Aplicamos la ecuación del movimiento (2° ley de Newton)

F(t) – FK – FA = m𝑥

FK es proporcional al desplazamiento. - - kx

FA en función a la velocidad - c𝑥

m𝑥 + c𝑥 + kx = F(t)

𝑥 + 2δ𝑥 + ω02x =

1

𝑚. F(t)

ω0 = ωn= frecuencia natural ω0 = 𝐾𝑚

δ = coeficiente de atenuación δ = 𝐶 2𝑚

VIBRACION FORZADA AMORTIGUADA CASO GENERAL LINEAL

Si δ = 0 F(t) = F0.𝐜𝐨𝐬Ω𝒕 OSCILACION FORZADA SIN AMORTIGUAMIENTO.

Ω: frecuencia de la fuerza excitadora

F0 = amplitud de la fuerza

𝒙 + ω02x =

𝟏

𝒎.F0.𝐜𝐨𝐬Ω𝒕 ……. (*)

La solución general es: X(t) = Xhomogenea + Xparticular

X(t) = Xc(t) + Xp(t)

Siendo Xc(t) = A.Sen(ω0t+ф) Solución complementaria

La solución complementaria Xc define la vibración libre, lo cual depende de la frecuencia natural (ω0= ωn) y las constantes A y ф.

Para la solución particular o permanente nuestra modelo de solución es:

Xp(t) = V𝐜𝐨𝐬Ω𝒕 V: amplitud de la vibración forzada

x P(t) = - V.Ω.SenΩt Ω: frecuencia de la fuerza excitadora

𝑥 P(t) = - V.Ω2.CosΩt

Reemplazamos en (*) (𝒙 + ω02x =

𝟏

𝒎.F0.𝐜𝐨𝐬Ω𝒕)

- V.Ω2.CosΩt + ω02 VcosΩ𝑡 =

1

𝑚.F0.cosΩ𝑡

(ω02 - Ω2).V =

1

𝑚.F0 V =

𝐹0

𝑚 .

1

𝑤02−Ω2

donde: ɳ =u = r= Ω

ω0

K = m ω02

V = 𝐹0

𝐾 .

1

1−n2 Por lo tanto Xp =

𝑭𝟎

𝑲 .

𝟏

𝟏−𝒏𝟐 𝒄𝒐𝒔Ω𝒕

La solución particular Xp describe la vibración forzada del bloque y provocada por la fuerza aplicada F= F0.cosΩ𝑡.

Como todos los sistemas vibratorios se someten a fricción, la vibración libre, Xc, se amortiguara en el paso del tiempo, por eso se le conoce como transitoria y la vibración forzada XP se conoce como estado continúo, puesto que es la única vibración que permanece.

La solución general es, por consiguiente, la suma de dos funciones de frecuencias diferentes.

X= xc+xp= A.Sen(ω0t+ф) + V𝐜𝐨𝐬Ω𝒕

FACTOR DE AMPLIFICACION MF Se define como la relación de la amplitud de la vibración de estado continuo V, a la deflexión estática F0/K, producida por la amplitud de la fuerza periódica F0, entonces:

Xest=𝐹0 𝐾 deflexión estática

De la ecuación de la amplitud V = 𝐹0

𝐾 .

1

1−n2 y de la definición de MF.

MF =𝑽

𝑿𝒆𝒔𝒕 =

𝟏

𝟏−𝒏𝟐

En la figura se observa, que si la fuerza o desplazamiento

se aplica con una frecuencia natural del sistema,

es decir ɳ≈ 1, la amplitud de vibración del bloque

llega a ser extremadamente grande. Esto ocurre

porque la fuerza F se aplica al bloque de modo

que siempre siga el movimiento de este.

Esta condición se llama resonancia; en la práctica,

las vibraciones resonantes pueden dar lugar a

esfuerzos tremendos y a la rápida falla de las partes

Aplicación Fisica de la VFA

El compactador de suelo opera por vibración forzada desarrollada por un motor interno.

Es importante que la frecuencia forzada no se aproxime a la frecuencia natural de vibración del compactador, la cual puede determinarse cuando se apaga el motor, de lo contrario habrá resonancia y la maquina se volverá incontrolable.

