vorlesungsskript physik (physics) für et/it &...

Blankenbach / PHYSIK ET/IT & TI / HS PF / 12.12.11 1

Vorlesungsskript „Physik“ (Physics)

für ET/IT & TI

HS Pforzheim, Fakultät für Technik

Prof. Dr. Karlheinz Blankenbach

Inhalt & Aufbau

Kapitel Unterteilung Beispiele

Einführung

Physikalische

Herangehensweise,

Einheiten

Freier Fall als

„Experiment“

Mechanik

Statik

Kinematik

Dynamik

Balkenwaage

Autofahrt

Freier Fall

Schwingungen Harmonische und

erzwungene Schwingungen

Pendel

Resonanz

Wärmelehre Temperatur

Wärmetransport

Wärmemenge

Kühlkörper

Deformierbare

Medien

Hookesches Gesetz

Strömungslehre Feder

Wellen / Optik Wellenausbreitung

Brechung, Beugung

Reflexion

Linsen

Anhang Basics, weitere Infos, … ,

Übungsaufgaben Vektoren


Dieses Skript kann im Internet (www.hs-pforzheim.de, Homepage Blankenbach)

heruntergeladen werden, dort sind auch Beispiel-Aufgaben aus Klausuren (Achtung:

es waren verschiedene Hilfsmittel erlaubt, insofern haben die Aufgaben

unterschiedliche Schwierigkeitsgrade) zu finden.

Der Inhalt wurde komplett überarbeitet, ist aber im Wesentlichen kompatibel zu den

‚Vorgänger’-Vorlesungen.

Um jedem etwas bieten zu können findet man bestimmt einige Druckfehler.

Ferner ist's wie im richtigen Leben - ohne Gewähr.

Relevante Begriffe werden auch Englisch angegeben „zum leichteren Lernen“

Physikbücher etc. zum Selbststudium und Verständnis &

Übungsaufgaben

Douglas C. Giancoli: Physik (deutsch), PEARSON Studium

(DAS Buch fürs Leben! Das beste Phyikbuch für Nicht-Physik-Studenten,

welches ich bisher gesehen habe. Viele Praxisbeispiele und Übungsaufgaben

etc. sowie weiterführende Internetlinks.)

Bohrmann et al.: Physik für Ingenieure, Verlag Harri Deutsch

Haliday. Resnick, Walker: Haliday Physik, Wiley (übersichtlich mit Beispielen)

Hering et al: Physik für Ingenieure, VDI Verlag

Kuypers: Physik für Ingenieure, VCH

Lindner: Physik für Ingenieure, Fachbuchverlag Leipzig-Köln

Stroppe: Physik für Studenten der Naturwissenschaften, Hanser Verlag

Schulz et al.: Experimentalphysik für Ingenieure, Vieweg

Thuselt: Physik, Vogel (HS Pforzheim)

Formel- und Tabellensammlung

Kuchling: Taschenbuch der Physik, Verlag Harri Deutsch

Stöcker: Taschenbuch der Physik, Verlag Harri Deutsch

Java Applets: z.B. www.walter-fendt.de/ph14d (Stand Aug. 2011)

ergänzend: Vogel: Vorkurs Physik, Springer (leider keine Neuauflage - Bibliothek)

www.brueckenkurs-physik.de (Dies stellt nur eine Auswahl dar)

http://www.walter-fendt.de/ph14d


1. Einführung (Introduction)

Traditionelle Physik Moderne Physik

‘unbelebte Natur’

Biophysik, Physiologie

Mechanik

Akustik

Wärme Zusammenführung, sowie

Elektrizität neue Effekte (z.B. Quanten-Hall-Effekt)

Magnetismus

Optik

- Aufbau der Materie

(Festkörperphysik, Atomphysik, Kernphysik,

Teilchenphysik, Astrophysik)

- Theoretische Physik

(Quantenmechanik, Relativitätstheorie)

Die traditionellen Abgrenzungen verschwimmen in der modernen Physik:

Die Effekte in der Akustik und Wärmelehre werden auf die mechanische Deutung ‘Bewegung

und Stöße von ungeladenen Teilchen’ zurückgeführt.

Bsp: Schallwellenausbreitung durch fortschreitende Druckänderungen,

welche aber wiederum Temperaturänderungen erzeugen (pV T)

Licht wird als elektromagnetische Welle beschrieben; Optik und Elektromagnetismus

(Funkwellen) beschreiben dieselben Phänomene.

Ebenso sind Licht und Wärmestrahlung wesensgleich.

Erhaltungssätze, wie der Energiesatz in der Mechanik oder die Ladungserhaltung in der

Elektrotechnik, beruhen auf demselben Prinzip.


Neue Gebiete der Physik (ab ca. 1900):

Aufbau der Materie (siehe unten)

Festkörper-, Molekül-, Atom-, Kern- und Teilchenphysik

Bsp: Festkörperphysik ist die Basis der Halbleitertechnik

Theoretische Physik

Mathematische (Weiter-)Entwicklung einer physikalischen Theorie

Verifikation durch die Experimentelle Physik

Bsp: ohne Einsteins Relativitätstheorie kein GPS-System,

Empfängerpreis ab 100 € !

Aufgabe und Technische Anwendung der Physik / Ingenieurphysik :

- systematische Untersuchung

- Auffinden von Zusammenhängen

- Rückführung komplizierter Vorgänge auf einfache Gesetzmäßigkeiten

Bsp: - Materialeigenschaften (Dichte, spezifischer Widerstand, ...)

folgen aus dem komplexen Aufbau der Materie

- Gasdruck: Stöße von Molekülen an die Begrenzungswand

- Formeln : z.B. Auto s = v t

wichtig: Unterschied zwischen ‘mathematischen’ Formeln und experimentell ermittelten

Formeln:

mathematisch: Bewegung mit a = const. v = a t s = ½ a t2

Fit : Hookesches Gesetz F x ist empirisch, gilt nur für kleine x


1.1 Physikalische Größen (Units)

Wert der physikalischen Größe = Zahlenwert * Einheit

Bsp: t = 5 s

Einheiten gemäß SI-System

1.1.1 Basisgrößen (SI-System)

Basisgröße Größenzeichen Basiseinheit Einheitszeichen

Länge [l] Meter m

Masse [m] Kilogramm kg

Zeit [t] Sekunde s

El. Stromstärke [I] Ampere A

Temperatur [T] Kelvin K

Lichtstärke [I] Candela cd

Stoffmenge [y] Mol mol

englisch: l = length / m = mass / t = time, ...

Umstellung physikalischer Einheit in der Praxis teilweise schwierig:

Bsp: Automotor - Leistung PS kW

Einheit in der Informationstechnik : 1 Bit

Aus den 7 Basisgrößen werden alle anderen physikalischen Größen mit Formeln abgeleitet.

Vergleich s.u.


1.1.2 Abgeleitete Größen (SI-System)

Beispiel Formel Einheit

Geschwindigkeit

t

sv

s

m

Ladung Q = I t A s = C

Weitere Bsp: N, J

1.1.3 Vorsätze für Maßeinheiten

Vereinfachung physikalische Maßeinheiten mit Vorsilben :

einfachere Schreibweisen bei sehr großen oder sehr kleinen Zahlenwerten:

Zehnerpotenz Vorsilbe Kennbuchstabe

10-12 Piko p

10-9 Nano n

10-6 Mikro µ

10-3 Milli m

103 Kilo k

106 Mega M

109 Giga G

Bsp: 0,001 m = 1 * 10-3 m = 1 mm

Standardisierung der Einheiten ist wichtig !


1.2 Messungen (Measurements)

Physikalischen Formel müssen durch Experimente verifiziert werden!

Voraussetzung: geeignete Meßgeräte

Bsp: Längenmessung

Meterstab : geringe Genauigkeit (auch Zollstock, Einheit !)

Meßschieber: hohe Genauigkeit ca. 1/10 mm

Meßaufgabe\-mittel Meterstab Meßschieber

Tafelbreite +

-

(Aneinanderreihen der Meßschiebermessungen)

Durchmesser Stab -

(grobe Skalierung und Paralaxe) +

Faustregel:

- Maximalwert der Meßgröße kleiner als der Skalenendwert

- Minimalwert etwa 10% des Skalenendwertes.

Meßfehler statistische Fehler Systematische Fehler

Beispiel Ablesen Messschieber "billiger" Meßschieber

Fehlerreduzierung Wiederholtes Messen und Ablesen "teurer" Meßschieber

Verfahren Statistik (Mittelwert,

Standardabweichung, ...)

Beschreibung des

Meßverfahrens

Gesamtfehler = statistische + systematische Fehler


1.3 Physikalische Methodik

Experimentelle Physik (Ingenieurwissenschaften):

1. Beobachtung reproduzierbarer Vorgänge (Experimente)

2. Messung der relevanten Parameter

3. Aufstellen einer Formel

4. Verifikation der Formel mit Randbedingungen und Fehlern

Beispiel: Freier Fall einer Stahlkugel 1. Beobachtung Kugel fällt immer Richtung Erde

2. Messung

3. Formel durch Probieren und Fitten findet man: hconstt mit const = 0,452 s m-0,5

4. Verifikation

Der gefundene Zusammenhang gilt nur für eine Stahlkugel und ca. 500m über

Meeresniveau. Deutliche Abweichungen bei einem Tischtennisball (Luftwiderstand)

oder in sehr großen Höhen.

Aber: Kann die Konstante besser beschrieben werden ?

Sie hängt offensichtlich von der Erdanziehungskraft ab.

Die exakte (ideale) Formel erhält man leichter aus der

Theoretischen Physik, ausgehend von der Beschleunigung;

siehe Kinematik: 2tg

2

1h.bzw

g

h2t

0,0

0,4

0,8

1,2

1,6

2,0

0 2 4 6 8 10 12

Fallhöhe h /m

Fa

lld

au

er

t /s

Fehlerbalken übertrieben


2. Mechanik (Mechanics)

Mechanik ist ältester Teil der Physik

Sachverhalte leicht sichtbar und greifbar, tägliche Erfahrung

leichtes Erlernen der physikalischen Methodik und Denkweise

Erste Erfahrungen: Pfeil + Bogen, Wurfmaschinen der alten Griechen und Römer

Erste Beschreibung durch Newton ca. 1700

2.1 Einführung

Mechanik: Gleichgewicht und Bewegung von Körpern im Raum unter dem

Einfluß von Kräften

2.1.1 Einteilung

Abgrenzung Beispiel

Klassische Mechanik "Technik" Auto

Relativitätstheorie hohe Geschwindigkeiten

(Lichtgeschwindigkeit)

Elektron in Braunscher

Röhre,

Astronomie

Quantenmechanik "kleinste Körper" Atome, Moleküle, Kristalle

Wellenmechanik Wechselwirkung von

elektromagnetischen Wellen mit

Atomen, Molekülen, Kristallen

"rote Sonne" beim Auf- und

Untergang

Klassische Mechanik:

- Grenzfall der Relativitätstheorie für kleine Geschwindigkeiten

- Grenzfall der Quanten- und Wellenmechanik für große Körper

Diese Vorlesung: Klassische Mechanik für Ingenieure


2.1.2 Klassische Mechanik (Classical Mechanics)

Gebiete Inhalt Beispiel

Statik Kräfte Balkenwaage

Kinematik Bewegungsformen Autofahrt, Wurf

Dynamik Kräfte als Ursache der Bewegung

Arbeit, Energie, Leistung, Impuls

Freier Fall, Rakete,

Schwingungen

Reale Beschreibung meist schwierig, deshalb vereinfachte Beschreibung durch Modellkörper

2.1.3 Modellkörper

Definition Beispiel

Massepunkt keine Ausdehnung,nur Masse Autofahrt (Kinematik)

Starrer Körper Ausgedehnt, keine Verformung Balkenwaage (Statik, Dynamik)

Elastischer Körper * Verformung Feder

Ideale Flüssigkeit * keine Reibung Wasserströmung im Rohr

Ideales Gas * kein Eigenvolumen Luftkompression

(*): Mechanik Deformierbarer Medien

Bedeutung der Mechanik: Vorhersage von (Bewegungs-) Zuständen, wenn der

gegenwärtige Zustand (Anfangsbedingungen) bekannt ist.

Beispiele:

- Vorhersage der Ankunftszeit eines Autos aus Restentfernung und Geschwindigkeit

- Kfz-Assistenzsysteme z.B. „Automatisches Gaswegnehmen“ bei Geschwindigkeitslimit auf

Basis von Navigationskarten – hier: Berechnung wieviele Meter vor Schild ?

Problem:

Messung aller Anfangsbedingungen und externer Einflüsse, z.B. Flug eines Luftballons


Vorgehensweise zur erfolgreichen Lösung von

Mechanik - Aufgaben

- Skizze

- Reibung ?

- Modellkörper ?

- Aufstellen der Bewegungsgleichung

Fall: - Statik (a = v = 0)

- Kinematik, Dynamik, Schwingungen

Art: Translation , Rotation , Translation Rotation

Falls nicht Statik, Bewegungstyp ?

Kinematik Dynamik

Betrachte nur a:

- a = 0

- a = const.

- a const.

typisch: v, a, t gegeben

bzw. gesucht

- Kraftansatz F = 0 , M = 0 (typisch a gesucht)

- Energieansatz Eges = const. (meist h oder v gegeben)

- Impulsansatz p = const. (2 Körper stoßen aufeinander)

(Schwingungen immer mit Kraftansatz)

- Koordinatensystem festlegen und in Skizze einzeichnen und Variablen anpassen

- Lösung dann mit Differential avs;vs bzw. Integral ²dtadtvs;dtav

- Anfangs- (t=0) bzw. Endbedingungen einsetzen

PS.: Dies stellt lediglich eine allgemeine Übersicht dar.


2.2 Statik des Starren Körpers (Statics of Rigid Body)

Definition: Körper mit genau definierter Form, welche sich nicht (nie) ändert

Bsp: Stange, Quader

Grenzfall: z. B. Lineal verbiegen

Anwendung des Modellkörpers „Starrer Körper“ bei technischen Bau- und Maschinenteilen

(Stein, Stange, ...) unter Vernachlässigung von Formänderungen (z.B. Biegung)

Statik umfaßt Systeme, welche sich nicht (mehr) bewegen

Bsp: Balkenwaage vor Auflegen Gewicht und wieder im eingeschwungenen (statischen)

Zustand

weiteres Bsp: Hausbau: Berechnung der Statik aber Dynamik Erdbeben Einsturz

Definition Statik

Ein Starrer Körper befindet sich im Gleichgewicht, wenn die Wirkung aller auf ihn

angreifenden Kräfte Null ist.

Kraft kann z.B. durch Drücken (Gewicht, Lineal), Ziehen (Schnur) und Gewicht auflegen

(Balkenwaage) erzeugt werden. Ein Starrer Körper deformiert sich dabei nicht.

Versuche:

- 2 Seile an Körper: Kraft offensichtlich vektoriell

- Balkenwaage


2.2.1 Kraft (Force) als Vektorielle Größe

Die Kraftwirkung am Starren Körper hängt vom - Angriffspunkt (A, A')

- Betrag (Größe)

- Richtung

des Kraftvektors F

ab.

Einheit der Kraft: [F] = N = ²s

mkg

JAVA Applett: Zerlegung einer Kraft in zwei Komponenten

Kräfte – Angriffspunkt€ an Starrem Körper:

- gemeinsamer Angriffspunkt : Schachtel mit 2 Schnüren in 1 Öse

- unterschiedl. " : " " 2 Ösen

1 Ny

x

A'

F'

AF


2.2.2 Kräfteaddition

2.2.2.1 Kräfte mit gemeinsamem Angriffspunkt

Mehrere Kräfte z.B. 3 Seile an einer Befestigung

zeichnerisch : Konstruktion mit "Krafteck"

rechnerisch : ...FFFF 321r

Kräfteaddition

n

i

ir FF1

(MS - 1)

JAVA Applett: Gesamtkraft mehrerer Kräfte (Vektoraddition)

Summationszeichen:

n

1i

n21i a...aaaS

Bsp:

3

1i

6321iS

F3

F2

Fr

F1

A

Krafteck:Kraftvektoren parallelverschieben


Gleichgewicht zweier Kräfte 0Fr

Versuch: - Tauziehen

- Feder mit Gewicht Federkraft = Gewichtskraft

0FFF 21r

(da Statik !)

21 FF

21 FF

Versuch: Gewicht auf Tisch / Lineal durchbiegen

Im Gleichgewicht ist Kraft gleich Gegenkraft: FP = - FG FP + FG = 0 = Fr

Konsequenz: Wenn ein Körper in Ruhe ist, können trotzdem Kräfte auf ihn wirken

Newtonsches Grundgesetz der Statik

Ein Kraft erzeugt eine gleich große Gegenkraft : actio = reactio

besser: actio + reactio = 0

andere Formulierung:

Ohne äußere Kraftwirkung verharrt ein Körper in Ruhe (oder er bewegt sich

gleichförmig

( Kinematik)

Grundgesetz der Statik

FR = 0 bzw. Fi = 0

(MS - 2)

Bsp: Ball auf einem Tisch rollen lassen (ist das noch Statik ?)

F2 F1

F

F

G e w ich t

P la tte


2.2.2.2 Hebelgesetz (Arm, Lever)

Hebelgesetz

Die Abstände der Kräfte von der Resultierenden

verhalten sich umgekehrt wie die Kräfte

JAVA Applett: Hebelgesetz

1

2

2

1

l

l

F

F

(MS - 3)

Bsp: l1 l2 : Balkenwaage, Kinderwippe

l1 >> l2 : Hebel zum Möbelanheben, Brechstange

2.2.2.3 Kraft auf Unterlage bei Schiefer Ebene

Neigungswinkel

Hangabtriebskraft

Normalkraft

tan = h / s

FH = FG sin

FN = FG cos

(MS - 4)

(Kraft auf Unterlage,

relevant für Gleitreibung)

JAVA Applett: Schiefe Ebene

F1F2

l1 l2Gleichgew.Unterstützung

FN

FG

FH

s

h


2.2.3 Drehmoment (Torque)

Was bewirkt Kraft auf drehbaren Körper ? Drehung

Bsp: - Schraube anziehen mit Gabelschlüssel

- Autoreifen: Drehmomentschlüssel

- Automotor : Drehmoment

Wirkt auf einen drehbaren Starren Körper eine Kraft, so erzeugt sie ein Drehmoment.

Drehmoment

[M] = Nm

FrM

(MS - 5)

Das Drehmoment steht senkrecht auf r und F,

da Vektorprodukt.

Betrag: FlsinFrM

Anschaulich:

Drehmoment

- in Drehachsenrichtung

- erzeugt Drehbewegung

Kinematik der Rotation

M /Nm

U / 1/min

D

A

F

M

rD


Beispiel zum Drehmoment (Übung)

0

0

m1

r

0

N1

0

F

Nm1

0

0

0

N1

0

0

0

m1

FrM

Gleichgewichtsbedingung Rotation

Ein drehbarer Starrer Körper ist im Gleichgewicht, wenn die Summe der angreifenden

Drehmomente Null ergibt, d.h. er dreht sich nicht um seinen Drehpunkt.

Bsp: Balkenwaage

Grundgesetz der Statik für Rotation

n

1i

i 0M

(MS - 6)

das ist Schwerpunktsbedingung; vgl. F = 0

Hieraus folgt die Bedingung für den Schwerpunkt eines Starren Körpers. Der Schwerpunkt ist

derjenige Aufhängepunkt, bei dem sich der Starre Körper unter dem Einfluß der Schwerkraft

(Erdanziehungskraft) nicht dreht.

r

FM

x

yz


Schwerpunkt (Centre of Gravity)

Bsp: Hantel mit masseloser Stange

m1 = m2

Aus Gleichgewichtsbedingung und

Hebelgesetz folgt:

1a2

2a

F

F

2

1

Herleitung des Schwerpunktes mit Drehmoment und Schwergewichtsbedingung:

Gesamtdrehmoment = Summe der Einzeldrehmomente: M = 0 da Fr

genügen

Beträge

Nebenbed.: l1 + l2 = a

M1 + M2 - Mswp = 0

m1 g x1 + m2 g x2 - (m1 + m2) g xs = 0 (x r)

21

2211s

mm

xmxmx

Schwerpunkt 21

21s

mm

am0mx

= a/2

Schwerpunkt (allgemein)

y und z analog

i

ii

sm

xmx

(MS - 7)

F F2

0 a xXs

a

l1 l2

m mS

1

11


Experimentelle Schwerpunktsbestimmung

durch Ausbalancieren - Aufhängen

- Unterlegen einer Stange / Walze

Schwerpunkt:

- Auto: Lastverteilung Vorderachse zu Hinterachse; z.B. Anfahrverhalten bei Schnee

- wichtig bei Flugzeugen, Schiffen, Raketen , ... : "Lastverteilung"

Einzelgeräte-Schwerpunkte während Konstruktionsphase über Drehmoment verkoppelt

ergibt den Gesamtschwerpunkt.

Anmerkung:

Der Schwerpunkt kann auch außerhalb des Starren Körpers liegen. Bsp. Ring (Torus)

Auftriebskraft

Hebelwirkung

Antriebsloser Flug

Gewichtskraft in Abh. von Schwerpunktlage

ideal

schwanzlastig kopflastig


Übungsblatt Statik, Kräfte, Vektoren

1. Geben Sie Betrag und Richtung der Vektoren an:

3

2

1

v;

1

0

2

v;0

2v 321

2. Addieren Sie die Kräfte bzw. Vektoren und geben Sie Betrag und Richtung an. a) und b)

auch graphisch.

a)

1

1b;

1

1a

b)

4

3c;

2

1b;

1

2a

c)

3

2

1

b;

5

4

3

a

3. Zerlegen Sie die Kraft in 2 orthogonale Kraftvektoren (Rechnung und Zeichnung)

2

4F

4. Auf einen Starren Körper, welcher den Weg s zurücklegt wirkt die Kraft

F . Wie groß ist

die Arbeit? ([s] = m ; [F] = N)

a)

2

3F;

1

2s

b)

0

1000F;

1

0s

5. Berechnen Sie das Drehmoment und vergleichen Sie 4) und 5) .

6

5F;

2

1r

6. Berechnen Sie die Hangabtriebskraft für einen Winkel von 30° und einen runden Körper

der Masse 1 kg .

7. Berechnen Sie den Schwerpunkt: 3 gleiche Massen im gleichseitigen Dreieck und

masselose Stangen

8. Bei welchem Flüssigkeitsstand ist die Standfestigkeit einer Getränkedose am größten, d.h.

der Schwerpunkt am tiefsten? Idealisierung: Dünnwandige Zylinderdose, welche am

Anfang ganz voll ist. Masse Dose < Masse Getränk (voll).


Übungsblatt Statik, Kräfte, Vektoren - Lösungen 1.

v1 v2 v3

Betrag 2 5 14

Richtung 0° (xy) xy : 0° xz : 26,6°

xy (Azimut): 63,4° xy auf z (Elevation) 53,3°

(Elevation : Vektor ( 5 /3) )

2. a)

0

2c

; b)

3

4c

; c)

8

2

4

c

3.

0

4Fx

;

2

0Fy

4. a) W = 8 Nm

b) W = 0 Nm

5.

4

0

0

M

M45,13sin615sinFrM

M und W haben dieselbe Einheit aber Vektor und Skalar! 6. FH = 5 N

7. für normale Gewichtsverhältnisse : xs = L/2 ; ys 0,3 L


2.3 Kinematik (Kinematics)

Beobachtung: Körper bewegen sich: Ball, Auto, Karusell, ...

Beschreibung dieser Bewegung durch die Kinematik = Bewegungslehre

Definition:

Die Kinematik beschreibt die Bewegung von Körpern, ohne die Ursache für die Bewegung zu

betrachten.

Bewegung eines Körpers kann beliebig sein, die geradlinige Bewegung d.h. die Translation

ist der einfachster Fall. Bei krummlinigen Bewegungen können einzelne Abschnitte durch

Kreisbewegungen d.h. Rotationen und Translationen angefittet werden.

Beispiel: - Ballwurf eines Kindes: Kreisförmige Bewegung mit translativem Abwurf.

- Geradeausfahrt auf Autobahn + kreisförmige Ausfahrt

Allgemein: Krummlinige Bewegung angefittet durch Translation + Rotation

Solche Daten bilden die Grundlage in Navigationsdaten

Modellkörper - Translation : Massepunkt

- Rotation : Massepunkt an steifer, gewichtsloser Stange

Rotation

Translation

s(t)

D

R

Massepunkt


Versuch drehende Balkenwaage

Starrer Körper, der um einen Drehpunkt (vgl. Drehmoment) rotiert, führt eine Kreisbewegung

aus.

Kreisbewegung in der Technik ebenso wichtig wie Translation, da alle rotierenden

Gegenstände wie Antriebsachsen, Ritzel, Räder, ... Kreisbewegungen durchführen.

Arten Translation

(Translation)

Rotation

(Rotation)

Bewegung Geradlinig Drehung

Koordinatensystem Rechtwinklig Polarkoordinaten

Beschreibung Vektoren Skalare

Weg s

Drehwinkel (Def. über Bogenmaß)

Modellkörper Massepunkt Massepunkt an gewichtloser,

drehbarer Stange

Bsp: Aufzug Karusell

Grundlage: Ortsänderung im Bezugssystem

wichtig: geeignetes Bezugssystem: kartesische- - Polarkoordinaten !

z

x T1T0

t = T0 t = T

1

s

yr0

s

r1

Orts-Diagramm Weg-Zeit-Diagramm

t


Relative Bewegungen

Windstille !

Wie ist dieses Photo „entstanden“ ?


2.3.1 Geschwindigkeit (Velocity) Maß für Wegänderung pro Zeiteinheit : Geschwindigkeit

Def.:

Ortsänderung pro Zeiteinheit

Geschwindigkeit

s

mv

s

td

sd

t

sv

alDifferentiDifferenz

(MK - 1)

bzw. vektoriell sv

Geschwindigkeit = Zeitableitung des Weges (path)

Beispiele zur Ableitung (und Integration): (eindimensional) (Übung)

geg. s(t) s

dt

dsv sv

dt

dva

Beschleunigungstyp

1 0 0

t 1 0 0

t² 2t 2 const

t³ * 3t² 6t const

sint cost -²sint = -² s Schwingung

*: t³ z. B. bei Anlauf- bzw. Abbremsprofilen von Motoren

Das Vorgehen von „links“ nach „rechts“ beschreibt die Ableitung.

Das umgekehrte Vorgehen (Integration) ist auch möglich und wichtig (s.u.)


Weg kann durch zeitliche Integration der Geschwindigkeit berechnet werden:

Aus (MK 1) : ds = v dt

integrieren = umgekehrte Differentiation, daraus erhält man den Weg

Herleitung: Weg berechnen, wenn v gegeben

v = ds / dt | dt

v dt = ds |

0

T

T

sdt)t(v)t(s1

0

(MK - 2)

Anwendung Flugzeug:

Staudruck-Messgerät mißt nur die Geschwindigkeit Integration ergibt s !

Problem Integration und Variable t

Herleitung für v = const. : tvsTvTTvdtvsüblich

1T

0T

01

Achtung: übliche Definition: t als relative Zeit nach Meßbeginn !!

Spezialfall: )t(vv

, d.h. v = const: ostv)t(s

s0 : Integrationskonstante, Weg zu Beginn bei T0

Beispiel: Auto mit v = 10 m/s = const. ; Zeitdauer 100 s ; so = 0 m

m1000s10010dt10dt10sdt)t(v)t(ss

m

s100

0

s

m

s100

0

s

m0

T

T

1

0

Def.: Mittlere Geschwindigkeit

z.B. Berechnung durch Tripcomputer t

svm

(MK - 3)

für t 0 :

Def.:aktuelle Momentangeschwindigkeit

z.B. Wert auf Tachometer s

td

sdva

(MK - 4)


2.3.2 Beschleunigung (Acceleration)

Was passiert, wenn sich Geschwindigkeit zeitlich ändert z.B. Auto anfährt ?

Die Geschwindigkeit ändert sich mit der Zeit, d.h. ist zeitabhängig.

Def.: Beschleunigung

= Geschwindigkeitsänderung

pro Zeiteinheit

[a] = m/s

sv

td

vd

t

va

werttanMomen.aktttswertDurchschni

(MK - 5)

Technik: a > 0 : Beschleunigung ; a < 0 : Verzögerung

Zahlenbeispiele siehe obenstehende Tabelle zur Ableitung und Integration

Elektrotechnik: Beschleunigung von geladenen Teilchen :

Strahlung nach Maxwell - Gleichungen : Synchrotonstrahlung

Geschwindigkeit und Weg können aus der Beschleunigung durch zeitliche Integration

berechnet werden:

Geschwindigkeit 0vdt)t(a)t(v

(MK - 6)

Weg 0sdt)t(v)t(s

(MK - 7)

Analog für Rotation, statt Weg s den Winkel verwenden (s.u.) !


2.3.3 Translation (Translation {Motion})

Vereinfachung eindimensionale Betrachtung (1D): ss

(o.B.d.A.)

Def.: Bewegungstyp / -form

Art Gleichförmig gleichmäßig

beschleunigt

ungleichmäßig

beschleunigt

a 0 const. const.

v const. Lineare Änderung, v t const.

