yapi sistemlerinin dogrusal olmayan analizi

Prof.Dr. Erkan zer 05.02.2009 1/2

YAPI SSTEMLERNN DORUSAL OLMAYAN ANALZ

ERK

Dorusal olmayan teoriye giri, yaplarn dorusal olmama nedenleri, yap

sistemlerinin artan d ykler altndaki dorusal olmayan davran.

Dorusal olmayan sistemlerin saysal zm yntemleri, ardk yaklam teknikleri, yk artm yntemleri, gme yk ve burkulma yknn bulunmas, yerdeitirme kontroll sistem analizi.

Geometri deiimleri bakmndan dorusal olmayan sistemler, ikinci mertebe teorisi, genel yntem, stabilite ve burkulma, ikinci mertebe etkilerinin fiktif kuvvetlerle ifadesi, Yerdeitirme Yntemi ile ikinci mertebe teorisine gre hesap, birim yerdeitirme ve ykleme sabitlerinin hesab iin kesin ve yaklak bantlar, burkulma yklerinin bulunmas, burkulma boylarnn hesab, Matris Yerdeitirme Yntemi ile hesap, dzlem ve uzay ubuk sistemler.

Dorusal olmayan malzemeden yaplm kesitlerde i kuvvet-ekildeitirme bantlarnn ve akma (krlma) koullarnn gzden geirilmesi, elastoplastik malzemeden yaplm kesitler, betonarme kesitler, betonarme kesitlerin davrannn idealletirilmesi, yaklak i kuvvet-ekildeitirme bantlar, uzay ubuk elemanlarda i kuvvet-ekildeitirme bantlar ve akma (krlma) koullar.

Malzeme bakmndan dorusal olmayan sistemlerin hesab, dorusal olmayan ekildeitirmelerin sistem zerinde yayl olmas hali, dorusallatrma teknikleri, yerdeitirme yntemleri ile hesap.

Plastik mafsal hipotezi, plastik mafsal teorisine gre hesap, yk artm yntemi ile limit ykn bulunmas, limit ykn dorudan doruya hesab.

Malzeme ve geometri deiimleri bakmndan dorusal olmayan sistemlerin hesab, dorusal olmayan ekildeitirmelerin sistem zerinde yayl olmas hali, dorusal olmayan ekildeitirmelerin plastik kesitlerde toplanmas hali, ikinci mertebe limit ykn bulunmas, ikinci mertebe limit ykn dorudan doruya hesab.

Dorusal olmayan statik analiz (Pushover analysis) ve ikinci mertebe limit ykn hesab iin bir artmsal hesap yntemi ve bilgisayar programlar.

Dorusal olmayan analiz yntemlerinin pratik uygulamalar, performansa dayal deerlendirme (performance based evaluation), eitli yaklamlarn (kapasite spektrum yntemi, yerdeitirme katsaylar yntemi) gzden geirilmesi, ekildeitirme ve yerdeitirmeye bal performans deerlendirmesinde son gelimeler.

2007 Trk Deprem Ynetmeliinin (Deprem Blgelerinde Yaplacak Binalar Hakknda Ynetmelik) temel ilkeleri, 1998 Trk Deprem Ynetmelii ile karlatrma, dorusal elastik yntem ve dorusal elastik olmayan yntem ile mevcut yaplarn deprem performans ve gvenliklerinin belirlenmesi.

Yap sistemlerinin performansa dayal tasarm (performance based design).

Zaman tanm alannda dorusal olmayan analize (nonlinear time-history analysis) giri.

Prof.Dr. Erkan zer 05.02.2009 2/2

BAARI DEERLENDRME ESASLARI Yaryl Sonu Snavna girme koulu : Derslerin en az % 80 ine devam etmek, dev

(ve seminer) almalarnda en az % 50 orannda baar gstermek.

Yaryl Sonu baar notu : Yaryl ii snav : % 25

devler (ve seminer) : % 25

Yaryl Sonu Snav : % 50

Prof. Dr. Erkan zer 1/2 05.02.2009

YAPI SSTEMLERNN DORUSAL OLMAYAN ANALZ

KAYNAK LSTES

[1] McGuire, W., Gallagher, R.H., and Ziemian, R.D., Matrix Structural Analysis,

2 nd Edition, John Wiley, 2000.

[2] Cook, R.D., Malkus, D.S., and Plesha, M.E., Concepts and Applications of Finite Element Methods, 3 rd Edition, John Wiley, 1989.

[3] Livesley, R.K., Matrix Methods of Structural Analysis, 2 nd Edition, Pergamon, 1975.

[4] Zienkiewicz, O.C., and Taylor, R.L., The Finite Element Method, Vol. 2, 4 th Edition, McGraw Hill, 1991.

[5] akrolu, A., Hiperstatik Sistemlerin Hesap Metotlar, T naat Fakltesi Matbaas, 1992.

[6] akrolu, A., zden, E., zmen, G., Yap Sistemlerinin Hesab in Matris Metotlar ve Elektronik Hesap Makinas Programlar, Cilt 1, 2, T naat Fakltesi Matbaas, 1992.

[7] akrolu, A., zer, E., Malzeme ve Geometri Bakmndan Lineer Olmayan Sistemler, Cilt 1, Matbaa Teknisyenleri Basmevi, 1980.

[8] akrolu, A., zer, E., Girgin, K., Yield Conditions and Yield Vector for Combined Biaxial Bending of Rectangular Reinforced Concrete Sections, Uur Ersoy Symposium in Structural Engineering, 121-135, Ankara, 1-2 July 1999.

[9] zer, G., Malzeme Bakmndan Lineer Olmayan Sistemlerin Hesab in Bir Ardk Yaklam Yntemi ve Bilgisayar Program, Y. Lisans Tezi, T Fen Bilimleri Enstits, 2003.

[10] zer, E., Determination of Second-Order Limit Load by a Method of Load Incremennts, Bulletin of the Technical University of Istanbul, Vol. 40, No. 4, 815-836, 1987.

[11] rtem, E., Uzay ubuk Sistemlerde kinci Mertebe Limit Ykn Hesab in Bir Yk Artm Yntemi, Doktora Tezi, T Fen Bilimleri Enstits, 1991.

[12] Girgin, K., Betonarme Yap Sistemlerinde kinci Mertebe Limit Ykn ve Gme Gvenliinin Belirlenmesi in Bir Yk Artm Yntemi, Doktora Tezi, T Fen Bilimleri Enstits, 1996.

[13] zer, E., Pala, S., Orakden, E., Girgin, K., Deprem Blgelerindeki Mevcut Betonarme Yaplarn Deprem Gvenliklerinin Belirlenmesi ve Rehabilitasyonu, Trkiye Deprem Vakf Teknik Rapor TDV/TR 028-45, 1999.

[14] Applied Technology Council, Seismic Evaluation and Retrofit of Concrete Buildings ATC 40, Vol. 1, 2, 1996.


[15] Federal Emergency Management Agency, NEHRP Guidelines for the Seismic Rehabilitation of Buildings FEMA 273, 1997.

[16] Federal Emergency Management Agency, NEHRP Commentary on the Guidelines for the Seismic Rehabilitation of Buildings FEMA 274, 1997.

[17] Federal Emergency Management Agency, Prestandard and Commentary for the Seismic Rehabilitation of Buildings FEMA 356, 2000.

[18] akrolu, A., ubuk Sistemlerin Burkulma Hesab, Teknik Kitaplar, stanbul, 1982.

[19] American Society of Civil Engineers, Plastic Design in Steel, A Guide and Commentary, ASCE Manual No. 41, New York, 1971.

[20] Bozorgnia, Y., and Bertero, V.V. Editors., Earthquake Engineering from Engineering Seismology to Performance-Based Engineering, CRC Press, 2004.

[21] Federal Emergency Management Agency, Improvement of Nonlinear Static Seismic Analysis Procedures FEMA 440, 2004.

[22] Hodge, P.G., Plastic Analysis of Structures, McGraw-Hill, New York, 1959.

[23] Neal, B.G., The Plastic Methods of Structural Analysis, Chapman & Hall, London, 1956.

[24] Timoshenko, S., and Gere, J.M., Theory of Elastic Stability, McGraw-Hill, New York, 1963.

[25] European Committee for Standardization, Design of Structures for Earthquake Resistance - Assessment and Retrofitting of Buildings, Eurocode 8-3, 2004.

[26] Bayndrlk ve skan Bakanl, Deprem Blgelerinde Yaplacak Binalar Hakknda Ynetmelik, Ankara, 2007.

[27] American Society of Civil Engineers, Seismic Rehabilitation of Existing Buildings, ASCE/SEI 41-06, 2007.

[28] Los Angeles Tall Buildings Structural Design Council, An Alternative Procedure for Seismic Analysis and Design of Tall Buildings Located in the Los Angeles Region, 2008.

[29] stanbul Bykehir Belediyesi mar Mdrl, stanbul Yksek Binalar Deprem Ynetmelii, Versiyon IV, stanbul, Mays 2008.

Prof.Dr. Erkan zer 1/11 05.02.2009

BLM 1 DORUSAL OLMAYAN HESABA GR

Baz zel durumlarn dnda, yap sistemleri iletme ykleri altnda genellikle dorusal davran gsterirler. Bu genellemenin dnda kalan sistemler arasnda narin yaplar, elastik zemine oturan sistemler ile blgesel zayflklar ve stabilite yetersizlikleri ieren yaplar saylabilir.

Dorusal sistem davrann esas alan analiz yntemlerinde, malzemenin gerilme- ekildeitirme bantlar dorusal-elastik olarak alnmakta ve yerdeitirmelerin ok kk olduu varsaylmaktadr.

Buna karlk, d etkiler iletme yk snrn aarak yapnn tama gcne yaklatka, gerilmeler dorusal-elastik snr amakta ve yerdeitirmeler ok kk kabul edilemeyecek deerler almaktadr.

Gnmzde yap mhendisliinde genellikle uygulanmakta olan ve dorusal teoriye gre sistem analizine dayanan tasarm yaklamlarda (gvenlik gerilmeleri esasna gre tasarm ve tama gc yntemine gre tasarm), yap sisteminin dorusal olmayan davran eitli ekillerde gznne alnmaya allmaktadr. rnein, ikinci mertebe etkilerini hesaba katmak ve burkulmaya kar gvenlik salamak amacyla, moment bytme ynteminden ve burkulma katsaylarndan yararlanlmakta, dorusal olmayan ekildeitirmeler nedeniyle i kuvvet dalmnn deimesi yeniden dalm ilkesi yardm ile gznne alnmaya allmaktadr. Dier taraftan, deprem etkilerine gre hesapta malzemenin dorusal-elastik snr tesindeki davrann ve snekliini hesaba katmak zere, tayc sistem davran katsays tanmlanmakta ve elastik deprem ykleri bu katsayya bal olan bir deprem yk azaltma katsays ile blnerek kltlmektedir.

Yap malzemelerinin dorusal-elastik snr tesindeki tama kapasitesini gznne almak, ok kk olmayan yerdeitirmelerin denge denklemlerine ve gerekli olduu hallerde geometrik uygunluk koullarna etkilerini hesaba katmak suretiyle, yap sistemlerinin d etkiler altndaki davranlarnn daha yakndan izlenebilmesi ve bunun sonucunda daha gereki ve ekonomik zmler elde edilmesi mmkn olabilmektedir.

Dorusal olmayan sistem davrann esas alan hesap yntemlerinin gelitirilmesinde ve uygulanmasnda genel olarak iki durum ile karlalmaktadr. Bunlardan birincisi, yap sisteminin dorusal olmamasna neden olan etkenlerin belirlenerek sistem davrann geree yakn bir biimde temsil eden hesap modelinin oluturulmas, dieri ise bu hesap modelinin analizi sonucunda elde edilen dorusal olmayan denklem sisteminin etkin bir ekilde zlmesidir.

1.1 zmn Salamas Gereken Koullar

Bir yap sisteminin d etkiler altnda hesab (analizi) ile elde edilen i kuvvet, ekildeitirme ve yerdeitirmelerin zm olabilmeleri iin aadaki koulu birarada salamalar gerekmektedir.

1- Bnye denklemleri : Malzemenin cinsine ve zelliklerine bal olan gerilme-ekildeitirme bantlarna bnye denklemleri denilmektedir.


2- Denge koullar : Sistemi oluturan elemanlarn ve bu elemanlarn birletii dm noktalarnn denge denklemlerinden olumaktadr.

3- Geometrik uygunluk (sreklilik) koullar : Elemanlarn ve dm noktalarnn sreklilik denklemleri ile mesnetlerdeki geometrik koullardr.

