zbirka zadataka iz oet-2 doc

Download Zbirka Zadataka Iz Oet-2 Doc

If you can't read please download the document

Upload: davor-profesor

Post on 07-Dec-2014

452 views

Category:

Documents


115 download

DESCRIPTION

Education Electricity

TRANSCRIPT

V. Pajin:Osnove elektrotehnike II ( Prirunik sa zbirkom zadataka )1 SADRAJ: 1.Osnovni pojmovi o naizmeninim strujama ......................strana3. 1.1.Dobijanje naizmeninih veliina ....3 1.2.Osnovni parametri naizmeninih veliina...3 ZADACI..7. 2.Predstavljanje naizmeninih veliina..12 2.1. Analitiko ( trenutno ) predstavljanje naizmeninih veliina.....12 2.2. Grafika ( vremensko ) predstavljanje naizmeninih veliina....12 2.3. Fazorsko ( vektorsko ) predstavljanje naizmeninih veliina.....12 2.4. Kompleksno predstavljanje naizmeninih veliina.13 Osnovne raunske operacije sa kompleksnim brojem.....14 ZADACI...16. 3.Otpori u kolu naizmenine struje..18 3.1.Kolo sa savrenim termogenim ( aktivnim ) otporom..18 3.2.Kolo sa savrenim kalemom ( induktivnim otporom ).18 3.3.Kolo sa savrenim kondenzatorom ( kapacitivnim otporom )..18 ZADACI..20 4.Vezivanje otpora u kolu naizmenine struje....24 4.1. Redna veza..24 4.1.1. Redna veza RLC...24 4.1.2. Redna veza RL..25 4.1.3. Redna veza RC......25 4.2.Paralelna veza ....26 4.2.1.Paralelna veza RLC..26 4.2.2.Paralelna veza RL.27 4.2.3.Paralelna veza RC.27 4.2.4.Paralelna veza RL iRC28 4.2.5.Meovita veza...28 ZADACI..29 5. Ekvivalentne veze.53 5.1.Pretvaranje redne veze RLC u paralelnu vezu GB...53 5.2.Pretvaranje paralelne veze GB ( RLC ) u rednu vezu RX53 5.3.Metode transformacije..54 5.3.1.Pretvaranje impedansi vezanih u trougao u vezu u zvezdu54 5.3.2.Pretvaranje impedansi vezanih u zvezdu u vezu u trougao54 ZADACI..55 6. Snaga u kolu naizmenine struje........................................................................................................59 6.1.Trenutna i srednja vrednost snage............................................................................................ .....59 6.2.Snaga u kolu sa savrenim aktivnim otporom ( R )......................................................................59 6.3.Snaga u kolu sa savrenim kalemom ( L )....................................................................................60 6.4.Snaga u kolu sa savrenim kondenzatorom ( C ) .........................................................................61 6.5.Snaga u kolu naizmenine struje na impedansi Z.........................................................................63 6.5.1.Redna veza RLC ( XL > XC ) Analitika, grafika, fazorska i kompleksna analiza.....................................................63 6.5.2.Redna veza RLC ( XL < XC ) Analitika, grafika, fazorska i kompleksna analiza.....................................................65 6.6.Faktor snage.................................................................................. ................................................66 6.7.Podeavanje prijemnika za maksimalnu aktivnu snagu generatora..............................................68 ZADACI....................................................................................... ........................................................69 7. Rezonantna i antirezonantna kola.................................................................................... .....strana82 7.1. Rezonantno kolo..........................................................................................................................82 7.1.1.Karakteristine krive kod rezonantnih kola......................................................................84 7.1.2.Faktor dobrote i faktor priguenja kod rezonantnih kola..................................................85 7.1.3.Propusni opseg kod rezonantnih kola................................................................................85 7.1.4. Tanges gubitaka........................................................................................................... .......86 7.2.Antirezonantno kolo...................................................................................................... ...............87 Realno antirezonantno kolo................................................................................................... .......88 ZADACI................................................................................... .................................................. .......90 V. Pajin:Osnove elektrotehnike II ( Prirunik sa zbirkom zadataka )2 8. Induktivno spregnuta kola.................................................................................................................100 8.1.Koeficijent samoinduktivnosti i meusobne induktivnosti.........................................................100 8.2.Analiza induktivno spregnutih kola........................................................................................... .100 ZADACI.............................................................................................................................................102 9. Mostovi za naizmeninu struju...........................................................................................................111 ZADACI....................................................................................................................... ......................112 10. Sloena kola..........................................................................................................................................116 10.1.Definicija elektrinih kola........................................................................................... ...............116 10.2.Metode za reavanje sloenih kola..................................................................................... ........116 10.2.1. Metoda Kirhofovih pravila...........................................................................................116 10.2.2. Metoda konturnih struja............................................................................................ ...116 10.2.3. Metoda zajednikog napona.........................................................................................116 10.2.4. Metoda superpozicije............................................................................................... ....116 10.2.5. Metoda Tevenena ( ekvivalentni naponski generator )................................................116 10.2.6.Metoda Nortona ( ekvivalentni strujni generator ).......................................................116 ZADACI.................................................................................................................................. ...........11711. Transformatori.................................................................................................................................... 133 11.1.Zadaci i podela transformatora............................................................................................... ... 133 11.2.Idealni transformatori.................................................................................................................113 11.3.Redukovanje veliina kod transformatora..................................................................................136 11.3.1.Redukovanje sekundarnog napona na primarnu vrednost.........................................136 11.3.2.Redukovanje sekundarne struje na primarnu vrednost..............................................136 11.3.3.Redukovanje sekundarnog otpora ( impedanse ) na primarnu vrednost....................136 11.4.Realni transformatori sa gvozdenom jezgrom ...........................................................................137 Ekvivalentna ema realnog transformatora...........................................................................138 11.5.Transformatori u linearnom reimu rada ( vazduni transformatori ) .......................................138 Autotransformatori........................................................................................................... .....139 11.6.Stepen korisnog dejstva transformatora................................................................................ .....139 ZADACI................................................................................................... ..........................................140 12. Polifazni sistemi ..................................................................................................................................144 12.1.Osnovni pojmovi o polifaznim sistemima .................................................................................144 12.2.Dvofazni sistem.............................................................................................................. ............145 12.3.Trofazni sistem...........................................................................................................................146 12.3.1.Vezivanje namotaja trofaznih generatora .................................................................147 -Vezivanje namotaja trofaznih generatora u zvezdu......................................... 147 -Vezivanje namotaja trofaznih generatora u trougao......................................... 149 12.3.2Vezivanje ( trofaznih ) prijemnika na trofazni generator ......................................... 150 -Veza prijemnika u zvezdu..................................................................................150 -Veza prijemnika u trougao.................................................................................152 Snaga trofaznih prijemnika i trofaznih generatora.......................................................................153 -Snaga trofaznih prijemnika i trofaznih generatora vezanih u zvezdu................153 -Snaga trofaznih prijemnika i trofaznih generatora vezanih u trougao...............154 ZADACI....................................................................................................................... ......................155 REENJA...........................................................................................................................................169 DODATAK - OBRTNO MAGNETNO POLJE .................................................................. .............331. - RAZNI ZADACI ( sa kolskih, regionalnih i republikih takmienja ) ....................341. V. Pajin:Osnove elektrotehnike II ( Prirunik sa zbirkom zadataka )3 NAIZMENINE STRUJE 1. OSNOVNI POJMOVI O NAIZMENINIM STRUJAMA Naizmenine struje su vremenski promenljive, tj. sa promenom vremena menja im se i vrednost, i smer. Ove promene se periodino ponavljaju,najee u istim vremenskim intervalima ,pa se zbog toga i nazivaju periodine naizmenine struje. Ove promene mogu biti proste ( pravougaone, trouglaste, testeraste, trapezne, sinusne ), te se i nazivaju prostoperiodine naizmenine veliene ( napon, struja, ems .. ) i sloene koje se nazivaju sloene periodine naizmenine veliine. 1.1. DOBIJANJE NAIZMENINIH VELIINA ( ems, napona, struje ) e

Rotiranjem navojka u magnetnom polju indukcije B ( sa jednim parom polova ), sl.1.a, konstantnom brzinom u njemu e se indukovati ems e, koja e kroz navojak proterati struju i, ako je elektrino kolo zatvoreno. Indukovana ems e, kao i struja i e se postepeno menjati, kao to je prikazano na sl.1b. Kada navojak pree geometrijski ugao od 2t rad ( 360 ). ems e i struja i e napraviti jednu potpunu promenu, koja je u ovom sluaju sinusnog karaktera. Indukovana ems e je po Faradejevom zakonu jednakae = d| / dt. Fluks kroz navojak iznosi: | = B S = BS cos o = um cos o. Kako je ugaona brzinae = o / t o = et, odnosno,| = um cos et. Koristei viu matematiku ( izvodi ), sledi:d| / dt = dum cos et / dt = eum sin et. Konano, indukovana ems u navojku jee = d| / dt = eum sin et = Em sin et. Maksimalna vrednost ( amplituda ) indukovane ems po navojku iznosi:Em = eum |V| ,a za kalem sa N navojaka:Em = Neum |V|. Dakle, magnetni fluks po navojku se menja po kosinusu, dok indukovana ems po sinusu. To znai da e indukovana ems kasniti za svojim fluksom za 90 ( t/2 rad ). U praksi se koriste najee prostoperiodine naizmenine struje sinusnog oblika ( sl.1.b ). Naizmenine struje su mnogo ekonominije od jednosmernih ( mogu prenos na vee udaljenosti, zbog upotrebe transformatora, jednostavniji rad elektrinih motora, itd. ), pa su zbog toga u mnogo veoj upotrebi od jednosmernih. 1.2. OSNOVNI PARAMETRI NAIZMENINIH VELIINA 1. Trenutna vrednost.To je ona vrednost naizmenine veliine koja odgovara datom trenutku posmatranja. Iz slike 1.b moe se izvesti zakljuak da takvih vrednosti ima beskonano, tj. onoliko koliko uzmemo razliitih trenutaka. Ove vrednosti se oznaavaju malim latininim slovima ( simbol njihove promenljivosti ). Dakle, struja je oznaena sai, napon sau, ems saeitd. 2. Maksimalna vrednost ( Amplituda ). Ovo je najvea vrednost koju moe dostii naizmenina veliina. Ona se obeleava velikim latininim slovima sa indeksomm ( struja sa Im,napon sa Um, ems saEm itd. ). Vidimo da u toku jedne potpune promene ( navojak pree 360) ove vrednosti se jave dva puta, ali sa suprotnim predznacima ( To je momenat kada aktivni deo navoja see magnetne linije pod 90 ). 3. Ugaona brzina ( kruna uestanost ). Ugaona brzina je preeni ugao u jedinici vremena ( sekundi ). Kod ugaone brzine treba razlikovati geometrijsku ( mehaniku ) ugaonu brzinu O od elektrine e. Mehanika ugaona brzina govori o brzini okretanja navojka ( Sl.1. a ), dok elektrina ugaona brzina govori o brzini promene O' O A Sl.1. Sl.1. a)Sl.1. b) V. Pajin:Osnove elektrotehnike II ( Prirunik sa zbirkom zadataka )4 elektrine veliine ( sl.1. b ). Ako se navojak rotira u magnetnom polju sa jednim parom polova ( p = 1 ) tada e se u navojku indukovana ems promeniti po zakonu sinusoide, tj nastaje jedna oscilacija ( sinusoida ) za preeni geometrijski ugao od 2t rad. U ovom sluaju mehaniki ugao i elektrini su meusobno jednaki ( sinusoida obuhvata ugao od 2t rad ). Ako bi isti taj navojak obrtali u magnetnom polju sa dva para polova ( p = 2 ), tada bi svaki od aktivnih delova navojka pri mehanikom obrtanju od 2t rad dva puta naiao ispod N pola ( pozitivni maksimum ) i dva puta ispod S pola ( negativni maksimum ). U ovom sluaju nastaju dva oscilacije ( sinusoide ), to e rei da je ovde elektrini ugao dva puta vei od mehanikog. Konano, ako se navojak obre u magnetnom polju sa p pari polova sledizakljuak: oe, = pomgde jeom mehaniki ( geometrijski ) ugao, aoe elektrini ugao. Kako su ugaone brzine:mehanikaO = om / t,odnosno elektrinae = oe / t, sledi:e = pO. Za nau struku je bitna elektrina ugaona brzina, samim tim i elektrini ugao, pa se samo one i uzimaju za ozbiljno razmatranje. Zbog jednostavnosti pridev elektri;ni se i ne koristi. Dakle, elektrina ugaona brzina se naziva ugaonom brzinom ( krunom uestanou ) i obeleava se sae.Ona iznosi: e = o / t | rad / s |gde jeo elektrini ugao ija je jedinica radijan. 4.Frekvencija ( uestanost ). Frekvencija je broj ponavljanja ( oscilacija ) u jedinici vremena ( 1 s ). Obeleava se saf,a jedinica je herc |Hz|. Za jedan par polova frekvencija e odgovarati broju obrtaja navojka( Sl.1).Kod nas bi se navojak trebao u 1 s obrnuti 50 puta, jer je naa industrijska frekvencija jednaka 50 Hz. U Koreji, Japanu, SAD-u industrijska frekvencija iznosi 60 Hz. To znai da se kod njih navojak toliko puta obrne u magnetnom polju sa jednim parom polova. Ako je par polova jednak p, toliko puta e biti vie oscilacija u jedinici vremena. Iz navedenih konstatacija sledi zakljuak da je frekvencijafdirektno srazmerna brzini obrtanja navojka ( kalema ) n i broju pari polova p. Dakle, f = np |Hz| Navedeni izraz vai ako je brzina obrtanja kalema n u broju obrtaja po sekundi |ob/s|. Kako se za n uglavnom koristi jedinica |ob/min|, predhodni izraz prelazi u sledei oblik: | | Hz60nps 60obp nminobp n f =((

=((

= . te sledi, | | Hz 60npf = ;| |minobpf 60n = . Da bi frekvencija indukovane ems bila konstantna rotor generatora mora da se obre konstantnom brzinom. Brzina obrtanja generatora ( p = 1 ) koji napajaju nau mreu iznosi 3 000 ob/min ( f = 50 Hz ). Generatori u avio saobraaju rade pri frekvencijama od 400 Hz, u eleznici 15; 25 i 50 Hz, u telefoniji od 300 do 5 000 Hz i u radio tehnici od 104 do 1010 Hz.

