università la sapienza ingegneria biomedica 2016-2017... · chi non fosse regolarmente iscritto al...

Università"LaSapienza"INGEGNERIABIOMEDICA

FISICA DELLE RADIAZIONI APPLICATA ALLA MEDICINA A.A. 2016-17 Organizzazionedelcorso:-60orediteoria(Prof.Patera)-LunMarGio-20oredilezionidilaboratorio(Prof.Sciubba)-Ven-20orediesercitazioniinlaboratorio(Prof.Sciubba)–5Mercoledì-Esame:Proff.Patera&Sciubba,commissioneunicaContenutidelcorsoLamedicinanucleareelaradiologiasonoleprincipalibranchedellamedicinacheutilizzanole radiazioni per scopi diagnostici e terapeutici. La ricerca in questi settori punta almiglioramentodell'efficaciadelle tecnicheesistentieallo sviluppodinuovecon lo scopodiincrementarelaqualitàdelleprestazionierogateelaprevenzionedeirischiperipazienti,glioperatorielapopolazioneingenerale.Questo corso illustra cosa sono le radiazioni ionizzanti, come interagiscono con lamateria,quali effetti biologici producono e indica come utilizzarne gli effetti benefici in camposanitarioelimitarneidannipotenzialiaccennando,infine,allanormativaradioprotezionisticapiùrilevante.In particolare il modulo di laboratorio del corso di Fisica delle radiazioni applicata allamedicina mira a sviluppare alcuni concetti di fisica relativi alla misura di grandezzeradiometriche e, soprattutto, a far considerare la radioattività come uno strumento damaneggiare sì con cura ma che è in grado di permettere diagnosi e terapie altrimentiimpossibili.Le lezioni del modulo di laboratorio inizieranno col considerare la natura aleatoria dellemisure e accennare ad alcuni elementi di base di calcolo delle probabilità e di statisticasufficientiperpoterdedurredairisultatidellemisureivaloridialcunegrandezzediinteresse.Appena possibile gli aspetti teorici illustrati verranno verificati in una esperienza dilaboratoriodedicataalconteggiodieventiradioattivi.Seguirà la descrizione particolareggiata di un tipo di rivelatore utilizzato in alcuneapparecchiature medicali dato che è parte integrante dell’attrezzatura in dotazione allaboratorio.Lecaratteristichedelrivelatoreverrannodettagliateadunlivellosufficienteperessereverificatesperimentalmenteinlaboratorio.Sicircoscriverannoalcuniaspettidell’interazionedelleparticelleelementariconlamateriaesemplici metodologie di elaborazione di dati sperimentali per verificare le proprietà dischermaggiodialcunimateriali.Verranno inoltre descritte le catenedi decadimentodi alcuni sorgenti radioattive utilizzateperlacertificazionedellalinearitàdellarispostadirivelatoridiradioattività.I dati raccolti durante le 5 sedute obbligatorie di laboratorio permetteranno di valutarequantitativamentealcunegrandezzeradiometriche.

FISICADELLERADIAZIONIAPPLICATAALLAMEDICINA

A.Sciubba versionedel21.2.2017 2

OrganizzazionedelLaboratorio:-c'èobbligodifrequenza;nonsonoammessiritardiall'iniziodelleesperienze.- Si opererà in gruppi di tre studenti. E' obbligatoria laprenotazioneche andrà effettuataentro il 7marzovia e-mail ([email protected] - oggetto:GRUPPILaboratorio)comunicando i nomi di massimo altri due componenti del gruppo. Venerdì 10 marzo leformazioniverrannocomunicateinreteeconavvisocartaceonellabachecadellaboratorio.ChinonfosseregolarmenteiscrittoalprimoannodiIngegneriabiomedicanonpotràaccederealcorso.- Le cinque esperienze si svolgeranno a via Scarpa (9:00–13:00, massima puntualità) dimercoledì.Laprimasaràil29marzo.-Inlaboratorioidatiraccoltiandrannoviaviariportatiinunappositoquadernoinsiemeallaloroelaborazione(svoltadurantelasedutadilaboratorio).Sul retro del quaderno andranno elaborate, a partire dai dati raccolti, altre quantità cheverrannoindicatedivoltainvolta.- Per essere ammessi all’orale occorrerà aver consegnato in tempo (entro il 31maggio) ilquadernodilaboratorioconleelaborazionirichieste.Delquadernoverràvalutatosoloilretroalfinediindividuareun'idoneitàasostenerel'orale.In caso contrario, a partiredauna copiadel quaderno effettuataprimadella sua consegna,andrà effettuata una nuova elaborazione da consegnare almeno 15 giorni prima della dataprevistaperl'eventualeorale.-L'usodellastrumentazioneeladiscussionedeirisultatidellemisure(sidovràdimostrarediavercapitocosaèstatofattoinlaboratorioeperché)costituiràpartedellaprovad’esamechesisvolgeràcontestualmenteaquellarelativaaglialtriaspettiteoricidelcorso.

