 8); №655 (5; 6; 7; 11; 16; 18);

№656 (16); решите уравнение x2 – 2xcos2px + 1 = 0.

Урок 22 30.09.Основные методы решения тригонометрических уравнений.

Самостоятельная работа №2.1. Проверка д / з : вопросы?

Рассмотрим решение наиболее «неприятного» класса уравнений.2. Письменно (на доске и в тетрадях): а) sin(cos0,1x) = 0,5; б) tg(sin(2x)) = –2; в) sin(pcos2x) = 1

[а) cos0,1x = p

p6

2 n , nÎZ или cos0,1x = 56

2p

p m , mÎZ; отбор! x = ± 106

20arccosp

pk

, kÎZ; б) sin(2x) = –arctg2 + pn, nÎZ; p p2

23

1arctg (график или единичная

окружность); Æ; в) cos2x = 12

2 n , nÎZ; отбор! x = ± p

p6

k , kÎZ]

Домашнее задание: В.: №655 (12; 17); №656 (18); решите уравнения: 1) |cos10 x | = 22

;

2) tg(sin5t) = –1; 3) cos(p3

sinpy) = 32

; доп. к с/р.

3. Самостоятельная работа №2 (на листочках; 20 минут).

Ответы.

I вариант. II вариант.

№1. 23p

. №1. p2

.

№2. а) 2pn, nÎZ; б) ± 13

2n , nÎZ;

в) ± p

p2

n , nÎZ+.

№2. а) 16 6 2

1n np p p, nÎZ; б) n

12

, nÎZ; в)

±pn , nÎZ+.

№3. При аÎ[cos1; 1] x = (–1)karcsin(±arccosa) + pn, nÎZ; при остальных а – решений нет.

№3. При аÎ[–sin1; sin1] x =±arcсos(arcsina) + 2pn, nÎZ; при остальных а – решений нет.

Урок 23, 24 1.10.Частные методы решения тригонометрических уравнений.

1. Разбор с / р . 2. Проверка д / з : вопросы?3. Устно: 1) Решите в целых числах уравнение: 4n = 2k + 1 [Æ]; 2) При каких целых m уравнение px2 – x + m = 0 имеет корни? [kÎZ–];

3) Решите уравнения: а) x x

x

2 5 61

0

; б) x x2 4 1 0 [а) 6; б) –1; 2].

4. Новый материал. Ситуации, аналогичные заданию 3), часто складываются и при решении тригонометрических уравнений. Рассмотрим примеры.

16

1) (1 – sinx)(tg2x – 3) = 0 Û

sin ,

,

x

x n n Z

tgx

¹ Î

1

23

pp Û x k k Z± Î

pp

3, (единичная окружность!).

2) sinsin

40

xx Û

sin ,sin

4 00

xx¹

Û xk

k Zx n n Z Î

¹ Î

p

p4

,,

Û xn

n Z Îp p4 2

, или x k k Z Îp

p2

, (единичная

окружность!).

3) tg0,1x = tg0,9x Û sin ,

cos , cos ,0 8

0 1 0 90

xx x

Û sin , ,cos , ,cos ,

0 8 00 1 00 9 0

xxx

¹¹

Û

xn

n Zx k k Z

xl

l Z

Î

¹ Î

¹ Î

54

5 1059

109

p

p pp p

,,

,

; отбор корней:

54

5 10p

p pn

k¹ Û n k¹ 8 4 ; 54

59

109

p p pn l¹ Û n

l¹

8 49

Û n k¹ 8 4 .

Ответ: 5

48 4

pтn Z и n k k Z| ,Î ¹ Î

.

5. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске): Решите уравнения:

1) cos6xctgx = ctgx [p

pp

p2 3 Î

± Î

n n Z k k Z| | (единичная окружность)];

2) 1 3

20

cossin

xx

[ ( |± Î

pp

32 k k Z (единичная окружность)];

3) cosxcos2xcos4x = 18

[Проверить, что числа вида pn | nÎZ не являются корнями

данного уравнения, затем, умножить и разделить левую часть на sinx! sin , cos , ,

sin3 5 0 4 5 0

0x или x

x

¹

2

77

2 19

9 4p pk

k Z k m m Zn

n Z n l l ZÎ ¹ Î

Î ¹ Î

, ,( )

| , , ]

4) В.: стр. 294, №656 (12; 7; 6)

[12) ± Î

± Î

p p p p6 3 4 2

nn Z

kk Z ; 7) 2

512 4 12 4

0sin cosx x

p p;

35

125

3 12p p

p p Î Î

kk Z n n Z} ; 6)

coscos sin

25 7

0x

x x ;

p p4 2 Î

nn Z ]

Домашнее задание: В.: №656 (1 – 5; 8; 11; 14); решите уравнение: sin sinx x x 2 p . Повторите формулы понижения степени.

Урок 25, 26 3.10.Частные методы решения тригонометрических уравнений.

1. Проверка д / з : вопросы? Ответ в продиктованном уравнении? [ pp

Î1

2 k k N| ]

2. Устно: 1) Найдите ab

, если a2 – 4ab + 3b2 = 0; как называются такие уравнения?

[Если b ¹ 0, то 1 или 3; однородные]; 2) Понизьте степень выражения: 10sin25x [5(1 – cos10x)];3) Выразите cos6t – sin6t через cos2t и sin2t [cos2t(1 – 0,25sin2t)].3. Новый материал. Рассмотрим примеры тригонометрических уравнений, которые сводятся к квадратным уравнениям с помощью тригонометрических преобразований.1) 4sinx = 4sin2x + 3cos2x Û 4sinx = 4sin2x + 3(1 – sin2x); sinx = y; y2 – 4y + 3 = 0 Û y = 1 или

y = 3; x = p p2

2 În n Z, . Почему выражали cos2x, а не sin2x?

