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  • 1. M AT E M T I C A 1 bA figura exibe um mapa representando 13 pases.Considerando-se como pases vizinhos aqueles cujasfronteiras tm um segmento em comum, o nmeromnimo de cores que se pode utilizar para colori-los, deforma que dois pases vizinhos no tenham a mesmacor, :a) 2 b) 3c) 4 d) 5 e) 6ResoluoTodos os pases laterais, em nmero de 12, so vizi-nhos do pas central e devero ter cores diferentesdele.Os pases laterais podero ser pintados com apenasduas cores, alternando-as.Assim, o nmero mnimo de cores necessrias 3. 2 eUm recipiente contm um litro de uma mistura de die-sel e lcool, na proporo de 40% de diesel e 60% delcool.Deseja-se modificar esta proporo para 30% de diesele 70% de lcool, sem retirar diesel. A quantidade mni-ma de lcool, em mililitros, que se deve adicionar mis-tura original, considerando que as propores mencio-nadas so sempre em volume, de: 200 400700 800 1000a) b) c) d) e) 333 33ResoluoA mistura inicial contm 40% de 1l = 400 ml de diesele 60% de 1l = 600 ml de lcool.Admitindo-se que seja acrescido apenas lcool na quan-tidade de x ml, na mistura final teremos(600 ml + x ml) de lcool.Desta forma600 ml + x ml = 70% (1000 ml + x ml) 1000 600 + x = 700 + 0,7x 0,3x = 100 x = 3OBJETIVO U N I F E S P - ( P r o v a d e C o n h e c . G e r a i s ) D e z /2 0 0 4

2. 3 eNo interior de uma sala, na forma de um paraleleppedocom altura h, empilham-se cubos com arestas de 1 1 1medidas 1, , , , e assim por diante, conforme 3 9 27mostra a figura.O menor valor para a altura h, se o empilhamentopudesse ser feito indefinidamente, :5 7 3a) 3b) c) d) 2e) 2 3 2ResoluoSendo h a soma das medidas das alturas dos infinitoscubos empilhados, temos: 1 1 11h = 1 + + + + = = 3 9271 1 313= = 22 3 4 cA seqncia de nmeros naturais (a1, 4, a3, a4, a5, 3, a7,a8, ...), onde a2 = 4 e a6 = 3, tem a propriedade de quea soma de trs termos consecutivos quaisquer sem-pre igual a 13.O mmc(a102, a214) :a) 3b) 4c) 6d) 12 e) 36Resoluo1) a4 + a5 + 3 = a5 + 3 + a7 a4 = a72) a5 + 3 + a7 = 3 + a7 + a8 a5 = a83) a3 + a4 + a5 = 13 a3 + a7 + a8 = 13 a7 + a8 = 13 a34) 3 + a7 + a8 = 13 3 + 13 a3 = 13 a3 = 35) Se a soma de 3 termos consecutivos sempre 13e a3 = 3 e a2 = 4 ento a seqncia ser:(6, 4, 3, 6, 4, 3, 6, 4, 3, )6) a102 = 3 e a214 = 67) mmc(3;6) = 6OBJETIVO U N I F E S P - ( P r o v a d e C o n h e c . G e r a i s ) D e z /2 0 0 4 3. 5 eDividindo-se os polinmios p1(x) e p2(x) por x 2 obtm-se, respectivamente, r1 e r2 como restos. Sabendo-seque r1 e r2 so os zeros da funo quadrtica y = ax2 +bx + c, conforme grfico,o resto da diviso do polinmio produto p1(x).p2(x) por x 2 :a) 3b) 5 c) 8d) 15e) 21Resoluo1) De acordo com o grfico, os zeros da funo quadr- tica y = ax2 + bx + c so 3 e 7 e, portanto, r1 = 3 e r2 = 7. p1(x) x 22) p1(2) = r1 p1(2) = 3 r1 q1(x) p2(x) x 23) p2(2) = r2 p2(2) = 7 r2 q2(x) p1(x) . p2(x) x 24) p1(2) . p2(2) = r rq(x) 3 . 7 = r r = 21OBJETIVOU N I F E S P - ( P r o v a d e C o n h e c . G e r a i s ) D e z /2 0 0 4 4. 