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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA.

UNIVERSIDAD DEL ZULIA.

NUCLEO COSTA ORIENTAL DEL LAGO.

PROGRAMA DE INGENIERIA

CÁTEDRA: DINAMICA

VIBRACIONES MECANICAS Y DINAMICA DE SISTEMAS DEFORMABLES

Bachilleres:

Dicnorimar Cedeño CI: 21.211.003

Edmundo Estrada CI: 23.514.813

Herling Azuaje CI: 21.211.261

Andrea Sáez CI: 20.706.799

Diego Gil CI: 21.187.749

Profesor:

Ing. José Perozo

Cabimas, Noviembre de 2012

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INDICE DE CONTENIDO

INTRODUCCIÓN

1. VIBRACIONES MECANICAS

1.1 Vibraciones libres no amortiguadas

1.2 Vibraciones libres con amortiguamiento viscoso

1.3 Vibraciones forzadas no amortiguadas

1.4 Vibraciones forzadas con amortiguamiento viscoso

2. DINAMICA DE SISTEMAS DEFORMABLES

2.1 Corriente estacionaria de partículas

2.2 Aplicación del principio del movimiento estacionario

2.3 Sistemas que ganan o pierden masa

CONCLUSIONES

ÍNDICE DE REFERENCIAS

BIBLIOGRAFIA

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INTRODUCCION

Las vibraciones mecánicas se refieren a la oscilación de un cuerpo o un

sistema mecánico alrededor de su posición de equilibrio. Algunas vibraciones son

deseables, como por ejemplo el movimiento pendular que controla el movimiento

de un reloj, o la vibración de una cuerda de un instrumento musical. En cambio en

muchas aplicaciones mecánicas no se desea la presencia de las vibraciones. Así

por ejemplo la vibración excesiva de máquinas y estructuras puede ocasionar que

se aflojen las uniones y las conexiones llegando en algunos casos a producir el

colapso de la estructura.

El estudio de las vibraciones es muy amplio de tal manera que existe un

conjunto de publicaciones e investigaciones destinados al tema. Nuestra intención

en este trabajo es presentar los principios básicos de las vibraciones que deben

ser entendidos por los alumnos de ciencias e ingeniería y que sirven de base para

el estudio de otros cursos de su especialidad.

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Vibraciones Mecánicas

1.1 Vibración Libre No Amortiguada.

El movimiento vibratorio o vibración es la variación o cambio de

configuración de un sistema en relación al tiempo, en torno a una posición de

equilibrio estable, su característica fundamental es que es periódico, siendo

frecuente el movimiento armónico simple, por lo que este movimiento adquiere

una singular importancia en los estudios vibratorios.

El modelo más simple y probablemente uno de los más importantes en el

estudio de las vibraciones mecánicas es el de un sistema vibratorio de un grado

de libertad sujeto a vibración libre no amortiguada.

  El sistema está formado por una masa y un resorte, la masa permite

almacenar energía potencial y energía cinética mientras que el resorte permite

almacenar energía potencial debida a la deformación del resorte, la vibración libre

de este sistema vibratorio puede interpretarse como el resultado del intercambio

de la energía entre estos dos elementos.

Las suposiciones de este modelo son:

La masa del sistema es constante y totalmente rígida, se denomina M.

El resorte es lineal y de masa despreciable, por lo tanto es posible describir

el resorte mediante una ´única constante, denominada la constante del

resorte, k. De manera que la relación entre la fuerza y la deformación del

resorte está dada por F = k δ, (1) donde F es la fuerza del resorte y δ es la

deformación del resorte.

No hay amortiguamiento presente en el sistema.

El movimiento de la masa es translación rectilínea.

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Ecuación del Movimiento Libre no Amortiguado

La fig. 1 Muestra este modelo un sistema de masa ‘m’ y una constante elástica

‘k’ vamos a realizar un estudio estático y cinético con el fin de determinar la

ecuación diferencial que determinara el movimiento posteriormente veremos la

solución de la ecuación diferencial para ver la respuesta en el tiempo del sistema

así como la fórmula que determina el cálculo de la frecuencia natural.

Fig. 1 modelo típico de un sistema libre no amortiguado.

Supongamos tres casos como se muestra en la figura 1.1

En la figura 1.1 (a) se tiene el resorte sin deformar, posteriormente se

coloca una masa ‘m’ y el resorte sufre una deformación Xs que llamaremos

deformación estática; de aquí la ecuación

Fk=k . Xs

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Fig. 1.2 diagrama de cuerpo libre, análisis estático.

El diagrama de cuerpo libre estático nos rebela que

∑ Fy=0

m .g−k . Xs=0

m .g=k . Xs (ec.1)

Ahora imaginemos que estiramos la masa una distancia X y luego lo

soltamos y aquí comenzamos hacer el análisis.