17

2) cos2x – 3sinxcosx = – 1 Û sin2x – 3sinxcosx + 2cos2x = 0; это однородное тригонометрическое уравнение! cosx ¹ 0, так как если cosx = 0, то и sinx = 0, что

одновременно невозможно; tg2x – 3tgx + 2 = 0 Û tgx = 1 или tgx = 2 Û x = p p4 În n Z, или x

= arctg k k Z2 Îp , . Можно ли было делить все члены уравнения на sin2x? [Да, и получить квадратное уравнение относительно ctgx]4. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске): Решите уравнения:

1) 3 – 3sin2x – 3cosx = 0 [cosx = 0 или cosx = 1; pp p

22 Î

În n Z k k Z| | ];

2) В.: стр. 297, №658 (3) и найдите корни этого уравнения, лежащие на

pp

2;

[y = sinx; 4y3 – 4y2 – y + 1 = 0; y = 1 или y = ±0,5; p

pp

p2

26

Î

± Î

n n Z k k Z| | ; показать два

способа: единичная окружность или двойные неравенства; ±p p p6

56 2

; ; ];

3) tgx – tgp2

1

x [tg2x – tgx – 1 = 0 и x

nn Z¹ Î

p2

, ; arctg k k Z1 5

2±

Î

p | ];

4) В.: стр. 297, №657 (2; 7; 9; 10) [2) два способа; Î

pp

4n n Z| ]; 7)

p p p20 5

15

17 5

Î

Î

nn Z arctg

kk Z| | ; 9) Можно ли разделить данное уравнение почленно на

cos4x? pp p p

23 7 Î

Î În n Z arctg k k Z arctg l l Z, | | ; 10) Понижение степени!

Î

arctg n n Z43

p | ; при сведении к однородному уравнению второй степени:

2 2 2 2 0 5 2arctg k k Z arctg n n Z Î Îp p| , | ];

5) sin cos6 6 716

x x [Сумма кубов! |sin2x| = 32

; ± Î

p p6 2

nn Z| ].

Следующий урок – с/р!Домашнее задание: В.: п. 5 (стр. 295 – 297); №656 (19; 13; 15); №657 (1; 5; 6; 11); №658

(2; 4; 6). Повторите формулы суммы, разности и произведения тригонометрических функций.

Урок 27, 28 7.10.Частные методы решения тригонометрических уравнений.

Самостоятельная работа №3.1. Проверка д / з : вопросы?

Рассмотрим уравнения, в которых формулы суммы и разности тригонометрических функций позволяют разложить левую часть на множители.2. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске):

В.: стр. 298, №659 (5; 11; 8; 7) [5) sin5x = 0 или cos4x = –0,5; p p pk

k Zn

n Z5 6 2

| |Î

± Î

; 11)

2sin1,5xsin0,5x = 2sin1,5xcos1,5x Û sin1,5x = 0 или sin x

p4 = 0 или cos

x2 4

p = 0;

23 4

32

2p p

pp

pk

k Z n n Z m m Z| | |Î

Î

Î

; 8) sin

cos cossincos

32

33

0x

x xxx

Û

6 323

2 30

2sin cos cos

cos cos cos

x x x

x x x

; p

pk

k Z n n Z3

63

| arccos |Î

± Î

; 7) 232

0 5 0 5 0cos sin , cos ,x

a x b x

18

; при a = b = 0 xÎR; при a = 0, b ¹ 0 p p3

23

Î

nn Z| ; при a ¹ 0, b ¹ 0

p pp

32

32 2 Î

Î

nn Z arctg

ba

m m Z| | ]

3. Новый материал. Еще один вид уравнений, которые встречаются достаточно часто: asinx + bcosx = c, где {a; b; c}ÌR, причем a2 + b2 ¹ 0. При с = 0 такое уравнение является однородным (I степени). А как его решать, если с ¹ 0? Наиболее естественный способ – использовать формулу сложения гармонических колебаний (формулу дополнительного

аргумента), то есть, привести уравнение к виду: a b x c2 2 sin , где cos ,

sin

a

a bb

a b

2 2

2 2

.

Полученное уравнение равносильно уравнению sin xc

a b

2 2 . Оно имеет решения т.

и т. т., когда c

a b2 21

. Существует и другие способы решения таких уравнений, один из

которых вы прочитаете дома в учебнике, а другой попробуете придумать сами.4. Письменно (на доске и в тетрадях): В.: стр. 299, №661 (2; 5)

[2) ( ) arcsin , | Î

17 85

854 5k arctg k k Zp ; 5) ( ) | Î

14 12

k k k Zp p

p ]

Домашнее задание: В.: п. 6 (стр. 298 – 299) и придумать еще один способ решения; №656 (20); №659 (3; 6; 10; 4); №661 (3; 4); решите уравнения: а) 1 +

sin2x = 2cosx + sinx; б) 2cos x

p3

= 1 – 2 3 sinx. Доп. к с/р.

5. Самостоятельная работа №3 (на листочках; 25 минут).

Ответы.

I вариант. II вариант.

№1. ± Î

Î23

2 2p

p pn n Z m m Z| | = 23pk

k Z| Î

;

0; ±23p .

№1. Î

Î

16 2

21n n n Z m m Zp

pp

p| | =

p p2

23

Î

kk Z| ;

56p ; p

6; p

2.

№2. а) pp p

42 Î

În n Z arctg m m Z| | ;

б) ± Î

pp

6k k Z| ; в) Æ.

№2. а) Î

Îp

p p4

2n n Z arctg m m Z| | ;

б) ± Î

pp

3k k Z| ; в) Æ.

Урок 29, 30 8.10.Решение тригонометрических уравнений, содержащих модули.

1. Разбор с / р . 2. Проверка д / з : вопросы? Какой еще способ возможен при решении уравнений вида asinx + bcosx = c? [Выразить через синус и косинус половинного аргумента: 2аsin0,5xcos0,5x + bcos20,5x – bsin20,5x = ccos20,5x + csin20,5x; уравнение сведется к однородному и, в отличие от универсальной подстановки, не потребуется делать проверки!]

Решим несколько тригонометрических уравнений, применяя стандартные приемы для их преобразований.3 Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске):

19

Решите уравнения:1) cos2x + cos22x + cos23x = 1 и найдите все решения, принадлежащие [3; 5] [Понижение

степени; cosxcos2xcos3x = 0; p

pp p p p

2 4 2 6 3 Î

Î

Î

n n Zk

k Zm

m Z| | | ; 76

54

32

p p p; ;

(единичная окружность)];

2) cos5x + cos3x = sin8x [Формулы сложения и двойного аргумента; cos4xsin(2,5x – p4

)cos(1,5x + p4

) = 0; p p p p p p8 4 10

25 6

23

Î

Î

Î

nn Z

kk Z

mm Z| | | ];

3) sin6x + cos4x = 1 – 6sinxcosx [Формулы синуса тройного и двойного аргументов; sin2x

= 0 или sin2x = 1 или sin2x = –1,5; p

pp

4 2 Î

Î

n n Zm

m Z| | ].