Vibración forzada con amortiguamiento viscoso

Demostracion de las ecuaciones que gobiernan este movimiento

Para determinar la ecuación que gobierna este

movimiento, consideremos el siguiente sistema

masa-resorte con un amortiguador y una fuerza

armónica externa.

Luego realizando el D.C.L. del bloque se tiene:

Aplicando entonces la segunda Ley de Newton se tiene:

Como la función de la fuerza aplicada es armónica, el movimiento del estado permanente también es armónico.

Luego reemplazando en la ecuación diferencial (I)

Vibraciones Forzadas Amortiguadas

2) Cuando δ >0 :

Maquinas desbalanceadas:

F(t)=Fo.Sen(Ωt) ó F(t)=Fo.Cos(Ωt)

Fo :Amplitud de la excitación armónica

Ω: Frecuencia de la fuerza excitadora

De el grafico obtenemos la siguiente ecuación diferencial:

𝑚𝑥 + 𝑐𝑥 + 𝑘𝑥 = 𝐹𝑜. 𝐶𝑜𝑠(𝛺𝑡)

𝑥 + 2δ𝑥 + 𝜔𝑜2𝑥 =

𝐹𝑜

𝑚. 𝐶𝑜𝑠(𝛺𝑡) ….. (1)

Trabajando con números complejos : Z = X + iY

𝑧 = 𝑧 𝑒𝑖∅

Después: 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦

𝑒𝑖∝ = cos ∝ + 𝑖 sin ∝

Dando forma

𝑖𝑦 + 𝑖2δ𝑦 + 𝑖𝜔𝑜2𝑦 =

𝑖𝐹𝑜

𝑚. 𝑆𝑒𝑛(𝛺𝑡) …….(2)

Sumando 1 y 2:

𝑧 + 2δ𝑧 + 𝜔𝑜2𝑧 =

𝐹𝑜𝑚. (𝐶𝑜𝑠 𝛺𝑡 + 𝑖𝑆𝑒𝑛 𝛺𝑡 )

𝑧 + 2δ𝑧 + 𝜔𝑜2𝑧 =

𝐹𝑜𝑚. 𝑒𝑖𝛺𝑡

Considerando como solución: 𝑧 = 𝑉𝑒𝑖𝛺𝑡

Derivando : 𝑧 = 𝑖𝛺. 𝑉𝑒𝑖𝛺𝑡 𝑧 = 𝑖2𝛺2. 𝑉𝑒𝑖𝛺𝑡

Reemplazando en la ecuación anterior:

−𝛺2𝑉𝑒𝑖𝛺𝑡 + 2δ. 𝑖𝛺𝑉𝑒𝑖𝛺𝑡 + 𝜔𝑜2𝑉𝑒𝑖𝛺𝑡 =

𝐹𝑜𝑚. 𝑒𝑖𝛺𝑡

−𝛺2 + 2δ. 𝑖𝛺 + 𝜔𝑜2 . 𝑉 =

𝐹𝑜𝑚

𝑉 =𝐹𝑜𝑚 .

1

−𝛺2 + 2δ. 𝑖𝛺 + 𝜔𝑜2

𝑉 =𝐹𝑜𝑚 .

1

−𝛺2 + 2δ. 𝑖𝛺 + 𝜔𝑜2 .

( 𝜔𝑜2 − 𝛺2 − 2δ𝛺𝑖)

( 𝜔𝑜2 − 𝛺2 − 2δ𝛺𝑖)

𝑉 =𝐹𝑜𝑚 .

𝜔𝑜2 − 𝛺2 − 2δ𝛺𝑖

𝜔𝑜2 − 𝛺2 2 + 4δ2𝛺2

𝑉 =𝐹𝑜𝑚 .

𝜔𝑜2 − 𝛺2

𝜔𝑜2 − 𝛺2 2 + 4δ2𝛺2

−𝐹𝑜𝑚

2δ𝛺𝑖

𝜔𝑜2 − 𝛺2 2 + 4δ2𝛺2

Luego

𝑉 = 𝑉 =𝐹𝑜𝑚 .

