zbirka zadataka iz matematike 2.razred srednje skole

Download Zbirka Zadataka Iz Matematike 2.Razred Srednje Skole

Post on 23-Jul-2015

9.359 views

Category:

Documents

103 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

,tWIC{1 77t,-- '\\ "'-'v'- ,,-- r",1 Adem Huskic i; ') C /; ",('(,' ',I (,"/( MATEMATIKA za (irugi razred gimnazije i drugih srednjih skala ! r\ \J\ i IP"SVJETLOSl1", d.d. ZAVOD ZAUDZBENIKE I NASTAVNASREDSTVA SARAJEVO, 2003. , tfIIii'-\ I 1 It g , , /1 !! iII Vi / o L'I I !I J Izdavac: Direktor: Za izdava6a: IP"SVJETLOST" d.d. Zavod za udibenike i nastavna sredstva Sarajevo Sefik ZUPCEVIC Abduselam RUSTEMPMac Ured.nik:j\nte Barrie Recenzenti:Prof.Dr.Scfket ARSLANAGIC; Sarajevo Nura HLJSKIC,Sarajevo Vesna PAVlC'::,Tuzla Zulejha TERZIC Korektm:Autar Tehnickiurednik:Vanda BABOVIC Naslovna strana:Mira GOCHC DTP;Autor Stampa:C.P.A.Tojsici Tiraz:1.000 primjeraka elP - Katalogizacija upublikaciji Nacionalna iuniverzitetska biblioteka Basne iHercegovine,Sarajevo 51(075.3) Huskic, Adem Matematika za 2.razred gimnazije 1 drugih srednjih skala! Adem Huski6.- Sarajevo: Svjetlost, 2003-.- 356 str.: graf.prikazi ;24.em ISBN9958'10-5.82-9 COBISS.BH-lD.12079878 ISBN9958-10-582-9 FederalnoMinistarstvo obrazovanja, nauke,kulture iodobrenja Vijeca za odabir udzbenika od12.03 .200 1.godine, RjdenJem broj'UP..:1-01c38-9-2517 IIIQdbbrilo je ovajudzbenik za upotrebu.. Strogo je zabranjenosvakokopiranje,._ i u cjelini ili pojedinih njegovih diJelova,bez odobrenJa"lzgilvaca... ."'ifiP ... I PREDGOVOR Udzbcnik jepisanprema Nasta\'IlOmplanuiprogramuza drugirazredgimnazijei tehnickihskola.NjimesuobuhvaccnesveoblastiprcdvidcneNastavnim programomUobimukojijeodredennastavnimplanol11.Nijeispustenanijedna ob!ast,nijednatema,auciljupotpunijeguvidautematskugraduupojedinom icmama uvedenasuneznatnaprosirenjakoja nisu eksplicitnonavedena uProgramu predmeta. SireoblastinavedeneuProgramu,uudzbcnikusupodijeUenenamanje tematskc cjeIine kojesemogu obraditina jednom iIidvanastavna sata. Svakatakvacjelinajeobradenatakodasemoguuociticetiriodvojena dijelaito: 1.Teorijska obrada materijeuz odgovarajuce ilustracijc ikomentare, 2.Pailjivo odabraniirijeseniprakticniprimjcri (zadaci). 3.Na poseban naclnformulirana pitanja za ponavljanje i 4.Zadacizavjezbuiutvrdivanje(saljesenjima,uputamaiiirezultatimana krajuknjige). DijeJoviseprekIapajuidopllnjujusteznjomdaponavljanjeiutvrdivanjedopunii osvjeziuteoretskom dijelu datumateriju.Cestoseinformacija kojanijc ekspIicitno datauteorijskomdijelu,prezentiranenametljivokrozprimjcr(e),iIipodesno f'ormuliranopitanjeiiikrozzadat?