1.2 Yap Sistemlerinin Dorusal Olmama Nedenleri

Bir yap sisteminin d etkiler altndaki davrannn dorusal olmamas genel olarak iki nedenden kaynaklanmaktadr.

1- Malzemenin dorusal-elastik olmamas nedeniyle gerilme-ekildeitirme bantlarnn (bnye denklemlerinin) dorusal olmamas.

2- Geometri deiimleri nedeniyle denge denklemlerinin (ve baz hallerde geometrik sreklilik denklemlerinin) dorusal olmamas.

Yap sistemlerinin dorusal olmamasna neden olan etkenler ve bu etkenleri gznne alan teoriler ekil 1.1deki tablo zerinde topluca zetlenmitir.

Denge denklemlerinde yerdeitirmelerin kk olmad sistemlerde denge denklemleri ekildeitirmi eksen zerinde yazlmaktadr.

Geometrik uygunluk koullarnda yerdeitirmelerin kk olmad sistemlerde ise, geometrik sreklilik denklemlerinin de ekildeitirmi eksen zerinde yazlmas gerekmektedir.

Dorusal Olmayan Sistemler

Dorusal Sistemler

Malzeme Bakmndan

Geometri Deiimleri Bakmndan

Her ki Bakmdan

zmn Salamas Gereken Koullar

kinci Mertebe

Teorisi

Sonlu Deplasman Teorisi

kinci Mertebe Teorisi

Sonlu Deplasman Teorisi

Bnye Denklemleri (Gerilme-

ekildeitirme Bantlar)

Dorusal-elastik

Dorusal-elastik Deil

Dorusal-elastik

Dorusal-elastik



Denge Denklemlerinde Yerdeitirmeler

kk kk kk Deil

kk Deil

kk Deil

kk Deil

Geometrik Uygunluk Koullarnda

Yerdeitirmeler kk kk kk

kk Deil

kk kk Deil

ekil 1.1 Yap sistemlerinin dorusal olmama nedenleri

Bir ucunun dier ucuna gre bal yerdeitirmeleri u ve v olan bir ij ubuunun s boydeimesi

( ) ( )2 22s u v s s+ + = + (1.1)

+

+22

2

1

2

1

s

v

s

u

s

uss (1.2)


eklinde ifade edilebilir, ekil 1.2. (1.2) ifadesinde sadece birinci terimin esas alnmas geometrik uygunluk koullarnda yerdeitirmelerin kk olduu varsaymn ifade etmektedir. Buna karlk, dier terimlerin de hesaba katlmas geometri deiimlerinin geometrik uygunluk koullarna etkisi gznne alndn sonlu deplasman teorisine kar gelmektedir.

s

s j u

v

i

sj '

ekil 1.2 (ij) ubuk elemannn bal yerdeitirmeleri

Baz yap sistemlerinde, sistemin zelliklerinden kaynaklanan nedenlerle, geometrik uygunluk koullar salanmayabilir. Bu durumda, sistemde geometrik sreksizlikler meydana gelir. zellikle sistemi oluturan elemanlarn snr koullarndaki bu sreksizlikler nedeniyle, sistemin davran dorusal olmaz. Bu tr sistemlere, geometrik sreksizlikler bakmndan dorusal olmayan sistemler denir ve bu sistemler malzeme bakmndan dorusal olmayan sistemler gibi incelenebilirler. Kayc bulonlu dm noktalar ieren elik yap sistemleri, geometrik sreksizlikler bakmndan dorusal olmayan sistemlere bir rnek oluturmaktadr.

1.3 Yap Sistemlerinin D Ykler Altndaki Dorusal Olmayan Davran

Dey ve yatay ykler etkisindeki bir yap sisteminin dorusal ve dorusal olmayan teorilere gre hesab ile elde edilen yk parametresi-yerdeitirme (P-) bantlar ekil 1.3te ematik olarak gsterilmilerdir.

Malzemenin snrsz olarak dorusal-elastik varsayld bir yap sisteminin, artan d ykler altnda, birinci mertebe teorisine gre elde edilen davran ekildeki (I) dorusu ile temsil edilmektedir. Geometri deiimlerinin denge denklemlerine etkisinin, dier bir deyile, eksenel kuvvetlerden oluan ikinci mertebe etkilerinin hesaba katld ikinci mertebe teorisinde ise, eksenel kuvvetin basn veya ekme olmasna gre farkl sistem davranlar ile karlalabilmektedir. rnein eksenel kuvvetin basn olmas halinde, (II) erisinden grld gibi, artan d yklere daha hzla artan yerdeitirmeler kar gelmektedir. D yklerin iddetini ifade eden yk parametresi artarak dorusal-elastik burkulma yk ad verilen bir PB deerine eit olunca, yerdeitirmeler artarak sonsuza eriir ve sistem burkularak ger. Baz zel durumlarda, burkulmadan sonra, artan yerdeitirmelere azalan yk parametresi kar gelebilir. rnein asma sistemler gibi eksenel kuvvetin ekme olduu durumlarda ise, ekilde (IIa) ile gsterilen P- diyagram pekleen zellik gsterir. Yanal yk etkisinde olmayan ve bu nedenle burkulmadan nce ekildeitirmeyen sistemlerde, yk parametresinin bir Pcr deerinde dallanma burkulmas oluur ve ekildeki (IIb) diyagramndan grld gibi, yerdeitirmeler birden artarak sonsuza eriir. Dallanma burkulmasna neden olan yke kritik yk denilmektedir. Kritik yk genellikle burkulma yknden biraz byk veya ona eittir. Dallanma burkulmas, baz hallerde burkulmadan nce ekildeitiren sistemlerde de oluabilir, (II erisi).


ikinci mertebe, lineer-elastik (P: ekme) (IIa)

(IIb)dallanma burkulmas

birinci mertebe, lineer-elastik (I)kritik yk

burkulma yk

ikinci mertebe,lineer-elastik (P: basn) (II)

birinci mertebe limit yk

birinci mertebe, elastoplastik (III)

ikinci mertebe, elastoplastik (IV)ikinci mertebe limit yk

krlma, byk yerdeitirme,byk plastik ekildeitirmeile gme

P

dallanma burkulmas

Pcr

P

P? P1

? P2

PB

PL1

L2P

ekil 1.3 eitli teorilere gre elde edilen yk parametresi yerdeitirme bantlar

Dorusal olmayan malzemeden yaplm sistemlerde, artan d yklerle birlikte i kuvvetler de artarak baz kesitlerde dorusal-elastik snr amakta ve bu kesitler dolaynda dorusal olmayan (plastik) ekildeitirmeler meydana gelmektedir. Dorusal olmayan ekildeitirmeler genel olarak sistem zerinde srekli olarak yaylmaktadr. Buna karlk, kopma srasndaki toplam ekildeitirmelerin dorusal ekildeitirmelere orannn byk olduu snek malzemeden yaplm sistemlerde, dorusal olmayan ekildeitirmelerin plastik mafsal (veya genel anlamda plastik kesit) ad verilen belirli kesitlerde topland, bunun dndaki blgelerde ise sistemin dorusal-elastik davrand varsaylabilir. Bu varsaym plastik mafsal hipotezi olarak isimlendirilmektedir. Plastik mafsal hipotezinin esas alnd bir yap sisteminin birinci mertebe teorisine gre hesabnda (III erisi), oluan plastik mafsallar nedeniyle sistemin tmnn veya bir blmnn mekanizma durumuna gelmesi tama gcnn sona erdiini ifade eder. Bu yk birinci mertebe limit yk adn alr.

Dorusall bozan her iki etkinin birlikte gznne alnmas halinde, yani yap sisteminin ikinci mertebe elastoplastik teoriye gre hesab ile elde edilen P- diyagram ekilde (IV) erisi ile gsterilmitir. Bu diyagram ilk kritik kesitte dorusal-elastik snrn almasna kadar (II) erisini izlemekte, daha sonra oluan plastik ekildeitirmeler nedeniyle yerdeitirmeler daha hzl olarak artmaktadr. Plastik mafsal hipotezinin esas alnd yap sistemlerinde, d ykler artarak bir PL2 snr deerine eit olunca, meydana gelen plastik mafsallar nedeniyle rijitlii azalan sistemin burkulma yk d yk parametresinin altna der, dier bir deyile, P- diyagramnda artan yerdeitirmelere azalan ykler kar gelir. Sistemin stabilite yetersizlii nedeniyle tama gcn yitirmesine sebep olan bu yk parametresine ikinci mertebe limit yk denilmektedir.

1P

2P


Baz hallerde, d ykler limit yke erimeden nce, meydana gelen byk yerdeitirmeler, byk plastik ekildeitirmeler ile betonarme sistemlerde oluan atlaklar ve krlma yapnn kullanlamaz hale gelmesine (gmesine) neden olabilmektedir.

1.4 rnekler

Malzeme ve/veya geometri deiimleri bakmndan dorusal olmayan sistemlerin d ykler altndaki davranlarn incelemek, bu sistemlerin hesabnda esas alnacak genel kavramlar ve uygulanacak yntemleri basit modeller zerinde gzden geirmek zere, aada baz rnekler verilmitir.

rnek 1.1

ekil 1.4te geometrisi, snr koullar, ykleri ve k yatay yay katsays verilen sonsuz rijit ubuun

a) = 0 (H = 0) , P : basn b) 0 , P : basn c) 0 , P : ekme

halleri iin ikinci mertebe teorisine gre hesab yaplacaktr.

L

sonsuz rijit(EI=? )

k=sabit

P

H=?P

P

A A

P

H=?P H=?P

P

A

ekil 1.4 kinci mertebe teorisine gre hesap

(a) : = 0 (H= 0) , P : basn iin zm

denge denklemi: 0= AM 0= LkP (1.3) ( ) 0= kLP (1.4) (1.4) bantsnda, P < Kl iin = 0 P = Pcr = kL iin olmaktadr. Burada, Pcr ykne kritik yk, bu yk altnda yerdeitirmelerin artarak sonsuz deer alabildii kararsz denge konumuna da dallanma burkulmas ad verilir.

H=P H=P H=P

Sonsuz rijit (EI=)


(b) : 0 (H 0) , P : basn iin zm

denge denklemi: 0= AM 0=+ LkPLP (1.5) (1.5) denklemi dier bir ekilde, boyutsuz olarak dzenlenirse

kL

PkL

P

L =

1

(1.6)

eklini alr. (1.6) bantsnda

P = PB = kL iin L

( )

olmaktadr. Artan yatay yklerle beraber yatay yerdeitirmesinin de artarak sonsuza gittii bu durum burkulma, burkulmaya neden olan PB yk ise burkulma yk olarak tanmlanr.

(c) : 0 (H 0) , P : ekme iin zm

denge denklemi: 0= AM 0=+ LkPLP (1.7) (1.7) denklemi, (1.6) bantsna benzer olarak boyutsuz formda yazlrsa

kL

PkL

P

L +=

1

(1.8)

eklini alr. Bu bantda

kL

P (P ) iin =

L

olmakta, dier bir deyile P yknn sonsuza erimesi halinde dahi yatay yerdeitirmesi belirli bir snr deeri amamaktadr. Bu durum ekme kuvvetinden kaynaklanan pekleme etkisini ifade etmektedir. (1.4) (1.6) ve (1.8) denklemlerinin tanmlad boyutsuz yk parametresi - yerdeitirme (P/kL - /L) diyagramlar ekil 1.5 zerinde birarada gsterilmilerdir.


ikinci mertebe,lineer-elastik (1.6)(P: basin)

birinci mertebe, lineer-elastik

dallanma burkulmas(1.4)

ikinci mertebe, lineer-elastik (1.8)(P: ekme)

PkL

kL P P cr B

kL =1

1/?

? L

,

ekil 1.5 kinci mertebe teorisine ait yk parametresi yerdeitirme bantlar

rnek 1.2

rnek 1.1 deki sistemin

a) = 0 (H = 0) b) 0 , (H 0)

halleri iin sonlu deplasman teorisine gre hesab yaplacaktr, ekil 1.6.

L

sonsuz rijit(EI=? )

k=sabit

P

H=?PP

=Lsin

A

H=?P

L

Lcos

P

=Lsin

A

L

Lcos

ekil 1.6 Sonlu deplasman teorisine gre hesap

(a) : = 0 (H= 0) iin zm

denge denklemi: 0= AM 0cos = LkP (1.9) ( ) 0cos = kLP (1.10)

1/

H=P

H=P

Sonsuz rijit (EI=)


(1.10) bantsnda, = 0 (cos = 1) iin P = Pcr = kL > 0 (cos < 1) iin P = kLcos < Pcr olmaktadr. Burada, Pcr ykne kritik yk, bu yke kar gelen kararsz denge konumuna dallanma burkulmas ad verilir.

