Z 考驗與 t 考驗報告人：林東昱教科書：教育研究法 / 王文科、王智弘著（ 2013 ）。 台北 / 五南。

Z 考驗與 t 考驗 Z 考驗：在平均數考驗方法中，當母體的標準差已知時，並基於常態分配的假設，進行 Z 考驗。

t 考驗：當母群標準差未知時，抽樣分配的標準誤必須由樣本標準差來推估，因此可能因為樣本過小而造成偏誤，而需使用 t檢定來進行考驗。

n

XXZ

X

nsX

sX

tX

t 分配與自由度t 分配的變異數隨著自由度的變化而變動

自由度越大，變異數越趨近於 1 ，接近標準化常態分配。自由度越小，變異數越大於 1 ，也就是比標準化常態分配更趨於分散扁平 。

df=∞

df=12

df=4

f(x)

x=t

nsX

sX

tX

小樣本分配、 t 分配 ( 樣本數少於 30)

大樣本分配、常態分配、 z 分配

當觀察的樣本數小（少於三十）時，用來決定統計顯著性的是 t表，而不是常態機率表。這種小樣本數的概念，約在西元一九一五年，由愛爾蘭的都柏林黑啤酒釀造所的一位顧問統計師郭歇特（ William Seely Gosset ）所倡用。礙於雇主禁止研究者以真名發表論文，因此郭歇特發表自己的研究發現時，便署以司徒登（ Student ）的假名。郭歇特認為小樣本平均數的分配曲線與常態曲線略異。小樣本的分配，就觀察所得在平均數的位置較低，但在分配的兩側或兩端較高。對小樣本來說，拒絕虛無假設所需的 t 臨界值，在某一顯著水準上，是較高了一些。拒絕的每個 t 臨界值，係依適當的自由度之數目而來；但依著樣本數的增加，用來拒絕虛無假設的 t 臨界值見減，且接近於常態機率表的 Z 值。

司徒登 ( Student ) 分配

母群 σ 已知和雙側考驗

1. H0 ： μX= μ ； H1 ： μX≠ μ

2. 設定 α=0.05 ，雙側 Z(critical) ＝ ±1.960( 採雙側檢定，應查 α=0.025 之表 )

3.

4. 接受 H0 ，拒絕 H1 ，既該班學生的智力與一般國三學的智力 無差異。

某國三導師想知道班上 46 名學生的智力是否與一般國三學生的智力有所不同。利用標準化智力測驗結果，得。查該測驗國三的常模，得知 μ ＝ 113 ， σ ＝ 15 。問：該班導師是否可以宣稱該班學生的智力與一般國三學生有所不同？

𝑧=109− 110

15√ 46

=−1.81>−1.960

Z 分配數值表

母群 σ 未知和單側考驗某健康教育專家認為惡性補習佔去國三學生運動的時間，剝奪他們鍛鍊身體的機會，故惡性補習國三學生的體重較輕於一般國三學生的體重。該專家自接受惡性補習國三學生中隨機抽取 10 名學生，測得體重為：46 、 42 、 39 、 44 、 49 、 43 、 40 、 50 、 42 、 45 。今已知國三學生之平均體重為 47.19 公斤，問：是否可以支持該專家的說法？𝑋=45，𝑠=4.074

1.H0:μX≧ μ; H1:μX < μ2. 母群的標準差 σ 未知，以樣本標準差 s 代替。 3. 設定 α=0.01 ， df=N-1=10-1=9 ， t.01(9)=-

2.821

4. 接受 H0 ，拒絕 H1 ，故惡性補習國三學生的體重與一般初三學的體重無差異。

821.2613.19

074.419.4745

1-ns

μXs

μXtX

t 檢定於 2 個獨立母體平均數的比較時，使用時機如下： 大樣本 (n ≥ 30)

• 變異數 σ 已知 → 使用 z 檢定• 變異數 σ 未知 → 使用 t 檢定

小樣本 (n< 30) , 母體常態分配• 變異數 σ 已知 → 使用 z 檢定• 變異數 σ 未知 → 使用 t 檢定

小樣本 (n< 30) , 母體非常態分配• 無論變異數已知或未知 → 使用無母數分析

兩個獨立樣本平均數的差異顯著考驗

獨立大樣本， σx1 與 σx2 已知，使用獨立樣本平均數Z 檢定，公式如下 :

當假定變異數同質性 時2

2

1

2

21

21

NN

XXzxx

22221

xxσ

21

2

21

11NN

XXz

兩個獨立大樣本平均數的差異顯著考驗

接受 H0 ，拒絕 H1 ，即男生女生該測驗平均數沒有差異

〈例〉使用普通分類測驗 45 名男生和 40 名女生，結果男生得，結果女生得。由該測驗常模查知男生的，女生的。問：男女生該測驗平均數之差異是否達 0.05顯著水準？

Z 分配數值表

<1.96

兩個獨立小樣本平均數的差異顯著考驗 獨立小樣本， σx1 與 σx2 未知，使用獨立樣本平均

數 t 檢定，公式如下 :

)11(2

)1()1(

2121

222

211

21

NNNNSNSN

xxt

• df ＝ N1 ＋ N2 －２• 變異數同質性假設• 兩樣本來自的母群體為常態分配

決定樣本是否符合變異數同質的規準，可使用 Fmax 考驗，公式如下 :