5.Period(a). To je vreme u kojem traje potpuna promena naizmenine veliine ( jedna oscilacija ).Oznaava se sa T, a jedinica je s ( sekund ). Perioda i frekvencija su meusobno obrnuto proporcionalne, pa slede relacije:

Ugaona brzina naizmenine veliine za jednu oscilaciju ( t = T ,o = 2t rad ) iznosi: e = o/t = 2t/T = 2tf. e = 2tf |rad/s| 6. Faza, fazna razlika i poetna faza. Ako na istu osovinicu pored jednog navojka prema sl.1. mehaniki privrstimo jo dva navojka, kao na sl.2. a), tako da je drugi prostorno pomeren za ugao u2 unapred ( prednjai ), a trei za ugao u3 unazad ( kasni ), tada e se u svakom od navojaka indukovati pojedinana ems. Kako je oscilacija kod prvog navojka sinusoida( sl.1 ) ije je poetno vreme t = 0, indukovana ems e1 u njemu iznosi e1 = Em sin o = Em sin et. Za drugi navojake2 = Em sin ( et + u2 ), odnosno treie3 = Em sin ( et u3 ), sl.2.b). | | | | sf1T HzT1f = = V. Pajin:Osnove elektrotehnike II ( Prirunik sa zbirkom zadataka )5 Uglovi u2 i u3 se nazivaju poetni uglovi ( poetne faze ), jer su to uglovi sa kojima se poima posmatranje prostoperiodine naizmenine veliine e2, odnosno e3 ( t = 0 s ). Naravno i ems e1 ima svoj poetni ugao, koji u ovom sluaju iznosi 0, tj. u1 = 0 ( za t = 0e1 = Em sin 0 = 0 ). Kako je o = et, za prvu fazu ( fazu e1 ) mo\emo dati ugao predstaviti u oblikuet = et + 0 = et + u1.ovaj ugao et naziva se fazni ugao ( faza ) prve faze. Fazni ugao ( faza ) druge faze jeet + u2, odnosno tree et u3. Fazna razlika je razlika izme]u dveju faza. Fazna razlika izme]u druge I tree faze je et + u2 ( et u3 ) u23 = u2 + u3. Dakle, fazna razlika je razlika izme]u po;etnih uglova. 7. Srednja vrednost naizmenine veliine Naizmenina veliina sinusnog oblika u jednoj periodi ima dva polutalasa istih vrednosti ali suprotnih predznaka. Zbog toga je srednja vrednost naizmeninih veliina u jednoj periodi jednaka nuli. U praksi se negativni talas esto ispravlja u pozitivni ( nastaje struja jednog smera ), pa je u ovom sluaju srednja vrednost naizmenine struje za celu periodu jednaka srednjoj vrednosti naizmenine struje za polovinu periode. Iz navedenih razloga srednja vrednost naizmenine struje rauna se za vreme polovine periode ( T/2 ) i ona se obeleava velikim latininim slovima sa indeksom s. Srednja vrednost naizmenine struje je ona vrednost sa kojom bi vrednou jednosmerna struja ostvarila istu koliinu naelektrisanja u vremenskom intervalu od T/2. Dakle,povrina pravougaonika je Q = IST/2 , odnosno, povrina polovine sinusoide ( via matematika ) je; Q~ = }20Tidt =tdt sin I2T0me}= |.|

\|eet cosIm( = ( Im/2tf)| cos 2tfT/2 ( cos 2tf0)| = 2Im/t. Koristei raunske operacije iz vie matematike ( integralni raun ), srednje vrednosti naizmenine veliine iznosi: m m SI I I = = 637 , 02t; m SU Ut2=; m SE Et2= Efektivna vrednost naizmenine struje. Efektivna vrednost naizmenine struje je ona vrednost sa kojom bi jednosmerna struja istog inteziteta ostvarila istu koliinu naelektrisanja prolazei kroz neki otpornik. Kako se u praksi ova energija i najvie koristi znaaj efektivne vrednosti je veoma velik. Zbog toga te vrednosti se obeleavaju velikim latininim slovima, bez ikakvih indeksa ( U, I, E ). . a)b)

Sl.2. Sl.3. Pravc sa visinom koja odgovara nekoj jednosmernoj struji, ija je vrednost jednaka IS, pravi jedanpravougaonik ija je povrina jednaka povrini kojuini naizmenina struja i u vremenu T/2 ( polovina sinusoide ), prema sl.3. Kako je povrina pravougaonika jednakaIST/2 |As|,ta povrina predstavlja odreenu koliinu naelektrisanja. Poto su povrine izjednaene, sledi, jednosmerna struja IS stvara istu koliinu naelektrisanja kao i naizmenina struja i u vremenskom intervalu T/2 ( poluperiodi ). 0 T/2 V. Pajin:Osnove elektrotehnike II ( Prirunik sa zbirkom zadataka )6 Naizmenina struja i prolazei kroz isti taj otpornik R e ostvariti istu koliinu toplotne energije ( jednake povrine ), koja e iznositiW~ = RTIm2/2. Kako su povr[ine jednake ( W = W~ ) RTI2 = RTIm2/2I2 = Im2/2. Konano, 2mII = 2mUU= 2mEE = Koristei viu matematiku dobiju se ista reenja ( izjednaavajui toplotne energije, tj. povrine ). Postupak je sledei: I2RT = }TRdt i02 ,Reenjem navedenog integrala nastaju reenja efektivnih vrednosti, koja su ve data. Merni instrumenti su redovito izbadareni, tako da mere efektivnu vrednost naizmenine struje. Koeficijent oblika je odnos izmeu efektivne i srednje vrednosti naizmenine struje. On iznosi :k = I/IS Kod prostoperiodinog sinusnog oblika on iznosi 1,11. Svi navedeni parametri se u vidu rezimea mogu predstaviti na sledei nain:

Sl.4. Kvadriranjem naizmenine struje i, nastaje njen kvadrat, koji iznosii2 = Im2 sin2 et , prema sl.4. Vidimo da je strujai2 > 0, [to znai da e i toplotna energija biti stalno pozitivna ( ne zavisi od smera struje i ). Povucimo pravac tako da on inijedan pravougaonik ija je povrina jednaka povrini koju zatvara kvadrat struje ( i2 ) u vremenskom periodu T. Ove povrine pomnoene sa elektrinim otporom prijemnika predstavljaju njegovu toplotnu energiju. Dakle,toplotna energija razvijena jednosmernom strujom iznosi W = RI2T maksimalna vrednostugaona brzina ( kruna uestanost ) trenutna vrednostpoetni ugao

i =Imsin( 2 t f tu ) _ frekvencija ( uestanost )fazni ugao ( faza ) V. Pajin:Osnove elektrotehnike II ( Prirunik sa zbirkom zadataka )7 Z A D A C I : 1.1. Kolika je maksimalna vrednost prostoperiodine struje, ako je njena trenutna vrednost jednaka 12 A, a fazni ugao ( faza ) 30 ? 1.2. Maksimalna vrednost ems je 85 V, a njena frekvencija 100 Hz. Kolika je trenutna vrednost ems nakon vremenat = 1 ms od njenog prolaska kroz nulu ? 1.3. Odrediti vreme u kojem je trenutna vrednost naizmenine struje dva puta manja od njene efektivne vrednosti, ako je ona data izrazomi = Im sin 314 t. 1.4. U kojem je trenutku naizmenina struja za2puta manja od maksimalne, ako je njenizraz i = Im sin 314 t ? 1.5. Kolika je trenutna vrednost naizmenine strujei = 10 2sin ( et + t/4 )u trenutkut =T/8 ? 1.6. Odrediti trenutnu vrednost naizmenine struje u trenutkut = T/4iji je izrazi = 152 sin ( et + t/4 ). 1.7. U kojem e trenutku naponu = 100 cos ( et t/4 ) biti jednak nuli ? 1.8. Koliko je frekvencija dvopolne maine ( generatora ), ako joj se rotor obre brzinomn = 3 000 ob/min ? 1.9. Koliki je broj pari polova maine sa 1000 obrtaja u minuti, ako je njena frekvencija 50 Hz ? 1.10. Koliki je broj obrtaja estopolnog generatora ako je uestalost struje 50 Hz ? 1.11. Rotor sinhronog generatora ima 300 ob/min . Generator je konstruisan za frekvenciju f = 50 Hz. Koliko treba pari polova da ima navedeni generator ? 1.12. U kojem e trenutku trenutna vrednost naizmenine struje biti jednaka njenoj srednjoj vrednosti, ako je njena maksimalna vrednost jednaka 26 A, a frekvencija 50 Hz ? 1.13. Odrediti trenutak u kojem e naizmenina struja biti jednaka efektivnoj u predhodnom zadatku ? 1.14. Koliki je fazni ugao pri kojem je trenutna vrednost naizmenine struje jednaka efektivnoj vrednosti ? 1.15. Koliku frekvenciju ima generator koji rotira brzinom n = 1 000 ob/min, a ima tri para polova ( p = 3 ) ? 1.16. Kojom brzinom treba da se obre rotor sinhronog generatora koji je predvien za frekvencijuf = 1 000 Hz, a ima est pari polova ( p = 6 ) ? 1.17. Magnetni fluks elektromagneta ima maksimalnu vrednostum = 2102 Wb. Ako taj elektromagnet rotira unutar kalema sa N = 400 navojaka brzinom od 3 000 min1,odrediti izraz za trenutnu vrednost ems e. 1.18. Naizmenina struja ima efektivnu vrednostI = 20 A i frekvencijuf = 50 Hz. Vreme se poima meriti od trenutka kada struja raste od nule. Odrediti trenutak t1 odnosno t2 kada su trenutne vrednosti tih struja jednake i1 = 16 Aii2 = 20 A. 1.19. Naizmenini ( sinusni ) napon ima efektivnu vrednost U = 2 V. Vreme jedne periode jeT = 104 s. U asu kada se poinje meriti vreme napon ima trenutnu vrednostuo = 1,41 V. Odrediti izraz za naponu ( t ) . Koju e trenutnu vrednost taj napon ostvariti u trenutkut' = 105 s ? V. Pajin:Osnove elektrotehnike II ( Prirunik sa zbirkom zadataka )8 1.20.

1.21. Kalem pravougaonog oblika obre se konstantnom brzinom od 3 000 |ob/min = min1| u magnetnom polju sa jednim parom polovamagnetne indukcije 1,59 T. Povrina rama je 0,1 m2. Na ramu se nalaze dva navojka. Nai najveu jainu indukovane ems u kalemu. 1.22. Odrediti vremenski razmak izmeu pojave maksimalnih vrednosti napona koji se manjaju po zakonima: u1 = U1m sin ( et + 15 ) iu2 = U2m sin ( et 30 ), ako je uestanostf = 50 Hz. 1.23. U elektrinom kolu protie prostoperiodina naizmenina struja ija je efektivna vrednostI = 6 A, uestanostif = 50 Hzipoetnog uglau = 0. Kolika je koliina elektriciteta qprotekla kroz to kolo u toku prve polovine periode ? 1.24.

1.25. Odrediti maksimalnu vrednost napona ako se on menja po zakonuu = Um sin ( et + t/6 ), ako je njegova trenutna vrednost u poetku ( t = 0 )u = 200 V. 1.26. Rotor hidrogeneratora ( p = 1 ) obre se brzinomn = 62,5 ob/min. Uestanost ems generatora iznosi f =50 Hz. Koliki e ugao prei rotor da bi ems napravila jednu poluperiodu ? 1.27. Pravougli kalem duine 10 cm i irine 4 cm, sastavljen od 1 000 navojaka obre se oko svoje osovinice brzinom od 3 000 ob/min u homogenom magnetnom polju indukcijeB = 0,8 T. Kako glasi izraz po kojem se odreuje trenutna vrednost ems i kolika je njena ugaona brzina ? Ako naizmenina struja ima oblik kao na sl.1.20, odrediti njenu maksimalnu, efektivnui srednjuvrednost struje. Reenja prokomentarisati.t|s| 50 50 T i|A| Sl.1.20. Koji je odnos izmeu efektivnih vrednosti strujai1ii2 prikazanih na sl.1.24, ako je:b = a\2 i1 i2 = a sin et a b et T Sl.1.24. i V. Pajin:Osnove elektrotehnike II ( Prirunik sa zbirkom zadataka )9 1.28. 1.29. U elektrinom kolu ( voru ) poznati su podaci dveju struja, i to: frekvencija f = 50 Hz, efektivna vrednost struje i1I1 =2 /2mAi poetni ugao ( faza )u1 = 0, zatim maksimalna vrednost strujei2

I2m = 2mA i nepoznati poetni ugaou2 koji je vei od nule( u2 > 0 ). a)odrediti poetni ugao strujei2ako se zna da su nakon vremenskog intervala od 15 ms obe struje jednake. b)Kolika je bila vrednost strujei2 na samom poetku( t = 0 ) ? 1.30.