(b) : 0 (H 0) iin zm

denge denklemi: 0= AM 0coscos =+ LkPLP (1.11) = Lsin olduu gznnde tutularak, (1.11) denkleminde gerekli dzenlemeler yaplrsa, yk parametresi yerdeitirme bants iin boyutsuz formda

gkL

P

cot1

cos

+= (1.12)

fonksiyonu elde edilir. Bu fonksiyonun ekstremum noktasnn absisi

0=

dkL

Pd

iin 3arctan = (1.13)

olarak hesaplanr.

Saysal Uygulama :

= 0.10 iin 03 90.2410.0arctan == , sin = 0.421, cos = 0.907, cotg = 2.154

746.0=

makskL

P

(1.10) denkleminden ve = 0.10 iin (1.12) bantsndan yararlanarak izilen yk parametresi yerdeitirme diyagramlar ekil 1.7 de gsterilmilerdir.

dallanma burkulmasikL

P

L=sin

a=0.10

(1.10)

sonlu deplasmanlineer-elastik (1.12)

ekil 1.7 Sonlu deplasman teorisine ait yk parametresi yerdeitirme bantlar

=0.10


rnek 1.3

a) Birinci mertebe elastoplastik teori

ekil 1.8 de geometrisi, snr koullar, yk ve k yatay yay katsaysnn deiimi verilen sonsuz rijit ubuun birinci mertebe elastoplastik teoriye gre hesab yaplacaktr.

L

sonsuz rijit(EI=? )

H H

F

k

ekil 1.8 Birinci mertebe elastoplastik teoriye gre hesap

yatay denge denklemi: 0= X H F = 0 (1.14) i) s iin F = k H = k

boyutsuz formda ifade edilirse: LkL

H = (1.15)

ii) > s iin F = ks H = ks

boyutsuz formda ifade edilirse: LkL

H s= (1.16)

(1.15) ve (1.16) bantlar ile ifade edilen boyutsuz yk parametresi yerdeitirme diyagram ekil 1.9 da verilmitir.

kLH

L

LL

1

ekil 1.9 Birinci mertebe elastoplastik teori iin yk parametresi yerdeitirme diyagram

Sonsuz rijit (EI=)


b) kinci mertebe elastoplastik teori

ekil 1.10 da geometrisi, snr koullar ve k yatay yay katsaysnn deiimi verilen sonsuz rijit ubuun, dey ve yatay ykler altnda ikinci mertebe teorisine gre elastoplastik hesab yaplacaktr.

L

sonsuz rijit(EI=? )

F

k

P

H=?P

P

H=?P

ekil 1.10 kinci mertebe elastoplastik teoriye gre hesap

denge denklemi: 0= AM 0=+ FLPLP (1.17) i) s iin F = k

( ) LkLP =+ (1.18)

boyutsuz formda dzenlenirse:

kL

PkL

P

L =

1

(1.19)

ii) > s iin F = ks

( ) LkLP s=+ (1.20)

boyutsuz formda dzenlenirse:

kL

PkL

P

LL

s

=

(1.21)

bantlar elde edilir. (1.19) ve (1.21) bantlar ile ifade edilen yk parametresi yerdeitirme diyagram birinci mertebe elastoplastik teoriye ait diyagram ile birlikte ekil 1.11 zerinde gsterilmitir.

Sonsuz rijit (EI=)

H=P H=P


L

1/

kLP

LL

birinci mertebe, elastoplastik

ikinci mertebe, elastoplastik

1

ekil 1.11 Birinci ve ikinci mertebe elastoplastik teorilere ait yk parametresi - yerdeitirme diyagramlar

1YAPI SSTEMLERNN LNEER OLMAYAN ANALZ 1. HAFTA

2007 TRK DEPREM YNETMEL - BLM 7

2007 TRK DEPREM YNETMEL

BLM 7 MEVCUT BNALARIN

DEERLENDRLMES VE GLENDRLMES

Prof. Dr. Erkan zer

stanbul Teknik niversitesi

Prof. Dr. Erkan zer 1/26


A. Mevcut Binalarn Deprem Gvenliklerinin Belirlenmesinde Esas Alnan Temel lkeler

1998 Trk Deprem Ynetmelii, dier benzeri deprem ynetmelikleri gibi, yeni ina edilecek binalarn depreme dayankl olarak tasarmna ilikin kurallar iermektedir.

Buna gre, bina tayc sistemi, tasarmda kullanlmas ngrlen tayc sistem davran katsays (R) iin gerekli olan sneklie (plastik ekildeitirme kapasitesine) sahip olacak ve plastik ekildeitirmesi srasnda gevrek gme olumayacak ekilde, ynetmelikteki kurallar dorultusunda boyutlandrlr.



Buna karlk, mevcut bir binann tayc sistemi kendine zel koullar iermektedir ve bu koullar erevesinde deerlendirilmesi gerekir.

2007 Trk Deprem Ynetmeliinin 7. Blm bu gereke ile hazrlanmtr ve mevcut bina tayc sistemlerinin deprem performans ve gvenliklerinin, kendi zellikleri esas alnarak deerlendirilmesi amacyla oluturulan kurallar iermektedir.



B. Binalardan Bilgi Toplanmas Bilgi Dzeyleri

Mevcut binalarn tayc sistem zelliklerine ve malzeme karakteristiklerine ilikin bilgiler

proje ve tasarm raporlarndan

binada yaplacak gzlem ve lmlerden

binadan alnacak malzeme rnekleri zerinde yaplacakdeneylerden elde edilir.

Binalardan elde edilen bilgiler iin bilgi dzeyi ve bunlara ait bilgi dzeyi katsaylar tanmlanmtr.

a) snrl bilgi dzeyi (bdk=0.75)b) orta bilgi dzeyi (bdk=0.90)c) kapsaml bilgi dzeyi (bdk=1.00)

2Prof. Dr. Erkan zer 4/26


C. Deprem hareketleri

Mevcut binalarn deprem performans ve gvenliklerinindeerlendirilmesinde gznne alnmak zere, farkldzeyde deprem hareketleri tanmlanmtr. Bu deprem hareketlerinin alma olaslklar ve dn periyotlar:

Servis depremi (50 ylda % 50 72 yl)

etkisi tasarm depreminin yars kadardr

Tasarm depremi (50 ylda % 10 475 yl)

En byk deprem (50 ylda % 2 2475 yl)

etkisi tasarm depreminin 1.50 katdr

Minimum Hasar Snr (MN) kesitte elastik tesi davrann balangcn tanmlar.

Gvenlik Snr (GV) kesitin dayanmnn gvenli olarak salanabilecei elastik tesi davrann st snrn tanmlar.

Gme Snr (G) kesitin gme ncesi davrannn snrn tanmlar.



D. Kesit Hasar Snrlar ve Hasar Blgeleri

Minimum HasarBlgesi

BelirginHasarBlgesi

leriHasarBlgesi

GmeBlgesi

ekildeitirme

kuvvetMinimum HasarSnr(MN)

GvenlikSnr(GV)

GmeSnr(G)



E. Mevcut Binalarn Deprem PerformanslarnnDeerlendirilmesinde Uygulanan Yntemler (zet)

Dayanm bazl dorusal yntemler :

Bu yntemlerin amac, verilen bir deprem etkisialtnda, deprem yk azaltma katsaysnn Ra = 1 deeri iin hesaplanan etkiler ile yap elemanlarnn artk kapasiteleri arasndaki etki / kapasite (r)oranlarnn hesaplanmas ve bu deerlerin ilgilisnr deerler ile karlatrlmas suretiyle yapelemanlarnn kesit hasar blgelerinin belirlenmesi ve bunlardan yararlanarak bina dzeyindeperformans deerlendirmesinin yaplmasdr.



ekildeitirme bazl dorusal olmayan yntemler :

Bu yntemlerin amac, verilen bir deprem iin, snek davrana ilikin plastik ekildeitirme istemleri ile gevrek davrana ilikin i kuvvet istemlerinin hesaplanmas ve bu istem byklklerinin kesitlerin ekildeitirme ve i kuvvet kapasiteleri ilekarlatrlmas suretiyle, kesit ve bina dzeyindeyapsal performans deerlendirmesinin yaplmasdr.



F. Bina Deprem Performansnn Belirlenmesi ve

Glendirme Kararlar

Performans seviyeleri, verilen bir yap iin, verilen bir

deprem etkisi altnda ngrlen hasar miktarnn snr

durumlardr. Bu snr durumlar, binadaki tayc ve

tayc olmayan elemanlarda meydana gelebilecek

hasarn miktarna, bu hasarn can gvenlii bakmndan

bir tehlike oluturup oluturmamasna, deprem

sonrasnda binann kullanlp kullanlmamasna ve

hasarn neden olduu ekonomik kayplara bal olarak

belirlenir.



Bir yap sistemini oluturan yap elemanlarnn hasar durumlarna bal olarak, farkl bina deprem performans dzeyi tanmlanmtr :

Hemen kullanm performans dzeyi (HK) Can gvenlii Performans dzeyi (CG) Gmenin nlenmesi performans dzeyi (G)

Yerdeitirme

DepremYk

HemenKullanm(HK)

CanGvenlii

(CG)

Gmeninnlenmesi

(G)



G. ok Seviyeli Performans Hedefi

Belirli bir deprem hareketi altnda, bina iin ngrlen

yapsal performans, performans hedefi olarak tanmlanr.

Yapsal performans, bir bina tayc sistemini oluturan

elemanlarn performans seviyeleri (dzeyleri) ile

tanmlanr. Bir yap iin, birden fazla yer hareketi altnda

farkl performans hedefleri ngrlebilir. Buna ok

seviyeli performans hedefi denir. GHKTehlikeli Madde eren BinalarToksik, parlayc ve patlayc zellikleri olan maddelerin bulunduu ve

depoland binalar, vb.

CG

CG

% 2

CG

CG

HK

HK

% 10% 50

Dier binalarYukardaki tanmlara girmeyen dier binalar (konutlar, iyerleri, oteller,

turistik tesisler, bina tr endstri yaplar, vb.)

HKnsanlarn ksa sreli ve youn olarak bulunduu binalarSinema, tiyatro, konser salonlar, kltr merkezleri, spor tesisleri, vb.

nsanlarn uzun sreli ve youn olarak bulunduu binalar ve mzelerOkullar, yatakhaneler, yurtlar, pansiyonlar, askeri klalar, cezaevleri,

mzeler, vb

Deprem sonras hemen kullanm gereken binalarHastaneler, salk tesisleri, itfaiye binalar, haberleme ve enerji tesisleri,

ulam istasyonlar, vilayet, kaymakamlk, belediye binalar, afet ynetim

merkezleri, vb.

Depremin 50 ylda alma olaslBinann kullanm amac

ve tr





H. Glendirmenin Temel lkeleri

Glendirme amacyla binalara eklenecek olan elemanlarn tasarm, genel olarak, yeni inaedilecek depreme dayankl binalarn tasarm ile ilgili esaslara gre (Blm: 3 ve 4) yaplacaktr.

Glendirilen binalarn ve elemanlarnn depremperformans ve gvenliklerinin belirlenmesinde ise, mevcut binalar iin verilen hesap yntemleri ve deerlendirme esaslar (Blm: 7) kullanlacaktr.



J. Glendirmede zlenecek Yol

Ardk Yaklam Yntemi

TASARIM

DEERLENDRME



Dayanm bazl dorusal yntemler ile glendirme

aS

dS

Sae2

Sae1

Sr2

Sr1

mevcut bina

Sae1

Sr1r =

glendirilmibina

Sae2

Sr2r =



ekildeitirme bazl dorusal olmayan yntemler ile

glendirme

aS

dS

mevcut bina

glendirilmibina plastik

ekildeitirmeistemi

plastik ekildeitirmeistemi



K. Glendirme Trleri

Tayc sistem elemanlarnn, eleman baznda, tekil

olarak glendirilmesi ve iyiletirilmesi :

Binann kolon, kiri, perde, eleman birleim blgeleri ve dolgu duvarlar gibi deprem yklerini karlayan elemanlarnn ve birleimlerinin, tekil olarak dayanmve ekildeitirme kapasitelerinin (snekliklerinin) arttrlmasna ynelik olarak uygulanan ilemlerdir. Bu glendirmede ama, yapnn genel dayanm ve rijitlik zelliklerinden bamsz olarak, elemandzeyindeki yetersizliklerin giderilmesi suretiyle binann deprem performansnn ykseltilmesidir.



