Difrakce na monokrystalechanalýza intenzit

2

Rozptyl záření na atomu

Interference rozptýlených vln:

E NE

E E f

f q r iq r dr

at d

at d at

atV

exp

Atomový rozptylový faktor:

Atomový rozptylový faktor je definován jako poměr amplitudy záření rozptýleného atomemk amplitudě záření rozptýleného za stejných podmínek elektronem.

3

Atomový rozptylový faktor je Fourierovou transformací elektronové hustoty atomu

Vysoce lokalizované elektrony (např. 1s) mají vysoký atomový rozptylový faktor v širokém oboru q-vektoru

Atomový rozptylový faktor špatně lokalizovanýchelektronů rychle ubývá s rostoucím q (s klesající vlnovou délkou )

4

1

2 ])/(sinexp[)/(sini

ii cbaf

Atomový rozptylový faktor

4

6

Anomální disperze

V blízkosti absorpční hrany

ieffifff ||'')'( 0

Rozptýlená vlna se zpožďuje o - za dopadající vlnou

7

8

Strukturní faktor

n-tý atom v m-té buňcen

nm rcmbmamR

321

N

nnn rqfqF

1

)exp()( N atomů základní buňky

Difrakční podmínkahklGq

rn

ab

c

czbyaxr nnnn

*** clbkahGhkl

N

nnnnnhkl lzkyhxifF

1

)](2exp[

Frakční souřadnice atomů

Určování struktury krystalů

Malé molekuly Velké molekuly

))(2cos()()()(||1 1

22kj

N

j

N

kjkjj fffI rrHHHHFHH

Měřená intenzita (bez korekčních faktorů)

Atomové rozptylové faktoryPolohové vektory atomů

????

Strukturní faktor

N

jjj ifdi

1

)2exp()()2exp()( HrHrHrrFH

N

jnnnnhkl lzkyhxifF

1

))(2exp(

Experimentální veličinyElektronová hustota

Fázový problém

Monokrystalová strukturní analýza

• Příprava krystalů vhodných k difrakčnímu měření• Sběr difrakčních dat• Řešení fázového problému• Upřesnění struktury

Malé vzorky (~ 0.1 mm), nejlépe kulový tvar

Biologické vzorky - v mateřském roztoku, molekuly solvátu(30-70 %)

Mezní rozlišení atomů - Rmin = 0.92 dmin max= 25° pro Mo K

Omezení pro makromolekuly

Určení symetrie krystalové struktury

Bijvoetovy páry lkhhkl

n

nnnnhkl lzkyhxfF )(2cos

n

nnnnlkhlzkyhxfF )(2cos

Centrosymetrický krystal

hkllkhFF

Necentrosymetrický krystal

n

nnnnhkl lzkyhxfF )](2exp[

n

nnnnlkhlzkyhxfF )](2exp[

*hkllkh

FF Friedelův zákon

hkllkhII

Intenzita závisí pouze na velikosti strukturních faktorů

Difrakční obraz je vždy centrosymetrický Vážená reciproká mříž každého krystaluje centrosymetrická

2''

22'

21221 cosicoscos fffffFhkl

Anomální disperze

)cos(i)cos( 2''

22'

21 fffFlkh

Centrosymetrický krystal

Necentrosymetrický krystal

)2/(exp)exp( 2''

22'

21 ififfFhkl

)2/(exp)(exp 2''

22'

21 ififfFlkh

Intenzita difraktovaných svazků závisí pouze na velikosti strukturních faktorů a nezávisí na jejich fázi

Laueova grupa symetrie 10 možných typů lauegramůLze určit pouze makroskopické prvky symetrie

Vyhasínání reflexí

Subtranslace -šroubové osyskluzové roviny

centrování mříže

Př. 21 podél c (x,y,z)

2

1,, zyx

m

mmmmmmmhkl lzkyhxilzkyhxifF )}]2/1(2exp{)}(2[exp{

Pro 00l ])exp(1}[2exp{00 m

mml ililzfF Pro l liché, F00l = 0

Šroubové osy se projevují vyhasínáním – h00, 0k0, 00l, hh0

Skluzové roviny se projevují vyhasínáním – 0kl, h0l, hhl, hk0

A B

Možné difrakce Typ mříže

h + k + l = 2n I

h + k = 2n C

h + l = 2n B

l + k = 2n A

h + k = 2nh + l = 2nl + k = 2n

F

-h + k + l = 3n R

Vyhasínání vlivem centrování buňky

Určení typu mříže a přítomnost šroubových os nebo skluzových rovin

Obecné a speciální vyhasínací podmínky

                                                                        