21febbraio2016 AdalbertoSciubba Seguono degli appunti preliminari su quanto verrà svolto durante le prime lezioni.



CENNI DI PROBABILITÀ E STATISTICA APPLICATE ALLA TEORIA DELLA MISURA Lanaturacasualedimolti fenomeni che saranno trattatinel corsoobbligaaunaccennoadalcuni concetti di base di calcolo delle probabilità e di statistica. Questi elementi verrannodiscussi senza nessuna pretesa di rigore e completezza come invece avviene negliinsegnamentidedicatiatalidiscipline.Ripercorriamobrevementeconunesempioquantogiàappresoincorsiprecedentialloscopoditrovareunlinguaggiocomune.Supponiamo voler contare quanti raggi cosmici attraversano nell'arco di un'ora l'elementosensibile(scintillatore)diundosimetro.

Fotoestrattadallenoteapplicative,capitolo14http://www.hamamatsu.com/resources/pdf/etd/PMT_handbook_v3aE.pdf

Lo strumento viene attivato e dopo unminuto segnala che è stato attraversato da 6 raggicosmici:"mediamente"unraggiocosmicoogni10s. Quindiiconteggiinun'orasaranno:60minx6conteggi/min=360conteggi.Questo tipo di ragionamento apparentemente ovvio sottintende una serie di passaggi nonbanali. Il conteggio effettuato sui dati sperimentali è un valore statistico e quindi certo: 6conteggi!Macosasuccederebbeseripetessimolamisura?L'istantedelpassaggionelsensorediunraggiocosmicononècorrelatoaquellodiunaltroraggioprovenientedaunaltropuntodellospazio:ilfenomenononèperiodicoconperiodo10s.Seanalizzassimounaltro intervallodiunminutopotremmoottenereancora6conteggimaanche 5 o 7 o…: non si è in grado di prevedere con certezza cosa succederebbe ma ciaspettiamounrisultatononmoltodiversodaunamisuraall'altra.Stiamo assumendo implicitamente che l’osservazione sperimentale derivi (inferenzastatistica) da una distribuzione di probabilità dei valori assunti dalla variabile aleatoria K(numero di raggi cosmici in un minuto) il cui valor medio corrisponde alla nostraosservazione di 6 conteggi. Poi, confidenti in quella distribuzione di probabilità possiamostimare con un sufficiente livello di confidenza che in un intervallo di un'ora il numero diconteggisarà360.



Il problema di base in ogni misurazione consiste quindi nel determinare quale sia ladistribuzione di probabilità dalla quale sono state generate le N misure ottenute (in altrigerghisidirebbecheèstatoestrattouncampionedipotenzaNocheèstataosservataunapopolazionediNindividuio…).E'indispensabileconoscereindettaglioladistribuzionediprobabilitàrelativaalfenomenoinesame?Ottenereleinformazioninecessarieimplicaunacampagnadimisuretantopiùvasta(ecostosa)quantomegliosivoglionoconoscerneiparticolari(allimiteNà∞).Fortunatamenteledistribuzionideirisultatisperimentalisonosufficientemente“regolari”percui spessoèsufficiente ricavarepoche informazioniperessere ingradodielaborarebuoneprevisioni. Inmolteapplicazioni è sufficiente conoscereunvalore centrale (lamedia) eunvalorelegatoalladispersionedeivaloriintornoallamedia(lavarianza).Rivediamoindettaglioquesteaffermazioni,rapidamente,mapergradi…Cominciamodalladefinizionediprobabilità:gradodi fiducianelverificarsidiuneventoQuello strumento si guasterà entro fine anno? Per quando devo programmarne lamanutenzione? Quanti pezzi di ricambio devo avere di scorta? Quel nucleo radioattivodecadrà?Quandosaròattraversatodalprossimoraggiocosmico?Dato un evento assegniamo una probabilità p alla possibilità che esso si verifichi. Comedeterminiamop?Secondolateoriaassiomatica:-laprobabilitàpèunnumerononnegativotaleche:-p=1corrispondeall’eventocerto,-datidueeventi tali che ilverificarsidell’unoescluda lapossibilitàdiverificarsidell’altro (eventiincompatibiliomutamenteesclusivi)alloralaprobabilitàchesiverifichinooA oBèP(AoB)=P(A)+P(B),-datidueeventistatisticamenteindipendenti,talicioècheilverificarsidell’unononalterala probabilità di verificarsi dell’altro, allora la probabilità che si verifichino congiuntamenteAeBèP(AeB)=P(A)xP(B)Un metodo diverso per determinare la probabilità di realizzarsi di un evento consistenell’osservare(teoriafrequentista)ilfenomenoNvolte,contarequantevoltek(frequenza)siverifical’eventoecalcolareilrapportok/N(frequenzarelativa).-k/Nècompresofra0(l’eventononsiverificamai)e1(sempre).Analizziamo la relazione frapek/Nutilizzandocomeesempio il lanciodiunamonetanontruccataperciaspettiamochelaprobabilitàcheescatesta(T)siap=0,5=50%.VediamocosapuòsuccederealcresceredelnumeroNdilanci.Inizialmentelafrequenzarelativavariamolto:perN=1lafrequenzarelativapuòvalere0o1,perN=2puòvalere0o0,5o1eperN=3puòvalere0o0,33o0,67o1ecosìvia.AlcrescerediNlafrequenzarelativatendea0,5manoninmodomonotono.Levariazionicasualiintornoalvalore0,5vengonodettefluttuazionistatistiche.



