1

Korelacija matematike

s drugim nastavnim predmetima

Zbornik radova

Osmi struno metodiki skup Metodika nastave matematike u osnovnoj i srednjoj koli

Pula, 7. 9. studenoga 2013.

2

Matematiko drutvo Istra Agencija za odgoj i obrazovanje

Osmi struno metodiki skup METODIKA NASTAVE MATEMATIKE

U OSNOVNOJ I SREDNJOJ KOLI

Pula, 7. 9. studenoga 2013.

Korelacija matematike

s drugim nastavnim predmetima

Zbornik radova

Organizacijski odbor Branka Antunovi-Piton, dipl. ing. mat. Irena Bratuli, dipl.ing.mat. Robert Gortan, prof.

Iva Ivankovi, prof. Zvonko Jovii, prof. Nenad Kuzmanovi, dipl. mat. Neda Lesar, prof.

Vesna Vujasin-Ili, prof.

Recenzenti Dr. sc. Sanja Varoanec Dr. sc. Dubravka Glasnovi Robert Gortan, prof.

Izdava Matematiko drutvo Istra 52100 Pula, Jakova Puljanina 17

Za izdavaa Nenad Kuzmanovi, dipl. mat.

Prijelom i priprema za tisak Dr. sc. Vladimir Kadum

Naslovnica Dora Brkari1, uenica treeg razreda Gimnazije Pula

Naklada 500

Tisak Gradska tiskara Osijek d.d.

ISBN 978-953-56797-1-4

Sva prava pridrana. Ni jedan dio ove knjige ne smije biti objavljen ili preslikan bez prethodne suglasnosti

nakladnika i vlasnika autorskih prava.

1 Rad je s meunarodnog natjeaja Etno odjea i plesovi mog naroda. 2012. Natjeaj

Galerije likovnih djela mladih Celje i asopisa Likovni svijet. Uenica je osvojila kategoriju drugog mjesta. Sudjelovali su uenici iz 42-ije drave, sa 8.000 radova.

Mentor prof. likovnih umjetnosti: Julijana Kocanovi-Grubi http://www.celje.si/en/theworld-ofart/79-17-mednarodni-razpis/665-hrvaka

3

MATEMATIKO DRUTVO ISTRA

AGENCIJA ZA ODGOJ I OBRAZOVANJE

REPUBLIKE HRVATSKE

KORELACIJA MATEMATIKE

S DRUGIM NASTAVNIM PREDMETIMA

Zbornik radova

Pula, 7. 9. studenoga 2013.

4

5

S a d r a j

Pozdravne rijei ............................................................................................... 7

P o z i v n a p r e d a v a n j a

Franka Miriam Brueckler: Je li 5 = 5,0? ......................................................... 11

Franka Miriam Brueckler: Logaritmi -matematika u kemiji ili kemija u

matematici? .............................................................................................. 14

Dario Vretenar: Povezanost matematike i fizike ............................................ 22

Marko Vrdoljak: Dualnost u optimizaciji i primjeni ....................................... 24

Miljenko Huzak: Matematika biologija u nastavi 25

P r e d a v a n j a

Ella Rakovac i Brankica Truhar: Geometrijski zor - kada nas oi varaju ....... 31

Ivan Gambiroa i Eva Ravni: Mogunost korelacije nastavnih sadraja geografije i fizike ..................................................................................... 39

Robert Gortan: Neusklaenost nastavnih programa matematike i fizike u 1. razredu gimnazije .................................................................................... 44

Sanja Jane: Svaki uenik moe vie i bolje - terenska nastava "Loknari" .... 70

Blaenka Slovenec i Nikol Radovi: Let's Dance - With math and physics ..... 82

Snjeana Starevi: Matematiar lista Bibliju ................................................. 91

Sandra Kadum-Bonjak: Povezanost metodike nastave matematike s drugim znanostima ............................................................................................... 95

Vesna Josipovi: Matematiki panoi ............................................................... 98

eljka Zori: Projekt: Prizemljen sunev sustav ............................................. 109

eljko Kralji: Leptir plavac u svijetu matematike ......................................... 119

Zrinka Korbar: Korelacija matematike, geografije i meteorologije ................ 130

Boena Palanovi: Zadaci naglavake ............................................................ 136

Buga Miki, Marina Ninkovi i Vesna Ovina: XV. gimnazija u Comenius projektu "Geometry in Everyday Life" .................................................... 144

Gigliola inko Glavi: Vri pinuk ili staviti toku na "i": Ro kroz povijest - glagoljaka tradicija ................................................................................. 151

Ivan Drai i Katica Jurasi: Knjievnost u funkciji suvremene nastave matematike ............................................................................................... 156

Senka Sedmak: Malali Yousasfzai ili nedovrena pria .................................. 163

Ljerka Herceg i Snjeana Komadina: Sunane ure ......................................... 168

Jasenka Mutak: Hrvatski jezik i matematika ................................................... 181

Milena Jeretin i Milena Mari: Geometrija u svetu oko nas ........................... 185

Milorad ukovi i Zoran Lovren: Matematika i neke ivotne situacije ........... 198

Maja Kalebi i Predrag Duki: Korelacija nadohvat ruke .............................. 205

Karolina Brlekovi: Istraivanje u matematici kroz projekte .......................... 214

Karolina Brlekovi: Kako skratiti nastavni sat? .............................................. 217

Lidija Kralj: Interaktivan udbenik kao ueniki projekt ................................ 220

6

Snjeana Luka i Rebeka Kalazi: Ima li kemije izmeu kemije i matematike? ............................................................................................. 222

Melita tefan Trubi: Fourierova slika zvuka ................................................. 235

Milena Mari: Web Geometry Laboratory:Mogunosti i primjene ................ 248

Nina Buri: Matematiari na novanicama i kovanicama ............................... 257

Katica Jurasi i Ivan Drai: Matematika u izgradnji prometnica ................. 260

Vinko Bajrovi: Korelacija matematike stvarnim ivotom .............................. 268

Maja Mari: Matematika i enigmetika ............................................................ 269

Nevia Grbac: Korelacija vrstom zadataka ....................................................... 270

Vojislav Andri: Matematika pomae ekonomiji ............................................ 285

Gordana Vasiljevi, Jadranka Vre Rebernjak, Giulia Codacci-Terlevi i Jadranka Osti: Stopama rimskih Agrimensora ..................................... 292

Zvjezdana Martinec: ivotni standard obitelji uenika 5.do 8. razreda Osnovne kole u Popuvai u odnosu na standard Republike Hrvatske i zemlje Europske unije ............................................................................. 310

Nenad Kuzmanovi: Ekipna natjecanja iz matematike ................................... 317

M e t o d i k e r a d i o n i c e

eljko Kralji: Matematika i "deveta umjetnost" ............................................ 325

Zlatka Pavlii: Matematika i umetnost - tono je lepo .................................. 328

Vojislav Andri i Veljko irovi: Individualizacija kontrolnih zadataka u nastavi matematike .................................................................................. 329

Gordana Boi, Jadranka Vre Rebernjak i Giulia Codacci-Terlevi: Stopama rimskih Agrimensora ................................................................ 332

Niko Grgi: Geometrija prostora ..................................................................... 334

Niko Grgi: Konstrukcija geometrijskih tijela u 3D prikazu programa - GeoGebra 5.0 ............................................................................................ 338

Ljerka Herceg i Snjeana Komadina: Izrada horizontalnog sunanog sata .... 342

Maja Mari: Matematika i enigmatika ............................................................ 343

Nenad Kuzmanovi: Matematika ljubavi ......................................................... 344

Vinko Bajrovi: Gdje su maturanti zakazali na ispitu iz matematike na Dravnoj maturi ....................................................................................... 345

Bosiljko erek, Milana Arbutina i Mirela Pukari: Zondle - zabavom do znanja ...................................................................................................... 351

ISBN 978-953-56797-1-4

7

Pozdravne rijei

Drage kolegice i kolege,

dobro doli na 8. struno metodiki skup uitelja i nastavnika matematike.

Organizatori ovog skupa su Matematiko drutvo Istra i Agencija za odgoj i obrazovanje u Republici Hrvatskoj.

Kod nas je veliki broj matematiara entuzijasta i oni rado daju doprinos da nai skupovi budu to bolji.

Velika im hvala za to.

Veliki broj zanimljivih predavanja i radionica, razgovori u kuloarima, lijepo

okruenje privlae sve nastavnike Lijepe nae svake druge jeseni u Istru na na i Va Skup.

I ove godine emo ugostiti i kolege iz drugih drava to nas posebno raduje.

Matematika zahtijeva najbolje uvjete i to je razlog to je na izbor ostao prvoklasan hotel u kome e se Skup odrati.

Hoe li recesija utjecati na broj prisutnih nastavnika znat emo mjesec dana nakon pisanja ovih rijei.

Iskreno se nadamo da nee.

Bila bi to nenadoknadiva teta za razvoj matematike misli kod nas.

Matematiko drutvo Istra ve godinama organizira kvalitetne projekte.

Ove smo godine odluili pokloniti sudionicima skupa DVD na kome su zabiljeene zanimljivosti s tih dogaanja.

Poetkom ove godine nas je napustio na istaknuti lan profesor Enes Kosi, veliki zaljubljenik u brojke, od koga se i ovim putem opratamo.

Njegov doprinos naim projektima je bio velik.

Sreom, mlai nastavnici nam se pridruuju u naim lijepim i velikim poslovima tako da je kontinuitet naih projekata osiguran.

Tema ovogodinjeg skupa Korelacija matematike i ostalih nastavnih predmeta je dobro odabrana, jer je matematika neophodan alat u mnogim

predmetima.

ut emo nove i zanimljive radove te se uvjeriti kolika je vanost matematike u cijelom drutvu.

Svim sudionicima elimo lijep i koristan boravak na Skupu.

Matematiko drutvo Istra

Organizacijski odbor 8. skupa

8

9

POZIVNA PREDAVANJA

10

11

JE LI 5 = 5,0?

Franka Miriam Brueckler

Prirodoslovno matematiki fakultet, Matematiki odsjek,

Sveuilite u Zagrebu

e-mail: bruckler@math.hr

Danas kad izgovorimo, primjerice, pet gotovo automatski vizualiziramo simbol 5. Drugim rijeima, brojeve (nesvjesno) poistovjeujemo s brojkama koje ih reprezentiraju u decimalnom zapisu. No, mali pogled u povijest i druge kulture lako

e nas upozoriti na dvije stvari:

- Zapis brojeva u bazi 10 nije jedini mogu, pa ak ni jedini logian; mnoge kulture koristile su druge baze, primjerice Maje su koristile bazu 20.

- Brojevi postoje neovisno o svom zapisu: pet je hrvatska rije za pojam koji oznaava koliko, primjerice, ima decilitara u standardnoj manjoj plastinoj boci mineralne vode.

Drugaije reeno, ovim kratkim tekstom elimo podsjetiti na neto to je svakom nastavniku matematike, zasigurno poznato i jasno: razliku broja i brojke.

No, uz taj imamo i jedan drugi cilj: objasniti zato prirodoslovci kad piu, primje-rice, 5,0 mmol/L nisu u krivu i zato taj navod ne treba ispraviti na 5 mmol/L.

Postavite li pitanje osobi na ulici, ueniku, prirodoslovcu, pa ak i sebi nastavniku matematike jednostavno pitanje to je to broj?, teko da ete uspjeti dobiti dobar odgovor. Naravno, kako ste studirali matematiku, Vi znate razlog zato je teko odgovoriti na to pitanje. S druge strane, kad govorimo o, recimo, pet kobasica, gotovo svatko od nas automatski e vizualizirati ne samo kobasice, njih pet, nego i simbol 5. No, koliko god mi bili navikli na taj simbol, trebamo biti

svjesni da on nije jedini mogu niti jedini smislen. Druge kulture koriste ili koristile su drugaije simbole, primjerice stari Rimljani slovo V. Kako simbol nije isto to i ono to predstavlja, kao to ni nae ime nije jednako nama samima, tako brojka nije isto to i broj: brojka je simbol kojim se broj predstavlja. Brojke dijelom ovise o odabranom brojevnom sustavu. Brojevni su sustavi jedna od vanih i dobro prouenih matematikih tema, te se ovdje neemo njima poblie baviti. U naem svakodnevnom ivotu redovno koristimo decimalni sustav, temeljen na bazi 10, ali i seksagezimalni sustav temeljen na bazi 60 (raunanje vremena, mjere kutova u stupnjevima). Usprkos tome, gotovo svatko brojeve automatski poistovjeuje s njihovim prikazom u decimalnom sustavu. Stoga ne udi da mnogi imaju problem shvatiti da je 0,25 isto to i 015'. Moda u poboljanju razumijevanja te injenice moe pomoi sljedea analogija: promjena brojevnog sustava u matematici analogna je promjeni jedinice mjerenja u prirodnim znanostima. Shvaanje da je 0,25 = 015' u osnovi je ekvivalentno shvaanju da je 25,4 cm = 10 ina.