6 aCerto dia um professor de matemtica desafiou seusalunos a descobrirem as idades x, y, z, em anos, deseus trs filhos, dizendo ser o produto delas igual a 40.De pronto, os alunos protestaram: a informaox.y.z = 40 era insuficiente para uma resposta correta,em vista de terem encontrado 6 ternas de fatores donmero 40 cujo produto 40. O professor concordou edisse, apontando para um dos alunos, que a somax+y+z das idades (em anos) era igual ao nmero que sepodia ver estampado na camisa que ele estava usando.Minutos depois os alunos disseram continuar imposs-vel responder com segurana, mesmo sabendo que asoma era um nmero conhecido, o que levou o profes-sor a perceber que eles raciocinavam corretamente(chegando a um impasse, provocado por duas ternas).Satisfeito, o professor acrescentou ento duas informa-es definitivas: seus trs filhos haviam nascido nomesmo ms e, naquele exato dia, o caula estavafazendo aniversrio. Neste caso a resposta correta :a) 1, 5, 8b) 1, 2, 20c) 1, 4, 10d) 1, 1, 40 e) 2, 4, 5ResoluoOs valores de x, y e z, tais que x . y . z = 40, podem serdados pelas 6 ternas:(1,1,40), (1,2,20), (1,4,10), (1,5,8), (2,2,10) e (2,4,5)As somas dessas ternas so, respectivamente:42, 23, 15, 14, 14 e 11.Se os alunos no descobriram quais os valores de x, ye z, ento as ternas possveis so (1,5,8) e (2,2,10), demesma soma 14.Supondo que os trs filhos tenham nascido no mesmodia e ms e naquele exato dia o caula estava fazendoaniversrio, a terna procurada (1,5,8).O fato de nascerem no mesmo ms no suficientepara excluir a terna (2,2,10), pois os filhos poderiam ternascido nos dias 10 de dezembro de 1994, 20 dedezembro de 2001 e 15 de dezembro de 2002, porexemplo. Se a data for 15 de dezembro de 2004, o maisvelho tem 10 anos, o do meio ainda tem 2 anos e ocaula faz 2 anos.OBJETIVO U N I F E S P - ( P r o v a d e C o n h e c . G e r a i s ) D e z /2 0 0 4 5. 7 dUm engradado, como o da figura, tem capacidade para25 garrafas.Se, de forma aleatria, forem colocadas 5 garrafas noengradado, a probabilidade de que quaisquer duasdelas no recaiam numa mesma fila horizontal, nemnuma mesma fila vertical, :5! 5!5!5!20!a) b) c) 25!25! 25!5!5!20! 5!5!25!d) e) 25! 20!Resoluo25!Existem C25;5 = formas de se escolher 5 entre 20!5!os 25 lugares disponveis.Destas, existem 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5! formas de se esco-lher lugares para se colocar as cinco garrafas, sem queestejam duas na mesma horizontal, nem existam duasna mesma vertical.Assim, a probabilidade pedida 5! 5!.5!.20! = 25!25!20!5!OBJETIVOU N I F E S P - ( P r o v a d e C o n h e c . G e r a i s ) D e z /2 0 0 4 6. 8 ax y 1Dada a matriz, 3 x 3, A = 1 1 1, a distncia1 1 1entre as retas r e s de equaes, respectivamente,det(A) = 0 e det(A) = 1 vale:2a) b) 2c) 2 d) 3. e) 3 2. 4ResoluoSendo: x y 1A=1 11 1 1 1Tem-se:det(A) = 0 2x 2y = 0 x y = 0 (r)1det(A) = 1 2x 2y 1 = 0 x y = 0 (s)2As retas r e s so paralelas e a distncia entre elas :0 + 12 1 22d = = = 4 12 + 122OBJETIVOU N I F E S P - ( P r o v a d e C o n h e c . G e r a i s ) D e z /2 0 0 4 7. 9 c xConsidere as funes dadas por f(x) = sen 2g(x) = ax + b, sendo o grfico de g fornecido na figura.O valor de f (g1 (2) ) :2 1 2 3a) b) c) d) e) 1. 4222ResoluoSe g(x) a funo do grfico dado, ento sua funoinversa g 1(x) ter como grfico a reta indicada no gr-fico, visto que seus grficos so simtricos em relao bissetriz dos quadrantes mpares.A equao da reta da funo g 1(x) : x yx1 + = 1 x 2y = 1 y = 11 2 2x1ou g 1(x) = 2Portanto, com f(x) = sen e.x 2 =21 11g 1(2) = = , resulta f[g 1(2)] = f2 22 1 . 