Data la natura aleatoria del fenomeno, se l’osservazione venisse ripetuta altre volte, siavrebberoandamentisimilimanonidentici.TuttaviaalcrescerediNl’ampiezzadellefluttuazionisiriduce1elafrequenzarelativatendea:

lim$→&

k/N = pQuestarelazione(leggefortedeigrandinumeri)sottintendecheleprovesianoindipendenti,cioè che l’esito di una prova non influenzi l’esito delle prove successive (il caso non hamemoria – da ricordare se al gioco del Lotto si vuole puntare sull’uscita dei numeriritardatari).Eselamonetafossetruccata?Conquestometodosiosserverebbecheillimitedellafrequenzarelativanonsarebbep=0,5map’.Notop’sipuòprevederecosasuccederà in futuro:suNtentativi(conNsufficientementegrande)l’eventotestausciràmediamenteNp’volte2.

Il lancio di una moneta è un processo di tipo binomiale: l'evento ha due modalitàmutuamente esclusive di presentarsi (testa-croce, sì-no, vero-falso, 0-1, acceso-spento…). Detta p la probabilità di verificarsi di una modalità, quella dell'altramodalitàavràprobabilitàq=1-pdipresentarsi.LadistribuzionebinomialeodiBernoulli(chenontratteremoinquestocorso)calcolala probabilità con cui, su N prove tra di loro indipendenti, k volte si verifica lamodalitàconprobabilitàpelerestanteN-kvoltesirealizzal'eventocomplementare:

p(k)=N!/[k!(N-k)!]pkqN-k

1 Per una distribuzione binomiale di parametri N e p = ½ si ha: s2(K) = Npq = N/4 da cui si ricava s(K)/N = ½/√N; inoltre E(K/N) = E(K)/N = Np/N = p 2 Per una distribuzione binomiale di parametri N, p' si ha E(K) = N p'



Cosasuccedeseundeterminatofenomenopuòaverepiùdidueesiti(sipensiai6possibilirisultatidellanciodiundado)?Ancheinquestocasoilvaloredelrisultatononèdeterminato ma dipende dal caso: è una variabilealeatoria (discreta)X ilcui i-movalorexisiverificaconunaprobabilitàP(xi).LafunzioneP(X)cheassocialeprobabilitàagliNpossibilivaloridellav.a.XèladistribuzionediprobabilitàdiX.Assiomaticamente qualsiasi funzione P(X) può essere considerata una distribuzione diprobabilitàpurchéperognixirisulti1≥P(xi)≥0eseP(x1)+P(x2)+...+P(xN)= P(x/)$

/12 =1. Quest’ultimarelazione(proprietàdichiusura)derivadalfattocheècerto(p=1)cheinunaprovasiotterràalmenounodituttiipossibilivaloridellav.a.(nelcasodellanciodiundadonon truccatociaspettiamocheogninumeroescaconprobabilità1/6: le6probabilità sonougualielalorosommavale1).Nonsempreivaloriassociatiaidiversi fenomenicome,adesempio, ilconteggiodiguastidiun’apparecchiatura in un certo intervallo di tempo, sono discreti. Si pensi al tempo cheintercorre fra un guasto e il successivo. In questo caso la variabile aleatoria tempo ècontinua e non ha più senso chiedersi quale sia la probabilità che X assuma uno dei suoiinfinitivalori.SaràinveceutiledefinirelaprobabilitàinfinitesimacheXassumaunvalorecompresofraxex+dx:dP(x)=dP(x≤X<x+dx) = f(x)dxdove f(x)=dP(x)/dxè ladensitàdiprobabilitàofunzionedidistribuzione(attenzione:inaltricorsi/testipotrestetrovareassociatoalsimbolof(x)unsignificatoprobabilisticodiverso).

