zusammenhänge zwischen konvergenten und asymptotischen entwicklungen bei lösungen linearer...

KNOBLOeH, H.-W. Math. Annalen, Bd. 134, S. 260--288 (1958)

Zusammenh~inge zwischen konvergenten und asymptotischen Entwicklungen

bei Liisungen linearer Differentialsysteme vom Range Eins

Von

HANs-WILHELM KNOBLOCH in Wfirzburg

Einleitung

Vor l~ngerer Zeit hat LUDWI(~ HoPF durch eine einfache heuristische l~ber- legung an ganzen Funktionen, die linearen Dffferentialgleichungen zweiter Ordnung genfigen, eine Beziehung gefunden, die die Koeffizienten der in den verschiedenen Winkelr~iumen bestehenden asymptotischen Entwicklungen an der Stelle ~ mit denen der Potenzreihendarstellung verknfipft [8]. Er geht aus yon dem Zusammenhang zwischen Wertever]auf und Entwicklungs- koeffizienten, wie er sieh in der Cauchyschen Koeffizientenformel

(1) b,-- 2rci j ~77i d x by x ~ Jxi =

ausdriickt, und yon der Tatsache, daI~ hierbei der Integrationsweg und damit die Auswahl der zur Bereehnung yon b~ benutzten Funktionswerte weitgehend willkfirlieh ist. Insbesondere ~ndert sieh an der Formel (1) niehts, wenn man vor das Integral lim schreibt. ])ann kSnnen aber, so liest man in der zitierten

K--> oo Arbeit, unter dem Integra]zeiehen ,,die wirkliehen Funktionswerte durch ihre asymptotisehen N~herungen ersetzt werden, da es nur auf die V~'erte yon / fiir groBe lxl ankommt". Gemeint ist damit folgendes: Teflt man die Um- gebung von c~ in Winkelr~ume ~ ein, in deren Innerem ] dureh eine feste Normalreihe v~ der Dffferentialgleiehung asymptotiseh dargestellt ~ d , so kann man den Koeffizienten b, identifizieren mit dem Grenzwert

/ , x ~ ( x ) d x 1 ]Jm ~ x,+, , 2z~ i K-.~. ¢~ ~ Ix} = E ~

wobei die Normalreihe v~ hinsiehtlieh Integration und Grenzfibergang wie eine absolut-konv, ergente Reihe zu behandeln ist.

Wie HoPF an den yon ibm gebraehten Beispielen dutch Reehnung zeigt, gehen naeh gliedweiser Integration und ansehlie~endem Grenzfibergang die divergenten Normalreihen in konvergente Reihen fiber, deren Summe tat- s~chlieh mit dem betreffenden Koeffizienten der Potenzreihe fibereinstimmti).

1) Siehe auch die FuBnote S. 287.

l~ber L6sungen linearer Differentialsysteme 261

Doch wird in [8] keine theoretische Rechtfertigung des Verfahrens unter- nommen. Eine solche ergibt sich n/£mlich keineswegs unmittelbar aus der bei asymptotischen Reihen geli~ufigen Restabschi~tzung. Das sieht man sehon daran, dab die Normalreihen mit Exponentialfunktionen behaftet sind und daher das Restglied zwar im Verhi~ltnis zu den vorangehenden Gliedern abnimmt, jedoch in gewissen Winkelr~umen absolut genommen exponentielt anw/iehst. Kurz gesagt: Weil das Integral

/ 1 \q+t* _ e ~ X ~ x ) d x

Ix I = K

fiber ein einzelnes Glied der Normalreihe ffir K - ~ co einem Grenzwert zu- strebt, der zudem in Abhi~ngigkeit yon # stark genug abnimmt, konnte man fiberhaupt eine l~bertragung der yon den konvergenten Reihen her gewohnten Rege|n in Erw~gung ziehen, weil jedoch

Ixl = n

ffir K -÷ c¢ divergiert, ist nicht daran zu denken, sie analog zu beweisen., Man kann daher zu der Auffassung kommen -- und sie liegt unserer Arbeit

zugrunde -- , dab die Rolle der Cauchyschen Koeffizientenformel im vorlie- genden Zusammenhang unmittelbar nichts mit ihrer sonstigen Bedeutung zu tun hat und dab man sie eher aus Gesetzm~Bigkeiten der Folge {b~} der Koeffi- zienten heraus zu verstehen hat.

Beziehungen zwisehen Koeffizientengesetz und asymptotisehem Verhalten einer Potenzreihe hat man bisher vorwiegend mit Hilfe von Residuenintegralen (BARNES, LINDEL6F, man vergleiche etwa [4]) aufgefunden, yon denen wir jedoch keinen Gebraueh maehen werden. Zur Darstellung yon L6sungen ver- wenden wir start dessen Summen aus abgebrochenen Laplaee-Integralen (d. h. solchen mit endliehem geradlinigem Integrationsweg), die einzeln der Differentialgleichung nicht mehr zu genfigen brauchen. Daft in gewissen Fi~llen derartige Laplace-Integra]e LSsungen sein k6nnen, ist z .B. yon der Kummersehen Funktion her durehaus gel~ufig. Es diirfte aber bisher nieht bekannt gewesen sein, dab der Verzicht auf den LSsungscharakter die MSg- lichkeit erSffnet, systematiseher und fiir eine weitaus gr6Bere Klasse yon Differentialgleiehungen als bisher yon diesem Darstellungsmitte] Gebraueh zu machen.

Wir kSnnen dann die wichtigsten Resultate yon HoPF besti~tigen und fiberdies seinem Verfahren eine allgemeinere Fassung geben, in der es anwendbar wird auf alle Dffferentialsysteme vom Rang Eins und beliebiger Ordnung n, die nur der Bedingung geniigen mfissen, dab ihre formalen LS. sungen (ira Sinne der klassisehen Theorie) Normalreihen mit gewissen Waehs- tumseinsehri~nkungen ftir die Koeffizienten sind.

Wir mfissen bier den Zusatz ,,im Sinne der klassisehen Theorie" gebrauehen, weft es neben den Normalreihen noeh eine zweite Sorte formaler LSsungen gibt, die offenbar bisher nieht eingehender untersuoht worden sin(~. Es

18"

2 6 ~ H A N s - W I L H E L M K N O B L O C H :

handelt sieh um Laurentreihen

X D, x~,

deren Hauptteil eine ganze Funktion darstellt, w~hrend die Restreihe

~ D _ ~ x -~ v = l

im allgemeinen divergiert. Zwei derartige Reihen kann man ohne Sehwierig- keiten immer dann miteinander multiplizieren, wenn eine yon ihnen konvergiert und nach der Seite der positiven Potenzen hin abbrieht. Insbesondere kann man eine solehe Laurentreihe stets in eine Differentialgleichung von end- lichem Rang einsetzen.

Unter den oben aufgefiihrten Voraussetzungen l~Bt sich die Gesamtheit tier formalen Laurentreihen, welehe ein Differentialsystem der Ordnung n befriedigen, linear kombinieren aus n Basisreihen, die sieh mit Hilfe der klassisehen formalen LSsungen, d. h. der Normalreihen D, in der nachstehenden durehsiehtigen Weise niederschreiben lassen

(2) ~ x~( 1 f ~(t) .\ lim -t~,~d~], = - ~ K- -~oo Itl = K /

sofern man die an den divergenten Reihen ~ vorzunehmenden Prozesse (Inte- gration und Grenzfibergang) geeignet definiert (§ 5).

Vom Standpunkt der asymptotisehen Integration aus, welche ja auf eine Summierung yon ~ zu einer wirklichen LSsung hinzielt, wfirde man wohl in dem Ausdruek (2) nur eine Art Zwisehenstufe sehen. Doeh spricht viel daffir, dab unsere Basisreihen in mancher Hinsicht die asymptotisch aus- gezeichneten Fundamentalsysteme weitgehend ersetzen kSnnen und vor jenen zudem den Vorzug haben, dab sie vom Differentialsystem her eindeutig bestimmt sind und eine wesentlieh einfaehere formale und analytisehe (s. unten) Struktur besitzen. Sie ermSglichen es uns, wie sehon erwahnt, das Verfahren yon HOPF theoretisch zu fundieren, da nach unserem Basissatz jede in der Umgebung yon ~ eindeutige LSsung des Differentialsystemes als Linear- kombination aus Reihen vom Typ (2) darstellbar ist. Ferner kSnnen ~-h' (§ 4, Sehlu~) ein Resu]tat yon HO~EXSEL neu beweisen, welches Differential- gleiehungen betrifft, deren allgemeines Integral an der Stelle ~ eindeutig ist. SchlieBlieh werden wir bei sp~terer Gelegenheit fiber eine dritte Anwendung berichten, auf welche wir vorhin schon mit der Bemerkung anspielten, da{~ die Basisreihen auch in ana|ytiseher Hinsicht einfacher gebaut sind als die nach den Methoden der asymptotisehen Integration zu den Normalreihen konstruierten LSsungen. Ihre Haupttefle sind n~mlich darstellbar als abgebrochene (s. oben) Laplace-Integrale, welche a~ymptotiseh in der vollen Umgebung yon c~ bequemer fibersehaubar sind Ms die gewShnlichen Laplace- Integrale (mit unendliehem Integrationsweg)~). Man kann infolgedessen aus

t) FAn Beispiel hiefftir finder man etwa in [3], S. 240.

~ber L~isungen linearer Differentialsysteme 263

der Basisdarstellung asymptotische Beziehungen z~4schen den eindeutigen LSsungen und den Normalreihen ablesen, die eine brauehbare Grundlage ab- geben ffir die detailtierten Aussagen iiber die Virertverteilung, spezieU iiber die Lage der NullsteUen, wie man sie etwa bei HILLE [6] und LA~OER [9] finder und wie sie weitergefiihrt worden sind in unverSffentlichten Untersuehungen y o n HERMANN SCHMIDT.

