word pro - e 2013 et2fd kap 05 elektrisches feld punktladungen · 4 0 1 x x für 0 < x q 4 0 1 x...

Das elektrostatische Feld einer Punktladung

Punktladungen

12 April 2013E_2013_ET2FD_Kap_05_Elektrisches_Feld_PunktladungenProf. Dr.-Ing. K.-J. DiederichSeite 5.1 von 5.18FB3 Informations- und ElektrotechnikFachhochschule Dortmund

Punktladungen electric point charge

Ziel: Berechnung der Äquipotentiallinie und der Äquipotentialflächen

zu Bild oben, Feld einer PunktladungVerschiebungsflußdichte D Feldstärke Edisplacement flux density D electric field intensity E

Hüllenintegral über die Kugeloberfläche A, im Mittelpunkt der Kugel liegt die Punktladung Q

Q A

D d

A

AD dA D

AdA D A D 4r2

Dr QA

Q4r2 Er D

0 Q

40r2

Potential bzw. Spannung zwischen Punkt 1 ( r1 = ri ) und Punkt 2 ( r2 = ra )

U12 r2

r1

Er dr r1

r2

Er dr r1

r2Q

40r2 dr Q

40 [ 1r1

1r2 ]

Das Potential am Radius r ist gleich der Potential-Differenz (r) - (oo)

r Q40

[1r 1

r ] Q40

1r


Beispiel für das Feld einer PunktladungQ = 1 nC

für x < 0x Q40

1x

für 0 < xx Q40

1x

Ex xx

für x < 0Ex Q40

1x2

für 0 < xEx Q40

1x2

Die Feldstärke E(x) zeigt vom höheren Potential zumniedrigen Potential.Die Feldstärke E(x) wird in x-Richtung gezählt !Daher die Vorzeichen.Die Verläufe (x) = (r) und E(x) = E(r) sind auf folgender Seite dargestellt.


r x U(x) E (x)m m V V/m10 ‐10 0,899 ‐0,0909 ‐9 0,999 ‐0,1118 ‐8 1,123 ‐0,1407 ‐7 1,284 ‐0,1836 ‐6 1,498 ‐0,2505 ‐5 1,798 ‐0,3604 ‐4 2,247 ‐0,5623 ‐3 2,996 ‐0,9992,5 ‐2,5 3,595 ‐1,4382 ‐2 4,494 ‐2,247

1,75 ‐1,75 5,136 ‐2,9351,5 ‐1,5 5,992 ‐3,9941 ‐1 8,988 ‐8,9880 01 1 8,988 8,9881,5 1,5 5,992 3,9941,75 1,75 5,136 2,9352 2 4,494 2,2472,5 2,5 3,595 1,4383 3 2,996 0,9994 4 2,247 0,5625 5 1,798 0,3606 6 1,498 0,2507 7 1,284 0,1838 8 1,123 0,1409 9 0,999 0,11110 10 0,899 0,090

U E von X Q=1nC0,90

1,00

1,12 1,28 1,50 1,80 2,25 3,

00 3,604,49 5,14 5,99

8,99

8,99

5,99

5,14

4,49

3,60

3,00

2,25

1,80

1,50

1,28

1,12

1,00

0,90

‐0,09

‐0,11

‐0,14

‐0,18

‐0,25

‐0,36

‐0,56

‐1,00

‐1,44

‐2,25

‐2,93

‐3,99

‐8,99

8,99

3,99

2,93

2,25

1,44

1,00

0,56

0,36

0,25

0,18

0,14

0,11

0,09

‐10

‐9

‐8

‐7

‐6

‐5

‐4

‐3

‐2

‐1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

‐10 ‐9 ‐8 ‐7 ‐6 ‐5 ‐4 ‐3 ‐2 ‐1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x / m

U / V ; E

/ (V/m

)

U

E

Diagramm zu obiger Tabelle: (x) und E(x) einer Punktladung


Beispiel: Elektrisches Feld einer Punktladung ; entspricht Kugel in Kugel mit ri => 0 und ra => ooQ = 10 pC , r = 5 cm , r1 = 4 cm , r2 = 6 cm ; 0 8, 854187817 1012 As