12

Ipak, svi emo se sloiti da nije bez razloga da u veini situacija koristimo decimalni sustav. Tijekom povijesti on je pokazao mnoge prednosti vezane za

raunanje. Stoga nakon to smo upozorili da prikaz broja brojkom u decimalnom sustavu nije neto to ja a priori dano moemo u daljnjem uzeti da smo odabrali raditi s upravo takvim prikazom. Prihvatimo li da je za veinu ljudi naega podneblja to jedini s kojim dovoljno dobro vladaju, moemo pokuati prosjenoj, pa ak i visoko obrazovanoj osobi, postaviti jednostavno pitanje: Je li 0,33 jedna treina? Spremna sam se kladiti u pet ve spomenutih kobasica da e od deset osoba kojima to pitanje postavite (a da nisu matematiari i eventualno fiziari) njih devet ili deset odgovoriti potvrdno. to ete uiniti elite li uvjeriti osobu da je u krivu? Ne sumnjam da ste u stanju dati i bolji argument od mene, ali moj omiljeni je

sljedei je li 99 = 100? Tu sigurno neu dobiti potvrdan odgovor. Ako to nisu dva ista broja, onda ni njihove stotine nisu iste, nije li tako? Dakle, 0,99 nije isto to i 1. Ali ako to nisu dva ista broja, onda ni njihove treine nisu iste pa 0,33 nije isto to i 1/3. Naravno, istina je da je 1/3 = 0,33333 . Tek s beskonano mnogo trojki iza decimalnog zareza dobivamo egzaktan prikaz. Stoga zaokruivanje 1/3 na 0,33 sa sobom nosi greku reda veliine tisuice. Ona moe biti zanemariva, primjerice kad govorimo o treini kolaa, ali moe biti i bitna, primjerice kad govorimo o treini dravnog prorauna Republike Hrvatske. Znaaj greke zaokruivanja stoga ne moemo procijeniti po vanosti temeljem samog iznosa ona ovisi o tome na to se broj odnosi.

S matematike strane, zaokruivanje je (do na pravila za odabir zadnje znamenke) isto to i odabir odreene parcijalne sume reda koji odgovara decimalnom zapisu broja (decimalni zapis broja zapravo je saeti zapis tog broja kao reda

,

gdje je a0 cijeli dio broja kojeg prikazujemo, a ostali an-ovi su znamenke (0, 1, 2, 3,

4, 5, 6, 7, 8 ili 9) iza decimalnog zareza.

Time smo stigli do, za prirodoslovlje i tehniku, izuzetno bitne teme. Naime,

prirodoslovlje i tehnika u velikoj mjeri koriste brojeve ne kao apstraktne

matematike entitete, ve za opis rezultata razliitih mjerenja. Kako svako mjerenje sa sobom nosi greku (ne samo) jer nije nikad sasvim egzaktno provedivo, oni koriste gotovo iskljuivo konane decimalne zapise brojeva. Najee se koriste zapisi sa samo nekoliko znaajnih znamenki.

2 Tu susreemo naslovom najavljeno

naoko udno razlikovanje 5 i 5,0 i 5,00. No, kad piemo 5, u pravilu podrazumijevamo egzaktan broj 5, tj.

= 5,000000.

Eventualno, ali vrlo rijetko, bi se pod 5 podrazumijevao broj 5, neto zaokruen na jednu znaajnu znamenku. No, ono problem s tim sluajem lake je objasniti na razlikovanju 5,0 i 5,00 meusobno, a zatim i prema upravo navedenom znaenju samostojeeg simbola 5. Kad prirodoslovac ili tehniar navede da je neka,

2 Za one koji su zaboravili, kratki podsjetnik. Svaki broj ima jednoznaan znanstveni zapis

u obliku mantisa puta cjelobrojna potencija od 10, uz uvjet da je mantisa izmeu 1 (ukljuivo) i 10 (iskljuivo). Broj znamenaka koji koristimo u zapisu mantise zove se broj znaajnih znamenaka. Postoje razliita, eksperimentalnim razlozima opravdana, pravila o pravilnom izboru broja znaajnih znamenki.

13

primjerice, duljina a jednaka 5,0 cm on iskazuje da je siguran da su prve dvije znaajne znamenke 5 i 0, tj. da njegovo mjerenje nije dovoljno precizno da bi dalo informaciju radi li se egzaktno o 5 cm, o 5,02 cm ili pak o 5,01379494 cm. Jednostavno, zbog nedovoljne preciznosti svakog mjerenja od je temeljem poznavanja preciznosti svog mjernog ureaja odabrao samo dvolanu parcijalnu sumu za a, jer osim a0 = 5 i a1 = 0 nema informacija o ostalim znamenkama an. Neki

drugi prirodoslovac koji je istu (ili neku drugu) duljinu izmjerio kao 5,00 cm imao je

precizniji ureaj koji mu je omoguio da bude siguran i u treu po redu znamenku a2 = 0, ali ni on ne moe odrediti ostale znamenke te je stoga odabrao trolanu parcijalnu sumu. Stoga 5 predstavlja isto to i 5,0000 - potpuno matematiki egzaktan broj 5 kojemu znamo svih beskonano mnogo decimalnih znamenki, a 5,0 cm predstavlja duljinu koja moda jest, a moda i nije jednaka 5 cm. Kako teko da e netko tko eli priati o broju pet (ni manje ni vie) zabunom umjesto 5 napisati 5,0, ako susretnemo 5,0 trebamo pretpostaviti da je taj zapis koriten s razlogom ukratko gore opisanim. Kako parcijalna suma nije isto to i itav red, zakljuujemo: 5 5,0.

14

LOGARITMI MATEMATIKA U KEMIJI ILI KEMIJA U MATEMATICI?

Franka Miriam Brueckler

Prirodoslovno matemaiki fakultet, Matematiki odsjek,

Sveuilite u Zagrebu

e-mail: bruckler@math.hr

Kljune rijei: logaritmi, pH otopina, interpretacija formula

Uvod

Matematika se esto smatra, pa ak i poduava, kao s kemijom nepovezan kolski predmet. Rijetke iznimke u kojima se na kolskoj razini mogu uoiti veze izmeu matematike i kemije ukljuuju aritmetiku potrebnu u stehiometriji te koritenje funkcija i grafova za opise kemijskih procesa i pojava. Posebni problemi javljaju se upravo vezano za primjenu funkcija i grafova u kemiji. Od klasa mate-

matikih funkcija, u kemiji se ponajvie koriste afine (linearne) i kvadratne, te eks-ponencijalne i logaritamske funkcije.

Najpoznatija primjena logaritama u kemiji vezana je za definiciju i koritenje pH otopina. U toj definiciji se pojavljuje logaritam s bazom 10 (dekadski logaritam).

Od ostalih logaritamskih funkcija, u kemiji (posebno, kemijskoj kinetici) ponajvie se rabe prirodni logaritmi. Uenici se s logaritmima kao i s pH susreu u drugom razredu srednje kole (a na razini skale s pH se susreu ve u osnovnoj koli), no naalost nastava matematike i kemije (ne samo u Hrvatskoj) nisu najbolje povezane po ovom, kao ni po drugim, pitanjima.

Kako nastavnici kemije u pravilu nedovoljno razumiju eksponencijalne i lo-

garitamske funkcije, u pravilu nisu sposobni pomoi uenicima u njihovim prob-lemima s raunima vezanim za pH, a esto se pojavljuju i matematike greke. S druge strane, u nastavi matematike nerijetko se nedovoljno prostora daje pravilnoj

interpretaciji formula i grafova te razvijanju sposobnosti prikladne primjene, primje-

rice, logaritama. Ovdje emo predstaviti vezu izmeu matematikog i kemijskog pristupa logaritmima, s naglaskom na probleme s primjenom uobiajenog matema-tikog formalizma i na mogunost da se logaritmi uvedu preko pojma pH, a ne samo obrnuto.

Napominjemo da je ovaj tekst nastavnicima matematike prilagoena prerada rada [Brueckler, 2010], namijenjenog nastavnicima kemije. U tom se izvornom radu

moe nai vie detalja o istraivanju koje spominjemo u ovome radu, kao i vie primjera.

15

pH i dekadski logaritmi

Ovim poglavljem elimo dati kemijsku inspiraciju za uvoenje logaritama. Oni koji ele izbjei kemiju, mogu alternativno odabrati i prilagoditi neku drugu ovisnost tipa geometrijskog niza, primjerice ukamaivanje.

Klasina Srensenova3 definicija pH (1909.) glasi

pH = log ,

gdje je s c oznaena standardna koncentracija, iznosa 1 mol/L. Oznaka c(H+)

predstavlja mnoinsku koncentraciju vodikovih iona, tj. omjer njihove mnoine4 i

volumena otopine. Uoimo vanost dijeljenja sa standardnom koncentracijom: loga-ritmi su transcendentne funkcije i ne znaju to s jedinicama, dok je koncentracija fizikalna veliina s jedinicom. Dijeljenjem sa standardnom koncentracijom postie-mo ne samo da se logaritam rauna od istog broja, ve i preciziranje jedinice u kojoj koncentracija treba biti izraena. Naime, koncentracije se esto navode u razliitim jedinicama. Tako primjerice moemo imati koncentraciju od 0,1 mmol/L. Kad bismo samo makli jedinicu, logaritam bismo raunali od 0,1 i dobili pH iznosa 10, a zapravo je pH takve otopine 4.

Srensenova definicija s modernog stajalita nije sasvim tona (umjesto kon-centracije koristi se tzv. aktivnost), a kako uenici susreu pH na razini skale ve u osnovnoj koli, ovdje emo za dobro i matematike i kemije malo okrenuti priu. Kao definiciju pH koristit emo bitno jednostavniju i ueniku shvatljivu, a za-pravo tonu: pH je mjera kiselosti otopine i to je broj kojeg za danu otopinu oita pH-metar.

Provedimo sad jedan (misaoni ili stvarni eksperiment). Ako bismo danu oto-

pinu poetne koncentracije vodikovih iona jednake c0 uzastopno deseterostruko razrjeivali (tj. u svakom koraku dodali toliko vode da koncentracija vodikovih iona padne na desetinu prethodne), oito je u k-tom koraku ta koncentracija vodikovih iona jednaka

ck = c0/10k.

Grafiki prikaz te standardne kemijske procedure u uobiajenom koordinat-nom sustavu predstavlja probleme koncentracije toliko brzo padaju da je praktiki neizvedivo oznaiti osi tako da se mogu pratiti vie od tri, eventualno etiri koraka (slika 1, lijevo). Stoga je potrebno osmisliti prikladniji prikaz.

Istu ovisnost moemo prikazati tako da uzmemo da su razmaci na osi ordinata izmeu svakih dviju uzastopnih koncentracija jednaki; zatim obrnemo redoslijed navoenja ordinata i uzmemo da sjecite koordinatnih osi predstavlja toko (0,1), tj. poetnu situaciju za sluaj da je c0 = 1 mol/L.

5 Takav prikaz dan je na slici 1, desno.

3 Sren Peter Lauritz Srensen (1868. 1939.), danski biokemiar. 4 Mnoina tvari jednaka je omjeru njene brojnosti i Avogadrove konstante. Standardna je-

dinica je mol. 5 Uoimo da u ovom sluaju na osi ordinata imamo logaritamsku skalu (iako u ovom trenu

jo nismo uveli pojam logaritma).

16

Slika 1. Ovisnost koncentracije o broju uzastopnih deseterostrukih razrjeenja.

Nakon opisane modifikacije moemo uoiti sljedee bitne injenice:

Kad zbrojimo udaljenosti dviju ordinata do sjecita osi dobivamo udalje-nost koja odgovara produktu tih ordinata, a kad ih oduzmemo dobijemo poziciju

kvocijenta tih ordinata.