1.31. Elektromotorne sile e1ie2 dvaju generatora date su u sledeim izrazima: e1 = 60 sin ( 628t + t/3 ): e2 = 40 sin ( 628t t/9 )|V|. Za obe elektromotorne sile odrediti sve parametre naizmenine struje i nacrtati njihov grafikon ( sinusoide ). 1.32. Naizmenina ems e1 data je sledeim izrazom:e1 = E1m sin ( et + u1 ) V. Odrediti: a)izraz za ems e2 koja ima istu maksimalnu vrednost i istu uestanost kao e1, a fazna razlika izmeu e1 i e2 je u12: b)izraz za ems e3 koja ima istu uestanost kao e1 , maksimalnu vrednost dvostruko manju od e1 a vremenski pomak izmeu e1 i e3 je t13. Brojni podaci:E1m = 282 V;u1= 20;u12 = 80;f = 50 Hz;t13 = 5/3 ms. Na slici 7 je prikazana vremenska zavisnost prostoperiodino promenljive struje . Odrediti: a)njenu srednju vrednost b)njenu efektivnu vrednostc)koeficijent oblika k ( odnos izmeu efektivne i srednje vrednosti ) Namotaj sastavljen od N pravougaonih navojaka, prema sl.1.30, stranice a i b, nalazi se u homogenom magnetnom polju i okree se stalnom brzinom od n oko svoje due ose, koja zatvara prav ugao sa vektorom magnetne indukcije B, prema sl.8. Pojavu posmatramo od trenutka kada je povrina kalema zaklapala ugao o sa vektorom B. Odrediti: a)izraz za trenutnu vrednost indukovane emse u namotaju; b)maksimalnu vrednost Em, efektivnu vrednost E,uestanost fipoetnu fazu u indukovane ems e; c)vrednost indukovane ems e kada se namotaj okrene za ugao o1 od poetnog poloaja. Brojni podaci :N = 100 nav.;a = 10 cm;b = 5 cm;o = t/3 rad,n = 1 000 ob/min;B = 0,2 T;o1 = t/6 rad. 2 4 6 8 i |A| T/4 T et Sl.1.28. o u N Sl.1.30. b B u n V. Pajin:Osnove elektrotehnike II ( Prirunik sa zbirkom zadataka )10 1.33.

Za periodine strujei1 ( t ) ,i2 ( t )ii3( t )prema sl.1.33. odreditisrednje i efektivne vrednosti struja. 1.34. 1.35. Izrazi za intezitet dva napona, prema istom referentnom smeru, su: u = Um sin ( 100t t + 60 )iu' = Um cos ( 100t 120 ). Koliki je vremenski pomak izmeu ovih napona ? 1.36. Prostoperiodina struja efektivne vrednostiI = 40 2mA i uestanostif = 400 Hz ima u trenutku odreenom sat1 = 1,25 ms od poetnog trenutka inteziteti1 = 40 mA i smanjuje se po intezitetu ( raste u suprotnom smeru ). Napisati izraz za intezitet ove struje i nacrtati grafiki ( vremenski )dijagram. 1.37. Intezitet struje jedne grane, prema referentnom smeru i poetnom trenutku, je dat izrazom: i1 = 60 2 sin ( e t t 3 ) mA. Struja druge grane, i2, je prostoperiodine krune uestanostiei dva puta manje efektivne vrednosti od efektivne vrednosti struje i1. Napisati izraz za intezitet strujei2 ako ona: a)fazno prednjai strujii1 za3t/5, b)fazno kasni ( zaostaje ) za strujomi1za 3t/2, i c)nalazi se u protivfazi ( opoziciji ) sa strujomi1. Za napon iji je talasni oblik predstavljenna slici 1.34. odrediti srednjui efektivnu vrednost napona.12 3 4t |s| i1 |A| 1 2 3 1 2 3 4t |s| 1 2 i2 |A| T T 0 5 5 o i3|A| t|s| Sl.1.33. 100 t |s| T 0,10,3 0,20,4 Sl.1.34. u |V| V. Pajin:Osnove elektrotehnike II ( Prirunik sa zbirkom zadataka )11 1.38.

1.39. Ako se magnetni fluks kroz kalem, koji sadriN = 100 navojaka, menja po zakonu: | = 2103 sin 100 t |Wb|, odrediti izraz po kojem zakonu se menja indukovana ems e u kalemu. 1.40. Prostoperiodini napon ima vrednostuo =3V zato = 0iu1 = 3 Vzat1 = T/4.Kolika je efektivna vrednost navedenog napona i kolika mu je poetna faza ? 1.41. Kolika je vrednost naizmeninog napona gradske mreeU = 220 V,f = 50 Hz nakon 1/300 sekunde, posle njegove maksimalne vrednosti ? Ako su maksimalne vrednosti prema sl.1.38. meusobno jednake ( Im1 = Im2 ) odrediti kakav je odnos izmeu: a)efektivnih vrednosti struja ( I1/I2 ), b)srednjih vrednosti struja ( IS1/IS2 )? et et T Im1 Im2 Sl.1.38. i V. Pajin:Osnove elektrotehnike II ( Prirunik sa zbirkom zadataka )12 2. PREDSTAVLJANJE NAIZMENINIH VELIINA Naizmenine veliine moemo predstaviti na sledee naine: 2.1. Analitiki ( trenutno ), 2.2. Grafiki ( vremenski ), 2.3. Vektorski ( fazorski ) i 2.4. Kompleksno 2.1.ANALITIKO PREDSTAVLJANJE NAIZMENINIH VELIINA Ovim nainom predstavljanja daje se trenutna vrednost naizmenine veliine koja je u funkciji sa vremenom. Izrazi sui ( t ) = f ( t );u ( t ) = f ( t );e ( t ) = f ( t )itd. Kako su ovo trenutne vrednosti koje zavise od vremena( trenutka ) t logian je njih naziv predstavljanja trenutno .Ovaj nain predstavljanjaprikazuje sve parametre naizmenine struje. Oito je da smo to ve koristili ne vodei rauna kako se on naziva. 2.2. GRAFIKO ( VREMENSKO ) PREDSTAVLJANJE NAIZMENINIH VELIINA

Ovo predstavljanje je tzv. dijagramsko predstavljanje ( sl.5.b ), jer se naizmenina veliina prikazuje u vidu jedne oscilacije ( sinusoide ). Ovim nainom predstavljanja jasno se vide sledee vrednosti: a) trenutne vrednosti naizmeninih veliina u bilo kojem trenutku, b) maksimalna vrednost,c) poetna faza( ugao ) i c) vreme trajanja perioda T. I ovaj nain predstavljanja smo do sada koristili ne vodei rauna o nazivu. 2.3. VEKTORSKO ( FAZORSKO ) PREDSTAVLJANJE Predhodna dva naina predstavljanja su u odreenim sluajevima nepraktina ( kod sabiranja, oduzimanja vie naizmeninih veliina ). Iz toga razloga su pronaene alternative pomou kojih se te operacije svode na jednostavniji oblik. Jedna od tih alternativa je vektorsko ( fazorsko ) predstavljanje ( sl.5a ). Fazor je u stvari jedna naizmenina veliina predstavljena simbolno pomou obrtnog vektora, ime je analiza elektrinih kola postala jednostavnija. Dogovorom je usvojen pozitivan smer obrtanja fazora ako se on obre suprotno od smera kazaljke na satu. Vektori predstavljaju odreene sile koje su statine ( imaju pravac smer i intezitet ), kao npr. mehanike sile F, vektor magnetne indukcije Bitd. Usled obrtanja navoja u magnetnom polju u navoju se indukuje ems e koja menja svoj pravac, smer i intezitet. Ovu promenu moemo prikazati simbolino jednim vektorom koji se u stvari naziva fazorom. Dakle,fazor je naizmenina veliina predstavljena u obliku vektora. Ovaj nain predstavljanja u sebi sadri sledee parametre: a)intezitetkoji predstavlja vrednost naizmenine veliine ( najee efektivnu, mada moe i srednju ili maksimalnu ). Ova vrednost se esto naziva fazom. b)poetni ugao ( pravac i smer fazora ) naizmenine veliine ( faze ). Kako svi navedeni naini predstavljanja govore o istoj elektrinoj veliini logino je da izmeu njih postoji logina povezanost, tj. sa jednog oblika lako se prelazi na drugi i obrnuto. U matematici sinusoida se konstruie pomou obrtanja poluprenika ( fazora ). Prenoenjem svih taaka koje opisuje vrh fazora ( poluprenika ) na vremenski dijagram ( izjednaavajui uglove ) krunica se transformie u jednu sinusoidu , to je prikazano na slici 5.

Sl.5. a)b) V. Pajin:Osnove elektrotehnike II ( Prirunik sa zbirkom zadataka )13 Poetni poloaj fazora OA simbolino predstavlja maksimalnu vrednost naizmenine struje Im. Prems sl.5. poetni ugao jednak je nuli pa je fazor poklopljen sa x osom. To znai da je x osa ( apscisa ) referentna osa koja se naziva faznom osom. Ako je fazor u faznoj osi ( naizmenina veliina startuje sa nulom ) tada i sinusoida startuje sa nulom. Svako pomeranje vektora OA ( fazora Im ) menja ugao et, a samim tim menja i trenutnu vrednost struje i. Kada je fazor Im preao ugao et1sin et1 = 1 m 1t sin I t sin OB BCOBBCe = e = Vidimo da e projekcija fazora Im po ordinati ( y osi ) predstavljati trenutnu vrednost naizmenine struje. Poetak fazora moe biti bilo koji ( ne samo iz fazne ose ). U ovom sluaju fazni ugao fazora je et + , a analitiki izraz naizmenine veliine iznosi i = Im sin ( et + ), to je prikazano na sl.6. Prema sl.5 i sl.6 krugovi su crtani zbog grafikog dijagrama ( sinusoida ), radi lakeg objanjenja. U praksi se oni ne crtaju, pogotovo kada se crta samojedan dijagram. Fazori se simbolino predstavljaju crticom iznad ( po novon ispod ) velikog latininog slova ( simbol efektivne, srednje ili maksimalne vrednosti ). Dakle,U;I;E;( US;IS;ES;Um;Im;Em ) 2.4. PREDSTAVLJANJE NAIZMENINIH VELIINA KOMPLEKSNIM BROJEM Kompleksni broj je broj koji ini zbir realnog i imaginarnog broja. Imaginarni broj je negativni broj pod korenom. Da bi on postao pozitivan mnoi se sa 1. Na ovaj nain se vadi koren iz pozitivnog broja i reenje se mnoi sa1 . Ova vrednost predstavlja imaginarnu jedinicu koja se obeleava sa j.Dakle,j= 1 . U matematici umesto j koristi se oznaka i. Jasno je da zbog analitikog izraza struje i u elektrotehnici to nije praktino. Ako sa a obeleimo realni deo kompleksnog broja a sa b imaginarni deo kompleksnog broja, tada e kompleksni broj ( obeleimo ga sa Z ) biti jednak:Z = a + jb. esto se koriste konjugovano kompleksni brojevi, a to je kompleksni broj kojem se promeni predznak ispred j. Dakle, konjugovano kompleksni broj(oznaka Z- ) predhodnom kompleksnom broju je:Z- a jb. Grafiko predstavljanje kompleksnog broja o Z jb a realna osa + j imaginarna osa j 0 Sl.7. Prema sl.7 na realnoj osi ( apscisi ) nalaze se realni brojevi, a na imaginarnoj osi ( ordinati ) su imaginarni brojevi.Na osnovu ovih brojeva moe se kompleksni broj Z napisati u obliku: Z = a +jb, koji se naziva algebarski oblik kompleksnog broja. Vidimo da kompleksni broj sa svojim projekcijama ini jedan pravougli trougao iz kojeg sledi: Z = , Z , =2 2b a + to predstavlja modul kompl. broja. Ugao o se naziva argumentom kompleksnog broja i on se moe odrediti pomou tangesa ( cos oili sin o ): abtg = o abarctg = o Sl. 6. V. Pajin:Osnove elektrotehnike II ( Prirunik sa zbirkom zadataka )14 Kako je ( sl.7)cos o = a/Z, odnosno sin o = b/Za = Z cos o,b = Z sin o , te se algebarski oblik kompleksnog broja moe predstaviti u obliku: Z = Z ( cos o + j sin o ) ,koji se naziva trigonometrijski oblik kompleksnog broja. U matematici je poznat tzv. Ojlerov broj ejo koji je jednak : ejo = cos o + j sin o, pa se trigonometrijski oblik kompleksnog broja lako transformie u Ojlerov oblik koji se jo naziva ieksponencijalni oblik kompleksnog broja. Dakle, eksponencijalni oblik kompleksnog broja, za sl.7, iznosi: Z = Z ejo Pored navedenih oblika kompleksnog broja moe se koristitioblik: Z = Z o , koji se naziva konvencionalni oblik kompleksnog broja ( oblik modula i argumenta ). U praksi se uglavnom koriste predhodna tri ( algebarski, trigonometrijski i eksponencijalni ) , jer konvencionalni oblik je identian eksponencijalnom obliku pa je njihova primena ista. Da se primetiti da je simbol kompleksnog broja isti kao i fazora, to je i logino, jer se svaki vektor moe razloiti na komponente ( po x i y osi ) koje formiraju pravougli trougao ( isto kao i kompleksni broj ). To znai da se svaki vektor moe simbolino predstaviti kompleksnim brojem i obrnuto. Izvesne razlike koje postoje sa stanovita nae struke nisu znaajna. Ve je konstantovano da se naizmenine veliine mogu predstaviti vektorom ( fazor ), a samim tim i kompleksnim brojem. Svi ovi naini predstavljanja naizmeninih veliina ( analitiki, fazorski, grafiki i kompleksno ) su meusobno povezani ( jer govore o istoj veliini ). Zbog toga je dovoljno imati naizmeninu veliinu u jednom obliku. Naravno iz tog oblika prelazi se u svaki drugi, potujui odreena pravila. Koristi se uvek onaj oblik koji je najracionalniji ( najjednostavniji ). OSNOVNE RAUNSKE OPERACIJE SA NAIZMENINIM VELIINAMA SABIRANJE I ODUZIMANJE a)Sabiranje i oduzimanje u analitikom obliku Da bi se naizmenine veliine mogle sabrati analitiki trebapoznavati trigonometrijski raun. Taj postupakje dosta sloen, a kako postoje jednostavnija reenja, tada se u ovom obliku retko sabiraju i oduzimaju naizmenine veliine. Za znatieljnije neka pogledaju reenje zadataka 2.4. b) Sabiranje i oduzimanje u grafikom obliku Kada se nacrtaju grafikoni ( dve ili vie oscilacija ), tada se jednostavno sve trenutne vrednosti na dijagramu meusobno saberu, odnosno oduzmu. Tanost dijagrama ( grafika ) zavisi od broja razliitih vremena, tj. trenutnih vrednosti koje smo uzeli za proraun. I ovaj nain je nepraktian, pa se zbog mogunosti boljeg reenja koristi druga metoda. Nain primene ove metode pogledati u reenju zadataka 2.4.i2.20. c) Sabiranje i oduzimanje u fazorskom obliku Postoje dve mogunosti sabiranja fazora: 1.metoda kosinusne teoreme 2.metoda razlagajuih komponenti ( po x i y osi ) Metoda kosinusne teoreme Iz kosinusne teoreme intezitet ( modul ) fazora I2, sl.8je: I2 = I12 + I22 2 I1 I2 cos o. Ugao o odredimo iz fazora I1 i I2, tj.iz njihovihpoetnih uglova . Dakle,o = 180 | = 180 ( u1 u2 ). Iz kosinusne teoreme: I12 = I2 + I22 2 I I2 cos odredimo ugao , a nakon toga ugao u jer je : u = u2 + .Ugao u se moe odrediti i na drugi nain ( sinusna teorema, razlaganje fazora I na komponente ). Nakon reenja Iiu dobijenu naizmeninu veliinu moemo predstaviti fazorski, po potrebi i analitiki i grafiki. I1 u1 u2 u I2 I | o Sl.8. I1 V. Pajin:Osnove elektrotehnike II ( Prirunik sa zbirkom zadataka )15 Metoda razlaganja fazora d) Sabiranje i oduzimanjenaizmeninih veliina u kompleksnom broju Prilikom sabiranja i oduzimanja kompleksnih brojeva jednostavno saberemo sve realne brojeve posebno a to isto uradimo i sa imaginarnim brojevima. Ukupni zbir daje reenje rezultantnog kompleksnog broja. Sabirati i oduzimati kompleksne brojeve moemo samo u algebarskom obliku..Naravno, ovo reenje moemo predstaviti u svim preostalim oblicima. Mnoenje i deljenje kompleksnog broja Kompleksne brojeve moemo mnoiti i deliti u svim oblicima, ali najpraktiniji su algebarski i eksponencijalni oblik. Iz tog razloga sledi njihovo objanjenje na jednom primeru. Ako pretpostavimo da su data dva fazora u algebarskom obliku kompleksnog broja, i to:U = 80 + j 60iI = 4 j 3 , odrediti: a) njihov proizvodib) njihov kolinik Reenje: Ako algebarski oblik pretvorimo u eksponencijalni, navedeni fazori imaju slede izraze:U = 100ej 36,87, odnosnoI = 5ej 36,87. a) S = UI = ( 80 + j 60 ) ( 4 j 3 ) = 320 + j 240 j 240 j2 180 = 500 + j 0 = 500. iliS = UI = 100ej 36,87 5e j 36,87 = 1005e j 36,87 + ( 36,87 ) = 500ej 0 = 500. b)Z = U / I =2 , 19 j 6 , 53 j 43 j 43 j 460 j 80+ =+++ Z = 20ej 73,47, jer je: 20 2 , 19 6 , 5 Z2 2= + = , odnosnoO47 , 736 , 52 , 19arctg = = o ; iliZ = ( ) ( ) 47 , 73 j 87 , 36 87 , 36 j87 , 36 j87 , 36 je 20 e 20e 5e 100 = = . Vidimo da je reenje isto, to znai da se koristi onaj oblik koji je jednostavniji ( najee onaj oblik u kojem su dati fazori. Iz jednog oblika lako se transformiemo u drugi, a samim tim moemo naizmeninu veliinu predstaviti u svim ostalim oblicima. Kompleksni broj je nemogue izbei kod reavanja sloenih naizmeninih kola, pa iz tog razloga sve njegove raunske operacije moraju nam biti poznate. I1 I2 u1 u2 u I Sl.9. I2 cos u2I1 cos u1 I2 sin u2 I1 sin u1 I cos u I sin u faznaosa Razlaganjem fazora I1, I2 i I, prema sl.9, nastaju pravougli trouglovi iz kojih sledi zakljuak da je: I cos u = I1 cos u1 + I2 cos u2, odnosno, I sin u = I1 sin u1 + I2 sin u2. Intezitet rezultantnog fazora po Pitagori iznosi: ( ) ( )2 2sin I cos I I u + u = , Poetni ugao fazora I iz pravouglog trougla iznosi: uu= ucos Isin Itg uu= ucos Isin IarctgNa osnovu modula struje I i ugla ( argumenta ) u ovu naizmeninu veliinu ( fazor ) lako je predstaviti u svim ostalim oblicima ( analitiki, grafikii kompleksno. Postupak je istii kod vie naizmeninih veliina.