Vm

Berechnen Sie

5.1 die Verschiebungsflußdichte D(r) Dr QA

Q4r2

5.2 die Feldstärke E(r) Er D0

Q40r2

5.3 das Potential 1 1 Q

40 1r1

1r Q

40 1r1

5.4 die Spannung U(r1 , r2) U12 r1

r2

Er dr r1

r2Q

40r2 dr Q

40 1r1

1r2

5.5 Berechnen Sie den Radius r mit der Äquipotentiallinie ( r ) = 2 V

5.6 Berechnen Sie den Vektor an der Stelle x = 3cm , y = 4 cm

Ex, y

5.7 Berechnen Sie die Werte in der Tabelle (zu Hause jeder für sich , nicht abgeben)

10987654321

VV/mcm (r)E(r)r

5.8 Zeichnen Sie die Verläufe E(r) und ®


Potential von 2 Punktladungen Überlagerung der Potentiale von 2 Punktladungen

1 Q1

40 1r1 2

Q240

1r2

Q1 Q Q2 Qsitzt bei x = -a sitzt bei x = +a

erhält man 1 2 Q1

40 1r1

Q240

1r2


Potentialverlauf von 2 Punktladungen

Beispiel:

Negative Ladung Q1 = - 1 nC liegt bei x1 = -a = - 1 mPositive Ladung Q2 = + 1 nC liegt bei x2 = +a = + 1 m

Die Abstände (Radien) r1 und r2 sind hier Beträge

r1 x x1

r2 x x2

Q40

[1r1

1r2 ]

Q = 1 nC


Ort Ortvon vonQ1 Q2 - 1 nC + 1 nC

Q1 Q2 gesx1 x2 r1 r2 x phi phi phim m m m m V V V

-1 1 1,4 3,4 -2,400 -6,420 2,643 -3,776-1 1 1,3 3,3 -2,300 -6,913 2,723 -4,190-1 1 1,2 3,2 -2,200 -7,490 2,809 -4,681-1 1 1,1 3,1 -2,100 -8,170 2,899 -5,271-1 1 1 3 -2,000 -8,988 2,996 -5,992-1 1 0,9 2,9 -1,900 -9,986 3,099 -6,887-1 1 0,8 2,8 -1,800 -11,234 3,210 -8,025-1 1 0,7 2,7 -1,700 -12,839 3,329 -9,511-1 1 0,6 2,6 -1,600 -14,979 3,457 -11,522-1 1 0,5 2,5 -1,500 -17,975 3,595 -14,380-1 1 0,4 2,4 -1,400 -22,469 3,745 -18,724-1 1 0,3 2,3 -1,300 -29,958 3,908 -26,051-1 1 0,2 2,2 -1,200 -44,938 4,085 -40,852-1 1 0,1 2,1 -1,100 -89,875 4,280 -85,596-1 1 0 2 -1,000-1 1 0,1 1,9 -0,900 -89,875 4,730 -85,145-1 1 0,2 1,8 -0,800 -44,938 4,993 -39,945-1 1 0,3 1,7 -0,700 -29,958 5,287 -24,672-1 1 0,4 1,6 -0,600 -22,469 5,617 -16,852-1 1 0,5 1,5 -0,500 -17,975 5,992 -11,983-1 1 0,6 1,4 -0,400 -14,979 6,420 -8,560-1 1 0,7 1,3 -0,300 -12,839 6,913 -5,926-1 1 0,8 1,2 -0,200 -11,234 7,490 -3,745-1 1 0,9 1,1 -0,100 -9,986 8,170 -1,816-1 1 1 1 0,000 -8,988 8,988 0,000-1 1 1,1 0,9 0,100 -8,170 9,986 1,816

-1nC und +1nC ; phi von x

-100,000

-90,000

-80,000

-70,000

-60,000

-50,000

-40,000

-30,000

-20,000

-10,000

0,000

10,000

20,000

30,000

40,000

50,000

60,000

70,000

80,000

90,000

100,000

-2,6

00-2

,500

-2,4

00-2

,300

-2,2

00-2

,100

-2,0

00-1

,900

-1,8

00-1

,700

-1,6

00-1

,500

-1,4

00-1

,300

-1,2

00-1

,100

-1,0

00-0

,900

-0,8

00-0

,700

-0,6

00-0

,500

-0,4

00-0

,300

-0,2

00-0

,100

0,00

00,

100

0,20

00,

300

0,40

00,

500

0,60

00,

700

0,80

00,

900

1,00

01,

100

1,20

01,

300

1,40

01,

500

1,60

01,

700

1,80

01,

900

2,00

02,

100

2,20

02,

300

2,40

02,

500

2,60

0U /

V

Diagramm zu obiger Tabelle: für 2 Punktladungenx


Feldstärkeverlauf E von 2 Punktladungen

Beispiel:

Negative Ladung Q1 = - 1 nC liegt bei x1 = - 1 mPositive Ladung Q2 = + 1 nC liegt bei x2 = + 1 m