Was die ~uBere Form der Arbeit anbetrifft, so wollen wir uns durchweg an folgende Verabredung halten:

Gro{~e deutsche und lateinisehe Buehstaben stehen ffir Matrizen, kleine ffir Zeilen (abgesehen yon ~, ~), die zur Benennung yon Winkelr~umen ver- wendet werden, und den f~r Variable vorbehaltenen t, u, x, y, z). Unter dem Betrag einer Matrix verstehen wir das Maximum der Betr~ge ihrer E1emente. Gelegentlich spreehen wir von regu|~ren bzw. multiplikativen Funktionen und meinen (was aus dem jeweiligen Zusammenhang hervorgeht) Zeilen oder Matrizen aus solchen Funktionen. Von einer (formalen) Laurentreihe sagen wir, sie sei ~ 0 mod x-L falls sie geschrieben werden kann in der Form

x -~. (Potenzreihe in x -1) .

In Absch~tzungen auftretende Konstante werden mit dem gleiehen Buch- staben C bezeiehnet ohne Unterseheidung durch Indizes, soweit keine MiB- verstgndnisse zu befiirchten sind.

Es ist mir eine angenehme Pflicht, Herrn HERMANN SCHMIDT fiir den Hinweis auf die Ans~tze von HoPr und Ratsehlgge bei der Abfassung der Arbeit zu danken.

§ 1. Normierte und iiquivalente Differentialsysteme

Wir legen zugrunde ein lineares Differentialsystem n-ter Ordnung (1.1) y '= y M ,

dessen Systemmatrix

M = ~ Avx-" tp~O

ffir lxI > K regular ist. Es mSge n Normalreihen der Form

(1.2) o (x)= (1 Z m

gcben, welche das System erfiillen und linear-unabh~ngig sind, d.h. es sind

jeweils diejenigen Reihen -- ~ a~,x-~' linear-unabh•ngig, denen der gleiche v = 0

"--'_ .(~)q log I (1 ) vorangeht (wir denken uns von Faktor ec¢~ vornherein

alle Q, die sich um ganze Zahlen unterscheiden, durch ein solches mit kleinstem Realteil ersetzt und die evtl. iibersehiissige x-Potenz zur Reihe geschlagen). Von den Koeffizienten az, verlangen wir eine Wachstumsbeschr~nkung der Form (1.3) la~.[ -~ c ~ ! .

264 HANs-WILHELM KNOBLOCH:

Es ist z w e e k m ~ i g und bedeutet keine neue Beeintr~ehtigung der All- gemeinheit, wenn wir fiir gewisse Normierungen der Systemmatr ix M sorgen, gegebenenfalls mittels elementarer Transformationen, n~mlich {1.4) dureh den l~bergang von y zu y x -~ mit geeignetem ganzen p bringen wir

die in den Normalreihen auftretenden Exponenten 0 alle auf einen Realteil Re(0 ) > 1,

(1.5) dureh den ~-bergang yon y zu yeT* gndern wir die Eigenwerte ~ yon A o derart ab, dal~ a) sie s~mtlieh =k 0 und b) die Quotienten ¢tj/:¢~ fiir j =~ k nicht zu reellen Zahlen ___ 0 und g 1 werden.

Die Voraussetzung beziiglich der Normalreihen ~de auch die Normierungs- festsetzungen gehen nieht verloren, wenn wi~ yon dem gegebenen Differential- system vermSge einer Substitution y -> y R zu einem i~quivalenten Differential- system mit der Systemmatr ix

(1.6) R - 1 R ' + R - 1 M R ¢1o

fibergehen, sofern R = )~ R ~ x -~ in der Umgebung von ~ regular ist und das v~0

Anfangsglied R 0 eine nicht-versehwindende Determinante besitzt (man bemerkt eine geringfiigige Modifikation der ~quivalenzdefinition yon BmK- HO~ [1], dort wird R o = Einheitsmatrix verlangt). Wir sprechen daher auch yon Klassen ~quivalenter normierter Dffferentialsysteme. In jeder Klasse gibt es nach einem yon BIRKHOFr bewiesenen Satz (siehe [1]) ein sog. kanonisehes System, dessen Matrix die einfache Gestalt

A1 hat. M = Ao+ ~ -

Is t P in der Umgebung yon ~ regular, hat aber daselbst einen Pol, so wollen wir die Substitution

y - > y P

als ~quivalenztransformation im weiteren Sinne bezeichnen. Wir bemerken zum Sehlul], dat3 die Waehstumseinschri~nkung (1.3) ffir

die Koeffizienten s~mtlieher dem Dffferentialsystem geniigenden Normal- reihen von selbst erfiillt ist, falls z .B . das Anfangsglied A o der Matrix M ~hnlich ist zu einer Diagonalmatrix. Fiir lineare Dffferentiatgleichungen u-ter Ordnung {in die bekanntlich 8) jedes Differentialsystem dureh eine ~quivalenztransformation im weiteren Sinne iibergefiihrt werden kann) h~t man dann noeh weitergehende hinreichende Kriterien4), aus denen u. a. folgt, daI~ fiir Dffferentialgleichungen" zweiter Ordnung die Forderung (1.3) in keinem Falle besonders erhoben zu werden braueht.

3) Vgl. etwa [2], Theorem VII. 1 d v

4) Wie etwa da~ folgende: Sei u = x - u n d ~ p ~ = 0 fiir u = 0 und ), ~- ~ < r,

(r ~ 1), abet p~ ~-- 0 fiir u ~- 0. Dann ist das Koeffizientenwachstum jeder formalen d ~ d (n - 1)

LSsung v ---- _Wa~u~ der Dgl. "~l-~ y "~ P, , - i dx, ,_l Y + . . • -~ PoY = 0 gem~tB (1.3) be- /x=O

sehrtinkt.

~ber LSsungen linearer Differentialsysteme 265

§ 2. Asymptotische Integration und Integration mod ~-1

Es sei f eine in der Umgebung yon ~ eindeutige Funktion und LSsung des Differentialsystemes

y'= y M .

Der Hauptteil ff ihrer Ent~deklung nach Potenzen von x -1 erfiillt dann das gleiche System mod x- l :

0 = ] ' - ] M ~ g ' - g M m o d x -1.

Wie sich im folgenden u. a. ergeben wird, ist dieser Sachverhalt im gewissen Sinne umkehrbar: Jede ganze LSsung derKongruenz

(2.1) y ' - y M-~Omodx -1

l ~ t sich durch Anh~ngen einer ibrmalen Potenzreihe in x -1 zu einer exakten (aber im atlgemeinen divergierenden) LSsungsreihe erg~nzen. Vorerst jedoch wollen wir die LSsungsmannigfaltigkeit der Kongruenz (2.1) selbst n~her betrachten und eine explizite Darstellung angeben. Wir schlagen dazu einen Weg ein, der sich an die Methode der asymptotisehen Integration nach POIN- CAR~ anlehnt, jedoch darin von ihr abweicht, dab die beiden Eigensehaften: Asymptotische Ann~herung durch eine gegebene Normalreihe und Befriedigung des Differentialsystemes nicht gleichzeitig, sondern nacheinander an der zu konstruierenden Funktion verwirklieht werden. Wir beginnen mit der ersten und suchen zu gegebener Normalreihe v eine Funktion v(t), die folgender- maBen beschaffen ist: (2.2) v(t) ist zusammengesetzt aus Potenzen des Logarithmus, mnltiplika-

riven t-Potenzen und Potenzreihen in t, welehe in einer hinreichend kleinen Umgebung Itl g r des Nullpunktes konvergieren, v(t) ist fiir t ~ 0 beschr~nkt.

(2.3) Das mit v(t) als Integral

Originalfunktion gebildete abgebroehene Laplace-

0

wird im Inneren der Halbebene Re(~¢ x ) > 0 (,,ira Inneren der Halb- e b e n e . . . " soll hier und im folgenden bedeuten: In jedem darin ent- haltenen Winkelraum der {~ffnung < ~) durch C v asymptotisch dargestellt, C konstant.

Wenn v (t) in der Umgebung von t = 0 durch einen Ausdruck

m ~ cc~ t~+/L_ 1 (2.4) ~ log ~ (t),_:_05k, / , (~+#)

k = 0 =

wiedergegeben wird, so kann man -- Konvergenz der Reihen vorausgesetzt - - bei der Aufstellung der asymptotischen Entwicklung des Laplaee-Integrales

r

f e - = ~ v(t) dt 0

266 HA~s-WILH]~LM KNOBLOCm

bekanntlieh ,,gliedweise" veffahren. Ftir Re(~¢ x) > 0 bekommt man zuniiehst

r oO

0 0

ISI = O(x -N) fiir Re(~ x) ->

und jedes natiirliehe N, und es ist

/ e-~ ~x logs (t) to +. dt t 0 /

log z e-"( logu - loga) k-~ uo+. du . l = 0 q~

0

Den Logarlthmus unter dem Integralzeiehen wollen wit stets reell nehmen,

die Umformung gilt dann zu Reeht, wenn wir uns die Ausdrtieke co, ,

l o g ( I ) , loge mit Hilfe des folgendermagen festgelegten log erkl~rt denken

(2.5) - a [ 2 =< Im (log) < 3 a]2

- 3 a / 2 G Im(log) < 7e/2

--7~ =< Im (log) <

0 _ Im (log) < 2

falls Im(~¢) > 0 ,

falls Im(~) < 0 ,

fails Im(~) = 0 , ~ > 0 ,

falls 0t reell < 0 .

I)iese Normierung werden wir bis zum SehluI3 der Arbeit beibehalten, ihre Zweekm~gigkeit wird sich erst sparer erweisen. Der Beitrag eines einzelnen Bestandteiles

log ~ (t) akt , i,(0 "~ #) P

zur ~ymptot ischen Entwicklung der ganzen Funktion e ~ / e - ~ t ~ v ( t ) dt o

lautet also k

/ = 0

× y o f f ' t ' = _r'(O + .u) x -" e-" (log u - log~)~-tu, +" ? .

