zur theorie der differentialgleichungen mit festen kritischen punkten

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382 w. (]loss. Zur Theorie ,der Different~ialgleichungen mit festen Punkah. ~on WILHELM GROSS in Wien. kritischen 1. Zoretti hat in seinem Buche*) eiuen wichtigen Satz ausgesprochen, den ich folgendermaBen formuliere: 1st eine anaZ~ische Funl~ion w ffi f(~) auf einer Ri~manns~ .Fl#~e R i/3er des" z-Ebene, die ein Kontinuum**) K yon Werten u ~ liijet, ~ g definiert und X'osveryiert f(n) a.uf jedem F_,inschnitt der l~ienmm,- .~en Fliiche, der gegen einen Punkt st~rebt, ge#en NulZ, so verschwindet f(~) ~nt~sch. [Inter Einschnitt verstehe ieh einen Jordanweg auf der Riemannschen Fl~ehe [0 ~ t ~ 1], falls die Punktmengen E~, die den Werten ~ t < 1 entsprechen, fiir ~--~ 1 keinen H~ufungspunkt auf der Riemannschen Fl~che (die aus lauter Innenpunkten besteht) besitzen. Besitzen die Pro- jektionen der E~ in der abgeschlossenen z-Ebene einen einzigen H~ufungs- punk~ so sagen wir, der Einschnitt strebt gegen einen Punkt (der R nieht angehSrt). Zoretti hat einen Beweis hiefiir angegeben, der jedoch nicht stich- haltig ist~ da er -- auBer anderem ~ nicht den Umstand bertieksichtigt, dais einem Einschnitt der der Umkehrungs~n~on entsprechenden Rie- mannschen Fl~he iiber der w-Ebene ein Einschnitt entsprechen kann, der gegen keinen Punkt strebt. Betrachten wit z.B. die universelle unver- zweigte ~berlagerung~Kehe, die zur zwelbl~ttrigen Riemannschen Fl~che yore Geechlechte zwei gehSrt, und let w ~-f(n) die Grenzkreisuniformisie- rende, so konvergiert kein Einschnitt der ]~berlagerungsfl~he gegen einen Punkt, und trotzdem ist tier Existenzbereich yon w ein Kreis. In diesem Fall l~lSt die tFberlagerungsfl~che allerdings kein Kontinuum der z-Ebene . - ) Zoretti, Legons sur le pmlongeme~ut analytique. Gau~ier Villars, 1911, S. 7S. *) Einen eiuzeluea Punkt zechnen wit nicht ads Kontinuum.

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382 w. (]loss.

Zur Theorie ,der Different~ialgleichungen mit festen P u n k a h .

~on

WILHELM GROSS in Wien.

krit ischen

1. Zoretti hat in seinem Buche*) eiuen wichtigen Satz ausgesprochen, den ich folgendermaBen formuliere:

1st eine anaZ~ische Funl~ion w ffi f(~) auf einer R i ~ m a n n s ~ .Fl#~e R i/3er des" z-Ebene, die ein Kontinuum**) K yon Werten u ~ liijet, ~ g definiert und X'osveryiert f(n) a.uf jedem F_,inschnitt der l~ienmm,- .~en Fliiche, der gegen einen Punkt st~rebt, ge#en NulZ, so verschwindet f(~) ~nt~sch.

[Inter Einschnitt verstehe ieh einen Jordanweg auf der Riemannschen Fl~ehe [0 ~ t ~ 1], falls die Punktmengen E~, die den Werten �9 ~ t < 1 entsprechen, fiir ~--~ 1 keinen H~ufungspunkt auf der Riemannschen Fl~che (die aus lauter Innenpunkten besteht) besitzen. Besitzen die Pro- jektionen der E~ in der abgeschlossenen z-Ebene einen einzigen H~ufungs- punk~ so sagen wir, der Einschnitt strebt gegen einen Punkt (der R nieht angehSrt).

Zoretti hat einen Beweis hiefiir angegeben, der jedoch nicht stich- haltig ist~ da er - - auBer anderem ~ nicht den Umstand bertieksichtigt, dais einem Einschnitt der der Umkehrungs~n~on entsprechenden Rie- mannschen Fl~he iiber der w-Ebene ein Einschnitt entsprechen kann, der gegen keinen Punkt strebt. Betrachten wit z.B. die universelle unver- zweigte ~berlagerung~Kehe, die zur zwelbl~ttrigen Riemannschen Fl~che yore Geechlechte zwei gehSrt, und let w ~-f(n) die Grenzkreisuniformisie- rende, so konvergiert kein Einschnitt der ]~berlagerungsfl~he gegen einen Punkt, und trotzdem ist tier Existenzbereich yon w ein Kreis. In diesem Fall l~lSt die tFberlagerungsfl~che allerdings kein Kontinuum der z-Ebene . -

�9 ) Zoretti, Legons sur le pmlongeme~ut analytique. Gau~ier Villars, 1911, S. 7S. �9 *) Einen eiuzeluea Punkt zechnen wit nicht ads Kontinuum.