Er Q40

1r1

2 1r2

2

Fallunterscheidungen

x < x1 Er Q40

1r1

2 1r2

2

x1 < x < x2 Er Q40

1r1

2 1r2

2

x2 < x Er Q40

1r1

2 1r2

2


Ort Ortvon vonQ1 Q2 - 1 nC + 1 nC

Q1 Q2 gesx1 x2 r1 r2 x E1 E2 Egm m m m m V/m V/m V/m

-1 1 1,4 3,4 -2,400 4,585 -0,777 3,808-1 1 1,3 3,3 -2,300 5,318 -0,825 4,493-1 1 1,2 3,2 -2,200 6,241 -0,878 5,364-1 1 1,1 3,1 -2,100 7,428 -0,935 6,492-1 1 1 3 -2,000 8,988 -0,999 7,989-1 1 0,9 2,9 -1,900 11,096 -1,069 10,027-1 1 0,8 2,8 -1,800 14,043 -1,146 12,897-1 1 0,7 2,7 -1,700 18,342 -1,233 17,109-1 1 0,6 2,6 -1,600 24,965 -1,330 23,636-1 1 0,5 2,5 -1,500 35,950 -1,438 34,512-1 1 0,4 2,4 -1,400 56,172 -1,560 54,612-1 1 0,3 2,3 -1,300 99,862 -1,699 98,163-1 1 0,2 2,2 -1,200 224,688 -1,857 222,832-1 1 0,1 2,1 -1,100 898,754 -2,038 896,716-1 1 0 2 -1,000-1 1 0,1 1,9 -0,900 -898,754 -2,490 -901,244-1 1 0,2 1,8 -0,800 -224,688 -2,774 -227,462-1 1 0,3 1,7 -0,700 -99,862 -3,110 -102,971-1 1 0,4 1,6 -0,600 -56,172 -3,511 -59,683-1 1 0,5 1,5 -0,500 -35,950 -3,994 -39,945-1 1 0,6 1,4 -0,400 -24,965 -4,585 -29,551-1 1 0,7 1,3 -0,300 -18,342 -5,318 -23,660-1 1 0,8 1,2 -0,200 -14,043 -6,241 -20,284-1 1 0,9 1,1 -0,100 -11,096 -7,428 -18,523-1 1 1 1 0,000 -8,988 -8,988 -17,975-1 1 1,1 0,9 0,100 -7,428 -11,096 -18,523

E von x

-1000

-900

-800

-700

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000-2

,4-2

,3-2

,2-2

,1-2

,0-1

,9-1

,8-1

,7-1

,6-1

,5-1

,4-1

,3-1

,2-1

,1-1

,0-0

,9-0

,8-0

,7-0

,6-0

,5-0

,4-0

,3-0

,2-0

,1 0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

2,0

2,1

2,2

2,3

2,4E / (

V/m

) E1E2Eg

Diagramm zu obiger Tabelle: für 2 PunktladungenEx


5.2 Übung zu Kapitel 05Negative Ladung Q1 = -1 nC liegt bei x1 = -20 cmPositive Ladung Q2 = +1 nC liegt bei x2 = +20 cm

5.2.1 Berechnen Sie den Potentialverlauf ( x ) für y = 0cm und x = - 0,25 m ; -0,15 m ; 0 m ; 0,15 m ; 0,25 m!

140

Q1r1

Q2r2

5.2.2 Zeichnen Sie den Potentialverlauf ( x ) !

5.2.3 Berechnen Sie den Feldstärkeverlauf E(x) für y = 0cm und x = - 0,25 m ; -0,15 m ; 0 m ; 0,15 m ; 0,25 m !

x < x1: Er Q40

1r1

2 1r2

2

x1 < x < x2: Er Q40

1r1

2 1r2

2

x2 < x: Er Q40

1r1

2 1r2

2

5.2.4 Zeichnen Sie den Feldstärkeverlauf E(x) !

5.2.5 Berechnen Sie x für (x) = 200 V !

5.2.6 Berechnen Sie die Anziehungskraft F zwischen den beiden Ladungen ! F Q E


Phi von x -1nC + 1nC

-1000,000

-800,000

-600,000

-400,000

-200,000

0,000

200,000

400,000

600,000

800,000

1000,000

-0,40 -0,35 -0,30 -0,25 -0,20 -0,15 -0,10 -0,05 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40

x / m

phi /

V


E von X -1nC +1nC

-100000

-90000

-80000

-70000

-60000

-50000

-40000

-30000

-20000

-10000

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

90000

100000

-0,40 -0,35 -0,30 -0,25 -0,20 -0,15 -0,10 -0,05 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40

x / m

E / (

V/m

)

