wittgenstein, - tratactus

5/9/2018 Wittgenstein, - Tratactus - slidepdf.com

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DWIG WITTGE NS TE IN

TRACTATÜS

O S O P H I C U S



Trarratu*

Logiro-Philosophicua

Eala obra. como dil o Praf. JoaA AnnirnQ U X H O T T I ao abrir a excelente introdutao que•aereveu para rata edição, ralo * Uni. Advertealada, ergu -ida O próprio autor — ntrava-far.ie fluíra ;.- Btara**o RcaatLi. dalinaia

•m Aet>-òlo> da awaidrM a ( - . í - J I maani (trad.da Breoao Sheire, Comp. Editora National,0. Paulo, 1*48) — que qualquer explicaçãoeatnrior ao texto é do iVmtnn do qua'daráaar calado, o qua podaria conatranger lodoaquela qae. ntbora apeOaliiado «R I historiada Idpon moderna, mame a veleidade da fawrqualquer comentar» eAbra laia Urro. laeo,•JJAa. •-: :.*-~- . ao próprio Real i:: .[i •-. anuindo «o» aerrevar a aneaatntacto qua a editora

Rodam I I J I para a publicação do TroOolt..racabeu dé WrrraiwTtix aala curioaa rwpoata:"Muito obrigado por aau manuacrito. fito•atou moita» naMa da acordo com *lr, tantonoa tracboa rtc qua V. na critica como na-quaiea ra ;_• pretende meramente tomarclarea minha» opinioea. M M nAo fai mal. Ofuturo noa julgari. Ou nto — o aa lia *r calar,ji aeri um julgamento."

Quase rtaqaaotafiáno. o livro da W I T T O I N -

a i r I « # maroc doa maia importantes, na t--tona da loura modarna. Nto aeatimoa diantadele aquela daUncia, dii o Prol GIA HNOT T I ,peculiar aoa laxtoa cUaaiooa, qua demandammaia irdua a procravaiva aproiimaoio. Ntoobaiame, é uai claaaico a aoa clAaeieoa í principalmente dedicada «ata colado. C talrea— dietaata qua outro*, em virtude daimportância qua aaaumhi no "ambienta da euforia" q«a aa eefuiu t publicação doi Primctpto,da Rceaau. a da WamnEAD. «an 1910- E ,ao entanto, uma obra da grande importânciana evolução do peoaaroento louro. É certo,como afirma o Proí. GiaMKOTR, qua "a unidade qua parnõtia conceber a lógica como umaáaema total, revelou— iluaríria" no «volverdaa trta «aríam década* do Doaao akulo.

'•aaaieue m eatrt doar»»



Obra ;,.:.'.i i.l.-iil

íom a cfl/cjín'nf io do

U N I V E R S I D A D E DE S Ã O P A U L O

Rr troar Prof. Dr. Luto A N T ô N I O D * G A I I » « S I L » .

V i c i - u r r o * «m exerdõo:Prof. Dt. Hí:li> LOOBKNÇO Dl OllTCIM

SSITâSA DA UNIVEIUIDADI DE SÃO PADLO

CowMão Eo iro MAL:Praaidaoie — Prol. D i. Mario GBÍmaiftca Ferri(Faculdade de Filosofia, Ciências o Lelraa). M H Vb r a : Prof. Dt. A. Brito da Cunb» (Paeuldad* « •Filosofia, Ctfnetoa • Letra»), Prof. Dr. C r i o . d>Sdva ! . u i ! (Faculdade de M edicina). Prof. Dr.Miguel ReeJe (Faculdade de Dírerlo). - Prof. Dr.Pé»io de Souia Santos (E>cola Politécnica).



BIBLIOTECA UNIVERSITÁRIA.--•"• I.* — Filosofia

Volume 10

DirttOo:

D r. Caci COSTA



LÜDWIG WITTGENSTEIN

Tractatus

L ó g i c o - Philosophicus

Tradução I apn**tatO> df

Jot£ A B T H D R G U N S O I T I

C O M P A N H I A E D I T O R A N A C I O N A LEDITORA DA UNIVERSIDADE DE SAO PAULO

-Xo i". f io



Titulo original:

Logi*ch-PhÜo*ophi*ehe Abharuüung

pubmdo w 1MI M H T ' 1 1 f <M«M.'."•.•-." 4m ,VW|Ui«jMr

K n M H i m u U ! < ! « - « • • tr ini ln | M |i n t f f c» , b i l ín jO» sua o UUto TVaiMIM L ^ w »HtSâpiftWi IMa i™dm*ii aaçua e « • t i»

I I * . ' 0 * lUum* ~li<*.( .n

© R O D T U C U C à K E ú A N PADL LIO 1961

fUrttioi para a Hnfua portofuto tÊfAíÊK fâ

COMPANHIA EDITORA NACIONAL

Fnt dai G u u D t a , 639 — 8*0 P u l o 2. SP

i a a •N m N M



S U M A R I O

Introdução 1Prtfddo 53

Tractatus LoçiafPhüoiophictu 5ft

'.;.:.!• à tradução 1*1

Cloudrio 135índice r emiMÍw. . . . . 137



I N T R O D U Ç Ã O

A leitura do Traclatuê, apesar das enormes dificuldadesque oferece, fecha-ee sobre si mesma; M O que pode icrexpresso o pode ser com clareia, como nos adverte seu autor,qualquer explicação exterior ao texto penetra DOS domiaioedo que enfim deve ser calado. Sabemos que o urro não *om manual; dirige-se. sem intermediários, a um pubheofamiharixado com os principais problemas da lógica moderna.Sendo sua publicação recente (1921), nfto lentimoa diantedele aquela distancia peculiar aos tex tos clássicos que demandauma aproximação árdua e progressiva. Nessas condições,como juntar-lhe uma introdução feita DOS moldes tradicionais,

revelando as articulações mestras de seu pensamento T Todaanálise seria redundante, correndo o risco de encaminhar oleitor Duma direção que, mesmo correta, nfto seria a doica.

É sintomático o que aconteceu com a apresentação feitapor Ruaseil. Este anuíra em escrever a introdução que aEditora Reelam exigia para a publicação do livro. Quando,porem, Wittgenstein recebe os originais, nfto pode escondersua decepção. Numa carta de 4 de abril de 1920, escreve:

"Muito obrigado por seu manuscrito. Nfto estou muitas emuitas vfaee de acordo com ele, tanto DOS trechos em quevoe* me critica como naqueles em que pretende meramentetonar claras minhM opiniões, Mas nfto fas mal. 0 futuroDOS julgará. Ou nfto — e se Ale se calar, já será um julga-toanto". Na carta posterior (6 de maio) Wittgensteán, entretanto, vai mais longe: "Você ficará saogado comigo quandolhe contar o seguinte: sua introdução nfto será impressa eproviretmeDte por isso mesmo meu livro também olo . Quando

soe defrontei com a tradução alemã de sua introdução, nftopMte decidir-me a publicá-la com meu trabalho. A finurade seu estuo inglês perdera-ae — evidentemente — na tra-



doçfto, restando apenas Buperficialidade e malentendido.Enviei então o trabalho 0 sua introdução pare a Reelam,escrevendo-lnes que náo queria a introdução impressa, ]4

S

M apenas servia de arientaçao a respeito de meu trabalho.

', pcô, altamente provável que por isso a Reclam nfto oaceite (embora ate agora não tenha recebido reapoata alguma)"(')• Somente um ano depois é que o TVootofu aparece,na revista de Ostwald, Ánaia ae filoêofia nahiral, publicadaem Ldpiif pela Editora Unesma G.M.B.B. No entanto, atradução inglesa, publicada no ano seguinte, traa uma introdução de Bertrand RusseU, datada de maio de 1922. Ê diftcUacreditar que o texto eeja o mesmo. Sabemos apenas queWittgenstein, já resvalando para o misticismo, desinteressara-

•e por seu trabalho, n*o revendo com o devido cuidado otexto inglês, ao contrario do que afirma o tradutor.

Convém lembrar, todavia, que a formulação de grandeparte doa problemas colocados pelo Tractahu depende deuma situação histórica quo aa últimas descobertas da lógicamatemática alteram sobremaneira. Devemos em particularter presente que Wittgenstein trabalhou no ambiente deeuforia que se seguiu a publicação dos Principia de Rusaaüe Whitehead, muito aPtes, portanto, do impacto provocadopela obra de Gódcl, que teve, como um de seta efeitos, avirtude de isolar o cálculo proposicional dos outros cálculosmatemáticos. Sendo decidlvel e completo, náo possui amaestrotureeao suficientemente rica, capar de dar conta dacomplexidade, por exemplo, do sistema da aritmética ou dageometria. Ora, Wittgenstein elege o cálculo das proposiçõescomo padráo de inteligibilidade de todos os '*'•*—t formais,postulando, cm conseqüência, uma unidade entre Cies quemais tarde se revelou ilusória. Além do mais, essa unidade

lhe permite conceber a lógica como um sistema total, aocontrario da dispersão doa sistemas particulares predomi-nantes na lógica contemporânea. E evidente que nessas condições os problema! d* semântica, os problemas que diaemrespeito ás relações do sistema com o mundo, haveriam doser propostos de uma forma muito mala ambtaoaa do queboje estamos acostumados a propor. Dai a riqueta doTraetaius, daf em compensação seu dogmatismo, que por

0) Sf*n/[*n Mm Itó«>í WiUetmUin, rol 1, pf. 276-S, S,h.-ku*pV«ri*t Frankfurt, IBOO.



Mito desnorteará aquele que nio o abordar de um* perspecti v a critica que só a histo ria pode oferecer. Co nsiderand oAsse provável estranhamento é q ue fomos levado* a preparara longa introdução que »e segue. Correndo o r i m de i m p a - ,

cientar o leitor com um texto relativamente grande, pretendemos apenas reconstruir os principais problemas semânticosta is como Wittgenstein os enco ntrou . Co m a pubheaçao dosinéditos anteriores ao Tractalui, estamos, ademais , em condições de t raçar sua evolução desde o ponto de par t ida , comFrete e Ruasell, até o momento em que se formulam suasprincipais teses. Retornando, pois , às origens, esboçando umagexcaJcgia de seus conceito* b a n c o s , nada mais pretendemosd o qne famihariiar o leitor com cer tas questões lógicas que

0 formaÜ«mo moderno tem em geral negligenciado. C o n d u -i.d •• ate* a fron teira desse l ivro, o leitor deverá , sòsinho econtando com seus próprios recursos, penetrar então n u mterreno em que impera , absoluta , a palavra de Wittgenstein.

1 — As inovações d« F r e g e .

A obra de Gottlob Frege ocupa sem duvida um dos

pontos mais al tos na história da lógica, podendo apenas sercomparada com a de Aristóteles ou a de Leibnii ; mas,apesar disso, ou talves por isso mesmo, sua penetração foilenta e penosa. Basta lembrar que somente hoje è que sepublica um volume reunindo seus art igos dispersos em revista* a l em i s , de acesso dificílimo. Seu primeiro Hvro é de1876 — BegrifÍKÁrifU Bine der orünmetiecSen nackgebüdeieFormtliprgcke dei rnnsn Denkmê (Ideogrnfia: tma linç^açemJornal do pensamento pvro imitada d a Unçuaarm da aritmética) — q ue nio teve a m ínima repercussão. E m 1SS4 publieaOrumflaom i/r Aritnmttik: Bine loguch-viaAematiMcne Unter-lueÂtna doer den Begriff der Zahl (Fundamento» da aritnílica:•--.-- inteetigacAo túçico-matematica soore o conceito de •UíSUTD)(T).Depois de uma intensa participação nas revistas da e p o c a O ,pubnea em 1893 su a obra "* '* ' " • em dois volumes:Orvndoeeetee oVr ÃriÜmetik {Principioi da «r i ímíüca) .

(2) Bi um* tradução bglfea publica*!» |-n Buü BlaekveO, Oriord.

M * CD Cf. a coletânea feita por PeUr Geach e M u Black: TrmmmmMêyn> (b PaOM**MW WriUnte of GetUeb Frete, B - ! BUekwefl.Oilorf, 1953.

• "



Propôs-se como principal tare/n íormaliiar a aritmética,a fla ie estabelecer uma passagem contínua entre a lógicae a matemática. Mas, para isso foi preciso tanto encontraruma dafiniçlo lógica doe principais conceitos aritméticos, em

particular o de número, como refundir oe conceitos lógicosfundamentais. Tarefa árdua, que implicara uma reformageral da visão da lógica e da matemática.

Cm de seus pontos de partida consistiu em precisar eestender o conceito matemático de funçlo. Segundo as antigasdefinições, uma função de x seria uma expressão matemáticacontendo x, uma fórmula em qu e a letra z aparecesse. E•vidente a insuficiência de uma definição de tal ordem, quenão distingue entre forma e conteúdo, sinal e coisa assinalada, ?'.:. Frege, ao contrário, visa, de um lado à conexão(Zu4amncnçtJi6riglc€%t) que, por exemplo, a função numéricaestabelece entre uma série de números e, de outro, à necessidade de a expressão vir a ser completada, a exigêneis de serjuftaposta a outros termos para poder significar algumacoisa. Por isso, "a expressão de uma função carece de complemento (rrgârmngtbedúrflig), sendo insatisfeita (unj**Bíijí)"(*).

Convém distinguir na função o argumento, que naopertence a ela mas lhe advém para formar um todo, o lugardo argumento e o valor que obtém quando a variável é substituída por uma constante. Na história da matemática, dizFrege, assistimos a uma ampliação cada vez maior dos tipospoadveis de argumento, bastando lembrar na aritmética aintrodução de funções com números complexos s, ademais,algumas tentativas de empregar a noção de função operandoentre palavras. A reforma de Frege vai mais longe: faa comque expressões da forma í1 - 4 e ( > 2, cujos valores, por

exemplo, variam de 0 a 3, possam ser consideradas funções.De fato, essas expressões se apresentam de modo incompleto,possuindo sentido tão-somente quando um dos números possíveis vier a ocupar o lugar do argumento. E feita a substituição, obteremos os seguintes resultados: 0* • 4. 1 ' — 4,2» « 4, 3» - 4, e 0 > 2 , 1 > 2, 2 > 2, 3 > 2; expressõesque, em geral, são falsas, a nao ser duas exceções, uma paracada série. Pois bem, a grande novidade de Frege é pensarfc* - 4 e f > 0 como funções cujos valflrea sejam, em lugar

de números, os valores verdadeiro ou falso. Desse modo.

fgj gtasatjawlM, I. p. 5.



as fcftwtw 2* - 4 e 3 > 2 denotariam o verdade-:.-., enquanto as ou tras denotariam o falso. Com isto se tntrodui• noçto de valor de verdade, uma das maiores conquistasdo pensamento lógico contemporâneo.

Como distinguir, porém, 2 ' = t e 3 > 2, se ambas possuema mesma denotae&o (Bedtutung) verdadeira? Graças a seusentido {S***), k forma de comunicar alguma coisa independentemente de seus valore» de verdade, isto é. da relaçãocom o Talor fabo ou o valor verdadeiro. De sorte que Fregeé conduzido a distinguir nitidamente a denotaçao de umnome, isto é, o objeto significado, da maneira pela qual esteobjeto * UçicamenU apresentado. Dal poder diier: o nomeoprime (auadrückí) seu sentido e denota (bedeuteí) sua denotaçao.

Uma teoria da função nfto depende da exaU distinçãoentre sentido e denotaçao; tan to é assim que Asses conceitossomente aparecem nas últimas obras de Frege, quando ateoria da função já estava terminada; o mesmo nio acontece,todavia, com o estudo do nome, das expressões que podemaparecer como argum ento das funções. Vejamos como se dá

essa agaçáo.A expressão 2x é ambígua, na medida em que designa

vários números conforme forem dados valores a x. E maior,porém, a ambigüidade de expressões do tipo 2r - y, sobretudo porque fatero intervir a complicada noção de igualdade.No Beçriffêchrifl Frege a interpreta como sinal a unir símbolosdiferentes postos pelo mesmo objeto. Mas a introdução d anoção de sentido, leva-o k reformular esta primeira teoriainsuficiente, passando a igualdade a representar a ligação dedois sentidos diferentes que se reportam ao mesmo objetodenotado. Podemos dixer que "Scott" eqüivale a "o autorde Waveriey" porque êsu» dois sentidos diferentes se reportam ao mesmo objeto.

Kem todos os nomes, porém, possuem denotaçao. "Ocorpo mais distante da ferra", "Bucéfalo", "Aquiles" tiopalavra*- inteKglveia a que, «ntretanto, náo corresponde objetoalgum. A primeira torna-se aignificante graças a composição

de nomes denota i voe, mas a própria composição náo deveêo ipK possuir denotaçao própria. As outras sáo namesde figuras lendárias, cujo sentido se apreende consultandoos poetas ou um bom dicionário. Alem d o mais, h á uma



Certa jnbricacao entre sentido e denotaç&o: quando menciono"o woüdo d» expressão 'o autor de Waverley'" transformei"o aator da Waverley" na deootaçao da fraae inteira. Isto

quer diaer que e>i--t*m denotaçoes oblíquas (unprrade*) queanteriomente foram sentidos.A iadeterminacio do sentido e da denotaçao i comum

nas HpfiM correntes; a linguagem artificial, porem, deveevita-!*, cada nome havendo de possuir sentido e denotaçaoprecisos. Ambas as línguas, contudo, apresentam a mesmaestrutura tentaria; primeiro, a camada material dos sinaiafalados ou escritos; segundo, o véu dos sentidos c, finalmente,o conjunto de objete* denotados. Concepção de extrema

importância por causa de seu alcance teórico e de suas repercussões históricas. Assim é que está na base da teoria fano-menológiea da linguagem, a única doutrina que atualmeutaUm condições de resistir à avalanche da semiótica behavi-orista que, ao contrario das teses de Frege e de Husserl,distingue na linguagem apenas a camada de sinais e os objetosrtsnntarloa 0 ato da palavra víncular-ee-ia diretamente àaeoiaas asm necessitar da camada ideal das significações, redu-tindo-se, portanto, ao esquema do reflexo condicionado.

A comparação daa expressões de tipo 2x c 2x - y revelaainda outra distinção fundamental, agora no que respeita aseus valores; os da primeira sao números e os da segundaato valores de verdade . Dado isso, é Doatfvel a defaiaielógica do conceito que o identifica à função cujos valoressao sempre valores de verdade. Dfasc modo, o conceito apre-aeerta uma estrutura incompleta, nomeadamente predicativa,a tal ponto que tudo o que nao possuir tal caráter * transfor

mado em objeto. En tre os conceitos e os nomes surge, pois,rip-n clivagem que separa, de um lado. as expressões completas (os nomes na sua acepção mais ampla), a que eorponde toda sorte de objetividade, e de outro, as sxpresiincompletadas que disem respeito a objetos em geral.de notar que essa olivagem é logicamente definiria e substituia divisão ariatotehca entre sujeito e predicado, consideradapor Frege de natureaa psicológica^): toda expressa a incompleta, graças a transformação quer do sujeito quer do predicado em variável, forma um conceito, desde que seus valoressejam sempre ou o verdadeiro ou o falso.

15) Trcndatma from PkOt>«i?kiati KVilMfi "! GaCtiob F*f. p- 3-



Isso pasto, seguem-se conseqüências as mais imprevisíveis. Primeiramente é preciso distinguir a ralação que umargumento mantém eom a função (relação subter, ou i na

notação de Peano). da relação que um cont«údo — M a lcom outro mais extenso (relação sub ou de incluafto)A. Aantiga noção filosófica de subsunçao, a relação que o conceito mantém com seus elementos, entendida na base d arelação entre predicado e sujeito, dá lugar a duas noçõestotalmente distintas que revolucionam a teoria do jufso.Assim é que "Sócrates 6 mortal" , onde o argumento "Sócrates"a&tiafas a função " . . . é mor ta l " , oão pode mais ser postano mesmo nível, como fazia a siloglsüca tradicional, com apropoaie&o "Todos os homens sao mortais", em que doisconceitos sao relacionados em virtude de suas respectivasextensões. Do mesmo modo, a relação de parte e todo aque, desde Aristóteles, estava subordinada a coçao de conceito, perde importância para a lógica em vista de sua ambigüidade. Os diagramas de Euler constituem apenas umaanalogia imperfeita das verdadeiras relações que as proposições DO silogismo mantém entre aí(").

Em segundo lugar, a própria extensão passa por umareforma radical, deixando de constituir na ooleçio de objetosque caem sob o conceito, para vir a ser determinada por umapropriedade do próprio conceito; firma-se, por conseguinte, aabsoluta anterioridade da intensao sobre a extensão. Aqui epreciso recorrer à importantíssima distinção entre propriedades (Eiçerue/iaften) e marcas características (Merkmalt) deum eoaeeito, estas sendo propriedades das coisas que caemsob o conceito, aquelas, propriedades do próprio conceito,ou melhor conceitos de conceitos ou conceitos de segundaordem Cumpre nau confundir, por exemplo, "retangular"como propriedade dos objetos que caem sob o conceito '"triângulo rattngnlo" com a propriedade expressa pela frase "niohá triângulos retangulares acutingulos" que se refere diretamente à característica do conceito em questão de nio possuirsob ai conceito algumC). Em outras palavras, í preciso nãoconfundir as qualidades dos objetos cujos nomes sao argumento do conceito com as propriedades do próprio conceito.

(« /*< p. H .CT) OU, p. 106») OwMOam, f S3; rranJo/wm, p. Al.



A extensão figura entre as segundas, poia consiste ca propriedade de o conceito dispor sob «ia égide tantos e Ub objetos.

Além do mais. a introdução de conceitos de segunda

ordem resolve uma série de dificuldades que o aúnbohsníomatemático havia levantado; 1) a classe nula, cuja compreensão se toma difícil de um ponto de vista exteostonal, namedida em que afirma a existência de uma coleção que nioposem elementos, passa a corresponder A propriedade peculiara certos conceitos, como "6 um decaedro regular", de nioterem nada sob si; 3) o membro de uma classe ni o se confunde com a classe de um único elemento, pois o primeiroé um elemento da classe enquanto que a ultima é determi

nada pela propriedade de certos conceitos serem predicadosde um único elemento; 3) a existência dos objetos matemáticos passa a ser determinada por um conceito de segundaordem, de modo que se torna totalmente independente dasformas da sensibilidade, ao contrario do que erroneamentepensava o kantismo; 4) finalmente o número cardinal recebeuma definição satisfatória, baseada na propriedade de os conceitos possuírem sob si determinada quantidade de objetos.

No entanto, a divagam radical entre coisas e conceitos,que se estriba no caráter predicativo desses últimos, nio sefai sem dificuldades. Contra ela se levanta a seguinte objeçãoque o lógico Kerry apontou: o conceito também pode surgircomo sujeito, como na proposição "o conceito de número éde segunda ordem". A resposta de Frege(*) reafirma: 1) hátermos que só podem ocorrer como sujeitos, isto é, comonomes; 2) podemos ainda ter um conceito subordinado aoutro, mas, neste caso, estamos operando com o nome e nio

com o próprio conceito. No exemplo acima, o predicado "desegunda ordem" seria dito do nome "conceito de número".Apesar de esta solução estar de acordo com nossos hábitosatuais, moldados pelo neopositivismo que tanto insistiu nadiferença entre língua objetai e met&ungua, ela nio dá contado fato de a predieaçio se fazer sobre o objeto nomeado pelosujeito e nio sobre o próprio nome sujeito. Além do mais,é preciso salientar outra dificuldade apontada pelo primeiroRus§efl('°): o caráter predicativo do conceito dificilmente secoaduna com a situação de sujeito. E é o próprio Frege quem

(9) .r - :i.«'.i.'. "i- , pp. 42 » M%.(10) O. P n - n s t o , p . 607.



reeiu-rna no artigo contra Kerry: "o comportamento doconceito 4 essencialmente predicativo, mesmo quando se fasalguma nsrrçlo sobre êle, de modo que só pode ser substi

tuído por outro conceito, nunca por um objeto"("). Veremosmais tarde como o debati* se aprofunda; por ora DOS cabeapenas observar que o problema da transformação do conceito em objeto, ou o problema da nominaliiaçao. como ochamam os fenomenólogoi*, translada o conceito para outroníve:. o que nio se fai sem dificuldades do ponto de vistalógico.

O coaceito justaposto a seu objeto constitui a proposição, forma expressiva do pensamento (Gaianke). A que se

identifica esse pensamento, ao sentido ou a deno taçao? £evidente que a denotaçao de uma proposição nlo se alteraquando substituímos uma de suas partes por outra de mesmadenotaçao, a despeito das possíveis modificações de sentido.Se substituirmos o sujeito da proposição "A estréia da manhaé iluminada pelo sol" por "estrela da tarde", obteremos semdivida um pensamento diferente que, contudo, mantém adenotaçao anterior. Tu do indica, po rtanto , que pensamentoe sentido de uma proposição sao a mesma coisa. 0 que ha,

porém, de ser a denotaçao inalterável que riermaneee nasduas proposições, na que tem como sujeito "a estréia datard e" e na outra que tem como sujeito "a estréia da manhã"?O que é de comum a ambas é apenas o valor de verdadeverdadeiro, de modo que nao ha outra solução possível senftotoma-lo tumo a denotaçao. Assim sendo, o pensamento é osentido da proposição e um valor de verdade a sua deno-taçaoC*). Em lugar de referir-se aos fatos ou a uma. conjunção de coisas, a proposição passa a denotar um objeto

ideal eooatrtuído pelo valor verdadeiro ou pelo valor falso.Uma tradição que remonta a Aristóteles quebra-se pela primeira vea. ,

Nem todas as proposições possuem a mesma estruturasimples. Nao nos cabe, todavia, entrar no pormenor, examinando como Frege analisa as sentenças mais oomplexas afim de comprovar a viabilidade de sua interpretação, Fhnzno-ooa 'p—t em suas conseqüências filosóficas. Sonsos em

geral levados a pensar a relação do pensamento com a ver-

(11) f - — « u , p. so.PS 1 W . P- 82.



dede como Aquela que vincula o sujeito à predieacfto. Naproposição "S é P", P é dito da denotaça© de S, de sorteque. ao afirmar '"5 í P ' * verdadeiro" temos o predicado"é verdadeiro" reportando-ee à denotaçao (um fato, porexemplo) do sujeito proporcional. Esta solução ingênua,todavia, nao leva em conl& a inexistência de uma diferençasignificativa entre a saserçfta "S ê P " ("5 é um número primo")e a asaerçfto '"S ê P " é verdadeiro" ("'*» é um número primo'é verdadeiro"). G raças a ela o sujeito e o predicado, entendidos num sentido lopoo, devem ser elementos do pensamento a permanecerem, no que respeita ao conhecimento,sempre no mesmo nível. Sua combinação produs apenaspensamentos que somente se referem a uma objetividade

sem, con tudo, saltarem parft ela, como se fosse possfvtí. pelosimples jogo das proposições e suas partes, passar dó pensa-msnto para seu valor de verdade. . Este nao pode faaer partedo pensamento, tampouco, digamos, como o sol, na medidaem que nao constituem sentidos mas objetos(").

Todas as proposições declaratives simples possuem, destarte, duas denotáçoes possíveis: a veracidade e a falsidade.Como tala, noa sfto perfeitamente inteligíveis sem que seja

preciso eleger um dos valores de verdade. 0 jufso consisteprecisamente nesta eleição, DO reconhecimento da verdadede um pensamento^*), na quebra da indiferença em que aproposição se apresentava ao mero enunciado. Como tantosoutros lógicos que lhe sfto contemporâneos, Frege distingueo conteúdo do juiio (beurUübarer InhaU), o pensamentosimplesmente apreendido, da asserçfto que assevera sua verdade. J á o Btçrifíichrift Kpara o conteúdo (a mortalidadede Sócrates) da proposição (Sócrates é mortal); o primeiro

í representado por um traço horiiontal ( — ) diante da sentença, a segunda, a asseveração desse mesmo conteúdo (Everdade que Sócrates é mortal), 4 representada pdo traçotraço vertical junto ao traço de conteúdo (|—)•

No entanto, como fugir a uma determinação psi<-ologicado conteúdo? A fenomenologia de Busserl tentou resolvera questão recorrendo à intencionalidade: a cada ato de jufsoenquanto processo mental corresponde um conteúdo obje

tivo, visado pelo ato, mas que nfto partilha necessariamente(13) asa , B. «a.

(14) Ovadff****. p. 9.

10



de sua natureaa psicológica. £ preciso nio confundir,suma, A percepção psicológica da mesa com s própriacomo objeto do mundo. É evidente, portm, qtie cata aolnçáonlo teria cabimento para Frege, porquanto pressupõe uma

analise da consciência que se faz extraldgtcamente.Foi pfeciaamente com o intento de expurgar os últimos

traços de peicologismo que Frege refunde sua primeira teoriada aasereao» Os Grundlagen retomavam expressamente o principio ds abstração de Hume( ls): o conteúdo do juüo resultade um processo que passa de eonceitoB menos extensos aoutros mais abstrato s. Tomemos, por exemplo, "x 4 paralelo a e" e façamos com que aeja substituído por "a direçãoda reta a", de sorte que a situação descrita pelo eocceitode paralelismo venha a ser descrita pelo conoeito "ter a mesmadireção de a". No juito "o 6 paralelo a o" tem lugar, pois,uma dissociação geradora da equação " a direcfto de b é igualà direção de a", •conteúdo do primeiro jufío- £ evidenteque tal processo pressupõe uma atividade intelectual queopera a passagem de um a outro conceito. A primeira vista,este breco* pera o peicologismo pode parecer desimportantemas, na medida em que a definição de número como conceitode segunda ordem demanda esta forma de abstração, ela

atinge os próprios fundamentos do logiciamo que Frege pretendia estabelecer.

Exemplifiquemos: um conjunto A qualquer correspondea um determinado conceito, a saber, "x ê apóstolo de Cristo",e outro conjunto B, também corresponde a outro conceito:"x 4 cavaleiro da Távola Redonda". £ possível estabelecerentre os conjuntos uma relação bíunlvoca, de modo a quepossamos <tiier que ambos possuem o mesmo número. 0

principio de abstração destaca esta propriedade de possuiro mesmo ndroero, que no caso diz respeito tento aos apóstolosde Cristo como aos cavaleiros da Távola Redonda, peraformar um conceito à parte que determina o número dose.Tínhamos, ao início, dois conceitos, um referindo aos apóstolos, outro aos cavaleiros, que passam a ser substitufdcepelo conceito "z tem o mesmo número que *"• definindouma propriedade dos conceitos iniciais, isto i, um conceitode segunda ordem. 0 número dose nasce assim da abstração

(lSlAmdssm. (63.

2 2



de U D é propriedade muito peculiar de eertos conceitossubtumírem sempre o mesmo número de elemento*.

Além de recorrer a uma at ividade intelectual para exphcw

a geração do concei to de segunda ordem, esta solução ntorna ainda mais insatisfatória na medida em que o númerodose. a que corresponde o novo conceito, const i tui um objetosingular cujo estatuto i difícil de precisar noa termos d adefinição por abst ração. De que maneira um concei to desegunda ordem vem a ser um objeto singular como o •úmero ?

Para resolver esta dificuldade Frege in t rodua , a par t i rde 1891. o conceito de per curs o d e valo r (WcrUerlovf) que ,de um modo geral , designara a extensão de um concei to qual

quer, inclusive a de um conceito de segunda ordem. Masa prioridade do ponto de vista intensional nao permite qijeessa extensão, ou melhor, a classe determinada pêlo conceito,seja formada pela enumeração dos elementos que a compoetn,das elementos subeumidos pelo conceiUi, porquanto istoeqüivaleria a privi legiar os objetos em detrimento do conceito. Com o resolver esta enorm e di f iculdade? Com o rtco-naecer numa multiplicidade uma singularidade, processo indispensável para fundar logicamente a teoria dos números car-

dinaís, sem adotar a perspect iva da extensão?Suponhamos d u a s funções J(x) e c f i ) ; ae reconhecermos

algo em comum entre elan, chamaremos este algo percursode valor de ambas as funções. "Devem os adm i t i r com o umale: rnadamental da lógica o direi to que temos então de reconhecer assim algo em comum as duas funções e, por conseguin te , t ransformar uma equivalência , valida geralmente ,n u m a equação (identidade) "( '*)- Conforme o exemplo acima,

n a proposição "para t odo x, x é apóstolo de Cristo bümplica %é cavale i ro da Távola Redonda" veri f icamos uma equ iva-I t ae» entre as duas funções precisamente no aspecto paru*alar de ambas denotarem o mesmo número ds e lementos.Frege considera como lei lógica fandamcnta l , em que se fundal ic i tamente as lógicas de Leibnis e de Boole, a pceBibilidadede passarmos da eguimüncia soo um aspecto para a identidade soo todos oa arpectoê, in t rodur indo para as funções igua-

(18) Omadff««Ur. I I , í VA, p. 181, « ps» • deTuUçao (oras! ( » ,p it CT. o ponnuoríudo oKudo de Juba VVUXEMIN: "L'âunicau>xidra définitÍMUi pir abatrmctloa eh*« t'nf", Rm* •Eilnussifii. <••' 1,jtwao-narto 1U*0.



ladas um novo objeto e um símbolo correspon dente. N oexemplo, teremos cotio o número doie e o sinal " 1 3 " .

A descoberta desta lei abre horisontes inteiramente

inéditos, já que redunda na constituição de noroa objetosa par t i r de julioe analí t icos. Haveria melhor refutaçao d eKant que nunca descobriu nesses jufsos qualquer papel constit u t i v o ? No entanto, apesar de sua importância filosófica,esta '•'. apenas introdux o conceito de percurso de valo.-, indicando um novo obje to , sem contudo estabelecer os critériosde soa identificação. A cada função passa a corresponderum objeto (a classe) que é Igual a outros objeto* determinados pelas funções equivalentes, e cada objeto passa a ser

desjcnad-j por um nome; como, porém, encontrar a denotaçaoprecü* do nom e? N a verdade quan do t ra tam os de númerospequenos e de conceitos nao muito complexos, a intuiçãonos fornece os recursos necessários para discernir quais osobjeto s q ue caem * sob o conceito e qua is os que nao caem.No en tan to , a inda que esse recurso intuitivo fosse logiea-men te valido. Cie nos abandona logo que examinamos o casodo núm ero aero ou da classe nula. Além do mais, qua l ( opercurso de valor de uma funç&o como -.--'•*;?

A solução encontrada por Frege redui, graças à in t rodução de uma função muito part icular , os percursos de valoraos valores de verdade. Seu exame pormenorixsdoC1) fogeaos estrei tos horisontes desta introdução. Cabe-oos apenaseocaminci-Ia para aponta r suas conseqüências filosóficas maisimedia tas .

Seja definida a função — do seguinte modo: — A í verdadeiro se n for verdadeiro , — A I f abo s e a nao for verda

deiro. Assim send o, pos to que 2 ' — 4 é verdadeiro — (2 a • 4)é verdadeiro, mas — (2* •» 4) 6 falso da aMasal manei raque — 2 também o é, pois neste último caso, 2 nao sendoverdadeiro, ou melhor, nao lhe cabendo valor de verdadealgum, concluímos, em vir tude da ampli tude da segundaparte da definiçio, que — 2 é f a l s o O - Este último exemplomostra que a função — serve para t ransformar qualquercoisa em conceito (numa função proposiciona), na linguagemmoderna] , numa funçio cujos valores sempre sào valores de

(17) CT. Orw.aiH.-M. | 10. po. 16 o - t ; Reea tu , r*n« ip i - .| 4M, pp. 511 • sae>; Vciu.uaiN. op. cX.

<1S) aVaafcamtja p. 10.

http://orw.aih.-m/

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verdade . No en U nto . dada a função — , ainda nâo sabemos"como fixar o ob jeto individu al . B as ta, porem , fitar arbdlrt-riamente um dos valores, tomando por falso, por exempl<>,

o percurso de valor do conceito "x nao é idêntico a « m esm o"para , postas as denotaçoee, reoonhocermoí in te i ramente onovo objeto.

Ainda que eala rápida exposição seja incompleta , nlosendo compreensível para quem nao estiver familiarizadocom o assunto, basta para mostrar que Frege, em seus úl t imosescri tos, subst i tui o conteúdo do jufso gerado pela abstraçãoc, por conseguinte, fundado na psicologia, pela fuaçao —',cujas propriedades dependem de uma est rutura logicamente

definida. Acresce ainda que, fixando arbitrariamente a d e n c -laçao do falso a fim de precisar a denotaçSo de cada percursode valor. Frege si tua o problema da relaçio en t re as expressõese a denotaçào e, de mod o m ais geral , en tre l inguagem e mun do,es t r i t amente em termos d o s valores de verdade, o que semdúvida prepara o t e r reno para Wittgcnstein e C a r a ? .

Frege já publicara o primeiro volume dos Gnt^dçtirUee prepara o segundo quando recebe uma carta de Thisnrlídatada de 16 de junho de 1002, em que este lhe comunicaa descoberta de uma ant inomia re lat iva à noção de classe.que punha em xeque a noção d e percurso de valor. N a su*>forma mais simples, a ant inomia pode ser expressa da seguintemaneira ; seja w a classe de todas as c lasses que n lo sejammembros de s i mesmas, de modo que para todo z, podemosdi i í . - que z per tence » u é equivalente a x nao pertence a a;ora , z ê uma variável que pode inclusive ser subst i tuída por tf,de sorte que obtemos a proposição contraditória w pertencea •_- é idêntico i u- nao pertence * u.\ Kfla fui ;»--iu-r; | • IJBBSMI

de Frege que, desanimado, responde aos 22 do mesmo mê*:"parece-me pois que a transformação de uma igualdade numaigualdade de percursos de valor (§9 de meus Principiei)nlo é mais permit ida , pois minha lei V ( § 2 0 , p . 3G)(") 6falsa, e que minhaa introduções n o $ 3 1 nao bas t am pa r»assegurar em todos os casos uma denotaçflo às ™iwh« conexõesde s ím bo los" f 0 ) . E m ou tras palav ras , a descoberta da a nt i -

i r » A Ji dli qu*. Modo dou ob/slos tcnsls, tudo o qns w «inbtfi•o pnmtaro UmbAn uni atribuído ao Hgiindo, o que nlo BSS1ÉSSI quando

<• ebjrto íortm dilfrtoMS.

(30) Bs—i P M — SLCOA, "Ftear. und dic Irpraibconc", (• L*W<*w s IsftSfesUref, v«rUf Ksil Alber, pp- 205, 20&

14



nonúa de Russell delimita, o âmbito da lei fundamental deFrege que validava a passagem da equivalência para a identidade eom a respectiva criação de novos objetoa. Há certas

expressões, como a "classe de todas as classes que nao aecontém a « mesmas" a que nao deve corresponder percursode valor algum, isto í, um objeto real.

Nlo é verdadeira a lenda que narra o desespero de Fregecom o conseqüente abandono de suas investigações Hgicas.Ê possível verificar que, na sua correspondência eom Russelle no próprio apêndice aposto ao segundo volume dos P r m -cfptos, procurava insistentemente a solução para os paradoxos. Contudo, nío atinou com ela e. ano* mais tarde,

quando Russell lhe comunica o principio da teoria dos tipos,o velho mestra cansado já nao mais estava em condições d eatribuir-lhe a devida importância. Outros haveriam de continuar seu trabalho.

II — Os caminhos tor tuosos de Russel l .

£ impressionante a capacidade renovadora de Russell;

durante mais de meio século que se dedicou às investigaçõeslógicas, sempre esteve pronto para recomeçar desde o inicio,conforme iam exigindo o desenvolvimento do cálculo lógico• o aprofundamento das questões filosóficas Kgp**" a Pie.Sob esse aspecto * exemplo do filósofo aasistemátieo. cujopercurso das idéias esteve marcado pela evolução dos problemas de seu tempo. Em seus escritos, at é mesmo nos Principio UaAematica, nunca alcançou a precisão conceituai ea sistemática de Frege- Temoa neste sentido o testemunho

precioso da Godel, que numa homenagem a Russell nao hesitou em afirmar deste último livro : "F. lamentável que estaprimeira apresentação completa e compreensiva da lógicamatemática e de suas derivações matemáticas seja Uo insuficiente a respeito da precisão de seus fundamentos (contidos• 1 — "51 dos Principia), que representa em relação a Fregeum considerável passo para t rás . 0 que falta, sobretudo, éum estudo preciso da sintaxe do formalUmo"^'). No en-taato, convém contrabalançar esta opinião desfavorável deGõdd. lembrando que as investigações de Russell cobrem

(31) TU FAiÍMojiAy ef Bfrtnvut ftw-lf, Tudo* Pi£fehiaf Com-pany. Neva Votk, p. 136-

15



lodo O campo tradicionalmente demarcado pela filosofia doconhecimento; n falta de precisão é ao menos compensadapela amplitude de sua problemát ica .

Foi paulatinamente q ue Ruasell pastou a dar impor-táncia a Frege. Se o corpo dos Principiei quase o ignora,já o primeiro apêndice t ra ta de es tabelecer um confrontocom èle. Ê ai que enuncia os principais pontos de divergência: a) Frege nao pensa que haja uma contradição n anoção de um conceito que nao possa tornar-se sujeito lógico;b) acredita que, se o termo a ocorrer numa proposição, aproposição sempre pode ser analisada em a e na aseerçáo•obre éle; e) nao leva em consideração as contradições que

envolve a noção d e classe de um a classe. Exa m inem os porme-noriudamente essas questões na ordem em que foram enumeradas :

a) O primeiro ponto nos leva a retomar a dificuldadelevantada por Kerry.

H á certos exemplos da nominaliiae&o d o conceito q uenos conduaem diretamente a uma contradição: ao afirmarmos"o conceito de cavalo nao é concei to" es tamos negando ocaráter predicativo do conceito exatamente no momento emque o denominam os con cei to!" ) . Vimos que a solução deFrege implica em dist inguir o conceito enquanto predicadoe o conceito nominalisado enquanto sujei to , o qual se refere,

r a fato de ser sujeito, a uma certa forma de objetividade.6bvio q ue O realismo enraizado de Ruasell e a utilização

«•temática do lema de Occam procurar iam evi tar a todocusto uma resposta de tal ordem . Ê nesse sen tido qu e prefere

identificar o conceito como predicado ao conceito eomo suje i to , em que pese as diferenças evidentes que, descuradaspela lógica, ato t r a tadas como prob lemas psicológicos ouBMramente gram aticais . N egando tudo o qu e pudesse asse-aassatr-se & substância segunda de Aristóteles, a lógica n l ohá, pois, de dist inguir " é " d e " s e r " , " h u m a n o " d e " h u m a n i d a d e " , etc. Feita esta identif icação, como manter , porem,a separação en t r e termo e con ceito? N o que implica umnúcleo significativo passar do predicado para o sujeito e

sem sofrer a mínima alteração que importe à 14-Náo há dúv ida de que há te rmos, como os nomes

02) Pr,n*irim. | « , p . « .



próprio*, que *ó podem ser tomados como sujeito*, e Russelle s t á dt acordo em ampliar o emprego d o nome próprio, fa-•endo-o designar pontos num espaço náo-euclidiãno. personagens fictícios de um rom anc e, e tc . M as é preciso levarem co&aideraçao que certos conceitos, em particular os adjet ivos, já qu e os ve rb os podem ser in terpretados como merasrelações, designam coisas , de sorte que , sem perderem suanaturexa conceituai e predica t iva, adquirem uma funçãoaparentemente pr ivat iva do nome própria. E a existênciad as descrições revela a importância desses conceito* designs-dorea, capaxea de, graças à uma peculiar vioculaçáo comcertos térmosC*), estabelecerem uma relação mais ampla entrea l inguagem e o mundo.

Este problema da denotaçdo t em, paxá o primeiro Russell,um campo mui to mais res t r i to do que para Frege, posto q u esurge indep ende ntem ente d a problem ática do sentido. P ar ao último filósofo, todos os nomes, inclusive a proposiçãoenqu anto nome, apresentam u m a face de no ta t i r a ; para oprimeiro, ao contrário, somente certos predicados, aliados acer tas palavras-chaves , impor tam uma relação com a objet iv idade . Todas as outras partes da proposição, excetuando-ee

obviamente os nomes próprios, estabelecem relações que seconsomem unicamente no plano do discurso.

Um conceito denota quando, ocorrendo numa proposição,es ta nlo dia respeito ao conceito, mas a respeito do termovinculado, de uma certa maneira, a esse conceito-? ' : K oque acontece, por exemplo, quando digo: "encontrei umhom em ". Com o se dá essa passagem do nível do discursopara o nível da coisa T 0 nome próprio designa di re tamenteuma coisa ou uma pessoa, mesmo quando 6 pronunciadoisoladamente . M as na proposição o a t r i bu to t ambém e di tod a coisa sujeito, implicando, no discurso, um relacionamentocom o ser. E u part ir dessa propriedade da predicaçio queRussell elabora sua primeira teoria da deootaçáo: "A noçáod e deootaçáo pode ser obt ida por uma espécie de gêneselogioa da* proposições sujei te-predicado, das quais parecemais ou menos dependente"(u)> Sem todav ia ezpbatar ograu • a natureia dessa dependência, Russell forma uma série

( 2 3 ) / W , ftse.(34) IUÍ, | SS, p. 63.OS) rt-t. 1 57, p. 54.



de frases dcnotativas, explorando BB significações correlatasque o atr ibuto certamente possui. Dai a idéia de uma ornai-'rtnrào das expressões denotativas a partir da denouçao maissimples; estranha idéia para quem, como nós, noa acostumamos aos processos de construção exclusivamente formais csintáticos, deixando de lado as correlações propostas pelosconceitos que se aliam a um conceito originário. Parece estra-nhavel estabelecer um parentesco de conteúdos, mas estaidéia evidentemente ainda pode vir a desempenhar um papelrelevante na crítica ao formalismo da lógica contemporânea.

As proposições mais simples sfto aquelas em que umatributo é dito de um térmo-sujeito, tain como: "A é", "A

é uno", "A 6 humano". A essas proposições podemos eorre-ladocar outras, diferentes quanto a forma, próximas, contudo, no que respeita ao significado: "A é uma entidade","A é uma unidade", "A é um homem", "A tem humanidade" e assim por dia nte . A última proposição exprimenitidamente a relação de um membro com sua ciasse e deve,por conseguinte, ser excluída das frases denotatívas propriamente ditas. Examinemos "A ê humano" e "A é um homem".Talvez a diferença seja meramente verbal, convém, entre

tanto, distinguir o predicado e o conceito a que uma classeestá associada(Ifl), o qual passaremos a denominar conceilo-clasee (dau-concepCi. Distingue-se obviamente do conceitode crasso como é "humanidade" . Cabe então a pergunta:"um homem" é um conceito ou um termo? Rigorosamentefalando, nem um nem outro , "m as uma certa espécie de correlação entre certos termos, nomeadamente daqueles que sftohum anos"!"). Sob a aparência unitária das palavras "umhomem" se esconde, pois, uma reunião de termos sob forma

diíjuntiva: trata-se deste homem, ou daquele, ou daqueleoutro, etc.(**). Com isto se revela a natureaa da frase deno-tativa: 6 formada graças à junção do conceito-elasse e deuma palavra, no nosso exemplo "um", que oojoea o primeiroem relação com uma multiplicidade de objetos reunidos numaunidade segundo a forma indicada pela segundai"). 0 mesmoacontece, pois, com "todos os homens", "cada homem",

06) IM., í 5R, p. 56.(27) JW., | 57, i. M.(28) IM., ; 80, p. .;•>.G»> IM. | 67, p. 63.

18



"a lgum h o m e m " , "o homem", e tc . , todas apresen tando aoespi r i to uma determinada reunião de obje tos , obt ida conforme om modo peculiar de congraçamento de seus membros .A mesma relação obje t ivamente , originaria do conceito elasse,dirige-se diferentemente a uma soma de obje tos , denotando-osd e uma forma part icular.

W RusseU interpreta o vinculo que se dá entre a hipótese e a conseqüência d a demonstração com o um a relaçãoindefinlvel a que dá o nomo de implicação formal. N o entanto, o paradoxo de Lewis Carrol mostra a inoperinciades t a relação quando se t ra ta de destacar a conclusão e afirmarsu a veracidade de p er si . De fato, se t iverm os "H impbca T"

e pretendemos obter a verdade de T unicamente a par t i rda implicação, cairíamos sob o jugo de um processo r-ite-raate que nunca lograr ia af i rmar apenas T. Graças 1 impl i cação, somente seria legi t imo dizer que "Se 'S impoca T,então 7", que por sua ves ê uma implicação mais complexad o qu e a primeira. Ê p or isso qu e Preg o e Russell reconhecema necessidade de uma regra paralela de destacamento, empart icular o modus ponena, cuja função é precisamente afaertara verdade de T a par t i r da implicação "H imphea 7"(*0.Russel l , no entanto, a inda ntto compreendera a importânciadessa regra, contentando-se em tomá-la como um dos exemplosd a s umitacoes essenciais do fi>rmsIi*rao{31).

Toda a dificuldade se concentra, por conseguinte , n anoção de implicação. Em seu debato com Frege, recusa fi rmemente part i r dos valAres de verdade que, a seu ver , nadaacrescentam à compreensão d o julso em gera l ( M ) . E no corpodo t ra tado descobrimos o porque de sua insuficiência: "Se pimplica f, se p é verdadeiro, então q 6 verdadeiro, isto 4, averdade de p implica a verdade de g, por tan to se f * falso,então p é falso, isto i, a falsidade de o implica a falsidaded e p " . Desse modo, a verdade e a falsidade nos dio apenasnovas implicações, mas nio um a definição d a i m p l i c i ç a o " ( u ) ,argumento que evidentemente confunde os vários planos dal inguagem, s i tuando a implicação no absoluto. Como nessaépoca nem Scheffer nem Nicod haviam demonst rado a

(30) JW.. I 38, o. 35.(M) M i. | 18, p. 16.(») / k t , s «rs, p. sca(33) M i. | Ifl, pp. lt-15.

19



bihdade da definição cruzada dos concctivos lógicos e a redução de lodoa élee a um só, multado obtido muito maistarde, cio foi difícil a Russell tomar a implicação como inde-finlvei.

O caráter formal da matemática fu , contudo, com quea impüeaçáo material somente possa operar em casos muitoparticulares. "Na matemática assertamos que, se uma certaasserçao p ê verdadeira para uma entidade x ou para umconjunto de entidade* x, y, d,. •) então alguma outra aaser-çfto q é verdadeira para tais entidades. Assertamos umarelação entre as asserçoes p e tf. que chamo implúaçáo for-*wr(**). Tomemos um exemplo: "Para todos o* valoresde x, se x for um triângulo eqüiângulo, x i um triânguloequilátero", esta fórmula, que interpreta a proposição corrente "Todos os triângulos eqüiláteros sào equiánguloe",afirma que as duas asserçoes "** um triângulo equilitero" e"4 um triângulo eqüiângulo" **o ditas da entidade z, oumelhor, das viria* entidades representadas por z. Como,entretanto, explicar a implicação formal ? Quais ato suasrelações com a material ?

Antes de tudo e preciso salientar que a implicação formalsupõe a análise interna da proposição. Ora, essa análisedifere totalmente em Frege e em Russell. Para o primeiroa unidade proposicdonal sempre se resolve num termo e numconceito ou, conforme as expressões do segundo, num termoe numa asserçao. Esta última palavra designa a parte restante da proposição depois de subtraído o termo-sujeito. deforma que possui um significado totalmente diferente daqueleque o toma como a asseveração do conteúdo proposicional.Para ambos os filósofos, todavia, a proposição eoafigurauma unidade, uma maneira peculiar ds totaliiaçao de seuselementos. Mas enquan to Frege acredita que a junção dotermo e do conceito a recompõe. Russell nega que is to sempreocorra- Na verdade, em todas as proposições de forma aujeito-predicado, a unidade imediatamente se •refaz tio logo umtermo ocupe o lugar do argumento da função. Isto, porém,nio acontece em todos os casos de proposições mais complexas. A reduçfto da sentença "todos os homens sáo mortais"em seus elementos essenciais redunda em afirmar que "para

todo i, ec x é homem, então x é mortal"; a saber, dois con-

M / W . | 5, p. s.



ceitoe ou asserçocs, no vocabulário de Russell, são ditos dapseudovariável x. A recomposição da unidade proporcionalpr imit iva , entre tanto , esbarra na seg uin te dificuldade: a osubsti tuirmos o primeiro x por uma constante , Sócra tes , porexemplo, não temos garant ia de que a segunda ocorrênciad a variável deva ser subst i tu ída pela mesma constante . Dadoisso. Russell i levado a dist inguir assereaO e função proposi-ãonal , a primeira sendo consti tuída pelo reato da proposiçãod e quese tirou o t e r m o , a segunda sendo formada por essemesmo res to tomado, todavia , na sua qual idade de par ted a un ida de funcional. A resolução em termo e asserçáo n&oassegura que as par tes res tantes da proposição nfic se reduzama um simples agregado de membros justapostos; só a função

proposicionai, função cujo valor sempre é uma proposição,garan te a peculiarlseima unidade que toda proposição possui (**).Descobrimos no fundo desta separação o mesmo precon

ceito de Russell, responsável pela identificação do predicadocomo tal • do predicado com o sujeito. 0 problem a do âmbitod e variação de uma variável foi, na história da lógica, resolvido de maneiras diferentes. A admissão de substâncias segund a s , por Aristóteles, delimitava imediatamente todos os argumentos da função "x é homem", seu campo de variação n&o

indo alem da s pessoas reais ou possíveis. Em bo ra n ega nd otais substâncias . Frege também caminha DO sentido de estabelecer certas limitações no domínio das variáveis , aceitandovários t ipos de variabil idade o, por conseguinte, sedimentandoo s conceitos em ordens d i ferenteeí" ) . Russel l , ent re tanto ,mantém uma variabil idade indiscriminada, postulando que"todas as funções que não podem ser valores de variáveisd e u m a função de primeira ordem não são entidades masfalsas abstrações"'í*7) , o que implica em afirmar que o predicado que não puder ser identif icado com um sujei to 6 umaabstração desprovida de sentido. Is to redunda em negar apossib&dade de conceitos de segunda ordem e, por conseguinte, o bslissmcnto das variáveis . Dal precisar atr ibuir àproposição o papei desempenhado por esse bali lam en to, d esorte, que ela passa a possuir uma unidade totaliaanla q ueo termo e o conceito (a asserçáo) nem sempre são capaieade reproduxir .

OS) Í W . | 137, p. « 1 , , | 4 0 . p. 508.•»-• Mi. S «82, pp. 508 •0(57) / W , | 482, p. 509.

21



A as tc rçao , A funçáo proposicional e a implicação material ,en tendida como relação originaria, configuram, portanto, trêanoções prim i t ivas . Aa du as últimas explicam a implicaçãoformal : no exemplo anter ior , a unidad e do arg um ento que

subst i tui aa várias ocorrência* d e i 6 garant ida pela unidaded a proposição singular em une êle se inscreve . Colocadoesse ponto de part ida, a implicação formal se resume numaclasse. Dum feixe de implicações materiaisC*). Todo o pesod a variação cai , desse m o d o , sobre a implicação mater ia l ;"Para todos os x, se x é homem, eotto i é m o r t a l " 6 u m aproposição gerada por sentenças singulares do t ipo "Se Sócratesé hamtm, então Sócra tes é mor ta l " .

F ina lmente convém mencionar a f rust rada tentat iva dedefinir a proposição a par t i r desse concei to absoluto de imptj-eaçAo. já que o Tnetatu» se ocupa dela expf id tamente<") .T o d a proposição implica a si mesma e o que nao 4 proposição tâo ímpUca nada . Dai : " 'p é uma propos ição ' eqüivalea diier q u e ' p im p lic a p ' " , definiç&o puramente matemát icaque nao deve ser confundida com a definição filosófica, cujaformulação sempre supõe n anál ise de uma idéia em suaspartes const i tuintesí**).

e) "A principal dificuldade que surge a respei to da teoriadas classes acima | a de Frege] ** a espécie de ent idade queo percurso (rance) possa ser. A rasao que me levou, contram"?hs incl inação, a adotar o ponto de vista exteasãonal sobreas classes foi a necessidade de descobrir alguma entidadede te rminada para uma função proposicional d a d a e a m o r n apara a lguma função proposicional equivalente. Assim, 'z 4bomera ' é equivalente (suponhamos) a 'x 6 u m bipede sempenas ' , e pre tendemos descobri r a lguma ent idade que 6 deter

minada do mesmo modo por ambas as funções proposicionaia.A única ent idade singular que fui capas de descobrir foi aclasse como una — exceto a classe derivada (lambem comouna) formada pelas funções propoaicionais equivalentes a um ad a s funções propoaicionais dadas"(* 1) - Sendo esta ú l t imaclasse derivada e mais complexa, escapa à discussão d a snoçoea primi t ivas . Nada mais resta , portanto, do que postular

( W / W . | 42, p. 38.aa) ct u m .(«) Prmriplm. I 18, p. 16.<41) I M , S 480, p. S13.



a existência de um todo constituído pela reunião de índl-viduoe, denominado classe.

Vimos que o próprio Frege, logo que soube do paradoxo

formado pela noção de classe de classe, reconhecera a necessidade de impor certas limitações a essa passagem da equivalência das funçfiet para o percurso de valore-, A polemicado primeiro Russell contra Frege, entretanto, nao se dirigeapenas no sentido de estabelecer essas limitações, mas sobretudo no sentido de averiguar o tipo de existência compatívelcom a noção de classe. Em que medida uma entidade podeser ao mesmo tempo una e múltipla? A que entidade corresponde a classe nula? Como distinguir a classe formada porum elemento de seu próprio elemento? Perguntas tradicionais, muito mais ligadas a problemática da ontologia formaldo que aos problemas suscitados pela construção de um cálculológico-aritmétieo.

Noa primeiros textos, RuaseUí41) concebe a claate essencial-mente como a conjunç&o numérica de termos, assumindoobviamente uma perspectiva exteorional. Mas com a introdução de claaaes infinitas já se coloca na Ótica da intensioaa-lidade, embora tais distinções de ponto de vista sejam consideradas de fundo meramente psicológico: a impossibilidadede se obter uma classe infinita pela conjunção numérica determos é interpretada apenas como obstáculo ligado 4 natureza do espírito humano, incapaz de contar o infinitoC*).£ para aatisfaser interesses práticos que se deve, pois, recorrera coneeitos-classes, faxendo as classes corresponderem a seusplurais. Estudamos, na teoria da denotaçao, como ao predicado se associa um conceitc-classe que, unido a uma sériede palavras quantificado™* ("um", " todo" , "algum", etc)

passa a denotar objetos reunidos de uma certa forma. Afrase denotativa "Iodos os homens", por exemplo "denotauma coleção de indivíduos humanos ligados pela conjunção e,coleção cuja unidade, todavia, não possui a mesma integraçãode uma totalidade. A classe c, pois, essencialmente múltipla,sendo a classe nula e a classe una fícçoee matematicamenteúteis, determinadas por coneeitos-classes, a que nenhumaentidade há de corresponder^**).

(«D a . na, csp. v i .(41) Md., | 71, p . 68.(«) nu, % n, pp. 8o-i.



N o e n t a n t o , j í o apêndice A do* Prineipla reformulaesta teoria simplista. RuaselI se defrontara com o seguinteargumento de Frege que parecia comprovar a exclusividadedo ponto de vista inteosional: M a for uma classe de ma»de um t e rmo, e ae a for idêntica i classe cujo único termo 6 a,então ser um termo de a é a mesma coisa do que ser umtermo da classe cujo único Mrmo é a, pois a A o único termod e aí.**). Tudo gira em torno da unidade da classe e da classeuna; feita a identificação de ambas, surge imedia tamente oparadoxo de a t r ibuir uma multiplicação à unidade e aice-seras. Ruaaell entrevê duas possibil idades para sua solução:1) a coleção de mais do que um termo nao é idêntica à coleçãocujo único termo é a ; 2) nao há uma coleção de um termo

n o caao d e u m a coleção de mui tos te rmos, mas a coleção é"est r i tam ente m úl t ip la . 0 pr imeiro caminho € t r i lhado porFrege, que considera o percurso de valor uma única unidadeformada pela passagem da equivalência a identidade, — osegundo 4 reafirmado pelo próprio Russell.

A primitiva teoria das classes obedecia a um principiológico, cuja formulação, oontudof4 8) , não aparecia no corpod a ob ra . 0 principio é o seguinte: uma plural idade de termosnlo é um sujei to lógico quando um número é asser tado dela ;tais proposições não têm um sent ido mas mui tos — o queeqüivale a des t ru i r a unidade v is ível do sujei to enquantotermo em proveito da mult ipl icidade de tu a deo olacâo . 0argumento de Frege, porém, demanda uma redução em seuâm bi to. " 0 sujei to de um a proposição pode nao ser um termosingular , af irma Russell em seu apêndice contra Frege, maspode essencialmente ser formado por múltiplos t e rm os ; esteê o caso de todas as proposições q ue aseertam números além

d e 0 e 1. M as os predicad os, concalos-classes on relaçõesque podem ocorrer nas proposições que possuem sujeitosplurais são diferentes (com algumas exceções) daqueles quepodem ocorrer nas proposições que possuem termos singularescomo sujeitos- Em bo ra a classe seja m ú ltipla e nao u n a ,há identidade e diversidade entre as classes, de sorte queas classes podem ser contadas como se fossem unidades genuínas. Neste sentido podemos falar de tuna classe e dasclasses que são membros de uma c lasse de classe. Um deve

<«) ib*i, | 487, i>. 613.<*•> Cf. Í W , | 70, p. «0, oou.



ser tonado, entretanto, como sendo algo diferente quandoê assertado de uma c!os-t> e quando é assertado de um Urm<>;h i um sentido de um que í ulilisável quando te refere a v>n

limo c outro quando *e refere a una cia**, embora hajatambém um termo geral aplicável a ambos os casos. A doutrina, básica sobre a qual tudo se assenta é que o sujeito deuma proposição pode ser plural e que tais sujeitos pluraisato o que as classes significam quando possuem mais de uintermo"(4T). Permanece a mesma exigência do lermo-sujeitopoder denotar uma multiplicidade de objetos, mas Russeilagora reconhece a possibilidade de se tomar essa multiplicidade como uma unidade legitima do ponto de vista matemático, em que pese à destruição da univocidade do sentidoda palavra " u m " . Só assim se evita o paradoxo das classe»,pois na proposição "z pertence a x", a unidade do primeiro j•Io e dita da mesma maneira do que a unidade do segundo.

Logo em seguida encontramos uma expbataçao do próprioItusseil. "conforme o ponto de vista defendido aqui seránecessário, para cada variável, indicar ae o campo de significação consiste em termos, classe, classe de classes e assiiupor <bant«"(**), o que implica uma ©Gratificação dos objetesque prenuncia a teoria dos tipos. Em lugar da eatratificaçéodos conceitos, defendida por Frege, temos agora uma estra,-tificaçáo doa objetos lógicos o, por conseguinte, a destruiçãoda unidade postulada pelo termo sujeito. Desse modo, paulatinamente o problema da objetividade correspondente aotermo passa a vincular-se ao problema da edificação de umsistema formal, desvencílbando-se dos dados fornecidos pela .intuição para ligar-se ao contexto lógico. Está aberto o caminho que desembocará na doutrina doe Principia, em que

a classe e as constantes lógicas serão concebidas como atmbok«incompletos cuja significação está na mais estreita dependência do sistema.

111 — Alguns aapectoa semânticos dos Priruipim,

No prefácio à segunda ediç&o dos PrinâfU*. faaendocomo de hábito o inventário doe caminhos percorridos porseu próprio pensamento, Russell comenta: "eu partilhava

(47) /W„ | « o , pp. Slfl-7.(U) ftü, | m, p. 51S.

25



Com Frege a crença na realidade platônica dos numera que,na minha imaginação, povoavam o reino intemporal do Ser.Era uma fé confortável que mais tarde abnndonei"(**). Pouco

a pouco vai reduiindo-*c o nrjmero de objetos necessáriospara a construção da lógica e da matemática; e conformeae processa esta redução, palavras que anteriormente designavam um objeto autônomo, possuindo sentido completo, passama designar e a significar na estrita dependência do contesto.O lema de Oocam esta cm pI*no funcionamento. Os Principiei* ao definir o firmo]'0), assegurava a cada palavra certosentido, transformando tudo o que pode ser objeto de pensamento ou ser contado como unidade num Urino indepen

dente. Na doutrina posterior, todavia, este principio se tornafalso; se toda palavra contribui para o sentido da proposição,pois, se assim nao fome, nao seria pronunciada ou escrita,nao precisa ipao faeto possuir sentido(í,>. Muitas vises afunção da palavra se resume apenas em auxiliar a formaçãode om sentido que só vem a ser percebido numa totalidade

ampla.

O passo mais decisivo nessa direção foí dado pelo impor-

artigo. publicado em 1905, intitulado "On deno-ting". Já observamos como a teoria da denotação é essencialpara a compreensão da natureza da classe; é evidente que,ao ebegar à primeira solução completa e satisfatória para oproblema, toda a teoria da significação o da verdade haveriade ser reformulada.

Antes de tudo, Russell estabelece a distinção entre0i.7vj1-.Mnrr. saber das coisas tios como nos sio apresentadas,e fcaovfcdpe aooul, conhecimento obtido por frases denota-

trrss tais como "a revolução da Terra em volta do Sol","o atual rê da Ing laterra" , etc. Os exemplos mostram suaimportância: a denotaçáo, oVnotando pela forma, estabeleceuma ponte entre o conhecimento imediato e o mediato.

Toma, em seguida, trea expressões fundamentais: 1) anoção de variável; 2) o símbolo C(x) que representa umafunção proposicional em que * é variável; 3) a proposição**CÚ) é sempre verdadeiro" da qual se deriva *'C(s) 4 algumas

verdadeiro", equivalente a "Nao é verdade que 'C(i)

(«) ia*., p. X .(SO) rt*., r.p. I V .(Jl) Ibid., p. X .

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ê sempre falso' é* sempre verdadeiro". Como se r é , traUde solucionar o problema da denotaçao, isto é, da correlaçãode certas expressões com seus significados, por meio das coçoes

de falso e de verdadeiro. Dado isso. os quantifieadorea en-coDtram desde logo sua interpretação;

C (todo) significa "C(x) é sempre verdadeiro"C (nenhum) significa " 'C(x) é falso' é sempre verdadeiro"

C (alguns) significa "Ê falso que *C(x) ê falso' é sempreverdadeiro".

A solução mais inovadora, entretanto, aparece na redução

do artigo " o " . A proposição "O pai de Carlos II foi executado"resolve-se cm "N io 6 sempre falso de x que x gerou Carlos IIe x foi executado e 'se y gerou Carlos II, entio t é idênticoa z' é sempre verdadeiro" . Em outras palavras, devemossubstituir a frase "o pai de Carlos II", que na qualidade desujeito poderia alimentar a ilusfto de que constituiria umnome, por uma funçio proposicional "x gerou Carlos II",para em seguida garantir a unicidade deste x estabelecendoque, se um outro y também gerou Carlos II, entio > tigual a

x.Esta interpretação das frases denoUtivas evita, primeira

mente, atribuir a expressões tais como "o atual rei de França","o quadrado redondo", ao aparecerem como sujeito, certaobjetividade que deve logo ser negada quando se enunciauma frase negativa: " 0 atual rei da França nio existe";resultado que obviamente infringe o principio de contradição. Além do mais, a despeito do caráter esdrúxulo dasolução proposta, ela resolve todos os problemas com que aodefrontava Frege, economiiando ainda a distinção entre osentido e a denotaçio e reduxindo o número de objetos primitivos necessários, na medida em que tais nomes complexospassam a ser interpretados como descrições. Por que isolaro sentido quando esse sentido nunca vem designado a nioser pela denotaçao de uma expressão em que Ue nio surgecomo sentido ? O principio do terceiro excluído obriga a queou "A é B" ou "A n io ê B" seja verdadeiro, de sorte queteremos " "0 atual rei de França é calvo' é verdadeiro" ou

" '0 atual rei de França n&o 6 calvo' é verdadeiro"; masse enumeramos todas as coisas calvas e todas as que nio oaao, por certo nio encontraremos entre os membros dessas



classes exclusivas o atual rei do Franca. Ora, basta traduzira proposição conforme a solução proposta para que o paradoxo desapareça. Temos duas interpretações possíveis: 1} "Ê

rabo que haja uma entidade que agora é o atual rei de Françae nao é calvo", que é evidentemente verdadeira; 2) "Existeama entidade que í o atual rei de França e nao é calvo",obviamente falsa. Na primeira, a descrição fax parte de uma

que por sua vez faz parte da proposição que secom "É fa lso. . . " , sendo pois tomada numa ocorrência

secundaria; na segunda, a descrição se inscreve numa proposição autônoma, por conseguinte, numa ocorrência prim á r i a ^ .

Ambas as soluções, a de Frege e a de RusseU, conduzem,portanto, a resultados contrários ao senso comum e a intui-çoes mobilizadas no ato de enunciar. Se uma descrição éum nome, a própria proposição declarativa se toma o nomede um valor de verdade; mas para que a proposição designeum fato, as descrições devem ser reduzidas a um complexode funções proponicionais. Ou de um lado ou de outro a intuição se rompe, cedendo lugar à construção formal. £ denotar que. do ponto de vista sintático, atualmente se consi

deram validas as duas soluções; a eleição de uma delas sótem relevância, destarte, para a compreensão das relaçõeseotra a linguagem <• o mundo.

Reata-nos finalmente examinar a questão dos paradoxos.£ sabido que a solução evolui desde os Principia ate* os Prín-.-.;:•; envolvendo delicados processos de cálculo, cuja análiseescapa a nossos propósitos. Cabe-nos, en tretan to, examinarcertos pressupostos semânticos da teoria doe tipos que inega

velmente estão na raiz da investigação de Wittgenstein.Na base de todo paradoxo Russell descobre um círculo

vicioso que sempre nasce quando se forma uma coleção queao menos tem um de seus membros definido pela própriacoleção. 0 conjunto de todas as proposições, por exemplo,deverá conter a proposição particular "Todas as proposiçõessio verdadeiras ou falsas", cujo sentido por sua vez envolvea to talidade das proposições. De um modo mais geral podemos dizer que surge um paradoxo quando uma função proposi-eional tem um argumento cujo sentido depende da função

•2 "On DvnoÜDf", Ia Ufie and KnovUdf, p- II * Mff., GsorfeA Cawin, Londres; Cl. Principia I, pp. 30 c Mg.; M e Kf.



BOBO ma todo. E para evitá-lo, Russell passa a considerartüs totalidades como desprovidas de sentido. Dal o principio chamado do circulo vicioso: tudo o que envolve a totalidade de uma coleção nSo deve pertencer a esaa eoleçao<M).

Suas conseqüências s&o drásticas, em particular no querespeita as noções lógicas propriamente ditas. Tomemoscomo exemplo a proposição " p * falto" e consideremos ocaso em qae 'Tara todos os p, p 6 falso". Esta última sentença é evidentemente falsa, de forma que teremos: " 'Paratodos oa p, p é falso' é falso", onde a expuasio "Para todosos p, p é falso" 4 argumento da função "p 6 falso". 0 princípio do circulo vicioso nos obriga a tomar esta última função

"* falso" num sentido diferente da primeira função que aparece DO interior do argum ento. Isto nos leva a perceber que,paralelamente à sedimentação dos objetos em vários níveis,necessária para que se estabeleça a hierarquia doa tipos,ocorre uma sedimentação das noções lógicas: obtemoa váriasformas de falsidade, de verdade, assim eomo de todos osoonectiros como "ou", " e " , " s e . . . então", "nao", etc.

Importa considerar particularmente a primeira espécie

de verdade e falsidade, pois implica uma teoria geral dojulio. "0 universo * constituído de objetos que possuemvárias qualidades e mantém várias relações entre si. Algunsdos objetos que correm no universo s&o complexos. Quandoum objeto é complexo, 6 constituído por partes inter-rela-eionadas. Consideremos um objeto composto de duas partesa c b mantendo entre si a relação R. 0 objeto complexo a—na-reIaçao-R-eom-6 pode ser capai de ser percebido, e quandoé percebido, o é como um objeto. A atenção deve mostrarque é complexo; julçamot então quo o c o estão na relação R.Tal julio, derivado da percepção graças à mera atenção,pode ser chamado 'julio de percepção'. Este ju lio de percepção, considerado como uma ocorrência atual, é uma relação de quatro termos: a, o, R, e o pereebedor. A percepção,ao contrário, ê uma relação de dois termos: 'a em relação Rcom V e o pereebedor. Jé que um objeto da percepção naopode deixar de ser algo, nao podemos perceber 'a-na-relaçao-fi-com-6" a nao ser que a esteja na relaç&o R com b. Assimsendo, um julio de percepção, de acordo com a definição,

deve ser verdadeiro. Isto nao «grafica que, num ju lio que

<B) Prmapia, I, 37.

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(tos parece ser de percepção, estejamos seguros de olo incorrermos em erro, posto que podemos errar no pensai que nosso;uíin foi derivado meramente da análise do que foi percebido. Mas se DOMO jufso assim se derivou, então deve ser

verdadeiro. De fato, podemos definir verdade sempre quese diga respeito a tais juízos, consistindo no fato de que háum complexo correspondendo ao priMUnHtnl • l* " " " ™ , n que êo jufio. Isto é, ao julgarm os 'o-em-relaçao-R-tom-V. nossojulio é dito verdadeiro quando há o complexo 'a-em-retaçaft-fi-com-o' e dito fateo quando isto nâo ocorre. Esta é a definição de verdade em relação a juísoa dessa especie"(M). Déesemodo. o jufio não tem um único objeto, a propòricão, masse defronta com objetos entrelaçados por uma relação em

que o sujeito aparece como um dos termos. 'Isto ê vermelho", por exemplo, se resolve em tr#* termos: a mente,isto, e o vermelho — de modo que até mesmo uma proposição da forma sujeito-predic&do se transforma numa relação. Nada mais natural assim do que considerar a proposiçãocomo um termo incompleto, cujo complemento se oculta naação do sujeito. Toda proposição se completa somente quandointegra DO seu sentido o ato de julgar^**)-

Segue-se dai a determinação do complexo como todoobjeto da forma "a-está-cm-relacao-A-com-ô", ou "a - t em-a-qualidade-tf", ou "a^u- fc^u-e-es tão-M-re laçao-S" , a saber, tudo o que ocorre no universo sem ser simplesc?*).

Compre finalmente mencionar a hierarquia das funçoeae das proposições. Examinemos mais de perto a rjrimeira,0 tipo lógico é considerado como a eotfÇáo dos argumentospara os quais uma função tem valor. Quando numa expressão

surge uma variável aparente, o domínio dos valores deaaavariável forma o tipo. Além do mais, o próprio prindpiodo circulo vicioso pode ser expresso em termos de variáveis:todo o que contém uma variável aparente náo pode vir a

valor dessa variável. Dado isso, a exprenao que contémvariável aparente deve ser de tipo superior àquele que

os possíveis valores da variável*7).

(34) IM, p. 43.(15) J W , p. 44.(58) JW.. p. 44.(57) "Matbematical Logic", in bojie <md Knawiaáfr, p. 75.



A hierarquia doa tipos segue-se imediatamente. As maissinip!» proposições desprovidas de variaveta aao da forma:"Isto é vermelho", "Sócrates i mortal", etc., isto é, proposi-ções predicativas que dixem respeito as coisas. Se substi-

.tulmoe essa* coisas por variáviãa obteremos funções proposiTcioaais que, quando generalizadas, geram novas proposições.A eesas funções ou a essas proposições generalizadas chamara de primeira ordem; a totalidade doe argumentos daprimeira constitui o primeiro tipo. As funções proposicionaisoperam pois como matrizes, sendo as da primeira ordem daseguinte forma: tfz), *(r, y), x(x , y, z. - -). Cumpre aindaestabelecer que aa funções de primeira ordem qne náo contemuma função como variável aparente aao chamad&a de funções

predicaüvas.Transformemoa. em seguida, as funções de primeira

ontem em rariáveia. Pelo mesmo processo de generalizaçãoobteremos proposições em qu* funções surgem como variáveis aparentes, o que dá origem a proposições de segundaordem cujos argum entos formam o segundo tipo lógico. Eassim por diante.

Esta estratificaçao dos objetos nao ê paralela a uma

estratificaçào das funções proposicionais. A primeira restriçãoprovem do axioma da redutibüidade, axioma que se faz necessário ao funcionamento da teoria mas que, em virtude deseu caráter nao-forma), foi recusado por grande parte doslógicos contemporâneos que se ocuparam da questão. Afirmaque, dada uma furtçáo proposicional de qualquer ordem,sempre existe uma função predieoíua, formalmente equivalente à primeira — definindo-sç equivalência formal pelo fatode ambas aa proposições possuírem o mesmo valor de verdade.

Um exemplo nos fará melhor compreender seu propósito. Aproposição "Napoleao tem todas as qualidades que fazemum grande general" é de segunda ordem, pois toma comoum todo aa qualidades, os predicados, que fazem um grandegeneral. Graças ao axioma, podemos afirmar que existe umpredicado de Napoleao equivalente a essa função de segundaordem. No caso, sua construç&o 4 fácil: a classe dos grandesgenerais é finita e podemos eleger de cada Mm de seus membrosuma propriedade característica, por exemplo, a data de nascimento, e compor uma função complexa disjuntiva, vinculandotodas as propriedades determinantes (z nasceu em tal data ,ou y nasceu nesta outra data, o u . . . ) , função que por sua

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ves í de primeira ordem e tem X apo leto oomo um de seus•jfumentosC^.

A segunda reatriçío possui apenas caráter pratico, mas,

ligando-se à teoria das classes, tem importância considerávelpara a elaboração da teoria da verdade. Abandonando todapreocupação ontológica, Russell checa finalmente a umateoria das classes conseqüente, em que estas ato tomadasoomo símbolos incompletos, exclusivamente definidos pelouso, aparecendo como artifícios de naturexa lingüística, masque nio devem necessariamente denotar uma objetividadedeterminada.

O ponto de partida é uma definição precisa da extensio-

nalidade. J á dissemos de passagem que duas funções sSoequivalentes quando possuem o mesmo valor de verdade eformalmente equivalentes quando s&o equivalentes para todosos seus argumentos possíveis. Assim è* que "x é homem" êformalmente equivalente a "z é um bfpede sem penas". Alémdo mais, uma funç&o de junção ê dita exlennonai quando seusvalores de verdade, para qualquer argumento, slo os mesmospara qualquer argumento formalmeute equivalente, isto i,;!..--- é uma função extensional de 4z se. substituindo *z

pela função formalmente equivalente *x, / (4a) será equivalente a/f#i). Exemplificando: a função " ' 1 1 homem' implica'; é mo rtal' " é uma função extensional da função "x í mortal",pois se substituímos essa função por outra que lhe é formalmente equivalente, por exemplo, "x é um Mpcde sem penas",os valores de verdade da função total nto ato alterados.Em contraposição, ditemos que uma função de função 4 inlen-titmal quando nto for extensional. £ o que acontece, porexemplo, com a função "A acredita que 'x 6 homem' implica

'.- ê mortal '", porquanto A pode nunca ter considendo apossibilidade de que oa bfpedes sem penas possam ter mor-bata?").

"Quando duas funções sao formalmente equivalentespodemos diier que Ihn a meema extensão. Nem definiçto,estamos concordando estritamen te com o costume. N toadmitimos, porem, que haja uma coisa tal como a extensão,apenas definimos a frase inteira ter a mesma extensão. Pode

mos então diser que uma função extensional de uma funçáo<S8) P r â np M , I , p. 56.( » ) / M ' a pp . 73, 7X



ê aquela euja verdade ou fidaídiide depende somente da ex-tensão de seus argum entos. Neste caso, é conveniente encarara proposição como concernindo à extensão. Já que aa funções

extenaionaia são muitaa e importantes, é natural olhar aextensão como um objeto, chamado classe, que at supõeser o sujeito de todas as sentenças equivalentes sobre as váriasfunções formalmente equivalentes. Desse modo, se dissermos, por exemplo, há dose apóstolos, ê natural tomar estasentença como atribuindo a propriedade de aer doae a umacerta eobcáo de homens, nomeadamente daqueles que foramos apóstolos, ao invés de atribuir a propriedade de ser satisfeita por doae argumentos à função 'z era um apóstolo'. Esta

visão é encorajada pelo sentimento de que existe algo quee" idêntico no caso de a s d ua s funções 'terem a mesma extensão'.Se, alem do mais, tomarmos certos problemas simples como'quantas combinações é possível fazer com n coisas' parecea primeira vi.it* necessário que cada 'combinação' fosse umobjeto • " ( [ " * " que pudesse aer contado como uno. Isto,no entanto, nio é preciso de um ponto de vista técnico, enão vemos raxlo para supor que seja fdosoftcamente verda-deiro"(*»).

Pretendendo mostrar a necessidade de um tratamentoparticular das funções extensioDais, RusseU estabelece umafórmula para redutir todas as funções a funções exteosionais,processo que não convém examinar por aqu i. Basta porémlembrar, primeiramente, que a função d a função pasta aser substituída por uma função derivada que tem por argumento, em vei da função #x, a classe determinada por elaou pelas outras funções formalmente equivalentes. Em segundo lugar, para que esta função derivada seja sempre significativa para argumentos de qualquer tipo é necessário e suficiente que o axioma da redutibíUdade garanta a triatfrn*iade uma função predicatita equivalente a « i . de sorte que afunção derivada que tem as classes como argumentos Dãoapesa* substitui qualquer função por uma função exteo-sioDal mas ainda- remove praticamente a necessidade de considerar as diferenças de tipo entre aa funções cujos argumentossão do mesmo tipo. Esta conseqüência eqüivale a uma simplificação na hierarquia dos tipos, de sorte que tudo se passa

como ae não considerássemos senão funções predicativas(").

(flO) ÍW., p. 7*.(«) ÍW., p. 75.

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Convém examinar essa doutr ina à loa doa correspon-denlea textos de Frege. O ponto de par t ida e o mesmo: apassagem formal das funções para o subst ra to da ident i

dade . Maa essa passagem tem agora o caráter pra t i co , de•• -•. *7.it-c:à. nâo respondendo a nenhum imperativo teórico.Além d o mais , operando como função de função, ao invésd a função de Frege, Russell mostra que importa apenas definiras condições de seu uso e da substituição de seus argumentos ,sem dar a menor atenção a um possível substrato oatolôpco.Nessas condições, falar do objeto formado pela classe nloé mais do que uma concessão ao uso corrente das expressõesmatemáticas e um artificio para facilitar o discurso: a função

derivada que a introdus é definida de tal forma que sempreserá possível substituir a objetividade inoportuna por umaexpressão qu e ae repo rta a indivíduos. Em vir tu de dessecaráter vieário da noção de classe, esta nao pode estabeleceruma propriedade geral de uma função, nao pode ter a espessura de um conceito de segunda ordem, como em Frege; seela é propriedade, o é do um a coleção de objetos que, todavia ,o—tsasism a estar sob o signo da m ult ipl icidade. D o pontode vista do calculo ambos os caminhos se eqüivalem, poiaambos terminam por garant i r a definição de número cardinal

classe de classe (Ruasell) ou propriedade de uma pro-(Frege). Somente, graças a uma astuciosa eona-

simbólíea, a objetividade discutível da classe comoé excluída do campo doa legít imos problemas mate*

milinn Mais um a ves o principio de Occam devas ta oaobjetos da ontologia formal, mais uma ves se redus o número de objetos necessários e das frases cujo significado sedá no imedia to .

IV — O» p r i m e i r o s p a s s o s d e W i t t g e n s t e i D .

E conhecida a diversidad e de interesses do jovem W ittgens-teia- Noa fins de 1911, porém, tendo l ido os PrineipU* o/Sfa&matic*, apaixona-ee pela filosofia da matemática edecide abandonar de ves seus estudos de engenhar ia . ProcuraFrege em Iena que, segundo consta, o aconselha a trabalhar

com Ru ssell. Assim é qu e, no inicio do ano seguinte, se matr icula na Universidade de Cambridge. Em pouco tempo seestabelece ln*ima colaboração en tre o professor DO apogeude soa carreira filosófica e o aluno cujo gênio desper tava



n u m * subil» e rupção ; colaboração amiga, extremamente fért i lpara ambos , mas que nio deixou de ser permeada de inciden t e s qoe desde logo demonstravam as diferenças profundas

de temperamento fi losófico. Já em março de 1913 Wiltgens-tein, de visita a Viena, escreve a Russell marcando soa posj-ç i o : " ( . . . ) p o s s o agora exprimir exatamente minha objeçãoà sua teoria do j u l i o : creio ser óbvio q u e d a proposição 'Ajulga que (digamos) a esteja na relação li com b. se fôr corretamente anal isada, as proposições 'o R b ... a R b' devemseguir diretamente, sem o tmpttgo de qualquer outra prmtua.Essa condição nao t c u m p r i d a p o r s u a t e o r i a " ( " ) . Q u a l éo alcance dessa objeção* 0 que significa diier que a compreensão de uma sentença implica em recorrer ao principiodo terceiro exchifdo? U m a explicação mais pormenorizadaencontra-se naa " X o t a s sobre a lógica'^8*), série de obterva-ODM redigidas em setembro do 1913, cuja cópia foi entreguea o próprio R ussel l. 0 exame das idéias fundamentais dessasn o t u revela uma polêmica explicita contra Frege e Russelle, rrr . embrião, algumas das descobertas básicas posteriores.Com is to , o elo en t re oa três pensadores se fas sem soluçãode continuidade, de maneira a nos conduiir a apreender aovivo o surgimento do Traeíaíw.

Depois de salientar o caráter descritivo da filosofia,depois de lembrar como esta se resolve em lógica e metafísica, Wit tgenstein inicia o confronto com seus grandes mestres:"Frege dia 'proposições soo no m es'; Russell dis "proposiçõescorrespondem a complexos' . Ambos estão errados, sendo especialmente falsa a sentença 'proposições sao nomes de complexos' . F a t o s nao podem ser nomeados. A falsa assunçãode que proposiçOe* sao nomes nos oondux a acreditar quehaja 'objetos lógicos ' , pois o sentido d a s proposições baveriade ser tais coisas"(**). O horror a ontologia formal baliiaa pergun ta sobre as relações que a l inguagem mantém como mundo. Que obje tos poderiam ser aqueles a que corresponderiam as constantes lógicas? O pressuposto empiristaeliminaria, pois, desde logo, a análise da proposiçio proposta

(saiScan/lm, I, p. 261.

(83) Embora par comodidade continuemos a citar a edicto •luni,o leitor podíri UmMra enoinlrv 6w leito, racrito priBÚUru>reta «minclra DO ,V«í«6o>*. — WU-18IS, Apíodk* 1, B. Bltok-sti, (Word,5C

(M) Setnflm, I, p. 1 » .

35



por Frege, análise que transforma a Verdade e a íalwdadcem objetos denotados pelas proposições. O que o leva, entretanto, a abandonar a solução de RUKW.11? Nio t i duvida

de que introdusir a mente como parte eonstitutiva do sentido da proposição 6 uma brecha para o pacologUmo, mauWittgrnstein por certo náo *e contentaria com argumentosde tal ordem geral e filosófica. A oposição, como veremos,saaoe de questões técnicas, em particular da análise muitooriginal das condições de intehgibilidade da proposição.

Ê um d ado evidente c inquestionável que compreendemosuma proposição antes de precisarmos decidir a respeito desoa veracidade ou falsidade. 0 ave itto tiçnifiea do ponto

<U vitia lóçKot A resposta clássica distingue a proposiçãomeramente enunciada da proposição aasertada, a simplesformulação do sentido, da aceitação de sua verdade ou desua falsidade. Nio ha dúvida de que Wittgensteia tambémdistingue (sense, Sinn) da denotaçao (mtaning, BeJeuOtng),nas o que importa ê explicitar aa condições lógicas, estreitamente ligadas à problemática da verdade, ao invés de reafir-aar a autonomia do sentido sem prover aa condições de suadeterminação. 0 que implica entendermos omt sentença

antes de conhecermos sua verdade ou falsidade ( Isto deum prisma essencialmente lógico, de suas próprias condiçõesde verdade)? "N em o sentido nem a denotaçao de um a proposição s&o uma coisa. Essas palavras ato símbolos incompletos. É claro que entendemos proposições sem conhecerse sfto verdadeiras ou falsas. Mas somente podemos conhecera denotaçao de uma proposição quando sabemos se * verdadeira ou falsa. 0 que compreendemos é o sentido da proposição. Para compreender a proposição p nao basta saber

que p implica *p t verdadeiro', devemos saber aiada que pimpbca 'p é falso'. Isto mostra a bipolaridade da proposição.Compreendemos uma proposição se compreendemos seus constituin tes e suas formas. Se conhecemos a denotaçao da 'a 'e de V e sabemos que 'zRy' significa para todos os z a y,então também compreendemos 'aRb'. Compreendo a propo--•: ;â-> 'aRb' quando sei que oU o fato aRb ou o falo nao aRbcorresponde a ela, mas isto náo deve ser confundido com afalsa opinião de que compreendo 'aRb' quando sei que 'aRbou nao aRA' ocorro"(").

(65) IM, p p . 189-191.

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http://rukw.11/



A afirmação da que nem o sentido nem a denotaçaoe lo coisas opõe uma barreira ao formahsmo de Frege; naohá objetos lógicos e o fato é a referencia indicada pela prepo

sição- MAS nesse ato de visar, a proposição mobihxa doispólos (o verdadeiro e o falso) que demarcam sua própriainteligibilidade. Se dissermos, por exemplo, "a easa é vermelha", a expressão como tal acrescida de todos os seus significados implícitos quer diier " 'a casa vermelha' é verdadeiro o que importa também em afirmar que 'a casa nao éverm elha' é falso". Dentro das possibilidades desdobradaspelo principio do terceiro excluído em relação a proposição p,o sentido de p eqüivale a restringir o campo dessas possibi

lidades, em tomar a verdade de uma parte cm detrimentode todo o resto. Dal o sentido, a despeito de mobUisar todasas possibilidades implicadas pelo principio d o terceiro excluído,nao se confundir com êle, que simplesmente afirma tais possibilidades contraditórias sem atribuir-lhes peão algum e «emestabelecer entre elas níveis diferentes. A imagem utiuxadaé reveladora: uma mancha preta no papel determina umconjunto de fatos (pontos) positivos e, por conseguinte, todosoa outros fatos (pontos) negativos, que eetfto fora da mancha;a afirmação de um ê a exclusão de outro e vice-versa. Desorte que tanto o sentido como a denotaçao de uma sentença, tais como aparecem intuitivamente nO enunciado, atoincompletos, na medida em que a proposição afirmatirs jáestabelece logicamente a negação de sua contraditória e ofato denotado positivamente já implica na exclusão do fatonegativo e vice-versa^6*). Sob Asse aspecto Witigensteinpode então diier "a característica de minha teoria e que: ptem a mesma denotaçao que nao-p" ( a ' ) .

X a proposição "aRb" consideram-se em geral três inde-finívei*, os nomes "a" e "6" , cada um denotando um objeto,e a forma "ZRJI". Náo se questiona o caráter indefinlveldos nomes; como, porém, interp retar a form a? Antigamente havia a tendência de pensá-la sempre segundo a predi-cação de um atribu to a um sujeito; boje, ao contrário, tudoé reduzido a relações. A teoria de Russell é um impulso poderoso nesse sentido. Qual é, porém, o exato significado da

forma da proposição?

CM) Í W , p. 193, a. TraMIm, 4.063.(SJ) &*n/U*. I, p. 188.



Cabe primeirameat* desconfiar da.» indicaoOea « g e r i d a spetos signos isolados tanto falados como escri tos . As notações de Frege e de Ruaàell , por exemplo, escondem a verda

deira natureza da linguagem (**). "Símbolos n io sào o queparecem ser. Em 'aRb' 'R' parece um substan t ivo , emboran io o seja. O que simboliza em 'aRb' ê q u e 'R" ocorre ent reV e V . D e m od o que 'R ' n i o 6 indefinlvel em 'aRb'. Igual mente em V*"i V parece um su bstan t ivo, emb ora n i o o se ja;em '~-p'. '—' parece igua l a V , m u n io o i. EsU é a pri-meara coisa que indica que pode nio haver constantes lógicas .A ra i io con t ra e las é* a generalidade d a lógica: a lógica n iopode t ra tar de um conjunto especial de c o i W C * ) . Ê d*notar que esta desconfiança contra o sinal é baste*, pois indicará a Wittgenstein o caminho para reformular tanto a relação do predicado com o sujei to como o próprio es ta tu to dosujeito em sua qualidade de s u b s t i n d a .

Em segundo lugar , a axiomatiiacio cumpre menos doque promete na b u s c a ' dos indei inlveis. Construindo seussútemas axioiruíticos. Frege e Rusaell necessi taram admit i rcertas constantes lógicas como primit ivas, a negação e a

implicação, por exemplo, todos os outros conectivoe sendodefinidos a partir delas. Ora , a simples possibilidade de part i rmos de outros conect ivos, tomados como primit ivos, e dedefinir em seguida a negaçio e a implicaçio, sugere seu caráterderivado. "A posaibtUsM de definições cruiadas dos indefi-n l ra s ca velha lógica mostra por si mesma que estes n i o•Ao propriamente indefínlveis e , mais eoDclusivament*. quenio denotam relações. Os indefínlveis lógicos nio podemser predicados ou relações, porque proposições, possuindosentido, n io podem ter predicad os ou relações. Nem s i»'nir/ e 'ou 1, com o ju lso , análogo» a predicados e relações,pois nio intpxluzem nndu di' uôv<i"(:o)-

Perce bem os logo o alca nce dessas objeçoes. A formada proposição nio se identifica com uma constante lógica,porquanto isto seria restringir demasiadamente ae ambiçóesabsohitistas d a lógica. Se uma constante lógica denotasseum obje to, este seria um entre muitos, e a general idade indiscutív el d a lógica des ap arec eria; se cons tituísse um indefi-

(ss: Ibtd., p. 207.<«> / M i , p. 205.(TO) H p. 20».



nível, »ua in defini bi lida de dependeria doe interesses parti-culares de cada sistema axíomático. Mae numa época comoa nossa, em que o abeoluto ê posto em xeque eu todos oa

sentidos, em que medida Wittgenstein o recuperará precisa-menle no campo da lógica, onde t«m sofrido oa ataques maisdevastadores ?

"A forma da proposiç&o pode ser simboliiada da seguintemaneira: consideremos símbolos da forma 'xRg' aos quaiscorrespondem primariamente pares de objetos, dentre osquais um tem o nome '*' e o outro o nome V - Os z e os yestão em várias relações mútuas e, entre outras, a reUcao Restá iodufda em algumas e em outras nao. Determino osentido de 'z/íy estabelecendo a regra: quando os fatos secomportam (oeAoi*) com referência a 'xRtf tal que a denotarão de V está na relação R com o sentido de Y . <üg°então que teses fatos sao 'de mesmo sentido' (gUtduinniç)que a proposição 'zRf'; no caso contrário, 'òe sentido oposto'(pUgf&engtteüt). Correlaciono os fatos ao símbolo 'xRy\ divi-dindo-os em aqueles de mesmo sentido c os de sentido oposto.A esta correlação corresponde a correlação do nome e dadenotaçao. Ambas sfto psicológicas. Desse modo, compre

endo a forma 'rRy' quando sei que discrimina o comportamento de z t de y conforme estejam ou nio na relação R.Por esse meio extraio dentre todas as possíveis relações arelação R, da mesma maneira que, por meio do nome, extraiosua denotaçao dentre todas as coisas possíveis"^1). Essateoria explora a qualidade de a proposição ser também umfato, e como tal uma estrutura articulada. Ka verdade, aescrita ou a notação simbólica podem sugerir o contrário,levando-nos a pensar a proposição como um conjunto de

partes justapostas. Se, porém, nao nos enganarmos eom asaparências, descobrimos que as proposições possuem umaarti—Iacio interna que as torna símbolos de outros fatosque possuem a mesma articulação!™), de sorte que o símboloé símbolo de algo porque doa dois fatos psssjfjsjj a mesmaestrutura. E preciso, porém, náo pensar a referência do signoao significado nem nos termos da Dominação nem como umarelação qualquer. 0 erro fundamental de Frege consistiuem reduiir essa referência a um mesmo tipo, fazendo com

(TI) Mi, p. 303.(7» / ttt , p. 211.

39



que nomes e proposições se reportassem do mesmo modo aobjetividade» peculiares; a linguagem toraa-êe uma maneirade nomear coiaas e fatos. Ruasell caminha na mearas direção,

mas a in terpreta como relação, transformando a linguagemnum modo geral d e relacionam ento com o mun do. Am bosdesconhecem a especificidade da nominac&o e da proposição.Feita porem, essa imprescindível diferenciação, Wittgensleinretoma a lição de RusselI, descobrindo na sentença e no fatosignificado uma lacuna que a expressão imedia ta a i o podecobrir: o sentido p implica uma referência a p, o fato posit ivo se insere num contexto de fatos negativos. Dal o relacionamento da l íngua com a reaüdade depender de uma

certa " isomorf ia" ocul ta , cada proposição desempenhando opapel de uma regua que se apõe aos fatos e aeparaado-os,graças a esse gesto, em dois campos, o daqueles que se colocam no mesmo sent ido do que e la , o daqueles que se colocamem sent ido contrar io^ 1 ) . O sent ido da proposição age comoum guarda a encaminhar o fluxo do trânsito para um ladoe paxá o outro .

Com o, entretanto, alcançar esta forma em sua puresa

lógica? "Se numa proposição conver termos todos os inde-;';-: v-.« em variáveis, permanece a classe de proposições qu enio inc luem todas as proposições, embora inclua um tipointeiro. Se transformarmos um constituinte- d a proposição«{a) numa variável, existe então a classe p* [(3z) . *z - p).Esta classe ainda depende em geral do que, por uma eo*~!-•"••;- arbitraria entendemos por '«**• Mas se transformarmos em variáveis todos esses símbolos cuja significação (tiçni-/ieanet) era arbitrariamente determinada, a inda permanece

ta l classe. Agora, porem, ná o mais dep end e de convençãoa l f taaa , apenas da natureza do s ímbolo ' « * ' . Isto corresponde a um tipo lôgico"(74)* A comparação deste texto coma proposição 3.315 d o Tractatur nos leva a compreender aestrei ta dependência qu e WUtgenstein vê entre a forma eo tipo lógicos. Ao lembrarmos que Ruasell define o tipo comoo domínio d e significação (êignifüanee) de uma função pro-posicioaa]. isto é, a coleção de argumentos para os quais adita função tem valor , torna-se evidente que a forma lógicai um a extensão do t ipo , obt ida por meio da variação eide-

(73) IM, p . 1*7.

OU ; « , p. 233.



t i o d a s p a r t e s constituinte? da função^") . A função básicanao é reflexionante, isto é, ticnhum de seus argumentosdepende, para alcançar sim individualidade, da própria funçãoa que serve de cumprimento, e o mesmo acontece com aproposição. Part indo desse fundamento , que permanece inquest ionável. Wittgenstein o leva ao l imite máximo, variandoe m todo* os sentidos teta forma «reflexiva. 0 acesso a alanoa t dado pela própria variação, mas seu estatuto lógico,e m virtude precisam ente dessa irreflexibilidade, torn a ae d ifícil de predaar. Como dizer algo desse absoluto respeitandooa límitea da irreflexao? Por isso a forma lógica nao sesi tua no plano da s coisaa dita s . X a medida em que e ntr ea cipresalo e o fato deve haver algo em comum, precisa

mente a forma lógica, a expressão da forma, isto é, o u t r ofato que tem com ela também algo em comum, apenas arei tera- D iant e dessa m onoton ia im prod utiva das expressõesda forma, cabe-nos tao-somentc apree ndi- la . De sor te quea inutilidade da teoria dos tipos custa nem mais nem menosdo que a indixibiüdsde de tudo a que a lógica concerne.

Dado isso, Wittgenstein passa a examinar questõesmenos gerais . Estudaremos apenas t rês , aquelas que t ra tam

diretamente de suas relações com Frege e RusselLEm primeiro lugar, o sinal da assercao desaparece, por

que este se confunde com o enunciado. Separar a proposiçãoenunciada da proposição assertada implicava em si tuar alógica exclusivamente no domínio das proposições verdadeiras .O r a , para Wittgenstein importa a estrutura bipolar da proposição, antes da eleição de um valor determinado. "Umaproposição nio pode possivelmente asseriar de aí " * • • queé verdadeira. A assercao é" meramente psicológica. H a a p e n a sproposições insssert&das. Juízos , mandamentos e questões ,todos se situam no mesmo nfvcl, todos possuem em comuma forma proporcional , e isto £ apenas o que nos interessa.

(75) Ao receber o> mir.iL"i>ii.n do Tractaiíii. RUMTLWntxnauifl pedindo-lhe uma série de iníonatçõrm, dentre d u m •Abrao i i T i a oa qij—Hix Wítlfentttin responde, —IOSBSJSS|> o laia d*ItuseaD • rimpIraxnMrickx): " 'A teoria do tipo, • meu n , i a teorúdo BWbnJjuao correio: um rtm tulo «ímplm nlo dl** —a kftii p»r» n-l'".i-iir algo complexo: raiu- geralmente, um «imbcJo der* ter a raaonaeaUutUJa que iu> ilciimaçfc» ( " « « J Í . Isto é m l l í C l U U f* St pod*diif». VoeS DSO pode prescrever • ura rfmboht o que Ibe í aermatkSS1

/. Todo o que um símbolo porf« expressar tbe 4 ftrm<itdo"I . p .375 ) .



A lógica se interessa apenas por proposições i n f c w a t â t W C * ) 'T o t a l revolução nos domínios da lógica, que se exleode assimmuito alím da* proposições apofânt icas . numa completasubversão doa l imites t raçados, por Aristóteles.

Convém, em segundo lugar, examinar a forma da p r o posição "A julga p". A cri t ica oom que nos defrontamos)i é um começo da doutrina defendida posteriormente, quandoo valor de todas aa proposições complexas dependerá dosvalores de verdade das proposições elementares. De acordocom a interpretação dada à noção de sentido, deve te r completada do seguinte modo: "A ju lga que 'p' é verdadeiro e"aao-p' 4 fa l s o" (" ) . " A proposição 'A ju lga p ' consis te no

n om e próprio A, na proposição p com seus dois pólos, e Ase relacionando com a m b o s Asses paios n u m a certa manei ra .Esta obviamente n&o ê uma relação no sent ido ordinário .Toda teoria eoneta d o julio deve tomar impossível julgarque ' esta mesa caneteia (peiAonderi) o l ivro ' (A teoria deRuasell nlo satisfas a este re<|uÍ8Íto)"(T*). A teoria do jutiodeve ev i t a r jufios absurdos, e i s to só se obtém quando foremenquadrados em sua própria bipolaridade.

Trata-se , como se v i , de corrigir a doutrina de Ruasell ,inspirando-se na nova üiterpKiaçao da problemática do sent ido . Ainda permanece o sujeito A, m a s este sujeito já serelaciona com a proposição de uma forma diferente daquelaque vincula as par tes da sentença . Jio Tractahu, todavia ,quando a noção de figuração ampl iará o concei to de formalógica, o sujeito A será subst i tuído pela própria proposição p ;"A julga p reeolveado-se em "p julga p"(™). 0 primeiro pf u m modelo proposicional do segundo p. de sorte que aconsciência se afasta para os l imites do mundo, os estadosde consciência referentes & proposição passam a const i tuiro u t r a expressão em que ela pode revest ir-se. A tese da radicalextenaionalidade d a s proposições pode então ser adotada semencontrar qualquer obstáculo.

Finalmente, cabe examinar a cri t ica à teoria do complexo. Segundo Wit tgens te in , o fato e sempre imaginado

f76) J t t i , p. 105; O. IVocísí^ 4.442.(77) SdnfUm, I, p. 197.(78) / M . p. 195.(Ti) Cf. &S42.



por R I M K I I como um complexo espacial e, como os complexosespaciais afto constituídos de coisas e do relações, todo* osmódoe diferentes de complexidade ato reduaidos a um sói*0).A relação entre oa (atos e suas partes constitutivas e a rela

ção que opera entre um fato e outro que se segue a partirdo primeiro, por exemplo, sio postas no mesmo plano. Apesarda semelhança que realmente existe entre ambas, expressapela formula, *a. O M . a - a, nio há raio algum* paraidentificá-las. Em suma, a teoria dos complexos resulta deuma extrapolação indevida da teoria das relações Dadoisso, Wittgenstein passa a expor BUS própria teoria. Todasentença sobre complexos pode resolver-se na soma lógicada sentença sobre os constituintes e oa sentença sobre a pro

posição que descreve o complexo inteiramente- Como, emcada caso, a resolução hi de ser feita, ê uma questão importante, mas sua resposta nio 6 incondicionalmente necessáriapara a construção da lógica. Repetindo: cada proposiçãoque parece ser sobre complexos pode ser analisada numaproposição -obre seus constituintes e sobre a proposição quedescreve o complexo perfeitamente, isto é, a proposição queeqüivale a diser que o complexo cxistc"("). Este enunciado,que reaparece DO 7Vaeíaíuí(") constitui uma das peças essen-

ciais para o estabelecimento do atornismo lógico, defendidopor W ittgenstein em seus primeiros escrito». No entan to ,apesar de sua importância, nio tem encontrado entre oscomentadores uma interpretação convincente. Qual é a proposição que descreve completamente o complexo? Sementrar em pormenores, convém lembrar que esta ou estas proporções que apanham o complexo na sua totalidade surgemno lugar que o sujeito ocupava na teoria de RusseU, devendo,portanto, possuir a mesma estrutura do complexo. O queimporta é salientar que o complexo para Wittgecsteia n ioapenas se redus ao simples, graças a um único processo dedissolução, mas na sua totalidade nio pode ser tratado comosimples, nio deve possuir a cômoda propriedade de, sendocomposto, poder ser tomado como a unidade..'*.

(50) &AH/1», I, p. 197.(51) / M . p. 305.(82) a . 20201.(83) Sd*ft**, I, p. 205.



V — P M direção d o Traetatui.

Aa "Xo ta s sobre a lógica" dividem-se em cinco partes?I — Blpolaridadf dai proposições. Sentido t Denolaçào. Verdade i Paleidadt; II — Andlioe dai proponcSei alimieai.Indejtnáveii gerai», predicado!, ele.; I I I — Andliie dai pro~poiifie* molecularei: funções - a , b(**); Análise dai propo-ncòei prrai*. Principiai do ixmbolismo- 0 que o embolo siçni-Jiea~ Fatot por faloi. 0 plano é obviamente simples: partindo de uma nova teoria do sentido e da denotaçio. de umlado, cabe analisar a estrutura interna da proposição ate"checar aos elementos simples e indefi níveis; de outro, exa

minar como as proposições complexas se compõem e, depoisde estudar o problema das proposições universais, chegaraos princípios básicos do ãmbolismo.

À primeira vista esse plano foi abandonado pek) Tractatui,cuja composição se escande segundo as sete proposições fundamentais: I) O mundo é tudo o que ocorre- 2) O que ocorre,o lato, é o subsistir de estados de coisas. 3) Pensamento éa figuração lógica dos fatos. 4) 0 pensamento i a propo-

Btç4o significativa. 5) A proposição Ó uma função de verdade das proposições elementares. 6) A forma geral da funçãode verdade i f.p, í , A'(f j ]. Esta ê a forma geral da proposição.7} O que nao se pode falar, deve-se calar. No entanto, adespeito das discrepância* evidentes, nao é difícil mostrarque os dois escritos obedecem à mesma inspiração; somenteo Traelatui ampliou sobremaneira a primeira parte das "N otas•obre a lógica", desenvolvendo pormenorizadamente as condições lógicas da significação.

Num testo anterior vimos, em que pese a importânciada resolução do complexo em simples, que "sua resposta nloé incondicionalmente necessária para a construção da lógica".Desse modo, é preciso postular a existência dos elementossimples, sem contudo se, deter nas formulas possíveis de resolução, cujo estudo fica além doa estreitos limites do fonna-üsmo lógico. Atitude fundamentalmente anti-erapirista, emque a simplicidade nada tem a ver com a realidade perce

bida, como fiseram crer os ncopositivistas, porquanto a lógicase interroga desde o inicio a propósito das condições de posei-

tW) Na ooUçao lnki»l o, b indica wrisde.ro e ttha.

http://wrisde.ro/

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bilidade, colocando-*- numa perspectiva transcendental. Seo Tradatut se inicia pela análise do mundo. este mundo,os fatos, oa estados de coisas e os objetos sio conceitos formais, cuja determinação se fai unicamente para fixar a deter-minsbüidade do sentido das proposições. Todos esses psssossio dados unicamente do ponto de vista da necessidade quepossui a Ungua de ter uma realidade a que se referir. Noentanto, a problemática do sentido também sofre radicalampliação, na medida em que as proposições passam a constituir caso especial dos vario* tipos de modelos, de figurações,qu e construímos do mundo. Por que um conceito de ta lmonta nio merece uma proposição especial T Simplesmenteporque a figuração ainda 4 fato, embora seja fato de outrofato. Assim tendo, as duas proposições iniciais do Tractalu*m oeupam doa fatos, de sua resolução e de sua construção,assim como de um fato especial, construído por nos, e quepossui a virtude de simbolizar outro. Somente na terceira,surge a definição da proposição como revestimento concretodo pensamento, daquele elemento lógico comum a todas asfigurações. Em seguida, a linha das "X otas sobre a lógica"torna-se aparente no TracUUtu; este passa a examinar aresolução da proposição em seus elementos simples e as formas

possíveis de composição e dependência, na base dos valoresde verdade das proposições elementares. N o final, a proposição 7, no seu laconlsmo dramático, retoma a problemáticageral do sünbobsmo, reafirmando incisivamente a diferençaentra o diaer e o mostrar.

Existe, porém, uma dificuldade de que o própriose deu conta. Para mostrar o que deve ser

além do discurso, para indicar a indisibindade daslógicas é preciso falar, ainda que a fala seja absurda.E o TVacÜiu é essa lingusgem absurda que há de ser abolidano final, quando o discurso se enquadrar nos estreitos limitesda figuração do mundo. Obra de passagem, nio cabe atri-buir-lbe demasiada importância.

Continuamos, entretanto, a estudá-lo, a analisar umapor uma suas proposições como se elas dissessem algo. Náoé então para duvidar deste seu principio básico que elimina

da ungua toda sorte de reflexão? Acresce ainda que nenhumalinguagem matemática obedece rigorosamente a es*.ratificação dos tipos, estabelecida por Russell e levada aos últimoslimites por Wittgenstein. E o próprio desenvolvimento d a



lógica moderna cada vez mais noa convence de que a teoriade* tipo» foi uma solução artificial, gerada por ama concepção absolutista da matemática, que hoje dificilmenteencontra guarida, principalmente quando o método axiomá-tieo perdeu a auréola de que se revestia no inicio do século.Mas admitir a reflexão ao seio do discurso, a possibilidadede o predicado tornar-se sujeito e nesse processo sua denotarãoadquirir * unidade e a espessura de uma certa objetividade,tem como conseqüência, nao apenas recair no enredo dosparadoxos, mas, sobretudo, recolocar a problemática da filosofia da linguagem em termo- diferentes daquele* em queWittgensteia e os neopositívistas colocaram. Xfto há maisa separação radical e absoluta entre o discurso e o real, de

modo que os caminhos de Frege e de HusserI voltam a terviabilidade. A n&o ser que, conduzidos pelo próprio Wittgcns-tein. enveredemos por uma concepção fragmentada e utiü-tarista da linguagem, como acontece em suas últimas obras,em que a significação é determinada pelo uso s seu alcanceé descoberto pelo emprego sistemático de certos jogos liaguís-

Convém ainda lembrar que a teoria da significação desen-

votvida no Tratíatua pressupõe a decidibiÜdade de todas asproposições, isto é, que sempre possamos diser de uma sentença corretamente formada se e falsa ou verdadeira- Narsis da objeção de Wittgenstein contra a teoria do juízo deRusseü encontra-se o pressuposto de que sempre seri possíveldeterminar o valor de verdade da proposição. Ora, em 1931Godel mostrou que proposições aritméticas elementares naopodiam ser demonstradas na base de um sistema axiomátieocompleto, nlo sendo pois possível decidir-se de soa verdade

ou falsidade, utilizando unicamente processos postos a disposição pelo sistema- 0 princípio em que Wittgenstein assentara o TraetaUu caí por terra; somente o calculo proposi-cãonal e outros cálculos menores que, todavia, nao esgotama complexidade do discurso matemático, estão em condiçãode aproximar a significação dos valores de verdade.

Se o desenvolvimento da lógica matemática pôs em xequecertos fundamentos do Tractalut, o que nos Wa a reísVlo

e a reeditá-lo 7 Seguramente n&o é apenas por sua importância histórica, nem pela riqueza das idéias que encontramos cm seu interior. Ainda que sejamos atraídos pela belezade sua arquitetônica, o que importa, assim o cremos, 4 a



r&dicalidade de suna posições. 0 problema do conhecimentose assentava, na filosofia tradicional, sobretudo nas relaçõesentre a consciência e a realidade. É ficil verificar que a re-flnio sobre a consciência cedeu lugar k reflexão sobre a Ungua.Nesta direção, Wittuenstein deu um dos primeiros passosdecisivos, c talvez ninguém tenha colocado a questão da Hn-

e do mundo em termos tio radicais.

Devo expressar aqui meus agradecimentos pela atenciosaleitura de meu texto que fiteram os professores AXDRKS K.Raooio e FRANCISCO COSTA FX LIX , assim como pela cuida

dosa revisão de ALUIH DE OLIVEIRA AOOIAB.

Unãcnidade de Sto Paulo

•MMDbro de 1M«



TRACTATUS

LOGICO-PHILOSOPHICUS



TRACTATUS LOGICO-PHI^OSOPIUCUS

Ã memória de

DAVID H - PlffflCNT

MoU: ...» tudo o qu> H mb*,qu« Dia wj» apenaa rumoe oar ido,pode " i dito «o trt» pilirr»»

um



P R E F A C I O

Tslvei fole livro somente seja compreendido por quem

já tenha eogiudo por si próprio os pensamentos aqui expressos,ou to menos copiado pensamentos semelhantes. Xao ê,pois. um "••"'••* Terá alcançado seu objetivo se agradara quem o ler cora atenção.

Trata de problemas filosóficos e mostra, creio eu. queo questionar desses problemas repousa na má compreensãoda lógica de nossa linguagem. Poder-se-ia apanhar todo o

sentido do livro com estas palavras: em geral o que podeser dito. o pode ser claramente, mas o que olo se pode falardeve-se calar.

Pretende, portanto, estabelecer um limite ao pensar, oumelhor, nio ao pensar mas à expressão do pensamento, porquanto para traçar um limite ao pensar deveríamos poderpensar ambos os lados desse limite (de sort« que deveríamospensar o que nao pode ser pensado).

O Emite será, pois, traçado unicamente no interior d alíngua; tud o o que fica além dele será simplesmente absurdo.

?*io quero julgar ate onde meus esforços coincidem comos ds outros filósofos. Por certo o que escrevi nio pretendeser original no pormenor; por isso nao doa fonte alguma,posto que me é indiferente se o que pensei já foi pensado poralguém antes de mim. t

Quero apenas mencionar que devo grande parte do estimulo a meus pensamentos às grandiosas obras de Frege eaos trabalhos de meu amigo Sr. Bertrand RusselL



Caso meu trabalho tenha valor, éle será duplo. Primeira-mente porque exprime pensamentos, valor que será tantomaior quanto melhor os pensamentos forem expressos. Nisto

estou consciente de estar muito aquém do possível, simplesmente porque minhas forças sfto poucas para cumprir a tarefa.Possam outros vir e faser melhor.

No entanto, a verdade dos pensamentos comunicadosaquí me parece intocável e definitiva, de modo que pensoter resolvido os problemas no que e* essencial. Se nao meengano, o segundo valor desse trabalho í mostrar quio pouco

se consegue quando se resolvem tais problemas.

L. W.

Viaw, 101S

5i



1('J O mundo é tudo o que ocorre .

1.1 O mundo ê a total idade doe fato*, n i o d a s

1.11 O m un do € determinado pelos fatos e por isto

consistir em Iodai oe fatos.1.12 A tota l ida de dos fatos de te rmina , pois, o queocorre e também tudo que nio ocorre .

M S Os fatos, no espaço lógico, aac, o m u n d o .

1 2 O mundo ee resolve em fatos.

1.21 Algo pode ocorrer ou nio ocorrer e todo opermaoecer na mesma.

2 O que ocorre, o fato, é o subsistir dosde coisas.

2.01 O estado de coisas é uma ligação de objetos(ooisas).

2.011 Ê eWsaeial para a coisa poder ser parte const ituinte de um eaiado de ooisas.

2.012 Nada é ac iden ta l na lógica: se* uma coisa pvder

apareeer num estado de coisas, a possibifidade d oestado de coisas já deve catar antecipada nela ,

i 2.0121 Pa rec e, por assim diaer, acidental que à coisa,que poderia subsist i r sotmha e para si, viesse ajustar-se em seguida uma si tuação.

Se aa ooisas podem aparece» em es tados deentão tato já deve estar nelas.

(•) Os slaarhmjai qu* wumrun u propoa>9Bca inibia iodicuno ps» Ucxo imat ptoptuçOai, t importánci» qa» adquiram n ninh»«ijiiMlSn As proprõioABi a.1, a.3, « 3 , «li., <*>i*tiluHm cbamta&oi àpfopuncao n.* a; ss propaiçtMs n ml. n.mS, Mc., ocaMTSçBw » prop»xçtc a.* •.•», • ISMB por duol*.



(Algo lógico nio pode ser meramonte-posBlvel.A lógica trata de cada possibilidade e Ioda* aa possibilidades são fatos que lhe pertencera.)

Assim como n&o podemos pensar objetos espaciais fora do espaço, os temporais fora do tempo,assim n&o podemos pensar nenhum objeto fora dapossibilidade de sua ligação com outros.

Se posso pensar o objeto ligando-o ao estadode coisas, n&o posso então pensa-lo fora da pouibi-lidade dessa ligação.

2.0122 A coisa i autônoma enquanto puder •parecer

em todas as situaçoos poatdWs, mas esta forma deautonomia é uma forma de conexão com o estadode coisas, uma forma de heteronomia. (E impossívelpalavras comparecerem de dois modos diferentes,sõainhas e na proposição.)

2.0123 Se conheço o objeto, também conheço todas aspossibilidades de seu aparecer em estados de coisas.

(Cada uma dessas possibilidades deve estar na

natureza do objeto.)N&o é possível posteriormente encontrar norapossibilidade.

2.01231 Para conhecer um objeto n&o devo com efeitoconhecer suas propriedades externas — mas todasas internas.

2.0124 Ao serem dados todos os objetos, d&o-ee também todos os posrfwi* estados de coisas. -

2.013 Cada coisa está como num espaço de estadosde coisas possíveis. Posso pensar este espaço vasio,mas n&o a coisa sem o espaço.

2.0131 O objeto espacial deve estar no espaço infinito.(O ponto no espaço é lugar do argumento.)

A mancha no campo visual náo deve. pois, servermelha, mas deve ter uma cor; tem, por assimdiser, tuna espacialidadv colorida em T O Í U de si.O som deve possuir uma altara, o objeto do tato,ttma durean, e assim por diante.

2.014 Os objetos contem a possibilidade de todas aasituaçfles.

54



2.0141 A possibilidade de seu «parecer nos estados d*

coisas 6 a formo dos objetou.

2.02 O objeto é simples.2.0201 Cada «sscrçâo sobre complexo» deixa-*e dividirnuma asserç&o sobre suas partes constitutivas enaquelas proposições que descrevem inteiramentetais complexos.

2.021 Os objetos formam a substância do mundo.Por isso nao podem ser compostos.

2.0211 Se o mundo nao possuísse substancia, para uma

proposição ter sentido dependeria de outra proposição ser verdadeira.2.0212 Seria, pois, impossível traçar uma figuração do

mundo (verdadeira ou falsa).2.022 É claro que um mundo, pensado muito diferente

do real, deve possuir algo — uma forma — comumcom este- mundo real.

2.023 Esta forma fixa consiste precisamente em objetos.

2.0231 A subetAncia do mundo pode determinar apenasuma forma, mas nao propriedades materiais; ji queestas são primeiramente representadas pelas proposições — primeiramente formadas pela configuraçãodoa objetos.

2.0232 Aproximadamente falando: os objetos sao desprovidos de cOr.

2.0233 Dois objetos de mesma forma lógica — abstraindosuas propriedades externas — se diferenciam umdo outro apenas por serem distintos.

2.02331 Ou uma coisa possui propriedades que nenhumaoutra possui e desse modo ê possível sem mais a?pari-la de outras por uma descrição e referir-se a ela;ou, ao contrario, existem varias coisas que possuemtodas suas propriedades em comum, sendo então

impossível em geral indicar uma delas.Se a coisa nao se distingue por nada, nao possoentão distingui-la, pois do contrario estaria dietin-guida.



2.024 Substância é O que subsiste independentementedo que ocorri'.

2.025 EU é forma e conteúdo.

2.0251 Espaço, (empo e cor (oolorídade) são forma»dos objetos.

2.026 Só se houver objetos, pode haver forma fuçado mundo.

2.027 O fixo, o subsistente e o objeto ato um só.2.0271 0 objeto é o fixo. o subsistente; a configuração

é o mutável, o instável.

2.0272 A configuração dos objetos forma o estado decoisas.2.03 No estado de coisas os objetos se ligam uns aos

outros como elos de uma cadeia.2.031 N*o estado de coisas os objetos estão una em

relação aos outros de um modo determinado.2.032 O modo pelo qual os objetos se vinculam &o

estado de coisas constitui a estrutura do estado de

coisas.2.033 A forma é a possibilidade da estrutura.2.034 A estrutura do fato é constituída pelas estru

turas dos estados de coisas.2.04 A totalidade do s subsistentes estados de coisas

é o mundo.2.05 A totalidade dos subsistentes estados de coisas

determina também quais estados de coisas nâosubsistem.2.06 A subsistência e a nao-subsisteaoa dos estados

de coisas é a realidade.(Chamamos de fato positivo à subsistência de

estados de coisas e de negativo à nao-aubaistcninadeles.)

2.061 Os estados de coisas são independentes uns dos

outros.2.062 Da subsistência ou da nao-subsisteocia de umestado de coisas nfto é possível concluir a subsistênciaou a aao-subsUtcticia de outro.



2.063 A realidade inteira é o mundo.2.1 Faiemo-nos -figurações doa fatos.2.11 A figuração presenta a situação DO espaço ló

gico, a subsistência e a nio-subsistencia de estadosde coisas.2.12 A figuração ê um modelo da realidade.2.13 N a figuração, seus elemento» eorTeepoodem aoa

objetos.2.131 Os elementos da figuração substituem nela os

objetos.

2.14 A figuração consiste em que seus elementosestão una em relação aoa outros de um modo determinado. ,

2.141 A figuração 6 um fato.2.15 Os elementos da figuração eeUndo uns em rela

ção aos outros de um modo determinado, isto representa as coisas estando umas em relação às outras.

Esta vinculaçao dos elementos da figuração

chama-se sua estrutura e a possibilidade dela, suaforma de afiguraçao.2.151 A forma de afiguraçao é a possibilidade de que

as coisas estejam umas em relação as outras comoco elementos da figuração.

2.1511 A figuração enlaça-ae com a realidade; dltttwtodo: estendendo-se para ela.

2.1512 £ como padrão de medida que se aplica à realidade.

2.15121 Somente os pontos mais exteriores das linhasdivisórias locam o objeto a ser medido.

2.1513 Segundo essa concepção, também pertence ifiguração a forma afigurante que precisamente atorna figuração.

2.1514 A relação afigurante consiste nas coordenaçõesdos elementos da figuração e das coisas.

2.1515 Estas coordenações Rio, por assim dizer, antenas doa elementos da figuração, com ai quaisesta toca a realidade.



2.16 Os fatos , p ar a serem figuração, devem ter algoem comum com o que é afigurado.

2.161 D eve ha ve r algo idên tico na figuração e no

afigurado a fim de que um possa ser a figuração dooutro.2.17 0 que a figuração deve ter em com um com a

real idade para poder afigurar à sua maneira —correta ou falsamente — é sua forma de afiguração.

2.171 A figuração po de afigurar qualquer real idadecuja forma ela possui.

A figuração espacial, tu d o o qu e é espacial; a

colorida, tudo que é colorido, etc.2.172 Su a forma de afiguração, con tudo , a figuraçãonão pod e afigurar; ape nas a exibe.

2.173 A figuração representa seu objeto de fora (seuponto de vista é sua fôrma de representação), porisso a figuração representa seu obje to corre ta oufalsamente .

2.174 A figuração nã o po de, po rém , colocar-se fora

de sua forma de representação.2.18 O que cada figuração, de forma qualquer, deve

sempre ter em comum com a real idade para poderafigurá-la em geral — correta ou falsamente — é

, a form a lógica, isto é, a forma da real idade.2.181 Se a forma d a afiguração é a forma lógica, a

figuração chama-se lógica.2.182 Toda figuração também é lógica. (No en tan to ,

nem toda figuração é, por exemplo, espacial.)2.19 A figuração lógica pode afigurar o m un do .

2.2 A figuração tem em comum com ó afiguradoa forma lógica da afiguração.

2.201 A figuração afigura a realidade, pois representauma possibi l idade da subsistência e da não-subsis-tência de estados de coisas.

2.202 A figuração rep resen ta um a si tuaçã o possível noespaço lógico.

2.203 A figuração co ntém a poss ibilidade da s i tuação ,a qual ela representa.

m



2.21 A figuração concorda ou não com a realidade,é correta ou incorreta, verdadeira ou falsa.

2.22 A figuração representa o que representa, inde

pendentemente de sua verdade ou falsidade, pormeio da forma da afiguração.2.221 O que a figuração representa é o seu sentido.2.222 Na concordância ou na discordância de seu

sentido com a realidade consiste sua verdade oüsua falsidade.

2.223 Para reconhecer se uma figuração é verdadeiraou falsa devemos compará-la com a realidade.

2.224 Não é possível reconhecer apenas pela figuraçãose ela é verdadeira ou falsa.

2.225 Não existe uma figuração a priori verdadeira.3 Pensam ento é a figuração lógica dos fatos.3.001 "U m estado de coisas é pensavel" significa:

podemos construir-nos uma figuração dele.3.01 A tota lidade dos pensamentos verdadeiros *ÍS

figuração do mundo.3.02 O pensamento contém a possibilidade da situação que êle pensa. O que é pensável também épossível.

3.03 Não podemos pensar nada ilógico, porquanto,do contrário, deveríamos pensar ilògicamente.

3.031 J á foi dito por alguém que Deus poderia criartudo, salvo o que contrariasse as leis lógicas. Isto

porque não podemos dizer como pareceria um mundo"ilógico".3.032 Representar na linguagem algo que "contrarie as

leis lógicas" é tão pouco possível como representar,na geometria, por meio de suas coordenadas, umafigura que contrarie as leis do espaço; ou, então,dar as coordenadas de um ponto inexistente.

3.0321 Podemos perfeitamente representar um estado

de coisas espacial contrário às leis da física, nunca,porém, contrário às leis da geometria.3.04 Um pensamento correto a priori seria aquele

cuja possibilidade condicionasse sua verdade.

61



3.05 Desse modo, só poderíamos conhecer a priorique um pensamento é verdadeiro se a verdade delefosse reconhecível a partir do próprio pensamento

(sem objeto de comparação).3.1 Na proposição o pensamento se exprime sensível e perceptivelmente.

3.11 Utilizamos o signo sensível e perceptível (signosonoro ou escrito, etc.) da proposição como projeçãoda situação possível.

O método de projeção é o pensar do sentidoda proposição.

3.12 Chamo signo proposicional o signo pelo qualexprimimos o pensamento. E a proposição é o signoproposicional em sua relação projetiva com o mundo.

3.13 Â proposição pertence tudo que pertence àprojeção, não, porém, o que é projetado.

Portanto, a possibilidade do que é projetado,não, porém, este último.

A proposição, portanto, não contém seu sentido, mas a possibilidade de exprimi-lo.("O conteúdo da proposição" quer dizer o con

teúdo da proposição significativa.)Está contida na proposição a forma de seu

sentido, não, porém, seu conteúdo.

3.14 O signo proposicional consiste em que seuselementos, as palavras, estão relacionados uns aos

outros de maneira determinada.O signo proposicional é um fato.

3.141 A proposição não é uma mistura de palavras.(Do mesmo modo que o tema musical não é umamistura de sons.)

A proposição é articulada.

3.142 Somente fatos podem exprimir um sentido, um'aclasse de nomes não o pode.

3.143 Que um signo proposicional seja um fato, istoé velado pela forma comum de expressão, escritaou impressa.

62



Na proposição impressa; por exemplo, o signoproposicional não parece essencialmente diferente dapalavra.

(Foi assim possível a Frege chamar à proposiçãode nome composto.)3.1431 A essência do signo prop osicion al se to rn a m ui to

clara quando, em vez de o pensarmos compostode signos escritos, o pensamos composto de objetosespaciais (tais como mesas, cadeiras, l ivros).

A posição espacial oposta dessas coisas exprime,pois, o sentido da proposição.

3.1432 Não: "O signo complexoe

aRb' diz que a p o r Rse relaciona com b", mas : que "a" por um certo Rse relaciona com "b", isto quer dizer que aRb.

3.144 É possív el descrev er situa çõe s, imp ossível noentan to nomeá-las.

(Os nomes são como pontos, as proposições,flechas; possuem sentido.)

3.2 N as proposições os pensa m entos podem ser

expressos de tal modo que aos objetos dos pensamentos correspondam elementos do signo proposicional.

3.201 A esses elementos chamo de "signos simples" eà proposição, "completamente anal isada" .

3.202 Os signos simples em pre gad os na s propo siçõessão chamados nomes.

3.203 O nome denota o objeto . O objeto é sua deno-

tação. ("A" é o mesmo signo que "A".)3.21 Ã configuraçã o dos signos simples no signo p ro

posicional corresponde a configuração dos objetosna s i tuação.

3.22 N a proposição o nome su bs ti tui o objeto.

3.221 Posso nomear apen as obje tos. Os signos ossubs ti tuem . Posso apenas falar sobre eles, n ãoposso, porém, enunciá-los. Uma proposição podeapenas dizer como uma coisa é, más não o que é.

3.23 P os tu la r a possibilidade de signos sim ples épostular a determinabil idade do sentido.

63



i 3.24 A proposição que trata de um complexo acha-se numa relação interna com a proposição que tratadas partes constituintes dele.

0 complexo só pode ser dado por sua descrição,e esta concordará ou nao concordará com ele. Aproposição que se ocupa de um complexo inexistente nao será absurda, mas simplesmente falsa.

Que um elemento proposicional designa umcomplexo, isto podo « r visto graça* a uma indeter-minabilidade na proposição na qual éle aparece.Sofremos por esta proposiç&o que nem tudo estádeterminado. (A designação da universalidade jácontém, com efeito, uma protofiguraçao.)

A reunião dos símbolos de um complexo emum símbolo simples pode ser expressa por umadefinição.

3.25 Exista apenas um» e uma única análise completada proposição.

3.251 A proposição exprime o que e expresso de um

modo determinado e dado claramente: A proposiçãoê articulada.3.26 0 nome nao é bara ser desmembrado ademais

por uma definição: « um signo primitivo.3.261 Cada signo definido designa por tfbn os signos

pelos quais e* definido, e as definições mostram ocaminho.

Dois «ignoB, um signo primitivo e outro definido por signos primitivos, nao podem designar pelamesma maneira. Nomes n&o podem ser decompostospor definições. (Nenhum signo isolado e autônomopossui denotaçáo.)

3.262 O que no signo nao vem expresso é indicadopela aplicação. O que os signos escondem, a aplicação exprime.

3.263 As denotaçoes doe signos primitivos podem seresclarecidas por elucidações. Elucidações sao proposições que contém oa signos primitivos. So podem,portanto, ser entendidas quando já se conhecem asdenotaçoes desses signos.



3.3 8 6 a proposição possui sentido; só em conexãocom a proposição um come tem denotacão.

3.31 A cada parte da proposição que caraeterisa um

sentido chamo de expressão (símbolo).(A própria proposição 6 uma expressão.)A mprosa Ho e tudo quo, sendo essencial para

o sentido da proposição, as proposições podem tercm comum entre l i .

A exprees&o caracteriza uma forma e um conteúdo.

3.311 A expressão pressupõe as formas de toda* asproposições nas quais pode aparecer. Constitui amarca característica comum a uma classe de proposições.

3.312 Representa-se, pois, por intermédio da formageral das proposições que a caraeterisa.

E assim a expressão seri, nesta forma, conManUe todo o resto, rartátei.

3.313 A expressão seri representada por um a variarei,cujos valores sao as proposições que contem a expres-

(No caso limite, a variável torna-se constante,a expressão, a proposição.)

A uma ta l variável cbamo de "variável

3.314 A expressão tem deaotaçAo apenas na propo

sição. Cada variável pode ser concebida como variável proposieional.(A variável nome também.)

3.315 Se transformarmos uma parte constituinte deuma proposição numa variável, existe então umaclasse de proposições constituída por todos os valores da proposição variável assim resultante. Estaclasse ainda depende cm geral do que nós, secundoum ajuste arbitrário, chamamos partes da proposição. Se, no entanto, transformarmos todos aqueles

cujas denotaçoes foram determinadas arbi-em variáveis, ainda continua a

u



aquela classe. Esta, porém, não mais depende dequalquer ajuste, mas unicamente da natureza daproposição. Corresponde a uma forma lógica — a

uma protofiguração lógica.3.316 Fixam-se os valores que a variável proposi-

cional deve tomar.A fixação dos valores é a variável.

3.317 A fixação dos valores das variáveis proposicio-nais consiste na indicação das proposições, as quaistêm como marca característica comum a variável.

A fixação é uma descrição dessas proposições.A fixação se ocupará, pois, unicamente dossímbolos, não se ocupando de sua denotação.

E para a fixação é essencial ser apenas umadescrição de símbolos, nada assertando sobre o designad

Como se dá a descrição da proposição é ines-sencial.

3.318 Concebo a proposição — do mesmo modo queFrege e Russell — como função das expressões quenela estão contidas.

3.32 O signo é o que no símbolo é sensivelmenteperceptível.

3.321 Dois símbolos diferentes podem ter, pois, emcomum o mesmo signo (escrito ou sonoro, etc.) —designam desse modo de diferentes maneiras.

3.322 A marca característica comum a dois objetosnunca pode indicar que os designamos com o mesmosigno, embora com diferentes modos de designação;porquanto o signo, sem dúvida, é arbitrário. Poderíamos, portanto, escolher dois signos diferentes, eonde permaneceria o que é comum na designação?

3.323 Na linguagem corrente amiúde acontece que amesma palavra designa de modos diferentes — pertencendo, pois, a símbolos diferentes — ou aindaduas palavras, que designam de modos diferentes,são empregadas na proposição superficialmente damesma maneira.

66



Assim a pa lavra "é" aparece Como cópula,como sinal de igualdade e expressão da existência;"existir", enquanto verbo intransi t ivo do mesmo

modo que " i r" ; " idênt ico" , enquanto adjet ivo: fa lamos a respeito de algoy mas também de que algoacontece.

(Na proposição "Rosa é rosa" ("Grün is t grün")— onde a primeira palavra é nome de pessoa e aúl t ima é adjet ivo — ambas as palavras não têmapenas denotações diferentes, mas consti tuem símbolos diferentes.)

3.324 Nascem, assim, as confusões mais fundamentais(de que toda a filosofia está plena).

3.325 P ar a ev itar esses erros devemos usar uma linguagem simbólica que os exclua, pois esta não empregará superficialmente o mesmo signo para símbolosdiferentes, e não empregará signos, que designam demaneira diversa, do mesmo modo. Uma linguagemsimbólica, portanto, que obedeça à gramática lógica— à sintase lógica.

(A ideografia de Frege, ou a de Russell, constituiuma tal l inguagem que, no entanto, não eliminatodos os erros.)

3.326 P a ra reconhecer o símbolo no signo deve-seatentar para seu uso significativo.

3.327 O signo determina uma forma lógica somentejunto de sua uti l ização lógico-sintática.

3.328 Se u m signo não t e m serventia, então êle é desprovido de denotação. Este é o sentido do lema deOccam.

(Se tudo se passa como se um signo tivessedenotação, então êle a terá.)

3.33 Na sintaxe lógica a denotação de um signo nãohá de desempenhar papel algum, a sintaxe deveelaborar-se sem que surja a preocupação com a denotação , devendo pressupor apenas a descrição d as

expressões.3.331 Peita esta observação, consideremos a Theory

of types de Russell : o erro deste se revela quando,

67



ao elaborar as regras doa signos, teve de apelar paraa dcnotaçio desses signos.

3.332 Ncr.huma proposição pode aaaertar algo «Abre

ai mesma, pois o signo proporcional Dlo pode estarcontido em si mesmo (ai está tfld» * Tktcy oj typei).

3333 Uma função por isso uao pode atr ata próprioargumento, pois o signo da função já contem aprotofíguraçao de seu argumento, e n&o contém aai própria.

Tomemos, por exemplo, a função Ffjz) podendoser seu próprio argumento; haveria então uma pro

posição "P(P(fz))", em que a íunç&o externa P ea interna P teriam denotaçftes diferentes; a internatendo como forma «</*). » extern*. *(f<W). Ambasas funções têm em comum apenas a letra "P" quenada designa.

Isto se torna claro logo que, em vea de "F(P(ú))",escrevemos "(3*) : Ffa). «w - / « " .

lato liquida o paradoxo de RusseU.

3.334 As regras da sintaxe lógica d w s a ser entendidas de per ai, desde que ae saiba apenas comocada signo designa.

3 34 A proposiç&o possui traços '•sameia» e acidentais.

Acidentais sao os traços que derivam da maneira particular de produxir o signo proposicionai;essenciais, aqueles que sozinhos tomam a proposição

capas de exprimir seu sentido.3.341 Ê pois essenoial na proposição o que t comum

a toda* as proposições que podem exprimir o mesmosentido.

E do mesmo modo é em geral essencial nosímbolo o que é comum a todos os símbolos quapodem preencher o mesmo fim.

35411 Seria entáo possível diser: o nome autentico êaquilo que todos os símbolos quf designam o objetotim em comum. Dal resultaria paulatinamente quenenhuma composição é essencial para o nome.

http://ncr.hu/

http://ncr.hu/



3.342 Há com efeito em nossa notação algo arbitrário,mas o seguinte nfto o i : te determinarmos algo arbitrariamente, então algo a mais deve ocorrer. (Is todepende da ttttneia da notação.)

3.3421 Cm modo particu lar de designação pode serdeeimportanto, mas e sempre importante que sejaum modo possfwl de dcsignaçio. Esta é a ntuaciona filosofia em geral: o singular se manifesta repetidamente como desimportante, mas a poaàbilidadede cada singular nos dá um esclarecimento sobre aessência do mundo.

3.343 Definições sfto regras para a tradução de umalinguagem a outra . Cada linguagem simbólica corretadeve deixar-se traduiír numa outra segundo taisregras: Uto é tudo o que elas tem em comum.

3.344 0 que designa no símbolo é o que é comum atodos os símbolos pelos quais o primeiro pode sersubstituído de acordo com u regras da sintaxelógica.

3.3441 E possível, por exemplo, exprimir do seguintemodo o que é comum a todas as notações para aafunções de verdade: e-lhes comum, por exemplo,poderem nr mbtíilutdas pela notação "~~p" ("nâo p"). " p v j " ("p ou j " ) .

(Com Isso te indica a maneira pela qual umanotação especialmente possível nos pode dar esclarecimentos gerais.)

3.3442 O signo do complexo náo se divide pela análisearbitrariamente, de modo que sua divisão fosse diferente em cada construção proposicional.

3.4 A proposição determina um lugar no espaçológico. A existência desse espaço lógico é assegurada apenas pela existência das partes constitutivas.pela existência das proposições significativas.

2.41 0 signo proposicional e as coordenadas lógicas:

á isto o lugar lógico.3.411 0 lugar geométrico e o lógico concordam emque ambos consistem na possibilidade de uma exis-

69



3.42 Sc bem que a proposição deva determinar apenssum lugar do espaço lógico, o espaço lógico iateirojá deve aer dado por ela.

(Em caso contrário, novos elemento* — emcoordenaç&o — sempre wc introduziriam por .•n-flda negação, da soma lógica, do produto lógico, etc.)

(O andaime lógico em volta da figuração determina o espaço lógico. A proposição apanha o espaçológico inteiro.)

3.5 0 signo proposicionai empregado e pensado c

4 0 pensamento é a proposição significativa.4.001 A totalidade das proposições é a linguagem.4.002 O homem possui a capacidade de construir

linguagens nas quais cada sentido se deixa exprimir,sem contudo pressentir como e o que cada palavradenota. — Assim se fala sem saber como os sonssingulares eáo produzidos.

A linguagem corrente forma parte do organismo

humano e náo é menos complicada do que fie.G humanamente impossível de imediato apreender dela a lógica da linguagem.

A linguagem veda o pensamento; do mesmomodo, nao ê possível concluir, da forma exterior daveste, a forma do pensamento vestido por ela, pof-quanto a forma exterior da veste nao foi feita como intuito de deixar conhecer a forma do corpo.

Os acordos silenciosos para entender a linguagem

corrente sflo enorme mente complicados.• 4.003 A maioria das proposições e questões escritas

sobre temas filosóficos náo sao falsas mas absurdad-Por isso náo podemos em geral responder a questõesdessa espécie, apenas estabelecer seu cará ter absurdo.A maioria das questões e das proposições dos filósofos se apoiam, pois, no nosso desentendimento dalógica da linguagem.

(Sáo questões da seguinte espécie: o bem émata ou menos idêntico do que a beleaT)Náo '•. pois, de admirar que os mais profundos

problemas ido constituam propriamente problemas-



4.0031 Toda filosofia é "critica da linguagem". (Porcerto, nio no sentido de Mauttaner). O mérito deRujecII é ter mostrado que a forma aparentemente

lógica da proposição náo deve ser sua forma real.4.01 A proposição é figuração da realidade.A proposição é modelo da realidade tal como a

4.011 A primeira vista, a proposição — em particulartal como eati impressa no papel — nio parece serfiguração da realidade de que trata. M as tampoucoa escrita musical parece a primeira vista ser figu

ração da música, e nossa escrita fonética (letras),figuração da linguagem falada.No entanto, essas linguagens simbólicas se mani

festam, também no sentido comum, como figuraçõesdo que representam.

4.012 É óbvio que percebemos como figuração umaproposição da forma "afíb". Aqui o signo é obviamente um slmile do designado.

4.013 E quando entramos no que e essencial dessafiguratividade vemos que ela nAe 6 perturbada poraparentes irregularídadu (como o emprego de f ede b na escrita musical).

Porquanto também essas irregularidades afiguram o que devem expressar, apenas de ou tra maneira.

4.014 0 disco da vitrola, o pensamento e a escritamusicais, as ondas sonoras estão uns em relação aos

outros no mesmo relacionamento existente entre alinguagem e o mundo.A todos e comum a construção lógica.(Como na estória dos dois jovens, seus dois

cavalos e seus Brios. Num certo sentido, todos atoum.)

4.0141 Que exista uma regra geral por meio da qualo musico possa apreender a sinfonia a partir d a

partitura, regra por meio da qual ae possa derivara sinfonia das linhas do disco c ainda, segundo aprimeira regra, de novo derivar a partitura; nistoconsiste propriamente a semelhança interna dessas

71



figuras aparentemente tio diversas E essa regra6 a lei de projeção que projeta a sinfonia na linguagem musical. El a regra da tradução da linguagem

musical para a linguagem do disco.4.015 A possibilidade de todos esses sfmiles, a figu-ralividade inteira de nosso modo de expressão, seapoia na lógica da afiguraçi • •

4.016 Para compreender a essência da proposição,convém pensar na esorila hierognfiea que afígur*o» fatos que descreve.

E dela provêm o alfabeto sem perder o que é

essencial na afiguraçao.4.02 Isto se vi ao entendermos o sentido do signo

proposicionai sem que êle nos tenha sido explicado-4.021 A proposição ó figuração da realidade; pois

eonheço a situação representada por ela quandoentendo a proposição. E entendo a proposição semque o sentido me seja explicado.

4.022 A proposição mostra seu sentido.A proposição mostra, se fôr verdadeira, comoalgo está. E dit que isto esUf asam.

4.023 Por meio da proposiçào a realidade deve serfixada enquanto sim ou enquanto náo.

Por isso deve ser completamente descrita po*d a .

A proposição ( a descrição de um estado de

Assim como a descrição de um objeto se d£segundo suas propriedades externas, a proposiçãodescreve a realidade segundo suas propriedadesinternas.

A proposição constrói o mundo com a ajud»de andaimes lógicos, e por isso A possível, na proposição, também se ver, rato ela for verdadeira, comi»tudo que é lógico está. Pode-se de uma proposiçãofalsa tirar concluso**.

4.024 Compreender uma proposição é saber o quOocorre, caso ela for verdadeir».

7»



(Ê possível, pois, compreendi-]* sem saber We verdadeira.)

EI* será compreendida, caso se compreenda

suu partes constituinte*.4.025 A tradução de uma linguagem para outra nao aeda como se se tradutisse cada proposição de uma•uma proposição da outra, mas somente ai parteada proposição sao Uadusidas.

(E o dicionário n&o traduz apenas substantivo»,MM ainda verbos, adjetivos, conectivoa, e t c ; etrata-os todos de modo igual.)

4.026 As denotaçoes dos signos simples (das palavras)nos devem ser explicadas para que as compreendamos.Com as proposições, no entanto, compreendetno-

nos a DóS mesmos.4.027 Está na essência da proposição poder comunicar-

nos um nOvo sentido.4.03 Uma proposição deve comunicar novo sentido

com velhas expressões.

A proposição nos comunica uma situação, desorte que deve estar wenetalmente vinculada a d a .E a vinculaçai» consiste precisamente em que

ela é sua figuração lógica.A proposição %6 asserta algo enquanto é figu

ração.4.031 Uma situação é justaposta à proposição, por

assim diier, por tentativas.

É possível diíer diretamente: esta proposiçãorepresenta esta ou aquela situação, em vea de estaproposição tem ést* ou aquele sentido.

•4.0311 Um nome presenta uma coisa, outro, outracoisa, e estão ligados entre si de tal modo que otodo — como quadro vivo (rin lebmdtt Bildf —presenta o estado de coisas.

4.0312 A possibilidade da proposição se estriba no prin

cipio da substituição dos objetos por meio de signos.Meu pensamento basilar é que as "constanteslógicas" nada «ubstituem; que a lóçica dos fatosnio se deixa substituir.

73



4.032 A proposição é uma figuração da atuação unicamente enquanto for logicamente articulada.

(Também a proposição Ajnbuh 6 composta, pois

sua raii com outra clesinéncui no» dá outro sentido,o mesmo acontecendo se esta desinênáa estiver comoutra raii.)

4.04 T an to se distinguira na proposição quanto nasituação que ela representa.

Ambos devem possuir a mesma multiplicidadelógica (matemática). (Cf. a mecânica de Herti apropósito dos modelos dinâmicos.)

4.041 Esta multiplicidade matemática nio pode naturalmente ser de novo afigurada. Ao afigurar n io 4possível colocar-se fora dela.

4.0411 Se quiséssemos, por exemplo, exprimir o que éexpresso por " ( x ) . fx" apondo um Índice junto a"fx", a saber: "Univ. fx", isto nio bailaria — niosaberíamos o que foi uni versa li rado. Se quiséssemos

indicá-lo por um índice "a" — tal como " / ( x j " ,isto também nào bastaria — nio conheceríamos oescopo da designação da universalidade.

Se quiséssemos tentar graças à introdução deuma marca no lugar do argumento — por exemplo:"(A.A).FIA,A)" — isto também nio bastaria,pois nio poderíamos fixar a identidade das variáveis. E assim por diante.

Todos esses modos de designação nio bastam,porquanto nio possuem a necessária multiplicidadematemática.

4.0412 Pelo mesmo motivo n io basta a explicaçãoidealista da visão das relações espaciais por meiode "óculoa espaciais", já que iates n io podem explicara multiplicidade que essas relações possuem.

4.05 Compara-se a realidade com a proposição.

4.06 Somente por isso a proporuçao pode ser verdadeira ou falsa, quando ela é uma figuração da realidade.

74



4.061 Se nao se observar que ura» proposição possuisentido independente doa fatos, então facilmente seacredita que o verdadeiro e o falso sào relaçõeseqüiponderantcs entre signos e designado.

Seria então posxfvcl dizer, por exemplo, que "p"designa segundo a modalidade do verdadeiro o que"—p", segundo a modalidade do falso, etc

4.062 Nâo seria possível faser-se entender com proposições falsas assim como se fet até agora eom verdadeiras; desde que se soubesse que sfto mentadasfalsamente ? N&ot Porquanto uma proposição ê

verdadeira se a situação é tal como diremos porseu intermédio, e se eom "p" mentíssemos "-~p"e se a situação fosse tal como a mentamos, então"p" não seria falso na nova concepção mas verdadeiro.

4.0621 É importante, porém, que os signos "p" e " — p "possam dizer a mesma coisa, pois isto mostra queo signo "—" » nada corresponde na realidade.

A negação aparecer numa proposição nao émarca característica de seu sentido : — —p — p ) .As proposições "p" e "*—p" tem sentido oposto,

mas a elas corresponde uma c a mesma realidade.

4.063 Afiguremo-nos um exemplo para esclarecer oconceito de verdade: dada uma mancha preta numpapel branco; pode-se descrever a forma da manchaindicando para cada ponto dela se í branco ou preto.

Ao fato de que um ponto seja preto oorrespondeum fato positivo; de que um ponto seja branco(nao-prelo) corresponde um fato negativo. Se designoum ponto da superfície (um valor de verdade, segundoFrege), então isto corresponde à assunção estabelecida pelo julgamento, etc., etc.

Para poder dííer que um ponto é preto oubranco antes devo saber quando lhe chamo de branco

e quando de preto — para poder dizer "p" é verdadeiro (ou falso) devo ter determinado em que condições chamo "p" verdadeiro e, desse modo. determino o sentido da proposição.

75



O sfmile falha apenas DO ponto seguinte: podemos indicar um ponto do papel sem saber o queseja branco e o que seja preto; uma preposição

sem sentido, porém, nlo corresponde a nada, poisnlo designa coisa alguma (valor de verdade) cujaspropriedades fossem chamadas "falsas" ou "verdadeira*" — o verbo de uma proposição nlo é "éverdadeiro" ou "é falso", como acreditara Frege,mas o verbo já deve conter o que "€ verdadeiro".

4.064 Cada proposição já deve possuir um sentido;a afirmação nlo lho pode dar pois afirma precisa

mente o sentido. E o mesmo vale para a negação, etc.4.0641 É possível diier: a negação ji se reporta aolugar lógico determinado pela proposição negada.

A proposição negadora determina outro lugarlógico do que a negada.

A proposição negadora determina um lugar lógicocom a ajuda do lugar lógico da proposição negada,quando descreve aquele permanecendo fora deste.

Poder negar de novo a proposição negada mostraque o que * negado já é uma proposição, nlo sendoa mera preparação de uma proposição.

4.1 A proposição representa a subsistência e anio-subsistência dos estados de coisas.

4.11 A totalidade das proposições verdadeiras é todaa ciência da natureza (ou a totalidade das ciênciasnaturais).

4.111 A filosofia n&o ó ciência da natureaa.(A palavra "filosofia" deve denotar alguma coisa

que se coloca acima ou abaixo mas nao ao lado dasciências naturais.)

4.112 A finalidade da filosofia è o esclarecimentológico dos pensamentos.

A filosofia nao 6 teoria mas atividade.

Uma obra filosófica consiste essencialmente emcomentários.A filosofia nao resulta em "proposições filosó

ficas" mas em tornar claras as proposições.

7$



A filosofia deva tomar o* pensamentos que. poru i m diier. s&o vagos e obscuros e torná-bs clarose bem delimitados.

4.1121 A psicologia n io o mais aparentada à filosofiado que qualquer outra cie Dda natural.A teoria do" conhecimento e a filosofia da psico

logia.Nio oorresponde meu estudo sôbre a linguagem

simbólica ao estudo dos processos do pensamento,os quais os filósofos consideram t&o essencial paraa filosofia da lógica? Cies apenas se confundem oamaior parte com investigações psicológicas inesseu-eiai». existindo um perigo análogo para meu método.

4.1122 A teoria de Darwin nio tem mais a ver coma filosofia do que qualquer outra hipótese daí ciíseiasnaturais.

4.113 A filosofia delimita o domínio contestável dasciências naturais.

4.114 Deve delimitar o pensável e com isso o impen

sável.Deve demarcar o impensável do interior pormeio do pensável.

4.115 Denotará o indirível, representando claramenteo disfvel.

4.110 Tu do em geral o que pode ser pensado o podeclaramente. Tudo o que se deixa exprimir, deixa-se claramente.

4.12 A proposição pode representar a realidade inteira, nio pode, porem, representar o que ela deveter em comum com a realidade para poder representá-la — a forma lógica.

Para podermos representar a forma lógica seriapreciso nos colocar, com a proposição, fora da lógica;a saber, fora do mundo.

4.121 A proposiçfto nao pode representar a formalógica, esta espelha-se naquela.

N io 4 possível representar o que se espelhana linguagem.

77



O que w exprime na linguagem nlo podemosexpressar por meto dela.

A proposição mottra a forma lógica da reali

dade.Ela a exíbe.

4.1211 Desse modo, a proposição "fa" moatra que oobjeto a aparece cm «eu sentido, duas proposições"fa" A "ça" que em ambas se trata do mesmo objeto.

Se duas proposições se contraditem, uto 6 mostrado por sua estrutura; do mesmo modo, quandouma se segue da outra. E assim por diante.

4.1212 O quo pode ser mostrado ""'" pode ser dito.4.1213 Agora compreendemos nosso sentimento de que

estamos de posse de uma concepção lógica corretasomente quando tudo esteja conforme em nossa bo-guagem simbólica.

4.122 Podemos em certo sentido falar de propriedades formais de objetos e estados de coisas, em

particular de propriedades da estrutura dos fatos, eno mesmo sentido de relações formais e de relaçõesde estruturas.

(Em lugar de propriedade da estrutura falotambém de "propriedade interna", em lugar derelação de estruturas, "relação interna".

Introduio essas expressões para mostrar o fundamento da confusão, muito difundida no mão dosfilósofos, entre relações internas e relações propriamente ditas (externas),)

A subsistência de tais propriedades e de taisrelações internas nao pode ser, todavia, afirmadapor proposições, mas se mostra nas proposições queapresentam os calados de coisas e os objetos emquestão.

4.1221 A uma propriedade interna de um fato podemosainda chamar de traço desse fato. (No sentido emque falamos, por exemplo, de traços faciais.)

4.123 Uma propriedade 6 interna quando for irapsa--íivi-1 que seu objeto nao a possua,

76



(Esta eôr azul e aquela estão na relação internade •'•• •-- claro e eo ipto mais escuro. R impensáveliates dois objeto» nao «tarem nesta relação.)

(Áo emprego impreciso das palavra» "propriedade" e "relação" corresponde aqui o empregoimpreciso da palavra "objeto".)

4.124 A subsistência de uma propriedade interna deama situação possível nao se expressa por umaproposição mas, na proposição que a representa, por•ma propriedade interna desta proposição.

Seria, pois, absurdo tanto imputar como naoimputar à proposição uma propriedade formal.

4.1241 Nao se podem distinguir as formas umas dasoutras disendo que uma tem esta propriedade eaquela, outra, pois ato pressupõe que teria sentidoaatertar ambas propriedades de ambas as formas.

4.125 A subsistência de uma relação interna entresituações possíveis exprime-se lingüística mente pormeio de uma relação interna entre as proposiçõesque as representam.

4.1251 Isto liquida a disputa "se lôdas as relações s&ointernas ou externas".

4.1252 As séries ordenadas por relações inltmai chamode séries formais.

A série dos números nao se ordena secundouma relação externa, mas segundo uma relaçãointtnta.

Da mesma maneira, a série de proposições"aftb","(3x):oRx.zRb",'%3x, y) : aRx . xRj/. yRb", e assim por diante.(Estando 6 numa dessas relações com a. chamo-

lhe de sucessor de a.)4.126 N o mesmo sentido em que falamos de proprie

dades formais, podem o* também nos referir a conceitos formais.

(Introduso essa expressão com o intuito dedeslindar a confusão dos conceitos formais com os

79



conceitos autênticos, que pert>assa toda a velhalógica.)

Nlo é poseivcl exprimir por uma proposição que

algo caia sob um conceito formal coato am objetodele. Isto se mostra, porém, no signo desse próprioobjeto. (0 nome mostra que designa um objeto,os signos numéricos, que designam um número, etc.)

Os conceitoe formais nao podem. pois. comoos conceitos propriamente ditos, ser representadospor uma função.

Porquanto suas marcas earaeterísticaí, as propriedades formais, nio se representam por funções.

A expressão da propriedade- formal é um traçode certos símbolos.

0 signo das marcas características de um conceito formal è um traço próprio a todos os símbolos,cujas denotaçOes caem sob o Conceito.

A expressão do conceito formal ê uma variávelproposicional. em que apenas este traço próprio éconstante.

4.127 A variável proposicional designa o conceito formal, e seus valores, os objetos que caem sob Asseconceito.

4.1271 Cada variável é signo de um conceito formal.Porquanto cada variável representa uma forma

constante que todos os seus valores possuem, e quepode ser concebida como a propriedade formal dê*»»

valores.4.1272 De sorte que a variável iiome " x " ê o signoapropriado ao pseudoconceito objeto.

Sempre que a palavra "objeto" ("coisa", etc.)fór corretamente empregada, será expressa na ideo-grafia pela variável nome.

Por exemplo, na proposição "Há dois objetosq o e . . . " , por "<3x,»)...»

Sempre, contudo, que fôr empregada de outramaneira, a saber, como palavra de um conceitopropriamente dito, nascem pseudopropoeições absurdas.



Náo se pode diier, por exemplo, " H i objetos"I dis "Há livro»". Nem tampouco " H i 100

objeto»" ou "Há N , objeto*".

E é absurdo falar do número de todo* <n oojrfo*O mesmo vale paxá a» palavras "complexo","fato", "função", "número", etc.

Todas designam conceitos formais e sáo representadas na ideografia por variáveis e náo por funções ou classes. (Como Frege e Russell acreditavam.)

Expressões como "1 é um numero", "Há apenasum sero" e todas aa outras semelhantes sfto absurdas.

(É . pois, absurdo dizer " H i apenas um 1", tantoquanto seria absurdo dizer: 2 + 2 é às 3 chorasigual a 4.)

4.12721 0 conceito formal j i está dado com um objetoque cai sob ele. Náo se pode, portanto, introduxircomo conceitos fundamentais objetos de um conceito formal e ainda o próprio conceito formal. Náose pode, por exemplo, introduiir o conceito de fun-

Çio e ainda funções especiais (como Russell) naqualidade de conceitos fundam entais; ou tambémo conceito de número e números determinado»

4.1273 Se quisermos exprimir, na ideografia. a pcopo-nçáo universal: "b 6 sucessor de a", precisamos deuma expressio para o termo geral da série formal:arro;(3x) : a R x . x J ? 6 ; ( 3 x l y) : aRx .zRy. gBk, . . .Sé é possível exprimir o termo universal de umasérie formal por meio de uma variável, pois o con

ceito: membro de uma série formal, é um conceitoformal. (A isso desa tentaram Frege e Russell; amaneira pela qual pretendem exprimir proposições—imisii. como a mencionada, é por isso falsa,contendo um cirevitu ritiotui.)

Podemos determinar o termo universal da sérieformal dando seu primeiro termo e a forma geralda operação que gera o termo seguinte a partir daproposição precedente.

4.1274 £ absurda a pergunta pela existência de umconceito formal, pois nao há proposição querespondi-Ia.

a



(Nao 6 possível, por exemplo, perg un tar: " H aproposições sujeito-prodicado inanalUáveia T")

4.128 Aa formas lógicas sao anumtrica*.De sorte que nao há na lógica numerou exce

lentes, nao havendo monismo ou dualismo filosóficos, etc.

4.2 0 sentido de uma proposição í sua concordânciaou sua discordância com a possibilidade da subsistência ou nâo-Bubsisténcia de estados de coisas.

4.21 A proposição mais simples, a proposição elementar, afirma a subsistência de um estado decoisas.

4.211 É um signo da proposição elementar que nenhuma outra possa estar em contradição com ela.

4.22 A proposição elementar é constituída de nomes.£ uma conexão, um encadeamento de nome*.

4.221 E óbvio que, graças a análise da proposição,devemos chegar a proposições elementares que con

sistam de nomes numa vinculaçao imediata.Pergunta-se aqui como se dá o vínculo proposi-cional.

4.2211 Ainda que o mundo fosse infinitamente complexo, de modo que cada fato fâase constituído pormuitos estados de coisas ao infinito e cada estadode coisas composto por muitos objetos ao infinito,mesmo assim deveria haver objetos e estados de

4.23 0 nome só aparece na proposição em conexãocom proposições elementares.

4.24 Os nomes sao os símbolos mais simples, indico-os por letras singulares ("i", ' V , "«").

Escrevo t s proposições elementares como função dos nomes, com a seguiot* forma: "/*", "M.*< »)" .etc.

Ou indiço-as por meio das letras p, q, r.4.241 Sc emprego dois signos numa única e mesmadenotaçio, isto vem expresso quando introduio entreambos o signo " —".

82



"a - b" eqüivale pois a: o signo "a" i t u b s t i -tuívei pelo signo "b".

(Se introduto por meio de um a equação u m

novo signo " o " , determinando que deve subst i tuirum signo "a" j i conhecido, então escrevo a equação— definição — (como Russell) na forma "a - b Def".A definição é uma regra a propósito de signo*.)

4.242 Expressões de forma "a - b" sfto, pois, recursosde representação; n ada diiem a respeito da desolação dos signos "a", "b".

4.243 Podemos comp reender dois nomes sem sab er sedesignam a mesma coisa ou duas coisas diferentes?— Podemos compreender uma proposição em quedois nomes aparecem sem saber se denotam o mesmoou o diverso T

Conhecendo a denotaçao de uma palavra inglesae de out ra alemã de mesma denotaçao . nio me 6possível ignorar que ambas possuem a mesma denotaçao . nio me é possível nfco traduti-las um a peU

ou t r a .Expressões como "a — a" ou destas der ivadas

n io são n em proposições elementares nem signossignificativos. ( Is to ser i most rado mais tarde.)

4.25 S e a proposição elementar for verdadeira- oestado de coisas subs i s te ; se for falsa, o estado de

nio subsiste .

4.26 A indicação d e todas as proposições elementaresverdadei ros descreve o mundo comple tamente . Om un do é completamente descr i to pela indicação d etodajt as proposições elementares mais a indicaçãode qua i s s&o as verdadeiras e quais as falsas.

4.27 A respeito d a sub sistência e d a nao-subsstenciade * estados de coisa» dft-ae

f-âC) possibilidades.



Ê possível todas a* combinações de estados decoisas tubaiatirem e ou t ras nao subsist irem.

4.28 A essas combinações correspondem assim muitas

possibilidades de verdade — c falsidade — de ttproposições elementaree.

4 4 A s possibilidades de verdade das proposiçõeselementares denotam as possibilidades da subsistência e d a nao-subsisMncia de estados de coisas.

4.51 Po dem os representar as possãbilidadeB de verdade do aeguinto modo ("V" denota "verdadei ro" ,

"F" denota " fa l so" . As séries de "V e "F" sob asérie das proposições elementares denotam suas possibil idade* de verdade num simbolismo facilmentecompreensível) :

*r v vP V V

v p vv v pr r ~F v rv r r

P F P

P_ _ í _

V V

f v

V P

f F

4.4 A proposicio e" a expressão d a concordância ed a discordância com as possibilidade* de verdaded a s proposieoW elementares.

4.41 As possibil idades de verdade das proposiçõeselementares são as condições da verdade e falsidadedas proposições.

4.411 É de antemão provável que a introdução deproposições elementares aeja fundamenta l para acompreensão de todos oe outros modos de proposi-

ií



çào. A compreensão das proposições universais, comefeito, depende palpávelmtnle da das propôsçoeselementares.

4.42 No que respeita A concordância ou à discordância de uma proposição com as possibihdades deverdade de n propoaiçôea elementares há

! ( * • ) -possibilidade

4.43 A concordância com as posaibibdades de verdade podemos exprimi-la apondo-Ihe no esquema ainsígnia "V" (verdadeiro).

A falta dessa insígnia denota a discordância.

4.431 A expressão da concordância e da discordânciacom as possibilidades de verdade dac proposiçõeselementares exprime as condições de verdade daproposição.

A proposição é expressão de suas condições de

verdade.(Por isso Frege agiu corretamente ao toma-lasdesde logo como explicação dos signos de sua ideo-grafia. Somente a explicação do conceito de verdade em Frege é falsa: fossem realmente "o verdadeiro" « " o falso" os objetos e os argumentos em—p, etc., ent&o. segundo a determinação de Frege,o sentido de "-~p" nâo estaria determinado demodo algum.)

4.44 0 signo que surge por meio da aposiçãoinsígnia "V" às possibilidades de verdade é umsigno proporcional.

4.441 C claro que nenhum objeto (ou complexo deobjetos) corresponde ao complexo de signos "F" ou"V"; tampouco como às linhas horisontais ouverticais ou aos parênteses. — Nao há "objetoslógicos".

Algo análogo vale naturalmente para todos ossignos que exprimem a mesma coisa que os esquemasde "V" e "f".



4.442 Por exemplo:

rrrF

7Vtt

rY

é um signo proposicional.(O "traço de jufio" " | - " . introdundo por Frege,

do ponto de vista lógico carece inteiramente dedenotaç&o; indica em Frege (e RusselI) que taisautores tomam como verdadeiras as proposições assim

deúgnadas. "|—" pertence tio pouco à eonstruçáoda proposição como, por exemplo, a numeração'dasproposições. Uma proposição nfto pode, de formaalguma, assertar de si mesma que 6 verdadeira.)

Se as séries de possibilidades de verdade foremfixadas de vez no esquema, por meio de ama regrade combinação, a última coluna por si «o já exprimeas condições de verdade. Ao escrevermos esta colunacomo série, o

signoproposicional será o seguinte:

(••VV-V)(p,q)", ou de modo mais nítido "(VVFV)

(0 número de posições no interior dos parênteses da esquerda está determinado pelo número determos dos da direita.)

4.45 Pa ra n proposições elementares há L. grupospossíveis ds condições de verdade.

Os grupos de condições de verdade que pertencem às possibilidades de verdade de um númerode proposições elementares ordeoam-ee numa série.

4.46 Entre os grupos possíveis de condições de verdade há dois casos extremos.

No primeiro caso a proposição t verdadeirapara todas as condições de verdade das proposiçõeselementares. Dliemos então que as condições de

verdade sao tautológiea».No segundo caso a proposiçáo é fafaa paratodas as condições de verdade: as condições deverdade ato cont*o4ilón&*.



No primeiro caso chamamos & proposição detautologia, no segundo, contradição.

4.461 A proposição mostra o que dix, a tautologia ea contradição que nfto dizem nada.

A tautologia nfto possui condições de verdadepois é verdadeira sob qualquer condição; a contradição sob nenhuma condição é verdadeira.

A tautologia e a contradição s&o vaiias desentido.

(Como o ponto de onde duas flechas partemem direções opostas.)

(Nada sei, por exemplo, a respeito do tempose sei que chove ou n&o chove.)

4.4611 A tautologia e a contradição n&o sio. porém,absurdas; pertencem ao simbolismo do mesmo modoque " 0 " pertence ao simbolismo da aritmética.

4.462 A tautologia e a contradição n&o sio figuraçõesda realidade. Nfto representam nenhuma situação

possível, porquanto aquela permite lôdai as situações possíveis, esta, ntnhuma.Na tautologia as condições de concordância com

o mundo — as relações representativas — cancelam-se umas fts outras, pois n&o se põem em relaçãorepresentativa com a realidade.

4.463 As condições de verdade determinam o campoaberto aos fatos peJa proposição.

(A proposição, a figuração, o modelo s io . numsentido negativo, como um corpo sólido que limitaa liberdade de movimento de outro ; no sentidopositivo, como um espaço limitado por uma subs-tAncia solida onde um corpo pode ter lugar.)

A tautologia deixa inteiramente 'à realidade oespaço lógico — infinito —; a contradição preencheo espaço lógico inteiro, n&o deixando & realidadeponto algum. Nenhuma delas pode, por conseguinte, determinar a realidade de um modo qualquer.

4.464 £ certa a verdade da tautologia, da proposiçãoé possível e da contradiç&o impossível.

67



(Certo, possível, impossível: temos aqui a indi*cacao da gradaçao que precisamos para a teoriada probabilidade.)

0 produto lógico de uma tautologia e de umaproposição dis o mesmo que a proposição. 0 produto é, pois, idêntico a proposição, porquanto niose pode alterar o essencial do símbolo sem altera»seu sentido.

14.466 A uma determinada união lógica de signoscorresponde uma determinada uniio da deootaçâc,deles; coda união arbitrária corresponde apenas a,signos desunidos.

Isto quer diser que proposições, verdadeiraspara qualquer situação, nao podem ser em geraluniões de signos, pois, caso contrario, apenas deter*minadas uniões de objetas poderiam a elas corresponder.

(E a nenhuma uni&o lógica corresponde ns«nhtuna uníio de objetos.)

Tautologia e contradição s&o casos-limites da

uni&o de signos, a saber, sua dissolução.4.4661 Por certo na tautologia e na contradição ossignos ainda estão ligados uns aos outros, isto é.relacionam-se entre si, mas estas relações sfto desprovidas de denotac&o, sao inesaeneiais para o timbolo.

4.6 Agora parece possível estabelecer a forma maisgeral da proposição, isto é, estabelecer uma descrição das proposições numa linguagem simbólica qual-Çistr, de tal modo que cada um dos sentidos possíveis poderia ser expresso por um símbolo adequado& descrição e cada símbolo adequado à descriçãopoderia exprimir um sentido, se as deootacoes doanomes fossem convenientemente escolhidas.

£ claro que, descrevendo a forma mais geralde uma proposição, tòmenU o que é essencial deveser descrito — caso contrário nao seria a mais geral.

Prova-se a existência de uma forma geral da

proposição porque n&o deve haver proposição algumacuja forma nao seja antes pressuposta (isto é, construída). A forma geral da proposição é: isto íJMdo seguinte modo.



4.51 Supondo que Udai as proposições elementaresMe sejam dadas, surge a pergunta: quais ato Mproposições que posso formar a pa rtir dela*? Eestas ato ( M u a s proposições e assim elas ato limi-

4.52 As proposições s&o tudo o que se segue da totalidade das proposições elementares (sem dúvida porque se parte da otalidade de lidai elat). (Num certosentido 6 possível diier que lidas as proposiçõessio generalizações das proposições elementares.)

4.53 A forma geral da. proposição é uma variaveL

S A proposição 6 uma função de verdade dasproposições elementares.

(A proposição elementar é uma função de verdade de si mesma.)

5.01 As proposições elementares afio os argumentosde verdade da proposíç&o.

5.02 É ficil confundir argumentos de uma funçãocom Índices de nomes. Conheço em particula r adenotaeio de um signo que a contém taato peloargumento como pelo ludiee.

No sinal de Russell " + , " , por exemplo. ","4 um Índice que indica valer o signo inteiro paraa soma de números cardinais. Es ta designação,porém, se apoia num ajuste arbitrário, de sorteque seria possível em ves de " + , " escolLer outro

signo simples; em "~~p", entretanto, "p" nâo iÍndice algum, mas argumento: o sentido de "~~P"não pode ser compreendido sem que antes o sentidode "p" o seja. (No nome Jultus Caeaar, "Jul ius"é Índice. Este é sempre parte da descrição do objetoeujoa nomes vinculamos a éle. Por exemplo, o Caesarda gente juliana.)

A confusão entre argumento e índice constitui,

se nao me engano, a base da teoria de Frege a respeito da denotaçao das proposições e das funoôea.Para Frege, as proposições da lógica seriam nomes,e atua argumentoe, oe Índices desses nomes.



5.1 As funções de verdade se ordenara em séries.Este é o fundamento da teoria da probabil i

dade .

5.101 As funções de verdade de todos os números deproposições ele me n lares inscrevem-se no seguinte

( P F F V : . TautologU (Ss p, antao p; • m fc «Uo a} (aD » . *D»)( F F F r i (p , s) sm palavras: Nlo aiobcn a e «. ( Mi • | »( F F F F ) ( t , ( ) m palavraa: Se j , então p. ifOpi( n 7 l ' ) ( , , j ] m palavras: S* •>. Mllo «. U»Df)( F F F f ) ( t , ( ) e m palaTra*: j> ou o. (*>Vfl|

( f F F f i l n ) ™> palavras: Nfco o, (<^)(P V P F) (p,») sm palarraa: Nao *>. {~p)íf ¥ V F) («iq) sm palavra*: p cm 9 mai nao aroboa. •p.—i V^.-^)(V F F F) (p,») em palavra*: Se p. eotao q; e M ç, então p. õ»»()(F P F P) (p, f) em palavras: p(VV FF) íJ»,íJ em palavra*: 0{F F FV} (p t «•) ata palavras: Nora p nem ?. <—?.—*) •* Cplfl( P P F ? .• ,• em ;.:•,-•• - • cio e. (p.—^)

(FV

FF) <p,f)sm palavra*: e e nao p. («.-*•»)

( F P P P ) (p,s) ata palavras: o « p . (e.p>( P P P P 1 (^fl) Contradição <p e rio p; e 9 e nao ç.) ^"sps>—f)

A essas possibi l idades de verdade de seus argumentos de verdade, que confi rmam as proposições,chamo de seus fundamento» de verdade.

5.11 Se o» futtdamentos de verdade comuns a umn úm ero de proposições, também forem fundamentosde verdade de uma proposição determinada, dín»-mos então que a verdade dessa proposição se segueda verdade daque las ou t ras .

5 .12 Em part icu lar a verdad e de um a proposição "p"segue-se da de out ra "q" se todos os fundamentosde verdade da segunda forem fundamentos de verdade da pr imeira .

5.121 O s fundam entos de verd ade d e uma estão con

tidos nos da o u t r a ; assim, p segue-se de s .5.122 S e p segue-se d e q, o sentido de "p" está con

t ido no sent ido de "q".



5.123 S* um deus criasse um mundo em que certas proposições fossem verdadeiras, cr iar ia do mesmo modoum mundo com o qual concordar iam Iodas suasproposições conseqüentes. E assim similarmente náo

poder ia cr iar um mundo em que a proposição " p "(case verdadeira, sem criar todos os objetos dela.

5.124 A proposição afirma cada proposição que dela

5.1241 " p . ç " * uma das proposições que afirmam " p "e ao mesmo tempo uma das proposições q ue aiir-

D u a s proposições sao opostas uma à outra senao exist ir qualquer proposição significativa queaf i rme ambas .

C a d a proposição que contradiz a outra, nega-a.

5 .13 Q ue a verdade d e um a proposição segue-se daverdade de outras vemos a par t i r da estruiura d asproposições.

5.131 S e a ve rda de de um a proposição segue-se da verdade de outras, is to se exprime nas relações qu eas formas dessas proposições mantém entre a i ; •nâo precisamos com efeito coloca-la» primeiro naquelas relações, unindo-as com outra proposição.;• ;q;:s >to («*** relações -á " internai e í-jrw-Vn:enquanto aquelas proposições subsist irem, e porquedas subs i s tem.

5.1311 Se pois de p v o e d e "~p inferimos o, s relaçãoentre as formas da» proposições "p v q" e "~~p"se oculta em vir tude da maneira de simbolizar.Se em lugar de "p v o", escrevemos, por exemplo,"pfff-l-Plf" e e™ hi&t de "~~> p" "p\p" (p]q - nemp nem o), logo se toma olara a conexão in terna .

D e a .fx pode-se inferir fa; is to mostra quea universalidade já cota presente no s ímbolo " (x) / r " .

5.132 Se p segue-so de q, posso então inferir de ç p ;deduxir p de q.

0 modo d e inferéncia há de ser captado apenasde ambas as proposições.

91



Somente elas podem justificar a In íe rénda ." R e g r a s d e inferéneia" q u e — oomo a o Frege

e Riiswll — devem justificar a inferéneia «ao vazias

de sentido e seriam supérfluas.5.133 Toda dedução se dá a priori.

5.134 De uma proposição dementar nenhuma o u t r apode ser d e d u i i d a .

5.135 De m od o algum é possível inferir d a sub sistência d e u m a situação qualquer a subsistência deum a situação in te i ramente di ferente dela .

5.136 N io há nexo causai que justifique tal inferéneia.5.1361 Náo podemos inferir os acontecimentos do futuro

a part i r daqueles do presente .É tuperattfâo a crença no nexo causa i .

5.1362 A l iberdad e d a vo ntad e consiste em nlo poderconhecer agora as ações futuras. Só poderíamoseonheoê-las se a causal idade fosse uma necessidadeinferna, oomo a inferéncia lógica. A conexão entreo conhecer e o conhecido é a mesma da necessidadelógica.

("A aabe que p ocorre" * vaiia de sentido te pfor um a tautologia.)

S 1363 Send o um a proposição óbvia p a r a nós, n lo seugue qu e se ja verdad ei ra; por conseguinte, a obvied a d e nao é just i ficat iva para nossa crença em sua

verdade .5.14 Sc um a proposição segue-se de out ra , esta diamaia do que aquela , aquela menos do que esta.

5.141 S e p segue-se de q e q de p , a m b a s slo pois umaúnica e mesma proposição.

5.142 A tautolo gia segue-se de todas as proposições:nao diz nada.

5.143 A contradição 6 algo c o m u m às proposições, eq u e nenAumo proposição tem em comum com ou t r a .A tautologia e o que 6 c o m u m a todas as proposi ções q u e nao tem nada em comum en t re si.



A contradição desaparece, por assim diier, porfora, a tautologia, por dentro de todas as proposi-

A contradição é o limite externo das proposições, a tautologia, seu centro dessubstaaciahsado.5.15 Seja V, o número doa fundamentos de verdade

da proposição "r", V„ o número daqueles fundamentos de verdade da proposição "»" que ao mesmotempo -In fundamentos de verdade de "r"; chamamos entáo & relação: V„ : V , de medida de pro-

.•..• ' .;>: que a proposição "r" tem em relação àproposição "•".

5.151 Seja num esquema como o de orna, no número 5.101, V, o número de "V" da proposição r;'•'.. o DÚmero daqueles "V" na proposição * queestão na mesma coluna com os "V" da proposição r. A proposição r tem em relação à proposição ia probabilidade V„ : V..

5.1511 Nio hi nenhum objeto particular próprio às

proposições probabilistícM.5.152 Chamamos mutuamente independentes as proposições que nio tem era comum com outras qualquer argumento de verdade.

Duas proposições elementares tem entre ai aprobabilidade — •

Se p segue-ee de q, n proposição "q" tem em rela

ção à proposição "p" a probabilidade 1. A certciada inferencia lógica 4 o caso-liratte da probabilidade.

(Aplicação à tautologia e a contradição.)5.153 Uma proposição nio é nem provável nem impro

vável. Ura acontecimento K dá ou nio se dá, n&ohá meio-termo.

5.154 Suponhamos que numa um a estejam tan tas

bolas brancas quantas pretas (e nenhuma a mais).T.ro uma bola depois da outra e as reponho de novona urna. Posso, entáo, estabelecer pela experiênciaque o número das bolas pretas tiradas e o das bolas



brancas tiradas se aproximam projresnvarcente umdo outro.

Itío nao é, portanto, um fato matemático.

Se disser agora: é igualmente provável quetirarei uma bola branca como uma preta, uso querdizer: todas as circunstâncias que me &io conhecidas (incluindo as leis da natureza tomadas hipoteticamente) nao conferem a um acontecimento nenhuma probabilidade a mais do que a outro. Asaber, estão — como se compreende facilmente apartir das explicações acima — numa relação de

probabilidade de —•O que verifiquei pela experiência é que ambosos acontecimentos independem das circunstânciasdas quais nao tenho conhecimento mais próximo.

1.155 A unidade das proposições probabinttieas 4 aseguinte: as circunstâncias — de que, ahas. naotenho conhecimento mais amplo — conferem a umdeterminado acontecimento tal e tal grau de proba

bilidade,5.156 Desse modo, a probabilidade ê uma generali-

saçao.Envolve uma descrição geral de uma forma

propoaicional.Só na falta de certeia precisamos de proba

bilidade, — Quando nao conhecemos um fato completamente, mas ao menos sabemos algo a respeito

de sua forma.(Uma proposição pode, com efeito, ser uma figuração incompleta de uma certa situação, entretantosempre é uma figuração completa.)

A proposição probabiostica e como se fosse umextrato do outras proposiçoM.

5-2 As estrutu ras das proposições mantém entre sirelações internas.

521 Podemos traier essas relações internas para nossomodo de expressão, representando uma proposiçãocomo resultado de uma operação que a produz deoutras proposições (as bases da operação).



A operação 6 a expressão de uma relação entreestruturas do resultado e de suas ba

5.23 Operação é o que deve acontecer tom umaproposição a fim de gerar oulra a partir dela.

5.231 E isso naturalmente dependerá de suas propriedades formais, da semelhança interna de suas formas.

5.232 A relaç&o nterna que ordena uma série eqüivaleà operação que produz, um termo a partir de outro.

5.233 A operação só pode ter lugar pela primeira vesonde uma proposição nasce de outra de modo logica

mente denotativo) onde começa, portanto, a construção lógica da proposição.

5.234 As funções de verdade das proposições elementares resultam de operações que tem como bases asproposições elementares. (A essa operação chamode operaçao-verdade.)

5.2341 0 sentido de uma função de verdade de p é

função do sentido de p.Negação, soma lógica, multiplicação lógica, etc.,etc., sflo operaçóes,

(A negação inverte o sentido da proposição.)

5.24 A operação mostra-se numa variável; mostracomo de uma forma de proposições se pode chegara outra.

Torna expressa a diferença de formas.

(E o que é comum às bases e ao resultado daoperação sáo precisamente essas bases.)

5.241 A operação nào designa forma alguma, masapenas a diferença de formas.

5.242 A mesma operação que produs "a" de " p " ,produz também de " 9 " , "r" e assim por diante.Isto só pode ser expresso porque " p " , " ç " . V , ete.,sáo variáveis que tornam expressas de um modo

geral certas relações formais.5.25 A realiiaçao de uma operação nào caracterisa

o sentido de uma proposição.

$5



A operação nada asserta atérn de seu resultadoe isto depende das bases dessa operação.

(Operaçóee e funções nao devem ser confundidas.)

5.251 Uma função nfio pode ser seu próprio argumento; no entanto, o resultado de uma operaçãopode muito bem ser sua própria base.

5.252 Somente assim é possível o progresso de umtermo a outro na serie formal {de tipo a tipo nahierarquia de Russell e Whitehead). (RusselI eWhitehead nao admitiram a possibilidade desse progresso mas fizeram dele uso repetido.)

'5.2521 A aplicação progressiva de uma operação sobresen próprio resultado chamo sua aplicação sucessiva.{"O" (TO'a" resulta de três aplicações sucessivasd e " C í " sobre "a " ) .

Em sentido semelhante falo da apüeaçào sucessiva de muitos operações sobre um número de propo-

5.2522 0 termo geral de uma seqüência formal a,C a . C C o , . . . escrevo por isso do seguinte modo:"[a,i,0'x\". Esta expressão entre colchetes * umavariável. 0 primeiro termo da expressão do colchetee* o inicio da série formal, o segundo a forma deum termo qualquer z da série e o terceiro a formadaquele termo da série que segue imediatamente a x.

5.2523 O conceito de aplicação sucessiva de operaçãoeqüivale ao conceito "e assim por diante".

5.253 Uma operação pode anular o efeito de outra.Operações podem suprimir-se mutuamente.

5.254 A operação pode desaparecer (por exemplo, anegação em "~— •p", —~p m p)_

5.3 Todas as proposições resultam de operaçôes-verdades sobre as proposições «lementarss.

A operaçao-verdade é o modo pelo qual a função

de verdade nasce das proposições olemeotaree.Do mesmo modo que das proposições elementares nasce sua função de verdade, das funções deverdade nasce uma nova, de acordo com a essência



da opsracao-verdade. Cada operaçao-verdade repro-dni a partir de funções de verdade de proposiçõeselementares uma função de verdade de proposiçõeselementares, a saber, uma proposição. 0 resultadode eada operaçao-verdade realiiada com resultadosde operaçoes-verdades sobre proposições elementaresê de novo o resultado de uma operaçao-verdade•obre proposições elementares.

Toda proposição resulta de operacoes-rerdade»sobre proposições elementares.

5.31 Os esquemas do n.' 4.31 possuem também deoo-

taeio quando "p", "q", "r", etc., nao sfto proposições elementares.Ê fícil verificar que o signo proposiâonal no

n.* 4.2 exprime uma função de verdade de proposições elementares ainda quando "p" e " ç " «**> ' "o -çoes de verdade de proposições elementares.

5.32 Todas as funções de verdade resultam da aplicação sucessiva de um número finito de operaçoes-

verdades sobre proposições elementares.5.4 Aqui se evidencia que nao ha "objetos lógicos","constantes lógicas" (no sentido de Freire e Russefl).

5.41 Po rqu anto : todos os resultados de operacoos-verdades sobre funções de verdade sio idênticos,sao uma e a mesma íunçfto de verdade de proposi-çOes elementares.

5.42 Ê óbvio que v. D. etc., nao aào relações nosentido de direita e esquerda.

A possibilidade de definição cruaada dos "signosprimitivos" de Frege e Rusaell já mostra que naoaio primitivos e que nao designam relação alguma.

Ê evidente que "D", que definimos por "'—"e "v" . * idêntico ao que serve para definir V eoma ajuda de "—" e que este ' V é" idêntico ao primeiro. E assim por diante.

5.43 Que de um fato p outros ao infinito seguir-se-ao,nomeadamente ^ - w p , ^«- . s .— p , etc-, 4 cüSeil. noinicio, de n acreditar. E nao é menos extraordi-



nano o número infinito de proposições da lógica(da matemática) seguisse de mela dúxia de "princípios".

Todas as proposiçoe* da lógica diiem. porém,o mesmo; a saber, nada.5.44 As funções de verdade nào afto funções mate

riais.Já que, por exemplo, ê possível gerar uma

afirmação por meio da dupla negação, estará a negação — seja qual for o sentido — incluída na afirmação? "——-p" nega —p ou afinna p, oa ambos?

A proposição "•—--~p" nao trata a negação comoum objeto; a possibilidade da negação, entretanto,já está antecipada na afirmaçào.

E se houvesse um objeto chamado "—", entáo" — " ^ p " deveria dixer outra coisa do que "p". Porquanto uma proposição trataria de "*-". enquantoa outra n&o.

3.441 Este desaparecimento das aparente* constanteslógica* se dá se " — ( S J ) . <—/*'' di« s mesma coisaque "(x) ./z" ou "(3x) ./x .x - o", o mesmo que" /o " .

5.442 Caso uma proposição nos seja dada, com eladio-ae os resultados de todas *s operaçoes-verdade*que a tem como base.

5.45 8a houvesse signos lógicos primitivo», uma lógica correta deveria esclarecer suas posições, relativas umas às outras, e justificar soa existência.

Deve tornar-se clara a construção da lógica a partirde seus signos primitivos.

5.451 Se a lógica possuísse conceitos básicos, estesdeveriam ser independentes uns dos outros. Admitido um conceito básico, deveria èle ser admitidoem todas as vinculaçóes em que em geral aparece.Náo é possível, portanto, primeiramente admiti-lonuma conexáo para cm seguida *dmiti-k> em outra.Por exemplo, admitida a negação, devemos entendê-la tanto nas proposições de forma " "~p " , como nasproposições tais que "—<j> v q)", " ( 3 x ) . —/x", e t cNfto podemos introduzi-la primeiro para uma classe

98



de CMOS, em seguida para outra: permaneceria duvidoso ae sua denotacao seria a mesma em ambos oscasos, nao havendo motivo de utilizar para essescasos o mesmo modo de vincular o* signos.

(Em resumo, para a introdução de signos primitivos vale, mulatii mutandiê, o que frege (DOS Principio* da Arilmtíiea) disse a propósito da introduçãode signos por meio de definições.)

5.452 A introdução de um novo recurso no simboüsmoda lógica sempre há de ser um acontecimento plenode conseqüências. Nenhum recurso novo há de serintroduzido na lógica — entre parênteses ou à mar

gem — por assim diter, com cara inocente.(Aparecem nos Principia Malhemalica de RusseU

e Whitehead definições e princípios em palavras.Por que de repente palavras? Isto demanda amajustificação, que falta e deve {altar, pois o procedi-saeato nao é de fato permitido.)

Se todavia a introdução de novo recurso seprovou necessária, deve-se perguntar imediatamente:

onde esse recurso deve ser sempre empregado? Sualocahaac&o na lógica deve eer esclarecida.

5.453 Todos os números da lógica devem deixar-tejustificar.

Ou melhor, deve evidenciar-se que nao há números na lógica.

Nlo há número excelente.

5.454 Nao há na lógica um lado a lado, pois nâo háclassâTicaçáo.

Nao pode haver na lógica o mais geral ou omais especial.

5.4541 A solução dos problemas lógicos deve ser simples, já que estes colocam o padrão da-«tmpbcidade.

Os homens sempre tiveram o pressentimentoque deveria haver um domínio de questões cujasrespostas — a priori — fossem simétricas e unidasa uma construção acabada e regular.

Um domínio em que vale a sentença: timplrxnqütwt weri.



5.46 Caso se totroduaam corretamente os ninou lógicos, entào j4 se introdui o sentido de todas as suascombinações; portanto, n&o apenas "p v «" nu s lambem "•—(pv-~q)", etc-, etc Já se teria introduzido,

pois, o efeito de todas as combinações meramente-posaiveui de parênteeee. E assim estaria claroque os signos primitivos propriamente uni venaisnfto seriam "p v . / ' . "(3x) .fx" mas a forma maisgeral de sua* combinações.

5.461 Muito denota o fato aparentem ente desimpor-tante de que as pseudo-relações lógicas como v ouD precisem de parênteses — ao contrario das rela

ções reais.A utiliiacao de parênteses junto a esses pseudo-eignos primitivos já indica que n&o sao ngaos primitivos reais. E ninguém acreditará porventura queos parênteses possuam denotaçio autônoma.

5.4611 Os signos das operações lógicas ato pontuações.

5.47 £ olaro que tudo o que se dii de onlendo sobrea forma de todas as proposições deve ser dito aomenos uma m.

N a proposição elementar já estão contidas todasas operações lógicas. Porquanto "/o" dii o mesmoque " ( 3 i ) . / * . r - a " .

Onde há composição iá há argumento e função,e onde estão estes já e#t*o todas as constantes lógicas.

Poder-ae-ia dizer: uma constante lógica é aquilo

que Udai ae proposições, conforme sua naturais,possuem em comum.Isto e. porém, a forma proposiciooal geral.

5.471 A forma proposícional geral é a essência daproposição.

5.47U Dar a essência da proposição quer diser dar aessência de todas as descrições e, por conseguinte,

do mundo.5.472 A descrição da forma proposicional mais geral

ê a descrição de um e um só signo primitivo universalda lógica.



5.473 A lógica deve cuidar de si mesma.Um signo passível também deve poder designar

Tudo o que na lógica é possível também é pernú '

tido. ("Sócrates é idêntico" nao dia nada. pois naohá propriedade que se chame "idêntico". A proposição é absurda porque nao encontramos uma determinação arbitraria, e nio porque o símbolo em sie para si nao fosse permitido.)

Em certo sentido, n&o podemos errar na lógica-5.4731 0 óbvio de que Itussell tanto fala so pode tor-

nar-ae prescindlvel porque a própria linguagem impedios erros lógicos. — Que a lógica seja a priori consiste em que nada ilógico pode ser pensado.

5.4732 N io podemos dar a um signo um sentido incorreto.

5.47321 0 lema de Occam n&o é por certo uma regraarbitraria, ou que BO justifique por seus resultadospráticos; dii apenas que unidades de signos devte-eeudriai nada designam.

Signos que preenchem uma finalidade aao logicamente equivalentes, os que preenchem nenhumas&o logicamente desprovidos de denotac&o.

5.4733 Frege d í i : cada proposição formada legitimamente deve ter um sentido; eu digo: cada proposição possível é legitimamente formada e. se n&otiver sentido, isto só é possível porque nao emprestamos denotaçâo a algumas de suas partes constituintes.

(Ainda que acreditemos te-lo feito.)Desse modo, "Sócrates é idêntico" nao dii nada.

porque nao emprestamos & palavra "idêntico" comoadjetivo denotaç&o alguma. Quando aparece comosigno de igualdade, ela simboliza de maneira totalmente diversa — é outra a relação designado» —>de sorte que o símbolo, em am bos os casos, é inteiramente diferente; ambos os símbolos apenas K m,

por acidente, o signo em comum.5.474 0 número das operações básicas necessária»

depende apenat de nossa notação.

101



5.475 Trata-se apenas de formar um sistema de signoscom número determinado de dimensões — com umamultiplicidade matemática determinada.

5.470 E claro que nfto se diKcute aqui o número deconceito* fundamentai* que devem ser designados,mas a expressão de uma regra.

5-5 Cada (unç&o de verdade resulta da aplicaçãosucessiva da operação ( V) (( ) «obreproposições elementares.

Esta operação nega todas as proposições nointerior dos parênteses da direita, e a chamo negaçãodessas proposições.

5.501 Uma expressão nos parênteses cujos termossejam proposições — quando ( indiferente a seqüênciados termos nos parênteses — indico por meio deum signo da forma "({ )" . " {" é uma Tariável cujosvalores sâo os termos da expressão entre parênteses,« o traço sobre a variável indica que esta substituinos parênteses todos os seus valores.

(Se, por exemplo, { tem 3 valores P , Q R,(i)-vWO-)Serio fixados os valores das variáveis.A fixação * a descrição das proposições que a

variável substitui.E ineesencial como se dá a descrição dos termos

da expressão entre parênteses.Podemos distinguir três maneiras de descrever:

1) Enumeração di reta ; neste caso podemos, emlugar d as variáveis, colocar simplesmente seus valoresconstantes- 2). Indicação de uma função fx cujosvalores, para todos os valores de x, constituam asproposições a serem descritas. 3) Indicação de umalei formal segundo a qual cada proposição i formada;oeste caso os termos da expressão entre parêntesessáo lodo* os termos de uma série formal.

5.502 Escrevo pois " * < ( ) " em lugar de "( V)

« r-NQ) é a negação de todos oa valores da va

riável proposicioDal f.103



Evidentemente é fácil exprimir oomo propoà-çoea podem formar-se graças a esta operação e comoproposições nao Um de ser formadas graças a ela;e úto também pode encontrar uma expressão exata.

5.5J Se J tiver apenas um valor, N( f) - —-p (n io pi,se tiver dois valores, „V( | ) — ~~p. ~~g (nem p nem g).

5.511 Como e possível a lógica, que tudo abrange eespelha o mundo, precisar de tais artifícios e manipulações especiais? Somente porque tudo isto estáligado a uma rede infinitamente fina, ao grandeespelho.

5.512 "-?" i verdadeiro se " p " fôr falso. Portanto,numa proposição verdadeira "~~p", "p" ê uma falsaproposição. Como lhe é possível faxer o traço u ~ "concordar com a realidade?

O que é negado em " ~ p " nao i "'^", maso que é comum a todos os signos dessa notaçãoque negam p.

Desse modo, a regra oomum pela qual se formam "~~p", " ~ - - ~ p " . ""~pv~p", " ~ p . ~ p " , t*e.,etc. (ao infinito). E o que * comum espelha a negação.

5.513 Podcr-ee-ia chier: 0 que é comum a todos ossfmbolos que afirmam tanto p como q é a proposição "p.q". O que é comum a todos os símbolosque afirmam p ou q, i a proposição "p v f".

E assim se pode diicr: Duas proposições s*oopostas mutuamente se nada possuem em comum;e: cada proposição tem apenas um negativo, poishá apenas uma proposição que se situa inteiramentefora dela.

E na própria notaçáo de RusseJl é evidenteque "•;: p • "~p" diz a mesma coisa que "q" e que"p v — p" n&o dix nada.

5.514 Fixada uma notação, há nela uma regra pelaqual são formadas todas as propoBçOes negadorasde p, uma regra pela qual BÃO formadas todas as



proposições afirmadoras do p, uma regra pela qualsâo formadas todas as proposições afirmadoras de pou q. c assim por diante Easas regras sâo equivalentes aos símbolos e nelas espelha-«e o seu sentido.

5.515 Ê preciso indicar que. em nossos símbolos, oque é ligado mutuamente p o r " v " , " . " , e t c , deveser proposições.

E isto ocorre, pois o símbolo "p" e " ç " jápressupõem ' V , "**•", etc. Se o signo "p" em " p v q"nâo substituir um signo complexo, nâo pode possuirsentido soiinho; mas então também os signos " p v p " .

"p.p", que Um o mesmo sentido que "p", nâoteriam sentido. Se entretanto "pvp" nâo tiversentido, então do mesmo modo "pv q' nâo terásentido,

5.5151 Deve o signo da proposição negativa ser formado por meio do signo da positiva T Por que nâose poderia exprimir a proposição negativa por umfato negativo? (Do seguinte modo: se " o " nâo se

relacionar de modo determinado com "b", isto poderia exprimir que aRb nâo ocorre.)

Mas tamMm aqui a proposição negativa seforma indireta mente pela positiva.

A proposição positiva deve pressupor a existência da propoiiçio negativa e vice-versa.

Sejam os valores de f todos os valores de

uma função fz para todos os valores de x. entãor V ( ( ) - ~ O z ) . / x .

5.521 Separo o conceito todo das funções de verdade.Frege e Russell introduziram a universalidade

em ligação com o produto lógico ou a soma lógicae, desse modo, tornou-se difícil entender as proposições "(3i).fí" e " ( * ) . / * " , cm que ambas asidéias permanecem ocultas.

5.522 E peculiar à designação da universalidade:1) referir-se a uma protofiguraçfto lógica; 2) salientaras constantes,

104



A designação da universalidade aparece eomoargumento.

5.524 Caao os objetos estejam dados, noa estarão

dados todos os objetos.Caso as proposições elementares estejam dadas,já noa catão dadas tédai as proposições elementares.

5.525 E incorreto interpretar a proposição "(3*) .fx"— eomo Russell o íai — pelas palavras: "fz epotttotl".

Certexa, possibilidade e impossibilidade de umasituação não se expressam por meio de ama pro

posição mas por ser a expressão uma tautologia,u n a proposição significativa ou uma contradição.Aquele caso precedente a que sempre se há

de apelar já deve estar no próprio símbolo.5.526 É possível descrever o mundo completamente

por meio de proposições perfeitamente universalizadas, a saber, sem que de antemão um nome fosse

• coordenado a um objeto.

Para chegar-ee ao modo de expressão habitualdeve-ee simplesmente, depois de uma expressão " h áum e um único x tal que . . . " , dizer: e este z é a.

5.5261 Uma proposição perfeitamente universaliiada (,como qualquer outra proposição, composta. (latose mostra quando, em "(3r. *) . vx" devemos mencionar separadamente ' V ' e "' "• Ambos se correlacionam independentemente com o mundo, como

sa proposição que náo foi universalluda.)Característica de um símbolo composto: temalgo em comum com ovtro símbolo.

5.5262 A verdade ou a falsidade de coda proposiçãoaltera em algo a construção geral do mundo. E ocampo que se deixa para sua construção por meioda totalidade das proposições elementares é precisamente aquele que as proposições inteiramente univer-salíiflti delimitam.

(Se uma proposição elementar for verdadeira,sempre haverá por isso mais uma proposição elementar verdadeira.)



5.53 Exprimo a igualdade de objetos p»I>> igualdadede signos e n&o graças ao auxilio de um signo deigualdade. E a diversidade doe objetos por meio

da diversidade de signos.5.5301 £ óbvio que a identidade nfto í uma rclaçio entreobjetos. Isto se torna muito claro quando ae considera, por exemplo, a proposição "(i) : / i O ' " « " .A proposição dis meramente que apenas a satisfaia função /, mas n&o dii que somente aa coisas quemantém uma certa relação com a satisfazem afunção / .

Poder-se-ia sem dúvida dizer que tornem* a mantém esta relação com o, mas pare exprimi-lo precisa-do signo da igualdade.

5.5302 A definição dada por Russell de " - " nfto ésuficiente, pois, segundo ela, nfto i possível diaerque dois objetos possuem em comum todas as propriedades. (Ainda que esta proposição nfto sejacorreta, possui tentido.)

5.5303 Falando grouo modo: diaer de doii objetos quea&o idênticos 6 absurdo, e de uai único que é idênticoconsigo mesmo por certo nfto dia nada.

5.531 Nfto escrevo pois "/(a, b) . a - 6" mas "/(o, a)(ou •yÒ, b)"). Nfto escrevo " /(a , 6 )" . ~a - •", mas

5.532 E analogamente: nfto "(3x.j/) .fa.t) -i-if",

mas "(3x) . / ( * , * ) " ; nfto "(3s.S) -A*,») - ~*-!f",mas " < 3 x t ! 0 . / ( * , * ) " .(Desse modo, em vei da fórmula de Russell

**(3r,V>./(j, | r)", lemos "(3i,»)-Ax,V) . v . (3x) .• / (*.*)")•

55321 Em vea d e "(x) i / O ' - *" escrevemos, porexemplo, "(3x) ,/z.D.fa: ~<3x.») ./r .ff.

E a proposição "sòmtnU um i satUfax/( )" será" ( 3 x ) . / * : ~ ( 3 z , y ) . / * . / » " .

5.533 O signo da igualdade n&o ê. poia, parte essencialda ideografia.

106



5.534 Vemos cnlio que pseudoproposiçoes como;"o - o", " i - b . t - c O o - e", "(x) . * - i" ." ( 3 * ) . * - . a " , etc., Dio se deixam inscrever de

modo algum numa ideografia correta.5.535 Desaparecem assim todos os problemas ligadosa tais pseudoproposiçoes.

Todos os problemas que encerra o axiom ofinfinily de RusselI aqui se resolvem.

0 aeiom of infinily quer dizer, em termos da,linguagem, que existem infinitamente muitos nomescom denotaçio diferente.

5.5351 Existem certos casos em que se é tentado ausar expressões da forma: "« ™ a", ou "p D p" «ou tras. E isto com efeito acontece quando se devefalar da protofiguraçio: proposição, coisa, etc,Kuasell, nos Principiei of malhtmatic* transpôs oabsurdo "p é uma proposição" no símbolo "p 3 p ' \tomando-o como hipótese diante de certas proposiiçoes a fim de que os lugares dos argumentos destoasó pudessem ser ocupados por proposições.

(Já é um absurdo colocar diante de uma pro-.posição a hipótese p Z> P para assegurar aos argu%mentos forma correta, porque a hipótese estabelecida,para uma nio-proposiçao enquanto argumento niose toma falsa mas absurda; atem do mais, a própriaproposição se torna absurda para argumentos d*gênero incorreto, de sorte que se conserva tantoboa como mi diante dos argumentos incorretos,assim como a hipótese sem sentido empregada para,

esse fim.)5.5352 Do mesmo modo, prctendeu-sç eaprimir "Nào

existe coisa alguma" por meio de " - K M . x - *",Ainda, porém, que isto fosse uma proposição — estanio seria verdadeira se, com efeito, "houvesse coisas"que todavia nio fossem idênticas consigo mesmas?

5.54 N a forma geral da proposiçio, a proposição

aparece na proposiçio apenas como base daa upera-çoes- verdades.5.541 A primeira vista parece que seria possível uma

proposição aparecer numa outra de outro modo.

107



Em particular eta certas formai proposicionaisdajpsicologia tais como "-4 acredita que p ocorra"ou "A pensa p". etc.

Nelas parece superficialmente que a proposição p se relaciona, de um certo modo. com umobjeto A.

(E oa moderna teoria do conbecimeDto (RusselI,Moorc, etc.) essas proposições s&o assim concebidas.)

Õ542 É claro porem que "A acredita que p", "Apensa p", "A dis p" sao da forma "p d a p " . Niose trata aqui da coordenação de um fato e um ob jeto,mas da coordenação <ie fatos por meio da coordena

ção de seus objetos.5.5421 Isto mostra que a alma — o sujeito, etc. —

tal como é compreendida atualmente pela psicologiasuperficial, é um disparate,

Uma alma composta náo seria mais alma.5.5422 A explicação correta da forma da preposição

"A julga p" deve indicar ser impossível julgar umabsurdo. (A teoria de RusselI ato satisfai essa

condição.)5.5423 Perceber um complexo quer diier perceber que

suas partes constituintes estão em relação entra side um certo modo.

/

0

a

i

b

/

/Isto também explica por que é possível ver a

figura de duas maneiras como um cubo; c todosos fenômenos parecidos. Porquanto vemos realmente

dois fatos diferentes.(Primeiro vejOt a partir dos vértices a, e w&ligeiramente a partir de b; a aparece na frente; evice-versa.)

105



5.55 Devemos agora a priori responder à pérgulaa respeito <ic Iodas as formas possíveis de proposições elementares.

A proposição elementar constitui-se de nome».Posto que náo podemos dar o número de Domes comdenolaçao diferente, nâo podemos lambem dsz acomposição das preposições elementares.

5.551 £ nos» proposição básica: cada questão queem geral ae deixa decidir pela lógica, deve sem maisdeixar-se decidir.

(E se chegarmos a condição de precisar olhar

o mundo para responder a tais problemas, isto mostraria que enveredamos por pistas basicamentefalsas.)

5.552 A "experiência" que precisamos para compreender a lógica, nao é a de que algo está do seguintemodo. mas a de que algo i; esta, porém. %io ê um aexperiência.

A lógica está arUta de qualquer experiência —de que algo * assim.

Desse modo está antes do Como mas nâo antesdo Que.

5.5521 E se n»o fosse assim como poderíamos aplicara lógica? Püder-ee-ia diier: se houvesse uma lógicaainda que nao houvesse um mundo, como poderiahaver uma lógica já que há um mundo?

5.553 RusseU disse que havia relações simples entradiversos números de coisas (individuais). Mas entreque nú meros? E como isto há de ser decidido? —Por meio da experiência?

(Nao existe um número excelente.)5.554 A indicação daquelas formaa especiais stria com

pletamente arbitrária.5.5541 H á de se revelar a priori se, por exemplo, posso

chegar a condição de ter de designar alguma coisacom um signo de uma relaçáo de 27 termos?

6.5542 Devemos, pois, fazer em geral ta l pergunta?Podemos estabelecer uma forma em signos e naosaber se a «Ia poderia corresponder alguma coisa?

109



Tem sentido a questão: O que deve ter a fítnde que algo possa ocorrer?

5.555 Ê claro que temos da proposição elementar um

conceito independente de sua forma lógica particular.Onde é possível formar símbolos de acordo comum sistema, o importante do ponto de vista lógicoê o próprio siatema, nfto o símbolo singular.

Como seria também possível que, na lógica,tivesse que me ocupar de formas que posso inventa»?No entanto, devo ocupar-me eom o que me tornapossível inventá-las.

5.555 Nfto pode haver hierarquia de formas das pro-posições elementares. Podemos pressupor somenteo que nós próprios construímos.

5.5561 A realidade empírica é limitada pela totalidadedos objetos. 0 limite reaparece na totalidade dasproposiçÓW elementares.

As hierarquias sfto e devem ser independenteeda realidade.

5.5562 Por motivos puram ente lógicos sabemos quedeve haver proposições elementares; desse modo.isto deve ser conhecido por todo aquele que compreende as proposições na sua forma nfto-analiaad*.

5.5563 Todas as proposições de nossa linguagem eorrenicsfto, de fato, tais eomo sfto, perfeitamente ordenadasde um ponto de vista lógico. — Tudo o que fflrmais simples e que devemos aqui admitir nfto 4

sfmile da verdade mas a própria verdade plena.(Nossos problemas nfto sfto abstratos mas talvez08 mais concretos que existem.)

6Í57 A aplicação da lógica decide que proposiçõeselementares existem.

O que está na aplicação a lógica nfto pode antecipar.

E claro: a lógica nfto há de colidir com sua

aplicação.M u a lógica deve referir-ae a sua aplicaçfto.Desse modo, a lógica e sua aplicaçfto nfto devem

Bobrepor-se uma k outra.

110



5.5571 Se nfto posso indicar a priori u proposiçõeselementares, querer indicá-las deve redundar numpatente absurdo.

5.6 Oi limilea de minha linguagem denotam os limitesde meu mundo.

5.61 A lógica preenche o mundo, os limites do mundotio também seus limites.

Náo podemos pois diier na lógica: isto e istoexistem no mundo, aquilo nau.

Porquanto se pressuporia aparentemente queexcluímos certas possibilidades, o que nio podeocorrer pois, do contrário, a lógica deveria eoloear-se alem dos limites do mundo, como se pudesseconsiderar esses limites também do outro lado.

Nfto podemos pensar o que nfiO podemos pensar,por isso também náo podemos diter o que nio podemos pensar.

5.62 Esta observação dá a chave para decidir daquestão: até onde o solipaismo i uma verdade.

0 que o solipsismn nomeadamente aoka 6 inteiramente correto, mas isto se mostra em vei de deixar-se diter.

Que o mundo é o meu mundo, isto se mostraporque os limites da linguagem (da linguagem quesomente eu compreendo) denotam os limhee de meumundo.

5.831 0 mundo e a vida sflo um aó.5.63 Sou meu mundo. (0 microcosmos.)5.(31 O sujeito representante e pensante nfto existe.

Se escrevesse um livro; 0 mundo (o/ como encontro, deveria reportar-me a meu corpo e dizerquais membros estão sob minha vontade e quaisn lo estáo, ele. — isto é particularmente um métodopara isolar o sujeito, ou melhor, para indicar quenáo existe sujeito num sentido importante: dele-'•::•:.':.• • não é possível tratar neste livro.

6.632 0 sujeito nfto pertence ao mundo mas é limitedo mundo.

Ul



5.633 Onde no mundo se há de notar um sujeito metafísico?

Tu dite* que aqui se está inteiramente como

diante do Alho e do campo visual, ma* tu não vAsrealmente o Alho.E nao há coisa no campo visual que leve à eon-

elusflo de que ela é vista por um ôtbo.5.6331 O campo visual nao tem nomeadamente uma

forma como esta:

Ô L H Q -

5.631 Isto ae liga a que nenhuma parte de nossa experiência A a priori.

Tudo o que vemos poderia ser diferente.Tudo o que podemos em geral descrever poderia

ser diferente.

Nfto há o pricri uma ordem das coisas.5.64 Por aqui se vA que o solipsismo, levado ás últi

ma» conseqüências, coincide com o realismo puro.O eu do solipsismo redui-se a um ponto sem extensão, a realidade permanecendo coordenada a Ale.

5.641 Tem, portanto, sentido real falar-se, na filosofia,do eu de um ponto de vista nlo-psicologko.

O eu penetra na filosofia porque o "mundo A

meu mundo".O eu filosófico nao A o homem, nem o corpohumano, nem a alma humana de que se ocupa apsicologia, mas o sujeito metafísico, o limite — naosendo pois parte do mundo.

• A forma geral da função de verdade A

[p.«.W(Í)l

Esta A a forma geral da proposição.6.001 Isto nada mais d it do que: cada proposiçãoresulta da aplicação sucessiva da operação rV(()sobre as proposições elementares.

113



6.002 Dada a forma geral de como construir umaproposição, com isto já está dada a forma geralde como 6 possível gerar outra, por meio de uma

operação, partindo-se de uma proposição.8.01 A forma geral da operação 0/(5) i pois:

Esta é a forma maia geral da transposição deuma proposição para outra.

6.02 Chegamos assim aos números. Defino:z - Q"x De/, e

ffü-x - Q - " ' * Def.Segundo eaaa regra de signos, escrevemos poisa aérie:

x, G'x, ífífx, O W lcomo: ffx, 0>*"x, O**'*"*, O*»1*1*!'», . . .

E m vei de "{x, (, ttff' escrevo, portanto.u[Vx, O"*, Q"*"x)".

E defino:0 + 1 - 1 Dof.0 + 1 + 1 - 2 Def.0 + 1 + 1 + 1 - 3 Def.(e assim por diante)

6.021 0 número e o expoente de uma operação.6.022 O conceito de número nada mais i do que é

comum a todos os números, a forma geral do número.O conceito número c a variável número.E o conceito da igualdade entre os números é

a forma geral de todas as igualdades especiais entreos números.

6.03 A forma geral dos números inteiros é: [0, {,{+*).

6.031 A teoria das classes 6 inteiramente supérfluapan a matemática.

Isto está ligado a que a universalidade de queprecisamos na matemática nfto é a acidental.

6.1 Aa proposições da lógica s&o tautologias

tu



6 11 As proposições da lógica, portanto, nio diicmnada. (SiO aa proposições analíticas.)

6.111 SiO sempre falsas as teorias qoe faiem uma

proposiçio da lógica aparecer com conteúdo. Poder-se-ia, por exemplo, acreditar que as palavras "verdadeiro" e "falso" designassem duas propriedadesentre outras, de sort« que pareceria am fato extraordinário que cada proposição possuía se uma dessaspropriedades. Isto nio parece, de modo algum,evidente; é t io pouco evidente oomo, por exemplo,o é a proposição "Todas as rosas sio ou amarelasou vermelhas", ainda que fosse verdadeira. Essa

propoaiçio toma, com efeito, o caráter de uma proposição das ciências naturais e isto é ""*•""• segurode que foi falsamente concebida.

6.112 A explicação correta das proposições lógicasdeve conferir-lhe uma posição peculiar entre todasaa proposições.

6.113 É marca caractcristica e particular daa proposições lógicas que se possa conhecer apenas pelo

símbolo quando SiO verdadeiras, e este fato contémem ai toda a filosofia da lógica. Assim, 6 um dosfatos mais importantes que a verdade ou a falsidade das proposições nio-lógicas não i conhecidaunicamente na proposiçio.

6.12 AR proposições da lógica sio tautologuu; istomoura as propriedades (lógicas) formais da linguagem,do mundo.

Sua s par tes constituintes, ao se vincularem OVSMmaneira, produsem uma tautologia, e isto caracteriiaa lógica de suas partes constituintes.

As proposições devem possuir determinadas propriedades de estrutura a fim de que, vinculadas deum determinado modo, produzam uma tautologia.Se produiem uma tautologia ligando-se dessa maneira, isto mostra que possuem tais propriedadesde estrutura.

6.1201 Por exemplo: a proposiçio " p " e a "—p" naconexio " " - (p . " -p ) " produzem uma tautologia, oque mostra que se contraditem entre S L As propo-.

m



rfçfc» " P D í". " p " 8 V . K g" * " entre ri na forma"(j> D e) . (p) : 3 : (9)", produiem uma tautologia.o : - i : mcctra que q se ssjgue de p e p D ç- Que"(x) . £ : D : / a " seja uma tautologia, mostra quefa se segue de (x) . /x , etc, etc.

6.1202 Ê claro que. em ves da tautologia, é posareiempresar a contradição para os meamos fios.

6.1203 Para reconhecer uma tautologia como tal, DOScasos em que na tautologia ato aparece qualquerilfigimr Uri da generalidade, é possível utihsar oseguinte método intuitivo: em vez de "p","f",•V. etc, escrevo "VpF", "VqF", "VrF', etc Ascombinações de verdade sao expressas por chaves:

<£U \

t a coordenação da verdade ou da falsidade da proposição total e as combinações de verdade dos argumentos de verdade, por meio de traços, do modoseguinte:

_ 10 representaria, por exemplo, a proposição"p 3 í"- Vou verificar, por exemplo, se a proposi-çÃo -~{p-~~p) (lei da contradição) ( uma tautologia.A forma " — ( " será escrita em nossa notação:

\•T115



A forma " ( . , " :

De modo que a proposição —(p.—oj será:

Em lugar de "q" coloquemos "p" e examinemos aconexão do? V o P mais exteriores com os maisinterior»; logo verificamos que » verdade da proposição total coordeaa-pe com tõda> as combinaçõesde verdade de seus argumentos, enquanto que tuafalsidade, com nenhuma das combinações de verdade.

6.121 As proposições da lógica demonstram as propriedades lógicas das proposições, pois se ligam emproposições que n&o dizem nada.

Ê possível chamar a esse método de método-nulo. Na proposição lógica as propoeieGea slo levadas a se equilibrarem mutuamente, de modo quea situação de equilíbrio indica como taii proposiçõesdevem ser constituída» de um ponto de vista lógico.

6.122 Donde resulta ser possível viver sem aa propo-riçoM lógicas, já que podemos reconhecer, graças àmera inspeção dessas proposições, suas propriedadesformais numa notação correspondente.



6.1231 Se, por exemplo, duas proposições "p" e "q"geram, D * conexio p 3 q, uma tautologia. ê claroentão que • se segue de p.

Que, por exemplo, "q" segue-se de "p D í • p " ivemos graças ao exame de ambas as propo^çeo..mas podemos moslrá-lo ligando-aa em " p D f . p O : jf"e mostrando que esta última forma uma tautologia.

6.1222 IH O ilumina a questão: porque as proposiçOealógicas nao podem ser confirmadas pela experiêncianem refutadas por ela. Nao só uma proposição dalógica nao pode ser refutada por uma experiênciapossível, mas também nao ha de ser confirmadapor ela.

6.1223 E assim se toma claro porque muilaisentimos como se as "verdades lógicas" fossem poi-raíudas por nos; podemos com efeito postulá-lasenquanto podemos postular uma nota cio —«*•*•-tória.

6.1224 Agora se torna claro porque a lógica foi cha

mada teoria das formas e das inferêoeias.6.123 £ claro que as leis lógicas nao devem elas pró

prias depender de outras leis lógicas.(Nao hi como Russell imaginou, para cada

: /pe uma certa lei da contradição, mas basta uma,desde que nfto se aplique a si mesma.)

6.1231 O sintoma da proposição lógica não é a validade

universal.Ser universal quer dizer apenas: valer paratodas as coisas de modo acidental. Uma proposiçãonao universalixada pode ser tautologia tanto comouma proposição universaliiada.

6.1232 A validade lógica universal pode ser chamadaessencial, em oposição àquela acidental, como a daproposição: "Todos os homens sao mortais". Pro

posições como o aròm o/ rtdueibüity de Russellnfto sfto proposições lógicas, o que esclarece nossosentimento de que, quaudo verdadeiras, só o podemser graças a um acaso favorável.



6.1233 É plausível pensar um mundo em que nlovalha o asiom of redvdbüily; de sorte qu* se tornaclaro que a lógica nada tem a ver com a questão de

nosso mundo ser realmente a-sim ou nlo.6.124 Aa proposições lógicas descrevem oe andaimesdo mundo, ou melhor, os representam. Nlo " t ra tam"de nada- Pressupõem que oi nomes possuam deoo-taçio e as proposições elementares, sentido. E talé sua vincularia com o mundo. Ê daro que issodeve indicar alguma coisa a respeito do mundo,qu* certas vineulaçoes de símbolos — que essencialmente possuem um caráter determinado — sio

tautologias. E aqui está o que é lecisn Dissemosque, nos símbolos que usamos, muito era arbitrário,muito nao o era. E na lógica apenas isso se exprime;o que quer dizer que na lógica nos nao exprimimos oque queremos com a ajuda de signos, mas que anatureza dos signos naturalmente necessários, ua lógica, asserta-se a si própria. Ao conhecermos asintaxe lógica de uma linguagem simbólica qualquer,já estão dadas todas as proposições da lógica.

6.125 Ê possível, e isto também de acordo com avelha concepção da lógica, dar previamente umadescrição de todas as proposições lógicas "verdadeiras".

6.1251 Nunca poderá haver, pois, surpresas DA lógica.

6.126 Ê possível calcular se uma proposição pertenceà lógica calculando as propriedades lógicas do

símoofo.E é o que fazemos ao "provar" uma proposiçãológica. Porquanto, sem nos preocuparmos com osentido e a denotaçáo, formamos a proposição lógicaa partir de outras meramente segundo as rcyra* do»

A prova das proposições lógicas consiste emfasermos oom que sejam geradas a partir de outras

proposições lógicas graças à aplicação sucessiva decertas operações, que das primeiras tautologiasreprodusem outras. (E, com efeito, de uma tau to-logia tegvem-te apenas tautologias.)

118



Este modo de mostrar que suas proposiçõessfto tautologias é, sem dúvida, para a lógica, inteiramente ineesencial. Exatamente porque a* proposições de que parle a prova já devem mostrar, semprova, que são tautologias.

8.1261 Na lógica, processo e resultado sfto equivalentes.(Por uso nfto há nenhuma surpresa-)

6.1262 A prova na lógica é apenas um expediente mecânico para facilitar o reconhecimento da tautologiaonde ela é complicada.

6.1263 Seria, pois, extraordinário poder provar Uçita-mtnlt uma proposição significativa a partir de outra,e ainda uma proposição lógica. E claro desde logoque a prova lógica de uma proposição ngnifkatirae a prova na lógica devem ser coisas inteiramentediferentes.

6.1264 A proposiçio significativa aaserta algo e suaprova mostra que é assim; na lógica caia proposição está sob a forma de uma prova.

Cada proposição da lógica é um medu pontnarepresentado num signo. (E nfto é possível exprimiro modus ponme por meio de uma proposição.)

6.1265 Sempre se pode conceber a lógica de tal modoque cada proposição seja sua própria prova.

6.127 Todas as proposições da lógica aio eqüiponde-rantes, nfto existem entre elas princípios essenciais

e proposições derivadas.Cada tautologia. ela própria, mostra que ê* umatautologia.

6.1271 E claro que o núm ero dos princípios lógicos éarbitrário, pois se poderia derivar a lógica de umúnico principio, por exemplo, formando meramenteo produto lógico dos princípios de Frege. (Fregetalres dissesse que esses princípios nfto seriam maistransparentes d*j modo imediato. Seria extraordinário, porem, que um pensador tio exato comoFrege tomasse, como critério de uma proposiçãológica, seu grau de transparência.)

119



6.13 A lógica nfio é teoria, ma* figuração especulardo mundo.

A lógica * transcendental.

6.2 A matemática 6 um método lógico.As proposições dn matemática alo equações e.portanto, pseudoproposiçoee.

6.21 A proposição da matemática náo exprime pensamentos.

6.211 Na vida, nfio é da proposição matemática queprecisamos, usamo-la apma* para inferir, de proposições que náo pertencem à matemática, outras queigualmente náo pertencem a ela.

(Na filosofia, a questão "para que precisamosefetivamente de tal palavra ou de tal proposição"sempre condiu a valiosas visualizações.)

6.22 A lógica do mundo que as proposições lógicasmostram nas tautologias, a matemática a mostranas equações.

6.23 Se duas expressões estiverem ligadas pelo signode igualdade, iãto quer diter que sào mutuamente•ubstitulveis. Quando, porém, isto vier a ocorrer,deve mostrar-se nas próprias expressoea.

Caracterúa a forma lógica de duas expressõesserem mutuamente substituirei*.

6.231 Ê propriedade da afirmação poder ser concebida como dupla negação-

Ê propriedade de " 1 + 1 + 1 + 1" poder serconcebida como "(1 + 1) + (1 + 1>".

6.232 Frege dia que ambas as expressões tém a mesmadenotaçao mas sentido diverso.

Ê essencial para a equação, entretanto, ela náoser necessária para mostrar que ambas as expressões,''f^fif pelo signo de igualdade, possuam a mesmadenotaçao, pois isto se vê a partir de ambas asexpressões.

6.2321 E que as proposições da matemática possam serprovadas, nada mais quer diser que soa eorreçáoi reconhecida aem precisar comparar o que das ex-

1M



primem com os fatos , do ponto de vis ta de suacorreção.

6.2322 Nio se afirma a ident idade da denotaçao de

duas expressões, pois. para poder afirmar algo arespei to de sua denotarão, devo conhecer essa denotaçao e, ao conhece-la, j á aeí se denota a mesmacoisa ou algo diferente.

6.2323 A equação revela apenas o ponto de vista doqual considero ambas as expressou, a saber , o pontode vista da igualdade de sua denotaçao.

6.233 À perg unta se é preciso a intuição para resolver

problemas matemáticos deve ser respondida considerando que a própria linguagem fornece a intuiçãonecessária.

6.2331 O processo de calcular fai intervir precisamenteessa intuição.

0 cálculo ná o é expe rimen to.

6.234 A m atem át ica é um método da lógica.

6.2341 0 que * essencial para o método matemático êt ra ba lha r com equações. E desse método dependepar t i cu larmente que cada proposição da m a tem á t ica deve ser compreendida de per si .

6.24 O método pelo qual a matemática chega àsequações é o da subs t i t u i ção .

Porquan to a equação exprime o cará ter subst i -tutivo das duas expressões, de sorts que passamos

de um número de equações para uma nova equação ,subs t i tu indo expressões por outras, de acordo comas equações.

6.241 É de sta m ane ira então que se desdobra a provade 2 X 2 - 4

<íl')"'x - QWxDef .Q M ' r - (0*}a'x - <0»)'*"i - t i*OPz -

6.3 A investigação d a lógica denota a investigaçãode lâda a legalidade. Fora dela tudo é acidente .

121



6.31 A assim chamada lei da indução nio pode. emcaso a lgum, ser uma lei lógica, poia é* paten tementeu m a proposição significativa. — De sorte que nem

mesmo pode ser uma lei a priori.6.32 A lei da causal idade nao 4 lei mas forma deuma lei.

6 .321 "L ei de cau sal ida de" é um nome genérico. Eassim como disemoe, na mecânica, que existem leismínimas — por exemplo, a de ação menor — existemna física leis de causal idade, leis da forma da causal idade.

6.3211 J* se teve, com efei to, um pressentimento deque era preciso uma "lei de ação m ín im a" an t e sde se saber exatamente o que reaava. (Aqui comosempre , o que é cer to a priori ae revela como algopuramente lógico. )

6.33 N i o acreditamos a priori numa ir . da conservação, mas rcnhfcemot a priori a possibilidade deuma forma lógica.

6.34 Todas aquelas proposições, como o principio d eraaao suficiente, o de continuidade na na torexa , odo mínimo esforço na na tureaa , e t c . , e t c . todas atovisualiaaçoea a priori a respeito da possibilidade deenfonnar proposições d a ciência.

6.341 A mecânica newtoniana, por exemplo, conduia descrição do universo a uma forma unificada.Tomemos uma superfície branca e sobre ela manebaspretas i rregulares. DUemos e n t ã o : seja qual f6ra figuração que faço. sempre posso aproximar-mequanto quiser de sua descrição, se cubro a superfície com uma rede quadr icu lada sufidentementefina de modo a poder diaer de cada quadrado seé branco ou preto. Conduzi dessa maneira a descrição d a superfície a um a forma unificada. Es saforma é qualquer, pois teria empregado com o mesmosucesso uma rede feita em triângulo? ou em hexá-gonos. E possível qu e a descrição com auxilio de

uma rede em triângulos fosse mais simples, isto ê,com uma grossa rede em triângulos poderíamos terobt ido uma descrição mais precisa das mancha» d o

122



que cota outra toais fina e quadriculada (ou vice-versa), e amim por diante. Às diversas redes correspondem diversos sistemas de descrever o mundo.A mecânica detcrmiDB uma forma de descrição domundo, pois d i i : todas as proposições da descriçãodo mundo devem ser obtidas de um número deproposições dadas — os axiomae mecânicos — segundo um modo dado. Com isto prove as pedraspara a construção do edifício cientifico, discado:sejam quais forem os edifícios que pretenda* levantar, deves construi-los com estas e apenas estaspedras.

(Assim como se escreve qualquer número como sistema numérico, com o sistema da mecânicadeve-se poder escrever qualquer proposição dafísica.)

6.342 Vemos assim a posição oposta da lógica e damecânica. (Poder-*e-ia também faier a rede composta de figuras diversas, como de triângulos e aexa-gonos.) Que uma figuração como a mencionadaacima seja descrita por uma rede de uma formadada, nfto asserta nada a respeito da figuração.(Porquanto isso vale para cada figuração dessaespécie.) Caracterisa. porém, a figuração poder sercomputamente descrita por uma determinada redede determinada finura.

Do mesmo modo, nada asserta a respeito domundo poder ser descrito pela mecânica newto-niana; aaserta, entretanto, poder ser descrito por

ela lal como precisamente vem a ser. Também disalgo a respeito do mundo poder ser descrito, poruma mecânica, de maneira mais simples do que poroutra.

6.343 A mecânica é uma tentativa de construir, conforme um plano único, todas as proposições terdo-deira» que precisamos para a descrição do mondo.

6.3431 Através de todo o aparato lógico, as leis físicasainda falam de objetos do mundo.

6.3432 Nâo devemos nos esquecer de que s descriçãodo mundo feita pela mecânica é sempre inteira-

1*3



mente geral . Nunca t ra ta , por exemplo, de umponto mater ia l determinado, m a- unicamente de qualquer um .

í>-1.» Embora as manchas em nossa figuração sejamfiguras geométricas, a geometria evidentemente n a d atem a dixer nobre sua forma efetiva e sobre suacondição. A rede, porém, é puramente geométr ica ,todas as suas propriedades podem ser dadas a priori.

Leis como o principio de rsifto suficiente, etc-,t r a t am da rede, nfto, porém, do que ela descreve.

6.36 Se houvesse uma lei da causalidade, «ria do

seguinte teo r : " há le is natur a is" .N o e n t a n t o , obviamente isto nfto se pode dizer:

mostra-se .

6.361 Segundo as expressões d e H e r U , poder-se-iadtier: apenas as conexões cm conformidade com alei Mí 11 pensdaeis.

6.3611 Nfto pod em os co m par ar ne nh um processo como "dec u r so do t empo" (esse decurso nfto existe),apenas com outro processo — em particular, como andar de um cronometro .

Por isso a descriefio do curso temporal só 6possível porque nos apoiamos em outro processo.

Ê análogo o que acontece com o espaço. Q u a n d ose diz, por exemplo, que nenhum de dois acontecimentos (mutuamente exclusivos) tem lugar, porquenfto há nenhuma causa que leve um a reaütar-ee

ao invés do outro, na realidade trata-se apenas daimpossibil idade de descrever um dentre os doisacontecimentos quando nfto há uma assimetria qualquer. Desde que haja ta l assimetria, podemos t o m á -la como cauta d o vir-a-eer de um e do nfto vir a serdo ou t ro .

6.36111 0 problema kantíano da mfto direi ta e da mftoesquerda que nfto se cobrem já surge no plano e

a t é mesmo num espaço unidimensional , onde duasfiguras congruentes a e b nfto se cobrem a nfto serque ae movam fora desse espaço. A mfto esquerdae a direita s&o de fato perfei tamente congrueates.

124



E nada tem a ver com isso a impossibilidade defazer com que se cubram.

Seria possível vestir a luva direita mesquerda se a girássemos num espaço qusdridimen-sional.

6.362 O que pode ser descrito pode acontecer e oque a lei da causalidade há de excluir nao podewr descrito.

O processo da indução consiste em aceitar alei n u m nmpUt qu e possa estar conforme com nossaexperiência.

6.3631 Este processo todavia nfto tem fundamentológico, mas apenas psicológico.

£ elaro que nâo há raiio alguma para acreditarque o caso mais simples realmente ocorrerá.

6.3&3U Que o sol se levante amanha, é uma hipótese.t isto quer diier: n4o «aormos se se levantará.6.37 Nao há obrigac&o para algo acontecer depois

de alguma coisa ter acontecido. Nao há necessidade que D&O seja tópica.

6.371 Na base de toda moderna visio do mundo estáa Uusao de que as assim cham adas leis naturais sejamesclarecimentos a propósito dos fenômenos naturais.

6.372 Colocam-se assim diante das leis naturais comodiante de algo intangível, como os antigos diantede Deus e do destino.

E ambos Um e nilo tem raxao. Os antigos,entretanto, eram tanto mais claros quanto maisreconheciam um elaro término, enquanto os novo*sistemas devem parece-Io quando tudo estiver explicado.

0 mundo independe de minha vontade.6-374 Se acontecesse tudo o que desejássemos, lato

seria, por assim diser, uma graça do destino, já



que D&O há vinculaçáo lóçica entre vontade e mundo;e. supo sta uma vinculaçio ffàca, nio podemos querè-U d e n ovo .

6.375 H a v e n d o sômenle uma necessidade Uçüa, adhá uma impossibilidade lóçica.

6.3751 Que. por exemplo, duas cores estejam concomi-tan temente no mesmo lugar do campo visual éimpossível, e por certo logicamente imposaiveJ, porquanto is to se exclui cm vir tude da estrutura lógicad a cor.

Consideremos como essa contradição se representa na física. Aproximadamente do seguinte modo:uma par t ícula nio pode ao mesmo tempo possuirduas velocidades; quer dizer que ela nio pode estarconcomitantemente cm dois lugares, o que significaque par t ículas , que eslio em diferentes lugares nummesmo tempo, D&O podem ser idênticas.

(É claro que o produto lógico de duas proposições elementares nio pode ser nem uma lautologianem uma contradição. A asserç&o de que um pontodo campo visual tem, ao mesmo tempo, duas coresdiferentes é uma contradição.)

6.4 Todas as proposições tem igual valor.

6.41 0 sentido do mundo deve estar fora de le . N omundo tudo é como é e acontece como acontece:ntle nio ha valor — e se houvesse, o valor nao teria

valor .Se houver um valor que tenha valor , então

deve permanecer fora de todos os acontecimentos edo ser-peculiar, pois todos os acontecimentos e oser-peculiar aio ocidentais.

0 que o fax nao-aeidental nao pode estar nomundo pois, no caso contrário, isto seria de novoacidental .

Deve es tar fora do mundo.

$.42 Por isso nao pode haver proposições da ét ica.Proposições nao podem expr imir nada a lém.

126



6.421 É claro que a ética nao se deixa exprimir.A ética é transcendental.

{Ética e eclética sáo um só.)6.422 O primeiro pensamento para estabelecer umalei ética da forma "tu d e v e s . . . " consiste em: Eo que se daria se eu afio fizesse isso? No entanto ,é claro que a ética nada tem a ver com castigo erecompensa no sentido comum. Essa queatfto a res»peito das comeqüincias de uma acao deve ser insignificante. — No mínimo casas conseqüências nao serãoacontecimentos. Algo, porém, deve estar correto na

ei'!'>c:içào da questão. Por certo deve existir umaespécie de recompensa ética e de castigo ético quedevem, todavia, eatar na própria ação.

(Mas também é claro que a recompensa deveter algo agradável, o castigo, algo desagradável.)

6.423 N o que respeita à vontade como portador doque é ético, nada pode ser dito.

A vontade como fenômeno apenas interessa àpsicologia.

6.43 Se querer o bem ou querer o mal muda o mundo,isto ao poderá mudar os limites do mundo, nunca osfatos; nunca o que pode ser expresso pela linguagem.

Em íii m.'i, por isso o mundo deve em geraltornar-se ou tro. Deve, por assim diaer, crescer oudiminuir como um todo.

0 mundo dos felizes é diferente do mondo dosinfeliies.

6.431 Também como na morte, o mundo nao se alteramas acaba.

6.4311 A morte náo é acontecimento da vida. Nao sevive a morte.

Se por eternidade nao se entender a duraçãoinfinita do tempo mas a atemporalidade, vive eternamente quem vive no presente.

Nossa vida está privada de fim como nossocampo visual, de limite.

137



6.4312 A imortalidade temporal da alma humana, asaber, MU continuar a viver eternamente aindadepola da morte, náo está de maneira alguma asse

gurada ; além do maia. essa assunção nao cumprenada do que sempre se quis lograr com ela. Algumenigma será resolvido por ter eu continuado a vivereternamente? Nao é a vida eterna tio enigmáticacomo a presente? A soluç&o do enigma da vida noespaço • no tempo reside /ora do espaço e do tempo.

(Nao sâo problemas de ciência natural a seremresolvidos.)

6.432 Como é o mundo 6 perfeitamente indiferentepara o que está além. Deus náo se manifesta nomundo.

6.4321 Os fatos fasem todos parte da tarefa mas náoda solução.

6.44 0 que é místico náo é como o mundo é masÇtu éle seja.

6.45 A intuição do mundo tvb ipecie aeterni é aintuição dele como um todo limitado.

É místico o sentimento do mundo como umtodo limitado.

6.5 Para uma resposta inexprimiveJ ê inexprimlvela pergunta,

0 enigma nao existe.Se uma questão pode ser colocada, poderá tam

bém ser respondida.6-51 0 ceptieismo nao é irrefutável mas patentemente absurdo, quando pretende duvidar onde nlocabe perguntar.

A dúvida, pois, só existe onde existe uma questão, uma queatáo apenas onde existe uma resposta,e esta somente onde algo pode ter düo.

6.52 Sentimos que, mesmo que tâdas a» posvums

questOes cientificas fossem respondidas, nossos problemas vitais náo teriam sido tocados. Sem dúvida,náo cabe maia pergunta alguma, e esta é precisamente a resposta.

13$



6.521 Observa-ee a solução do* problemas da vida aodesaparecimento desses problemas.

(Eala nao A a rai&o por que os homens, paraos quais o sentido da vida ae tomou claro depoisde um longo duvidar, nao podem mais diaer emque consiste esse sentido f)

6-522 Existe com certeza o iodulvel. Isto se mostra,6 o que é místico.

6.53 O método correto em filosofia seria propriamente: nada diier a nao ser o que pode ser dito,isto ó. proposições das ciências naturais — algo,portanto, que nada tem a haver com a filosofia; e«empre que alguém quisesse dizer algo a respeitoda metafísica, demonstrar-lhe que nao conferiu deoo-Ucao a certos signos de suas proposições. Par*outrem esse método não seria satisfatório — Cienao teria o sentimento de que lhe estaríamos ensinando filosofia — mas seria o único método estritamente correto.

6-'3 Minhas proposições se elucidam do seguintemodo: quem me entende, por fim as reconhecerá

absurdas, quando graças a elas — por elas —escalado para além delas. (É preciso por assim

d^.:r i-jir fora a escada depois di> (cr -.:<::•. jfaOf

Deve-se vencer essas proposições para ver omundo corretamente.

0 quo nao se pode falar, deve-se calar.

129



N O T A S A TRADUÇÀOO

— Convém observar que * formulação do Miam» de B»o«i(todai propoaico** 4 matetnalicameal* ínaificienta: náo a p u r a , por eranpao,• prif*s£o 2001, CUJO wntidci DO C U í M W ae apiwoie llnJanile petocortarão.

> — ; > • - : . de coieai: &*Wfciíí, eUmolcceamoBte "«orno aaonãeae •» comportam loiro ai" ( d . InlroduçAo, p- 30). TWemo» o midado

ii -\ wntolUn por "eald em rclaçio". vinculando áfmr modoao verbo eatar. R V U E L L imU car * dê WrrTOcmrna a ratpeito

d» dtfenoça entre «atado de eoira • filo ( f W M o W ) . A4 • «njinale; "SatMakaU i o que corresponde à prapoaínloquando verdadeira. TalioAe, o que componde ao produto lAfiru depropoetooee elementara* quando feee produto é verdadeiro. A ruão pelaqual a t n d u n Talaadu anle* de ínlroduiir Safawaa-t o>riia~dana umalocai q pü ca ca o" (Sota/Ira, I, p. 27S). BMeado oeaaa informação. R r a a a u .— no prefacio d a &!>•;&<• IngleM (p. V): "OR fato* qna ato ato com-poMoe da outroa lato* ( o que o 8r. WiTrorsojraw chame SooW rraoft.aoqo*£io que o lato ooaatituldo por doía ou maâ f a t o , é cbamador e b a o U . A a s m , po( exemplo, 'SdcraUe « a»W é a W M * tambémrateara*, enquanto 'Soeralee 6 eibto e PlaUo I o » t e u • h a o ' ê TaOafA»ma> alo flbefcpAeVa Baila, porfni, confrontar a prnpraãplo 5-&571

para M B conieocermoa da f&tádade d a interpretação d e R c e a t u . £de notar que o problema doe elemento* àmpke da reabdad* eatd aatreila-m e s t * fitado ao problema da* proponeflea •Uemitntama. devendo, por-taeto, eer ooloeada juatamenM com a propoaípto Mfc

2.0121 (3) — M eram eote-poavrrel: W ^ " * . neolcapeoo queaerve para indicar que a noção de poaeibibdade, em W r r r ox sa r a » , aloae oucfimde m n a poaobibdade dmreneilfaeda doa lato*.

102SI — Coloridade: Fórbigktii, indicando qoe ato ae trata aimplea-mecte da cor, maa da possibilidade de OI objetos — colorido*.

n A NaHHH **e a«aa aiajH a awB*n**o de T>*»»«".

131



206 — Realidade: t r ir M u t lt * . a língua ak-ma possai R-liw eWtrtàitkteil, rala última palavra indicancVi • realidade e f n i t » . O 000 a

M a to. BO entanto, b u u para Indicar que sentido Wtmu xmiH <M alat* Urmo. d* modo que não foi preciso carregar a trsdoçao com doa

para um diúco significado.Z l — Figuração: BÜd, spmnr do caráter atiro dt "ígu r a çi o" ,

te na Büd, preferimos (na palavra ao invés do termo neutroModo «n viWa ter ela a única capai de indicar todos oe m a

njei do texto skmAo.

3 3 * (3> — O mesmo prefixo ur foi traduzido dilsr—l—É emt'rWd (proteTifuracao) e UruicÀtn («ano primitivo), e a iam fomoe levados porque uma protofiguraolo é uma parte de um feto que, 10010110

IO ter completado, adquire uma função figurativa, eciquaalo o signo pri-mjliiu * um signo completa, que serve de ponto de partida para a oooa-traçao do edifício simbólico.

2.261 — A tradução freqüente deaen itter é "por meio de" (a tra-doçao mgWaa em prega a palavra latina rio). A dotam os a trartaçao "poraflore", para nos manter fiel a um texto que dii nn-n—imrl» que a*defctçóe* apenas mostram o caminho cujo alcance vai alem doe membrosda expressão definidora. Convém lembrar qoe um a proposição elementar

4 constituída de nomes designando objetos, ligado* una aos ostros cornoelos de uma cadeia. Essa possibilidade de vincularão, rnscrita aa próprianslureu do objeto, fai com que o nome nlo doigne um elemento auto-n on o, maa um elemento que M comporta como um ponto sempre prestess s e r r a i r s i r i f . r o . Desse m od o, oe objetos designados peles nomes poeeuem• m u estrutura que a função propcsúckmal no nlvd da linguagem;na profWçao / o , / e o elo igualmente incompletos. Ê por isso que oe

1 d a expressão dafinidora designam alem de suas partes «presentes,-ciai, na ctraignaçao, a necessidade de o «ImbJo vincular-s* a

e que t •ãtematicament* ocultado pelo processo de notaçio.

*W3 — & preciso ter sempre presente que "sbsardo" (weíutp)está alem de toda figuração ruwfvel. Ê absurda, poro, a proposição qued j respeito à estrutura interna da própria figuração ou i nalursia do efalo* como leis, porquanto a figuração afigura a moaira de os objr'.>jsformanm os fatos, nunca revelando sua dimensão oototogica- E, porem,desproTÍda de sentido (•inafe*) toda proposição que, feirado parte do

•:»ii de afigurar na medida em que nao estabelece ca limites

a constituição do sentido ( d . « .461) .41X01 — M «urH N i:ii, Frili (18*9-1023), orfTioo e fsUeofo alemão

que trabauoa particulannenM na filosofia da Issssssssj sob esrlo*

132

http://sserrairsirif.ro/

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u peaaamento >e aprarima do loridamo de R n e t u . n u «nacritica d» tbujiiacem •* onínl» no sentido d« prÍTÍlef ar a dimiailo *tl*>lica 4 A palavra « a detrimento da diraeruiào propriamente rpBtrojcalfiea-

4 0 2 3 Í3) — E 4ii .;-.« Lslo eiíd aatím: "Cod et loji. da» « Mb «v cr hi l t ' . asa eiptmto liga-»* megivcLmtnle à forma pral da propo-»;lo " E J verhált aích «O and ao" (d. 4.5,' , que Ireduibnoe por "ano «ládo w^oinie modo".

Dcremoe notar a referencia k lútuaçào, ao conjunto de eatadoe decoíaaa, tasto no aentodo da exprna&o como no emprego do rabo ncfc

1.0311 — Etla 4 a dnlca cxa-ÍSo era que Büd ato pode aar tradu-itda pee H—fjfc pob ••**' * indicar um quadro larmado pttf [icuajvrraa, nprutntudo uma cena.

l i — Cf. H u n , TKt Principia of í f e A a » " . . I xad. d e D . E>JO O M e J . T . W aDer. Lorukw. N ova York. 1809. A filiação da eartaaI M M 4a Wmoa)a«,T>i9( provenientes do (bifo Ileni foi catoded» porJamce G a i r r i a , H~i2Iornr-*<iVa Logiaú Alomii, Oxlord Unrraáty Pr o a ,pp . 95 f ara> Ht a n de falo coneidera a flaboraçto de ursa teoria Beiçamano a cooetruç&o de um modelo da realidade que lenha coen ela alapem rneaiom . amboa polindo a mnrna multiplicidadf o manao clmero

de ox-rderiartaa4 4 6 6 - Coda urúio arbdrárü,: "j*h bfcafcpt V e r b - d o a « " . O

Prol. Andret R. Raooro aoe lembrou que "Jede beliebtte" * uma earprcaato'(req)«.t*c*nte awda na linguagem matemática para iodioar -:n qualquer"; e de [ato, a dãrUibulividade do cada oooteriria ia Hnm imíe-iarbitrárias uma forma lógica que parece incompatível com o aaamaal d oU i l o , em particular com o que wgue no parágrafo p**terior. No r e f u t o .para oao evitar outra* interpretaçora povdreB. proferimoe tradjii jadepor oada e eacrera eata nota.

52531 — N a DoUçto de FacOE, | indica uma variarei era g*ral

SASS — O axioms da infinidade de Rrat.ix formula-w da «eguimemaneira: ae a for um ndmero eardinal indutivo qualquer, eiBie ao menoaema dá-a* de indirlduos que tem n elemento*. Numero cardmal indutivo á • adaaero cardíoal visto da óptica de aua geração a pariu* de certoa• ijieaat. dentre oa quaia está o principio de indução firula (ae uma propriedade p pertence a lero e, perUDOFDdo a a fAr poa-dvel demoeatnr queperfans a »+ l . então p pertença a todoe oa numeras), praadpn cuia

fuaçáo 4 garantir que, para todo o conjunto de num eren. •_— núm ero eaeu aueeior possam, poaauir certas propriedades em comum. Stapoobaraoaum aairerM de «pena* 9 ÍndÍTfduoa; como um DÚmero nfto poda ter maia

133



ir, o auoanot d« 0 aari* 10 , um» c i a * * O ú , qua por ia»igual «o auceator da 10, lambem uma daaaa raaia. Para

l>ir«it nii é que *urga o axioma da mfiiúdad*, tarar timio aelaams mrreapondealaa a rada ndmero a. lato pòato. o

nibrro <te objatoa do mundo Dfto c um número iaJulito (d. B u a a r u ,/amaWua fo l í o í A í maí l io / Pni/o*opAy, t»j> X I I ) .

?•;•?



GLOSSÁRIO

ebbíUn — àíipxivAWiUMf — afigan<*ooft*d«ffi» — ietwoQomo, ckçan-

4BfPMatAml — uoÍTcrutVUdr,

. l i í i n w U ^ i — I U í B I do argumento

O K / I H U I S — edbír

n » » ' f tin — *ountiar

Bntmt—< — <knot>(Aoh h M | * i — Mm r i m oUcf crl d w < f W Í — dreotativoBrfi/t — iraceiloRtçnffmfknf. — idVOfnfUBtgrlIfmaU — pakvrk-conittitoBfridi — •copoB M I M A M J — puta coMiiiuinwiwMtoi - ta bM Ú t

Büí - f i curaç io— f i pu »ÜTÍ d »d o

darUrílrn — rrprrwcluOinf — a/a»

f- fc a HÍK!.! tfao n r —

ff rir rtqunff — fraterno

r«ü (Ww da r d m - B qwMMM

. ' . • • L > - : . — : « - : u •

Peitem, — d-f .-.Vtardem — poMuluF/*Jtru*ç — portultdc

Oalanfci — peoMmeatDGrfiift — can*lruc*oOrpaulauf — objeto;":.'."V'i — n • • •' - -tfurfiitbU ilgfcri/ — coiíorrx~4*d*

k U(Waul* — cnnat

G J O C A J I I I — ní :iul>-

/Con/iíkfailon — coafifcraolo

UanalfíaUtektil — maltipticidftd*ilckmai — mini cv*ct« ri itM *

155



. V K M H ü — nio-propuocio

Okjttí - objetoO* — lugar

— falar

— •ária

— •ilusão.S*í*««Mü — «udo da ffliíwH«n — ilixerSm — proportcio

SdMnttmt — fãpM propoaícioüalSair i w GV—rf< — principio de

r u k tuíir*nU>&*—»«y — iparfnela• o U i w — inferir, ronduir

SikUm — tnfarfaci», coodualo— autônomo

- teBtido— vario d* «enlido— >ijrr;if :<ativo— str-peculiar— etpelhar

— poaipfto, locaJíiaçao

TaifVhe — fato

fmjanff.pró:** — hE^u^em ooc-

renl»(SnuCoad — ârraaataaáafnrfínf — dupar»'.*unHpbor — mdútrttl'"ii«" — absurdo [•)u n j i n n i ? — • b f j r d o

Vri*U — praua-tpnttoí/rtrli — julio

6'ri«kA«q — BíCDO prênlliTo

*r»oii« (ndt) —/alar tm ralação, ralar, relacionar M

io"jUndi« — oompletoronUIlm — prrweur

Z—ihm — «pioZeiehfupraekt — ( ' f a ç n i i r n -

bfiUca

mfallm — molvarawgtálm - deaneabrariilípro — dividirZu/alZ — aádenteZ U M wvnAanf — apartada, r o -

136



ÍNDICE REMISSIVQ

• propOM(Ora lóül" na o*"• i o , 4.4611

(üa***)t d e . 5.5303,5A351 12ei d e j o l « a r , 5.5432

A I í í M I I , n a Wtif» n a d a *. 2.012

A T I f u r a c A o . •Acra d o . 4 . 0 1 5 [HrU a M n : Forma d e a í i í u -raç*»

A f i r a a < i o . p<a«ui propriedadelãCK» d e . 6 . 23 1 ( I )

A l f a b e t e , prarém • l i , 4.16 <3)A l a u , SA431 (ter t a m b é m : S a -

je.toA r = i l * r _ d « < ( - . n o r:Ti'ir.'ij.i <J»

p a j i r » " p r o p r i e d e d e " « o a -t r a a , 4.123 ( 3 )

"AD«b«lo",propoeicío c o m p i l a ,4.033 i.2.i

Analiae d e p i o p o a l o S e a , 3 . 0 3 0 1 .M M , 3 . 2 5 , 4.231 ( 1 )A n d a à a e . U fcico. 3 . 12 (31.4.033

( « . 6 . 1 2 4

A p l i c a r * » , MaWatMdaCaãda, 5.2521 (1)eqÒTalBDte a " e a t a i » p o r

1 2 8 2 }

c n i í t o d e sai p e D a a m e n t o , 3 . 0 4

rcometrla é, 6.35 (1)_i a lui p A e a . põodpk» dralOtOMc o m o . 6 3 4

nenhuma p a r t a d a upcriéOòa*, 5.634

o da lúçira rooaiat* e m , 5.4731piínibilIdade d e nma f o r m a 16-

í ica c o m o . 6 . 3 3t e i a p r * •* revrla COSO alfO

p u r a m e n t e l o f k o , 6 3 2 1 1toda dndoeao « . 5 . 1 3 3

\ r i , i i u ' i i l i -

lugar e u n i r t r a a l i d a d e . 1.04U (3)u m a fiincio a t o p o d e ear M U

p r ó p r i o . 8 2 3 3 (11\ r g u n i c i i l i — de T c r d a d * . p c o-

poaipòc* rlemeetarea ato.501

c de du t i bt l i dade , 5 . 1 2 * ( 1 )n i o p o de dar c m ai « t i d o . 4.064

Axioroa d a r o f u U b i l t a a d e ,8 . 1 2 3 2 . 6 . 1 2 3 3

dai propriedade» Lftpcaa d oalmbo lo . 6-12» ( 1 )

D l o é u m c i p e r i m e c l o . 6.2331 (2)

C a m p o a b e r t a , d e& m d o, 4 .4 63

C a r á t e r p r ó p r i a .K. K O» • • • l e u «atn paiOouaw nlmim • asa ;*raar>lia.

! • > Isdtw lei ocaaBliaJa t-x A la> -Ik.»o knilMa. (labarado B —

\*U) R. Mmw Ma) BaM

337

http://xn--rguniciili-jl0x/





C — J M » lal de« D O lim ite do drarritival,4 forma de uma leí. 0.32. 0.331,

r-<i> hi neio cauaal,1 1 3 6 , 3.1301 (3)

Cea*kten>o, fl.51 (1)

como caao-Umite da probabilidade. 5.152 |3 .

da ecrdade uutolofsca. 4.404 (1)opoata 1 poaaibilMlade e impe»

•büidade. 4.464 (3)

Oenciae n a t a r a i .néo ladoem a flloaofla. 4111MD a totalidade dai piopcoiçAcn

letdadeiraa. 4.11C i a r e m : todo poda acr penaado

c dito claramente, 4.110teoria daa

~ua para a matemática,

6-OSl (1)(aer; Objeto»)" C —.a* ex o " . coaceito formal.

i :_•?-• :. s

•Obre. ato dW ilfvria.

por aua descrição. 3.24 (2:

• definição, 3 3 4 (41prtMpcad de. 5JM23 (l)fMprâtcOei que tratam d e . em

relacio interna com ai quetratam daa p artea eonatl-f a « i a , 3.34 (1)

de oomea. 4.243de pcopoaieoce. 4 0 2. 4.024de raxeoaçoea uaivaraaia. de-

prode da de propoaícflea ele-aaaotarw. 4.411dr arrdoimoa. 4.243de Iodai propoaicoM , depende

•li de propoãcoea eletaenta-raa, 4.411

Con«4to formal

PL.IT». ídála prialtara, 4.13721definido, 4.12« (1)

exemplos de. 4.1172 (7. 8)eipreaao por var i lnia , 4.126 ( $ .4.127

marcai caracterLatiiaa do, 4.120(6,7)

oposto a cooorHo autêntico,4.136 (3)

i,u<*toca aobre enartncia de,4.137

sempre dado cora e objeto como qual é aplicado, 4.13771

CoodieSee d e mrabclede proposições, e possibilidade

de verdade deeleroentarea, 441

exprimidas, 4.443 (4)grupos de. podem aer ordenados

am série, 4-44relação daa, cora aa pcaaibili-

dadea d e v - i í k > . 4-431 (1)simbolrimo para. 4-43

Confiaiiracao de obietoa, 2.0373.3.21

(ter também; Estralara)Conatantei eipreaaao «orno,

3-312 (S)

Constante-V léateafa)acenos um a delas, S.47 (4) ,

M ldcaaporeQmrnte de. 5.441

nada substituem, 4.0312 ( 2 |ulo há peohorna, 5. 4

C o nst r uç ã o , l ó pr a . 4 01 4 (2 ) .5.45. 5.5262

Contradição ser também: N e-taso-ümití da nato de signos,

4.466 (Odefinida. 4.4 6 (43é algo comum is proposições,

6.143nlo é figuração da realidade,4.463 (1)

Coordenada* loaáraa, determinam o lugar lôfiro, 3.41

133

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http://pl.xn--it-bb4i/



C o reetrmota loflca d*. 6.37&I (1>forca doa obj-fca, 2.0251

da t ie í lpní*^ d o á p a i m -pira e doe obirtoe. 3.21

• M objeto* • elemento* dafifwtfao, 213

I t n l u t l o . * a prwrí, .'..111IWuUbiatdade

• t—Iludo relativo. 5.14

- e-trwtw*, 5.13e Idtctadadr. 5.141e obrvdad*, 5.1303era Trltçto c-nn a* formai da*

rm ofi ço r* , iluatrada, 5.1311í l)

(U«ano dramembruRentc, 3 3 6

cimo regra para tradução, 3.3 43da ricaiio de etmbolõ* d» um« m p V i o , 3-24 (4)de "laCiar t o m p I c U " (da pro-

peaiolo', 3.201da -*F*íc*plo ancreáva",

52521 <»de "ca-apo aberto". 4.463de "reaeeilo formal", 4.126 (1)d* "ecattndicto'-. 4.46 (4)de "eatratara" (do ratado de

de -eiprtaM o". 3 31 ( I)de -ficoneto W»k*", 2.181d e l e r a * " . 2.033de formada aíiiur açto ''. 2.151de 'IcriBi de o m objeto*",

2 0 1 4 1de ImdamíBbai de verdade",

5101 (2)de 1oa;ar lógko". 3-*'de "ardida de probabilidade",

4-15de "secarão" (DO aentido deB*t*f*o «multanca) , 5.6 (2)

da "»aa»e", 3.302da - W - m - , 6.0 22 (2)

d* nFjrorrca, 6.02de "operaoto", 5.23de "oparaçata de verdade".

5.234de "poanbilkdadra de verdade".4 .3

de "pnaxeijOe Iodepradeal*»",5.152 ST

de "*4rie lormal", 4.1252 (1)de " a i n o " , 8-82de "aifno propoBctreal". 3.12de "aigno kimplra". 3 3 0 1de "NceaM r", 4.1253 (4Jda "Uutolraju", 4.46 (43de "traço". 4.1221da "rariircl

3.313 (3)a raouraoa d*

4 2 4 2regrai para, 5.451 (2)aigailicaçâo da , 4341 <3)

Uenotarlode «iiiwa primitivo*. 33*3d o nomea. 3 3

Dearricloda realidade por orna propoai-olo. *023 f2)

de eipreaa&ea, 3 3 3d* propoaicoea. 3 3 1 7 (2)de aituaoSr», 3.144de um e*t*4o de tnim a por ama

propoalçao. 4.023 (3)de om objbto, 4 . 0 a (4)do ci-iopleio, 3.24 CSdo iir.iY.-r»:;, 6 3 4 1

DcaerieSea, « i a t e m * d e . 6341D e a l a n a f l o . nHoio» da. 3323DeatlDo, e o* antiam «333 ( 1 )Dene, 6 .432. ê_JT2 (I)

IMaerpor propoagçboa, 4.022 (3)pcaeibilidad,. de não, o cor nio

peraw. 541 (4)

" Ê " , aentido de. 3.323 HKlLKÍdaSío doe

-oa,3.2C3



E q u ^ f e .c o m o «ipnmiodo o csrater

• a b W u i u v o . 6 . 2 4 ( 2 )a t o 4 o e w a t i a p a t a exprimir

u n . d e c o t a f A o , 6.23*2 ( 2 )rtifJa um pocl o do r i e t a . 6 . 2 3 2 3

Eqülproh.bili.ia.lf. :. l.-l ( 3 )

• o , 6.361)1«j u ra i (ixniíiricM ato podem

eaMradiier l e i a d o , 3.1)32forata d o a o b j e t a . 2.0251tófi» ( N T : Rrpaço lógico)objeto wpif iau d e r e m « U i

a o . 2.0131 ( 1 )objetca eapaaaia alo i m p o a r ó -

T«M for> d o , 2 . 0 1 2 1 ( 4 )eisetria DO , 6 3811 ( 3 !• í t a p o : - r i t ual . 2 . 0 1 3 1 ( 3 )

l u p m ttffieo <r«r t a m b é m : L u -(«r lápco)

I / í ( - - S í . - í . . I r-prewnu o l i t u a -ç to DO , 2 . 1 1 . 2.2112

c a d a caíra e*ta n u m . 3-013

dado p o r t o d a p i o p c a i j i o ,3 1- ' ( 1 )* o -t-ji. il- . . 1.13fato-* a o , 1.13rojar n o , d e t e r m i n a d o p r l *

propo-Hcao, 3 . 4

d* a l i c a r a ç a o . 4 . 0 1 6d a - . , i i r a u r i d a d e , 4 . 0 1 3d e propcaaoftM , 3 . 3 4 1 , t . 0 2 7 ,

4 . 0 3 . 4.0W. 4. 6 1 3 ) . 6 . 4 7 1d o B - K A U K 5.4711d o e m b o l o , 3-341 ( 2 ) . 3 . 3 4 3 .

U Me f o n a proptalciODal r c r a l ,

5.471• n o t a ç l o , 3 . 3 4 2

EatadoV de colaaa {Sochr^^í,« • • M I í B I I d e . 4 . 2 7 ( 1 )een-Wor» d o , 2 . 0 3 2

pc—Ibflidade dã ocorrtocia da *coiaai e m . 2 . 0 1 2 1 (2)poaafaibdade d o , 2 . 0 1 3 , 3 . 0 1 2 4poaatrrl infioilude d o . 4.2211reUcao íom a p r o p o e i ç t i . , 4 . 1

relação coco a peopoalcâo e l e -m c D l a r . 4 . 3 1 . 4 3 5

relação c o m o Ta to . 3alo l i g a c o e * d e ob j e tos , 3 . 0 1 ,

2.03alo mutuamente l a o e p e a d e a t i - » ,2.061. 3.082, 4-Í7 (3)

Ei Mtk* , *tka e . 6.431 ( 3 }

Eetrututaconoxao d a . ram o p e r açã o , 5 . 3 2d e r a t a d o d e cobaf, 2 0 3 2 . 2 . 0 3 4d« ( ( f u r a c ã o , 3 - 1 5 ( 2 )d e propoa>o6e«, t e V d o c a o . 6 . 1 3d e p r o p o - c ço r a . ajaaiAn r e la

t o r * i nt e r na* . 5 ]e í o n n e , 2 . 0 3 3

c proprie4ade i a l r r n a , 4.122 (2)propriedadea d » , e t a n t o l o f i a .

6.12 ( »t t l » í O " lóf taa moatr»daa p e l a .

4 . 1 2 1 1 ( 3 )

E t e r n i d a d e , 6 . 4 3 1 1É t k a . 6 . 4 2 1 . 6.433

E u . o a a o - r o i e o l í c i e o , 5 . 6 4 1E T I O F O C U pr&prla [-r U m M m :

Obrio)d e pTopoaifOM • a t u r - a t i r a i .

6.2341d e s c a rta d a n a l & p » , S.4T31Dto 4 erHérío de peopoai iC*"

lógica*, 6.1271

EalaUocUd e eaUdca «V coieaa, 1 1 1 . 4 . 1d e lugar trtgW o, 3 . 4

E x p o e n t e , d e uma o p e r a ç ã o , 6.31

Eaprciaalo (irpraalai)a propoBçao 4 uvaa fuatao d a t ,

3 .31Sdríialcao d o U r a » . 3 . 3 1 ( 1 )rep-ietnlada p o r u s a ranai -L

3 . 3 1 3 ( 1 )t o m dcooiacao apeaai

p r o p c i ç a o . 3314 (1)

" F a l o " ,4.1272 (7 .

um co-aceito l o r o t a ] .

240

http://-t-ji.il/

http://-t-ji.il/



F a t o í a ! lT*melm) Mr t a m b é m ;Situaooee e t a l a d o » d e coúaa)

e f i fme&ea, 3 -1 . 211« d M K U d e . 2comporm o m u n d o . l . | . 1. 2IDdepefideBda m ú tu a d á , 1 3 1n e j a ü T o . 3.06 ( 2 )o mmdo H n e d r e noa, 1.3r-qtttridoa p a r a exprimir um

•r at o do . 3.143totabdade doa. 1.11

F i g u r a d o iJtfuroçOmj(onstr-_Wa p o r no a . 3.1* « [*ç o l e i t o . 1 1 1

enlaçada ca n * r e al i dade , J . l i l .3 . 1 5 1 1 . 2 3 0 1 . 3 3 1f o r ma da ri^i M ntaplo d e , 2.16Incluem forma a í i r u r a n l e , 2.1513

l u a•:•-. 2.181

Í . 3propoatçoea e n q u a n to , « 0 3 (31

wDEBSa i verdadeira a p r i o r i ,2 . 2 3 4 . 2125

p—ittMade d e , r e q u e r • u b e -

2 0 3 1 1 . 2 0 3 1 2i c o m o , da r eal i dad e ,4 . 0 3 1

propoieOaa a t o , 4 . 0 1 3repiiainta ata n o t i d o , 2 2 2 1•(o crfipTadae fora a reali -

d a l e . 2 2 3 3• to í a v * . 2 1 4 , 2 1 4 1at o mo de lo * da r e al i dade , 3 . 1 2 ,

4.01Um fcr=a d* reprraenla^io em

" m a a o a r e a l i d a d e , 2 1 6 ,3.171

FUaeoOad e l i m i t a a a é n n i n a t u r a l , 4.113d e l i m i t a o p e a e á v e j . 4.114* a t e o r i a d e Damwof, 4.1123t cheia d» e o r J a a o e t , 3 . 3 2 4* i ^ i a ü v i d a d e , cio uma

t e - r i a , 4.112 ( 3 )geralmente cúDatale em p r o p o -

•çoM abe o r dae . 4.003impcrUncla d a pueaibi l idadoM D, 3.3431

m é t o d o c o r r e t o d a , 6 . 5 3oio 4 atagia nat ur al , 4 . 1 1 1

nao eata em relação eapecial«•ia a p r i o ülo ci a , 4 . 1 1 2 1 ( 1 )

perigo dn eoOÍuato c o m p * c o -l o c U , 4 ÍIÜ (31

r e p r e e e n t * o dàatreJ, 4 .115rtaolU em íomenlark., 4 1 1 2

MU ..•.'•'.. é O

Si™ de p f w u M M a , 4.112

torna pr»po*>coee e u r a a , 4 . 1 1 3W

valor de queetaee tobre pco-pddto d o aimboIlaBfto * m ,

8.211 ( 1 )

Forma> (M T l a m b e m ; P o a ã b i -

d a a l i | U r a c t o .defini (ao d a , 2 1 5 1e n b i d a . 2 . 1 7 2fu n d o d a . n a ' i f U f a o i o , 2 .2 2

d a r e a l i d a d e . 3.18d o e tp r ea a O e *, 3 - 3 1 ( 4 9

r-araeteriiada p e l a p c e m b ü i -d a d e de ( u h M i M ^ l o , 6.33

( 3 )d o ( U D O O N , 3 . 3 3 3 (2)de o bj e t o » , « . 0 1 4 1 . 2 0 2 3 3 ,

2 . 0 2 5 1d e p r o p o ai e O- a . 3311d e u m a rrnn"h, i 4 . 0 6 3de Talorv* d* u m a v a r i a r e i ,

41?71 ( S J -d o mundo oo°eiate ' B objetoa,

2032-3• poanbilidade d e eatrwtnra.

2 0 3 3o a a b e U n O a , 2005teral d a p r o p a á o l o ,

• operaVee* de v e r d a d e , SM

e u m a v a r i á v e l , 4 3Ea» peüpofcçaea. 4 - 5 , 5.47, 2.18 ."• t i m b é m : Prc -

tofifuraote)de propoE.-ora, 4.0031determinada por trn *if,

3.327

e v a r i á v e l , 8 3 1 5o i o p o d e •*' repnerotada Dap r o p o n o t e , 4.12,4-121 (1)

n l o ar lb*a p o de atnouirp e op r le d a dM . 4.1241

141



F o n a * a f l a u r a n t e , pertaD» &njur^io. 2 .1513

Fo r mal , igualado com lógico,»ii (0

t m o u loffíraa a<o muincricar.U)

Feea». 3.143. 3.318, 3 3 2 5 , 4 . 0 »(1). 4.1375 ( « , 4 . 1 2 7 3 . 4.4431,WO (3). 6.133 (4). 6.43.6.451. 6-473» (1) , 5.531,6.1271. 6332 (1>

r » q l * n . U . d* ororftocia delaioa. 5-154 (1)

dtebMa d* operação. 6.25 (3)• M g e i{I o . 5.47 (3)•4o pode *pres«auf conceito»

íormaie. 4.138 (4)n*o pode eer iru próprio argu

mento. i .338. 5.351f«H«Bi lii rlomrotiLr A uma,

d* M M 424 (31proponçio é a m a , de eiprra-

-'•*. 3-318

;.••,• V, , ( , ,«dadcde dOM vwidveM , 6.101 (1)* eperaçAea de verdade, 8 3

O . »! « • f"*1 * , 6 (1)tf-—iuoio do ttrmo, 5•Ac ato tuacOea malertak, 5.4*

(Daolaçoee p a r a , 3 3 4 4 1podem aer ordenada» fia acrii*.

5-1 (1>rreulla da aplicaçío luccauva

da negação. 6.5 (1)a t o reanltadca de operapf—,

Í 2 J *d e v e r d a d e

da probabilidade,5.15. 6.161

dafiaaçao de. 6.101 (3)e dedução. M l . 5.12, 5.121

F a t u r a , dracoohecinierito do,5 1361 (1). 5.1362 (1)

G e o m e t r i a , Como a «rtrrl, 6.35(D

Cramitk* l o a * » , 3 325 (1)•r<r lambem: Stnta>e lógica)

H e r U , 4.0 4 ( 3 ). «361

Id ea l i a t a a , aua eipheaçao da.vialo daa retaçora « p a n a i » ,4.0412

Idelu p r i m i t i r a a . coareiloa lot-maia como, 4 17721

Id en t i d a d e

critica à deíloijio de R t a n u .d e . 5.5302dn signo» 0>iK*alJra . 3-203eiprramto de. 5 5 3 . 5 5 3 1 . 5 5 3 2 ,

55321nlo 6 urna prcçiríniade, 5.473

CDralo é um a relação mire ob^cue,

53301 ( l>nlo M afirma. 6-2333

aigno de,ato 4 parte — # d , 5.533.6.233 CO

•eu acttldo. 4341 (2)I g u a l d a d e , arntido do aigao de.

«38 ( I )I m o r t a l i d a d e , 6.4312 (1)l o d e p e n d r o r t a . de

drfinlçto d e , 5.153 'Díndice (de um Boate)

502 (31eipoatçao d e , 5 0 2Indixlrel , <•. e (ikaofu, 4.115

InduçSocom o aceitação d a ki maia

•m plea . 6.363tem aproM lusdamenio pako-

logieo. 63631 (1)Indução, lei da

nlo í a poon', 631Dlo 6 u m a le i lopc*. 631

Inierenda" t e - d e - , atmatabdo, 5.133 (4)

143



L r . d. . ( I r . m í n i m a . 6 3 2 1 1L e i f o r o u l . raijuiuito detormi

nnado aíriea f o r mai » , 5 . 5 0 1(«

L*i» d a o a l n r e n , n l o eaclarecemi* ! n j = f n « nat ur ai a , 6.371

Lei» f t » n n , refercm-ee a objctcad o B D D d o , 6 3 4 3 1

L r a i . d* O c a m , 3 . 3 2 S , 5.17321(D

L i b e r d a d e d l . o n f l e , 5.130=( 1 )

l i n g u a g e m rer t a m b é m : L i n -(ungem corrente)

" a v i a d a " . « . 0 0 3 1é a L - A : iade <í.M p r o p c e l t ü e e ,

4 . 0 0 1fo rnec e i n t m c t o , 6.233l imitea d> m i n h a . 5 . 8lúficad»,4.003 ( 3 ) , 4 . 0 3 3 ffiIradopio d a . 3 . 3 4 3v e d a o p e r — m u T n , 4 . 0 0 3 {1

t f c — | — eoloquiaJ ( M T : U D -

guagem corrente)l ->mu*gea e s m o l e

••• fcMItMi d a , 3 - 3 2 3ivrmdidr de atordoa c o m

p l e x o , 4 0 0 3 (5)Ha KtipbíBd» emo o orga-

m a s o b a m a n o , 4 . 0 0 3 ( 3 )

perfeitamente • r r l ^ a , . ] , , ,HM

l<6gioa t e - t a m b é m : Propoaicora

U Maptantolo d a , 5 . 5 5 2 1 . 5.557cada propcaçao d a , e m a p r ó

p r i a p r o v a . 6.1205c*íeuk> -a n . 6.121 (1)dai parla* cocarUtaÍDtca, c ar ae -

terutadn p e t a t a u b d o g i a , 6 . 1 2

d e f a l i * , e l o p o d e ser aubati-l o Ü a . 4.0312 (2)

* a M r i 5 . 4 54 1 ( 2 ) . 5 . 4 7 3 1 ,

'3 .SM ( U* figuração apec ular d o m u n d o ,0 1 1 ( I )

« m e o l s i o , 6 3»2c t r u a v a a d r a U l . 6.13 ( 3 )

igualada a f o r m a l . 6 1 3 ( 1 )impnaaihil i dade de d-aerrrer O

m o n d o n a . 3.61 (31imponibllidadc d e penam algo

q u e c o n t r a r i e a , 3 . 0 3 , 3 ( 3 2 .f i .4731• n v r a t i ( M a t i i > , r * - t l - : - M .

«uTuirreleraaria d o roíaüamo e d u a -

liamo paia a. 4.133 (2)l e i a d a . n l o d g p w d i m d e

o ut r a* le i a , 6 . 1 3 3 ( 1 )" m M o do -D u ki " n a , 6131 [3 )n a d a 4 a c i d e n t a l n a , 3.013

n l o £ c i t a d a n a tu r a l. 6111n l o hl clateafiraoio n a , 6 4 M(1)

Dlo bl núm e r o * na . 5 4 5 3 ( 2 )n l o h á rxopoaicoM denradM

- n a , « . 1 3 7 ( 1 )n l o h* a u r p t Ã M * n a . 6 1 3 3 1n l o p o d e ultfapaaani oa Ia—'lin

d o m o n d o , 5.61 (31n l o p o d e m o a e r r a r n a , 5.473 (3)ocupaolo d a , ooan p fa W b T i ia -

d e e , 3.0121 ( 3 ) , 5 3 » ( 3 )

papeJ d a pc*4uUoto n a , 61223porque foi chamada teoria daaf o r m a * . 61224

pMaibllidadc ;-.!. 5.473 (3)p r e c e d e q u a l q u e r e < p e r í t a c ú ,

5.553 12:principie» d a . a t a n f a m «

ar bi t r á r i o , 6 1 3 7 1probletoae de , a t o c o ac r e i o a ,

5 . 5 5 6 3 . 2 ,prooeaao e r e s u l t a d o e q m r a -

lentea n a . 6.1201p r o p o u o b c * d a , n a d a d i a t m ,

6 4 3 ( 3 )p r o v a n a . 6 1 3 6 ( 3 - f c , 6.1263rtcuraoa e m . 5 . 4 5 2 , 6311•implicidade d a . 64541•um prepoaipa™ a t o l a o i o k a s a a ,

6 1 , 0.23Ioda fi lo M B a da , 6 1 1 3

t o da qoeatio deridiTel p e l a ,

d e v e tem roaia deiiar-e» o V1-J.íir. 6 5 6 1 ( 1 )t u d o a b r a n g e r lajeflia o

m u n d o , 6611t ud o 4 ac i de nte fo ra d a , 6 3

U3



f r o m a t r i c o , e poaobili-

laako {MT t ambém: Ee-H© Mfc-ico)

i determina o, 4.0HL«C*o determina ip^Eu-.=. »*a (»

wtanlo do . mm N I D O ptopcei-tãcoal • coordenadaa I m i t a i ,3.11

M i - Anita a aaquerda, pro-kantiano da, 6.3«1U

M i l n n i t k a« O B método lúfioo, 6.2 (1),6J234

D*, lugar da, 6.233da « . trabalhar com

eqtatfle», 8.3341c4a fcd mJTwalidadn acidental

• a , 6.031 •;;.DAO tem mmãaidadt da teoria

daa d a n , 6.031 (1)F*op«aito*. da ,

a lAflra do mundo,ate (ipnmcm prraajn»»'.'.«,

6.31a to equacora. 6.2 (2)lodaa a to coDiprrendida* de

per ai, 6.2341.•jliiaJai ca Iníprfccia, 6.211

proTM em , etgnHieado da*.

àaiea método de «ubetituiçío.

O * (1),441031

da , «-3*3i da, com a loa Ira, 6-342

•oa •«wraJidade, 6Í432Mattafca H w U a l a u , 6.341.

4 3 4 2 (2)" M í i od o - o u l. . " . em lógica,

6.121 (3)O. 5.63

o, 6.44, 6.43, 6.322d i n a m l c o e , 4.04 (2)

.Wocfua f w w n a . 6 1264 (2)

Morte 4.431. - - . : :

Moetrar

» fora». K^,™. 4.121 (4)a Doirenalidad*. S.1SU (3)de operaçaet, 534 (1)da anuído, 4 . (02eidiri o «tateei, 4.1313KHTüfJi* de, 4.1211. 6.12,

6.1301, 6.127 ( 2) . 6J6 (2)lóftira do mondo, 6-22o indiUrel , 6.522o que o conceito form al abiange.

4.126 (3)o qoe dli, por propaaiçilij.4.461 (1)o q«e oo aolipatemo 4 correto,

3.62 (2)PC* « t r a t a r a . 4.1211 (2)por taut-Joaiai • contradiçor»,

«46» (1)q u e " proprwdadca Internai

• " N i n e m . 4 1 3 3 ( 4 )qoe o mundo 4 tneo mundo,

&62 (3)que uma prorxeãçao •aftM de

ootru. 4-1211 (21requerido pela (erma da aíiju-

i*ofr>. 2.172

Multiplicidadee nanam da

«KQ-a, 5.475.• abnbolo de rnitJ pi icid»•!<•,

4.0111 (3)Dao pula ar» aficorada, I 041o meamo na propcaieao • na

aitiaxcfto reteaatatada, 4.04

M u nd o, » u

d<-

ru aou. 3Q3Umilee d o, 5.62 3

."I unn«

completamente Jnerilo pelat-4aJidade daa propoeieiV'

elemeotana <*rdadeiraa, 4.26coneiao do, «aa propoati^M•of>»a, 6.124

f a totalidade de (atoa. olod a l (.UM*. 1.1

1U



« a '-"» ratado) daeoime, UM

€ A ^~di fomiAfa uma unid^dfi8.621

e o eapeco lógico. 1.13• o q ue o w m , 11do. melada pela poaaí-

" ,3-3421* toda r*a3dede. 2.063InocpendetMe de minha vontade,

6 373. 6-374informação «íhff. <Ud» peU

«tmplicidede de deecricâo,6J42 ( 2)

4*5.61 (1)i do. mostrada em tautolo-

t ia - - . í ; ' - I . 6.22objeto». r*o rua labatA ncJa, 2.021c a D O O U ala ito pocniearkJ

para t cbeerifio do, 5.538o sujeito n lo pertence « o. 5.633P>BfWidÉllL« lógica» do . 6.1?,

6.124"•laçio projetiva de eignor pro-

peaMêoaia com o. 3.12

reeolrT-eeem fator.

12eentido do, 6.41 (1)tu» forma cooaiMe era objeto»,

2.033

•peru* lógica. 6.37

atravea do que é comam alodo» atmboloa de negacio,

siia cscomo deíeraúnando o lugar !o-i ieo, 4.0641

* uma operação, 5 23-11 (2)iDlroduiida. 5.5 12)inrerv o a-o tido, 5.2341 (3)pmaOálidad. da. antecipada Da

afirm ação, 5.44 (3)requer epeaae orna definição,

6.451irimboriançao da, 3 .502•ua oeorrettcia nao caraoMriia

o atabdo. 4.0621 (2)N r c a t a e , aijxo de

nada «orreapocidc,44621

roali-

nlo ae refere a um objeto. 5.44

Nonaefe)

apenaa tém denotado no ronda propcmjao, 3-3:• ••' [ " ; ' ;••?,

podem exprimir aeaUdo.

tertooomo ocorrem

4.23índio» de, 5-02 (1)nlo

3.142nlo podem eer definido», 3.261

0)a i o poeauem mcu-mçlo eaaccr

rial. 3-3411

nau aio anal>BÍv>ii. 3 26o "aateBlioo", 8.S411parecem pontea, 3.144 [21propoalcao elementar 4 «ma

oonexio de, 4.22a io dJepeoeivcie para deeerever

o mundo, 5.528ato rámbolo* aimplea. * 24 ( I )a io aifDoa prtn itivoa, 3 26ato aÍRa» aimplea. 3 202variável, 3.314 (2)

Notação (ter tam bém : U eerua.twn)

arbitrariedade da, 3.342caaèoeiB da , 3.3*2

Número

oooowto d e . 6.022ooocoito de igualdade de. 6 022

(3)forma geral de. 6-023 (1). 4.«i

" N ú m e r o " , u m coDoaito formal,4.1273 (7, 8)N ú m e r o *

como expoente» de6.021

oVfinipVa de. 6.02ordenados por ralação interna.

4.1262 Ô)

O que ocorre (Boa dar f a l tal)

e mundo, 14 O eubaurÜJ doa

operação.

* tubeUncia , 2.024ijuaíado ao fato, 2

345



ô a - i e , • dedaclo. 513*3" O b j e t o " , nm paeudccooceito,

4-1Í72 0)

oonfi* oração de, 321delrminam ca limites d» loili-

dade empírica, 55561 (1>' absurdo falar de toa «-ii<-

t eeda . 4.1372 (5)c absurdo falar d* *eu número.

4.1272 ( «< •. »,t.,:,.i3.!-r 3.014(«nu da. 2.0141independência de. 2.0123

I M W » eaxaeterfaüe» doa, nlo•áo mostrada* por «imitar»•dade doa aitoo*. 3.333

aÂopodam «rr fDufuiadoi, 3.231Ho Km «0r , 3.0232oeorrtoáa »m estadm dn coiaa*

da. 3.013, 3.0133podem apenas »*r nomeado*,

1 3 3 1poa*bilídade de eooexio do».

com rutra objeto*, 3.0121 (4)

poaareel infJniuide de. 4.2311•to a forma fixa do inundo.2.023. 2.020

elo denotado* por nom e*, 3.20 3,M i

ato « m p l e a , 2.03•to •abatlncia d o m u n do, 2.021*e dado*. Iodai elo dadoe,

1S24 (I)"Ob)etos Í n f i m a " , n lo e n a t e m .

4 4 4 1 . 54-Ikuloe e a p a d a i a " . 4.0412

O p e r a d o • '-:.''•aplieaoto inceaaíva de, 5 2 5 2 ) .

base d a , 5 2 1 . 534 13), 5.35( S , 5-251

ceajado com estrutura, 5.32,6.002

defraioto de, 5.33

deprede de propriedade* formais, 5.231dxrünU da* funçOe*. 5.25 (3)•xemptoi da, 5.2341 (3)•ipoente de, 6.021

moatrada numa rar i a i s ] . 5.24(D

nada »*aertam. 5 3 * (3)oáo ato raboocs. 5.42 (II•úmero de,

iaair**depcbde

apenaa de aoaaa n o t a « o T5.474

pode anular o efeito, 5.3535.254rraliuceo de, calo rar*cte<ii*

O sentido. S i l 0 )multado de, pode arr *ua pró

pria base, 5251tic PIB de, ato pontuaçôee. 5.4*11toma npre—* a diferença da

form as, 5.34 CS. 4341

Opcncãta itrdsdidefinição d a , 5334c função de verdade. 5 3 (3,3)

Pais i r a s , nlo podem ocorreraimuJUnranwnt* aaa a foradaa propoairOea. 2.0133

P a r a d o » de Ruaaefl , 3.333 (4)Par* m e a r a , «a» importância,

5.461

I ' ll»Jl!l. !. t • •a prwri, enlerio de, 3.04corno figuração lógica, 3conto método de projefáo, J [ |

(2)f€ltl%éttl pCanW tatiaKljBal^ d& St lUtV"

c i o , 3.03 (O

ê apHcado a aif*5 propoaicúnal,3 .5t a plopisiplo SfnJic&livt , 4eiprraao em propoaitoea, 3.3eiprfsto por i g a o i . 3.1forma do, 4 .003 <4)vedndo pela l inguajem. 4.002

(«Penaáret (jaaajartl)

apenaa conexo— conforme* com

a lei ato, 63616 delimitado pela filosofia,4.114

í Hfãánt 3-001( poaafrsl. 3.K

146



2.0122-3

d* « M X B o d a i M M M , 2.0121 (4)d e ettrutsra 6 forro». 2 . 0 3 3d* p r o j e çã o . 3.13 (2)de p r c p a t c f l e a , 4 . 0 3 1 2 (1)de M u f A « , 2 . 0 1 * . 2 . 2 0 2 . 2.203

opmealo d e . 5 525 ( 2 )d e m o d o d« d e t i j n a j . 3 . 3 * 2 1e c * i - i da m u n d o , 3 . 3 4 2 1e eeiado dt M M 2 . 0 1 2 . 2 . 0 1 2 *• forma d e « f i g u r a ç ã o . 2 . 1 5 1e tudo que predaa aer tfadu.r i d o . 4.023 ( 1 )

Prop o ri; I • •"pnpanfOee)•BÚkte d e , 3 . 2 0 1 , 3 . 2 5 , 4 . 2 2 |

(1)i p i c i » t o d o eapaco I O Rí O V

3 . 4 2 O)c a d a , d e t e r m i n a u m l u c u 1 6.

« k o . 3 . 4 3caafiiuraçoea d e o b j e U a ,

como íuacoea d e e i p r e e ao e a .331S

como modeloa d a r e a l i d a d e . 4 . 0 112)

Completamente univrrealiiadaâS.S26 ( I )

rompmoeao d e . 4 . 0 2 4c o n t e ú d o d a , 3 . 1 3 ( 4 )de tr i s i reparo l ó g i c o , q u e (

da*> p or e l a , 3.42 < 1)dii c o m o , aao o que uma oaUa

'«lemes tarte]

deiiado p e l a i . 5 . 5 2 6 3

d e , nlo pode aerd a d a , 5 . 5 3 ( 2 )

c o n c e i t o d e . 5.555 ( 1 )coatjuá-ee d e n o m e a . 4 . 2 2 .1 3 4 {21«c e t f e W-laa operaçoea lo -

« * • « . 3 « <2>frrtB i • d e , nau h á h i e ra rq u i a* . 5 V *f o r m a s possíveis d e . 5 . 5 5IraporUccia d e . p a r a e n t e o -d er ootma m o d o » d e p r o p o .

• ç B e a , 4.411

in-dicaolo d e val&rca d e v e r d a d e d a a , d e s c r e r a o m u n d o . 4J »

logicamente in.l-p-ndaB4*a,5 . 1 3 4

•ao p o d e eottUadiaer csnraaproposições « l e a a r c U T s s ,4-211

DAO p o d e m aei indicadas aprior.', 5.5571

puro» f u n d a m e n t o ! lógicosp a r a aeu aar. 5iSfiJ

rrlacáo d a , com eatadoa d ec o a a e , 4 5 1 . *.2i

relação d a i , ooaa p c a a b t U -dadee de Trrdada de o o -t r u proposlçcJas. I I

relação d a *, c om taatofcgíae c o e t r a d t p l o , 83731 (3)

aâo aríumeatos d e rerdaded a p m p o B p i o . 5 . 0 !

a r d a d a s , todas )a a t o d a d a s .5.524 ( 2 )

•imbolitaçao d e . 4 - 4 ( 3 , 3 )e pi-BÍblBdadea d e rerdade da

propoaiçora '> — -:.-•_—— 4.4da per

f orm a aparente m e n t e láctea d a s ,4 . 0 0 3 1

(orma (arai d e . 5.47 (S)f o r m a mala geral daa, 4-5. Sf o r m a s d e . d a psicologia- 5-541 .

3.542l í g i c a * 1*ar: Prop-sicfies 16-

m o s t r a o que d i a . 4.401 ( 1 )m o s t r a a e u s e n t i d o , 4 . 0 2 2nlo p od a a d q u i r i r ataádo p o r

• s a e r ç á o . 1.064Dlo p o d e afirmar aos. própria

f e r d a d e , 4*42 (3)Dlo p o d e aaaertar Dada aJbre

ai m e s m a , 3 3 3 2nao p od e re p re s e n ta r (orou 16 -

gtee, 4.13 ( 1 ) , 4 121

Zçao d a . 4.0041

a Boroea subantaesn oa o b -i e t o a , 3 . 2 2n e m provável n e m i m p r o v á v e l

e m a i m e s m a , 5.153

147



d* p t a a ib i li d a de a d »d e e o n t a r d l m i » . c o m p c e e i b i -b d a c e i d* vnrdadc de p t o p o -

i aieãneBlarea, 4 . 4 2 . 4 . 4 5T-e . 5 . 5 1 3 ( 3 )• « • * 4 w m u o » , U < a l r * f i o

d*, J . 5 1 3 ( I )g W t l n d i te m . 4 . 0 2 2 (2 )p a r e c e s flechae, 3.144 <2Jp e n a i a p e a a i d e ' U m " o u

1 * o " par» í i i w a r e a l i d a d e ,4 . 0 3 8 ( U

pn —u pca i gB ea d e . õ 5 1 5 1 ( 8 )

p r i m i o r a i 1 - p r i n d p i c » " ) , 5 . 4 30)ptcH itdlfcjH tM . DAO p o a u i c m

o b j e t o « p c . - i i l . 5 . 1 8 1 1relato d e , m m I í I D O pro po s t -

d o e a l , 3 . 1 2i l o i - ^ ^ J I l l ( 2 ) . 3 . 2 5 1 .

tm o)o n a RBJÍ-4.033 (2).

d a d a . 4 J *M o rtcc-tfm*

5 5 3 * 1 ( 1 )• 4 o d eecr i c í ™d . ™ - . 4 .

d e u m c i t a d o0 3 ( 3)3 . 3 1 ( 2 )

•A o n p f f n d e aua e e o d i f l od e i w d a d e , 4 . 4 3 1 ( 2 .

• 4 o G p m ç O e a d a r e ali da de ,4-031

•ao fuaçOra de rerdade. de p r e -p o a i f o e a e l e m e o U r e a , 5 (1)

• 4 o [ t e r r i l i i a ç o f i d e pm-proi.

( S M e l e m e n t a r e e . 4 . 5 2• 4 a m n p r r 5 ( U r a f A i a c o m p l e t a i ,

5.15» (4Jd e p r o p a i f C c * n l e m e n -

. 4.52i I t, i d t n t i c o ii" p r e d u t o

U f i e o d » ta i M a i og ia . 4 . 4 6 5

e o o t e ú d o d e . 3 . 1 3 ( 4 . 5 )• 4 o p e n a u a r n t o * . 4

c o m p l e x a , 3 . 2 4e • • - • ! - 1 -1.' i. . .

d e — l a d o e d i f o í m repro-a a e t a d a i po r . 4.1

t e m p r o p o fc í o m É à — t — e o ,n to U l b m e D t o t d e T c r a a d »5.01

ta*m p c n õ d o IteòtpBttdcfitdi d<éifeto». 4 J H I

U m to da * i g oa l n l o r , 0 . 4t t a v a l o r d e v e r d a d e a u a o d o

• 4 o f i f u r a c f i w d a n a l i d a o V .4 . 0 0

t r a p * a O d e o t a ii d e . 3 . 3 4U a ç o i ne r oe iM i d e . 3 . 3 4

r r o p o i i c A r i anaBtif—. u pn>-

p o a iç oe a d a l A p o a a t o , 6.11

Pln9f«|a«M IMN-j

c o m o f o r m a i d r p r o r a , 0 . 1 2 6 *( Dc o m o m o f u i p c m f i u . 6.1204 (3)d r a c r e v e m o i a n d a i m e a d o m u a -

d o , 6.124c u l p e m * veie , 6.127e r e l a ç i o c o m o m a a d o , 6.124nto te d l f b n c u e x p o r ( a l i d a d p

u ni v e n a l . 0 . 1 2 3 1 ( Un l d a l ô o o n f í r m a d i a p d a e > | - ~

r i t a d a , 6 . 1 2 2 2

• I o eq ü i po n d er a a t ea . 6 . 1 3 7 ( I )• u a verda de 4 d w m J i - 1 ap%-n a i D O a t m b o a i . 6 . 1 1 3

U m p o e í ça o r a p eò a l e ntr e U d upropomcfi i» , 6 .112

"t ra t a m " d e n a d a , 6 . 1 2 4 .

P r o p r i e d a d e , c o m o i a m e a a i v e l •i n t ern a , 4 . 1 2 3

P r op r ie d a d e f f i r ã a l , d e u m »o o j a a , po d a r a a r pa rt e eo ca t i .

t u i n t e d e u m ( i t i Ã i d e c o i a a i ,2X11P r o p r i e d a d e

20233 (wrdadd interna)

2 0 1 2 3 1 ,P r o p r i , -

P r o p r l e d a d r ad L I va lor e* d a ' i - l » l . 4 . 1 3 Í 1• t a o t o l o p a i » 6-12n p o a i ç a o d e , 4 . 1 2 2 ( 1 )f i p t f i p-c traçca de almboJag,

4 . 1 2 6 (6)r e r o n l w í i i n e c t o d e . 6 . 1 2 2

P r o p r l e d B d«4i1 tatamlf) ( • «l a m b e m : P r o p r l a d a d n f o r m a i i l

148



ato d*, como Decet-a i n o para eooheeiioento deobjeto». 2.01231

do - ~ J propoeiçáo, dcacrcvcma naBda de, 4.023 (4)

da 33» aituafao pomvrl, 4.124( D . 4.115

- « t m o n , 4.122 (2>f ímpeoaaval, 4.123 (1)* M t o , 4.1221tua pitaãrt*ricia é mostrwlB.

4.122 (4)

Prapriedad.» L ' . , . - . - daa p r o -poakdn. demonstrada» pelutauiolopaf, 0.121

ProiofitoraeSot d-aUnaçao da onivrrul idbir ,

134 (*. 5322I l a p e a . 3.315

3 3 1 5de. 3 3 3 3 (1), 5 335 1

(1)Pr-w

.de 3 X 2 , í 2*1

de ptoptm&o deoolaüva opoaui pru<a tm Idfflca. 6.1262em Uepca, um expediente m c-

U MP ^ u í « n y . i i ü . 4.1272 (1)PM U dopropoaiftea, 5 .535 (1)

coma como, 5.5351

N O .

propoanao(D

pro>attó« matemltiraa

«3 C»•urf-c do uao de peeodocoo« H o » . 4.1372 (4)

filoaofia, 4.1121

Realidadecomo agtataébãa d» ratado do

coiaaa, 2.0S ( I )c . . : i ; /J : - : ' ' d-aeriU por pro-

pcaàçao. 4.023 (2)deaenta por propriedade* intar-naa da proponcao. 4.0 23 (4)empírica, limitada pela totali

dade d o objotoa, 5.5*61 (1)

erJa;aJ« mm 'nnÉM I 13:;.2.15121

lliurafào comparada com. 3.31.2.223

figuração 6 modelo d a . 3.12

forma d*. 2.18ttlo figurada por Wrtolr^ia econtradição, 4.462

propoaielo coroo fãfen^io da ,4.01 (1), 4.031

4.06lotai , t o mundo. 3.063traço» lotpcoa d a , 4-028 (5)

R e c u n o * , em i w . 5.452

R e g r u , com o eqtiiralrtlea a l í m -bolo*. 5 3 1 4

l;. I.-;.".i - Inlrroaada propcaiçao que trata d* um

complexo cran a prepcaiçioque trata dai parta» cooatl-tuinta», 3.34 (1)

e .!-•:• ;.!••. 5.181C definição dr aénea fo

4.1252 (1)cotro citrolarai de |5.3

cquiralctUea a oprraçoe*. 5-232" I I . . . . , . R o a a " . 3 3 2 3 O)

R u w e ll. 3 . 3 1 8 , 3 . 3 3 5 . 3 3 3 1 . 3 . 3 3 3 .4.0031. 4.12721, 4.1372 (8) ,4.1273. 4.241 (3!. 5JO 13).6.132 (4). 5.252. 5-4. 5.42,BAS2 (2\, 5 .5 302 .5 335 . 5 34 1

'A-, 5 3 4 2 2 , 5353 (1) , 6.123Ç2). 6.1232

Semel hanç a i n t e r n a . 4 0141Sent ido

apanaa propoaicoaa U m . 3 3caracteriudo por i isnaaQaa ,

3 3 1 (1)coceiAo do. com o método da

projeção, 3.11 (2)do fimçOea da iodada coroo

orna função, 5 2341 (1)

149



da propoatioeaepeoaa a forma do. contida

M p.---«:;A •. 3.13 (5)cocüdo a o eentido da oatm

propoaiioea, 3.122determinação do, 4063 (2)a poaetbilidadee da eriatíocii

da aatadoa de cciaaa, 4.2Bipreeao por poitcJo eepadal,

3 1131 (2)iodeseodente doa falo»,

4.061 O)ianrtido pela negaclo,

5.2341 (3)da • (no pp>jxai«o«ni, ato

neteaaiu üiplanaçío , 4.02,4JHIa dedaçio. 3.122

eipreeaarel ipcaaa por fatoa.3143

if salada com reprcaentaolo deattoaoSea, 4.031 (3)

filo pode aar auateolado por« * - - ; ! : . 4.064

.-*- B oocaanicado. 4.03 (1)objetoi que ocorrem no,

4.1211 (1)opeato. 4.0631 1o eue a fijuraçio rcpreeeata é

r m l ipoatalado da determimlwlid.de

do. 3-23roqeer enbatináa. 2 0 1 1

Serie •armai («íriai formalt)dafuddaa. 4.12S2 (11da fraçoee da Tardado. 5.1 (1)

eiesplo de. 4.43 (2)pnriaa d* ama variarei . 4.12?3prolrreeo de um t í m i • outro

M.9-2S3rrp.-earntaolo d o torrão |eral

da , S.2523Urso catai de. 4.1273 (2)

• g M Üaplicação do, 3.262

t i o , 3.1432determinando uroa forma

3 3 2 7• parte perceptível do aíro-bolo, 3.11. 332

i aüaile do drsiíiivf-». 4 0 1 2

e a l tobo lo. 3.324equvafetria de, 5-47331 (2)ideDtidade da deootacaQ d«*>

3.203olo podí rewber a» atolo incor

reto, 5.4732Bio uaado, 3.32 $ (1)0 meemo, pode pertencer a atm-

boloa difereDioa. 3 321poartvc!, 5.473 <7)primitivo ( n r ; AfL* primili-

TOa)propoBnoeal (ee>.- Sfno pro-

pcadonal)«Im pln , 3 3 0 1 . 3302

Siai» o> wmmtth aem deoo-taoío. 4.443 C21

d> lógicacomo forma* de et*=rM n»o6e*.

5.46prerteam acr N C i u r a d o a , 5.45

diferente Hfnifir*çao doa,3.261 (2)

elucidação da eca drootaciA3.263

ni.cn.* ato, 3.26n-grae de definição aplicada* a.

5.451 (2)SlmboioW

como f]uiv»l*a!# • mrw. 5.541comporto, esraetertaticaa d o ,

5.5261 (2)deco m pI eio .dr tiM do a. 3.24 (4)diferença de, 3.328 (3)diferente, pude te: aucc comuta

3.321e Blgnoe. 3.336•cualadi* a eiprraaúea, 3-31o que doaJçBa no, 3-344PNaWpoaiooai d e, 55151 (3)a to traçoi t^onaia. 3.34aifoo 4 a parle pemeptlTel do.

3.33S l m í l o a , 4 0 1 5Siatplkid.de d e objeto*, 2 .02.

3.021Sinbuie !&•*•*deootaoio doa ai t&oa aao draem -

penha neDhurs papel Ba, 343

http://determimlwlid.de/

http://ni.cn.%2A/

http://ni.cn.%2A/

http://siatplkid.de/



http://ni.cn.%2A/

http://determimlwlid.de/



« recra* pu> sobnãtaiçAo, 3231iffl|iltem toda pru>oaiç*o lojic».

«.124• O B J M í de arr utiliiada,

3.325 ( I )i t f w i k 3234Situações (£*oUop.)

canexto d* mlw r.iai, 2.0132podem sei d*«<rita* w ato

a r — a d - , 3.144 (1)poasitsbdadt de, 2 .014

"Sócrates * UJaitteo", 5 .473( 7 . 5.4733 0>

SolliJHaaiD

cotaride eom n a l b m o , 5 . 6 4correto em In tensão, 5.62

do a r a d o . id*nüfirada (MD Oiobjetos, 2.021

6 fora* * conteodo, 2.025»ubsW".e independente do que

ocorre. 2.024

S u r . - s e . defincao de. 4.1253 (4)

S u j e i t o« o eorpo. 5.631 (2)é limite da mundo, 5.032,

Ma a>nlo f ã » . 5-5421 (I )d o pertence «o mundo, 5.632

S u p e t s t i « * o , 5.1301 (2)

T B U U 4 O « ( - .

compartilhada por propofiçoes,

5.143 (1)dsfimplo de. 4.46 (4)derivação da tautolofU de,

6.126 <3)é caro-limite d* unilo d e B i

nar, 4.4*6 ( «6 pK*wfcb> BAaJftíca, 6-11

«te estrutura,

4.461 (3)« < » , 4.464 ( I )

•••• oobecer, 6.120311 sfciea do mondo, 6.22mostra q"o 4 um» U u t o l i i l a ,

6.117 0 )

DíO d l m a d a , 4.461 ( I ! . 5-142,6.11

nli . é absurda, 4.4611nin 4 figuração da reoLiiiiic.

4.462nlii Iria coodljors dr n i d i d r .4.461 (2)

probabilidade d« , 5.152 (4)produto lógico de, 4 «na* pro

posição, 4.465proposições da logtea a t o . 6.1ergue-se de lAd* proposição.

5.142uma proposição port irür pod*

•er. 6.1231 (2)usada na dcmonetraclo de pro

priedades lógicas. 6-121T e m p o

"decurso" de, 63611 '11forma doa objetos. 2-0251 •cfcjrtos ttmporais ato iopen-

•aVtis fora de, 2.0121 (4)K<|U<OcÍB de gaanaaaaa; DO,

62611 ( I . 2 )Teor i a d e D s t — I o . irresrrante

para a liloaafia, 4.1122Teoria d o eofibeeimenls, 000»

relacionada to m paioãc«ia efilosofia, 4.1121 '.'

Teor i a d oa Upoa , 1 1 31 . 3 3 3 3 .5.252, 6.123 ( 2)

T o t a l i d a d e d e estado d e •Éaaaaj2.06

T r a t o , eqJieado. 4.1221

T r a ç o s d e s í m b o l o s , eiprasampropriedade formal, 4.126 <6)Tradução

como critério de o q»e 4com um " nas lingtiajecj, 1243

e projeçio, « 0 *

Universalidade

ocidental, 6.031 (2 . 6.1212

conceito de. separado de funçãode rerdade. 5 4 2 1com o designada, 4.0411 (I)como presente, 5-1311 (2)

1 5 3



drawaaçlo d*.•paire (•"!« argumento,

5123ralar* n a uma protoflgura-

• Ifljic». 5-622ronaUntra. 5.522— < M

BjecaMária Da m i l f m i l t u . i .6.031 (2J

cpoata i validai!* acidiolal,6.1232

M drni[aaclo contem um aa-Mofi-uraclo, 3.24 <3),

Vaiar, 6.4, 6.41

" • M | | 'fondMÚ) ( wbéaa: Variai propoaláoaall

e vprraaèo apmrcUda por. 3.313« M O Data». qua 4 «ano para

parudocoocríto objeto,4.1772 (1)

JílcTrinacao de valorca d ç ,3317

6 DOBW também, 3314 (2)* «ãjoo d* conceitua formou.

4.1271fona * de. 4.1271 (3)forma (cral ptopoairiisiitl f m m ,

I J 3aa exprraalo da tf rmn («Tal

Ar ama • m u r a r i a . 53522arriaatria para eipreaear o

termo oiuveraa! d a séria forrai] , 4.1273 : I •

poda ttt encarada ooioo va riava! proooaicioaa), 3-314

pt-ç«á(kxiaí (per; Vahivcl pro-[i •éiiiiiiall

i - ;•- ;wi;i! ( . : i ! . 5.242

uliüiao1» para operarSea, 5.24(1)

valore* dr. 3 3 1 5 , 5.501 (8)VariiirJ -ropoaWo*aal

definiçí» de, 3313 <3)datarmiDacao doa ralArea de.

M Un p r i m * um «MM» formal,

4.126 (8)rrlacio da. com forma !•'<;.:a.

3.3ISaimbolo traço para. 5501lida variárrl poda arr eooee-

blda " « a o , 3 3 1 4

VaaWal d r aro lado (5raaJa«)díatinto da abando, 4.461 (3),

4.4611examplpa dr, 4.1272 (9).

Í 1 2 7 4 , S.U62 (2)"rrnwi dr i n f m M i " a t o ,

5.132 (4)lautolofia r coalradi^o a l o ,

4.461 (3)Vrrdadc

coDMlto d e . cootribácio M"», i . 1 . : -I . 4 4 3 1 (3)cuoorito dr, «pcaitio do, 4063o falúdade, Oio aio rcJaçora

FquipúadrraBtea, «061olo 4 propriedade. 6.111aua ooorxto coaa a nalama

(iíurali^a da propoatedo, 4.06V i n c u l o » r o p » a i e l o n a l

(5tfrae4«ad) . 4 3 2 1

Vi a t o , ca m po d e . 5.633 (2. 3 ).5.6331

Vontade, 6 .423, 6 .43

W h lte b« « d , 5 4 5 3 ' 2 . 5 252



LfDWlQ WíTTf.t N 'T i: \ nasce . cm Viana eis18» • falacam em Cambndta, em 1 M 1 , « o derrjirnu. Pretendia, roír.a DOtt R r M U BC*

R/bole* di I I U " 4 ' « I . tornar-se ecejaobeiio *fflra para Msachester com cise objetivo- Inte-iHudo no «aludo doa fundamentos da matem ática, entrou om rociam cora R o a u x . "Era— eeceeva RPB*IU> — • •" . op •sfuiaitt) a•U M KUãaa ma pareciam aatraaAaa, da modoque duranla lodo um período letivo ato a»íoi poatJral decidir M * • m u » homem de(tnío ou •implasmente um Mcenuirc Ao tar-mínar o «ou primeiro ano em Caabrldge. m oa mün a Dcdiu-m e- "Podaria lu a r a finei ada duàr-ma at aou ou náo om riwc-awn idiota T"R espondi: "M au caro a n i a o , a*» aai. Porque ma pergunta?'' Rscdiroe mar "Porque,eaao ária um completo idiota, mo dedicareii aeronáutica: caw contrario, lorsar-cae-ai füó-eoío." DWee-Ibe que nriera— algo, durantea* fatias, aobre algum lema filosófico, a queeu lha diria, então, -• • • • í um completo idiota. N o inicio do ano letivo, trouxe-meo rwultado daquilo qu* eu lugarir». Apoa

ler apenas uma fraae, deaw-Ihe: " N s o . V. aáoder» tornar-ee aeronauia-" Nao ara láed hdarcom H*. Tinha mania*. Carta vea, dapoãi dehora» da Bufado, RCBBEU. perguntara-lhe aeHe estava pensando em problema* da logioaou am aeua pecados. "Em árabe* m mama".!oi a raapoeta- H erdara do pai u s «randcfortuna, maa daria» «a data, •lapnrh (o quetalvei *eje uma verdade) que o dmhriro cone-titula apenas uma amolaçlo par* o faoaofo-

Poi mestre *-coU num" lugarejo, Trellenbach.de oade a*cr*via a R n u . u . qaje "ca boroeoada Tmtenbaeh ato per* e m " , a que R m i u .respondera: ' Tato» o* homens 4 o p e n e m » .O lógico WiTOUirai a ãan dera esta resposta: "Ê verdade, maa ca hom ens de T r u t as -baoh iAo mais pe) vetam do que ca homens dequalquer outro lugar" . . • "Era um homemque impressionava unenaameEte", !n andel l r u i i i , poã> "possuía, am grau absolutamente eitraocdinário, ardor, peraetrapao e pu-teia. intelectual."

Ê a obra desse boroem ortatrio) maedotado de grande penetração e p o m a , q u ea Biblioteca Universitária ora apresenta aosleitores de língua portuguBm.

1. Cv7i C O P A



C Q . M P A N H I A E D I T O P A N A C I O N

wittgenstein, - tratactus

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