Ako je 1 oznaka za visinu ordinate koja odgovara koncentraciji od 0,1 mol/L, onda svako deseterostruko razrjeivanje poveava visinu ordinate za 1. Uoi-mo dvostruku ulogu simbola 1: broj 1 i jedinica udaljenosti na novoj osi ordinata.

Ordinata koja odgovara standardnoj koncentraciji iznosi 0.

Stoga bi bilo mogue dati sljedeu kemijsku definiciju dekadskog logaritma:

Definicija 1. Dekadski logaritam nekog broja x je suprotna vrijednost pH otopine koja ima koncentraciju H

+ iona iznosa x mol/L:

log x = pH(x mol/L).

Osnovna svojstva dekadskih logaritama mogu se izvesti iz gore uoenih i-njenica:

Po dogovoru je pri standardnoj koncentraciji H+ iona od 1 mol/L vrijed-

nost pH jednaka nuli (odgovarajua ordinata je na visini 0). Drugim rijeima, po de-finiciji 1 je log 1 = 0.

Besmisleno je raunati pH otopine s negativnom koncentracijom H+ iona,

ili ako je ta koncentracija jednaka nuli: logaritmi nisu definirani za negativne bro-jeve i nulu.

17

Deseterostrukim razrjeivanjem otopine dobivamo otopinu koja ima pH manji za 1, dakle je

log (x/10) = log x 1.

Primijetimo da posljednja formula znai i da je

log(10x) = log x + 1.

Ordinata 1/10k je na visini k 1 od ishodita:

log 10k = k.

Zbroj visina ordinata odgovara njihovom produktu, a razlika kvocijentu: log(xy) = log x + log y; log(x/y) = log x log y.

Posljedino imamo 0 = log 1 = log (x1/x) = log x + log (1/x),

te je

log (1/x) = log x,

to nam omoguuje proirenje logaritama i na brojeve vee od 1 (uoimo da su

preko pH logaritmi definirani samo za brojeve manje od 1, jer su tipine koncen-

tracije H+ iona u otopinama izmeu 0 i 1 mol/L).

Vidimo dakle da se sva osnovna svojstva (dekadskog) logaritma mogu izvesti

iz eksperimentalno vidljivih svojstava otopina. tovie, uoimo i da smo isti postu-pak primijenili primjerice obzirom na uzastopna dvostruka razrjeenja, dobili bismo logaritam po bazi 2, ali svojstva bi bila ista. Tako se mogu opisati svi logaritmi s

bazama koje su prirodni brojevi razliiti od 1, a i argumentirati zato nema smisla logaritam s bazom 1 (jednostruka razrjeenja nisu razrjeenja). Temeljem uoenih svojstava uenici se mogu navesti i da se vjebaju u vanoj sposobnosti procjenji-vanja iznosa dekadskih logaritama za razliite brojeve, kao i procjenjivanja brojeva iji su logaritmi zadani (procjenjivanja koncentracija za dani pH). Skiciranjem paro-va (broj, logaritam) u pravokutni koordinatni sustav naslutit e i kako izgleda graf logaritamske funkcije s bazom 10. Moi e uoiti i da je dekadski logaritam rastui. Ukupno gledajui stoga nismo nita izgubili u sadraju, ali je pojam logaritma uve-den temeljem neeg opipljivijeg od eksponenta na koji dani broj treba potencirati da bi se dobio zadani broj.

Arithmetica integra & Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio

Predloeni pristup u nastavi matematike optimalno je povezati s povijesnim. Naime, logaritmi se izvorno nisu pojavili zato jer se netko sjetio traiti prikladne eksponente, ve da bi se rijeili odreeni praktini problemi.

Ovdje emo samo kratko opisati osnovne momente u povijesti logaritama, a za vie detalja upuujemo itatelja na standardnu literaturu iz povijesti matematike ili pak na [oli, 2013]. Kombiniranjem povijesnog pristupa i pristupa preko ke-mije, uenici mogu prije svega bolje uoiti korist logaritama (to, meu inim, dopri-nosi boljoj motivaciji za uenje ove ne tako lako teme). Za bolje utvrivanje svoj-stava logaritama moe se korisnim pokazati i koritenje logaritmara ili klasinih logaritamskih tablica. Povijesni pristup nastavnim temama zagovaraju mnogi autori,

primjerice [Guzmn, 1993].

18

Napomena. Korisno je i usporediti tri naina da se u formuli tipa ab = c uzmu da su dva broja poznata, a trei se odreuje. Broj c je iznos potencije, broj a je b-ti korijen te potencije, a broj b je logaritam (po bazi a) te potencije.

Meu neposredne prethodnike otkria logaritama spada njemaki renesansni matematiar Michael Stifel (1486. 1567.). On je uoio da zbrajanju dvaju lanova aritmetikog niza odgovara mnoenju dvaju lanova geometrijskog niza, odnosno oduzimanju u prvom dijeljenje u drugom (Arithmetica Integra, 1544.). Pritom je on,

kao i prethodnik mu Nicholas Chuquet (francuski matematiar, 15. stoljee) paralel-no promatrao aritmetiki niz s diferencijom 1 i geometrijski s kvocijentom 2. Prob-lem s njihovim razmatranjima iako su njima uoili dva temeljna svojstva logari-tama je da uzimanje kvocijenta geometrijskog niza bitno veeg od 1 (tj. baze loga-ritma bitno vee od 1) dobivamo velike razmake izmeu uzastopnih potencija te se ne moe sa zadovoljavajuom preciznou osmisliti kako popuniti rupe. Primje-rice, brojevima 4 i 5 iz aritmetikog niza (prvi red) u njihovim razmatranjima odgovaraju brojevi 16 i 32 u geometrijskom nizu (drugom redu), no nejasno je ka-ko temeljem toga procijeniti koji broj u drugom redu bi odgovarao, primjerice, broju

4,5 u prvome.

S druge strane, jedan od glavnih poticaja konanom otkriu logaritama doao je iz pomorstva. Kako je dobro poznato, u doba renesanse su dugaka putovanja morem postala uobiajena, a pri takvim putovanjima se vezano za odreivanje pozicije pojavljuju rauni s trigonometrijskim funkcijama, ije vrijednosti redovito treba mnoiti ili dijeliti. U doba bez kalkulatora, bitno je lake bilo zbrajati i oduzi-mati nego mnoiti i dijeliti brojeve. Tako se pojavila potreba nainom kojim bi se mnoenje ili dijeljenje dva runa" decimalna broja moglo svesti na zbrajanje od-nosno oduzimanje. Obzirom na opisanu korespondenciju izmedu aritmetikog niza eksponenata i geometrijskog niza potencija, traili su se naini da se razmaci medu uzastopnim potencijama profine.

Konanu pomo moreplovcima i drugima koji su trebali provoditi mnoenje i dijeljenje runih brojeva dali su trojica matematiara poetkom 17. stoljea.

John Napier (1550. 1617.) je kombinacijom raunskog i fizikalnog pristupa (paralelnog razmatranja estice koja se giba stalnom brzinom i druge koja se giba brzinom razmjernom ostatku puta kojeg treba prijei) dobio prvu tablicu logaritama (i dao im ime logaritmi). Njegovi logaritmi zapravo nisu bili logaritmi u dananjem smislu: Napierov logaritam broja x danas bismo zapisali kao 10

7 log1/e (x/10

7). Svoje

je tablice objavio 1614. pod nazivom Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio.

Praktiki istovremeno, ali drugaije i od Napiera nezavisno, logaritamske tab-lice tovie, tablice prirodnih logaritama osmislio je i vicarski mehaniar i urar Joost Brgi (1552. 1632.).

Napierov suvremenik Henry Briggs (1561. 1631.) komunicirao je s Napie-rom te se Napier sloio s Briggsovim prijedlogom kako bi od njegovih prikladniji bili logaritmi s bazom 10. Tako je Briggs nakon Napierove smrti nastavio njegov rad

i 1624. objavio svoju tablicu dekadskih logaritama, koji su zbog toga ponekad

poznati i kao Briggsovi logaritmi.

Time naravno povijest logaritama nije gotova, ali su upravo ovi rani momenti

idealni za povezivanje s dananjom praktinom upotrebom (pH ili neka druga odab-

19

rana tema), a posebice za olakavanje shvaanja i pamenja dvaju temeljnih svojsta-va logaritama, a to je da mnoenje svode na zbrajanje i dijeljenje na oduzimanje.

Matematika garantira istinu. Ako su pretpostavke tone ...

Vratimo se malo na probleme koje korisnici matematike, primjerice kemiari, imaju s matematikim formulama i objektima, primjerice logaritmima. Ma koliko se pozivanje na matematike formule koristilo kao priziv na vii autoritet, te ih mnogi prihvaaju kao sveto pismo, s matematikim formulama, posebice u primjenama, treba biti oprezan. To emo pokazati na primjeru. Napomenimo da na takve primjere matematiar esto ne obraa pozornost jer njegovi su objekti bro-jevi, skupovi, funkcije u pravilu idealni. No, kao to e se matematiar s pravom pobuniti kad netko iz druge struke krivo interpretira neku matematiku formulu, kemiar ili fiziar e se (isto tako s pravom) pobuniti ako matematiar s fizikalnim veliinama bez razmiljanja barata kao da su brojevi. Da ovdje ne ulazimo u detalj-nije argumente, dat emo samo jedan jednostavan: fizikalna veliina, koja je po svojoj naravi neegzaktno mjerljiva i bez jedinice mjerenja nema smisla, u pravilu

nije idealan, precizan i ist broj. Slijedi najavljeni primjer.

Primjer: Koliki je pH otopine klorovodine kiseline HCl koncentracije 1,33 108

mol/L?

Gotovo svaki matematiar, a i poneki kemiar, na ovo e pitanje krenuti od-govoriti formalnim raunom. Koristei da je pH jednak suprotnom

6 dekadskom lo-

garitmu koncentracije vodikovih iona i uzimajui da je u otopini HCl koncentracija HCl jednaka koncentraciji H

+, raunati e:

pH = log 1,33 108

= 8 log 1,33 = 7,87.

No, iako formalno tono izraunat, rezultat je pogrean. Zato? Kratak odgo-vor je sljedei: oito je. Naime, pH iznad 7 oznaava lunatu otopinu, dok je naa otopina kisela (toniji pH bio bi 6,97). Razlog zato je gornje rjeenje netono je, naravno, kemijski. to onda ovaj primjer radi u ovome radu? Tu je da upozori na neto to bi svakom matematiaru trebalo biti jasno i poznato kad matematika formula opisuje neto iz stvarnog svijeta, ona je tona samo uz uvjete uz koje je izvedena (konkretno, formula za pH je u redu ako je otopina dovoljno daleko od

neutralne). Ili, kako je to lijepo izrekao Albert Einstein: Ako se zakoni matematike

odnose na stvarnost, nisu pouzdani, a ako su pouzdani, ne odnose se na stvarnost.

Nisam Vas uvjerila da gornji tip zadatka nikad ne koristite u nastavi matema-

tike kao primijenjeni primjer, osim ako ga potelate i kemijski? Evo jo jedan, moj zadnji, argument ako kao matematiar koji, primjerice, ne zna kemiju vidim formulu poput

oc

)H(clogpH

ne vidim zato bih imala ideju u toj formuli c(H+) proizvoljno zamijeniti s c(HCl).

Dakle, ak i isto formalni pristup moe upozoriti na potencijalne greke.

6 Kemiari esto nepravilno kau: negativnom. Naravno da je to krivo, ta minus u definici-

ji pH slui upravo tome da za veinu otopina vrijednost pH postane pozitivna.

20

Preciznije objanjenje problema s gornjim primjerom, kao i drugi srodni pri-mjeri, mogu se nai primjerice u [Brueckler, 2010].

Da me ne bi tko krivo shvatio jednostavni primijenjeni primjeri itekako su poeljni u nastavi matematike. Samo, kao to od drugih kad koriste matematiku oekujemo da ono to koriste pravilno koriste, i ljutimo se kad to ne ine, tako i mi matematiari kad ulazimo u materiju druge struke trebamo upoznati bar osnove onoga o emu priamo.

Jo malo, pa kraj

Mnoga su istraivanja pokazala da se logaritmi, kako openito, tako i unutar kemije ne razumiju dovoljno dobro te se esto svode na tipke na kalkulatoru [Wat-ters & Watters, 2006]. No, kako pokazuje i prethodni primjer, najozbiljniji problem

u primjenama nije u samim logaritmima, ve pogrekama i krivim shvaanjima koja nastaju iz nepravilnog koritenja matematikih formula kao samostojeih entiteta bez uzimanja u obzir uz koje uvjete su te formule izvedene [Matsumoto et al, 2009].