Diiferenl~algleichungen mit festen kritischen Punkten. ~

unbededK~. Abet yon vorneherein l ~ t sich nicht sagen, ob nicht auf ~hnliche Weise der Umstand erm~glicht wird, daft die - - obendrein die w-Ebene m~glicherweise unendlich oft fiberdecke~de - - Riem~nn~he Fl~che der Umkehrun~f-n~tion nur einen beschrrankten Tell der w-Ebene bedeckt.

2. Doch k~nnen wir den Beweis folgendermaflen-ffxhren: Wir setzen, wie'~Zoretti, zuers~ voraus, dab f(~) beschr~inkt sei. Ist l~ selbst nicht einfae~ zusammen~gend, so bflden wit zuerst

die universelle unverzweigte ]~ber lagerungs~e ~ auf der f(m) ebenf~lis als eindeutige Funktion definiert werden kann. Die Fl~3he ~ , die eben- falls das Kontinuum K unbedeckt l~lSt, bilden wir nun auf den Einheits- kreis der ~-Ebene konform ab. Nach einem Fatouschen .Satze*) kon- vergiert die Abbildung~funkfion ~----~p(~) fiir alle Punkte des Einhei~s- kreises h~chstens mit Ausnahme einer Nullmenge fiir jeden Weg, .der aus dem Innern des Ei,heitskreises gegen einen dieser Punkte streb~, ohne den Einheitekreis im weiteren Sinne zu beriihren.**) Einem solche/~ Jordanweg entspricht daher ein Ein~chni~ yon ~ der gegen einen be- stimmten Punkt konvergiert. Wit betrachten nun die Funkfion f(~) auf J~. Sie konvergier~ auf jedem Einsctmit~ yon R, der gegen einen Punkt strebt, gegen Nu!]= Denn jedem Einschnitt yon ~ entspricht ein Weg auf R~ auf dem f(~) die gleichen Werte annimmt und den ich einfaeh dutch Projektion auf ~ erhalte. Dieser Weg kann sich allerdings fiberschneiden, doch konvergiert er gegen einen Punkt, der R nicht angeh~rt. Wiirde daher f(~) auf jenem Einschnitte yon ~ und daher auf dem entsprechen- den Wege yon l~ n~ch~ gegen Null gehen, so. llelSe sich, wie leicht ein- zusehen ist***)~ ein Eiu.~chnitt yon R konstruieren, der gegen einen Pu,lrt konvergiert, und auf dem f(~) gegen unsere Voraussetzung nicht gegen Null gehen wfirde. Die eindeutige Funkt~on F(~), die dutch Obertragung bei der konformen Abbildung yon ~ auf den E~n~eitskreis der ~-Ebene" aus f(~) entsteht, ist im Einheitskreis holomorph und konvergiert in allen Punkten des Einheitskreises h~ohstens mit Ausnahme einer Nulhnenge gegen Null fiir jeden Weg, der aus dem Innern des Einheitskreises gegen einen dieser Punkte strebt, olme den Ei~heitskreis ira weiteren Sinne zu ber/ihren. Da F(~) b e s ~ vorausgesetzt ist, so muff, da

*3 Fatou, Sur lee lignea singuli~res dea fonetions analytiquee, Bull de 1~ soc. math. de France Bd. 41 (1918), S. 118.

**3 D. h. es l ~ t eich ein an den Punkt sto~mder, dem Ei~l~eitskx.eis amge- h6zender Winkelmum angeben, deuen Sehenkel den E ~ ' - b e i ~ nieht be:~h~v~z, in dem yon einer beat~mmten SteIle der Weg liegt~

~*) Wenn ~ will, kaun man, ~,ttirlich mit enteprechenden Ab~mderaegen ~hnllch wie im Aboch~itte 3 vorgehen.

Mathsmatizehe Ann~lea. L3CXVT!T- 2S

334 W. G~oss.

=

e = ~ o ~e --~

F(~) idenfisch versehwinden.*)

0

3. Den Fall, dab f(i) auf/~ nicht besehr~ink~ sei, fiihren wir mi~ �9 Benutzung eines Gedankens Zorettis auf den vorhergehenden Fall zurtick.

oo K**), fiber dem Ich nebme einen Punkt Po in der Enffernung ] yon

Punkte yon/~ liegen, und betrachte jene Teile yon B, ffir die [z-- Poi ~ ~o- Sie zerfaUen mSglicherweise in eine abziihlbare Anzahl zusammeah~ingen- der Teile. Is~ in einem dieser Teile If(z)[ < M, so bin ieh mit dem ersten Schrit~ zu Ende. Im gegenteiligen Falle nehme ich einea dieser Tefle T I her. I'i liil3t ersichtlich ein im Kreise ~o I z -- Po I < Qo gelegenes Kontinuum***) K 1 unbedeckt, das einen Tell yon K enth~lt. In T 1 lege ich einen Punk~ Q1 lest, ffir den If(z)[:> M. Ich nehme dann ~inen Punkt PI, fiber dem Punkte yon T 1 liegen, und der yore Rande des Kreises @o sowie yon Q1 einen Abstand grSBer als das passend bestimmte