4 Устно: используя единичную окружность (на доске), решите уравнения:

а) cos x 12

; б) cos|x| = 1; в) sin2x = 0,5; г) sin|x| = –1.

[а) ± Î

pp

3k k Z| ; б) 2pn n Z| Î ; в)

p p4 2 Î

kk Z| ; г) ±

Î

32

2p

pn n Z| ].

5. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске): 1) Найдите решения уравнения 3sin2x + 3cosx + cos2x = 1, удовлетворяющие неравенству

sinx > 0 [cosx = 2 или cos ,

sinxx

0 50 ;

23

2p

p Î

n n Z| (единичная окружность)];

Решите уравнения:

2) 2 3

6

0cos

sin

y

y

p [

pp

6 Î

n n Z| (единичная окружность)];

3) |cosx|cosx + sin2x = 0,5 [cos ,

cos ,xx

02 0 5 ; ± Î

23

2p

pn n Z| (единичная окружность)];

4) 6sin2x = 8|sinx| – 2 [|sinx| = 1 или |sinx| = 13

; p

p p2

13

Î

± Î

n n Z k k Z| arcsin | (единичная

окружность)];

5) |sinx| = |cosx| [|tgx| = 1; ± Î

pp

4n n Z| (график)];

6) |sint| + |cost| = 1,4 [Возведение в квадрат! ± Î

12

0 962

arcsin , |pn

n Z ];

7) |sint – cost| = 1 – sin2t [|sint – cost| = |sint – cost|2; |sint – cost| = y; y = 0 или y = 1; p

pp

4 2 Î

Î

n n Zm

m Z| | ].

Домашнее задание: В.: п. 7 (стр. 299 – 300); №659 (12); №662 (2); стр. 324, K_12, №3. Решите уравнения: 1) 3sinx = 2cos2x, если tgx < 0; 2) |sinx|cosx =

0,5; 3) 4cos2x = 1 – 3|cosx|; 4) |tgx| = |sinx|; 5) 2

1122

tg xtg x

| || |

; 6) sin2x –

cos23x = 2|sin3x| + |sinx| – 2,25.

Урок 31, 32 10.10.Применение свойств тригонометрических функций при решении уравнений.

Обобщающий урок по решению тригонометрических уравнений.20

1. Проверка д / з : вопросы?Рассмотрим тригонометрические уравнения, для решения которых, помимо формул

и стандартных приемов, применяются свойства тригонометрических функций.2. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске):Решите уравнения:

1) tgx + ctgx = 3 ["x ¹ pn2

, nÎZ |tgx + ctgx| ³ 2; Æ];

2) a) cosx + cos3x = 2 [cos ,cos

xx

13 1 ; два стандартных способа находить пересечение

множеств; {2pn | nÎZ}];б) Найдите аÎR | уравнение cosx + cosax = 2 имеет один корень.

["aÎR x = 0 – корень уравнения; если а ¹ 0, то n = ka, где {n, k}ÌZ. aQ];

3) sin3x + cos2,4x = 2 [sin ,

cos ,3 12 4 1xx

Û x

nn Z

xm

m Z

Î

Î

p p

p6

23

56

,

,; пересечение множеств можно

находить либо решая уравнение, либо используя основной период функции f(x) = sin3x +

cos2,4x: НОК (13

; 5

12) = НОК (

412

; 5

12) =

2012

= 53

; T = 10

3p

; 56

103

p p Î

лk Z| ];

4) sin2x(3sin2x – cos0,5x) = cos2x(2 + sin0,5x – 3cos2x) [2cos2x + sin2,5x = 3; x n n Z

xm

m Z

Î

Î

pp

,( )

,4 1

5; {p + 4pk | kÎZ}];

5) cos(px) + x–1 = 0, xÎ[0; 1] [Функция f(x) = cos(px) убывает на данном промежутке, а

функция g(x) = 1x

– возрастает; {1}];

6) 12sinx + 5cosx – 15 = 2x2 – 4x [13sin(x + t) = 2(x – 1)2 + 13, где t = arccos1213

;

x

x t n n Z

Î

1

22

,

,p

p; Æ];

7) x2 – 2xcos(2px) + 1 = 0 [D’ = cos2(2px) – 1 ³ 0 Û |cos(2px)| = 1 Û x = 0,5n, nÎZ; {1}];8) Найдите аÎR | уравнение 2x2 – btg(cosx) + b2 = 0 имеет один корень. [f(x) = 2x2 – btg(cosx) + b2 – четная, поэтому, если корень единственный, то x = 0; 0 является корнем, если b = 0 или b = tg1; при этих b 0 – единственный корень (оценка, использующая возрастание тангенса!)].

В заключение, рассмотрим уравнения, для решения которых применяются искусственные приемы, характерные для тригонометрии.9) В.: стр. 300, №662 (3). Почему не хочется использовать формулы тройного аргумента?

[(1 – sin2x)cosxsin3x + (1 – cos2x)sinxcos3x = 34

; sin4x – sinxcosxcos2x = 34

; sin4x = 1;

p p8 4 Î

nn Z| ];

10) cos2x + cos4x + cos6x + cos8x = –0,5. Почему бессмысленно группировать и складывать косинусы? [а) sinx = 0 Û x = pn, nÎZ – не является решением данного

уравнения; б) sinx ¹ 0, тогда, умножив и разделив на sinx, получим: sin ,sin

9 00

xx¹

;

pnn Z n k k Z

99| , ,Î ¹ Î

].

Следующий урок – к/р!

21

Домашнее задание: В.: стр. 324, K_12 №4, №6. Решите уравнения: 1) cos5x + sin7,5x = –

2; 2) |tg2x + ctg2x| = 4 33

; 3) 2cos8x + cos2x + 3 sin2x = 0; 4)

2 1

4

0

sin

sin

t

tp ; 5) 5sin2x – 3cos2x = |sin2x|; 6) sinx + cos

p2

2

x +

tg3xsinp2

3

x = 0; 7) 3 1 5 22 tg y y y, sin cos , где yÎ[–3p; 2p].

Урок 33, 34 14.10.Контрольная работа №2.

