Math. Na~hr. 126 (1986) 19-26

Zur Anwendung der Methode von Titchmarsh auf dreidimensionale Gitterpunktprobleme

Von EKKEHARD KRXTZEL in Jena

(Eingegangen am 9.3. 1984)

In Veraugemeinerung der VAN DER CoRPnTschen Methode entwickelte E. c. !~?UEI-

ARSH [7] eine Methode zur Abschiitzung von zweifachen Exponentialsummen der estalt

Ibei (nl, n,) die Gitterpunkte eines gewissen Gebietes D durchlaufen, indem er solche mmen durch Integrale des Typs

J j” e2n it (t1.M dt, dt,

proximierte. Diese Methode wurde durch den Autor Jl], [2] und W. G. NOWAK [6] r Behandlung dreidimensionaler Gitterpunktprobleme weiterentwickelt unter der :sentlichen Voraussetzung, daB die HEssEsche Determinente

W f ) = f f , t , f f , f , - f&, Jon der GroBenordnung des Produktes ft,t,fl,fl ist.

Aber schon E. C. TITCHMBRSH [8] war genotigt, Exponentialsummen mit kleiner HEssEscher Determinante zu betrachten. Sein Ergebnis wurde von S . H. lMIN [4] ver- bessert und von H.-E. RICRERT [6] auf Gebiete D mit weitgehend allgemeiner Rand- kurve ausgedehnt. Will man dieses Resultat auf dreidimensionale Gitterpunktprobleme, etwa auf die Abschatzung der Anzahl der Gitterpunkte in

Illk + Idk + 15Ik 5 ( b > 21,

anwenden, so wird man auf zwei Schwierigkeiten stoBen : Die von S . H. MIX in Betracht gezogenen Voraussetzungen sind nicht samtlich erfiillbar, und die Beriicksichtigung der Randkurve nach H.-E. RICHERT liefert im allgemeinen keine hinreichend guten Abschatzungen. In diesem Artikel (siehe auch [3]) sol1 ein Satz vorgestellt werden, der sich zwar auf die Methode der genannten drei Autoren stutzt, der aber diese Schwierig- keiten umgeht. Da die Voraussetzungen des Satzes bei den interessanten Gitterpunkt- problemen erfiillbar sind, scheint das Ergebnis recht universe11 einsetzbar zu sein.

In den folgenden Ausfiihrungen bezeichne D einen beschrllnkten, ebenen Bereich, dessen Gitterpunktsanzahl von der GroBenordnung des Flacheninhalts ID1 ist. Dabei sei D Teilmenge eines achsenparallelen Rechtecks D‘ mit den Seitenliingen cl, c, 2 1. Jede achsenparallele Gerade schneide D in hochstens einem Geradenstiick. Die Rand- kurve bestehe aus einer beschriinkten Anzahl von Teilen, wobei jedes Teilstuck ent-

2*

20 Math. Nsohr. 1% (1986)

weder durch t2 = const. oder durch eine zweimal stetig differenzierbare Funktion tl = e(t2) beschrieben wird. Dabei werde fiir jedes Teilstiick dieselbe Bezeichnung e(t2) benutzt. f ( t l , t2 ) bezeichne in D' eine reelle Funktion mit stetigen partiellen Ableitungen bis zur dritten Ordnung. Die Funktionen f:,, f t I seien monoton in tl bzw. tl . Jede Kurve, die durch das Nulleetzen eines Polynoms gegebenen Grades in den benotigten Ableitun- gen von f ( t l , t2 ) definiert ist, habe eine beschriinkte Anzahl von Schnittpunkten mit jeder anderen derartigen Kurve oder mit jeder beliebigen Geraden.

Auf dem geeamten Rand von D sei le"(tp)l < ro. le t auf dem Rand stet8

(2) If:,t,ft,e"l 5 6 lW)l rnit einer Kmtanten 6 , 0 < 6 < 1, erfiUlt, so werde r = 0 geeetzt, irn an&ren Fall r = r,. Dann gilt

Beweis. Die Grundidee des Beweiees geht auf E. C. T~~OHMABSH [8] zuruck, die Beweisanordnung stutzt sich auf S. H. MIN [4]. D wird in drei Teilbereiche zerlegt :

D1: ftl(tl, t 2 ) I 6,

Ds: fi,(tl, t 2 ) < 0.

