vibration mécanique

100
Institute de Technologie du Cambodge Formation de Physique pour d’ingénieur Course: Vibration Mécanique Date: 29 août -03 septembre 2016 Salle: F-106

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Page 1: Vibration Mécanique

Institute de Technologie du Cambodge

Formation de Physique pour d’ingénieurCourse: Vibration Mécanique

Date: 29 août -03 septembre 2016Salle: F-106

Page 2: Vibration Mécanique

1. Rappel système de coordonnées

1.1. Définition: Coordonnées cartésiennes

Page 3: Vibration Mécanique

1. Rappel système de coordonnées

1.1. Définition: Coordonnées cylindrique

Page 4: Vibration Mécanique

1. Rappel système de coordonnées 1.1. Définition: Coordonnées sphérique

Page 5: Vibration Mécanique

1. Rappel système de coordonnées 1.2. Vecteur unitaire

��𝒙

��𝒚

��𝒛

��𝝆

��𝝓

��𝒛

��𝝓

��𝜽��𝒓

Page 6: Vibration Mécanique

1. Rappel système de coordonnées 1.3. Elémentaire de déplacement, surface et volume

x y zdOP dxu dyu dzu

. . .ds dx dy dx dz dy dz d dxdydz

zdOP d u d u dzu

. . .ds d d d dz d dz . .d d d dz

Page 7: Vibration Mécanique

1. Rappel système de coordonnées 1.3. Elémentaire de déplacement, surface et volume

sinrdOP dru rd u r d u

2 sin . . .d r dr d d

2. sin . . sin .ds rdr d r dr d r d d

Page 8: Vibration Mécanique

1. Rappel système de coordonnées 1.3. Elémentaire de déplacement, surface et volume

sinrdOP dru rd u r d u

2 sin . . .d r dr d d

2. sin . . sin .ds rdr d r dr d r d d

Page 9: Vibration Mécanique

2. Éléments cinétiques des système matériels 2.1 Masse d'un système matériel

• Distribution discontinue de masse: • Distribution continue de masse:

i. Distribution volumique de masse: ii. Distribution surfacique de masse: iii. Distribution linéique de masse:

2.2 Centre de masse d'un système matériel• Définition de centre de masse:

i. Distribution discontinue de masse: ii. Distribution continue de masse :

Page 10: Vibration Mécanique

3. Moment d’inertie 3.1 Définition

• Moment d’inertie de masse par rapport à l’axe : • Moment d’inertie d’un système discontinue de masse , par rapport à

l’axe : • Moment d’inertie d’un système continue de masse , par rapport à l’axe

:

)

𝑟

Page 11: Vibration Mécanique

3. Moment d’inertie 3.2 Opérateur d’inertie

22

22 2 2

2 2 2

0A

; OA ; ( ) ( ) ( )

2 2 2

e [c:

.

]v

i

xx yy zz xy xz yz O

xx xy xz

xy yy yz

xz yz

I r dm u OA dm

xu y u OA z y z x x y

z

I I I I I I I u I u

I I I

I I I I

I I

:

zzI

)

0Nous obtenons: .[ ] I u I u

Page 12: Vibration Mécanique

3. Moment d’inertie 3.2 Opérateur d’inertie

𝑟

0

2 2

2 2

[ ] : ' '

( ) : le moment d'inertie par rapport à axe (Ox)

( ) : le moment d'in

Avec

ertie p

:

ar rapport

xx xy xz

xy yy yz

xz yz zz

xx

yy

I I I

I I I I Matrice d inertie ou opérateur d inertie

I I I

I y z dm

I x z dm

2 2

à axe (Oy)

= ( ) : le moment d'inertie par rapport à (Oz)

, , : le produit d'inertie

zz

xy xz yz

I x y dm

I xydm I xzdm I yzdm

Page 13: Vibration Mécanique

13

La matrice d’inertie dépend de l’origrne des axes du triedre choisi. Etudions l’influence d’une translation des axes de triedre initial Oxyz et le nouveau triedre O’x’y’z’ . En désignant par a, b, c les cordonnées de O’

3. Moment d’inertie 3.3 Théorème de Huygens-Schteiner

' ' '

' ' '

' ' '