Yap sisteminin tmnn glendirilmesi :

Deprem etkileri altnda yeterli bir dayanmkapasitesine sahip olmayan veya ekildeitirmeleri ve yerdeitirmeleri ngrlen performans dzeyiiin verilen snr deerleri aan yap sistemleri iin tmsel glendirme nlemlerinin uygulanmasgerekli olabilir. Bu amala, ok kere, mevcut yapsistemine yeni elemanlar eklenir.



L. Eleman Baznda Glendirme nlemleri

kolonlarn sarlmas

kolon kesitlerinin bytlmesi

kirilerin sarlmas

blme duvarlarnn glendirilmesi ....



Kolonlarn sarlmas : Kolonlarda kesme ve basn dayanmlarnn

arttrlmas, sneklik dzeyinin ykseltilmesive bindirmeli eklerin zayflklarnn giderilmesi iin sarglama yntemlerinden yararlanlr.

Sarglama ile kolonlarn eilme kapasiteleri arttrlamaz.



Kolon kesitlerinin bytlmesi : Kolonlarn eilme kapasitesinin arttrlmas iin

kolon kesitleri bytlr. Bu ilem ile, ayn zamanda kolonlarn kesme ve eilme kapasiteleri de arttrlabilir. Bytlen kolona eklenen boyuna donatnn katlar arasnda sreklilii salanr.

Kolon kesitinin bytlmesi ilemi, kolonun baland dm noktalarn da kapsamad srece, glendirme sadece kolon eilme momenti kapasitesinin artrlmas ile snrl kalmaktadr.



M diyagramSistem ve ykler

bytlmkolon kesiti



M. Yap Sisteminin Tmsel Glendirilmesi

ereve dzlemi iinde betonarme perde eklenmesi

ereve dzlemine bitiik betonarme perdeeklenmesi

betonarme sisteme yeni ereveler eklenmesi

elik tayc elemanlar ile glendirme .....



Yap sistemine glendirme perdeleri eklenmesi halinde uyulmas gereken temel ilkeler

a) Glendirme perdelerinin konumlar

b) Glendirme perdelerinin says ve plandaki yerleimi

c) Perde temellerinin gereki ve ekonomik olarak tasarm

d) Betonarme perdelerin mevcut tayc sistemile btnlemesi ve kuvvet aktarlmasnn salanmas



Uyulmas gereken temel esaslar (devam)

d1) Mevcut ereve kirilerini perdeye balayan dey ankraj ubuklar kullanlmal

d2) Glendirme perdesini u kolonlarna balayan yatay ankraj ubuklar kullanlmal

d3) Gerekli hallerde u kolonlarnn evresinde manto oluturulmal ve gerekli ek donat bu manto betonu iine yerletirilmeli



Uyulmas gereken temel esaslar (devam)

e) Glendirme perdelerinin, temelden balayarak perde st kotuna kadar srekli olmasnn salanmas ve perde u donatlarnn perde ykseklii boyunca srekli olmas

f) Perde temelinin glendirme perdesinden ve mevcut bina kolonlarndan aktarlan dey ykleri ve eilme momentlerini temel zeminine gvenle aktaracak ekilde boyutlandrlmas



N. Dier Glendirme nlemleri

Betonarme sistemin ktlesinin azaltlmas

Mevcut dzensizliklerin azaltlmas veyagiderilmesi

Taban izolasyonu ve enerji snmleyiciaygtlar kullanlmas ......

Prof. Dr. Erkan zer 1/7 12/02/2009

BLM 2 DORUSAL OLMAYAN SSTEMLERN ZM YNTEMLER

Bir problemin zmn veren denklem takmnn katsaylar ve/veya sabitleri problemin zmne bal ise, yani problemin bilinmeyenlerini de ieriyorsa bu tr problemlere dorusal olmayan problemler denir.

Bir yap sisteminin hesabnda yerdeitirme bileenlerinin bilinmeyenler olarak seilmesi halinde, bilinmeyenleri veren denklem takmnn matris formundaki genel ifadesi

[S] : katsaylar matrisi (sistem rijitlik matrisi) [d] : bilinmeyenler matrisi (yerdeitirme matrisi) [p] : sabitler matrisi (ykleme matrisi)

olmak zere

[S][d]=[p] (2.1)

eklinde yazlabilir.

Dorusal olmayan yap mekanii problemlerinde, problemin trne ve zmde uygulanan ynteme bal olarak, [S] katsaylar matrisi ve/veya baz hallerde [p] sabitler matrisi problemin zmn, dier bir deyile, zme ait yerdeitirmeleri ve ekildeitirmeleri iermektedir.

rnein, geometri deiimleri bakmndan dorusal olmayan sistemlerin hesabnda denge denklemlerinin ekildeitirmi eksen zerinde yazlmas gerektiinden, genel olarak denklem takmnn katsaylar, yani [S] matrisi bilinmeyen yerdeitirmelere baldr. Dier taraftan, geometri deiimlerinin denge denklemlerine etkisinin fiktif d yklerle temsil edilmesi halinde, [p] ykleme matrisinin elemanlar sistemin yerdeitirmelerine bal olarak ifade edilmektedir.

Malzeme bakmndan dorusal olmayan sistemlerde de, bnye denklemlerinin dorusal olmamas nedeniyle, elemanlarn etkin rijitliklerinin ve bu rijitlikleri ieren [S] matrisinin sistemin ekildeitirmelerine, dier bir deyile problemin bilinmeyenlere bal olarak ifade edilmesi gerekmektedir.

Grld gibi, zellikle bilinmeyen says fazla olan yap sistemlerinin dorusal olmayan teoriye gre hesabnda, dorusal olmayan denklem takmnn yazlmas ve bu denklemin kapal zmnn elde edilmesi uzun hesaplar gerektirmekte ve ok kere olanaksz olmaktadr.

Bu durumda, dorusal olmayan yap sistemlerinin etkin bir ekilde hesab iin, her admda problemin dorusallatrlmas esasna dayanan saysal yntemlerin gelitirilmesi ve uygulanmas uygun olmaktadr.

2.1 Dorusal Olmayan Sistemlerin Saysal zm Yntemleri

Dorusal olmayan yap sistemlerinin hesab iin uygulanan saysal yntemler genel olarak iki blmde incelenebilirler.

1- Ardk yaklam yntemleri. 2- Yk artm yntemleri.


2.1.1 Ardk Yaklam Yntemleri

Ardk yaklam yntemleri, bir nceki admda elde edilen zme ait byklkler iin, rnein szkonusu admda bulunan yerdeitirme ve ekildeitirme durumu dolaylarnda, sistem davrannn dorusallatrlmas esasna dayanmaktadrlar.

Bu yntemler, dorusallatrmada uygulanan teknie bal olarak farkllklar gsterirler. Dorusallatrma tekniklerinin balcalar unlardr:

a- balang kirii yntemi b- balang teeti yntemi c- teet yntemi d- kiri yntemi

a- Balang kirii yntemi

Ardk yaklamn her admnda, dorusallatrlan sistemin yk parametresi-yerdeitirme (P-d) bants balang noktasndan geen bir doru olarak alnr, ekil 2.1.

P

dd1 d2 d =dn A

PA

O

1 2 nm2

1

m11

m01

ekil 2.1 Balang kirii yntemi

Balang kirii yntemi

i) geometri deiimleri bakmndan dorusal olmayan sistemlerde, denge denklemlerinin bir nceki admda bulunan ekildeitirmi eksen zerinde yazlmas,

ii) malzeme bakmndan dorusal olmayan sistemlerde ise, bir nceki admda bulunan ekildeitirme durumu iin, bnye denkleminin balang kiriinin kullanlmas (ekil 2.2)

suretiyle uygulanr.

Bu yntemde katsaylar matrisinin her admda yeniden hesaplanmas gerekir. Buna karlk, denklem takmnn sabitleri ayn kalr. Yntemin yaknsaklk hz orta dzeydedir.


i-1

M

lineerletirilmibnye denklemi

ekil 2.2 Dorusallatrlm bnye denklemi (balang kirii)

b- Balang teeti yntemi

Ardk yaklamn her admnda, dorusallatrlan sistemin yk parametresi-yerdeitirme (P-d) bants bu erinin balang teetine paralel olarak alnr, ekil 2.3.

P

dd1 d2 d =dn A

PA

O

1 2 n

m01

m01

m01

d '1 d '2

ekil 2.3 Balang teeti yntemi

Bu yaklam

i) geometri deiimleri bakmndan dorusal olmayan sistemlerde, denge denklemlerinin ekildeitirmemi eksen zerinde yazlmasna, buna karlk bir nceki admda bulunan zme ait ekildeitirme durumu iin elde edilen ikinci mertebe etkilerinin hesaba katlmasna

ii) malzeme bakmndan dorusal olmayan sistemlerde ise, bir nceki admda bulunan ekildeitirme durumu dolaylarnda, bnye denkleminin balang teetinin kullanlmasna (ekil 2.4)

kar gelmektedir.

Balang teeti ynteminde katsaylar matrisinin her admda yeniden hesaplanmas gerekmez. Buna karlk her admda sabitler matrisi yeniden hesaplanr. Yntemin yaknsaklk hz genellikle dk veya orta dzeydedir.


M

lineerletirilmibnye denklemi

==

ekil 2.4 Dorusallatrlm bnye denklemi (balang teeti)

c- Teet yntemi

Ardk yaklamn her admnda, dorusallatrlm sistemin P-d bants iin bir nceki admda bulunan zme ait teet davran esas alnr, ekil 2.5.

Bu yaklam, malzeme bakmndan dorusal olmayan sistemlerde, bir nceki admda bulunan ekildeitirme durumu dolaylarnda, bnye denkleminin balang teetinin kullanlmasna kar gelmektedir.

Bu yntemde denklem takmnn katsaylar ve sabitler matrislerinin her admda yeniden hesaplanmas gerekir. Ayrca, P-d bantsnn teetinin belirlenmesinde pratik bakmdan baz glkler olabilir.

Teet ynteminin yaknsaklk hz ok yksektir.

P

dd1 d2 d =dn A

PA

O

1 2 n

m01

m11

ekil 2.5 Teet yntemi

d- Kiri yntemi

Ardk yaklamn her admnda, nceki iki admda bulunan zmleri birletiren kiri denklemi, dorusallatrlm P-d bants olarak seilir, ekil 2.6.

Bu yntem teet yntemi gibidir. Ancak teet aranmas gerekmez. Yaknsaklk hz ok yksektir.

i-1 p


P

dd1 d3 d =dn A

PA

O

1 3 n

m01

m11

2

m01

d2

ekil 2.6 Kiri yntemi

rnek 2.1

ekil 2.7 de geometrisi, snr koullar, ykleri ve k yay katsays verilen sistem P yk parametresi iin ikinci mertebe teorisine gre hesaplanarak B dm noktasnn yatay yerdeitirmesi hesaplanacaktr.

L

Sonsuz rijit(EI=8 )

k=sabit

P

H=aP

A

P

H=aP

A

BB

ekil 2.7 kinci mertebe teorisine gre hesap

Sistemin analizi iin nceki blmde aklanan ardk yaklam ynteminden yararlanlacak ve hesapta eitli dorusallatrma teknikleri uygulanacaktr.

denge denklemi: 0= AM 0=+ LkPLP (2.2)

+

=L

kLP

(2.3)

Sonsuz rijit (EI=)

H=P H=P


Bu denklem m P = (m: bilinmeyen katsays) (2.4)

eklinde dzenlenirse, bilinmeyen katsays iin

( )L

kLmm

+== (2.5)

elde edilir. Grld gibi, bilinmeyen katsays problemin zm olan yerdeitirmeye bal olduundan problem dorusal deildir.

Saysal Uygulama :

L = 10.00 m , k = 400 kN/m : sabit , = 0.10 , H = 0.10 P , P = 2000 kN iin yatay yerdeitirmesinin hesab istenmektedir.

Verilen saysal deerler iin (2.4) denge denkleminin bilinmeyen katsays

( )1

4000

+== mm (2.5a)

olmaktadr.

a- Balang kirii yntemi, ekil 2.8

1. adm : = 0 (birinci mertebe teorisi)

mo = m ( = 0) = 4000 P = 2000 = 4000 50.04000

20001 == m

2. adm : 1 = 0.50 m 2667150.0

40001 =+=m 75.0

2667

20002 == m

3. adm : 2 = 0.75 m 2286175.0

40001 =+=m 875.0

2286

20003 == m

P(kN)

0.501

2000

O

1 2m2

1

m1

m0

3

0.7520.8753

1.00

1

1

ekil 2.8 Balang kirii yntemi


Dier admlara ait saysal sonular Tablo 2.1 de verilmitir.