Bsp. Auto 100 km/h Freier Fall Pendel

es gibt nur 3 Arten der Translation (bzw. Rotation):

2.3.3.1 Gleichförmige Translation

Typ: a = 0

aus (MK - 6): v = vo

aus (MK - 7): s = vdt = vo t + C

s = vo t + so (MK – 8)

JAVA Applett: Bewegung mit konstanter Beschleunigung

Beispiel:

Bei einer Autofahrt mit konstanter Geschwindigkeit entspricht die Momentangeschwindigkeit

der mittleren Geschwindigkeit, Formel s / t

s v

t

a

ov

os


2.3.3.2 Gleichmäßig beschleunigte Translation

Versuch: - Ball fallen lassen

- Wagen mit Gewicht und Umlenkrolle

d.i. Freier Fall = gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Typ: a(t) = const Bsp.: Freier Fall

aus (MK – 6): tadt.constv

aus (MK - 7): s = vdt = atdt = ½ a t2

Formeln aus (MK - 6) und (MK - 7), so = 0

Geg. vo = 0 vo 0

a, t

v = at

s = 1/2 at²

v = at + vo

s = 1/2 at² + vo t

a, s

sa2v

2

ovsa2v

(MK - 9)

s v

t

a


2.3.3.3 Ungleichmäßig beschleunigte Bewegung

Versuch Pendelschwingungen :

Umkehrpunkt: Richtungsumkehr von Geschwindigkeit und Beschleunigung

ungleichmäßig beschleunigte Bewegung

Typ: a(t) const. ; a = a(t)

Beispiel:

Mechanische Schwingungen

Anfangsbed. für t = 0 : s(0) = 1 ; v(0) = 0

geg: a cost

dtav sint

dtas 2

dtv cost

s a , s s typ. für Schwingungen

Beispiel (Übung) kta Bem: [k] = m/s²

kt2

1dttkdtav

2

32 kt6

1dttk

2

1dtvs

t

s

v

a


Beispiele einfacher Translationen: Freier Fall / Schiefer Wurf

2.3.3.4 Einfache Translationen im Erdfeld

a = g = 9,81 m/s² 10 m/s² = const. gleichförmig beschleunigte Bewegung,

Modellkörper : Massepunkt

NB: - Erdoberfläche, s klein, kein Luftwiderstand, keine Erdrotation

- g verringert sich mit zunehmenden Abstand von der Erdoberfläche (Übungsaufgabe)

- g sehr exakt mit Pendeln meßbar, so daß Höhe über Meeresspiegel bestimmbar

Dim Bez. Anfangsgeschwindigkeit *

1 Freier Fall voz = 0

Senkrechter Wurf voz > 0 nach oben

voz < 0 nach unten

2/3 Waagrechter Wurf vox 0 voz = 0

Schiefer Wurf vox und voz 0

(*) :

z0

y0

x0

0

v

v

v

v

y hier als konstant gewählt, ebenso liegt der Abwurfort im Ursprung !

Beides kann durch lineare Koordinatentransformation (und ggf. Drehung) immer erreicht

werden.

Bei Wurf mit Seitenwind ist y nicht konstant, also zu berücksichtigen !

z

x

y

V = 0oy


für die beiden Beispiele gilt : - a = g aus (MK - 9): 0vtgv

- AB: 0)0t(v

, 0)0t(s

a) Freier Fall (Übung) Kinematik

00

2 stvgt2

1s

1D gas

für 0s0 und 0v0

2gt2

1s gtv

g

vt

g2

v

g

vg

2

1s

2

2

2

Energiesatz (Vorgriff)

siehe Ekin = Epot

mgh2

mv2

gh2gs2v g2

vs

2

2gt

2

1s ; gtv ;

g2

vs

2

(MK – 10)

d.h. beide Wege führen zum selben Ziel !

Wenn aber Zeitabhängigkeit gefragt ist, kommt man nur mit kinematischen Methoden

zum Ziel!


b) Wurf (Übung)

vektorielle Betrachtung

Zusammensetzung von

- gleichförmiger Translation und

- gleichmäßiger Beschleunigung (Freier Fall)

Anfangsbedingungen (t = 0) :

.Bew.beschl.gleichm

.Bew.unbeschl

g

0

0

a;

v

0

v

v;

0

0

0

s 0

oz

ox

00

Achtung: rechtshändiges

Koordinatensystem !

Rechengang: v = adt ; s = vdt

.beschl.gleichmiggleichförm

oz

ox

tg

0

0

v

0

v

v

2

oz

ox

2oz

ox

tg2

1tv

0

tv

tg2

10

0

tv

0

tv

s

(MK - 11)

Probe: gs!

z

Übung: Vereinfachen Sie obige Formeln für senkrechten Wurf nach oben und unten.

z

x

y

V0x

g


Bsp: Waagrechter Wurf voz = 0 (Übung)

tg

0

v

v

X0

2

X0

tg2

10

tv

s

Absolutgeschwindigkeit: ²t²gv)t(vvvvvv 2

x0hier

2

z

2

y

2

x

Fälle: - t klein : v vx

- t groß : v gt bisher: alle Werte zeitabhängig, aber auf welche Bahn fliegt der Massepunkt ? Bahnkurve

sx = vox t U (i)

sz = - 1/2 gt² V (ii) aus (i) t = U / vox (i’) (i’) in (ii)

²xv2

gz.bzwU

v2

gV

2

ox

2

2

ox

das ist eine (Wurf-) Parabel z ~ x²

Absolutgeschwindigkeit ist tangential zur Bahnkurve

²xv

²gv)z,x(vv

2

ox

2

ox (1') in v eingesetzt

x

v

0 xv

~ x

JAVA Applett: Schiefer Wurf

vx

x

z

t = 0

|v|vy

0 xv


Wie hoch ‚fliegt’ ein Skispringer ?

Olympia-Schanzen Calgary


Übungsblatt Kinematik 1

1. 2 Autos fahren mit konstanter Geschwindigkeit von v1 = 80km/h und v2 = 100km/h auf der

rechten bzw. linken Spur einer freien Autobahn. Zum Zeitpunkt t=0 ist das 1. Auto 250m

vor dem 2. Auto. Nach welcher Zeit und Strecke hat das 2. Auto das 1. um 50m überholt?

Lsg.: t=54s, s = 1500m

2. Der ICE erreicht eine Geschwindigkeit von 250 km/h innerhalb 600s. Zum Abbremsen

benötigt er 140s, bei einer Notbremsung nur 60s. Wie groß sind die durchschnittlichen

Beschleunigungen?

Lsg.: a /m/s² : 0,116 / -0,5 / -1,16

3. Sie lassen einen Stein in einen sehr tiefen Brunnen fallen. Nach t Sekunden hören Sie den

Aufschlag. Wie tief ist der Brunnen? Bis zu welcher Tiefe können Sie die Tiefe vereinfacht

berechnen?

Lsg.: Annahme t = 3,14s ==> h = 45m ; für 55m Fehler ohne Schallgeschwindigkeit 5%

4. Sie schießen eine Billardkugel über einen Tisch der Höhe 1m. Der Auftreffpunkt auf dem

Boden ist horizontal 1m von der Kante entfernt. Wie groß war die Geschwindigkeit der

Kugel an der Tischkante?

Lsg.: v = 2,24m/s

5. Skispringen Obersdorf: Die (waagrechte) Absprunggeschwindigkeit beträgt 72km/h, die

Landepiste hat ein Gefälle von 45°. Bei Vernachlässigung des Luftwiderstandes ist die

Flugzeit und die Sprungweite (ohne Schanzentisch) gesucht.

Lsg.: a = 113m ; t = 4s


2.3.4 Rotation

Bsp: Pendel, drehbare Balkenwaage

Modellkörper : Massepunkt an gewichtsloser, steifer Stange

wichtigste Größe (analog zum Weg s):

Drehwinkel

(angle of rotation)

= s /r s = r

(MK 12)

r = const. ; s(t) : Bogenmaß ; [] = rad 180° =

Winkelgeschwindigkeit

[] = rad/s

dt

d

t

(MK - 13)

Winkelbeschleunigung

[] = rad/s²

dt

d

t

(MK - 14)

Alle Definitionen wie Translation

, , sind Skalare, keine Vektoren !!

1 Variable , da r = const.

karthesischeKoordinaten

2 Variable: x , y

x

y

Polarkoordinaten

r

s

D

+vozt


Zusammenführung Translation - Rotation

(hier nur Skalare bzw. Beträge)

Translation Rotation T R

Weg s s = r

Geschwindigkeit v v = r

Beschleunigung a a = r

(MK - 15)

Bewegungsformen wie Translation :

- gleichförmig = 0

- gleichmäßig beschleunigt = const

- ungleichmäßig beschleunigt const.

Vektorielle Betrachtung

Beschleunigung = Geschwindigkeitsdifferenz

zeigt bei Bewegung in Gegenuhrzeigersinn

‚ins Blatt’ hinein

Geschwindigkeit

Tangential zur Bahn rv

(MK - 16)

Zentripetalbeschleunigung

- zeigt zur Rotationsachse (Mittelpunkt)

- meist nur Betrag: a = ² r interessant r

r

va 2

2

(MK 17)

Beschleunigung zeigt nach ‘innen’, die Kraftwirkung auf einen Körper, der sich auf einer

Kreisbahn bewegt ist dann nach außen: Karussell, Satellit.

Bedingung für Schwerelosigkeit : v²/r = g

T2

v

a für dt


Zentripetalkraft

Ursache der Zentralbewegung (Beschleunigung in Richtung

Mittelpunkt)

JAVA Applett: Karussell (Zentripetalkraft)

Zentrifugalkraft

ist Trägheitskraft (Scheinkraft, nicht sichtbar von außen),

welche der Zentripetalkraft entgegengesetzt ist, also vom

Drehzentrum weg. Von lateinisch 'fugare' = fliehen

Zentripetalkraft

Zentrifugalkraft

)am(rmr

vmF 2

2

zp

zpzf FF

(MK - 18)

Zum Weiterlesen: Coriolis-Kraft

D

Zentripetalkraft

Zentrifugalkraft


Bsp: Gleichförmige Kreisbewegung = const. ; = 0

z.B. gleichmäßig drehender Motor

Drehwinkel aus konstanter Winkelgeschwindigkeit

1 Umdrehung d.h. 360° bzw. 2 entspricht 1 Periode

Drehwinkel (entspr. s = v t )

Periodendauer

Frequenz

Anzahl der Umdrehungen

Drehzahl

t

2T

2T

1f

N = / 2

f2dt2

dN

dt

dN

t

Nn

(MK - 19)

Periodendauer wird bei großen Zeiten z.B. Erdumdrehung in 24 h verwendet,

dagegen Frequenz bzw. Drehzahl bei kleinen Dauern: Motor 6000/min, HF-Technik 100 MHz

JAVA Applett: Kreisbewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit


Bsp: Gleichmäßig Beschleunigte Kreisbewegung = const.

z.B. anlaufender Motor

Winkelgeschwindigkeit

Drehwinkel

= t

= t = 1/2 t²

(MK - 20)

Analog gleichmäßig beschleunigte Translation

Rotation in karthesischen Koordinaten

Reell:

sin

scoR)(r;)t(

rv

cos

sinRv

v tangential zu r

sva

rvsin

cosR

sin

cosRa

a

zeigt zur Drehachse (MK - 21)

cos

sin

a

v

r

IM y

R RE xD


Zusammenfassung Kinematik

Art gleichförmig Gleichförmig

beschleunigt

Ungleichförmig

beschleunigt

Beschleunigung 0 konstant nicht konstant

a = a(t) , = (t) nein nein ja

v , const const * t v = a dt , = dt

s , const * t 1/2 const * t² s = v dt , = dt

alle Anfangswerte hier Null : vo = o = so = o = 0

s = r ; v = r ; a = r

1D - ggf. Vektoren verwenden

Ableitungen, wenn s bzw. zeitabhängig gegeben: ;sva

Def. - aktueller Momentanwert aus Differenz z.B. td

sdva

- Mittel- bzw.Durchschnittswert aus Differential (t 0) z.B. t

m


Übungsblatt Kinematik 2

1. Berechnen Sie die Bahngeschwindigkeit und die Umlaufdauer eines erdnahen Satelliten

(g=const.). Erklären Sie die Schwerelosigkeit.

Lsg.: T = 84min ; v = 8km/s

2. Sie sind im Projektteam für einen neuen Weltraumfilm. Um realistische Aufnahmen zeigen

zu können, benötigen Sie natürlich Szenen in Schwerelosigkeit. Aus Budgetgründen

können Sie natürlich keinen Raumflug (auch nicht mit einem Space Shuttle) chartern.

Welche Möglichkeit bleibt Ihnen? Versuchen Sie dies ausgehend von Ihrer Erfahrung als

Autofahrer bei Fahrten über eine Kuppe und dem schiefen Wurf (Fitten Parabel - Kreis)

anzudenken.

Lsg.: Kreisbahn ar = g mit v = 300m/s ; Viertelkreis 47s Filmzeit

3. Sie lassen eine Kugel (ohne Luftwiderstand) aus einem Ballon fallen, der sich in 30km

Höhe befindet. Die Erdbeschleunigung ist höhenabhängig nach der Formel b = g(R/r)² mit

g = 10m/s², Erdradius R = 6387km und r der Entfernung von Erdmittelpunkt. Wann und mit

welcher Geschwindigkeit kommt die Kugel auf der Erdoberfläche auf. Vergleichen Sie dies

mit der Rechnung mit konstanter Erdbeschleunigung 10m/s². Ansatz: g(R/r)² + a = 0.

mit g=const: g = 10 m/s: t = 77,46s ; v = 774,6m/s, Zerlegen Sie die Fallhöhe in Intervall

mit adaptierter Fallbeschleunigung.

4. Ein Motor erreicht nach 60s eine Drehzahl von 7200/min bei gleichmäßiger

Beschleunigung. Ein an ihm befestigte Scheibe hat den Durchmesser 1,2m. Berechnen

Sie die Winkelbeschleunigung, die Umfangsgeschwindigkeit nach 30s und die Anzahl der

Umdrehungen nach 10s.

Lsg.: = 12,6 1/s² ; v = 226m/s ; N = 100

5. Ein Motor hat 15s nach dem Anlaufen 500 Umdrehungen durchgeführt. Das Anlaufen ist

während der ersten 5 Sekunden gleichmäßig beschleunigt und danach gleichförmig. Wie

ist hoch ist die Drehzahl des Motors? Lsg.: N = 40 1/s


2.4 Dynamik (Dynamics)

Def.: In der Dynamik wird die Kraft als Ursache der Bewegung betrachtet,

hier wird die Statik mit der Kinematik zusammengeführt.

Inhalt: Bewegungsgleichungen - Energie - Impuls, ....

Translation Rotation

Modellkörper Massepunkt Starrer Körper

Grundgesetz F = m a M = J

Bsp Wagen mit Gewicht Motor

Ziel: Bewegungsgleichung aufstellen !

2.4.1 Translation

2.4.1.1 Newtonsche Gesetze (Newton's Three Laws of Motion)

1. Trägheitsgesetz

Ein Körper bleibt in Ruhe oder er bewegt sich

gleichförmig, wenn keine äußeren Kräfte auf ihn

einwirken oder diese in Summe Null sind

Beispiele:

- Gegenstand hinlegen - aber : Erde dreht sich um sich selbst und um Sonne

- Auto prallt auf Baum: Nicht angeschnallte Insassen „fliegen“ unbeschleunigt

weiter; d.h. Auto wird beschleunigt, d.h. es wirken Kräfte

Wirken Kräfte auf einen Körper, so ändert er seinen Bewegungszustand:

Kraft und Masse aus Statik werden mit der Beschleunigung aus Kinematik:

zusammengeführt im


2. Grundgesetz der Mechanik

Speziell

allgemein

m = const. (Newton)

m const., p: Impuls

amF

p

dt

vmdF

(MD - 1)

Allgemeine Formulierung

amvmvmvmdt

vmd

mit m = Massenänderung pro Zeiteinheit (Massenstrom)

Vgl: Strom in der ET: Ladung pro Zeiteinheit

I = Q / t

Fälle: - m = m(t) : Rakete

- m = m(v) : relativistische Massenzunahme (Einstein)

vereinfachte Formulierung:

Um einen Körper zu beschleunigen, ist eine Kraft notwendig, die

gleich dem Produkt aus Masse und Beschleunigung ist

Versuch: Wagen mit Fallgewicht an Umlenkrolle: Gewichtskraft beschleunigt Wagen


3. Kraft erzeugt Gegenkraft

aus der Statik: Summe aller Kräfte ist Null Fi = 0 ; Bsp. Gewicht auf Unterlage

Erweiterung auf Dynamik:

Bsp: - Fahrt im Auto/Zug mit konstanter Geschwindigkeit

bei Fahrt in Kurve merkt man Kräfte bzw. beim Anfahren.

= Kräfte in beschleunigten Bezugssystemen : sogenannte Trägheitskräfte

- Anfahrt Zug: Flasche fällt vom Tisch

- Gasballon in Auto, bremsen - wohin bewegt sich Ballon ?

nach hinten, da Luft sich nach vorne bewegt (vorne größerer Luftdruck)

Die Summe aller Kräfte ist auch bei einem bewegten Körper Null

Dynamisches Gleichgewicht

auch d’Alembertsches Prinzip

(D'Alembert's Principle)

Fi = 0

(MD - 2)

Versuche: - Ball auf Wagen und diesen beschleunigen: Ball fällt runter wegen Trägheit

- Ball mit Hand unterstützen : Gewichtskraft wird durch Hand kompensiert.

Hand wegnehmen - Ball fällt. Wo bleibt das Pendant zur 'Handkraft' ?

- Gewicht an Federwage

* wird aus der Ruhe die Federwaage schnell nach oben gezogen,

nimmt das angezeigte Gewicht zu

* wird aus der Ruhe die Federwaage schnell nach unten bewegt,

nimmt das angezeigte Gewicht ab

Bsp. Aufzug: aufwärts fühlt man sich schwerer, abwärts leichter, aber Person fühlt sich

unbewegt !

Deutung offenbar nur mit einer 'dynamisch' wirkenden 'trägen' Masse möglich !


Trägheitskraft und Formulierung des d'Alembertsches Prinzipes

aus 0Fi

(d´Alembert)

Fb : beschleunigende Kraft, statisch, z.B.Gewichtskraft

Ft : Trägheitskraft

0FF tb

Ft = m a

(MD - 3)

mit : m : Gesamtmasse des Systemes

a : Beschleunigung des Systemes, für Statik a = 0, siehe NB

Trägkeitskraft - Scheinkraft in beschleunigten Bezugssystemen (vgl. Zentrifugalkraft)

- wirkt der Beschleunigenden Kraft entgegen

NB: es kann auch mit bt FamF

gerechnet werden. Dann ist die Dynamik auf der

linken

Seite der Gleichung und die Statik auf der rechten Seite.

Äquivalenzprinzip: Ist die träge Masse gleich der schweren Masse ?

- träge Masse : Dynamik - Trägheitskraft

- schwere Masse : Statik - Gewicht in Ruhe

Die Äquivalenz ist im Rahmen höchster Meßgenauigkeiten als erfüllt nachgewiesen.

Aufgabe der Dynamik:

Bewegungsgleichung aus Kraftansatz / Energiesatz erstellen und lösen

Mit Dynamik kann Beschleunigung berechnet werden, was mit der Kinematik nicht möglich

ist.


Beispiele zum D'Alembertschen Prinzip (Übung)

Freier Fall

Kraftansatz

1) d’Alembert: F = 0

Fb - Ft = 0

2) Kräfte bestimmen

Fb = m g = Fg

Ft = m a (immer, '-' im Ansatz)

3) einsetzen

m g - m a = 0

a = g = x

gleichmäßig beschl. Bewegung

x = v = g t, x = ½ g t²

xg2vx

Energieansatz (Vorgriff)

Eges = const

Epot = Ekin

m g x = ½ m v²

xg2vx

x(t);v(t) schwierig

Der Kraftansatz berechnet aber das d'Alembertsche Prinzip die Beschleunigung des Systems

!

Energieansatz erscheint 'leichter', ist aber deutlich aufwendiger aufwendiger,

wenn s(t) und v(t) gesucht ! Das geht am besten mit dem Kraftansatz und Kinematik

Der Kraftansatz liefert sowohl die Zeitabhängigkeiten als auch den Weg-Geschwindigkeits-

Zusammenhang.

Wenn ein Ansatz nicht 'funktioniert', den anderen Ansatz verwenden !

m (Massepunkt)

0

x

Start

F = m at

FG


Beschleunigung von Wagen und Gewicht über Seilrolle (Übung)

„Kochrezepet“ für Kraftansatz nach

d’Alembert: F = 0

1) Fb - Ft = 0

2) Kräfte bestimmen

Fb = mG g

Ft = (mw + mG) a

mw + mG = Gesamtmasse des Systems

3) einsetzen

mG g - (mw + mG)a = 0

gmm

ma

GW

G

Rest: Kinematik

JAVA Applett: 2. Gesetz von Newton

(Fahrbahnversuch)

Weitere Berechnungen dann wie Kinematik gleichmäßig beschleunigte Translation

Stimmt das Ergebnis ?

Schnelle Prüfung von bei der Berechnung von Formeln:

a) Stimmt die Einheit des Ergebnisses ?

b) Ergeben die Extremfälle aus Gedankenexperimenten Sinnvolles und Schlüssiges ?

angewandt auf obiges Beispiel:

a) Einheit : [a]= m/s²

b) Extremfälle - mw 0 : a g

- mw >> mG : a 0

- mG = 0 : a = 0

t = 0 0x

Ft

mW

FG

Fb

mG


2.4.1.2 Arbeit (Work)

Die Kraftwirkung wird erst durch Bewegung des Körpers sichtbar, die Wirkung wird mit dem

Begriff Arbeit erfaßt:

'umgangssprachlich': Arbeit = Kraft * Weg

Bsp: Gewicht in Hand und laufen - keine Arbeit wird verrichtet, da Gewicht nur gehalten

wird

(Kraft Weg), Maßkrug-Haltewettbewerb Weg = 0; vergl. Übungsaufgabe Vektoren.

Kraft F Arbeit [W] = Nm = J

- konstant sFW

- wegabhängig

1

o

s

s

sd)s(FW

(MD - 4)

Wegabhängigkeit kann auch durch Summen mit konstanter Kraft ausgedrückt werden

Bsp: Leiterwagen in der Ebene mit verschiedenen Reibungswerten wie Eis, Kies, Sand

Arbeit ist ein Skalar, da vektorielles Skalarprodukt

Die Arbeit bei konstanter Kraft ist ein Spezialfall der wegabhängigen Arbeit:

F = const. : sFsdF1

o

s

s

SI-fremd : - kWh = 3,6 MJ (Energiewirtschaft)

- eV = 1,6 10-19 J (Atomphysik)

Arten Beispiele (Vereinfachung: 1D)

Hubarbeit Gewichtheben,

Flaschenzug: Kraft kleiner - Weg größer : Arbeit = const.

Beschleunigungsarbeit Anfahren Auto

Reibungsarbeit Luftwiderstand, Quader auf schiefer Ebene

Verformungsarbeit Feder spannen


Hubarbeit im Schwerefeld der Erde

Annahme: g = const

F = const, Weg klein

Whub = F ds

mit F = m g und s = h erhält man

Hubarbeit Whub = m g h (MD - 5)

Versuche:

- Wagen mit Seil und Fallgewicht über Umlenkrolle

- Gewicht senkrecht hochheben mit Federwaage: Kraft * Weg = Arbeit

- dasselbe auf Schiefer Ebene: Kraft kleiner, Weg länger Arbeit = konst.

- Flaschenzug: durch Umlenkrollen wird die aufzubringende Kraft kleiner aber der (Zug-) Weg

dafür entsprechend länger Arbeit gleich groß wie beim Hochheben ohne Seilzug.

Benefit: Flaschenzug wirkt als 'Getriebe' für Muskeln, sodaß auch schwere Gegenstände

hochgehoben werden können

JAVA Applett: Flaschenzug

h

W hub

W ~ hhub


Beschleunigungsarbeit

Wenn sich v ändert ist Beschleunigungsarbeit notwendig, sonst W = 0 da a = 0 und v = 0

Fall: a = const Fall: a const

Fbeschl = m a = const

Wbeschl = m a s

gleichmäßig beschleunigte Translation:

sa2v

nach a auflösen und einsetzen

Wbeschl = m s v²/2s

Wbeschl = F ds = m ads

2

1

V

V

dvvmdt

dsdvm

dsdt

dvm

Wbeschl = ½ m v² Wbeschl = 2

1

2

2 vvm2

1

(MD - 6)

Achtung: gilt nur, wenn

Anfangsgeschwindigkeit = 0

Immer verwenden, wenn

Anfangsgeschwindigkeit 0

Bsp: m = 2 kg

sm6v

sm5v

2

1

sm1v

J112536m2

1Wbeschl

nicht J11m2

1 2 !

Bei nichtlinearen, hier quadratischen Gesetzen immer Differenz der Potenzen bilden,

nicht die beiden Zahlen subtrahieren und dann potenzieren !

Nur bei linearen Gesetzen (z.B. Hubarbeit) kann einfach die Differenz gebildet werden.

v

Wbeschl

W ~ v2

beschl


Spannarbeit (Verformungsarbeit)

z.B. bei Feder

Aus 1

o

s

s

sd)s(FW

mit s = x

F = F(x) = FF = - D x (Hooke)

D : Federkonstante, [D] = N/m

→ 2

1

2

2

x

x

x

x

s xx²xD2

1dxxDW 1

2

2

1

Spannarbeit 2

1

2

2

x

x

Fs xxD2

1dxFW

2

1

(MD - 7)

wobei x1/2 : Auslenkung aus unbeeinflußter Länge

x = x2 - x1: aktuell gedehneter Weg

+ aus Sicht von außen

- aus Sicht der Feder

- x1 = 0 bei Auslenkung aus Ruhelage ; vgl. Beschleunigungsarbeit

Beispiel : Kraft ist wegabhängig x; Spannarbeit

1. Bsp: ungespannte Feder um 1mm dehnen Ws = ½ D x² = ½ D

2. Bsp: vorgespannte (1mm) Feder um 1mm dehnen

Ws =

2

1

2

1D

2

3)14(D

2

1²xD

2

1dxxD

nicht additiv wie bei Hubarbeit !!

Energiespeicher gespannte Feder: Mine aus geöffnetem Kugelschreiber springen lassen

Ws

W ~ x2

s

x


Reibungsarbeit

Versuch : Würfel fallen lassen - dasselbe Schiefe Ebene: v geringer, da Reibung

Reibung Fr Beispiel

Festkörper µ FN Gleitreibung, FN : Auflagekraft, schiefe Ebene

Flüssigkeit v Strömungswiderstand (laminar)

Gas v² Luftwiderstand (turbulent)

Verformung deform. Medien Feder spannen

(MD - 8)

Reibungsarbeit

bei wegunabhängiger Reibungskraft

Wr = Fr s (MD - 9)

Reibungsarbeit wird praktisch immer in Wärme umgewandelt.

Bsp.: - 'glühende' Bremsscheiben Formel 1

- Schutzschild Raumfähren

- Mikrowellenherd

d’Alembertsches Prinzip mit Reibungskraft Fb - Fr - Ft = 0 (MD - 10)

Reibung wirkt der beschleunigenden Kraft entgegen ; siehe Bsp. Freier Fall mit Reibung

Reibungsphänomene komplex: - Luftwiderstand Auto im Windkanal optimieren

- Luftwiderstand Golfball

Beispiele sihe Differentialgleichungen (Mathe 2).


Beispiel Auto:

- Verbrauch 5 l bei konstant 90 km/h : Motor- , Getriebereibung, Luftwiderstand, ...

- Verbrauch 5 l bei konstant 90 km/h - 7 l bei konstant 120 km/h :

Differenz höhere Luftreibung

Höchstgeschwindigkeit hängt vom Luftwiderstand ab

- Luftwiderstand

(Richtwerte) Geschwindigskeitsbereich Reibung

< 50 km/h vernachlässigbar

50 - 100 km/h 'naja', typ. ~ v

> 100 km/h typ. ~ v²

2.4.1.3 Energie (Energy)

Def: An einem Körper verrichtete Arbeit vergrößert dessen Energie, die wiederum in Arbeit

umgewandelt werden kann.

Energiesatz

[E] = J

Eges = const.

Eges (To) = Eges (T1)

(MD - 11)

Ausnahme: Wärme kann nicht direkt in andere Energien umgewandelt werden: Stein kühlt

sich von alleine ab und springt hoch !

Einheit wie Arbeit

Energie kann nicht verbraucht sondern nur von einer Art in eine andere umgewandelt

werden! kein Perpetuum mobile


Zusammenfassung und Übersicht zur Energie

Energie -

Arten

Formel Beispiel Energie-

Speicher

Energie-

Transport

Kinetisch

(Translation)

Ekin = ½ m v² Ekin bei Autounfall

Rotation

(2.4.2)

Erot = ½ J ² Motor beim

Auslaufen

Schwungrad

Potentiell

(Erde)

Epot = m g h Freier Fall Speicher-

kraftwerk

Pumpstation

Reibung Siehe Arbeit Luftwiderstand

Wärme Ew = c m T Kochen Wasser-

speicher

Fernwärme

Elektrisch Eel = U I t Leiter = Transport

von Energie !!

Akku Hochspannungs-

leitung

Chemisch Reaktionswärme Benzin Tank

Strahlung E Photosynthese,

Solarenergie,

IR-Thermometer

‘Sonne’

?!?

em. Wellen


Beispiel Kinetische Energie

Setzt man die Kinetische Energie eines Autos bei 100 km/h zu 100 %, so verdoppelt sich

diese bei 140 km/h !!

Hierzu kommt noch die physiologische Belastbarkeit des Menschen, die angenähert

ebenfalls quadratisch verlaufen könnte.

