zabalza villava mecanica ii

MECANICA II 2010

I. ZABALZA VILLAVA

Mecánica II

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INDICE CAPÍTULO 1 – INTRODUCCIÓN................................................................ 1

1.1 – INTRODUCCIÓN.............................................................................................. 1 1.2 – CIENCIA DE LA MECÁNICA.......................................................................... 1 1.3 – SÍNTESIS Y ANÁLISIS..................................................................................... 2 1.4 – TERMINOLOGÍA, DEFINICIONES E HIPÓTESIS........................................ 3 1.5 – MECANISMOS PLANOS, ESFÉRICOS Y ESPACIALES.............................. 5 1.6 – MOVILIDAD..................................................................................................... 5 1.7 – INVERSIÓN CINEMÁTICA............................................................................. 6 1.8 – LEY DE GRASHOF........................................................................................... 7 1.9 – VENTAJA MECÁNICA.....................................................................................7 1.10 – CURVAS DEL ACOPLADOR........................................................................ 8 1.11 – MECANISMO DE LÍNEA RECTA................................................................ 9 1.12 – MECANISMO DE RETORNO RÁPIDO........................................................ 9

CAPÍTUL. 2 – POSICIÓN Y DESPLAZAMIENTO.................................. 11

2.1 – SISTEMAS DE COORDENADAS.................................................................. 11 2.2 – POSICIÓN DE UN PUNTO............................................................................. 11 2.3 – DIFERENCIA DE POSICIÓN ENTRE DOS PUNTOS...................................12 2.4 – POSICIÓN ABSOLUTA Y POSICIÓN APARENTE DE UN PUNTO..........13 2.6 – ECUACIÓN DE CIERRE DEL CIRCUITO.................................................... 13 2.11 – DESPLAZAMIENTO DE UN PUNTO EN MOVIMIENTO........................ 14 2.12 – DIFERENCIA DE DESPLAZAMIENTO ENTRE DOS PUNTOS...............15 2.13 – ROTACIÓN Y TRASLACIÓN...................................................................... 16 2.14 – DESPLAZAMIENTO APARENTE Y DESPLAZAMIENTO ABSOLUTO 16

CAPÍTULO. 3 – VELOCIDAD.................................................................... 19

3.1 – DEFINICIÓN DE VELOCIDAD..................................................................... 19 3.1.1 – Derivación de vectores en coordenadas cartesianas.................................. 20

3.2 – DEFINICIÓN DE VELOCIDAD ANGULAR................................................ 20 3.2.1 – Rotación alrededor de un punto fijo........................................................... 21

3.3 – MOVIMIENTO CUALQUIERA DE UN ESLABÓN..................................... 22 3.3.1 – Movimiento plano cualquiera.................................................................... 22

3.4 – ANÁLISIS GRÁFICO DE LA VELOCIDAD. POLÍGONO DE VELOCIDADES............................................................................................ 23

3.5 – VELOCIDAD APARENTE DE UN PUNTO EN UN SISTEMA DE COORDENADAS EN MOVIMIENTO......................................................... 24

3.6 – VELOCIDAD ANGULAR APARENTE........................................................ 26 3.7 – CONTACTO DIRECTO Y CONTACTO POR RODADURA....................... 26

3.7.1 – Contacto directo con deslizamiento........................................................... 26 3.7.2 – Contacto directo con rodadura.................................................................. 27

3.10 – CENTRO INSTANTÁNEO DE VELOCIDADES (Ó DE ROTACIÓN)..... 27 3.11 – TEOREMA DE LOS TRES CENTROS........................................................ 29 3.12 – LOCALIZACIÓN DE CENTROS INSTANTÁNEOS DE ROTACIÓN...... 30

Índice

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3.13 – ANÁLISIS DE VELOCIDAD USANDO CENTROS INSTANTÁNEOS... 30 3.14 – TEOREMA DE LA RAZÓN DE VELOCIDADES ANGULARES............. 31 3.16 – VENTAJA MECÁNICA................................................................................ 31

CAPÍTULO. 4 – ACELERACIÓN............................................................... 33

4.1 – DEFINICIÓN DE ACELERACIÓN.................................................................33 4.1.1 – Cálculo de la aceleración por derivación................................................... 34

4.2 – DEFINICIÓN DE ACELERACIÓN ANGULAR............................................ 34 4.2.1 – Rotación alrededor de un punto fijo.......................................................... 35

4.3 – MOVIMIENTO CUALQUIERA DE UN ESLABÓN..................................... 37 4.3.1 – Movimiento plano cualquiera........................................................................ 38 4.4 – ANÁLISIS GRÁFICO DE LA ACELERACIÓN. POLÍGONO DE

ACELERACIONES........................................................................................ 38 4.5 – ACELERACIÓN APARENTE DE UN PUNTO EN UN SISTEMA DE

COORDENADAS EN MOVIMIENTO......................................................... 40 4.6 – ACELERACIÓN ANGULAR APARENTE................................................... 42 4.7 – CONTACTO DIRECTO Y CONTACTO POR RODADURA....................... 42

4.7.1 – Contacto directo con deslizamiento.......................................................... 42 4.7.2 – Rodadura sobre un eslabón fijo................................................................. 43 4.7.3 – Contacto directo con rodadura................................................................... 45

CAPÍTULO. 12 – FUERZAS ESTÁTICAS................................................ 47

12.1 – INTRODUCCIÓN......................................................................................... 47 12.2 – SISTEMAS DE UNIDADES......................................................................... 48

12.2.1 Sistema internacional................................................................................. 48 12.2.2 Sistema inglés............................................................................................ 48

12.3 – FUERZAS APLICADAS Y FUERZAS DE RESTRICCIÓN...................... 49 12.4 – CONDICIONES PARA EL EQUILIBRIO................................................... 49 12.5 – DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE.............................................................. 50 12.6 – FUERZAS DE RESTICCIÓN....................................................................... 50 12.7 – ELEMENTOS DE DOS Y TRES FUERZAS............................................... 50 12.8 – ELEMENTOS DE CUATRO FUERZAS..................................................... 52 12.9 – PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN.............................................................. 52

CAPÍTULO. 13 – FUERZAS DINÁMICAS............................................... 53

13.1 – INTRODUCCIÓN......................................................................................... 53 13.2 – CENTROIDES Y CENTRO DE MASAS..................................................... 53

13.2.1 – Centro de masas de una serie de partículas en el espacio....................... 53 13.2.2 – Centroides de figuras geométricas planas compuestas........................... 54 13.2.3 – Centroides de figuras geométricas planas limitadas por una función..... 55 13.2.4 – Centro de masas de un cuerpo limitado por una función........................ 55 13.2.5 – Centro de masas de un cuerpo compuesto.............................................. 56

13.3 – MOMENTOS DE INERCIA......................................................................... 57 13.3.1 – Momento de inercia de superficies......................................................... 57 13.3.2 – Momento de inercia de superficies complejas........................................ 58 13.3.3 – Momento de inercia de masas................................................................. 59 13.3.4 – Momento de inercia de masas complejas................................................ 60 13.3.5 – Sentido físico del momento de inercia de masas..................................... 61

Mecánica II

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13.4 – CÁLCULO DE FUERZAS............................................................................ 61 13.5 – PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN.............................................................. 62 13.7 – ROTACIÓN EN TORNO A UN PUNTO FIJO............................................ 63 13.8 – CASOS DE ESLABONES ESPECIALES.................................................... 64

13.8.1 – Eslabón de salida en un cuadrilátero articulado...................................... 64 13.8.1 – Eslabón de entrada en un cuadrilátero articulado................................... 65

13.9 – CASO SENCILLO DE DINÁMICA DIRECTA.......................................... 68 13.10 – FUERZAS DE SACUDIMIENTO.............................................................. 71

CAPÍTULO 6 – SÍNTESIS DE LEVAS....................................................... 73

6.1 – INTRODUCCIÓN........................................................................................... 73 6.2 – CLASIFICACIÓN DE LAS LEVAS............................................................... 73 6.3 – DIAGRAMA DE DESPLAZAMIENTO......................................................... 75 6.4 – DERIVADAS DEL DIAGRAMA DE DESPLAZAMIENTO........................ 77 6.5 – MOVIMIENTOS ESTÁNDAR DE LAS LEVAS........................................... 78 6.6 – DISEÑO GRÁFICO DE PERFILES DE LEVAS............................................ 83 6.7 – FUERZAS EN LEVAS.................................................................................... 85

CAPÍTULO 7 – SÍNTESIS DE ENGRANAJES......................................... 89

7.1 – INTRODUCCIÓN............................................................................................ 89 7.2 – CLASIFICACIÓN DE LOS ENGRANAJES.................................................. 89

7.2.1 – Engranajes cilíndricos................................................................................ 90 7.2.2 – Engranajes cónicos.................................................................................... 92 7.2.3 – Engranajes hiperbólicos............................................................................. 94

7.3 – TEORÍA DE ENGRANE................................................................................. 97 7.3.1 – Engranajes cilíndricos rectos exteriores.................................................... 97 7.3.2 – Ley de engrane.......................................................................................... 98 7.3.3 – Tamaño del diente: Paso y módulo............................................................ 99 7.3.4 – Línea de engrane...................................................................................... 102 7.3.5 – Línea de acción o empuje y ángulo de presión........................................ 103 7.3.6 – Zona de engrane...................................................................................... 103 7.3.7 – Dimensiones de un engranaje normal..................................................... 105 7.3.8 – Dimensiones de un engranaje de diente corto......................................... 107 7.3.9 – Perfil del diente: Cicloidal y evolvente................................................... 107 7.3.10 – Engrane entre perfiles de evolvente...................................................... 109 7.3.11 – Engrane de dos ruedas con perfil de evolvente..................................... 112 7.3.12 – Cremallera de envolvente...................................................................... 112 7.3.13 – Engrane de rueda dentada y cremallera................................................. 114 7.3.14 – Engranaje cilíndrico recto interior......................................................... 114

7.4 – FUERZAS EN LOS ENGRANAJES RECTOS............................................. 115

CAPÍTULO 9 – TRENES DE ENGRANAJES.......................................... 117 9.1 – INTRODUCCIÓN.......................................................................................... 117 9.2 – TRENES DE NEGRANAJES DE EJES FIJOS............................................. 117 9.3 – TRENES DE NEGRANAJES CON ALGÚN EJE MÓVIL, (TRENES

EPICICLOIDALES)..................................................................................... 119

Índice

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CAPÍTULO 15 – EQUILIBRADO............................................................. 121 15.1 – INTRODUCCIÓN........................................................................................ 121 15.2 – EQUILIBRADO TEÓRICO DE EJES......................................................... 121

15.2.1 – Equilibrado estático............................................................................... 122 15.2.2 – Equilibrado dinámico............................................................................ 124

15.3 – EQUILIBRADO PRÁCTICO DE EJES...................................................... 127 15.3.1 – Equilibrado estático práctico................................................................. 127 15.3.2 – Equilibrado dinámico práctico.............................................................. 129

CAPÍTULO 17 – DINÁMICA DE MÁQUINAS....................................... 131

17.1 – VOLANTE.................................................................................................... 131 17.2 – GIROSCOPIO.............................................................................................. 134

17.2.1 – Efecto giroscópico................................................................................. 135 17.3 – REGULADOR DE Watt.............................................................................. 136

Mecánica II

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CAPÍTULO 1 - INTRODUCCIÓN

1.1 - INTRODUCCIÓN

El Consejo de Universidades propuso como asignatura troncal en la carrera de Ingeniero Técnico Industrial Mecánico "Mecánica y Teoría de Mecanismos", asignatura de 12 créditos con los descriptores siguientes: Estática, cinemática y dinámica del sólido rígido y aplicaciones fundamentales en la ingeniería. Análisis cinemático y dinámico de mecanismos y máquinas.

En la Universidad Pública de Navarra se ha divido en dos asignaturas:

Mecánica I, que trata los descriptores estática, cinemática y dinámica del sólido rígido y aplicaciones fundamentales en ingeniería, asignatura de 6 créditos que se imparte en primer curso.

Mecánica II, que trata los descriptores análisis cinemático y dinámico de mecanismos y máquinas, asignatura de 6 créditos que se imparte en segundo curso.

1.2 - CIENCIA DE LA MECÁNICA

Máquinas

yMecanismos

aAplicada

)Dinámica(oCinética

CinemáticaDinámica

Estática

MecánicaFísica

En Mecánica II se estudiarán las relaciones entre la geometría y los movimientos de las piezas de una máquina o mecanismo y las fuerzas que generan tales movimientos. El estudio de movimientos y fuerzas se hará preferente por métodos gráficos para que resulte más intuitivo.

La Mecánica II junto con la Ciencia de Materiales y la Elasticidad y Resistencia de Materiales son la base para el Diseño y Cálculo de Máquinas. En Mecánica II se estudian los movimientos y las fuerzas que aparecen en determinados puntos de las piezas que forma el mecanismo o la máquina, por

Capítulo 1 - Introducción

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medio de la Elasticidad y Resistencia de Materiales, y partiendo de las fuerzas calculadas por medio de la Mecánica II, se determinan las tensiones que se producen en los diferentes puntos de las piezas y finalmente la Ciencia de Materiales indicará si el material de cual está construida la pieza es capaz de soportar las tensiones calculadas.

Del párrafo anterior se deduce la importancia de la Mecánica II para el ingeniero que se dedique al diseño de mecanismos y máquinas.

En Mecánica II se estudiarán también una serie de mecanismos cuyo conocimiento facilitará el diseño de máquinas, ya que éstas están formadas por mecanismos, y por lo tanto, cuantos más se conozcan, se tendrá más posibilidades de escoger los más apropiados.

1.3 - SÍNTESIS Y ANÁLISIS

El proceso de diseño de un mecanismo o máquina se puede dividir en dos partes: Síntesis y análisis.

En el proceso de síntesis, se diseña un mecanismo o máquina que sea capaz de realizar el trabajo deseado, de forma aproximada. En el proceso de análisis se calculan posiciones, desplazamientos, velocidades, aceleraciones y fuerzas que aparecerán en las diferentes piezas que componen el mecanismo o máquina y se comprueba si los movimientos son los previstos, y si las dimensiones prefijadas son las adecuadas para soportar los esfuerzos a que se verán sometidas las piezas. Caso de no ser así, se vuelve a rediseñar y analizar en un proceso iterativo, hasta lograr un diseño de mecanismo o máquina que realice los movimientos previstos y esté correctamente dimensionado.

El principal objetivo de la Mecánica II es realizar el análisis de mecanismos previamente sintetizados, no obstante también se estudian mecanismos, lo que facilitará la labor de síntesis al conocer un mayor número de mecanismos.

Ejemplo:

Diseñar un mecanismo que realice un movimiento rectilíneo de una determinada longitud.

Para realizar este tipo de movimiento se podría utilizar un cilindro hidráulico o neumático, o una cadena cerrada montada entre dos piñones, o un mecanismo de pistón-biela-manivela, etc.

Mecánica II

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La síntesis comprendería la elección de uno de estos mecanismos (por ejemplo el mecanismo de pistón-biela-manivela), y su predimensionamiento.

Fig. 1.1 - Mecanismo pistón-biela-manivela

Una vez predimensionado, por medio del análisis se determinarán: posiciones, velocidades aceleraciones y fuerzas que aparecerán en los diferentes puntos del mecanismo, se comprobará si los movimientos obtenidos son los deseados y si las piezas están bien dimensionadas para soportar los esfuerzos a que serán sometidas.

1.4 - TERMINOLOGÍA, DEFINICIONES E HIPÓTESIS

Máquina, combinación de cuerpos resistentes de tal manera que por medio de ellos, las fuerzas mecánicas de la naturaleza se pueden encauzar para realizar un trabajo acompañado de movimientos determinados. (Ejemplo, motor de explosión).

Mecanismo, combinación de cuerpos resistentes conectados por medio de articulaciones móviles para formar una cadena cinemática cerrada con un eslabón fijo y cuyo propósito es transformar el movimiento. (Ejemplo, mecanismo pistón-biela-manivela).

Existe cierta relación entre estructura y estática, mecanismo y cinemática y máquina y dinámica.

Eslabón, una pieza de un mecanismo o máquina. Los eslabones generalmente se consideran rígidos. En los mecanismos, los eslabones se deben conectar entre sí para transmitir el movimiento desde el eslabón impulsor o de entrada hasta el eslabón seguidor o de salida.


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Pares cinemáticos, las conexiones entre eslabones, que restringen su movimiento relativo, se llaman pares cinemáticos. Los eslabones también se pueden considerar como uniones rígidas entre pares.

En los mecanismos, los eslabones se suelen esquematizar para facilitar su estudio. El mecanismo equivalente debe tener las mismas características cinemáticas y dinámicas que el mecanismo real.

Cadena cinemática, varios eslabones unidos por medio de pares cinemáticos. Cadenas cinemáticas abiertas y cerradas.

Mecanismo, cadena cinemática cerrada con un eslabón fijo.

Pares superiores e inferiores, en los pares cinemáticos superiores el contacto entre eslabones se produce por lo general en una línea o un punto (por ejemplo el contacto entre una leva y el seguidor). En los pares inferiores el contacto entre eslabones se produce en una superficie.

Fig. 1.2 - Pares cinemáticos

Los pares cinemáticos inferiores y los grados de libertad que permiten, tanto en movimiento plano como espacial, figuran en la relación siguiente:

Mecánica II

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Movimiento plano Movimiento espacial

a) Giratorio 1 1

b) Prismático 1 1

c) Tornillo - 1

d) Cilíndrico 1 2

e) Esférico 1 3

f) Plano - 3

1.5 - MECANISMOS PLANOS, ESFÉRICOS Y ESPACIALES

Mecanismos planos son aquellos en los que todos los puntos del mecanismo realizan trayectorias contenidas en planos paralelos entre sí. (Por ejemplo el mecanismo de pistón-biela-manivela).

En los mecanismos esféricos todos los eslabones tienen un punto en común de velocidad nula y las trayectorias de todos los puntos pueden estar contenidas en esferas concéntricas con centro en el punto de velocidad nula. (Por ejemplo la junta cardan).

En los mecanismos espaciales las trayectorias de los diversos puntos del mecanismo pueden tener cualquier dirección en el espacio.

Los mecanismos más utilizados en la actualidad son mecanismos planos, su estudio resulta más sencillo porque se pueden utilizar métodos gráficos al poderse proyectar en verdadera magnitud sobre un plano paralelo a los del movimiento y por ello serán los que se estudiarán en esta asignatura.

1.6 - MOVILIDAD

Movilidad es el número de diferentes movimientos que se pueden introducir simultáneamente a un mecanismo. También se podría definir como el número mínimo de coordenadas necesario para determinar la posición del mecanismo.