2 2' '

On pose : ; ' et OO' OO' '

.( ) 2 ' 2xx x x

x x a x x ax aOA y O A y b OA O A y b y y b

z cz z c z z c

I I M b c b y dm c

' '

2 2' ' ' '

2 2' ' ' '

' . ' '

.( ) 2 ' 2 ' et . ' '

.( ) 2 ' 2 ' . ' '

xy x y

yy y y xz x z

zz z z yz y z

z dm I I M ab a y dm b x dm

I I M a c a x dm c z dm I I M ac a z dm c x dm

I I M a b a x dm b y dm I I M bc b z dm c y dm

Page 14: Vibration Mécanique

14

2 2' ' ' '

2 2' ' ' '

2 2' '

' 0

Si ' ' , d'autre part: 0 ' 0

' 0

.( ) .

.( ) et .

.( )

C

C

C

xx x x xy x y C C

yy y y xz x z

zz z z

x dmx aO C OO OC y b CAdm y dm

z c z dm

I I M b c I I M x y

I I M a c I I M x

I I M a b

' ' .C C

yz y z C C

zI I M y z

3. Moment d’inertie 3.3 Théorème de Huygens-Schteiner

Page 15: Vibration Mécanique

15

Le moment d'inertie d'un solide par rapport à une droite est égal à la somme du moment d'inertie par rapport à cette droite de la masse du solide concentrée au centre de masse C (Md2)et du moment d'inertie du solide par rapport à la droite parallèle passant par C (IC).

2 CI I md

2 2Par exemple: .( )xx Cx C CI I m y z

3. Moment d’inertie 3.3 Théorème de Huygens-Schteiner

Page 16: Vibration Mécanique

16

4. Quantité de mouvement• Pour un point matériel: la quantité mouvement du point A par

rapport à référentiel s’écrit:

/AP m

v• Pour un système matériel: la quantité mouvement d’un système

par rapport à référentiel s’écrit :

i ii

P m

v

( ) AmP dm

v

i. Système de masse discontinue

ii. Système de masse continue

( ) ( ) ( )( )A m Cm m

dOA d ddm P dm OAdm mOC mdt dt d

Pt

v v

Page 17: Vibration Mécanique

17

5. Moment cinétique • Pour un point matériel: le moment cinétique en point O de

du point A s’écrit:

/O AOA m v

• Pour un système matériel: le moment cinétique en point O de d’un système matériel s’écrit :

O i i ii

OA m v

( )O AmOA dm

vii. Système de masse continue

i. Système de masse discontinue

Page 18: Vibration Mécanique

18

• Si O’ est un autre point fixe de , on a une relation simple entre les moments cinétiques en O et O’

( ) ( )

( ) ( )

' '( )

' '

' '

'

' '

'

' '

v v

v v

v

v

O m m

m m

O

O C

O

O O

m

OA dm OO O A dm

OO dm O A dm

OO dm OO P

OO P OO M

Si O’ C

O C COC M v

5. Moment cinétique

Page 19: Vibration Mécanique

19

6.1 Définition: Le référentiel du centre de masse associé à * est le référentiel en translation par rapport à et tel que:

***

**/

* *

0

0 0

ASRR

dCA dP P v dm dm CAdmdt dt

P

CComme v

Le centre de masse C est fixe dans *

6. Référentiel du centre de masse

6.2 Quantité dans * :

Page 20: Vibration Mécanique

20

*

*

* * *

*

*

*

( ) ( ( ))

( )

( )

( ) ( ( ))

( )

,

C A A C

A C

C A

C A A C

A C

CA dm CA dm

CA dm CAdm

CA dm

CA dm CA dm

CA dm CAdm

car CA

C

Dans : v v +v

v v

Dans : v

Dans : v v +v

v v

* *

0

C A

dm

CA dm

C (m)Donc: = v

6. Référentiel du centre de masse

6.3 Moment cinétique dans *

Page 21: Vibration Mécanique

21

*/

O A

A A

OA dm

OA OC CA

(m)

C

v

Avec: v = v + v et

*

(

* *

( ( ( (

*

*

( ) ( )

: ,

O A Cm

A C Am m m m

C

O C

OC CA dm

OC dm OC dm CA dm CAdm

OC m

Donc OC m car

)