 La figura 1.3 nos muestra el diagrama de cuerpo libre como consideramos

X + 1 por lo tanto x y x serán positivos hacia abajo.

Utilizando la 2da ley de Newton

∑ Fy=∑ Fy efect=m. x

m .g−k . Xs=m. x (ec.2)

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Como k . t=Xs+x la ecuación 2 se convierte en:

Mg−k . Xs−k . x=m. x (ec.3)

Utilizando la ecuación 1 como en la ecuación 3 aparecen como constantes

se pueden eliminar, por lo tanto:

Mx+k . x=0 (ec.4)

A la ecuación 4 se le conoce como la ecuación diferencial del movimiento

de un sistema libre no amortiguado.

1.2 Vibraciones Libres con Amortiguamiento viscoso

En todos los movimientos oscilantes reales, se disipa energía mecánica

debido a algún tipo de fricción o rozamiento, de forma que dejado libremente a sí

mismo, un muelle o péndulo finalmente deja de oscilar. Este movimiento se

denomina amortiguado y se caracteriza porque tanto la amplitud como la energía

mecánica disminuyen con el tiempo.

La ecuación diferencial que describe el movimiento es:

mx ' '+c x '+kx=0

La ecuación característica es 

mr2+cr+k=0, cuyas raíces son:

r=−cm

±√( c2m )

2

− km

Se presentan tres casos posibles:

.- Amortiguamiento supercrítico:

c2

4m2 >km→c>2√km

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Las raíces r1 y r2 son reales y distintas. La solución de esta ecuación,

amortiguada pero no armónica, es de la forma:

X=C1 er1 t+C 2e

r2 t

Donde  C1 y C2 son las constantes de integración. El sistema no oscila,

simplemente vuelve a la posición de equilibrio, cuanto mayor es el

amortiguamiento, más tiempo tarda el sistema en alcanzar la posición de

equilibrio.

- Amortiguamiento crítico:

c2

4m2 =km⟹c=2√km=ccr

La raíz de la ecuación característica es doble e igual a  

r=−ccr2m

La solución, amortiguada pero no armónica, es de la forma:

X=e−c cr2m

t(C1+C2t )

El sistema vuelve a la posición de equilibrio en el tiempo más breve posible

sin oscilación. El amortiguamiento crítico tiene una importancia especial porque

separa los movimientos aperiódicos (no oscilatorios) de los oscilatorios

amortiguados. Es decir, el valor crítico es la menor cantidad de amortiguamiento

para que el sistema no oscile. En muchas aplicaciones prácticas se utiliza un

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amortiguamiento crítico, o próximo al crítico, para evitar vibraciones y conseguir

que el sistema alcance el equilibrio rápidamente.

- Amortiguamiento subcrítico:

c2

4m2 <km⇒ c<2√km

La frecuencia de la vibración amortiguada es:

ωn=√ km

−( c2m )

2

La solución es de la forma:

X=ae−c2m t

sen (ωnt+φ )

Ejemplo 1

Un carrito que pesa 50 N está unido a tres resortes y rueda sobre un plano

inclinado como se ve en la figura 21-10ª. Las constantes de los resortes k1=k2=83

N/m y k3=25 N/m. Si se desplaza el carrito

hacia arriba del plano inclinado una

distancia de 75 mm a partir de una

posición de equilibrio y se suelta con una

velocidad inicial de 375 mm/s hacia la

parte superior del plano cuando t=0.

Determinar:

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1. El período tn, la frecuencia fn y la pulsación wn de la vibración resultante.

2. La posición del carrito en función del tiempo.

3. La amplitud A de la vibración resultante.

Solución:

1. En la figura 21-10b puede verse el diagrama de sólido libre del carrito, en el

cual la coordenada x mide la posición del mismo a lo largo del plano inclinado,

siendo x=0 para la posición del equilibrio. En esta posición (antes de haber

perturbado al carrito), las fuerzas de los resortes son proporcionales a sus

deformaciones. F1=k1δeq1 , F2=k2 δeq2 y F3=k3 δeq3 con lo que el equilibrio da:

k1δeq1 + k2 δeq2 - k3 δeq3 – mg sen15° = 0

Como no se sabe cuánto se han alargado o comprimido los resortes antes de

unirlos al carrito, no es posible determinar los valores de las deformaciones

estáticas δeq1, δeq2, δeq3. No obstante, la ecuación a da una relación entre las

deformaciones estáticas y el peso del carrito.