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En mecanismos planos la movilidad será:

m = 3 (n - 1) - 2 j1 - j2 (1.1)

Siendo: n = número de eslabones del mecanismo, j1 = números de pares que permiten un grado de libertad y j2 = número de pares que permiten dos grados de libertad.

En mecanismos espaciales la movilidad será:

m = 6 (n - 1) - 5 j1 - 4 j2 - 3 j3 - 2 j4 - j5 (1.2)

Siendo: n = número de eslabones del mecanismo, j1 = números de pares que permiten un grado de libertad, j2 = número de pares que permiten dos grados de libertad, j3 = números de pares que permiten tres grados de libertad, j4 = número de pares que permiten cuatro grados de libertad y j5 = número de pares que permiten cinco grados de libertad.

1.7 - INVERSIÓN CINEMÁTICA

Fig. 1.3 - Inversiones cinemáticas: a) y b) mecanismos de manivela-oscilador, c) mecanismo de eslabón de arrastre y d) mecanismo de doble oscilador.

Mecánica II

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Inversión cinemática es cada uno de los diferentes mecanismos que se pueden lograr con una cadena cinemática al hacer fijo un eslabón diferente de la cadena.

1.8 - LEY DE GRASHOF

En un cuadrilátero articulado, para que al menos un eslabón pueda girar vueltas completas, se debe cumplir que la suma de las longitudes del eslabón de mayor longitud más la del eslabón de menor longitud debe ser menor que la suma de las longitudes de los eslabones de longitudes intermedias.

Es muy importante que se cumpla la condición expuesta en el párrafo anterior ya que en muchos mecanismos basados en el cuadrilátero articulado, el movimiento se introduce por medio de un motor giratorio.

1.9 - VENTAJA MECÁNICA

Ventaja mecánica de un mecanismo es la relación entre el par de salida y el par de entrada.

En el cuadrilátero articulado, será la relación entre el par en el eslabón seguidor y el par en el eslabón impulsor. Esta ventaja mecánica es proporcional al seno del ángulo γ formado por los eslabones seguidor y acoplador e

inversamente proporcional al seno del ángulo β formado por los eslabones impulsor y acoplador, (figura 1.4).

Fig. 1.4 - Ventaja mecánica.


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Para lograr que la ventaja mecánica sea lo mayor posible, se debe procurar que ángulo γ sea lo más próximo a 90º.

Cuando el ángulo β es 0º ó 180º, la ventaja mecánica se hace infinito. A estas posiciones del mecanismo se les llama posiciones de volquete y se corresponden con los límites de la oscilación del eslabón seguidor.

Estas posiciones tienen una serie de ventajas como: Gran precisión de posición del eslabón seguidor, velocidad angular nula del seguidor y par nulo en el eslabón impulsor.

1.10 - CURVAS DEL ACOPLADOR

Curvas del acoplador son las diferentes trayectorias que describen los puntos del plano considerándolos solidarios al eslabón acoplador.

Estas curvas pueden variar desde una circunferencia que describe el punto del acoplador unido al extremo de la manivela, hasta un arco que describe el punto unido al extremo del seguidor, pasando por curvas parecidas a elipses.

Fig. 1.5 - Curvas del acoplador.

Mecánica II

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1.11 - MECANISMOS DE LÍNEA RECTA

Mecanismos de línea recta son aquellos en los que algún punto del mecanismo describe una parte de su trayectoria que se aproxima a una línea recta. En la mayoría de los casos la trayectoria es una curva del acoplador, como sucede en los mecanismos de Watt, Roberts y Chebychev, (figura 1.6).

Fig. 1.6 - Mecanismos de línea recta: a) Watt, b) Roberts, c) Chebychev y d) Peaucillier.

1.12 - MECANISMOS DE RETORNO RÁPIDO

Mecanismos de retorno rápido son aquellos en los que el tiempo invertido en la carrera de ida es diferente al invertido en la carrera de vuelta, (figuras 1.7 y 1.8).

La diferencia de tiempos entre la carrera de ida y la de retorno es debido a que, suponiendo la velocidad angular del eslabón de entrada constante, el eslabón de entrada debe recorrer un ángulo mayor durante la carrera de ida que durante la de retorno. Los tiempos invertidos en las carreras de ida y de retorno


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serán proporcionales a los ángulos girados por el eslabón de entrada durante esas carreras.

La relación de tiempos será:

Q = βα

(1.3)

Fig. 1.7 - Mecanismo excéntrico de pistón-biela-manivela.

Fig. 1.8 - Mecanismo de retorno rápido de Whitworth.

Mecánica II

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CAPÍTULO 2 - POSICIÓN Y DESPLAZAMIENTO

2.1 - SISTEMAS DE COORDENADAS

Para poder definir las posiciones de los diferentes puntos de un mecanismo es necesario utilizar algún sistema de coordenadas.

Aunque existen diferentes sistemas de coordenadas como las cilíndricas y esféricas, en esta asignatura se emplearán las coordenadas cartesianas.

2.2 - POSICIÓN DE UN PUNTO

La posición de un punto se determinará por medio del vector que va desde el origen de coordenadas hasta el punto, (figura 2.1).

Fig. 2.1 - Posición de un punto.

kjiRrrrr

zPO

yPO

xPOPO RRR ++= (2.1)

Capítulo 2 – Posición y desplazamiento

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El módulo del vector será:

2zPO

2yPO

2xPOPO RRR ++=R

r (2.2)

Y los cosenos directores de los ángulos que forma el vector con los ejes de coordenadas serán:

PO

xPOR

cosRr=α

PO

yPOR

cosRr=β

PO

zPOR

cosRr=γ (2.3)

2.3 - DIFERENCIA DE POSICIÓN ENTRE DOS PUNTOS

La diferencia de posición entre dos puntos "P" y "Q" es el vector que va del punto "Q" al punto "P", (figura 2.2).

Fig. 2.2 - Diferencia de posición entre dos puntos.

QOPOPQ RRRrrr

−= (2.4)

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2.4 - POSICIÓN ABSOLUTA Y POSICIÓN APARENTE DE UN PUNTO

La posición absoluta de un punto es su posición respecto de los ejes de coordenadas que se toman como absolutos y la posición aparente es su posición respecto de otros ejes de coordenadas que no son los absolutos, (figura 2.3).

Fig. 2.3 - Posición absoluta y posición aparente de un punto.

2PO1O2O1PO RRRrrr

+= (2.5)

Donde:

1PORr

es la posición absoluta.

2PORr

es la posición aparente.

2.6 - ECUACIÓN DE CIERRE DEL CIRCUITO

Como un mecanismo es una cadena cinemática cerrada, la suma de los vectores de posición de un extremo de los eslabones respecto del otro extremo será nula, (figura 2.4).


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Fig. 2.4 - Ecuación de cierre del circuito.

0ADDCCBBA =+++ RRRRrrrr

(2.6)

2.11 - DESPLAZAMIENTO DE UN PUNTO EN MOVIMIENTO

El desplazamiento de un punto "P" ( P∆R ) es el vector que va desde su

posición inicial hasta su posición final, (figura 2.5).

Fig. 2.5 - Desplazamiento de un punto.

P'PP RRR∆

rrr

−= (2.7)

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2.12 - DIFERENCIA DE DESPLAZAMIENTO ENTRE DOS PUNTOS

La diferencia de desplazamientos entre dos puntos "P" y "Q" pertenecientes a un sólido rígido ( PQ∆R ) es el desplazamiento del punto "P"

menos el desplazamiento del punto "Q", (figura 2.6).

QPPQ R∆R∆R∆rrr

−= (2.8)

Fig. 2.6 - Diferencia de desplazamiento entre dos puntos.

La diferencia de desplazamiento entre dos puntos pertenecientes a un sólido rígido se puede expresar también como:

PQ'PQPQ RRR∆

rrr−= (2.9)

En la figura 2.6 se aprecia que la diferencia de desplazamiento entre los dos puntos se debe a una rotación que realiza el sólido rígido alrededor de un eje que pasa por el punto "Q*".

De la figura también se desprende el teorema de Euler: "Cualquier

movimiento de un sólido rígido se puede sustituir por una traslación ( QR∆r

)

más un giro alrededor de un eje apropiado".


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2.13 - ROTACIÓN Y TRASLACIÓN

Un sólido rígido sufre una traslación cuando el desplazamiento de dos cualesquiera de sus puntos es el mismo, (figura 2.7 a).

Un sólido rígido sufre una rotación cuando el desplazamiento de dos cualesquiera de sus puntos es diferente, (figura 2.7 b).

a

b

Fig. 2.7 - a) Traslación, b) Rotación.

2.14 - DESPLAZAMIENTO APARENTE Y DESPLAZAMIENTO ABSOLUTO

Fig. 2.8 - Desplazamiento aparente y desplazamiento absoluto.

Mecánica II

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El desplazamiento absoluto es desplazamiento de un punto visto desde el sistema de coordenadas absolutas y el desplazamiento aparente es el desplazamiento del mismo punto visto desde un sistema de coordenadas que no son las absolutas, (figura 2.8).

La relación entre el desplazamiento absoluto y el desplazamiento aparente será la siguiente:

2/PPP 323R∆R∆R∆rrr

+= (2.10)

Siendo:

3PR∆r

= Desplazamiento absoluto del punto "P3".

2/P3R∆r

= Desplazamiento aparente del punto "P3".

2PR∆v

= Desplazamiento absoluto del punto "P2", punto coincidente con

el punto "P3".


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Mecánica II

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CAPÍTULO 3 - VELOCIDAD

3.1 - DEFINICIÓN DE VELOCIDAD

El la figura 3.1 se aprecia un punto “P” cuya posición viene definida por

el vector “ PRr

”. Al cabo de un determinado espacio de tiempo “ t∆ ” el punto

“P” pasa a ocupar la posición “ P′ ” cuya posición vendrá definida por el vector

“ 'PR

r”. El punto “P” ha sufrido un desplazamiento “ PR∆

r” que vendrá definido

por:

P'PP RRR∆

rrr−= (3.1)

La velocidad media durante el desplazamiento citado será:

mVr

= t

P

∆R∆r

(3.2)

Y la velocidad instantánea del punto “P” será:

PVr

= t0t

lim P

∆→∆R∆r

= dt

d PRr

(3.3)

Fig. 3.1 - Desplazamiento de un punto.

Capítulo 3 – Velocidad

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3.1.1 - Derivación de vectores en coordenadas cartesianas

Si se tiene por ejemplo el vector de posición de un punto “ PRr

”

expresado por medio de sus componentes en coordenadas cartesianas:

kjiRrrrr

ZP

YP

XPP RRR ++= (3.4)

La derivada respecto del tiempo de ese vector será el vector velocidad:

dt

d PP

RV

rr

= (3.5)

La componente “X” del vector velocidad será la derivada de la componente “X” del vector de posición, la componente “Y” de la velocidad será la derivada de la componente “Y” del vector de posición y la componente “Z” de la velocidad será la derivada de la componente “Z” del vector de posición:

kjikjiVrrrrvrr

dt

dR

dt

dR

dt

dRVVV

ZP

YP

XPZ

PYP

XPP ++=++= (3.6)

3.2 - DEFINICIÓN DE VELOCIDAD ANGULAR

En la figura 3.2 se tiene un sólido rígido, con movimiento plano, en una determinada orientación indicada por el ángulo “ θ ”, al cabo de un instante de tiempo “ t∆ ” el sólido ha realizado una rotación “ θ∆ ”.

Fig. 3.2 - Desplazamiento angular de un sólido rígido.

Mecánica II

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Durante la rotación se puede definir una velocidad angular media como:

tm ∆θ∆=ω

r (3.7)

Y una velocidad angular instantánea como:

dt

d

t0t

lim θ=∆

θ∆→∆

=ωr

(3.8)

En este caso, por convenio, el vector velocidad angular “ωr

” será perpendicular al plano del movimiento, y aplicando la regla del sacacorchos, será negativo si gira en el sentido de las agujas del reloj y positivo en sentido contrario.

3.2.1 - Rotación alrededor de un punto fijo

En un sólido rígido que gire alrededor de un eje fijo la velocidad de uno cualquiera de sus puntos viene expresado por la ecuación (3.9).

pp RωVrrr

×= (3.9)

Fig. 3.3 - Rotación de un sólido rígido alrededor de un punto.

En un sólido rígido con movimiento plano como el representado en la

figura 3.3, como los vectores “ωr

” y “ pRr

” son perpendiculares, resultará que el

módulo de la velocidad del punto “P” será:

pp ·RωVrrr

= (3.10)


22

La dirección de “ pVr

” será perpendicular a “ωr

”, por tanto contenida en

el plano del movimiento, y perpendicular a “ PRr

”.

El sentido de “ pVr

” será coherente con el sentido de “ωr

” tal como se

observa en la figura 3.4.

Fig. 3.4 - Velocidad de un punto de un sólido rígido girando alrededor de un punto fijo.

3.3 - MOVIMIENTO CUALQUIERA DE UN ESLABÓN

En el apartado (2-12) se expuso que un movimiento cualquiera de un eslabón se puede descomponerse en una traslación más un giro, y que la diferencia de desplazamientos entre dos puntos del eslabón se debía precisamente al giro del eslabón. Por tanto, la relación entre las velocidades de dos puntos será:

PQQP VVVrrr

+= (3.11)

La velocidad " PQVv

" es debida al giro y su valor será:

PQPQ RωVrrr

∧= (3.12)

3.3.1 - Movimiento plano cualquiera

En un sólido rígido con movimiento plano cualquiera, como los

vectores “ωr

” y “ PQRr

” son perpendiculares, resultará que el módulo de la

velocidad del punto “P” respecto del punto “Q” será:

Mecánica II

23

PQPQ ·RωVrrr

= (3.13)

La dirección de “ PQVr

” será perpendicular a “ωr

” por tanto contenida en

el plano del movimiento, y perpendicular a “ PQRr

”. El sentido de “ PQVr

” será

coherente con el sentido de “ωr

” al igual que en el movimiento de rotación alrededor de un eje fijo.

3.4 – ANÁLISIS GRÁFICO DE LA VELOCIDAD. POLÍGONO DE VELOCIDADES

El método gráfico de análisis de velocidades se utiliza en movimiento plano y consiste en representar las ecuaciones vectoriales que relacionan las velocidades de los diferentes puntos de un mecanismo de forma gráfica. Es sencillo e intuitivo ya que las velocidades quedan representadas en la dirección y sentido que realmente tienen.

Fig. 3.5 – Análisis gráfico de velocidad. Polígono de velocidades.

Un ejemplo de análisis gráfico de velocidades de un eslabón triangular puede apreciarse en la figura 3.5. Suponiendo conocida la velocidad del punto


24

“A” y la dirección de la velocidad del punto “B” (a), como la velocidad “ BAVr

”

debe ser perpendicular al vector de posición “ BARr

” (c), inmediatamente quedan

determinadas las velocidades “ BVr

” y “ BAVr

” (b y d). De la velocidad “ BAVr

” se puede obtener la velocidad angular del eslabón:

BA

BA

R

Vω r

r

r= (3.14)

A partir de las velocidades de los puntos “A” y “B” se puede determinar la velocidad del punto “C” (f) como:

CBBCAAC VVVVVrrrrr

+=+= (3.15)

La velocidad “ CAVr

” es perpendicular a “ CARr

” y la velocidad “ CBVr

”

es perpendicular a “ CBRr

” (e), en el punto de corte de ambas se encontrará el punto “C”.

El polígono de velocidades es la representación gráfica de las ecuaciones vectoriales que relacionan las velocidades de los diferentes puntos del eslabón (b, d, e y g). Este polígono se dibuja a escala aparte del dibujo del mecanismo a partir de un punto que es el “0” de velocidades. El vector que va desde el “0” de velocidades hasta un punto representa su velocidad absoluta, el vector que va desde un punto “A” hasta un punto “B” representa la velocidad aparente de “B” respecto de “A”.

En el polígono de velocidades se forma una figura semejante al eslabón. Por ejemplo en la figura 3.5 (g) se forma un triángulo cuyos lados son perpendiculares a los lados del triángulo del eslabón, por lo tanto los dos triángulos son semejantes. La relación de semejanza depende de escala del polígono de velocidades y del valor de la velocidad angular.

3.5 – VELOCIDAD APARENTE DE UN PUNTO EN UN SISTEMA DE COORDENADAS EN MOVIMIENTO

En el Capítulo 2 se vio el desplazamiento absoluto y el desplazamiento aparente de un punto en un sistema de coordenadas en movimiento (Figura 3.6). La ecuación que relaciona estos desplazamientos es:

Mecánica II

25

2/PPP 323R∆R∆R∆rrr

+= (3.16)

Fig. 3.6 - Desplazamiento aparente y desplazamiento absoluto.

Dividiendo la ecuación (3.16) por “ t∆ ” y tomando límites cuando, se obtiene:

t0t

lim

t0t

lim

t0t

lim 2/PPP 323

∆→∆+

∆→∆=

∆→∆R∆R∆R∆rrr

(3.17)

Los términos de la ecuación 3.17 representan:

2/PPP 323VVVrrr

+= (3.18)

La velocidad “ 2/P3Vr

” representa la velocidad aparente del punto “P3”

en los ejes de coordenadas en movimiento y cuando 0t →∆ , como el vector

“ 2/P3R∆r

” tiende a confundirse con la trayectoria, resulta que dicha velocidad es

tangente a la trayectoria.

Teniendo en cuenta los términos de la ecuación 3.18, se puede decir que esta ecuación relaciona las velocidades de puntos coincidentes de diferentes eslabones.


26

3.6 – VELOCIDAD ANGULAR APARENTE

La velocidad angular aparente de un eslabón respecto de otro es la velocidad angular con la que ve girar al primer eslabón un observador fijo en el segundo eslabón. Esta velocidad angular aparente se representa como:

232/3 ωωωrrr

−= (3.19)

3.7 – CONTACTO DIRECTO Y CONTACTO POR RODADURA

3.7.1 – Contacto directo con deslizamiento

En una transmisión de movimiento por contacto directo con deslizamiento (Figura 3.7), las velocidades de los puntos en contacto de diferentes eslabones son perpendiculares a sus respectivos radios desde los puntos de giro de los eslabones.

Si se trazan una tangente y una normal a las superficies de los eslabones en el punto de contacto y se descomponen las velocidades de los puntos en contacto en una componente normal y otra tangencial, se debe cumplir que las componentes normales de las velocidades de los puntos en contacto deben ser iguales. Si no fuese así, los eslabones se separarían o se incrustarían uno en el otro.

Fig. 3.7 – Contacto directo con deslizamiento.

Mecánica II

27

Al ser las componentes normales de las velocidades de los puntos en contacto iguales, resulta que la velocidad aparente de un punto respecto del otro debe tener la dirección de la tangente común en el punto de contacto.