Раздать вопросы к зачету по тригонометрии.1. Контрольная работа №2 (90 минут).

Ответы и указания.

I вариант. II вариант.

№1. а) Î

pp

235

2arccos |n n Z ;

б) p2

35

arccos .

№1. а) p

p2

45

2 Î

arccos |n n Z ;

б) p2

45

arccos .

№2.

± Î

± Î

p p p9

53

23

13

16

53

23

тn Z

kk Z| arccos |

№2. Î

Î

130

15 5

115

114

15 5

т лтn Z

kk Z

p p p| arcsin |

№3. 25

23

p pp

kk Z

nn Z m m Z| | |Î

Î

Î . №3. 22

3p

ppk k Z

nn Z m m Z| | |Î Î

Î .

№4. Решений нет. №5. 2 1

3n

n Z

Î

| . №4. Решений нет. №5. 2 1

5n

n Z

Î

| .

№6. Î

pp

3n n Z| . №7. ± Î

pp

32 n n Z| . №6. Î

pp

4n n Z| . №7. Î

16

т n n Zp

p |

№8.

Î

112

17 14 2

л kk Zarcsin |

p. №8.

Î

113

17 14 3

1л kk Zarcsin |

p.

№9. p . x = p является корнем уравнения

(проверка); наp p2

32

;

нет других решений,

так как функция в левой части уравнения убывает, а функция в правой части

уравнения – возрастает; x < p2

– не

решения, так как x – p < p2

< –1; x > 32p

–

не решения, так как x – p > p2

> 1.

№9. p2

. x =

p2

является корнем уравнения

(проверка); на [0; p] нет других решений, так как функция в левой части уравнения убывает, а функция в правой части уравнения – возрастает; x < 0 – не

решения, так как x – p2

< p2p < –1; x > p –

не решения, так как x – p2

> p2

> 1.

№10. a = 0 или a = 2sin1. Четность функции в левой части уравнения и проверка достаточности условия.

№10. b = ctg1. Четность функции в левой части уравнения и проверка достаточности условия.

Урок 35, 36 15.10.Доказательство тригонометрических неравенств.

1. Разбор к / р . В 9 классе мы уже рассматривали некоторые тригонометрические неравенства.

Основные методы их доказательства: использование единичной окружности или 22

монотонности тригонометрических функций на отдельных промежутках; применение тождественных тригонометрических преобразований и стандартных алгебраических неравенств.2. Устно: Докажите неравенства: 1) "xÎR sinxcosx 0,5 [формула двойного аргумента];

2) "x ¹ pn2

, nÎZ |tgx + ctgx| ³ 2 [сумма взаимно обратных чисел];

3) "tÎR |sint| + |cost| ³ 1 [единичная окружность]; 4) "xÎR |sinx + cosx| 2 [формула дополнительного аргумента]; 5) "tÎR cos(sint) > 0 [|sint| 1; знак косинуса (единичная окружность)].3. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске; логика!):1) В.: стр. 302, №663 (15; 16) [15) сумма взаимно обратных; 16) возведение в квадрат].Докажите, что:

2) "bÎR 1 – 4sinbsin(b + 23p

) ³ 0 [формулы умножения].

3) "ÎR 12

12

12

12

cos 1. Усильте неравенство.

[... =

sin , ;

cos , ;

p p p p

p p p p

44 4

44 3 4

если т т

если т т

Î

Î

, где mÎZ; 22

(единичная окружность)].

4) 38

< sin20°sin50°sin70° < 14

[... = 14

sin80° и оценка (единичная окружность)].

5) "xÎR sin13x + cos15x 1. При каких x выполняется равенство?

[sin13x sin2x; cos15x cos2x; при x n n Z k k ZÎ Î Î

22

2pp

p| | ].

6) "yÎR (1 + siny + cosy)(1 – siny + cosy)(1 + siny – cosy)(siny + cosy – 1) 1 [Перемножить скобки: первую и четвертую; вторую и третью; ... = sin22y].Домашнее задание: В.: стр. 301 – 302, №663 (1; 2; 4; 5). Докажите неравенства: 1) tg1° +

tg2° + ... + tg89° > 89; 2) |sin(cosx)| < 32

; 3) 0 5 0 5 0 5 0 5 22

2, , , , cos ³

. Решите уравнения: а) cosx + 6 = x2 + px

+ p2; б) |tgx| = p2x

– 1.

Урок 37, 38 17.10.Доказательство и решение тригонометрических неравенств.

1. Проверка д / з : вопросы? Уравнения: [а) Æ; б) p4

].

Рассмотрим доказательство неравенств, связанное с применением формулы дополнительного аргумента, и «сопутствующие» задания.2. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске; записи!):1) В.: стр. 302, №663 (10) [левая часть: 13 cos x < 4; arctg15, ].

2) В.: стр. 302, №665 [равносильность! | 7 sin(x + )| 7 ; arcsin21

14]

3) Найдите область значений функции: а) y = 5cos2x – 12sinxcosx; б) f(x) = 2sin(p12

+

4x)cos(4x – 23p

) [а) y = 6,5cos(2x + t) + 2,5; E(y) = [–4; 9]; б) f(x) = 22

– cos 812

x

p; E(f) =

[ 22

– 1; 22

+ 1]; о непрерывности!].

4) Найдите экстремальные значения выражения: cos2t – 8cost [... = 2(cost – 2)2 – 9 или замена переменной и исследование квадратичной функции; –7 и 9].

23

3. Новый материал. Рассмотрим решение простейших тригонометрических неравенств, то есть неравенств вида f(t) * m, где f(t) – одна из тригонометрических функций; mÎR, а * – один из знаков строгого или нестрогого неравенства. Такие неравенства нам знакомы, в частности, мы сталкивались с ними, изучая свойства тригонометрических функций (m = 0). Для решения неравенств можно использовать либо графики функций, либо единичную окружность. Рассмотрим примеры (1) и 2) – единичная окружность, затем – график; 3) – график; 4) – единичная окружность).

1) sint ³ –0,5. Ответ:

Î

pp

pp

62

76

2n nn Z

; . 2) cost < 22

. Ответ: p

pp

p4

274

2

Î

n nn Z

; .

3) tgt 113

. Ответ:

Î

pp p

243

n arctg nn Z

; . 4) ctgt > – 3 .Ответ: p p pn nn Z

; 56

Î

.