0

Wenn wit den gemein~amen Faktor (~0)-1 beiseite lassen, so ergeben sieh dutch Vergleieh mit der Normalreihe (1.2) zwisehen den aku und ge~, die linearen Beziehungen

oo

f e-'(logu -- Ioge)k-lu0+~ du m u

(2.6) atu = k=t ~ ' a~u /'(q + / ~) ,

~ e r I2isungen linearer Differentialsysteme 267

l = 0 , . . . , m,/~ = 0, 1 . . . . . die sieh eindeutig naeh den a ~ auflSsen lassen. Wir stellen dies fiir sp~ter ausdrficklich fest: (2.7) Die konvergente Entwicklung der OriginalJunktion v(t) an der Stelle t = 0

und die asymptotische Entwicklung des Laplace-Integrales r

e ~ f e -~tz v(t) dt o

im Inneren der Halbebene Re(at x)> 0 bestimmen sich gegenseitig eindeutig.

Die Bedingung (2.3) l~l~t sich also durch einen Ansatz (2.4) formal erfiillen, und zwar auf eine und nur eine Weise. Wir haben noch die Konvergenz klarzustellen. Zu diesem Zwecke dividieren wir (2.6) durch ~! und bekommen ffir die Quotienten 5k~/I~(Q +/~) die m linearen Gleichungen

f e-*' (logu -- log~) ~'-~ u- ° t-t, d u_u - - 'Y , ,

~! r ( Q + ~ t,! ' k=l deren Koeffizienten yon der Gr6Benordnung #c sind, w~hrend sieh die Deter-

( / ' ( 0 + # ) ) m+l minante /~! naeh unten in der Form

U # e'

absehgtzen l~Bt. SchlieBlich sind die rechten Seiten gem~B (1.3) beschrgnkt, also l~Bt sieh auch ein C fiir eine entsprechende Abseh~tzung der &k~//~(~ + / t ) finden, womit die Konvergenz gesiehert ist.

~Tir wolten nun annehmen, dab das zugrunde gelegte Differentia]system die kanonische Form

1 (2.8) ~ ( x y ' - y(Aox + A~)) = 0

hat, und als Ngehstes zeigen, dab dann v(t) lgngs der reellen Achse fiber den Punkt 1 hinaus fortsetzbar ist. Zu diesem Zwecke w~hlen wir eine Hilfs- funktion ~ (t), die ffir positiv-reelle und hinreichend kleine t mit v (t) fiberein- stimmt und in einem Intervall (0, 1 + e) stetig differenzierbar ist. Das abgebrochene Laplace-Integral

t l~ (x) = f e ~ (1- , )~ (t) dt

o

tragen wir in das Differentialsystem ein und formen mittels partieller Inte- gration um zu

^ \( _~_],,, ] 1 ( ( 1 - t,~)y A O- vA 1 l '~- l~ A o + = ~ - -- d t - -

(2.9) /

1

-- -x e - ~ (1-t)~)'--lv'Ao-vAlo~ dt+-~-x Ao"

268 HANs-WILHELM K~OBLOCm

(Man beaehte, dab zufolge unserer Normierung Re (Q) > 1 ist und daher strebt v(t) und somit auch ~ (t) gegen 0 fiir t-+ 0). Wir multiplizieren beide Seiten m i t e - ~ und erhalten weiter

e -~x - l~ o+ 1

--~- ( ( 1 - t ) ~ ) ' ~1 ~ , A o _ ~ A 1 d t + ~ v ( 1 ) Ao " o

Jeder dieser drei Ausdrfieke li~Bt sieh im Inneren der Halbebene Re (e x) > 0

entwickeln nach der Skala log~(~)x-(q+") , und zwar ist asymptotiseh z u -

ni~chst trivialerweise e - ~ x

~ 0 . ~ x

• Da ferner die asymptotische Beziehung ~ ~ C~e in einem Winkelraum giiltig ist und sie unter diesen Umsti~nden differenziert werden daft, bekommt man aueh (mit C~= (co)-1)

denn ~ ist eine forma]e LSsung yon (2.8). Es folgt daher

1

(2.10) / e - ~ t x ( ( ( 1 t)v) ' - 1 ^' ^ ) . . . . v Ao + v A 1 dt ~ O . O~

O

Fiir hinreichend kleine t kann nun ~ durch v ersetzt werden, und es besitzt daher die Originalfunktion des zuletzt hingesehriebenen Laplace-Integrales an der Stelle t = 0 eine ebensolche Entwicklung wie v, die auf Grund der Feststellung (2.7) da~m und nur dann das Integral (2.10) asymptotisch zu Null werden l[il3t, wenn sie selbst verschwindet, d. h. es ist

( ( 1 - t ) v ) ' - l~v'A o - v A l = 0 oder

(2.11) v' (E ( 1 - t) -- - ~ ) - v(E + A 0 = 0 . 1

Das Differentia]system, zu dessen LSsungen v demnach z/ihlt, ist singular

den Nullstellen yon det {(1 - t ) E - =4o ~ also in den Punkten t : 1 aJ an \ / und die sind ffir ~j~= ~¢ zufolge unserer Normierung nicht auf der reellen Achse zwischen 0 und 1 gelegen, so dab v (t) fiber den Punkt 1 hinaus fortsetzbar ist. Es kann daher in den obigen Betrachtungen v durch v ersetzt werden, es ver- sehwindet dann -- wegen (2.11) -- der Integralbestandteil in (2.9), und daraus folgt

, ( A~_) v(1) Ao, (2.12) l ~ - l v A 0 + = ~ x

t~ber LSsungen linearer Differentialsysteme 269

wenn wir unter l v die ganze Funktion 1

1D(x ) = f e~(1-~) x v(t) d t 0

verstehen. 1., 15st also das Differentialsystem (2.8) modx -1. W~hlt man im Laplace-Integral nieht 1, sondern ~ als obere Grenze,

so verschwinden auf der reehten Seite yon (2.9) nicht nur das Integral, sondern auch die Klammerbeitr~ge, d. h. das gewShnliche Laplace-Integral

/ e( T M v(t) dt 0

ist, sofern es konvergiert, eine exakte LSsung des gegebenen Differential- systemes (den Integrationsweg muB man sich notfalls so deformiert denken,

dab die singuli~ren Stellen 1 - ~j- sofern sie reelt > 1 sind, umgangen werden),

welehe die Normalreihe v dutch ihre asymptotische Entwicklung realisiert. Man bemerkt, dab wir nicht wie bei POI~CAR~ yore Differentialsystem

(2.11) der OISginalfunktion ausgegangen sind, sondern die Tatsaehe, dab v formale L6sung des gegebenen Systemes ist, unmittelbar dazu ausgenutzt haben, um die LSsungseigenschaft des konstruierten v zu zeigen. Dfese Me- thode wfirde auch dann noch anwendbar bleiben, wenn die Koeffizienten- betrEge der Normalreihen st/~rker zunehmen, als es (1.3) erlaubt und daher die mit den L6sungen a-k~ der linearen Gleichungen (2.6) gebi]dete unendliche Reihe (2.4) ffir al]e t divergiert. Man verschaffe sich in diesem Falle -- was ja stets mSglieh ist, z. B. mit einem Ansatz, wie er sich findet in [5], Theorem I - zun~chst eine Hilfsfunktion ~), welche im Intervall (0, 1 + ~) stetig differenzierbar ist und an der Stelle t = 0 durch den Ansatz (2.4) asymptotiseh wiedergegeben wird. Trggt man dann die ganze Funktion

1 f e (1-t)a$ V (t) US 0

in das System (2.8) ein und forint um, so ergibt sich wieder die Beziehung (2.10), und daraus folgt auf Grund der Feststellung (2.7), deren Gfiltigkeit durch den Fortfall des ,,konverg n~ nicht beeintr/~ehtigt ~ird, dab (2.11) yon ~ jedenfalls asymptotisch befriedigt wird. Der Ansatz (2.4) ffihrt daher auf eine Normalreihe des ])ffferentialsystemes der Originalfunktionen, die nach den grundlegenden Resultaten yon STERNBERG [10] fiber asymptotisehe Integration im Reellen stets eine exakte LSsung v(t) des Systemes (2.11) approximiert. Unter Zugrundelegung des auf diese Weise zu einer Normal- reihe ~ gewonnenen v(t) wfirden an den Betraehtungen der § 1 - 4 dieser Arbeit nut unwesentliche ~nderungen eintreten, falls man die Voraussetzung (1.3) streicht (fiir ein nieht-kanonisches Differentialsystem w/~re v dutch ein Fattungsintegrat zu definieren, vgl. Hflfssatz 2).

Wir verlassen hier das Thema ,,asymptotisehe Integration" und wenden uns wieder der Integration rood x -1 zu. Aus dem im folgenden zu beweisenden Hilfssatz 2 ~ r d u. a. hervorgehen, dab aueh ffir ein nieht-kanonisehes System

270 HA~s-WILsELM K~OBLOClt:

die zu einer Normalreihe gem~B (2.4) konstruierte Funktion v l~ngs der reellen Achse fiber den Punkt 1 hinaus fortsetzbar ist, so dab demnach stets die ganze Funktion

1

l~(x) = f e~(1-~ ~ v(t) dt 0

gebildet werden kann. Entsprechend der Anzahl der Normalreihen gibt es n derartige Integra]e (genauer n-reihige Zeilen von Integralen), die wir zu einer Matrix L = L ( M , x ) zusammenstellen. Wir behaupten nun: Es besteht die Kongruenz

(2.13) L' (M) - L ( M ) M ~ 0 mod 1 gC

oder, was dasselbe ist, , 1

l~ - l~ M ~ - 0 m o d x

)~i~r ~ede einer Normalreihe zugeordneten ganzen Funkt ion lo, wie das /iir ein kanonisches M unmittelbar aus (2.12)/olgt.

Um die Richtigkeit yon (2.13) allgemein einzusehen, stellen wir ffir zwei ~quivalente M, M eine Beziehung zwischen ihren Matrizenfunktionen L(M), L ( M ) her, die so lautet :

Hilfssatz 1. Es ist L ( M ) R =-- L ( M ) mod ~1 ]alls M ---- R - 1 M R ÷ R - 1 R '. X ~

Auf Grund dieser ~rbergangsbeziehung pflanzt sich die Kongruenz yon einem Differentialsystem auf jedes /iquivalente fort, man bekommt n/~mlich (mit L = L (M), L = L (M)) :

L ' - L M = ((L R)' - L R M) R -1 ~- (L' - L _M) R -1 mod 1 ,

und wegen

L ' - L _~ ---= 0 mod 1 ist auch x

(L' - L _~r) R - 1 ~_ 0 mod 1 .