C) ) ) )

C

C C C

v v

v v v v

v

v

6. Référentiel du centre de masse

6.4 Théorème de Koenig

Page 22: Vibration Mécanique

22

7. Moment cinétique d’un solide en rotation

( )(m)

v O OA dm

Pour mouvement rotation:

C C

O OI

I

v OA

Page 23: Vibration Mécanique

8. Torseur dynamique

• Torseur dynamique est défini par :

( )

( )

:

:

)

Cv

O v

m

OA

D ad a résultante dynamique (quantité d'accélération)

N a d momnent de la résultante dynamique

(moment de la quantité d'accélération

23

OO

D

N

D

Page 24: Vibration Mécanique

9. Torseur cinétique • Torseur cinétique est défini par :

( )

( )

:Cv

O v

OO

P

m

OA

Ap v d v Résultante cinétique

v d : Moment cinétique

P

24

Page 25: Vibration Mécanique

10. Relation entre torseur cinétique et torseur dynamique

( ) ( )( (C O

C A Av vm m OA OA

t t t t

dv ddP da v et )d a )d

d d d d

O OO Ot t t

d PddPD et N Dd d d

ou

25

• En le point O est fixe dans R

• En le point O’ est mobile dans R

''( ) ( ) ( )

' ' ( )

(OA A A O Av v v

O O Av

t tm

d d O'A v )d O'A a d v v v dd d

N v v d

Page 26: Vibration Mécanique

10. Relation entre torseur cinétique et torseur dynamique

26

• En le point O’ est mobile dans R

''( ) ( ) ( )

' ' ( )

(OA A A O Av v v

O O Av

t tm

d d O'A v )d O'A a d v v v dd d

N v v d

'' '

ddPD et N v Pd d

OO Ot t

i) Si O’ C :d

Nd

CC t

ii) Si O’ est fixe : ''

dN

dO

O t

Page 27: Vibration Mécanique

11. Principe Fondamental de la Dynamique

• Enoncée: Le mouvement d’un système matériel (S) par rapport à un référentiel satisfait à l’équation torsorielle:

Oex O

Ft

d P

d

27

,

,

:

:

:

ex

ex OO ex

ex

O ex

FF

M

F

M

la torseur force des forcesextérieur

la résultante des forces extérieur

le momenten Odes forces extérieur

Page 28: Vibration Mécanique

Cas de O’ C ,

,O

ex O exFt t

ddP et Md d

, ','

'','

OO ex O ex exO

OO exO

Ft t

t

d dM OO' P M OO'd d

dv P M

d

,d

v P 0 Md

CC exC t

28

12. Théorèmes Généraux de la Dynamique12.1Théorèmes de la quantité de mouvement et du moment cinétique:

Page 29: Vibration Mécanique

Si autre point O’ est mobile dans , il vient:

Soit:

29

12. Théorèmes Généraux de la Dynamique12.2 Théorèmes de la somme dynamique et du moment dynamique :

,ex O exex C OOF m F

D a et N M

',' O ex exO F

N +OO' D M +OO'

',' O ex exO F

N M puisque D

En un point quelconque, mobile ou non, le moment dynamique est égal au moment des forces extérieur.

Page 30: Vibration Mécanique

,

,

:

:

Pour le point

Pour le point

dω M N

d

dω M

d

OO exO OO O

CC exC C C

I It

I It

O

C

30

12. Théorèmes Généraux de la Dynamique12.3 Cas particulaire d’un solide est en rotation

Page 31: Vibration Mécanique

31

13. Energie cinétique13.1 Définition

L’énergie cinétique d’un system matériel continu (S) en mouvement par rapport à un repère fixe R est défini par:

13.2 Théoreme Koënig à l’énergie cinétique

ù

2

O est l'énrgie cinétique de dans le référentiel du centre de masse

12

c

C c

d

cE m

E

v E

S

Page 32: Vibration Mécanique

32

14. Théorème de l’énergie cinétique14.1 Travail et puissance d’une force

Page 33: Vibration Mécanique

33

14. Théorème de l’énergie cinétique14.1 Théorème de l’énergie cinétique

• : Puissance fournie au système par les forces intérieures ; • : puissance fournie au système par les forces extérieures.