4. Письменно (самостоятельно в тетрадях с устной проверкой):

Решите неравенства: а) sint < 32

[

Î

23

23

2p

pp

pn nn Z

; ]; б) cost ³ 0,1 [

Î

arccos , ; arccos ,0 1 2 0 1 2p pn nn Z ; четность!]; в) tgt > 3

3 [

Î

pp

pp

6 2n n

n Z; ]; г) ctgt 2

[ arctg n nn Z

2 Î

p p p; ].Домашнее задание: В.: п. 9 (стр. 302 – 305); №666 (6). Решите неравенства: а) sint –

0,9; б) cost > –0,5; в) tgt ³ 1. №663 (8). Докажите неравенства: 1) |1 +

2 3 sincos – 2cos2| aa

4

2

1, где а ¹ 0; при каких а и –

равенство? 2) 1 1

0 72 2

cos

sin cossin

cos sin,

tt t

tt t . Найдите области значений

функций: а) y x x

1

6 6sin cos ; б) f(x) = cos2x – sinx. При каких

значениях c уравнение (sin0,5x – 3c + 1)(cosx – c) = 0 имеет на [–2p; 2p] нечетное количество корней?

Урок 39 21.10.Решение тригонометрических неравенств.

1. Проверка д / з : вопросы? Области значений? [а) [1; 4]; б) [–1; 1,25]].2. Устно: Решите неравенства (единичная окружность!: 1) cost 2; 2) sint –1; 3) sint < –

2 ; 4) cost > –1 [1) R; 2) Î

pp

22 n n Z| ; 3) Æ; 4) t R t n n ZÎ ¹ Î| ,p p2 ].

Рассмотрим решение более сложных тригонометрических неравенств. Для их решения используется явная или неявная замена переменных, поэтому несколько удлиняется запись решения (показать на примере первого задания).3. Письменно (самостоятельно в тетрадях с устной проверкой): Решите неравенства:

1) sintcost < 16

[

Î

pp p

212

13

212

13

2arcsin ; arcsinn nn Z ];

2) 3 3 3 1 cos sinx x [p p p p6

23

1118

23

Î

n n

n Z; ];

3) |2cos(px)| 1 [ n nn Z

Î

13

23

; ];

4) tg y12 3

3

p [

Î Î

pp p

pp

pp

32 2

43

253

2n n m mn Z m Z

; ; ].

Домашнее задание: В.: стр. 308, №667 (3; 6; 9; 12; 7). Решите неравенства: 1)

tg t234

1

p; 2) 2 2 2 2 3cos sinx x ³ ; 3) |sin(0,5y – 1)| > 2

2.

24

Урок 40, 41 22.10.Решение тригонометрических неравенств.

1. Проверка д / з : вопросы?Продолжим решение тригонометрических неравенств. Рассмотрим более сложные

неравенства, при решении которых очень важно выбирать рациональные способы, причем эти способы далеко не всегда совпадают со способами решений соответствующих тригонометрических уравнений!2. Письменно (на доске и в тетрадях, затем – самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске): В.: стр. 308, №667 (2; 4) 2) Можно ли решать это неравенство тем же способом, что и однородное уравнение? Целесообразно ли разложение на множители? При решении тригонометрических неравенств там, где это возможно, приводят к одной функции! [

sin 24

0x

p;

Î

38 8p

pp

pn nn Z

; ]

4) Целесообразно ли заменять данное неравенство совокупностью двух систем?

[Нет, лучше получить: cos ,sin

xx¹

00 ;

Î Î

pp p p

pp

22 2 2

22n n n n

n Z n Z; ; ] В этом случае, в

записи ответа можно использовать как разные буквы, так и одинаковые!Решите неравенства:

1) sin4t + cos4tctg2t ³ p [ctg2t ³ p; p

ppn

arcctgn

n Z 212 2

;

Î

].

2) cos2y + 5cosy + 3 ³ 0 [2cos2y + 5cosy + 2 ³ 0; cosy ³ -0,5;

Î

23

223

2p

pp

pn nn Z

; ].

3) tgx + 2ctgx ³ 3 [tgx = y; ( )( )y y

y

³1 2

0 ; 0 < tgx 1 или tgx ³ 2;

pp

p pp

pn n arctg m mm Zn Z

; ;4

22

ÎÎ

]

4) 2sin22x + 2cos2x > 3 [Два способа: 8cos4x – 10cos2x + 3 < 0; cos2x = t; 22

32

| cos |x или

2cos22x – cos2x < 0; 0 < cos2x < 0,5;

Î Î

pp

pp

pp

pp

4 6 6 4n n m m

n Z m Z; ; ]

Тригонометрические неравенства иногда возникают при решении иррационально - тригонометрических уравнений или каких - то других задач, с чем мы уже встречались.

Как решить уравнение вида f x g x( ) ( ) ? [... Û g x

f x g x( ) ,

( ) ( )³

02 ]

5) Решите уравнение: cos sin sin cos2 4x x x x [ sin cos ,

cos sin cos sinx x

x x x x³

2 2 2 2 2 ;

pp

pp

pp p p

478

238

2 2 Î

Î

Î

Îk k Z n n Z m m Z l l Z| | | | (единичная окружность!)]

6) Найдите область определения и множество значений функции y x x x 7 22 2sin sin cos [а) 8sin2x – 2sinx – 1 0; –0,25 sinx 0,5; D(y) =

Î Î

arcsin ; ; arcsin14

26

256

214

2pp

pp

p p pn n m mn Z m Z ; б) f(t) = –8t2 + 2t + 1, tÎ[–0,25; 0,5];

E(y) = 03 2

4;

]. Следующий урок – с/р!

Домашнее задание: повторите определение обратной функции, критерий обратимости и свойства взаимно обратных функций (В.: стр. 158 – 160 без непрерывности или тетрадь); В.: №667 (1; 5; 10; 13). Решите неравенства: 1) 3 sint – 2cos2t – 1 ³ 0; 2) 2siny(siny – 2 ctgy) < 3;

25

3) tgxtgx1

2

³ ; 4) sin3x > 4sin2x. Решите уравнения: а) sin cosx x 0 ; б)

cos sin cosx x x 1 2 2 .

Урок 42, 43 24.10.Решение тригонометрических неравенств. Самостоятельная работа №4.