3.7.2 – Contacto directo con rodadura

En una transmisión de movimiento por contacto directo con rodadura (Figura 3.8), las velocidades de los puntos en contacto de diferentes eslabones son iguales, o lo que es lo mismo, la velocidad aparente entre los puntos en contacto es cero.

Fig. 3.8 – Contacto directo con rodadura.

3.10 – CENTRO INSTANTÁNEO DE VELOCIDADES (Ó DE ROTACIÓN)

Un concepto muy interesante de la cinemática es que cualquier movimiento diferencial de un sólido rígido equivale a un giro alrededor del eje instantáneo de rotación y deslizamiento y de una traslación en la dirección de dicho eje.

Si se considera un movimiento plano, como no se puede producir una traslación en la dirección del eje, resultará que cualquier movimiento diferencial equivale a un giro alrededor del eje instantáneo de rotación. Este eje es perpendicular al plano del movimiento y normalmente se considera su proyección, que es un punto llamado centro instantáneo de rotación o de velocidades.


28

Los centros instantáneos de rotación pueden ser: Absolutos, si son de un eslabón cualquiera respecto del eslabón fijo y relativos si son entre dos eslabones móviles.

Una definición general del centro instantáneo de rotación es la ubicación de dos puntos coincidentes de distintos eslabones cuya velocidad absoluta es la misma.

De la definición anterior se desprende que los centros instantáneos absolutos tendrán velocidad cero.

Para demostrar la existencia del centro instantáneo de rotación, por ejemplo si se tiene el eslabón de la figura 3.9 del que se conoce la velocidad del punto “A” y su velocidad angular, la ubicación de dicho centro se encontrará en la perpendicular a la velocidad del punto “A” trazada por dicho punto y la distancia desde “A” será:

ω

VR r

r

r A

PA = (3.20)

Fig. 3.9 – Localización del centro instantáneo de rotación.

La velocidad del punto “P” será:

0AAPAAPAAP =−=×+=+= VVRωVVVVrrrrrrrr

(3.21)

Queda demostrado que la velocidad del punto “P” es cero, por lo tanto es el centro instantáneo de rotación del eslabón respecto de la base.

En la figura 3.10 se representan diferentes formas de localizar el centro instantáneo de rotación de un eslabón respecto de la base: En (a) se determina la distancia hasta el C.I.R. conociendo la velocidad de un punto y la velocidad

Mecánica II

29

angular del eslabón. En (b) se determina el C.I.R. por el punto de corte de las perpendiculares a las velocidades de dos puntos trazadas por dichos puntos. En (c) los dos puntos están sobre el mismo radio, por lo tanto sus velocidades son paralelas, en este caso el C.I.R. se localiza en el punto de corte de la perpendicular común a las dos velocidades por los puntos y la recta que pasa por los extremos de las velocidades. En (d) el C.I.R. se encuentra en el punto de contacto por rodadura. En (e) al tener el eslabón un movimiento de traslación el C.I.R. se encontrará en el infinito en una dirección perpendicular al movimiento. Finalmente en (f) el C.I.R. se encontrará en el centro de curvatura de la trayectoria curva que describe el eslabón.

Fig. 3.10 – Métodos de localización del centro instantáneo de rotación de un eslabón.

3.11 – TEOREMA DE LOS TRES CENTROS

Si se toman tres eslabones cualesquiera de un mecanismo, los tres centros relativos entre ellos se encuentran en una línea recta.

En la figura 3.11, por ejemplo la velocidad el punto “P23” centro instantáneo de rotación relativo entre los eslabones “2” y “3” será la misma para ese punto perteneciente al eslabón “2” y perteneciente al eslabón “3”, por lo tanto, los centros absolutos de dichos eslabones respecto del eslabón fijo “P31” y “P21” se deben encontrar en la misma perpendicular a la velocidad del punto “P23” trazada por dicho punto, resultando de este modo que los tres centros relativos a los eslabones “1”, “2” y “3” se encuentran en una línea recta. El mismo razonamiento se puede hacer si se toma el centro instantáneo “P34”.


30

Fig. 3.11 – Teorema de los tres centros.

3.12 – LOCALIZACIÓN DE CENTROS INSTANTÁNEOS DE ROTACIÓN

En principio se localizan los centros instantáneos que son evidentes como los pares giratorios, puntos de rodadura y pares prismáticos. A partir de los centros localizados a simple vista, aplicando el teorema de los tres centros, se localizan los restantes.

3.13 – ANÁLISIS DE VELOCIDAD USANDO CENTROS INSTANTÁNEOS

Para realizar el análisis de velocidades se deben localizar todos los centros instantáneos de rotación absolutos, es decir todos los centros instantáneos respecto del eslabón fijo.

Una vez conocidos todos los centros absolutos, la velocidad de un punto de un eslabón será la velocidad angular del eslabón por la distancia desde el punto hasta el centro instantáneo. La dirección de la velocidad será perpendicular a la recta que une el punto con el centro instantáneo y el sentido coherente con la velocidad angular. Si se conoce la velocidad de un punto, la velocidad angular del eslabón será la velocidad del punto dividido por la distancia de dicho punto al centro instantáneo absoluto del eslabón al que pertenece el punto.

Mecánica II

31

3.14 – TEOREMA DE LA RAZÓN DE VELOCIDADES ANGULARES

En el cuadrilátero articulado de la figura 3.12 la velocidad del centro instantáneo de rotación “P24” es la misma para ese punto perteneciente al eslabón “2” y perteneciente al eslabón “4”, por tanto se cumplirá:

41242124 PP4PP2 ·· RωRω = (3.22)

De la ecuación 3.22 se obtiene que relación de velocidades angulares entre el eslabón de salida y el eslabón de entrada en un cuadrilátero articulado será:

4124

2124

PP

PP

2

4

R

R

ω

ω= (3.23)

Fig. 3.12 – Relación de velocidades angulares.

3.16 – VENTAJA MECÁNICA

La ventaja mecánica de un mecanismo es la relación entre el par de salida y el par de entrada.

En el cuadrilátero articulado de la figura 3.13 será la relación entre los pares “T4” y “T2”.

Despreciando rozamientos, la potencia de entrada debe ser igual a la de salida, por tanto se cumplirá:

4422 ·· TωTω = (3.24)


32

Fig. 3.13 – Ventaja mecánica.

La ventaja mecánica será:

VM = 4

2

2

4

ω

ω

T

T= (3.25)

Teniendo en cuenta la relación de velocidades angulares de entrada y salida en un cuadrilátero articulado, ecuación 3.23, se tendrá:

VM = βγ=

βγ

====sen

sen·k

·sen

·sen

AB

DC

'AB

'DC

PA

PD

PP

PP

4

2

2124

4124

R

R

R

R

R

R

R

R

ω

ω (3.26)

De la ecuación 3.26 se desprende que la ventaja mecánica en un cuadrilátero articulado es proporcional al seno del ángulo formado por los eslabones acoplador y seguidor e inversamente proporcional al seno del ángulo formado por los eslabones de entrada y acoplador, tal como se había expuesto en el apartado 1.9.

Mecánica II

33

CAPÍTULO 4 - ACELERACIÓN

4.1 - DEFINICIÓN DE ACELERACIÓN

El la figura 4.1 se aprecia un punto “P” cuya velocidad viene expresada

por el vector “ PVr

”. Al cabo de un determinado espacio de tiempo “ t∆ ” el

punto “P” pasa a ocupar la posición “ P′ ” cuya velocidad vendrá expresada por

el vector “ 'PV

r”. La velocidad del punto “P” ha sufrido una variación “ PV∆

r”

que vendrá definida por:

P'PP VVV∆

rrr−= (4.1)

La aceleración media durante el desplazamiento citado será:

mAr

= tP

∆V∆r

(4.2)

Y la aceleración instantánea del punto “P” será:

PAr

= t0t

lim P

∆→∆V∆r

= 2

P2

P

dt

d

dt

d RVrr

= (4.3)

Fig. 4.1 – Variación de la velocidad de un punto.

Capítulo 4 – Aceleración

34

4.1.1 – Cálculo de la aceleración por derivación

Si se tiene por ejemplo el vector velocidad de un punto “ PVr

” expresado por medio de sus componentes en coordenadas cartesianas:

kjiVrrrr

ZP

YP

XPP VVV ++= (4.4)

La derivada respecto del tiempo de ese vector será el vector aceleración:

dt

d PP

VA

rr

= (4.5)

La componente “X” del vector aceleración será la derivada de la componente “X” del vector velocidad, la componente “Y” de la aceleración será la derivada de la componente “Y” del vector velocidad y la componente “Z” de la aceleración será la derivada de la componente “Z” del vector velocidad:

kjikjiArrrrvrr

dt

dV

dt

dV

dt

dVAAA

ZP

YP

XPZ

PYP

XPP ++=++= (4.6)

Y como la velocidad del punto “P” es la derivada del vector de posición, resultará que la aceleración es la derivada segunda del vector de posición:

kjiArrrr

2

ZP

2

2

YP

2

2

XP

2

Pdt

Rd

dt

Rd

dt

Rd++= (4.7)

4.2 - DEFINICIÓN DE ACELERACIÓN ANGULAR

En la figura 4.2 se tiene un sólido rígido, con movimiento plano, en una determinada orientación indicada por el ángulo “ θ ” su velocidad angular es “ωr

”, al cabo de un instante de tiempo “ t∆ ” el sólido ha realizado una rotación “ θ∆ ” y su nueva velocidad angular es “ 'ω

r”.

La variación de velocidad angular será:

ωωω∆vvv

−= ' (4.8)

Durante la rotación se puede definir una aceleración angular media como:

Mecánica II

35

tm ∆∆= ω

αr

r (4.9)

Y una aceleración angular instantánea como:

2

2

dt

d

dt

d

t0t

lim θ==∆∆

→∆= ωω

αrr

r (4.10)

Fig. 4.2 – Variación de la velocidad angular.

Como el vector velocidad angular “ωr

”, por convenio, es perpendicular al plano del movimiento, sus variaciones y por tanto la aceleración angular “α

r”

también serán perpendiculares a dicho plano, y aplicando la regla del sacacorchos, será negativa si acelera en el sentido de las agujas del reloj y positiva en sentido contrario.

4.2.1 - Rotación alrededor de un punto fijo

En un sólido rígido que gire alrededor de un eje fijo la aceleración de uno cualquiera de sus puntos viene expresado por la ecuación (4.11).

tP

nPppppp )( AARαVωRαRωωA

rrrvvrrvrrrr

+=×+×=×+××= (4.11)

El primer término recibe el nombre de aceleración normal y el segundo aceleración tangencial.



” y “ pVv


módulo de la aceleración normal del punto “P” será:


36

p

2nP ·RωA

rrr

= (4.12)

Fig. 4.3 - Rotación de un sólido rígido alrededor de un punto.

Su dirección será perpendicular a “ωr

” y “ pVv


el plano del movimiento y normal a la trayectoria (de ahí su nombre de aceleración normal) y su sentido, analizando los dos posibles sentidos de “ω

r”,

figura 4.4, resulta siempre del punto “P” hacia “O”.

Fig. 4.4 – Aceleración normal de un punto.

Como los vectores “αr

” y “ pRr


módulo de la aceleración tangencial del punto “P” será:

ptP ·RαA

rrr

= (4.13)

La dirección de “ tPA

r

” será perpendicular a “αr


el plano del movimiento, y perpendicular a “ PRr

”, por tanto tangente a la

Mecánica II

37

trayectoria del punto “P” (de ahí su nombre de aceleración tangencial). Y el

sentido de “ tPA

r

” será coherente con el sentido de “αr

” tal como se observa en la

figura 4.5.

Fig. 4.5 – Aceleración tangencial de un punto.

4.3 - MOVIMIENTO CUALQUIERA DE UN ESLABÓN

En el apartado (2-12) se expuso que un movimiento cualquiera de un eslabón se puede descomponerse en una traslación más un giro, y que la diferencia de desplazamientos entre dos puntos del eslabón se debía precisamente al giro del eslabón. Por tanto, la relación entre las aceleraciones de dos puntos será:

tPQ

nPQQPQQP AAAAAA

rrrrrr

++=+= (4.14)

La aceleración " PQAr

" es debida al giro y se descompone en dos

términos:

Aceleración normal

PQPQnPQ )( VωRωωA

rrrrrr

×=××= (4.15)

Y aceleración tangencial

PQtPQ RαA

rrr

×= (4.16)


38

4.3.1 - Movimiento plano cualquiera



” y “ PQVv

” son perpendiculares, resultará que

el módulo de la aceleración normal del punto “P” respecto del punto “Q” será:

PQ

2nPQ ·RωA

rrr

= (4.17)

Su dirección será la del vector “ PQRr

” y su sentido del punto “P” hacia

el punto “Q”.

Como los vectores “αr

” y “ pRr


módulo de la aceleración tangencial del punto “P” respecto del punto “Q” será:

PQtPQ ·RαA

rrr

= (4.18)

La dirección de “ tPQA

r

” será perpendicular a “αr

”, por tanto contenida

en el plano del movimiento, y perpendicular a “ PQRr

”. El sentido de “ tPQA

r

”

será coherente con el sentido de “αr

” tal como se observa en la figura 4.5.

4.4 – ANÁLISIS GRÁFICO DE LA ACELERACIÓN. POLÍGONO DE ACELERACIONES

El método gráfico de análisis de aceleraciones se utiliza en movimiento plano y consiste en representar las ecuaciones vectoriales que relacionan las aceleraciones de los diferentes puntos de un mecanismo de forma gráfica. Es sencillo e intuitivo ya que las aceleraciones quedan representadas en la dirección y sentido que realmente tienen.

Un ejemplo de análisis gráfico de aceleraciones de un eslabón triangular puede apreciarse en la figura 4.6. Suponiendo conocida la aceleración del punto “A” y la velocidad y la aceleración angulares del eslabón, se determina la aceleración del punto “B” (d) como:

tBA

nBAABAAB AAAAAA

rrrrrr

++=+= (4.19)

Mecánica II

39

La aceleración “ nBAA

r

” tiene la dirección y el sentido de “B” hacia “A”

y la aceleración “ tBAA

r

” es perpendicular a la recta de unión de los puntos y

coherente con la aceleración angular (c).

Fig. 4.6 – Análisis gráfico de aceleraciones. Polígono de aceleraciones.

A partir de las aceleraciones de los puntos “A” y “B” se puede determinar la aceleración del punto “C” (f) como:

tCB

nCBB

tCA

nCAAC AAAAAAA

rrrrrrr

++=++= (4.20)

Se trazan las aceleraciones normales “ nCAA

r

” y “ nCBA

r

” con su módulo

dirección y sentido y las direcciones de las tangenciales “ tCAA

r

” y “ tCBA

r

”. En el

punto de corte de las tangenciales se encontrará el punto “C”.

El polígono de aceleraciones es la representación gráfica de las ecuaciones vectoriales que relacionan las aceleraciones de los diferentes puntos del eslabón (d, f y g). Este polígono se dibuja a escala, aparte del dibujo del mecanismo a partir de un punto que es el “0” de aceleraciones. El vector que va desde el “0” de aceleraciones hasta un punto representa su aceleración absoluta, el vector que va desde un punto “A” hasta un punto “B” representa la aceleración aparente de “B” respecto de “A”.


40

En el polígono de aceleraciones se forma una figura semejante al eslabón. Por ejemplo en la figura 4.6 (g) se forma un triángulo cuyos lados

representan las aceleraciones “ BAAr

”, “ CAAr

” y “ CBAr

”. Los módulos de estas

aceleraciones son:

BAAr

= 24BA

2BA

22BA

42tBA

2nBA RRR α+ω=α+ω=+ AA

rr

(4.21)

CAAr

= 24CA

2CA

22CA

42tCA

2nCA RRR α+ω=α+ω=+ AA

rr

(4.22)

CBAr

= 24CB

2CB

22CB

42tCB

2nCB RRR α+ω=α+ω=+ AA

rr

(4.23)

Como se aprecia en las ecuaciones 4.21, 4.22 y 4.23 los lados del triángulo del polígono de aceleraciones son proporcionales a los lados del triángulo del eslabón, por tanto, son triángulos semejantes.

4.5 – ACELERACIÓN APARENTE DE UN PUNTO EN UN SISTEMA DE COORDENADAS EN MOVIMIENTO

En la figura 4.7 se tiene un sistema de coordenadas fijo “X1” e “Y1” y un sistema de coordenadas móvil “X2” e “Y2”. Sobre el sistema de coordenadas móvil se tiene una ranura por la que se desplaza el punto “P3”. El punto “P2” es un punto fijo en los ejes móviles cuya posición coincide con la posición inicial del punto “P3”.

Fig. 4.7 – Aceleración aparente de un punto.

Mecánica II

41

La ecuación que relaciona las aceleraciones de estos dos puntos es la siguiente:

cP/P

tP/P

nP/PPP 23232323

AAAAAvvvvv

+++= (4.24)

Esta ecuación también se puede decir que es la ecuación que relaciona las aceleraciones de puntos coincidentes de diferentes eslabones.

La suma de las aceleraciones “ tP/P

nP/P 2323

AAvv

+ ” se suele llamar

aceleración relativa y es la aceleración del punto “P3” que percibiría un observador fijo en los ejes móviles.

La aceleración normal de “P3” respecto de “P2” ( nP/P 23

Av

) se debe al

cambio de dirección de la velocidad relativa del punto “P3” a causa de la curvatura de la ranura y su valor será:

ρ=

2P/Pn

P/P23

23

VA

rv

(4.25)

Siendo “23 P/PV

r” la velocidad del punto “P3” respecto del punto “P2” o

velocidad relativa del punto “P3” en los ejes móviles, y “ ρ ” el radio de

curvatura de la ranura en el punto “P2”.

La dirección y sentido de esta aceleración normal es del punto “P2” hacia el centro de curvatura de la ranura.

La aceleración tangencial de “P3” respecto de “P2” ( tP/P 23

Av

) se debe al

cambio de módulo de la velocidad relativa del punto “P3”. De esta aceleración solo se conoce que su dirección es tangente a la ranura.

La aceleración de Coriolis de “P3” respecto de “P2” ( cP/P 23

Av

) se debe al

giro de los ejes móviles y a la velocidad relativa del punto “P3”. Su módulo dirección y sentido viene definido por el producto vectorial siguiente:

2323 P/P2c

P/P ·2 VωAvrr

×= (4.26)


42

4.6 – ACELERACIÓN ANGULAR APARENTE

La aceleración angular aparente de un eslabón respecto de otro es la aceleración angular con la que ve acelerarse al primer eslabón un observador fijo en el segundo eslabón. Esta aceleración angular aparente se representa como:

232/3 αααrrr

−= (4.27)

4.7 – CONTACTO DIRECTO Y CONTACTO POR RODADURA

4.7.1 – Contacto directo con deslizamiento

Fig. 4.9 – Contacto directo con deslizamiento.