Daraus folgt dann ein doppelt so hohes Risiko, wenn die Geschwindigkeit von

100 auf 120 km/h gesteigert wird.

0

50

100

150

200

250

300

350

400

100 120 140 160 180 200 220

v / km/h

Kinetische Energie bei Autofahrt / -unfall

~ v²

~ v

physiologische Belastung ~v²*v²

Ekin /% (100%= 100 km/h)


Translativer Energiesatz ohne Reibung mit Reibung

Ekin(T0) + Epot(To) = Ekin(T1) + Epot(T1)

Ekin(T0) + Epot(To) + Ereib = Eges(T1)

(MD - 12)

Bemerkungen

- Ereib ~ Wreib

- Reibung ggf. bei T0 und T1 berücksichtigen

- gilt nur in Gravitations- (mgh) und elektrischen (eE) Feldern wegen linearer Abhängigkeit !

- gilt z. B. nicht in Wasserströmung! Ernergie von A nach B kann dort wegabhängig sein.

Bsp.: Energieumwandlung Epot1 Ekin Epot2

Versuch :

a) Würfel im Freien Fall

b) Würfel über schiefe Ebene

Epot1 ist in beiden Fällen gleich, aber bei b) ist die erreichte Höhe h ( = Epot2) des

Gegenstandes G geringer, da ein Teil von Epot2 in Reibungswärme umgewandelt wird.

Weitere Verlust durch Aufprall.

Reibungsenergie ist im mechanischen Sinne verloren !

Versuch: Ball / Blatt Papier fallen lassen Ball schneller obwohl Epot gleich

EW

h

a)b)

G

pot1

Epot2

Ekin


Bsp: Freier Fall ohne/mit Luftwiderstand (Übung)

a) Energieansatz: Epot (To) = Ekin (T1) + Er (T1)

mit Er = F s m g h = ½ m v² + k v² h k : Reibungskoeffizient

v² (½ m + k h) = m g h

hk2

m

hgmv

Extremfälle:

- keine Reibung (k = 0) : hg2v

- große Reibung ( k ) : v 0 aber : Wie groß ist a, Endgeschwindigkeit, s(t) ??? Integration nach Weg kompliziert, da der zurückgelegte Weg hier

als h in der Formel steckt. Dasselbe gilt für die zeitabhängige

Beschleunigung.

b) Kraftansatz F = 0

Fb - Fr - Ft = 0

mg - kv² - m a = 0 (DGL 2. Sem), a = dv/dt ‘schlecht’ integrierbar, da a und v² gleichzeitig auftreten, aber Endgeschwindigkeit : a = v = 0 mg - k v² = 0

k

gmvend

Extremwerte: k 0 : vend

k : vend 0


v durch Luftwiderstand konstant : Beschleunigung a 0

weiteres Beispiel Energieansatz (Übung):

Wagen mit Gewicht über Seilrolle (Kraftansatz s.o.)

Epot = Ekin

mG g h = ½ * (mw + mG) v²

Gw

G

mm

hgm2v

v = v(h) !

Grenzfälle analog Kraftansatz

0

10

20

30

40

50

0 50 100 150

v /

m/s

Fallweg / m

Beispiel: Geschwindigkeit beim Freien Fall

mit Luftwiderstand


2.4.1.4 Leistung (Power)

Leistung ist ein weiterer Begriff aus demtäglichem Leben.

„einfachste Formulierung“, gilt nur für W = F = v = const. : vFt

WP

aus vFdt

dsF

t

sF

t

WP

[P] = W = J/s (Normierung auf Zeit)

„früher“: Auto : PS ; 1 PS = 0,73 kW

Leistung („Arbeit pro Zeit“)

'genaue' Formulierung

tanMomen

0t

ttDurchschni

td

Wd

t

WP

(MD - 13)

Durchschnittsleistung t

WPm

aktuelle Momentanleistung Wtd

WdPa

(Definitionen analog Kinematik Geschwindigkeit)

erweiterte Betrachtung vFsFtd

)sF(d

td

WdP

constFfür0

kinetische und potentielle Leistung

vFxF

dt

dxgm

td

)t(xgmd

td

WdP

vFvamvvmdt

²dvm

2

1

td

)²t(vmd

td

WdP

constm

pot

pot

constm

21

kinkin


Wirkungsgrad

(Efficiency) 1

P

P

gesamt

nutz

Pnutz = Pgesamt - Pverlust

(MD - 14)

Pnutz : nutzbare, benutzte Leistung

z.B: Auto Vortrieb : Beschleunigungsarbeit

Pgesamt : Summe aller Einzelleistungen

z.B. Auto: Vortrieb + Wärme + Lichtmaschine + Lärm, ...

d.h. alles was Reibung, Geräusche, … verursacht, mindert !

Beispiel (Übung):

Wieviel PS sind nötig, um Auto (m = 1,3 t) von 0 auf 100 in 9.2 s zu beschleunigen ?

Pm = Wkin /t = ½ mv²/ 9,2 s = 55 kW 75 PS

Prospekt VW GOLF FSI 150 PS : t = 9,2s 0.5

Wirkungsgradverminderung durch :

- Reibung

- Schaltzeiten

- Leistungs - Drehzahl- Charakteristik : Motor gibt nur bei best. Drehzahl 150 PS ab

- ...


„Leistung“ in der BWL


2.4.1.5 Impuls (Momentum)

Beispiele:

- Billard : 2 Kugeln aufeinander - Energieerhaltung

- Zusammenstoß Autos: 2x Auto, Auto gegen Mauer, Baum,…

Fälle: „weich“, „hart“, „bewegt auf ruhend“, …

Versuche : Stöße von Stahlkugeln, Tischtennisbällen, Holz-, Styroporkugel

Einfachste Vorstellung :2 Kugeln prallen aufeinander

Modellkörper : 2 Massepunkte

Impuls [p] = kg m/s = Ns

Fallemeinerlgal.constmNäherung

Fp,vmp

(MD - 15)

allgemein: Vektor p

JAVA Applett:

- Elastischer und unelastischer Stoß

- Newtons Wiege (Energie- und Impulserhaltung)


Einfachster Fall :

2 harte Kugeln prallen aufeinander

eine ist vor dem Stoß in Ruhe

Herleitung Impulserhaltung (auch zur Übung)

a) Kraftansatz F = 0

v = const. außer bei Zusammenprall

d.h. keine Beschleunigung Ft = 0

F1 + F2 = 0 ( 1: vor, 2 nach Stoß)

.constpp

0ppd

dt0dt

ppd

0dt

pd

dt

pdpp

21

21

21

2121

cpp 21

b) Energieansatz Eges = const

Ekin vor = Ekin nach + Edeformation

(Edeformation hier Null)

½ m1v1² + ½ m2v2² = ½ m1v’1² + ½ m2v’2²

' : nach dem Stoß

mit 0td

Ed ges (für m = const)

m1 v1 + m2 v2 = m1 v’1 + m2 v’2

c'p'ppp 2121

Impulserhaltung

(Conservation of momentum)

.constpi

i

(MD - 16)

Bsp.:

Stein vom Surfbrett nach hinten ins Wasser werfen

Surfbrett bewegt sich vorwärts !

pStein = pSurfbrett Wasserreibung gering, vernachlässigt

pStein

pSurfbrett


allgemeine Impulsdefinition

aus (MD - 15)

1D, Vektoren ggf. ergänzen

NewtonRakete

amvmvmvmtd

)vm(d

td

pdF

(MD - 15')

zeitlich veränderliche Masse: Massenstrom

m

td

md

t

m

werttanMomen.aktttDurchschni

Anwendungen z. B.

- Verfahrenstechnik: 'konstante Zugabemenge pro Zeiteinheit'

z.B. Schüttgüter, Flüssigkeiten

- Auto: Kraftstoffeinspritzung

m

t

m

t

- Rakete : Masse verändert sich durch rasches Verbrennen des Treibstoffes

Massenstrom vergleichbar mit elektrischem Strom : Qtd

Qd

t

QI

rein physikalisch gesehen gelten bei Transportvorgängen dieselben Gleichungen (s.o.), d.h.

es ist 'egal', ob

- Masse (Mechanik)

- Ladung (ET)

- Wärme (Kap. 3)

- Wellen (Energie) (Kap. 5)

transportiert wird. Man spricht in allen Fällen von einem Strom.


Sonderfälle (einfachste Modellvorstellungen):

Masse Relevante

Größe

Stoß Merkmal Fall für

m1 = m2

v2 = 0

Beispiele

bleibt

konstant

Material-

eigenschaften

Elastisch*

‘v’ wird

weitergegeben

v1’ = 0

v2’ = v1

Stahlkugeln, Billard,

Reflexion an Wand

Unelastisch*

Gemeinsames v

v1’ = v2’

= v1/2

kleben aneinander, Bsp.

Kugel in Schwamm.

Ekin wird in Verformung

umgewandelt Wärme

Vektor-

eigenschaften

Zentral

p

Massenpunkte auf

Gerade,

p ist hier ein Skalar

Nicht zentral

p

Modellkörper: Starre bzw.

deformierbar Körper

Billard, seitlicher Stoß,

p ist hier ein Vektor

ändert

sich

m = m(t)

Rakete

p = dF/dt

m ändert sich

Rakete gibt Treibstoff

ab, v nimmt zu

* : ideale Grenzfälle


Raketen zum Weiterlesen für Interessierte

2.4.1.6 ‘Raketenphysik’ einer Modellrakete

Kinematik / Kraft- / Energieansatz

Näherung : - m = const., da wenig Treibstoff im Vergleich zur Gesamtmasse

- g = const., da niedrige Flughöhe

- keine Reibung

2 Antriebsphasen:

- mit Gasausstoß

- ohne ‘’ , nach Brennschluß

3 Flugphasen

a) beschleunigte Bewegung

b) Senkrechter Wurf nach oben

c) Freier Fall nach unten

b) und c) können zusammengefaßt werden, wenn

Senkrechter Wurf mit Abwurfhöhe und -

geschwindigkeit verwendet wird.

Antrieb -slos

tbeschl.Bewegung a

senkr.Wurf b

freier Fall c

h


a) Start :

beschleunigt (Brenndauer 5s), a = const.; senkrechter, beschleunigter Wurf : FAn - FG - Ft = 0 mit FAn : Startschub

FAn – mg – ma = 0

Startbeschleunigung : gm

Fa An

S

bei Brennschluß (t = 5 s) Geschwindigkeit : vBs = ast

Höhe : hBs = 1/2 ast²

hier Fan = 2N , m = 0,1kg as = 10 m/s²

vBs = 50 m/s, hBs = 125m

nach Brennschluß

b) Senkrechter Wurf Max. Steighöhe: hmax = hbs + hsw

g2

vh

2

bssw (z.B. aus Energiesatz hg2v )

= 125m hmax = 250m

nach Gipfelpunkt c) Freier Fall

aus Energiesatz bzw. Kinematik : s

m70hg2v maxauftreff

tatsächlich geringer, da Reibung aber : Masse nicht konstant, also Impulsansatz


Impulsansatz

Grundlage aus (MD - 15’): amvmvmvmtd

)vm(d

td

pdF (*)

aus (*), falls keine äußere Kräfte F = 0 :

amvm0

wmv)t(m

dt|wdt

dm

dt

dvm (DGL 2. Sem.)

C)m(lnw

v

dmm

1dv

w

1

|dmm

1dv

w

1

Aus Anfangsbedingungen : t = 0 : v = 0 , m = mo (Startmasse)

C = ln(mo)

m

mlnwv o mit m = m(t) z.B. m(t) = mo - kt > mBS

bis hierher: parallel zur Erdoberfläche

bei Start nach oben : t)h(gm

mlnwv o

Achtung g = g(h) !

max. Höhe: v integrieren, schwierig

m(t)

v = wGasv

Rakete

x


Modellrakete: w = 1000 m/s, mo = 0,1 kg, mBS = 0,08 kg, t = 5 s

vBS = 173 m/s (50 m/s Kinematik)

aus Formelsammlung : hBS = 550 m (125 m Kinematik)

d. h. Faktor 2 - 3 ‚mehr’ bei lediglich 20% Differenz der Masse (100 g → 80 g)

zwischen (falschem) Kinematikansatz im Vergleich zu Impulsansatz !

Reale Raketen

m

mlnwv o

w 3 km/s

1-stufig : typisch: 6m

m

BS

o

vend 2w

vBS 6 km/s also schneller als Treibstoffausstoß !!

aber:

Erreichen einer Erdumlaufbahn erfordert vmin = 8 km/s . Dies ist mit 1-stufiger Rakete nicht

möglich, da das Massenverhältnis aus konstruktiven Gründen und der Treibstoff nicht

beliebig optimiert werden können. Dies erreicht man aber bei gleichen Parametern

(Startmasse, Nutzlast, Treibstoff) mit einer dreistufigen Rakete:

Geschwindigkeit nach Brennschluß der i–ten Stufe:

BZ

Z0

2B

02

1B

01eB

M

M...

M

M

M

Mlnwv .

Das Argument des Logarithmus heißt „totales Massenverhältnis“ : B

0

M

M


Im folgenden Rechenbeispiel werde dieselbe Nutzlast bei denselben

Massen von Rakete und Treibstoff beschleunigt; w = 2,7 km/s.

Einstufenrakete

Nutzlast MH = 0,04 t

Rakete MR = 8,44 t Treibstoff Mt = 42,20 t

Startmasse M0 = 50,68 t

Brennschlußmasse MB = 8,48 t

Brennschlußgeschwindigkeit

48,8

68,50ln

s

km7,2vBS

vBS = 4,8 km/s

Dreistufenrakete

Nutzlast MN = 0,04 t 3. Stufe MR3 = 0,04 t ; MT3 = 0,20 t

2. Stufe MR2 = 0,40 t ; MT2 = 2,00 t

1. Stufe MR1 = 8,00 t ; MT1 = 40,00 t

MR = 8,44 t ; MT = 42,20 t

→ Startmasse M0 = 50,68 t 1. Stufe

Masse bei Zündung M01 = 50,68 t

Brennschlußmasse MB1 = 10,68 t

v1 = 4,21 km/s 2. Stufe



v2 = 3,71 km/s

3. Stufe



v3 = 3,39 km/s

Brennschlußgeschwindigkeit der 3. Stufe

vBS = v1 + v2 + v3

vBS= 11,31 km/s

Dies bedeutet: Mit einer einstufigen Rakete kann man keine Kreisbahn um die Erde

erreichen, da die erste kosmische Geschwindigkeit (für eine Kreisbahn an der luftleer

gedachten Erdoberfläche) bereits 7,9 km/s beträgt. Für das Verlassen des Erdschwerefeldes

sind bereits 11,8 km/s nötig, die kosmische Geshwindigkeit der Erde

(„Fluchtgeschwindigkeit“).


Raketenstart und Flugstabilisierung

Schwierigkeit beim Start : vo = 0 : instabil, da keine Ruderwirkung, Triebwerke schwenken !

besser bei Sylvesterraketen, da SWP unter Antriebsangriffspunkt

analog Seiltänzer mit Stange bzw. Motorradartist

Weltraumraketen: komplexe Schubvektorsteuerung ( Triebwerk dreht sich – Vektorcharakter

des Impulses ) erfordert schnelle Winkelmeß und Regelstrecken.

SWP

Kraft

SWP

Kraft

Seilrolle

SWP oberhalb Unterstützung : labil Stabil, da SWP unterhalb Kraftangriff

Kraft Kraft

SWP

SWP

'Auflagekraft'Seil :

SWP


2.4.2 Rotation (Rotation)

Anwendungen: Motor, Fahrdynamik, Fliehkraftregler,

Modellkörper: Starrer Körper

Versuch zur Fliehkraft

Erreichen in diesem Versuch unterschiedlich schwere Kugeln

bei gleicher Umdrehungsgeschwindigkeit dieselbe Höhe ?

2.4.2.1. Zentripetalkraft

Bsp:

Anpressdruck Karusell merkt Ausenstehender nicht ,

daher Typ 'Trägheitskraft, Scheinkraft'

Fr : ‘rückhaltende’ Kraft , Zentripetalkraft Fzp

Praxis: meist nur Betrag interessant

Zentrifugalkraft Fzf ist die Kraft, die ein mitrotierender

Beobachter spürt (Fliehkraft)

Zentripetalkraft Fzp

Zentrifugalkraft Fzf

Zfrv

2

zpr Fr²mr

vmamFF

(MD - 17)

Bem.: Fzp ~ ²

D

Zentripetalkraft

Zentrifugalkraft

r


2.4.2.2 Dynamisches Grundgesetz

Modellkörper: starrer Körper

Translation Kraft F M Drehmoment Rotation :

Drehmoment

iiig FrMM

Herleitung eindimensional

1D : F = m a | r

r F = r m a | a = r (Winkelbeschleunigung)

M = (mr²) = J

J : Massenträgheitsmoment (mass moment of inertia)

aus Tabellen, Mehrfach-Integralen, bzw. experimentelle Bestimmung

bei zusammengesetzten Körpern :

iiges JMM

Dynamisches Grundgesetz

[J] = kgm²

JM (MD - 18)

Vergleich Translation : amF

d’Alembertes Prinzip der Rotation M = 0 (MD - 19)

Vergleich Translation : F = 0

D

r1

m1

r2

m2

Dr m


Tabelle Massenträgheitsmoment

hier: Schwerpunkt auf Drehachse, sonst Unwucht, z.B. Autoreifen

Messung des Trägheitsmomentes durch Drehschwingungen Kapitel Schwingungen

Stabile Drehung um Hauptträgheitsachsen i Vol

22

ii dVrrmJ

Kugel

massiv 2

zyx rm5

2JJJ

dünne Schale 2

zyx rm3

2JJJ

Vollzylinder

2

x rm2

1J 22

zy lm12

1rm

4

1JJ

dünner Stab (l >> r)

2

x rm2

1J 2

zy lm12

1JJ

dünner Scheibe (l << r)

2

x rm2

1J 2

zy rm4

1JJ

Hohlzylinder

2

i

2

ax rrm2

1J

22

i

2

azy l3

1rrm

4

1JJ

dünnwandiger Hohlzylinder mit ra ri

dünner Ring(ra ri, l << r)

2

x rm2

1J 2

zy rm2

1JJ

Quader

22

x hbm12

1J

22

y hlm12

1J

22

z lbm12

1J

x

y

z

r

x

y

z

l

r

r

a

i

y

z

x b

lh


Drehpunkt außerhalb Schwerpunkt

Bsp: Kugel an Seil – Pendel

Starrer Körper

Satz von Steiner d : Abstand A - SWP

Ja = JSWP + m d²

(MD - 20)

Bsp.: MP an gewichtsloser Stange Ja = m d² da JSWP = 0 (s.o.)

2.4.2.3 Arbeit und Energie bei Rotation

Versuch: JoJo - Maxwellsches Rad

- fallen lassen mit abgewickelter Schnur : Fall schnell, bleibt unten

- fallen lassen mit aufgewickelter Schnur : Fall langsamer, kommt wieder hoch

Untersuchung : Ekin JoJo < Ekin Kugel (da v geringer) Wo steckt Energiedifferenz ? Offenbar in der Rotation !

Epot Ekin + Erot Energiespeicher Rotation Anwendung : Schwungrad Golf ECO (ca. 1985) beim Bremsen Frage zur Systemauslegung (warum gibt’s das nicht mehr?)

Arbeit

Energieerhaltung

Rotationsenergie

Leistung

(vgl. Translation)

Wrot = Md

Ekin + Epot + Erot = const.

Erot = 1/2 J ²

MP

(MD - 21)

D

d

m

SWP

D

d

m


2.4.2.4 Impuls bei Rotation : Drehimpuls (Angular Momentum)

Drehimpuls [L] = kg m² /s

Drehmoment - Drehimpuls

Drehimpulserhaltung

.constL

JJLM

prJL

.constJfalls,0

(MD - 23)

Bsp. Drehimpulserhaltung :

- Einfangen eines rotierenden Satelliten ‚schwierig’, da Impulsübertrag auf Raumschiff

- Kreiselstabilisierung, Richtung von L ist raumfest, Anwendung: Kreiselkompass


2.4.2.6 Transformation Translation - Rotation und Gegenüberstellung

Mit der Tabelle erhält man aus der Translation die Formeln der Rotation durch

„Buchstabentauschen“: Dies kann immer angewandt werden.

s v a m J F M p L

(skalar, Vektoren ggf. ergänzen)

Translation Variable/Formel Rotation Variable/Formel

Weg s Winkel = s / r

Geschwindigkeit v Winkelgeschwindigkeit

Beschleunigung a Winkelbeschleunigung

Masse m Massenträgheitsmoment J = mr²

Kraft F = ma Drehmoment M = J

Kraftansatz F = 0 Drehmomentansatz M = 0

Impuls p = mv ; Fp Drehimpuls L = J ; ML

Impulserhaltung p = const. Drehimpulserhaltung L = const.

Arbeit W = Fds Arbeit W = Md

Energie Ekin = 1/2 mv² Energie Ekin rot = 1/2 J²

Leistung P = F v Leistung P = M

entsprechend verhalten sich alle weiteren Definitionen etc.


Übungsblatt Dynamik

1. Stellen Sie die Bewegungsgleichung eines Elektrons in einer Braunschen Röhre im

Elektrischen und Magnetischen Feld auf. Tip: Zuerst Skizze, dann Kraft- oder

Energieansatz.

Formeln: BveF;UeE;EeF magpotel

a) Bewegung in einem Elektrischen Feld mit einer Spannung von 30 kV (Elektron ruht zu

Beginn). v = 105 km/s

b) Ablenkung in einem Elektrischen Querfeld (Elektron bewegt sich senkrecht zum Feld

der Länge d. Berechnen Sie die Geschwindigkeit und die Bewegungsform.

Parabel

c) Welche Bewegung beschreibt das Elektron in einem magnetischen Querfeld, in das es

mit einer Geschwindigkeit v einfliegt. Wie sieht es hier mit der Arbeit aus?

Kreis, Arbeit = 0

2. An einer Rolle sind mittels einer idealen Schnur 2 Gewichte der Massen m1 und m2

befestigt. Berechnen Sie die Beschleunigung

a) bei masseloser Rolle g

mm

mma

21

21

b) bei massebehafteter Rolle mit Radius r g

r

Jmm

mma

221

21

3. Sie setzen mit Ihrem Auto zum Überholen an. Ihre Geschwindigkeit steigert sich hierbei

innerhalb von 15s von 50 auf 90km/h; m = 1t. Berechnen Sie die Beschleunigungsarbeit

(ideal) 216 kJ

4. Ihr Auto rollt in San Francisco mit 6m/s an Ihnen vorbei. Da Sie aber vorsichtshalber

wegen des Gefälles von 4° die Handbremse angezogen haben, schätzen Sie den

Reibungskoeffizienten µ mit 0,1 ab. Wie weit müssen Sie laufen?

61,2 m

5. Sie fahren an der Ampel mit Ihrem Auto (1000kg) mit einer Kraft von 4000N für 3s an und

fahren 1s mit konstanter Geschwindigkeit weiter. Danach bremsen Sie mit 3000N.

Zeichnen Sie den zeitlichen Verlauf der Momentanleistung, wann stehen Sie wieder?

8 s


3. Schwingungen (Oscillation, vibration)

Kinematik + Dynamik : beliebige Bewegungen (Translation, Rotation, krummlinig)

mechanische Schwingungen: periodische Bewegung

periodisch = sich wiederholend

Bsp: Pendel, Feder

Freier Fall ist keine Schwingung da nicht periodisch.

Schwingungen treten überall, nicht nur in der Technik, auf:

- Autofederung

- Schwingungen von Maschinen z.B. Unwucht

- EM - Schwingungen Funkwellen

- Schwingungen bei Regelvorgängen

- Gezeiten

- Schwingungen von Gebäuden, Bauwerken, ...

- . . .

- Wirtschaft (Zinsen, Aktien,so genannter „Schweinezyklus“, ... s.u.)

A

t


Dax 1960 – 2011

In den „Boomjahren“(60-ziger und 70-ziger) praktisch konstant, danach steigende Kurse mit

„Schwankungen“

Fragen: - Warum haben die (Zinssatz-) ‚Schwingungen’ ca. 2000 aufgehört ?

- Warum ist der Zinssatz 2005 auf historischem Tiefstand ?

Auffallend: Keine Schw(ank / ing)ungen beim DAX Schw(ank / ing)ungen beim Zinssatz

und umgekehrt


3.1 Einführendes Beispiel: Mathematisches Pendel

Vorkenntnisse : - Kräftezerlegung

- Bewegung von Massepunkten

- Newtonsche Gesetz

- trigonometrische Funktionen

Ziel : Grundlagen von harmonisch schwingenden Systemen

Physikalische Beschreibung der beobachteten Schwingungen idealisiert durch Modellkörper:

Mathematisches Pendel

Pendel mit punktförmiger Masse und masseloser Stange im Gravitationsfeld

Fadenpendel (Gewicht an dünnen Faden) als reales Beispiel für Mathematisches Pendel :

Beobachtung: - periodische Bewegung um Ruhelage

- Auslenkwinkel ändert sich

- Ursache der Schwingung ist die Schwerkraft, da

keine anderen Kräfte von außen wirken



mit relevanten Kräften und Definitionen

JAVA Applett: Fadenpendel

Eigenschaften des Pendels

- oben beweglich aufgehängt - senkrecht nach unten Ruhelage

- beliebige Auslenkung aber konstante Pendellänge l

- punktförmige Masse m

- Winkel aus Ruhelage

- Massepunkt bewegt Kreisbahn mit Radius l

- Weg aus Ruhelage : s = Bogenlänge

- auf Massepunkt wirkt als einzige Kraft die Gewichtskraft FG = m g

Vorgehen zur Bewegungsgleichung

- Zerlegen der Gewichtskraft in 2 Teile

- ein Teil in Fadenrichtung, wird von der Stange aufgenommen

- 2. Teil ist tangential zur Bahn wirkt als rückstellende bzw. beschleunigende Kraft FRK

in Richtung Ruhelage und ist für die Schwingung verantwortlich

- Winkel der Kraftzerlegung in Dreiecken entsprechen dem Auslenkungswinkel

l

m

s

F = m gG

Ft

FRK


Kraftansatz d'Alembertsches Prinzip : F = 0

1) Fb - Ft = 0

2) beschleunigende = rückstellende Kraft aus Gewichtskraft und Auslenkwinkel

Rückstellende Kraft

Fb = FRK = m g sin

(SW - 1)

Trägheitskraft smFt

(Beschleunigung = 2. Zeitableitung des Weges)

Weg s entspricht Bogenlänge = Pendellänge * Auslenkwinkel

s = - l ls

Minuszeichen : entgegengesetzten Zählrichtungen von Kraft und Winkel

l konstant, zeitliche Änderung nur Winkel

Trägheitskraft

in Abhängigkeit vom Auslenkwinkel

lmFt

(SW - 2)

3) einsetzen (m fällt heraus)

Bewegungsgleichung 0singl

(SW - 3)

gesucht : (t) ? , das ist eine Differentialgleichung (Mathe II) für den Auslenkwinkel


Lösung von (SW - 3) wegen gleichzeitigen Auftretens von und sin kompliziert

für kleine Schwingungsamplituden entspricht der Sinus ungefähr (im Bogenmaß)

bis 10° : Gerade und Sinusfunktion praktisch gleich

kleine Auslenkung sin [] = rad

rückstellende Kraft ist proportional zum Auslenkwinkel FRK

Ersetzen in Differentialgleichung (SW – 3) von sin durch , ergibt

Harmonische Schwingungsgleichung

0l

g

(SW - 4)

Lösung beschreibt zeitliche Bewegung des mathematischen Pendels bei kleinen

Auslenkungen

Vergleich: y = sin(x) zu y = x

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

x /rad

y

y = sin(x)

y = x

10°


Als Lösung gesucht :

periodische Funktion, deren 2. Ableitung proportional zu der Funktion ist : f~f

Idee: Sinus bzw. Cosinus - Funktion

Experimente

Pendel, aus dem Sand auf eine Folie herausrieselt. Bewegt man die Folie, zeigt sich der

zeitliche Verlauf und der Abstand von der Ruhelage proportional zum Auslenkwinkel

Sinusfunktion

Messung des Auslenkwinkel mit Winkelsensor (Beschleinigungsmesser) zeigt ebenfalls

einen sinusförmigen Verlauf

Betrachtet man den Beginn des Experiments (Loslassen mit einem gewissen Anfangswinkel)

kann die periodische Funktion nicht ein Sinus (ohne Phase) sein, da sin(0) = 0 !

also Cosinus, da cos(0) = 1


Lösungsansatz

für zeitabhängige Winkeländerung (t)

(t) = o cos(ot)

(SW - 5)

mit - o : Anfangsauslenkung

- o : ungedämpfte Kreisfrequenz (ideal, keine Reibung etc.)

Schwingungsdauer

2f;

2

f

1T 0

0

Beweis durch Einsetzen in Harmonische Schwingungsgleichung:

zuerst ableiten

Geschwindigkeit

ändert periodisch

)tsin( ooo

(SW - 6)

Beschleunigung

2

ooo

2

o )tcos(a

(SW - 6')

Mechanische Schwingungen sind ungleichmäßig beschleunigte Bewegungen !