Cuando el carrito se encuentre en una posición x arbitraria (positiva) estará

reducido el alargamiento de los resortes 1 y 2

(F1=k1 [δeq1 - x ] y F2=k2 [ δeq2 – x ])

y se habrá aumentado el alargamiento del resorte 3 (F3=k3 [δeq3 + x ]). Por

tanto, la segunda ley de Newton∑ Fx=mx da:

k1 (δeq1 – x) + k2 (δeq2 –x) + k3 (δeq3 + x) – mg sen15° = mx

(k1δeq1 + k2 δeq2 - k3 δeq3 – mg sen 15°) – (k1 + k2 - k3 ) x = mx

Ahora bien, la cantidad entre paréntesis primera es nula en virtud de la

ecuación a, por lo que la ecuación diferencial del movimiento se reduce a:

mx + (k1 + k2 - k3 ) x = 0

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x + 81.62x = 0

Luego, la pulsación propia, la frecuencia propia y el período son:

Wn = √81.62 = 9.034 rad/s

Fn = wn2π = 1.438 Hz

tn = 1fn = 0.695 s

2. El desplazamiento y la velocidad del carrito se pueden escribir en la forma:

X(t) = B cos 9.034t + C sen 9.034t

X(t) = -9.034B sen 9.034t + 9.034C cos 9.034t

Pero en t=0, x=B=75mm y x=9.034=375mm/s. Por tanto B=75mm y C=41.5mm y

será:

X(t) = 75 cos 9.034t + 41.5 sen 9.034t

En la figura 21.10c se ha representado esta solución.

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De otra manera, la posición y la velocidad del carrito se pueden escribir en

la forma:

X(t) = A cos (9.034 - ∅ c)

X(t) = 9.034 A sen (9.034t - ∅ s)

Y aplicando las condiciones iniciales X(0)= A cos ∅ c = 75mm y x(0) = -

9.034(-sen ∅ c) = 375mm/s se tiene A=87.5mm y ∅ c=28.96°= 0.505rad. Por tanto,

la ecuación que describe la posición del carrito será:

X(t) = 87.5 cos(9.034t – 0.505) mm

El desplazamiento y la velocidad del carrito también podrían escribirse en la

forma:

X(t) = A sen (9.034 - ∅ s)

X(t) = 9.034 A cos (9.034t - ∅ c)

En tal caso, aplicando las condiciones iniciales X(0)= A (-sen ∅ s) = 75mm y

x(0) = -9.034 cos ∅ s = 375mm/s se tiene A=87.5mm y ∅ s=-61.03°= -1.065rad. Por

tanto, la ecuación que describe la posición del carrito será:

X(t) = 87.5 sen(9.034t – 1.065) mm

(La solución descrita por estas dos ecuaciones es exactamente la misma que

se representa en la figura 21-10c. Las fases iniciales ∅ c=0.505 rad y ∅ s=-1.065

rad también se indican en la figura 21-10c.)

3. Como el valor máximo de la función coseno es 1, la amplitud de la vibración

es: A = 87.5 mm

Ejemplo B

Un bloque de 4 kg. de masa se mueve entre guías verticales suspendido

por dos muelles iguales de constante recuperadora elástica K1 = K2 = 50 N/m,

como se indica en la figura.

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Calcular:

a) Ecuación de las pequeñas oscilaciones del sistema.

b) Periodo y frecuencia del movimiento resultante.

c) Velocidad y aceleración máxima del bloque si la amplitud del movimiento

es a=60 mm.

Solución:

a) Los muelles están asociados en paralelo y oscilan con vibración libre sin

amortiguamiento de acuerdo a la ecuación:

mx ' '+k p x=0 ;4 x' '+100 x=0 ; x' '+25x=0

k p=k1+k 2=100 Nm

a) La frecuencia natural y el periodo son:

= W n=√ km

=5 rads

; T=2πW n

= 2π5

=1,25 s

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b) La velocidad máxima del bloque para una amplitud de a=60 mm es:

xmax' =aW n=0,3m

s

Y la aceleración máxima es:

xmax' =aW n

2=1,5

ms2

1.3 Vibraciones Forzadas sin Amortiguamiento.Para mantener un sistema oscilando es necesario suministrar energía al

sistema, cuando esto se lleva a cabo se dice que la vibración es forzada. Si se

introduce energía en el sistema a un ritmo mayor del que se disipa, la energía

aumenta con el tiempo, lo que se manifiesta por un aumento de la amplitud del

movimiento. Si la energía se proporciona al mismo ritmo que se disipa, la amplitud

permanece constante con el tiempo.

La ecuación diferencial del movimiento, teniendo en cuenta que la fuerza es

de tipo periódico, es:

mx } +kx=F= {F} rsub {0} cos {ωt¿

Donde  F0  es la amplitud y w la frecuencia de la fuerza excitadora.