V. Pajin:Osnove elektrotehnike II ( Prirunik sa zbirkom zadataka )16 Z A D A C I : 2.1. Strujai1 = 10 sin ( et + t/4 ) prednjai strujii2za ugao 3t/4. Napisati analitiki izraz za struju i2 ako je njena maksimalna vrednost jednakaIm2 = 5 A. 2.2. Strujui = 10 sin ( et + t/4 ) predstaviti fazorski, grafiki i kompleksno u svim oblicima. 2.3. Datu struju u kompleksnom oblikuI = 10 + j 10napisati analitiki. 2.4. Odrediti zbir struja i1ii2 na sve naine ( analitiki, grafiki, fazorski i kompleksno ) ako jei1 = 5 sin ( et + t/4 ) ai2 = 5 cos ( et + t/4 ). 2.5. Sabrati strujeI1 = I,I2 = Iej 2t/3iI3 = Iej 4t/3. 2.6. Sabrati strujei1 = 10 sin ( et + t/3 )iI2 = j 5\2. 2.7. Ako su promene ems dvaju generatora vri po zakonima e1 = 200 sin ( 314t + 10 )|V| i e2 = 300 sin ( 314 t 35 ) |V|, odrediti analitiki izraz za promenu napona na prikljunicama redne veze ovih generatora ( padovi napona zanemarljivi ). Nacrtati fazorski dijagram. 2.8.

2.9. Za date strujei1 = 10 sin ( et + t/3 ) |A|ii2 = 10 cos ( et + t/3 ) |A| odrediti njihovu razliku io = i1 i2. Nacrtati fazorski i grafiki dijagram. 2.10. U jednom voru nalaze se tri grane. Referentni smer struja uzet je od vora. U dve grane poznate su jaine struja i one iznose:i1 = 10 cos 25 tii2 = 5 cos ( 25 t 45 ), koje ulaze u dati vor. Izraunati jainu struje u treoj grani na sve naine ( analitiki, grafiki, fazorski i kompleksno ). 2.11. Na napon izvoraU = 220 V prikljuena su dva potroaa. Na prvom potroau izmeren je naponU1 = 175 V, koji je za1 = 60 fazno pomeren u odnosu na napon izvora U. Koliki je pad napona na drugom potroauU2 i koliki je njegov fazni pomak 2 u odnosu na napon izvora U ako su potroai u rednoj vezi. Zadatak reiti fazorski i kompleksno. 2.12. 2.13. Kroz tri potroaa, koji su paralelno prikljueni na naizmenini napon, protiu strujei1 = 2 sin et, i2 = 3 sin ( et 30 )ii3 = sin ( et + 45 ). Odrediti ukupnu struju u kolu fazorskom i kompleksnom metodom. 2.14. Dva redno spojena generatora proizvode napone 240 i 200 V, koji su meusobno fazno pomereni za 25. Odrediti ukupan napon, ako su naponi pojedinanih generatora istih frekvencija. 2.15. Kroz dve paralelne grane protiu strujeI1 = 8ej 0 AiI2 = 6ej 30 A. Kolika je ukupna struja ? 3t/4 I2 I1 f.o. 0 Strujei1ii2su prikasane fazorima na slici 2.8. Ako su efektivne vrednosti ( faze ) tih strujaI1 = 3 2AiI2 = 2 A, odrediti analitiki izraz za strujuio koja je jednakaio = i1 i2. Sl.2.8. Data su tri kalema vezana prema slici 2.12. Izmeu odgovarajuih taaka na slici treba odrediti napone UBAiUCD. NaponiU1 = U2 = U3 = 100 V meusobno su pomereni unazad za ugloveu = 60 ( u12 = 60, u23 = 60 ). Zadatak reiti fazorski i kompleksno. U1U2 U3 CD BA Sl.2.12. V. Pajin:Osnove elektrotehnike II ( Prirunik sa zbirkom zadataka )17 2.16. Kroz dve paralelne grane prolaze struje I1 = 5e j 60 AiI2 = I2ej u. Odrediti struju I2, ako je ukupna strujaI = 5ej 3652' A. 2.17. Date su emse1 = 10 sin ( 314 t 60 ),e2 = 20 sin 314 t,e3 = 10 sin ( 314 t + 30 ), e4 = 15 sin ( 314 t + 90 )ie5 = 25 cos ( 314 t + 120 ). Odrediti kolika je ukupna emse, ako je ona jednaka zbiru svih pojedinanih ( e = e1 + e2 + e3 + e4 + e5 ). Zadatak reiti vektorskom ( fazorskom ) i kompleksnom metodom. Kolike su ems u samom startui ta potvruju dobijena reenja ? 2.18. Izraunati razliku dvaju naponaU1 = U2 = 120 Vako je njihova fazna razlika u = t/3 rad. Kolika je poetna faza rezultantnog napona ? 2.19. Dva generatora, istog smera delovanja, naizmeninih emse1ie2jednakih uestanosti vezani su na red. Ako su poznati izrazi za emse1iza rezultantnu silu emse, odrediti izraz emse1. Brojni podaci:e1 = 50 sin etV; e = 30 sin ( et t/6 ). 2.20. etiri ems, koje imaju isti smer delovanja ( pozitivan ) date su izrazima: e1 = 10 sin etV; e2 = 8 sin ( et + t/3 )V; e3 = 4 sin ( et t/6 )V; e4 = 6 sin ( et + 3t/4 )V. Ako ems deluju u rednoj vezi istovremeno ( pozitivni smer ) odrediti rezultantnu silue. 2.21. Za predhodni zadatak odrediti trenutne vrednosti svih ems u momentu kada jet = T/3.Objasniti na datom zadatku drugi Kirhofov zakon ( na koje vrednosti i kako se on primenjuje ). 2.22. Dva pozitivno vezana generatora ( istog smera delovanja ) daju emse1 = 141 sin ( 314 t + 30 )ie2 = 200 cos ( 314 t 30 ).a)U kojem trenutku e napon na krajevima kola biti jednak nuli ( pad napona zanemariti ) ? b)Kolike su vrednosti emse1ie2kada jeu = Um ? c)U kojem trenutku jee1 = 0 ?Kolike su u tom sluaju vrednostie2iu ? 2.23. 2.24. Ako su kod redne veze prijemnika pojedinani padovi naponau1 = 25 sin etiu2 = 25 cos ( et 30 ), kolika je efektivna vrednost ukupnog napona ovog kola ? Primeniti metodu koja daje najbre reenje. 2.25. 2.26. Dat je analitiki izraz za ems ( ) e = 60 t cos2220e . Kako glasi kompleksni izrazE ? A1 A2 A3 Sl.2.23. Ako ampermetri prema slici 2.23. pokazujuvrednostI1 = I2 = I3 = 10 A ( efektivnu ), kolike su bile trenutne vrednosti na druga dva ampermetra ako je u prvom bila jednakai1 = 10 A. Objasniti primenu prvog Kirhofovog zakona ( na koje vrednosti i kako se primenjuje? ).Ako su kompleksni izrazi za struje prema slici 2.25: I1 = ( 20 + j 30 ) mAiI2 = ( 80 j 30 ) mA. a)Odrediti efektivnu vrednost struje I3 i njenu poetnu fazu. b)Kolika e biti srednja a kolika efektivna vrednost struje I3 ako se u toj grani nalazi dioda idealnih karakteristika I1 I3 I2 - Sl.2.25. V. Pajin:Osnove elektrotehnike II ( Prirunik sa zbirkom zadataka )18 3. OTPORI U KOLU NAIZMENINE STRUJE 3.1. KOLO SA SAVRENIM TERMOGENIM ( AKTIVNIM ) OTPOROM

Kako je naizmenina struja promenljiva, sledi i = u/R. Ako za napon izvora uzmemo da mu je poetni ugao jednak nuli, tju = Um sin eti = ( Um sin et )/R = ( Um/R ) sin et = Im sin et. U kolu sa savrenim termogenim otporom( induktivni i kapacitivni jednak nuli ) napon i struja su meusobno u fazi ( poetni uglovi jednaki ).( Za u = Um sin eti = Im sin et ). To znai da se na fazorskom dijagramu ta dva fazora meusobno poklapaju.

