Zusammenhänge von Variablen ab Nominalskalenniveau

• Benninghaus S. 168-204• Zusammenhänge, Kontingenzen,

Assoziationen, Korrelationen• Es wird überprüft, ob Variablen gemeinsam

auftreten bzw. gemeinsam variieren• Zusammenhangsmaße haben einen Grad

(Höhe) und eine Richtung (positiv, negativ), reichen meist von -1 bis +1, wobei das Vorzeichen nur ab Ordinalskalenniveau interpretierbar ist

• Ziel: Man will die Varianz einer abhängigen Variablen durch die unabhängige vorhersagen bzw. erklären (bei asymmetrischen Hypothesen) oder das gemeinsame Auftreten zweier Variablen prüfen (bei symmetrischen)

• Statistischer Zusammenhang bedeutet nicht kausaler Einfluss!

• Vorher werden eine Null-Hypothese und eine Alternativhypothese aufgestellt, z.B. „Frauen und Männer unterscheiden sich nicht in der Sprachkompetenz“; „Frauen sind besser in der Sprachkompetenz als Männer“ (keine deterministischen, sondern probabilistischen Hyp.)

3 prinzipielle Verfahrensweisen

• 1. Eine statistische Assoziation besteht, wenn die bedingten Verteilungen verschieden sind (Vergleich der Spaltenprozente; Prozentrangdifferenz, Odds Ratio)

• 2. Man schaut sich an, wie die Tabelle bei Unabhängigkeit der Variablen aussehen müsste, vergleicht dies mit den echten Daten (Chi-Quadrat und darauf aufbauende Maße: Phi-Koeffizient, Cramers V, Kontingenzkoeffizient C)

• 3. PRE-Maße (proportional reduction of error): Man schaut sich an, wie viele Fehler man bei der Vorhersage der AV ohne / mit Kenntnis der UV macht und vergleicht das Verhältnis beider Fehler; Lambda (nominal), Gamma (ordinal), r², Eta² (Intervall)

Praktisches Vorgehen: Erstellung einer bivariaten Tabelle

• bivariate Tabelle, Kontingenztabelle, Kreuztabelle:

• Xj Werte der UV• Yi Werte der AV• fij Zellenhäufigkeiten• nij Randhäufigkeiten• immer die UV in die

Spalten setzen!!!!

X1 X2

Y1 f11 f12 n1.

Y2 f21 f22 n2.

n.1 n.2 n..

Praktisches Vorgehen: Vergleich der Spaltenprozente

• Man setzt f11 und f21 mit n.1 in Beziehung (Spaltenprozente) sowie f12 und f22 mit n.2.

• Dann werden zeilenweise die relativen Häufigkeiten verglichen.

• Dies ist noch keine statistische Maßzahl, nur ein Überblick

X1 X2

Y1 f11 f12 n1.

Y2 f21 f22 n2.

n.1 n.2 n..

Bivariate Häufigkeitsverteilung (1)

Berufliche Stellung des Vaters und höchster allgemeinbildender Schulabschluß des Befragten (Rohdaten bzw. Urliste)Als Beispiel dienen die Angaben über die berufliche Stellung des Vaters und den höchsten allgemeinbildenden Schulabschluß des Befragten in der Befragung von Benninghaus (1987) . Da es sich um viele Fälle (n=60), aber nur zwei Variablen handelt, werden die Rohdaten der Einfachheit halber nicht in Form einer Matrix, sondern in Form einer Liste der einzelnen Variablenausprägungen angegeben.

V172 Berufliche Stellung des Vaters: 2, 1, 2, 1, 4, 1, 1, 3, 1, 5, 4, 2, 5, 1, 2, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 5, 4, 5, 4, 2, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 3, 4, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 3, 3, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 3. V169 Höchster allgemeinbildender Schulabschluß: 1, 1, 1, 3, 4, 2, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 1, 2, 1, 4, 1, 4, 3, 1, 2, 4, 1, 3, 4, 2, 4, 4, 1, 1, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 4, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2.