La solución general de la ecuación diferencial se obtiene añadiendo a la

solución general de la homogénea una solución particular de la completa:

(X=Xh+X p )

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La ecuación característica es mr 2 + k = 0, las raíces de esta ecuación son

imaginarias

Conjugadas:

r=±√ kmi p

 La solución general de la homogénea es:

X h=asen (ωn t+φ )

Así, la solución general tiene por expresión:

X=acos (ωn t+φ )+

F0

k

1−ω2

ωn2

cosωt

1.4 Vibraciones Forzadas con amortiguamiento viscoso.La ecuación diferencial del movimiento, teniendo en cuenta que la fuerza es

de tipo periódico, F F t 0 senw, es de la forma:

mx''+cx'+kx+ =F

La ecuación característica correspondiente a la ecuación diferencial

homogénea es mr2 + cr + k = 0. Se supone amortiguamiento inferior al crítico para

que resulte una vibración, la solución general se obtiene añadiendo a la solución

de la ecuación diferencial de la homogénea una solución particular de la

completa   (x = xh +xp)

Resultando:

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X=ae−c2m t

sen (ωnt+φ )+A sen (ωt−θ )

Esta solución consta de dos partes, una solución transitoria, en la que el

primer término  (xh), al cabo de un tiempo generalmente breve, se reduce a un

valor despreciable, y la solución estacionaria ( xp),  en la que el sistema oscila con

frecuencia w , amplitud A constante y desfase Q cuyas expresiones son:

Resolución de la Ecuación del MovimientoEn este caso consideramos que sobre la masa m actúa una fuerza externa

ƒ(t), además de las fuerzas internas antes descritas correspondientes al muelle y

al amortiguador.

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Oscilador simple con amortiguamiento sometido a fuerza externa.

La ecuación es ahora:

mx ´ ´+cx´+kx=f (t)

Al incluir el termino independiente f(t) la ecuación diferencial deja de ser

homogénea. Esto da lugar a una estructura de la solución distinta, como se ve a

continuación

 Integración de la Ecuación.mx2 ´ ´+c x ´2+x2= f (t)

mx1 ´ ´+c x´1+1=f (t )

Restando término a término se obtiene:

m (x¨ 2−x ´ ´ 1)+c (x ´2−x ´1 )+k (x2−x1 )=0

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Por tanto su diferencia, xh(t) = x2(t) - x1(t), es solución de la ecuación

homogénea. Esto nos sirve para poder expresar la solución general de la completa

como una solución particular de la misma, que hallaremos por cualquier

procedimiento, más la solución general de la homogénea que ya sabemos

calcular: x (t )=xh (t )+x p(t )

Para el estudio de estos sistemas será tomado como modelo el sistema

masa resorte con amortiguamiento mostrado en la siguiente figura al que se le

aplicará una fuerza externa excitadora. De esta forma la ecuación que caracteriza

el comportamiento dinámico del sistema estará dada por una ecuación diferencial

de segundo grado no homogénea como sigue:

De donde se tiene que:

Donde, 

                              

Es el coeficiente de amortiguamiento del sistema con  vibraciones forzadas.

 El efecto del amortiguamiento provoca que la oscilación propia del sistema

se anule después de cierto período de tiempo quedando sólo la acción de la

fuerza excitadora estable.

El término transitorio tendrá un comportamiento caracterizado por la

relación entre las fuerzas elásticas y las fuerzas amortiguadoras del sistema, como

ya es conocido.

La ecuación anterior  será resuelta considerando las dos partes que la

integran. La parte homogénea quedará igual a la ecuación característica de los

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sistemas con oscilaciones libres amortiguadas y la solución particular de la no-

homogénea establecerá el término periódico.

La solución de la ecuación no homogénea puede obtenerse suponiendo

que la respuesta del sistema y la fuerza excitadora tienen las siguientes

expresiones.

Sustituyendo las igualdades anteriores en la ecuación inicial  se obtiene el

siguiente resultado:

Despejando la amplitud de la ecuación principal se tendrá que:

Donde ϕ representa el ángulo de fase entre la respuesta del sistema y la

fuerza excitadora, e igual a:

Así la solución de la parte no homogénea de la ecuación diferencial

quedará expresada mediante la siguiente ecuación:

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Representación en forma compleja del  movimiento armónico forzado

Si se divide la respuesta del sistema respecto al término que representa a la

fuerza excitadora, la expresión que se obtiene corresponderá a la de la función

respuesta del sistema en donde la fuerza excitadora es considerada unitaria. En

este caso la amplitud toma características de factor de ganancia o de

magnificación.