Inspirirano tim i drugim srodnim istraivanjima, 2010. provedeno je istraivanje meu 32 studenta preddiplomskog studija kemije na jednom hrvatskom sveuilitu. Studenti su dobili dva zadatka, jedan poput prethodnog primjera, a drugi vezan za

raun pri uzastopnom deseterostrukom razrjeivanju otopine. Samo neto vie od 6%, odnosno 3%, studenata dalo je potpuno (i matematiki i kemijski) rjeenja, a jo po neto vie od 30% odnosno 15% dalo je priblino tona rjeenja temeljena na jednostavnijim, u osnovi kemijskim argumentima. Temeljem analize dobivenih rje-

enja izvedeni su zakljuci slini onima iz [Watters & Watters, 2006], a to je da sveuilini studenti u velikoj mjeri pokazuju znaajne miskoncepcije, neke vezane za matematiku, a druge za kemiju. Detalji ovog istraivanja, uoene tipine greke i zakljuci, mogu se nai u [Brueckler, 2010]. Zato smo ovdje spomenuli to istrai-vanje? Razlog je jednostavan ovaj tekst namijenjen je nastavnicima u osnovnim i srednjim kolama, a upravo oni pripremaju uenike za razliite studije. Kako se spo-menute miskoncepcije nisu mogle stvoriti upisom na fakultet, oito je da potjeu iz prethodnog kolovanja. Stoga se nadamo da e ovaj kratki tekst posluiti kao po-mo, a posebno kao inspiracija, za kvalitetniju nastavu matematike.

Za kraj spomenimo da u ovom kratkom tekstu nismo dotakli mnoge napred-

nije probleme vezane za titracijske krivulje, koje povezuju standardnu kemijsku teh-

niku (titraciju), grafove funkcija i interpolaciju. No, tu emo temu ostaviti za neku drugu priliku

Bibliografija

F. M. Brueckler, Logarithms in Aequos Solutions, 1st Croatian Workshop on Chemical

Education, Book of Abstracts, 54-55, Split, 2010.

M. oli, Kako su nastali logaritmi, diplomski rad, Prirodoslovno-matematiki fakultet, Matematiki odsjek, Zagreb, 2013.

21

M. de Guzmn, Origin and Evolution of Mathematical Theories: Implications for Mathematical Education, Newsletter of the International Study Group on the History and

Pedagogy of Mathematics, 8, March 1993, 2-3. Retrieved Nov 29th 2010 from http://www.math.

nmsu.edu/~history/guzman.html

D. J. Watters and J. J. Watters, Student understanding of pH: i don't know what the log actually is, i only know where the button is on my calculator, Biochem. Mol. Biol. Educ. 34 (2006) 278284.

P. S. Matsumoto, G. Tong, S. Lee and B. Kam, The Use of Approximations in a High

School Chemistry Course, J. Chem. Edu. 86 (2009) 823826.

22

POVEZANOST MATEMATIKE I FIZIKE

Dario Vretenar

Zavod za teorijsku fiziku, Fiziki odsjek Prirodoslovno-matematiki fakultet

Sveuilite u Zagrebu

U razvoju matematikih ideja znaajan poticaj uvijek je bio pronalaenje ma-tematikih struktura koje precizno zrcale ponaanje fizikalnih pojava.

Smatra se da je prvi fizikalni zakon, izraen matematiki prije dvije i pol tisu-e godina, bilo Pitagorino otkrie da se titranjem napetih ica dobiju uhu ugodni to-novi ako je omjer duljina ica jednak omjeru malih cijelih brojeva (skraenjem ice na polovicu ton se povisuje za oktavu, skraivanjem na 2/3 povisuje za kvintu, ). Tek mnogo kasnije otkriveno je da ti omjeri dvaju malih cijelih brojeva zapravo po-

kazuju omjere frekvencija, pa omoguuju skladnu interferenciju pripadnih zvunih valova.

U istraivanju prirodnih pojava fiziari koriste prirodoznanstvenu metodu, koju su u dananjem obliku formulirali Roger Bacon u 13. stoljeu i Galileo Galilei poetkom 17. stoljea, no koja vue porijeklo jo od Sokrata koji je istraivao mag-netske pojave. Sutina prirodoznanstvene metode jesu sljedei koraci: pokus i pro-matranje prirodnih pojava na temelju kojih znanstvenik stvara pojednostavljenu sli-

ku izraenu matematikim jezikom, zatim se izraunati rezultati usporeuju s rezul-tatima mjerenja i ovisno o slaganju s mjerenjima, teorijski model se prihvaa ili od-bacuje i trai bolje tumaenje. Uspjean model predvia i svojstva koja dotad nisu mjerena i na osnovu predvianja vre se novi eksperimenti. I tako se krug zatvara. Do 20. stoljea ovaj se pristup primjenjivao uglavnom u fizici, a zatim sve se vie i u drugim prirodnim znanostima. Na poetku je isti fiziar radio i pokus i teorijski model i provodio raune (na primjer Galilei i Newton). Zbog sve obimnijeg opsega i sloenosti, dolo je do podjele posla: ve u 20. stoljeu pokuse preteno izvode eks-perimentalni fiziari (na primjer Rutherford i Onnes), a teoriju i proraune teorijski fiziari (na primjer Einstein i Bohr).

Teorijska istraivanja koja koriste jezik matematike, omoguuju predvianja rezultata eksperimenata prije nego oni doista budu provedeni i esto upuuje na smjer u kojemu treba vriti daljnje pokuse. Mnogi fiziari smatraju da zapravo nema razloga oekivati da je ovaj pristup uope mogu, ali u stvarnosti esto daje rezultate koji s velikom preciznou predviaju i reproduciraju rezultate mjerenja.

Ve je u zaetcima moderne fizike Galileo ustvrdio da matematika predstav-lja prirodan jezik fizike. Sve do poetka dvadesetog stoljea zapravo nije bilo velike razlike izmeu teorijske fizike i matematike. Neki od najveih znanstvenika tog do-ba: Newton, Laplace, Legendre, Hamilton, Gauss, Fourier ... bili su i fiziari i mate-matiari. Matematika je pruila okosnicu i za dvije velike znanstvene revolucije koje su obiljeile fiziku dvadesetog stoljea: opu teoriju relativnosti i kvantu mehaniku.

23

Jedan od najpoznatijih primjera izuzetne uspjenosti primjene matematikih metoda u fizici je izraun magnetskog momenta elektrona. Relativistika kvantna teorija elektromagnetskog polja predvia vrijednost giromagnetskog faktora elektrona koja se s rezultatom mjerenja slae do na nevjerojatnu tonost od jednog dijela u stotinu milijardi.

Prije vie od pedeset godina Nobelovac Eugene P. Wigner je, u svom radu o neshvatljivoj djelotvornosti matematike u prirodnim znanostima, ukazao na zago-netku ogromne upotrebljivosti i korisnosti matematike u opisu prirodnih pojava, za

koju zapravo ne postoji razumno objanjenje. Takoer je intrigantno da su u pri-rodnim zakonima esto realizirana ona rjeenja koja su ujedno i matematiki najele-gantnija. S druge strane, tajnovitost uspjeha primjene matematikih koncepata pos-tavlja pitanje jedinstvenosti naih fizikalnih teorija.

24

DUALNOST U OPTIMIZACIJI I PRIMJENE

Marko Vrdoljak, izvanredni profesor Prirodoslovno-matematiki fakultet,

Matematiki odsjek Bijenika cesta 30

Zagreb

e-mail: marko@math.hr

Saetak

Teorija dualnosti je inicijalno razvijena za linearno programiranje te ima

mnogo primjena i zanimljivih interpretacija, posebno u ekonomiji. Primjerice, u

podruju operacijskih istraivanja dualnost ima vanu ulogu u transportnom problemu, problemu dodjeljivanja, kod optimizacije mrenog toka i sl.

Svakoj zadai linearnog programiranja moemo pridruiti dualnu zadau. Izuavanjem dualne zadae, dolazimo do zanimljivih spoznaja vezanih uz primarnu zadau, koje vode i do boljih algoritama za numeriko rjeenje.

Kljune rijei: teorija dualnost, optimizacija, linearno programiranje

25

MATEMATIKA BIOLOGIJA U NASTAVI

Miljenko Huzak PMF-Matematiki odsjek, Sveuilite u Zagrebu

e-pota: huzak@math.hr

Tijekom dvadesetog, a posebno u prvih desetak godina dvadeset i prvog

stoljea, svjedoci smo razvoja novih znanstvenih disciplina nastalih proimanjem biologije s matematikom. Poelo je s populacijskom biologijom i genetikom, biostatistikom, nastavilo se s matematikim modeliranjem u biologiji stanice i biomedicini openito, a danas se najbre rastuom disciplinom smatra bioinformatika ili raunarska biologija. Dakako, niti razvoj matematike nije bio imun na tu interakciju. Tu se posebno misli na razvoj teorije sluajnih procesa, inferencijalne statistike, te posebno raunarstva (vidjeti [3, 4, 6]).

Iz velike drutvene vanosti tih znanstvenih disciplina proizlazi potreba za njihovim ukljuivanjem u nastavni proces to ranije na primjeren nain. Oekuje se da e korist od toga biti viestruka. Osim za biomatematike discipline, profitirat e i matematika i biologija na spoznajnoj (s metodikog aspekta) i sadrajnoj razini. Dakako, inicijativa i strunost nastavnika na svim razinama obrazovanja je od kljune vanosti za uvoenje takvog koncepta interdisciplinarnosti i njegovo provoenje (vidjeti [8]).

Za sada se biomatematiki sadraji poduavaju ili pokuavaju uvesti kao preteito posebni nastavni predmeti na sveuilinim studijima ([1] je primjer udbenika za predmet Osnove matematike biologije na preddiplomskoj razini studija). Pri tome se nastoji prilagoditi i osmisliti poduavanje uobiajenih sadraja matematikih predmeta biolozima i biolokih predmeta matematiarima (vidjeti, na primjer, [2]). Na osnovnokolskoj i srednjokolskoj razini obrazovanja takvi posebni biomatematiki predmeti nisu potrebni jer prostora ima dovoljno unutar postojeih predmeta Matematika i Biologija. Jedino bi tre-balo nastojati da takvi sadr_zaji nadu

mjesto u njihovim programima, u skladu s usvojenim kurikulima.

U matematikim predmetima, biomatematiki sadraji se uobiajeno svode na primjere koji su, ili motivacijski, ili ilustrativni za neku matematiku nastavnu jedinicu. Na primjer, problem tzv. Fibonaccijevih zeeva (vidjeti [1]) koristi se kao motivacijski primjer za linearne diferencijske jednadbe i analizu njihove dinamike. S druge strane, u biolokim predmetima matematika ima ulogu matematikog jezika kojim se opisuju bioloki zakoni i modeliraju odnosi medu mjerljivim veliinama. Na primjer, matematiki model populacije insekata sadri parametre koji imaju bioloku interpretaciju. Nadalje, iz pojednostavljenih empirijski dobivenih pretpostavki postavljaju se jednadbe koje se, u tom primjeru, slino Fibonaccijevom problemu zeeva, reduciraju na linearne diferencijsku jednadbu drugoga reda s koeficijentima koji su funkcije biolokih parametara (vidjeti [5]).

26

Krajnji cilj tako postavljenog modela je opis i predvianje dinamike populacije insekata u funkciji biolokih parametara.

Najzanimljiviji, ali i, metodiki gledano, najvrjedniji pristup obradi biomatematikih tema je kroz timski rad na konkretnom studijskom zadatku. Iako je rad na timskom zadatku najsloeniji vid nastavnog rada koji pretpostavlja suradnju vie nastavnika (matematiara, biologa, informatiara, fiziara,...) u pripremi, voenju i vrednovanju postignua, korisnost s aspekta zadanih ciljeva i ishoda uspjenog rada na tom zadatku, za uenike je najvea. Dobro zadani timski zadatak pretpostavlja da uenici prikupljaju podatke i potrebne informacije, dobivene podatke obraduju, zatim postavljaju, prilagoavaju i vrednuju matematiki model i na kraju izvode zakljuke u skladu sa zadanim zadatkom. Pri tome koriste statistike, deskriptivne i inferencijalne metode, raunalo i odgovarajue programe. Na kraju, dobivene rezultate uenici (timovi) prezentiraju u pismenom i usmenom obliku. Dakako, u svakom trenutku treba paziti na prikladnost koritenih metoda obzirom na predznanje, dob i mogunosti uenika.