Mecánica II

43

En un mecanismo como el representado en la figura 4.9 (a), formado por tres eslabones, el punto de contacto “C” se debe producir deslizamiento ya que la velocidad de este punto es diferente si se considera perteneciente al eslabón “2” o al eslabón “3”, figura 4.9 (c).

La ecuación que relaciona las aceleraciones de puntos coincidentes de diferentes eslabones, teóricamente se podría plantear en el punto “C”, pero resulta que la trayectoria que describe el punto “C2” en unos ejes de coordenadas solidarios al eslabón “3” y la trayectoria que describe el punto “C3” en unos ejes de coordenadas solidarios al eslabón “2” no son conocidas. Al no conocerse estas trayectorias, no se puede calcular la aceleración normal de un punto respecto del otro y no se puede resolver el análisis de aceleraciones.

En este caso, si prolonga imaginariamente el eslabón “3”, figura 4.9 (b), se observa que el punto “B2” describe una trayectoria recta sobre el eslabón “3”. Por tanto la ecuación que relaciona las aceleraciones de puntos coincidentes de diferentes eslabones se debe plantear en el punto “B” y será la siguiente:

cB/B

tB/B

nB/BBB 32323232

AAAAAvvvvv

+++= (4-31)

Se debe tener en cuenta que no se debe plantear la aceleración desconocida en función de la conocida, sino que se debe plantear la aceleración del punto cuya trayectoria se conoce en función del punto correspondiente al eslabón en el que se desarrolla la trayectoria. En este caso la trayectoria que describe el punto “B3” en unos ejes solidarios al eslabón “2” también sería desconocida.

En la ecuación 4.31 la aceleración normal del punto “B2” respecto del punto “B3” será nula. La aceleración tangencial del punto “B2” respecto del punto “B3” tendrá la dirección de la trayectoria. Y la aceleración de Coriolis se determinará por medio del producto vectorial.

Las ecuaciones que relacionan las aceleraciones de los diferentes puntos del mecanismo están representadas en el polígono de aceleraciones, figura 4.9 (d).

4.7.2 – Rodadura sobre un eslabón fijo

En una rodadura sobre un eslabón fijo come el representado en la figura 4.8, la aceleración del punto “C” es horizontal y su valor será:

RαArrr

×=C (4.28)


44

La aceleración del punto “P3” será:

tCP

nCPCP 333

AAAArrrr

++= (4.29)

Fig. 4.8 – Rodadura sobre un eslabón fijo.

La aceleración “ nCP3

Ar

” tiene la dirección de “P” hacia “C” por tanto es

perpendicular a la superficie de rodadura.

La aceleración “ tCP3

Ar

” tiene el mismo módulo que la aceleración del

punto “C” y sentido contrario.

Teniendo en cuenta que la aceleración del punto “P2” es cero, de los dos párrafos anteriores se deduce que la aceleración del punto “P3” respecto del punto “P2” es perpendicular a la superficie de rodadura.

A la misma conclusión se llegaría planteando la ecuación que relaciona las aceleraciones de los puntos en contacto:

cP/P

tP/P

nP/PPP 23232323

AAAAAvvvvv

+++= (4.30)

En esta ecuación, la aceleración del punto “P2” es cero, las aceleraciones normal y de Coriolis del punto “P3” respecto del punto “P2” son nulas debido a que es nula la velocidad del punto “P3” respecto del punto “P2”.

El único término no nulo es la aceleración tangencial del punto “P3” respecto del punto “P2”. La dirección de esta aceleración es tangente a la trayectoria que describe el punto “P3” que es una cicloide. La tangente a la cicloide en el punto de contacto es perpendicular a la superficie de rodadura, por tanto queda probada la dirección de la aceleración del punto “P3” respecto del punto “P2”.

Mecánica II

45

La aceleración tangencial del punto “P3” respecto del punto “P2”, al tener la dirección del radio de la rueda, se suele denominar aceleración radial del punto “P3” respecto del punto “P2”.

4.7.3 – Contacto directo con rodadura

En un mecanismo como el representado en la figura 4.10 (a), formado por cuatro eslabones, puede existir rodadura sin deslizamiento.

Fig. 4.10 – Contacto directo con rodadura.

En este caso las velocidades de los puntos “C3” y “C4” serán iguales. La aceleración relativa entre estos dos puntos se sabe que es perpendicular a la tangente en el punto de contacto, pero no se sabe su valor, por lo que no se podrá plantear la ecuación que relaciona las aceleraciones en el punto “C”.


46

Al igual que en el apartado anterior, se debe prolongar imaginariamente el eslabón “3”. El punto “B2” describe una trayectoria recta sobre el eslabón “3” por lo que se puede plantear la ecuación de relación de aceleraciones en el punto “B”, ecuación que será:

cB/B

tB/B

nB/BBB 32323232

AAAAAvvvvv

+++= (4.32)

La aceleración normal será nula, la tangencial tendrá la dirección de la trayectoria y la de Coriolis vendrá dada por el producto vectorial.

En la figura 4.10 (c) queda representado el polígono de aceleraciones del mecanismo.

Cabe destacar que tanto en el contacto con deslizamiento como con rodadura, para poder realizar el análisis de aceleraciones, el contacto se debe producir entre superficies rectas o circunferencias, ya que en estos casos es fácil determinar el radio de curvatura de la trayectoria que describe un punto en unos ejes de coordenadas solidarios al otro eslabón.

Mecánica II

47

CAPÍTULO 12 – FUERZAS ESTÁTICAS

En los capítulos precedentes se ha estudiado el movimiento de los mecanismos sin tener en cuenta las fuerzas que los producen ni las fuerzas originadas debidas al movimiento. A partir de este punto se estudiará las fuerzas necesarias para producir un determinado movimiento, así como las fuerzas que se originan debidas al movimiento de los mecanismos.

Fuerzas estáticas son todas las fuerzas que actúen sobre un cuerpo y que no se deban al término de masa por aceleración.

Fuerzas dinámicas son las fuerzas debidas al término de masa por aceleración.

Se pueden dar solamente fuerzas estáticas en mecanismos en movimiento si se desprecia su masa.

En este capítulo se estudiarán mecanismos planos, por lo tanto las fuerzas estarán contenidas en el plano del movimiento.

12.1 - INTRODUCCIÓN

A continuación se da la definición de algunos términos que se utilizarán en este capítulo.

Fuerza es acción de un cuerpo que actúa sobre otro.

Materia, es el material o sustancia de la que está hecho el cuerpo.

Masa, cantidad de materia de un cuerpo.

Inercia, propiedad de la masa de oponerse a los cambios de movimiento.

Peso, fuerza de la gravedad que actúa sobre una masa.

Partícula, cuerpo de dimensiones despreciables.

Cuerpo rígido, se puede considerar aquel cuerpo cuyas deformaciones no afectan al cálculo cinemático y dinámico.

Capítulo 12 – Fuerzas estáticas

48

Cuerpo deformable, cuando se deben tener en cuenta las deformaciones en el cálculo cinemático y dinámico.

Leyes de Newton

1ª - Si todas las fuerzas que actúan sobre una partícula están equilibradas, la partícula permanecerá en reposo si estaba en reposo, o se desplazará con movimiento rectilíneo constante.

2º - Si la suma de las fuerzas que actúan sobre una partícula no están equilibradas, la partícula sufrirá una aceleración en la dirección y sentido de la resultante de las fuerzas.

3º - Si sobre un cuerpo actúa una fuerza, este cuerpo devuelve una reacción de igual módulo y dirección y de sentido contrario a la acción.

12.2 – SISTEMAS DE UNIDADES

12.2.1 Sistema internacional

En el sistema internacional se tiene como unidades fundamentales de masa el kilogramo, de longitud el metro y de tiempo el segundo.

Como unidad derivada se tiene de fuerza el Newton que es la fuerza que aplicada a una masa de un kilogramo le imprime una aceleración de un metro segundo cuadrado. Sus dimensiones serán:

N = 2s·m·Kg − (12.1)

12.2.2 Sistema inglés

En el sistema inglés se tiene como unidades fundamentales de fuerza la libra, de longitud el pie o la pulgada y de tiempo el segundo.

En España, en lenguaje popular, se habla del peso en kilogramos, así por ejemplo, se dice que un cuerpo pesa X Kg. cuando ese cuerpo tiene una masa de X Kg.

El sistema inglés se utiliza de forma similar al sistema popular en España. Así un cuerpo pesará X libras cuando su masa sea de X libras.

Mecánica II

49

La unidad derivada en el sistema inglés será la de masa. Para determinar cual será el valor de esta unidad se pueden plantear las siguientes relaciones.

1 “Kg.(fuerza)” a 1 Kg.(masa) le imprime una aceleración de 9.807 m/s2.

1 Lb.(fuerza) a 1 Lb.(masa) le imprimirá una aceleración de 9.807 m/s2.

Como un metro es igual a 3.28084 pies e igual a 39.37008 pulgadas.

1 Lb.(fuerza) a 1 Lb.(masa) le imprimirá una aceleración de 9.807 m/s2 = = 9.807 x 3.28084 = 32.174 pies/s2 = 9.807 x 39.37008 = 386.088 pulgadas/s2.

Aproximadamente

1 Lb.(fuerza) a 1 Lb.(masa) le imprimirá una aceleración de 32.2 pies/s2.

1 Lb.(fuerza) a 1 Lb.(masa) le imprimirá una aceleración de 386 pulg/s2.

Como la unidad de masa debe ser tal que la unidad de fuerza le imprima una aceleración de valor unidad, si se utiliza como unidad de longitud el pie, la unidad de masa será de 32.2 libras (Slug) y si la unidad de longitud es la pulgada, la unidad de masa será de 386 libras.

12.3 – FUERZAS APLICADAS Y FUERZAS DE RESTRICCIÓN

Fuerzas aplicadas son las fuerzas exteriores que normalmente son conocidas y fuerzas de restricción son las que aparecen en los pares de unión de los eslabones y son las encargadas de evitar que el mecanismo se descomponga.

12.4 – CONDICIONES PARA EL EQUILIBRIO

Para que se dé el equilibrio estático de un mecanismo se debe cumplir en cualquier eslabón o conjunto de eslabones que la suma de fuerzas sea cero y que la suma de momento respecto de un eje sea también cero.

En mecanismos planos se debe cumplir:

0Fx =Σ (12.2)


50

0Fy =Σ (12.3)

0M z =Σ (12.4)

12.5 – DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

El diagrama de cuerpo libre es la esquematización de uno o varios eslabones representando todas las fuerzas que actúan en los eslabones considerados.

12.6 – FUERZAS DE RESTICCIÓN

Las fuerzas de restricción en los mecanismos aparecen en los pares de unión los diferentes eslabones y tienen la dirección de los movimientos que impide el par.

En los mecanismos planos los pares de unión de los eslabones más comunes son: el par giratorio, el eje motriz, el par prismático y el contacto directo.

En el par giratorio, como impide los desplazamientos y no impide el giro, las fuerzas de restricción serán “Fx” y “Fy”.

En eje motriz, como impide los desplazamientos y el giro, las fuerzas de restricción serán “Fx”, “Fy” y “Mz”.

El par prismático, si se desprecia el rozamiento, impide el movimiento en sentido perpendicular al desplazamiento del par y también impide el giro, por tanto la fuerza de restricción será perpendicular a la dirección de desplazamiento del par y un momento “Mz”.

En el contacto directo con deslizamiento o por rodadura, si se desprecia el rozamiento, la fuerza de restricción será perpendicular a la tangente en el punto de contacto.

12.7 – ELEMENTOS DE DOS Y TRES FUERZAS

En el elemento representado en la figura 12.1 sometido a dos fuerzas “FA” y “FB” se debe cumplir que la suma de fuerzas sea nula y la suma de momentos sea igualmente nula.

Mecánica II

51

En la figura 12.1 (a) la suma de fuerzas no es cero.

En la figura 12.1 (b) la suma de fuerzas es cero pero la suma de momentos no es nula, ya que las fuerzas forman un par.

Fig. 12.1 – Elemento sometido a dos fuerzas.

Para que en un elemento sometido a dos fuerzas la suma de fuerzas y suma de momentos sean nulas se debe cumplir que las fuerzas sean iguales en módulo, tengan la misma línea de acción y sentido contrario, tal como se observa en la figura 12.1 (c).

En el elemento representado en la figura 12.2 sometido a tres fuerzas “FA”, “FB” y “FC” se debe cumplir que la suma de fuerzas sea nula y la suma de momentos sea igualmente nula. En la figura 12.2 (a) la suma de fuerzas no es cero.

En la figura 12.2 (b) la suma de fuerzas es cero pero la suma de momentos no es nula, ya que si se toma momentos respecto del punto de corte de las fuerzas “FB” y “FC”, éste no será nulo, y al ser la suma de fuerzas nula quiere decir que el sistema de fuerzas es equivalente a un par.

Para que un elemento sometido a tres fuerzas esté en equilibrio estático se debe cumplir que la suma de fuerzas sea cero y que las tres fuerzas se corten en un punto, figura 12.2 (c). Si la suma de fuerzas es cero, puede existir un par, pero si las tres se cortan en punto, el momento respecto de ese punto será nulo, por tanto no existe un par ya que el momento de un par es igual respecto de cualquier punto del espacio.


52

Fig. 12.2 – Elemento sometido a tres fuerzas.

12.8 – ELEMENTOS DE CUATRO FUERZAS

Para resolver gráficamente el equilibrio estático de un elemento sometido a cuatro o más fuerzas, se debe reducir a un elemento de dos o tres fuerzas a base de sumar previamente algunas de las fuerzas a que está sometido.

12.9 – PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN

En los problemas de fuerzas estáticas, si desprecia el rozamiento, existe proporcionalidad entre las fuerzas aplicadas y las fuerzas de restricción, o sea son problemas lineales. En los problemas lineales, los efectos finales producidos por varias causas son iguales a la suma de los efectos producidos por cada una de causas. Así las fuerzas de restricción finales producidas por todas las fuerzas aplicadas serán la suma de las fuerzas de restricción producidas por cada una de las fuerzas aplicadas, figura 12.3.

Fig. 12.3 – Principio de superposición.

Mecánica II

53

CAPÍTULO 13 – FUERZAS DINÁMICAS

13.1 – INTRODUCCIÓN

Fuerzas dinámicas son las fuerzas debidas al término de masa por aceleración.

Los problemas de dinámica pueden ser de dos tipos:

- Dinámica directa, cuando se conocen las fuerzas y momentos aplicados y se debe determinar la cinemática del mecanismo. Este es un problema muy complejo que salvo en casos sencillos es de difícil resolución.

- Dinámica inversa, cuando se conoce la cinemática del mecanismo y se deben determinar las fuerzas y momentos a aplicar para lograrla.

13.2 – CENTROIDES Y CENTRO DE MASAS

13.2.1 – Centro de masas de una serie de partículas en el espacio

Fig. 13.1 – Centro de masas de una serie de partículas.

Si se tiene una serie de partículas en el espacio como la representada en la figura 13.1, las coordenadas del centro de masas se determinarán:

Capítulo 13 – Fuerzas dinámicas

54

4321

44332211

i

iiG mmmm

x·mx·mx·mx·m

m

x·mX

++++++

=Σ

Σ= (13.1)

4321

44332211

i

iiG mmmm

y·my·my·my·m

m

y·mY

++++++

=Σ

Σ= (13.2)

4321

44332211

i

iiG mmmm

z·mz·mz·mz·m

m

z·mZ

++++++

=Σ

Σ= (13.3)

Si las partículas estuviesen en un plano, por ejemplo el plano “XY”, bastaría con las coordenadas “XG” e “YG” para determinar la posición del centro de masas. Y si estuviesen alineadas, entonces bastaría con una sola coordenada.

13.2.2 – Centroides de figuras geométricas planas compuestas

Los centroides de figuras geométricas planas son importantes ya que sus posiciones coinciden con los centros de masas de cuerpos de espesor uniforme.

La posición de los centroides de superficies sencillas son conocidos o se pueden encontrar con facilidad en cualquier libro de texto de mecánica.

Para localizar el centroide de una superficie cualquiera, se debe descomponer ésta en superficies sencillas cuyas superficies y centroides sean conocidas como por ejemplo la superficie representada en la figura 13.2.

Fig. 13.2 – Centroide de una superficie compuesta.

Mecánica II

55

Las coordenadas del centroide del conjunto serán:

321

G3G2G1

i

GiG AAA

X·AX·AX·A

A

X·AX 321i

−+−+

=Σ

Σ= (13.4)

321

G3G2G1

i

GiG AAA

Y·AY·AY·A

A

Y·AY 321i

−+−+

=Σ

Σ= (13.5)

13.2.3 – Centroides de figuras geométricas planas limitadas por una función

Fig. 13.3 – Centroide de una superficie limitada por una función.

Si se tiene una figura geométrica plana limitada por una función como en la figura 13.3, para determinar la posición del centroide se pueden aplicar las ecuaciones siguientes:

∫=∫

∫=

ss

sG dA·x

A

1

dA

dA·xX (13.6)

∫=∫

∫=

ss

sG dA·y

A

1

dA

dA·yY (13.7)

13.2.4 – Centro de masas de un cuerpo limitado por una función

Si se tiene un cuerpo limitado por una función como el de la figura 13.4, para determinar la posición del centro de masas se pueden aplicar las ecuaciones siguientes:


56

∫=∫

∫=

vv

vG dm·x

m

1

dm

dm·xX (13.8)

∫=∫

∫=

vv

vG dm·y

m

1

dm

dm·yY (13.9)

∫=∫

∫=

vv

vG dm·z

m

1

dm

dm·zZ (13.10)

Fig. 13.4 – Centro de masas de un cuerpo limitado por una función.

Los centros de masas de cuerpos limitados por funciones sencillas normalmente se pueden encontrar en textos de mecánica.

13.2.5 – Centro de masas de un cuerpo compuesto

Si se tiene un cuerpo complejo se puede descomponer en cuerpos sencillos de los que se conozca su masa y su centro de masas. Cada cuerpo sencillo se puede tratar como una partícula cuya masa sea la correspondiente al cuerpo y que su posición sea el centro de masas del dicho cuerpo.

Las coordenadas del centro de masas del conjunto se pueden calcular con las ecuaciones siguientes:

Mecánica II

57

i

iGi

i

GiG x·m

m

1

m

x·mX Σ=

ΣΣ

= (13.11)

i

iGi

i

GiG y·m

m

1

m

y·mY Σ=

ΣΣ

= (13.12)

i

iGi

i

GiG z·m

m

1

m

z·mZ Σ=

ΣΣ

= (13.13)

13.3 – MOMENTOS DE INERCIA

13.3.1 – Momento de inercia de superficies

El momento segundo o momento de inercia de superficie, figura 13.5, es el resultado de las ecuaciones siguientes:

dAyIs

2X ∫= (13.14)

dAxIs

2Y ∫= (13.14)

Fig. 13.5 – Momento de inercia de una superficie.