Da die Normalreihen der beiden miteinander zu vergleichenden Systeme durch den Faktor R miteinander zusammenhi~ngen, kann die Aussage des Hilfssatzes offenbar auch so gefaBt werden: Es seien ~ (x) und fi (x) = ~ (x) R zwei 1~ormalreihen vom Typ (1.2), welche auseinander durch Multiplikation mit einer konvergenten Potenzreihe R in x -1 hervorgehen. Die ihnen gemi~B (2.4) zugeordneten multiplikativen Funktionen v, ~ seien 1/ings der reellen Achse fiber den Punkt 1 hinaus fortsetzbar. Dann besteht die Kongruenz

(2.14) e(t-~)e~v(t) ------ el~-0 ~ g ( t ) d t rood . 1 o

Wit fiihren den Beweis in zwei Sebritten. Zun~ehst wollen wit uns fiberlegen, dab es genfi~, die sehw~ehere Aussage zu beweisen: Es gibt fiberhaupt ein

1

abgebrochenes Laplace-Integral f ell-*)~* ~ (t) dt mit einer Originalfunktion 3, 0

~ber L~ungen linearer Differentialsysteme 271

die multiplikativ bei 0, beschr~nkt und fortsetzbar ist, durch welches die Kongruenz

( / ) / (2.15) e( 1 - t ) ~ v(t) d t R -~ e ( 1 - o ~ ( t ) dt mod x 0

befriedigt werden kann. Dat~ dieses ~ dann mit ~ identisch ist, folgt auf Grund des eindeutigen Zusammenhanges (2.7) zwischen der konvergenten Entwick- lung der Original- und der asymptotischen Entwieklung der Bfldfunktion. Im Inneren der Halbebene Re(~ x ) > 0 zieht n~mlich wegen des vorangehenden Exponentialgliedes e a ~ die Kongruenz zwisehen den Funktionen die Gleichheit ihrer asymptotischen Entwicklungen nach sich, und da nach Kon- struktion

1

f e(~-t) ~ v(t) dt ~ C~ ~(x) 0

gilt, ist ~lso 1

f e(1-t)~Xv(t) dt ~ C ~ R = Ca~ (x) , o

und dies l~i~t fiir die Wahl der Koeffizienten der konvergenten Entwicklung yon ~ keine andere MSgliehkeit zu, als die durch die linearen Gleichungen (2.6) vorgeschriebene.

Aus den fo]genden Hflfss~tzen wird sich u. a. ergeben, dab die Kongruenz (2.15) bei vorgegebener linker Seite stets eine LSsung in Gestalt eines Laplace- Integrales der gewiinschten Form besitzt, womit der Beweis yon (2.13) in allen Teilen abgeschlossen ist.

§ 3. Ein Faltungssatz fiir abgebrochene Laplace-Integrale

Hilfssatz 2. Es sei G(t) eine ganze und r(t) eine an der Stelle t~-O reguli~re und ligngs der reellen Achse i~ber den PunIct 1 hinauz ]ortsetzbare Funktion. Es sei [erner Re (~) > 0, dann ist die Faltung

t

(t) = / G ( t - u) uq log ~ (u)r (u) du

0

eine ira gleichen Um/ang /ortsetz~re Funktion, die sich an der Stelle t = 0 eben[alts beschriink.t und bestimmt verhdlt.

Beweis. Die Behauptung ist sicher riehtig fiir G ( t )= t , , / t ganz ~ 0, denn man hat

t 1

(t - u) t' uo log e (u) r (u) - ~ = to + . (1 - u/~' uo log k (u 0 r (u t) - - ~ = q~ (t). 0 0

Fiir qt, ergibt sieh hierbei die Absehii,tzung

Iq.I < ¢ It°+"l gleichm~13ig in tt, wenn It I beschr~nkt ist. Es konvergiert daher die Reihe

a~,qt,(t) t~=O

272 HA~s-WmRELM K~OBLOCm

gleichm~13ig in jedem beschr~nkten Bereich, sofern

eine ganze Funktion, womit auch der a]]gemeine Fall erledigt ist. IIiltssatz 3. E8 sei v2(t ) eine an der Stelle t -~0 multiplikative, beschriinkte

und lgngs der reellen Achse i~ber I hinaus /ortsetzbare Funktion mit einer k~/achen

NullsteUe be i t = 1 (k ~ 0). E8 sei ]erner R = ~ R , x -@+1) eine im Unend- ~ = 0

lichen reguliire und daselbst verschwindende Fun~ion, ¢ o

t ~ B(t) = X o R,.

ihre Borel~che Trans/ormierte und t

q~ = f B(t - u) y~(u) du 0

die Faltung yon B m i t ~. Dann gilt

( o / ) / , (3.1) e(i-o~(t) dt R(x)~ eO-~)~ ~(t)dt + x. rood x~+~, 0 ~ 1

Beweis. Nach Hilfssatz 2 ist ~ eine Funktion mit den gleichen Eigen- schaften hinsichtlich Entwickelbarkeit und Fortsetzbarkeit wie y~, insbesondere existieren s~mtliche Ableitungen T~(1) an der Stelle t = 1. Will man die Heranziehung des Faltungssatzes aus der Theorie der gewShnlichen Laplace-Integrale vermeiden, so kann man sich durch Koeffizientenvergleich unmittelbar yon der Richtigkeit der Behauptung fiberzeugen. Es genfigt, ein spezielles R = x-(a+ 1), s ~ 0, zu betrachten. Denn die Laurent-Entwicklung y o n

(Te <1- t>" ~])<')dt)R-*~-(Te(l-l'x~lJ(',dt)(i,~oRl, x-<l'-I-i) ) setzt sich niimlich einerseits koeffizientenweise aus den Entwicklungen

(~e ( T M ~P(t)dr)R,, x-("+')

zusammen, zum anderen ist

= ~----T--. ~(u) d R , ,

mad die Summe konvergiert gleichm~Big im Intervall (0, 1) sowie in einer hinreichend kleinen Umgebung um den Punkt 1. Wit kSnnen fiir den Beweis ferner o .E. annehmen, dub ~o eine gewShnliche Funktion, d .h . eine ein- gliedrige Zeile ist. Die Laurent.l~eihe

1 l

x - (S+l ) f e ( l -~ )~y~( t )d t= ~ x , f (1-t)'+'+l • = - ( ~ + 1 ) ( 8 ÷ v + 1 ) ! y~(t) dt

0 0


ha t man zu vergleichen mi t der Reihe

1 (/ ; , = o v! s! - ~(u) du + ~ x-" v = l 8! ~) (U) d u

o

Da nun bekann t l i ch das (s + 1)-fache i te r ier te In t eg ra l

t

(3.2) f (, + 1) F (u) du 0

stets als Fa l t ungs in t eg ra l t

(t-u)" F(u) du s!

o

geschrieben werden kann, so is t fiir v > 0, s > 0

1 t 1

dt ~ ~(u) du = ~,-~-~-~. ~(t) dt , 0 0 0

d. h. die Haup t t e i l e de r be iden Lauren t r e ihen s ind die gleiohen. F i i r v = - (1 _< ~ _< s + 1) ha t m a n wegen

I t d~-l f (t--u) s / ( t - - u ) "-'+1 dt "-~ s ~ y~(u) du = ( s - - ~ + l ) ! y~(u) du

0 0

die ~ b e r e i n s t i m m u n g in dem Koeff iz ien ten yon x - ' . Da schlieBlich ~ nach Vorausse tzung an der Stelle t = 1 eine k-fache Nulls te l le ha t , gi l t wei ter fiir s + l < ~ < k + s + 2

d ~-1 / (t--u)" du dt~-I ~ ~o(u) = ~(~- ' - 2) (1) = 0 , #

0 t = 1

so dab die Kongruenz

8 + 1 /" (1 _ t ) s + l _ , k + s + l (t_u)S 1 ,' , = l s! y~(u) du mod x~+,+~

0

besteht , und daher is t fiir jedes R = x-( '+1) die B e h a u p t u n g (3.1) r icht ig. I s t R zwar regulgr bei c¢, aber n icht no twendig ~= 0 m o d x -1, so gi l t die

Kongruenz (3.1) nur mehr noch m o d x - ( k + l ) mi t e iner geeignet abge~nder ten Funk t ion ~. Das folgt e infach daraus , dal3

( / e O - t ) z ~(t)dr)(bo+ blx-i+...)

=(fo ea-t)x YJ(t) dt) b° + ( i " " " dt) (blx-l + " " ") '

2 7 4 H A N s - W I L H E L M KNOBLOCH:

und

genfig~ wegen

triviaterweise der Kong~enz 1 1

]

f e(~- t) ~ ~v (t) dt 0

~v("~(1)=O ffir # = 0 , 1 . . . . . k - 1

e(1-O~F(t) , t t -~ e(~-t) x yJ(t) dt + ~ x-" ~p('-I)(1) mod 1 x k + l

0 0

so dai] wir allgemein sagen kSnnen: Er/i~llt ~p die Vorau.~setzungen yon Hil/esatz 3 und ist R an der Stelle c¢

reguldr, 8o ist

( / ) / • k

e(~-O ~o(t) dt R-~ eO-O~ ~(t) dt + ~ x -~ ~(~-1)(1) mod 1

0

wobei die Funktion ~ an der SteUe 0 sich bestimmt und beschrgnkt verl~U u~l liinffs der reellen Achse ]ortsetzbar ist.