Page 34: Vibration Mécanique

2

2

0

02

0

1Si

1 1 1 E (v ) d v OA d OA v d 2 2

E = .

21 =

1= .

22

2

S S c

Ac A S S Av v v

U

S

ssu u II u

34

15. Energie cinétique d’un solide indéformable

15.1 Cas de solide (S) a un point fixe O dans

Page 35: Vibration Mécanique

Dans le référentiel du centre de masse, l’énergie cinétique s’écrit:

2

2

1 1 1 E = v + = P v

1 1 1 1 E v d v CA d

2

CA v d2 2 2 2

Comme

2 2

Ac A S S A C

c C C S C

Sv v v

C

S

C

CM

35

15. Energie cinétique d’un solide indéformable

15.2 Cas de solide (S) n’a pas un point fixe dans

Page 36: Vibration Mécanique

• Le nombre de degrés de liberté est égal au nombre de coordonnées qui représentent la position de m moins le nombre de liaisons• Il faut choisir une variable q pour repérer sa position. Cette variable est appelée coordonnée généralisée• Considérons le cas particulier d’une particule astreinte à se déplacer, sans frottement, surune courbe plane contenue dans le plan xOy.

- Soit la résultante de toutes les forces agissant sur la particule. La relation fondamentale de la dynamique s’écrit :

- Soitle travail fourni par la force lors d’un déplacement infinitésimal :

36

16. Méthode de Lagrange 16.1 Equations de Lagrange pour une particule

Page 37: Vibration Mécanique

- Le déplacement infinitésimal peut s’écrire en fonction de la variation q de la coordonnée généralisée q :

- Dans ce cas le travail peut se mettre la forme :- q-composante de la force:

- En tenant compte de la relation fondamentale de la dynamique, cette expression peut également s’écrire : -

37

16. Méthode de Lagrange 16.1 Equations de Lagrange pour une particule

Page 38: Vibration Mécanique

38

16. Méthode de Lagrange 16.1 Equations de Lagrange pour une particule

Page 39: Vibration Mécanique

39

16. Méthode de Lagrange 16.1 Equations de Lagrange pour une particule

Page 40: Vibration Mécanique

40

16. Méthode de Lagrange 16.1 Equations de Lagrange pour une particule

Page 41: Vibration Mécanique

41

16. Méthode de Lagrange 16.1 Equations de Lagrange pour une particule

Page 42: Vibration Mécanique

42

16. Méthode de Lagrange 16.2 Cas des systèmes conservatifs

Page 43: Vibration Mécanique

43

16. Méthode de Lagrange 16.2 Cas des systèmes conservatifs

Page 44: Vibration Mécanique

44

16. Méthode de Lagrange 16.3 Cas des forces de frottement dépendant de la vitesse

• Equation de Lagrange

Page 45: Vibration Mécanique

45

16. Méthode de Lagrange 16.3 Cas des forces de frottement dépendant de la vitesse

• Fonction dissipation

Page 46: Vibration Mécanique

46

16. Méthode de Lagrange 16.3 Cas des forces de frottement dépendant de la vitesse

• Fonction dissipation

Page 47: Vibration Mécanique

47

16. Méthode de Lagrange 16.4 Cas d’une force extérieure dépendant du temps

Page 48: Vibration Mécanique

48

16. Méthode de Lagrange 16.4 Cas d’une force extérieure dépendant du temps

Page 49: Vibration Mécanique

49

16. Méthode de Lagrange 16.5 Système à plusieurs degrés de liberté

Page 50: Vibration Mécanique

50

17. Oscillations libres17.1 Degrés de Liberté• Systèmes à un seul degré de liberté

Page 51: Vibration Mécanique

• Systèmes à deux degré de liberté

51

17. Oscillations libres17.1 Degrés de Liberté

Page 52: Vibration Mécanique

• Systèmes à trois degré de liberté

52

17. Oscillations libres17.1 Degrés de Liberté

Page 53: Vibration Mécanique

• Systèmes à multi degré de liberté

53

17. Oscillations libres17.1 Degrés de Liberté

Page 54: Vibration Mécanique

En général, un système vibrant est constitué :• élément de ressort: stocker l'énergie potentielle, • élément de masse ou de l'inertie: stocker l'énergie cinétique, et • élément d’amortissement: l'énergie est peu à peu perdu,