El momento de inercia polar es el resultado de la ecuación siguiente:

YXs

22

s

2Z IIdA)yx(dArJ +=∫ +=∫= (13.14)


58

Radio de giro “K” es la distancia desde un eje a la que debería estar toda la superficie para que tuviese el mismo momento de inercia respecto de ese eje. En este caso el momento de inercia sería:

AKI 2= (13.15)

El radio de giro será:

A

IK = (13.16)

Para calcular el momento de inercia respecto de unos ejes cualesquiera se utiliza el teorema de Steiner que relaciona el momento de inercia respecto de unos ejes cualesquiera con el momento de inercia respecto de unos ejes que pasan por el centroide, figura 13.6.

Fig. 13.6 – Teorema de Steiner para superficies.

Las ecuaciones son las siguientes:

2xXX d·AII

G+= (13.17)

2yYY d·AII

G+= (13.18)

2zZZ d·AJJ

G+= (13.19)

13.3.2 – Momento de inercia de superficies complejas

El momento de inercia de una superficie compleja respecto de un eje es la suma de los momentos de inercia respecto de ese eje de las superficies elementales en las que se puede dividir la superficie compleja.

Mecánica II

59

Lo normal es conocer los momentos de inercia de las superficies elementales respecto de su centroide. En este caso se aplica el teorema de Steiner para calcularlo respecto del eje deseado.

13.3.3 – Momento de inercia de masas

En dinámica el que tiene utilidad es el momento de inercia de masas.

Para calcular el momento de inercia de una masa, figura 13.7, se aplican las ecuaciones siguientes:

∫ +=m

22X dm)zy(I (13.20)

∫ +=m

22Y dm)zx(I (13.21)

∫ +=m

22Z dm)yx(I (13.22)

Fig. 13.7 – Momento de inercia de masas.

Radio de giro “K” es la distancia desde un eje a la que debería estar toda la masa para que tuviese el mismo momento de inercia respecto de ese eje. En este caso el momento de inercia sería:

m·KI 2= (13.23)

Por tanto el radio de giro será:


60

m

IK = (13.24)

Para calcular el momento de inercia respecto de unos ejes cualesquiera se utiliza el teorema de Steiner que relaciona el momento de inercia respecto de unos ejes cualesquiera con el momento de inercia respecto de unos ejes que pasan por el centro de masas, figura 13.8.

Las ecuaciones son las siguientes:

)ZY·(mId·mII 2G

2GX

2xXX GG

++=+= (13.25)

)ZX·(mId·mII 2G

2GY

2yYY GG

++=+= (13.26)

)YX·(mId·mII 2G

2GZ

2zZZ GG

++=+= (13.27)

Fig. 13.8 – Teorema de Steiner para masas.

13.3.4 – Momento de inercia de masas complejas

El momento de inercia de una masa compleja respecto de un eje es la suma de los momentos de inercia respecto de ese eje de las masas elementales en las que se puede dividir la masa compleja.

Lo normal es conocer los momentos de inercia de las masas elementales respecto de su centro de masas. En este caso se aplica el teorema de Steiner para calcularlo respecto del eje deseado.

Mecánica II

61

13.3.5 – Sentido físico del momento de inercia de masas

Si se tiene una masa puntual como la figura 13.9 unida a un eje en reposo con una aceleración angular “ α ”, esta masa tendrá una aceleración

r·A α= (13.28)

Para conseguir esta aceleración habrá que aplicarle una fuerza

r··mA·mF α== (13.29)

Si en lugar de aplicarle la fuerza directamente a la masa se desea aplicar un momento al eje, este momento será:

α=α== ·I·r·mr·FM 2 (13.30)

Fig. 13.9 – Sentido físico del momento de inercia de masas.

En la ecuación 13.30 se aprecia que el momento de inercia representa la oposición a ser acelerada angularmente una masa unida a un eje.

13.4 – CÁLCULO DE FUERZAS

En este capítulo se estudiarán mecanismos planos, por lo tanto las fuerzas estarán contenidas en el plano del movimiento.

En este apartado se va a realizar un análisis dinámico inverso, es decir se supone conocida la cinemática del mecanismo, aceleraciones de los centros de gravedad y aceleraciones angulares de todos los eslabones y se debe determinar las fuerzas y momentos a aplicar para que se produzcan las aceleraciones previstas. También se determinarán las fuerzas de restricción que aparecerán en los pares de unión de los eslabones.

Suponiendo un eslabón como el representado en la figura 13.10 del que se conoce la aceleración de su centro de gravedad y su aceleración angular, para


62

que se cumplan las leyes de la dinámica, habrá que aplicarle una serie de fuerzas cuya resultante será:

G·m ARrr

= (13.31)

La resultante “Rr

” tiene la misma dirección y sentido que la aceleración del centro de gravedad, por tanto sus líneas de acción son paralelas.

Fig. 13.10 – Dinámica inversa de un eslabón.

Y como el momento de las fuerzas respecto al centro de gravedad “G” debe ser igual al momento de inercia respecto del eje “Z” que pasa por “G” por

la aceleración angular, se cumplirá que la línea de acción de la resultante “Rr

” estará desplazada del centro de gravedad una distancia

R

·Ih G α

= (13.32)

La fuerza “Rr

” será la resultante de las fuerzas que le realicen los otros eslabones a través de los pares de unión.

13.5 – PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN

En los problemas de dinámica inversa se cumplen que las fuerzas y momentos que se deben aplicar a un mecanismo para que tenga una determinada cinemática son iguales a las sumas de fuerzas y de momentos que se deben aplicar para todos los casos, suponiendo que en cada caso solamente tenga masa un eslabón.

El principio de superposición se ilustra en la figura 13.11

Mecánica II

63

Fig. 13.11 – Principio de superposición.

13.7 – ROTACIÓN EN TORNO A UN PUNTO FIJO

El eslabón de la figura 13.12 que gira alrededor de un punto “O” con una velocidad angular “ ω ” y que tiene una aceleración angular “ α ”, tendrá una

aceleración del centro de gravedad “ GAr

” que se puede descomponer una aceleración normal y una tangencial cuyos valores serán:

G2n

G r·A ω= (13.33)

GtG r·A α= (13.34)

Fig. 13.12 – Eslabón girando alrededor de un punto fijo.

Para conseguir la aceleración del centro de gravedad “ GAr

” se deberá

aplicar un sistema de fuerzas cuya resultante sea “Rr

” que también se podrá descomponer en una componente normal y una tangencial, cuyos valores serán:

G2n

Gn r··mA·mR ω== (13.35)


64

GtG

t r··mA·mR α== (13.36)

Como la componente normal “ nR ” no produce momento respecto de “G” se cumplirá

α=== ·Id·Rh·RM Gt

G (13.37)

Si el eslabón se mueve debido a un par introducido por el eje de giro, el valor de ese par será:

α=α+=α+α=+== O2GGGGGG

tO I)mrI(Irmr)dr(R´RdM (13.37)

Según la ecuación 13.37, el par a aplicar en el eje “O” será el momento de inercia del eslabón respecto de ese punto por la aceleración angular del eslabón.

La justificación del momento a aplicar en el eje que pasa por “O” puede apreciarse en la figura 13.13 sustituyendo una fuerza por otra fuerza desplazada y un par cuyo valor será la fuerza por la distancia desplazada.

Fig. 13.13 – Sustitución de una fuerza por una fuerza y un par.

13.8 – CASOS DE ESLABONES ESPECIALES

13.8.1 – Eslabón de salida en un cuadrilátero articulado

Si se tiene un cuadrilátero articulado en el que el centro de gravedad del eslabón de salida, eslabón “4”, coincide con su centro de giro, figura 13.14,

Mecánica II

65

resultará que la aceleración del centro de gravedad de dicho eslabón será nula, por lo que la suma de fuerzas que actúen sobre dicho eslabón deberá ser nula también.

Fig. 13.14 – Eslabón de salida con el centro de gravedad y punto de giro coincidentes.

Al estudiar el caso de superposición en el que solamente tenga masa el eslabón “4”, la fuerza “F34” tendrá la dirección del eslabón “3”. La fuerza aplicada por el eslabón “1”, “F14”, deberá ser paralela, del mismo módulo y sentido contrario a “F34”. El módulo de estas fuerzas será:

h

·IFF

4G3414

4α

== (13.38)

Las fuerzas “F34” y “F14” deberán tener el sentido apropiado para que sean un par en el mismo sentido que el de “ 4α ”.

13.8.1 – Eslabón de entrada en un cuadrilátero articulado

Al estudiar el caso de superposición en el que solamente tenga masa el eslabón de entrada, eslabón “2”, resultará que las fuerzas y pares necesarios para acelerar dicho eslabón se les deberá aplicar el eslabón “1”.

Se pueden dar cuatro casos:

- 1º - G2 = O2 y 2α = 0

- 2º - G2 = O2 y 2α ≠ 0

- 3º - G2 ≠ O2 y 2α = 0


66

- 4º - G2 ≠ O2 y 2α ≠ 0

En el primer caso, al ser la aceleración del centro de gravedad del eslabón nula y la aceleración angular también nula, no se necesita fuerza ni par alguno para que el eslabón permanezca indefinidamente con el movimiento que tenga.

En el segundo caso, la fuerza a aplicar al eslabón será nula pero se le deberá aplicar un par desde el eslabón “1”

2G12 ·I2αMrr

= (13.39)

En el tercer caso, figura 13.15, al ser la aceleración angular nula, el centro de gravedad tendrá una aceleración normal hacia el punto de giro del eslabón.

Fig. 13.15 – Eslabón de entrada con velocidad angular constante.

La fuerza a aplicar por el eslabón “1” en el punto “O2” tendrá la dirección y sentido de “G2” hacia “O2” y su valor será:

2G212 ·m AFrr

= (13.40)

El cuarto caso, figura 13.16, el centro de gravedad del eslabón de

entrada, eslabón “2”, tendrá una aceleración “2GA

r

”. Para conseguir esta

aceleración habrá que aplicarle un sistema de fuerzas cuya resultante sea

2G22 ·m ARrr

= (13.41)

Mecánica II

67

Aplicada de forma que el momento de “ 2Rr

” respecto del centro de gravedad del eslabón tenga el mismo sentido que la aceleración angular de dicho eslabón. El valor del descentramiento será:

2

2G

R

·Ih 2

α= (13.42)

Fig. 13.16 – Eslabón de entrada con aceleración angular.

En el caso de superposición en el que se considera que solamente tiene masa el eslabón “2”, a dicho eslabón solamente se le pueden aplicar fuerzas

desde el eslabón “1”, por tanto la resultante “ 2Rr

” se debe sustituir por una

fuerza “ 12Fr

”, del mismo módulo, dirección y sentido que “ 2Rr

” aplicada en

“O2” y un momento “M12” que será el momento de “ 2Rr

” respecto del punto “O2” cuyo valor será:

d·RM 212 = (13.43)

La resolución de este caso también se puede plantear como que se debe aplicar una fuerza en el punto “O2”

2G212 ·m AFrr

= (13.44)

Y un momento

2O12 ·I2αMrv

= (13.45)


68

13.9 – CASO SENCILLO DE DINÁMICA DIRECTA

Los problemas de dinámica directa, en los que se conocen las fuerzas o pares aplicados y se debe determinar la cinemática del mecanismo, suelen ser bastante complejos de resolución. No obstante, hay algunos casos sencillos, por ejemplo cuando se trata de mecanismos formados por ejes y poleas o ruedas dentadas en los que los centros de gravedad se encuentran en los ejes geométricos de los ejes, figura 13.17.

Fig. 13.17 – Mecanismo formado por ejes y poleas o ruedas dentadas.

En una cadena cinemática como la de la figura 13.17 se pueden reducir todos los ejes al eje del motor.

Llamando “Mi/j” al par a aplicar en el eje “i” para acelerar angularmente al eje “j”, se tendrá:

111/1 ·IM α= (13.46)

222/2 ·IM α= (13.47)

333/3 ·IM α= (13.48)

444/4 ·IM α= (13.49)

Como en este ejemplo el par motor esta aplicado en eje “1”, teniendo en cuenta que si se desprecia el rozamiento se conserva la potencia, resultará:

1/2221/22/21

22/22/1 i··Ii·M·MM α==

ωω

= (13.50)

1/3331/33/31

33/33/1 i··Ii·M·MM α==

ωω

= (13.51)

Mecánica II

69

1/4441/44/41

44/44/1 i··Ii·M·MM α==

ωω

= (13.52)

Siendo:

1

21/2i

ωω

= la relación de transmisión entre el eje “2” y el eje “1”

1

31/3i ω

ω= la relación de transmisión entre el eje “3” y el eje “1”

1

41/4i

ωω

= la relación de transmisión entre el eje “4” y el eje “1”

En la figura 13.18 se aprecia que la velocidad del punto “C”, centro instantáneo de rotación relativo a las dos ruedas, es la misma para las dos ruedas, por tanto se cumple:

3322C R·R·V ω=ω= (13.53)

3

2

2

32/3 R

Ri =

ωω

= (13.54)

Fig. 13.18 – Relación entre velocidades angulares y aceleraciones angulares.

Teniendo en cuenta que la aceleración relativa entre los puntos en contacto en una rodadura tiene la dirección de la recta de unión de centros, resulta que las aceleraciones tangenciales de los dos puntos en contacto es la misma y de valor:

3322tC

tC R·R·AA

32α=α== (13.55)


70

La relación entre las velocidades angulares de las ruedas será:

2

32/3

3

2

2

3 iR

R

ωω

===αα

(13.56)

Teniendo en cuenta la relación entre las aceleraciones angulares, las ecuaciones 13.50, 13.51 y 13.52 se podrán escribir:

12

1/221/2221/22/21

22/22/1 ·i·Ii··Ii·M·MM α=α==

ωω

= (13.57)

12

1/331/3331/33/31

33/33/1 ·i·Ii··Ii·M·MM α=α==

ωω

= (13.58)

12

1/441/4441/44/41

44/44/1 ·i·Ii··Ii·M·MM α=α==

ωω

= (13.52)

El par a aplicar en el eje “1” será la suma de los pares en dicho eje para acelerarse el mismo y acelerar a los ejes “2”, “3” y “4”.

12

1/442

1/332

1/221

4/13/12/11/1

)·i·Ii·Ii·II(

MMMMM

α+++=

=+++= (13.53)

De la ecuación 13.53 se desprende que el conjunto de ejes se puede sustituir, por ejemplo, por un volante colocado en el eje del motor y cuyo momento de inercia sea la suma del momento de inercia del eje del motor más los momentos de inercia de los otros ejes multiplicados por la correspondiente relación de transmisión con el eje motor al cuadrado.

Incluso en un automóvil como el de la figura 13.19, se puede reducir la masa del automóvil a un momento de inercia colocado en el eje del motor.

Fig. 13.19 – Reducción de la masa del automóvil a un momento de inercia.

Mecánica II

71

Si la cadena cinemática desde el motor a las ruedas experimenta una aceleración, el automóvil adquirirá una aceleración lineal que será la aceleración angular de las ruedas por el radio de las ruedas

11/RRRRG ·i·RR·A α=α= (13.54)

Para conseguir dicha aceleración, la pista efectuará sobre la periferia de las ruedas una fuerza

GC A·mF = (13.55)

Para conseguir esta fuerza, el eje de las ruedas deberá aplicar un par

11/R2RCRR/R ·i·R·mR·FM α== (13.56)

Finalmente el par que deberá aplicar el motor en su eje para acelerar la masa del automóvil será;

12

1/R2RC1/RRR/1 ·i·R·mi·R·FM α== (13.56)

De la ecuación 13.56 se desprende que la masa del coche se puede

sustituir por un volante cuyo momento de inercia sea “ 21/R

2RC i·R·m ” colocado

en el eje del motor.

13.10 – FUERZAS DE SACUDIMIENTO

En el análisis de fuerzas estáticas, la suma de fuerzas y la suma de momentos que actúan sobre cualquier eslabón deben ser cero. En particular la suma de fuerzas y la suma de momentos que actúan sobre el eslabón fijo son nulas.

En dinámica no ocurre lo mismo, la suma de fuerzas que actúan sobre un eslabón deben ser igual al producto de su masa por la aceleración de su centro de gravedad.

La suma de fuerzas que realiza el eslabón fijo sobre el resto de eslabones será:

iGii1 ·m AFrr

Σ=Σ (13.57)


72

Por el principio de acción y reacción, los eslabones móviles realizarán sobre el eslabón fijo una serie de fuerzas cuya suma será:

iGi1i ·m AFrr

Σ−=Σ (13.58)

A la suma de fuerzas que realizan los eslabones móviles sobre el eslabón fijo se le llama fuerza de sacudimiento y es una fuerza que tiende a hacer vibrar al chasis de la máquina donde está acoplado el mecanismo y que por lo tanto interesa minimizarla.

Mecánica II

73

CAPÍTULO 6 - SÍNTESIS DE LEVAS

6.1 - INTRODUCCIÓN

Las levas son unos mecanismos compuestos generalmente por un eslabón impulsor llamado "leva" y otro eslabón de salida llamado "seguidor" entre los que se transmite el movimiento por contacto directo.

Son mecanismos sencillos, poco costosos, tienen pocas piezas móviles y ocupan espacios reducidos. Además su principal ventaja reside en que se pueden diseñar de forma que se obtenga casi cualquier movimiento deseado del seguidor.

6.2 - CLASIFICACIÓN DE LAS LEVAS

Los mecanismos de leva se pueden clasificar teniendo en cuenta como son la "leva" y el "seguidor".

Teniendo en cuenta la leva, (Fig. 6-1):

a) Leva de placa, llamada también de disco o radial.

b) Leva de cuña.

c) Leva cilíndrica o de tambor.

d) Leva lateral o de cara.

Teniendo en cuenta el seguidor, (Fig. 6-2):

a) Seguidor de cuña.

b) Seguidor de cara plana.

c) Seguidor de rodillo.

d) Seguidor de cara esférica o zapata curva.

Otra clasificación de las levas se puede hacer teniendo en cuenta el movimiento del seguidor, pudiendo ser éste rectilíneo alternativo (traslación) u

Capítulo 6 – Levas

74

oscilante (rotación). Teniendo en cuenta la posición relativa entre el seguidor y la leva, pueden ser de seguidor centrado, cuando el eje del seguidor pasa por el centro de la leva o de seguidor descentrado.

Fig. 6-1 Tipos de levas: a) de placa, b) de cuña, c) de tambor y d) de cara.

Fig. 6-2 Tipos de seguidor: a) de cuña, b) de cara plana, c) de rodillo y d) de zapata.