Einsetzen in (SW - 4) 0l

g2

o l

g2

0

Eigenfrequenz o

der Mathematischen Pendels

l

go

(SW - 7)


Physikalisch interessanter als Kreisfrequenz bei Pendeln ist die Schwingungsdauer, da

meßbar

Schwingungen artverwandt mit Rotation :

- Eine Periode entspricht 2 , hier * T Periodendauer Schwingungsdauer T

- Versuch: Fadenpendel schwingen und kreisen lassen - kein Unterschied

aus SW - 7 folgt damit

Schwingungsdauer

des Mathematischen Pendels bei

kleinen Auslenkungen

g

l2TMP

(SW - 8)

Schwingungsdauer

- proportional zur Wurzel aus Pendellänge

- unabhängig von Masse und Amplitude

Achtung: kleine Amplitude war Ansatz zum Finden der Lösung !!

Versuch : Messung Pendellänge 1m / Wurzel aus 1/10 = 0,3 mal 6 = 2s

Folgerung: Harmonische Schwingungen können durch eine Cosinusfunktion mit einer

bestimmten Frequenz beschrieben werden.

t

T = 2

T


Zusammenfassung (Klausur-relevant)

Mathematisches Pendel mit Anfangsauslenkung (aus Kraftansatz):

0l

g

l

g2

0 ; 0

2T

Lösung: tcos o0

Merkmale idealer harmonischer Schwingungen

- Gleichung 0xx 2

o

- Schwingungsdauer und Frequenz unabhängig von Amplitude

- Rückstellende (= beschleunigende ) Kraft proportional Amplitude (Mechanik) x~FRk

- o beschreibt die ‚Eigenschaften’ des schwingungsfähigen Systemes

- o ist die ungedämpfte Eigenfrequenz des Systems

Andere schwingende Systeme (Federpendel, elektrische Schwingkreise, etc.) werden

ebenfalls mit dieser Gleichung beschrieben (ggf. mit anderen Variablen). Mittels

Koeffizientenvergleich erhält man sofort Frequenz und Schwingungsdauer

reale Systeme: Reibung, äußere, nichtlineare, ... Kräfte berücksichtigen (s.u.)

Energieansatz, komplexer Lösungsansatz, Reibung etc. s.u.

Hinweis: Lösungsmethoden kein Prüfungsstoff, nur Ergebnisse;

mathematisches Lösungsverfahren Mathe DGL 2. Sem.


3.2 Übersicht

allgemein: periodische Zustandsänderungen (Energieverschiebungen)

Bsp. Pendel: Epot Ekin Epot (trotzdem Kraftansatz verwenden !)

Gemeinsamkeit: rückstellende Komponente

Anzahl der Komponenten Form Ausbreitung Bsp

wenige Schwingung ortsfest Pendel

1 Körper Eigenschwingung o im Körper Stimmgabel

viele Wellen Fortpflanzung Schallwelle

Schwingungsart Harmonisch Anharmonisch

Mathematische Beschreibung 1 Sinus bzw. Cosinus beliebig

Bsp: Pendel,

LC - Schwingkreis

Rechteck, Ebbe, Flut

Pulsschlag, EKG

Schwingungsart ungedämpft gedämpft

Annahmen ideal mit Verlusten, z.B. Reibung

Bsp Math. Pendel Luftwiderstand, Federpendel

Schwingungsart frei erzwungen

Merkmal - System bleibt sich selbst überlassen

- abklingende Amplitude

- äußere Energiezufuhr

- Resonanz

Bez.: Oszillator Resonator

Schwingungsüberlagerung

Addition von Schwingungen 1D oder vektoriell

Frequenz Richtung parallel senkrecht

Gleich Verstärkung / Auslöschung Lissajous

Verschieden Schwebung


3.3 Ungedämpfte Harmonische Schwingungen

3.3.1 Physikalisches Pendel

wie 4.1: Kraftansatz, da Rotation mit Drehmomentansatz M = 0 MRK - MT = 0


Physikalisches Pendel

Def.: Starrer Körper mit Drehpunkt und Schwerpunkt

Mathematisches Pendel (mit Drehmomentansatz M = 0, da quasi Rotation, s. o. ):

- Drehmoment JMT

- singmrFrMRK

- Satz von Steiner: JA = Js + mr² (MD - 16) - Aufhängepunkt – Schwerpunkt = r

Die Formeln gelten ebenso für Starren Körper, da Masse im Schwerpunkt ‘wirkt’

D

r

SWP

FRK

FG

D

SWP

r


dann analog zu (SW 1-4) :

0.vgl0J

gmr

0gmrJ

2

o

a

A

2o

Eigenfrequenz des Physikalischen Pendels

bei kleinen Auslenkungen

²rmJ

gmr

J

gmr

sA

2

o

(SW - 9)

Kontrolle für Mathematisches Pendel und Vergleich mit (SW – 7):

Massepunkt: Js = 0 r

go

Technische Bedeutung: Experimentelle Bestimmung von Trägheitsmomenten


Zum Weiterlesen und als Beispiel (mechanische) Schwingungen

mit dem Kraftansatz zu rechnen

3.3.2 Beschreibung des Mathematischen Pendels mit

Energieansatz

Ekin + Epot = const ; aus Anfangsbed. v oder h

1/2 mv² + mgh = const.

mit - cos1lh

- klein: cos 1 – 1/2 ² h l ² / 2

- s = l und v = l

Vorteile:

- Vorzeichen von v „uninteressant“, da v2

- Ansatz einfacher

Schwingungsgleichung

des Mathematischen Pendels bei kleinen

Auslenkungen aus Energiesatz

const²sl

g²s

(SW - 10)

Einsetzen der Lösung aus Kraftansatz: s = so cos(wot)

o² so² sin²(ot) + g/l so² cos²(ot) = const

mit o² = g/l

g/l so²[sin²(ot) + cos²(ot)] = g/l so² = const., da sin² + cos² = 1

Vgl. Kraftansatz: 0xl

gx mit (SW-10)

aus (SW – 10) dt

dconst²s

l

g²s 0ss

l

g2ss2 0s

l

gs

Energieansatz - auch möglich, aber komplizierter in Lösung etc.

- nicht üblich

- inkompatibel mit LC-Schwingkreis

h

l

nur Epot

kin potE + E

v = 0

kinnur E

maxv = v


3.3.3 Korrekte Lösung der Harmonischen Schwingungs-

gleichung (zur Übersicht, Details Mathe 2)

Problem bei Anfangsbedingungen (t = 0)

- Auslenkung (Lageenergie) oder Geschwindigkeit (kin. Energie)

- Auslenkung (Lageenergie) + Geschwindigkeit (kin. Energie)

Allgemeine Harmonische


0xx 2

o

(SW - 11)

Lösungsansatz : x(t) = c1 cos(ot+) + c2 sin(ot+)

c1, c2 Konstanten aus den Anfangsbedingungen

„Allgemeine“ Lösung der Allgemeinen Harmonische Schwingungsgleichung

Pendel

tsinv

tcosx)t(x o

o

ooo

(SW - 12)

Mit - xo : Anfangsamplitude

- vo : Anfangsgeschwindigkeit

- o : Eigenfrequenz

- : Phase

- Geschwindigkeit x~v

- Beschleunigung xx~v~a 2

o (ungleichm. beschleunigte Bew.)

In (SW - 12) setzt man die Anfangsbedingungen ein :

- nur Anfangsauslenkung : vo = 0 (sin0 = 0)

- nur Anfangsgeschwindigkeit : xo = 0 (cos0 = 1)

- gemischt : vo und xo 0


Allgemeine Lösung der Harmonischen Schwingungsgleichung (wichtig)

- Gilt „immer“ für ungedämpfte harmonisch schwingende Systeme !

- Ist allgemeiner Fall der „mechanischen“ Lösung SW-12

tBtAtx oo sincos)(

(SW – 12‘)

Mit - A, B : Anfangsamplituden

- o : Eigenfrequenz

- : Phase

Weiterlesen : Komplexe Lösung der Schwingungsgleichung.


3.3.4 Beispiele Harmonischer Schwingungen (Übung + Klausur)

- Federpendel

Feder anfänglich gedehnt

Kraftansatz: F = 0

1) Fb - Ft = 0 FRK - Ft = 0 2) Hooke: FRK = - D x = FF da in -x - Richtung

xmFt

3)

0xm

Dx

2o

Feder anfänglich gestaucht

2) Hooke: FRK = + D x = FF da negatives x

xmFt , da in -x - Richtung

Rest identisch

Probe: - m : a 0

- D 0 : a 0

JAVA Applett: Federpendel

gilt auch für senkrechte Pendel

0

Ft

xRuhelage

F = FFF RK

0

Ft

xRuhelage

F = FFF RK


- Torsionspendel

hier gilt nicht v = r ,da nicht konstant

Hier: o =

Herleitung siehe Übungsaufgabe mit : MRK = - D und MT = J folgt :

0J

D

20

- LC – Schwingkreis siehe E- Technik

0ILC

1I

20

UC ebenfalls periodisch ! JAVA Applett: Elektromagnetischer Schwingkreis

- Flüssigkeit in U-Rohr

siehe Übungsaufgabe

d' Alembert: FRK = - mbeschl g = Fb ( '-', da nach unten)

FT = mges z

Flüssigkeit: mFL = A h

mges = A l , l : Gesamtlänge

mbesch = 2 A z (2, da über- & unterhalb z = 0)

0zl

g2z

2o

Vgl. Mathematisches Pendel l

g2

o

D

J

Ruhelage

LC

UC

I

mbeschl

mges

z

0

Ft

FRK


3.3.5 Zusammenfassung Mechanik harmonische Schwingungen

(nur Beträge) Translation Rotation

Ansatz

F = 0

M = 0

Variable

Weg x

Winkel

Rücktreibende Komponente

FRK = cT x

MRK = cR

Trägheitskomponente

FT = m x

MT = J

Eigenfrequenz

m

cT2

o

J

cR2

o

Bem.: - Rücktreibende Komponente Auslenkung

- Frequenz unabhängig von Amplitude

3.4 Gedämpfte Harmonische Schwingungen

Einfluß von Reibung oder anderen Verlusten: Verringerung der Amplitude mit der Zeit

Reibungsphänomene siehe Dynamik

Als Einführung, relevant für Klausur sind die drei Fälle (Skizze, s.u.)

Reibungsarten FR FR proportional Amplitude

Gleitreibung Normalkraft lineare Abnahme, nicht geschlossen lösbar

viskos xv typ. exponentielle Abnahme (*)

Newton 2v Abnahme, DGL schwer lösbar

(*): viskose Reibung entspricht einem Ohmschen Widerstand in ET !


Bsp: Viskose Reibung

z.B. Luftdämpfung eines Pendels bzw. R in LC-Schwingkreis, d.h. vˆx~FR

d'Alembertscher Ansatz

F = 0

Reibungskraft, siehe Tabelle

Ft + FR + FRK = 0

(SW - 13)

Mechanisches System :

0xxm

bx 2

0

2

mit - b : Reibungskonstante

- m : Masse

Vereinfachung der Lösung mit Abklingkoeffizient : m2

b

0xx2x 2

0

Lösung der DGL (Mathe II, hier nur zur Info)

Ansatz: x(t) = xo et

einsetzen: ² + 2 + o² = 0 "charakteristisches Polynom"

Lösung der Quadratischen Gleichung: ² + 2 + o² = 0

oD

²j 2

o2/1

(*)

Folge: Frequenz einer gedämpften Schwingung ist kleiner als die der Ungedämpften !

Kontrolle: keine Dämpfung b = 0 ; = j o (siehe Ansatz)


3 Fälle aus (*) Bed: Schwingung Bem.

Schwingfall o > ja Wurzel positiv

Kriechfall o < nein Wurzel komplex

Aperiodischer Grenzfall o = nein Wurzel Null

(nur Dämpfungsanteil)

Diese Skizze ist relevant:

Schwingfall - gedämpfte Schwingfrequenz kleiner als Eigenfrequenz 22

0D

- exp. Abnahme (Einhüllende) der Amplitude : Schwingung

tj

Abnahme.exp

t

o)t(Deexx

- Wann ist Schwingung (Amplitudenverlauf te~ ) abgeklungen ?

zur Vereinfachung : t = 0 : e0 = 1

für t > 0 : e-5 0,007 d.h. 5t ist Restamplitude kleiner 1%

Abklingdauer

5Tabkling

(SW - 14)

Versuche : - LC-Schwingkreis

- Pohlsches Drehpendel

Zum Weiterlesen: anharmonische Schwingungen, Frequenzverdopplung

z.B. Klirrfaktor im Audiobereich


3.5 Erzwungene Schwingungen

Prinzip: Äußere Kraft bzw. Energie wirkt auf schwingungsfähiges System Relevant: „Physikalische Effekte“ wie z.B. Skizzen, nicht Formeln. Versuch: Drehpendel aus Kraftansatz


für erzwungene Schwingungen

x + 2 x + o2 x = Fext

(SW - 17)

Fext : - Äußere Kraft , Fälle siehe s.u.

- Fext = 0 : Freie, gedämpfte Schwingung (s.o.)

- Fext = x2 : Kompensation der Reibung durch Äußere Kraftzufuhr

z.B. schaukelndes Kind bei konstanter Amplitude

anwachsende Amplitude : Resonanz s.u.

Fext Zeitverhalten Bsp. Pendel

Kurzzeitig, einmalig

(‚Schlag’)

„Anschub“- Anfangsbed.

Danach gedämpfte

Schwingungen

z.B. Stimmgabel, Börsencrash

Permanent

Dauernde Auslenkung

Schwingungsdauer T =

z.B. Festklemmen

Periodisch

bzw. „beliebig“

Wichtigster Fall

Anregung mit Eigenfrequenz

das ist Resonanz

Praxis: Mit einem ‚Schlag’ und Messung von Schwingfrequenz und Amplitude erhält man

alles Systeminformationen wie o und

t

Fext

t

Fext

t

Fext


3.5.1 Viskos gedämpfte Schwingungen mit Sinusanregung Versuch : Drehpendel, LC-Schwingkreis JAVA Applett: Erzwungene Schwingungen (Resonanz)

Schingungsgleichung mit

Dämpfung und Äußerer Anregung

tjext2

0exte

m

Fxx2x

(SW - 18)

Komplexer Lösungsansatz : tj

0extexx

(Rechnung hier rein 'informativ , siehe Mathe II)

einsetzen: m

F2jx ext2

0ext

2

ext0

Maximalamplitude : ext

2

ext

2

0

ext0

2jm

Fx

Resonanz ext0

Re(x0): ext

ext0

m2

Fx

Dämfung 0 bedeutet Amplitude , dies nennt man 'Resonanzkatastrophe'


Resonanzen - vermeiden, da Materialzerstörung (s.u.)

- erwünscht z.B. Funkempfänger (LC-Schwingkreis)

Meßtechnik : Bestimmung der Resonanzfrequenz

Beispiel Schiffsantrieb:

Video Tacoma - Bridge

… praktische Anwendung : LC – Schwingkreis“


Übungsblatt Schwingungen

1. Simulieren Sie Schwingungsphänomene mit dem Computer (z.B. EXCEL):

Dämpfung - Erzwungene und anharmonische Schwingungen - Überlagerung

2. Weisen Sie nach, dass beim Mathematischen Pendel die Lösung des Kraftansatzes

(vereinfacht s = so sin(wot) ) auch die Lösung des Energieansatzes (s'² + o

² s² = const)

ist.

3. Stellen Sie die Harmonische Schwingungsgleichung für ein Torsionspendel (siehe

Vorlesung) auf und geben Sie die Eigenfrequenz an. Welche meßtechnische Bedeutung

hat ein Torsionspendel?

4. Stellen Sie die Harmonische Schwingungsgleichung für eine Flüssigkeit in einem U-Rohr

(siehe Vorlesung) auf, Eigenfrequenz ?

5. Sie bohren ein Loch durch die Erde (senkrecht, durch den Erdmittelpunkt). Wenn Sie

einen Gegenstand hineinbringen und loslassen, wird er durch die Erdanziehungskraft

hineingezogen

( gR

ra mit R = 6400km, g = 10m/s², Abstand r vom Erdmittelpunkt, ohne Reibung etc.).

a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung auf und lösen Sie sie

(Bewegungsform, relevante Parameter)

b) Vergleichen Sie die Zeit, die der Gegenstand zu Durchqueren der Erde und zurück

braucht mit der Umlaufzeit eines niedrigfliegenden Erdsatelliten

(Übungsblatt Kinematik) "etwa gleich groß"

6. Wie groß ist die Schwingungsdauer einer langen Stange (Dicke vernachlässigen), die an

einem Ende aufgehängt ist (harmonisch, ohne Reibung)? Vergleichen Sie dies mit einem

Mathematischen Pendel. Lsg: 2/3 eines gleichlangen M. P.


7. Ein Seil der Länge l und der Masse m liegt so auf einem Tisch, daß der längere Teil

hinunterhängt. Nach dem Loslassen soll das Seil reibungsfrei über die Tischkante gleiten.

Stellen Sie die Bewegungsgleichung und und vergleichen Sie diese "einmalige"

Bewegung mit einer Harmonischen Schwingung.

8. Ein Teilchen der Ladung q und der Masse m befindet sich im homogenen Feld eines

senkrecht zur Erde stehenden genügend großen Plattenkondensators (Abstand d). An

diesem liegt eine Wechselspannung an, so daß eine Kraft F = qUmax/d cost horizontal

und die Erdanziehungskraft vertikal wirkt. Stellen Sie die Bewegungsgleichung auf und

integrieren diese.

9. Ein waagrecht liegender Harmonischer Federoszillator der Masse 1kg (Masse incl. Feder,

Ansatz: waagrechtes Federpendel) und D = 100N/m befindet sich in seiner Ruhelage. Er

wird von einer Kugel (10g) durchschlagen, die mit 500m/s auftrifft und mit 250m/s austritt.

Berechnen Sie die Schwingungsamplitude nach dem Durchschlag des Geschosses

(reibungsfrei). 25 cm

10. Ein unten mit Blei gefülltes Reagenzglas (Gesamtgewicht m) schwimmt senkrecht im

Wasser. Zeigen Sie, daß das Reagenzglas harmonische Schwingungen (ohne Reibung)

durchführt, wenn es etwas ins Wasser gedrückt und dann losgelassen wird.

11. Ein Federpendel besitzt zur Zeit t=0 eine Auslenkung von 5cm, die Geschwindigkeit

10cm/s und die Beschleunigung -20cm/s². Wie groß ist die Amplitude und die

Kreisfrequenz der Schwingung? 7,07 cm 2 1/s

12. Ein 2-atomiges Molekül kann durch ein Feder-Masse-Modell beschrieben werden. 2 harte

Kugeln der Einzelmassen 1,67 10-27 kg sind mit einer Feder (D = 510 N/m) verbunden.

Achten Sie auf die Bewegung des Schwerpunktes, hier tritt sonst ein Faktor 2 auf !

a) Eigenfrequenz des Moleküls 1,24 1014 Hz

b) In welchem Wellenlängenbereich liegt diese?

c) Welche meßtechnische Bedeutung hat dies?


4. Wärmelehre (Thermodynamics)

Das menschliches Temperaturempfinden ‚warm – kalt‘

ist im Vergleich zum Sehen nur ungenau

physikalische Beschreibung der Temperatur notwendig

4.1 Temperatur (Temperature)

Temperatur ist eine der 7 Basisgrößen [T] = K

Vergleich Kelvin - °C K °C

absoluter Nullpunkt 0 -273

Siedepunkt N2 77 -196

Schmelzpunkt H2O 273 0

Siedepunkt H2O 373 100

Schmelzpunkt Eisen 1.800 K

Sonne innen 107 K

Sonne außen 6 * 103 K (siehe Kap. Wärmestrahlung)

Der „Erfinder“ & „Konkurrenten“ Celsius und Fahrenheit

^


Temperaturangaben in technischen Spezifikationen (Specification)

Betriebstemperatur (Operating Temperature)

Temperaturbereich, bei dem das Gerät ohne Schaden zu nehmen betrieben werden kann

Lagertemperatur (Storage Temperature)

Temperaturbereich, bei dem das Gerät ohne Schaden zu nehmen gelagert werden kann,

es ist hierbei nicht eingeschaltet und muss vor dem Einschalten in den

Betriebstemperaturbereich gebracht werden.

Unter Temperatur versteht man hier typischerweise die Temperatur der Umgebungsluft,

die Temperatur im Inneren liegt höher.

Beispiel aus der PC-Welt : Betrieb +10°C ... +35°C , Lagerung -40°C ... +65°C

Typische Betriebstemperaturen :

Bezeichnung Bereich /°C

Commercial +5 ... + 50

Industrial (indoor) 0 ... +70

Industrial (outdoor) 25 ... +75

Automotive -35 ... +85

Military -55 ... + 125


Messung durch temperaturabhängige Zustandsgrößen:

Zustandsgröße Anwendung (Beispiel) Ausführung (Beispiel)

Volumen Flüssigkeits-, Gasthermometer

Längenaus-

dehnung

Bimetall-Thermostat

(Kaffeemaschine)

ungleiche

Metalle

Thermoelement

(Verfahrenstechnik)

Widerstand Pt100 – Messtechnik (Industrie)

'Farbe' des

emittierten

Lichtes

Pyrometer (rotglühender Stahl),

siehe Diagramm

physikalisch –

chemisch

Temperaturstreifen

- Flüssigkristalle reversibel

- chemisch irreversibel

(max. Temperatur)


4.2 Kalorimetrie (Calorimetry)

Wärmemenge (Heat Quantity)

[Q] = J ('Energie')

TmcQC

(WL - 1)

mit m : Masse, [m] = kg

c : spezifische Wärmekapazität [c] = J / kg K , Werte s.u.

C : Wärmekapazität eines bestimmten Körpers (= c m)

T : Temperaturdifferenz, [T] = K

Anmerkungen - eigentlich müßte die Formel Q lauten

- Q nicht proportional T falls Phasenübergänge !

Energieformen können ineinander umgewandelt werden.

Ausnahme: selbstständiges Abkühlen unter die Umgebungstemperatur

Bsp: Stein kühlt sich ab und hüpft mit der gewonnenen Energie hoch

(2. Hauptsatz Thermodynamik)

Mischungstemperatur

Bringt man verschiedene Stoffe mit unterschiedlicher Temperatur, spez. Wärmemenge etc.

miteinander in Kontakt, so stellt sich die sogenannte Mischungstemperatur aufgrund der

Energieerhaltung ein:

mit m : Masse

c : spez.Wärmekapazität

T : Temperatur vor Mischen

...mcmc

...TmcTmcT

2211

222111Misch

(WL - 1')

Beispiel heißes (80°C) und kaltes (20°C) Wasser (je 1 kg) zusammengießen:

C50K3232

K646

kg1Kkg

kJ2,4kg1

Kkg

kJ2,4

K293kg1Kkg

kJ2,4K353kg1

Kkg

kJ2,4

TMisch

Übungsaufgabe: Welche Temperatur messen Sie, wenn Sie in 1l 80°C warme Luft einem

10g schweren Eisen-Temperaturfühler mit der Temperatur von 20°C bringen?

‚Unberechenbar’ : Ort und Temperatur der einzelnen Wassermoleküle zu jedem Zeitpunkt


Bsp.: Elektrische Energie (Arbeit, Work) Wärme (Heat)

z.B. Herd oder elektrische Geräte mit der Leistung Pel = U I : Wel = U I t = Q

zu erwarten ist eine lineare Zunahme der Temperatur mit der Zeit:

U I t = c m T T ~ t

Dies wird experimentell nicht beobachtet (s.u.) !

Gründe:

- Wärmeabgabe durch Wärmedurchgang durch Gehäusewand, Lüfter, Abstrahlung, ...

- mögliche Phasenübergänge

Die Meßkurve läßt sich sehr gut mit einer e-Funktion anfitten, d.h. vgl. Ladekurve RC-Glied

Aufheizen einer LCD-Anzeigetafel

25

30

35

40

45

50

0 10 20 30 40 50 60

T nach Einschalten /min

T /°C

Messung

Gleichgewichtstemperatur

exp - Fit

lineare Zunahme


Bsp.: Kinetische Energie in Wärme (Übung)

Auto bremst von 108 km/h auf 0 km/h mit ABS (nicht blockierend)

Ekin Q

Qvm2

1 2

Folge: Bremsscheibe wird heiß, aber wie ändert sich hier T ?

aus (WL - 1) TmcQ mc

QT

Werte: mauto = 1000 kg

mBremsscheibe = 2 kg

v = 30 m/s 0 m/s (Achtung, siehe Wkin)

ceisen = 500 J/kgK

beBremsschei

2

Auto

mc2

vmT

Einheiten:

2

2

2

22

s

mkgJK

kgJs

Kmkg

T 450 K

Achtung: Dieser Effekt tritt auch bei langen Passabfahrten ohne Motorbremse auf, bzw.

bei Autorennen mit vielen Kurven !


4.2.1 Spezifische Wärmekapazität (Specific Heat Capacity)

es gilt: - cp (p = const)

- cV (V = const)

- c = c(T)

- c(0K) = 0

für Festkörper und Flüssigkeiten cp cV c

für Gase cp > cV

Material c / Kkg

J @ T 300 K

Eisen 500

Holz 2.000

Wasser 4.200

Luft cp

cV

1.000

720

Bestimmung (Messung) der spezifischen Wärmekapazität z.B. durch Mischungsexperimente

(siehe Formel WL-1’ mit Dewar-Gefäß)

Wärmekapazität eines Systemes, z.B. Gehäuse, Dewargefäß

C = c m

mit C = C1 + C2 + ... = T

Q

Anwendung bei Verbundgefäßen, z.B. Thermoskanne, dort wird C experimentell

bestimmt. Messung durch Mischversuch: Tgemessen < Tmisch errechnet


Materialien besitzen spezifische Eigenschaften, die bei Temperaturänderungen oder anderen

Wärmeeffekten zum Tragen kommen, siehe nachfolgende Tabelle.

Wärmeeigenschaften ausgewählter Materialien

Hier nur ungefähre Werte aufgeführt !

Aluminium

Eisen

Gold

H20

Spez. Wärmekapazität (300K) / Kkg

kJ

Luft : 1 Kkg

kJ

0,90

0,45

0,13

4,2

Schmelztemperatur /°C

650

1.500

1.060

0

spez. Schmelzwärme q / kg

kJ

400

280

70

330

Wärmemenge, um 1 kg von Zimmertemperatur zu schmelzen /kJ

967

946

205

Siedetemperatur /°C

2.500

2.700

2.700

100

spez. Verdampfungswärme r / kg

kJ

11.000

6.300

1.700

2.250

linearer Ausdehnungskoeffizient

/ K

10 6

23

12

14

Volumenausdehnungskoeffizient

/ K

1

Festkörper

10-5

Flüssigkeiten

10-4

Gase

10-3


Bsp.: Geräteerwärmung (Übung)

Wie lange braucht ein elektrisches Gerät zum Aufheizen auf eine maximal erlaubte

Temperatur ?

Leistung am Transistor (TO-3, Metall): U = 3V , I = 1A

Kunststoffgehäuse 1l Luft , = 1,2 g/l

To = 25°C, Tmax = 75°C -> T = 50K

Welektrisch = QWärme

U I t = c m T

→ mc

QT

IU

Tmct LuftLuft

s13

500012,01000t

= 20 s

stimmt das ???

- Einheit: sW

sW

AV

1

1

K

1

kg

Kkg

J]t[

Bem: - t gemäß Erfahrung größer: Aufheizen von Transistor (Metall) und Gehäuse

(Kunststoff) sowie Wärmeabstrahlung und Wärmeleitung des Gehäuses

vernachlässigt, es wurde nur Erwärmung der Luft im Gehäuse berechnet !

(siehe oben, Aufheizen LCD-Tafel)

- Rechnung mit Metall (10 g) und Kunststoff (100 g):

.min30s1800

s3

500012,010001,0100001,0450

IU

Tmcmcmct LLKKMM

(Ausklammern von T erlaubt, da ‚Alles’ dieselbe Temperatur hat)

- Wärmeleitungsverluste (Thermisches Gleichgewicht) berücksichtigen


4.3.1 Phasen

fest flüssig gasförmig

Form definiert Beliebig bel.

Volumen def def. bel.

Bsp Metall Wasser Luft

Weitere Phasen : flüssigkristalline - und Plasma - Phase

Ohne diese beiden gäbe es wohl keine flachen Displays!) Weiterlesen


4.3.2 Phasenübergänge (Phase Change, ~ Transition)

Phasenübergang T steigend T fallend

Fest (solid)- flüssig Schmelzen (melting) Erstarren (solodify)

Flüssig (fluid) - gasförmig Sieden (boil) Kondensieren (condense)

fest – gasförmig (gaseous) Sublimation (z.B. Schwefel) Desublimation

Sublimationswärme = Schmelz- + Verdampfungswärme

Energetische Betrachtung der Phasenübergänge

konstante Wärmemenge pro

Zeiteinheit wird ständig

zugeführt

Versuche: Eiswasser, Wasser

kochen, T bleibt eine zeitlang

konstant !

T

Q bzw. tSchmelzwärme Verdampfungswärme

Schmelz T

Verdampfungs T

Phasenübergang T steigend Wärmemenge aufwenden

T fallend Wärmemenge wird frei

Schmelz-, Erstarrungswärme Siede-, Kondensationswärme

Qsm = q m

Qsd = r m

(WL - 3)

q : spez. Schmelzwärme [q] = J/kg Werte siehe Tabelle Wärmeeigenschaften (s.o.)

r : " Verdampfungswärme

m : Masse

Anwendung : Wärmepumpe

- ext. Wärmeaufnahme: niedrigverdampfende Flüssigkeit

- int. Wärmeabgabe : Kondensation an Heizflüssigkeit Kondensationswärme wird frei !