Reihe1 Reihe2 Reihe3 Reihe4 Reihe5


Konstruktion einer Äquipotentiallinie

1 Q1

40 1r1 2

Q240

1r2

mit Q1 Q Q2 Q

1 2 140

Q1r1

Q2r2


Vorlesung: Äquipotential-Linie bei 2 Punktladungen 0 4 10 7V sA m 0 8.8541610 12

A sV m

Q 1 10 9 A s a 1 m Q1 Q Q2 Q xvonQ1 a xvonQ2 a

r1 1.6m r2 0.4m als Startwerte, Radien liegen in der x Achse

g1

4 0Q1r1

Q2r2

g 16.852E+000V

Der Radius r1 wird verändert auf r1P r1P 1.9m

Gesucht ist r2 P sodass g=16,852V bleibt aus cosinus-Satz a2 = b2 + c2 -2bc*cos

r2PQ2

g 4 0Q1r1P

r2P 416.438E-003m cosr2P2 r1P2 4 a2

4 a r1P cos 978.497E-003

acos cos 207.751E-003

grad 180

grad 11.903E+000 yP r1P sin yP 391.894E-003m

x r1P cos x 1.859E+000m xP a x xP 859.145E-003m

Probe für y und x und für g

r1p x2

yP2 r1p 1.9E+000m g

14 0

Q1r1

Q2r2

g 16.852E+000V


Potential Linie für phi = 16,852 V

r1P r2P phi cos(a) alpha Dx xP yPm m V 1 rad m m m

1,600 0,400 16,852 1,000 0,005 1,600 0,600 0,0081,610 0,401 16,852 0,999 0,051 1,608 0,608 0,0821,620 0,401 16,852 0,997 0,072 1,616 0,616 0,1161,650 0,403 16,852 0,994 0,110 1,640 0,640 0,1811,700 0,406 16,852 0,989 0,148 1,681 0,681 0,2511,750 0,409 16,852 0,985 0,173 1,724 0,724 0,3011,800 0,411 16,852 0,982 0,190 1,768 0,768 0,3401,850 0,414 16,852 0,980 0,201 1,813 0,813 0,3691,900 0,416 16,852 0,978 0,208 1,859 0,859 0,3921,950 0,419 16,852 0,978 0,211 1,907 0,907 0,4082,000 0,421 16,852 0,978 0,211 1,956 0,956 0,4192,1 0,425 16,852 0,980 0,202 2,057 1,057 0,421

2,200 0,429 16,852 0,984 0,181 2,164 1,164 0,3972,250 0,431 16,852 0,986 0,166 2,219 1,219 0,3712,300 0,433 16,852 0,989 0,146 2,276 1,276 0,3342,350 0,435 16,852 0,993 0,119 2,333 1,333 0,2792,400 0,436 16,852 0,997 0,080 2,392 1,392 0,1912,410 0,437 16,852 0,998 0,068 2,404 1,404 0,1652,420 0,437 16,852 0,998 0,055 2,416 1,416 0,1332,430 0,437 16,852 0,999 0,036 2,428 1,428 0,0882,435 0,438 16,852 1,000 0,021 2,434 1,434 0,0522,437 0,438 16,852 1,000 0,010 2,437 1,437 0,0252,438 0,438 16,852 1,000 0,004 2,437 1,437 0,009


phi = 16,852V

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6

y / m

Konstruktion der Äquipotential-Linie = const. = 16,852 V


Konstruktion mit folgenden Werten

Mit r1 schlägt man einen Kreis um den Punkt (x1,y1) = (-10cm,0cm) = (-a , 0cm)Mit r2 schlägt man einen Kreis um den Punkt (x2,y2) = (+10cm,0cm) = (a , 0cm)

Die beiden Schnittpunkte der 2 Kreise haben das Potential = 100 V, was mit obiger Gleichung nachgeprüft werden kann.

5.3 Übung Konstruktion einer Äquipotentiallinie = 100 V Start mit r1 = 5,6 cm

5.3.1 Berechnen Sie r2 !5.3.2 Berechnen Sie das Wertepaar (x,y) des Schnittpunktes von r1 und r2 !

Lösung: Koordinaten der Äquipotentiallinie = 100 V

x ycm cm

-15,2654818 1,90648921-14,7417761 3,16315653-14,1551082 4,04661288-13,4964199 4,75237288-12,75504 5,33008017

-11,9183334 5,7905092-10,9712587 6,12345136-9,89580565 6,29913832-8,67027534 6,26033804-7,26834948 5,89814254-5,6578765 4,97050938

-4,76240879 4,09757713-3,79927161 2,5379061

5.3.3 Zeichnen Sie mit dieser Tabelle die Äquipotentiallinie = 100 V !


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