X

Transzendent

Algebraische Zahlen sind Lösungen von algebraischen Gleichungen

p(x) = a0 + a1x1 + a2x2 + ... + anxn = 0

mit ganzzahligen Koeffizienten a und nichtnegativen Zahlen n.

n heißt Grad des Polynoms.

Jede rationale Zahl ist eine algebraische Zahl

p(x) = u - vx

Bsp.: 2 + x = 0 x = -2

2 - 3x = 0 x = 2/3

2 - x2 = 0 x1 = - , x2 =

1 + x3 = 0 x1 = -1 , x2 = - i , x3 = + i

Eine nicht algebraische Zahl heißt transzendent.

Der Grad einer rationalen Zahl ist n = 1Der Grad einer Quadratwurzel ist n = 2Der Grad einer Kubikwurzel ist n = 3...Der Grad einer transzendenten Zahl ist nicht endlich.

2 2

32

32

12

12

Irrationalitätsbeweis:

x ist nicht Wurzel eines Polynoms vom Grade n = 1:

a0 + a1x = 0 mit a0,a1

sonst wäre x = -a0/a1

Transzendenzbeweis:

x ist nicht Wurzel eines Polynoms

a0 + a1x + ... + anxn = 0 mit a

von beliebigem Grade n <

Obwohl die rationalen Zahlen jeden Punkt der Zahlengerade zu bedecken scheinen, gibt es weitere, die irrationalen Zahlen.

Obwohl die algebraischen Zahlen jeden Punkt der Zahlengerade zu bedecken scheinen, gibt es weitere, die transzendenten Zahlen.

Alle transzendenten Zahlen sind Irrationalzahlen.

Transzendente Zahlen

Joseph Liouville (1809 - 1882 )1833 Professor in Parisbekannt vor allem durch denLiouvilleschen Satz: xv = const.Fand 1844 die erste transzendente Zahl =

n =

1 = 0,12 = 0,113 = 0,110001

= 0,110001...0001000...0001000...0001000... 1 2 6 24 120 720

(irrational, weil nichtperiodisch)Transzendenzbetrachtung: Würde eine algebraische Gleichung n-ten Grades erfüllen, so auch unendlich viele . Damit hätte die Polynomgleichung mehr als n verschiedene Nullstellen.

=1

∞

110!

=1

n

10-!

Charles Hermite (1822 - 1901)

bewies 1873 die Transzendenz der Zahl e.

a0 + a1e + a2e2 +...+ anen

0

Carl Louis Ferdinand von Lindemann (1852 - 1939)

bewies 1882 die Transzendenz der Zahl

a0 + a1 + a22 +...+ ann

0

Lindemann zeigte, gestützt auf den Hermiteschen Beweis, daß

1e1 + ... + nen ≠ 0

für verschiedene algebraische Zahlen 1,...,n

und algebraische Zahlen 1,...,n ≠ 0.

Aus ei + 1 = 0 folgt damit die Transzendenz der Zahl .

Ein Polynom kreuzt die Abszisse niemals in x = e oder .

Das uralte Problem Kreisquadratur wurde 1882 endgültig erledigt.Die Quadratur des Kreises wurde im 5 Jhd. v. Chr. aktuell und war schon 414 so populär, daß Aristophanes (445 - 385) in "Die Vögel" von Kreisquadratoren als von Leuten spricht, die das Unmögliche versuchen.Anaxagoras (500 - 428) - laut Plutarch (46 - 120) im Gefängnis - und

Hippokrates von Chios (ca. 450)zählten zu den ersten, die es betrachteten.

Seit 1755 nahm die französische Akademie der Wissenschaften keine Arbeiten zur Kreisquadratur mehr an.Johann Heinrich Lambert (1728 - 1777) zeigte 1761 daß keine rationale Zahl sein kann.1900 zählte David Hilbert (1862 - 1943) die 23 wichtigsten mathematischen Probleme auf; an siebenter Stelle den Transzendenzbeweis für 2√2 und ähnliche Zahlen.

Alexander Gelfand (1906 - 1968)1929: ei = -1 = i2 e- = 1/e = i2i 1934: Alexander Gelfand 1934: Theodor Schneider (1911 - 1988)

2√2 und ähnliche Zahlen

Der Satz von Liouville Ist eine algebraische Irrationalzahl vom Grade n, so besitzt

| - v

u| < 1nv

1 (1)

nur endlich viele rationale Lösungen v

u.

2 = 1,414..., n = 2

| 2 - 2

2| > 32

1 | 2 - 2

3| < 32

1 | 2 - 2

4| > 32

1

| 2 - 10

14| > 310

1 | 2 - 10

15| > 310

1

32

32

12

12

Das Minimalpolynom für2 ist 2 - x2

Es besitzt keine rationalen Nullstellen u/v. Andernfalls könntedurch den zugehörigen Linearfaktor (x - u/v) dividiert werden.

Beispiel-2 + 2x + x2 - x3 = (2 - x2)(x - 1)

Nullstellen: x1 = 1, x2 = -2, x3 = 2

1 + x3 = (1 - x + x2)(x - (-1))

Nullstellen: x1 = -1 , x2 = - i , x3 = + i

Das Minimalpolynom für irrationales besitzt keine rationalen Nullstellen u/v. Andernfalls könnte durch den zugehörigen Linearfaktor (x - u/v) dividiert werden Quotientenpolynom q(x) kleineren Grades

Also ist für rationale Zahlen v

u

0 ≠ |p( v

u)| = |a0 + a1 v

u + a2 2

2

v

u + ... + an n

n

v

u|

= |n

nn

1n1

n0

v

uauvava ... |

≥ nv

1 (3)

| v

uv

up

)(

| nv

C | - v

u| (4)

1/C

Forderung (1) | - v

u| < 1nv

1

nv

C ≤ | - v

u| < 1nv

1 vmax <

C

1

Forderung (1) kann nur von Brüchen erfüllt werden, deren Nenner nicht größer als vmax sind, und das sind nur endlich viele.

Bemerkung: Ist = m , so besitzt (1) nur eine Lösung:

|m - v

u| < 1nv

1 |mvn+1 - uvn| < 1 |mv - u|vn = 0 v

u = m

Existiert für jedes n eine rationale Zahl v

u mit v > 1, so daß

nv

C | - v

u| (4)

3

so ist eine Liouvillesche Zahl wie z.B. = =1

∞

110!

6

3

13

10

110001110001010

,!

612024

3

1

!

1

!3 10

1101

101

1010

110

1!

1210

1!

1 2210

1!

1 2

1!Liouvillesche Zahlen: , , ,

Forderung (1) | - v

u| < 1nv

1 erfüllt ist,