Zur Info: Druck - Temperatur - Abhängigkeit

Bsp: H2O

Anmerkungen:

Sublimationsdruckkurve

Eis Wasserdampf; Beispiel Trockeneis

Schmelzdruckkurve

nahezu druckunabhängig, Bsp Eislaufen

Dampfdruckkurve

T-abhängig: Wasser kocht im Gebirge bei niedrigerer T

als am Meer, Kavitation bei Schiffsschraube

Tripelpunkt

alle 3 Phasen existieren

H20 : T = 273,16 K (T-Def.); p = 610,6 Pa

kritischer Punkt

nur unterhalb der kritischen Temperatur lassen sich Gase

durch

Druck verflüssigen

p /Pa

T /°C-100 0 100 300

1

106

" 1 at "

Eis

Wasser

Wasserdampf

kritischer

Punkt

Tripelpunkt

Schmelzdruckkurve

Sublimationsdruckkurve

Dampfdruckkurve

102


Schmelzen kann lange dauern bei guter Wärmeisolation:


4.4 Zustandsgleichungen (Constitutive Equitation)

4.4.1 Ideales Gas

Gilt nur für hohe Temperaturen,

da T 0 V = 0 bedingt

p V = n R T

(WL - 4)

Mit - R = 8,3 J/Kmol Allgemeine Gaskonstante

- n : Stoffmenge, [n] = mol

- T : Temperatur in K

Messverfahren siehe rechts, im Schlauch

befindet sich eine Flüssigkeit

JAVA Applett: Zustandsänderungen eines idealen Gases

4.4.2 Flüssigkeiten und Festkörper

allgemein : V = V(T,p)

d.h. Fkt mehrerer Veränderlicher: Linearisierung als Näherung

Volumenveränderung V(T,p) = Vo ( 1 + T - p) (WL - 5)

mit :

Vo, To, po : Ausgangszustand laut DIN bei 20°C (293 K)

V, T, p : aktueller Zustand

T = T - To

p = p - po

Achtung: = Aktueller Wert - Ausgangswert

: Volumenausdehnungskoeffizient [] = 1/K, hier isotrop d.h. (x) angenommen !

: Kompressibilität [] = 1/Pa


- Prinzipiell können diese Parameter richtungsabhängig sein, wie z.B. bei Verbundstoffen !

- und sind Temperatur-abhängig !

Typische Werte /1/K /1/MPa

Festkörper 10-5 1

Flüssigkeiten 10-4 100

Gase 10-3 10.000

T und p verursachen V

Maschinenbau: Gehäuse: V = const: T p Kraft F : Spannungen

E-Technik: T-abhängige Parameter z.B. Widerstand

in 'einem Gerät / Schaltung' nur Materialien mit gleicher T-Abhängigkeit verwenden!

Näherungen:

Volumenveränderung V(T) = Vo ( 1 + T) Vo ( 1 + 3 T) (WL – 5’)

bei konstantem Druck, : Längenausdehnungskoeffizient

Geometrie

Bei langgestreckten Gegenständen,

z.B. Stäben kann man vereinfachend

nur mit der Längenausdehung

rechnen oder falls nur eine Richtung

für die Aufgabenstellung relevant ist.


Längenausdehnungskoeffizient L(T) = Lo (1 + T) (WL - 6)

(Thermal Coefficient of Expansion, TCE)

[] : / 1/K , üblich für T von 0 ... 100°C

- ist temperaturabhängig, z.B. Platin (siehe unten) = (T)

Tabellen meist für 20°C, da WL - 6 lineare Näherung !

- Materialwerte siehe Tabelle

Bem.:

- Concorde bei Mach 2,2:

L 30 cm

bei ca. 50m Länge

- Blackbird-Triebwerk (re.)

- (WL - 6) ist eine lineare Näherung (Polynomentwicklung) !

- Längenausdehnung L(T) = Lo (1 + T)

- Hookesches Gesetz F(x) = (0 + Dx)

- E-Technik R(T) = R25

(1 + T)

Polynome werden zum Anfitten an experimentelle Werte verwendet. Diese linearen

Gleichungen gelten nur für einen bestimmten und engen Bereich.

Will mans genauer wissen: höheres Polynom, z.B. Platin : 6. Grad !


Unterschiedliche Ausdehunungskoeffizienten führen zum Bruch bzw. Materialermüdung:

10mm

Vergußmasse

Polyimid

Silizium

Kleber

Träger

/ 10 K-6 l / µm

(-65°C ... +150°C)

20

40

3,5

40

17

43

86

7,5

86

37

Thermische Ausdehnung bei IC


4.5 Wärmetransport (Heat Transport)

Art Charaktristik Bsp

Wärmestrahlung

(thermal radiation) em-Strahlung (meist IR) Sonne, Mikrowelle, Lagerfeuer

Wärmeströmung

(thermal flow)

(Konvektion)

Materialtransport

Konvektionsheizung (z.B. Luft), PC-

Lüfter, Meer: kaltes Wasser unten,

oben warm

Wärmeleitung

(thermal conduction) Energieübertragung

erwünscht : Kühlkörper

unerwünscht : Thermoskanne

Statt ‚thermal ...‘ wird im Englischen auch oft ‚heat ...‘ benutzt.

4.5.1 Wärmestrom (Thermal Flow)

Wärmestrom

auch Wärmeabgabe

mit Q = c m T

vgl. mit Strom und Ladung

LeistungWs

J

Qdt

dQ

t

Q

TmcTmcTmc

| | | Bsp. Lüfter Statisches z.B. Gase, c(T) Abkühlen oder Phasenübergang

(WL - 8)

zeitliche Abhängigkeit analog Kinematik !

Bsp: - abkühlender Körper ( 0c,0m ) : Q = 90 J in t = 15 s = 6 W

- Gehäuselüfter mit permanentem Massenstrom 5 l/min, T = 20 K ( 0T )

min

l5

t

m

dt

dmm

, Wärmekapazität konstant : 0c

W2K20s60

kg50012,0

Kkg

J1000Tmc

Solarkonstante (Äquator, senkrechter Einfall): qsolar = A

= 1,35 kW/m²

(Deutschland 0,7 kW/m²)


Analogie Wärmelehre - E-Technik

Transport von 'Wärmeteilchen' im Vergleich zu geladenen Teilchen

Die treibende Kraft für den Transport ist eine Potential- bzw. Temperaturdifferenz !

Wärmelehre E-Technik (Gleichstrom)

T-Differenz T U Potentialdifferenz

Wärmestrom I Strom

Wärmewiderstand Rth R Widerstand

TRth

I

UR Ohmsches Gesetz

Wärmeleitwert

thR

1

R

1G Leitwert

Mehrere Schichten Rth ges = Rth Rges = R Serienschaltung

'Vergrößerung

eines Kühlkörpers'

...R

1

R

1

R

1

2th1thgesth

...R

1

R

1

R

1

21ges

Parallelschaltung

Wärmekapazität C C Kondensatorkapazität

(Serien- und

Parallelschaltung

entsprechend)

Vergleiche mit Aufheizkurve (S. 104) mit der Ladekurve U(t) der

Kondensatorspannung eines RC-Schaltkreises.

Gehäuse

Isolierscheibe

Kühlkörper

Betrachtung nur in diese Richtung

Pel

Luft

LuftTHLT Geh.T IsoT Kk.T

C : Wärmekapazität, R : Wärmewiderstand

LastR

= Abgabe an Umgebungsluft


2 Fälle des Wärmestroms :

permanente Wärmeentwicklung

‚leicht‘ zu berechnen, d.h. (Wärme-) Kapazitäten werden vernachlässigt, nur Widerstände

berücksichtigen.

Annahme, dass der Aufwärmvorgang abgeschlossen ist.

Typische Aufgabe: - Berechnung der Gleichgewichts-Temperatur

- Berechnung eines Kühlkörpers

Einschalt- und Abschaltvorgänge

‚komplexer‘, meist nur interessant bei kurzen Betriebsdauern (‚Ladezeit‘, danach Fall

‚permanent‘), z.B. HF-Teil Handy, da typischerweise 5 min. in Betrieb. Vgl. RC-Verhalten

bzw. Einschalten LCD-Tafel


4.5.2 Wärmestrahlung (Thermal Radiation)

auf der Erde in Luft und Wasser für kleinere Körper (z. B. ICs) meist vernachlässigbar

im All: Wärmeabgabe nur über Strahlung möglich

Bsp: Astronauten müssen mit Flüssigkeit gekühlt werden, da der Körper mehr Wärme

erzeugt als durch Strahlung abgeführt werden kann, also ‘Wärmetod’ nicht ‘Kältetod’ !

Plancksches Strahlungsgesetz

gilt genau genommen nur im All

4TA

(WL - 9)

mit

= 5,7 10-8 42 Km

W (Stefan-Boltzmann - Konstante)

= Emissionsvermögen : schwarzer Kühlkörper 0,9 ... 0,95 , weiße Fläche 0,5

A : Fläche des Schwarzen Körpers /m²

[T] = K

Achtung: Näherung, gilt nicht, wenn Wände etc. in der Nähe sind!

Bei der Stahlerzeugung ist deutlich die

Abhängigkeit der Farbe mit zunehmender

Temperatur (Strahlung) zu erkennen: Rot

(600°C) - Gelb (1100°C) - Weißglut (1300°C)


5.3 Wärmeströmung (Thermal Flow)

- Transport von Materie, d.h. Wärmetransport durch Teilchentransport ! - meist aktiv, z.B. mit Lüfter oder Pumpe betrieben. - Konvektion: Strömung durch Dichteunterschiede, z.B. warme Luft steigt auf

Wärmeströmung

m : Massenstrom (vgl. Impuls)

T : T-Differenz ausströmende - angesaugt Luft

bzw. Flüssigkeit oder Gas

TmcQtd

Qd

t

Q

(WL - 10)

Man kann mittels der transportierten Stoffmenge (z.B. Luft bei Lüfter, Angabe in m³/min) den

Wärmestrom berechenen:

Bsp: Wieviel Verlustleistung kann ein Lüfter aus einem elektrischen Gerät transportieren ?

Lüfter mit 0,1 min

m3

Luft : T = 30 K

(ausgeblasene -

eingesaugte

Temperatur)

Dichte : 1,2 kg/m³

= c m T

= K30s60

kg12,0

kgK

J1000

= 60 W

Beispiel Lüfter-Spec Bestellbezeichnung: 0410N-12

Abmessungen: a x b (mm)

40 x 40

Bautiefe:c(mm) 25

d (mm) 32

e (mm) 4,5

Nennspannung VDC

24

Volumenstrom m³/h 165

Luftdruck mm H2O 7,2

Stromaufnahme mA 340

Geräuschpegel dBA 44

Lagerungsart Kugellager

Temperaturbereich -10 ... + 70 °C

Lebensdauer in h bei 25°C

51.000

Lebensdauer in h bei 70°C

40.000

Zulassung UL/CSA/TÜV

http://www.luefter.com/zeichnung_Sh4O10.html

http://www.luefter.com/zeichnung_Sh4O10.html


Anwendungen:

In Schaltschränken ist die Temperatur ‚oben‘ am höchsten (Bauteile-Belastung !). Deshalb

sollten oben (Abluft) und unten (Zuluft) Lüftungsschlitze angebracht sein. Zu beachten ist

aber eine ‚Verschmutzung (Staub) des Gerätes und eine erhöhte Wasserempfindlichkeit.

Achtung : Bei erhöhten Umweltanforderungen (z.B. wasserdicht) kommt eine Wärmeabfuhr

durch Lüftung (Massestrom) nicht in Betracht. Die Wärmeleitung und die maximal erlaubte

Bauteiltemperatur bestimmt dann maßgeblich die maximal erlaubte elektrische

Verbrauchsleistung !

4.5.4 Wärmeleitung (Thermal Conduction)

Metall fühlt sich ‚kälter‘ als Holz in einem 20°C warmen Raum an obwohl beide Gegenstände

gleich warm sind. Grund: Metalle haben eine höhere Wärmeleitfähigkeit und transportieren

so die ‚Wärme‘ der Finger schneller ab, die (wärmeren) Finger kühlen sich also ab.

Hauptfälle : - Wärmeleitung durch eine Wand sowie von Festkörper auf Fluid

- Wärmedurchgang durch eine Wand

- Wärmeabgabe eines Körpers durch Abkühlen bzw. bei 'ständiger' Heizung


4.5.4.1 „Reine“ Wärmeleitung durch Wand

Welcher Wärmestrom fließt durch eine Wand bzw.

welche Leistung wird durch eine Wand in

Abhängigkeit vom Temperaturgefälle transportiert ?

Achtung : Das folgende beschreibt nur einen

Teilaspekt der Wärmeübertragung durch eine Wand,

vollständig s.u. !

Wärmestrom analog Ohmschen Gesetz : thR

TI

R

U

Hieraus folgt

Wärmewiderstand [Rth] = W

K

s : Wanddicke, A : Fläche

Ak

1

A

sRth

(WL - 11)

: Wärmeleitzahl, [] = mK

W (Materialeigenschaft)

k : Wärmedurchgangszahl, s

k

; Anwendung z.B: Baubranche

Wärmeleitung

Erhöhte Wärmeabgabe durch Ver-

größerung der Oberfläche (Kühl-

körper, Rippen bei Elektromotoren)

TAs

TAk)TT(AkR

TBA

th

(WL - 12)

ATA T

B

T

s

TA

TB

x

s

U

R Analogie


Wärmedurchgangszahl „Normierung“ auf Dicke

[k] = 2mK

W

sk

(WL - 13)

Material

Werte für 300 K !

Wärmeleitzahl / mK

W Wärmedurchgangszahl k /2mK

W

Eis 2,33

Wasser 0,6

Luft 0,025

Stahl 14

PVC 0,16

Kork 0,05

Ziegel 1 1,5 (30 cm Hohlziegel)

Glas 0,8 5,6 (1 cm) (Doppelglas)

Beispiel: Wie stark muß die Heizung einer Studentenbude sein ?

Werte : Länge Außenwand 10 m (Ecke), 2,5 m hoch, 2 Außenwände, k = 1

W/Km²

Innenwände, Boden, Decke vernachlässigt, da Hochhaus

Temperatur 0°C außen, 20°C innen gewünscht

= k A T = 1 W/Km² 25 m² 20 K = 500 W

Bei einer Wand aus mehreren Schichten wird einfach die

'Serienschaltung' (vgl. ET) angewendet:

Rthges = Rth1 + Rth2 + ...

'Parallelschaltung' : ...R

1

R

1

R

1

2th1thgesth

(Vergrößerung der ‚Durchgangsfläche’)


4.5.4.2 Wärmeleitung von Festkörper auf Fluid (Flüssigkeit, Gas)

Welche Wärmeleistung wird von einem

Festkörper auf ein Fluid abgegeben ?

hier geht nur der Wärmeübergangskoeffizient

des Fluids ein !

T = TFK - Tfluid

Wärmestrom durch Übergang FK - Fluid

: Wärmeübergangskoeffizient, [] = W / m² K

= (vfließ, Medium)

TA

(WL - 14)

Wärmeübergangswiderstand FK - Fluid

vgl. Wärmedurchgangswiderstand Ak

1

A

sRth

A

1Rth

(WL - 15)

Metall - Medium / W/m²K

Luft : ruhend 3 - 30

langsam 30 - 60

schnell 60 - 300

Wasser 500 - 5000

Wärmeübergangskoeffizient

für strömende Luft längs einer ebener Wand

Einheitenmiterenmultiplizi

sm5vfürv7

sm5vfürv4678,0

Bsp: - Motor: Wodurch unterscheiden sich Luft – Wasserkühlung ? Vorteile - Nachteile, ...

- PC mit Wasserkühlung

Hier vernachlässigt: Wärmeübergang FK auf FK

x

FK Fluid

T

TFK

TFluid

T

A


4.5.4.3 „Vollständiger“ Wärmedurchgang durch Wand

Wärmeübertragung von Fluid durch Wand (hier Verbundwand) an Fluid Wärmeübergangskoeffizient von Wand 1 auf Wand 2 wird vernachlässigt.

Innenwand 1 : Wärmeübergangskoeff. 1

Wärmeleitung durch Wand 1 : Wärmeleitzahl 1

Wärmeübergang Wand1 - Wand 2 vernachlässigt

Wärmeleitung durch Wand 2 : Wärmeleitzahl 2

Außenwand 2 : Wärmeübergangskoeff. 2

Elektrisches Ersatzschaltbild mit Strom I

- Wärmewiderstand als Serienschaltung : Rth ges = Rth überA + Rth durch1 + Rth durch2 + Rth überB

- Einzelwiderstände aus (WL - 15).

- Funktioniert ebenso mit 1 oder mehreren Wandkomponenten.

Wärmestrom innen außen :

221122

2

1

1

1

thges 1

k

1

k

11

TA

A

1

A

s

A

s

A

1

T

R

T

Näherung : T des Gesamtsystems (ist aber üblich)

Beispiel (Übung): Zimmerwand (1 m² mit = 6 W/m²K ) mit 30 cm dicken Ziegeln, (k = /s =

1 W/m²K) und 1 cm Gips (k = /s = 2 W/m²K) innen. Temperaturdifferenz von außen nach

innen 20 °C (20K).

Gesucht : Wärmestrom und Verlustwärme pro m² bzw. s ?

Wärmedurchgangswiderstand :

W

K83,1

²mW

K²m1

6

1

2

1

1

1

6

1

A

11

k

1

k

11R

2211

thges

Wärmestrom pro m² : = T / Rth = 20 W / 1,83 = 11 W

Verlustwärme pro m² und sec : Q = t = 11 J

Bei 45 m² anrechenbarer Fläche und 2000 h p.a. Heizung einer Wohnung ergibt sich :

= 500 W, Q = 1000 kWh, Heizkosten bei 0,4 €/kW : 400 € pro Jahr

Beispiel Studibude (S. 123): 25 m² bei = 11 W entspricht ca. 275 W, nur ‚Wand’ ergibt 500 W

TA

TB

A

s1

1

s2

2

T

xinnen außen

I


4.5.4.4 Wärmeabgabe

Statisches Abkühlen

- es wird keine Wärme nachgeliefert

- T const, gesucht: T = T(t) ?

Bsp: Eisenwürfel (Fe)

- Anfangsbedingung : T(t = 0) = 70°C = 343 K

Fläche des Würfels zur Luft hin:

A = 5 * (0,3 m)² = 0,45 m²

Näherung:

- TEisen im Würfel räumlich konstant

- Umgebungsluft erwärmt sich nicht

- keine Volumenschrumpfung

- keine Wärmestrahlung

- Materialparameter seien T-unabhängig

- cFK >> cFluid

70°C30 cm

isoliert aufgeklebt

Luft ruhend20°CFe


Def.: Temperaturdifferenz : Tdiff = TEisen - TLuft

einerseits: = dQ / dt differentielle Schreibweise

thR

T (Rth ist hier der Wärmeübergangswiderstand FK - Fluid)

dQ = A Tdiff dt (Wärmeleitung) (i)

dQ : differentielle Änderung der Wärmemenge

Wärmeverlust in der 1. Minute für TKörper = const.

kJ7s60K50²m45,0K²m

W5Q

(vgl. mit Wärmestrahlung ! )

andererseits: dQ = c m dTdiff (im Eisenwürfel gespeicherte Wärmemenge) (ii)

mit c = 0,55 J/gK

m = V

Energieerhaltung : - Wärme kann nicht verschwinden

- Wärmeaufnahme der Luft = Wärmeverlust (-abgabe) des Eisenwürfels

Summe aller Änderungen der Wärmemenge muß Null sein

dQ = 0 dQauf + dQab = 0

mit (i) und (ii) folgt : - dQEisen = dQLuft

Relevant (für „Wissen“ und Klausur): Ansatz & Ergebnis


Berechnung der Differenztemperatur:

dtTAdTmc diffdiff vernachlässigt : - TLuft = TLuft (t)

diffdiff T

mc

A

dt

dT DGL 1. Ordnung (Mathe 2)

dtmc

A

T

dT

diff

diff

Ctmc

ATln diff

| e

t

mc

A

diff ekT

k aus Anfangsbedingung : Tdiff (t = 0) = TEisen(0) - TLuft (hier 50 K bzw. 50°C)

k = TEisen(0) - TLuft

t

mc

A

Luft)0(Eisendiff e)TT(T

t : LuftEisendiff TT0T

dann herrscht thermisches Gleichgewicht

Anwendung : - Bestimmung von (ggf. ln - Darstellung)

- Hitzdrahtinstrument z B. als Luftmassenmesser in Vergasern

Strom um T zu halten ~ zur Geschwindigkeit (Eichung notwendig)

Vergleich mit Entladekurve RC-Glied

R : Abflußwiderstand (Rth) ≡ 1/A

C : Speicherelement (CEisen) ≡ c m

UC Tdiff

t

CR

1

0C eUU

Benefit:

Aufgaben aus der Wärmelehre können mit Schaltungssimulations-Software gelöst werden !

t

Tdiff

TEisen(0)

TLuft

LuftTEisenT

LuftR

thR

EisenC

(klein,

Kurzschluß)


Praktisches Beispiel (Übung):

In welchem Fall ist heißer Kaffee, welcher frisch in einen Styroporbecher gegossen wird nach

10 min. kälter ? Wenn die Milch sofort oder erst nach 10 min dazugegeben wird ?

Werte für t = 0: Kaffee : TK = 70°C , mK = 100 g

Milch : TM = 10°C , mM = 10 g

TLuft = 20°C , cKaffee = cMilch = c

Wärmekapazität und -leitung der Styroportasse vernachlässigt

bzw. in TK enthalten (beim Eingießen war der Kaffee heißer)

a) Milch sofort hinein Berechne TMisch c mK T = c mM T , dann Abkühlen

cK mK (TK - TMisch) = cM mM (TMisch - TM) Kaffee wird kälter, Milch wärmer, cK mK TK + cM mM TM = (cM mM + cK mK)TMisch

Mischtemperatur zweier Stoffe : MMKK

MMMKKKMisch

mcmc

TmcTmcT

(WL - 1')

C5,65K5,337kg11,0

K283kg01,0K343kg1,0TMisch

mit

s

1106

mc

Aconst

kg11,0m;Kkg

J4200c

)sigtvernachläselgdemzufocherStyroporbeeKaffeetassda,flächeWasserober(²m003,0A;K²m

W10

5

t.const

diff eK5,45T

K44eK5,45T 04,0

diff

TKaffee nach 10 min 64°C b) Milch erst nach 10 min hinein Erst Abkühlen, dann Mischen berechnen

K48eK50T 04,0

diff TK nach 10 min = 341 K = 68° C

Hier ist das Abkühlen während 10 min. schneller, da die Temperaturdifferenz größer ist !

C63K336kg11,0

K283kg01,0K341kg1,0T min10nachMisch

Kaffee ist kälter, wenn man die Milch erst 'zum Schluß' dazugibt ! Weitere Überlegung: „Pusten“ erhöht Wärmeübergangskoeffizienten !


Dynamische Wärmeabgabe = permanente Wärmeentwicklung und –abgabe (Bsp. Kochen)

Beispiel: Kühlkörper mit Transistor und ständiger Verlustleistung

Gleichgewicht : TKühlkörper = const.

(erreicht bei Abschluß des Aufheizprozesses, vgl. LCD-Tafel, s.o.)

Nebenbedingung : - großes Reservoir der umgebenden Luft, d.h. TLuft = const.

- kein Lüfter

Ziel: Berechnung des thermischen Widerstandes Rth des Kühlkörpers

in Abhängigkeit von der (erlaubten) Bauteile- und der Umgebungstemperatur

(andere Aufgabenstellung : Berechnung der Gleichgewichtstemperatur eines elektrischen

Gerätes bei gegebenem thermischen Widerstand und elektrischer Verlustleistung)

Einerseits: Q = U I t dQ = U I dt PstungVerlustlei

IUQ (*)

mit U : Spannungsabfall am Bauteil

andererseits: thR

TQ

dt

dQ (**)

mit T = (erlaubte maximale bzw. gewünschte) Bauteiletemperatur - Lufttemperatur

(*) = (**) : Zufuhr

th

th P

TR;

R

TIU

Thermischer Widerstand des Kühlkörpers in Abhängigkeit von Leistung und Temperatur

KühlkörperthasteWärmeleitp,IsolierungthBauteilthth

stungVerlustleieelektrisch

LuftBauelementLuftBauelementth RRRR;

P

TT

IU

TTR

Bemerkung: - der Übergangswiderstand Kühlkörper - Luft 'steckt' in Rth

- Rth wird üblicherweise im Datenblatt angegeben (s.u.)

- Übergang Bauteil – Kühlkörper kann vernachlässigt werden, falls

(die dringend empfohlene) Wärmeleitpaste eingesetzt wird.

- TLuft stellt die maximal erlaubte Umgebungslufttemperatur dar,

danach ist der Kühlkörper auszulegen !


Bsp: TBE = 60°C (commercial 0 ... 70°C), TLuft = 40°C , U = 1V , I = 1 A

W

K20

W1

K20

IU

TTR

LuftBauelement

th

Praxis:

Rth (Kühlkörper) muß kleiner sein als Rth

(berechnet) wegen Kontaktwiderstand

(Rthcontact Reduktion durch Wärmeleitpaste)

etc.

hier: minimal 30 cm² Alu 2 mm dick

Rthcontact und PVerlust minimieren

Warum ist für 1 mm dickes Alu der

thermische Widerstand bei gleicher Fläche

größer ?

Wegen der dünneren Materialstärke kann

die Wärme von einer punktförmigen Quelle

(z.b. Transistor) in der Mitte nicht 'so gut' in

Richtung Rand abgeleitet werden.

Die Temperaturverteilung der Fläche ist

inhomogen

Rth

10

5

30

1

10 30 100

Kühlkörperfläche

2 mm Alu

1 mm Alu

/ K/W

A /cm²

Temperatur-gefälle

punktförmigeWärmequelle


Einfaches Kühlkörperdatenblatt

nichtlinearer Zusammenhang :

- doppelte Kühlkörpergröße halber thermischer Widerstand

Rth (50 mm) = 2,8 K/W aber Rth (100 mm) nicht Rth (50 mm)/2

- 'gilt auch für Preis'

Grund: - Wärmeausbreitung von Punktquelle aus

- Luftströmungsverhalten des Kühlkörpers

(Einbauort und -lage beachten !)


Maximal erlaubte Verlustleistung eines kleinen IC-SMD-Gehäuses in Abhängigkeit von der

- a) Umgebungstemperatur

- b) Luftgeschwindigkeit und Platinenkühlfläche

a) linearer Zusammenhang zwischen maximaler Verlustleistung und

Umgebungslufttemperatur mit Gehäusetyp als Parameter

b) nichtlinearer Zusammenhang zwischen maximaler Verlustleistung und Kühlfläche

mit Parameter Strömungsgeschwindigkeit für 25 °C (wenig praxisrelevant, da T meist

höher)


Berechnungen und Simulationen zur Temperaturverteilung sind wegen der Vielzahl von

Parametern (Bauteile, Platine, Kühlkörper, Einbaulage, ...) und der dreidimensionalen

Verteilung (mechanischer Aufbau, ...) sehr aufwändig. Die Ergebnisse sind mit Vorsicht zu

genießen und sollten mit Messungen (z.B. IR bzw. Temperaturfühler oder –streifen)

untermauert werden.

Beispiel : Simulation einer DC/DC-Wandlerschaltung (http://power.national.com)

Die Schaltung ‚reduziert‘

eine Eingangsspannung

von 12 V auf 3,3 V und

liefert ca. 2,5 A

Ohne Kühlkörper


Mit Kühlköper

Die heißesten Teile sind die Diode und der IC. Durch den Kühlkörper sinkt die Temperatur

‚nur‘ um 3 – 6 °C. Die lateralen Abmessungen der Platine erhöhen sich um jeweils ca. 12 mm

! Der Aufwand scheint hoch, es gilt aber zu beachten, daß bei einer Umgebungstemperatur

von ‚nur‘ 30°C bereits Bauteile-Temperaturen von 60°C erreicht werden.

Temperaturen /°C Diode IC

Kühlkörper Ohne Mit Ohne Mit

Umgebungs- 30 62 56 61 57

Temperatur 50 82 78 78 73

Zu beachten ist, daß die Simulation mit der Stromversogrung als einziges Bauteil

durchgeführt wurde – in einem abgeschlossenen Gehäuse mit Verbrauchern erhöht sich die

Temperatur, so daß hier mit einer ‚inneren‘ Umgebungstemperatur im Bereich 50°C zu

rechnen ist. Kommerzielle Bauteile (0 ... +70°C) kommen dann bereits nicht mehr in Frage !


Zur Info: Kleine Formelsammlung zur Elektronikkühlung (www.flomerics.de)

Luftaustrittstemperatur aus einem zwangsbelüfteten Gehäuse

V

P1,3TT rittintEAustritt

T : Lufttemperatur /°C

P : Elektrische Verlustleistung /W

V : Volumenstrom des Lüfters /m³/h

Mittlere Lufttemperatur in einem geschlossenen Gehäuse

k

AußenInnenAk

PTT

T : Lufttemperatur /°C


k : Wärmedurchgangszahl, typisch k = 5,5 W/m²K

Ak : Wärmeübertragende Gehäusefläche (DIN 57660)

Homogen bestückte Leiterplatte in freier Konvektion

Mit Strahlung :

86,0

UmgebungPlatteA

P1,0TT

Ohne Strahlung :

80,0

UmgebungPlatteA

P3,0TT

TPlatte : Durchschnittstemperatur der Platine /°C

TUmgebung : Lufttemperatur /°C


A : Fläche der Platine /m²

Temperaturänderung bei Wärmedurchgang

PA

dTT KaltWarm

T.. : Temperatur /°C

d : Schichtdicke /m

: Wärmeleitfähigkeit des Schichtmaterials /W/mK

P : Wärmestrom durch Fläche A /W

A : Fläche des Wärmedurchganges /m²

TEintritt

TAustritt

Tinnen

Taußen

TUmgebung

TPlatte

P

dT

kalt

Twarm

http://www.flomerics.de/


4.6 Thermodynamik (Einführung) (Thermodynamics)

Im Wesentlichen zum Weiterlesen, Relevantes ist mit Rahmen „markiert“

Aufgabe : Beschreibung makroskopischer (c, , , k, ...) Materieeigenschaften durch

physikalische Größen aus Kristallgitter, Atom- und Moleküleigenschaften.

