Universidade Federal de Lavras Departamento de Ciências Exatas

Dependência via Cópulas Devanil Jaques de Souza Lucas Monteiro Chaves

27/11/2009

Variável aleatória bi-dimensional

( ) ( ),~ ,, X YF x yX Y

As marginais: ( )XF x e ( )YF y

Variável aleatória bi-dimensional

( ) ( ),~ ,, X YF x yX Y

As marginais: ( )XF x e ( )YF y

A estrutura de dependência entre X e Y

Variável aleatória bi-dimensional

( ) ( ),~ ,, X YF x yX Y

As marginais: ( )XF x e ( )YF y

A estrutura de dependência entre X e Y

O coeficiente de correlação de Pearson

( )( )

( ) ( )2 2,,

X Y

X YX Y

X Y E X E Y

E X YCov X Y

μ μ

μ μσ σρ

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦=⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

− −=

, ,X Y aX b cY dρ ρ + +=

Problema: Capta dependência linear

1Y aX b ρ= + ⇒ = ±

Como modelar outras dependências:

Tau de Kendall amostral

Uma amostra bivariada de tamanho n:

( )1 1,x y , ( )2 2,x y , ..., ( ),n nx y

c – número de pares concordantes ( )( ) 0i j i jx x y y− − >

d – número de pares discordantes ( )( ) 0i j i jx x y y− − <

O coeficiente Tau de Kendall amostral:

c dtc d−=+

Tau de Kendall populacinal

( )1 1,X Y e ( )2 2,X Y duas cópias independentes de uma população ,X YF .

Probabilidade de concordância do tipo 1

1cP ( )( )2 1 2 1P 0X X Y Y= − − >⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( ), ,2 , ,X Y X YF x y f x y dx dy∞ ∞

−∞ −∞= ∫ ∫ ,

Probabilidade de discordância do tipo 1

1dP ( ) ( )2 1 2 1 1P 0 1 cX X Y Y= − − < = −⎡ ⎤⎣ ⎦ P

Tau de Kendall populacional 1 1c dτ = −P P

Se X e Y têm distribuição conjunta normal bivariada então

` 2 arcsinτ = ρπ

( ) ( )sgn sgni j j i j iA X X Y Y= − − ( )j i≠

( )1 caso 0

sgn-1 caso 0

uu

u>⎧

= ⎨ <⎩

( )

1

1 1

21

n n

i ji j i

T An n

−

= = +=

− ∑ ∑

T é um estimador não viesado e consistente de τ .

O RHO de Spearman amostral

Amostra ( ) ( ) ( )1 1 2 2, , , ,..., ,n nx y x y x y de uma população bivariada

( ),X Y . Sejam ( ) ( ) ( )1 1 2 2, , , ,..., ,n np q p q p q os respectivos postos.

( )2

1

n

i ii

S p q=

= −∑ .

O Rho de Spearman amostral

( )( )( )

( ) ( )2

2 2

1

1 1

611

n

i ii

n n

i ii i

P P Q QSR

n nP P Q Q

=

= =

− −= − =

−− −

∑

∑ ∑

O RHO de Spearman populacional

( ),i iX Y , ( ),j jX Y e ( ),k kX Y três cópias independentes de uma

população bivariada e contínua ( ),X Y .

Probabilidade de concordância do tipo 2:

2cP ( )( )P 0j i ikX X Y Y⎡ ⎤= − − >⎣ ⎦

Probabilidade de discordância do tipo 2:

2dP ( )( )P 0j i ikX X Y Y⎡ ⎤= − − <⎣ ⎦

RHO de Spearman populacional

( )2 22 23 6 3 3 6S c cd dρ = − = − = −P P P P

Relação entre o RHO de Spearman e o coeficiente de correlação produto- momento de Pearson

X e Y com distribuição conjunta normal bivariada:

6 arcsin2Sρ⎛ ⎞ρ = ⎜ ⎟π ⎝ ⎠

Variável aleatória bidimensional ( ),X Y

( )( )

( )( )

, ,,

X Y

X

Y

F x yF xF y

x y⎧⎪⎪→ ⎨⎪⎪⎩

( ) ( )( ) ( ),, ,X Y X YF x F y F x y→ Uma cópula

Sejam 0,1I ⎡ ⎤⎣ ⎦= ( ) 2,u v I∈

Cópula bi-dimensional: uma função 2:C I I→

P1 - ( ) ( )0, ,0 0C v C u= = , ( ),1C u u= e ( )1,C v v=

P2 - ( ) ( ) ( ) ( ), , , , 0C b d C a d C b c C a c− − + ≥

em que a b< c d<

v

C(u,v)

u

Exemplos de Cópulas

E1 - ( ),IC u v u v=

E2 - ( ) { }0 , max 1,0C u v u v= + −

E3 - ( ) { }1 , min ,C u v u v=

Desigualdade de Fréchet-Hoeffding:

Se ( ) { }0 , max 1,0C u v u v= + −

e ( ) { }1 , min ,C u v u v=

então

( ) ( ) ( )0 1, , ,C u v C u v C u v≤ ≤

Teorema de Sklar:

Sejam X e Y variáveis aleatórias com distribuições marginais

( ) [ ]PXF x X x= ≤ ( ) [ ]PYG y Y y= ≤

e distribuição conjunta

( ) [ ], , P ,X YH x y X x Y y= ≤ ≤ .