Luego la solución de la ecuación del movimiento para los sistemas

amortiguados con vibración forzada, dada por la ecuación diferencial de segundo

orden no homogéneo, será igual a:

21

22

23

2. DINAMICA DE SISTEMAS DEFORMABLES

2.1 Corriente estacionaria de partículas

El conocimiento de las fuerzas que una corriente estacionaria de fluido ejerce

sobre las paletas de una turbina o de un ventilador es importante en el análisis de

muchas maquinas. El análisis completo de tal problema corresponde a un curso

de Mecánica de fluidos.

Consideremos el problema de hallar la fuerza que se ejerce sobre un codo

reductor de una tubería cuando lo atraviesa una corriente estacionaria de

partículas, como se indica en la figura 19-26. El fluido penetra en el codo con

cierta velocidad V1, cierta presión p1 y una densidad (masa por unidad de

volumen) p1 que se suponen constantes en toda en toda la sección de admisión

de área---. El fluido abandona luego el codo a una velocidad---. Presión--- y

densidad--- también constantes en toda la sección de admisión de área A1. Las

partículas abandonan luego el codo con una velocidad v2, presión p2 y densidad p2

también constantes en toda la sección de salida del área A2. El flujo se supone

estacionario; es decir, en el interior del codo no se produce ningún aumento ni

disminución del fluido. Por lo tanto, la masa de fluido que abandona el codo por

unidad de tiempo es igual a la que penetra en el por unidad de tiempo.

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Se ha dibujado un volumen de control que encierra una región de fluido

limitada por la superficie sobre la cual se ejerce la fuerza que buscamos y

superficies sobre las cuales se ejercen fuerzas conocidas o que se pueden

determinar. Además, las superficies que limitan el volumen de control se eligen de

manera que el flujo de fluido que las atraviese por unidad de tiempo sea o bien

nulo o bien conocido o fácil de determinar. El sistema de partículas encerradas en

el volumen de control constituye un sistema de masa variable, ya que

continuamente ganan partículas que penetran en el mientras pierde un número

igual de partículas que de él salen.

Para tener un sistema fijo de puntos materiales al cual sean aplicables los

teoremas mencionados, consideremos el sistema de partículas ampliado

representado en la figura 19-27a. Este sistema consta de partículas existentes en

el instante t en el volumen de control (cuya masa total es m1) más las partículas

que penetraran en el volumen de control en un intervalo de tiempo (cuya total

es ). Como todas las partículas que se hallen a una distancia de la sección de

admisión no superior a penetraran en el codo en el tiempo , el volumen

de la región adicional es . Entonces, la masa total de este grupo de

partículas ampliado será:

(19-24)

En el instante , este mismo grupo de partículas ocupara la región que se

indica en la figura 19-27b. Esta región consta de las partículas existentes en el

volumen de control original en el instante (cuya masa total es ) más las

que han salido del volumen de control durante el tiempo (cuya masa total es

). La masa del sistema fijo de partículas vendrá ahora dada por

(19-25)

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Ahora bien, por hipótesis de flujo estacionario la masa de las partículas en el

interior del volumen de control es siempre la misma; es decir, . Por tanto,

combinando las ecuaciones 19-24 y 19-25 tendremos, en el límite, cuando

(19-26)

que confirma lo antes dicho de que la masa de fluido que sale por unidad de

tiempo del codo es exactamente igual a la que penetra en el por unidad de tiempo.

Lo que verifica nuestra anterior aseveración de que tanto fluido como sale del

codo penetra en el en el mismo tiempo.

La ecuación 19-26 expresa el principio de conservación de la masa. Los

términos de la ecuación representan la masa que circula por unidad de tiempo

, tanto penetrando como saliendo del volumen de control. En el sistema de

unidades SI se mide en kg/s. El el U.S. Customary system se expresa en

slug/s=lb.s/ft. En el caso de flujo de fluidos incomprensibles (fluidos en que la

densidad es constante) así como en otros flujos de densidad constante, en vez de

la masa que circula por unidad de tiempo se utiliza el caudal o volumen que circula

por unidad de tiempo

(19-26)

26

El caudal se mide en m3 en el sistema SI y en ft3 el U.S. Customary system. En

el instante t, el sistema fijo de partículas antes identificado tiene una cantidad de

movimiento

Donde ( ), es la cantidad de movimiento de todas las partículas del volumen de

control en el instante t y , el mismo sistema de partículas tendrá una cantidad

de movimiento

Pero como el flujo es estacionario, y la cantidad de movimiento

(ec. 19-26)

da en el límite cuando

O sea:

(19-27)

Donde es la suma de todas las fuerzas exteriores que se ejercen sobre el

sistema de partículas interiores al volumen de control.

