Investigacin de Anlisis Estructural II: Mtodo de la Viga Conjugada

ndice PagsIntroduccin..2Definiciones..3Marco Terico..4-7Ejemplos...8-17Conclusiones18Bibliografa....19

Introduccin

El presente trabajo se basa en la investigacin para conocer un poco ms sobre otro de los mtodos que permiten determinar la pendiente y el desplazamiento en cualquier punto de la elstica en una viga; me refiero al mtodo de la viga conjugada.

En este trabajo daremos a conocer sobre la definicin de este mtodo, para qu nos sirve, como es su proceso aplicativo, en qu tipo de estructura es aplicable este mtodo, qu es una viga ficticia y qu relaciones guarda con una viga real, la diferencia de este mtodo con el que ya estudiamos anteriormente (rea- momento), y por ltimo procederemos a resolver los problemas dados conociendo los aspectos ms bsicos de la teora.

En la definicin, explicaremos a qu se le llama viga conjugada, en qu fundamentos tericos se basa, que tiene la ventaja de que no necesita conocer previamente un punto de tangente cero, por lo cual se puede averiguar directamente la pendiente y deflexin en cualquier punto de la curva elstica y que se utiliza en vigas y columnas estticamente determinadas.

Tambin, aprenderemos a travs de un grfico que una viga ficticia es aquella que se carga con el diagrama de momentos reducidos de la viga real, y por consiguiente guardan relacin de donde se obtiene las analogas que se utilizan para resolver los ejercicios.La convencin de signos en este mtodo se fundamenta en el resultado de haber encontrado el momento o la fuerza cortante de la viga ficticia, pues segn sea el signo de la respuesta, se sabr el signo de la flecha o del giro en la viga real.

Por ltimo, despus de haber conocido todos estos conceptos bsicos para poder resolver los ejercicios, procederemos a desarrollar dichos problemas, aplicando todo lo aprendido de la teora para llevarlos a la prctica.

Definiciones

1. Viga: Elemento arquitectnico rgido, generalmente horizontal, proyectado para soportar y transmitir las cargas transversales a que est sometido hacia los elementos de apoyo.

2. Viga conjugada (mtodo): consiste en cambiar el problema de calcular las pendientes y deflexiones causadas en una viga, por un sistema de cargas aplicadas, por otro problema en que se averiguan las fuerzas de corte y momentos de una viga especial, llamada viga conjugada, que est cargada con el diagrama M/EI de la viga original.

3. Momento: es la suma de los productos de cada elemento de un cuerpo por su distancia a un eje.

4. Empotramiento: es un tipo de unin entre slido resistente y otro slido inmvil respecto a un sistema referencia tambin inmvil, que elimina por completo la posibilidad de movimiento de un slido respecto al otro en los puntos del empotramiento.

5. Pasador: Elpasadorutilizado enestructurases un elemento -estructural- de inercia pequea que atraviesa la superficie que se ha deslizado y "cosen" el terreno desplazado al terreno que es estable. As el conjunto forma una estructura de contencin capaz de soportar los esfuerzos. 6. Rodillo: Apoyo estructural que impide la traslacin en cualquier direccin excepto la del propio plano.

Marco Teorico El mtodo de la viga conjugada fue primero presentado por Otto Mohr en 1860. Esencialmente, requiere la misma cantidad de clculos que los teoremas de rea-momento para la determinacin de la pendiente o la deflexin de una viga; sin embargo, este mtodo se basa slo en principios de la elstica y, por lo tanto, su aplicacin ser mas familiar.La base del mtodo se deriva de la semejanza entre dos ecuaciones:( = -w) y ( que relacionan la fuerza cortante y el momento con su carga aplicada. Las siguientes ecuaciones relacionan la pendiente y la deflexin de su curva elstica con el momento interno dividido entre EI. y ).Para encontrar esta semejanza podemos escribir estas ecuaciones:

o integrando,

V = -

Aqu, la fuerza cortante V se compara con la pendiente , el momento M se compara con el desplazamiento v y la carga externa w se compara con el diagrama M/EI.

Podemos establecer dos teoremas relativos a la viga conjugada; estos son:Teorema 1: La pendiente en un punto en la viga real es igual a la fuerza cortante en el punto correspondiente en la viga conjugada.Teorema 2: El desplazamiento de un punto en la viga real es igual al momento en el punto correspondiente en la viga conjugada.

Soportes de la viga conjugada Como cada una de las ecuaciones anteriores requiere integracin, es importante usar las condiciones de frontera apropiadas cuando se integre. Igualmente, cuando se dibuje la viga conjugada, es importante que la fuerza cortante y el momento desarrollados equivalgan a la correspondiente pendiente y desplazamiento de la viga real en sus soportes, lo que es una consecuencia de los teoremas 1 y 2.

Procedimiento de anlisisEl siguiente procedimiento proporciona un mtodo que puede usarse para determinar el desplazamiento y la pendiente en un punto sobre la curva elstica de una viga usando el mtodo de la viga conjugada.Paso 1 Viga Conjugada: dibujar la viga conjugada para la viga real. Esta viga tiene la misma longitud que la viga real y los correspondientes soportes de acuerdo con la tabla 8-2. La viga conjugada se carga con el diagrama M/EI de la viga real. Se supone que esta carga esta distribuida sobre la viga conjugada y esta dirigida hacia arriba cuando M/EI es positivo y hacia abajo cuando M/EI es negativo.Nota: Si el soporte real permite una pendiente, el soporte conjugado debe poder desarrollar una fuerza cortante; y que si el soporte real permite un desplazamiento, el soporte conjugado debe poder desarrollar un momento.Paso 2 - Equilibrio: Usando las ecuaciones de equilibrio, determine las reacciones en los soportes de la viga conjugada. Luego seccione la viga conjugada en el punto en que deben determinarse la pendiente y el desplazamiento de la viga real. En la seccin, muestre la fuerza cortante V y el momento M desconocidos que actan en sus sentidos positivos. Determine la fuerza cortante y el momento usando las ecuaciones de equilibrio. V y M equivalen a , respectivamente, para la viga real. Si estos valores son positivos, la pendiente es en sentido contrario a las manecillas del reloj y el desplazamiento es hacia arriba.