Ardk yaklamn 10. admnda elde edilen sonucun kesin sonuca (kesin = 1.00 m) gre bal hatas % 0.1 deerini almaktadr.

Tablo 2.1 Balang kirii ynteminin saysal sonular

Adm mi-1 i 4 2133 0.9375

5 2065 0.9688

6 2032 0.9844

7 2016 0.9922

8 2008 0.9961

9 2004 0.9980

10 2002 0.9990


2.1.2 Yk Artm Yntemleri

Dorusal olmayan bir yap sisteminin belirli bir PA yk parametresi iin hesab yerine, yk parametresinin eitli deerleri iin hesab yaplarak P-d bantsnn belirlenmesi istenirse, yk artm ynteminden yararlanlabilir.

Yk artm yntemi iki farkl ekilde uygulanabilir:

a- basit yk artm yntemi b- dzeltilmi yk artm yntemi

a- Basit Yk Artm Yntemi

Bu yntemde yk parametresine kk artmlar verilerek hesap yaplr. Her yk artmnda, bir nceki zme ait balang teeti, balang kirii, teet veya kiri rijitlii esas alnarak sistem davran dorusallatrlr. Her yk artmnda teet tekniinin uyguland bir basit yk artm yntemi ekil 2.9 da ematik olarak gsterilmitir.

Bu yntemin en nemli sakncas, biriken hatalar nedeniyle, elde edilen zmn her yk artmnda gerek zmden biraz daha uzaklamasdr. Toplam hata miktar seilen yk artmnn byklne ve her yk artmnda uygulanan dorusallatrma tekniine bal olarak deimektedir.

P3

d2 d3d1

P2

3

2

1

m21

1m1

1m0

P1

P

m21

1m1

O

ekil 2.9 Basit yk artm yntemi

b- Dzeltilmi Yk Artm Yntemi

Yk artm ynteminde biriken hatalar azaltmak amacyla kk yk artmlar semek yerine, her yk artmnda elde edilen zm ardk yaklam tekniklerinden biri (balang teeti, balang kirii, teet veya kiri teknikleri) uygulanarak gerek zme yaklatrlabilir. Bu ynteme dzeltilmi yk artm yntemi ad verilir. rnek olarak, her


yk artmnda balang kirii tekniinin ardk olarak iki kere uyguland bir dzeltilmi yk artm yntemi ekil 2.10 da ematik olarak gsterilmitir.

P3

d2 d3d1

P2

3

2

1P1

P

2'

3'

1'

O

ekil 2.10 Dzeltilmi yk artm yntemi

2.2 Gme Yknn Hesab

Dorusal olmayan bir yap sisteminin tama kapasitesini ifade eden gme ykne (limit yk veya burkulma yk) genel olarak iki ekilde ulalmaktadr:

a- yer deitirmelerin sonsuza erimesi ( P-d bantsnn bir asimptota sahip olmas) b- yk parametresi - yer deitirme bantsnn bir maksimumdan gemesi

a- Uygulamada, genellikle dorusal - elastik burkulma yknn veya birinci mertebe limit ykn hesabnda karlalan birinci duruma ait P-d diyagram ve bu diyagrama kar gelen P- P/d bants ekil 2.11 de ematik olarak gsterilmitir.

ekilden grld gibi

P = PL iin ve P/d = 0

olmaktadr.

Buna gre, eitli P yk parametreleri iin hesap yaplarak P - P/d diyagram izilirse, diyagramn P eksenini kestii noktann absisi hesaplanarak PL limit yk (veya burkulma yk) elde edilebilir.

Asimptotik yk parametresi-yerdeitirme diyagramlar iin P - P/d bants genelde dorusala yakn olmaktadr. Bu nedenle, PL limit yk kolaylkla hesaplanabilir.


P

d

PL

P2

1P

O d1 d2

=0dP

2

1

d

d

d

1P 2P LP

2P

PO

1P

P

ekil 2.11 Asimptotik P-d diyagram ve P - P/d bants

b- Yk parametresi - yerdeitirme diyagramnn bir maksimumdan gemesi suretiyle sistemin tama gcne ulalmas halinde (rnein elastoplastik burkulma yk iin), tama gc iki ekilde hesaplanabilir.

b.1- P-d diyagramnn pozitif ve negatif eimli blgeleri zerinde eitli noktalar elde edilebilmesi halinde, bu noktalar arasnda bir interpolasyon ilemi uygulayarak (rnein ardk noktadan bir ikinci derece parabol geirerek) diyagramn maksimum noktasnn ordinat, yani sistemin tama gc hesaplanabilir, ekil 2.12. Ancak kuvvet kontrollu olarak, yani yk parametresinin seilen deerleri iin hesap yaparak uygulanan yntemler ile, P-d diyagramnn negatif eimli blgesi zerinde noktalar elde edilebilmesi ok kere mmkn olamamaktadr.

b.2- Yk parametresi - yerdeitirme diyagramnn bir maksimumdan gemesi halinde gme yknn hesab iin uygulanabilen dier bir yol yk artm yntemidir. Bu yntemde, rnein teet tekniinin uygulanmas halinde, herhangi bir yk artm iin negatif yerdeitirme artm elde edilmesi P-d diyagramnn bir maksimumdan getiini ifade eder. Bu duruma ait yk parametresi sistemin tama gcn verir, ekil 2.13.

P

P1

O d

P3

d2 d3d1

P2

dL

PL

ekil 2.12 nterpolasyon ile tama gcnn bulunmas


H=0.10P (=0.10)

P

P 1

O d

P =P3 L

d2 d3d1

P2

4'

4'3

2

1

ekil 2.13 Yk artm yntemi ile tama gcnn bulunmas

rnek 2.2

rnek 2.1 de ikinci mertebe teorisine gre hesab yaplan elastik sistemin burkulma yk hesaplanacaktr, ekil 2.14.

L=10.0 mSonsuz rijit(EI=8 )

k=400 kN/m

P

A

ekil 2.14 Sistem ve ykler

Problemin saysal verileri iin

=mP (m: bilinmeyen katsays) (2.4)

denkleminin bilinmeyen katsays

( )1

4000

+=

+==

L

kLmm

(2.5a)

eklini almaktadr.

Sonsuz rijit (EI=)


Sistemin ematik yk parametresi - yerdeitirme diyagram ekil 2.15 te grlmektedir.

Yk parametresinin P1 = 0 ve P2 = 2000 kN deerleri iin P/ deerleri hesaplanacak ve bu deerlerden yararlanarak, dorusal ekstrapolasyon ile, sistemin burkulma yk bulunacaktr.

P

PB

P2

1P

O1 2

1

m0

burkulma yk

ekil 2.15 ematik yk parametresi -yerdeitirme diyagram

P1 = 0 iin hesap : ( ) 400001

1 ===

mP

P2 = 2000 kN iin hesap : 00.12 = m (rnek 2.1 e baknz) 20002

2 =

P

2

2

1

1 ,

PP deerlerinden yararlanarak izilen P - P/ diyagram ekil 2.16 da verilmitir.

ekilden grld gibi, sistemin burkulma yk dorusal ekstrapolasyon ile PB =4000 kN olarak hesaplanmtr. Burkulma yknn kesin deeri de

4000

limit 40001B

P

= = + kN

dur.


P

O

2000

2000

4000

4000

P

P = 4000 kNB

ekil 2.16 Burkulma yknn bulunmas

2.3 Yerdeitirme Kontrollu Sistem Analizi

Malzeme ve/veya geometri deiimleri bakmndan dorusal olmayan sistemlerin artan d ykler altndaki davranlarnn belirlenmesi, dier bir deyile yk parametresi-yerdeitirme bantlarnn elde edilerek tama glerinin hesaplanmas istendiinde genel olarak iki farkl yoldan biri uygulanabilir.

a- Kuvvet kontrollu analiz

Hesabn balangcnda yk parametresi seilir ve ardk yaklamn her admnda bu yk parametresi esas alnarak hesap yaplr. Bu durumda elde edilecek zm, sistemin balangta seilen yk parametresi iin zmdr.

b- Yerdeitirme kontrollu analiz

Hesabn balangcnda sisteme ait herhangi bir bykln deeri seilir. Bu byklk yerdeitirme, ekildeitirme veya bir i kuvvet olabilir. Ardk yaklamn her admnda sz konusu bykln seilen deerini veren yk parametresinin hesab amalanr. Bu durumda, ardk yaklamn sonunda bulunan yk parametresi sistemde seilen bykl meydana getiren deere eit olacaktr. Elde edilen i kuvvet, ekildeitirme ve yerdeitirmeler ise sistemin bu yk parametresi iin zmn vermektedir.

Kuvvet kontrollu ve yerdeitirme kontrollu analiz yntemleri karlatrldnda u sonulara varlmaktadr.

i) Tek serbestlik dereceli sistemlerde, seilen her hangi bir byklk sistemin i kuvvet, ekildeitirme ve yerdeitirme durumunu tanmlamak iin yeterli olduundan, yerdeitirme kontrollu hesap kesindir; yani ilk admda sistemin gerek zmn vermektedir. ok serbestlik dereceli sistemlerde ise, ardk yaklamn birinci admnda elde edilen zm, artan yklerle birlikte sisteme ait byklklerin aralarndaki oran sabit kalacak ekilde arttklar varsaym altnda problemin yaklak zmn vermektedir. Dier admlarda, bu varsaymn neden olduu yaklakln etkisi gznne alndndan kesin zme hzla ulalaca sylenebilir.


ii) Sistemin tama gcn aan yk parametreleri iin, kuvvet kontrollu analizde zm elde edilememektedir, ekil 2.17. Buna karlk, yerdeitirme kontrollu analizde, seilen her yerdeitirme deeri iin bir zm elde edilebilir.

P

PB

O d

P1

ekil 2.17 Kuvvet ve yerdeitirme kontrollu analizlerin karlatrlmas (1)

iii) Yk parametresi - yerdeitirme bants bir maksimumdan geen sistemlerde, her yk parametresine birden fazla yerdeitirme durumu kar geldii halde, seilen her yerdeitirme durumuna tek bir yk parametresi kar gelmektedir, ekil 2.18. Bu zellik, sz konusu sistemlerin tama glerinin hesabnda, yerdeitirme kontrollu yntemin nemli bir stnln oluturmaktadr.

iv) Gmenin krlma (bir kesitteki i kuvvetin bir snr deere ulamas), byk yerdeitirmeler veya byk plastik ekildeitirmeler nedeniyle meydana gelmesi halinde, sz konusu kritik bykln seilen snr deeri iin hesap yapmak suretiyle gme yk dorudan doruya elde edilebilmektedir, ekil 2.19.

P

P1

O d

P3

d2d3d1

ekil 2.18 Kuvvet ve yer deitirme kontrollu analizlerin karlatrlmas (2)

P

PG

O ddG

gme

ekil 2.19 Yer deitirme kontrollu analizde gme yknn bulunmas


rnek 2.3

ekil 2.20 de zellikleri tanmlanan malzeme ve geometri deiimleri bakmndan dorusal olmayan sistem, yerdeitirme kontrollu sistem analizi ile, yatay yerdeitirmesinin verilen bir deeri iin hesaplanacak ve bu yerdeitirmeye kar gelen P yk parametresi bulunacaktr.

L

P

L

/ + 1L

/ LpM = M

pMM

ekil 2.20 Yer deitirme kontrollu analiz ile hesap

Saysal byklkler :

L = 10.00 m , = 0.04 ( H = 0.04 P) , = 0.20 m , Mp = 900 kNm , L = 0.01 radyan

a) geometrik sreklilik denklemi : 02.000.10

20.0==

=L

radyan

b) bnye denklemi : p/ 0.02 / 0.01

900 600/ 1 0.02 / 0.01 1

L

L

M M

= = = =

+ +kNm

c) denge denklemi : MPPL =+ +

=L

MP

100020.000.1004.0

600=

+=P kN

Not: Baz zel durumlarda, rnein d yklerin geri dnmesi (yk boalmas) halinde, yk parametresi yerdeitirme bantsnn elde edilebilmesi iin yerdeitirme kontrollu analiz de yeterli olmayabilir. Bu zel durumda, sistem davrannn (rnein plastik mafsallarn oluumunun) srekli olarak izlendii yntemlere bavurulmas gerekebilir.