54

17. Oscillations libres17.2 Elémentaires de système de vibration

Page 55: Vibration Mécanique

55

• équivalente raideur de ressort

17. Oscillations libres17.3 élément de ressort

Page 56: Vibration Mécanique

56

• équivalente masse-exemple:

322 1 3 1

1 1

llx = x and x = xl l

eq 1x = x

2 2 2 21 1 1 11 1 2 2 3 3 eq eq2 2 2 2m x m x m x m x

2 232

eq 1 2 31 1

llm m m ml l

17. Oscillations libres17.4 élément de de masse

Page 57: Vibration Mécanique

57

• L'amortissement visqueux:Sur la base de fluide visqueux s'écoulant à travers l'orifice ou fente. La force d'amortissement vitesse relative entre les extrémités

• Coulomb (frottement sec) d'amortissement:

Basé sur le frottement entre les surfaces non lubrifiéesLa force d'amortissement est constante et opposée à la direction de déplacement

17. Oscillations libres17.5 élément d’amortissement

Page 58: Vibration Mécanique

58

L'équation différentielle de mouvement est  :

20 0x x

0 00

2 est la ,et T la pulsation propre période propre

Solution générale : cos( )x A t

17. Oscillations libres17.6 Vibration libres non amorties du système translation

Page 59: Vibration Mécanique

Une masse fixée à l'extrémité de l'arbre est un système simple torsion. La masse de l'arbre est considéré comme faible par rapport à la masse du disque et est donc négligée.

59

Le couple qui produit torsion est donnée par :Mt= kt , kt est raideur de torsion Par le théorème du moment cinétique:

0G tI k

0 0 00

0

cos( ) sin( ) ,solution: (t)=

avec t

G

t t

kI

17. Oscillations libres17.6 Vibration libres non amorties du système torsion

Page 60: Vibration Mécanique

60

• L'équation différentielle du mouvement:

La force d'amortissement visqueux est proportionnelle à la vitesse de de la masse et

agissant dans le direction opposée à la vitesse de la masse et peut être exprimé comme

où c est la constante d'amortissement ou le coefficient d'amortissement visqueux

L'équation différentielle du mouvement:

2 20 02 0 , avec = et

2c kx x xm m

17. Oscillations libres17.6 Vibration libres amorties avec amortissement visqueux

𝑇𝑒𝑙𝑠 𝑞𝑢𝑒{ 𝜆= 𝑐2𝑚

[ 𝑠− 1 ] :𝐹𝑎𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟 𝑑′ 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑠𝑚𝑒𝑛𝑡 .

ξ= 𝜆𝜔0

(𝑠𝑎𝑛𝑠𝑢𝑛𝑖𝑡 ) :𝑅𝑎𝑝𝑝𝑜𝑟𝑡 𝑑 ′𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑠𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡

Page 61: Vibration Mécanique

61

• Solutions générale 20

2 20

2 20

2 0

L'équation caractéristique: 2 0

'=

x x x

r r

0

2 2 20

(i) si ' < 0 < (0 1) : faiblement amorti

Poson La solution s'écrit:

( ) cos( )

ou bien: ( ) Acos( ) sin ( )

t

t

x t ae t

x t e t B t

17. Oscillations libres17.6 Vibration libres amorties avec amortissement visqueux

Page 62: Vibration Mécanique

62

1 2

0

1 2 0

1 2

0

2 20

1 2

(ii) si ' 0 ( 1) : amortissement critique

La solution s'écrit: ( ) (C +C t)

(iii) si ' > 0 > ( >1): fortement amorti

Posons

La solution s'écrit: ( )

t

r t r

r r

x t e

x t C e C e

2 2 2 20 0

1 2t tt te C e C e

17. Oscillations libres17.6 Vibration libres amorties avec amortissement visqueux

• Solutions générale

Page 63: Vibration Mécanique

63

17. Oscillations libres17.6 Vibration libres amorties avec amortissement visqueux

• Graph

n

2

d

2

Overdamped ( 1) Underdamped ( 1)

Underdamped ( 0 )

Criticallydamped ( 1)

Page 64: Vibration Mécanique

• Décrément logarithmiqueDéfinition : C’est le logarithme du rapport de 2 amplitudes successives des oscillations amorties.