Ejemplos

Ejemplo 1. (8-9) Determine la pendiente y la deflexin en el punto B de la viga de acero mostrada en la figura 8-21 a. Las reacciones ya se han calculado. E = 29(ksi, I = 800

Siguiendo el procedimiento de anlisis tenemos:

Paso 1 Viga conjugada:

En donde los soportes A y B corresponden a los soportes A y B sobre la viga real. El diagrama M/EI es negativo, por lo que la carga distribuida acta hacia abajo.Paso 2 Equilibrio

Dado que se desea terminar , debemos calcular en la viga conjugada.-Sumatoria de fuerzas en y = 0 para obtener la pendiente ; + = 0 = = = - 0.00349 rad-Sumatoria de momentos =0 para obtener el desplazamiento ; = 0 =

= -0.0873 ft = - 1.05 inY para terminar el problema dibujamos nuestra curva elastica que nos permite visualizar los signos. Los signos negativos indican que la pendiente de la viga de mide en sentido contrario a las manecillas del reloj y que el desplazamiento es hacia abajo.

Ejemplo 2. (8-10)

Solucin:La viga conjugada cargada con el diagrama M/EI se observa a continuacin. La carga distribuida acta hacia arriba debido a que el diagrama M/EI es positivo.

+Fy = 0

x = 6.71 m (0x9m) OK

Usando el valor de x, la deflexin mxima corresponde al momento M. Por esto:+M = 0

mx. = M = = = 0.0168 m = 16.8 mm*El signo negativo indica que la deflexin es hacia abajo.

Ejemplo 3. (8-11)

(a) (b)Solucin:La curva de la viga elstica en la figura b, se muestran las pendientes desconocidas (B)L y (B)R a la izquierda y a la derecha del pasador; y el desplazamiento desconocido B Tenemos el diagrama de la viga conjugada en la figura c. Para simplificar los clculos, el diagrama M/EI se ha dibujado en partes usando el principio de superposicin descrito anteriormente. Para hacerlo as, la viga real se considera como una viga en voladizo desde el soporte izquierdo. Se indican el diagrama de momentos para la carga 8k, la fuerza reactiva Cy =2k y el momento concentrado de 30 k ft. Las regiones negativas d este diagrama desarrollan una carga distribuida que acta hacia abajo y viceversa.

(c) (d)Las reacciones externas en B y en C, se calculan primero y los resultado se indican en la figura d. Para determinar (B)R la viga conjugada se secciona justo a la derecha de B y se calcula la fuerza cortante (VB)R (figura d).

(VB)R (B)R = (VB)R = = 0.0378 rad (e) El momento interno en B da el desplazamiento del pasador, entonces,;

= -0.381 ft. = -4.58 in.La pendiente (B)L puede encontrarse de una seccin de viga justo a la izquierda de B, figura f asi, (VB)L (B)L = (VB)L = 0 Est claro que B = MB, pues este segmento es el mismo previamente conocido, ya que los brazos de momento son slo ligeramente diferentes en la figura f. (f)

Ejemplo 4. (8-12)La trabe de la figura est hecha con una viga continua reforzada en su posicin central con cubreplacas que incrementan el momento de inercia. Los segmentos extremos de 12 ft tienen un momento de inercia de I = 450 in4 y la porcin central tiene un momento de inercia de I = 900 in4 . determinar su deflexin en el centro del claro C. Considere E = 29103 ksi. Las reacciones ya se han calculado.

Diagrama de momento

Viga conjugada

I = 2I

Reacciones externas

Reacciones internas

Reemplazando los valores de EI

Conclusin

Aunque el mtodo de la viga conjugada no es novedoso, e inclusive en desuso, debidamente utilizado es un recurso con varias bondades, no solo para el clculo de deformaciones o reacciones, sino en el mbito educativo, del Anlisis Estructural. Es un medio que ayuda a reforzar varios conceptos del caso de flexin simple, en especial los conceptos de fuerza cortante y momento flexionante; de cmo el momento flexionante, est directamente ligado a la curva elstica de una viga real. Por su metodologa la viga conjugada requiere un anlisis (descomposicin en partes de un conjunto) y de una sntesis (suma de partes). El tiempo de clculo de momentos de empotramiento se reduce sensiblemente, con una seleccin de vigas conjugadas apropiadas, en especial para vigas de dos o ms secciones transversales en su claro. El uso de mtodos grficos permite el entendimiento directo del comportamiento de variables que definen la resistencia o rigidez de un elemento, adems de comprender la relacin que guardan dichas variables entre s por ejemplo relacin carga, fuerza, momento, deformacin; lo cual en la gran mayora de la veces no se logra con la aplicacin de una ecuacin matemtica que al integrarla de manera directa, se realiza por memorizacin, perdiendo con esto el entendimiento del fenmeno. Siempre hay algo que explorar e innovar por muy estudiado y aejo del tema.

Bibliografa

Libro de Anlis Estructural Tercerca Edicin R.C. Hibbeler Editorial Pearson. Captulo 8 de la pgina 370 hasta la 380.

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