3.2 KOLO SA SAVRENIM INDUKTIVNIM OTPOROM ( SAVREN KALEM ) Dakle, primenjujui prvi izvod , sledi: u = LeIm cos et = ImeL cos et = Um cos et = Um sin ( et + t/2 ). gde je xL induktivni otpora Linduktivnost kalema. Indukovana ems samoindukcije iznosieL = u = Um sin ( et + t/2 ) = Em sin ( et t/2 ), jer su fazori UiEL u protufazi ( opoziciji ), tj. pomereni zat rad( 180 ). IUfazna osa Sa fazorskog dijagrama, sl.10. lako je prei na grafiki kao to je te fazore lako predstaviti i kompleksno. Iz izraza za trenutnu vrednost strujeiinaponau slediIm = Um/R | | ARUI = ( Omov zakon za jednosmernu struju ) Sl.10. U If.o. Sl.11. Na osnovu analitikih izraza za naponu = Um sin ( et + t/2 ) i struju i = Im sin et, sledi zakljuak:Kod savrenog L kola napon prednjai struji za t/2, vremenski za T/4.Fazorski dijagram za savreno L kolo je prikazan na sl.11. Sa ovog dijagrama,po potrebi, lako se prelazi na grafiki ( vremenski ), kao i na kompleksni broj. IzUm = ImeL U = IeLLmmxIUIUL = = = e xL = eL|O| oo u i + R Sl.10. Ovaj otpor se javlja kod potroaa kod kojih se el. energija pretvara u toplotnu ( Dulov zakon ) bez povratne reakcije, pa se on jonaziva aktivni otpornik. Pored Dulova zakona na njemu se primenjuje i Omov zakon. Simbol i nain veze je dat na slici 10.Dakle,W = I2Rt, odnosnoI = U/R,dok jeR = l/S( poznato iz elektrokinetike jednosmerna struja ). L u+ i eL+ Sl.12. Induktivnost kalema, prema sl. 12, L iznosi :L = N2A = N2S/l |H|.Ako pretpostavimo da je kalem savren ( nema druga dva otpora ), tadae u kalemu da se indukuje ems samoindukcije eL koja e biti jednaka naponu u ali suprotnog smera ( Lencov zakon ). Indukovana ems samoindukcije iznosi: eL = Nd|/dt = Ldi/dt, pa sledi:u = eL = Ldi/dt. Zai = Im sin et di/dt = eIm cos et ( via matematika: dif. raun). V. Pajin:Osnove elektrotehnike II ( Prirunik sa zbirkom zadataka )19 3.3.KOLO SA SAVRENIM KAPACITIVNIM OTPOROM( KONDENZATOROM )

Kada se kondenzator nae u kolu jednosmerne struje njegov otpor ( kapacitivni ) je beskonaan ( prekid kola ). U kolu naizmenine struje kondenzator je provodan ( otpor je relativno mali ). To se objanjava time to e se kondenzator pri naizmeninom naponu naizmenino puniti ( napon raste ) odnosno prazniti ( napon opada ). Dakle, kroz kolo protie naizmenina struja, jer se kondenzator naizmenino puni i prazni. Kapacitet kondenzatora iznosi:C = cS/d |F|. Zbog promenljivog napona koliina naelektrisanja u kondenzaturu se menja, pa je:q = Cu, odnosno dq = duC. Kako jeQ = Itdq = idtidt = Cdui = Cdu/dt. Za naponu = Um sin etdu/dt = Ume cos et ( via matematika izvodi ) = CeUm cos et. Dakle, zau = Um sin eti =UmeC cos et = Im cos et = Im sin ( et + t/2 ). Sledi, kod savrenog kondenzatora ( induktivni i termogeni otpor jednak je nuli ) struja prednjai naponu fazno zat/2 rad ( 90 ), odnosno vremenski prednjai za T/4. Fazorski dijagram za savreno C kolo dat je na sl.12. Sa ovog dijagrama lako je prei na sve ostale naine predstavljanja naizmeninih veliina ( struja, napon izvora, napon kondenzatora, otpor .. ). Kapacitivni otpor u kolu naizmenine struje javlja se samo dok u kolu tee elektrina struja. Tokom punjenja kondenzatora ( napon u raste ka maksimalnoj vrednosti ), u kondenzatoru se javlja kontraelektromotorna sila eC. Ova kontraelektromotorna sila se suprostavlja punjenju kondenzatora, pa je ona jednaka naponu izvora, ali suprotnog smera. Ems eC je u stvari napon kondenzatora, jer kada otklonimo napon izvora u na kondenzatoru ostaje ems eC.Ems ec je kontraelektromotorna sila kada se kondenzator puni, a kada se on prazni ems eC preuzima ulogu ems. Ako je naponu = Um sin eteC = u = Um sin et = ECm sin ( et t ). Napon na kondenzatoru iznosi: UC = EC = I xC. Uf.o. I Sl.12. IzIm = UmeC I = UeC eC = I/U U/I = 1/eC = xC Dakle, | | Oe=C1xC gde je:xC..kapacitivni otpor kondenzatora ili reaktancija ( kapacitivna ), aC kapacitet kondenzatora. C u eC + + i Sl.14. Kada se kondenzator nae u kolu jednosmerne struje njegov otpor( kapacitivni ) je beskonaan ( prekid kola ). U kolu naizmenine struje, slika 14, kondenzator je provodan( otpor je relativno mali ). To se objanjava time to e se kondenzator pri naizmeninom naponu naizmenino puniti ( napon raste ) odnosno prazniti ( napon opada ). Dakle, kroz kolo protie naizmenina struja, jer se kondenzator naizmenino puni i prazni. Kapacitet kondenzatora iznosi: | | FdS C = V. Pajin:Osnove elektrotehnike II ( Prirunik sa zbirkom zadataka )20 Z A D A C I : 3.1.1. Odrediti trenutnu vrednost napona na koji je prikljuen otpor otpornostiR = 44 O u trenutkut = T/3 ako kroz otpornik protie strujai = 10 2sin 314 t. 3.1.2. OtpornikR = 20 2Oprikljuen je na naponu = 120 sin et.Odrediti struju I i nacrtati fazorski dijagram napona i struje. 3.1.3. Odrediti trenutnu vrednost struje ako je u savrenom R kolu otpornostR = 10 O,a napon u = 20 2 sin 314 t zat = T/4. 3.1.4. Napisati analitiki izraz za strujuikoja protie pod dejstvom naponaU = (100 2+ j100 2 )|V| ako je kolo savreno termogeno, ija otpornost iznosiR = 20 O. 3.1.5.

3.1.6. 3.1.7. SavrenoR kolo prikljueno je na naponu = 282 sin 461t. Ako ampermetar meri strujuI = 14,1 A koliki je otpor R u kolu . Otpornost R predstaviti kompleksno u svim oblicima. 3.1.8. 3.1.9. Napon na krajevima otpornosti prikljuene na naizmenini napon jeu = 70 2cos et. Ako ampermetar ukljuen u kolo pokazuje strujuI =2A, kolika je otpornost R( savreno R kolo ) ? 3.1.10. Merei napon na termogenom otporu odR = 50 O, pri proticanju naizmenine struje ija je frekvencija 50 Hz , voltmetar je pokazao 120 V. Napisati analitiki izraz za jainu struje uz pretpostavku da je poetni ugao jednak 30. oo R1 R3 R2 U Sl.3.1.5. Za dato kolo na sl.3.1.5. napisati analitiki izraz za sve struje koje prolaze kroz otpornike R1, R2iR3. Brojni podaci:R1 = 75 O;R2 = 50 O;R3 = 20 Oi u = 200 2 sin et. Dato je kolo prema slici 3.1.6, gde jeu1 = 100 sin et, u2 = 120 sin et,R1 = R2 = 20 OiR3 = 5 O. Odrediti struje u otpornicima R1, R2iR3. o uo R2 R3 R1R4 A Sl.26. Dato je kolo prema sl.26. ta pokazuje ampermetar, ako on meri efektivnu vrednost ? Nacrtati fazorski i grafiki dijagram napona i struja. Brojni podaci :R1 = 10 O;R2 = 0 O;R3 = 40 O;R4 = 5 O; u = 300 sin et. o o o o U1 U2 R3 R1R2 Sl.3.1.6. ++ V. Pajin:Osnove elektrotehnike II ( Prirunik sa zbirkom zadataka )21 3.1.11. Zadatak 3.1.9. reiti kompleksno i reenje napisati u svim oblicima kompleksnog broja. 3.1.12.

~ RR i1 i2 R i3 Sl.3.1.12. u Tri jednaka aktivna otpornika vezana su paralelno sa diodama ( usmeraama ), kao na slici 3.1.12, i prikljuena su na naizmenini napon izraza: u = 100 sin 314 t |V|. Ako je vrednost aktivnog otpornikaR = 10 |O|, odrediti: a )izraze za trenutne vrednosti strujai1, i2i i3; b )efektivne vrednosti strujaI1, I2iI3 V. Pajin:Osnove elektrotehnike II ( Prirunik sa zbirkom zadataka )22 3.2.1. Kroz kalem induktivnostiL = 10 mH protie strujai = 10 sin ( 314 t t/2 ). Odrediti izraz za indukovanu ems samoindukcije eL. 3.2.2. Odrediti induktivnost L kalema kroz koji protie strujai = 20 sin 314 t ako je maksimalna vrednost indukovane ems samoindukcije EmL = 6,28 V. 3.2.3. Analitiki izraz napona na kalemu je: u = 20 cos ( et + t/4 ). Napisati analitiki izraz za jainu struje iako je kruna uestanoste = 500 rad/sa induktivnostL = 200 H. 3.2.4. Napisati analitiki izraz za struju i u kolu sa savrenim kalemom ako jeu = 100 sinet,induktivnostL = 5 mHi kruna uestanoste = 100 rad/s. 3.2.5. Indiktivni navojL = 10 mH ( savreno L kolo ) prikljuen je na naponU = 62,8 V. Ako je struja u kolu I = 20 A, odrediti njenu uestanost f. 3.2.6. Induktivni otpor savrenog navoja iznosiXL1 = 78 O pri uestanostif1 = 500 Hz. Pri kojoj e uestanostif2 induktivni otpor iznositiXL2 = 120 O ? 3.2.7. Savreni kalem induktivnostiL = 50 mH prikljuen je na napon izvora efektivne vrednosti 100 V uestanosti 50 Hz. Ako napon nakon vremenat = T/6 opadne na nulu, odrediti kolika je struja u tom trenutku ? U kojem trenutku e ta struja biti jednaka nuli ? 3.2.8. Savreni kalem induktivnostiL = 200 mH prikljuen je na izvor naizmeninog napona ija je efektivna vrednost U = 100 V. Odrediti struja u kolu , ako je uestanost kola:a)f = 30 Hz; b)f = 500 Hz. 3.2.9. Kroz kalem zanemarljivog termogenog otpora tee struja ija je maksimalna vrednostIm = 10 A. Odrediti induktivnost kalema ako je napon na krajevima kalema dat izrazomu = 160 sin 314 t. 3.2.10. Kroz kalem induktivnog otporaXL = 500 O tee naizmenina struja frekvencijef = 1 000 Hz. Odrediti maksimalnu vrednost naizmenine struje Im i induktivnost kalema L ako je efektivna vrednost napona na njegovim krajevimaU = 100 V. Termogeni otpor kalema zanrmarljiv. 3.2.11. Dva savrena kalema imaju induktivnostiL1 = 400 mHiL2 = 200 mH. Odrediti ukupnu struju kola ako je naponna koji se kalemovi prikljueU = 80 V , frekvencijef = 60 Hz, i to; a)kalemi redno vezani ;b) kalemiparalelno vezani.Nacrtati fazorski i grafiki dijagram. 3.2.12. Koliki je induktivni otpor, kompleksno napisan, u zadatku 3.2.9. ? 3.2.13. Kako glasi kompleksni izraz za predhodni zadatak ako se maksimalna vrednost napona povea dva puta a frekvencija smanji dva puta( u = 320 sin 157 t ;Im = 10 )? 3.2.14. Napisati u kompleksnom obliku pojedinanu otpornost kalemova, kao i ukupnu otpornost za zadatak 3.2.11. Da li i kako navedeni izrazi, koji predstavljaju otpornost kola, zavise od analitikog izraza napona u ? 3.2.15. Idealni kalem induktivnostiL = 0,2 H prikljuen je u kolo jednosmerne strujeI = 3 A. Kolika je efektivna vrednost napona na krajevima ovog kalema? Reenje prokomentarisati.