Então, tomando-se ( )Xu F x= e ( )Yv G y= ,

( ) ( ) ( )( )1 1,, ,X Y X YC u v H F u G v− −= é uma cópula.

Além disso:

• para quaisquer ( )XF x e ( )YG y e qualquer cópula

( ),C u v , ( ) ( ) ( )( ), , ,X Y X YH x y C F x G y= é uma conjunta

admissível.

• se ( )XF x e ( )YG y são contínuas, para cada conjunta

( ), ,X YH x y admissível existe uma e somente uma cópula

( ),C u v tal que ( ) ( ) ( )( ), , ,X Y X YH x y C F x G y= .

Propriedade: Se ( ).f e ( ).g são funções

estritamente crescentes então

, ,U V f U g VC C

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

Cópulas e o TAU de Kendall

τ ( ) ( ), ,4 , , 1X Y X YF x y f x y dx dy∞ ∞

−∞ −∞= −∫ ∫

( ) ( )21 1

0 0

,4 , 1

C u vC u v du dv

u v∂

= −∂ ∂∫ ∫

Cópulas e o RHO de Spearman

Sρ ( ) ( ) ( ),12 , 3X Y X YF x F y f x y∞ ∞

−∞ −∞

= −∫ ∫

( )21 1

0 0

,12 3

C u vu v du dv

u v∂

= −∂ ∂∫ ∫

Construção de Cópulas

- Método da mistura (compound)

Exemplo:

( ) ( )P | 1

P P | 1 1~ ,

xrX x e

X x E X x xGama r

γ

γγ

γ λγ λ

−−⎧ ⎡ ⎤ =⎪ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤⎨ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎪⎩

≤ −→ ≤ = ≤ = − +

1X e 2X independentes, a menos de um risco γ .

( )1 2,F x x ( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 11 1 2 2 1 1 2 21 1 1 1

rr rF x F x F x F x

− − −⎡ ⎤= + − − + − −⎢ ⎥⎣ ⎦

( ),C u v ( ) ( )1 11 1 1 1rr ru v u v− − −

⎡ ⎤= + − − + − −⎣ ⎦

Construção de Cópulas

- Cópulas Arquimedianas

: 0,1 0,φ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦→ ∞ função convexa estritamente decrescente

( ) ( )( ) ( )1 ,u v C u vφ φ φ⎡ ⎤⎣ ⎦− + =

( )( ) ( )

( )

11 0

0 0t t

tt

φ φφ

φ⎡ ⎤⎣ ⎦

−−

⎧⎪⎨⎪⎩

≤=

≥

( ).φ função geradora da cópula ( ) ( ) ( )( )1,C u v u vφ φ φ⎡ ⎤⎣ ⎦−= +

Ajuste de Cópulas: τ ( ) ( )21 1

0 0

,4 , 1

C u vC u v du dv

u v∂

= −∂ ∂∫ ∫

Os dados: X – índice de estresse hídrico da região de Castro – Paraná

Y – produtividade de soja no município de Castro – Paraná

Período de 1980/1981 a 2007/2008

( )1.156, 1.147, ..., 1.2446X =

( )2200, 2134, ..., 3126Y =

( ), 0.47Corr X Y =

As cópulas e a relação entre os parâmetros e o Tau de Kendall

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

1

11

1 1,

Família Expressão , parâmetro Tau de Kendall

Clayton max 1 ,0 1 +2

Gumbel exp ln ln 1 1

2Normal , 1 1 arcsin

2Morgenstern 1 1- 1 1 19

U VX Y

C u v

u v

u v

N N u N u

uv u v

θθ θ

θθ θ

θ θ θ

θ θ

ρ ρπ

θ θ θ

−

−

− −

− −⎛ ⎞⎡ ⎤+ − ≥ −⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠⎧ ⎫⎡ ⎤− − + − ≥ −⎨ ⎬⎣ ⎦⎩ ⎭

− ≤ ≤

+ − − ≤ ≤⎡ ⎤⎣ ⎦

Clayton 1.024Gumbel 1.512

0.3386Normal 0.518Morgenstern NA

θθ

τρ

=⎧⎪ =⎪= → ⎨ =⎪⎪⎩

Qualidade do ajuste

Método gráfico: comparar o scatter plot de uma amostra grande da

cópula ajustada e os pontos ( ) ( )( )1 , 1i iR n S n+ + (suporte da cópula

empírica)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Clayton(1,024)

samp.clayton[, 1]

sam

p.cl

ayto

n[, 2

]

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Gumbel-Hougaard(1,512)

samp.gumbel[, 1]

sam

p.gu

mbe

l[, 2

]

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Clayton(1,024)

samp.clayton[, 1]

sam

p.cl

ayto

n[, 2

]

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Normal(0,518)

samp.normal[, 1]

sam

p.no

rmal

[, 2]

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Gumbel-Hougaard(1,512)

samp.gumbel[, 1]

sam

p.gu

mbe

l[, 2

]

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Normal(0,518)

samp.normal[, 1]

sam

p.no

rmal

[, 2]

Referências Anjos, U.U., Ferreira, F.H., Kolev, N.V., Mendes, B.V.M., 2004. Modelando dependências via

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