Graficamente la probabilità che X assuma unparticolarevaloreall'internodiunintervalloaltrinonè che l'area racchiusa al di sotto della densità diprobabilità in quell'intervallo. Se la f(x) è unafunzione di distribuzione allora, considerando laproprietà di chiusura, si ha: ∫ f(x) dx = 1 qualoral'integrale venga calcolato su tutto l'insieme di

definizionedellav.a.X.Infatti∫f(x)dx=P(X=unqualsiasivalorex)=P(eventocerto)=1.Laf(x)contienetuttal’informazionenecessariaperfareprevisionimaconoscerlarichiedeunaquantitàinfinitadimisure.Tuttaviapermoltissimiscopipraticièsufficienteindividuaresoloalcuniriassunti(indici).Ilprimoèunindicediposizionecheindividuasull’asserealeilpunto“intornoalqualeècentrata”ladistribuzionedeipossibilivaloridellav.a.Simbolicamentevienedefinitocomevaloreatteso(ovaloreprevisto)omedia3 m=E(X)conE(X)definitada:

v.a.discreta:E(X)= x/P(x/)$/12 v.a.continuaE(X)= xf x dx6&

7& Sinotil’analogiameccanicacolbaricentrodiunsistemadimasseP(xi)nelleposizionixi. vEsercizio:verificarecheilvalormediodelrisultatodellanciodiundadoè3,5

3 NON è la media aritmetica: la media è definita in campo probabilistico, la media aritmetica in quello statistico



vEsercizio:dimostrarecheE(aX+b)=aE(X)+b Unsecondoindice(didispersione)quantificalavariabilitàdellav.a.intornoallamedia.Sidefiniscevarianzalaquantità

Var(X)=E[(X-m)2]

v.a.discreta:Var(X)= (x/ − m)9P(x/)$/12 v.a.continuaE(X)= (x − m)9f x dx6&

7& DatochelavarianzahaledimensionifisichedellagrandezzaX2si introduceaifinipratici lagrandezza s(X) = Var(X)detta scarto quadratico medio o deviazione standard che èomogeneaallagrandezzaX. vEsercizio:dimostrarecheE[(X-m)2]=E(X2)-E2(X) vEsercizio:verificarecheladeviazionestandarddelladistribuzionedeirisultatidellanciodiundadovales(X)= 35/12 vEsercizio:dimostrareches(aX+b)=as(X)Dataunaqualsiasidistribuzioneèpossibile calcolare laprobabilità che la v.a. sia compresanell’intervallo (detto intervallodiconfidenza)m-s <X<m+s.Moltedelledistribuzionidiusocomunehannolacaratteristicacheall’internodiquestointervallolaprobabilità(livellodiconfidenza)èmoltoelevato.Ovviamenteallargandol’intervallodiconfidenzaaumentaillivellodiconfidenza.Spessosiutilizzal’intervallom-2s <X<m+2s. vesercizio:verificarechenell’intervallom-s <X<m+sillivellodiconfidenzaperillanciodiundadoè2/3(inaltri termini: laprobabilitàche ilvaloredellav.a.siacompresofra1,79e5,21èdel66,7%).Laprobabilitàcheunav.a.assumaunparticolarevalore,ilsuovaloreattesoelavarianzasonograndezze probabilistiche che richiedono per il loro calcolo la conoscenza completa delladistribuzionediprobabilità.Tuttavia, a partire da un insieme di N osservazioni sperimentali del fenomeno è possibilecalcolaredellegrandezzestatistichechealtenderediNainfinitocostituisconodellestimedeiriassuntidelladistribuzione.Abbiamogiàdettodellafrequenzarelativaedellaprobabilitàp.Analogamentelamediapuòesserestimataattraverso lamediaaritmeticaX = BC

$e ladeviazionestandardattraverso la

deviazionestandardsperimentaless(X)= (BC7D)E

$72.

PROBABILITA’<-->STATISTICA p ≈ k/N m=E(X) ≈ X = BC

$

s(X)= Var(X) ≈ ss(X)= (BC7D)E

$72



DistribuzionediPoissonSupponiamol’esistenzadiunnumeroNdieventiindipendenti,ognunoconprobabilitàpdiverificarsieprobabilitàq=1-pdinonverificarsi.E’possibiledefinireunav.a.Kchecontailnumerodieventichesiverificano.Postom=Npnumeroattesodisuccessi,nellimiteincuiNtendeainfinitoepazero(eventirari),siottieneladistribuzionediPoisson:Pm(k)=F

GHIJ

K!incui0≤k<∞

E’possibiledimostrareche: E(K)=m Var(K)=m.A prima vista il fatto che nella poissoniana risulti s2 = m potrebbe far pensare ad un errore dicalcolodimensionale;inrealtàlav.a.delladistribuzionediPoissonèunnumeropuro! vEsercizio:verificarecheladistribuzionediPoissongodedellaproprietàdichiusura vRiflessione:perchépossonoessereconsideratieventirariicirca200raggicosmicicheognisecondocolpisconounindividuo?Questa distribuzione è stata utilizzata per la prima volta nella conta dei globuli rossi: delnumero enorme contenuto nel volume di 1 cm3 di un prelievo standard solo una frazioneirrisoriavienepostasuunvetrinodamicroscopioconunacameradivolumenoto.L’esitokdelconteggio,limitatoinquestomodoapochecentinaiadiglobulirossi,èquindisoggettoafluttuazioni statistiche: con elevata probabilità, però, il numero m cercato è compresonell’intervallok- k<m<k+ kàm=k± kComeesempioanalizziamoladistribuzioneperm=2,5k=0àP2,5(0)=F