Renningerův jev – vícenásobná difrakce

Komplikace při hledání prvků symetrïe

Určení

Laueho grupy symetrieTypu mřížePřítomnosti šroubových os a skluzových rovin

Difrakční symboly

mmmI---mmmI-a-mmmIbca

122 symbolů

Metody řešení struktur

Iterativní metody - struktury určené symetrií krystalu jednoparametrové struktury

Pattersonovské metody

Přímé metody

Př. CsCl, NaCl, KCl, U [Valvoda, str. 292]

CsCl Jedna vzorcová jednotka na buňku Primitivní buňka

Difrakční symbol m-3P--- nebo m-3mP---

P23, Pm-3, P432, P-43m, Pm-3m

Ekvivalentní polohy 1a: 0 0 0, 1b: ½ ½ ½

Pattersonovské metody

Pattersonova funkce xuxxxxu dPV )()()(*)()(

N

jjjP

1

)()()( urru

)2exp(||)(2

uHFuH

H iP Maxima odpovídají všem možným meziatomovým vektorům spojujícím atomy v elementární buňce.

Tato maxima mají stejnou periodicitu a symetrii jako krystalová mřížka.Výška píku je úměrná součinu protonových čísel atomů spojenýchvektorem u vynásobeném multiplicitou tohoto vektoru (N2 maxim)

Výrazná maxima v Pattersonově funkci

1. Řada vektorů se stejnou délkou a směrem 2. Limitovaný počet těžkých atomů s protonovým číslem výrazně větším než zbývající atomy

Vždy centrosymetrická funkcezachovává centraciprvky symetrie s translační složkou jsounahrazeny prvky bez této složky

)(2cos1

)( 22

lzkyhxFV

xyzPh k l

hkl

Použití projekcí Pattersonovy funkce

)(2cos1

)( 22

kyhxFAV

xyPh k

hkl

těžký atom – těžký atom – výrazné maximum na mapě

těžký atom – lehký atom – střední maximum na mapělehký atom – lehký atom – slabé maximum na mapě

Pětiatomová molekula Všechny možné meziatomové vektory

Pattersonova mapa

Maxima elektronové hustoty

Pattersonova funkce širší

Rozdělení elektronové hustotyFourierova řada

aXxnxAx n /,2cos)( periodicita

1

0

2cos)( dxnxxAn

h k lhkl c

Zl

b

Yk

a

XhiA

VXYZ 2exp

1)(

dXdYdZabc

V

c

Zl

b

Yk

a

XhiXYZ

VA

a b c

hkl

0 0 0

2exp)(1

dVrSirSFV

}2exp{)()( VFA hklhkl /

Při použití zlomkových souřadnic

Fourierova syntéza, mapy elektronové hustoty

h k lhkl c

Zl

b

Yk

a

XhiF

VXYZ 2exp

1)(

Dvojrozměrné řezy

h k lhkl b

Yk

a

XhiF

VXY 2exp)(

1)0(

Projekce

h khk b

Yk

a

XhiF

AXY exp

1)( 0

Projekce vážené reciproké mříže do roviny l = 0

Translační perioda

Metoda těžkého atomu

nN

jjj

THH fFF

1

2cos Hr

Polohy těžkých atomů známé (např. z Pattersonovy funkce)

Postupná Fourierova syntéza se startovacím souborem FH

o stejných znaménkách jako FHT

.

Rozptyl na těžkých atomech dominuje a určuje znaménka většiny strukturních faktorů

n těžkých atomůcentrosymetrický krystal

-4/60 4/60-12/60-17/60-25/60

Příklad

12/60 17/60 25/60

m1/m2 = 3/8

f1 ~ 3·(-2 sin2/2)

f2 ~ 8·(-2 sin2/2)h F(h) FT(h)

0 34 16

1 4 5

2 -11 -10

3 -7 -13

4 5 3

5 11 14

6 -6 6

7 -6 -9

8 -16 -11

9 -4 1

jednorozměrná struktura - buňka 1 nm

polohy

Pattersonova funkce

Fourierova syntéza se znaménkyurčenými z poloh těžkých atomů

Fourierova syntéza se znaménkyurčenými z poloh těžkých atomů a vynecháním nejistě určených faktorů

Fourierova syntéza se správnými znaménky

Fourierova syntéza s váženými koeficienty

xT = 0,196 ~ 12/60

Substituční metody

MIR - Multiple Isomorphous ReplacementSIR- Single Isomorphous ReplacementSIRAS - Single Isomorphous Replacement and

Anomalous Scattering

Příprava derivátů. Nahrazení několika atomů ve známých polohách jinými atomy (např. lehkých atomů těžkými)