V. Pajin:Osnove elektrotehnike II ( Prirunik sa zbirkom zadataka )23 3.3.1. Koliki je kapacitet kondenzatora koji se nalazi u kolu naizmenine struje kroz koji protie struja odI = 5 A, ako je napon na njemuu = 160 2 sin 100 t ? 3.3.2. Nacrtati vektorski dijagram napona i strujeza kolo sa kondenzatorom ako je njegov kapacitet C = 80 F a prikljueni naponu = 125 2 cos ( 100 + t/4 ) V. 3.3.3. Na naizmenini naponu = 282 sin 100t prikljuen je kondenzatorC = 40 F. Kolika je struja koja protie kroz kondenzator ? 3.3.4. Kondenzator je prikljuen na naponU = 128 V frekvencijef = 50 Hz. Koliki je kapacitet kondenzatoraCako je struja u kondenzatoruI = 0,2 A ? 3.3.5. Kondenzator kapacitetaC =30 F prikljuen je na izvor naizmenine struje. Efektivna vrednost napona iznosi400 V, a frekvencija je50 Hz. Odrediti: a) reaktansukondenzatora ( kapacitivni otpor ) XC;b) efektivnu vrednost struje u kolu. Reenja napisati u kompleksnom broju ( svi oblici ). 3.3.6. Kondenzator kapacitetaC = 318 F vezan je na izvor naponau = 100 2 sin ( 314 t t/6 ). Odrediti: a) struju u kolu; b) kapacitivnu otpornost pri frekvenciji f = 500 Hz:c) struju prif = 500 Hz, i istom naponu.Sva reenja napisati u kompleksnom broju. Da li reaktansa, kompleksno ,zavisi od napona Uistruje I ? 3.3.7. Kondenzator kapaciteta50 F prikljuen je na izvor naizmeninog naponafrekvencije 1 KHz. Kolika je maksimalna vrednost jaine struje u kolu ako je efektivna vrednost napona na ploama kondenzatora20 V ? 3.3.8. Dva kondenzatora, jedan od50 F, a drugi od10 F, vezana su u kolo naizmenine struje: a)redno;b) paralelno.Uporediti kapacitivni otpor redne i paralelne veze ovih kondenzatora.Frekvencija je 50 Hz. Napisatikapacitivne otpore ( pojedinano i ukupno ) u kompleksnom broju ( svi oblici ). 3.3.9. Otpornik otpornostiR = 100 O prikljuen je na izvor prostoperiodinog napona efektivne vrednosti100 V. Na isti izvor prikljuena su paralelno i jedan kondenzator i kalem ( savreni ). Izraunati kapacitivnost kondenzatora Cinduktivnost kalema L kroz koje e proticati struja iste efektivne vrednosti kao i kroz otpornik R. Uestanost izvora je :a) 50 Hz;b)1 KHz;c) 1 MHzid)1 GHz. 3.3.10. U predhodnom zadatku napisati u kompleksnom broju termogeni otpornik R, kapacitivni XC i induktivniXL. Da li ova reenja zavise od kompleksnog oblika napona UistrujeI ? Dati potreban komentar. 3.3.11. Kondenzator je prikljuen na generator naizmenine emspromenljive frekvencije. Koliki je odnos efektivnih struja( I1/I2 ) koje protiu kroz kondenzator pri frekvencijamaf1 = 10 KHzif2 = 1 KHz ? 3.3.12. Kroz kondenzator iji je razmak izmeu pload = 2 mm, protie naizmenina struja efektivne vrednostiI = 2 A. Koliki treba da bude razmak ploa da bi efektivna vrednost struje iznosilaI1 = 4 A ? Napon i frekvencija na kondenzatoru su konstantni. 3.3.13. U kolu naizmenine struje, prikazanom na slici 3.3.13, nalaze se dva kondenzatora, jednakih kapacitivnosti C i dve diode idealnih karaktiristika. Kruna uestanost napona izvora je e. Kolika je: a)ekvivalentna kapacitivnost kola, b)impedansa kola ? Reenja obrazloiti ! ~ U C C D1 D2 -- - - Sl.3.3.13. V. Pajin:Osnove elektrotehnike II ( Prirunik sa zbirkom zadataka )24 4.V E Z AO T P O R AUKOLUNAIZMENINESTRUJE 4.1. R E D N A V E Z A 4.1.1. REDNA VEZA R, L I C

Kako je( ) ( ) ( ) ( )2 2 2C L2 2C L2 2C2L2RX R I X X R I IX IX IR U U U U + = + = + = + = Ako ukupni napon U podelimo sa strujom I dobije se ukupna otpornost kola ( Omov zakon ), pa sledi: =IUZ ( )2 2 2C L2X R X X R Z + = + =

Kod redne veze R, L i C, sl.10, struja I je zajednika ( za sva tri otpora ) pa e mo u odnosu na nju posmatrati napone u kolu. Radi jednostavnosti poetni ugao za struju neka bude jednak nuli,pa je njen analitiki izrazi = Im sin et. Analitiki izrazi za padove napona na R , L i C su:uR = URm sin et, uL = ULm sin ( et + t/2 )i uC = UCm sin ( et t/2 ). Iz ovih analitikih izraza lako se prelazi na preostale naine predstavljanja ( fazorski, grafiki i kompleksno ). Efektivne vrednosi pojedinanih padova napona suUR = RI; UL = XLIi UC = XCI.Ako pretpostavimo da jeXL>XCUL>UC, fazorski dijagram e biti kao na slici 11. Kako su UL iUCistog pravca i suprotnog smera, njihov vektorski zbir daje rezultantu ija je vrednost jednaka: UX = UL UC. Ukupni napon, prema drugom Kirhofovom zakonu jednak je: U = UR + UL + UC = UR + UX ; odnosno:u = uR + uL + uC = uR + uX. Iz fazorskog dijagrama ( sl.11. ) vidimo da su kod redne veze R,L i C naponi U, UR i UX stranice pravouglog trougla, pa se ovaj dijagram i naziva trougao napona . Iz trougla napona sledi: ( )2X2R2C L2RU U U U U U + = + =Kada jeXL > XC > 0, to znai da napon prednjai struji za ugao ( zai = Im sin etu = Um sin ( et + ) ). URI UL UL UC UUX UC Sl.11. ZaXL < XCUL < UCUX < 0 < 0(kao na sl.12 ).

Sledi konaan zakljuak, kod redne veze R, L i C fazni pomakizmeu napona u i struje i iznosi za ugao ( 90 < < 90 ), i to: kada prevladava induktivno optereenje ( XL > XC ) ugao > 0. kada prevladava kapacitivno optereenje ( XC > XL ) ugao < 0. Za analitiki izraz strujei = Im sin etu = Um sin ( et ). Predznak + za XL > XC, a za XC > XL. Delei trougao napona sa I dobije se trougao otpora, prikazan na sl.13. (Slika13. a) je zaXL > XC, a13. b) za XL < XC. Iz trougla otpora izrauna se fazni ugao , koji iznosi:

ZRarccosRXarctg = = ; Iz fazorskih dijagrama ( trougao napona i trougao otpora ) Prelazi se na kompleksni broj, pa za trougao otpora sledi: Z = R + j ( XL XC ) = R + j XZ = Ze j , gde je Z prividni otpor kola ( ukupni ) ili impedansa. Sl.13. a) b) R X = XL XC Z R X Z oo RL C URULUC U I Sl.10. UR UXU Sl.12. V. Pajin:Osnove elektrotehnike II ( Prirunik sa zbirkom zadataka )25 Impedansa Z u kolu naizmenine struje je isto to i otpornost R u kolu jednosmerne struje. To znai da e struja u rednom R,L i C kolu biti jednaka:

ZUI =ZUI = . 4.1.2. REDNA VEZA R I L Ako kod redne veze R, L i C doe do proboja kondenzatora ( XC = 0 ), tada nastaje redna veza R i L. Delei trougao napona sa strujom I nastaje trougao otpora koji je prikazan na slici 15. Impedansa kola iznosi:2L2X R Z + = ; kompleksno:Z = R + jXLZ = Ze j . Struja u kolu je:ZUI = ; odnosno kompleksno:ZUI = . 4.1.3. REDNA VEZA R I C Ako je kod redne veze R,L i C induktivni otpor XL = 0, nastaje redna veza R i C. Impedansa kola je: 2C2X R Z + = ;kompleksno: = =jCe Z Z jX R Z . Struja u kolu je:ZUI =;kompleksno:ZUI = . Za struju data analitiki:i = Im sin et uR = URm sin et;uC = UCm sin ( et t/2 );u = Um sin ( et ). Dakle,kod redne veze R i C napon fazno kasni u odnosu na struju za ugao . Na osnovu analitikih podataka sve napone i struju moemo predstaviti fazorski, grafiki i kompleksno. Fazorski dijagram je prikazan na slici 16.a), i on ujedno predstavlja trougao napona. Delei trougao napona sa strujom I nastaje trougao otpora, koji je predstavljen na slici 16.b). Fazni pomak izmeu U i I redovito se odreuje iz trougla otpora , i on iznosi:ZRarccosRXarctgC= = Naponi UR, UC i U su jednaki: UR = IR;UC= IXC;U = IZ. ( Omov z.) UUL URI Sl.14. Uz pretpostavku da je struja u faznoj osi trougao napona je kao na slici 14. Analitiki izrazi za struju i napone su: i = Im sin et ; uR = URm sinet ; uL = ULm sin (et + t/2 ) ;u = Um sin ( et + ).Kompleksno:I = Ie j 0;UR = URe j 0;UL = ULe jt/2;U = Ue j . Dakle, napon U fazno prednjai struji I za ugao ( 0 < < t/2 ). Z XL R Sl.15. Kako je trougao otpora slian trouglu napona, uglovi su ostali isti, te sledi:

RXarctgL= . Ugao se moe izraunati i iz trougla napona, ali je sigurniji postupak preko trougla otpora. Trougao otpora je uvek kao na sl.15, dok trougao napona kompletno rotira, jer su naponi obrtni vektori. Trougao napona :I=Trougao otpora

Sl.16. XC UC RI UR Z U a) b) V. Pajin:Osnove elektrotehnike II ( Prirunik sa zbirkom zadataka )26 Ako u rednoj vezi R,L i C ostane samo jedan otpor ( druga dva su jednaka nuli ), tada dolazi do savrenog sluaja. Savreno R kolo ima samo termogeni otpor R ( XL = 0 i XC = 0 ). Savreno L kolo ima samo induktivni otpor XL ( R = 0 i XC = 0 ). Savreno C kolo ima samo kapacitivni otpor XC ( R = 0 i XL = 0 ). Ove otpornosti u kompleksnom obliku imaju slede izraze: 1)savreno R kolo : ZR = RZR =ZRej 0 = Rej 0. 2)savreno L kolo : ZL = jXL = jeL ZL = ZLej 90 = XLej 90 = eLej 90. 3)savreno C kolo : ZC = jXC = j (1/eC)ZC = ZCe j 90 = XCe j 90. Ako otpore u kolu naizmenine struje predstavimo kompleksno, tada svi prorauni u kolima naizmenine struje postaju isti kao i u kolima jednosmerne struje. To znai da se na isti nain primenjuju svi zakini, na isti nain se reavaju i prosta i sloena kola. Razlika je samo u tome to umesto otpora R ( kolo jednosmerne struje ) sada primenjujemo impedansu Z, ali u kompleksnob obliku ( zbog raunskih operacija: R, XL i XC ). Na osnovu navedenog se vidi koliki je znaaj kompleksnog rauna u kolima naizmenine struje. 4.2. P A R A L E L N A V E Z A 4.2.1. PARALELNA VEZA RLC

Ukupna struja, prema prvom Kirhofovom zakonu jednaka je zbiru pojedinanih,(kompleksno, ili vektorski ): I = IR + IL + IC; ili analiti;ki: i = iR + iL + iC. Kako su struje IL i IC u opoziciji, njihova rezultanta je jednaka: IX = IC + IL, odnosnoIX = IC IL. Aktivna ( realna ) komponenta struje IR i reaktivna ( imaginarna ) IX sa ukupnom strujom I ine jedan pravougli trougao ( sl.18.a. ili sl.18.b. ). Iz tog pravouglog trougla sledi da je ukupna struja jednaka: ( ) ( ) ( ) ( ) = + = + = + = + = UY B G U B B G U UB UB UG I I I I2 2 2L C2 2L C2 2L C2R Ako je napon, koji je zajedniki za sve grane, prema sl.17. dat analitiki :u = Um sin et iR = IRm sin et;iL = ILm sin ( et t/2 );iC = ICm sin ( et + t/2 ); i =? Kompleksno:U = Uej0;IR = IRej0;IL = ILe j 90;IC = ICej 90 Struje po granama su:UGRUIR= = ; LLLUBXUI = = ;CCCUBXUI = = . Na osnovu efektivnih vrednosti struja i poetnih uglova sledi fazorski dijagram, koji je prikazan na sl.18.Na sl.18.a) je za sluaj kada je IL < IC( XL > XC BL < BC ), dok sl.18.b) je za sluaj kada jeIL > IC( XL < XC BL > BC ). R XL XC IL IC IR oo U Sl.17. I ICIC IL IIC ICIL IX IL IL IX Sl.18. a)b) IR UU IR I V. Pajin:Osnove elektrotehnike II ( Prirunik sa zbirkom zadataka )27 Kako je YUIZ1IUZ = = = ( )2L C2B B G Y + ==2 2B G + , gde je: Y prividna provodnost kola, koja se jo naziva ADMITANSA; G aktivna ( termogena) provodnost, koja se jo naziva KONDUKTANSA; BL... induktivna ( reaktivna ) provodnost, koja se jo naziva SUSCEPTANSA; BCkapacitivna ( reaktivna ) provodnost, koja se jo naziva SUSCEPTANSA; B = BL BC ukupna ( ekvivalentna ) reaktivna provodnost, tj SUSCEPTANSA. Jedinica za sve navedene provodnosti je S ( simens ). Izraz2 2B G Y + =predstavlja Pitagorinu teoremu,a to znai da admitansa Y u sebi sadri aktivnu G i reaktivnu B provodnost. Trougao provodnosti ( Y = I/U ) nastaje tako to se trougao struja podeliti sa U. Struje su srazmerne sa admitansama, samim tim i trougao admitansi je identian sa trouglom struja. Na taj nain nastaju trouglovi provodnosti, slika19. a) i b). Sl. 19.a) odgovara sl. 18.a), a sl. 19.b) odgovara sl.18.b). Iz trougla provodnosti moe se zakljuiti da e ugao biti pozitivan kada je BL > BC, a samim tim ukupna struja e prednjaiti naponu ( sl.18.a.). Kako je kod redne veze R,L i C struja prednjaila za XL < XC, sledi da je trougao otpora obrnut u odnosu na trougao provodnosti. Postupak prorauna je isti, ali kod odreivanja ugla treba imati u vidu da je on kod trougla provodnosti isti kao i kod trougla otpornosti ali suprotnog predznaka. On se odreuje iz relacije: GBarctg = ( voditi rauna o predznaku, tj. on je suprotnog predznaka pa se uzima ) NAPOMENA: Vektorski dijagram struja, odnosno, provodnosti kod paralelne veze otpora je identianvektorskom dijagramu napona i otpora kod redne veze otpora, ali sa suprotnim predznakom ugla. Ukupnu provodnost kola moemo napisati kompleksno:Y = G + j ( BC BL )Y = Ye j . Impedansa kola je Z = 1/Y, kompleksnoZ = 1 / Y = ( 1/Y )e j = Ze j . Ovaj kompleksni prikaz potvruje da je ugao kod trougla otpora isti kao i kod trougla provodnosti, ali suprotnog smera. Ukupnu struju u kolu moemo odrediti na sledee naine: 1)pomou admitanse:I = UY; 2)pomou pojedinanih struja ( prvi Kirhofov zakon ):I = IR + IL + IC; 3)pomou impedanse ( koju najee moramo izraunati kompleksnim brojem ):I = U/Z. Kompleksni raun daje veu sigurnost pa je njegova primena najea. Za sl. 17 admitansa kola kompleksno je: ( )L C C LC L 3 2 1B B j G jB jB GjX1jX1R1Z1Z1Z1Z1Y + = + =+ + = + + = = . Treba uoiti da se reaktivne komponente admitanse i impedanse razlikuju u predznaku ( Z2 = jXL Y2 = jBL; Z3 = jXCY3 = jBC;to potvruje da je ugao kod trougla admitanse i impedanse suprotnih predznaka ). 4.2.2.PARALELNA VEZA R I L Kod ove veze nema grane sa kondenzatorom , pa je trougao struja i provodnosti slian kao na sl.18.b) odnosno 19.b). Admitansa kola jeY = G jBLI = IR + IL I = IR IL;I = UY;I1 = UY1;I2 = UY2 . 4.2.3. PARALELNA VEZA R I C Postupak je isti kaokod paralelne veze R i L. Razlika je u tome to e sada umesto IL biti struja IC, a samim tim trougao struja i provodnosti je prema slici 18.a), odnosno 19.a). B = BC BL

G Y G Y a)Sl.19. Trougao provodnosti B = BC BL b) V. Pajin:Osnove elektrotehnike II ( Prirunik sa zbirkom zadataka )28 4.2.4. PARALELNA VEZA RL I RC.