GE,N9,OP

Q!=8,2%

k=1àP2,5(1)=FGE,N9,OR

2!=20,5%

k=2àP2,5(2)=FGE,N9,OE

9!=25,7%

k=3àP2,5(3)=FGE,N9,OS

T!=21,4%

k=4àP2,5(4)=FGE,N9,OU

V!=13,4%

k=5àP2,5(5)=FGE,N9,ON

O!=6,7%

k=6àP2,5(6)=FGE,N9,OW

X!=2,3%

k=7àP2,5(7)=FGE,N9,OY

Z!=1,0%

k=8àP2,5(8)=FGE,N9,O[

\!=0,3%

Calcoliamolaprobabilitàchem-s <k<m+s, cioè 2,5-1,58 <k<2,5+1,58à0,92 <k<4,08.Questa condizione è soddisfatta per i valori k = 1, 2, 3, 4 che corrisponde a un livello diconfidenzadel20,5+25,7+21,4+13,4=81,0%.vesempio:5000cellulevengonoirraggiate.Sapendochelaloroprobabilitàdisopravvivenzaè0,05%qualèlaprobabilitàditrovarneviveesattamente3?Ealmeno3?IlvaloremedioèdatodaNp=5000*0,0005=2,5.P2,5(3)=F

GE,N9,OS

T!=21,4%.Laprobabilitàche

siano almeno 3 si ottiene sommando tutte le probabilità da k = 3 fino a infinito… Più



brevemente,utilizzandolaproprietàdichiusura,sipuòscrivereP(0)+P(1)+P(2)+P(3≤k)=1equindiP(3≤k)=1-(8,2+20,5+25,7)%=1-54,4%=45,6% vEsempio:unparticolaretipodiapparecchiaturaènotoperavereuntassodiguastidiunoogni2anni.Qualè laprobabilitàche inunannononabbiaguasti?Ediaverneunoopiùdiuno?m=1/2=0,5àP0,5(0)=F

GP,NQ,OP

Q!=60,7%;P0,5(1≤k)=1-P0,5(0)=39,3%

Durante un’esperienza di laboratorio studieremo il numero di eventi di radioattivitàambientalechecasualmentevengonorivelatidauncontatoreascintillazione.Semplificandoloalmassimo,ilsistemadiacquisizionedeidatihaunasezionechelasciapassarealdispositivodigitale di conteggio solo gli eventi che si presentano temporalmente in coincidenza con ilsegnalediGATEaperto:Supponiamodiavereunafrequenza(rateoo,all’ingleserate)dim=2,5eventialsecondo.Che distribuzione del numero di conteggi ci aspettiamo se la durata del GATE è 1 s?Ovviamentem=2,5/sx1s=2,5.SeglieventisonoindipendenticiaspettiamoladistribuzionediPoissonconm=2,5giàgraficata.Ese,invece,ilGATEdurasse0,1s?Alloraavremmom=0,25.k=0àP0,25(0)=F

GP,ENQ,9OP

Q!=77,9%

k=1àP0,25(1)=FGP,ENQ,9OR

2!=19,5%

k=2àP0,25(2)=FGP,ENQ,9OE

9!=2,4%

k=3àP0,25(3)=FGP,ENQ,9OS

T!=0,2%

Se infine la durata del gate fosse di 10 secondiallora si avrebbe m = 2,5/s x 10 s = 25 e ladistribuzioneassumerebbeunaformasimmetrica“acampana”.Questa è una caratteristica comune a tutte ledistribuzionidiprobabilità:nellimiteincuiillorovalore medio è molto elevato (tende a infinito)approssimano sempre più una particolaredistribuzione (teorema del limite centrale): ladistribuzionediGauss.