§ 4. Formale Laurent-Reihen als Lfsungen

Es wird im folgenden mit formalen Laurent-Reihen (abgekfirzt : f. Laurent- Reihen) operiert, deren Hauptteil eine ganze Funktion darstellt, w~hrend die Restreihe divergieren darf. Zwei derartige Reihen lassen sich im allgemeinen nur dann miteinander multiplizieren, wenn ein Faktor eine konvergente und nach der SeRe der positiven Potenzen lain abbrechende Laurent-Reihe ist. F. Laurentreihen kSnnen ferner dffferenziert und also in das Differential- system (1.1) eingesetzt werden.

~Vir wollen nun die ganze Funktion L(M) zu einer f. Laurent-Reihe aus- bauen, indem wir ihr die Reihe nach Potenzen yon x -1

(4.1) ~ x - ' A (~¢)-~ V(~-1) (1) v = l

anh$ingen. Hierbei ist V( ~- x) die an der Stelle t = 1 genommene ( v - 1)-re Ableitung der av, s den Zeilen v (t) gebildeten Matrix V (t) und A (~¢) die aus den Eigenwerten c¢ yon A o zusammengestellte Diagonalmatrix, wobei jeder Eigen- weft ¢¢ so oft und in der gleiehen l~ihenfolge aufzunehmen ist, wie eia Integral der Form

1

f e (1 -o~v(O dt in L (M) vorkommt. 0

Ziel unserer Ausfiihrungen ist der Beweis yon drei grundlegenden Eigen- sehaften dieser Reihe, die wir in Form eines Satzes ausspreehen wollen.

Satz 1. Unter X (M) werde die/ . Laurent-Reihe c~

L(M) + ~ x - 'A(a) - 'V(~-*) (1) v = l

tTber LSsungen linearer Differentialsysteme 275

verstanden, wobei /iir ein gegebenes Di//erentialsystem

y ' - y M = O

L(M), V die eben erkliirte Bedeutung haben. Dann gilt:

(4.2) X ' - X M = 0 ,

(4.3) Bind M und M = R - 1 M R + R - 1 R ' dquivalente Systemmatrizen, so iot

X ( M ) R = X ( M ) ,

(4.4) ist Y eine /. Laurent-Reihe und

Y ' - Y M = 0 ,

so ist Y = C X (M) mit einer konstanten Matr ix C. Wir beginnen mit dem Beweis der beiden ersten Punkte. Mit X h = Xh (M)

bezeichnen wir die abgebrochene Reihe h

(4.5) X h ( M ) = L ( M ) + ~.," x - v ~ (Qc)-v V(~-I)(1) ,

X o ( M ) = L ( M ) ,

und ersetzen (4.2), (4.3) durch die gleichwertigen Aussagen: Es ist

1 (4.2') X~ - X~ M ~ 0 mod xh--~v

- - 1 (4.3') Xh (M) R =-- X h ( M ) mod x~ +1

flit jedes natfirliche h. Ausgangspunkt unserer Oberlegungen ist die Tatsache, dab die System-

matr ix eines gegebenen Differentialsystemes selbst die Rolle einer Sub- st i tutionsmatrix R spielen kann, wobei aus M dann die Systemmatr ix

M + M - 1 M '

(vgl. (1.6)) entsteht, denn M ist an der Stelle c~ regulgr und da~ Anfangs- glied A 0 hat eine nicht-verschwindende Determinante. Die Bildung yon Systemmatrizen Mk nach der Rekursionsformel

(4.6) Mk +1 = Mk + M~ 1 M~

(Mo= M) fiihrt also nicht aus der Klasse heraus.

Die Matrizenfunktion Xa(Mk) (vgl. (4.5)) bezeichnen wir zur Abkfirzung mit Xh,~ und zeigen zun~chst, dal3

d Xo,k = ~ Xo, k- 1

ist, oder, was offenbar auf das gleiche hinausl~uft, d ~ d k

Xo,1: = -d-~ Xo, o - dx k L ( M ) .

Einerseits hat man nach Hiffssatz 1 1

Xo, ~-1 Mk-1 ~- Xo, k mod x

Math. AnlL 134 19

276 H A N s - W I / ~ E L M K N O B L O C H :

und andererseits nach (2.13)

X ' k-l~-- Xo, k -1Mk-1 mod 1 0, X

und daher

X;, 1 k - x ~ X o , ~ m ° d x "

Da aber links und rechts ganze Funktionen stehen, kann das Kongruenz- durch das Gleichheitszeichen ersetzt werden. Wit ziehen daraus sofort eine Folgerung. Nach (2.13) besteht die Kongruenz

X~, ~ ------ X0, ~ M~ rood-1 x

fiir jedes k. Durch vollst~indige Indukt ion nach ]~ l~Bt sie sich zur Kongruenz

1 (4.7) X~, k --= Xo, • Mk mod xk + 1

verschiirfen. Sei k - 1 ~ 0 und

1 (4.8) X~,~_ 1 = X0,~_ 1 Mk_ 1 m o d ~

bereits bewiesen. Dann erh~ilt man dureh Differentiation

1 X H v o,k-i - X0,~-I Mk-1 -- Xo,~-x M~-I -- 0 mod x~+~ .

M~_ I i s t nun als Ableitung ------ 0 modx -I, so dab Xo,~_IM~_ I mit Hilfe yon 1

(4.8) m o d - ~ T i- ausgedriickt werden kann dutch r , ~Ar-1 ~,~, 2tO, k - - l ~ } - - I ~'±k - 1 "

Es ergibt sich daher weiter

X ~, , - I , 1 - M~-I M / ~ - I ) ~ 0 m o d x~+1 , o,~-1 Xo,~- I (Mk-~+

oder 1

X~, k - Xo, ~ M~ -- 0 mod x~+----y,

wie behauptet. Nun haben wit fiir Xo,0= L(M) eine explizite Darstellung durch abge-

brochene Laplace-Integrale

• 1

L(M) -- mit lo = f e(~-o~, v(O d r , 0

\lye~

an der wit die Differentiation unter dem Integralzeiehen ausffihren kSrmen:

i i) Xo,~ = - ~ - L ( M ) = = ~tlc f e ( 1 - * ) ~ v(t) ( 1 - t) / : d ~ . o

l

Die Originaffunktion bekommt also an der Stelle 1 eine k-fache Nullstelle. Das Hinzuffigen yon Potenzen yon x -~, wie es die Bfldung yon X,,~ aus X0,~

l~ber L(isungen linearer Differentialsysteme 277

gem~I3 (4.5) verlang~, kann also fiir ~ ~ k unterbleiben. Insbesondere ist

Xk, k ~ X o , ~ ,

und daher gilt wegen (4.7) auch

1 t _ _ , X~,~: = X~,~ M~ rood ~+~

Ffir das spezielle Dffferentialsystem

y ' = y Mk

aus der gegebenen Klasse und ffir h = k ist damit (4.2') bewiesen. Die Aus- dehnung des Resultates auf die gesamte Klasse bewirkt -- nach einem bereits einmal angewandten SehluB -- die Regel (4.3') ffir den l~bergang zu ~quivalenten Dffferentialsystemen, deren Beweis wir uns jetzt zuwenden. Fiir die Transformation der Matrix Xk, k= Xk(M~) mit einem beliebigen R ffihrt uns Hilfssatz 3 unmittelbar ans Ziel: Es besteht die Kongruenz

l~ k~R-- ~ e ~ - o ~ v ( O ( 1 - t ) ~ d t R

1

f ' 1 -~ e( 1-O~x q~(t)dt + ~" x- '~- '~v( ' - l ) (1) rood x~+--- r

0

mit einer geeigneten multiplikativen beschr~nkten, fortsetzbaren Funktion ~0. DaB diese Funktion dann mit dem zur Normalreihe ~ = 1~ R gehSrigen ~ identiseh ist, wissen wlr bereits, denn nach (2.13) stimmt der Hauptteil yon l~ (~)R mit

1 l-~= f e( 1- 0 ~ ~ ~ dt fiberein. Damit ist aueh (4.3') bewiesen, anseheinend zwar

0 mit der Einsehr~nkung, dab yon den beiden zu vergleiehenden M, M das eine gerade die spezielle Form eines M~ hat, wegen der Transitivit~t des ~quivalenzbegrfffes abet aueh allgemein: Zu beliebigen M, M aus der Klasse w~hle man ein M k und regulate R, R fiir die ~berg~nge M~-~ M, Mk-~ M. Dann gilt, wie eben gezeigt,

Xk,~R ~-- X k ( M ) modx -(e+ x)

Xk,~R --= X~(M) modx-(k+l).

Die Matrix R-1R besorgt nun den Weehsel yore System y ' = y M zu y ' = y M, und man hat

Xk(M) R-XR ~ X~,~R ~-- X~(.M) modx- ( ~+ x},

was zu zeigen war. Damit ist Satz 1 in seinen ersten beiden Teilen bewiesen. Ehe wit den

dritten in Angrfff nehmen, woUen wir die Darstellung der Matrix X (M) noch etwas vereinfachen. Wir fiihren zu diesem Zwecke die abkiirzende Bezeichnung

v(-~-~), V(-~-x)

ffir das (v + 1).fache iterierte Integral der Zeilen- bzw. Matrizenfunktionen v 19"

278 HANS-WILHELM KNOBLOCH:

und Vein, wie es (ffir v = 8) durch die Faltung (3.2) definiert ist. Die Potenz- reihenentwicklung ehaes einzelnen Laplace-Integrals kann dann in die Form gebracht werden

1 1

e(X-t)~Zv(t) dt = ~ x'ct" v(t) dt = ~ x" ~" v(-'-1) (1). ~= o j ----~--" • ~ 0

0 0

Indem man zeilenweise zusammensetzt, bekommt man ffir L(M) die Dar- stellung

L(M) = 2 x" A(~)" V(-'-~) (1), v ~ 0

die nichts anderes ist als die formale Weiterfiihrung der Entwicldung (4.1), so dab wit jetzt schreiben k6rmen

+co

(4.9) X ( M ) = ~ x ~ zJ (~)~ V(-~-1) (1). y ~ - - O O

Wir wollen diesen Ausdruck benutzen, um die Substitutionsregel (4.3) auf/~quivalenztransformationen im weiteren Sinne zu verallgemeinern, ffir die sie folgendermaBen lautet: Gehen M und M durch eine Substitution Y -+ Y P auseinander hervor und hat P an der Stelle ~ einen Pol der Ord- hung s, so ist

X ( M ) = A (~) 'X(M) P .