Bivariate Häufigkeitsverteilung (2)

Ergebnisse der SPSS-Auswertung der Datei MABT60

Die Kreuztabelle sollte so aufgebaut werden, dass die unabhängige Variable die Spalten und die abhängige Variable die Zeilen der Tabelle definiert. Durch zeilenweises Lesen der Tabelle kann man dann erkennen, wie sich die Anteile einzelner Ausprägungen der abhängigen Variablen für die verschiedene Werte der unabhängigen Variablen unterscheiden.

Bivariate Häufigkeitsverteilung (3)

Statistische Graphik: gestapeltes Säulendiagramm

Die einzelnen (durch einen Zwischenraum getrennten) Säulen repräsentieren die (diskreten) Ausprägungen der unabhängigen Variablen. Die einzelnen Segmente jeder Säule zeigen den prozentualen Anteil der jeweiligen Ausprägung der abhängigen Variablen (bezogen auf die Zahl der Befragten mit der jeweiligen Ausprägung der unabhängigen Variablen).

Bivariate Häufigkeitsverteilung (4)

Gestapeltes Säulendiagramm

Unterschiedlich starke Zusammenhänge

Organisatorisches

• Weihnachtspause 24. 12. – 4. 1.• Literatur: Benninghaus S. 204-232• Restprogramm der Zusammenhangsmaße:• Chi², Phi, Cramers V, Pearsons C, Lambda,

Korrelation und Regression, Varianzanalyse

Zusammenhangsmaße: 3 prinzipielle Verfahrensweisen

• 1. Eine statistische Assoziation besteht, wenn die bedingten Verteilungen verschieden sind (Vergleich der Spaltenprozente; Prozentrangdifferenz, Odds Ratio)

• 2. Man schaut sich an, wie die Tabelle bei Unabhängigkeit der Variablen aussehen müsste, vergleicht dies mit den echten Daten (Chi-Quadrat und darauf aufbauende Maße: Phi-Koeffizient, Cramers V, Kontingenzkoeffizient C)

• 3. PRE-Maße (proportional reduction of error): Man schaut sich an, wie viele Fehler man bei der Vorhersage der AV ohne / mit Kenntnis der UV macht und vergleicht das Verhältnis beider Fehler; Lambda (nominal), Gamma (ordinal), r², Eta² (Intervall)

Prozentrangdifferenz

• gibt an, um wie viel Prozentpunkte eine bestimmte Ausprägung von y bei x1 höher ist als bei x2

• z.B. um wie viele Prozentpunkte der Anteil der Personen, die keiner Religionsgemeinschaft angehören, bei Männern größer ist als bei Frauen.

Prozentsatzdifferenz

a bd% =100* ( ---- - ---- ) a+c b+d

Wertebereich -100 bis 100

a b

c d

Interpretation Prozentsatzdifferenz

30% aller Beschäftigten mit eher kurzer Berufstätigkeit (bis 25 Jahre) haben Vorgesetztenfunktionen.

50% aller Beschäftigten mit eher längerer Berufstätigkeit (über 25 Jahre) haben Vorgesetztenfunktionen.

Die Prozentsatzdifferenz beträgt 100*(15/30 - 9/30) = 20. Sie gibt an, um wieviel Prozentpunkte der Anteil der Vorgesetzten bei den länger Berufstätigen höher ist als der entsprechende Anteil der kürzer Berufstätigen. Man muss sich die Prozentsatzdifferenz selber ausrechnen, sie wird im Computerausdruck nicht ausgegeben.

Interpretation: Der Anteil der Personen mit Vorgesetztenfunktionen ist bei den Beschäftigten mit eher längerer Berufstätigkeit um 20 Prozentpunkte höher als der entsprechende Anteil bei den Beschäftigten mit eher kurzer Berufstätigkeit.

Vorgesetztenfunktionen (dichotom) nach Berufserfahrung (dichotomisiert)

• Hat die UV 3 Stufen, gibt es schon 3 Prozentrangdifferenzen (2 voneinander unabhängige), auch bei mehreren Ausprägungen der AV wird die Lage unübersichtlich. Man kann zwar mehrstufige Variablen durch Zusammenfassen in 2*2-Tabellen umformen, sollte dies aber nicht willkürlich tun, da die Ergebnisse vom Schnittpunkt abhängen. Für größere Tabellen gibt es andere Maßzahlen, s.u.

Odds

• Odds sind Größenverhältnisse zweier Ausprägungen einer Variablen. Die Ausprägung wird hier nicht zu den Randhäufigkeiten in Beziehung gesetzt, sondern zu einer anderen Ausprägung.