DistribuzionediGaussDatounvalorex=m,sekeventiindipendentineaumentano,ognunoconprobabilitàp=1/2,ilvalorediunaquantitàDeN-keventinediminuiscono,ognunoconprobabilitàq=1-p=1/2ilvaloredellastessaquantitàD,postos2=Np(1-p)D,alloraX=m+kD-(N-k)D.NellimitediNchetendeall’infinitomentreD vaazero,Xdiventaunav.a.continuaconladistribuzione:

Applicando le definizioni si può verificare che lafunzionegodedellaproprietàdichiusuraeche,comeprevedibile,E(X)=meVar(X)= s2.Iflessidellafunzionesonoperivaloridix=m±s. P(m- s <x<m+s ) = 68,3% P(m-2s <x<m+2s ) = 95,4% P(m-3s <x<m+3s ) = 99,7%

Dall'espressionedelmassimo29]^

(dettomodulodiprecisione) sideduce immediatamentechetantopiùaumentastantopiùlacurvasiabbassa(mantenendol’integraleunitario).Laprecisionediunsistemadimisuraè lacapacitàdi fornire la stessa risposta a parità disollecitazione.Glierroricasualialteranolarispostarendendo imprecisa la misura. La distribuzionedegli errori segue la distribuzione di Gauss ed èquindiutilizzabileperstimarelarisoluzionediunostrumento. La utilizzeremo per caratterizzare larisoluzionenellamisuradienergiaeffettuataconuncontatoreascintillazione. v Esercizio:verificarechelalarghezzadellafunzione,calcolataamezzaaltezza(FullWidthatHalfMaximum),èpariaFWHM=2 2ln2s=2,35s v Esercizio:verificarechelaprobabilitàcheunamisuradistribuitagaussianamentesiapiùgrandedelvalormediodiunaquantità2sèparial2,3%

( )( )

2

2

2mx

e21xf s

--

sp=



DistribuzioneesponenzialeIpotizziamo un processo poissoniano per il quale ci si attende una frequenza di r contegginell’unitàditempo4(equindiinmediam=rteventinell’intervallo0÷t)echiediamociqualesialadistribuzionedeltempotcheintercorrefrauneventoeilsuccessivo.L’istantet*incuisiverifical’eventoèunav.a.continuaequindinevadefinitalaprobabilitàinfinitesima:dP(t<t*<t+dt).Questa probabilità è fattorizzabile col prodotto della probabilità che non avvengano eventinell’intervallofinito0÷tmoltiplicataperlaprobabilità(infinitesima)cheavvengauneventonell’intervallot÷ t+dt:

dP(t<t*<t+dt)=Prt(0)dPrdt(1)=e7abdPrdt(1)=e7ab[FGcde(afb)R

2!] = e7ab[e7afbrdt].

Sviluppando in serie di potenze l’esponenziale e fermandosi al primo termine in rdt (cioèe7afb ∼1)siottiene:dP(t<t*<t+dt)=f(t)dt=e7abrdt.Daf(t)dt=re7abdtsiottienecheladistribuzionedeitempid’arrivoèesponenziale: f(t)=re7abcon0≤t<∞dallaqualesipuòdedurre: E(t)=1/r Var(t)=1/r2 L’inverso della frequenza r è un tempo t = 1/r caratteristico dell’andamento esponenziale:E(t)=1/r=t è il tempoche inmediatrascorre fra ilverificarsidiuneventoe ilsuccessivo(nelcasodeldecadimentodinucleiradioattivit èdettovitamedia)Ladistribuzionef(t)=re7abpuòquindiessereriscrittacomef(t)=2

ie7b i

vEsercizio:verificarelaproprietàdichiusuradellafunzioneesponenziale vEsercizio:verificarecheperladistribuzioneesponenzialeE(t)=t.v Esempio: determiniamo per la distribuzione esponenziale il tempo T1/2 entro il qualel'eventohaunaprobabilitàdel50%diverificarsi.Sitrattadiintegraref(t)=1/te7b/ifra0eT1/2eporreilrisultatoparia0,5:

2i

jR/EQ e7

ekdt=te7mR/E/i=0,5àT1/2=tln2=0,69t.

vEsercizio:analogamentealtempodidimezzamentoT1/2sipuòdeterminarel’istanteT1/10prima del quale c’è una probabilità del 90% del verificarsi dell’evento (e quindi unaprobabilità 1/10 che ancora non si sia verificato). Verificare che ora il calcolo svolto

precedentementeportaa0,1=e7nR/RPk equindicheiltempoT1/10=tln10=2,30t.

4 r (rateo di conteggi o "rate" in inglese) è un frequenza temporale: si misura in hertz



vEsercizio:dopoquantecostantiditempot sihaunaprobabilitàdel25%=1/4chel’eventononsisiaancoraverificato?vEsercizio:dopoquantecostantiditempot sihaunaprobabilitàdel5%=1/20chel’eventononsisiaancoraverificato?IlcasodipiùvariabilialeatoriePreseduevariabilialeatorieXeY,ognunalapropriadistribuzionediprobabilitàf(x)ef(y),equindivalorimediE(X)eE(Y)evarianzeVar(X)eVar(Y),èutileesaminarnelacombinazionelineareZ=aX+bY.Basandosisullalinearitàdell’operatoreE()sihacheE(Z)=aE(X)+bE(Y).Inoltre,seXeYsonostatisticamenteindipendenti,alloraladistribuzionediprobabilitàf(x,y)chesiverifichinocontemporaneamenteXeYèdatadaf(x,y)=f(x)f(y)dacuisiricavacheVar(Z)=a2Var(X)+b2Var(Y)às(aX+bY)= [𝐚𝛔 𝐗 ]𝟐 + [𝐛𝛔 𝐘 ]𝟐.NelcasoincuiZ=X±Y(cioèa=1eb=±1)siottienes(X±Y)= [σ X ]9 + [σ Y ]9.Quest'ultimarelazioneèparticolarmenteutilenelcasodegliNconteggidovutiallasommadiduecontributioriginati,peresempio,unodaeventidiradioattivitàeunodalrumoredifondoelettronicodeldispositivodirivelazione.