Es genfigt, den Fall P = x s zu betrachten. Dividiert man eine Normalreihe ~, die das System y ' = y M erfiillt, durch x e, so bekommt man eine (formale) LSsung 1~ des Systemes y ' = yM; nach Hilfssatz 3 stehen also die zugeordneten multiplikativen Funktionen ~ und v in der Beziehung

t

f (t-u),-~ V = (s--1)~ ~(U) du 0

= v(S), oder

und daraus folgt

X ( M ) = -~-go

Z x,A (~),lr-(,÷l)(1)

= ~ x~A(~)'V('-~-a)(1) y ~ - - c o

q-co

= A(ot)' x' z~, x 'A(~)" V ( - ' - I ) ( 1 ) = A ( ~ ) ' x ' X ( M ) , wie behauptet. "= - ~

DaB die Vieffachen C X(M) , G konstant, die einzigen f. Laurent-Reihen shad, welehe ein gegebenes I)ffferentiaisystem 15sen, wollen wir jetzt beweisen. Wit kSnnen uns dabei auf die Betrachtung kanonischer Matrizen beschr~nken. Die LSsungen ~quivalenter Dffferentialsysteme werden niimlich durch rechts- seitige Multiplikation mit R

y ~ y R

umkehrbax.eindeutig aufeinander bezogen (wobei X ( M ) und X ( M ) sich

Ober LSsungen linearer Differentialsysteme 279

gerade entsprechen). Linksseitige konstante Faktoren, um die sieh zwei Y unterscheiden, bleiben also bei ~quivalenztransformationen erhalten.

Es sei nun + Y = .~, D,x"

eine LSsung des kanonischen Systemes

Ftir die Koeffizienten D, besteht dann die zweigliedrige Rekursion

(4.10) D , ( v - A 1 ) = D , _ , A o .

Wir wollen zun~ehst voraussetzen, dab die Matrix A, keine ganzzahligen Eigenwerte ~ 1 besitzt. Dann folgt aus (4.10), dab jedes Dr fiir v =4 = 0 durch D o ausgedriiekt werden kann:

(4.11) Dr= DoHr

mit einer nur yon v abh~ngigen Matrix Hr. Zwei IAsungen -boo +oo

Y = ~7 D r x r und Y * = ~ D * x ~

stehen also genau dann miteinander in der Beziehung

Y * = C Y ,

wenn fiir die Koeffizienten Do, D* gilt

D o= C Do*. Was wir demnach zu zeigen haben, ist, dal] in der Entwicklung

+oQ X ( M ) = ~ x" A (~)" V(-r-l)(1)

y ~ - - O o

die Determinante de t (V(-1)(1))# 0 ist. W£re das Gegenteil der Fall, so g~be es eine Zeile c* aus nicht-s~mtlich verschwindenden Zahlen, derart, dab

c* V (-1) (1) = 0 und daher wegen (4.11)

c*A(~y V(-~-I)(1) = O, v = O, 1 . . . . oder o o

c* ~ x r A (~)r V(-,-1) (1)= c * L ( M ) = 0 grit. , - o Dies wgre aber, grob gesagt, ein Widerspruch zur vorausgesetzten linearen Unabh~ngigkeit der Normalreihen (1.2}. Im einzelnen ergibt sich das so. Das Produkt aus der Zeile c* und der Matrix L (M) ist eine Linearkombination

1 der Zeilen f e( 1- t)~ x v (t) d tmi t konstanten und nicht sgmtlich verschwindenden

0 Koeffizienten. Wir denken uns diejenigen Integrale, welehe das gleiche ~ im Exponenten ffihren, zu Gruppen zusammengefaBt und wollen eine yon ihnen ausfiihrlich hinsehreiben 1

S = e ~ ~_, cj e-~t*%(t) dt, j = l

0 19a

280 HKNs-WILHELM KNOBLOCH:

wobei die c~ konstante Zahlen sind und nicht s~mtlich versehwinden. Mit Hilfe der den vj zugeordneten Normalreihen v j 1/ABt sich dann S im Inneren der Halbebene Re(~ x) > 0 asymptotisch darstellen durch den Ausdruck

h

der nicht verschwindet, da die ~ linear unabh/ingig sind, d. h. es ist fiir Re(~x)-+ +

s = e ~ x ~ log~(x) (c' + o (tlogxt-t))

mit geeigneten 2, l u n d C =~ 0. Wit betrachten hlsbesondere im Inneren der Halbebene einen Winkel-

raum ~, der keine der Geraden R e ( ( ~ j - ~ k ) x ) = 0 im Innerenenth~lt (~j=k ark). Die verschiedenen Gruppen, aus denen sich c*L(M) zusammensetzt, mit ihren ffir das Wachstum ausschlaggebenden Exponentialgliedern e~j x 'bleiben ffir Re (~ x) ~ oo, x ~ ~, entweder besehrgnkt (wenn n/~mlieh Re (~ x) < < 0 in ~ ) oder aber sie waehsen exponentiell, und zwar untersehiedlich (wegen R e ( ( ~ j - ~ k ) x ) 0 = 0). Die letzteren sind in c*L(M) sicher vertreten, u .a . dureh den Ausdruck S, daher w~chst auch c*L(M) seinem Betrage nach, und zwar mindestens so stark wie S, kann also nicht verschwinden.

Es bleibt noch die Aufgabe, sich yon der Einschrgnkung hinsichtlich der Eigenwerte der Matrix A 1 zu 16sen. Wir betrachten zu diesem Zwecke an Stelle yon

das System

y ' = y (Ao + AI

~ ) , 8E

welches mit dem urspriingliehen dureh eine Aquivalenztransformation y -~ y x- ' im weiteren Sinne zusammenhi~ngt, und w~hlen die natiirliehe Zahl s so groB, dab die ganzzahligen Eigenwerte von A 1 - sE < 1 ausfallen. Naeh der zuvor be~4esenen Regel ist nun

(4.12) X(Ao +_~_)=x~A(x)sX(Ao + A,--sg

Eine formale Laurent-Re'nhe Y, welche dem urspriinglichen System geniigt, ergibt, mit x -8 multipliziert, eine LSsung des transformierten Systemes. Also ist

Yx- '=CX( A°+ A~-LsE)x " und daher auch

Y CxsX(Ao+ A~-'" (Ao+ - ~ ) = ¥ ) = ¢ A ( ~ ) - , x .

I)er Beweis yon Satz 1 ist nunmehr in allen Teflen abgeschlossen. Wir heben noeh die Tatsaehe besonders hervor, dab nach dem zuletzt

Bewiesenen jede in der Umgebung yon oo eindeutige (Zeflen-)Funktion,


welche das Differentialsystem erffiltt, ein Linksvielfaehes cX (M) der Basis- matrix X (M) ist mit einer Zeile c aus konstanten Zahlen. Hat das Differential- system n linear unabh~ngige derartige LSsungen, so kann man aus ihnen rfiekwirts die Zeflen yon X (M) linear kombinieren, deren Entwicklungen

+ ~

Z x" ~" v(- '-t) (1) v ~ - - o o

demnach konvergieren mfissen. Es besteht dann eine Absch~tzung der Form

[v(~) (1)1 < C"

fiir die Betr ige der Ableitungen yon v an der Stelle 1. Daraus folgt, dal]

t' v(1 + t) V(v) ( l )

v = 0 V!

und somit auch v(t) eine ganze Funktion yore Exponential typ darstellt. Es ist also die Entwicklung (2.4) yon v(t) an der Stelle 0 frei yon Logarithmen und multiplikativen t-Potenzen, d. h.

v ( t )= = % / ' ( e+#) oganz

ist im wesentlichen die Borelsche Transformierte der zugehSrigen und damit als konvergent erkannten Normalreihe

o(x) = e ~ ~ a~ x-("+q) . i t = 0

Wit haben also das Ergebnis : Er/iiUt ein Di//erentialsystem die Voraussetzungen yon § 1 und ist das allgemeine Integral eindeutig an der SteUe x = ~ , so sind die Normalreihen von der Form e~Zx q p (x -1) mit ganzem ~ und konvergentem p(x-1). Zur gleichen Aussage (fiir Dffferentialgleiehungen zweiter Ordnung) kam HOHEIS~L [7] mittels eines auf die Methode der schrittweisen Niherung gegriindeten Existenzsatzes fiber L6sungen mit gewissen Entwieklungs- eigenschaften.

§ 5. Die Koeff iz ientenformel yon CAVCHY als Bri icke zwischen Normalreihen

und formalen Laurent-Reihen. Beispiele

Wir besehr~nken uns in den nun folgenden Ausffihrungen auf den Fall, dab die Normalreihen s/imtlieh logarithmenfrei sind und man daher den Zusammenhang zwischen einer Normalreihe

(x) = e ~ • x -"

und der zugeordneten multiplikativen Funktion

v-~,~-_oa~' /~(O + ~)

leiehter fibersehen kann. Fiir hinreiehend kleine It] wird dann die m i t ~'

282 H A N s - W I L H E L M K N O B L O C H :

multiplizierte ( - v - 1 ) - f a c h e Ableitung o¢~v(-~-l)(t) dargestellt dureh die Reihe

~ v(-~-1) (t) = a, t~ +,÷v, ~=0 F ( ~ + # + v + l )

welche im allgemeinen an der Stelle t = 1 nicht mehr konvergieren wird. Wenn wit trotzdem sehreiben

co ( ~ # + v

(5.1) ~v(-v-l) (1)=~*~=u a~ F ( O + p + ~ + I ) ,

SO mfissen wir das Summenzeichen im Sinne der Abelsehen Summation verstehen, was wit durch einen * andeuten wollen. Wir nennen dabei (etwas aUgemeiner als sonst iiblich, aber den Gegenst~nden dieser Arbeit angepal~t) eine Reihe oo

~=0

summierbar im Sinne der abelschen Summation zum Werte B, wenn die Potenzreihe oo

~ = 0

fiir hinreiehend kleine ]ut konvergiert, die entstehende Funktion yon u li~ngs der reellen Aehse bis zum Punkte 1 regular fortsetzbar ist und dort den Weft B annimmt.