Qt<~ge* besitz~, w~ihrend sein Abstand yon K 1 gleich ~165 ist. Ich betrachte

jetz~ jene Teile yon T~, ffir die t z - P ~ I ~ ~t- Is~ in einem der zu- sammenh~ingenden Teile t f(z)l ~ M~ so bin ich wieder fertig. Sonst ~ehme ich einen der Teild/'~, lege einen Punk~ Q~ auf T~ fes~ ffir den if(z)] ~> M. T, ]iigg dann ein, Teile yon Z, enthaltendes Kontinuum K, unbodeek~, das im Kreise ~ lz--P~i < ~ gelegen ist. Ich verbinde Q~ und O~ innerhalb T~ durch einen Jordanweg grt, der Ts nicht zerlegk Der in T~ ge- legene Teil yon W~ hat yon K s einen yon Null verschiedenen Abs~and ~ . Bei

1 tier weiteren Konstruk~on, die wie frfiher verl~iuft, w'ihlen wir p~ < ~ o~ 1

und kleiner -'z ~" Dadtu'ch erreichen wir, dag der Weg W~ in den Tell

T~ nieht eintritt und dag wir daher einen Q~ und O~ verbindenden Jordan- weg innerhalb T~ legen k6nnen, der mi~ W~ nut den Punkt Q~ gemein hat ~md T~ nicht zerleg~. Nach einer endlichen Anzah] yon Schritten miissen wit zu einer zusammenh~ingenden Riemannschen Fl~ehe T~ kommen, flit die If(z)[ < M. Dem~ liege sich das Veffahren unendlich of~ fortsetzen, so wiirde W~ + W, q- W~ + . . - einen Einschnitt der Riemannschen Fl~ehe

*) Wflh. Gro~, t~ber die $ingularit~ten analy~ischer Funktionen. **) K ist hierbei als grSl~tm~gliches Kontinuum dieaer Eigenschaft aufgefagt,

d. h. in jeder l~s de~ Randpunkt~ yon K gib~ es Punkte 5bet denen Punkte yon /~ liegen.

***) D. h. bier eine zusammen~ngende, bez~glich des ~e iees ~ - Po ~ Qo ab- geechloaeene Menge.

Differentialgleiehungen mit festen kritischen Punkten. ~35

darstellen, der gegen einen Punkt konvergier~, denn er ist ein Jordanweg, da nach Konstruktion jeder der Tefle W~ + W 2 +- .-- l - IK~ ein Jordanweg ist, ferner ist die Projektion yon W~+~ + W~+~-t-'-" im Kreise ~ l z - - P~ < ~

1 enthal~en, und da ~+~ in ~ liegt, ~ aber mi~ ~ gegen Null geht, so

konvergie~ der Weg gegen einen Punkt. Da die untere Grenze der an Q~ anschlieBenden Strecken, die auf den durch Q~ gehenden Halb-

1 stratden yon 2 auf 2 liegen, kleiner ist als 2,o~_,, also mit ~ gegen

Null geht, so ka~m dieser Punl~ nicht/~ angehSren, d. h. wit haben einen Einschnitt vor uns, auf dem aber gegen unsere Voraussetzung, da in den Q ]f(z)] > M, f(z) nich~ gegen Null gehen w[irde.

4. Ich nehme jetz~ einen Punk~ a yon K,+ t her, sodann den beziig- rich ~, spiegelbildlichen Punkt b, bilde mir die zweibliittrige Riemann- sche Fl~che mi~ den einzigen Verzweigungspunkten a und b und bilde den Teil dieser Fl~che, der tiber ~ liegt, konform auf den Einheitskreis der ~-Ebene ab. Dann geht T. in eine Riemannsche Fl~he T* tiber, die ein ganzes Gebiet G des Einheitskreises unbedeckt l~Bt. "Ich nehme nun einen regul~en Punk~ H auf T*, dessen Entfernuug (in der Projektion ge- messen) yore Einheitskreis grSSer als die Enffernung yon Gis t . Es l~iBt sich daher eine GrSSe z so angeben, daft der Kreis ~* l~- -z ]=z ganz inner- halb des Einheitskreises lieg~ und mit dem Gebiete G ein Stiick gemein hat.