F=𝑆𝐿

❑❑2

𝑆𝑆2 = 最大變異數  

最小 變異數  

F 值小於 F 分配表的值，即表是兩變異數同質。

〈例〉比較學習障礙兒童與非學習障礙兒童的體能，資料如下：

N1=13 N2=31

Df＝ (N1-1),(N2-1)＝ 12,30

變異數的同質性計算如下：

F＝8.405.12 ＝1.64<2.09(α=0.05)

故兩變異數可視為同質F 分配數值表

使用 t 檢定，比較兩組平均數如下：

960.1091.283.07.1

)311

131(

2311312.5)131(40.8)113(

92.562.7

)11(2

)1()1(

2121

222

211

21

NNNNSNSN

xxt

df.=13+31-2=42 t42,0.05＝ 1.960

故拒絕虛無假設，學習障礙兒童與非學習障礙兒童的體能有顯著差異。t 分配數值表

獨立樣本平均數 t 檢定，另一個公式如下 :

21

)( 21

XXSXXt

平均數差標準誤 21 XXS

相依樣本： 1.相同受試者，前後測分數 2. 配對組法樣本。兩個相依樣本平均數的差異顯著考驗

t ＝

D ：配對分數差，施測前後的差值 (X1-X2)： D 的平均數（ ） ： D 的標準差（ ）N ：配對數自由度 df = N-1

NS

DD

ND

1

22

N

DND

情況 1 ：相同受試者，前後測分數，公式如下 :

〈例〉 5 位大學生使用 A品牌筆記型電腦前和使用後的印象分數如下：研究假設 ：虛無假設 H0 ： μD = 0 ( 無顯著差異 ) ， α＝ 0.05

樣本成對差 D 的平均數 ＝ 樣本成對差 D 的標準差 SD＝　　　　 ＝　　　　　　 ＝ 3.286

N < 30 為小樣本，成對差母體為常態，變異數未知，所以使用 t 分配， α＝ 0.05 ，自由度 df ＝ n-1 ＝ 4

tn-1,0.05 ＝ t4,0.05 ＝ 2.132

t ＝ ＝ ＝ 6.396 > 2.132

D 4.95

47

nD

1

22

n

DnD15

4.95485 2

NS

DD

4286.3

4.9

t > t4,0.05 ，拒絶虛無假設。因此，我們可以解釋大學生對於使用某種品牌筆記型電腦前和使用後的印象有顯著的差異。

相依樣本： 1.相同受試者，前後測分數 2. 配對組法樣本。兩個相依樣本平均數的差異顯著考驗情況 2 ：配對組法樣本，公式如下 :

))((22

2

1

1

2

22

1

21

21

NS

NS

NS

NS

xxt

df＝ N-1 ， N 為配對數

〈例〉將小學五年級學生，依智商配對分成兩組，各 20人，實驗組接受新法教學，控制組則依傳統方法施教。

研究假設 ：虛無假設 H0 ： μx= μC ( 無顯著差異 ) ， α＝ 0.05

)(093.243.240.140.3

)2050.6)(

2040.7(6.02

2085.42

2076.54

80.4920.53

05.0,19t

t

t > t19,0.05 ，拒絶虛無假設。因此，我們可以解釋新教學方法與傳統教法對學習成就有顯著的差異。

一般而言，會檢定 r 與「 0 」有沒有差異，因為當 r＝ 0 時，表兩連續變數沒有線性關係。 H0:ρ ＝ 0 ； (ρ 為 X 與 Y 之母群體相關係數 ) H1:ρ ≠ 0 。 考驗相關係數的顯著性，通常採用以下公式： df=N － 2

若 r＝ 0.40 ， N＝ 25＝ 2.09>2.07(t23,0.05)拒絶虛無假設

相關係數的檢定

百分比差異的顯著性考驗 兩個獨立樣本百分比差異的顯著性，公式如下：

))(1)((21

21

21

21

21

21

21

nnnn

nnff

nnff

PPz

P1 ：第一組樣本占某群體的百分比。P2 ：第二組樣本占某群體的百分比。f1 ：第一組樣本數f2 ：第二組樣本n1 ：第一組群體總人數n2 ：第二組群體總人數

〈例〉從某大學抽取男、女生各 150人與 250人，結果患近視者男生 55人、女 65人，試問二者患近視的百分比是否有顯著差異？。

26.025065 ,37.0

15055

21 PP

)(96.132.2

)250150250150)(

25015065551)(

2501506555(

26.037.0

975.0z

z

拒絶虛無假設，故男、女生近視的百分比有顯著差異。Z 分配數值表

百分比差異的顯著性考驗 兩個關聯樣本百分比差異的顯著性，公式如下：

Nda

PPz

21

a ： a細格的百分比d ： d細格的百分比N ：人數

〈例〉有 250 個學生在教學前、後，其數學心理傾向如下，試問其前後態度是否有顯著改變？。

不喜歡 喜歡喜歡 A

50B

100 150

不喜歡 C75

D25 100

125 125 250

教學前

教學後

不喜歡 喜歡喜歡 a

0.2b

0.4 0.6

不喜歡 c0.3

d0,1 0.4

0.5 0.5 1.00

教學前

教學後

轉化成百分比

)(96.189.21.02.0

6.05.0025.0z

N

z

拒絶虛無假設，故教學前後態度有顯著差異。

Z 分配數值表

感謝聆聽