Hlavní užití – při studiu makromolekul

Metoda anomální disperze

MAD - Multi-wavelength Anomalous Diffraction

Centrosymetrický krystal '''hhh

ah FFFF

změřené hodnoty

FH je pro centrosymetrický krystalreálná veličina (koncový bod musíležet na x)

v blízkosti absorpční hrany těžkého atomu

Přímé metody

Statistické metody, využití obecných informací o elektronové hustotě, nerovností

j j

jj

jjj baba 222 ||||||Cauchy

j j

jj

jjj ffiHrf 2|2exp|

j

jhkl FfF 2000

22 ||||||

Střed symetrie

j

jjhkl fF rH2cos

})2(2cos1{

2

12cos|| 22

jf

jj

jjf

jj

jhkl ffffF rHrH

N

jjf

1

)(

||||

H

FU H

HJednotkové strukturnífaktory

)2exp(; 2/12/1jjjjj ifbfa rH

N

jjf

1

2 )(

||||

H

FE

H

HH

Normalizované strukturní faktory

Počet identických příspěvkůk FH od symetricky ekvivalentních atomůN... Počet atomů v základní buňce

N

jjjj

jj

iZZ 1

22exp

1HrE

H

H

Atomové číslo Rozptyl na bodovém nekmitajícím atomu, úhlově nezávislý

Mapa s ostrými maximy

)2/||exp(/2|)(| 2EEP

)||exp(||2|)(| 2EEEP

H = K + (H - K)

Strukturní invarianty

Triplety, kvartety, F000

1212121

...(exp|...|... HHHHHHHHH iFFFFFFmm

obecně

H1 + H2 + … + Hn = 0

Součet fází h1¡+ h2+ h3 je strukturní invariant (nezávislý na volbě počátku mříže), pokud h1 + h2 + h3 = 0 (součet tří difrakčních vektorů je nulový)

Strukturní invariantyFáze obecně závisí na volbě počátku buňky

Příklad 1D molekuly

Pomocí přímých metod odhadujeme fáze nejsilnějších reflexí a poté použijeme fázové relace pro generování elektronové hustoty, přičemž vyloučíme záporné hustoty. Následně zkoumáme chemický smysl mapy

Nízkoúhlové reflexe poskytují hrubý odhad a vysokoúhlové jemné detaily. V tomto případě se získá nejlepší řešení pro záporné fáze reflexí (004), (005).

Strukturní faktory (00l)

Jelikož 4+5 = 9, znaménko (009) bude kladné, protože: (-)(-) = (+). Pomocí podobných fázových relací pro další relativně silné reflexe |F(00l)| získáme rozumnou mapu elektronové hustoty

Vysoké píky pro atomy Br a nízké pro řadu atomů C v molekule.

Postup při určování struktury

Sběr dat

Orientační matice O Vztah mezi souřadným systémem krystalu (C)(goniometrické hlavičky) a systémem reciproké mříže*

Pro určení orientační matice stačí znalost přesných hodnot Millerových indexůa reciprokých souřadnic pro tři nekoplanární difrakční vektory

„Peak hunting“ – orientační reflexe, ve středu Braggových úhlů

Indexace píků

Upřesňování orientační matice

Schema určování fází přímými metodami

Normalizace |Fobs|

Nalezení strukturních invariantů

Volba optimální počáteční množiny fází

Výpočet fází strukturních faktorů Eobs

Test fází

Výpočet Fourierovy mapy

Interpretace Fourierovy mapy

1

eH

H

HH

A

AMABS

eH

HH AR /||100

Upřesňování struktury

V přímém nebo v reciprokém prostoru

)exp(||'

)exp(||

co

cc

iF

iF

Modelová struktura

Upřesněná struktura

Elektronová hustota azidopurinu

a) Rozlišení 0,55 nm – 7 reflexíb) 0,25 nm – 27 reflexíc) 0,15 nm - 71 reflexí d) 0,08 nm – 264 reflexí

Rozdílová Fourierova syntéza

h k l

cc lzkyhxiFFV

xyz 00 )}(2exp{)(1

)(

Elektronová hustota spočtenábez neznámých poloh

Upřesňování v reciprokém prostoru

monokrystal polykrystal

Metoda nejmenších čtvercůSimulované žíháníGenetický algoritmus

Faktor spolehlivosti

Porovnávání spočtených a naměřených strukturních faktorů

HH

H

cHHH

w

HH

H

cHH

Fw

FFwR

F

FFR

||

||||||nebo

||

||||||

0

0

10

0

HHH

H

cHHH

w

HH

H

cHH

Fw

FFwR

F

FFR 220

2220

2220

2220

)(

)()(nebo

)(

)()(