2= Besitzt dieses Stiick eine L~inge <-~- , so bilden wir die Funktion

*(~) = ~o(~) ~(~) �9 �9 �9 ~._~(~). ~0(~) ist dabei das zu H geh~rige regul~ire Funktionselement der aus f(~) (lurch Ubertragung in die ~-Ebene entstandenen Funktion, also ~o(~) = ~(~--~0), wenn der SteUe / /~o entspricht.

dur h " }- W o n n nun Null verschieden vorausgesetzte - - Funktion

~(~) ist daun gegeben

yon der Konstanten ~(~) analytisch fortsetze

und die zugehSrigo Riema~nnsche Fl~iche S~ bildo, so ist deren Pro- jektion ganz im Innern des Kreises ~* gelegen. Liegt n~mlich ein Punkt q yon S~ iiber dem Kreise ~*, so verbinde ich ihn auf S~ mit dem Mittelpunkte p des Funktionselomentes ~o(~) dutch einen aus endlich vielen Strecken bestehenden Jordauweg, der aus lauter regul~xen Punkten besteht. Man kann nun ohne weiteres diesen Weg w in ein B~schel gleichbeschaffener Wege einbetten, die denselben Anfangs- und Endpunkt, p und q, haben, deren zwei aber sonst keinen Punkt gemein haben. Ver- folge ich auf diesen Wegen yon p aus die Funktionen ~0(~), ~1(~),--- �9 ~-1(~), so komme ich sfets zu einem Punkt vor q, bis zu dem alle

23*

3~6 W. G,mss.

diese Funktionen*) best~hen, und der so beschaffen ist, daft eine der Funktionen Ca(~) gegen Null geh~, wenn wir gegen diesen l~unkt gehen. Da die ~ beschr~kt sind, sobald wit uns auf den Kreis ] ~ - HI < besehr~en , mfiBt~ daher r ebenfa~ls gegen Null gehen, er miig~e also, da er als regul~e S~elle yon ~(~) vorausgesetzt war, eine NullsteUe yon ~(~) sein. Wit k~men so zu unendlieh vielen Nullstellen yon r die mindestens einen regul~ren Punkt yon r (z. B. auf w) als HKufungs- punkt t~tten, was natiirlieh unmSglieh ist, wenn r nieht identiseh ver- schwindet~ Daher gilt also fiir ~ unsere obige Behauptung und da m~ieh~- lieh auf ~edem gegen einen Punkt konvergierenden Einschnitt yon ~ r gegen Null geht, so muB r und daher aueh r identisch verschwin- den nach dem Ergebnis der eben angestellten Untersuchung. Daraus folgt abet, dais f(z) identisch verschwindet, womit der eingangs aufgestellte Satz vollst~ndig erwiesen ist.

5. Wir kSnnen j e ~ sofort folgenden Satz aussprechen: Z2i~t s i~ yon eider Ri~zm~sclwm F ~ ~ ~ r d~r z-Eber~ dutch

einen Querschni~ oder ein System yon Quersdmiit~ Q ein Tell T so abtrennen, daft T ein Ko~tinuum der z-Ebene unbedeckt lii~t, dessert l~andpunkCe- hierbei ist ~ als gr6j6bn~liehes Kontinuum dieser Be4chaffenheit voraus- gesetzt - - n@ht stimtlieh in der PunM/menge M enthalten sind, die wit er- halten, wenn wit die Projektian van Q abgesch~ssen machen, und konver- giert die auf R eindeutige analytis.che Fun~ion f(~) auf jedem Einschnitt gegen 2r der gegen einen nicht in M e r d ~ Punkt "lamvergi~, so in f(~) iaentisch l~u~.

Dies wird dutch die Meflaode yon 3. und 4. naehgowiesen, in dem wit den Punkt Po so wghlen, dab der Abstand yon Po und M grSfler ist als das passend gew~-hlte Qo. Hierbei ist x wieder als gr6Btm6gliehes Kontinunm angenommen, das yon T unbedeckt bleibt, d. h. in jeder N~he der Randpunkte yon x gibt es Punk~, fiber denen Punkte yon T liegen. Und ein soleher Punkt ist Po-

Aus dieser Fassung folgt weiter: Wenn die auf ei~" ~ieman~chen FlSz, he ~ , die ein Kantinuum ~ van Werten unbedeckt lii~, eindeutige ana- lytische Fu~d~tioa f(~) auf jedera gegen einen" yon den endlich viden Pun'kten ql, . . . ~I~ versehiedm~ Pu~kt "lm~vergierenden Einschnitt yon B 9egen Null "konvergiert, so ist sie identisch 2Cull

Lot ~ ein Raudpunkt yon u, das wieder im frtiheren Sinne als grSBt- mfglich angenommen wird, so d ~ I P -- qi' > Q + 0 (i ~ 1 , . . . n), so kann ieh irge~d einen der z u s a m m e ~ e n d e n Teile yon B, die yon jenen Punkah gebfldet werden, ffir die [~- -p[ < ~, als Bereieh T ~es vorigen Satges auffaeaen.