Nun kann der Quotient 0C/~ + t'

F(e+ #+~,+ 1)

aueh dargestellt werden als Grenzwert des Integrals

1 2~i / e~¢~(1) °+~+'+ldx lxl = K

K - ~ , sofern man sieh bei nieht-ganzem ~die Potenz (__~).o gem~B (2.5) ffir

festgelegt und yon beiden Seiten an irgendeinen in der Halbebene Re (~ x) < 0 gelegenen Verzweigungssehnitt heran fortgesetzt denkt. Dies ist sofort einzusehen, wenn ~ --- 1 ist,. denn man hat

K-+~olim 2~il / e ~ ( 1 ) , + o + ~ + ~ dx= __l_2zl / e® (1)~+q+,+~ dx , Ixl =K (- ¢¢, 0+, -~)

wenn man sieh etwa den Sehnitt auf die negativ-reelle Achse gelegt und die Sehleffe ( - c~, 0 +, - oo) um diese herumgeffihrt denkt. Die Beziehung

K-~oo 2~ i F ( q + p + ~ + 1) I~1 = K

stellt daher nichts anderes vor Ms die Hankelsehe Formel fiir die reziproke Gamma-Funktion s).

s) Siehe etwa [11], S. 245.

~ b e r LSsungen l inearer Dif ferent ia l sys teme 283

Fiir beliebiges ~ bekommt man zun~chst

Ix[ = K 8K. ~

wobei der Kreisbogen OK, ~ vom Radius K einen Winkel > zt iiberspannt, der die Halbebene Re(or x) > 0 im Irmeren enthi~lt und den wir immer so wahlen kSnnen, da$ unter Zugrundelegung der Normierung (2,5) ffir alle x

0

gilt. Wir k6nnen also fortfahren

lim _ 1 / e . Z ( 1 ) g + e + , ' + l d x = 1 ctQ+.+ ~ lim fe'(1)"+"+'+ldx -t~K, a 53K. 1

..... 2~1 ~ ' + ~ + ~ l i m i K ~ f e ' ( 1 ) ~'+°+~+ldx I~] = K

r ( o + , + ~ + 1) •

~ ' v ( - ' - 1 ) (1) n immt dann die Gestalt an

" / m (~o)-1 ~ * a 1 lim e ~ "+°+'+ldx g=0 g 2z i K - ~

I~I = K

-- das Summenzeichen immer im erw~hnten Sinne verstanden - - , die sich formal vereinfacht, werm wir uns zu der Schreibweise

f (,) r" ~ * a~, lim e az -- e + z + ' + l d x = lim j x-~-~dx p = 0 K--~ c¢ K'-'-~ ~

Ixl = K I~l = K

entsehliel~en. Die Berechnung des Integrales rechts hat dana nach dem Schema zu erfolgen: Einsetzen des expliziten Ausdruekes fiir die Normalreihe, gliedweise Integration, gliedweiser Grenziibergang, Summation.

Aus den Zeilen ~v(-~-x) (1) setzt sieh nun der Koeff iz ient / I (u)~ V(-~-I} (1) von x ~ in der Entwicklung X(M) zusammen, so dal3 wir demnach letztere auch in die Form bringen k6nnen

+¢¢ 1 f g ~($) (5.2) X ( M ) = ZI(~)-~ ~ x ~ lira 2:t----T j ~ d t , !x[ = K

wobei ~(x) die aus den Normalreihen 1~ (x) als Zeilen bestehende Matrix ist und die ¢¢q zu einer Diagonalmatrix A (aq) vereinigt sind.

Eine in der punktier ten Umgebung yon co eindeutige reguliire LSsung / des Dffferentialsystemes ist naeh Satz I ein linksseitiges Vielfaehes v o n X (M), 4. h. es gibt eine Zeile ~ aus konstanten Zatllen, derart , dab ] gleidh dem Pro. dukt cX(M) ist. Ffir die explizi¢~ ]~s t immung yon c stehen uns gemiill (5.2)

284 HANs-WILHELM KNOBLOOl:I:

die unendlieh vielen linearen Gleiehungen

lira f f * (x). K-~lxi/x~+lJ=K dx= c A(~)-lK~lim J ~ a x I~l = K

zur Verfiigung, yon denen allein die fiir v > 0 ausreichen, um c eindeutig anzugeben. Andernfalls g~be es n~mlich eine nicht-triviMe LSsung c* der Gleiehungen

c*zJ (=e)-i lira f * ~3(x) dx = c*A (=)~ V(-~-1)(1) = 0 v = 0, 1, 2, und K - . ~ c ¢ , / x V + l ~ * " " ~

daraus wfirde c*L(M) = 0

folgen im Widerspruch zu unseren Ausffihrungen in § 4. Wir betrachten jetzt den Fall, da6 das Differentialsystem die Ordnung 2

hat und dab es zwei Normalreihen der Form

[ I \el , l ( x ) = e~X~x- } ~ al, , x - ' , , , (x)=e-~(l~)e" ~ x-"

~=o \ x / ~=o a2"

gibt, welche ihm genfigen. Der Haupttefl F yon / stimmt dann mit dem Hauptteil yon cL (M) fiberein,

d. h. es ist (mR c = (% c~)) 1 1

(5.3) F = c~ f e(a-t) ~ v~(t) dt + c~ f e-(~-t) ~ v~(t) dr, 0 0

und daraus folgen die asymptotisehen Entwicklungen in den SkMen e ~ z ( 1 ) e+"

(5.4) [ ~ F ~ c~(eo')-lvl ffir das Innere der Halbebene Re(~¢ x) > 0

1 ~, F ~ % ( ( - ~¢)~,)-1v~ fiir das Innere der Halbebene Re(e x) < 0 .

Die c~ sind dabei durch die GMchungen

(5.5) lim / /(x) dx= / * ~ ( x ) ~ _

t~1 = K t~1 = K

+ c~ ( ( - o:) ° ')- 1 lim d x K-.~cw

f~ l = K

festgelegt. Ist nun Re(~ 0 > 0, so kann der Integrationsweg Ix t = K auf den in der Halbebene Re(~ x) > 0 verlaufenden Tell reduziert werden, denn dies ist ffir ein einzelnes ,,Summenglied" m6glieh:

und Integration und Grermiibergang sind ja an den Normalreihen gliedweise auszufiihren. Entspreehendes grit fiir das zweite Integral, so dab wir unter

~ber LSsungen linearer Differentialsysteme 285

der Voraussetzung Re (~) + u > 0 die Beziehung (5.5) in der Form schreiben kSnnen

(5.5') ~oolim ~ . J - ~ d x

[ f* / * c~ff-:c)q')-l~2(X)dx ) = lira c~(~1)-1 ~ (x) dx + \ Iz~=K jxt=K

Re(ax) ~ 0 Re (ax) ~0

in der sic, h£1t man (5.4) daneben, der Hopfschen Formulierung yon dcr ,,Er- setzung des Funktionswertes durch die asymptotische N~herung bei der Bildung Cauchyscher Integrale" genau entspricht. Im iibrigen kann im vor- liegenden FaUe in der Vorschrfft zur Berechnung der Integrale

lim f * Vl12 (x) dx K--~ oo J X~+I

Ixl =K

der Zusatz ,,ira Sinne der Abelschen Summation" gestrichen werden, denn aus der divergenten Potenzreihe Vl/2(x) entsteht nach gliedweiser Integration und Grenziibergang eine konvergente Reihe. Da w i r e s hier nur mit den Eigcnwerten ± ~ zu tun haben, kommt auger Null nur noch die singul~re

Stelle 1 ~ 2 (vgl. § 2) ffir die Funktion in Betracht, d .h . die Reihen-

entwicklung fiir v ist sicher noch an der Stelle 1 giiltig. Wir wollen sehlieBlich annehmen, dab das Dffferentialsystem (der Ord-

hung 2) eine LSsung der Form

/ = x~l~l* (x)

besitzt, wobei ]* eindeutig ist und k, p teflerfremde ganze Zahlen sind. Es sei

/ ~ clv 1 in der Halbebene Re(0cx) > 0 ,

/ ~ c~v2 in der Halbebene Re(~x) < 0 .

Dann ist [*= [x -k/~' eindeutige L6sung eines entsprechend abgc~nderten Systemes mit den Normalreihen x- ~/~ vx (x), x- ~/~v~ (x), und aus (5.5') folgt:

lira f ]x-kl~ " * clx-~lJ'vl dx,@ c~'x-klPvs dT, K--*¢¢ j - - ~ 4 ~ a X = Ylm x~'+ 1 x "+1 f

tzi = K Ixt = K 0 R e ( ~ x ) ~ 0 (5.6)

/ ist eine eindeutige Funktion in der Ver~derlichen z = ~'x und wird in

jedem Winketraum ~---p 2 ~_ arc(z) < ~ (2 + 1) (den wit mi~ ~ bezeichnen

wollen) asymptotisch durch eine Normalreihe ~a (z) dargestellt, wobei ~a entweder mit ClV~(z ~) oder mit c2v~(z ~) iibereinstimmt. Man iiberlegt sich nun

leicht, dab auch auf die Funktion ]~z) = [ (z~) das Hopfsche Prinzip yon der ,,Ersetzung usw." wSrtlich angewendet werden kann. Denn ist ztm~chst

2 8 6 HANs-WILHELM KNOBLOCtt :

~ 2 n ~ ( k - v ) v ~ k rood. p, so m u l t i p l i z i e r t s ich ] z -~ m i t e v , w e n n m a n z d u r e h

2 h i

z e v e r se tz t , e in e n t s p r e c h e n d e s V e r h a l t e n mfissen d a n n a u c h d ie N o r m a l r e i h e n

~a (z) z - " zeigen, we lche Tz - ' in den v e r s e h i e d e n e n W i n k e l r ~ u m e n a s y m p t o t i s c h a n n i h e r n , d. h. es i s t