-kzavjezbu.Svinavcdcnidijeloviposmatrani zajcdnozaokruzujutcmu jobuh-vatajll je u potpunosti. Svecksplicitno navedenedefinicije iteoremesu napisane na posebannacin (podebljano,ukosenoi81.).To je uradenoisa terminima kojisuvczanizaistaknute pojmoveprilikomprvogpojavljivartia.NajvaZnijeforrnule,definicije,teoremesu porednavedenogstavljeneiIIposebneokvirekakobiivizuelnoprivuklepainju ucenika. Udijelovimatematskihcjclinakojisuovdjenazvani"'odabranizadacii praktiCniprimjeri"uUdzbeniku jcnavcdcnooko240detaljnouradcnihzadataka kojiilusiriraju pray i!a,teoreme,osobine pojedinih pojmova is1.. UUdzbenikujepreko120gratickihiIustracija (crteza,skica,slika)kojima sezornoprcdocavajupojcdinipojmoviinjihoviuzajamniodnosi.Toseposebno odnosina poglavlje ukomeseobraduje homotetija islicnost.Grafickeilustracijesu ubacivanetamogdje je njihova didriktickavrijednost nezamjenljiva iutomesenije pre1jcrivalo. Slikeuknjizisuposebnooznaccnc.Njihova.oznakaukazujenapoglavljeiredni brqjslikeu -njemu.Potpisiispodstika(clteia),skorouvijck,dajuposebnuporuku kojomscdopunjujetekst kojiprcthodi cliezu (iiisenaIaziiza njega). 3 Na mjestima uUdzbeniku gdjesuinformacije,podaci,vezeizmedupodataka i slieno,mogledasepredstave utabelarnolllobliku,to je iuradenotakoda je 8tabela sastavni dioUdzbenika. Udijelovimakojislijedeizasvaketematskeoblastipodnazlvom"Zadaciza vjezbu(iutvrdivanje)",uUdzbeniku je navedenopreko1300zadatakasciljemdase ucenicimaomogueiutvrdivanjegradivaizradomzadatakaibezposebnihzbirki zadataka,aprofesorimamatematikeomoguciizbordodatnihzadatakazavjezbuu skoli,kaojodabir 7...adatakakoje ueenicimogujtrebajurjesavati,u dlju uvjezbavanjai provjeravanja stepena usvojenostigrad iva,samostalnokodkuee (domaea zadaea). NakrajuUdzbenikanavedenjespisakliteraturekojaje,uzvisegodlsnje iskustvoautora,kOrlstenaprilikomizrademkopisa1 kojasepreporucujeprofesorima matematike i predavaeima,za daUuanalizu i pripreme za nastavu za pojedine-teme,kao iza izbor tema za izradumaturskihradova ucenika. Uz obraduiogaritama itrigonometrijskihfunkcijauobicajeno je da sekoriste posebnetablice("logaritamsketab lice").Uudzbeniku je djelimicnoukazanokakose koristetetab lice,alije posebannaglasakdatnaupotrebumalihdzepnihkalkulatora (cijajenabavkadostupnaillcenicima,anebibilaveHkiizdatakl1iskolama)koji efikasnozamjenjuju navedenetab liceisto je jos vainije,osavremenjujuidizunavist 111VOnastavniproces Uodgovarajueim oblastima matematike. NamjenaUdzbenika je prvenstvenodabudesredstvozarealizacijuprograma matematikezadr1.1girazredgimnazijeitehniekihskolakojeimajui5tiprogram matematikekaoiugimnaziji.Udzbcnik je namijenjenucenicimanavedenihskola,a zaprofesorematematikeipredavacejeokvirukomeiokokogaeesekretatl realizirajuClprogrammatematike udrugOtTlrazredu. Zarealizacijupojedillihoblasti,Udzbenikmogu koristitiprofesoriinapredniji ucenicidrugih srednjih skola(preostale tehnicke skole,tehnickeisrodneskole,sirucna skola). Na krajuizrazavarn veliku zahvalnostrecenzentima kojisusavjesnopreglcd2.li rukopisisvojimsugestijamaikonkretnimprijedlozimaznatnodoprinijelipodizanJu kvaliteta rukopisa. Autor 4 1.STEPEN I(POTENCIJE)IK0RIJENI 1.1.Stcpcni (potencije) sprirodnim izlozioccm (cksponcntom) Proizyodjedna\dhfaktora 555,aaaa,xxxxx,bbbb,ccmaterno krace pisati ovako: Uopste,za rnakojircalanbmjajrnakojiprirodan brajn(11)1),po dcfi11iciji,je aa ... a

