МОУ «Лицей №1» 11 БРаботу выполнили Жадаев Василий и Коршунов Максим

«Метод координат в пространстве».

Применение метода при решении задач

повышенного уровня сложности

Решение задач геометрического содержания традиционно вызывает у учащихся непреодолимые трудности.

Из справки 2010 года:

К заданию С2 приступили 3,7 % всех учащихся

Одним из методов решения стереометрических

задач является координатно-векторный метод.

Он не требует знания большого количества

теорем, достаточно нагляден и позволяет

решить часть заданий С2 учащимся со средним

уровнем подготовки.

Актуальность проблемы

Если через точку проведены три попарно-

перпендикулярные прямые, на каждой из них

выбрано направление и единичный отрезок,

то говорят, что задана

прямоугольная система координат.

В прямоугольной системе координат каждой

точке поставлена в соответствие тройка

чисел – её координаты А (х;у;z)

Коэффициенты х, у, z в разложении

вектора по координатным векторам

Называются координатами вектора в данной

системе координат.

а = хi + ej +zk a {x;e;z}

Координаты точки, координаты вектора.Связь между координатами точки и вектора.

i

Х

z

y

0,0,0

А(х;у;z)

В(х1;у1;z1)

Формулы для решения задач:

Координаты середины отрезка равны полу сумме соответствующих координат его концов.

ОС=0,5(ОА + ОВ) или

Х= 0,5(х1 +х2), У= 0,5(у1+у2),

Z =0,5(z1 +z2)

Вычисление длины вектора по его координатам

IаI = √х2+у2 +z2

Расстояние между точками

М1(х1;у1;z1) и М2(х2;у2;z2)

вычисляется по формуле:

d = √(х1-х2)2 + (у1 – у2)2 + (z1 – z2)2

Угол между векторами.Скалярное произведение

векторов

Угол между векторами а и в равен а.

Скалярным произведением двух векторов

называется произведение их длин на

косинус угла между ними.

а в = IаI IвI соs а или

соs а = а в / IаI IвI

(х1х2 + у1у2 + z1z2 )

√х12 +у1

2 + z12 √х2

2 + у22 + z2

2

Для вычисления углов между двумя прямыми,

а также между прямой и плоскостью во многих

случаях удобно использовать скалярное

произведение векторов.

cоs a =

Соs a=

С2(53) АВСDА1В1С1D1–правильный параллепипед. АВ=4, АА1=6

Найдите угол между DВ1 и плоскостью АВС

Решение:Введем систему координат с началом А тогда D(4;0;0), В(0;4;0), В1(0;4;6) и

DВ1{-4;4:6} DВ{-4;4;0}.

16+16 32 √8 √16+16+36√16+16 √68√32 √17

Решение геометрическим способомможно провести для самопроверки. Рассмотрим ∆ ВВ1D - прямоугольный.

ВD - диагональ квадрата со стороной 4,DВ1-диагональ параллелепипеда

с измерениями 4,4,6, следовательносоs а равен DВ = 4√2 разделить на DВ1= √68 или √8 разделить на √17.

Выбор способа решения остается за учащимся.

Примеры решения задач ЕГЭ

= =

С2 Дан АВСDА1В1С1D1 –прямоугольный параллелепипед АА1=3, АD=8, АВ=6, точка Е- середина ребра АВ, точка F-середина ребраВ1С1 . Найдите угол между прямой ЕF и плоскостью АDD1.

Решение: ( векторно-координатный способ )

Введем прямоугольную систему координат

С началом в точке А, тогда угол между

векторами АN {0;4;3} и АF1 {3;4;3} // ЕF и

будет искомым .

16+9 5

√25√34 √34

Косинус угла найден с помощью

формулы скалярного произведения двух

векторов.

Преимущество метода в этом случае

очевидно.

Примеры решения задач ЕГЭ

=Соs a

=

Примеры решения задач ЕГЭДана правильная треугольная призма

АВСА1В1С1, в которой АА1=√2АВ.

Найдите угол между АС1 и А1В.

Решение

Пусть АВ = х, тогда АА1=√2х.

Введем прям. с-му коор-т с началом в С.

А( ; ; 0), В(0; х; 0), А1( ; ; х√2),

С1(0; 0; х√2).

Выразим координаты векторов АС1 и ВА1

АС1{- ;- ;х√2),} BA1{ ;- ; х√2}

Угол между векторами и будет углом

между прямыми. Его соs равен

I-0,75Х2+0,25Х2+2Х2I

√-0,75Х2+0,25Х2+2Х2 √-0,75Х2+0,25Х2+2Х2

соs равен , откуда угол равен 600

23х2х

23х

2

3х2х

23х

2х

2х

2х

Геометрия. Учебник для общеобразовательных учреждений; Москва; «Просвещение», 2007год Методические рекомендации к учебнику; Москва, «Просвещение» «Векторы на экзаменах. Векторный метод в стереометрии», Шестаков

С.А.; Москва, МЦНМО,2008 год «Теоретические и практические вопросы подготовки к ЕГЭ по математике»;

НИРО, 2009 год ЕГЭ; «Интенсивная подготовка»; 2011 год,, тематические тренировочные

задания Сборник задач по математике. «Геометрия», под редакцией М.И. Сканави

Интернет-ресурсы: http://www.ed.gov.ru Законы, указы, которые касаются вопросов

образования http://www.niro.nnov.ru Нижегородский институт развития образования http://www.it-n.ru Сеть творческих учителей http://www.openclass.ru Открытый класс. http://www.fipi.ru Материалы для подготовки к ЕГЭ. http://www.mahtege.ru Открытый банк заданий по математике http://www.rus.edu.ru Архив презентаций по всем предметам

Список используемой литературы: