VREMENSKA VREDNOST NOVCA

Jedan od osnovnih koncepata u finansijskoj analizi je vremenska vrednost novca. Novac ima vremensku vrednost po kojoj određenu količinu novca vrednujemo tim više što je ranije primimo (manju količinu novca danas možemo smatrati ekvivalentnom sa većom količinom koju dobijemo u budućnosti). Zato postoji mogućnost ulaganja novca uz neku kamatnu stopu. Kamatne stope predstavljaju osnovne cenovne paramete na finansijskim tržištima. One utiču na kretanja cena svih finansijskih instrumenata i funkcionisanje svih segmenata finansijskih tržišta.

KAMATNE STOPE

Kamatna stopa je stopa prinosa na investiciju u finansijski instrument do njegovog dospeća; naziva se i godišnja stopa prinosa do dospeća. Izražava se kao procenat prinosa na godišnjem nivou.

Kamata je novčani ekvivalent kamatne stope i izražava se u jedinicama određene valute.

Ako investiramo u štedni depozit kod banke 9500€ i banka nam obeća isplatu 500€ godišnje, kamata je 500€, a kamatna stopa r=500/9500=0,0526 (5,26%). Tako ćemo na kraju godine imati 9500+500=10000€.

Vremenska vrednost novca ukazuje da 9500€ za godinu dana, čak i pod pretpostavkom da nema inflacije, vredi manje nego 9500€ danas. Koliko manje? Onoliko koliko za taj iznos možemo dobiti kamate na tržištu. Ako je r = 5,26%, onda 9500€ danas vredi koliko i 10000€ za godinu dana. Kamatna stopa je diskontna stopa po kojoj se buduća vrednost izjednačava sa sadašnjom vrednošću. Buduća vrednost je jednaka svim isplatama koje će se desiti po osnovu finansijskog instrumenta u budućnosti.

U zavisnosti od vrste fin. instrumenta imaćemo različite buduće isplate, sa različitom dinamikom isplata, ali za sve važi da njihova kamatna stopa predstavlja diskontnu stopu po kojoj se buduća vrednost isplata izjednačava sa sadašnjom vrednošću.

U prethodnom primeru smo posmatrali prosti zajam kod koga se glavnica (osnovica) zajma isplaćuje sa kamatom u trenutku dospeća (za 1. god.) (krediti odobreni preduzećima)

Kod anuitetskog zajma davalac zajma prima, u redovnim intervalima do dospeća, uplate uzimaoca zajma koje sadrže i kamatu i glavnicu, tako da se zadnjom ratom izmiruje dug u celini (sa fiksnim, progresivnim ili degresivnim ratama i različitom dinamikom isplata (grejs period)).

Kuponska obveznica obavezuje na isplatu kamate (najčešće u redovnim intervalima od pola godine) u formi naplate kupona o roku dospeća kupona, i nominalne vrednosti obveznice koja se najčešće isplaćuje uz poslednji kupon.

Bezkuponske obveznice se u trenutku emisije prodaju ispod nominalne vrednosti koja se plaća o roku dospeća, zajedno sa kamatom.

Po teoriji raspoloživih viškova, nivo kamatnih stopa se formira na osnovu ponude i tražnje raspoloživih viškova finansijskih sredstava. Suficitarni i deficitarni sektor čine domaćinstva, preduzeća, država i stranci, ali su im učešća u strukturi različita.

Ponuda raspoloživih viškova fin. sredstava (domaćinstva, retko država i preduzeća, stranci u zemljama sa negativnim trgovinskim bilansom u razmeni sa inostranstvom) zavisi od:

- nivoa bogatstva (direktna veza)- očekivanog prinosa (direktna)- rizika držanja i ulaganja (inverzna)- likvidnosti uloženih sredstava (direktna)

Tražnja za raspoloživim viškovima fin. sredstava (svi subjekti deficitarnog sektora) zavisi od:- očekivane profitabilnosti investicija u privredi (u uslovima privredne ekspanzije tražnja je veća)- očekivane inflacije (direktna)- državne aktivnosti (veza između budžetskog deficita i tražnje je direktna)

Ponuda raspoloživih viškova fin. sredstava će biti veća ukoliko je kamatna stopa veća. Tražnja za raspoloživim viškovima fin. sredstava će biti veća ukoliko je kamatna stopa manja.

Struktura rizika kamatnih stopa

Sa pozicija investitora, tržišno određenu kamatnu stopu možemo posmatrati kao stopu r koja je sastavljena od bezrizične kamatne stope plus četiri premije koje predstavljaju potrebne prinose ili kompenzacije zbog prisustva različitih tipova rizika:

r = realna bezrizična kamatna stopa + inflatorna premija + premija za kreditni rizik + likvidnosna premija + ročna premija (dospeća)

Realna bezrizična kamatna stopa – kamatna stopa za jedan period (jednokratna) na nerizične hartije od vrednosti (obveznice) ako se ne očekuje inflacija. U ekonomiji ona odražava vremensku preferenciju pojedinaca prema tekućoj u odnosu na stvarnu buduću potrošnju.

Inflatorna premija – kompenzira investitore za očekivanu inflaciju i odražava prosečnu stopu inflacije u periodu do dospeća duga.

Zbir Realne bezrizične kamatne stope i inflatorne premije je nominalna bezrizična kamatna stopa.

1+NKS= (1+RKS)(1+IP)

Premija za kreditni rizik – predstavlja kompenzaciju investitoru za mogućnost da dužnik ne uspe da vrati dug u ugovoreno vreme i u ugovorenom iznosu. (za procene kvaliteta emitenta i određenog fin. instrumenta treba se oslanjati na izveštaje rejting agencija). Državne obveznice su obveznice bez kreditnog rizika.

Likvidnosna premija – kompenzira investitora za rizik gubitka pri konverziji uloženih sredstava u gotovinu. Likvidnost je po pravilu veća kod obveznica sa kraćim rokom dospeća. Državne obveznice su likvidnije od korporativnih, kratkoročne od dugoročnih i sl. (manje likvidni fin. instrumenti moraju ponuditi više prinose da bi privukli investitore)

Ročna premija (dospeća) - kompenzira investitora za rastuću osetljivost tržišne vrednosti duga na promenu tržišne kamatne stope sa produženjem roka dospeća (duži rok dospeća otvara mogućnost izmene poslovnih okolnosti).

BUDUĆA VREDNOST

Vrednost novca u investicionoj matematici se bavi relacijama ekvivalencije između novčanih priliva sa različitim datumima.

Opisaćemo odnos između sadašnje vrednosti PV, kamatne stope za jedan vremenski period, r, i buduće vrednosti, FV, koju dobijamo za N godina ili perioda od danas.

BUDUĆA VREDNOST JEDNOKRATNOG NOVČANOG PRILIVA (SINGLE CASH FLOW)ILI PAUŠALNE INVESTICIJE (LUMP-SUM INVESTMENT)

Primer 1: Ulažemo 100 € u banku koja garantuje isplatu od 5% kamate godišnje. Za godinu dana imaćemo:

100 + kamata (0,05 . 100=5) = 105 €

Pretpostavimo da sada investiramo na dve godine, N=2, sa kamatom koja se godišnje upisuje na naš račun. Na kraju prve godine imamo 105 €, koje ostavljamo u banci još jednu godinu.

Sada je: 105 + kamata (0,05.105=5,25) = 110,25.

Investicija 100Kamata za prvu godinu 5Kamata za drugu godinu 5Kamata za II godinu na osnovu kamate za I (0,05 . 5) 0,25Ukupno 110,25

Osnovica, glavnica (Principal) je visina uloga, investiranih sredstava. Kamata od 5€ koju zaradimo svake godine na investiciju od 100€ je prosta (simple) kamata (kamatna stopa puta osnova); ona je fiksna za svaki period. Prosta kamata za dve godine je 10€. Kamata zarađena na kamatu je 0,25€.

t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 t=5 t=6

100 105

110,25 115,7625

121,55 127,628

134,0096

100(1 +0,05) (1 +0,05) (1 +0,05) (1 +0,05) (1 +0,05) (1 +0,05) =

100(1 +0,05)6

Investicija 100Prosta kamata za 6 godina (6.5=30) 30Kamata na kamatu 4,0096 Ukupno 134,0096

Vrsta kamatnog računa u kojem se kamatni prinos prethodnog perioda obračunava u osnovicu za ukamaćivanje narednog perioda naziva se konformno ukamaćivanje (compounding).

Uvedimo sledeće simbole:

PV – sadašnja vrednost investicijaFVN – buduća vrednost investicija za N perioda od danasr – kamatna stopa za 1 period

Za bilo koji period N

t=0 1 2 3 ... N-1 t= N (N perioda od danas) PV ------------------------------------------FN

FVN = PV (1 + r)N

r - kamatna stopa za određeni period; N – broj perioda ukamaćivanja (1 + r)N – faktor buduće vrednosti ili buduća vrednost 1€, pokazuje koliko će narasti 1€ na kraju N-te godine ako je kamatna stopa jednaka r.

Kamatna stopa i broj perioda ukamaćivanja moraju biti kompati-bilni, tj. obe promenljive moraju biti definisane za iste vremenske jedinice.

1. Za dati vremenski period, buduća vrednost raste sa porastom kamatne stope.

N=10

r= 5% FV10 = 100(1 + 0,05)10 = 162,889

r= 10% FV10 = 100(1 + 0,10)10 = 259,37

r=15% FV10 = 100(1 + 0,15)10 = 404,556

2. Za datu kamatnu stopu, buduća vrednost raste sa porastom broja perioda.

r= 0,10

N=10 FV10 = 100(1 + 0,10)10 = 259,37

N=50 FV50 = 100(1 + 0,10)50 = 11739,085

N=100 FV100 = 100(1 +0,10)100 = 1 378 061,1

Dok je prosta kamata fiksna za svaki period, kamata zarađena na kamatu postaje značajnija sa porastom kamatne stope i dužine perioda investiranja

N=6,r=5%

N=20,r=5%

N=6, r=10% N=20, r=10%

InvesticijaProsta kamataKamata na kamatu

100 30 4,0096

100 100 65,3298

100 60 17,1561

100 200 372,75

134,0096 256,3298 177,1561 672,75

Primer 2: Menadžer fonda razmatra mogućnost ulaganja 400 000 € u finansijski instrument koji obećava godišnju kamatnu stopu od 5,7% u sledeće 4 godine. Na kraju četvrte godine menadžer planira da dobijena sredstva uloži na još tri godine i očekuje da će u tom periodu dobiti godišnju stopu prinosa od 7,2%. Buduća vrednost celokupnog ulaganja (na kraju sedme godine) je:

PV=400000r=5,7%N=4 FV4 = 400000(1 +0,057)4 = 499298.

PV=499298r=7,2%N=3 FV3 = 499298(1 +0,072)3 = 615098€.

Primer 3: Za pet godina od danas biće vam vraćen dug od 5 mil. €. Sredstva ćete uložiti na 10 godina u finansijski instrument čija je godišnja stopa prinosa ocenjena na 7%. Ocenite buduću vrednost ovih sredstava za 15 godina od danas.

Inicijalne investicije pozicioniramo umesto na t=0, kao do sada, na t = 5, i računamo buduću vrednost za t = 15, tako da je N=10:

t=5 ... t=155000 000 9 835 756,8

PV=5 000 000r=7%N=10FV10 = PV (1 + r)10= 5 000 000 . 1,0710 = 9 835 756,8

UČESTALOST KONFORMNOG UKAMAĆIVANJA (ČEŠĆE OBRAČUNAVANJE KAMATE OD 1 GODINE)

Investicija može ubirati kamate češće nego jedanput godišnje. Na primer, kamate se mogu obračunavati polugodišnje, tromesečno, mesečno, nedeljno ili dnevno. Budući da banke navode tzv. utvrđenu kamatnu stopu izraženu na godišnjem nivou, rS, (stated annual interest rate; quated interest rate), potrebno je da na osnovu nje izračunamo kamatne stope za periode kraće od godinu dana i primenimo modifikovanu formulu za buduću vrednost.

Kako ćemo izračunati kamatu za periode kraće od godinu dana, npr., na mesečnom nivou?

Ako banka kaže da plaća 7% godišnje sa mesečnim konformnim ukamaćivanjem, mesečna kamatna stopa je jednaka rs /12.

Kada imamo više od jednog ukamaćivanja u toku godine, buduća vrednost se izračunava primenom sledeće formule

FVN = PV (1 + rs/m) mN

rs – godišnja kamatna stopam – broj ukamaćivanja tokom godineN – broj godinars/m – kamatna stopa za periode kraće od godinu dana je jednaka godišnjoj kamatnoj stopi podeljenoj sa brojem perioda u godini.mN - broj perioda ukamaćivanja je jednak broju perioda unutar godine pomnožen brojem godina.

Npr., ako je utvrđena kamatna stopa na godišnjem nivou rs=6%, N=1

Period m Kamatna stopa (rs/m) Broj perioda (mN)_pola godine 2 6/2=3 2kvartal 4 6/4=1,5 4mesec 12 6/12=0,05 12______

Sada postoji kompatibilnost između upotrebljene kamatne stope rs/m i broja perioda ukamaćivanja mN

Primer 4: Pretpostavimo da vam banka nudi depozitni sertifikat (certificate of deposit CD) sa dospećem za dve godine i godišnjom kamatnom stopom od 7%. Odlučili ste da uložite 5 mil.€. Pod pretpostavkom da možete birati između polugodišnjeg, kvartalnog, mesečnog i kontinuelnog ukamaćivanja, šta ćete izabrati?

Izračunavamo FV(CD) za različite periode ukamaćivanja:

1. polugodišnje : PV = 5 000 000rs = 0,07 (7%)m= 2rs/m = 0,07/2 = 0,035N = 2mN = 2.2=4 kamatnih perioda

FV2 = 5 000 000 (1 + 0,035)4 = 5 737 615 €

2. kvartalno (tromesečno):

PV = 5 000 000rs = 0,07 (7%)m= 4rs/m = 0,07/4 = 0,0175N = 2mN = 4.2=8 kamatnih perioda

FV2 = 5 000 000 (1 + 0,0175)8 = 5 744 408,9 €

3. mesečno :

PV = 5 000 000rs = 0,07 (7%)

m= 12rs/m = 0,07/12 = 0,005833N = 2mN = 12.2=24 kamatnih perioda

FV2 = 5 000 000 (1 + 0,005833)24 = 5 749 025,5 €

4. neprekidno (kontinuelno) ukamaćivanje

U prethodnim primerima ukamaćivanje je vršeno diskretno - posle određenih vremenskih perioda. Ako njihov broj tokom godine postane beskonačan, kažemo da se kamata ukamaćuje kontinuelno, za m (broj perioda ukamaćivanja teži beskonačnosti). Buduća vrednost iznosa za N godina sa kontinuelnim ukamaćivanjem je:

e= 2,7182818

PV = 5 000 000rs = 0,07 (7%)N = 2

Uporedimo dobijene buduće vrednosti:

1. FV2 = 5 000 000 (1 + 0,035)4 = 5737615€2. FV2 = 5 000 000 (1 + 0,0175)8 = 5 744 408,9 €3. FV2 = 5 000 000 (1 + 0,005833)24 = 5749025,5€

4. €

Sa istom utvrđenom kamatnom stopom izraženom na godišnjem nivou, od 7%, buduća vrednost bi bila

FV=5000000(1+0,07)2= 5724500€.

Vidimo da se buduća vrednost povećeva sa porastom broja ukamaćivanja pri istoj godišnjoj kamatnoj stopi.

Utvrđena godišnja kamatna stopa i efektivna kamatna stopa

Utvrđena kamatna stopa na godišnjem nivou, rS, ne daje direktno buduću vrednost, pa nam je potrebna formula za efektivnu kamatnu stopu (EAR).

Na primer, za rS = 8% kada se ukamaćivanje vrši polugodišnje, dobijamo efektivnu polugodišnju stopu od rS/2= 4%. Tako će investicija od 1€ za godinu dana narasti na

1 .(1,04)2= 1,0816.

To znači da je kamata jednaka 0,0816€, odnosno, da je efektivna godišnja kamatna stopa 8,16% > 8%.

EAR = (1+ k. s. za period ukamaćivanja kraći od 1 god)m -1

Kamatna stopa za period ukamaćivanja kraći od 1 godine je jednaka rS /m:

za pola godine : EAR=1,042 - 1 = 0,0816 (8,16%)za kvartal: EAR=1,024 - 1 = 0,0824 (8,24%)za mesec dana: EAR=1,006612 - 1 = 0,08299 (8,3%)za m : EAR= 1. e 0,08(1) -1 = 0,0833 (8,33%).

Formulu možemo da koristimo i za izračunavanje kamatne stope za periode ukamaćivanja kraće od 1 godine, koje odgovaraju određenoj efektivnoj godišnjoj stopi.

(EAR + 1)1/m –1= k. s. za period ukamaćivanja kraći od 1 god

kamatna stopa za period ukamaćivanja od pola godine, ako je EAR=8,16%, iznosi:

1,0816 ½ = (1 + k. s. za period ukamaćivanja od 1/2)1,04 -1 = k. s. za period ukamaćivanja od ½ godine 4% = k. s. za period ukamaćivanja od ½ godine

BUDUĆA VREDNOST NIZA NOVČANIH PRILIVA

Anuitet predstavlja kontinuelni niz novčanih priliva (ili isplata) koji su ravnomerno raspoređeni po vremenskoj osi tokom jednog vremenskog perioda.

- Običan (ordinary annuity) anuitet ima prvi novčani priliv koji se javlja za jedan vremenski period od danas (indeksiran je na t=1).

- Dospeli (konačni) anuitet (annuity due) ima prvi novčani priliv koji se trenutno javlja (t = 0).

- Kontinuirani niz priliva (ili isplata) (perpetuity) je neprekidan niz (proteže se u beskonačnost), sa prvim novčanim prilivom koji se javlja za jedan period od danas.

JEDNAKI NOVČANI PRILIVI – OBIČAN ANUITET

Primer 5: Pretpostavimo da će u sledećih pet godina investitor na kraju svake godine dobijati po 1000€ od nekog ulaganja; to znači da prvu isplatu dobija u t=1 (godinu dana od danas). On planira da svaki put kada primi 1000€ novac ponovo uloži po godišnjoj kamatnoj stopi od 5%. Koliko će investitor imati na kraju pete godine?

Buduću vrednost prvog uloga (investiranog u t=1) obračunavamo za 4 perioda, pa je ona, u t=5, jednaka:

1000.(1,05)4 = 1 215,51

Za drugi ulog, u t=2 je: 1000.(1,05)3 = 1 157,625

Za treći ulog, u t=3 je: 1000.(1,05)2 = 1 102,5

Za četvrti ulog, u t=4 je: 1000.(1,05)1 = 1 050

Za peti ulog, u t=5 je: 1000.(1,05)0 = 1 000Ukupno u t=5 5 525,63

__________________________________________________t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 t=5

1000 1215,51 1000 1157,625

1000 1102,5 1000 1050

________________________________________1000 ______ 5 525,63

Uvedimo sledeće oznake:

A – veličina anuitetaN – broj vremenskih periodar – kamatna stopa za jedan period

FVN = A(1 + r)N-1 + (1+ r)N-2 + (1 + r)N-3 + ...+ (1+r)0

Izraz u zagradi je faktor buduće vrednosti anuiteta koji daje buduću vrednost običnog anuiteta od 1€ po godini. Množenjem sa veličinom anuiteta dobijamo buduću vrednost običnog anuiteta. U našem primeru

A= 1000, pa je FV5= 1000 . 5,525631 = 5 525,63

Primer 6: Pretpostavimo da ste danas kupili obveznicu nominale vrednosti od 3 miliona € sa trajanjem od 10 godina, koja obećava isplatu godišnje kamate po stopi od 8%. Kamate se isplaćuju jedanput godišnje na kraju svake godine, pa je prva isplata za godinu dana od danas. Koliko ćete imati ako: a) zadržite obveznicu do kraja 10. godine od danas, i b) ako možete reinvestirati dobijenu godišnju kamatu po godišnjoj kamatnoj stopi od 7%?

Iznos koji ćete imati na kraju 10. godine se sastoji od:

1. 3 000 000, kod dospeća obveznice2. 10 godišnjih isplata kamata od 2400 000 (3 000 000.0,08)3. kamate zarađene od reinvestiranja kamata

Primenom formule za FV običnog anuiteta izračunavamo sumu iznosa pod 2. i 3.

A=240000r=0,07N=10

1. vrednost po dospeću 30000002. isplaćene kamate 24000003. kamate od reinvestiranja kamata 915947,5 Ukupno 6315947,5

Za razumevanje cene obveznice kroz celo vremensko razdoblje dok ona postoji potrebno je izračunati ukupan budući iznos na kraju investicionog perioda.

Nejednaki novčani prilivi

Ako su novčani prilivi nejednaki, onda ćemo buduću vrednost izračunati sabiranjem izračunatih FV za svaki novčani priliv zasebno.

FVN = A1(1 + r)N-1 + A2(1+ r)N-2 + A3(1 + r)N-3 + ...+ AN(1+r)0

t A r=5%1 10000 10000.1,054= 12155,063

2345

12000150002000050000

12000.1,053= 13891,515000.1,052= 16537,520000.1,05 = 2100050000.1,050= 50000 113584,063

FV običnog anuiteta sa ukamaćivanjem kraćim od 1 godine

Primer 7: Pretpostavimo da će (u primeru 5) investitor u sledećih pet godina umesto 1000€ na kraju svake godine, primati po 250€ na kraju svakog kvartala, počevši tri meseca od danas. Svaki put kada primi novac, on će ga ponovo uložiti sa kamatnom stopom na godišnjem nivou od 5%. Koliko će investitor imati na kraju pete godine?

A=250r/m=5/4=1,25mN=4.5=20

Zbog češćeg reinvestiranja, FV je veća nego u prethodnom slučaju (5525,63).

SADAŠNJA VREDNOST

Objasnimo kako na osnovu date buduće vrednosti određujemo iznos novca koji mora biti investiran danas (sadašnja vrednost) da bi se realizovala data buduća vrednost. Postupak izračunavanja sadašnje vrednosti se naziva diskontovanje. Sadašnja vrednost se naziva i diskontovana vrednost, a kamatna stopa diskontnom stopom.

Polazeći od formule za buduću vrednost:

FVN = PV (1 + r)N

dobijamo:

Faktor sadašnje vrednosti (1+r)-N je recipročna vrednost faktora buduće vrednosti, (1+ r)N. On pokazuje koliko treba investirati danas da bi, uz kamatnu stopu r, kroz N godina dobili vrednost od 1€.Sadašnja vrednost jednokratnog priliva (Lump Sum)

Primer 7: Menadžer penzionog fonda mora imati na raspolaganju 100 000 € za 5 godina. Pretpostavimo da za bilo koju sumu investiranu danas on može dobiti godišnju kamatnu stopu od 6%. Koliko treba da investira danas po stopi od 6% da bi za 5 godina imao potrebna sredstva?

Ovde vršimo diskontovanje, tražimo ekvivalent budućoj vrednosti pri odgovarajućoj kamatnoj stopi.

FVN = 100 000r = 0,06 (6%)N = 5 PV = FVN(1+ r)-N

= 100 000 (1+0,06)-5

= 100 000 . 0,7472581 = 74 725,82

Kažemo da je 74 725,82 € danas, pri kamatnoj stopi od 6%, ekvivalentno sa 100 000 € za 5 godina.

PV zavisi od diskontne stope i broja perioda, N, na sledeći način:

b) r=0,06 PV=100000.(1+0,08)-10= 55839,478N=10

Za datu diskontnu stopu, što je vremenski period do naplate određenog novčanog iznosa duži, to je njegova sadašnja vrednost manja;

c) r=0,08 PV=100000.(1+0,08)-5= 68058,32 N=5

Za dati vremenski period, što je veća diskontna stopa, to je sadašnja vrednost određenog novčanog iznosa manja.

Primer 8: Projektovana sadašnja vrednost jednokratnog iznosa (za t > 0)

Pretpostavimo da imate likvidnu finansijsku imovinu koja će vam za 10 godina doneti 5 miliona dinara. Interesuje vas koliko će iznositi sadašnja vrednost vaših sredstava za 3 godine od danas, pod pretpostavkom da je diskontna stopa 10%.

U t=3 vi ćete dobiti gotovinu za 7 godina

FVN = 5 000 000r = 0,10 (10%)N = 7 PV = FVN(1+ r)-N

= 5 000 000 (1+0,1)-7

= 5 000 000 . 0,5131581

= 2 565 790,6

Za t=0 dobili bismo PV = 1 927 716,4 din.

Učestalost ukamaćivanja

Ako su periodi ukamaćivanja kraći od godinu dana, onda sadašnju vrednost izračunavamo polazeći od formule za buduću vrednost:

FVN = PV (1 + rs/m) mN

PV = FVN (1 + rs/m) –mN

rs – utvrđena godišnja kamatna stopam – broj ukamaćivanja tokom godineN – broj godina

Primer 9: Znate da za pet godina od danas treba da platite celokupan iznos duga za stan od 500 000 dinara. Imate određena sredstva i želite da ih oročite kako biste na dan naplate duga imali potreban iznos. Birate između banke A – koja obračunava kamatu po stopi od 5% na godišnjem nivou, i banke B – sa godišnjom kamatnom stopom od 5% sa mesečnim ukamaćivanjem. Koju ćete izabrati?

AFVN = 500 000r = 0,05 (5%)N=5 PV = FVN(1+ r)-N= = 500 000 (1+0,05)-5= 391 763,08BFVN = 500 000r s= 0,05 (5%)m=12N=5r s/m=0,0416mN=60 PV = FVN (1 + rs/m) –mN=

= 500 000 (1+0,0416)-60= 389 602,69

Izabraćemo banku B jer manje novca treba oročiti da bismo dobili isti iznos za period N.

SADAŠNJA VREDNOST NIZA NOVČANIH PRILIVA

Često imamo finansijske instrumente koji nude nizove novčanih priliva u dužem vremenskom periodu (ili imamo dugovanja koja ćemo podmiriti nizom isplata). Novčani prilivi mogu biti skoro jednaki ili se među sobom manje ili više razlikovati, i mogu se pojavljivati u dužim ili kraćim vremenskim periodima ili kontinuelno. Koliko iznosi sadašnja vrednost jednog niza novčanih priliva?

Izračunavamo je tako što izračunamo sadašnju vrednost svakog novčanog priliva ponaosob i saberemo ih:

t A r=5%12345

1000012000150002000050000

10000/1,05= 9523,809512000/1,052=10884,35115000/1,053= 12957,56420000/1,054 = 16454,04950000/1,055= 39176,308 88996,085

t A12345

1000012000150002000050000

88996,085.1,05=93445,889 - 1000083445,889. 1,05=87618,184 – 1200075618,184 . 1,05=79399,093 – 1500064399,093 . 1,05= 67619,048 – 2000047619,048 . 1,05 = 50000 – 50000=0

OBIČAN ANUITET

Sadašnja vrednost niza jednakih novčanih priliva

A – veličina anuitetaN – broj anuitetnih isplata r – kamatna stopa za period koji odgovara frekvenciji anuitetnih isplata (godina, kvartal, mesec)

Sadašnju vrednost dobijamo množenjem visine anuiteta sa faktorom sadašnje vrednosti anuiteta koji predstavlja sadašnju vrednost običnog anuiteta od 1€ za N godina.

Primer 10: Želite da kupite finansijski instrument koji vam garantuje isplatu od 1200$ godišnje za period od 5 godina, počev godinu dana od danas. Pretpostavimo da želite (zahtevate) stopu prinosa od 12% godišnje. Ako se taj finansijski instrument nudi po ceni od 4000$ da li treba da ga kupite?

A=1200r=12% (0,12)N=5

Kada se serija novčanih priliva od 1200$ u trajanju od 5 godina diskontuje po godišnjoj stopi od 12% ona danas vredi 4325,73$.Treba kupiti finansijski instrument po ceni od 4000$, jer nam on nudi veću kamatnu stopu od 12%.

b) Želite da kupite finansijski instrument koji vam garantuje isplatu od 100$ mesečno za period od 5 godina, počev mesec dana od danas. Pretpostavimo da želite (zahtevate) stopu prinosa od 12% na godišnjem nivou.

A=100r/m=12/12=1% (0,01)N=5mN=60

Vidimo da je u ovom slučaju PV = 4495,5 > 4325,73, zbog veće frekvencije plaćanja.

Primer 11: Projektovana (Predviđena) sadašnja vrednost običnog anuiteta

Menadžer penzionog fonda predviđa da će za 10 godina od danas za isplatu penzija biti potrebno po 1 000 000$ godišnje. Kada se započne sa isplatama u trenutku t=10, one će se isplaćivati sledećih 30 godina, do t=39, u vidu jednakih godišnjih isplata. Koliko iznosi sadašnja vrednost obaveze za penzijska plaćanja ako je odgovarajuća diskontna stopa za penzijska plaćanja 5% na godišnjem nivou?

Ako prva isplata treba da bude u t=10, iz vremenskog perioda t=9, imamo običan anuitet sa 30 isplata. Zato ćemo prvo izračunati sadašnju vrednost anuiteta (za t=9 i N=30), a zatim ćemo naći sadašnju vrednost (u t=0) buduće vrednosti jednokratne isplate u t=9.

a) A= 1 000 000r=0,05 (5%)N=30

Sadašnja vrednost penzija u trenutku t=9 je 15,37 mil $. Sadašnju vrednost penzija u trenutku t=0, koja u trenutku t=9 iznosi je 15,37 mil$, izračunavamo primenom obrasca

PV = FVN(1+ r)-N

FVN= 15 372 451r=0,05 (5%)N=9PV = FVN(1+ r)-N= 15 372 451 (1+0,05)-9= 9 909 219 $

Sadašnja vrednost obaveze za penzijska plaćanja danas iznosi 9,9 mil$.

DOSPELI ANUITET

Posebnu vrstu anuiteta predstavlja dospeli anuitet čija je prva isplata danas (t=0), a ukupan broj isplata je N. Zato ga možemo posmatrati kao sumu dva dela:

jednokratni priliv danas + običan anuitet sa N-1 priliva.

Primer 12: Sadašnja vrednost jednokratnog priliva plus običan anuitet

Petar Panić danas ide u penziju i treba da odluči da li da uzme celokupan iznos iz penzionog fonda koji mu pripada, 30 000 €, ili u vidu anuiteta, 20 isplata po 3000 € godišnje počev od danas. Kamatna stopa u njegovoj banci je 7% na godišnjem nivou. Koja opcija ima veću sadašnju vrednost?

X – 30 000 €

Y

A=3000N=19r=0,07 (7%)

3000 + 31 006,78= 34 006,78

Sadašnja vrednost opcije Y je veća, treba prihvatiti anuitet.

Sadašnja vrednost beskonačnog niza jednakih novčanih priliva (anuitet bez roka dospeća)

Posmatrajmo slučaj običnog anuiteta koji nema rok dospeća. Na osnovu formule

+ ...

dobijamo

Kada je kamatna stopa pozitivna, suma konvergira ka:

Izraz se koristi pri određivanju vrednosti dividende od akcija jer one nemaju unapred definisan vek. (Akcija koja daje konstantnu dividendu je slična anuitetu bez roka dospeća).

Primer 13: Britanska vlada je jednom emitovala obveznice Consol bonds kojima je garantovana beskonačna isplata jednakih novčanih iznosa. Ako bi consol bond plaćala 100£ godišnje kontinuirano, koliko bi ona danas vredela pri godišnjoj stopi prinosa od 5%?

A=100r=0,05 (5%)

PV=A/r= 100/0,05= 2000£.

Sadašnja vrednost beskonačnog niza jednakih novčanih priliva indeksirana na vremenski period različit od t=0

Niz ravnomernih jednakih novčanih godišnjih priliva koji počinje, npr. na kraju pete godine (t=5) i završava na kraju 12. godine (t=12), predstavlja u t=4 (na kraju četvrte godine) običan anuitet u trajanju od 8 godina. Zato izračunavamo sadašnju vrednost anuiteta u godini pre prve isplate (t=4). Posle toga, tu sadašnju vrednost (u t=4) možemo diskontovati na današnju sadašnju vrednost (u t=0).

Primer 14: Posmatrajmo beskonačan niz priliva od 50$ godišnje sa prvom isplatom u t=7. Koliko danas iznosi njena sadašnja vrednost (t=0), ako je diskontna stopa 8%?

Prvo nalazimo sadašnju vrednost u trenutku t=6 (zato što se isplata vrši uvek od sledeće godine) i onda diskontujemo iznos za t=0.

a) A= 50r=0,08

PV= A/r=50/0,08 = 625

b) Sadašnja vrednost od 625$ u t=6, u trenutku t=0 predstavlja buduću vrednost. Zato izračunamo sadašnju vrednost jednokratne isplate:

FVN= 625$r=0,08N= 6

PV = FVN(1+ r)-N= 625 (1+0,08)-6= 625 . 0,63017=393,856

Sadašnja vrednost je 393,856$.

Sadašnja vrednost običnog anuiteta kao razlika između sadašnje vrednosti postojećeg i projektovanog anuiteta bez roka dospeća

Kao što smo već rekli, anuitet je niz isplata (naplata) fiksnog iznosa za određeni broj perioda. Pretpostavimo da posedujemo beskonačan niz jednakih novčanih priliva. U isto vreme mi pribavljamo

anuitet bez roka dospeća koji nas obavezuje na isplate, pri čemu su iznosi naplata i isplata među sobom jednaki. Ali, prilivi počinju od t=5, a isplate od t=1, što znači da se iznosi potiru počev od t=5. Tako ostajemo bez pokrića za t=1,2,3 i 4, što je anuitet sa četiri isplate u t=0. Tako možemo da konstruišemo anuitet kao razliku između dva anuiteta bez roka dospeća sa jednakim iznosima, samo različitih početnih datuma.

Primer 15: Za diskontnu stopu od 5% izračunajte sadašnju vrednost običnog anuiteta za period od 4 godine sa veličinom anuiteta od 100$ godišnje (počev od t=1) kao razliku između dva sledeća anuiteta bez roka dospeća:

A 100$ godišnje počev od t=1 (prvo plaćanje je u t=1)B. 100$ godišnje počev od t=5

PV0 (A) = 100/0,05=2000PV4(B) = 100/0,05=2000

PV0(B) = FVN(1+ r)-N = 2000(1+0,05)-4=1 645,4049

PV0(običan anuitet) = PV0 (A) - PV0(B) = 2000 – 1645,4 = 354,6$.

Sadašnja vrednost niza nejednakih novčanih priliva

Kada imamo nejednake novčane prilive, moramo najpre naći sadašnju vrednost svakog ponosob i sabrati odgovarajuće sadašnje vrednosti.

Primer 16: Niz nejednakih novčanih priliva (počev od t=1 do t=5) i njihove sadašnje vrednosti (u t=0) za diskontnu stopu od 7% godišnje:

Vremenski period Novčani priliv Sadašnja vrednost u t= 01 500 500 (1+0,07)-1 =467,289722 600 600(1+0,07)-2 = 524,063243 700 700(1+0,07)-3 =571,408514 800 800(1+0,07)-4 =610,316175 900 900(1+0,07)-5 =641,68756Ukupno 2 814,7652

Sadašnja vrednost svih novčanih priliva je 2814,7652$. Njihovu buduću vrednost možemo da izračunamo pojedinačno: 500.(1+0,07)4=655,398600.(1+0,07)3=735,02700.(1+0,07)2=801,43800.(1+0,07)1=856900.(1+0,07)0=900Ukupno 3947,85

Ali, kako znamo ukupnu sadašnju vrednost niza priliva, buduću vrednost možemo da je izračunamo i preko sume:

PV = 2 814,76N= 5r = 0,07

FVN = PV(1+ r)N = 2 814,76 (1+0,07)5 = 3947,85

IZRAČUNAVANJE KAMATNIH STOPA, BROJA PERIODA ILI VELIČINE ANUITETA

Izračunavanje kamatnih stopa i stopa rasta

Iz jednačine: FVN = PV(1+ r)N

1 + r = (FVN / PV)1/N

r = g = (FVN / PV)1/N-1

Kamatnu stopu možemo smatrati i stopom rasta, a od primene će zavisiti kako ćemo je tretirati.

Primer 17: Analizirate zarade koje je vaša kompanija ostvarila po akciji u poslednjih 5 godina. Podaci su 4$, 4,5$, 5$, 6$ i 7$. Izračunajte prosečnu godišnju stopu rasta zarada u posmatranom periodu.

- prosečna stopa rasta kao geometrijska sredina lančanih indeksa:

Godina Zarade Lančani indeks12345

44,5567

-1,1251,1111,2

1,166

r = g = (FVN / PV)1/N-1= (7/4)1/4-1=0,15016

Primer 18: Broj prodavnica jedne firme se od 2000.god do 2005.god smanjio sa 279 na 235. Izračunajte prosečnu godišnju stopu rasta broja prodavnica u posmatranom periodu.

r = g = (235 / 279)1/5-1= 0,96626 -1= - 0,0337 r= - 3,37%

Broj prodavnica se prosečno godišnje smanjivao za 3,37%.

Izračunavanje broja perioda

Interesuje nas za koliko godina će se investicija od 5000$ udvostručiti, po tekućoj kamatnoj stopi od 5%.

N ln(1+r) = ln 2

N= ln 2/ ln(1+0,05)

N= 0,693147/ 0,04879 = 14,2

Pri kamatnoj stopi od 5% potrebno je oko 14 godina da bi investicija udvostručila svoju vrednost

(Za brzu aproksimaciju potrebnog vremena u praksi se koristi tzv. Pravilo 72: 72/5=14,4)

Izračunavanje veličine anuiteta

Primer 17: Anuitetne isplate (sa mesečnim ukamaćivanjem) potrebne da bi se dostigla željena buduća vrednost

Planirate da kupite stan od 80 000 € za koji dajete učešće od 20000€ a ostatak pokrivate kreditom koji ćete vraćati u narednih 30 godina svakog meseca sa fiksnom otplatnom ratom. Prva rata kreće za mesec

dana od danas (t=1). Za taj zajam banka zaračunava godišnju kamatu po stopi od 12%. Koliko će iznositi vaša mesečna rata?

Banka izračunava ratu tako da, za datu kamatnu stopu, sadašnja vrednost isplata bude jednaka pozajmljenoj količini novca, u ovom slučaju 60 000 €. Zato koristi formulu

PV = 60 000rs =0,12m=12rs /m= 0,01N = 30mN = 360

Vaša mesečna rata će biti A=617,16€ (za N=30 godina).Za N=20, A=578,99€. (Šta zaključujete na osnovu toga?)

Primer 18: Projektovana veličina anuiteta (uplata u penzioni fond) potrebna da bi se finansirale anuitetne isplate u budućnosti (visina penzije)

Imate 33 godine (t=0) i planirate da se penzionišete u 65. godini (t=32). Nameravate da uštedite toliko da, počev od svoje 65. godine (t=32) sledećih 20 godina primate godišnje po 20 000 €. Ocenjujete da sledećih 10 godina možete da uštedite po 1000 € godišnje (počev od t=1 do t=10). Koliko treba godišnje

da uštedite od t=11 do t=31 da biste postigli željeni cilj? Možete ulagati u fondove koji će godišnje u proseku donositi kamatu od 6%.

Rešavanje problema zahteva da zadovoljimo sledeći odnos: sadašnja vrednost štednje (izdataka) treba da bude jednaka sadašnjoj vrednosti penzije (primanja). Vrednosti možemo da svedemo ili na t=10 ili na t=31 i da rešimo problem.

Ako izaberemo t=10, prva isplata nepoznatog iznosa X će biti 1 godinu kasnije, u t=11. Zato ćemo X da izračunamo na osnovu formule za sadašnju vrednost običnog anuiteta.

Ovaj problem uključuje tri niza jednakih novčanih priliva.

1. Treba izračunati buduću vrednost 10 godišnjih ušteda od po 1000€. Tako ćemo videti koliko ste uštedeli (do t=10).

2. Naći sadašnju vrednost penzija u t=10, da bismo videli koliko vam treba da biste ostvarili planirani cilj. To ćemo uraditi u dva koraka: Prvo, izračunavamo sadašnju vrednost anuiteta od 20 000€ godišnje u t=31(primenjujemo formulu za sadašnju vrednost anuiteta u t=31 jer je prva isplata u t=32). Zatim, diskontujemo dobijenu vrednost (u t=31) na sadašnju vrednost u t=10 (ukupno 21 period, od t=10 do t=31))

3. Izračunavamo razliku između ušteda (1) i sredstava potrebnih za ispunjenje postavljenog cilja (2). Uštede od t=11 do t=31 moraju imati sadašnju vrednost jednaku razlici između buduće vrednosti vaših ušteda (u t=10) i sadašnje vrednosti penzionih sredstava (takođe u t=10).

Cilj je da odredimo koliko treba da štedite svake od 21 godine, počev od t=11 do t=31.

1. Buduća vrednost ušteda u t=10. A= 1000 r = 0,06 N = 10

U t=10 vaša ušteđevina je 13 180,795€.

2. Sada treba da izračunamo vrednost penzionih sredstava u t=10. Prvo ćemo izračunati sadašnju vrednost sredstava u t=31(koja će se isplaćivati od t=32, narednih 20 godina):

A= 20000r=0,06N=20

To je vrednost potrebnih penzionih sredstava u t=31. Sada ćemo je diskontovati kao jednokratnu isplatu da bismo dobili sadašnju vrednost u t=10.

FVN = 229 398,42N=21r=0,06

PV = FVN(1+ r)-N= 229 398,42 (1+0,06)-21= 67 478,785

Do t=10 uštedeli ste 13 180,795€, a sadašnja vrednost potrebnih sredstava za projektovan penzioni fond je 67478,785€. Zato sadašnja vrednost veličine anuiteta u periodu od t=11 do t=31 mora biti jednaka razlici:

67 478,785 – 13 189,795= 54 288,99€.

Veličinu anuiteta, A, za period od t=11 do t=31, čija je sadašnja vrednost 54 288,99€, izračunavamo kao:

PV= 54 288,99r= 0,06N=21

U periodu od t=11 do t=31 morate povećati uštede na 4615€ godišnje da biste ispunili cilj i imali fond od 229 398,42€ na kraju poslednje uplate u t=31.

Princip aditivnosti novčanih tokova

Količine novca koje su indeksirane na isti vremenski period su aditivne (mogu se sabirati)

1. Posmatrajmo dva novčana priliva A (100) i B (200). Ako je kamatna stopa 2% možemo da nađemo buduću vrednost oba priliva, za N=2

A FVN=2 = A(1 + r)1 + (1+r)0 = 100(1+0,02) + 100=202

B FVN=2 = A(1 + r)1 + (1+r)0 = 200(1+0,02) + 200=404

(A+B)= 202+404=606

(A+B) = (A+B)(1 + r)1 + (1+r)0 = 300(1+0,02) + 300= 606

1. Претпоставимо да имате могућност да купите финансијски инструмент који ће доносити принос од 400 евра годишње у следећих 15 година, почевши једну годину од данас. Цена овог финансијског инструмента је 3000 евра. Ако намеравате да остварите годишњу каматну стопу од 6% на ово улагање, одговорите на питање: да ли треба да купите дати финансијски инструмент?

2. Желите да купите стан и намеравате да узмете стамбени кредит од 80 000 евра на 30 година. Месечне отплатне рате кредита су једнаке, као и годишња каматна стопа 12%. Колико ће износити месечна рата?.

3. Претпоставимо да брачни пар планира да за 12 година од данас пошаље своју девојчицу на студије у иностранство у трајању од 3 године. Годишњи трошкови студирања износе 6000 евра и очекује се да расту годишње по стопи од 4%. Опортунитетни трошак њиховог новца је 6%. Ако брачни пара планира да, почев од следеће године, изврши 11 једнаких уплата, израчунајте колико је потребно издвaјање сваке године?

ГоgинаГоgишњи принос1 -43,06%2 -17,75%3 -9,534 41,20%5 20,32%6 45,90%7 22,87%8 8,04%9 -6,18%10 46,21%

Израчунати геометријску средњу вредност временске серије из горње таблице.