64

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 2 4 6 8 10

t1t2

x1

x2

d

17. Oscillations libres des systèmes à un degré de liberté17.6 Vibration libres amorties avec amortissement visqueux

Page 65: Vibration Mécanique

Décrément logarithmique

65

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 2 4 6 8 10

t1 t2

x1

x2

d

1

2

1

1

t0 11

2 1 1t2 0 2

2 1 1t

1t

2

1

2

X e cos( t )x 2, Laisser t t tx X e cos( t )

cos( t ) cos( 2 t ) cos( t )

x eet ex e

xlnx

Page 66: Vibration Mécanique

66

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Time [s]

Am

plitu

de [m

]

x1

x2

Xm+1

j3 m1 1 2

m 1 2 3 4 m 1 j 1

m m1 1

m 1 m 1

xx xx x x .... , mais ex x x x x x

x x1e e , Donc: lnx m x

Page 67: Vibration Mécanique

Exemple(4)

67

Trouver la réponse du système représenté à la droite si le bloc est tiré vers le bas par 15 cm etreste sous forme libérée

Ré.:

Page 68: Vibration Mécanique

Vibration libres amorties avec amortissement Coulomb

68

Case 1. Case 2.

Page 69: Vibration Mécanique

69

Page 70: Vibration Mécanique

70

Page 71: Vibration Mécanique

71

Page 72: Vibration Mécanique

72

Page 73: Vibration Mécanique

73

Page 74: Vibration Mécanique

82

Régime pseudo-périodique : amortissement faible (suite)

La constante de temps

Quelque soit le type de régime, l'amortissement des oscillations dépend du terme exponentiel e−λt , λ est appelée constante d'amortissement . Nous appelons constante de temps τ , l'intervalle de temps telle que

La pseudo-période

Nous pouvons en déduire l'expression mathématique de la pseudo-période T′

ou

Page 75: Vibration Mécanique

83

Régime pseudo-périodique : amortissement faible (suite)

La constante de temps

Quelque soit le type de régime, l'amortissement des oscillations dépend du terme exponentiel e−λt , λ est appelée constante d'amortissement . Nous appelons constante de temps τ , l'intervalle de temps telle que

La pseudo-période

Nous pouvons en déduire l'expression mathématique de la pseudo-période T′

ou

Page 76: Vibration Mécanique

Graphique

84

Page 77: Vibration Mécanique

Aspects énergétiques

85

Il va y avoir obligatoirement par la présence de la force de frottement qui est une force à travail non conservatif et résistant, une diminution de l'énergie mécanique de l'oscillateur harmonique amorti. Pour étudier cela, nous allons nous limiter à l'étude du cas où nous avons des oscillations donc au régime pseudo-périodique. Dans ce cas nous avons vu que l'élongation et la vitesse ont les expressions suivantes en fonction du temps :

Nous allons en déduire les expressions respectives en fonction du temps de l'énergie cinétique, de l'énergie potentielle et de l'énergie mécanique.

Page 78: Vibration Mécanique

Energie cinétique

86

Page 79: Vibration Mécanique

Cas d'un amortissement très faible

87

Lorsque l'action de la force de frottement est très faible, nous

savons que λ ω≪ 0 donc que Il s'en suit que T′ T≃ 0 et ω′ ω≃ 0. Nous pouvons donc recalculer l'énergie mécanique de l'oscillateur dans cette situation en simplifiant son expression en tenant compte de l'amortissement très faible.