Mecánica II

75

El tipo de leva más común es el formado por una leva de placa y un seguidor de rodillo con movimiento rectilíneo alternativo.

6.3 - DIAGRAMA DE DESPLAZAMIENTO

El diagrama de desplazamiento "y = f (θ)" (Fig. 6-3) representa, en el caso más general, la posición del seguidor respecto de la posición de la leva. Por ejemplo en una leva de placa con seguidor de movimiento rectilíneo alternativo, representaría la posición del seguidor respecto del ángulo girado por la leva, pero en otros casos, tanto "y" como "θ", pueden ser desplazamientos lineales o angulares.

Fig. 6-3 Diagrama de desplazamiento.

Un movimiento muy típico a conseguir por medio de un mecanismo de leva es el movimiento uniforme en el cual la velocidad del seguidor será constante siempre que sea constante la velocidad de la leva, (quizás sería mejor llamarlo movimiento proporcional). Este tipo de movimiento queda reflejado en el diagrama de desplazamiento por medio de un segmento rectilíneo.

Fig. 6-4 Desplazamientos, velocidades y aceleraciones del seguidor


76

Si se tuviese una leva con la que se pretende, por ejemplo, realizar: una subida con movimiento uniforme, una detención y finalmente un retorno, y no se tomase ningún tipo de precaución resultaría que podrían aparecer aceleraciones del seguidor tendiendo a infinito, tal como se ve en la figura 6-4.

Si la aceleración del seguidor tiende a infinito, también lo harán las fuerzas de inercia, con lo que llegarían a romperse las piezas que componen la leva. Como esto es inadmisible, se debe prever un diagrama de desplazamiento que no produzca discontinuidades en el diagrama de velocidades.

Para suavizar el inicio o final de un movimiento uniforme se suele utilizar una rama de parábola, consiguiendo que las pendientes de los tramos de parábola coincidan con la pendiente del movimiento uniforme. (Fig. 6-5).

Fig. 6-5 Tramos de parábola. a) Unión de movimiento uniforme y b) dibujo del tramo.

Cuando se desea realizar un desplazamiento del seguidor de subida y bajada sin detenciones, un movimiento muy adecuado es el armónico (Fig. 6-6), ya que este tipo de movimiento tiene velocidades y aceleraciones que son funciones continuas.

Fig. 6-6 Diagrama de desplazamiento con movimiento armónico

Mecánica II

77

Si se desea que el seguidor realice unos desplazamientos de subida y bajada entre detenciones, un movimiento adecuado es el cicloidal (Fig. 6-7), puesto que este movimiento tiene aceleraciones nulas al inicio y al final, correspondiéndose con las aceleraciones nulas de las detenciones.

Fig. 6-7 Diagrama de desplazamiento con movimiento cicloidal

Cuando se precisen otros tipos de movimientos se ajustarán por medio de curvas estándar, que se verán más adelante.

6.4 - DERIVADAS DEL DIAGRAMA DE DESPLAZAMIENTO

En una leva de placa con seguidor de movimiento rectilíneo alternativo, que es la más común, el diagrama de desplazamiento, ecuación (6-1), representa la posición del seguidor en función del ángulo girado por la leva.

y = f(θ) (6-1)

El diagrama de desplazamiento (6-1) se puede derivar respecto de "θ" y respecto de "t".

Derivando (6-1) respecto de "θ" se tendrá:

y' = θd

dy (6-2)

y" = θd

yd2

2

(6-3)


78

Estas derivadas dependen solamente del perfil de la leva y son independientes de la velocidad de giro de la leva. La primera derivada (y') representa la pendiente del diagrama de desplazamiento y sus unidades serían, por ejemplo, milímetros / radian. La (y") representa la pendiente de la (y') y sus unidades serían, por ejemplo, milímetros / radián2.

Derivando (6-1) respecto de "t" se tendrá:

dt

dyyV == & (6-4)

dt

ydyA2

2

== && (6-5)

Las derivadas primera y segunda del diagrama de desplazamiento respecto de "t" representan la velocidad y aceleración del seguidor respectivamente.

Entre las derivadas de (6-1) respecto de "θ" y respecto de "t" existen las siguientes relaciones:

dt

dyyV == & = 'y·

dt

d·

d

dy ω=θθ

(6-6)

dt

ydyA2

2

== && = =θθ

+θ

θ=

θθ

=dt

d·d

dy

dt

d·

d

dy

dt

d

dt

d·

d

dy

dt

d

dt

dv2

2

= 'y·"y·dt

d·d

dy

dt

d·

dt

d·

d

dy

d

d 22

2

α+ω=θθ

+θθ

θθ (6-7)

Si la leva girase con velocidad constante, movimiento que es muy común en las máquinas, la aceleración sería:

A = ω2·y" (6-8)

6.5 - MOVIMIENTOS ESTÁNDAR DE LAS LEVAS

Para conseguir cualquier tipo de movimiento en el seguidor, no siempre resultará suficiente con los movimientos que se han visto en el apartado anterior, por ello, hay toda una serie de curvas estándar por medio de las cuales

Mecánica II

79

resultará más sencillo enlazar los movimientos deseados de forma que resulten funciones continuas tanto el diagrama de desplazamiento como sus dos primeras derivadas.

Este tipo de curvas están basados en curvas armónicas y cicloidales y son las que se acompañan a continuación, primero las de subida completa.

Fig. 6-9 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento armónico simple de subida completa, ecuación (6-9).

Fig. 6-10 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento cicloidal de subida completa, ecuación (6-10).

Fig. 6-11 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento armónico modificado de subida completa, ecuación (6-11).


80

A continuación las tres curvas estándar de retorno completo.

Fig. 6-12 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento armónico simple de retorno completo, ecuación (6-12).

Fig. 6-13 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento cicloidal de retorno completo, ecuación (6-13).

Fig. 6-14 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento armónico modificado de retorno completo, ecuación (6-14).

Cuando no se tiene que realizar una subida o bajada completa, por ejemplo desde una detención hasta un tramo de movimiento uniforme, se utilizan trozos de movimiento armónico o cicloidal, tanto de subida como de bajada y son los que se exponen a continuación.

Mecánica II

81

Fig. 6-15 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento semiarmónico de subida, parte baja, ecuación (6-15).

Fig. 6-16 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento semiarmónico de subida, parte alta, ecuación (6-16).

Fig. 6-17 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento semiarmónico de retorno, parte alta, ecuación (6-17).

Fig. 6-18 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento semiarmónico de retorno, parte baja, ecuación (6-18).


82

Fig. 6-19 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento semicicloidal de subida, parte baja, ecuación (6-19).

Fig. 6-20 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento semicicloidal de subida, parte alta, ecuación (6-20).

Fig. 6-21 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento semicicloidal de bajada, parte alta, ecuación (6-21).

Fig. 6-22 Diagrama de desplazamiento y derivadas para el movimiento semicicloidal de bajada, parte baja, ecuación (6-22).

Mecánica II

83

Una vez escogidos los movimientos estándar más apropiados para cada tramo, se debe intentar conseguir que tanto el diagrama de desplazamiento como las velocidades y aceleraciones sean funciones continuas, para conseguirlo se pueden variar la elevación y la amplitud de los movimientos estándar.

La continuidad es imprescindible en los diagramas de desplazamiento y de velocidades cuando son levas que giran a gran velocidad, aunque es recomendable siempre.

6.6 - DISEÑO GRÁFICO DE PERFILES DE LEVAS

Una vez establecido como debe ser el diagrama de desplazamiento, se debe dibujar el perfil de la leva que haga que se cumpla el diagrama previsto. El perfil de la leva será diferente en función del seguidor sobre el que actúe.

Para dibujar el perfil de la leva se inicia dibujando el seguidor en la posición correspondiente al punto "0" del diagrama de desplazamiento. Se realiza una inversión cinemática haciendo girar el seguidor en sentido contrario al del giro de la leva y dibujándolo en varias posiciones de acuerdo con el diagrama de desplazamiento. El perfil de la leva será la curva envuelta por las diferentes posiciones que alcance el seguidor.

Cuanto en mayor número de posiciones se dibuje el seguidor, mayor será la precisión del perfil de la leva.

Fig. 6-23 Diseño del perfil de una leva con seguidor de rodillo centrado. Superficie de la

leva desarrollada manteniéndola estacionaria y haciendo girar al seguidor en sentido contrario al del giro de la leva.


84

Fig. 6-24 Trazado del perfil de una leva de placa con seguidor de rodillo descentrado

Fig. 6-25 Trazado del perfil de una leva de placa con seguidor de cara plana

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Fig. 6-26 Trazado del perfil de una leva de placa con seguidor de rodillo oscilante

6.7 - FUERZAS EN LEVAS

En las levas se pueden considerar dos tipos de fuerzas:

- Estáticas, debidas a las fuerzas exteriores que actúan sobre el seguidor y a la fuerza del muelle.

- Dinámicas, debidas a la masa del seguidor.

Si no se toma ningún tipo de precaución, la fuerza entre el seguidor y la leva debe ser positiva, ya que sino se perdería el contacto entre ellos dejando de ser un mecanismo.

En la figura 6-27 pueden verse las fuerzas estáticas en una leva de placa y seguidor de rodillo que es una de las levas más comunes.

En la figura 6-28 se pueden observar las fuerzas dinámicas cuando la aceleración del seguidor es positiva.

Finalmente, en la figura 6-29 se muestran las fuerzas dinámicas cuando la aceleración del seguidor es negativa.


86

Fig. 6-27 Fuerzas estáticas en una leva de placa y seguidor de rodillo

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Fig. 6-28 Fuerzas dinámicas en una leva de placa y seguidor de rodillo siendo la

aceleración del seguidor positiva


88

Fig. 6-29 Fuerzas dinámicas en una leva de placa y seguidor de rodillo siendo la aceleración del seguidor negativa

Mecánica II

89

CAPÍTULO 7 - SÍNTESIS DE ENGRANAJES

7.1 - INTRODUCCIÓN

Para transmitir movimiento entre dos ejes el mecanismo más sencillo es el formado por poleas de fricción. Estas poleas transmiten el movimiento por medio de la rodadura de una con otra.

Para transmitir una determinada potencia por medio de rodadura debe aparecer una fuerza tangencial a las poleas de fricción en el punto de contacto y para conseguir una fuerza tangencial, que será una fuerza de rozamiento, será necesaria una fuerza normal.

Teniendo en cuenta que el coeficiente de rozamiento en unas poleas de fricción puede ser en algunos casos un valor tan bajo como 0.1, resulta que la fuerza normal deberá ser 10 veces superior a la fuerza tangencial necesaria.

Además con las poleas de fricción puede existir deslizamiento, con lo que la relación de transmisión no será exacta.

Para evitar estos problemas se utilizan los engranajes en los que se produce una transmisión de movimiento por contacto directo con deslizamiento, similar al de las levas. El diente de rueda dentada motora se puede considerar la leva y el diente de la rueda conducida el seguidor, lo que ocurre en los engranajes es que los dientes van entrando en contacto de forma sucesiva.

7.2 - CLASIFICACIÓN DE LOS ENGRANAJES

Los engranajes se pueden clasificar en función de la posición relativa de los ejes entre los que se transmite el movimiento, clasificándose en los tipos siguientes:

- Engranajes cilíndricos, cuando transmiten el movimiento entre ejes paralelos.

- Engranajes cónicos, transmiten el movimiento entre ejes que se cortan.

- Engranajes hiperbólicos, transmiten el movimiento entre ejes que se cruzan.

Capítulo 7 – Engranajes

90

El nombre lo reciben de la forma geométrica de los axoides relativos a las ruedas dentadas que forman el engranaje. En los cilíndricos los axoides son cilindros, en los cónicos son conos y en los hiperbólicos, los axoides son hiperboloides de revolución.

7.2.1 - Engranajes cilíndricos

Los engranajes cilíndricos pueden ser:

- Exteriores, cuando las dos ruedas tienen dentado exterior (Fig. 7-1).

- Interiores, cuando la rueda mayor tiene dentado interior (Fig. 7-2).

Fig. 7-1 Engranaje cilíndrico exterior

Fig. 7-2 Engranaje cilíndrico interior

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91

Otra clasificación de los engranajes cilíndricos, teniendo en cuenta la forma del diente, es la siguiente:

- Rectos, cuando los dientes son paralelos a las generatrices de los cilindros axoides (Fig. 7-3).

- Helicoidales, cuando los dientes forman una hélice sobre el cilindro axoide. En este tipo de engranajes, el valor del ángulo de la hélice sobre el cilindro axoide debe ser el mismo en las dos ruedas, pero en una a derechas y otra a izquierdas (Fig. 7-4).

Fig. 7-3 Rueda dentada cilíndrica recta

Fig. 7-4 Rueda dentada cilíndrica helicoidal


92

7.2.2 - Engranajes cónicos

En los engranajes cónicos, el ángulo formado por los ejes puede ser:

- Menor de 90º (Fig. 7-5).

- Igual a 90º (Fig. 7-6).

- Mayor de 90º, siendo el axoide de la rueda mayor un plano (Fig. 7-7).

- Mayor de 90º, con el axoide de la rueda mayor un cono interior (Fig. 7-8).

Fig. 7-5 Engranaje cónico con ángulo entre ejes menor de 90º

Fig. 7-6 Engranaje cónico con ángulo entre ejes igual a 90º

Mecánica II

93

Fig. 7-7 Engranaje cónico con ángulo entre ejes mayor de 90º y rueda grande plana

Fig. 7-8 Engranaje cónico con ángulo entre ejes mayor de 90º y rueda grande cónica

interior

De la clasificación de los engranajes cónicos se aprecia que éstos pueden abarcar toda la gama de ángulos entre ejes desde 0º hasta 180º, es decir, desde los engranajes cilíndricos exteriores hasta los cilíndricos interiores. Por lo tanto, los engranajes cilíndricos exteriores e interiores se pueden considerar los extremos de la gama posible de engranajes cónicos.


94

7.2.3 - Engranajes hiperbólicos

Los engranajes hiperbólicos más comunes son:

- Ruedas cilíndricas helicoidales montadas sobre ejes que se cruzan. En este caso, los ángulos de las hélices sobre los cilindros axoides pueden tomar cualquier valor e incluso pueden tener el mismo valor pero ser los dos a derechas o los dos a izquierdas (Fig. 7-9).

Fig. 7-9 Engranaje helicoidal entre ejes que se cruzan

- Cuando una de las dos ruedas del párrafo anterior tiene pocos dientes (1, 2, 3 ó 4) se les llama tornillo sinfín y corona por la similitud de apariencia de la rueda de pocos dientes con un tornillo (Fig. 7-10).

Fig. 7-10 Tornillo sinfín y corona

Mecánica II

95

- Engranajes hipoides, tienen la apariencia de ruedas cónicas, pero como sus ejes no se cortan, realmente son hiperbólicos (Fig. 7-11).

Fig. 7-11 Engranaje hipoide

7.2.3.1 - Engranajes tornillo sinfín y corona

Los engranajes de tornillo sinfín y corona, atendiendo a la forma del tornillo y de la corona se pueden clasificar como:

- Tornillo sinfín y corona cilíndricos (Fig. 7-10).

- Tornillo sinfín cilíndrico y corona glóbica (Fig. 7-12).

Fig. 7-12 Tornillo sinfín cilíndrico y corona glóbica


96

- Tornillo sinfín glóbico y corona cilíndrica (Fig. 7-13).

- Tornillo sinfín y corona glóbicos (Fig. 7-14).

Fig. 7-13 Tornillo sinfín glóbico y corona cilíndrica

Fig. 7-14 Tornillo sinfín glóbico y corona glóbica

Mecánica II

97

7.3 - TEORÍA DE ENGRANE

7.3.1 - Engranajes cilíndricos rectos exteriores

Para estudiar la teoría de engrane, lo más sencillo es realizarla sobre los engranajes rectos exteriores, ya que al tener los dientes paralelos a las generatrices de los cilindros axoides, se pueden estudiar en el plano.

La transmisión de movimiento en un engranaje recto se realiza por medio de contacto directo con deslizamiento entre los dientes de las dos ruedas que forman el engranaje. Esta transmisión, si las ruedas están bien diseñadas, es equivalente a una rodadura sin deslizamiento entre dos poleas de fricción cuyos cilindros de rodadura coincidan con los cilindros axoides (Fig. 7-15).

Fig. 7-15 Axoides en un engranaje cilíndrico exterior

Como la velocidad del centro instantáneo de rotación "I" debe ser la misma para las dos ruedas se cumplirá la ecuación (7-1).

2211 r·r· ω=ω (7-1)

De aquí se obtiene que la relación de transmisión será

2

1

1

2

r

r=

ωω

=µ (7-2)


98

Si se conoce la distancia entre centros de las ruedas "a" y la relación de transmisión " µ ", como la distancia entre centros debe ser igual a la suma de los radios de los axoides o radios primitivos, se cumplirá:

a = r1 + r2 (7-3)

a·1

r1 +µµ= (7-4)

a·1

1r2 +µ

= (7-5)

7.3.2 - Ley de engrane

La ley de engrane o condición de engrane dice que la relación de transmisión de un engranaje debe ser constante.

Suponiendo que la velocidad angular de una rueda dentada de un engranaje sea constante, para conseguir que la velocidad angular de la otra rueda sea constante y no aparezcan aceleraciones angulares que produzcan vibraciones, se debe conseguir en todo momento que la relación de transmisión sea constante. Es decir que se cumpla la ley de engrane.

En la ecuación (7-2) se observa que para que la relación de transmisión sea constante se deben mantener constantes los radios primitivos de las ruedas dentadas. Los axoides deben ser circunferencias.

Para que los radios primitivos se mantengan constantes, el centro instantáneo de rotación relativo a las dos ruedas, punto "I", se debe mantener fijo (Fig. 7-16).

Según el teorema de los tres centros, si se tiene tres eslabones "0", "1" y "2", los centros relativos entre ellos están en línea recta, por lo tanto, el centro instantáneo "I" debe estar en la recta de unión de los centros de las ruedas. Por otro lado, cuando se tiene una transmisión de movimiento por contacto directo con deslizamiento, el centro instantáneo relativo a esos eslabones se encuentra en la perpendicular a la tangente común a las dos superficies en el punto de contacto.

Del párrafo anterior se desprende que cuando la perpendicular trazada en todo momento a la tangente de los perfiles de los dientes en el punto de

Mecánica II

99

contacto corta a la recta de unión de centros en un punto fijo, se cumple la ley de engrane.

Fig. 7-16 Ley de engrane, I debe ser fijo

A los perfiles que cumplen la ley de engrane se les llama perfiles conjugados.