Beispiele : spezifische Wäremleitfähigkeit, molare Wärmekapazität, …

Grundlage Statistik, da sonst pro Mol ca. 1025 Gleichungen zu lösen wären !

Bsp: Wärmekapazität c Gase pro Freiheitsgrad TkB21 c = c(T)

c1atomig = TkB23 : 3 x Translation, z.B. He

c2atomig = TkB25 : 3 x Translation + 2 x Rotation, z.B. H2

4.6.1 System-Definitionen

Thermodynamische Systeme sind Materieansammlung, deren Eigenschaften durch

Zustandsvariablen (z.B. V, E, T, p, z.B. p V = N R T Ideales Gas) beschrieben werden

können.

System Definition Formel Beispiel

Ab- geschlossenes System

keine Wechselwirkung (Ww)

oder Materieaustausch

(Teilchenzahl konstant) mit

der Umgebung;

Gesamtenergie (mechanisch,

elektrisch, ...) konstant

- Eges = W = const - n = const.

Technisch angenähert

durch Dewar-Gefäß

(Thermoskanne)

kein Wärmetransport

durch Strahlung oder

Wärmeleitung

Geschlossenes

System

Energieaustausch mit der

Umgebung zugelassen,

jedoch kein Materieaustausch

- Eges = W const. - n = const

Wärmebad,

Kühlkörper

Offenes

System

Energieaustausch und

Materieaustausch mit der

Umgebung zugelassen

- Eges = W const

- n const

Gehäuse mit Lüfter

wie geschlossenes

System mit

Materialtransport


4.6.2 Zustands-Definitionen

Gleichgewichtszustand

- Zustand, welcher sich von selbst einstellt

- 'Hineinlaufen' in den Gleichgewichtszustand meist ‘komplex’ (s.u. *)

Bsp: Thermisches Gleichgewicht:

Zusammenbringen zweier Teilsysteme im energetischem Kontakt

(kein Materieaustausch), bis keine Energie mehr fließt

(Nullter Hauptsatz der Thermodynamik),

z.B. taktile Temperaturmessung (s.u. **)

Stationärer Zustand

wie Gleichgewichtszustand aber mit Energiefluß

Bsp: - Warmhalteplatte T = const, aber elektrische Energiezufuhr

- Aufheizen Elektronikgehäuse (s.o.)

Beispiel : Gleichgewichtszustand (Steady State, Equilibrum) und das Hineinlaufen (*)

In eine Wanne werden aus einem Bottich 50 l mit 20 °C kaltem Wasser hineingegossen. Es

werden dann mit einem anderen Bottich 50 l mit 40 °C dazugegeben. In der Badwanne

befinden sich nach Durchmischen 100 l Wasser mit einer Temperatur von 30 °C.

Der Anfangs- (2* 50 l, 20 bzw. 40°C) und Endzustand (100 l mit 30°C) ist leicht berechenbar.

Unberechenbar ist hingegen das Hineinlaufen in den Gleichgewichtszustand, d.h. die

zeitliche und räumliche Verteilung der Temperatur. Die Wasserströme können beispielsweise

mit gefärbten Wasser sichtbar gemacht werden (weiteres Beispiel: Milch in Kaffee gießen

ohne Umzurühren ergibt minutenlanges Strömen der Milch vor Gleichgewichtsverteilung).

Ferner ist es nicht möglich, den ursprünglichen Zustand (2 Bottiche mit je 50 l und 20 bzw. 40

°C) aus dem Gemisch zu extrahieren. Das Zusammengießen stellt also einen irreversiblen

Prozeß (s.u.) dar.


Beispiel : Thermisches Gleichgewicht (**) (Thermal Equilibrum, - Balance)

Die Temperaturmessung mit einem Thermometer geschieht dadurch, daß das zu messende

Objekt in Kontakt mit dem Temperaturfühler gebracht wird. Nach einer gewissen Zeit stehen

Objekt und Fühler im thermischen Gleichgewicht, d.h. sie besitzen dieselbe Temperatur.

Dieser Prozeß, der einem Mischen entspricht, verfälscht das Meßergebnis :

Konkretes Beispiel : Die Temperatur von 1 l Luft mit 330 K (z.B. per Infrarot-Messung

bestimmt) soll mit einem Temperaturfühler aus Metall, der eine Temperatur von 300 K

aufweist, gemessen werden. Wie groß ist die gemessene Temperatur in diesem Extremfall:

aus (WL - 1') FFLL

FFFLLLMisch

mcmc

TmcTmcT

hier : - Luft mL = 1,2 g ; cL = 1 J/gK

- Fühler mF = 10 g ; cF = 0,5 J/gK

K52,1

30053302,1TMisch

= 306 K

Damit der Fehler also klein bleibt, darf muß 'Beitrag' des Fühlers genügend klein sein !

Rein rechnerisch (theoretisch) könnte die wahre Lufttemperatur errechnet werden: nach TL

auflösen, Tmisch wurde gemessen, ‚Rest’ bekannt. Nachteile: Luft wird abgekühlt,

Messgenaiugkeit relativ gering.


4.6.3 Hauptsätze der Thermodynamik

Nullter Hauptsatz der Thermodynamik

Alle Systeme, die mit einem System im thermischen Gleichgewicht stehen, sind auch

untereinander im thermischen Gleichgewicht.

Zur Erlangung des thermischen Gleichgewichtes findet solange ein Wärmetausch

(-transport) statt, bis die Temperaturen der betroffenen Systeme gleich sind.

Das ist der Fall bei taktilen (berührenden) Temperaturmessungen !

Dies gilt auch für

mehrere Körper

(Systeme).

Achtung : Die

‚Umwelt’ ist hier

nicht betrachtet !

Zur Verdeutlichung als Ring →

Erster Hauptsatz (law) der Thermodynamik

Die Änderung der Inneren Energie U eines Systemes bei einer beliebigen

Zustandsänderung ist die Summe der mit der Umgebung ausgetauschten Arbeit W und

der Wärme Q :

U = W + Q . Üblich ist die differentielle Formulierung :

Innere Energie

= 'Mechanische Arbeit + Wärmemenge'

dU = dW + dQ

(WL - 16)

dW < 0 : Arbeit, welche vom System geleistet wird

dW > 0 : Arbeit, welche am System geleistet wird, z.B. Luftpumpe wird warm

Folgerung: Es gibt kein Perpetuum mobile erster Art!

(Maschine, welche dauernd Arbeit leistet, ohne die Umgebung zu verändern)

Innere Energie gibt’s auch in der Elektrotechnik : Entladen Akku (reversibel), Batterie

(irreversibel)

ThermischesGleichgewicht

Alle untereinander im thermischen Gleichgewicht


Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik

Wärme kann nur dann in Arbeit umgewandelt werden, wenn ein Teil der Wärme von

einem wärmeren auf einen kälteres System übergeht (Wärmekraftmaschine).

Wärme kann von einem kälteren auf ein wärmeres System nur mittels mechanischer

Arbeit übertragen werden (Kältemaschine).

Folgerung: Es gibt kein Perpetuum mobile 2. Art

Durch Abkühlung kann Wärme nicht zu 100% in Arbeit umgewandelt werden

('Ein Körper kann nicht durch selbsttätige Abkühlung in die Luft springen')

physikalische Formulierung über Entropie S (Maß für Ordnung)

Entropie (Entropy)

K

JS

T

QdSd

(WL - 17)

Je größer die Entropie S, desto größer die 'Unordnung'

Fälle: dS = 0 reversibler Prozess, kann in beide Richtungen ablaufen

dS > 0 irreversibel, Prozess läuft nur in eine Richtung ab, Unordnung nimmt zu

dS < 0 nur möglich, wenn von außen Energie zugeführt wird. Ordnung kann also nur

durch Energieaufwand erzeugt werden !

Abgeschlossene Systeme streben einen Gleichgewichtszustand an, der durch ein Maximum

der Entropie gekennzeichnet ist.

Mechanische und elektrische Systeme streben ein Minimum an potentielle Energie an (Stein

fällt zur Erde / Ladungsdifferenzen gleichen sich aus)

Alle Naturvorgänge verlaufen so, dass die gesamte Entropie aller beteiligten Systeme

zunimmt.


Beispiele :

- Durch Expansion des Weltalls wird dessen Ordnung kleiner, S nimmt also zu

- Zusammenmischen zweier Wassereimer erhöht die Unordnung, da zuvor zumindest

der Ort der Moleküle (Eimer 1 oder 2) festgelegt war, danach kann dies nicht mehr

'gesagt' werden (s.o.)

Alternative Formulierung 2. Hauptsatzes

dS 0

(WL - 18)

Dritter Hauptsatz der Thermodynamik

Die Entropie am absoluten Nullpunkt ist Null: S(0K) = 0 J/K

Folgerungen:

- die spezifische Wärmekapazität im Nullpunkt ist Null c (T=0) = 0

- der absolute Nullpunkt ist experimentell nicht erreichbar, 'Rekord' 10-6 K

4.6.4 Zustandsänderungen

reversibel

Durch Umkehr der Ablaufrichtung wird der Ausgangszustand wieder erreicht, ohne daß

Energiezufuhr notwendig ist.

Beispiele: Mechanisches Pendel, Entladen Akku

irreversibel

Eine Umkehr des Ablaufes ist von alleine nicht möglich. Dies betrifft alle Übergänge vom

Nichtgleichgewicht ins Gleichgewicht.

Beispiele: - Temperaturausgleich zweier Systeme

2 Eimer werden zusammengeschüttet. Ein Trennen in den Ausgangszustand

ist nicht mehr möglich (s.o.) !

- Ein Akku lädt sich nicht von ‚alleine‘ auf. Durch elektrische Energiezufuhr

kann aber der ‚Ausgangszustand‘ wiederhergestellt werden

- Entladen Batterie


4.6.5 Thermodynamik Idealer Gase

reversible Arbeit beim 1. Hauptsatz

für p V = n R T

2

1

V

V

rev dVpW

(WL - 19)

Zustandsänderung Gleichung p - V - Diagramm

Isochor

.constT

p

Isobar

.constT

V

Isotherm

p V = const.

Boyle Mariotte

Adiabatisch

hier v

p

c

c

einatomiges Gas: 3

5

p V = const

p

V

p

V

p

V

Hyperbel p ~ 1/V

p

Visotherm

adiabatisch

Blankenbach / Wärme + Thermodynamik / 12.12.2011 21:22:00 154 / 247

Zustandsänderung Isochor isobar isotherm adiabatisch polytrop

Bedingung

V = const

p = const

T = const

S = const

dQ = 0

pV = const

Beispiel für Ideales Gas:

Temperaturänderung in

einem Behälter

'Luftpumpe'

(frei) bei äußerer

T-Erhöhung

Wärmebad

Dewar-Gefäß

schnelle Prozesse

in nichtisolierten

Systemen

Wärmeenergie

Q = cv m T

Q = cp m T

Q = W

Q = 0

Arbeit 2

1

V

V

rev dVpW

W = 0

(keine mechanische

Arbeit, da V = const))

W = p V

W = p V

W = - cv m T

1. Hauptsatz

dU = dQ

dU = dW + dQ

dQ = dW

dU = - dW

dU = dW + dQ

: Adiabaten- bzw. Polytropenkoeffizient = 0 isobare Prozesse

= 1 isotherme "

isochore "

sonst adiabatisch

Blankenbach / HS Pf / Physik Einfuehrung, Wellen, Optik / Stand WS 2010 155

4.6.6 Carnotscher Kreisprozeß (Carnot Cycle)

periodisch arbeitende Maschine mit Idealem Gas als Arbeitsmedium in einem Kreisprozeß als

Idealisierung realer Kreisprozesse z.B. Motor

Isotherm: T = const,

p V

1 (Hyperbel)

adiabatisch: pV = const,

T const

Ziel: mechanische Energieerzeugung durch periodischen Wechsel zwischen warm und kalt !

Lernziel: „Wissen, dass es Carnot gibt + Grundprinzip“

Teilzyklen:

Beschreibung Formel

a Innere Energie konstant

Wärme wird zugeführt

(Isothermal heat supply)

U = 0

1

2B

V

VlnTkNQ

b durch Expansion geleistete Arbeit wird aus U

entnommen, T sinkt

(isentropic expansion)

W = U = cv m T

c wie a, nur Wärme wird abgegeben

(Isothermal heat rejection)

d wie b, nur T steigt (isentropic compression)

nach einem Umlauf muß die Summe aller Parameter Null sein 0T

QdS

p

V

isotherme Expansion

adiabatischeExpansion

adiabatische

Kompression

a

b

c

d

T hoch

T niedrigisotherme Kompression


Definition : Entropie

b

aT

QdS;

T

QdSd

Entropie ist die bei der Temperatur T ausgetauschte Wärmemenge

Energiebilanz

im Prozeß erzeugt Wärme = umgesetzte Wärmemenge W = - Q

Wärme(energie) wird in Arbeit umgewandelt

Wirkungsgrad

[T] = K

1T

T1

hoch

niedrig

(WL - 20)

Wirkungsgrad ist hoch für große T- Differenzen

reale Maschinen : real < carnot

Der Carnotscher Kreisprozeß ermöglicht die Erzeugung von Arbeit durch Wärmetausch zwischen

kalten und heißen Medien.

Anwendung: Wärmepumpe, Kältemaschine, Motor

Beispiel für Solarzellen bei Sonnentemperatur von 6.000 K :

- Solarzelle bei Raumtemperatur : %95K000.6

K3001

T

T1

hoch

niedrig

- Durch Sonnenstrahlung erwärmte Solarzelle : %93K000.6

K4001

Der theoretische Höchst-Wirkungsgrad verringert sich aufgrund der geringeren

Temperaturdifferenz – Hochleistungs-Solarzellen werden deshalb mit einer Wärmeabfuhr

versehen. Praktisch werden 10 – 20% erreicht.


Anwendung des Carnotschen Kreisprozesses : Otto – Motor (nur zur Info)

Beim Viertaktmotor werden vier Arbeitsgänge

Ansaugen - Verdichten - Arbeiten - Ausstoßen

in vier Bewegungen eines jeden Kolbens verrichtet. Bei allen Verbrennungsmotoren mit

Ausnahme des Wankelmotors treiben die aufwärts – und abwärtsgleitenden Kolben über Pleuel

eine Kurbelwelle an. Die Antriebskraft wird über die Kupplung, das Wechselgetriebe, die

Kardanwelle, das Ausgleichsgetriebe und die Antriebswellen auf die Räder übertragen.


Der Kreisprozeß im Otto – Motor soll durch folgenden Idealisierten Kreisprozeß angenähert

werden:

I Adiabatische Kompression des idealen Arbeitsgases vom Volumen V1, der

Temperatur T1 und dem Druck p1 zum Volumen V2

II

isochore Druckerhöhung, wobei das Gas mit einem Wärmebad der konstanten

Temperatur T3 in Berührung gebracht und Temperaturausgleich abgewartet wird

III

adiabatische Expansion bis zum Anfangsvolumen V1

IV

isochore Druckerniedrigung bis zum Anfangsdruck p1, wobei das Gas mit einem

zweiten Wärmebad der konstanten Temperatur T1 in Berührung gebracht und

Temperaturausgleich abgewartet wird

p - V – Diagramm des Kreisprozesses

Die Ziffern 1 – 4 bezeichnen die

Anfangszustände der vier Teilprozesse

3

2

1

4

III

I

II

IV

W

V2

V1 V

p


Druck, Volumen und Temperatur für die Anfangspunkte der vier Teilprozesse

'Motorwerte' - Volumen aller Zylinder V1 = 1,5 dm³

- Kompressionsverhältnis 8V

V

2

1

- Umgebungstemperatur der angesaugten Luft T1 = 303 K

- Umgebungsdruck der angesaugten Luft p1 = 1 bar

- Höchsttemperatur des gezündeten Gemisches T3 = 1973 K , = 1,4

- cV konstant angenommen

Anfangszustand 1 2 3 4

V /dm³

1,5

0,1875

0,1875

1,5

p /bar

1,0

18,38

52,10

2,84

T /K

303

696,1

1973

858,9

Prozeß Berechnung obiger Tabellendaten

I

2211 VpVp ; bar38,188bar1pp 4,1

12

K1,6968K303TV

VTT 4,01

1

1

2

112

II

bar1,52K1,696

K0,1973bar38,18

T

Tpp

2

323

III

bar84,28

bar10,52p

V

Vpp

4,1

3

4

334

IV

K9,858bar1

bar84,2K303

p

pTT

1

414


Gewonnene Arbeit pro Umlauf im p V – Diagramm

Arbeit 4123 QQW

Aufgenommene Wärmemenge 0TTcmQ 23v23

Abgegebene Wärmemenge 0TTcmQ 41v41

Wärmekapazität des Arbeitsgases vv cmC

Mit : 1s

11

TR

Vpm ;

1

1

T

Vp

cc

c

T

Vp

R

c

T

VpC

1

11

vp

v

1

11

s

v

1

11v

K

J238,1

mK14,1303

mN105,110C

2

335

v

Wärmemengen : J3,1580K1,6961973K

Nm238,1Q23

J688K9,858303K

Nm238,1Q23

J3,892J688J3,1580W

Leistung des Viertakt – Motores bei einer Drehfrequenz 1min4500f

kW5,33s260

4500J3,892

2

fWP

denn W wird während zweier Umdrehungen des Motors erzeugt !


Wirkungsgrad rev

einer Carnot–Maschine, die mit den beiden Wärmebädern arbeitet :

Thermodynamischer Wirkungsgrad %6,84

K1973

K3031973

T

TT

3

13rev

Effektiver Wirkungsgrad des 'realen' Motors :

Effektiver Wirkungsgrad %5,56J3,1580

J3,892

TT

TT1

Q

Q1

Q

W

23

41

23

41

23

aus den Formeln für die betreffenden Prozesse:

I

1

1

221

V

VTT

III

1

1

234

V

VTT

folgt I – III %5,568

11

11

V

V

TT

TT4,01

1

1

2

32

41

Der Wirkungsgrad hängt nur vom Kompressionsverhältnis ab !


Entropieerzeugung pro Umlauf im p - V – Diagramm

geg.: Abgeschlossenes System aus Arbeitsgas und Wärmebehältern

Die Entropie des Gases ändert sich bei einem Umlauf im p – V – Diagramm nicht,

weil S eine Zustandsgröße ist.

Für die Wärmebehälter / - speicher gilt :

Abgabe bei T3 = konst.: K

J801,0

K1973

J3,1580

T

QS

3

233

Aufnahme bei T1 = konst.: K

J271,2

K303

J688

T

QS

1

411

Resultierende Entropie – Erzeugung: K

J47,1

K

J80,027,2SSS 31

S > 0 , weil die Prozesse II und IV irreversibel sind.


Entropieänderungen des Arbeitsgases bei den einzelnen Zustandsänderungen I – IV

Adiabatische Prozesse I und III S = 0

Isochore Prozesse

2

3vII

T

TlnCS

II

4

1vIV S

T

TlnCS

mit Division von

1

1

221

V

VTT

durch

1

1

234

V

VTT

siehe Wirkungsgrad

erhält man 3

2

4

1

T

T

T

T

K

J29,1

K1,696

K1973ln

K

J238,1SII

Entropie S(T) – Temperatur -

Diagramm

Der Wert von S(T1) braucht nicht bekannt

zu sein. Die Kurven II und IV laufen

proportional zu ln(T)

III

II

IV

I

T1 T2 T4 T3

S

T


Übungsblatt Wärmelehre

1. Zeigen Sie: V = Lxo Lyo Lzo ( 1 + T)³ Vo ( 1 + 3 T)

2. Eine Brücke hat eine Länge von 35,0 m bei - 30°C. Wie groß ist die von den Fugen

‘aufzufangende’ Längenänderung bei +50°C

( = 10 10-6 1/K) ? 28 mm

3. Ein Schwimmbad hat eine unveränderliche angenommene Grundfläche von 20m * 50m . Es

wurde mit 10°C kaltes Wasser auf genau 10,0 m gefüllt. Um wie viel höher steht das Wasser

nach dem Aufwärmen auf 30°C ( = 0,18 10-3 1/K) ? 36 mm

4. Das Wasser in einer Badewanne (V = 600l = 600kg) wird von 20°C auf 50°C mit einem

Tauchsieder erwärmt.

a) Welche Energie muss dem Wasser zugeführt werden ? 75 MJ

b) Wie viel Kilowattstunden elektrischer Energie sind das ? 21 kWh

5. Thermisches Gleichgewicht als Ergänzung zu den Beispielen:

a) Wie groß ist der Fehler, wenn der Fühler auf 325 K vorgewärmt wurde ?

b) Wie viel Liter Luft muss mindestens vorhanden sein, damit der Messfehler bei

Bedingungen wie im Skript (Fühler 10 g ; 300 K) kleiner als 0,5 K wird.


5. Mechanik Deformierbarer Medien

Deformierbare Medien: Körper, welche sich unter dem Einfluß äußerer Kräfte verformen (können).

5.1 Einteilung

Phase Statik Dynamik Modellkörper

fest Deformation

(Lineal)

Schwingungen

(Lineal an Tischkante)

deformierbarer Festkörper

flüssig Hydro-

(Auftrieb Ball in Wasser)

Hydro-

(Wasser in Rohr)

Ideale Flüssigkeit (*)

gas Aero-

(Heißluftballon)

Aero-

(Flugzeug)

Ideales Gas (*)

(*) reibungsfrei

Zusammenhang zwischen Modellkörper - Form und Volumen

Bsp: Stab, Wasser in Glas, Ballon drücken

Modellkörper Verschiebbarkeit der Teilchen (Moleküle, Atome)

Festkörper keine

Deformierbarer FK ‘schwer’

Ideale Fl. + Gas reibungsfrei

Modellkörper Form Volumen Beispiel

Def. Festkörper definiert def. Lineal

Ideale Flüssigkeit beliebig def. Wasser in Glas

Ideales Gas bel. bel. Luftballon

Festkörper : Moleküle haben "feste" Positionen zueinander

Fl. + Gase : Moleküle beliebig verschiebbar


5.2 Druck

Ein Gewicht der Masse m und der

Auflagefläche F übt über die Gewichtskraft F

'Druck' auf die Unterlage aus

Druck

[p] = N/m² = Pa (Pascal)

A

Fp

(DM - 1)

Bsp: Wer übt größeren Druck aus ? Elefant Nadel

Masse m 5 to 1 g

Auflagefläche A 1 m² 0,1 mm²

Druck p 50 kPa 100 kPa

m

FG

A


5.3 Feder

als wichtigstes Beispiel für Deformierbare Medien und zur Erläuterung nichtlinearer Effekte

hier nur linearer Bereich, Weg x klein:

Beispiel: Feder

Hookesches Gesetz

FF = - D x

(DM - 2)

D : Federkonstante ; [D] = N / m = kg / s²

Aus F = 0: Fa : äußere Kraft, entgegengesetzt FF

Fa + FF = 0 FF = - D x

Fa = D x

Spannung – Dehnung

l : Anfangslänge, l : Längenänderung

ngngenänderurelativeLä:l

l

l

lE

A

Fp

= E

(DM - 3)

p : Druck [p] = N/m² = Pa

E : Elastizitätsmodul (Youngscher Modul); [E] = Pa ; E-Modul Metalle: ca. 200 GPa

: Spannung (Druck)

: Dehnung

A : Fläche im Normalzustand (da Verkleinerung)

Hookesches Gesetz gilt nur für kleine Dehnungen

Beispiel mit Metallen: = 200 GPa 0,1 m/ 100 m → p = = 0,2 GPa = 200 MPa

Vergleich: normaler Luftdruck : 100 kPa = 1.000 hPa

x

F ~ x

F

F > 0

X0

F = 0

FF

a

a

F = 0F


Spannungs - Dehnungs - Diagramm / Messmaschine


5.4 Grenzflächeneffekte

Kraftwirkung

Kohäsion

in Flüssigkeit

Adhäsion

Flüssigkeit - Festkörper

Benetzung keine Benetzung

Kräfte

Adhäsion >> Kohäsion

Adhäsion << Kohäsion

Tropfen auf Oberfläche 'Wasser auf Autolack'

Kapillarwirkung

Beispiel

Wasser

Quecksilber


5.5 Beispiele Deformierbarer Festkörper

Deformationsart Formänderung Volumenänderung Bsp.

Dehnung, Biegung ja ja Feder (+), Stütze (-),Balken

Kompression nein ja allseitig, unter Wasser

Scherung, Torsion

(Drillung)

ja nein Nieten, Achsen,

Torsionsfederung

5.5.1 Dehnung

F

A

l l

Bereich Deformation Bsp : Kugelschreiberfeder

elasitsch reversibel leicht dehnen

plastisch bleibend stark dehnen

F

l

e la s ti s ch p la s ti s ch

l i n e a r (H o o k)n i ch tl i n e a r

B ru ch

A

l


Linearer Bereich: Hookesches Gesetz

l

lE

A

F (DM 2’)

= E

E : Elastizitätsmodul / Youngscher Modul [E] = Pa

: Spannung / Druck

: Dehnung

A : Fläche im Normalzustand (da Verkleinerung)

l : Länge, l : Längenänderung

E-Modul Metalle: 200 GPa

Biegung

einseitige Einspannung,

Last am Ende des Balkens :

'ideal' : s FG

klein

F = FG + F e ig e n

G

n e u tra leFa s e r

Z u g

D ru ck

0

s


Zur Info und zum Weiterlesen

Querdehnung

bei Längs- und Querdehnung kann sich das Volumen ändern.

Kompression

K

p

V

V

(DM - 4)

Kompressionsmodul [K] = Pa

Scherung

Isotrop: Gx = Gy = Gz

Anisotrop: Gx Gy Gz Bsp: Bleistift

statt Strecke Winkel

GA

F (DM - 5)

G : Schubmodul [G] = Pa

: Winkel (klein : tan = )

F

d /2

p

FA

z

y

x


Torsion

F

M

Sonderfall der Scherung Verdrillung, klein Halten bei Antriebsachsen, Schrauben etc.

Kreisförmiger Querschnitt: klein

M R4 (DM - 6)

M = - D Hooke, Spiralfeder für Schwingungen M Drehmoment, R4 bringt "viel Steifigkeit"


5.6 Beispiele für Flüssigkeiten und Gase

Modellkörper: Ideale Flüssigkeit / Ideales Gas

Eigenschaften :

- Ideale Flüssigkeit : Form unbestimmt, Volumen bestimmt, Moleküle reibungsfrei verschiebbar

- Gas: füllt jedes Volumen aus, Moleküle reibungsfrei verschiebbar

Effekte: statische und dynamische Eigenschaften

5.6.1 Statik

Druck: p = F / A wie Festkörper, nicht vektoriell, wirkt in alle Richtungen

F in Druckgleichung nimmt wegen Eigengewicht zu ==> Auftrieb

Schweredruck Flüssigkeit

V = A h

p = m g / A = V g / A

= g h (DM - 7)

JAVA Applett: Schweredruck in Flüssigkeiten

Folgerungen:

- Flüssigkeitsspiegel horizontal wegen Schwerkraft

- Hydrostatisches Paradoxon:

Schweredruck unabhängig von Gefäßform

(h = const.)

h

h

p = co n s t


- Kommunizierende Gefäße

h = const.

Falls unterschiedlich: Druckdifferenz bis

Druck ausgeglichen, dann aber h = const.

"nichts" fließt mehr

- Staumauer

p = F/A = g h

F h

Uhren und Wassertiefe – Definitionen sind oft verwirrend !

Ta n k M e ßro h r

h =co n s t

hp = co n s t ==>

h

F


Kompressibilität

aus Festkörper: Druck bewirkt Volumenabnahme

pV

V

(DM - 8)

Kompressibilität = 1/K [] = 1/Pa

Phase / 1/Pa Modell

fest

10-11

Starrer Körper

(inkompressibel)

flüssig 10-9 inkompressibel

gas 10-4 kompressibel


Konsequenz aus Kompressibilität

Kolbendruck

p = const

F1 / A1 = F2 / A2

Modell Technik

Flüssigkeit inkompressibel Hydraulik

Gas kompressibel Pneumatik Preßluft

Anwendung: Kraftübertragung auch ‚um die Ecke’ wie bei elektr. Strom

beliebig krumme Leitungen, Vorteil gegenüber mechanischem Gestänge

Leitungsdichtigkeit: Hydraulik: kritisch, da Verschmutzung

Preßluft: unkritisch, nur Druckverlust

A1

A2

F1 F2


Schweredruck Gas

Schweredruck Gas komplizierter als Flüssigkeit wegen Kompressibilität

Säule komrimiert darunterliegendes Gas

kompressibel, T = const:

Barometrische Höhenformel: p = po e-Ch (DM - 9)

po 100 kPa Druck am Boden

C = 126 1/m Konstante

real: T const : Internationale Höhenformel

Wie ist dieses Bild entstanden ?