1. Die links- und rechtsseitigen Riinder von D1 seien durch tl = dc = a&), tl = /? = /?(t2) gegeben. bc und /? sind dann entweder Losungen von f t , = fil oder Teile der Randkurve von D. Durch partielle Integration erhiilt man

J J eif(tJ1) atl at2 = ll(/?) - l l ( a ) + I ~ ,

~ ~ ( a ) = -i J ~ l ( a , t2) e * f ( a J a ) at2,

I* = -i J J j t l t , K a e * f ( t l J I ) dtl atp,

D1

4

wobei ll(/?) entaprechend I I (a) definiert ist.

Kriitzel, Zur Anwendung der Methode von Titahmereh 21

la. Abschatzung von Il(a).

ht a(tz) =sung von tt, = fily 80 ist

und triviale Abschatzung

In l1,&) wird

Y = ft,e' + f t .

gesetzt. Im Fall

Ift,t,ft,e"l 5 6 I W I ist

22 Math. Naohr. 126 (1988)

und daher

Ist obige Bedingung stets erfullt, so kann r = 0 gesetzt werden. Andererseits folgt aus

Ift,:,fr,&?”l > 6 l W l

I f f , I > A l w l

Il,&) < c 2 r o W .

die Abschatzung

und daher

. lb . Absohatzung von Iv

Es bezeichne D,,, den Teil von D,, der zwischen den Kurven Entsprechend dem Vorgehen von S. H. MIN wird D, in zwei Teilbereiche zerlegt.

(4) v = &VATl

f f , ( % t 2 ) = u ,

liegt und D1,2 den Rest von D,. 1st q ( u , t 2 ) Losung von

so ist

Diem Funktion ist fur festes u monoton in einer beschrankten Anzrchl von t,-Intervallen. Daher findet man vermoge des zweiten Mittelwertsatzes

J e ’ f ( p * f * ) at2 < in D1,,. Damit ergibt sich

J J jtlf1K2 e*f(fnJ*) dtl dt2 D.,*

m

Fur das verbleibende Integral erhiilt man

Kriitzel, Zur Anwendung der Methode von Titchmarsh 23

Insgesamt ist also

I2 < w, so daD fur den gesamten Bereich D1 die erforderliche Abschatzung (3) bewiesen ist.

zwischen den Kurven (4) und D2,, den Rest von D,. 1st y(u, t,) Losung von 2. Der Bereich D, wird in zwei Teilbereiche zerlegt. D2,1 bezeiohne den Streifen

f t , ( % t 2 ) = u,

Schliefllich ist

Damit ist auch fur den Bereich Da die erforderliche Abschiitzung (3) erzielt.

ist der Hilfssatz bewiesen. Da eill entsprechendes Vorgehen fur D3 offensichtlich zum gleichen Ergebnis fuhrt,

Satz. In D sei

24 Math. Neohr. l%3 (1986)

80 beetehen die Ab8chritzungen

Beweis. Man kann A < 1 annehmen, da sonst der Bats trivial ist. Die Funktionen ft,(tl, tr) eind streng monoton bezuglich t j . Wendet man Lemma 4.7 aus [O] auf die Variable n1 in der Exponentia.lsumme (6) an, so erh&lt man

eZxIf(*i,*s) = z z J eani(f(~l*n*)--r15) dt, + o(cP log (yl + 2)). (nl.n,)ED tl

Hierin ist fur festes n2 das Integral so uber tl zu eratrecken, daS (tl, ns) E D. Fiir v1 hat man die Ungleichungen

ft,(el(n2), %) - r7 < ~1 < fti(e2(n& n,) + r ] ,

worin rj eine beliebige Konstante mit 0 < r] < 1 bedeutet und el, en die unteren und oberen Grenmn von ft, in Abhiingigkeit von n, bezeichnen. Vertauscht man Summen und Integral, so da9 die Summe uber zur inneren Summe wird, so erhiilt man in iihnlicher Weiee

e2nif(nl.ns) = c J J e~nl(f(ti.ts)-.iti-.ts) atl dt, (7) (nl.ndcD (r,v,)€D: (h*tdED

+ O((Y1 + 1) 1% (Y2 + 2)) + o(c2 1% (n + 2)).