Sonsuz rijit (EI=)

H=P


P

h

H

(a)

Pi e P1 i

BLM 3 GEOMETR DEMLER BAKIMINDAN DORUSAL OLMAYAN SSTEMLER 3.1 Tanmlar ve Esaslar Yerdeitirmelerin yeter derecede kk olmad yap sistemlerinde denge denklemlerinin ekildeitirmi eksen zerinde yazlmas gerekmektedir. Geometri deiimlerinin (yerdeitirmelerin) denge denklemlerine etkisinin gz nne alnd bu teoriye ikinci mertebe teorisi denir, ekil 3.1.

I. mertebe teorisi : hHM aI =

II. mertebe teorisi : D+= PhHM aII

II. mertebe terimi (PD etkisi)

ekil 3.1 Birinci ve ikinci mertebe teorilerinin karlatrlmas

kinci mertebe teorisinde yerdeitirmelerin geometrik sreklilik denklemlerine etkisi terkedilmektedir. Bu etkinin de gznne alnd teoriye sonlu deplasman teorisi ad verilir. naat mhendislii kapsamndaki yap sistemlerinde yerdeitirmelerin belirli snr deerleri amasna izin verilmediinden, yerdeitirmelerin geometrik sreklilik denklemlerine etkisi ok kere terkedilebilecek dzeyde kalmaktadr. kinci mertebe teorisi dorusal olmadndan sperpozisyon prensibi geerli deildir. Bu nedenle gvenlik gerilmeleri esasna gre hesap yaplamaz. Bunun yerine iletme (servis) yklerinin gvenlik katsaylar ile arpmndan oluan hesap ykleri (tasarm ykleri) altnda, sistem ikinci mertebe teorisine gre hesaplanarak kesit zorlar bulunur. Bu kesit zorlarndan oluan gerilmeler snr gerilmeyi amayacak ekilde, sistem boyutlandrlr, ekil 3.2.

II. Mertebe IIIIII TNM ,, Sss teorisi iletme hesap (tasarm) ykleri ykleri (Pi) (Ph = e1 Pi)

ekil 3.2 kinci mertebe teorisine gre boyutlandrma


rnek olarak, elik ve betonarme yaplar iin uygulanmakta olan gvenlik katsaylar ve snr gerilmeler aada tanmlanmtr. a) elik yaplar (TS 648 elik yaplar standardna gre)

i) gvenlik katsays : e1 = 1.67 ( EY yklemesi, yan etkisiz ) e1 = 1.45 ( EIY yklemesi, yan etkili ) ii) snr gerilme : sS = sakma ( akma gerilmesi) Fe 37 sS = 235 N/mm2 Fe 52 sS = 353 N/mm2

b) betonarme yaplar (TS 500 betonarme standardna gre) i) gvenlik katsaylar : e1 : yk katsaylar ii) snr gerilmeler : fcd , fyd (beton ve beton elii snr gerilmeleri)

3.2 Genel Yntem (Ardk Yaklam Yntemi)

3.2.1 kinci Mertebe Teorisine Gre Hesap Genel yntemin en belirgin zellii, sistem ve ykleme zelliklerinden bamsz olarak her trl yap sistemine uygulanabilmesidir. Bu yntemin uygulanmasnda Kuvvet veya Yerdeitirme (Deplasman) yntemlerinden herhangi biri kullanlabilir.

D ykler etkisindeki bir yap sisteminin ekildeitirmi ekseni bilinirse denge denklemleri bu eksen zerinde yazlarak ikinci mertebe teorisine gre hesap yaplabilir. Ancak zme bal olan ekildeitirmi eksen balangta bilinmediinden bir ardk yaklam ynteminin uygulanmas gerekmektedir.

Ardk yaklamn birinci admnda sistem birinci mertebe teorisine gre hesaplanarak, bu adma ait ( ) ( ) ( )111 ,, TNM kesit zorlar ve ( )1d yerdeitirmeleri bulunur, ekil 3.3.

I. Mertebe ( ) ( ) ( ) ( )1111 ,,, dTNM teorisi

hesap ykleri (Ph = e1 Pi)

ekil 3.3 Ardk yaklam ynteminin birinci adm

kinci admda ekildeitirmi eksen sistem ekseni olarak alnr. Denge denklemleri bu eksen zerinde yazlarak sistem yeniden hesaplanr ve bu adma ait ( ) ( ) ( ) ( )2222 ,,, dTNM byklkleri bulunur, ekil 3.4.

rnein Kuvvet ynteminden yararlanarak hesap yaplmas halinde, d yklerden ve birim yklemelerden oluan iMM ,0 diyagramlar izilirken eksen erisi olarak ekildeitirmi eksen esas alnr.


denge denklemleri ekildeitirmi sistem ( ) ( ) ( ) ( )2222 ,,, dTNM zerinde yazlarak

hesap ykleri (Ph = e1 Pi)

ekil 3.4 Ardk yaklam ynteminin ikinci adm

Kuvvet yntemi denklem takmnn katsay ve sabitlerini oluturan ikd ve 0id terimleri

EI

sMMEIdsMM kikiik

D@= d (3.1)

EI

sMMEIdsMM iii

D@= 000d (3.2)

eklinde saysal integrasyon ile hesaplanabilir. Bu arpmlarda diyagramlardan biri ekildeitirmi sistemden, dieri ekildeitirmemi sistemden alnmaldr. Bunun nedeni, ikinci mertebe teorisinde geometrik sreklilik denklemlerinin ekildeitirmemi sistem zerinde yazlmas gereinden kaynaklanmaktadr.

stenirse, denge denklemleri ekildeitirmi eksen zerinde yazlacak yerde, yksz eksen (ekildeitirmemi eksen) esas alnr ; buna karlk her admda d yklerle beraber

cd 2L

N (3.3)

fiktif kuvvetleri de hesaba katlr, ekil 3.5. Buradaki c2 katsays, eksen erisinin dorusal olmamasndan doan ek fiktif kuvvetleri ifade etmektedir. Bu katsay genellikle

20.1200.1 c arasndadr. Gznne alnan eleman boylarnn yeter derecede kk olmas halinde 00.12 @c olarak alnabilir.

ok katl ereve sistemlerin ikinci mertebe teorisine gre hesabnn fiktif kuvvelerden yararlanarak yaplmas halinde, en alt katta 20.12 @c , st katlarda ise 00.12 @c alnmas nerilmektedir, [18].

Ardk yaklamn her admnda, bir nceki adm sonunda bulunan ekildeitirmi ekseni sistem ekseni olarak almak ve denge denklemlerini bu eksen zerinde yazmak suretiyle hesaba devam edilir. Herhangi bir admda esas alnan eksen erisi ile hesap sonucunda bulunan ekildeitirmi eksen birbirine yeter derecede yakn olunca ardk yaklama son verilir.


N d 2c L

N d 2c L

L

N

N

N

N

ekil 3.5 Fiktif kuvvetler

Ardk yaklamn belirli bir sonuca yaknsamamas, yani raksak olmas halinde sistemin bu ykleri tayamad anlalr. Ykler belirli bir snr deerin altnda ise ardk yaklam yaknsaktr. Ancak ykler arttka ardk yaklamn yaknsaklk hz azalr. Ardk yaklamn yaknsaklk hznn fazla olmad hallerde, aada aklanan yaklak bir yntem uygulanarak hesaplar ksaltlabilir.

Yaklak Yntem Ardk yaklamn eitli admlarnda her kesitte ayr ayr hesaplanan byklkler, rnein eilme momentleri ile bunlara bal olarak tanmlanan dier parametreler aada verilmitir.

( )1M ( )2M ( )3M ( )4M .......

( ) ( )121 MMM -=D ( ) ( )23

2 MMM -=D ( ) ( )34

3 MMM -=D .......

( )111 / MMD=a 122 / MM DD=a 233 / MM DD=a ....... Bu parametreler yardmyla, ikinci mertebe teorisine ait byklkler elde edilebilir. rnein, IIM ikinci mertebe eilme momenti iin

( ) .....3211 +D+D+D+= MMMMM II

( ) ( ) ( ) ( ) .....13211

211

11 ++++= MMMMM II aaaaaa

( ) [ ].....1 3212111 ++++= aaaaaaMM II (3.4)

bants yazlabilir. Ardk yaklamn ilerleyen admlarnda, her kesitteki a saylar giderek birbirine yakn deerler almakta, ayrca ardk iki admdaki a deerleri de birbirine yaklamaktadr.

Buna gre, rnein 432 aaa @@ ..... olduu varsaym yaplrsa, (3.4) bants

( ) ( )[ ] ( )

-

+@+++++=2

112

32

221

1

11....11

aa

aaaa MMM II (3.5)

d


eklini alr. Bu durumda, 2a saysn hesaplamak iin ( ) ( ) ( )321 ,, MMM deerlerinin

bulunmas, yani ardk yaklamn adm uygulanmas gerekmektedir.

....432 @@@ aaa varsaymnn yaplabilmesi iin i) 1a ve 2a saylarnn birbirine yakn deerler almas, ii) ayrca her kesitteki 2a deerlerinin de birbirine yakn olmas gerekir.

Sisteme ait dier byklkler, rnein yerdeitirmeler de benzer ekilde

( )

-

+@2

11

11

aa

dd II (3.6)

bants ile hesaplanabilir. Buradaki 1a , 2a saylar yerdeitirmeler iin hesaplanan a saylarn gstermektedir. Daha salkl ve hassas sonu elde etmek istenirse, daha ok sayda adm tekrarlamak gerekebilir. rnein, ....543 @@@ aaa varsaym ile

( )

-

++@3

211

1

11

aaa

aMM II (3.7)

forml elde edilir. Bu durumda sistemin drt adm hesaplanmas gerekir.

kinci admdan sonra hesaba son verilirse

( )

-

@1

1

11a

MM II (3.8)

yaklak forml kullanlabilir.

Problem : ki ve drt adm hesap sonucunda uygulanabilen ve yukarda (3.7) ve (3.8) ifadeleri ile verilen ekstrapolasyon formllerini karnz.

3.2.2 Burkulma Yknn Bulunmas Sisteme etkiyen d ykler, aralarndaki oran sabit kalacak ekilde arttrlarak her yk parametresi iin ikinci mertebe teorisine gre hesap yaplr ve P yk parametresi ile d yer deitirmesi (veya P yk parametresi ile M eilme momenti) arasndaki bant izilirse, yklerin bir PB snr deerinden daha byk olamad grlr, ekil 3.6. Snrlama genellikle bir yatay asimptot ile olur. Dayanm ile ilikisi bulunmayan ve stabilite yetersizlii nedeniyle sistemin gmesine neden olan bu yke burkulma yk denir. Burkulma yk altnda sistemin yerdeitirmeleri ve kesit zorlar sonsuza gitmektedir.

Uygulamada, iletme yklerinin burkulma yknden bir 2e gvenlik katsays kadar uzakta olmas istenir.

2ePP Bi ( 2e : burkulma gvenlik katsays ) (3.9)

Burkulma gvenlik katsays iin pratikte genellikle 50.22 =e deeri kullanlmaktadr.


I. mertebe

II. mertebe(P: ekme)

P

PB

II. mertebe(P: basin)

O

P

ardk yaklam raksak

ardk yaklam yaknsak

(veya M)

ekil 3.6 kinci mertebe teorisi ve burkulma yk

a) Yk Artm Yntemi ile Burkulma Yknn Hesab Sistem artan ykler iin ikinci mertebe teorisine gre hesaplanarak yk parametresi yerdeitirme (P - d ) erisi izilir. Bu erinin yatay asimptotunun ordinat BP burkulma ykn vermektedir. Asimptotun bulunmas genellikle zahmetli olduundan, uygulamada daha pratik olan aadaki yol uygulanabilir.

Yk parametresinin eitli deerleri iin hesap yaplarak P ile P d arasndaki bant izilir, ekil 3.7. Yk parametresinin BP burkulma ykne eit olmas halinde P d = 0 olacandan, P - P d diyagramnn P eksenini kestii noktann apsisi ekstrapolasyon ile bulunarak PB burkulma yk hesaplanr.

O PP2P1

PB

P11

P22

P

ekil 3.7 Burkulma yknn bulunmas


b) Yaklak Yntem

Sistemin burkulmas, yani IIM eilme momentlerinin sonsuz olmas iin, rnein iki adm hesap sonunda uygulanan

( )

-

=1

1

11a

MM II (3.8)

formlnde 11 =a olmas gerekir.

Sisteme etkiyen yklerin belirli bir k orannda artmas halinde, yklerle yerdeitirmelerin arpmndan oluan ikinci mertebe etkileri bu orann karesi mertebesinde artmakta, dolaysyla ikinci mertebe etkilerinin birinci mertebe momentine orann ifade eden 1a katsays k katna kmaktadr. Benzer durum dier a katsaylar iin de geerlidir.