Auftrieb

entgegengesetzt Erdanziehungskraft

Fo

Fu

Fl

Fr = - Fl

h

, V

FA

FG

oben: kleinere Säule wie unten

rechts-links: hebt sich auf

Fu > Fo

FA = Fu - Fo

= mverdr g Newton, Masse verdrängtes Vol

= A h g Dichte, Durchschnittswert

= g V (DM - 10)

FG : FA Körper Beispiel

> sinkt Stein

= schwebt Mostwaage

< steigt Gas- , Heißluftballon

JAVA Applett: Auftriebskraft in Flüssigkeiten

Ein U-Boot vom Boden kann nicht auftauchen da Fu fehlt !

Theoretisch, da in Praxis runder Rumpf

Fo

Fu = 0


Ideales Gasgesetz

p V = n R T (DM - 11)

p V = N k T

n : Anzahl Mol, 1 Mol = 22,4 l z.B. 28g N2

R : Gaskonstante 8,3 J/Mol K

N : Anzahl Teilchen

k : Boltzmann Konstante 1,4 10-23 J/K

[T] = K absoluter Nullpunkt : 0 K

Ideales Gas nur Modell für höhere Temepraturen, da für T = 0 das Volumen Null wäre!


5.6.2 Dynamik

allgemein:

Strömungsfeld

komplex da vektoriell

Ge s ch w . v

A1

A2

M a s s e flu ß m

Transport von Materie durch Druckdifferenz analog: Ladung (Strom), Wärme Hydrodynamik

Vorr: inkompressible Materie, gilt auch für Gase bis ca. 1/3 Schallgeschwindigkeit

Materiestrom

Volumen V = A v t aus s = v t

Volumenstrom I = V / t = dV / dt = A v

Massefluß m = V

Massestrom m' = A v aus m / t

Fluß durch Flächenelement: m' = A v dA

analog anwendbar auf: - Ladungen (Strom)

- Wärmetransport

- Diffusion


Durchfluß durch Röhren

- technisch wichtigster Fall

- Massen- und Volumenerhaltung: m = const.

- da inkompressibel V = const.

A1

A2

v 1

v 2

Kontinuitätsgleichung

A v = const (DM - 12)

A1 v1 = A2 v2 A groß - v klein und umgekehrt

Bernoulli - Gleichung für horizontale Rohre

parallel zur Erdoberfläche

z

x

A1, v1

A2, v2

p1p2

rechts: langsamer als links wegen

Kontinuitätsgleichung

Bernoulli-Gleichung

p + ½ v2 = po = const (DM - 13)

Epot + Ekin

Die Bernoulli-Gleichung ist ein Erhaltungsgesetz, welches aus dem Energiesatz folgt.

Druckmessung

stat. Druck

Gesamtdruck

dynam. Druck

Rechts: Anwendung Staudruckmesser bei

Flugzeugen


Anwendungen der Bernoulli - Gleichung

1. Auslaufen aus Gefäß

h

v 2

p

1

2p

v 1

großes Volumen,

kleiner Ausfluß

h = const.

Druck Ort 1 2

Betriebs = Luftdruck p p

Schweredruck gh 0

Dynamischer Druck 1/2 v1² 1/2 v2²

v1 aus Kontinuitätsgleichung: A1 v1 = A2 v2

1/2 v2²( A2/A1)2 + g h = 1/2 v2²

A2 << A1 : g h = 1/2 v²

hg2v analog Freier Fall

2. Parfümzerstäuber

p L

v

pLuft = p + 1/2 v²

p < pLuft

Gewicht Wassersäule vernachlässigt


Dynamischer Auftrieb

Beispiel : Flügel

Weg länger

v größer --> p kleiner

dyn. FApo

pu

Folge aus Bernoulli

dyn. Auftrieb aus p = F/A

Strecke länger, damit kein Vakuum hinter

Flügel entsteht müssen beide Teile

gleichzeitig ‘ankommen’ : Kinematik s = v t

Bernoulli:

po + ½ vo2 = pu + ½ vu

2

p = ½ (vo2 - vu

2) > 0

Fadyn = cA /2 A v2 (DM - 14)

cA = Auftriebsbeiwert (vgl cW : Widerstandsbeiwert)

Frage zu obiger Skizze: Warum bzw. wie kann ein Flugzeug auf dem Rücken fliegen ?


Reale Strömungen

mit Reibung zwischen Molekülen

Fälle:

laminar turbulent

v nimmt zu

rechenbar ‘komplex’

Laminare Strömung in Rohren

v

R

r

Hagen-Poiseuillsches Gesetz

Flüssigkeitsstrom I = V / t

I p/l R4 (DM - 15)

l : Länge des Rohres

p : Druckabfall entlang l

Folgerung:

- Durchflussvolumen besser durch R- als durch p-Erhöhung steigern, da R4

- Druckabfall in Rohren

Ursache: Reibungsverluste


Übungsblatt Deformierbare Medien

1. Eine auf einer Platte senkrecht stehende Feder mit der Feder-konstanten D = 100 N/m ist 5 cm

gespannt. Auf Ihr liegt ein Gewicht (50g). Die Feder wird freigegeben, das Gewicht bewegt sich

senkrecht nach oben.

a) Welche Idealisierungen verwenden Sie?

b) Welche Bewegungsformen treten auf?

c) Welche Höhe oberhalb des Ruhezustandes der Feder erreicht das

Gewicht? 25 cm

d) Welche Maximalgeschwindigkeit erreicht das Gewicht, wo?

2. Ein Flugzeug hat ein Startgewicht von 100t. Wie groß muß die Flü-gelfläche minimal sein, damit

das Flugzeug überhaupt abheben kann?

a) statisch 10 m²

b) dynamisch (vstart = 300 km/h , cA = 0,01) 22000 m²

3. Wie hoch ist die maximale Förderhöhe einer Saugpumpe (vgl. Saugen mit Spritze). Warum

können Bäume höher wachsen? 10 m

4. Eine Feder der Länge L und der Federkonstanten D wird in der Mitte durchtrennt. Die beiden

Hälften werden an ihren losen Enden ideal miteinander verbunden. Wie groß ist die

Federkonstante D dieser 'Parallelschaltung', wenn vorher und nachher um dieselbe Strecke x

gedehnt werden soll? D = 4D

5. Wie lange kann ein Stahldrahtseil, welches an einem Ende aufge-hängt ist, maximal sein, bevor

es unter seinem Eigengewicht zer-reißt (Zugfestigkeit/Bruchspannung 0,7 kN/mm² , = 7

kg/dm³)?

10 km

6. Vergleichen Sie einen Vollstab mit einem Rohr bzgl. ihres Verhaltens bei Torsion (R = 2 cm).

Bsp. Ri = 1,5cm: 30% weniger Steifigkeit, 56% weniger Gewicht


6. Wellen (Waves)

Wellen: - "Schwingungen", welche sich ausbreiten

- räumliche und zeitliche Zustandsänderungen

- Energietransport

Versuche mit mechanischen und optischen Wellen im Internet :

- http://www-pluto.informatik.uni- oldenburg.de/~geo/unterrichtsprojekte/physik/Schwingungen%20und%20Wellen/Wellenmaschine.html,

- http://wwwfk.physik.uni-ulm.de/www_fk/german/OptikLinks/Optilink.htm

Wer's genau wissen möchte:

z.B. Langkau, Lindström, Schobel: Physik kompakt: Elektromagnetische Wellen, vieweg

Anzahl der

Komponenten

Form Ausbreitung Bsp

wenige Schwingung ortsfest Pendel

1 Körper Eigenschwingung

'stehende Wellen'

im Körper Stimmgabel, Hui-Maschine

viele Wellen Fortpflanzung Schallwellen (Akustik)

Optik (em - Wellen)

Beschreibung:

Schwingung (Oscillation) Welle

Darstellungsarten:

Amplitude an einem Ort zu vielen

Zeitpunkten

Amplitude zu einem Zeitpunkt an

vielen Orten

y

t

y

t

y

1 Ort x

x

1 Zeitpunkt t

Ausbreitungsrichtung


Mechanik, Akustik:

Deformation greift auf Nachbarbereich über Fortschreiten der Deformation Welle

benötigt Übertragungsmedium z.B. Luft oder Metall

Bsp.: - Schallwellen, Oberflächenwellen (Wasser)

- Versuch: Stimmgabel Eigenschwingungen Wellen

Elektrotechnik (Funk), Optik : Elektromagnetische Wellen - funktioniert auch im Vakuum

JAVA Applett: Elektromagnetische Welle

Grundlage (Gleichungen „nur zur Info“)

Wellengleichung

- aus den Maxwellgleichungen

- 3D mit Vektoren

2

2

22

2

td

d

c

1

xd

d

(WE - 1)

- c: Ausbreitungsgeschwindigkeit

Problem: Randbedingungen

allgemeine Lösung

ctx

(WE - 2)

Gesucht: Funktion mit 2. Ableitung nach Zeit ~ 2. Ableitung nach Weg x

Fälle (Wellenformen, s.u.):

- Kugelwellen (freie Ausbreitung, z.B. Böller in Luft)

- Ebene Wellen (z.B. Laserstrahl)

- Wellen in Hohlleitern

- ...


6.1 Ebene Harmonische Wellen

‘einfachste’ Wellen mit kleiner, sinusmodulierter Amplitude sowie einer Richtung und Frequenz

z.B. Laserpointer

Ebene Harmonische Wellen

1D

vektoriell

y = yo sin(t kx + )

xktsinyy o

(WE - 3)

mit

Maximalamplitude yo

Kreisfrequenz T

2 ; f2 ;

f

1T ;

s

1

Periodendauer T ; [T] = s

Wellenzahl

2k

; m

1k

Wellenlänge ; [] = m

Phase (Bogenmaß)

+ : nach links fortschreitend (gem. DIN)

- : nach rechts fortschreitend

Ausbreitung

Polarisation: „hier nicht betrachtet“, zum Weiterlesen

Bestimmung von Werten aus Skizze :

- Wellenlänge = 4 (cm) m

1157

m04,0

2k

- Periodendauer = 4 (s) s

157,1

s4

2

- Amplitude z.B. : yo = 4 cm (Unterschiedliche Einheiten für Mechanik, Akustik, HF, Licht)

- Wellengleichung : x157t57,1sin4)t(y (mit den entsprechenden Einheiten)

y

t x

Wellental -berg

Periodendauer T

Wellenlänge

yo

1


Frequenz und Wellenlänge sind über die Ausbreitungsgeschwindigkeit verknüpft:

Ausbreitungsgeschwindigkeit (velocity of propagation)

[c] = m/s

c = f

(WE - 4)

c hängt ab von - Typ akustische- oder em-Wellen

- Medium (z.B. Luft, Wasser, ...)

- Frequenz (Dispersion, z.B. Spektralzerlegung Prisma)

- Wellenart (s.u.)

Bem.: - c ist Materialgröße

- em Welle im Vakuum oo

o

1c

300.000 km/s

- co entspricht max. Geschwindigkeit gem. Relativitätstheorie

- f bleibt konstant nach E = h , d.h. Wellenlänge 'passt' sich an

Ausbreitungsgeschwindigkeit Beispiele

Akustik (Schallgeschwindigkeit) Luft 330 m/s Eisen 5000 m/s

Elektromagnetische Wellen

(Lichtgeschwindigkeit)

Luft 300.000 km/s Glas 200.000 km/s


6.2 Wellenlänge und Frequenz (c = f )

(alle Angaben ca.-Werte)

6.2.1 Akustik cLuft = 330 m/s

Bezeichnung Frequenzbereich Wellenlänge

Infraschall < 20 Hz > 15 m

Hörbereich 20 - 20.000 Hz 0,015 - 15 m

Ultraschall > 20 kHz < 0,015 m

6.2.2 EM-Wellen cLuft = 300.000 km/s

Bezeichnung Frequenz /Hz Wellenlänge

- Strahlung

1019

3 10-11 m

Röntgenstrahlung

1017

3 nm

UV

1016

30 nm

sichtbares Licht

5 * 1014

600 nm

Infrarot

1013

30 µm

Mikrowellen

1010

3 cm

UKW

108

3 m

KW

107

30 m

MW

106

300 m

LW

105

3 km

sichtbares Licht

Farbe Frequenz /1012Hz Wellenlänge /nm

Blau 630 475

Grün 550 550

Rot 460 650


Zur Info: „Beginn“

Typische Darstellungsweise von Wellen mit mehreren (vielen) Frequenzen: Spektrum

Spektrum :

Energie, Amplitude, Intensität, ... über der Frequenz bzw. Wellenlänge, ggf. logarithmisch

Akustik

Empfindlichkeit des menschlichen Ohres Übertragungskennlinie Lautsprecher

Elektrotechnik / Hochfrequenztechnik

Frequenzgang OP - Tiefpass HF - Spektrum

1E-13

1E-12

1E-11

1E-10

1E-09

1E-08

1E-07

1E-06

1E-05

1E-04

1E-03

1E-02

1E-01

1E+00

1E+01

10 100 1000 10000

Sch

all

inte

nsit

ät

/W/m

²

Frequenz /Hz

Ohr: Kurven gleicher Lautstärke 100 Phon

50 Phon


Optik

Empfindlichkeit des menschlichen Auges und

Sonnenspektrum

LEDs und Laser

Glühlampe (A) und Normleuchtstoffröhre (D65) LCD-CCFL

Problem des menschlichen Farbsehens: alle 3 Spektren werden als 'weiß' interpretiert !

Das bedeutet: Im Gegensatz zur 'deterministischen' Technik können hier unterschiedliche

Eingangssignale dasselbe Ausgangssignal, nämlich 'weiß' hervorrufen.


Definitionen bei Spektrallinien, Bandbreiten, ...

Grenzfrequenz Tiefpass (low pass filter)

Definition:

Abfall der Amplitude auf das 2

1 - fache ( 0,7)

bzw. um -3 dB des Maximalwertes

Die zugehörige Frequenz wird als

Grenzfrequenz fg definiert.

Bandbreite (bandwidth) / Güte

Bandbreite B = fgo - fgu

Amplitudenabfall s.o.

'Güte' Q bei Schwingkreisen etc. mit

Resonanzfrequenz fr : B

fQ r

Halbwertsbreite

typisch in der Optik, hier auch Linienbreite

genannt

teilweise auch Definition mit 1/e bzw. halbe

Fläche der Gesamtkurve

Zur Info: „Ende“

f

Ua

fg

Ue

1

0,707

ff gu

1

0,707

fgo

rel. Ua

rf

gu

1

0,5

go

rel. A

m


6.3 Wellenformen

Kugelwellen Geometrie Ebene Wellen

Welle

(weit weg)

Theorie

Beugung

Welleneigenschaften

berücksichtigen

0

kleine Ab-

messungen

Strahlen (Geometrische Optik)

Wellencharakter vernachlässigt

Bsp.

- Sonne

- China-Böller (in Luft)

- Wasserwelle’

- Spalt

- Laser

- Sonnenlicht auf Erde

- Megaphon

Dies sind nur 2 ideale Fälle, es gibt viele weitere

Formen

Bsp.: Richtfunkantenne

Geometrische Dämpfung bei Kugelwellen

²r

1~)r(I

Quellintensität breitet sich kugelförmig aus

Beispiel : I(x = 1m) = 1 ; I(x = 2m) = 0,25

Antenne

Abstrahl-charakteristik


Es gibt auch noch andere Arten von Wellen:

Wellenausbreitung nach dem Huygensschen Prinzip

Jeder Punkt einer Welle ist Ausgangspunkt einer Kugelwelle. Eine neue Wellenfront ergibt sich

aus der Überlagerung aller Kugelwellen. Hiermit lassen sich viele Wellenphänomene wie

Reflexion, Brechung und Beugung in einfacher Weise quantitativ beschreiben.

JAVA Applett: Reflexion und Brechung von Lichtwellen (Erklärung Prinzip von Huygens)

Wellen-frontbeisehrvielenKugel-wellen


6.4 Wellenarten

Longitudinal (Longitudinal) Transversal (Transversal)

Bsp.

Akustik (Schall) (acoustics) - em-Wellen (Funk, Licht)

- Seil, Wasser

Ausbreitung „Medium erforderlich“ „geht im Vakuum“

Auslenkung /

Fortpflanzungs-

richtung

|| (parallel)

(senkrecht)

1 Zeitpunkt

y = po sin(t + kx) + pN

Longitudinalwellen breiten sich als

'Deformation' aus, die Amplitude

hat dieselbe Richtung wie die

Ausbreitungsrichtung:

- Stab nach Anschlagen

- Luft als Druckschwankungen

E-Feld synchron und

senkrecht zu B-Feld

Schwingungsrichtung Polarisation

Bsp.: - Polfilter

- H bzw. V-Polarisation

bei SAT-Signalen

y

x

niedriger hoher Druck

p

x

0

Normal-druck

pN

y

t

Seil 2D

y

x

Licht 3Dz

Ausbreitungsrichtung


6.5 Wichtige Begriffe und Definitionen der Wellenlehre

(hier vereinfacht für Ebene Wellen, Bezeichnungen und Abkürzungen s.o.):

Intensität

Quadrat der Amplitude (immer positiv) in der Optik

I = y²

(WE - 5)

Achtung

Die Frequenz der Intensität ist

wegen des 'Gleichrichteffektes'

scheinbar doppelt so groß wie

die der Welle

Superpositionsprinzip

nur kleine Amplituden, sonst nichtlineare Effekte

yr = y1 + y2 + ... = yi

(WE - 6)

Interferenz Phänomene bei der Überlagerung von Wellen (siehe auch Gangunterschied)

Gangunterschied

k2

(WE - 7)

Bsp: 2 Wellen gleicher Frequenz und Richtung, 1D

y1 = sin(t - kx)

y2 = sin(t - kx + )

yr = y1 + y2 = ?

Rechenregel:

sin + sin = 2 sin[(+)/2] cos[(-)/2]

yr = 2 cos[/2] * sin(t - kx + /2)

Amplitude * Interferenzterm

( hier 90°)

Intensität

-1

-0,5

0

0,5

1

0 2 4 6 8 10

x, t

rel. Wert

sinx

sinx^2

Welle

y

x


typische Werte

/° /rad yr

0 0 2 0

90 /2 1,4 /4

180 0 /2

Bei der Überlagerung gelten für Wellen bzgl. Wellenlänge dieselben Gesetzmäßigkeiten wie für

Schwingungen bzgl. ihrer Phase:

Schwingungen Wellen m = 0, 1, 2, ...

Verstärkung

Gleichphasig

= 0°

konstruktive Interferenz

= m

Auslöschung

Gegenphasig

= 180°

destruktive Interferenz

2

1m2

(WE - 8)

Anwendung: - Beugung

- Interferometrie (Michelson - Morley, Relativitätstheorie)

- Lärmreduktion mit gegenphasiger Schallerzeugung

JAVA Applett: Interferenz zweier Kreis- oder Kugelwellen

Bsp: Gangunterschied bei 2 Quellen in einer Ebene

ebene Wellen mit gleicher Frequenz und Wellenlänge ( 2121 kk )

Ir = (y1 + y2)² (binomische Formel)

= y1² + y2² + 2 y1 y2

erst quadrieren, dann summieren !

(Erklärung auch mit Pythagoras s.u.)

Phasendifferenz

= (t -kr1) - (t -kr2 +)

= k(r2 - r1) - = Gangunterschied

ztermInterferen

21

y

2

y

1r cosII2III22

21

unterschiedliche Länge von r1 und r2

Q1

Q2

Pr1

r2


Beispiele für Interferenz

Interferenz ebener Wellen

blau : Wellenberge

Interferenz zweier radialer Wellen (Wasser)

Erläuterung der Überlagerungsformel mit Pythogoras (zur Info):

I² = {y1 cos(1) + y2 cos(2)}²

+ {y1 sin(1) + y2 sin(2)}²

= y²1 cos²(1) + 2y1 y2 cos(1) cos(2) +y²2 cos²(2)

+ y²1 sin²(1) + 2y1 y2 sin(1) sin(2) +y²2 sin²(2)

mit sin² + cos² = 1 und sin sin und cos cos

= y²1 + y²2 + 2y1 y2 cos(1 - 2)

1

2

y1 cos(1)

y1 sin(1)

r1

r2

rr


6.5.1 Überlagerung von Wellen (Superposition)

Parallele Überlagerung: Schwebung

JAVA Applett: Schwebungen

Beachte Einhüllende mit niedrigerer Frequenz

Rundfunkübertragung : - AM : Amplitudenmodulation (s.o.)

- FM : Frequenzmodulation (Sendefrequenz ist amplitudenabhängig)

Vorteil: Signalschwankungen beeinflussen Empfang nicht

Frequenzverhältnis 9:10

t

Amplitude

Frequenzverhältnis 1:10

t

Amplitude

ÜberlagerungSignalfrequenz


Parallele Überlagerung von Wellen gleicher Frequenz

Bei senkrechte Überlagerung : Lissajous-Figuren, z.B. Oszi im x-y-Betrieb (Normal y-t)

Gleiche Phase : Maximale Verstärkung

-2

-1

0

1

2

0 5 10 15 20

t

Amplitude

Überlagerung

Phase 180° (gegenphasig) : Auslöschung

-2

-1

0

1

2

0 5 10 15 20

t

Amplitude

Überlagerung

beliebige Phase

-2

-1

0

1

2

0 5 10 15 20

t

Amplitude

Überlagerung


6.6 Reflexion und Brechung (Reflection and Refraction)

Trifft eine Welle an der Grenze eines Medium auf ein anderes so wird sie völlig (z.B. Licht auf

Spiegel) oder teilweise (Licht auf Wasser) reflektiert; der übrige Teil wird gebrochen; oder alles

wird absorbiert (schwarze Oberfläche)

Versuche: - Reflexion Laserstrahl Spiegel bzw. Leinwand

- Brechung an Plastikplatten

- Echo an Wand

- Laser auf doppelte Fensterglasscheibe ergibt 4 sichtbare Reflexionen

JAVA Applett: Reflexion und Brechung von Licht / Reflexion und Brechung von Lichtwellen

(Erklärung Prinzip von Huygens)

Bemerkungen:

- Die nachfolgenden Gesetze gelten für akustische und em-Wellen.

- Intensitätsverteilung Reflexion - Brechung kompliziert !

(z.B. Langkau, Lindström, Scobel: Physik kompakt: Elektromagnetische Wellen, vieweg)

Reflexion und Brechung treten auf, wenn eine Welle auf einen Übergang von einem Medium in ein

anderes trifft. Die Intensitätsverteilung zwischen gebrochenem und reflektiertem Anteil ist nur

mittels exakter Rechnung mit em-Wellen zu erhalten. Die räumliche Verteilung des reflektierten

Anteils hängt von dem Material und der Oberfläche ab, wie z.B. bei Glas, Spiegel oder Leinwand.

n2 > n

1

'

Reflexion

Brechung

Bsp.: Luft

Glas

ideal

diffuse Reflexion

n1

Intensitäts-verteilungReflexion

einfallender Strahl

c1

c2


6.6.1 Reflexion

Gerichtete Reflexion gilt nur Idealfall z.B. für Spiegel :

Einfallswinkel = Ausfallswinkel

= '

(WE - 9)

(Reflexion nur in einer einzigen Richtung sichtbar)

Problem: Intensitätsverteilung bei Reflexion und Brechung (s.u.)

Anwendung Reflexion: Parabolspiegel

Wellenrichtung umkehrbar

verstärkter Empfang von Wellen (em / akustisch)

z.B. Sat-Schüssel, Vogelstimmen-Mikro

1 m² Antennenfläche 1 cm² Empfängerfläche

Aussenden "gerichteter" Strahlen:

Richtfunk (em), Megaphon,

Autoscheinwerfer, Taschenlampe

weitere: - Nierenlithotripter (Ellipse)

- Funkwellen: Reflexion an oberen Luftschichten

Überreichweiten (‘round the world in 0,1s’)

- Katakaustik bei Reflexion an Kreis, z.B. Kaffeetasse

Diffuse Reflexion bei ‚unebenen‘ Grenzflächen

z.B. bei Leinwänden und Papier (Reflexion von

allen Seiten sichtbar) s.u.

Weiterer Reflexionseffekt : Bi-directional Reflection Distribution Function (BRDF) :

Tritt z.B. bei Mähen

(Fußballplatz) auf. Ist ein

größeres Problem bei

Weltraumgestützter

Landwirtschaft-Beobachtung.

Empfänger / Sender


6.6.2 Brechung

Versuch: Reflexion Laserstrahl

Beugung an Plastikplatten

Brechung: Übergang von einem Medium in ein anderes

Gilt sinngemäß auch für Reflexion !

Reflexion: = '

n2 > n1 (unten optisch dichter)

c1 > c2 (oben schneller)

Huygenssches Prinzip:

unterschiedlicher zurückgelegter

Weg in oberem und unteren

Medium in derselben Zeit wegen

unterschiedlicher

Ausbreitungsgeschwindigkeit

JAVA Applett: Reflexion und Brechung von Licht

Snelliussches Brechungsgesetz

n: Brechungsindex (Index of Refraction)

Akustik

2

1

Optik

1

2

c

c

n

n

sin

sin

(WE - 10)

n ( : Dielektrizitätskonstante) : Zusammenhang Optik - ET / hoch- niedrigfrequent

Wellenlängen- bzw. Frequenzabhängigkeit : Dispersion: n = n() = n(f), z.B. Regenbogen

Dielektrizitätskonstante : r = r(f) in der ET

Bsp: Reflexion: Bild im See, am Fenster, Echo, Reflexion an Fensterglas ca. 4%

Brechung: Stab ins Wasser, "Knick"

n1 c1

n2 c2

Weg und in gleicherZeit zurückgelegtin Medium 1 und 2

Wellenfront

Lot

2

1

s

s1

c

2c1

s2

s


Medium Brechungsindex für = 600 nm

n = cvakuum / cmedium ; n = n()

Glas 1,5

Luft 1,003 nVakuum = 1

Wasser 1,333

Diamant 2,4

Bsp: Luft Wasser = 30° = 22°

zum Weiterlesen : Doppelbrechung (Birefringence)


Totalreflexion (Total Reflectance)

- tritt auf bei Übergang von optisch dichterem in optisch dünneres Medium

- bei einem bestimmten Winkel wird der einfallende Strahl nur noch in der Grenzschicht geleitet

- bei größeren Winkeln tritt der Strahl nicht ins dünnere Medium über Totalreflexion

1

2g

n

nsin Totalreflexion für alle g

Anwendung: Prisma

Lotwinkel hier 45° > g (38°)

nur Reflexion, keine Brechung, Erklärung: komplexe Wellenoptik

Medium Grenzwinkel zu Luft

Diamant 23°

Glas 38°

Wasser 49°

dichter n1

dünner n2 < n1

Totalreflexion

g

45°


Anwendung der Totalreflexion

Lichtleiter - Glasfaserkabel

kann auch gebogen werden solange

Totalreflexionsbedingung erfüllt bleibt n1

n2 < n1

10 µm

nicht, da Totalreflexion

‚Sprung‘ des Brechungsindexes

Innen- typ. 62,5 µm

Achtung: Unterschiedliche Laufzeiten !

‚allmähliche‘ Änderung des Brechungsindexes

typ. 62,5 µm

‚Sprung‘ des Brechungsindexes,

typ. 9 µm, deshalb praktisch kein Reflexionseinfluß


Intensitätsverteilung

Bsp: Durchgang durch Glas

Absorption durch Eindringen in Material

Intensitätsabnahme bei Ausbreitung in einem

Medium üblicherweise als e-Funktion

Absorption

: Absorptionskoeffizient [] = 1/m

d : Eindringtiefe [d] = m

d

)refeingeb eAAA

(WE - 13)

Der Absorptionskoeffizient ist wellenlängenabhängig : = ()

Beispiel: Der menschliche Körper ist für sichtbares Licht undurchdringbar, nicht aber für

Röntgenstrahlung !

I

x

Luft Glas Luft

1

einfallend

reflektiert

durch-

tretend

absorbiert

reflektiert

reflektiert

(übertrieben dargestellt)

I

dVakuum absorbierendenMedium


Reflexion in Abhängigkeit von der Einfallsrichtung

senkrechter Einfall :

22

1'n

1'nrLuftgegenOberfläche

n'n

n'nradflexionsgrRe

typischer Wert Luft - Glas r 0,05 (5%)

schräger Einfall :


6.6.4 Wellenbetrachtung der Reflexion

Festes Ende (mechanisch) bzw. optisch

dichteres Medium

Loses Ende (mechanisch) bzw. optisch

dünneres Medium

Phasensprung um

Wellenknoten

keine Phasensprung

Wellenbauch

Wellenknoten : Amplitude immer Null, auch Schwingungsknoten

Wellenbauch : hier tritt die Maximalamplitude auf, auch Schwingungsbauch genannt

t t


Versuch: mechanische Transversal-Wellenmaschine (fest: unten festhalten bzw. lose)

hieraus ergeben sich die Gesetze für Wellen in begrenzten Medien.

Eine gute Simulation und Visulisierung in Internet findet sich unter :

http://www.muk.uni-hannover.de/~finke/physlet/waves/wave_refl.html

Zeitlicher Verlauf : Bei T = T/4 ist der Phasensprung um bei festem Ende zu erkennen


6.7 Wellen in begrenzten Medien / Stehende Wellen

Def: Wellen (hier 2) die gleichzeitig in entgegengesetzter Richtung das gleiche Medium

durchlaufen überlagern sich zu einer stehenden Welle.

Voraussetzung: Amplitude, Frequenz konstant und feste Phase

Am häufigsten geschieht dies durch Reflexion einer ebenen Welle an einer Grenzfläche; dies gilt

sowohl an dichteren/festen als auch an dünneren/losem Medium/Ende.