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L'oscillateur harmonique en régime forcé

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Ceci rend très important l'étude de l'excitation sinusoïdale,la force dans ce cas, prend la forme suivante :

Equation du mouvement :

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L'oscillateur harmonique en régime forcé (suite)

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Résolution de l'équation différentielle

x(t) = xH(t) + xP (t)• xH(t) : la solution générale de l'équation différentielle sans second membre (appelée aussi équation homogène), et une deuxième xP (t), qui est une solution particulière de l'équation complète.• xH(t) = e-t ×(C.sin(’t)+D.cos(’t)): régime transitoire xP (t)= A.cos( t +) : régime forcé ou régime permanent

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L'oscillateur harmonique en régime forcé (suite)

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Détermination de la solution forcée en utilisant les nombrescomplexes

Nous pouvons montrer en mathématiques que si une solution xP (t) en cosinus, comme celle qui est écrite précédemment, est une solution particulière de l'équation différentielle d'intérêt alors une solution en Asin(Ωt + ϕ) est aussi une solution particulière possible de l'équation différentielle avec un second membre changé en F/msin(Ωt). Donc un nombre complexe, de la forme suivante A×(cos(Ωt+ϕ)+i sin(Ωt+ϕ)), sera lui solution de l'équation différentielle suivante :

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L'oscillateur harmonique en régime forcé (suite)

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Détermination de la solution forcée en utilisant les nombrescomplexes

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Etude du régime permanent : phénomène de résonance en amplitude

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Nous avons :

Pour que cette dérivée soit nulle, il sut donc que:

2 2 2 2 20

0

ou 2 0 2 r

(pulsation de résonance)

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Etude du régime permanent : phénomène de résonance en amplitude

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Nous l'appellerons la condition de résonance en amplitude.

00 2r

Si nous définissons cette grandeur en fonction de Q et ω0, nous obtenons

La condition de résonance devient

avec on appelle le facteur de qualité

Notion de résonance en amplitude du mouvement

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Etude du régime permanent : phénomène de résonance en amplitude

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Caractérisation physique de la résonance en amplitudeNous pouvons maintenant calculer la valeur de l'amplitude lorsque la pulsation de l'excitateur est effectivement égale à la pulsation de résonance:

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Etude du régime permanent : phénomène de résonance en amplitude

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Caractérisation physique de la résonance en amplitude (suite)Ensuite, en sortant de la racine 2λ, nous obtenons

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Résonance en vitesse

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Détermination de la vitesse

Nous allons aussi calculer la vitesse de l'oscillateur en régime forcé. A partir de l'expression complexe de l'amplitude xP(t), il est très simple de calculer une expression complexe de la vitesse, en effet nous avons obtenu :

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Résonance en vitesse

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Détermination de la vitesse (suite)

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Résonance en vitesse

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Phénomène de résonance en vitesse

L'amplitude maximale de la vitesse obtenue à la résonance est :

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Impédance mécanique

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Sous l'effet d'une cause excitatrice, la force excitatrice, l'effet produit est le mouvement de l'oscillateur à la vitesse V P (t), nous appelons impédance mécanique d'un oscillateur, le rapport cause sur effet, donc le rapport de l'amplitude complexe de la force excitatrice

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Conséquences pour l'énergie mécanique de l'oscillateur harmonique

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Expression de la puissance moyenne absorbée par l'oscillateur

La puissance instantanée absorbée par l'oscillateur et fournie par l'excitateur est donc :

Nous pouvons obtenir l'expression de cette puissance instantanée en remplaçant Fexc(t) par

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Conséquences pour l'énergie mécanique de l'oscillateur harmonique

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Expression de la puissance moyenne absorbée par l'oscillateurNous calculons alors la moyenne de P(t) sur une période T de l'excitateur :

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Bilan énergétique

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Nous pouvons étudier différemment cet aspect en passant par le théorème de l'énergie cinétique :

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17. Oscillations libres des systèmes à un degré de liberté17.1 Oscillations non amortizes17.1.1 Oscillateur linéaire

Un système oscillant à un degré de liberté est habituellement repéré à l’aide d’une coordonnéegénéralisée q qui est l’écart par rapport à la position d’équilibre stable. Le mouvement vibratoireest dit linéaire s’il est régi par une équation différentielle harmonique de la forme :

Cette équation est appelée équation différentielle de l’oscillateur harmonique simple.

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17. Oscillations libres des systèmes à un degré de liberté17.1 Oscillations non amortizes17.1.2 Energie cinétique

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17. Oscillations libres des systèmes à un degré de liberté17.1 Oscillations non amortizes17.1.3 Energie potentielle