Inquesticasisipossonoeseguireduemisure:ilnumerodiconteggiFdifondo del solo rivelatore ottenuto allontanandosi dalla sorgenteradioattivaeilnumerototalediconteggidatodallaradioattività(segnaleSincognitodaquantificare)edalfondo:N=S+F.BanalmenteS=N–F5.MaconqualeincertezzaènotoS?s(S)=s(N-F)= [σ N ]9 + [σ F ]9e,datochesiaNcheFsonoconteggicheseguonolastatisticapoissoniana,sihas(N)= Nes(F)= Fequindis(S)=s(N-F)= N + F

CaratteristichedellamediaaritmeticaConsideriamolamediaaritmeticadiNmisureX = BC

$= 2

$x/.

Questaespressionepuòesserevistacome lacombinazione lineareconcoefficienti1/NdiNvariabilialeatorie: l'indice i=1,N inquestocaso indicherebbenon laprima,seconda, terzamisura…dellav.a.Xmaunvaloreassuntodallav.a.X1(primamisura),unvaloreassuntodallav.a.X2(secondamisura),unvaloreassuntodallav.a.X3(terzamisura)...E'spessoragionevolesupporrecheladistribuzionediprobabilitàdellaprimamisuraf(x1)sialastessadellasecondamisuraecosìpertuttelealtre6:f(x1)=f(x2)=…=f(xN)=f(x)tutteconconE(Xi)=meVar(Xi)=s2.PertantoE(X)=2

$E(X1)+2$E(X2)+…=N

2$E(X)=mcioèilvaloreattesodellamediaaritmetica

èlamediaeVar(X)= 2$EVar(X1)+ 2$EVar(X2)+…=N

2$EVar(X)=2

$Var(X)dacuisiricavache

ladeviazionestandarddellamediaaritmeticadiNmisureindipendentiè

s(𝐗)= 𝟏𝐍s(X)

5 si sta ipotizzando che le misure di N e F abbiano avuto la stessa durata temporale e che le frequenze del segnale e del fondo non siano variate durante le misure 6 cioè che i risultati delle misure siano tra loro statisticamente indipendenti



Infine, sempre per via del teorema del limite centrale, la distribuzione di probabilità dellamedia aritmetica di N misure f(X) tende, nel limite Nà∞, alla distribuzione di Gauss, aprescinderedalladistribuzionediprobabilitàf(x).vEsercizio:calcolareperquantotempooccorreacquisireeventiconfrequenzadicirca10Hzaffinchétalefrequenzasianotaal5%(40s)vEsercizio:…eselastrumentazioneavesseunafrequenzadisegnalidifondoparia7,5Hzmisurataperunapariduratatemporale?(100s)RIASSUMENDO:ilrisultatodiunaseriediNmisuredellastessagrandezzaXèrappresentatodallamediadelladistribuzionediprobabilitàdiX:glierroridimisuraalteranocasualmenteilvaloremoraineccesso,oraindifetto,all'incircacomeavvieneperladistribuzionediGauss.Dalpuntodivistastatisticoquindisistima:-mconlamediaaritmetica

- s(X)= Var(X) con ss(X)= (BC7D)E

$72.

Lamediaaritmeticacompensaparzialmentelefluttuazioniineccessorispettoamconquelleindifettoequindilasuaprecisionemigliora.Siconvienequindidiriportarecomerisultatolamediaaritmeticaelasuaincertezzas(X)= 2

$s(X)che,statisticamente,diventa 2

$ss(X).

Il teorema del limite centrale, infine, per N sufficientemente grande garantisce che ladistribuzionedellamedia aritmetica è gaussianae chequindi conelevataprobabilità (circa68%dilivellodiconfidenza)m-s(X)<X<m+s(X)àX-s(X)<m<X+s(X)che,statisticamente,diventa:X-ss(X)<m<X+ss(X).AlcrescerediNsihachess(X)diminuisce(Naldenominatore),quindil'intervallosistringeelamediaaritmeticadiventaunastimasemprepiùbuonadim:

m≈𝐗±ss(𝐗)=𝐗±𝛔𝐬(𝐗)𝐍=𝐗± 𝟏

𝐍(𝐱𝐢7𝐗)𝟐

𝐍7𝟏

vEsercizio:inunaseriedi9misuredellastessagrandezzaXsiottengonoiseguentirisultati:8,5(2volte)9,09,5(2volte)10,0(2volte)10,5Con una qualsiasi calcolatrice statistica siottengono rapidamente la media aritmeticadella serie di misure (9,611) e la deviazionestandard(0,858).Perché la migliore stima del valore vero dellagrandezzamisurataèX=9,61±0,29?Conunintervallodiconfidenzadi3deviazionistandard,perchéilvaloreminimochecisipuòaspettareperunadecimamisuraè7,0?