Beispielrechnung:

y1 = sin(t - kx) nach rechts

y2 = sin(t + kx) nach links

yr = y1 + y2 = 2 coskx sint

Das ist eine Sinusschwingung mit ortsabhängiger Maximal-Amplitude (k = 2 /)

Simulation im Web : - http://www.physiknetz.de/special/java/physik/phys/stlwellen.htm

- http://www.schulphysik.de/physik/mech/swell/

Wellenknoten -bauch

x

y

2

2cos(kx) = 0 = 1

sin( t) = 1

sin( t) = 0


JAVA Applett:

- Stehende Welle (Erklärung durch Überlagerung mit der reflektierten Welle)

- Stehende Längswellen

Was passiert, wenn man beispielsweise eine Saite anzupft ?

Die Phänomene der Eigenschwingung bei festem und losem Ende können sehr schön mit einem

Stab oder Lineal ausprobiert werden.


In einem Medium begrenzter Länge L kann sich eine Stehende Welle (zeitlich und örtlich

konstante Überlagerung einer Welle mit sich selbst) nur ausbilden, wenn nachfolgende

Bedingungen erfüllt sind:

'Enden' Eigenschwingung

(Eigenfrequency))

1. Oberwelle

(Second Harmonic)

Wellenlänge

(Wave Length)

2 freie

Bsp.: Leerrohr

2 feste

Bsp.: Gitarrensaite

f2f;L 11

(WE - 14)

n

n

n

cf

1n

L2

n = 0, 1 , 2

Fest + frei

Bsp.: Blasen über

Sprudelflasche

f3f;L3

411

n

n

n

cf

1n2

L4

Obige 'Bilder' erhält man durch Erfüllen der Randbedingungen (fest, lose) unter Berücksichtigung

von Wellenknoten (Intensitätsminimum) und -bäuchen (Intensitätsmaximum) sowie Einpassen der

Wellenlängen bzw. deren Bruchteilen.

Anwendung: - Musikinstrumente (z.B. Orgelpfeifen, Klavier, Gitarre)

- Optik : Resonator, Laser

- Antennen (z.B. UKW : 100 MHz 3 m /4-Antenne l = 75 cm)

Warum singen Männer lieber in der Badewanne (L = 1,8 m) , Frauen im WC (L = 1 m) ?

Resonanz mit 2 festen Enden: Männer haben eine tiefere Stimme größere Wellenlänge

L

cf1 ergibt Stehende Welle für Badewanne mit 180 Hz bzw. WC mit 330 Hz, etc.

A

xL

Wellenbauch -knoten


Warum kann man Musikinstrumente unterscheiden, auch wenn sie alle

denselben Ton (z.B. Kammerton 440 Hz) spielen ?

Die unterschiedliche Verteilung der Oberwellenintensitäten 'macht' den Klang eines

Musikinstrumentes (Skizziert, real keine scharfen Peaks).

rel. Lautstärke

Frequenz

fo

2fo 3fo 4fo 5fo

Trompete rel. Lautstärke

Frequenz

fo

2fo 3fo 4fo 5fo

Horn

rel. Lautstärke

Frequenz

fo

2fo 3fo 4fo 5fo

Oboe rel. Lautstärke

Frequenz

fo

2fo 3fo 4fo 5fo

Clarinette


6.8 Doppler - Effekt (Doppler Effect) (zur Information)

- tritt auf, wenn sich Wellenerreger (Quelle) und Beobachter relativ zueinander bewegen

- Effekt: Frequenzänderung

Versuch: Simulation am PC, bewegte Stimmgabel auf Pendel

JAVA Applett: Doppler-Effekt

Es gibt 2 Fälle

a) Ruhende Quelle, bewegter Beobachter

+ : Beobachter nähert sich der Quelle

- : Beobachter entfernt sich von Quelle

c

v1ff B

QB

(WE - 15)

Bsp: Zug - Übergangs-Glocke

fQ = 440 Hz (a) ; vB = 30 m/s , c = 330 m/s

Zug nähert sich: fB = 480 Hz ; Zug entfernt sich: fB = 400 Hz f = 80 Hz Terz

ruh en de Q ue lle

ruh en de r B eo ba ch ter

v

b ewe gte r B eo ba ch te r

T : Z e i t zw is chen 2 W ellenbäuc hen

T =c

T =c + v

0

0,5

1

1,5

2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Fre

qu

en

z r

ela

tiv z

ur

au

sg

esan

dte

n

Fre

qu

en

z

Geschwindigkeit relativ zur Ausbreitungsgeschwindigkeit

B entfernt sich

B nähert sich

Doppler Effekt : Ruhende Quelle - Bewegter


b) Bewegte Quelle, ruhender Beobachter

+ : Quelle entfernt sich vom Beobachter

- : Quelle nähert sich zum Beobachter c

v1

ff

Q

QB

(WE - 16)

pro Zeiteinheit kommen mehr Wellen an als bei ruhender Quelle

Doppler Effekt bei bewegter Quelle ist nichtlinear :

Bsp: Verkehrs-Radar

fQ = 10 GHz , vQ = 30 m/s , c = 3 108 m/s fB = 10,000001 GHz f = 1 kHz

Beispiel: - Durchbrechen der Schallmauer (s.u.)

- Einsatzfahrzeuge (Martinshorn)

Anwendung: - Geschw. Messung Radar

- Astronomie zur Bestimmung von Planetengeschwindigkeiten

be w eg te Q ue lle

ruhender Beobachter

v

0

0,5

1

1,5

2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Fre

qu

en

z r

ela

tiv z

ur

au

sg

es

an

dte

n

Fre

qu

en

z


Q entfernt sich

Q nähert sich

Doppler Effekt : Bewegte Quelle (Q) -

0

4

8

12

16

20

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Fre

qu

en

z r

ela

tiv z

ur

au

sg

es

an

dte

n

Fre

qu

en

z


Q entfernt sich

Q nähert sich

Doppler Effekt : Bewegte Quelle (Q) -


Obige Gesetze für den Doppler Effekt gelten

- für akustische und em-Wellen

- nur Spezialfall : Quelle und Beobachter auf einer Geraden, einer ruht, anderer bewegt sich!

Doppler-Effekt, falls sich Quelle und Empfänger nicht auf einer Geraden bewegen

c

cosv1ff Q

QB

mit als Winkel zwischen Geschwindigkeitsvektor der Quelle und der Verbindungsgeraden Quelle

– Empfänger.


Machscher Kegel () / Schallmauer (Sonic Barrier)

Bei schnell fliegenden Flugzeugen entsteht der sog. Machsche Kegel, dessen Spitze beim

Durchbrechen der Schallmauer 'durchstoßen' wird, d.h. 'der Schall kommt nicht mehr nach !'

‚Klappt‘ auch im Wasser :


7. Optik (Optics)

7.1 Anwendung von Reflexion und Brechung in der Optik

Effekt: Reflexion und Brechung Richtungsumlenkung

Spektralzerlegung durch Dispersion n = n():

gilt auch für Linsen und das Auge Unschärfe bei Farbbildern !

Reflexion an Spiegel

weiß

Prisma

spektralzerlegt

Dispersion


7.1.1 Optische Effekte in der Atmosphäre

Prinzip: wellenlängenabhängige Brechung des Sonnenlichtes (Dispersion)

Himmelsblau

Rayleigh - Streuung

Sonnenauf- / untergang

(vereinfachende Erklärung)

Regenbogen (Rainbow)

1 Reflexion 2 Reflexionen (intensitätsschwächer)

Erde

weiß

Luftweiß Luft

Erde

weiß

42°

Sonne

Regentropfen

Hauptregenbogen 42° Nebenbogen 52°Farbabfolge umgekehrt

weiß

rotations-

symmetrisch


Regenbogen

Wie ist dieses Bild entstanden ?


Spektrum des weißen Sonnenlichtes inkl. Treibhausproblematik (CO2)

Spektralzerlegung von weißem Licht

Der rechte und linke Rand (li.) erscheint dunkel, da

das Auge dort relativ unempfindlich ist im

Gegensatz zu Photodioden (re).

Die Spektralzerlegung (d.h. Zerlegung nach 'Frequenzen' - Analogie zur Fouriertransformation)

geht auch mit (optischen) Spalten oder Gittern !


7.2 Geometrische Optik

Definition / Näherung: - Licht breitet sich strahlenförmig und geradlinig aus,

- 'Licht' besitze keine Welleneigenschaften, d.h. 0

Bsp: Laser und Sonnenlicht erfüllen die Näherung gut

Grenze der Geometrischen Optik:

kleine Abmessungen im Bereich der Wellenlänge, z.B. Spalte

Näherung dicke Linsen (real) dünne Linsen

Prinzip von Linsen (lens):

durch geschickte Formgebung unter

Anwendung der Brechung (s.o.) werden

nutzbare Effekte erzielt !

Wichtigste Linsenformen bikonvex Bikonkav

Symbol

Funktion: (Normalfall)

Umgebung optisch dünner

Sammellinse

Zerstreuungslinse

" " dichter Zerstreuungslinse Sammellinse

Nur zur Info:

Effekte an Linsen Erwünscht Entsteht durch Abhilfe

Brechung +

Reflexion - Vorder- und Rückseite Vergütung

Absorption - molekulare Absorption Spezialglas

Streuung - Verunreinigungen Hochreines Glas

Dispersion - Material Spezialglas

Thermische Ausdehnung - Material Spezialglas

Optimierungsmöglichkeiten meist nicht gleichzeitig realisierbar


Beispiel


Allgemeine Regeln zur Linsenkonstruktion (DIN 1335)

- Lichtrichtung von links nach rechts

- Gegenstand: y (früher G)

- Bild y' (früher B)

- y-Achse nach oben positiv

- f Brennweite

- F Brennpunkt

- a Gegenstandsweite (früher g)

- a' Bildweite (früher b)

- Lichtweg umkehrbar

Abbildungsgleichung

nur je ein Brechungsindex

für Linse und Umgebung

Abbildungsmaßstab

a

1

'a

1

f

1

(OP - 2)

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

Bildweite a'

Gegenstandsweite a

Abbildungsgleichung

Objektiv : Objekt reell, Bild reell, umgekehrt

Lupe : Objekt reell, Bild virtuell, aufrecht

Objekt virtuell, Bild reell, aufrecht

normiert auf f = +1


7.2.1 Sammellinse als Dünne Linse

Kennzeichen: Brennweite f > 0 ; z.B. + 30mm

Konstruktionsprinzip: - Parallelstrahl F' - (Brennpunkts-) Strahl

- Gegenstandsstrahl durch Optische Achse behält Richtung bei

Fall Konstruktion Bild Beispiel

a < f

virtuell,

vergrößert,

aufrecht

Lupe

f < a < 2f

reell,

vergrößert,

umgekehrt

Projektor

a > 2f

reell,

verkleinert,

umgekehrt

Fernrohr

JAVA Applett: Bilderzeugung durch Sammellinsen

Die Linsen sind mit ihrer Form gezeichnet, die Konstruktion vernachlässigt aber ihre Dicke !

F F'

aa'

f

yy'

optische

Achse

F

f

aa'

y'

yF'

2f

F

f

aa'

y'

yF'

2f


7.2.2 Zerstreuungslinse

Kennzeichen f < 0 ; z.B. - 30 mm

Anwendung z.B. Galileisches Fernrohr

Aufrechtes virtuelles Bild ; verkleinert

Konstruktionsprinzip:

- Parallelstrahl mit Strahl von F (Brennpunkt)

ausgehend

- Gegenstandsstrahl durch Optische Achse

unverändert

weiterer Linsentyp: Fresnel-Linsen (flach, z.B. Overhead-Projektor, Campingbus, Leuchtturm)

Links Strahlengang : Entscheidend für die Wirkung einer Sammellinse ist nicht deren Dicke,

sondern die Oberflächenkrümmung. Im Prinzip stellt die Fresnel-Linse eine konvexe

Sammellinse dar, bei der außerhalb der Mittellinse nur dünne ‚Oberflächenteile‘

verwendet werden

Mitte Draufsicht

Rechts Anwendung bei Leuchttürmen als 360° Linse

F'

y'

F

f

aa'

y


7.2.3 Linsensysteme (zur Information)

Zweck Vergrößerung: Mikroskop, Lupe kleine Gegenstände ; Fernrohr kleine Winkel

Limitierung: Beugung (Wellencharakter kann nicht vernachlässigt werden, s.u.)

Lupe (Magnifier)

Vergrößerung der Lupe

f

sv

mit s als deutliche Sehweite des

unbewaffneten Auges

üblicher Wert : s = 25 cm

Die Lupe ist das einfachste optische Instrument zur Vergrößerung von Gegenständen, die sich

Endlichen befinden. Am einfachsten wird der Gegenstand in der Brennebene einer Sammellinse

positioniert. Diese Lupenlinse verwandelt dann die Lichtstrahlen von allen Gegenstandspunkten zu

Parallelstrahlen, die von der Augenlinse wieder auf ihre bildseitige Brennebene abgebildet werden.

Damit wir dieses Bild scharf sehen, muß die Augenlinse so akkomodiert sein, daß sich diese

Brennebene gerade auf der Ebene der Retina befindet. D.h. wir stellen unser Auge auf das Sehen

von Gegenstände im Unendlichen ein. Die ist die Ruhestellung des Auges und daher am

wenigsten anstrengend.


Mikroskop (Microscope)

Vergrößerung des Mikroskopes

OkularObjektiv ff

stv

mit s als deutliche Sehweite des

unbewaffneten Auges

üblicher Wert : s = 25 cm

Das Mikroskop vergrößert den Sehwinkel.

Bei einem Mikroskop (2* Sammellinse) ist ein Gegenstand sehr nahe am Brennpunkt der sog.

Objektivlinse, es wird ein stark vergrössertes Bild erzeugt. Dieses Bild (Zwischenbild) wird in einer

Ebene im Abstand t vom zweiten Brennpunkt des Okulars erzeugt. Dieses Zwischenbild wird von

der zweiten Linse (Okular) weiterverarbeitet. Das Okular ist so plaziert, dass das von der ersten

Linse erzeugte Bild genau auf seinem Brennpunkt erzeugt wird. Die Strahlen aus der er-sten

Linse, dem Objektiv, werden nun so gebrochen, dass sie divergent sind. Dies entspricht der Lupen

- Funktion. Das Auge formt wieder ein reelles Bild, das nun aber sehr stark vergrössert ist.

Fernrohr (Telescope)

(Keplersches Fernrohr)

Vergrößerung des Fernrohres

Okular

Objektiv

f

fv

Je größer die Objektivbrennweite und je

kleiner die Okularbrennweite desto

größer die Vergrößerung.

JAVA Applett: Keplersches Fernrohr

Annahme : Gegenstände befinden sich im Unendlichen, d.h. die Lichtstrahlen von diesen

Gegenständen erreichen das Fernrohr als Parallelstrahlen. Die Objektivlinse ist eine Sammellinse,

die ein reelles Bild des Gegenstands in ihrer bildseitigen Brennebene entwirft. Dieses

Zwischenbild liegt in der Brennebene der Okkukarlinse.


7.3 Beugung (Diffraction)

Geometrische Optik: : Wellenausbreitung mit geradlinigen Strahlen

7.3.1 Prinzip

Exp: Laser - Licht geradlinig - Geräteachse - kreisrunder Fleck auf Wand -Schirm

Spalt in Strahlengang

Geom. Optik: kleinerer Fleck aufgrund Abschattung

Spalt verkleinern: Aufweitung mit helle und dunkle Streifen

Beobachtung:

- Abweichungen von der geradlinigen Ausbreitung an Hindernissen

- Licht als Welle

Mathematische Behandlung komplex.

Qualitatives Verständnis: Überlagerungs- und Ausbreitungseigenschaften von Wellen mit

- Superpositionsprinzip Überlagerung mehrerer Wellen an einem Ort

analog Überlagerung von Schwingungen

I = I1 + I2 + I3 + ...

-Interferenz: Wechselwirkung einer Welle mit sich selbst

Extremfälle 2 Wellen gleicher Frequenz

- effektiver Gangunterschied = 0 in Phase max. Verstärkung

- Einzelamplituden gegenphasig = /2 : Auslöschung

--Ausbreitung von Lichtwellen - Huygensches Prinzip:

Bsp: Wasserwellen - hineingeworfener Stein


Abweichung von Geometrischer Optik

Licht als Welle

optischen Instrumente mit endlichen

Öffnungsweiten: Beugung beschränkt

Auflösungsvermögen

Beugungsart a, b Licht Beschreibung

Fresnel klein divergent Komplex

Fraunhofer

a, b <

parallel

ggf. Sammellinsen

Winkel 'einfach'

7.3.3 Fraunhofersche Beugung

7.3.3.1 Einzelspalt

JAVA Applett: Beugung von Licht am

Einfachspalt

Beugungswinkel

Gangunterschied der Randstrahlen

= BC = d * sin

Näherung: Spaltbreite d << Spaltlänge l

a

Spalt Schirmb

Beugung

geom.

Optik

x

0

xmax

A

B

Cd

einfallendeWellenfront

nicht gebeugte Wellenfront

gebeugteWellenfront


Erklärung für die dunklen Stellen

Huygensches Prinzip:

Jeder Punkt im Spalt ist Quelle einer neuen

Elementarwelle. Am Hindernis werden die

Wellen abgelenkt

Oberer und mittlerer sowie mittlerer und

unterer Strahl sind gegenphasig und

löschen sich somit aus !

Auslöschung bei Abstand d/2 BC = d.h. Gangunterschied = /2

BC: = d sinmin = 1. Minimum

Bsp: d = 10 min 6°

Geometrische Optik d >> oder 0 Strahlen

weiteren Minima Gangunterschied ganzzahliges Vielfaches von

Minima (dunkel)

Beugungsordnung n = 1, 2, ...

n = d sinmin

(OP - 3)

A

BC

d/2

min

Auslöschung !

Auslöschung !


Beobachtung Versuch :

Zwischen Minima helle Stellen : Maxima

Superpositionsprinzip: Gangunterschied zwischen max. Verstärkung und Auslöschung /2

Maxima (hell)

Beugungsordnung n = 0, 1, 2, ...

(n + 1/2) = d sinmax

(OP - 4)

Die Intensität der Beugungsmaxima - noch deren Verlauf können aber (rein geometrisch) nicht

hergeleitet werden. Zu vermuten ist aber ein geringere Helligkeit des 1. Maximums, da sich die

beiden unteren Strahlen auslöschen !

A

B

Cd/3

max

Verstärkung !

Auslöschung !

32


Beispiel Chip einer- Digitalkamera

- Chip 5 mm breit = 1000 Pixel, d.h. 1 Pixel = 5 µm breit

- Linsendurchmesser d = 5 mm (als Spalt)

- Abstand Linse - CCD : b = 10 mm

- Annahme: Heller Spot in Pixelmitte

- Trifft das 1. Beugungsmaximum ein danebenliegendes Pixel ?

Entspricht der Ort für das erste Maximum (xmax) der Pixelbreite (5 µm) ?

- Geometrie : tan = xmax/b

1. Maximum 1/2 = d sinmax =d tan für kleine Winkel : 1/2 = d xmax / b

grünes Licht : 0,550 µm /2= 5mm xmax / 10mm

xmax = 0,55 µm

d.h. Pixelpitch liegt um einen Faktor von 10 über dem 1. Beugungmaximum !

selbst wenn gebeugtes Licht auf ein benachbartes fällt, wäre die Intensität

max. 5% des durchgehenden Strahles (s.u.). Dies wird relevant, wenn ein Pixel

100% 'hell' und das benachbarte ganz 'dunkel' sein soll, was üblicherweise nur

bei Testbildern vorkommt.

Beugung von polychromatischem Licht

polychromatisch: Licht mit 'vielen' verschiedenen Wellenlängen, z.B. Sonnenlicht

jede Wellenlänge wird an einen anderen Orte gebeugt, d.h. weißes Licht wird ‘farbig’

analog zur Spektralzerlegung durch Dispersion (s.o.)


Intensität

winkelabhängiger Intensitätsverlauf nicht ermittelbar aus den bisherigen Überlegungen

mathematische Herleitung aus Kirchhoffschen Formeln ist komplex, nachfolgend vereinfacht:

Berechne die in P ankommende Wellen

(auf '1' normierte Amplitude) :

ro : yo = sin(t - kro)

r1 : y1 = sin(t - kr1)

Gangunterschied = z sin

mit z als Koordinate

r1 mit r0 ausgedrückt

r1 = sin(t - k{ro + })

r1 = sin(t - kro – k z sin)

Überlagerung aller Elementarwellen des Spaltes:

- Aufsummieren aller Wellen

- für 'sehr viele' Wellen Übergang Summe - Integral :

(Vgl. Herleitung Integral durch Ober- und Untersummen von Rechtecken)

Gangunterschied

P

- d/2

+ d/2

r0r1

z

0


sin2

kdcossin

2

kdcos

sink

1

sinzkkrtcossink

1dzsinzkkrtsiny

2

d

2

d

o

2

d

2

d

o

mit cos(-) - cos(+) = 2 sin sin

sind

sin2

kdxmit

x

xsind~y

sin2

kd

sin2

kdsin

dkrtsin

sin2

kdsinkrtsin

sink

2y

o

o

Intensitätsverlauf Einzelspalt

hyperbolische Abnahme der Helligkeitsmaxima mit 1/x²

x = 0 nach L'Hopitalscher Regel I = 1

x entspricht Formel für Minima * wegen Sinus

sind

x

x

xsin~I

2

(I(0) 1)

(OP - 6)

Zum Weiterlesen: Babinetsches Prinzip

Öffnungen und Hindernisse haben komplementäre Beugungsbilder

Versuch Spalt mit Draht vertauscht

es ergibt sich dasselbe Beugungsbild,

nur ist 'hell' und 'dunkel' vertauscht

x

I

0 xmax

~ 1

x2

Geometrische Optik

Beugung

5 %


7.3.3.2 Gitter (Grid)

Versuch: Einzelspalt - breite Streifen

Gitter: scharfe Punkte, groß = Hauptmaxima

Verstärkung :Gangunterschied =

analog Minimum Einzelspalt

g >> d : Spaltbreite << Spaltabstand

Spalte = Punktquellen

Hauptmaxima beim Gitter m = 0, 1, 2, ... m = g sinmax (OP - 7)

durchgehender Strahl m = 0 = Hauptmaximum 0. Ordnung

Anwendung : - Messung von

- Strukturuntersuchungen mit Röntgenstrahlung Kristallgitter

Bsp: Gesucht: Beugungswinkel für Maximum 1. Ordnung bzw. Wellenlänge aus Ort

g = 1/500 mm, m = 1 , = 500 nm

= g sinmax

max = arcsin(/g) = arcsin(500 10-9 500 10-3)

= arcsin(0,25) 0,25

max 15°

tanmax = xmax / b und = g sinmax

A

B

Cd

g

max

Verstärkung !

Schirmb

0

xmax


Zum Weiterlesen: Moiré - Streifen

werden erzeugt durch zwei nicht deckungsgleich aufeinanderliegende Gitter

Teilungsmoiré

Die Gitterkonstanten sind leicht

unterschiedlich - also 'verstimmt'.

Wie bei einer niederfrequenten Schwebung

(s.o.) im Zeitbereich tritt hier eine

'niedrigere' Ortsfrequenz auf.

Moiré-Streifenabstand: 12

12M

gg

gga

Verdrehungsmoiré

entstehen, wenn 2 Gitter mit gleicher

Gitterkonstante um den Winkel

gegeneinander verdreht sind.

Moiré-Streifenabstand:

g

aM

Auftreten der Moiré-Streifen bei Bildschirmen mit 'festen' Pixelraster (= Gitter) und Darstellung von

Bildinhalten mit gitterähnlicher Struktur

- 'Pepita' - Anzüge im Fernsehen

- schlechter Abgleich / Einstellung bei LCD-Videobeamern mit Analogeingang

- Digitale Bildaufnahme (Foto, Scanner [Pixel per Inch]) und Wiedergabe (Pixelraster)

am

am


Moire bei sw-Bildern aufgrund

von Rasterung.

Beispiel: Eingescanntes Bild

bei hoher Scan-Auflösung

(links) und bei Scan-

Auflösung im Bereich der

Druckauflösung (rechts)

Moiré verursacht bei Farbbildern außerdem Farbrauschen

Vergrößert Original

Bilder mit Digitalkamera von

Bildschirm Streifenmuster


Zusammenfassung

Fraunhofersche

Beugung

Einzelspalt

Gitter

(viele Spalte / mm)

Intensitätsverlauf

2

x

xsin~I

; ( I(0) 1 )

scharfe, diskrete Maxima

Formel für Maxima

b

xtanarc max

n = 1, 2, 3, ...

b : Abstand Spalt -

Schirm

d2

1nsin

(OP - 2)

d: Spaltbreite

gnsin

(OP - 3)

g: Abstand Gitterlinien

Fouriertransformation als Analogie zur optischen Beugung

mathematische Transformation eines

Rechtecksignales im Zeitbereich

Spaltfunktion im Frequenzbereich

Beugungsbild eines Spaltes entspricht Fouriertransformation eines Rechteckes mit der

Durchlässigkeit (0 1 0)

Die geometrische Optik erzeugt ein schmales und scharfes Rechteck, hier als Linie dargestellt

geometrische Optik

0 xmax x

Beugung

I I

x

geometrische Optik

0 xmax

f

Fouriertransformation

y(t) | F(f) |

t


Gegenüberstellung von Fouriertransformation und Beugung

Fourier / Beugung Zeit- / Ortsbereich Frequenz- / Wellenlängenbereich

Rechtecksignal

Gitter

2 Reckeckimpulse

Doppeltspalt

1 Rechteckpuls

Einzelspalt

Hieraus ist ersichtlich, daß das zugrundeliegende physikalische Prinzip dasselbe ist !

A

t, x

... ...

A

Frequenz, Wellenlänge

A

t, x

A


A

t, x

A



Bsp: Beugung an Linsen begrenzt das Auflösungsvermögen

Fernrohr auf 2 dicht benachbarte Sterne (Lichtquellen) gerichtet

Beugung führt zur Verbreiterung der Bilder

im Grenzfall überlagern sich dicht benachbarte Zentral-Maxima

nur 1 hellen Fleck ; Analoges gilt für das Mikroskop

Beugungsbild zweier

benachbarter Quellen

Überlagerung in einem verbreiterten

'Punkt'

Fernrohr 2 dicht benachbarte Sterne 2 Lichtquellen

Beugung Verbreiterung der Bilder

Grenzfall überlagern sich dicht benachbarte Zentral-

Maxima

nur 1 hellen Fleck (Mikroskop analog)

Beugungsbild einer Linse

mit 2 Lichtquellen (z.B. Sterne)

‚Rutschen‘ die Lichtquellen enger

zusammen (unten links und rechts)

können Sie nicht mehr

unterschieden (‚aufgelöst‘) werden !

Linse

Bildebene

Intensität

praktisch nichtunterscheidbar !

ÜberlagerungLicht zweierbenachbarterObjektez.B. Sterne


Anwendung der Beugung

- Messtechnik

- Röntgenuntersuchung (Werkstoffkunde)

Bsp: DNA (Watson-Crick)

Materialuntersuchungen mit Röntgenstrahlen

Voraussetzung: Beugung am Punktgitter

Bragg-Bedingung für konstruktive Interferenz

muß erfüllt sein:

n = 2 d sin mit n = 1, 2, 3, ...

Laue-Aufnahme von NaCl schwarze Punkte = Interferenzen

d


Beispiel für Untersuchungen mit Beugung: Muskel


Übungsblatt Wellen/Optik

1. Berechnen Sie die erhöhte Eingangsleistung eines Parabolspiegels (A = 1m²) für einen 1cm²

großen Empfänger bei parallel einfallender Strahlung. Wie hoch ist der Gewinn (dB) bei 1W

Leistung. Versuchen Sie die geometrischen Verhältnisse mittels Computer nachzubilden (y=x²,

Tangentensteigung - Reflexionsbedingung). 60dB

2. Zeichnen Sie das Reflexionsbild für einen Halbkreis für senkrecht einfallende parallele Strahlen

(Katakaustik). Gut zu erkennen bei seitlich beleuchteter Kaffetasse.

3. Zeichnen Sie die Winkel für das 1. Maximum eines Einzelspaltes für die Wellenlänge 300nm

500nm und 700nm in Abhängigkeit von der Spaltbreite (0-30mm) auf. Warum wird bei der

Waferbelichtung möglichst kurzwelliges Licht verwendet? Berechnen Sie dies für eine

Leiterbahnbreite = Leiterbahnabstand von 0,5µm und einen „Schirm“abstand (Masken -

Waferabstand) von 1mm in Abhängigkeit von . Optimierungsmöglichkeiten ?

4. Sie wollen die Wellenlänge von monochromatischem Licht mit einem Gitter bestimmen. Bei

einer Gitterkonstanten von 10000 (Linien/cm) messen Sie im Abstand von 1m hinter dem Gitter

einen Abstand von 0,5m zwischen dem Hauptmaximum und dem 1. Maximum. ? 477nm

5. Vergegenwärtigen Sie sich die Beugungserscheinungen an einem Doppelspalt ausgehend von

dem Huygensschen Prinzip.

6. Skizzieren Sie einzeln die 3 Fälle für die Sammellinse und vergleichen Sie.

7. Welche Extremfälle treten beim Auftreffen von Licht auf eine keilförmige Platte auf

a) monochromatisch

b) polychromatisch

(Beugung und Keilwinkel vernachlässigen)

vorlesungsskript physik (physics) für et/it &...

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