iJ!ilklom Ozna1n.Sta bi sedcsilo ako tajuslovnijeispunjen?Ako je m=n, tada bise na desnojstrani jednakosti (4)pojavilo aD.Ova oznaka pooblikupodsjeca na stepen,medutim,mi smo upoznali samo stepene sa prirodnim eksponentom.Ako hocemo da iaDzovemo stepen,moramo o.odrediti znacenje tog stcpena.Morama ovajstepen definisati. 7 i, Kako jeall: all =1,kaokolicnik dvajednaka broja, to uzimamo,po definiciji, daje (6) Tako je, na primjer , 4= 1,2= 1,7340 =1,(-4997)=1,(234+11)"=1,(78-345)=1,." 3ao=3,(5a)"=I,7ao+230= 7+2 = 9,(_11)+ 25(-33)=1+25 =26. Sada relacija (4) vrijediiu slucaju kadaje m =n. Nekaje m0)'U =a,(0;>0).(*) 11 , rc:' I kaoi"JO= 0,"J! = 1,v-;; = a . ...." I I{a, a2:0 DalJc,vnJcdl-va- =QI=i opcenito "I;r a,a::::O -Va=Ial=j,akoje n --a,a Otudazakljucujcmodajekorijenkolicnikajednakkolicnikukorijenabrojnikai nazivnikatograzlo111ka.iobrnuto,kolicnikdvakorijenajednakiheksponenataje korijcnistogeksponcntaeijajepotkorjenavc!icinajednakakolicnikupotkOljenih ve!icina datihkorijena. r-:-:: \/iI55 -.13Primjcr 2:a)J "- , 3 sr;;- 31g5324rs=:524("-=7 c)...,/a:....;a- -.,jl.,a)=va:a= =lia 1.4.2.4.Slepenovallje ikorjenovanje korijena Korijen se mozei stepenovati.Korijcll se stepenujc tako sto sc stepenujc samo potkorjena veliCina.Dakle, vrijedi r-(ifi).A m-l ___ J Dokaz [(:j;.),,]m =>[('1;;)"']"("r;-) n__ n! \a--0 ("r::)n!_ fir;;; 'Va-va"'. Primjer 3:a)(f5)3Is]5 f5 3 r:z:.') 33 1'423 ,.-:; b)(vaxtx)=va'x c)(-2aifa'b-2)'4a2'Ja4b-4 = 4 2 43b- 1 =aa....;ab=a. ;Jab'. Ako su min prirodni brojeviitada vrijedi: 15 r Gornjajednakost pokazuje dase korijenkorjenuje tako 5tOse pomnoze eskponenti korijcna,a potkorjena velicina prepise.Dokaz ove relacije je anaJogandokazu pravila za stcpenovanje korijena.Uvjczbajrno ovu operaciju na slijedccim primjerima: a)[J2b)VJ5 ='15c)=% Kako postupiti kada korijen nije "jedan do drugog"? U tom slucajukoristimo so ranijepoznatom operacijom "uvlacenje" faktora ispred korijena pod korijeni nastavljamo kako je naprijed navedeno. Ovo je pokazanooa slijedecim primjerima: d)]aJ;;=17;;a =Va' 5 t;r:f-"-i,- 5530 f!8530 rn e)va=Ij\ja-a=va-a=va"'". 1.4.3.Racionalisanje nazivllika (imenioca) Posmatrajmoslijedece razlornke: 4../3411 3'2'../3'../3-1' Prvatrirazlomkalmajuunazivnikuraclonalnebrojeve,asviostalinavedeni razlomciimajuiracionalnenazivnike.PriJikomracunanjasarazlomcima,razlomke testotrebadovestinazajedni;3kinazivnik,atojemnogo jednostavnijekadasuim nazivniciracionalni.Zato senamece potrcba transformacije razlomka sa iracionalnim nazivnikomujednakrazlomakkodkogajenazlvnikracionaJan.Ovaoperacijase nazivaracionalisanjenaz1vnika.Slljedeciprimjerlpokazujukakoseprakticnovrsi racionalisanjene1dhnazlvnika: fl5 3 r 5(-,/3-1) (../3 + J)(J3-1) d) fifiJ7 +2fiU] +2)fi(J7 +2)fi(J7 +2)fi(J7 +2) J7 -2 -2J7 +2 (J7 -2)(J7 +2)(J71' _227-43 33(l+-fi)+J33(l+fi+J3)_3(1+-fi+J3L e)1-,/3 +fi(1+12)-;;' (l +fi)+J3 (J+-fi)' _(J3)2-1+1fi +2-3 16 3(1+ fi + J3)fi lJ2. fi 3(1+ fi + J3)J'2 2fi.fi 3fi (1+ fi + J3) 4 '-fi - 1'-fi - 1 h)'.i4 + '-fi + 2'J4 + '-fi + 2 . '-fi -I - ('J4 + '-fi1-+-1-)(,"';=2---I) fl-1fl-Jfl-1fl-1V42-V4 (V4+'J2+1)(fl-1)+(V2-1) (fl)'-::"ii'+'J"i-i2-1+V2-1Vidimodaseracionalisanjenazivnikapostizeprosmvanjemrazlomkapodesno odabranimizrazomsciJjemdaseunazivnikupojavikvadratnikorijenizkvadrata, tree]korijen1ztreceg stepena i slicno. Unavedenimprimjerima predstavljenisusamo nekitipicnislucajeviracionalisanja nazivnika. Kao5tOsevrsiracionalisanjenazivnika,naanaJogannaCin,semozeracionalisatl brojnik razlomka. 1.4.4.Dva posebna zadalka Primjer 1: Dokazatijednakost:

= x. 'facia vrijedi (+ 2Ji 0 +2J5 +0;- 2JS)' x',odak!e se,da1je,dobijc: 8+2JlIJ+2.Js +8-1JIO+Z.Js x2 17 f(:-- r;:12 ""16+2y(8+2Jl0+2"5 }(S-2Jl0+2J5) =X "" =X'"" 16+2-!64-40--SJ5 =""16+ 2.[24--8J5 =x2 "" -X'=>16+4kJ5 -I)' =x'=>16+4(,/5 -1)=x2 12+4J5=x'""2(,/5+1)2=X'=>x=12(,/5+1). Qvim jc jednakost dokazana. Rjcscnje:Prviraz!omak maze se transformirati na sIiede6inaCin:,.--(/'--.Ja.Ja(a'/-;;-I).Ja(a.Ja-I)a+l-,/a.Ja(a/i-I)(a+I-,Ja)_ a-1- -,./a--;;',:;-'j;; +-1- a + 1+... + 1- --..;r; (a + 1+Ja )(a + 1 - \lr;;-) .Ja.Ja +-I +/;;= (.Ja -1)+(.Ja .Ja(.Ja-I)(a' +a+l)_'(__ Ina=-..------ - -,Ja-vaa\I. a2+a+1..I I j 1 Koriste6irezuitate gornjih transformacija,sada se maze pisati: 2r2,--1Ir:I a--..;a= a+Fa+1a-.Ja+l 1 =a ,"-Fa -a, Fa +a+ 1=a-2Fa +1=(-'/;; _1)