Свойства взаимно обратных функций.1. Проверка д / з : вопросы?2. Новый материал. Рассмотрим пример решения еще более сложного тригонометрического неравенства, разобрав несколько способов:cos3xsinx > 0. На первый взгляд, неравенство не выглядит сложным, но

I способ . ... Û cossin

3 00

xx

или cossin

3 00

xx

; две единичные окружности;

pp

pp

pp

pn n m mn Z m Z

; ;6 2

56

Î Î

.

II способ . ... Û 0,5(sin4x – sin2x) > 0 Û sin2x(cos2x – 0,5) > 0 Û cos ,sin

2 0 52 0xx

или cos ,

sin2 0 52 0xx

Û ... . В чем преимущество по сравнению с I способом?

III способ . ... Û sin4x – sin2x > 0. Рассмотрим функцию f(x) = sin4x – sin2x, которая определена на R, нечетна и периодична. Ее основной период: T = 0,52p = p. Найдем x |

f(x) = 0, xÎ[0; p2

]. Получим: xÎ{0; p6

; p2

}. Найдем промежутки знакопостоянства на

p p2 2

;

(в данном случае – чередование знаков!): Ответ в неравенстве получится, если к найденным промежуткам добавить числа,

кратные периоду. Этот способ – метод интервалов в тригонометрии.Вы, естественно, можете выбирать тот способ решения, который нравится.

3. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске): Решите неравенство:cos3x cos2x [совокупность систем или метод интервалов; четность функции!

Î Î

25

225

245

265

2p

pp

pp

pp

pn n m mn Z m Z

; ; ].

4. Устно (по материалу, повторенному дома, с краткими записями на доске): 1) Сформулируйте Н. и Д. условие обратимости функции f(x) ["x1ÎDf, x2ÎDf x1 ¹ x2 Þ f(x1) ¹ f(x2)].2) Приведите примеры функций: а) обратимой; б) необратимой; и обоснуйте.3) Сформулируйте определение функции, обратной к функции f [Функция f–1 называется обратной к функции f, если "xÎDf | f(x) = y верно, что f–1(y) = x].4) Перечислите свойства взаимно обратных функций [а) "xÎDf f–1(f(x)) = x и "yÎEf f(f–1(y)) = y; б) Df = Ef

–1 и Ef = Df–1; в) графики симметричны относительно прямой y = x; г) обратная

к монотонной – монотонная того же вида]5) Какие из общих свойств функции достаточны для ее обратимости? [Строгая монотонность]6) Какие из общих свойств функции противоречат обратимости? [Четность или периодичность]7) Являются ли обратимыми тригонометрические функции? 8) Как сделать их обратимыми? [Рассмотреть на каком - нибудь из промежутков монотонности]

Этим мы займемся на следующем уроке.5. Самостоятельная работа №3 (30 минут).

26

Ответы.

I вариант. II вариант.

№1. л. ч.: 2 + 2,5sin(2 + arctg43

) 4,5. №1. л. ч.: 1,5 – 2,5sin(2 + arctg34

) ³ –1.

№2. а)

Î

p p p p6 3 18 3

n n

n Z; ;

б) Î

Î

pp

pp

pp

22

62

76

2k k Z n nn Z

| ; .

№2. а)

Î

p p p p4 2 12 2

n n

n Z; ;

б)

Î Î

pp p p

pp

32 2 2

32n n n n

n Z n Z; ; .

№3. D(y) =

Î

pp

pp

p2

22

2 04

2 2 2

n nn N

; ; . E(y) = [0; 1].

Домашнее задание: В.: п. 10 (стр. 305 – 307); №659 (13); №667 (8); решите уравнение sin cos cos sinx x x x 3 2 2 3 2 ; решите неравенства: 1) sin3x >

sin5x; 2) 4 + sinx + 3 cosx ³ 4cos2(x + p3

); докажите, что "x ¹ pn2

,

nÎZ и b ¹ 0 ctgxtg x

tgx ctgxtgx tg x

bb1

11

142 2

4

2

. Доп. к с/р.

Урок 44 28.10.Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики.

1. Разбор c / р . 2. Проверка д / з : вопросы? Доказательство неравенства? [л. ч.: 0,5|sin2x| 0,5; пр. ч.: ³ 0,5]. Решение неравенств? [1)

Î Î Î Î Î

p pp

pp

pp

pp

p pp

pp

pp

pp

p278

258

238

28

2 28

238

258

278

2n n n n n n n n n nn Z n Z n Z n Z n Z

; ; ; ; ;

2) [2sin(x + p3

)(sin(x + p3

) – 0,5) ³ 0;

Î Î

pp

pp

pp

pp

32

23

276

22

2n n m mn Z m Z

; ; ].

3. Новый материал. Рассмотрим каждую из тригонометрических функций на одном из промежутков строгой монотонности. Тогда для каждой из них существует обратная функция. Построим графики функций на выбранных промежутках, затем графики функций, им обратных, и выпишем названия и свойства полученных функций, используя введенные ранее определения и свойства взаимно обратных функций:

y = sinx, xÎ

p p2 2

;y = cosx, x Î 0; p

y = tgx, x Î

p p2 2

;y = ctgx, x Î 0; p

график график график графикy = arcsinx y = arccosx y = arctgx y = arcctgxD(y) = [–1; 1] D(y) = [–1; 1] D(y) = R D(y) = R

E(y) =

p p2 2

;E(y) = [0; p]

E(y) =

p p2 2

;E(y) = (0; p)

возрастающая убывающая возрастающая убывающаянечетная arccos(–x) = p – arccosx нечетная arcctg(–x) = p – arcctgx

Последнее свойство для функций cosx и ctgx позже будет доказано строго! 4. Упражнения (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске или устно):1) Найдите области определения функций:

а) yx

arcsin3

2 [

1

32

1x

Û xÎ[1; 5]]; б) y = arccos(4x2) [D(y) = [–0,5; 0,5]]; в) y = arctg(

x ) [D(y) = [0; +µ)]; г) y = arcctg(x3 – x) [D(y) = R]; д) y = arcsin(cosx) [D(y) = R].

2) Для пунктов в) и д) укажите множество значений функции [в) [0; p2

); д)

p p2 2

; ].