1

𝜔𝑜2 − 𝛺2 2 + 4δ2𝛺2

𝜔𝑜 : Frecuencia natural.

𝜔 = 𝛺 : Frecuencia del sistema ó de la fuerza excitadora.

𝜑 = 𝛼 = tan−1𝑦𝑚𝑅𝑒

= tan−12δ𝛺

𝜔𝑜2 − 𝛺2

𝑉 = 𝑉𝑒𝑖∝

𝑧 = 𝑉𝑒𝑖(𝛺𝑡+∝) = 𝑉[𝐶𝑜𝑠 𝛺𝑡 +∝ + 𝑖𝑆𝑒𝑛 𝛺𝑡 +∝ ]

Luego :

𝑋 = 𝑉. 𝐶𝑜𝑠 𝛺𝑡 +∝ ó 𝑋 = 𝑉. 𝑆𝑒𝑛 𝛺𝑡 +∝

V: Amplitud de vibración

Haciendo que V dependa de un parámetro n y δ siendo:

𝑛 = 𝛺

𝜔𝑜 y δ =

𝑐

2𝑚

n = u :razón de frecuencias

Reemplazando en la ecuación de la amplitud V :

𝑉 = 𝐹𝑜𝑚 .

1

𝜔𝑜2

1

1 − 𝑛2 2 + 2𝛿𝑛 2

Pero como 𝑘 = 𝜔𝑜2. 𝑚

𝑉(𝑛, 𝛿) = 𝐹𝑜𝑘

1

1 − 𝑛2 2 + 2𝛿𝑛 2

RESONANCIA La resonancia ocurre cuando la frecuencia de la fuerza de excitación es igual a la frecuencia natural del sistema, cuando esto ocurre, la amplitud de la vibración aumentara indefinidamente y estará gobernada únicamente por la cantidad de amortiguamiento presente en el sistema. Por tanto la frecuencia natural del sistema debe conocerse y escogerse con cuidado, con el fin de evitar los efectos desastrosos producidos por una amplitud muy grande de vibración (en una estructura mecánica por ejemplo)

En una vibración forzada armónica; cuando la frecuencia de la fuerza se hace igual a la frecuencia natural, se dice que hay resonancia en la amplitud.

Cuando menor sea el amortiguamiento más pronunciada será la resonancia (la amplitud de vibración será mayor), y si fuera cero, entonces la amplitud de resonancia se hace infinita. Un efecto como el mencionado antes es perjudicial en mecánica, inclusive puede colapsar una maquina o estructura.

La velocidad del oscilador forzado también se hace máxima cuando la frecuencia de la fuerza es igual a la frecuencia natura, a esta frecuencia la velocidad y la energía cinética de las oscilaciones son máximas, luego: podemos hablar de resonancia en la energía cuando la frecuencia de la fuerza es igual a la frecuencia natural y la velocidad se encuentre en fase con la fuerza aplicada, para que el producto F.v que es la variación del trabajo con el tiempo siempre sea positiva y máxima.

Cómo los terremotos afectan a los

edificios

• Cuando el contenido de frecuencia del movimiento del suelo se centran alrededor de la frecuencia natural del edificio, se dice que el edificio y el movimiento de la tierra están en resonancia con otros. La resonancia tiende a aumentar o amplificar la respuesta del edificio. Debido a esto, los edificios sufren el mayor daño del movimiento del suelo en una frecuencia cercana o igual a su frecuencia natural

• El terremoto de Ciudad de México del 19 de septiembre de 1985 prevé una notable ilustración de esto. La mayoría de los muchos edificios que se derrumbaron durante el terremoto fueron alrededor de 20 pisos de altura - es decir, tenían un período natural de alrededor de 2,0 segundos. Estos edificios de 20 plantas, se encontraban en resonancia con el contenido de frecuencias del terremoto de 1985. Otros edificios de diferentes alturas y con las características de vibración diferentes, a menudo se encuentran en buen estado a pesar de que se encuentra justo al lado de la historia de 20 edificios dañados