*) Jetzt nicht mehr bloB ~le Funktionselemente betrschtet~

Differentialgleichungen mit festen kritischen Punkten. 337

6. Der eben bewiesene Hilfssatz erm~glicht es uns~ folgendes Theorem aufzustellen:

Keine yon einer Kon,s.tanten verschiedene analytiscke L6swag ~ der D i f f erentialgleichungen :

(1~ po(X)U'" +p,(x)u" + 2~,(z)u = o

(~) ~o(X)V" + pl(x)u" + ~ , , ( x ) y = p 3 ( x )

(~) Y" + + ~-----~ + :2 + ~ + u" y - - 1

y(y --1) (y -- X) [a x (x-- l ) x_((x_-- ~] = 0 + x ' ( z - - x)' _ + b y~ + e (u - - 1)--~' + d (y _ x)-J

kann ein Kontinuum yon Werten ausZassen. Hierbei set~en wi t $o(x), p~(x), p~(x), _~8(x) als teilerfremde Polyrurme voraus, a, b, e, d sind Kon- stante, die nicht sgmtlich gleich N ~ l sind.*)

Zu diesem Behufe betrachten wit die zu einer LSsuag y = Y(x) ge- hSrige Umkehrungsfunktion x = X(y ) und zeigen, dab die zu X ( y ) g e - hSrige Riemannsehe Fliiche fiber der y-Ebene kein Kontinuum unbedeckt lassen kann. Betraehten wir, fiir den Fall der Differen~algleichuag (1) und (2), irgend einen Einschnitt der Rieman~sehen Fl~che, der gegen einen Punkt im endliehen konvergiert. Ich behaupte nun, d a b - mit einer Ausnahme --~ wenn y diesen Einsehnitt durehl~uf~, X(y) gegen einen der Nullwerte yon T0(x), bzw. wenn unendlich eine singul~re Stelle der Differentialgleichung ist, - - mad dies k~nnen wit ohne Schaden der Allgemeinheit annehmen - - gegen unendlich konvergiert.**) W~re dies nicht der Fall, so kSnnten wit eine Folge yon regul~ren Punkten auf dem Einsehnitt [0 ~ t < 1] herausgreifen: P1, P~,. �9 �9 P~, ." -, deren Pars-

*) Ebenso gilt dieser Satz sowie de~ Satz yon 11 ffir die fibrigen Typen der Differentialgleichungen mi~ festen kritischen Punk-ten, die Painlev~ aufgestellt hat (C. R. 148, S. 1111--1117, 1906)

I. ~" = 6yffi~t- x, II. y"--~.2ys+xy+=,

aye'+ # a m. if" = g - - ' - ~ + + : , y , + - , y x m y

y'~. s # Iv. i f " - - ~ + ~ y , + ~ = y , + 2 ( z , - , , ) y +

+ ( - + 3 +;+'" - Bei HI. und V. dfirfen nieht fur obige Schluflwei~ ~lle Konstamten ~ #, 7, ~ gleiehzedtig verschwinden; doeh folgen dsnn die 8 ~ d z e - bzw. noeh mebx - - s u der expliziten

{ b ~,, + .~) ' Gestalt tier LSsung y =ffibz~, bzw. y = ~ , in tier b, r Kon~snten ~i_ud.

~) Bei funk~onentheozetisehen Untarsuehungen betmehtea wiz die Ebene sis abge~ehlossen uud das Unendlickferne als Punkt.

338 W. G~oss.

meterwerte gegen 1 gehen und in denen X(y) Werte x~, . . . x, annimmt, die gegen einen endliehen Wert 2 konvergieren, fiir den po(x) nieht ver- sehwindet, der also eine regul~re Stelle der Differentialgleichung ist. Dabei konvergiert die Projektion des Einsehnittes gegen ~, so dab yon

1 gegen Null geht. P~ an auf dem Einschnitt I Y- -Yt< ~ wobei p,~ mit n

Wir eife, ei e Tel[forge hera, s. so

in ihnen die Funktion x'-~ d ~-y X(y) gegen einen bestimmten Wert g' kon-

vergiert. Wir wollen zuerst aunehmen, dab der WerL ~" endlich ist. X(y) ist nun eine aualytische LSsung.der Differentialgleichung

(4)

(5)

x" -- x' ~ k~o (x)/-- x' ~y k~o (x)]

(~,,(x)~ _ x" ( ~ ' ( ~ ' ) ~ - x "~ (~,(~)~ x " - x '~ ~ / ~Y ~,po(X)/~ ~,~o(x)/