Impedansu moemo odrediti na dva naina: 1)preko admitanse:Y1Z = ; 2)preko pojedinanih impedansi:2 12 1Z ZZ ZZ+= . Uglove 1, 2 i izraunamo iz trougla otpora ili trougla provodnosti, i oni iznose:

1L1RXarctg = ; 2C2RXarctg = ;ZRarctg = . Na osnovu navedenih izraza sve struje kao i svi naponi mogu da se predstave: analitiki, fazorski, grafiki i kompleksno. Fazorski dijagram je najpraktiniji, pa je on predstavljen na sl.40.

4.2.5. MEOVITA VEZA RLC Na isti nain se reavaju i sve ostale kombinacije ( jer sl.27 moemo smatrati i meovitom vezom ). Kada se koristi kompleksni raun, tada se sva naizmenina kola ( i prosta i sloena ) reavaju kao i jednosmerna, sa jedinom razlikom to otpornik R ( jednosmerna kola ) zamenjujemo impedansom Z ( naizmenina kola ). Admitansa Y ( naizmenina kola ) ima ulogu provodnosti G ( jednosmerna kola ). NAPOMENA! Bez obzira kakvo je kolo ekvivalentna impedansa, kao i ekvivalentna admitansa daje jedan pravougli trougao. Ako je u pitanju impedansa, trougao predstavlja ekvivalentnu rednu vezu Re i Xe( Z = Re + j Xe ). Ako se radi o admitansi, trougao predstavlja paralelnu vezu ekvivalentnog G i B( Y = Ge + j B ). IMPEDANSA = REZISTANSA + J REAKTANSA( Z = R + j X ); ADMITANSA = KONDUKTANSA + J SUSCEPTANSA( Y = G + j B ). Prema slici 20. struje po granama iznose: I1 = U/Z1 = UY1;I2 = U/Z2 = UY2;I = U/Z = UY. Odnosno,I = I1 + I2; gde je I1 = UY1,I2 = UY2. Kako je:2 12 1Y Y YZ1Z1Z1+ = + = . 2L21L2L211L 1L 1L 11X RXjX RRjX RjX RjX R1Y++=+=L 1 1jB G Y = ;2L2111X RRG+= ; 2L21LLX RXB+=222222C222C 22ZRGZXjZRjX R1Y = + == ;22CCZXB = U = UR1 + UL = UR2 + UCu = uR1 + uL = uR2 + uC; UR1 = I1R1;UL = I1XL;UR2 = I2R2;UC = I2XC2. Napon izmeu taaka A i B, prema II Kirh. zakonu iznosi: UAB UR1 + UR2 = 0UAB = UR1 UR2 . Take A i B se nalaze na krunici iji je prenik jednak U, jer sujedino u tom sluaju fazoriUR2iUC, odnosno UR1

iUL meusobno normalni.Ukupna struja moe da prednjai u odnosu na napon za ugao ( kao na sl.21 ), a to e se dogoditi kada je ekvivalentna reaktansa negativna ( prevladava kapacitivno optereenje ). Obrnuto, kada prevladava induktivno optereenje ( u ekvivalentnom spoju ) struja e da kasni za naponom za ugao . R1 L R2 C oo U I I2 I1 - B - A Sl.20. U I2 UR2 UC UR1 UL B A 2 1 I1 I Sl.21. V. Pajin:Osnove elektrotehnike II ( Prirunik sa zbirkom zadataka )29 Z A D A C I : 4.1.1. Redna veza R,L iC prikljuena je na naponU = 120e j o . Ako jeR = 10 O;L = 20 mH;C = 1`mF i f = 50 Hz, odrediti analitiki izraz za struju i. 4.1.2. Kroz rednu vezuR = 10 O,XL = 10 OiXC = 20 O protie strujaI = 15 + j 8A. OdreditiUR, UL, UC, U, UR, UL, UC i U i nacrtati fazorski dijagram napona i struje. 4.1.3. U kolu redne veze R,L i C prikljueni napon iznosiU = 120 + j 40|V|, a otporiR = 10 O, XC = 6 O. Koliki je XL da bi ugao iznosio = t/4 ? Nacrtati fazorski i kompleksni dijagram napona. 4.1.4. Odrediti krunu uestanost e i kapacitivnost C za rednu vezu R, L, C tako da ugao bude jednak t/3, ako je R = 20 3O,L = 90 mH aXL tri puta vei odXC. 4.1.5. Nacrtati vektorski dijagram struje i napona za redno kolo L i C ako jeXL = 3XC,I = 2 A inapon u = 141 sin et. 4.1.6. Dva kondenzatora vezana su redno sa dva otpora. Nacrtati fazorski dijagram napona ako jeR1 = 10 O, R2 50 O, C1 = 20 F, C2 = 10 F, napon U = 200 Vie = 1 875 rad/s. 4.1.7. ImpedanseZ1 = 5 j 3;Z2 = 3 j 5iZ3 = 7 j 12vezane su redno na naponu = 1 000 sin ( et + t/3 ). Kako glasi analitiki izraz za strujui. 4.1.8. Redna veza dva otpora i dva kondenzatora prikljuena je na naponU = 220 V uestanostie = 1 000 rad/s. NaiZ,Z, I, inacrtati fazorski dijagram napona i struje zaR1 = R2 = 10 3OiC1 = C2 = 100 F. 4.1.9. Redna veza dva kalema sa otporima: prvi R1 = 20 O, XL1 = 40 O;i drugiR2 = 40 O,XL2 = 20 O; prikljuena je na naponu = 400 sin 100 t. Odrediti struju I, ugao , induktivnosti L1 i L2. 4.1.10. Redna veza dva kalema sa otporima R1 = 10 O, XL1 = 30 OiR2 = 20 O, XL2 = 10 O prikljuena je na naponu = 200 2 sin 314 t. Odrediti Z1, Z2, Z, I, L1iL2. 4.1.11. Nacrtati vektorski dijagram napona i struje kod redne veze dva kalema otporaR1 = 24 O, XL1 = 12 O; iR2 = 0, XL2 = 20 O koji su prikljueni na naponu = 200 2 sin et. 4.1.12. Data je redna veza R i L u kolu naizmenine struje kroz koje protie strujai = 2 2 sin 100 t, pri naponu na kalemuuL = 60 2 cos 100 t. Ako jeR = 40 O odrediti induktivnost L , ukupni naponuiuR. 4.1.13. Kalem termogenog otpora R = 10 O i induktivnostiL = 0,15 H spojen je redno sa kondenzatorom kapacitetaC = 20 F i prikljuen je na naponU = 220 V frekvencijef = 50 Hz. Odrediti impedansu kola i struju u kolu. Kako e se promeniti struja u kolu ako doe do proboja kondenzatora ( odstraniti C ) ? 4.1.14. Odrediti uestanost pri kojoj e redna veza kalemaL = 2 HiR = 50 Osa kondenzatoromC = 1 F imati impedansu od 77,4 O. 4.1.15. Napon prostog kola iznosiU = 60 j 40|V|, a impedansaZ = 2 + j 1 |O|. Kolika je struja, njena poetna faza i fazna razlika izmeu napona i struje. 4.1.16. Dva kalema: prvi R1 = 5 O, XL1 = 21 OidrugiR2 = 3 O,XL2 = 10 O ; otpornik R3 = 4 Oi kondenzatorXC = 15 O vezani su na red. Kolika je ukupna impedansa kola. Impedansu napisati kompleksno. 4.1.17. Odrediti jainu struje u rednom RL kolu kada je na njegovim krajevima naponu = 100 cos 314 t |V| ako jeR = 100 O, aL = 70 mH. 4.1.18. Na krajevima rednog RLC kola napon iznosiu = 220 cos 314 t |V|. Ako jeR = 1 KO,C = 1 FaL = 10 mH, izraunati jainu struje u kolu. V. Pajin:Osnove elektrotehnike II ( Prirunik sa zbirkom zadataka )30 4.1.19. U nekom kolu nalazi se redno vezan termogeni otpor R i induktivnost L. Ako su padovi napona na njima UR = 120 ViUL = 160 V sa strujomI = 40 A odrediti ukupni napon kola Ui otporeRiXL. 4.1.20. U kolu naizmenine struje frekvencijef = 50 Hz redno su vezani termogeni otpornikR1 = 4 Oi kalem sa termogenim otporomRL i induktivnouL. Merenjem je ustanovljeno da su padovi napona na otpornikuR1UR1 = 56 V, a na kalemu UL = 148 V. Ukupni napon kola jeU = 168 V. Kolika je strujaI, termogeni otpornik kalemaRL,induktivnostLiugao . 4.1.21. U jednom kolu na napon stezaljkiU = 100 V vezani su na red otporR = 10 O,i induktivnostLsa svojim termogenim otporomRLimpedanse ZL = 12 O. Kroz kolo tee strujaI = 6 A, a frekvencija mree je f = 50 Hz. Koji pad naponaUX vlada na stezaljkam prigunice i koliki suRLiL ? Napisati izraz za strujui. 4.1.22. Koliki induktivni otpor treba staviti na red sa nekim termogenim ( aktivnim ) potroaemR = 10 O da bi na njemu vladao pad naponaUR = 160 V kod napona stezaljkiU = 250 ? Rezultate proveriti fazorski. 4.1.23. Neki potroa kod naponaU = 110 V uzima strujuI = 20 A uzcos = 0,55 ( induktivno ). Koliki je aktivni otpornik R a koliki reaktivniXL ovog potroaa? 4.1.24. Izvor naponaU = 10 V prikljuen je na rednu vezu otporaRi kondenzatora C. Napon na otporu jeUR = 2 V kod strujeI = 10 mAifrekvencijef = 0,5 MHz. Koliki suRiC? 4.1.25. U nekom kolu cos = 0,8 ( kapacitivno ). Ako se u kolo vee redno C2 = 2 F kolo imacos 2 = 0,6. Frekvencija kola jef =5 000/t|s1|. Koliki suRiC1toga kola? 4.1.26. U nekom kolu koje je prikljueno na naponU = 200 V prikljuena je prigunicasa unutranjim otporomRL redno sa kondenzatorom kapacitetaC. Merenjem je ustanovljen napon na priguniciUL = 440 Vipad napona na kondenzatoruUC = 320 V. Treba odrediti fazni ugaoovoga kola te aktivnu komponentu naponaUR i reaktivnu komponentu napona na priguniciUXL. 4.1.27. U nekom kolu nalazi se impedansaZ = 40 O sacos = 0,6 ( induktivno ). Koliki kapacitivni otporXC treba vezati na red sa ovom impedansom da bi se ostvariocos 1 = 0,8 ? Kolika je vrednost novonastale impedanse Z1 i koliki je termogeni otpor kola R ?Rezultate proveriti fazorskim dijagramom. 4.1.28. Na izvor naponau = 4 2 sin 2 000 t |V| redno su vezani kalem otporaRL = 10 Oi induktivnostiL = 10 mHi kondenzator kapacitetaC = 20 F.Napisati izraz za pad naponauL koji deluje na krajevima kalema. 4.1.29. Kolo sadri rednu vezu R, LiC. Pri odreenoj frekvenciji induktivni otpor jeXL = 20 O. Ako je termogeni otporR = 10 O, koliki mora da bude kapacitivni otpor XC da bi u kolu bio fazni pomak = t/4. 4.1.30. Kod kojih e uestanosti redna vezaR = 40 O,L = 10 HiC = 10 F imati impedansuZ = 50 O ? 4.1.31. Kroz rednu vezu termogenog otporaR = 10 O ikalema induktivnostiL = 10 mH tee strujai = 1,5 sin 1 000 t. Odrediti izraz za naponuna koji je prikljuena ova veza. 4.1.32. Redna veza aktivnog otpora R i induktivitetaL prikljuena jenaponu = 150 sin ( 500 t + 10 ). Odrediti vrednosti za aktivni otpor RiinduktivitetL, ako kroz ovu vezu tee strujai = 3 sin ( 500 t 35 ). 4.1.33. Kroz rednu vezuR = 10 OiC = 10 F tee strujai = 5 cos 5 000 t. Kako glasi izraz za naponu ? 4.1.34. Za rednu vezu RLC poznato jeR = 670 O,L = 8 H,C = 4 Fif = 50 Hz. Koliki je napon mree( kola ) ako napon na kondenzatoru iznosiUC = 100 V. 4.1.35. Za jedan prijemnik zna se da je aktivni otpor R jednak kapacitivnom otporu kondenzatora XC. Ako su izrazi za napon i struju toga prijemnika:i = 25 sin ( 314 t 28 );u = 100 sin ( 314 t + 17 ), odrediti R,L i C. V. Pajin:Osnove elektrotehnike II ( Prirunik sa zbirkom zadataka )31 4.1.36. Prigunica sa termogenim otporom RL = 300 O i induktivnimXL = 400 O vezana je redno sa kondenzatorom kapacitivnog otporaXC = 100 O. Ako na krajevima prigunice deluje naponUL = 50 V, kolika je vrednost ukupnog napona U ?