7.3.3 - Tamaño del diente: Paso y módulo

El paso se define como la distancia entre flancos homólogos de dientes consecutivos medida sobre la circunferencia primitiva o axoide, por lo tanto su valor será:

p = z

d·

z

r·2 π=π (7-6)

Siendo "r" y "d" el radio y diámetro de la circunferencia primitiva respectivamente y "z" el número de dientes.


100

Con el fin de no manejar continuamente el número " π " se define el módulo como:

m = πp

= z

r2 =

z

d (7-7)

Para que dos ruedas dentadas puedan engranar correctamente además de cumplir la ley de engrane deben tener el mismo paso, o lo que es equivalente, el mismo módulo, por lo tanto se cumplirá:

m = 2

2

1

1

2

2

1

1

z

d

z

d

z

r2

z

r2=== (7-8)

Y la relación de transmisión será:

2

1

2

1

2

1

1

2

d

d

z

z

r

r===

ωω

=µ (7-9)

Con el fin de reducir el número de herramientas de tallado de ruedas dentadas se han normalizado los módulos según se puede ver en la tabla (7-1), aunque se pueden encontrar ruedas dentadas con módulos no normalizados.

MÓDULOS NORMALES (mm)

(0.875) 1 (1.125) 1.25 (1.375) 1.5 (1.75) 2 (2.25) 2.5 (2.75) 3 (3.5) 4 (4.5) 5 (5.5) 6 (7) 8 (9) 10 (11) 12 Evitar los números entre paréntesis. Los números mayores o menores se obtienen multiplicando o dividiendo los de la tabla por 2, 4, 8, 16, etc...

Tabla 7-1 Módulos normalizados

Mecánica II

101

Aunque los piases que utilizaban medidas inglesas van adoptando el sistema internacional de medidas, todavía se puede encontrar ruedas dentadas en las que el tamaño del diente viene determinado por el "Paso Diametral" o "Diametral Pitch" (Pd) que representa el número de dientes dividido por el diámetro primitivo expresado en pulgadas. No confundir el paso diametral (Pd) con el paso entre dientes (p)

Pd = ( )adaslgpuend

z (7-10)

Su relación con el módulo será:

m = dd P

4.25

P

adalgpu1= (7-11)

Evitar los números entre paréntesis

Tabla 7-2 Pasos Diametrales normalizados


102

En la tabla 7-2 se exponen pasos diametrales normalizados y su equivalencia aproximada con el módulo correspondiente.

7.3.4 - Línea de engrane

La línea de engrane está formada por los diferentes puntos que va ocupando el punto de contacto entre los dientes de dos ruedas dentadas respecto del eslabón fijo.

Como cada diente tiene dos flancos de posible contacto, un engranaje tendrá dos posibles líneas de engrane en función del sentido de giro y de la rueda que sea la motora según se ve en la figura (7-17).

Fig. 7-17 Líneas de engrane

Mecánica II

103

7.3.5 - Línea de acción o empuje y ángulo de presión

La línea de acción o de empuje es la dirección de las fuerzas que se transmiten entre las dos ruedas dentadas que forman el engranaje. Si no se tiene en cuenta el rozamiento, estas fuerzas serán perpendiculares a la tangente a los perfiles de los dientes en el punto de contacto "P", y si estos cumplen la ley de engrane, pasará por el centro instantáneo de rotación "I" según se ve en la figura (7-18).

Fig. 7-18 Línea de acción o de empuje y ángulo de presión

El ángulo de presión " α " es el formado entre la línea de acción o empuje y la tangente común a los axoides en el punto "I".

7.3.6 - Zona de engrane

El contacto entre las ruedas dentadas de un engranaje se produce entre los flancos de sus dientes. En la figura (7-19) se pueden apreciar las circunferencias de fondo y cabeza que limitan al diente, la circunferencia axoide o primitiva, el paso "p", la altura de cabeza ha y la altura de fondo hf.

La zona de contacto entre los dientes está limitada por las circunferencias de cabeza, por lo que las líneas de engrane representadas en la figura (7-17) quedan reducidas a la porción de ellas que queda dentro de dicha zona como puede apreciarse en la figura (7-20).


104

Fig. 7-19 Dimensiones del diente de una rueda dentada

Fig. 7-20 Zona de engrane entre dos ruedas dentadas

Cuando el engrane se produce entre una rueda dentada y una cremallera, la zona de engrane queda limitada por la circunferencia de cabeza de la rueda y la recta de cabeza de la cremallera, tal como se ve en la figura (7-21).

Mecánica II

105

Fig. 7-21 Zona de engrane entre rueda dentada y cremallera

7.3.7 - Dimensiones de un engranaje normal

Un engranaje se puede considerar totalmente normal cuando está formado por dos ruedas en las que:

- El módulo "m" tiene un valor normalizado, se expresa en milímetros.

- El ángulo de presión "α" es de 20º.

- La altura de cabeza "ha" es igual a 1 módulo.

- La altura de fondo "hf" es igual a 1.25 módulos.

- El espesor del diente "s" y del hueco "e" son iguales a la mitad del paso.

- La distancia entre centros de las ruedas "a" es la correcta.

También se puede considerar casi normal un engranaje en el que ángulo de presión sea diferente de 20º, si se cumplen las otras condiciones.


106

Las dimensiones de una rueda normal pueden verse en la figura (7-22).

Fig. 7-22 Dimensiones de una rueda dentada normal

En una rueda dentada normal cuyo número de dientes sea "z" y su módulo "m", se tendrán las dimensiones siguientes:

d = z·m (7-12)

p = π·m (7-13)

e = s = 2

p (7-14)

a = 2

dd 21 + (7-15)

ha = 1·m (7-16)

hf = 1.25·m (7-17)

h = ha + hf = 2.25·m (7-18)

da = d + 2·ha = d + 2·m = (z + 2)·m (7-19)

df = d - 2·hf = d - 2 x 1.25·m = d - 2.5·m (7-20)

α = 20º

Mecánica II

107

7.3.8 - Dimensiones de un engranaje de diente corto

Un engranaje que se puede considerar casi normal es el formado por ruedas dentadas de diente de corto, figura (7-23), en el que solamente varía respecto de los normales la altura de cabeza "ha", la altura de fondo "hf" y por lo tanto la altura del diente "h", el diámetro de cabeza "da" y el diámetro de fondo "df". En estas ruedas son válidas las ecuaciones de la (7-12) a la (7-15), quedando de (7-16) a la (7-20) de la forma siguiente:

ha = 0.75·m (7-21)

hf = 1·m (7-22)

h = ha + hf = 1.75·m (7-23)

da = d + 2·ha = d + 2 x 0.75·m = d + 1.5·m (7-24)

df = d - 2·hf = d - 2 x 1·m = d - 2·m (7-25)

α = 20º

Fig. 7-23 Dimensiones del diente corto

7.3.9 - Perfil del diente: Cicloidal y evolvente

Según se vio en el apartado (7.3.2), para que las dos ruedas dentadas que forman un engranaje transmitan bien el movimiento deben cumplir la ley engrane, es decir, los perfiles de sus dientes deben ser conjugados.

Aunque teóricamente existen infinitos perfiles conjugados, en la práctica se han utilizado muy pocos, y de éstos cabe destacar los siguientes:

- Perfil cicloidal.


108

- Perfil de evolvente o involuta.

Los dientes de perfil cicloidal están formados: en la cabeza por un trozo de epicicloide y en el pie por un trozo de hipocicloide, figura (7-24).

Fig. 7-24 Perfil del diente cicloidal

La epicicloide de la cabeza del diente de una rueda es perfil conjugado de la hipocicloide del pie de la otra rueda siempre que estas curvas estén generadas por circunferencias del mismo diámetro girando sin deslizamiento sobre y bajo la circunferencia axoide respectivamente.

El perfil cicloidal se utilizó mucho a principios del siglo XX, pero en la actualidad está prácticamente desechado por la serie de ventajas que ofrece el perfil de evolvente o involuta que es el que más se utiliza en la actualidad.

En las ruedas de perfil de evolvente todo el flanco del perfil del diente está formado por un trozo de evolvente.

La evolvente es la curva que describe el extremo de una cuerda que desarrolla, manteniéndose tensa, de una circunferencia que recibe el nombre de circunferencia base. También sería la trayectoria que describe un punto de una regla que rueda sin deslizamiento sobre la circunferencia base, figura (7-25).

Mecánica II

109

Por la forma en que se dibuja, se cumple que la perpendicular trazada a la tangente de la evolvente en cualquier punto de la evolvente, es tangente a la circunferencia base.

Según se verá en los próximos apartados, el perfil de evolvente tiene una serie de ventajas, como son:

- El perfil de evolvente es conjugado de sí mismo.

- Sigue siendo conjugado aunque varíe la distancia entre centros de las ruedas.

- La línea de engrane es recta.

- El ángulo de presión es constante.

- La cremallera de evolvente tiene los flancos rectos.

Fig. 7-25 Evolvente de círculo

7.3.10 - Engrane entre perfiles de evolvente

La figura (7-26) muestra el engrane entre los perfiles de evolvente de dos ruedas dentadas en los que el contacto se produce en el punto "P".

Al ser evolvente el perfil de la rueda "1", la perpendicular trazada a la tangente al perfil de la rueda "1" en el punto "P" será tangente a la circunferencia base de la rueda "1". Al ser también evolvente el perfil de la rueda "2", la perpendicular trazada a la tangente del perfil de la rueda "2" en el punto "P" será tangente a la circunferencia base de la rueda "2".


110

Fig. 7-26 Engrane entre perfiles de evolvente

Como la tangente a los dos perfiles en el punto "P" es única, su perpendicular también lo será, y por lo tanto, la perpendicular trazada por el punto "P" a la tangente a los perfiles en el punto de contacto es tangente a las dos circunferencias base. De aquí se desprende que:

- La perpendicular trazada a la tangente común a los perfiles de los dientes en el punto de contacto corta siempre a la recta de unión de centros en un punto fijo que será el centro instantáneo de rotación relativo a las dos ruedas "I", por lo que se cumple la ley de engrane. Resultando que el perfil de evolvente es conjugado de sí mismo.

- El contacto se produce siempre sobre la tangente común a las dos circunferencias base, por lo que la línea de engrane es recta.

- Al ser la línea de engrane recta, el ángulo de presión será constante durante toda la línea de engrane.

Así quedan demostradas tres de las ventajas del perfil de evolvente enumeradas en el apartado (7.3.9).

Mecánica II

111

De la figura se desprende que los radios de las circunferencias primitivas serán:

r1 = αcos

r1b

(7-26)

r2 = αcos

r2b

(7-27)

De las ecuaciones (7-26) y (7-27) se desprende que

2b

1b

2

1

r

r

r

r= (7-28)

Y la ecuación (7-9) se podrá ampliar a

2b

1b

2

1

2

1

2

1

1

2

r

r

d

d

z

z

r

r====

ωω

=µ (7-29)

De la ecuación (7-29) se obtiene que

2b21b1 r·r· ω=ω (7-30)

La ecuación (7-30) indica que las velocidades lineales de los puntos de las circunferencias base de las dos ruedas son iguales. De esta ecuación se deduce que el movimiento de dos ruedas con perfil de evolvente es equivalente al movimiento de dos carretes en los que en uno se desenrolla una cuerda y en el otro se enrolla y cuyos radios son los radios de base de las ruedas.

De la figura (7-26) también se deduce que el deslizamiento en el punto de contacto será:

Deslizamiento = )·(PI 12 ω+ω (7-31)


112

7.3.11 - Engrane de dos ruedas con perfil de evolvente

En la figura (7-27) se aprecia que la distancia entre centros "a" a la que se pueden montar dos ruedas dentadas con perfil de evolvente puede variar, y el perfil de evolvente sigue siendo conjugado. Al variar la distancia entre centros "a" lo que ocurre es que varía el ángulo de presión "α".

Fig. 7-30 Una pareja de ruedas puede engranar con diferentes distancias entre centros

En la figura (7-27) se observa que

a

rr

rr

rr

r

r

r

rcos 2b1b

21

2b1b

2

2b

1

1b +=

++

===α (7-32)

a

rrcos 2b1b

′+

=α′ (7-33)

7.3.12 - Cremallera de evolvente

La cremallera de evolvente se puede considerar como el límite a que tiende una rueda dentada cuando su diámetro tiende a infinito conservando el paso y el ángulo de presión.

En la figura (7-28) se aprecia que el radio de curvatura del perfil de evolvente en el punto "P" es la distancia "TP". En la cremallera como el punto

Mecánica II

113

"T" se va al infinito, resulta que el radio de curvatura del perfil se hace infinito por lo tanto el flanco del perfil del diente de la cremallera de evolvente es recto.

Fig. 7-28 Cremallera, límite cuando el radio de una rueda tiende a infinito

En la figura (7-29) se aprecian las dimensiones de una cremallera que son:

- Ángulo de presión "α".

- Paso "p".

- Espesor del diente en la línea de referencia "s".

- Altura de cabeza "ha".

La línea de referencia se suele tomar a una altura del diente en el que el espesor del diente "s" es igual al espesor del hueco "e".

Fig. 7-29 Dimensiones de una cremallera de evolvente


114

En la cremallera, al igual que en las ruedas dentadas la relación entre el paso y el paso base será:

pb = p·cos α (7-34)

7.3.13 - Engrane de rueda dentada y cremallera

Para que puedan engranar una rueda dentada y una cremallera, figura (7-30), deben tener las dos el mismo paso base

pb (cremallera) = pb (rueda) = p (cremallera) cos α (7-35)

Fig. 7-30 Engrane de rueda y cremallera

Y el radio primitivo de la rueda será

r = )cremallera(

b

cos

r

α (7-36)

7.3.14 - Engranaje cilíndrico recto interior

Un engranaje interior, figura (7-31), está formado por una rueda dentada exterior y otra rueda dentada interior.

El hueco de los dientes de la rueda interior tiene la misma forma que los dientes de una rueda dentada exterior del mismo módulo y número de dientes.

En un engranaje interior las velocidades angulares de las dos ruedas que lo forman tienen el mismo sentido.

Mecánica II

115

Fig. 7-31 Engranaje cilíndrico recto interior

El engranaje interior de ruedas dentadas con perfil de evolvente, figura (7-32), cumple la ley de engrane, ya que la perpendicular trazada a la tangente de los perfiles de los dientes en el punto de contacto es tangente a las dos circunferencias base y por lo tanto corta a la recta de unión de centros en un punto fijo.

Fig. 7-32 Engrane de un diente interior con un diente exterior

7.4 - FUERZAS EN LOS ENGRANAJES RECTOS

La fuerza que aparece entre los dientes de las ruedas dentadas, si se desprecia el rozamiento, es perpendicular a la tangente a los perfiles de los dientes en el punto de contacto. Esta fuerza forma un ángulo " α " con la tangente a la circunferencia primitiva.


116

Fig. 7-33 Diagrama de cuerpo libre de las ruedas dentadas.

La componente de la fuerza que contribuye a la transmisión de potencia es la tangencial, por tanto se tendrá:

V

WF t = (7-37)

Siendo:

- W = Potencia en vatios.

- V = Velocidad de un punto de la circunferencia primitiva en m/s.

t32

t23 FF = (7-38)

α= tgFF tr (7-39)

r32

r23 FF = (7-40)

F = 2r2t FF + (7-41)

13233212 FFFF === (7-42)

2t3212 r·FM = (7-43)

3t2313 r·FM = (7-44)

Mecánica II

117

CAPÍTULO 9 - TRENES DE ENGRANAJES

9.1 - INTRODUCCIÓN

Se llaman trenes de engranajes a las combinaciones de ruedas dentadas en las que el movimiento de salida de una pareja de ruedas es el movimiento de entrada de otra pareja.

Los trenes de engranajes se pueden clasificar en:

- Trenes de engranajes de ejes fijos.

- Trenes de engranajes con algún eje móvil, (trenes epicicloidales).

En los trenes de engranajes es importante determinar su relación de transmisión para calcular el movimiento de salida en función del de entrada.

9.2 – TRENES DE ENGRANAJES DE EJES FIJOS

El mecanismo más sencillo de engranajes es el engranaje formado por dos ruedas dentadas como el representado en la figura 9.1.

Fig. 9-1 Engranaje de dos ruedas dentadas

La velocidad del punto “C” es la misma para ese punto perteneciente a cada una de las ruedas dentadas, por tanto se cumple

3322 R·R· ω=ω (9.1)

La relación de transmisión de esta pareja de ruedas se define como

Capítulo 9 – Trenes de engranajes

118

3

2

3

2

3

2

2

33232 Z

Z

d

d

R

Rui ===

ωω

== (9.2)

En este caso la relación de transmisión del mecanismo “ 32i ” es igual a

la relación de engrane “ 32u ”.

Fig. 9-2 Tren de engranajes de ejes fijos.

En un tren de engranajes como el representado en la figura (9.2) en el que la rueda “3” y la rueda “4” son el mismo eslabón, la relación de engrane entre las ruedas “2” y “3” será:

3

2

2

332 Z

Zu =

ωω

= (9.3)

La velocidad angular de las ruedas “3” y “4” es la misma ya que son la misma pieza.

43 ω=ω (9.4)

La relación de engrane entre las ruedas “4” y “5” será:

5

4

4

554 Z

Zu =

ωω

= (9.5)

La relación de transmisión del tren será:

53

42

24

35

2

552 Z·Z

Z·Z

·

·i =

ωωωω

=ωω

= (9.6)

Mecánica II

119

De la ecuación 9.6 se desprende que la relación de un tren de engranajes es el producto del número de dientes de las ruedas conductoras dividido por el producto del número de dientes de las ruedas conducidas.

9.3 – TRENES DE ENGRANAJES CON ALGÚN EJE MÓVIL, (TRENES EPICICLOIDALES)

En la figura 9.3 está representado el tren epicicloidal más sencillo. En este tren la rueda dentada “4” puede tener un movimiento de rotación alrededor de su eje y además un movimiento de traslación, ya que está montada sobre el brazo “3” y éste puede girar alrededor del eje de la rueda “2”. Por tanto este tren tiene móvil el eje de la rueda “4”.

Fig. 9-3 Tren de engranajes epicicloidal.

Un observador fijo sobre el eslabón “3” verá pasar por el agujero de este eslabón el mismo número de dientes de la rueda “2” que de la “4”. Es decir que las velocidades relativas respecto del eslabón “3” de los puntos de las dos ruedas que pasan por el agujero son iguales. Las velocidades de estos puntos serán:

434232 R)·(R)·( ωωωωrrrr

−−=− (9.7)

Esta ecuación se puede expresar

424

2

4

2

32

34 uZ

Z

R

R

)(

)(=−=−=

−−ωω

ωωrr

rr

(9.8)

Esta ecuación es la que establece la relación de transmisión del tren.

Capítulo 9 – Trenes de engranajes

120

De la ecuación 9.8 se puede obtener el proceso a seguir para determinar la relación de transmisión de un tren epicicloidal:

- Primero se determina la relación de transmisión “u” del tren como si se tratase de un tren de ejes fijos teniendo en cuenta el signo de esta relación.