27

3) Постройте график функции y = 2arcsin(0,5x –2) – 1.Домашнее задание: В.: п. 1 (стр. 310 – 312); №670 (1; 2); 1) постройте графики

уравнений: а) |y| = arcsinx; б) y = arccos|x|; в) |y| = |arctgx|; г) |y| =

arcctg|x|; 2) решите неравенства: а) 2sin2(x + p4

) – 2 sinx – cosx; б)

coscos

2

2

23

xx

tgx³ ; в) 4sinxsin2xsin3x > sin4x.

Урок 45, 46 29.10.Тождества для обратных тригонометрических функций.

1. Проверка д / з : вопросы по графикам? Ответы в неравенствах? [а)

Î Î

34

24

22

2 2p

pp

pp

p p pn n m mn Z m Z

; ; ; б)

Î Î

712 2 2 12p

pp

pp

pp

pn n n nn Z n Z

; ; ]

2. Устно: 1) Для каких x справедливы равенства и почему: а) x xn n ; б) x xnn ?

[При четных n для x ³ 0; при нечетных n – для любых; а) x D xnÎ ; б) x E xnÎ ].2) Могут ли выражения в левой части принимать другие значения? [а) нет; б) да, , если n – четное, x < 0, то x xnn ].3) Какое свойство взаимно обратных функций отражают рассмотренные равенства? ["xÎDf f–1(f(x)) = x и "yÎEf f(f–1(y)) = y]3. Новый материал. Рассмотрим применение этого свойства в тригонометрии. Вычислите и обоснуйте:

1) а) sin(arcsin 22

) [ 22

]; б) sin(arcsin13

) [13

]; в) sin(arcsin1,5) [не существует].

Вывод: "xÎ[–1; 1] sin(arcsinx) = x.

2) а) cos(arccos

12

) [–0,5]; б) cos(arccos0,3) [0,3]; в) cos(arccos(–2)) [не существует].

Вывод: "xÎ[–1; 1] cos(arccosx) = x.3) а) tg(arctg 3 ) [ 3 ]; б) tg(arctg(–7) [–7]. Вывод: "xÎR tg(arctgx) = x.4) а) ctg(arcctg(–1)) [–1]; б) ctg(arcctg(p) [p]. Вывод: "xÎR ctg(arcctgx) = x.4. Письменно (на доске и в тетрадях, затем – самостоятельно с проверкой на доске):

Докажите тождества: 1) "xÎ[–1; 1] arcsinx + arccosx = p2

[... Û arcsinx = p2

– arccosx;

sin(arcsinx) = x и sin( p2

– arccosx) = cos(arccosx) = x, причем, p2

arcsinx p2

и 0

arccosx p Û –p –arccosx 0 Û p2

p2

– arccosx p2

]. Это тождество полезно

помнить!2) "xÎR arcctg(–x) = p – arcctgx [ctg(arcctg(–x)) = –x и ctg(p – arcctgx) = ctg(– arcctgx) = –ctg(arcctgx) = –x, причем, 0 arcctg(–x) p и 0 arcctgx p Û –p –arcctgx 0 Û 0 p –arcctgx p].5. Новый материал. Вычислите и обоснуйте:

1) а) arcsin(sin )

p2

[ p2

]; б) arcsin(sin )32p

[

p2

, так как 32pE x(arcsin ) ]; в) arcsin(sin1,5)

[1,5]. Вывод: " Î

xp p2 2

; arcsin(sinx) = x.

2) а) arccos(cos )56p

[56p

]; б) arccos(cos )

76p

[56p

, так как 76p

E x(arccos ) ]; в) arccos(cos3)

[3]. Вывод: " Îx 0;p arccos(cosx) = x.

3) а) arctg tg( )p6

[p6

]; б) arctg tg( )

56p

[p6

, так как 56p

E arctgx( ) ]; в) arctg(tg 2 ) [ 2 ].

Вывод: " Î x

p p2 2

; arctg(tgx) = x.

28

4) а) arcctg ctg( )p4

[p4

]; б) arcctg ctg( )

74p

[p4

, так как

74p

E arcctgx( ) ]; в) arcctg(ctg p 22

) [ p 22

]. Вывод:

" Îx 0; p arcctg(ctgx) = x.

Обратите внимание, что для других x выражения в левой части имеют смысл, но не равны x!4. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске):

1) Вычислите: а) arcsin(sin200°) [ p9

]; б) arcctg(ctg

197p

) [27p

]; в) arccos(sin

259p

[1318p

]; г) arccos(cos(–4)) [2p – 4]; д) arcsin(cos5) [5 – 1,5p].

2) Постройте графики функций: а) y = arcsin(sinx); б) y = arccos(cosx); в) y = arctg(tgx); г) y = arcctg(ctgx) [См. рис. 1 а – г].Домашнее задание: тождества – знать; №640; №647; №675 (1) – знать; докажите, что

"xÎ[–1; 1] arccos(–x) = p – arccosx; постройте графики функций (по вариантам: I – а) и г); II – б) и в)): а) y = sin(arcsinx); б) y = cos(arccosx); в) y = tg(arctgx); г) y = ctg(arcctgx). Найдите экстремальные значения функции: y = arcsin3x + arccos3x.

Урок 47, 48 31.10.Применение свойств обратных тригонометрических функций

для вычислений и доказательств.1. Проверка д / з : вопросы? Графики – проверить [а), б) y = x, xÎ[–1; 1]; в), г) y = x]2. Новый материал. Рассмотрим вычислительные задания, связанные с обратными тригонометрическими функциями. Пример. Вычислите: ctg(arccos(–0,8)). Пусть arccos(–0,8) = , тогда cos = –0,8; Î[0; p]. Найдем ctg: 1) |sin| = 0,6; 2) так как

Î[0; p], то sin > 0; ctg = 113

. Ответ: ctg(arccos(–0,8)) = 113

.

3. Письменно (самостоятельно в тетрадях с устной проверкой):

1) Вычислите: а) sin(arctg34

) [0,6]; б) tg(2arcsin13

) [ 4 27

]; в) arctg1 + arctg2 + arctg3 [arctg2 =

; arctg3 = b; tg( + b) = –1 и 0 < + b < p; + b = 34p

; Ответ: p].

В пункте в) постройте геометрическую интерпретацию полученного равенства и докажите его методами геометрии [... = ÐDOA + ÐDOB +ÐDOC = 45° + (90° – ÐDBO) + (90° – ÐDCO) = 225° – ÐBOE = 180°, так как ÐBOE = ÐBEO = 45° (DEBO – равнобедренный прямоугольный; см. рис.].