Dobro koncipiranim timskim radom na postavljenom zadatku na najbolji

nain se ilustrira: interdisciplinarnost matematike biologije, uloga statistike u procesu znanstvenog istraivanja, proces matematikog modeliranja, uloga raunala i programske podrke, induktivna i deduktivna metoda, potreba i vrijednost timske suradnje, ali i individualnog doprinosa timu, te kako se prezentiraju rezultati

istraivanja. Nadalje, razvijaju se razne vjetine: ope (generike) kao, na primjer, kako pristupiti zadanom problemu, komunikacijske vjetine unutar tima i u prezentaciji rezultata (izvan tima), te posebne vjetine, na primjer, modeliranja pomou diferencijskih jednadbi, vrednovanje modela pomou hi-kvadrat testa i sl. Primjeri metodiki obraenih timskih zadataka vezanih za vjerojatnosno-statistiko modeliranje u biologiji, mogu se nai u priruniku [7].

Reference

[1] N.F. Britton, Essential Mathematical Biology, Springer, London, 2003.

[2] H.J. Chiel, J.M. McManus, and K.M. Show, From biology to mathematical models and

back: teaching modeling to biology students, and biology to math and engineering students, CBE

Life Sciences Education, 9(3), 2010., 248-265, (dostupno na:

http://www.lifescied.org/content/9/3/248.full)

[3] J. E. Cohen, Mathematics is biology's next microscope, only better; biology is next

mathematic's physics, only better, PLoS Biology, 2 (13), 2004. (dostupno na:

http://www.plosbiology.org/)

[4] A. Friedman, What is mathematical biology and how useful is it?, No-tices of the

Amercan Mathematical Society, 57 (7), 2010. (dostupno na:

http://www.ams.org/notices/201007/rtx100700851p.pdf)

[5] N. Edelstein-Keshet, Mathematical models in biology, SIAM, 2005. (Firstly published

by Random House, 1988.)

[6] S.A. Levin, ed., Mathematics and Biology: The Interface, Chalanges, and Oppor-

tunities, Lawrence Berkeley Laboratory, University of California, 2008. (dostupno na:

http://www.bio.vu.nl/nvtb/Contents.html)

27

[7] D. Nolan, T. Speed, Stat Labs, Mathematical statistics through applications, Springer,

New York, 2000.

[8] A. _Sorgo, Conecting biology and mathematics: first prepare the teachers, CBE Life

Sciences Education, 9(3), 2010., 196-200, (dostupno na:

http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC2931666/)2

28

29

PREDAVANJA

30

31

GEOMETRIJSKI ZOR KADA NAS OI VARAJU

mr. sc. Ella Rakovac,

Brankica Truhar, prof.

I. gimnazija Osijek

Saetak

Tijekom godina nai roditelji, prijatelji, nastavnici, profesori nastojali su nam neke stvari objasniti prikazujui nam ih skicama, crteima, slikama, grafovima, dijagramima... Nerijetko se upotrebljava fraza da ti nacrtam?, kada nekome pokuavamo neto objasniti.

Rjeavajui geometrijske probleme prisiljeni smo posluiti se crtanjem. Prikazivanjem za-danog, skiciranjem i promatranjem pokuat emo doi do rjeenja. Klju uspjenog rjeavanja za-datka bit e upravo dobra skica.

No, ni odlina skica i logiko zakljuivanje, uz primjenu znanja nije garancija da je rjee-nje problema tono. Jedan od najvanijih osjeaja koje ovjek moe iskusiti jest osjeaj uenja. Stoga je znatielja prema svemu onom to nam prua taj osjeaj potpuno prirodna i razumljiva.

Interesantno je da ba matematika moe izazvati takav osjeaj, ak i kod onih osoba koje zaziru od nje i imaju averziju. Kako? Kako potaknuti nekoga na razmiljanje i promiljanje?

Na nekoliko ilustrativnih primjera pokazat emo navedeno.

UVOD

Ljudi ue kroz tri osnovna kanala: vizualni (vidni), auditivni (sluni) i kines-tetiki (motoriki). Najei tip osoba jest onaj vizualni, koji najlake i najbre ui gledanjem. Tijekom cijelog naeg obrazovanja i ivota, lake pamtimo stvari koje smo vidjeli, od onih apstraktnih.

Naravno, kada je geometrija u pitanju, nema drugog puta, do crtanja, prikazi-

vanja i promatranja. Na osnovu skica i crtea dolazimo do zakljuaka i rjeavamo geometrijske probleme, jer ustvari vidimo rjeenje. Pojedine probleme i zadatke ne-emo uspjeno rijeiti ako uz svo znanje matematike i poznavanje odreene proble-matike nemamo dobru skicu.

No, ponekada nije sve onako kakvim se ini. Geometrijski zor i rjeavanje problema pomou njega ponekad moe biti princip koji vara ljudsku percepciju.

Kako potaknuti nekoga na razmiljanje i promiljanje ilustrirat emo na slje-deem jednostavnom primjeru.

32

PARADOKSI

Paradoksalne linije

U ovom primjeru, i svima koji se na njemu baziraju, koristi se princip skri-vene distribucije. Konstruiran je pravokutnik. Unutar njega povueno je 10 para-lelnih linija istih duljina. Nakon toga povuena je dijagonala.

Sa slike je vidljivo da se duljine odsjeaka linija s gornje strane smanjuju, i obrnuto, s donje strane se poveavaju.

Pravokutnik presijeemo po ucrtanoj dijagonali i doljnji dobiveni trokut po-maknemo u lijevo za jednu liniju... Ako sada prebrojimo koliko imamo paralelnih linija, uoit emo da ih je samo 9. Odnosno, da jedna nedostaje. Kamo je nestala je-dna linija?

Rjeenje ove zagonetke vrlo je jednostavno. Paradoks se pojavljuje kada skup oigledno nepobitnih pretpostavki daje neprihvatljive ili kontradiktorne zakljuke, koji se protive intuiciji. Obino, izjava u samom pitanju ne implicira kontradikciju, zbunjujui rezultat nije ustvari kontradikcija, ili pretpostavke same nisu zaista istini-te ili jedna iskljuuje drugu. to je od navedenog ovdje sluaj?

Ono to se uistinu dogodi jest da smo 8, od poetnih 10 linija, podijelili na dva segmenta razliitih duljina. Zatim smo tih 16 segmenata preraspodjelili tako da ine novih 9 linija, neto malo duljih od onih poetnih. Kako je promjena u duljini tih novih linija vrlo mala, prostom oku promakne taj detalj, pa nam se ini kao da je jedna linija nestala.

Slika 3. Izrazi lica

Slika 1. Pravokutnik Slika 2. Transformirani pravokutnik

33

Ovaj paradoks primjenjiv je i na bilo koji drugi dvodimenzionalni lik. Na-

ravno da je zanimljiviji ako umjesto linija upotrijebimo neto oku interesantnije i privlanije, kao to su fotografije olovaka, cigareta, aa...

Na slici 3. prikazan je linijski paradoks primijenjen na 6 razliitih izraza lica, gdje pomakom u desno jedno lice nestaje. Naravno da je rjeenje, kao i kod linija, na prvi pogled nedokuivo. Ali isto kao i kod linijskog paradoksa, lice nije uistinu nestalo, ve su ostala lica dobila dodatne dijelove.

Paradoks ahovske ploe

Linijski paradoks odnosi se na promjenu duljine. No, kako se moe mjenjati duljina linije, moe se mjenjati i povrina nekog lika. Kada mjerimo povrinu, naj-lake emo si ju predoiti kvadratnom mreom. Usporeujui broj prekrivenih kva-dratia moi emo rei koja je od dvije povrine vea ili manja. Ova ideja usitnja-vanja potie jo od Arhimeda, koji je istu koristio pri izraunavanju povrine kruga i ispod parabole.

U sljedeim primjerima primjenjuju se neki ope poznati aksiomi geometrije. Jedan od njih navodi kako sukladni mnogokuti imaju jednake povrine, a drugi go-vori o aditivnosti, tj. ako mnogokuti M1 i M2 nemaju zajednikih unutranjih toaka, tada je

P(M1UM2) = P(M1) + P(M2).

Na slici 4. je prikazana ahovska ploa, sa svojih 8x8 polja, to daje povrinu od 64 kvadratia. Polja oko dijagonale prikazana su osjenano.

Zatim je ploa presjeena po oznaenoj liniji, te je doljnji dio pomaknut u li-jevo. U gornjem desnom uglu ostane nam polovica malog kvadratia, kao i u do-

njem lijevom. Spajanjem ta dva trokuta, dobivamo jedan kvadrati i novu plou 79, to nam daje povrinu od 63 kvadratia. 64 = 63?! Kako je mogue da od jednog kvadrata, njegovim presjecanjem i preraspodjelom dobijemo pravokutnik drugaije povrine?

Slino, ako uzmemo kvadrat 1313, presijeemo ga na etiri dijela i presloi-

mo dijelove, dobit emo pravokutnik 821, to e nam dati povrinu od 168 kvadra-tia, tj. za jedan manje. 169 = 168?!

Slika 4. ahovska ploa Slika 5. ahovska ploa, pomaknuta

34

Da to nisu usamljeni sluajevi, ilustrirat u na jo jednom primjeru koji datira iz 1700-tih

7, poznatiji kao Hooperov paradoks.

Na slici 6 prikazan je pravokutnik 103. Premjetanjem dijelova pravokutni-ka A i C, poetni pravokutnik se transformira u dva manja pravokutnika, koji zajed-no imaju povrinu 30 kvadratia, to je za 2 vie od povrine poetnog pravokutnika.

Opet nam se dogodilo da je od jedne povrine presijecanjem i preraspodjelom dobivena nova povrina, s razlikom da ovdje nismo izgubili ve dobili. Kako je to mogue, uzimajui u obzir prije navedene aksiome?

No kako navodi Courant8: Iako je aksiomatski oblik jedan ideal, opasno je

vjerovati da je u aksiomatici sadrana bit matematike. Konstruktivna intuicija ma-tematiara unosi u matematiku nededuktivni i iracionalni element zbog ega je moemo usporediti s glazbom i umjetnou.

Na slici 7 prikazane su jo neke inaice navedenih paradoksa.

7 Primjer se navodi u prvi puta u kolekciji Nouvelles rcrations physiques et math-

matiques francuskog autora Edm Gilles Guyot, iz 1769-1770, a neto kasnije u knjizi Williama Hoopera, Racionalna matematika, iz 1794.

8 R. COURANT, H. ROBBINS, I. STEWART ,What is Mathematics?: An Elementary

Approach to Ideas and Methods, str. 216.

Slika 7. Paradoksalna preraspodjela

Slika 6. Preraspodjela pravokutnika 10x3

35

GDJE LEI RJEENJE?

Iako moda pomalo neobino, ovdje bi bilo zgodno citirati Sherlock Hol-mesa, koji e ostati jedan od najpoznatijih rjeavaa problema i zagonetki svih vre-mena, i njegova metodologija zasnovana na zanimljivim pravilima: Kapitalna je pogreka toretizirati prije nego imate sve dokaze...

Pa pogledajmo dokaze. Brojevi koji se pojavljuju kao dimenzije, u gornjim li-

kovima, su 5, 8, 13, 21, to su ustvari Fibonaccijevi brojevi F5 = 5, F6 = 8, F7 = 13,

F8 = 21. (npr. Na gornjoj slici 135 88 = 1, to nam daje jedan kvadrati vie). Fibonaccijev niz je tijekom godina posluio mnogim matematiarima za izvoenje iroke palete zanimljivih problema. Jedan od njih bio je i Jean-Dominique Cassini, francuski astronom i matematiar, koji je 1680. izrekao poznati identitet primjenjiv na navedene geometrijske paradokse:

Teorem. n)()n(F)n(F)n(F 111 2 za svaki Zn

D o k a z . Upotrebljavajui pravilo nastanka Fibonaccijevih brojeva dobivamo:

Od ovog mjesta matematikom indukcijom lako se dokae jednakost. QED

Openito, ako uzmemo Fibonaccijeve brojeve Fn-1, Fn, Fn+1, tada svaki kva-

drat Fn Fn moemo presjei u etiri dijela, koristei slinu konstrukciju tako da, na-

kon sastavljanja dijelova, imamo pravokutnik Fn+1 Fn-1. Prema navedenom Cas-sinijevom teoremu, jedan kvadrati e se pojaviti kada je n paran, ili nestati, ako je n neparan.