(k - ~) - - - ~ + ~ ( z ) z - ~ = e ~ ~ ( ~ z ) ( ~ z ) - ~ , ~ = e ~ ,

u n d d a r a u s fo lg t

2p f ~a dz

~t=l lzt = K z e t a

~o ~ e ~ (~- ~)~ = O. - - z ~ z a e -~ (k-O~ + z ~ z a=0 ]zl = K ]zl = K zea l zE~5~

A n d e r e r s e i t s f eh l t in de r E n t w i c k l u n g y o n [(z) d ie P o t e n z z ~, u n d d a h e r gi l t t r i v i a l e r w e i s e

f ~(z) dz 2p f Y~(z) dz (5.7) K--,~lim f l z ,+l = ~=iZ K-~oolim f l z,+~ '

Iz[ = K ~ Izl = K zE~).

u n d z w a r ohne j ede E i n s e h r ~ n k u n g h in s i ch t l i ch v. I s t d a g e g e n v y o n der F o r m v = k + v'p, so k a n n d ie R i c h t i g k e i t y o n (5.7) n u r m e h r n o c h ffir h in - r e i e h e n d groBe v b e h a u p t e t we rd en , d a n n a b e r in d e r s ch~r fe ren F o r m , d a b sogar

Z ( .f f , l im [ d z = l im ~ a + ~ l d z + ~+~ dz (5.7') ~ - ~ J x-*oo z~+l z ,+l ]

~ K , ~ tzl = K lzl = K zE~ t~+ ~ z E ~ t +~

grit , w e n n ~K, ~ ein K r e i s b o g e n y o r e R a d i u s K is t , de r e in P a a r y o n W i n k e l - r ~ u m e n ~ z a + i , ~sx+~ f i b e r s p a n n t . F i i h r t m a n n ~ m l i e h i i be ra l l in (5.7') w iede r x a l s I n t e g r a t i o n s v e r i i n d e r l i e h e ein, so gehen d i e I n t e g r a l e , a b g e s e h e n y o n d e m g e m e i n s a m e n F a k t o r l /T , g e r a d e in die e n t s p r e e h e n d e I n t e g r a l e in (5.6) f iber (mi t v = v').

Sa tz 2. Ist / = x ~/v./* LSsung eines DiHerentialsystemes der Ordnung 2 vom Range I und ist / bia au/ den Faktor x ~/v eindeuti 9 in der Um(]ebung von oo, so kSnnen liar geniigend grofle v die Cauchyschen Integrale

lira f l(z~) dz ~ o o j

lzl = z

ausgewertet werden, i n ~ m man unter dem Integralzeichen den Funktionswert dutch die ~eweiligen asymptotischen N~herungen ersetzt, gliedweise integriert und y~iedweise zur Grenze i~bergeht.

t~ber L6sungen line~rer Differentialsysteme 287

Die yon HoPl~ in [8] durchgerechneten Beislaiele

(I) y" ÷ x'~y= O, ( I I ) y , , l ,

- - ~ y + g x 4 y = O ,

(III) y,,_ ( l _ xS) y, + 9 ~ y = O ,

iIV) y , , _ lx y + ' (7x4 _ ~ ) y = 0 '

(V) y " - ( x s - k s) y = 0

entstehen sgmtlich aus Dffferentialgleichungen veto Range 1 (ngmlich aus der Kummerschen, Besselschen und Weberschen Dgl))) dutch elementare Sub- stitutionen der Form x-~ c x~, y-+ x ~ y, und zwar gehen dabei zwei linear- unabh~ngige multiplikative LSsungen der urspriinglichen Gleichungen in ganze Funktionen fiber, so dab Satz 2 anwendbar wird auf jede LSsung / eines der Beispiele (I), (II), (IV) und iV). (III) f~llt aus dem Rahmen unserer Theorie, da das charakteristische Polyn0m der Dgl. den Eigenwert 0 hat. Dies dfirfte auch der Grund ffir die Schwierigkeiten sein, auf die HoPF bei der Durchrechnung stieB und die ihn veranlaBten, yon (III) mittels einer

Substitution y ~ y exp - - -~- zu (IV) fiberzugehen. Ferner l~llt sieh mit

den bier entwickelten Hilfsmitteln die Formel (89) (letztes Beispiel) nieht reehtfertigen, da das dort gew~Mte ~ = - 1 unterhalb der Schranke liegt, yon der an Satz 2 anwendbar wird, ebenfalls vermochte ich die Gitltigkeit der Bedingung (78) nicht einzusehen. Bei allen fibrigen Rechnungen sind die Voraussetzungen yon Satz 2 hinsichtlich der Wahl yon ~ erffillt, oder aber ist yon allen Einsehrgnkungen befreit, weft die Gleichheit (5.7) auf triviale Weise zustande kommt ( s. o.). Zus~tzliche Betrachtungen sind lediglich beim ersten Beispiel erforderlieh, welches auf die Besselsehe Dffferentialgleichung

1 vom Parameter a = - - ~ zurfiekgefiihrt werden kann und in der vorliegen- nq-2 den Form zwei ganze LSsungen

/a~ i ~ ÷s) (5.8) ym -- (x as (xn+s)

trod zwei Normalreihen

(5.8') OI, II f i e ~ i "~-~ " ) 1nit gebrochenen Potenzen im Exponentialglied besitzt (q~/2iu),R(u)) sind Potenzreihen in u). Satz 2 l~13t sich dann zunKehst anwenden auf die Funk. tionen

y~/2 (z~)

nait den asymptotischen Entwieldungen ~x(z), die abwechseln4 yon CrOi(z ~)

6) Far die Beispiele (I), (II), (IV) hat dies H. SCtm'~DT bemerk% vgl. das Referat in den Fort~chritten der Mathematik, Jahrgang 1935.

288 HANs-WILHELM K~OeLOCH: t~ber L6sungen Hnearer Differentialsysteme

und Cn~ii (z 2) gestellt werden. Insbesondere gilt [vgl. (5.7)]

(5.9) lim f Yl'~{z') dz 2("+2) f I, = l K---.~ co Z ~ v Z

[z[ = K I z [ = K

Nun ist Yl/2 (z~) eine gerade Funktion, und es gehen die asymptotischen Ent- wicklungen in zwei diametral gelegenen Sektoren bei der Substitution z - ~ - z ineinander fiber. Man kann daher in der Formel (5.9) den Inte- grationsweg beiderseits auf die obere Halbebene reduzieren und anschlieBend z wieder durch Vx ersetzen, was auf das gleiche hinausl~uft wie die wort- getreue Anwendung des Prinzipes yon HoPF auf (5.8).

I m fibrigen sei noch darauf hingewiesen, dag in der zitierten Arbeit die Beispiele (I), (II) und (V) yon einem anderen Gesichtspunkt aus betrachtet werden, als wir ihn bisher durchweg eingenommen haben. Es werden n~mlich dort gegebene Kombinat ionen aus asymptotischen Entwicklungen daraufhin

,untersucht, ob sie ein und dieselbe konvergente Entwicklung ann~hern (in verschiedenen Teilen der Ebene). Wenn man nun yon vorneherein beachtet, dab die mSglichen asymptotischen Entwicklungen sich in Wirklichkeit auf die zwei Typen ci ~I (x) und cii ~Ii (x) reduzieren, dab es ferner keine Polynom- 15sung der betreffenden Dffferentialgleichung gibt (was man dem jeweiligen Fundamentalsystem Yl/2 unmit telbar ansieht) und dab somit eine yon Null verschiedene LSsung auch eine yon Null verschiedene Kombinat ion {ci~i, cii~ix} yon Normalreihen als asymptotische Entwicklungen best immt, so folgt nach einfachen S~tzen der linearen Algebra, dab es auch zu vorge- gebenen ci~i, cii~ii eine zugehSrige LSsung Yo der Dffferentialgleichung geben muB. ~ b e r diese naheliegende Feststellung hinaus gibt nun Satz 2 ein Mittel an die Hand, Y0 unmittelbar aus den Gegebenheiten ci~i, cn~i i zu konstruieren.

Literatur [1] BIRKHOFF, G. D.: Equivalent Singular Points of Ordinary Linear Differential

Equations. Math. Ann. 74, 134---139 {1913). - - [2] Cot'E, F. T.: Formal Solutions of Irregular Linear Differential Equations. Part II. Amer. J. Math. 58, 130--140 (1936). - - [3] DOETSeH, G.: Theorie und Anwendung der Laplace-Transformation. Berlin: Julius Springer 1937. - - [4] FO~D, W. B.: Asymptotic Developments of Functions Defined by MacLaurin Series. Univ. of Michigan Studies, Seient. Ser. Vol. XI, 1936. - - [5] FRA~K- Lr~, P.: Functions of a Complex Variable with Assigned Derivatives usw. Acta math. 47, 371---385 (1926). - - [6] HrLLe. E.: On the Logarithmic Derivatives of the Gamma- Function. Kgl. Danske Vidensk., Math. fys. Meddel. 8, 1 (1927), 58 S. - - Zero Point Problems for Linear Differential Equations of the Second Order. Mat. Tidskr. B 1927, 25--44. - - [7] HOHEISEL, G.: Untersuchungen fiber die asymptotische Integration linearer Differentialgleichungen. J. reine u. angew. Math. 153, 228--244 {1924}. [8] HoPF, L.: Fortsetzungsrelationen bei L6sungen gewShnlicher linearer Differential- gleichungen. Math. Ann. 111, 678--712 (1935). - - [9] LA~G~,R, E.: On the Zeros of Exponential Sums and Integrals. Bull. Amer. Math. Soc. 37, 213--239 (1931). [10] STJ~R~B~m~, W. : t~ber die asymptotische Integration yon Differentialgleichungen. Math. Ann. 81, 119--186 (1920). - - [11] WHrrT~tKBR-WATsO~: A Course of Modern Analysis. IVth ed. Cambridge 1927.

(Einge4ange~ am 21. A~ril 1957)

zusammenhänge zwischen konvergenten und asymptotischen entwicklungen bei lösungen linearer...

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