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En la ecuación 19-27 es importante incluir todas las fuerzas exteriores que se

ejercen sobre el sistema de partículas interiores al volumen de control. Por tanto,

el trazar un diagrama de solido libre correcto es tan importante en estos problemas

de flujo de fluidos como en cualquier otro problema referente a un punto material o

a un cuerpo rigido. Por lo que respecta al diagrama de solido libre del volumen de

control (fig. 19-28).

Donde F, es la fuerza que ejerce el codo de la tubería sobre el fluido del

volumen de control (el fluido ejercerá sobre el codo una fuerza igual o opuesta); W

es el peso del fluido del volumen de control; son los vectores unitarios

normales hacia afuera de las secciones de áreas , respectivamente y

son las fuerzas que, sobre el fluido del volumen de control, ejercen

las porciones de fluidos contiguas.

Se puede obtener un resultado análogo utilizando el teorema del momento

cinético. Tomando los momentos cinéticos y los momentos de todas las fuerzas

exteriores respecto a un punto fijo O (o respecto al centro de masa G), tenemos

(19-28)

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Donde es la suma de los momentos de todas las fuerzas

exteriores que se ejercen sobre el fluido interior al volumen de control y son

los vectores de posición de los centros de las secciones , respectivamente.

Los momentos cinéticos y los momentos de todas las fuerzas deben calcularse

respecto a un mismo punto fijo O (respecto al centro de masa G)

Ejercicios.

1.- Medida del coeficiente de viscosidad. Una placa metálica cuya área es igual a

0.15 m2 se conecta a una masa de 8.0 g por medio de una cuerda que pasa sobre

una polea ideal (cero masa y sin fricción), como en la figura. Un lubricante que

tiene un espesor de película de 0.30 mm es colocado entre la placa y la superficie.

Cuando se suelta, la placa se mueve hacia la derecha con una velocidad

constante de 0.085 m/s. Encuentre el coeficiente de viscosidad del lubricante.

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Solución:

Debido a que la placa se mueve con velocidad constante, su aceleración es

cero. Se mueve hacia la derecha bajo la acción de la fuerza T ejercida por la

cuerda y por la fuerza de fricción f asociada al flujo viscoso. En este caso, la

tensión es igual en magnitud al peso suspendido; por lo tanto, f = T = mg = (8.0 X 10-3 kg) (9.80m/s2 ) = 7.8 X 10-2N

El lubricante en contacto con la superficie horizontal está en reposo, en tanto que

la capa en contacto con la placa se mueve a la velocidad de la placa. Suponiendo

que el gradiente de velocidad es uniforme, tenemos

2.- Un tinaco a una altura h = 32 m y de diámetro D = 3.0 m suministra agua a una

casa. Un tubo horizontal en su base tiene un diámetro d = 2.54 cm (1 pulgada).

Para atender las necesidades de la casa, el tubo ha de suministrar agua con una

rapidez R = 0.0025 m3/s (cerca de 2/3 de galón por segundo). a) Si el agua fluye

con la rapidez máxima, ¿qué presión tendría el tubo horizontal? b) Un tubo más

pequeño, de diámetro d' = 1.27 cm (0.5 in), abastece el tercer piso de la casa,

situado a 7.2 m sobre el nivel del suelo. ¿Cuáles son la rapidez de flujo y la

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presión del agua en este tubo? No tenga en cuenta la viscosidad del agua.

Solución.

(a) Aplicamos la ecuación de Bernoulli a lo largo de la línea de corriente ABC

que se ve en la figura. En los puntos A y B, se tiene que

En A la presión pA = p0, la presión atmosférica. Para la presión en B se obtiene

Por otro lado, considerando que el flujo es constante, se tiene que vAAA = vBAB =

Flujo. Considerando el valor del flujo ( = 0.0025 m3/s) y las áreas en cada punto,

las velocidades en cada punto son

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Nótese que el término 2A1ρv2 en la expresión de pB es muy pequeño comparado

con el término 2B1ρv2 ;. En otras palabras, la rapidez del flujo en la parte superior

del tanque es muy pequeña, debido a su enorme superficie transversal. Ahora se

obtiene para la presión en el punto B

Si el agua en el tubo horizontal no fluyera (es decir, si la válvula estuviera

cerrada), la presión estática en B incluiría sólo los dos primeros términos, lo cual

es igual a 4.15 x 105 Pa. La presión cuando el agua fluye se reduce de este valor

estático en la cantidad correspondiente a la presión dinámica. (b) Si se quiere que

el tubo más estrecho que conduce al tercer piso tenga la misma rapidez de flujo, la

velocidad en C deberá ser

es decir, cuatro veces el valor en B. Por otro lado, aplicando la ecuación de

Bernoulli entre los puntos A y C se obtiene

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Dada la mayor velocidad de flujo a través del tubo más pequeño, la contribución

dinámica a la presión es mucho más grande en C que en B. Los efectos estáticos

y dinámicos tienden a aminorar la presión en este lugar en relación con B.