Paradoks lei u injenici da rubovi ta 4 dijela koja lee du dijagonale pravo-

kutnika 513, ne koincidiraju potpuno. Dijagonala nije ravni segment u ovom slu-aju, ve mali paralelogram, iji je kut

25146

1

8

3

3

2.arctgarctgarctg .

Samo potpuno precizno crtanje omoguuje nam da uoimo tako malen pro-rez.

Greku moemo dokazati i jednostavnim koritenjem Pitagorinog pouka. Primjenom Pitagorinog pouka dobivamo da je duljina hipotenuze gornjeg, crvenog

trokuta, 73 8.5440, krak gornjeg, plavog, trapeza 29 5.3852 i dijagonala

cijelog pravokutnika 194 13.9284. Oito je 73 + 29 > 194 , tj. hipotenuza

gornjeg trokuta, krak trapeza i dijagonala pravokutnika ine trokut. Odnosno, na

slici se krije paralelogram sa stranicama duljina 73 i 29 , povrine 1.

36

Neto jednostavniji primjer Hooperovog paradoksa je njegova izvedenica, poznatija kao Curry-jev paradoks

9 ili problem kvadrata koji nedostaje.

Zamjenom dva trokuta sa slike 9, utog i crvenoga, poveala se povrina ru-pe, osjenanog dijela, a smanjila se naa povrina u boji, slika 10.

Poznate su nebrojene varijante ovog paradoksa, elegantnije od izvornika, gdje

se dijeljenjem pravokutnika na manje povrine i njihovom preraspodjelom javlja rupa u povrini.

Jedna od poznatijih varijanti je i ona M. Gardnera koji je uoio da se kod Cur-ryjevog paradoksa gornji trokut ne mjenja i da nema osobit znaaj, pa je stoga od poetnog pravokutnika promatrao samo donji trokut, slika 11.

9 Radi se o Paul Curryju iluzionistu koji je prvi prikazao paradoks 1953. g., a ne o Haskell

B. Curryju i o njegovom paradoksu vezanom uz teoriju skupova

Slika 9. Pravokutnik

Slika 10. Kvadrati vika

Slika 8. Preciznije crtanje

37

Naravno da i ove inaice paradoksa podlijeu istim matematikim zakonitos-

tima kao i njihovi izvornici, i da ni jedan pravokutan trokut 135 nema povrinu jednaku kao njegovi, na slici prikazani, sastavni dijelovi. etiri lika (uti, crveni, plavi, i zeleni) ukupno imaju povrinu 32 kvadratia, dok trokuti imaju katete 13 i 5, to ini povrinu od 32.5 kvadratia. Manji trokut ima omjer stranica 5:2, dok vei ima 8:3, to ne daje isti koeficijent. Stoga, ova novonastala hipotenuza nije uistinu ravna, ve je malo svijena. Svijanje iznosi oko 1/28 dijela po jedinici kvadratia, to je vrlo teko vidjeti prostim okom na ovim slikama.

MOGUNOSTI

Zgodno je ne vidjeti sitne neistine i uditi se kako je neto mogue. Kada su u pitanju dvodimenzionalni likovi, pravokutnici i trokuti, oku lako promaknu sitni

detalji. No, to bi se dogodilo kad bi za ove disekcije promatrali krivulje, krunice, elipse ili 3D analogone? Vrijedi li i za njih navedeni Cassinijev teorem?

Slika 11. Rupa u trokutu

Slika 12. Novi kvadrati u trokutu

38

Mogunosti dakako postoje. Jedna takva je i disekcija kocke na est dijelova, tako da se njenim preslagivanjem dobije praznina unutar kocke. Postoje li takve

mogunosti za kvadre, piramide, prizme...? O tome nekom drugom prilikom.

Literatura

Bryan Bunch, Mathematical Fallacies and Paradoxes, Dover publications, NY, 1997.

Martin Gardner, Entertaining mathematical puzzles, New York : Dover, 1961

Martin Gardner, Mathematics, magic and mystery, New York : Dover, 1956

H.E. Dudeney, Amusements in Mathematics, Dover Publications Inc., 2000

39

MOGUNOST KORELACIJE NASTAVNIH SADRAJA GEOGRAFIJE I FIZIKE

Ivan Gambiroa, prof. geografije Eva Ravni, prof. fizike

Gimnazija Pula

Saetak

Suvremeno kolstvo podrazumijeva primjenu razliitih nastavnih oblika i metoda rada u realizaciji nastavnog procesa. Meutim vrlo esto nastavnici se usmjeravaju na koritenje mini-malnog broja istih nastavnih oblika i metoda. Jedna od metoda koja je posebno zapostavljena je

korelacija nastavnih sadraja dvaju ili vie nastavnih predmeta.

Cilj ovog rada je ukazati na mogunost korelacije nastavnih sadraja geografije i fizike, s posebnim naglaskom na gimnazijski plan i program. Dan je prikaz moguih naina korelacije iz-meu navedenih predmeta te e biti navedeni mogui naini suradnje tih nastavnih predmeta.

UVOD

Kako je geografija interdisciplinarna znanost, odnosno spona izmeu prirod-nih i drutvenih znanosti u velikoj mjeri koristi spoznaje iz drugih znanosti, a oso-bito iz prirodne skupine predmeta. Kad bi vie poradili na usklaenosti nastavnih planova i programa te kad bi bolje poznavali gradivo ostalih nastavnih predmeta ka-

ko nama, a tako i samim uenicima sam nastavni proces bi se jednostavnije odvijao.

Neusklaenost nastavnih sadraja s ostalim nastavnim predmetima u nastavi geografije uoava se ve pri poetnoj obradi nastavnog gradiva u 5. razredu osnovne kole, kad se uenici prvi put susreu s tim nastavnim predmetom. Iako su uenici prethodno stekli odreene spoznaje o planetu Zemlji, domovini i zaviaju u predme-tu priroda i drutvo nastavnici se pri obradi novih nastavnih sadraja susreu s prob-lemom neusklaenosti s ostalim predmetima koje su ve ranije pohaali ili e tek pohaati.

Svakako, sam pristup radu i neusklaenosti sadraja sigurno je uoljiviji u niim razredima osnovne kole. Nastavnik geografije ve u petom razredu osnovne kole treba upoznati uenike s nekim od fizikalnih zakona s kojima e se uenici susresti tek u sedmom ili osmom razredu. Jedini nain da se u tom uzrastu s ueni-cima razgovara o tim sadrajima je na nain da se pozovemo na njihovo dosadanje iskustvo. Ne znajui uenici su ve doivjeli razne fizikalne fenomene kao to su du-ga, zrcalo, slobodni pad, toplina i dr. Od velike bi koristi bilo da ve tada uenici ponu razvijati svoje sposobnosti opaanja prirode i uvide mogunosti jednoznanog opisivanja svijeta oko sebe. Time bi ujedno stekli i pozitivan stav prema neemu to e tek u sedmom razredu saznati da se zove fizika i vrlo vjerojatno uti od starije brae i sestara da je to neto jako teko i fuuj.

40

Kako se u ovom radu prije svega usmjerava na mogunost korelacije na pri-mjeru gimnazijskog programa prvog razreda geografije i fizike u sljedeem poglav-lju je dano nekoliko konkretnih primjera gdje bi se mogla napraviti kvalitetnija kore-

lacija meu nastavnim sadrajima. Iako su se uenici s osnovama fizike susreli ve u sedmom i osmom razredu osnovne kole smatramo kako bi uenici nastavno gradivo kvalitetnije savladali ukoliko bi se ve od prvog razreda gimnazije paralelno obrai-vali slini nastavni sadraji, a oni koji su ve usklaeni trebali bi se vie ispreplitati u samom nastavnom procesu. U tom sluaju kako uenicima tako bi i nama nastav-nicima bilo jednostavnije uenicima prezentirati gradivo koje trebaju savladati.

O vanosti povezanosti geografije i fizike govori i injenica da postoji cijela zasebna znanstvena disciplina koja se naziva geofizika koja pomou razliitih ure-aja kvantitativnim metodama fizike istrauje i prouava prirodna obiljeja i zakoni-tosti Zemlje kao cjeline te prirodne procese u litosferi, hidrosferi i atmosferi, te is-

trauje Zemlju i u okviru Suneva sustava (Cvitanovi, 2002.). Osim geofizike unu-tar geografije postoji prirodnoznanstvena-kauzalna koncepcija koja ispituje fizikalne

zakonitosti prostornih pojava (Matas, 1996.). Svakako treba spomenuti i ostale grane

geografije koje su usko vezane s prirodnom skupinom predmeta kako u osnovnoj ta-

ko i srednjoj koli npr. matematika geografija, biogeografija s ekologijom, zoogeo-grafija, kartografija i dr.

PRIMJERI IZ NASTAVNOG PROCESA

Mogunost korelacije geografije s drugim nastavnim predmetima, osobito pri-rodnom skupinom predmeta, mogua je na svim obrazovnim razinama osnovnokol-skog i srednjokolskog obrazovanja. Geografija i prirodoslovno-matematika grupa nastavnih predmeta uvelike su povezane, a ponajvie u gradivu petog razreda osnov-ne kole te prvog razreda srednje kole. Kada se govori o korelaciji nastave geogra-fije i fizike na razini gimnazijskog programa ona je u geografiji osobito mogua u prvom razredu gimnazije. Razlog vie to su uenici osnove tih dvaju predmeta sa-vladali u prethodnom osnovnokolskom obrazovanju. Nasuprot tomu uenicima pe-tog razreda isto gradivo je bilo tee savladati, a samom nastavniku tee predoiti isto s obzirom da uenici nisu imali predznanje iz fizike. U nastavku su dani primjeri iz geografije prvog razreda gimnazije u kojima se moe izvriti korelacija s nastavnim sadrajima fizike te mogunost korelacije s drugim nastavnim predmetima, s naglas-kom na program nastave matematike.

Zemlja u Sunevu sustavu i svemiru

U prvoj nastavnoj cjelini predmeta geografija uenici prvog razreda gimnazije ue o poloaju Zemlje u Sunevu sustavu i svemiru. Ovdje uenici stjeu osnovna znanja o postanku i irenju svemira, njegovim dimenzijama, galaksijama te njiho-vom nastanku. Trebaju znati razlikovati svemirska tijela (planeti, zvijezde, Mjesec,

planetoidi, kometi, meteori, sateliti) i usvojiti naine njihova nastanka. Takoer, uenike se upoznaje s razlikama Ptolomejevog geocentrinog i Kopernikova helio-centrinog sustava. Nadalje, u istoj nastavnoj cjelini uenici produbljuju spoznaje o

41

ve steenom znanju u petom razredu osnovne kole o gibanjima Zemlje (rotacija, revolucija, precesija, nutacija).

Navedeni sadraji nastave geografije u velikoj su mjeri povezani s gimnazij-skim sadrajem nastave fizike, osobito s onim u prirodno-matematikom usmjerenju gdje uenici takoer usvajaju nove spoznaje i fizikalne zakone koje je uenicima mogue pribliiti uz pomo ve steenih znanja u nastavi geografije. U prvom raz-redu uenici u fizici proiruju svoja znanja iz mehanike, prouavaju gibanja (jedno-stavna i sloena), djelovanje sila (gravitacijska, centrifugalna i centripetalna sila), upoznaju se s opim zakonom gravitacije, Keplerovim zakonima, energijom, zako-nima ouvanja, tlakom te mehanikom fluida. Svemir kao nastavna cjelina se u nas-tavi fizike javlja tek krajem etvrtog razreda i to se esto obrauje kao ueniki rad ili u obliku seminara kako bi se uenici rasteretili pred kraj nastavne godine. Naa-lost ta vrlo zahvalna i interesantna cjelina biva zapostavljena.