Bezeichnet D2 (T = 0) das Bild von D unter der Abbildung

Y1 = ft,(t1, t 2 ) 9 ?I2 = f f , ( t l , t 2 ) 9

so stellt D: in Abhiingigkeit von g einen schwach vergroBerten Bereich D2 dar. Das Doppelintegral in (7) wird mittels des Hilfsaatzes abgmchiitzt. Die dortige

Funktion f ( t l , t2 ) ist nun zu ersetzen durch f ( t l , t2) - vltl - vat2. Das ist fur die zweiten Ableitungen bedeutungslos, aber f t , ist jetzt zu eraetzen durch it, - vl. Daher wird D durch die Kurven

f t , ( t l , t 2 ) = 21-’@1, v = 0, 1,2, ... in Streifen zerlegt und der Hilfsaatz auf jeden einzelnen Streifen angewendet. In einem solchen Streifen ist

Setzt man

u’ = f t , - v1, v‘ = f t , - v2 - (ft, - v1) f t , t , / f t , t l ,

Kriitzel, Zur Anwendung der Methode von Titchmereh 26

80 erhiilt man fur die Funktionaldeterminante

1st die Kurve

ft ,( t*, 4 ) = 2l-'Pl

Teil dee Rand-, so aetzt man t, = q(t2). Dann rechnet man leicht naah, ds9

und

Nunmehr sind alle Bedingungen des Hilfssatzes erfiillt, und ea kann (3) mit I = 0 benutzt werden. Da die Anzahl der Streifen von der GrtMenordnung 1 + log dl iet, 80

erhiilt man aus (7) die Abschiiteung

wobei B2 die Anzahl der Gitterpunkte in 0: bezeichnet. Da 9 hinreichend klein gewiihlt werden kann, ist

a2 < ID21 .+ Y1 + Yn + 1 < PI + Y 1 + Y2 + 1.

Damit ergibt sioh (6). (0) folgt in einfacher Weise aus (6) und

<a + (. ID1 fl + r1 + y 2 + 1 + Cz log2 (R, + logz) (1 + 6,) Z fi ) I

z = A-l14 liefert nun das gewiinschte Ergebnis.

26 Math. Nachr. 126 (1986)

Literatur

[ 13 E. KRATZEL, Abschiitzungen von Exponentialsummen in der Theorie der Gitterpunkte,

[2] -, Zweifache Exponentialsummen und droidimensionale Gitterpunktprobleme, Roc. Banach-

[3] -, Zur Anwendung der Methode von Titohmarsh auf dreidimensionale Gitterpunktprobleme,

[4] S. H. MIN, On the order of t(1/2 + i t ) , Trans. American Math. SOC. 85 (1949) 448-472 [5] W. G. NOWAK, Ein Satz zur Behandlung dreidimensionaler Gitterpunktprobleme, J. Reine

[6] H.-E. RICHERT, Verschiirfung der Bbschiitzung beim Dirichletschen Teilerproblem, Math. Zeit-

[7] E. C. TITCECMARSH, On Epstein’s zeta-function, Proc. London Math. SOC. (2) 88 (1934) 485-500 [S] -, The lattice-pointe in a circle, Proc. LondonMath. SOC. (2) (1934) 96-116, Corrigendum 555 [9] -, The theory of the Riemann zeta-function, At the Clarendon Press, Oxford 1951

Forschungsergebnisse FSU Jena. (1981)

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Forschungsergebnisse FSU Jena (1983)

Angew. Math. 829 (1981) 125-142

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