Buna gre, hesapta kullanlan P ykleri yerine 1/aP yklerinin alnmas halinde 11 =a olur. Bu durumda sistemin burkulma yk iin

1aPPB = (3.10)

bants elde edilir. Bu bantnn kullanlabilmesi iin, her kesitte bulunan 1a deerlerinin birbirine yakn olmas gerekir. Formlde kullanlacak 1a deeri iin arlkl ortalama alnmas uygun olur.

Her kesitte bulunan 1a deerleri birbirine yeter derecede yakn deilse veya daha hassas sonu elde etmek isteniyorsa, veya drt adm hesap yaparak

2aPPB = (3.10a)

veya

3a

PPB = (3.10b)

bantlar kullanlabilir.

TS 500 Betonarme Yaplar Standardndaki Moment Bytme Katsaysnn Elde edilmesi Bu blmde aklanan ardk yaklam ynteminin iki adm uygulanmas halinde ikinci mertebe momentlerini veren (3.8) bantsnda, 1a katsaysnn (3.10) da verilen ifadesi yerine konursa

( )

B

II

PPMM

/1

1

-= (3.11)

forml bulunur. Bu formlde, TS 500 standardnda kullanlan notasyona uygun olarak

PN d = : tasarm eksenel kuvveti Bk PN = : kritik yk (burkulma yk)


( )1/ MM II=b : moment bytme katsays (ikinci ve birinci mertebe eilme momentlerinin oran)

dnmleri yaplr ve eleman rijitliklerindeki olas deiimi gz nne alan 1.3 deerindeki bir gvenlik katsays hesaba katlrsa

k

d

NN

3.11

1

-=b (3.11a)

elde edilir. Grld gibi, (3.11a) bants TS 500 standardndaki moment bytme katsaysn vermektedir.

3.2.3 Genel Yntemin Yerdeitirme Yntemi Kullanarak Uygulanmas Genel yntemin uygulanmasnda Yerdeitirme (Deplasman) Ynteminden yararlanlmas halinde, birinci mertebe teorisine gre hesap iin hazrlanm bilgisayar yazlmlarn kullanarak, eitli zellikler ieren yap sistemlerinin (eri eksenli ve deiken kesitli ubuklardan oluan sistemler, eksenel kuvvetleri ekme olan sistemler vb.) ikinci mertebe teorisine gre hesaplanmas mmkn olmaktadr.

Bunu iin yaplmas gereken ilem, ardk yaklamn her admnda, bir nceki adm sonunda elde edilen ekildeitirmi ekseni sistem ekseni olarak tanmlamaktan ve bilgisayar programnn giri bilgilerini buna gre hazrlamaktan ibarettir. Bu ilem bir ara program yardm ile otomatik olarak da yaplabilir.

rnek 3.1 Geometrisi, hesap ykleri ve elastik zellikleri ekil 3.8 de verilen sistemin

a) ikinci mertebe teorisine gre hesab yaplarak eilme momenti diyagram izilecek ve yerdeitirmeleri bulunacak,

b) burkulma ykleri hesaplanacaktr. Basitlik asndan, ubuklarn sonsuz rijit olduu ve sistemin ekildeitirmelerinin belirli kesitlerdeki elastik birleimlerde topland varsaylacaktr.

L= 8.0 m

P = P = 400 kN1

H =k P=40 kN1 2

H =k P=80 kN2 3

L= 4.0 m

(a) R = =10000 kNm

P =k P = 800 kN2 1

Sonsuz rijit

aM

b(b) R =40000 kNm

ekil 3.8 Sistem ve ykler


Bu blmde aklanan ardk yaklam yntemi, ekildeki sistem zerinde (4) adm uygulanm ve her adm sonunda elde edilen M eilme momenti diyagramlar ve d yerdeitirmeleri ekil 3.9 zerinde topluca gsterilmitir.

0.336 0.064

0.400m

0.2240.176

112040000= 0.0280

0.0160

160

M(1)

0.438 0.092

0.530m

0.2920.238

0.0365

0.0230

230.4

M(2)

0.470 0.102

0.572m

0.3130.259

0.0391

0.0255

255.2

1565.6M(3)

0.480 0.105

0.585m

0.3200.265

0.0400

0.0264

263.6

M(4) kNm

1599.2 kNm

1120 kNm

1459.2 kNm

(1) (2)

(3) (4)

ekil 3.9 Ardk yaklamn drt admna ait eilme momentleri ve yerdeitirmeler

rnek olarak, ardk yaklamn birinci adm sonunda elde edilen ekildeitirmi eksen zerine yazlan denge denklemleri ile, ikinci adma ait eilme momentleri

( ) 4.230176.04004402 =+=aM kNm

( ) 2.1459224.0800400.040088012402 =+++=bM kNm

olarak bulunur. Bu eilme momentlerinden dolay, (a) ve (b) kesitlerindeki elastik birleimlerde oluan dnmeler

0230.010000

4.230==aq rad ve 0365.040000

2.1459==bq rad

Prof. Dr. Erkan zer 10/23 19.02.2009

sistemin yerdeitirmeleri ise

292.080365.0 ==ad m ve 530.040230.0120365.0 =+=ustd m

deerlerini alrlar. Ardk yaklamn sonunda, kritik kesitlerde elde edilen eilme momentleri ve bunlara bal olarak hesaplanan dier yardmc byklkler aada verilmitir.

(a) kesiti iin :

( ) 1601 =M kNm ( ) 4.2302 =M kNm ( ) 2.2553 =M kNm ( ) 6.2634 =M kNm

( ) ( ) 4.70121 =-=D MMM kNm 8.242 =DM kNm 4.83 =DM kNm

( ) 440.011

1 =D

=M

Ma 352.0

1

22 =D

D=

MM

a 339.03 =a

(b) kesiti (taban kesiti) iin :

( ) 11201 =M kNm ( ) 2.14592 =M kNm ( ) 6.15653 =M kNm ( ) 2.15994 =M kNm

2.3391 =DM kNm 4.1062 =DM kNm 6.333 =DM kNm

303.01 =a 314.02 =a 316.03 =a

Bu byklkler yardmyla, taban kesitindeki eilme momenti :

2. adm sonunda (3.8) forml ile : ( ) 9.1606303.01

111201

1

1

1 =-

=-

=a

MM II kNm

3. adm sonunda (3.5) forml ile: 7.1614314.01

303.011120 =

-+=IIM kNm

4. adm sonunda (3.7) forml ile: 1.1615316.01

314.0303.0303.011120 =

-

++=IIM kNm

olarak bulunur.

Burkulma Yknn Hesab : Taban kesitindeki a deerlerinden yararlanarak burkulma yk hesaplanacaktr.

2. adm sonunda 1a katsays ile : 1320303.0400

1

===aPPB kN


2

===aPPB kN


3

===aPPB kN

Prof. Dr. Erkan zer 11/23 19.02.2009

Elde edilen saysal sonulardan yararlanarak izilen yk parametresi taban eilme momenti (P Mb) diyagram ekil 3.10da, burkulma durumuna kar gelen d ykler ekil 3.11de gsterilmitir.

I. mertebe

P (kN) P =1266B

II. mertebe

O

400

1120 1615.1 M (kNm)b

ekil 3.10 Yk parametresi taban eilme momenti (P Mb) diyagram

2536 kN

BP = 1266 kN

126.6 kN

253.6 kN

ekil 3.11 Burkulma ykleri

kinci mertebe etkilerinin fiktif kuvvetler ile ifade edilerek hesap yaplmasna rnek olmak zere, ardk yaklamn ikinci admna ait fiktif kuvvetler aada elde edilmi, sisteme uygulanm ve bu adm sonunda bulunan ( )2M diyagram ekil 3.12de gsterilmitir. ekilden grld gibi, geometri deiimlerinin denge denklemlerine etkisini ifade eden fiktif kuvvetler

sistemin st blgesinde : 6.170.4

176.0400=

kN

sistemin alt blgesinde : 6.330.8

224.01200=

kN

deerlerini almaktadr. Bu fiktif kuvvetlerin verilen d yklere eklenmesi ile elde edilen toplam ykler sisteme uygulanarak ikinci adma ait ( )2M eilme momenti diyagram izilir.

Prof. Dr. Erkan zer 12/23 19.02.2009

0.176

0.224

Fiktif Kuvvetler

57.6 kN

96.0

Toplam Kuvvetler

230.4

1459.2 kNmM(2)

4

8

(1)

16.0

17.6 kN

33.6

17.633.6

17.6 kN

ekil 3.12 Fiktif kuvvetler ile hesap

3.3 Yerdeitirme (A) Yntemi ile kinci Mertebe Teorisine Gre Hesap

3.3.1 Varsaymlar Bu blmde, dzlem ubuk sistemlerinin geleneksel Yerdeitirme (A) yntemi ile ikinci mertebe teorisine gre hesab incelenecektir. Yntemin gelitirilmesinde ve uygulanmasnda u varsaymlar yaplacaktr:

i- ubuklar doru eksenlidir, ii- ubuk en kesiti ubuk boyunca sabittir, iii- normal kuvvet ubuk boyunca sabittir.

Bu koullarn salanmad hallerde, ubuklar doru eksenli, sabit enkesitli ve normal kuvveti sabit varsaylabilen kk paralara blnerek idealletirilebilirler, ekil 3.13.

2

13

4

~~

N sabitEI sabit~

~

ekil 3.13 ubuklarn idealletirilmesi

3.3.2 Yardmc Bilgiler

3.3.2.1 ubuk Diferansiyel Denklemi D ykler, u kuvvetleri ve sabit eksenel basn kuvveti etkisindeki bir doru eksenli prizmatik (sabit enkesitli) ubuun ikinci mertebe teorisine ait diferansiyel denklemi elde edilecektir.

Prof. Dr. Erkan zer 13/23 19.02.2009

kinci mertebe teorisinde, ekildeitirmi eksen zerinde yazlan denge denklemi

( ) ( ) ( )IM x M x Nv x= + (3.12)

eklindedir.

L

M ij Tij Tji

M ji

x

x EI=sabit

i j

v(x)v(x)

v'(x)

N: basin N: basin

ekil 3.14 ubuk diferansiyel denkleminin elde edilmesi

Bu denklemdeki ( )xM I birinci mertebe eilme momenti, ubuk u kuvvetlerine ve ubuk zerindeki yklere bal olarak, Mo(x) ubuk zerindeki yklerden oluan basit kiri eilme momentini gstermek zere

++

+-= xL

MMMxM jiijij

I )( Mo(x) (3.13)

eklinde yazlabilir. Elastik ubua ait

EI

xMdx

xvd )()(2

2

-= (3.14)

ekildeitirme denkleminde, )(xM eilme momentinin (3.12) denklemindeki ifadesi yerine konursa

0)()()( 222

=++EI

xMxvdx

xvd Ia

=

EIN2a : sabit (3.15)

ubuk diferansiyel denklemi elde edilir. kinci mertebeden sabit katsayl olan bu diferansiyel denklemin genel zm, )(xF zel zm gstermek zere

)(cossin)( xFxBxAxv ++= aa (3.16)

eklindedir.

3.3.2.2 ubuk U Kuvvetleri ve U Yerdeitirmeleri kinci mertebe teorisine gre hesapta, doru eksenli ubuklarn u kuvvetlerinin ve u yerdeitirmelerinin tanm birinci mertebe teorisinin ayndr, ekil 3.15. Aradaki tek fark, ikinci mertebe teorisinde N u kuvvetinin pozitif ynnn basn olarak alnmasndan kaynaklanmaktadr.

Prof. Dr. Erkan zer 14/23 19.02.2009

j

i

j

i

jiM

jiTijM

jiNN

ijT

ij

j

i

ekil 3.15 ubuk u kuvvetleri ve u yerdeitirmeleri

3.3.2.3 Birim Yerdeitirme (Birim Deplasman) Sabitleri Birim yerdeitirme sabitleri, u yerdeitirmelerinin birim deerlerinden oluan u kuvvetleri olarak tanmlanmaktadr. Doru eksenli dzlem ubuklarda, ikinci mertebe teorisine ait birim yerdeitirme sabitlerini belirlemek iin farkl yerdeitirme durumu gznne alnr.