2.2 Aplicación del principio del movimiento estacionario

Teorema de Bernouilli: Sea un fluido ideal (estacionario, incompresible y no

viscoso). Vamos a obtener una relación, consecuencia del principio del

conservación de la energía. Sea el tubo de corriente de la figura. Consideremos el

movimiento de la porción sombreada de fluido desde la situación (1), hasta la

situación (2).

El principio de conservación de la energía cinética dice que:

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Las fuerzas que están actuando sobre el sistema son:

Las fuerzas de presión F1=p1S1, y F2=p2S2. F1 es ejercida por el fluido

que está a la izquierda del elemento en S1, y F2 es ejercida por el fluido a la

derecha en S2.

También actúan las fuerzas de la gravedad.

A medida que el fluido se mueve la región sombreada se eleva, sin variar su

volumen. El trabajo realizado por la fuerza de la gravedad es:

Siendo m la masa de la zona sombreada.

El trabajo realizado por las fuerzas de presión es:

El trabajo de F2 es negativo, por ser contraria al desplazamiento. El trabajo

neto vale:

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Ecuación de Bernouilli

Donde todo los términos son energía por unidad de volumen.

Presión hidrostática.

Presión debida a la altura o potencial

Presión dinámica o cinética

No se considera el trabajo de las fuerzas interiores debido a que es nulo, ya

que el fluido es incompresible, y las distancias intermoleculares no varían.

En conclusión: si todas las fuerzas que actúan sobre un fluido

incompresible, estacionario y no viscoso, son conservativas, y seguimos el

movimiento de un pequeño elemento de volumen la energía total por unidad de

volumen no varía.

• Fluidos reales (En régimen laminar): Los fluidos reales presentan

viscosidad que es equivalente a decir que existen efectos cortantes entre las

distintas capas del fluido. como consecuencia aparecen fuerzas que se oponen al

movimiento relativo entre capas contiguas(fuerzas de viscosidad), con lo que se

disipa energía, y el fluido se calienta.

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Debido a esas fuerzas viscosas las velocidades del fluido en una sección

perpendicular a la corriente no son iguales, pues existe un rozamiento interno.

¿Como tratamos el problema? Sean dos capas de fluidos separadas un dl.

La capa de arriba, que se mueve con mayor velocidad, ejerce una fuerza

tangencial sobre la capa de abajo, que tiende a acelerarla. A su vez, la capa de

abajo ejerce una fuerza del mismo valor sobre la de arriba, que la frena.

Se demuestra experimentalmente que:

Como consecuencia de la existencia de fueras viscosas se produce una

perdida de energía mecánica, y por tanto de presión, cuando el fluido se mueve a

lo largo de una conducción. Se puede ver físicamente de la siguiente forma:

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Supongamos que él depósito es tan grande que no le afecta el abrir la llave

K. Si la llave K está cerrada el líquido en 1, 2, 3 está a la misma altura. Al abrirla el

líquido empieza a fluir. La velocidad en A, B y C es la misma, por ser la sección

constante, pero existe una perdida lineal de presión debido a la perdida de energía

sufrida en la conducción, que aumenta linealmente con la distancia al depósito.

Vamos a determinar la perdida de carga (diferencia de presión) entre dos

puntos de una conducción debido a la viscosidad.

Sea un elemento de fluido cilíndrico de radio r y longitud l. Las fuerzas que actúan

sobre el elemento en la dirección del movimiento son F1, debida a la presión en 1,

F2, debida a la presión en 2, y Fr, debida a la viscosidad.

Si existe un movimiento estacionario la fuerza neta es nula.

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El signo negativo de la fuerza viscosa es debido a que la velocidad disminuye

cuando aumenta el radio.

El factor 2 rl es la superficie sobre la que actúa la fuerza viscosa.

El dr es debido a que no son capas separadas un dl, sino cilindros concéntricos

separados un dr.

Dicha fórmula nos da la velocidad para una distancia cualquiera(r) respecto del eje

de una partícula del fluido en función del Radio del conducto, del coeficiente de

viscosidad, de la distancia entre los puntos y de la diferencia de presión entre

ambos. Si lo representáramos no daría un perfil de velocidades parabólico.