- Se plantea la relación de velocidades relativas y se iguala a la relación obtenida en el punto primero.

- Se obtiene una ecuación que relaciona tres velocidades, por tanto el tren epicicloidal tiene dos grados de libertad, se deben conocer dos velocidades para que quede determinada la tercera.

Al resolver el problema, como las velocidades angulares son vectoriales, se debe establecer un convenio de signos de las velocidades al sustituirlas en la ecuación. Para determinar el sentido de giro de la velocidad obtenida se aplicará el convenio de signos establecido.

Mecánica II

121

CAPÍTULO 15 - EQUILIBRADO

15.1 - INTRODUCCIÓN

El equilibrado consiste en añadir o quitar cierta cantidad de masa de algún eslabón con el fin de minimizar las fuerzas de sacudimiento.

15.2 – EQUILIBRADO TEÓRICO DE EJES

Si se tiene un eje cuyo centro de gravedad no coincide con el eje geométrico del eje, éste se comportará como si se tuviera un eje con una masa desplazada, tal como se ilustra en la figura 15.1.

Fig. 15.1 – Eje desequilibrado

Al girar el eje, la masa tendrá una aceleración normal

r·A 2ω= (15.1)

Al estar la masa unida al eje aparecerán sobre la masa y sobre el eje las fuerzas que se ilustran en la figura 15.2.

r··m·m 2ω== AFrr

(15.2)

L

L·FR B

A = (15.3)

L

L·FR A

B = (15.4)

Capítulo 15 – Equilibrado

122

Fig. 15.2 – Diagrama de cuerpo libre del eje y la masa

El problema principal es que al girar el eje, gira la masa y por tanto las reacciones en los apoyos son giratorias produciendo vibraciones en el mecanismo o máquina en el que vaya acoplado el eje desequilibrado.

Un eje estará completamente equilibrado cuando se cumpla para todas las masas que producen desequilibrio que:

0F =Σ (15.5)

0M =Σ (16.6)

15.2.1 – Equilibrado estático

Un eje está desequilibrado estáticamente cuando su desequilibrio se puede detectar sin necesidad de girar al eje. Por ejemplo, si el eje de la figura 15.1 se coloca apoyado por los puntos “A” y “B” sobre unas reglas horizontales y se deja libremente, girará hasta que la masa quede en la parte inferior.

Al colocar un eje sobre unas reglas horizontales y dejarlo libremente, si siempre queda en la parte inferior el mismo punto del eje, es señal de que el eje está desequilibrado. Por el contrario, si el eje queda en cualquier posición, es señal de que el eje está equilibrado.

En el equilibrado estático solamente se utiliza la ecuación

0F =Σ (15.7)

Para que al utilizar la ecuación 15.7 se tenga la garantía de que el eje está totalmente equilibrado se debe cumplir que todas las masas que originan el desequilibrio se encuentren en un plano perpendicular al eje. En este caso, como

Mecánica II

123

las fuerzas son concurrentes en el punto de corte del eje por el plano, al cumplirse que la suma de fuerzas es cero también se cumple que la suma de momento es cero.

En un eje como el de la figura 15.3, en el que se conocen las masas que producen desequilibrio, así como sus posiciones sobre un plano perpendicular al eje, se puede realizar un equilibrado estático teórico.

Fig. 15.3 – Equilibrado estático teórico de un eje.

Al girar el eje, cada masa producirá una fuerza sobre el eje en dirección radial hacia el exterior. Los valores de estas fuerzas serán:

112

111 r·m·r·mF ≈ω= (15.8)

222

222 r·m·r·mF ≈ω= (15.9)

332

333 r·m·r·mF ≈ω= (15.10)

Representando estas fuerzas en la figura 15.3, se observa que su suma no es nula, por lo que se debe añadir una masa de equilibrado “me” a una distancia del eje “re” en el mismo plano que las otras masas de forma que produzca una fuerza

ee2

eee r·m·r·mF ≈ω= (15.11)


124

Y de este modo la suma de fuerzas sea nula, tal como se aprecia en la figura 15.3.

También se puede equilibrar el eje eliminando masa en el lado opuesto del eje.

15.2.2 – Equilibrado dinámico

Se puede dar el caso, como en la figura 15.4, que el eje esté equilibrado estáticamente pero al girar producirá reacciones giratorias sobre los apoyos, como se observa en la figura 15.5. Esto es debido a que el eje no está equilibrado dinámicamente.

Fig. 15.4 – Eje desequilibrado dinámicamente.

Fig. 15.5 – Diagrama de cuerpo libre del eje y las masas.

Cuando se tenga un eje con masas que no estén contenidas en un plano perpendicular al eje se debe realizar un equilibrado dinámico.

En un eje como el de la figura 15.6, en el que se conocen las masas que producen desequilibrio, así como sus posiciones en varios planos perpendiculares al eje, se puede realizar un equilibrado dinámico teórico.

Mecánica II

125

Para realizar el equilibrado dinámico se deben escoger dos planos en los que añadir dos masas de equilibrado, como se muestra en la figura 15.6.

Fig. 15.6 – Equilibrado dinámico.

Al girar el eje las masas producirán unas fuerzas centrífugas cuyos valores serán:

112

111 r·m·r·mF ≈ω= (15.12)

222

222 r·m·r·mF ≈ω= (15.13)

332

333 r·m·r·mF ≈ω= (15.14)

En primer lugar se determinan los momentos de estas fuerzas respecto del punto de corte del plano “C” con el eje. Los valores de estos momentos serán:

11112

111 L·r·mL··r·mM ≈ω= (15.15)

22222

222 L·r·mL··r·mM ≈ω= (15.16)

33332

333 L·r·mL··r·mM ≈ω= (15.17)


126

Estos momentos se representan en la figura 15.6 no en las direcciones que realmente tienen sino que por convenio se representan en las direcciones de las fuerzas correspondientes. Como para todas las masas la velocidad angular es la misma, se pueden representar los vectores proporcionales a los momentos despreciando la velocidad angular.

Si la suma vectorial de los momentos no es cero, el eje tenderá a volcarse en la dirección de la resultante de los momentos. Este vuelco lo evitarán los apoyos a base de realizar unas fuerzas giratorias sobre el eje.

Para evitar la tendencia al vuelco se debe añadir una masa en el plano “D” que produzca un momento de vuelco “MED” de forma que haga que la suma de los momentos respecto del punto de corte del plano “C” con el eje sea nulo.

L·r·mL··r·mM EDED2

EDEDED ≈ω= (15.18)

El valor del momento se determina gráficamente en la figura 15.6 y suponiendo un radio en el que se debe añadir la masa, se determina la masa a añadir en el plano “D”.

Esta masa añadida producirá una fuerza centrífuga

EDED2

EDEDED r·m·r·mF ≈ω= (15.19)

Una vez añadida la masa en el plano “D”, puede ocurrir que la suma de fuerzas centrífugas de las masas no sea cero. Caso de ocurrir esto, la resultante de estas fuerzas estará en el plano “C”.

Se representan vectorialmente la suma de las fuerzas centrífugas de todas las masas, incluida la masa añadida, caso de no ser nula dicha suma, se debe añadir una masa en el plano “C” para conseguirlo. Al igual que en la suma de momentos se puede eliminar la velocidad angular del eje.

ECEC2

ECECEC r·m·r·mF ≈ω= (15.20)

El valor de la fuerza se determina gráficamente y suponiendo un radio en el que se debe añadir la masa, se determina el valor de la masa a añadir en el plano “C”.

Siguiendo este proceso se consigue que la suma de fuerzas sea nula y que la suma de momentos también sea nula.

Mecánica II

127

15.3 – EQUILIBRADO PRÁCTICO DE EJES

Un eje sobre el que se ha realizado un equilibrado teórico o que por su geometría debiera estar equilibrado, puede que no esté realmente equilibrado debido a imperfecciones del material o del proceso de fabricación.

En este caso se debe realizar un equilibrado práctico.

15.3.1 – Equilibrado estático práctico

El equilibrado estático práctico se puede realizar sobre ejes que tienen la mayor parte del material sobre un plano perpendicular al eje de giro.

El método más sencillo es el representado en la figura 15.7. Se coloca el eje sobre unos prismas triangulares horizontales y se abandona en cualquier posición. Si el eje se detiene en cualquier posición, es señal de que está equilibrado. Por el contrario, si siempre se detiene en la misma posición, es señal de que tiene un exceso de masa en la parte inferior.

Fig. 15.7 – Equilibrado estático.

Para realizar el equilibrado se añade masa en la parte superior o se elimina de la parte inferior hasta lograr su perfecto equilibrado.

Un equilibrado estático más sencillo se puede realizar por medio de la máquina representada en la figura 15.8.

Esta máquina consiste en un péndulo con forma de vaso que está equilibrado. Si sobre el péndulo se coloca un eje que no está equilibrado, el


128

péndulo se ladeará y por medio del nivel representado en la figura 15.9 se podrá saber el valor del desequilibrio y la dirección en la que está localizado.

Fig. 15.8 – Máquina de equilibrado estático.

Fig. 15.9 – Nivel de la máquina de equilibrado estático.

Otro método sencillo de equilibrado estático se puede aplicar por medio de la balanza representada en la figura 15.10. En esta balanza se va girando el eje hasta que el exceso de masa esté en la parte superior o en la inferior. En este momento la balanza estará equilibrada. Si a partir de esa posición se gira el eje

Mecánica II

129

90º, el desequilibrio de la balanza será máximo. Por medio de un cursor que se desplaza hasta restablecer el equilibrio de la balanza se puede determinar el valor del desequilibrio.

Fig. 15.10 – Balanza de equilibrado estático.

15.3.2 – Equilibrado dinámico práctico

El equilibrado dinámico se puede realizar sobre cualquier eje. Para detectar el desequilibrio dinámico es necesario hacer girar al eje y medir las reacciones que produce en los apoyos.

Para realizar el equilibrado dinámico se utiliza un tipo de máquinas cuyo esquema está representado en la figura 15.11.

A la máquina se le debe introducir los datos de la geometría del eje y los planos donde se debe añadir o eliminar material.

La máquina hace girar al eje. La posición y velocidad del eje la detecta por medio de una célula fotoeléctrica o inductiva. Por medio unos sensores se miden las reacciones en los apoyos. Analizando las señales de los sensores y de la célula por medio de un computador, determina las masas que se beben añadir en los planos de equilibrado así como la posición angular en cada plano.


130

Fig. 15.11 – Máquina de equilibrado dinámico.

Las máquinas de equilibrado dinámico también suelen tener la opción para realizar el equilibrado estático.

Mecánica II

131

CAPÍTULO 17 - DINÁMICA DE MÁQUINAS

En este capítulo se estudiarán el volante, el efecto giroscópico y como curiosidad, ya que forma parte del escudo de los Ingenieros Industriales, el regulador de Watt.

17.1 - VOLANTE

El volante (Fig. 17-1) es un dispositivo que se introduce solidario a un eje de máquina y cuyo objetivo es reducir las variaciones de la velocidad angular del eje sobre el que está montado.

También se puede considerar como un almacén de energía cinética de rotación. Absorbe energía aumentando su velocidad angular y la devuelve cuando disminuye dicha velocidad.

Fig. 17-1. Volante.

La ecuación aplicable al volante es:

oi TT·I −=α (17-1)

Donde “I” es el momento de inercia del volante, “ α ” La aceleración angular del eje, “Ti” es el par de entrada o motor y “To” es el par de salida o resistente.

De la ecuación (17-1) se desprende que si el par de entrada y de salida son constantes o siempre coinciden los dos en valor, no es necesario el volante.

El volante será necesario, por ejemplo, si el par de entrada es constante y el de salida variable y viceversa o si los dos pares varían de forma diferente.

Dinámica de Máquinas

132

De la ecuación (17-1) también se desprende que para una determinada diferencia entre los pares de entrada y salida, el valor de la aceleración angular será tanto menor cuanto mayor sea el momento de inercia del volante. Por tanto, cuanto mayor sea el momento de inercia del volante menor será la variación de la velocidad angular del eje sobre el que está colocado.

Para simplificar el cálculo del volante se suponen unos pares de entrada y salida constantes (Fig. 17-2).

Fig. 17-2. Pares de entrada y resistente y velocidades angulares.

El ciclo, que se repite con cada revolución del volante, se inicia con una velocidad angular constante “ 1ω ” hasta el ángulo de giro “ 1θ ”. A partir de este

ángulo se le aplica al eje un par de entrada constante “Ti” hasta el ángulo “ 2θ ”, el par de entrada hará que el eje se acelere y alcance una velocidad angular “ 2ω ” que se mantendrá constante hasta el ángulo “ 3θ ”. A partir de este ángulo

se le aplica al eje el par resistente constante “To” hasta el ángulo “ 4θ ”, el par

resistente hará que la velocidad angular disminuya hasta el valor “ 4ω ”.

La energía suministrada al volante por el par de entrada será:

Ui = θ∫θθ dT21 i = )(T 12i θ−θ (17-2)

Y la energía absorbida del volante por el par resistente será:

Uo = θ∫θθ dT4

3 o = )(T 34o θ−θ (17-3)

- Si Ui = Uo, se cumplirá que 4ω = 1ω , la velocidad media se mantiene.

- Si Ui > Uo, se cumplirá que 4ω > 1ω , el eje se acelera.

- Si Ui < Uo, se cumplirá que 4ω z 1ω , el eje se frena.

Mecánica II

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Lo normal es que la energía suministrada al volante durante un ciclo sea igual a la absorbida con lo que el ciclo se repite y la velocidad media se mantiene constante.

Las energías cinéticas del volante serán:

- Al inicio del ciclo

E1 = 21·I

2

1 ω (17-4)

- Después de aplicado el par de entrada

E2 = 22·I

2

1 ω = E3 = 23·I

2

1 ω (17-5)

- Al final del ciclo

E4 = 24·I

2

1 ω (17-6)

La energía suministrada al volante por el par de entrada será igual a la diferencia de energías cinéticas antes y después de aplicar el par de entrada.

Ui = E2 - E1 (17-7)

La energía absorbida del volante por el par resistente será igual a la diferencia de energías cinéticas antes y después de aplicar el par resistente.

Uo = E4 - E3 (17-8)

Dada una determinada máquina, lo normal es que se conozcan los pares de entrada y resistente, por lo tanto se pueden determinar las energías absorbida y cedida por el volante.

Ui = E2 - E1 = ))·((I2

1)(I

2

11212

21

22 ω−ωω+ω=ω−ω (17-9)

Si se considera que la velocidad angular media es 2

12 ω+ω=ω


134

Y se define el coeficiente de regularidad de la velocidad Cs = ω

ω−ω 12 ,

suponiendo que la velocidad media se mantiene, resulta:

Ui = Uo = Cs·I· 2ω (17-10)

El coeficiente de regularidad suele estar tabulado en función del tipo de máquina de diseñar, con lo que dados unos determinados pares de entrada y resistente y una determinada velocidad angular del eje, solo falta determinar el momento de inercia que debe tener el volante para que se cumpla el coeficiente de regularidad de velocidad deseado.

17.2 - GIRÓSCOPO

El giróscopo o giroscopio (Fig. 17-3) consiste en un rotor girando, montado a través de unos balancines articulados sobre una base de forma que no se puede introducir ningún par desde la base hasta el rotor.

Fig. 17-3. Giróscopo o giroscopio.

Al tener el rotor un momento cinético debido al giro y no poderle introducir ningún par desde la base, el momento cinético se mantendrá constante, con lo que la dirección del eje del rotor no variará independientemente de las variaciones de dirección que sufra la base. Esta propiedad ha hecho que el giróscopo se utilice como brújula para navegación aérea y marítima.

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17.2.1 - Efecto giroscópico

En el diseño de máquinas apenas tiene utilidad el giróscopo, lo que realmente tiene importancia es el efecto giroscópico que aparece cuando en una máquina se obliga a variar la dirección del momento cinético de un rotor.

En la figura (17-4) se representa un rotor montado sobre una plataforma giratoria donde aparecerá el efecto giroscópico.

Fig. 17-4. Efecto giroscópico.

El rotor del motor, al girar con una velocidad angular “ sω ” posee un

momento cinético “H”

ssIH ω=rr

(17-11)

Al girar la plataforma, variará la dirección del momento cinético. Al cabo de un instante de tiempo “ t∆ ” habrá girado un ángulo “ θ∆ ”.

La variación del momento cinético será:

H'HHrrr

−=∆ (17-12)

El módulo de la variación del momento cinético será:

θ∆ω=θ∆=∆ ssI·HH (17-13)


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La variación del momento del momento cinético se debe al impulso angular causado por un par “T” aplicado durante un tiempo “ t∆ ”.

El valor del par medio será:

t

HTmed ∆

∆=r

r (17-14)

Y el valor instantáneo del módulo del par será:

pssss It

·I

0t

lim

t

H

0t

limT ωω=

∆θ∆ω

→∆=

∆∆

→∆= (17-15)

Y vectorialmente, como el par debe tener la misma dirección de la variación del momento cinético, resultará:

sps ·IT ω∧ω=rrr

(17-16)

Este par debido al efecto giroscópico se lo deberán hacer los rodamientos al rotor por medio de unas fuerzas que se transmitirán a las patas del motor. Si el momento de inercia del rotor y las velocidades angulares de la plataforma y del rotor son elevadas, harán que las fuerzas sean elevadas como para ser tenidas en cuenta.

17.3 - REGULADOR DE WATT

El regulador de Watt es un mecanismo que se utilizó para regular la velocidad angular de las máquinas, sobre todo máquinas de vapor y turbinas hidráulicas, desde su invención a mediados del siglo XVIII hasta casi finales del siglo XX.

Su importancia fue tal que los Ingenieros Industriales lo incluyeron en su escudo en representación de la especialidad Mecánica.

Hoy en día, debido a la facilidad del control con dispositivos electrónicos, ha caído en desuso.

En la figura 17-5 se representa un regulador de Watt, con el resto de accesorios, para regular el chorro de agua de una turbina Pelton.

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Su funcionamiento se basa en el equilibrio entre la fuerza centrífuga y el peso de unas bolas giratorias. Si aumenta la velocidad, la fuerza centrífuga aumenta y las bolas se elevan desplazando a un collarín que acciona sobre el sistema de regulación de la velocidad disminuyéndola. Si la velocidad angular disminuye las bolas descienden accionando sobre el sistema de regulación.

Fig. 17-5. Regulador de Watt y accesorios.

En la figura 17-6 se representa un sistema de regulación actual basado en componentes electrónicos.

Fig. 17-6. Sistema de regulación actual.


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Fig. 17-7. Regulador de Watt.

zabalza villava mecanica ii

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