2 2= sen = sen = 242OBJETIVO U N I F E S P - ( P r o v a d e C o n h e c . G e r a i s ) D e z /2 0 0 4 8. 10 cNa Figura A aparecem as circunferncias , de equaox2 + y2 =1, e , de equao x2 + y2 = 9. Sabendo-se queas circunferncias tangentes simultaneamente a e a so como 1 (na Figura B) ou 2 (na Figura C),o lugar geomtrico dos centros destas circunferncias dado:a) pelas circunferncias de equaes (x 1)2 + y2 = 4 e (x 2)2 + y2 = 1.x2 y2b) pela elipse de equao + = 2132c) pelas circunferncias de equaes x2 + y2 =1 e x2 + y2 = 4.d) pela circunferncia de equao x2 + y2 = 4.e) pelas retas de equaes y = x e y = x.Resoluo1) O lugar geomtrico dos centros das circunferncias 1 a circunferncia de centro na origem e raio 3+1 = 2. 2Portanto, tem equao x2 + y2 = 22 x2 + y2 = 42) O lugar geomtrico dos centros das circunferncias 2 a circunferncia de centro na origem e raio 31 = 1. 2Portanto, tem equao x2 + y2 = 12 x2 + y2 = 1OBJETIVO U N I F E S P - ( P r o v a d e C o n h e c . G e r a i s ) D e z /2 0 0 4 9. 11 aConsidere as funes: f1(x) = 3x,f2(x) = log1/3x,f3(x) = (x + 1) (x 2) ef4(x) = sen(2x)e os grficos G1, G2, G3 e G4 seguintes.Das associaes entre funes e grficos, exibidas aseguir, a nica inteiramente correta :a) f1 G1; f3 G4 b) f4 G2; f3 G3c) f3 G4; f4 G3 d) f2 G1; f3 G2.e) f2 G3; f1 G4.ResoluoOBJETIVO U N I F E S P - ( P r o v a d e C o n h e c . G e r a i s ) D e z /2 0 0 4 10. 12 dCom base na figura, o comprimento da diagonal AC doquadriltero ABCD, de lados paralelos aos eixos coor-denados, :a) 2 2 b) 42c) 8 d) 4 5 e) 63Resoluo log x = 0 x = 1y = log3x1) 3y=02)y = 2 . 3xx=0 y=2.3 0 =2O ponto A tem coordenadas (1;2)3)y = 2 . 3xx=1 y=2.3 1 =6O ponto D tem coordenadas (1;6)3)y = log3xy=2 log x = 2 x = 93O ponto B tem coordenadas (9;2)Portanto, os lados AB e AD, do retngulo, medem res-pectivamente 8 e 4, e a diagonal AC obtida por:AC2 = 82 + 42 AC2 = 80 AC = = 4 805OBJETIVO U N I F E S P - ( P r o v a d e C o n h e c . G e r a i s ) D e z /2 0 0 4 11. 13 dImagine uma parede vertical com uma janela retangular,de lados a e b, conforme a figura, onde a paralelo aopiso plano e horizontal. Suponhamos que a luz solarincida perpendicularmente ao lado a, com inclinao de60 em relao parede.Se A1 e A2 representam, respectivamente, as reas daA1janela e de sua imagem projetada no piso, a razo A2vale:3 3a) 3 b) 3 c) 223 1d) e) 32ResoluoSendo c a medida do outro lado do retngulo projetado,tem-se:b 3b1) tg 30 = = c3 c2) A1 = ab3) A2 = acA1ab b 34) = = = A2ac c3OBJETIVOU N I F E S P - ( P r o v a d e C o n h e c . G e r a i s ) D e z /2 0 0 4 12. 14 bA figura representa um retngulo subdividido em 4outros retngulos com as respectivas reas.a 892aO valor de a :a) 4 b) 6 c) 8 d) 10e) 12Resoluox wy a 8yz 92azx wDe acordo com a figura, tem-se:xy = ayw = 8 xa = (I) w8zw = 2a = (II)xz = 9 x 9 w2aDe (I) e (II), tem-se: a9 = 2a2 = 72 a2 = 36 a = 6 (pois a > 0) 82a15 bConsidere o poliedro cujos vrtices so os pontosmdios das arestas de um cubo.O nmero de faces triangulares e o nmero de facesquadradas desse poliedro so, respectivamente:a) 8 e 8b) 8 e 6c) 6 e 8d) 8 e 4e) 6 e 6ResoluoO cubo possui exatamente 6 faces e 8 vrtices.Assim sendo, o novo poliedro possui exatamente8 faces triangulares (uma para cada vrtice do cubo) e6 faces quadradas (uma para cada face do cubo).OBJETIVOU N I F E S P - ( P r o v a d e C o n h e c . G e r