Aus dem Cauchyschen Existenztheorem fol~, da$, wenn [xo--~t<O, IYo--Yl <0, ix'o--x'l<0, we 0 eine passend bestimmte OrSSe ist, eine und nur eine reguliir-analytische LSsung mit den Anfangswerten Xo, go, x~ besteht, und da$ diese im Kreise I Y--Y of< Q* regul~r ist, we @* eine nur yon 5,, ~, ~'~ Q abhgngige Gr{fi~e ist. Wir brauchen hierzu 2~ nut kleiner zu wRhlen als die Enffernung yon ~, yon der n~ichsten Nullstelle yon po(x). ]st dann M grGfler als I~" I q-@ und gTGl~er als die Werte, die

ffir ] x - - ~ ] < 2 @ , ] y - - g ; < 2 Q , tx'--~,'l<2q annimmt, so kiinnen @

wir ffir Q* die kleinere der GrSBen Q und M nehmen. Ist nun/)~ so be-

dx schaffen, da$ die dort augeaommenen Werte yon X(y), ~ den Unglei-

_, @* ehungen geniigen: l x , - - ~ t < 0 , I x ' . - - x l < Q , Q~ < ~-, so stimmt X(y) mit der dutch die Anfangswerte y~, x~, x~ gegebenen regul~ren L~isung iiberein mad ist daher im Kreise I Y - Y~ [ < r regular im Widersprueh mit der Tatsache, dal~ die Projektion des Einschnittes yon P= ab im Iu- nern dieses Kreises enthalten ist.

7.-Nehmen wit je~zt an, daft die Wel4e yon x" in den Punkten gegen unendlieh konvergieren. ])ann betrachten wir vorerst die regulRre I.~ung ~)(x) der Differentialgleichung (i), bzw. (2), die'die Anfangs- werte x, y, ~" ~0 besitzt. Wir wghlen dann r so, dab in dem Kreise Ix -- gl < 2r kein Nullwert yon pc(x) liegt, dab ferner auf und in dem Kreise Ix -- �9 'l ~ r, abgesehen veto Mittelpunkte ~ (x) -- ~ yon Null v~er - schieden ist. Dies ist stets mSglich, "wenn wit vorerst annehmen, daft

D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g e n m i t f e s t en k r i t i s c h e n P u n k t e n . 3 3 9

~ ) ( x ) - ~ nicht identisch Null ist. Dann s~llt die Umkehrungsfunk~ion yon ~)(x) Ffir I x - x l ~ r eine Funk~ion dar, deren Riemannsche Fl~che im Punkte ~ verzweigt ist und die die Umgebung tY--Yl ~ r genau m veal bedeckt, wenn ! ~ ( x ) - Y t auf'dem Kreise ~: I x - - x l - ~ r gr56er ~ ist.

i f ~)'(x)dx Dies folgt unmittelbar aus dem IntegTal ~ . ~(x)--y~ das uns an~bt, R

wie of~ ~(x) in ~ den Wert y annimmt. A ls Funk~on der Anfangs- werte Xo, Yo, Yo is~ ~(x~ Xo, Yo, Y;) far Ixo--zI<e, lYo--~l<e lYoI<( j, t x --x'l < 2 ~ r analytisch, wenn Q ~ r angenommen wird und 2~ die kleinere der GrSBen ~ und -~f ist, wobei M gr6Ber als ~ und grSBer sls

die Werte is~, die l~'(x)Y'+~'(x)Y t bzw. I P'(s)Y'~-~'(~)Y--P'(x) I fiir

ly-YI<q, ly' <q an,, mmt. Auf dem Kreise ~:Ix-~i=~

nun~ so klein, dab a u f ~ fib. alle ] X o - - X l < ~ , I Y o - Y i < Q , iY~I<Q die Ungleichung gil~ [~(x; Xo, Yo, Y~)--Yo[ <C ~*" Dann bedeckt die zur Umkehrungsfunktion yon ~)(x; Xo, Yo, Y'o) fiir Ix - - ~t ~ ~ gehBrige Rie- mannsche Fli~che die Umgebung I Y-- Yo t ~ ~* genau m real, wie wiederum unmittelbar aus der Betrachtung des obigen In~eg~es folgt.

Nehmen wir nun P~ so an, dab die dor~ geltendeu Werte yon X(y), d X . _ _ , 1 1 e*

.; den Unglemhungen genugen ] x. - x I ~ ~, I x,I ffi ~ ~ ~, ~ ~ ~, so stimmt X(y) mit der Umkehrungsfunktion der du rc l~e A~faugswer~ x~, y~, y'~ gegebenen regulKren LSsung yon (1), bzw. (2) fiberein. Da zu der ein die Umgebung '~Y--Y~t ~ ~* genau m real bedeckendes St~ck der Rie- mannschen Fl~he geh6rt, so miiflte yon P'~ an der Einschnitt ganz im Innern dieses Stiickes liegen, was der Definition des Einschulttes wider- spricht.

Die Differenfialgleichung (1) besitzt als einzige LSsung die einer Konstanten gleich ist~ die L6sung y ~ 0 - - es sei denn, dab p~ (x) ---- 0 --, w~hrend die Differenfialgleichung (2) nur dann eine Konst~mte zur LSsung besi~zt, wenn p~(x)~- O~(x), und zwar besitz~ sie dann die LBsung y s C. Wenn also ira Falle (1) p~(x) nicht identisch Null und ~ "4" 0, bzw. im Falle (2) y =F (7, so kann es nicht ein~reten, dab ~ ( x ) - - y identisch ver- schwindet.