Рис. 1а Рис. 1б

Рис. 1гРис. 1в

29

2) Докажите: arcsin35

+ arccos5

13 = arcsin

6365

[arcsin35

= ; arccos5

13 = b; sin( + b) =

6365

и 0 <

+ b < p2

]

4. Новый материал. Рассмотрим доказательство тождеств, содержащих переменные.Пример. В.: стр. 318, №675 (2).

Пусть arcsinx = Û sin = x и p p

Î

2 2

; ; arccos 1 2 x = b Û cosb = 1 2 x и bÎ[0; p]; |

cos| = cos = 1 2 x = cosb. Если 0 x 1, то p

Î

02

; , то есть, = b. Если –1 x 0,

то p

Î

2

0; , то есть, = –b.

5. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске):В.: стр. 318, №675 (4, 7, 8) [Аналогично 2)]Домашнее задание: В.: №650 (5; 7); №675 (3; 5 – опечатка: в любой из частей arcctg;

6). 1) Вычислите: sin , arccos0 519

. 2) Найдите область определения

функции y = arccos( 3 ctg(px). 3) Постройте графики функций (по вариантам: I – а) и г); II – б) и в)): а) y = tg(arctg(0,5x3)); б) y = ctg(arcctg(0,5x3)); в) y = sin(arcsin(x2 – 1)); г) y = cos(arccos(x2 – 1)).

Докажите, что arctg arctg arctg arctg13

15

17

18 4

p

.

Урок 49, 50 11.11.Решение уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические

функции.1. Проверка д / з : вопросы? Графики – заготовить на доске [а), б) y =0,5x3; в), г) y = x2 – 1, –1 x2 – 1 1 Û |x| 2 ].

2. Устно: 1) Вычислите: а) sin(arcsin

311p

[ 311p

]; б) arcsin(sin

311p

[ 311p

]; в)

cos(arccos )45p

[не существует]; г) arccos(cos )45p

[45p

]; д) tg(arctg2,1p) [2,1p]; е) arctg(tg2,1p)

[0,1p]; ж) ctg(arcctgp2) [p2]; з) arcctg(ctgp2) [p2 – 3p]. 2) В.: стр. 318, №675 (9; 10) – не доказывая, вспомните, где мы встречались с интерпретацией этих тождеств? [При построении графиков функций, записанных в левой части]3. Новый материал. Что является решением уравнения x = a, где аÎR и почему?

[При а < 0 Æ, так как аE( x ); при а ³ 0 x = a2 (по определению арифметического квадратного корня)].

Обобщите полученный результат [f–1(x) = a Û x = f(a), если аÎE(f–1) и f–1(x) = a Û xÎÆ, аE(f–1)].

Рассмотрим примеры уравнений, содержащих обратные тригонометрические

функции. Примеры. 1) arctgx = 0,5p2 Û xÎÆ, так как 0,5p2

p p2 2

; ; 2) arccosx = 3 Û x =

cos3, так как 3Î[0; p]. 4. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске):Решите уравнения: 1) arccos(x2 – 4x + 2) = p [1; 3];

2) arcsinxarccosx = p2

18 [тождество; arcsinx =

p6

или arcsinx = p3

; 0,5; 32

];

3) arcsin2y = arccosy [... Þ sin(arcsin2y) = sin(arccosy) Û 2y = 1 2 y ; 55

];

4) arctgx + arctgx2

+ arctgx3

= p2

[1. Монотонность!].

30

5. Новый материал. Что является решением неравенства x < a, где а > 0 и почему? [0 x < a2; область определения и монотонность] Эти же свойства функций применяются и при решении неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции.

Примеры. 1) arcctgx < p6

Û arcctgx < arcctg 3 Û x > 3 (при необходимости – график!).

Ответ: ( 3 ; +µ).

2) arcsinx ³ 2 Û arcsinx ³ arcsin(sin 2 ) Û x

x³

sin ,21 1 Û sin 2 x 1. Ответ: [sin 2 ; 1].

6. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске):

Решите неравенства (рациональность!): 1) arcsin1x

³ 2arccos1x

[1x

= t; arcsint ³ p3

Û t

t

³

32

1 1

, 32

1x

1 Û 1 x 43

. Ответ: 1 113

;

];

2)

3 1 2

2 10

2

2

arccos

arcsin

x

x

pp

[ arccos( )1 2 x t ; t

t

³

23 0

p Û t0 или t ³

23p

; первое неравенство

решений не имеет; –1 1 – x2 –0,5 Û 62

2 | |x . Ответ:

2

62

62

2; ; ];

3) В.: стр. 319, №678 (2) [arctg2x = t; 2 |t – 3| 4; –1 arctg2x 1 или 5 arctg2x 7; второе неравенство

решений не имеет; –tg1 2x tg1. Ответ:

tg tg12

12

; ].

Домашнее задание: В.: п. 5 (стр. 318 – 319); №676 (2; 3); №677 (1); №678 (1). Решите уравнения или неравенства: 1) 5arctgt + 3arcctgt = 2p; 2) arcsin|x| > arccos|x|; 3) arcsin(3 – 2x) + arccos(x2 – 1) = p.

Для самопроверки: [1) тождество; arctgt = p4

; Ответ: 1. 2) [|x| = y; arcsiny > p4

Û

y

y

22

1 1

, 22

1 x . Ответ:

1

22

22

1; ; ; 3) Ответ: 1. Монотонность!].

Урок 51, 52 14.11.Контрольная работа №3. Зачет №1 по теме «Тригонометрия.

1. Контрольная работа №3 (45 минут).

Ответы.

I вариант. II вариант.№1. а) 0,28; б) 6 – p. №1. а) –0,28; б) 4 – p.№2. y = 2x – 1, 0 x 1. №2. y = 0,5x + 1, –4 x 0.

№3. а)

Î Î

pp

pp

pp

pp

2 6 6 2n n n n

n Z n Z; ; ;

б) 2

412

;

.

№3. а) p

pp

pp

p2 6 6 Î

Î

k k Z n nn Z

| ; ;

б)

13

26

; .

№4. а) y = p2

– arccos(cosx); б) y = 1 2 x . №4. а) y = p2

– arcsin(sinx); б) y = 1 2 x .

2. Зачет №1. 15 билетов по 4 вопроса.

31