• Beispiel: Sind in einer Stichprobe 120 Frauen und 80 Männer, ist das Verhältnis zwischen Frauen und Männern 120 / 80 = 1.5. In der Stichprobe sind 1.5 mal so viele Frauen wie Männer.

Odds Ratio; Kreuzproduktverhältnis

a -- c------ b -- d

Der Wertebereich ist 0 bis unendlich, bei Unabhängigkeit beider Variablen ist der Wert 1.

Interpretation Odds, Kreuzproduktverhältnis

Die Odds (Chancen), eher Vorgesetzter als kein Vorgesetzter zu sein, betragen für die Beschäftigten mit eher kurzer Berufstätigkeit (bis 25 Jahre) 9 zu 21 (oder 3 zu 7 oder 1 zu 2,333). In Zahlen: Odds = 9/21 = 3/7 = 1/2,3333 = 0,4286.

Die Odds (Chancen), eher Vorgesetzter als kein Vorgesetzter zu sein, betragen für die Beschäftigten mit eher längerer Berufstätigkeit (über 25 Jahre) 15 zu 15 (oder 1 zu 1). In Zahlen: Odds = 15/15 = 1.

Das Kreuzproduktverhältnis beträgt: (15/15) / (9/21) = 1 / 0,4286= 2,3333. Es gibt also an, um welchen Faktor die Odds der länger Berufstätigen größer sind als die Odds der kürzer Berufstätigen. Es wird im SPSS-Ausdruck in der Zeile "case control" unter der Überschrift "Relative Risk Estimate" ausgedruckt.

Interpretation: Die Odds (Chancen), eher Vorgesetzter als kein Vorgesetzter zu sein, sind für die Beschäftigten mit eher längerer Berufstätigkeit 2,3 mal größer als die entsprechenden Odds für die Beschäftigten mit eher kurzer Berufstätigkeit.

Vorgesetztenfunktionen (dichotom) nach Berufserfahrung (dichotomisiert)

Problem bei Prozentrangdifferenz und Odds Ratio

• werden unübersichtlich bei größeren Tabellen, da dann mehrere d% und OR berechnet werden müssen, daher andere Verfahren:

Chi-Quadrat

• Prinzip: Man vergleicht die Kreuztabelle mit einer fiktiven Tabelle, die bei Unabhängigkeit beider Variablen aus den Randverteilungen resultieren würde. Weichen beide Tabellen stark voneinander ab, gibt es einen Zusammenhang.

Χ2 = e

eb

fff 2)(

Chi-Quadrat

fb = Zellenhäufigkeiten in der tatsächlichen Tabelle

fe = bei Unabhängigkeit erwartete Häufigkeiten,

die berechnet man wie folgt:

feij = n

nn ji ..

erwartete Häufigkeit in jeder Zelle

Schulbildung

niedrig hoch

26

nein

Berufs- 34

wechsel ja

33 27 60

Beispiel: beobachtete und erwartete Häufigkeiten

914.3

1711.7

2418.7

1015.3

Zelle oben links: erwartete Häufigkeit=26 * 33 / 60=14.3

Arbeitstabelle

i j fb fe fb-fe (fb-fe)² (fb-fe)² / fe

1 1 9 14.3 -5.3 28.09 1.96

1 2 17 11.7 5.3 ~ 2.40

2 1 24 18.7 -5.3 ~ 1.50

2 2 10 15.3 5.3 ~ 1.84

Summe =7.70

))()()(()( 2

dbcadcbabcadN

Χ2 =

einfachere Formel für Chi² nur für 2*2-Tabellen

Problem des Chi²-Koeffizienten

• Chi² ist von seiner Größe her nicht zu interpretieren, da er nicht von 0 bis 1 reicht, sondern von 0 bis N. Er variiert mit der Anzahl der Untersuchungseinheiten (bei mehr Personen wird der Wert größer). Daher verschiedene Versuche, den Wert an der Anzahl der Untersuchungseinheiten zu standardisieren:

N

22

N

2

Phi-Koeffizient

(im Beispiel Phi = .36)

Interpretation: ein Zusammenhang von über .30 ist schon durchaus deutlich, ein Zusammenhang von über .50 ist hoch und einer über .80 erstaunlich, unter .10 spricht man gar nicht von einem Zusammenhang; hier gibt es aber keine festen Grenzwerte.