4.1.37. U rednom RLC kolu u kojem prevladava induktivno optereenje poznat je ukupni naponU = 50 V, napon na otporniku RUR = 30 V i napon na kondenzatoruUC = 20 V. Koliki je napon na krajevima savrenog kalema UL? 4.1.38. Impedansa redne veze otpornostiR = 4 O isavrene priguniceLpri frekvencijif = 50 Hz iznosi Z = 5 O. Kolika je impedansa te veze prif1 = 200 Hz ? 4.1.39. Kada kalem prikljuimo na jednosmerni naponU1 = 120 V, struja iznosiI1 = 20 A, a kada se prikljui na naizmenini naponU2 = 220 V uestanostif = 50 Hz, struja iznosiI2 = 28,2 A. Kolika je induktivnost kalema ? 4.1.40.

4.1.41. U rednom RLC kolu napon i struja se menjaju po zakonu:u = 353,5 cos ( 3 000 t 10 ) V; i = 12,5 cos ( 3 000 t 55 ) A.Ako je induktivnost kolaL = 0,01 H, odrediti termogenu otpornost R i kapacitet kondenzatora C. 4.1.42. Otpornik otpornostiR = 10 O, savreni kalem induktivnostiL = 50 mH i kondenzator kapaciteta C = 100 F vezani su na red i prikljueni na naizmenini naponU = ( 176 + j 132 )|V|. Odrediti maksimalnu i efektivnu vrednost indukovane ems samoindukcije u datom kolu. 4.1.43. Kalem termogenog otporaR=10 Oukljuen je u kolo naizmenine struje frekvencijef = 50 Hz. Odrediti koeficijent samoindukcije ( induktivnost )L kalema ako je fazna razlika izmeu napona i strujet/3.

4.1.44. 4.1.45. Efektivna vrednost ems naizmenine struje je 100 V, a krunauestanost 500 rad/s. Sa izvorom je vezan na red otpornik od 3 O, kondenzator od 50 F i kalem zanemarljivog termogenog otpora ija se induktivnost menja od 10 mH do 80 mH. Maksimalna vrednost napona na ploama kondenzatora ne sme da pree vrednost od 1 200 V. a)Kolika je efektivna vrednost struje koja sme da se propusti kroz kolo ? b)Kolika je tada induktivnost kalema ? Za deo kola prema sl.4.1.40. poznato je: uLC = 8 2 sin ( et t/2 ) V;R = 6 kO;XL = 2 kO; a)Odrediti XC, za koje jecos = 0,6(factor snage ). b)Nacrtati fazorski dijagram. c)Nai trenutnu vrednost naponau Kondenzator od 500 F, kalem induktivnosti0,1 H, zanemarljivog termogenog otpora i otpornik R vezani su na izvor naizmenine struje frekvencije 50 Hzprema sl.4.1.44. Strujno kolo se uspostavlja stavljanjem prekidaa u poloaj 1 ili 2. Kolika treba da bude vrednost otpora R, da bi jaina struje kroz njega kada je prekida u poloaju 1 bila dva puta vea od jaine struje kada je prekida u poloaju 2. oo RXL XC - + uLC u+ i Sl.4.1.40. - - 1 2 oo C L u Sl.4.1.44. R V. Pajin:Osnove elektrotehnike II ( Prirunik sa zbirkom zadataka )32 4.1.46. Kolika je efektivna vrednost naizmenine struje kroz kalem koji ima termogenu otpornost2 O, a induktivnost1 H ako je efektivna vrednost napona220 V a frekvencija 50 Hz ? ta e biti sa efektivnom vrednou struje ako se ne menjajui uslove u kolu redno kalemu prikljui kondenzator kapaciteta10 F ? 4.1.47. Kondenzator nepoznatog kapaciteta C, kalem induktivnosti 5 mH zanemarljiva termogenog otpora i otpornik otpora 20 O vezani su redno i prikljueni na naizmenini izvor emse = 10 cos 100t t|V|. Jaina struje u kolu jei = Im cos 100t t. Nai amplitudu ( maksim. vrednost ) napona na ploama kondenzatora UCm. 4.1.48. U rednom LC kolu induktivnost je 10 mH, a kapacitivnost 1 F. Kolika e biti impedansa kola ako je frekvencija naizmenine struje dva puta vea od frekvencije pri kojoj su struja u kolu i napon na krajevima kola u fazi ? 4.1.49. Redno vezani otpornik od 20 O, kalem od 15 mH i kondenzator od 5 F prikljueni su na naizmenini napon. Kolika je frekvencija toga napona ako je impedansa kola 100 O ? Termogeni otpor kalema zanemarljiv. 4.1.50. Kroz redno RLC kolo protie struja efektivne vrednosti 5 A. Kolo je prikljueno na efektivni napon od 90 V. Ako je aktivni otpor9 O, odrediti faznu razliku izmeu struje i napona. 4.1.51. Kalem i kondenzator vezani su redno i prikljueni na izvor naizmenine struje. Jaina struje u kolu menja se po zakonui = 2 sin 100t t|A| , a naponu = 40 sin ( 100t t + 45 ) |V|. Koliki je aktivni otpor kola ? 4.1.52. Deo strujnog kola ine termogeni otpornik od500 O i kalem induktivnosti0,5 H ( RL = 0 ), koji su vezani redno. Kroz kolo protie strujai = 0,5 sin et |A|. Odrediti frekvenciju naizmenine struje ako je amplituda napona ( maksimalna vrednost ) na otporniku tri puta vea nego na kalemu. Koliki je napon na krajevima datog kola posle 612,3 ms od trenutka ukljuivanja ? 4.1.53. U rednom RLC kolu naizmenini napon na krajevima kola ima efektivnu vrednost 100 V. Pri frekvencijif1 = 50 Hzif3 = 100 Hz efektivna vrednost jaine struje je ista i iznosi 10 A. Pri nekoj frekvencijif2 efektivna vrednost struje je maksimalna i iznosiImax = 20 A. Odrediti R, L, Cif2. 4.1.54. Kondenzator kapaciteta10 F i otpornik od 200 O vezani su redno i prikljueni na gradsku mreu napona 100 V frekvencije60 Hz. Pri raspadu energetskog sistema dolo je do poremeaja u napajanju potroaa, usled ega je napon gradske mree opao za 10%, a frekvencija se smanjila za 5%. Koliko se procentualno promenila jaina struje u datom kolu ? 4.1.55.

4.1.56.

Za krajeve kola, sl.4.1.55, prikljuen je izvor naizmeninog napona efektivne vrednosti 120 V i frekvencije 330 Hz. Kapacitet kondenzatora je podeen tako da je struja koju pokazuje ampermetar ista pri otvorenom i zatvorenomprekidau i iznosi4 A. Koliki su induktivnost Litermogeni otporRLkalema ako je kondenzator podeen na 10F ?

Za deo kola prostoperiodine naizmenine struje prikazanog na slici 4.1.56. poznato je:U1 = 20 V;U2 = 25 V;U3 = 40 V. a)Nacrtati fazorski dijagram napona b)Koliki je fazni pomak izmeu struje I i napona U22 ? A o ~o L;RL C Sl.4.1.55. U1 U5U4 R1 R2C U2 U3 Sl.4.1.56. I V. Pajin:Osnove elektrotehnike II ( Prirunik sa zbirkom zadataka )33 4.1.57.

4.1.58. 4.1.59. Prigunica termogenog otpora R i induktivnosti L redno je vezana sa kondenzatoron kapaciteta C. Ako je napon na prigunici (na rednoj vezi RL) URL = 80 V i njegova poetna fazauRL = 30, a na kondenzatoruUC = 40 V odrediti: a)trenutne vrednosti naponauR, uL, uCiu; b)efektivne vrednostiUR, UL iU; c)fazorski dijagram. Za poetnu fazu struje I uzeti nulu. 4.1.60. 4.1.61. U rednom RC kolu struja ima vrednostI1 = 0,1 A,prif1 = 800 Hz, a vrednostI2 = 0,08 Aprif2 = 400 Hz. U oba sluaja efektivna vrednost napona na krajevima kola iznosiU = 20 V. OdreditiRiC. 4.1.62. Prigunica termogenog otporaRLiinduktivnostiL redno je vezana sa kondenzatorom kapaciteta C. Poznato je:kapacitivna otpornost kondenzatoraXC = 1 kOiefektivne vrednosti prostoperiodinih napona na priguniciURL = 20 V( napon na rednoj vezi RL ) i kondenzatoruUC = 10 V, frekvencijef = 138 kHz. Napon na kondenzatoruUC fazno kasni u odnosu na napon na prigunicaURLza150. Izraunati: a)parametreR, LiC; b)efektivnu vrednost ukupnog napona U. 4.1.63.

Za deo kola prostoperiodine naizmenine struje, prema sl.4.1.57, poznato je:R1 = 60 O;XC = 80 O;U1 = 9 V;U2 = 4,5 V. Ako napon U1 fazno zaostaje za naponom U2 za ugaot/2, odrditi: a)efektivnu vrednost naponaU; b)efektivnu vrednost napona UAB koji vlada izmeu taakaAiB. Dva prijemnika vezana su na red, sl.4.1.58, i prikljuenau kolo prostoperiodine naizmenine struje. Za odreenu uestanost naizmenine struje impedanse su jednake,i iznose: Z1 = Z2 = 100 O. NaponU21 fazno zaostaje za naponomU23 za ugaot, a struja I fazno prednjai naponuU23 za ugaot/3. Kolika je ukupna impedansa kolaZ13 ? Za deo kola na slici 4.1.60 odrediti otporR1 tako danaponU12fazno prednjai ukupnom naponuU za ugaot/6. Brojni podaci:R2 = 5 O;XL = 15 O. U kolu prema slici 4.1.63 poznato je: R = 100 O;L = 10 mH;C1 = 0,1 F;e = 105 rad/s. Ako je fazni pomak izmeu naponaUi strujeI ugao,izraunati: a)kapacitet C2 za koji je = t/4; b)kapacitet C2 za koji je = t/4; c)kapacitet C2 pri kojem je struja I u kolu maksimalna. o o + + + U U1 U2 R1R2L C Sl.4.1.57. -- AB -- 12 R1XLR2 U12 U + Sl.4.1.60. U RL C1C2 I Sl.4.1.63. oo Z1

I --- 123 Z2 Sl.4.1.58. V. Pajin:Osnove elektrotehnike II ( Prirunik sa zbirkom zadataka )34 4.1.64. Kada se prijemnik nepoznate impedanse Z prikljui na naizmenini naponu = 202 sin ( et + 40 ), u njemu se uspostavi naizmenina strujai = 52 sin ( et 20 ). Odrediti: a)faznu razliku izmeu napona i struje, odnosno karakter prijemnika; b)impedansu, aktivnu i reaktivnu otpornost prijemnika; c)fazorski dijagram napona i struje. 4.1.65. Otpornik otpornosti R, kalem induktivnosti L i kondenzator kapaciteta C, vezani su na red i prikljueni na nepoznati naizmenini napon u. Ako je poznat izraz za trenutnu vrednost naizmenine strujei = I2 sin ( et + ), odrediti: a)impedansu i admitansu kola; b)fazorski dijagram napona i struje u kolu;c)izraze ( analitike ) za trenutne vrednosti napona uR, uL, uCiu. Brojni podaci:R = 15 O;L = 80 mH;C = 30 F;e = 500 s1;I = 2 A; = 90. 4.1.66. Otpornik otpornosti R i kalem induktivnosti L vezani su na red i prikljueni na naizmenini napon efektivne vrednosti U. Pri uestanostif1, efektivna vrednost struje u kolu jeI1, a pri uestanostif2, struja u kolu jeI2. Odrediti otpornost R i induktivnost L. Brojni podaci:U = 220 V;f1 = 40 Hz;f2 = 80 Hz;I1 = 39,4 A;I2 = 31,2 A. 4.1.67. Kada se kalem nepoznate otpornosti R i nepoznate induktivnosti L prikljui na naizmenini napon efektivne vrednosti U, uestanostif, u kalemu se uspostavi struja efektivne vrednosti I. Ako se u ovako obrazovano kolo na red sa kalemom vee otpornik otpornostiR1, efektivna vrednost struje u kolu opadne naI1. Odrediti nepoznatu otpornost R i induktivnost kalema L. Brojni podaci:U = 230 V;f = 50 Hz;I = 5 A;R1 = 20 O;I1 = 4 A. 4.1.68. Za normalni rad termogenog prijemnika potrebno je obezbediti na njegovim krajevima efektivni naponU i efektivnu strujuI. Odrediti kapacitet C kondenzatora koji je potrebno vezati na red sa prijemnikom, da bi on