Iz navedenog se moe uoiti cijeli niz moguih primjena steenih znanja iz jednog nastavnog predmeta u drugome. Dobar primjer su dokazi rotacije Zemlje pri

kojoj dolazi do spljotenosti na polovima uzrokovane jaom centrifugalnom silom na ekvatoru, istonom skretanju tijela pri padu ili Coriolisove sile (Gall, Kralj, Slunjski, 2011.). Spomenuta Coriolisova sila djeluje na tijela u pokretu zbog Zemlji-

ne rotacije, a u obradi nastavnih sadraja iz fizike moe se navesti cijeli niz primjera koje su uenici ve susreli u gradivu geografije primjerice kod kretanja vjetrova (pa-sati na razliitim Zemljinim polutkama drukije skreu prema ekvatoru), velikih ri-jeka koje potkopavaju desnu obalu na sjevernoj, a lijevu obalu na junoj Zemljinoj polutci ako tee u smjeru sjever-jug i dr. (Cvitanovi, 2002.).

Nerijetko nastavnici fizike u srednjim kolama provode izborni ili fakultativni predmet astronomije u kojemu im polazite za uvod u predmet mogu biti znanja koja su uenici prethodno stekla u gradivu geografije. Kvalitetnu korelaciju izmeu pred-meta mogue je odraditi posjetom oblinjoj zvjezdarnici. Kao primjer navodimo dvodnevnu terensku nastavu (listopad 2012.) uenika Gimnazije Pula s predmetnim profesorima koji su vodili fakultativnu nastavu iz astronomije, geografije i biologije.

Terenska nastava je odrana na podruju Labinskog poluotoka gdje su se uenici mogli upoznati s osnovnim geografskim i biolokim obiljejima toga kraja, a u ve-ernjim satima uenici su promatrali zvijea pri emu su mogla korelirati sva tri predmeta.

Navedeni primjeri mogu korelirati i s matematikim nastavnim sadrajima kroz nastavne jedinice geometrijska tijela (opseg, krunica, krug), mjerenje veliina ili proporcionalnost. Dok se u predmetu kemija moe govoriti o rasprostranjenosti elemenata u svemiru.

Globalna tektonika ploa

Nastavna cjelina o endogenim i egzogenim silama na Zemlji u prvom razredu

geografije jedna je od najzahtjevnijih, tovie time to je temelj za ostale procese ko-ji e se kasnije ispreplitati s nastavnim sadraja o drutveno-geografskim obiljejima na Zemlji. Posebno ispreplitanje sadraja geografije i fizike vidljivo je u nastavnoj jedinici Globalna tektonika ploa gdje uenici stjeu znanja u uzrocima i posljedica-ma kretanja litosfernih ploa. U istoj nastavnoj godini neto kasnije uenici u nastavi

42

fizike obrauju nastavnu jedinicu Sila na uronjeno tijelo uzgon gdje se kao primjer moe navesti prethodno naueno gradivo o kretanju litosfernih ploa.

Klima na Zemlji

Kad se govori o klimatskim pojavama i procesima na planetu Zemlji unutar

nastave geografije svakako vanu ulogu imaju fizikalni zakoni. Kroz cijelo poglavlje o klimi na Zemlji gdje su okosnica klimatski elementi (Sunevo zraenje, temperatu-ra zraka, tlak zraka, vlaga u zraku i padaline, cirkulacija zraka) nadovezuju se fizi-

kalni zakoni. Gradivo je u vrlo uskoj vezi s predmetom fizika gdje se obrauje atmo-sferski tlak, ve ranije spomenuta Coriolisova sila, barometar, uzgon, gravitacijska sila, no naalost plinske zakone, molekularno kinetiku teoriju plinova i toplinu u fizici se obrauje tek u drugom razredu gimnazije. Takoer u ovom poglavlju u nas-tavi geografije se govori o klimatologiji, biometeorologiji i sinoptikoj meteorologi-ji, a sama meteorologija je grana fizike. Dobra mogunost korelacije je i fakultativna ili izborna nastava meteorologije (Krelj, 1987.).

Korelaciju je primjerice mogue odraditi zajednikim poludnevnim posjetom lokalnoj meteorolokoj postaji gdje bi se uenici mogli upoznati s osnovnim klimat-skim obiljejima te instrumentima za mjerenje klimatskih elemenata.

S nastavom geografije ovdje bi bila dobra povezanost s predmetima biologija

(rasprostranjenost biljnog i ivotinjskog svijeta na Zemlji koja je uvelike uvjetovana klimom odreenog podruja, kao i utjecaj vremena na ovjekov organizam) i kemija (elementi i plinovi, talite, vrelite, temperatura, agregatna stanja i dr.). Dobar pri-mjer korelacije i geografije s matematikom naveden je u lanku Korelacija nastav-nih sadraja geografije i matematike (Marin, Maruna; Marin, 2011.) gdje navode primjer zadatka izraunavanja brzine vjetra prema Beaufortovoj ljestvici. U ovom poglavlju s matematikom je mogue korelirati i pri izraunima srednje dnevne, mje-sene i godinje temperature i temperaturne amplitude.

Primjer iz prirunika za pripremu dravne mature iz geografije (Vuk, Nebeski Hosti, 2010.):

Izraunaj srednju dnevnu temperaturu zraka za meteoroloku postaju u kojoj su izmjerene sljedee temperature zraka: u 7 sati izmjerena su -2C, u 14 sati izmje-reno je 6C, a u 21. sat izmjereno je -5C. (Rjeenje: -1,5C, ne priznaje se upisan odgovor bez mjerne jedinice).

Voda na Zemlji

Jo jedna cjelina u prvom razredu gimnazijskog programa geografije u kojem se dosta moe korelirati s fizikom, kao i ostalim prirodnim predmetima, je ono u ko-jemu se govori o vodi na Zemlji. Osobito bitna povezanost s fizikom je u nastavnom

sadraju o gibanjima morske vode (morske mijene - plima i oseka, morske struje, valovi). Svakako u nastavi fizike gibanja imaju izrazito vanu ulogu pa se s geogra-fijom mogu povezati sadraji kao to su gravitacijska sila i hidrodinamika (kvalita-tivno tumaenje plime i oseke) ili primjerice mehaniko proiavanje vode koje se u geografiji voda spominje kao proces autopurifikacije. Od ostalih prirodnih pred-

meta svakako treba spomenuti biologiju/ekologiju mora, kemijski sastav vode, nutri-

43

jente, ivi svijet u moru, desalinizacija i dr. Korelacija s matematikom moe se na-praviti primjerice izraunavanjem obalne razvedenosti Republike Hrvatske.

ZAKLJUAK

Suvremeni pristup realizaciji nastavnog programa svakako tei k to kvalitet-nijoj nastavi uz maksimalno rastereenje uenika, odnosno ima za cilj kroz to vei broj sadraja na to jednostavniji nain kod uenika pobuditi interes za odreeni nas-tavni predmet. esto ni mi nastavnici sami ne uviamo problem nedovoljnog kori-tenja i nepoznavanja sadraja nastavnih predmeta naih kolega. Svakako kad bismo na istom minimalno poradili uenicima bi bilo jednostavnije savladati gradivo, a nas same bismo dodatno rasteretili posla koje je netko od kolega uini za nas ili zajedno s nama. U tekstu se navedeni primjeri prije svega odnose na korelaciju nastavnih

sadraja geografije i fizike, no dan je na kraju svakog dijela i kratki osvrt na mogu-nost korelacije s drugim nastavnim predmetima. Konkretno miljenja smo kako bi najkvalitetnija korelacija u sadrajima geografije i fizike bila kroz terenske nastave i manje projekte ili izvannastavne aktivnosti.

U svakom sluaju fiziarima bi se uvelike olakalo uvoenje uenika u novi nastavni predmet kad bi uenici bar malo bili upoznati s fizikalnim nainom razmi-ljanja i opisivanja pojava u prirodi prije sedmog razreda i to kroz nastavu geografije

i matematike, a korist za uenike bi bila velika jer bi tako i oni zaokruili ukupno znanje i uvidjeli da predmeti koje ue nisu nepotrebni i nepovezani nego se meu-sobno nadopunjuju i ine obrazovanje kvalitetnijim i logiki smislenim.

Literatura

Cvitanovi A., (2002): Geografski rjenik, Hrvatsko geografsko drutvo Zadar, Filozof-ski fakultet Zadar, Matica hrvatska Zadar, Zadar.

Gall, H., Kralj, P., Slunjski, R. (2011): Geografija 1, udbenik za prvi razred gimnazije, III. izdanje, kolska knjiga, Zagreb.

Jeli, T., Peria, M. (2011): Geografija 1, udbenik za 5. razred osnovne kole, Alfa, Za-greb.

Krelj, B. (1987): Korelacija geografije s ostalim nastavnim predmetima, kolska knjiga, Zagreb.

Marin, D., Maruna, I., Marin, A. (2011): Korelacija nastavnih sadraja geografije i mate-matike u osnovnoj koli, i zadaci, Hrvatsko geografsko drutvo Split. (URL 1: http://www.gdst.hr/korelacija-nastavnih-sadrzaja-geografije-i-matematike-u-osnovnoj-

skoli, srpanj 2013.)

Matas, M. (1996): Metodika nastave geografije, Hrvatsko geografsko drutvo, Zagreb. Vuk, R., Nebeski Hosti, S. (2010): Geografija na dravnoj maturi, prirunik za pripremu

ispita dravne mature iz geografije, kolska knjiga, Zagreb.

44

NEUSKLAENOST NASTAVNIH PROGRAMA MATEMATIKE I FIZIKE U 1.RAZREDU GIMNAZIJE

Robert Gortan, prof. matematike i fizike,

professor mentor Gimnazija i strukovna kola Jurja Dobrile Pazin

e-mail: robert.gortan@skole.hr

Saetak

U nastavnim planovima iprogramima matematike i fizike pojavljuju se veslike neusklae-nosti u obradinastavnih sadraja. Prilikom obrade nastavnici esto koriste i matematiki aparat koji je nepoznat uenicima, ali uvelike pojednostavljuje nain obrade i dolazak do cilja, odnosno rjeenja zadataka.

Budui su porgarmi zastarjeli, potrebno ih je promijeniti i uskladiti, to je vie mogue. A mogue je.

Kljune rijei: nastava matematike i fizike, promjene u programima, neusklaenost

UVOD

Razvoj i promjena drutveno ekonomskog ivota i svijeta oko nas izazivaju potrebu za reformom naeg kolstva, kako osnovnog tako i srednjokolskog. Kao rezultat toga, donose se nove smjernice u razvoju kolstva i planira izrada novih nas-tavnih programa. Nastavom prirodnih nauka, kola je duna olakati mladim nara-tajima snalaenje u mnotvu tehnikih, drutvenih i prirodnih zbivanja te shvaanje zakonitosti i reda u tim zbivanjima. Istaknuta je potreba da se nastavni programi po-

jedinih nauka reduciraju i pojednostave, a prirodne nauke meusobno bolje poveu. Prirodne nauke imaju veliko odgojno znaenje jer suvremeno obrazovan ovjek, po-sebno u svijetu iji je razvoj toliko uvjetovan razvojem znanosti, mora posjedovati i elementarna znanja iz prirodnih znanosti te poznavati njihovu metodologiju. Kod

izuavanja prirodnih znanosti, teorijske sadraje treba usko povezivati s praktinom primjenom radi uspostavljanja kvalitetnog znanja i razumijevanja.

Fizika je tijesno povezana s napretkom civilizacije te tehnike suvremenog

drutva. Nastava fizike treba doprinijeti spoznaji da fizika i ostale prirodne znanosti ine temelj razumijevanja znanstvenih dostignua ovjeanstva. Uenike treba upu-ivati u svijet fizikalnih pojava koje oni trebaju shvatiti i uoavati zakonitosti istih. Izravan i stalan kontakt uenika sa prirodom i pojavama u njoj pomoi e uenicima da otkriju vezu i jedinstvo teorijskog i praktinog znanja. Najznaajniji zadatak nas-tave fizike je da uenika potakne na usvojanje znanja o prirodnim pojavama, da kod njih razvije sposobnost opaanja i otkrivanja odnosa, uzroka i posljedica te izvoe-nja zakljuaka na temelju izvedene analize, to moemo nazvati fizikalno misliti.

45

Fizika se prema postojeem nastavnom planu kao zaseban predmet pojavljuje u 7. razredu osnovne kole, no i od tada se ona ne izuava izolirano od ostalih pred-meta i sadraja. U nastavi se fizike tada polazi od pojava iz svakodnevice koje ue-nici susreu oko sebe na svakom koraku i u svako vrijeme. Sloene prirodne pojave se promatraju u poetku cjelovite, kao jedinstvo, a kasnije se prelazi na istraivanje pojava s fizikalnog stanovita primjenom fizikalnih metoda istraivanja i ostalih me-toda suvremene nastave. Fizika je stoga usko povezana s ostalim naukama te odgoj-

no obrazovnim podrujima nastavnog programa (biologija, kemija, tehniki odgoj, povijest, hrvatski jezik...). Najtjenje je povezana s matematikom.