Ist aber im Falle (1) p~(x) identisch Null, so ist die LSsung gegeben

durch y = c~e ~.(~) + c~ und da diese Funktion, wenn c~ fiFO, jeden Weft falls sie algebraisch ist, genau ~ real, sonst abet mit Ausnahme h6chstens der Werte c~ und oo unendlich of~ annimmt, so kSnnen wir diesen Fall fdr orledigt betrachten und daher im fotgenden voraussetzen, dab p~(x) nicht identisch verschwindet.

3 4 0 w. Gaoss.

8. Auf irgend einem Einschnitt der Riemannsehen Fl~che, der nieht im FaUe (1) gegen Null, bzw. ev. im Falli~ (2) gegen C konvergiert~ kon- ver~er~ daher X(y) gegen einen der NuUwerte yon po(x), bzw. gegen unendlich. Sei nun a ein Weft, ffir den Po(x) uicht verschwindet, und seien a~,.. . ,~, die Werte, die den Nullstellen you po(x) bei der Transfor-

1 marion ~ = (x--a) entsprechen. Die Fmiktion, die aus ~(~--at)...(~--a~)

1 setze, mii~te daher auf jedem Ein- entsteht~ wem~ ieh ~ gleich x(y)- a

schuitt tier Riemamaschen Fli4che, der nicht im Fall (1) gegen Null, bzw. m~iglicherweise im Falle (2) gegen C konvergiert, gegen Null gehen. Dies ist aber, wenn die Riemannsche Fliiche ein Kontinuum tmbedeckt liiBt, nach den oben bewiesenen Hilfss'~tzen nieh~ miiglich.

9. Genau den gleiehen Vorgang k6nnen wit bei der Differen~ial- gleichmlg (3) einscMagen. Die SteUe der Nullwerb von/%(x) spielen bier die Wer~:e x = 0, 1, ~ und y. Wir betrachten weiter nur solche Einsehnitte, die in keinem der Punkte y = 0, 1, c~ enden. Die Differen- tialgleichung ftir die Umkehrungsfunkfionen der LSsungen hat die Gestalt

(6) x" - - + ,~---~ + z' ~ + -~ + u--:-i -at"

y(y - - t) ( y - - x) [ x (x - - t) x ( x - - i ) ] - - x ' (x - i)~ a + b ~ + c (y _ i)------' + d ~ _ ~ _ ~ x '~ -~ 0 ,

so dalt der Fall, dag x: nieht gegen mlendlieti konvergierg, wie in 6. er- ledigr wird, wiihrend der Fall, dab x'~ gegen unendlich geht, (lurch eine Untersuchung gleich der in 7. zu Ende geflihr~ wird. Dazu sei bemerkt, d~j~, wenn -- wie ja vorausgesetzt - - niehg alle Konshmten a~ b, c, d gleich Null sind, fiir die Differentialgleichung (3) keine L6sung besteht, die einen kons~a~en yon Null uncl Eins verschiedenen Weft besi~t.

10. Es sei nebenboi bemerk4, dag der aufgeste~le Batz aueh fib" den Fa~ g//t, da# leo(x), ~ (x), p~(x), ps(x) ganze a~ebraische Funktionen sind,

bzw. rwe.h allgemeiner, wean ~(x) ~2(x) $s(x) Fun~ionen sind, die fiir p,(x), ~,(x), b,(x) jedes x ~ m Werte a n ~ und fiir die nut," enagieh vieZ Werte x existieren, so daft sie auf gegen diese Punl~te konvergierendea Wegen un- eadtiel werden oder iiber diese Punkte nicht fovtgesetzt werden k6nnen. D e r Beweis ist dem obigen ganz entsprechend.

11. Wit k6nnen aber unsem Satz noch versch~-fen, indem wir zeigen, daB, fa~ d/e - - n/d~ ~ - - L~sung Y(x) e/hen Wer~ y mind~ens n-real annimrrd, kein Kon~nuura yon We~4,en ~ , deren jeder vo~ Y(z) we, tiger als ~ angenommen wird. Wir botraehten wieder die zur