TEORIA DE AISLAMIENTO DE MOTORES

• Cuando un motor está colocado sobre la base transmite a dicha base

una fuerza alternativa que provocan desequilibrios internos al motor o de excitaciones externas transmitidas por otros sistemas

• Se idealiza el problema suponiendo una base fija y rígida B, sobre la cual descansa el motor de masa M, sostenidos por un sistema de resortes con amortiguación la masa M del motor se considera sometida a la excitación exterior de una fuerza sinusoidal

• 𝐹 = 𝐹0 × cos(𝑤𝑡)

𝐹 = 𝐹0 cos(𝑤𝑡)

M

𝑘

2

𝑘

2

B

𝑐

• La ecuación del movimiento está dado por:

• 𝑀𝑥 + 𝑐𝑥 + 𝑘𝑥 = 𝐹0 cos(𝑤𝑡)

• 𝑥 = 𝑥𝑐 + 𝑥𝑝

• La respuesta permanente del sistema es:

• 𝑋𝑝 = 𝐴 cos(𝑤𝑡 − 𝜑)

• Luego se puede calcular la fuerza transmitida a la base B,

• 𝐹𝑅 = 𝑘𝑥 = 𝑘𝐴 cos(𝑤𝑡 − 𝜑)

• 𝐹𝑎 = 𝐶𝑥 = −𝑐.𝑤. 𝐴. sin cos(𝑤𝑡 − 𝜑)

• 𝐹𝑅: 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟𝑡𝑒

• 𝐹𝑅: 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑑𝑜𝑟

• La fuerza total transmitida a la base B es (FT)

• 𝐹𝑇 = 𝑘𝐴 cos(𝑤𝑡 − 𝜑) − 𝑐.𝑤. 𝐴. sin cos(𝑤𝑡 − 𝜑)

• Haciendo que tan 𝛾 =cw

𝑘

• cos 𝛾 =𝑘

𝑘2+(𝑐.𝑤)2

• sin 𝛾 =𝑐.𝑤

𝑘2+(𝑐.𝑤)2

• 𝐴 =𝐹0/𝑘

1−𝑤

𝑤𝑛

2 2

+(2𝜁.𝑤

𝑤𝑛)2

• Índice de amortiguamiento: 𝜁 =𝑐

𝑐𝑟

• Relación de frecuencias: = 𝑛 =𝑤

𝑤𝑛

• 𝐹𝑇 =𝐹0 𝑘2− 𝑐.𝑤 2

𝑘 1−𝑛2 2+ 2𝜁.𝑛 2cos(𝑤𝑡 − 𝜑 − 𝛾)

Fuerza transmitida máxima 𝐹𝑇 =𝐹0 𝑘2− 𝑐.𝑤 2

𝑘 1−𝑛2 2+ 2𝜁.𝑛 2

DESBALANCE ROTATORIO

El desbalance en máquinas rotatorias es una fuente común de excitación vibratoria. Consideremos un sistema masa-resorte-amortiguador restringido a moverse en la dirección vertical y excitado por una maquina rotatoria no balanceada, como muestra la figura. El desbalance está representado por una masa excéntrica m con excentricidad e que rota con velocidad angular w. Si x representa el desplazamiento de la masa no rotante (M.m), desde la posición de equilibrio, la aceleración de m es:

0

M

m

C

k/2 k/2

𝑥

𝐹 = 𝑚. 𝑎𝑐𝑚 = 𝑚𝑤2𝑒

La aceleración vertical que actúa sobre m es: 𝑥 − 𝑒 𝑤2 cos 𝑤𝑡

m.g

m

e

𝑎𝑐 = 𝑤2𝑒

𝑥 = 𝑤2𝑒 cos(𝑤𝑡)

𝑤𝑡

• la fuerza vertical que actúa sobre m es:

• 𝐹 = 𝑚 𝑥 − 𝑒𝑤2 cos(𝑤𝑡)

• La ecuación diferencial del movimiento del motor es:

• 𝑀 −𝑚 𝑥 = −𝑘𝑥 − 𝑐𝑥 − 𝑚 𝑥 − 𝑒𝑤2 cos(𝑤𝑡)