Tema ovog diplomskog rada je neusklaenost nastavnih programa matemati-ke i fizike za prvi razred gimnazije. Radno iskustvo tijekom apsolventskog staa bilo je temelj i motivacije za pisanje ovoga rada o navedenoj temi.

U nastavi sam se esto susretao s problemima uzokovanim neusklaenostima nastavnih programa matematike i fizike, koje sam rjeavao na po meni najbolji na-in. Suraivao sam s nastavnicima matematike i zajedno smo pokuali dogovoriti nain obraivanja matematikih sadraja koji su meni bili potrebni u nastavi fizike za obradu nekih sadraja. Meutim, sve elemete nismo mogli uskladiti pa je dio ma-tematikog sadraja bio objanjen uenicima na satu fizike.

Cilj moga istraivanja bio je pronai i analizirati to vie problema u nastavi fizike uzrokovanih neusklaenou programa. U radu u navesti 13 primjera neus-klaenosti u kojima u pokazati kako su probleme u njima rijeili autori udbenika i zbirki navedenih u literaturi. U navedenim primjerima predloiti u nain rjeavanje navedenih problema.

Tijekom pripreme i pisanja diplomskog rada konzultirao sam se s nastavnici-

ma rijekih gimnazija te svoje pazinske gimnazije.

Na ovaj sam nain obogatio svoj rad nastavnim iskustvom i nainima kako nastavnici rjeavaju problema u nastavi.

FIZIKA I MATEMATIKA

Na Meranskim konferencijama 1905. godine je, kao jedan od zakljuaka, is-taknuto da se fizika u nastavi mora obraivati kao prirodna, a ne matematika zna-nost. U tome i danas postoji suglasnost, ali se problem pojavljuje u praksi.

Znamenski naglaava da je fizika grana prirodne znanosti koja ima zadau is-traivati i izuavati prirodne pojave. Ona je dakle, znanost koja uz pomou mate-matike analizira, objanjava i izlae svoja otkria. Matematika je, prema tome, meto-da u nastavi fizike i znanstvenim istraivanjima iz fizike.

Stupanj i nain upotrebe matematike u nastavi fizike ovisi prvenstveno o dobi uenika, nastavnom programu matematike te o nastavniku fizike. U tom smislu zna-ajna je usklaenost nastavnih programa matematike i fizike. Povezanost matemati-ke i fizike trebala bi se odraziti i u nastavi matematike jer fizika nudi matematici bo-

gat izvor primjera primjene i razumjevanja sadraja. U udbenike matematike tre-balo bi unijeti to vie zadataka iz podruja fizike i tehnike. Kod sastavljanja zbirki, fiziari bi mogli matematiarima preporuiti takve zadatke.

46

U nastavi fizike gotovo nema teme pri obraivanju kojih se ne moe primje-niti i matematika (mjerenje prostora i vremena, teine i gustoe tvari, kod mjerenja sila i tlakova u tekuinama i plinovima...). Uz pomo matematikih operacija i gra-fikog predoavanja usporeuju se rezultati, iz poznatih izraunavaju nepoznate ve-liine, kod nekih se zakona koriste funkcije i njihovo grafiko predoavanje. Uvijek treba pred uenike postavljati probleme na takav nain koji e u njima pobuditi ra-doznalost i izazvati potrebu za rjeavanjem problema i zadataka.

Matematike metode se takoer nalaze i u pokusima i problemima iz tehni-kog odgoja, gdje pored fizikalnog treba upotrijebiti i matematiko znanje.

Matematike metode u nastavi fizike primjenjujemo kod:

a) odreivanja fizikalnih veliina koje ne moemo neposredno mjeriti;

b) izraavanja fizikalnih zakona matematikim relacijama;

c) preraunavanja mjernih jedinica i preoblikovanja fizikih relacija;

d) primjene fizikih zakona u primjerima iz svakodnevice;

e) rjeavanja zadataka.

Rjeavanje svakog novog zadatka iz fizike, dovodi do novog rjeenja i nove kvalitete znanja. esto na taj nain dolazi do A-HA efekta jer uenici tako pomo-u rjeenja dolaze do zakljuaka o fizikom problemu. Nema jedinstvene sheme ko-ja omoguuje rjeavanje svih fizikih zadataka.

Do fizikih rezultata moe se doi na razliite naine u kojima emo uoiti uporabu matematike u nastavi fizike:

promatranje pojave,

kvalitativno doivljavanje,

intuitivno zakljuivanje i ocjenjivanje,

kvantitativno istraivanje,

zapisivanje podataka u tabele,

grafiko predoavanje,

izvoenje i formuliranje zakona,

izraavanje pomou matematike relacije (Obradovi, 1998).

NEUSKLAENOST NASTAVNIH PROGRAMA MATEMATIKE I FIZIKE ZA PRVI RAZRED GIMNAZIJE

U nastavi fizike esto dolazi do problema uzrokovanih neusklaenostima nas-tavnih programa matematike i fizike. Naime, u boljem opisivanju i definiranju ele-

menata programa fizike pretpostavlja se i odreeno matematiko znanje. U prvom razredu gimnazije dogaa se da bi uenici morali znati matematiki aparat koji se ui u viim rezredima srednje kole.

Nakon konzultiranja profesora rijekih i pazinskih gimnazija uoena su kri-tina mjesta u nastavnom programu fizike prvog razreda uzrokovanih navedenim, kao to su nepoznavanje rjeavanja kvadratne jednadbe, nepoznavanje trigonome-

47

trije, nedovoljno poznavanje vektorskog rauna, nepoznavanja integralnog i diferen-cijalnog rauna, slabog interpretiranja grafikog prikaza gibanja...

Navedeni problemi oteavaju rad profesorima koji moraju pronai najbolji nain da uenicima izloe fizikalnu grau. esto se dio sata mora odvojiti na poja-njavanje i uvoenje uenika u matematiki formalizam koji je neophodan za obrai-vanje fizikih sadraja. Na taj se nain dragocjeni dio sata gubi, pa je esto sluaj da nastavnik ubrzava nastavu i tako dovodi do nerazumjevanja teme kod uenika.

Jedan od zakljuaka 1. Kongresa nastavnika matematike odranog 5. srpnja 2000. u Zagrebu govori upravo o ovoj problematici. Navodi se da valja pregledati

programe i planove fizike i kemije te utvrditi koje matematike sadraje rabe u nas-tavi i u koje vrijeme pa uskladiti pouavanje tako da se potrebni matematiki sadr-aji usvajaju u sklopu nastavnog programa matematike. (Matematika i kola, 1998-99)

Neki od problema koji se pojavljuju u nastavi fizike i koji e kasnije biti na-vedeni na elegantniji nain su otklonjeni u konstruktivistiki pisanom udbeniku au-tora Rudolfa Krsnika nego u udbeniku autora Vladimira Paara koji je pisan za tra-dicionalni pristup uenju fizike.

U pokuaju njihovog rjeavanja koristiu se i ostalim udbenicima i zbirkama zadataka za prvi razred srednje kole navedenim u litreraturi. Usporeivanjem veeg broja udbenika, pokuati u predloiti najbolje naine savladavanja postojeih po-tekoa u nastavi fizike.

DEFINIRANJE TRENUTNE BRZINE (AKCELERACIJE)

Prva nastavna cjelina iz fizike u 1. razredu gimnazije je pravocrtno gibanje.

Uvode se pojmovi vezani uz gibanje i fizike veliine put, vrijeme, brzinoa. Jedan od problema javlja se kod definiranja trenutne brzine. Autori udbenika pokuali su na razliite naine doi do najboljeg naina njenog uvoenja.

Primjer 1. Tijelo se u poetki promatranja (t = 0) nalazi u poetnom poloaju (s = 0). Nakon trenutka t1 nalazi se na poloaju s1, a nakon trenutka t2 na poloaju s2. (Paar, 1998).

48

Srednja brzina brzina definira se kao

12

12

tt

ssv

gdje se s s2 s1 oznaava s i naziva intervalom puta, a t2 t1 intervalom vremena t. Dakle,

t

sv

.

Nakon definiranja srednje brzine, uvodi se pojam trenutne brzine. Tona defi-nicija trenutne brzine zahtijeva koritenje matematikih sadraja koje uenici ue tek u 4. razredu S. Rije je o pojmovima granine vrijednosti (limes) i derivacije (dife-rencijalni raun).

Uz te uvjete moglo bi se definirati da je trenutna brzina granina vrijednost kojoj tei srednja brzina, kada vremenski interval tei nuli.

dt

ds

t

slimvlimvtt

00

Nastavnik e u 1. razredu gimnazije pokuati definirati trenutnu brzinu bez uvoenja navedenih matematikih sadraja. Jedan od naina naveden je u udbeniku autora Krsnika.

Primjer 2. Zadan je s t dijagram nejednolikog gibanja. U zadatku je potreb-no odrediti srednje brzine u intervalima AB, BC, CD, DE, EF i FG. (Krsnik, 1998)

Koritenjem formule t

svs

te oitavanjem podataka s grafa formiramo

tablicu.

Dobivene rezultate predoimo na slici 3. Izraunamo vrijednosti srednjih br-

zina po poznatoj formuli i vidimo da je 880,vAG m/s, 051,vBF m/s,

251,vCE m/s

Temeljno pitanje ovoga zadatka je to tonije procjeniti trenutanu brzinu u

toki D. Najbolja procjena je u intervalu CE (tCE = 0,04s) jer je vremenski interval

krai od intervala AG (tAG = 0,12s) i BF (tBF = 0,08s). Meutim, to i dalje nije iz-

TOKA t (s) s (cm) v (m/s)

A 0,30 0,6 0,30

B 0,32 1,0 0,50

C 0,34 2,0 1,00

D 0,36 2,9 1,45

E 0,38 2,5 1,25

F 0,40 1,5 0,75

G 0,42

49

nos trenutne brzine u toki D. U naelu , sve tonije i tonije se vrijednost moe

odrediti uzimajui sve krae intervale vremena t oko toke D. to je t krai

(t0), srednja brzina e biti blia vrijednosti trenutne brzine. Za dovoljno malen interval t dio krivulje na s t dijagramu bit e segment pravca tangente u toki D.

Dakle, za odreivanje trenutne brzine grafikom metodom moramo imati kri-vulju u s t dijagramu.

Ovisno o tome je li vremenski interval dovoljno malen, navedena jednadba dati e vrijednost srednje ili trenutne brzine.

Zakljuak je da trenutnu brzinu v u bilo kojoj toki T s t dijagrama dobije-mo crtanjem tangente u nekoj toki i odreivanjem brzine iz tog pravca prema rela-ciji

t

sv

Analogno se uvodi pojam, srednje akceleracije t

va

uz v kao promjenu

brzine, a t promjenu vremena ili vremenski interval.

50

Trenutna akceleracija se definira tako da se u danoj toki v t dijagrama po-

vue tangenta i po relaciji t

va

rauna se iznos srednje (trenutne) akceleracije

ovisno o veliini intervala vremena.

Pojmovi trenutne brzine i akceleracije mogu se vrlo uspjeno uvesti bez kom-pliciranog diferencijalnog rauna kojeg uenici upoznaju u 4. razredu S upotrebom opisane grafike metode.

dt

dv

t

vlimalimatt

00 ili

2

2

dt

sda

Konzultirani profesori rijekih gimnazija ne koriste diferencijalni raun niti raun graninih vrijednosti kod obraivanja ovog dijela gradiva. Ne uvode pojam

t0 ve govore o to kraem vremenskom intervalu.

KAKO ODREUJEMO PUT IZ v t DIJAGRAMA?

Jedna od izravnih koritenja matematikog formalizma u nastavi fizike je odreivanja puta kod nejednolikog gibanja izraunavanjem povrine ispod krivulje. Navesti u nain izraunavanja puta bez koritenja navedenog matematikog forma-lizma.

Primjer 3. U poetnom trenutku tijelo ima brzinu 3m/s. Tijelo promatramo 8 sekundi i tijekom toga gibanja akceleracija tijela je 2m/s

2 . Potrebno je n