Sistemas que ganan o pierden masa

En muchos problemas de dinámica, en un volumen de control penetran (o salen)

partículas a razón constante durante cierto intervalo de tiempo. A continuación se

analiza un tipo diferente de sistema variable de partículas, a saber un sistema que

gana masa al absorber continuamente partículas o que pierde masa al expulsar

partículas de manera continua.

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Considere el sistema el sistema S que se muestra en la figura. Su masa,

igual a m en el instante t aumenta en ∆m en el intervalo de tiempo ∆t. Para aplicar

el principio de impulso y la cantidad de movimiento al análisis de este sistema, se

debe considerar en el tiempo t al sistema S más las partículas de masa ∆m que

absorbe S durante el intervalo de tiempo ∆t. La velocidad de S en el tiempo t se

denota mediante v, la velocidad de S en el tiempo t + ∆t se denota mediante v +

∆v, y la velocidad absoluta de las partículas absorbidas se denota por medio de va.

Al aplicar el principio de impulso y la cantidad de movimiento, se escribe:

mv + (∆m)va + ƩF = (m + ∆m)(v + ∆v)

Al resolver para la suma ƩF ∆t de los impulsos de las fuerzas externas que

actúan sobre S (excluyendo las fuerzas ejercidas por las partículas que se

absorben), se tiene:

ƩF ∆t = m∆v + ∆m(v - va) + (∆m)( ∆v)

Al introducir la velocidad relativa u con respecto a S de las partículas que

absorben, se escribe u = va – v y se anota, puesto que va ˂ v, que la velocidad

relativa u está dirigida hacia la izquierda. Si se ignora el último término en la

ecuación que es de segundo orden, se escribe,

ƩF ∆t = m ∆v – (∆m)u

Al dividir entre ∆t y dejar que ∆t tienda a cero, se tiene en el límite,

ƩF = m d vdt -

dmdt u

Al reagrupar los términos y recordar que dv /dt = a, donde a es la aceleración del

sistema S, se escribe,

ƩF + dmdt u = ma

Que muestra que la acción sobre S de las partículas que se están absorbiendo es

equivalente a un empuje

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P = dmdt u

que tiende a frenar el movimiento S, ya que la velocidad relativa u de las

partículas está dirigida hacia la izquierda. Si se usan unidades del SI, dm /dt se

expresa en kg/s, la velocidad relativa u en m/s y el empuje correspondiente en

newton.

Las ecuaciones que se obtienen se usan también para determinar el

movimiento de un sistema S que pierde masa. En este caso la tasa de cambio de

masa es negativa y la acción sobre S de las partículas que se están expulsando

es equivalente a un empuje en la dirección de –u, esto es, en la dirección opuesta

a aquellas en que las partículas se están expulsando. Un cohete representa un

caso característico de un sistema que pierde masa de manera continua.

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CONCLUSIONES

Las dos componentes básicas en toda vibración son la masa y la fuerza

recuperadora. Esta última que con frecuencia es proporcionada por un mecanismo

elástico, tiende a regresar a la masa a su posición de equilibrio cuando ella es

separada de dicha posición y liberada. En forma general las vibraciones se

clasifican en vibraciones libres y vibraciones forzadas. Las primeras son

originadas y mantenidas por fuerzas elásticas o las gravitatorias y las segundas

son producidas por fuerzas periódicas aplicadas exteriormente.

Las vibraciones libres y forzadas se dividen a su vez en amortiguadas y sin

amortiguamiento. Cuando las fuerzas que se oponen a la fuerza recuperadora son

despreciables se dice que la vibración es sin amortiguamiento. Cuando las fuerzas

como el rozamiento del tipo viscoso no es despreciable se denominan vibración

con amortiguamiento

Es sabido que en todo sistema real está presente las fuerzas disipativas

como el rozamiento que tiende a extinguir la vibración. Sin embargo, en muchos

sistemas la pérdida de energía debido al rozamiento es tan pequeña que a

menudo pueden ser despreciables resultando entonces una vibración libre.

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INDICE DE REFERENCIAS

E. Russel Johnston, Jr., William E. Clausen. Mecánica Vectorial para

Ingenieros Dinámica, 8va edición.

http://books.google.co.ve/books?

id=Vq3HdDHRsz8C&pg=PA382&dq=sistema+que+ganan+o+pierden+masa

&hl=es&sa=X&ei=cCJ3UqjcC_LLsQTO9IDICQ&ved=0CC4Q6AEwAA#v=on

epage&q=sistema%20que%20ganan%20o%20pierden%20masa&f=false

William F. Riley Ingeniería mecánica: Dinámica. 5ta edición

http://fisica2ficunasam.zonalibre.org/CAPITULO%20II%20VIBRACIONES

%20%20%20MECANICAS%2029%20de%20mayo%202008.pdf