Diiferentialgleichungen mit festen kritischen Punkten. 34[

Umkehrfunktion X(y) geh~rige Riemannsche Fl~ehe/~ und K sei wieder ein gr~gtm~gliches Kontinuum, dessen Punkte yon R h~ehstens ( n - 1)- real iiberdeckt werden, d. h. in jeder Niihe der Randpunkte yon K gibt es Punkte, fiber denen mindestens n Pn-kte yon R liegen. Eine m--l-fache Verzweigungsstelle zRMen wir bei der Betrachtung a!s m Punkte. Wir nehmen nun einen Randpunkt P yon K her, tiber dem yon den Rand- punkten yon K die grSBtm~gliche Anzahl yon Punkten yon R liegt, die natfirlich kleiner als nist . Da wenn tiber einem Randpunk~ yon K die grSBt- m~gliche Anzahl yon Punkten yon R liegt, fiber jedem Punk~ yon K, der in einer gewissen Umgebung dieses Punktes l ie~, ebenfalls die gr~Bt- m~gliche Anzahl Z yon Pnnt~ten yon ~ l ie~, so k~nnen wir es so ein- richten, dab P mit keinem der yon vorneherein festgelegten Punkte Pt , - . . P=*) zusammenf~t . Ist dann P~ eine iiber P liegende Stelle yon R, so 1"~ sich dazu ein 0i so bestimmen, dab fiir 'IY -- P [ ~ 0~ die Um- gebung yon ~ auf R aus dem schlichten Kreis oder den fiber dem Kreis liegenden Stiiek einer in P~ verzweigten m-fachen WindungsiEche be- steh~, je nachdem p i eine einfache oder eine m-fache S~elle der R'iemann- schen Fl~che ist. Ich w~ihle nun 0 kleiner als die 0~ und die kleinste Ent- fer~ung, die P yon den Punkten P 1 , . ' . P~ besitz~. Ich betrachte nun die einze]n~n zusamment~ngenden Teile yon R, fiir die [ y - P ] ~ 0- Dazu geh~ren einmal die Umgebungen der Stellen P~. Da abet dutch die Gesamtheit U dieser der Kreis ~ I Y -- P I <~ 0 gerade l-real iiberdeckt wird, in jeder N~he yon P abet Punkte liegen, fiber denen mindestens n Stellen yon R liegen, so muB es mindestens einen wei~eren Tell T yon

geben, fiir den l Y -- P t ~ 0- Dieser L~l~t den in ~ liegenden Teil yon K unbedeckt~ da dieser bereits dutch U ~mal bedeckt is~, und da er yon

dutch ein System yon Querschnitten Q abgetrennt wird, fdr das I Y - P [ - ~ O, w~hrend das yon T unbedeckte Kontinuum sicher Rand- punkte entl~lt, fiir die i Y-- P I ~ 0 - - ich brauche einen Punkt, fiber dem SteUen yon T liegen, nut mit P zu verbinden, so liegt auf dieser Strecke sicher ein solcher - - so kSnnen wit jetzt mit Hilfe des am Anfange yon 5. ausgesprochenen Satzes, indem wit alas T dort mit dem jetzigen T iibereinstimmen lassen, auf GTund der SchluBweise yon 8. und 9. einen Widerspruch hersteUen, so dab sieh also der eingaugs aufgestellte Satz als richtig erweist.

Da die Menge der Punkte, die yon R hSchstens n-real fiberdeckt wird, abgeschlossen ist, und die Vereinig~ngsmenge yon abz~lbarvielen kontinuumfreien abgeschloss.enen Mengen ebenfalls kontinuumfrei ist, also kein Kontinuum bflden kann, so folgt:

*) F~r uns kommen die Werte O, oo, bzw. G, ~ , bzw. O, I, ~ in Betracht.

342 W. Gffioss..Differentialgleiehungen mit festen kritischen Punkten.

~immt die nid~ honstan~ L6sung y(x) einen Weft n-m~d (unendlid~ oft) an, so ~ die M ~ e tier Were, die ton y(z) h6chs~ens ( n - 1)-~d (end- lieh oft) angenommen werden, hontinuumfrei.

Vorliegende Siitze bieten far die betraehteten Differenfialgleiehungen in gewissem Sinne einen Ersatz far den allerdings viel pr]iziseren Satz yon Painlev~*): /~

Ist die Funktion ~'(y', y, x) in y, y, x algebraisch, so hat die GL~ichung

- a = o

far jede nicht konstante l_~isung y(x) der Differentialgleiehung F(2t, Y, x) = O, deren Umlcehrungsfunldion heine n-deuti#e Funhtion ist, unendlich viel LS- sungen, sobald'A yon endlieh vielen aus der Differentialgleichung ersieht- lichen Werten verseh~en ist.

12. Die Betrachtungen des vorstehenden Abschnittes zeigen, daft es in den S~tzen yon 1. bzw. yon 5. genfigt, vorauszusetzen, daft die Rie- mannsche Fldche t~, b~w. T, die einen Pun~ n-real (unendlich oft) iiber- dee~, ein Konlinuum van Werten nut h 6 e ~ ( n - 1)real (endlich oft) bexteckt. Hierzu sei erw~ihn~, dab wenn ~ ein Kontinuum nur endlich of~ bedeckt, eine Zahl ~V besteht, so ~ ~ ein Teilkontinuum h6ehs~ens ~r-mal bedeckk

*5 P~inlev~, Lemons sur la theorie analytique des equations differentielles professde a S~ockholm 1895. Hermann, Paris 1897, S 234.