RettadeiminimiquadratiSpessoènecessariostudiarelarelazionefraduediversegrandezzefisiche,peresempiopertarareunostrumentooperstudiare la rispostadiunsistemaadunostimolovariabile.Nelcasodiunarelazionelinearesipuòprocedereanchemanualmenterealizzandoungraficoconla rispostaY inordinatae la sollecitazioneX inascissa:unandamento lineareè facilmenteindividuabile.Ognipuntosulgraficoèilrisultatodiunacoppiadimisure(xi,yi)entrambeaffettedaerroridimisura: solo teoricamente si disporrebbero lungo una retta. In realtà, a seconda dellaprecisione delle misure, i punti saranno più o meno ben allineati; in alcuni casi potrebbeessere addirittura problematico tracciare con un righello una retta che passi quanto piùpossibilenellevicinanzediquantipiùpuntipossibile.Tuttaviaancheunarettatracciatagrossolanamentefornirebbemolteinformazioni.Laprimaèchesesièriuscitiatracciarlal'andamentoèlineare!A questo punto diventa lecito ritenere chel'andamentoteoricoèdescrittodaY=pX+qdovelapendenzapel'intercettaqdellarettaapprossimante diventano più significativi deisingolipuntimisurati.Per ricavare q basta considerare che è ladistanza dall'origine dell'intersezione dellaretta con l'asse delle Y: q = Y(X=0); èsufficiente leggere sul grafico il valore con lasuaunitàdimisura.PerricavarelapendenzaelesueunitàdimisurasiscelgonoarbitrariamentesullarettaduepuntiP1=(X1,Y1)eP2=(X2,Y2).DaY1=pX1+qeY2=pX2+qsiricavap=(Y2-Y1)/(X2-X1).Perunaelaborazionemenoapprossimatasipuòricorrerealmetododeiminimiquadraticheminimizza,alvariaredeiparametripeq,iquadratidelledistanzedeisingolipuntidallarettaY=pX+q.L'elaborazionestatisticadiquestaminimizzazioneforniscesiaunastimadipeq: p=

$ BC�C7 BC �C$ BC

E7 BC BC q=

BCE �C7 BC�C BC$ BC

E7 BC BC

chelelorovarianze: s2(p)=

$^E

$ BCE7 BC BC

s2(q)=BCE^E

$ BCE7 BC BC

cons2= [�C7 �BC6� ]E

$79

Queste formule sono integratenella calcolatrice statistica LabCalc sviluppataper le attivitàdel Laboratorio Didattico di Fisica della Sapienza; può essere scaricata dal sitohttp://w3.uniroma1.it/labfis/download.htmlComesivedeleincertezzedellestimedipeqsonolegateallaquantitàs2= [�C7 �BC6� ]E

$79che

rappresentasostanzialmenteladistanzaquadraticamediadellecoppiedimisure(xi,yi)dallaretta: quanto più i punti sono ben allineati tanto più piccole sono le incertezze con cui sipossonoricavareiparametripeq.



v Esercizio: i risultati di una serie di 8 misure dellasollecitazione X e della risposta Y vengono inseriti inuna calcolatrice statistica per determinare se sia piùprecisa la stima della pendenza o dell'intercetta dellarettachedescriveladipendenzadiYdaX.Viene prodotto un grafico dei punti misurati e se neverifica la linearità. Risulta evidente che un punto èaffetto da errori di misura eccessivi e quindi vienescartato.Rielaborandoidatideipuntirimastisiottienes(p)/p=0,08/0,65=12%<s(q)/q=0,35/1,09=32%vRiflessione: spero,alterminediquestanecessariamenterapida,superficialeeincompletacarrellatasulsignificatodialeatorietàdellanatura,cheabbiatemiglioratolaconoscenzadellarelazionecausa-effetto. Spesso la suanaturaè contaminatada ragionamentidi fondo in cuil'osservazionestatisticavieneinconsciamentealteratadall'osservatore:contatequantevoltenon succede nulla passando sotto una scala, quando un gatto nero vi attraversa la strada,quando uno specchio si rompe e, soprattutto, quanti esami superate anche se avetecorrettamentestampatolaricevutadell'esameprimadipresentarviall'orale…

università la sapienza ingegneria biomedica 2016-2017... · chi non fosse regolarmente iscritto al...

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