))()()(( dbcadcbabcad

einfachere Berechnung Phi für 2*2-Tabellen

im Beispiel Phi = -36

nach dieser Formel hat Phi also ein Vorzeichen und reicht von -1 bis +1

Problem bei Phi

Der Wert reicht zwar von 0 bis 1 bzw. nach der zweiten Formel von -1 bis 1, jedoch nur bei 2*2-Tabellen, sonst kann Phi größer als 1 werden, daher besser:

V2 =

)1,1min(

2

crN

V = )1,1min(

2

crN

Cramer´s V

min (r-1, c-1): Anzahl der Zeilen oder Spalten, je nachdem, was weniger sind, minus 1

bei 2*2-Tabellen ist V mit Phi identisch

Nc

2

2

ckorrigiert= maxcc

KKc 1

max

Pearsons Kontingenzkoeffizient C

Der obere Grenzwert ist kleiner als 1.

Daher berechnet man den maximal möglichen Wert

(k = min r,c)

und teilt C durch diesen. Damit erhält man C korrigiert.

Wertebereich 0 bis 1

Fazit

• Gebräuchlich sind alle Koeffizienten, also sollte man sie kennen. Besonders empfehlenswert ist Cramers V, weil er immer von 0 bis 1 reicht. V ist ein vorzeichenloses Zusammenhangsmaß für Variablen mit beliebigem Skalenniveau (ab nominal).

Drittes Prinzip für Zusammenhangsmaße

• PRE-Maße (proportional reduction of error): Man schaut sich an, wie viele Fehler man bei der Vorhersage der AV ohne Kenntnis der UV macht und wie viele Fehler mit Kenntnis der UV. Dazu braucht man eine Fehlerdefinition (Anzahl falsche Zuordnungen in der Häufigkeitstabelle). Man vergleicht das Verhältnis beider Fehler. Pre-Maße gibt es für alle Skalenniveaus, wir behandeln das Maß für Nominalskalenniveau: Lambda. Dieses gibt es für symmetrische und asymmetrische Hypothesen. Wir beginnen mit dem asymmetrischen Maß und einem Beispiel:

Hypothese: Nach langer Lernzeit im Beruf steigt das Einkommen

Lernzeit kurz mittel lang

Summe

Einkommen niedrig

8 9 1 18

mittel 6 9 4 19

hoch 2 8 11 21

Summe 16 26 16 58

Vorgehen

• Wie viele Fehler machen wir bei der Vorhersage der AV nur anhand der Randverteilung? Wir sagen für jede Person sinnvollerweise den häufigsten Wert vorher (Modalwert), das ist ‘hohes Einkommen‘, kommt 21 mal vor also machen wir 58-21= 37 Fehler.

• Wie viele Fehler bei Kenntnis der UV? Wir sagen für jede Person den Modalwert in ihrer Spalte (in Abhängigkeit von der UV) vorher, für Spalten 1 und 2 „niedrig“ und für die dritte „hoch“. Damit machen wir 8+9+11=28 Vorhersagen richtig und 58-28 = 30 falsch.

• Die proportionale Fehlerreduktion beträgt (E1-E2) / E1 = (37-30) / 37 = .19• Interpretation: Durch Kenntnis der Lernzeit reduzieren wir die

Anzahl der Fehler bei der Vorhersage des Einkommens um 19 Prozent.

.max.maxmax

niNninj

r

Formel für Lambda, wenn in der Zeile die AV steht (row, üblicher Fall)

((8 + 9 + 11) – 21) / 58 – 21 = .19

Wertebereich 0 bis 1

Formel für Lambda, wenn in der Spalte die AV steht (column)

jnNjnni

c .max.maxmax

((9 + 9 + 11) – 26) / 58 – 26 = .09

Kombination beider: symmetrisches Lambda

jnniNjnnininj

s .max.max2.max.maxmaxmax

((8 + 9 + 11) + (9 + 9 + 11) – 21 – 26 ) / 2 * 58 – 21 – 26 = .14

nicht identisch mit dem Mittelwert beider asymmetrischer Maße