(A) Durumu : 1=iq , 0=jq , 0=ijd , d ykler = 0 (ekil 3.16)

i jN N

L

EI

x

mj i

j ittmi i i i

i=1

ekil 3.16 (A) Durumu (qi = 1 durumu)

Bu duruma ait snr koullar :

0=x iin 0)0( =v 1)0( -=dxdv

Lx = iin 0)( =Lv 0)( =Ldxdv

Snr koullar kullanlarak, diferansiyel denklemin zmne ait A ve B katsaylar ile iim q ijM= , jiij Mm =q birim yerdeitirme sabitleri hesaplanr. Bu bantlar aada

verilmitir.

( )( ) LLLLLLL

LEIm ii aaa

aaaaq sincos12

cossin 2

---

= EINLL =a (N : basn) (3.17)

( )

( ) LLLLLL

LEIm ij aaa

aaaq sincos12

sin)( 2

---

= (3.18)

Prof. Dr. Erkan zer 15/23 19.02.2009

ubuun denge denklemlerinden

L

mmtt ijiiijii

qqqq

+== (3.19)

olarak elde edilir.

(B) Durumu : 0=iq , 1=jq , 0=ijd , d ykler = 0 (ekil 3.17)

i jN N

L

EI=1j

j jt

j jm

i jti jm

ekil 3.17 (B) Durumu (qj = 1 durumu)

Betti kartlk teoreminden : ijji mm qq = ( A ve B durumlar arasnda ) simetri zelliinden : iijj mm qq =

ubuun denge denklemlerinden: L

mmtt jjjijjji

qqqq

+==

elde edilir.

(C) Durumu : 0=iq , 0=jq , 1=ijd , d ykler = 0 (ekil 3.18)

N

N

L

EIi j

j'mi ij=1

t i

t j

mj

ekil 3.18 (C) Durumu (dij = 1 durumu)

Betti kartlk teoreminden : iji tm qd = ( A ve C durumlar arasnda ) jjj tm qd = ( B ve C durumlar arasnda ) simetri zelliinden : dd ji mm =

ubuun denge denklemlerinden: LN

Lmm

tt jiji -+

== dddd (3.20)

elde edilir.

Prof. Dr. Erkan zer 16/23 19.02.2009

zel Durum : Bir ucu mafsall ubuk Bir ucu mafsall zel ubuun (ekil 3.19) ikinci mertebe teorisine ait birim yerdeitirme sabitleri, standart ubuun birim yerdeitirme sabitlerinden yararlanarak

N N

L

EIi j

ekil 3.19 Bir ucu mafsall ubuk

i j j ii i i ij j

m mm m

mq q

q qq

= - (3.21)

L

mtt iiijii

qqq == (3.21a)

iji tm qd = (3.21b)

LN

lm

t ii -=d

d (3.21c)

formlleri ile hesaplanr.

3.3.2.4 Ykleme Sabitleri Ykleme sabitleri, u yerdeitirmeleri sfr iken, yalnz d yklerden oluan u kuvvetleri olarak tanmlanmaktadr.

Uygulamada genellikle karlalan dzgn yayl ykten oluan ykleme sabitleri, (3.15) diferansiyel denkleminin zmnden

Mij = Mji = ( )2

tan

22tan

2

2

L

LL

LqL

a

aa

a

- (3.22)

Tij = Tji =2

qL (3.22a)

olarak bulunur, ekil 3.20.

Prof. Dr. Erkan zer 17/23 19.02.2009

N N

L

EIi j

q

ij

ji

ij

ji

T M

M

T

ekil 3.20 Ykleme sabitleri

zel Durum : Bir ucu mafsall ubuk Bir ucu mafsall zel ubukta dzgn yayl ykten oluan ankastrelik momenti, standart ubuun ankastrelik momentine ve birim yerdeitirme sabitlerine bal olarak

Mij = Mij Mjijj

ji

mm

q

q (3.23)

bants ile hesaplanabilir. Tij ve Tji ykleme sabitleri ise ubuun denge denklemlerinden bulunur, ekil 3.21.

N

L

EIi j

q

ij ij

jiT T M

ekil 3.21 Bir ucu mafsall ubukta ykleme sabitleri

Doru eksenli prizmatik ubuklarda birim yerdeitirme ve ykleme sabitlerinin ikinci

mertebe teorisine ait deerleri, EINLL =a parametresine bal olarak, Tablo 3.1 ve

Tablo 3.2 de verilmilerdir.

Prof. Dr. Erkan zer 18/23 19.02.2009

Tablo 3.1 kinci mertebe teorisine ait birim yerdeitirme ve ykleme sabitleri

LEIi j

q

Mij /qL2 = Mji /qL2

0.00 4,000 2,000 6,000 12,000 0.0833 0.10 3,999 2,000 5,999 11,998 0.0833 0.20 3,995 2,001 5,996 11,952 0.0834 0.30 3,988 2,003 5,991 11,892 0.0835 0.40 3,979 2,005 5,984 11,808 0.0836 0.50 3,967 2,008 5,975 11,700 0.0837 0.60 3,952 2,012 5,964 11,568 0.0838 0.70 3,934 2,017 5,951 11,412 0.0840 0.80 3,914 2,022 5,936 11,231 0.0842 0.90 3,891 2,028 5,919 11,027 0.0845 1.00 3,865 2,034 5,899 10,799 0.0848 1.10 3,836 2,042 5,878 10,546 0.0851 1.20 3,804 2,050 5,854 10,269 0.0854 1.30 3,769 2,059 5,829 9,968 0.0858 1.40 3,732 2,070 5,801 9,642 0.0862 1.50 3,691 2,081 5,771 9,293 0.0866 1.60 3,647 2,093 5,739 8,918 0.0871 1.70 3,599 2,106 5,705 8,520 0.0876 1.80 3,548 2,120 5,668 8,096 0.0882 1.90 3,494 2,135 5,629 7,649 0.0888 2.00 3,436 2,152 5,588 7,176 0.0895 2.25 3,275 2,200 5,474 5,886 0.0913 2.50 3,088 2,257 5,345 4,440 0.0935 2.75 2,872 2,327 5,199 2,836 0.0962 3.00 2,624 2,411 5,036 1,071 0.0993 3.25 2,339 2,515 4,853 -0.856 0.1030 3.50 2,008 2,642 4,651 -2,949 0.1075 3.75 1,624 2,802 4,426 -5,211 0.1130 4.00 1,173 3,004 4,177 -7,646 0.1197 4.25 0.635 3,266 3,901 -10,261 0.1282 4.50 -0.019 3,614 3,595 -13,060 0.1391 4.75 -0.839 4,093 3,255 -16,053 0.1536 5.00 -1,909 4,785 2,876 -19,248 0.1739 5.25 -3,395 5,847 2,452 -22,659 0.2039 5.50 -5,673 7,647 1,975 -26,301 0.2532 5.75 -9,811 11,245 1,434 -30,194 0.3487 6.00 -20,638 21,454 0.816 -34,367 0.6124

LEI

m iiq

EINLL =a

LEI

m jiq2L

EImid

iit q=3L

EItid

Prof. Dr. Erkan zer 19/23 19.02.2009

Tablo 3.2 kinci mertebe teorisine ait birim yerdeitirme ve ykleme sabitleri zel durum: Bir ucu mafsall ubuk

LEIi j

Mij /qL2

0.00 3,000 3,000 3,000 0.1250 0.10 2,998 2,998 2,988 0.1250 0.20 2,992 2,992 2,952 0.1252 0.30 2,982 2,982 2,892 0.1254 0.40 2,968 2,968 2,808 0.1257 0.50 2,950 2,950 2,700 0.1261 0.60 2,927 2,927 2,567 0.1265 0.70 2,901 2,901 2,411 0.1271 0.80 2,870 2,870 2,230 0.1277 0.90 2,834 2,834 2,024 0.1285 1.00 2,794 2,794 1,794 0.1294 1.10 2,749 2,749 1,539 0.1300 1.20 2,699 2,699 1,259 0.1314 1.30 2,644 2,644 0.954 0.1326 1.40 2,584 2,584 0.624 0.1340 1.50 2,518 2,518 0.268 0.1355 1.60 2,446 2,446 -0.114 0.1371 1.70 2,367 2,367 -0.523 0.1389 1.80 2,282 2,282 -0.958 0.1409 1.90 2,189 2,189 -1,421 0.1431 2.00 2,088 2,088 -1,912 0.1455 2.25 1,797 1,797 -3,265 0.1527 2.50 1,438 1,438 -4,812 0.1619 2.75 0.987 0.987 -6,575 0.1741 3.00 0.408 0.408 -8,952 0.1905 3.25 -0.366 -0.366 -10,928 0.2138 3.50 -1,468 -1,468 -13,718 0.2490 3.75 -3,208 -3,208 -17,270 0.3078 4.00 -6,518 -6,518 -22,518 0.4262 4.25 -16,151 -16,151 -34,214 0.7871 4.50 683,788 683,788 663,538 -26,178 4.75 19,141 19,141 -3,421 -0.5962 5.00 10,084 10,084 -14,916 -0.2620 5.25 6,674 6,674 -20,889 -0.1473 5.50 4,636 4,636 -25,614 -0.0881 5.75 3,078 3,078 -29,985 -0.0513 6.00 1,665 1,665 -34,335 -0.0242

EINLL =a

LEImj

LEIm iiq

2LEImid

iit q=3L

EIt id

Prof. Dr. Erkan zer 20/23 19.02.2009

3.3.2.5 Birim Yerdeitirme ve Ykleme Sabitleri in Yaklak Formller Doru eksenli prizmatik ubuklarda ikinci mertebe teorisine ait birim yerdeitirme ve ykleme sabitlerini veren yukardaki ifadelerde, trigonometrik fonksiyonlarn seri almlar yazlarak ilk iki terimi gznne alnr ve gerekli sadeletirmeler yaplrsa, birim yerdeitirme ve ykleme sabitleri iin aadaki basit, yaklak formller elde edilebilir.

a) Birim Yerdeitirme Sabitleri : ( )EI

NLL2

2 =a olmak zere,

( )15

2430

142 NL

LEIL

LEIm ii -=

-=

aq (3.24)

( )30

260

122 NL

LEIL

LEIm ji +=

+=

aq (3.25)

( )10

660

16 22

2

NLEIL

LEIttm ijiii -=

-===

aqqd (3.26)

( )LN

LEIL

LEIti 5

61210

112 32

3 -=

-=

ad (3.27)

a1) zel Durum : Bir ucu mafsall ubuk

( )5

315

132 NL

LEIL

LEIm ii -=

-=

aq (3.28)

( )5

315

13 22

2

NLEIL

LEIttm ijiii -=

-===

aqqd (3.28a)

( )LN

LEIL

LEIti 5

6315613 3

23 -=

-= ad (3.28b)

b) Ykleme Sabitleri : Dzgn yayl yk iin ankastrelik momentleri

Mij = Mji = ( )

+

22

601

12LqL a (3.29)

b1) zel Durum : Bir ucu mafsall ubuk

Mij = ( )

+

22

301

8LqL a (3.30)

T ankastrelik u kuvvetleri ubuun denge denklemleri ile bulunabilir.

Problem : iim q birim yerdeitirme sabitine ait yaklak forml karnz.

Prof. Dr. Erkan zer 21/23 19.02.2009

Yaklak formllerle hesaplanan katsay ve sabitlerin bal hatalar aL 1.50 iin % 0.3 ten, aL 2.00 iin % 1.0 den daha kk deerler almaktadr. aL parametresinin daha byk deerleri iin, ubuklar kk paralara blnerek yaklak formllerin hata oran azaltlabilir.

Yaklak formllerin kesin formllere gre balca stnlkleri unlardr.

a) Kesin formllerde, aL parametresinin ok kk deerleri iin, yuvarlanma hatalar nedeniyle gerek sonulardan uzaklalabilmektedir. Buna karlk, yaklak formllerde bu durum sz konusu deildir.

b) Yaklak formller eksenel kuvvetin basn ve ekme olmas hallerinin her ikisi iin de geerlidir.

c) Yaklak formllerle elde edilen birim yerdeitirme ve ykleme sabitlerinde birinci ve ikinci mertebe terimleri birbirinden ayrldndan, zellikle matris yerdeitirme yntemi ile hesapta kolaylklar salanabilmektedir.

3.3.2.6 U Kuvvetleri ile U Yerdeitirmeleri Arasndaki Bantlar U kuvvetleri ile u yerdeitirmeleri arasndaki bantlar birinci mertebe teorisinin ayndr. Birinci mertebe teorisinde olduu gibi, ikinci mertebe teorisinde de doru eksenli ubuklarn eksenel dorultudaki ijD u yerdeitirmeleri terk edilmektedir.

yapi sistemlerinin dogrusal olmayan analizi

Documents