• Finalmente:

• 𝑀𝑥 + 𝑐𝑥 + 𝑘𝑥 = 𝑚. 𝑒.𝑤2. cos 𝑤𝑡 = 𝐹𝑂 cos(𝑤𝑡)

• El movimiento es del tipo:

• 𝑀𝑥 + 𝑐𝑥 + 𝑘𝑥 = 𝐹𝑂 cos(𝑤𝑡)

• Donde 𝐹𝑂es la amplitud de la excitación externa equivalente que hace oscilar el motor

• Una diferencia importante ha de observarse con respecto al caso estudiado, y es que 𝐹𝑂 = 𝑚. 𝑒. 𝑤2 no es constante, sino que depende de w, En otras palabras la excitación crece con la velocidad angular del motor.

• Sabemos que:

• 𝑥 =𝐹𝑂𝑘

1−𝑟2 2+ 2𝜁𝑟 2=

𝑚𝑒𝑤2

𝑘

1

1−𝑟2 2+ 2𝜁𝑟 2

• 𝑥 =𝑚𝑒𝑤2

𝑘

𝑘

𝑀.𝑤𝑛2

1

1−𝑟2 2+ 2𝜁𝑟 2

• Dónde:

• 𝑤𝑛 = 𝑘/𝑚 ; 𝑟 =𝑤

𝑤𝑛

• Entonces:

•𝑀.𝑥

𝑚.𝑒=

𝑟^2

1−𝑟2 2+ 2𝜁𝑟 2

• Representación grafica 𝑀.𝑥

𝑚.𝑒 vs n

El ventilador tiene una masa de 25 kg y se fija al extremo de una viga horizontal que tiene una masa despreciable. La base del ventilador está montado excéntricamente sobre el eje de tal manera que es equivalente a un desequilibrio 3.5 kg de masa situado a 100 mm desde el eje de rotación. Si la deflexión estática de la viga es 50 mm, como resultado del peso del ventilador, determinar la amplitud de la vibración de estado estable del ventilador si la velocidad angular de las paletas del ventilador es 10 rad / s.

Un bloque de 7 lbs esta suspendido de dos resortes de k = 37.5 Lbs/pie. El soporte al cual estan conectados los resortes se le imprime un movimiento armonico, el cual puede ser expresado por δ = 0.15Sen2t (pies). Si el factor de amortiguamiento ζ = 0.8. Determine el angulo de fase ɸ de la vibracion forzada. Asimismo determine la magnificacion

La barra uniforme tiene una masa de m. Si se recibe la acción de una fuerza periódica de F = Fo.Senωt. Determinar la amplitud de la vibración en estado estable.

La solucion permanente es:

Considerando valores pequenos de θ: Senθ = θ y Cosθ = 1

Si el bloque 30 kg se somete a una fuerza periódica P = (300Sen5t) N, k = 1500 N / m, y c = 300 N · s / m. Determinar la ecuación que describe la vibración de estado estable como una función del tiempo.

Y = 01109 m

El motor eléctrico 30-kg se muestra en la figura. está soportada por cuatro resortes, cada resorte tiene una rigidez de 200 N / m. Si el rotor está desequilibrado de tal manera que su efecto es equivalente a una masa de 4 kg situado 60 mm desde el eje de rotación, determinar la amplitud de la vibración cuando el rotor está girando a ωo = 10 rad / s. El factor de amortiguamiento es c / cc = 0,15.

El bloque de 30 libras está unido a dos muelles con una rigidez de 10 lb / ft. Se aplica al bloque una fuerza periódica F = (8 Cos3t) libras, donde t está en segundos. Determinar la velocidad máxima del bloque despreciando la fuerza de fricción.

El bloque de 10 kg está unido a dos muelles con una rigidez de 400 N/m, c = 125 N.s/m. Se aplica al bloque una fuerza periódica F = 150Cos6t (N) , donde t está en segundos. Determine la ecuación que describe el movimiento en estado permanente.

X = 0.172Cos(6t – 59.6°)